Universidad Técnica Federico Santa María

Universidad Técnica Federico Santa María

Conceptos Básicos

Departamento de Informática ILI-280

Experimento Experimento aleatorio aleatorio :: ξξ Espacio Espacio Muestral Muestral :: Ω Ω Espacio Espacio Muestral Muestral :: Discreto Discreto ,, Continuo Continuo Evento o Suceso Evento o Suceso Sucesos Sucesos elementales, elementales, seguros seguros ee imposibles imposibles Probabilidad : grado de Probabilidad : grado de certidumbre certidumbre Probabilidad Probabilidad yy Juegos Juegos de de Azar Azar Probabilidad Probabilidad yy Frecuencia Frecuencia relativa relativa Probabilidad Subjetiva (Personal) Probabilidad Subjetiva (Personal)

Capítulo 5: Modelos de Probabilidad Estadística Computacional 2º Semestre 2002

Profesor :Héctor Allende Página : www.inf.utfsm.cl/~hallende e-mail : [email protected] H. Allende, S. Ahumada y R. Salas

Profesor: H. Allende R. Salas

Conceptos Básicos   Experimento ExperimentoAleatorio: Aleatorio: º ºProceso Procesoen enobservación observación   Evento EventoElemental: Elemental: º º“Resultado” “Resultado”de deun unexperimento experimentoindivisible indivisible º º“Mutualmente “MutualmenteExcluyentes”: Excluyentes”:sisiocurre ocurreuno unono noexiste existe posibilidad posibilidadde deobservar observarotro otro º º“Equiprobable” “Equiprobable”::Cada Cadaevento eventosimple simpletiene tieneidentica identica probabilidad probabilidad  Espacio Muestral  Espacio Muestral º ºEl Elconjunto conjuntode detodas todaslas lasobservaciones observaciones elementales elementales   Evento Evento“A” “A” º ºEl Elconjunto conjuntode detodos todoslos loseventos eventoselementales elementales observaciones observacionesposibles posiblesque queresultan resultanen enlalaocurrencia ocurrenciadel del evento evento“A” “A” Profesor: H. Allende R. Salas

Ω (S): Espacio Muestral: Todos los posibles s ∈ S, resultado elemental

ℑ :Familia de todos los eventos posibles de S B A

∅ ∈ ℑ , luego ∅ es un Evento s ∈ ∅, luego ∅ evento imposible

S ∈ ℑ , luego S es el Evento Seguro A y B ∈ ℑ, luego son eventos A∪B ∈ ℑ; A∩B ∈ ℑ; Ac ∈ ℑ, son eventos

s∈Ω 3

Profesor: H. Allende R. Salas

4

Conjuntos vs. Eventos

 Sea Sea ℑℑuna una clase clase no no vacía vacía formada formada por por ciertos ciertos subconjuntos subconjuntos del del espacio espacio muestral muestral S. S. ℑℑes esuna una σσalgebra algebra de de sucesos sucesos si si los los sucesos sucesos complementarios complementarios de de aquellos aquellos que que están están en en ℑℑ también también están están en en ℑ, ℑ, así así como como sus sus uniones uniones numerables numerables (sean (sean finitas finitas oo infinitas). infinitas). Esto Esto se se puede puede enunciar enunciar como: como:

∀A ∈ ℑ ⇒ A ∈ A  n ℑ es una σ − álgebra ⇔  ∀A1 ,..., An ∈ ℑ ⇒ iU=1 Ai ∈ ℑ c

Profesor: Rodrigo Salas

resultados elementales

Ω (S)

Concepto de σ-álgebra de sucesos

Profesor: H. Allende R. Salas

2

Conjuntos y Eventos

E

Diseño de las Diapositivas:

5

Teoría Conjuntos

Teoría Probabilidades

SΩ

Universo

Espacio Muestral

ℑ

Conjunto Potencia

Familia Clases de Eventos

A∈ℑ

A subconjunto de S

A es un Evento

s ∈A

s es elemento de A

Ocurre el evento A

∅ S

Conjunto vacío

Evento Imposible

Universo

Evento Seguro

A∪B A∩B Ac

A unión B A intersección B

Evento A o Evento B

Complemento de A

Evento no-A

A⊂B

A es subconjunto de B

A implica B

A∩B= ∅

A y B son disjuntos

A y B mutuamente excluyentes

Evento A y Evento B

Profesor: H. Allende R. Salas

6

1

Universidad Técnica Federico Santa María

Ejemplo Dado

Ejemplo

  Se Serealiza realizaun unexperimento experimentoaleatorio aleatoriode delanzar lanzarun undado dadoalal aire: aire: º ºSucesos Sucesoselementales elementales Æ Æ 1,1,2, 2,3, 3,4, 4,5, 5,66 º Æ ºEspacio EspacioMuestral Muestral Æ S={1,2,3,4,5,6} S={1,2,3,4,5,6} º Æ ℑ=P(S)={Ø,S,{1},{2},...,{1,2},...} =P(S)={Ø,S,{1},{2},...,{1,2},...} ºConjunto ConjuntoPotencia Potencia Æℑ

σ-álgebra º ºSucesos Sucesosaleatorios aleatorios

Æ Æ

  Si Sise serealiza realizaun unexperimento experimentoaleatorio aleatoriode deesperar esperarel eltiempo tiempo 14 que quehace hacefalta faltapara paraque queun unátomo átomode decarbono carbonocatorce, catorce,CC14,,se se desintegre desintegrede demodo modonatural, natural,se setiene tieneque que

E = ℜ+ sin sinembargo, embargo,el el σ-álgebra σ-álgebrade desucesos sucesosque quese seconsidera considerano noes es P(ℜ), P(ℜ),que quees esuna unaclase clasedemasiado demasiadocompleja complejapara paradefinir definirsobre sobre sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar se sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar se considera considerael elσ-álgebra σ-álgebraformada formadapor portodos todoslos losintervalos, intervalos, abiertos abiertosoocerrados, cerrados,yysus susuniones unionesfinitas finitas

ØØsuceso sucesoimposible imposible SS suceso sucesoseguro seguro {1, {1,2, 2,3} 3} {4, {4,5} 5} C {2, {2,4, 4,6}={1, 6}={1,2, 2,3} 3}C .... ....

+ ℑℑ={Ø, ={Ø,ℜℜ+,,(1,2),...,(2,3],...} (1,2),...,(2,3],...} + loloque quepor porsupuesto supuestoincluye incluyeaalos lospuntos puntosde deℜℜ+. .

7

Profesor: H. Allende R. Salas

Espacio Muestral

Experimento Aleatorio

1 Traspasar Roja # 1

I 1

II

II

1 2

1

1

2

2

3

3

4 5 6

1

3 2

8

Profesor: H. Allende R. Salas

I

3

Traspasar Verde # 1

II

7 8

3 2 3 1 2

9 9 Se toma al azar una esfera de la urna I 9 Se transfiere a la urna II, se mezclan bien. 9 Se elige, aleatoriamente, una esfera de la urna II. 9 ¿cuál es la probabilidad – a priori – que sea verde?

Traspasar Verde # 2

Nociones de Probabilidad

11 12

3 3

Profesor: H. Allende R. Salas

10

Ejemplo

  Probabilidad Probabilidades esuna unamedida medidade delalaincertidumbre incertidumbre(Estimación (Estimación de delalaprobabilidad) probabilidad)   Teórica Teórica--“A “APriori” Priori” º ºPr Pr(Ai) (Ai)==nn//NN •• nn==número númerode deposible posibleformas formasen enque“Ai” que“Ai”puede puedeser ser observado observado •• NN==número númerototal totalde deresultados resultadosposibles posibles   Histórica Histórica(empírica-frecuencia) (empírica-frecuencia)--“A “APosteriori” Posteriori” º ºPr Pr(Ai) (Ai)== n/N n/N •• nn==número númerode deveces vecesque queocurrio ocurrio“Ai” “Ai” •• NN==número númerototal totalde deobservaciones observaciones   Subjetiva Subjetiva º ºLa La “Opinión “Opiniónde deun unExperto” Experto”

Profesor: Rodrigo Salas

II

2

2 9

Profesor: H. Allende R. Salas

Profesor: H. Allende R. Salas

10

2

Distintas formas como puede resultar el experimento. Ya que las esferas has sido sacadas al azar, cada uno de ellos tiene la misma posibilidad de ocurrir

11

  En Enlalafigura figurase sepresenta presentalalaevolución evoluciónde delalafrecuencia frecuenciarelativa relativa del delnúmero númerode decaras carasobtenido obtenidoen enel ellanzamiento lanzamientode deuna una moneda en 100 ocasiones (simulado en un computador). moneda en 100 ocasiones (simulado en un computador).

Profesor: H. Allende R. Salas

12

2

Universidad Técnica Federico Santa María

Cálculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables) Equiprobables)

Modelo Probabilístico Sea Sea una una Distribución Distribución de de Probabilidad Probabilidad P, P, función que asigna a cada función que asigna a cada sub-conjunto sub-conjunto razonable razonable de de Ω Ω un un valor valor entre entre 00 yy 1.1. Ω ℑ ⊂ 2 Sea colección de eventos Sea colección de eventos razonables razonables de de Ω Ω (σ-álgebra) (σ-álgebra)

P : ℑ → [0;1] Modelo de Probabilidad = (Ω, ℑ, P )

Noción Noción intuitiva intuitiva (regla (regla de de Laplace): Laplace): P ( A) =

Resultados favorables al evento A Resultados posibles

Noción Noción frecuentista: frecuentista: Sea Sea

N : N ° total de veces que se realiza un experiment o N A : N ° total de veces que ocurre A P ( A) = lim N → ∞

Profesor: H. Allende R. Salas

13

Cálculo de Probabilidades (Eventos Equiprobables) Equiprobables)

¿Cuál ¿Cuál es es la la probabilidad probabilidad de de que que al al lanzar lanzar un un dado dado se se tenga tenga par? par?

º ºEl Elespacio espaciomuestral muestrales es E={1, E={1,2, 2,3, 3,4, 4,5}. 5}.Vamos Vamosaallamar llamarA, A, alalsuceso sucesoconsistente consistenteen enque queel elresultado resultadoes esimpar, impar, A={1,3,5}. A={1,3,5}.Como Comono nosuponemos suponemosque queninguna ningunade delas lascaras caras ofrece ofreceuna unaprobabilidad probabilidadde deocurrencia ocurrenciadiferente diferenteaalas las demás, demás,podemos podemosaplicar aplicarlalaregla reglade deLaplace Laplacepara paraobtener obtener que que

  Observación Observación º ºEn Enmuchas muchasocasiones ocasionesnos nospreocupamos preocupamosde deelegir elegirde de manera maneraaleatoria aleatoriauno unooomás másobjetos objetosdesde desdeuna unacolección colecciónde de objetos objetos   Sea Sea NNelelnúmero númerode deobjetos. objetos. º ºElegir Elegir11objeto objetoalalazar, azar,significa significa que quecada cadaobjeto objetotiene tienelala misma mismaprobabilidad probabilidadde deser serelegido. elegido.P(elegir P(elegiraai ))==1/ 1/NN i

º ºElegir Elegir22objetos objetosalalazar azarsignifica significaque quecada cadapar parde deobjetos objetos tiene tienelalamisma mismaprobabilidad probabilidadde deser serselecionado. selecionado. Supongamos Supongamosque queexisten existenKKde detales talespares, pares,entonces entonceslala probabilidad probabilidadde deelegir elegirun unpar parcualesquieres cualesquiereses es1/ 1/K. K.

número de casos favorables a A número de casos posibles 3 1 = = 6 2

P[ A] =

º ºElegir Elegirrrobjetos objetosaleatoriamente, aleatoriamente,rr 0. 0. La La probabilidad probabilidad de de A A condicionada condicionada aa la la ocurrencia ocurrencia de de B, B, denotada denotada como como P(A|B) P(A|B) ::

Espacio Muestral Finito

i = 1,.., N

N

∴ U Ei = S

Evento Elemental Mutuamente excluyente s de a pares

i

P( A | B) =

Aplicando Aplicando los los axiomas axiomas se se tiene tiene P ( Ei ) = f i > 0 N

P (U Ei ) = 1 i

Propiedades: Propiedades:

i = 1,2 ,3 ,...,N →

Como E i I E j = 0

∑

º1. º1. P(A|B) P(A|B) ≥≥ 00 º2. º2. P(Ω P(Ω |B) |B) == 11 º3. P(∪Ai|B) º3. P(∪Ai|B) == ΣΣ P(Ai|B) P(Ai|B) con con Ai∩Aj Ai∩Aj == ∅ ∅ ,∀ ,∀ i,i, jj :: ii ≠j ≠j

fi = 1

∀i ≠ j → P ( Ei I E j ) = P ( Ei ) + P ( E j ) 19

Profesor: H. Allende R. Salas

Probabilidad Condicional

Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que han ocurrido el evento B A

B

20

Profesor: H. Allende R. Salas

Probabilidad Condicional

Ω

P( A I B) P(B)

Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B

También se ha encontrado que el 5% de la piezas que no tienen fallas superficiales son funcionalmente defectuosas

Por lo tanto el 90% no tienen fallas visibles en la superficie.

Se ha encontrado que el 25% de las piezas con fallas superficiales son funcionalmente defectuosas

Se sabe que el 10% de las piezas manufacturadas tienen fallas visibles en la superficie.

100% piezas Manufacturadas

Evento A = { pieza funcionalmente defectuosa} B = { pieza tiene una falla visible en la superficie} P( A dado B) = P(A | B) ? 21

Profesor: H. Allende R. Salas

Casos Probabilidad Condicional Si A ∩ B = ∅ Æ P(A | B) =

A B

A

B

Si A ∩ B = A Æ P(A | B) =

Probabilidad Total

P(∅) P(A ∩ B ) = =0 P(B) P(B) P(A ∩ B ) P(A) = ≥ P(A) P(B) P(B)

Sean Sean BB11,, BB22,....,B ,....,Bnn eventos eventos mutuamente mutuamente excluyentes : excluyentes : n P (U B i ) = 1 i =1

Entonces Entonces

P ( A) =

n

∑ P( A | B )P(B ) i =1

A

Si A ∩ B = B Æ P(A | B) =

B

A B

P(B) P(A ∩ B ) = =1 P(B) P(B)

Profesor: Rodrigo Salas

23

i

i

Consecuencia Consecuencia (Regla (Regla de de Bayes): Bayes): P ( Bi | A ) =

P(A ∩ B ) Si A ∩ B ≠ ∅ Æ P(A | B) = = P(B) Profesor: H. Allende R. Salas

22

Profesor: H. Allende R. Salas

P ( A | Bi ) P ( Bi ) P ( A)

Profesor: H. Allende R. Salas

24

4

Universidad Técnica Federico Santa María

Probabilidad Total B1

A Equipo Fallado

B2

Regla de Bayes

B5

A∩B1 A∩B2 A∩B4

A∩B3

B4

Equipo Manufacturado en Planta B2

B3

n

 Sean B1, B2,....,Bn

eventos mutuamente excluyentes

P ( U Bi ) = 1 i =1

Entonces

P ( A) =

∑ P( A | B )P(B ) i =1

i

i

i

i

P ( A | Bi ) P ( Bi ) ∑ P ( A | B j )P ( B j )

Bi I B j = φ ; j

n −1

i =1

i =1

  El ElNúmero Númerode demaneras maneras diferentes diferentesde deelegir elegiroosacar sacarun un elemento de del elemento de delconjunto conjunto11que que elementos, luego un tiene n 1 tiene n1 elementos, luego un elemento elementode deun unconjunto conjunto22que que tiene tienenn22elementos, elementos,......,,yy finalmete finalmeteun unelemto elemtodel delk-ésimo k-ésimo conjunto elemetos, conjuntoque quetiene tienennkkelemetos, en donde el orden como se en donde el orden como se selecciona seleccionaes esimportante importante

P ( I Ai ) = P ( Ai ) P ( A2 | A1 )..... P ( An | I Ai )

n

P (I Ai ) > 0 i =1

Profesor: H. Allende R. Salas

26

Profesor: H. Allende R. Salas

Regla de la Multiplicación

Ley Ley Multiplicativa: Multiplicativa: n

i≠ j

U Bj = S

j

Probabilidad Multiplicativa

n1

27

n2

n2

n2

nk nn1**nn2**......* 1 2 ......* nk

Ejemplo 1

Profesor: H. Allende R. Salas

28

Solución

1) 1) Sean Sean A,B A,B sucesos sucesos de de un un mismo mismo modelo modelo de de probabilidad (Ω, ℜ, P) tales que: probabilidad (Ω, ℜ, P) tales que: P(B)=0,4 P(B)=0,4

i

25

Profesor: H. Allende R. Salas

siempre siempre que: que:

ºSe ºSe pide pide P(B P(B33|A); |A); pero pero sólo sólo se se conoce conoce P(A ∩ B ), i = 1, 2, 3, .. , k i P(A ∩ Bi), i = 1, 2, 3, .. , k º º Sabemos Sabemos que que P(A P(A ∩ ∩ BBi)) == P( P( AA || BBi )) P(B P(Bi)) == P(B P(Bi || A) A) P(A) P(A)

P ( Bi | A ) =

n

i

Supongamos Supongamos de de que que se se elige elige aleatoriamente aleatoriamente un Equipo y se encuentra un Equipo y se encuentra que que está está fallado. fallado. ¿cuál ¿cuál es es la la probabilidad probabilidad que que sea sea manufacturado manufacturado en en Planta Planta BB33 ??

P(A∪B)=0,7 P(A∪B)=0,7 P(A|B)=0,75 P(A|B)=0,75

P(AC) = 1 - P(A) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) P(A∩B) = P(A/B) P(B) = 0,75 * 0,4 = 0,3 P(A) = 0,7 - 0,4 + 0,3 = 0,6 P(AC) = 0,4 P(A-B) = P(A∩BC) = P(A) - P(A∩B) = 0,6 - 0,3 = 0,3

Determinar: Determinar:

P(AC∪BC) = P(AC) + P(BC) - P(AC∩BC) P(AC∩BC) = P(BC) - P(A∩BC) = 0,6 - 0,3 = 0,3 Luego P(AC∪BC) = 0,4 + 0,6 - 0,3 = 0,7

C C C C P(A P(AC)) ;; P(A-B) P(A-B) ;; P(A P(AC∪B ∪BC)) ;; P(A|B P(A|BC))

Profesor: H. Allende R. Salas

Profesor: Rodrigo Salas

P(A/BC) = P(A∩BC) = 0,3 = 0,5 P(BC) 0,4 29

Profesor: H. Allende R. Salas

30

5

Universidad Técnica Federico Santa María

Ejemplo 2

Solución

 Un Un procesador procesador para para computadores computadores puede puede provenir provenir de de cualquiera cualquiera de de tres tres fabricantes fabricantes con con probabilidades: probabilidades: pp11 == 0,25; 0,25; pp22 == 0,50; 0,50; pp33 == 0,25. 0,25.  Las Las probabilidades probabilidades de de que que un un procesador procesador funcione funcione correctamente correctamente durante durante 10.000 10.000 horas horas es es 0,1; 0,1; 0,2 0,2 yy 0,4 0,4 respectivamente respectivamente para para los los 33 fabricantes: fabricantes: ºi) ºi) Calcular Calcular la la probabilidad probabilidad de de que que un un procesador procesador elegido elegido al al azar azar funcione funcione durante durante 10.000 10.000 horas. horas. ºii) ºii) Si Si el el procesador procesador funcionó funcionó correctamente correctamente durante durante el el período período de de 10.000 10.000 horas horas ¿cuál ¿cuál es es la la probabilidad probabilidad de de que que haya haya provenido provenido del del 3er 3er fabricante? fabricante? Profesor: H. Allende R. Salas

  P (C ) =

= 0.225

P (C | F3 ) P ( F3 ) P (C ) 0.4 * 0.25 = = 0.444 0.225

  P ( F3 | C ) =

  Independencia Independenciaprobabilística probabilísticaConjunta Conjunta⇒ ⇒Independencia Independencia de deaapares pares 2. Independencia probabilística de a pares ⇒ 2. Independencia probabilística de a pares ⇒Independencia Independencia probabilística Conjunta probabilística Conjunta 3. 3.Si SiA, A,BBson soneventos eventosindependientes independientesprobabilísticamente. probabilísticamente. Entonces Entoncesse setiene tiene

P ( A | B ) = P ( A) P ( B | A) = P ( B )

φ ⊂ J ⊆ I = {1,2,3,..., k}

34

Profesor: H. Allende R. Salas

Ejemplo 3.4 : Independencia Probabilística

Ejemplo Ejemplo 3: 3: Ω Sea Sea ((Ω Ω,, 22Ω,, P) P) modelo modelo de de probabilidad. probabilidad. Ω Ω == {{ (1,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,1,0) (0,0,1) (0,0,1) (1,1,1) (1,1,1) }} P( { w } ) = 1/4 ∀ i = i P({wi}) = 1/4 ∀ i = 1, 1, 44 ΩΩ, P) : Sean A , A , A eventos de ( Ω , 2 Sean A11, A22, A33 eventos de (Ω, 2 , P) : era A coord. es es 11 A11:: 11era coord. da A A22:: 22da coord. coord. es es 11 era A A33:: 33era coord. coord. es es 11 Estudiar independencia Estudiar independencia conjunta conjunta yy de de aa pares. pares.

Profesor: Rodrigo Salas

Ω 4. 4. Sea Sea(Ω, (Ω,22Ω,,P) P)modelo modelode deprobabilidad. probabilidad.

33

Independencia Probabilística

Profesor: H. Allende R. Salas

C º ºA, A,BBC son sonindependientes. independientes. C C º ºAAC, ,BBC son sonindependientes independientes C, B º A son independientes C º A , B son independientes

Estudiar Estudiarindependencia independenciaconjunta conjuntayyde deaapares pares. .

j∈J

Profesor: H. Allende R. Salas

32

Profesor: H. Allende R. Salas

Observaciones

 Sean Sean {A {Ai:i: ii ∈∈ II == {1,2,3,......,k}} {1,2,3,......,k}} una una colección colección de de eventos eventos de de (Ω, (Ω, ℑ, ℑ, P). P). Se Se dice dice que que los los elementos elementos son son conjuntamente conjuntamente independientes independientes ssi: ssi: j∈J

i

= 0.1* 0.25 + 0.2 * 0.5 + 0.4 * 0.25

31

 Sean Sean A, A, BB dos dos eventos eventos del del modelo modelo probabilístico probabilístico (Ω, (Ω, ℑ, ℑ, P). P). A, A, BB se se dicen dicen probabilísticamente probabilísticamente independientes independientes ssi: ssi:

P( I A j ) = ∏ P ( Ai )

i

i =1

Independencia Probabilística

P ( A I B ) = P ( A) P ( B ) ⇒

3

∑ P(C | F ) P( F )

35

1

2

B

A

3

4

Probabilidad de cerrar los relés 1,2,3 y 4 es “p”. Si todos los relés funcionan independientemente , ¿cuál es la probabilidad que pase corriente de A a B

P( E ) = P[( R1 I R2 ) U ( R3 I R4 )]; P( E ) = P[ R1 I R2 ] + P[ R3 I R4 ] − P[I Ri ] = 2 p 2 − p 4 2

1 5

B

A 3

4

Profesor: H. Allende R. Salas

36

6

Universidad Técnica Federico Santa María

Variaciones

Permutac Permutacione iones

  Def: Def:Sea SeaAAun unconjunto conjunto:: Card( A) = n,, se sellama llamavariación variación simple simpleoosin sinrepetición repeticiónaatodo todosubconjunto subconjuntode dennelementos elementos distinguiéndose distinguiéndoseestos estosentre entresi, si, en enlos loselementos elementosque quelolo componen componenyyen enel elorden ordenen enque queestos estoselementos elementosvan vancolocados colocados

A = {x1 , x2 ,..., xn } V (n,2) = n(n −1) V (n,3) = n(n − 1)(n − 2) .....

Número de maneras distintas de sacar r elementos de lote de n Æ CUANDO EL ORDEN IMPORTA : Nota: Estudiar permutaciones con repetición

Prn =

n! (n − r )!

n objetos

V (n, k ) = n(n −1)(n − 2).....(n − k + 1)   Obs: Obs:Si Silas lasvariaciones variacionesson soncon conrepetición repetición

-----

V 1 (n, k ) = nk

1

Profesor: H. Allende R. Salas

37

Combinac Combinacione iones Combinaciones Combinaciones (sin (sin repetición): repetición):

ºNúmero ºNúmero de de maneras maneras distintas distintas de de sacar sacar rr elementos elementos de de lote lote de de nn Æ Æ CUANDO CUANDO EL EL ORDEN ORDEN NO NO IMPORTA IMPORTA

C(n, r ) =

n! r!(n − r )!

Profesor: H. Allende R. Salas

r 38

Sea Sea µµ una una medida medida en en el el Espacio Espacio Muestral Muestral tal tal que que µµ ((Ω Ω))