LABORATORIA DE AZAR, PROBABILIDAD Y COMBINATORIA GUÍA DEL ALUMNO

LABORATORIO BÁSICO DE AZAR, PROBABILIDAD Y COMBINATORIA (LABAPC) (Guía para el/la alumno/a) INTRODUCCIÓN ¿Ganará la selección española de fútbol el mundial de 2010? Casi todos los expertos la dan como favorita, es decir, le dan más probabilidad de ganar que a otras selecciones nacionales. Eso mismo es lo que se hace en un sinfín de situaciones en las que, aún sabiendo los resultados que son posibles (ganar, perder o empatar en el caso de un partido de fútbol) no sabemos con certeza, y de antemano, lo que va a ocurrir. En la lotería primitiva hay 49 números para elegir 6, pero sabemos o intuimos que es muy difícil (= muy poco probable) acertar una combinación ganadora que tenga 6 (incluso 5, 4 ó 3) números coincidentes con los resultantes en el sorteo. Algo similar ocurre para la lotería de Navidad, las quinielas u otros tipos de apuestas (existen un gran número de ellas). En el juego del parchís, para colocar ficha en la salida hay que obtener un 5. Quizá tengas la experiencia de haberlo obtenido alguna vez en el primer lanzamiento pero también puede ocurrir que lances el dado 10 veces y no obtengas un 5, ¿no crees? Sin embargo, los matemáticos, dispuestos a cuantificarlo todo, a poner números a todo, dicen que la probabilidad de obtener un 5 (ó un 1, 2, 3, 4, 6) es 1/6 porque, si el dado no está trucado, los seis resultados posibles ( a los que llaman sucesos) son equiprobables ¿Por qué? ¿Qué significado tiene esto? La Guía que estás viendo corresponde a un conjunto de aplicaciones interactivas diseñadas para alumnos y alumnas de Primaria y ESO, con la intención de desarrollar en ellos/as la experiencia y el conocimiento necesario para que puedan dar una respuesta fundamentada, no superficial o caprichosa, a cuestiones análogas a las planteadas anteriormente. Ese conocimiento te Juan García Moreno. 2009/2010

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ayudará a lo largo de tu vida para enfrentarte mejor a las numerosas situaciones de azar o incertidumbre que nos rodean. Descartes, un ilustre matemático y filósofo francés, decía: "Cuando no está en nuestra mano determinar lo que es verdad, debemos actuar de acuerdo con lo que es más probable.'' Estos materiales te permitirán simular experimentos aleatorios (como lanzar dados o monedas, extraer bolas de una urna, extraer cartas de una baraja, etc…). Podrás repetir un experimento tantas veces como desees, incluso dejar al ordenador generando datos mientras meriendas, para descubrir, analizando los datos correspondientes a los sucesos que se dan, las regularidades que se presentan. Si tienes un poco de espíritu investigador este material interactivo y dinámico te ayudará a darle satisfación y a desarrollarlo… Para animarte a ello te diré que los cálculos los hace el ordenador, que para comprenderlos basta que entiendas el significado de un cociente entre dos números… Con esta guía pretendo mostrarte y comentarte los aspectos del mismo que se deben tener en cuenta para sacarle el mejor provecho. Para ello, se me ocurre que la mejor manera es presentarte al menos una pantalla de cada una de las más de 50 aplicaciones que forman LABAPC (por aquello de que una imagen vale más que 1000 palabras) y, comentarte, a grandes rasgos, lo que se pretende, lo que tú puedes hacer… En primer lugar, el total de las aplicaciones que forma LABAPC, se organizan en cuatro bloques: Azar y Probabilidad, Situaciones Problemáticas, Combinatoria y Equipamiento Experimental. Estos son los logotipos de cada una de los bloques del menú principal (se utilizan como botones): “Ir al menú de Azar y Probabilidad”. (que contiene 20 aplicaciones) “Ir al menú de Situaciones problemáticas” (que contiene 6 aplicaciones)

“Ir al menú Combinatoria” (que contiene 9 aplicaciones)

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“Ir al menú de Equipamiento Experimental”. (14 aplicaciones)

Logotipo general de LABAPC. Se trata de un botón que permite acceder desde cualquier aplicación al menú principal. Así, pues, estos 5 botones-logotipo navegación entre aplicaciones.

controlan

la

Dentro de una determinada aplicación, los botones “anterior” y “siguiente” que se muestran a continuación, nos permiten avanzar o retroceder en las diferentes pantallas que configuran la aplicación en particular. Hay aplicaciones, de una sola pantalla (en ese caso no se mostrarán estos botones de navegación) y pantallas con 2, 3, 4, …, hasta 7 pantallas o escenas diferentes. Casi siempre, la presión de la tecla “IZQUIERDA” hace el mismo efecto que la presión del botón “anterior”. Análogamente, la presión de la tecla “DERECHA” permite pasa a la pantalla o escena siguiente.

En el menú de Azar y Probabilidad se incluyen: Una multiaplicación denominada Azar y Determinismo, que consta, a su vez, de siete aplicaciones.

FICHAS. Eva y Luis juegan con 10 ficha bicolores. Cada uno de ellos elige un color de ficha y de cochecito. Se lanzan las fichas. En cada lanzamiento, gana el que más fichas de su color consigue y hace avanzar el cochecito de su color hacia la meta. Gana la partida el dueño del cochecito que antes llegue a la meta. ¿Quién ganará más partidas? Juan García Moreno. 2009/2010

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LABORATORIA DE AZAR, PROBABILIDAD Y COMBINATORIA GUÍA DEL ALUMNO CASILLEROS. El ordenador, en cada jugada, elige aleatoriamente un número de cuatro cifras que Eva y Luis irán mostrando una a una de forma desordenada. Tú tienes que tratar de ganarle al ordenador formando un número más grande que el que el ordenador ha elegido. Debes ir poniendo las tarjetas-cifra en el casillero vacío, cada una en la celda que creas más conveniente. ¿Ganarás tú más partidas que el ordenador?

¿QUÉ OSTRA TIENE LA PERLA? De las tres ostras, siempre es la misma la que tiene la perla. Tienes que adivinar, pulsando sobre ella, la ostra que la tiene sin dejarte despistar por el movimiento y cambio de posición de las mismas. Hay cuatro niveles de dificultad en los que se va aumentando progresivamente la velocidad de desplazamiento de las ostras así como el número de veces que cambian de posición. ¿Se trata de un juego de azar o no? CON DIEZ CARTAS. Eva y Luis, por turno, te solicitan que elijas, pulsando, una de las 10 cartas de la baraja española que se muestran en cada momento. Gana el que saca la carta mayor. ¿Quién ganará más veces?

PIENSA UN NÚMERO. Dispones de 6 tarjetas diferentes con números. Hay números que sólo están en una tarjeta. Otros, en cambio, están en dos, o en tres,… Debes pensar silenciosamente un número y, mirando bie, pulsar sobre todas las tarjetas que lo contienen. Luego debes pulsar sobre el botón situado por encima de los niños. ¡ El ordenador adivina siempre el número que has pensado! ¿Se trata de un experimento aleatorio o determinista? Juan García Moreno. 2009/2010

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LABORATORIA DE AZAR, PROBABILIDAD Y COMBINATORIA GUÍA DEL ALUMNO Habrás visto que en la aplicación OSTRAS aparece un cuestionario de respuesta múltiple cuya realización te ayudará a aclarar ideas. La aplicación BARAJA te propone una actividad de clasificación mediante etiquetas desplazables que tienes que llevar hasta su zona correspondiente.

¿EN QUÉ MANO ESTÁ LA MONEDA? El ordenador elige aleatoriamente la mano en la que va a colocar la moneda en cada ocasión. Tú debes pulsar sobre la mano que crees que esconde la moneda. Si lo repites muchas veces, ¿tendrás muchos más aciertos que fallos? JUEGO DE LOS CHINOS. Cada mano puede mostrar 0, 1, 2 ó 3 monedas cuando pulsa sobre cualquiera de ellas. Se te ofrece la oportunidad de apostar a dos números (del 1 al 6). ¿Cuáles son los resultados posibles e imposibles? ¿Se dan todos los resultados con la misma facilidad? ¿Qué números elegirías para tu apuesta con la intención de obtener el mayor número de aciertos posible?

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Una urna contiene 10 bolas numeradas (con 0, 1 ó 2). Las bolas son de tres colores diferentes. Se te invita a que extraigas dos bolas simultáneamente de la urna y observes la combinación de números así como la combinación de colores de las bolas extraídas y luego devueltas a la urna. Se re pide que clasifiques los sucesos mostrados en las etiquetas desplazables atendiendo a si son sucesos seguros, muy probables poco probables o imposibles.

CIRCUITOS CON BOLAS. Esta aplicación presenta 7 circuitos diferentes y actividades con etiquetas desplazables. Cuando una bola que cae choca con un tope del circuito puede tomar, con la misma facilidad (probabilidad) por la bifurcación de la derecha o por la de la izquierda. Cada circuito tiene un diseño diferente y un número determinado de salidas A, B, C, D)… Se trata de estimar la fracción o porcentaje de bolas que toman por cada una de las salidas.

NÁUFRAGO. Se ha producido un naufragio. Un náufrago puede ser rescatado por el yate de salvamento marítimo o bien atrapado por los tiburones. Su suerte depende del resultado que se obtenga al lanzar una moneda. Según se obtenga cara o escudo el náufrago podrá tomar el camino para su rescate o el camino hacia los tiburones. La aplicación ofrece varios circuitos probabilísticas diferentes. En cada uno de ellos habrá que razonar si es más fácil que se salve o que sea atrapado.

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LANZAMIENTO DE UN DADO. LANZAMIENTO DE DOS DADOS . Se experimenta con los sucesos posibles en cada caso, sus frecuencias absolutas y relativas. Se construyen sus espacios muestrales. Se consideran sucesos simples y compuestos, etc… ¿Se obtendrá el 5, al lanzar un dado muchas veces, aproximadamente 1/6 de las veces? Si en el lanzamiento de dos dados consideramos la suma de las puntuaciones obtenidas, ¿por qué la suma 7 es, por lo general, la más frecuente?

Estudio experimental del lanzamiento de una y dos monedas. Se experimenta cómo al lanzar muchas veces una moneda y representar gráficamente las frecuencias relativas de cara y escudo, éstas se aproximan a 1/2 = 0,5 en mayor medida, por lo general, cuanto mayor es el número de lanzamientos.

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Diagrama en árbol interactivo correspondiente al espacio muestral (conjunto de todos los sucesos posibles) asociado al experimento aleatorio de lanzar 3 monedas al aire.

Se extraen una a una, y aleatoriamente, las 4 bolas numeradas contenidas en la urna y se anota el número formado con las cuatro cifras, correspondiendo la primera bola extraída a las unidades de millar, la segunda a las centenas y, así, sucesivamente... ¿Cuáles son los sucesos elementales posibles correspondiente a este experimento aleatorio? ¿Sabrías obtener el espacio muestral (E) sabiendo que está formado por 24 sucesos elementales? Cada casillero de 4 cifras móviles permite representar un suceso elemental de E. Puedes desplazar adecuadamente, en horizontal, las cifras de cada casillero para representar el suceso deseado. El botón "VERIFICAR" te permite corregir el proceso. Otra forma muy efectiva de obtener el espacio muestral (E) es utilizando un diagrama en árbol como éste. Pulsando sobre los botones circulares se comprender el significado de cada rama del diagrama.

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Observa que, por lo general, cuando aumenta el número de lanzamientos la frecuencia relativa de un suceso se aproxima en mayor medida al valor que expresa su probabilidad teórica. Podríamos definir la VARIABILIDAD del suceso como la distancia que separa el punto correspondiente al valor experimental de su frecuencia relativa de la recta que representa el valor de su probabilidad teórica. En este caso, se puede apreciar, a simple vista, la mayor VARIABILIDAD de la frecuencia relativa de un suceso para un número menor de bolas lanzadas. A medida que aumenta el número de bolas lanzadas, por lo general, la VARIABILIDAD es menor, las frecuencias relativas convergen (se aproximan en mayor medida) hacia sus valores teóricos

Aplicación que sólo pretende ilustrar de manera interactiva definiciones y propiedades de los sucesos, lo que se conoce como álgebra de sucesos. DEFINICIONES.

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EXPERIMENTO ALEATORIO 1. Extraer aleatoriamente una bola de la urna, registrar su color (verde o amarillo) y devolverla a la urna. EXPERIMENTO ALEATORIO 2. Colocar aleatoriamente las bolas en los casilleros. Registrar el color (amarillo o verde) de la bola situada en la tercera casilla. ¿Serán estos dos experimentos aleatorios equivalentes? ¿ Habrá en cada uno de ellos la misma probabilidad de obtener bola verde? ¿Y de obtener bola amarilla?

1.- COMIENZA ELIGIENDO 3 DE ESTOS 6 NÚMEROS. 2.- EXPERIMENTO ALEATORIO 1. Se extraen simultáneamente 3 bolas (números) al azar y se devuelven a la urna. No importa el orden de las mismas. 3.- EXPERIMENTO ALEATORIO 2. Se eligen (pulsando sobre ellas, o bien automáticamente) 3 cartas al azar (tres números) que luego vuelven a barajarse con el resto. No importa el orden de las mismas.

En ambos experimentos se registran como aciertos las coincidencias entre los números extraídos y los números que seleccionaste arriba. ¿SERÁN EQUIVALENTES ESTOS DOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS? ¡¡ FORMULA TU HIPOTESIS, EXPERIMENTA, DEDUCE...!!

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EXPERIMENTO ALEATORIO Se lanzan 100 dados y se eliminan todos aquellos que muestran un 6. Repetimos esta operación con los dados que quedan tantas veces como sea necesario para eliminarlos todos. ¿CUÁNTOS DADOS QUEDARÁN DESPUÉS DEL PRIMER LANZAMIENTO? ¿Y DESPUÉS DEL SEGUNDO? ¿Y DESPUÉS DEL TERCERO? (Este ejemplo es un modelo discreto y a escala reducida de la desintegración radiactiva, en la que la cantidad de material que se desintegra - o que queda - en cada momento es proporcional a la cantidad de material que había en el momento anterior.)

Vamos a comenzar lanzando simultáneamente 6 monedas al aire un buen número de veces y anotando el número de caras que obtenemos en cada lanzamiento. Si lanzamos 10 monedas simultáneamente, pueden ocurrir =1024 sucesos posibles (el diagrama en árbol sería excesivamente grande y complicado). Uno de ellos, por ejemplo, es el suceso CCEECCEECE en el que se obtendrían 5 caras (C) y 5 escudos (E). Hay otros muchos sucesos posibles en los que también obtendríamos 5 caras y 5 escudos (CCCECEEECE, CCCEECCEEE, CECECECECE, CCCCECEEEE , EEEEECCCCCC,...). Concretamente, (10 sobre 5) sucesos = 252 sucesos tendrían 5 caras y 5 escudos...(esto es algo menos de la cuarta parte del total de sucesos posibles). Podemos esperar, pues, obtener 5 caras en 252 / 1024 aproximadamente igual a 1/4 de los lanzamientos realizados. ¿Qué podemos esperar para el caso de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....10 caras?

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El llamado Aparato de Galton o binostato y su relación con el Triángulo de Tartaglia ( o de Pascal) y los números combinatorios. En un Aparato de Galton se dejan caer bolas por un circuito y lo recorren por la acción de la fuerza de la gravedad. Cuando una bola choca contra un tope, tiene la misma probabilidad de ir hacia la izquierda que hacia la derecha. Aquí tienes simulado un Aparato de Galton de 4 filas de topes ( 5 salidas). ¿Cuál será la probabilidad de que una bola salga por A? ¿Y la probabilidad de que salga por B? ¿Y de que salga por C? Si se cuentan todos los caminos posibles para las bolas, así como los que conducen a A, B, C, D o E. ¿Guarda alguna relación el modelo de la izquierda con el de la derecha que corresponde a las primeras 4 filas (comenzando por la fila 0) del triángulo de Pascal expresado con números combinatorios?

Aplicación que genera tablas de números aleatorios que pueden ser utilizados en diferentes situaciones.

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Diferentes experimentos con puntos de de impacto aleatorios sobre un rectángulo que puede ser dividido en partes iguales…El ordenado puede elegir, aleatoriamente, un número de puntos (el que tú desees) de su interior ( los llamaremos "puntos de impacto") Permite comprobar y valorar si dichos puntos se distribuirán con cierta uniformidad en el interior del rectángulo o, por el contrario, habrá zonas del mismo con alta densidad de puntos y otras con baja densidad de puntos. Ello es una forma de visualizar la forma en que el ordenador genera números - convertidos aquí en puntos - aleatoriamente. Podemos dividir el rectángulo en partes iguales y contabilizar los impactos que recibe cada parte. Parece lógico esperar, al menos teóricamente, que en cada parte impacten: Nº total de puntos de impacto / Nº total de partes. ¿SERÁ ASÍ?

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Dibujar una FIGURA CERRADA, SIN PUNTOS DE CORTE, dentro del cuadrado con el puntero del mouse. ( el ordenador te muestra, al instante el áres de la figura que has trazado ) Introducir el número de impactos aleatorios, sobre el cuadrado de área 100 que se desee… Generar puntos de impacto aleatorio. El ordenador calcula dos cocientes o relaciones: a.- Nº. de puntos de impacto sobre la figura /Nº. total de puntos de impacto sobre el cuadrado. b.- Área de la figura trazada /Área del cuadrado. Se experimenta que ambos cocientes tienen valores muy próximos y se establece una relación que permite calcula el área de cualquier figura cerrada suponiendo que no se conozca…

¿Y si no conociéramos el área de la figura dibujada? ¿Podríamos calcularla con una aproximación aceptable mediante este procedimiento aleatorio? Área de la figura dibujada = ( Nº de impactos sobre la figura x área del cuadrado) : Nº de impactos sobre el cuadrado.

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Se utiliza el procedimiento de generar puntos de impacto aleatorios sobre el cuadrado. Utilizando como dato el radio (R) círculo inscrito en el cuadrado, han obtenido las fórmulas de áreas del cuadrado y del círculo, como la relación o cociente entre mismas, que es 4/ .

del se las así las

¿Será este valor próximo al cociente o relación entre el número de puntos impactados dentro del cuadrado y el número de puntos que impactan dentro del círculo?

¿Se podrá obtener, así un valor aproximado del número pi ( )?

En el menú de Análisis de Problemas se incluyen:

Un

un número distinto hasta que alguno acertara el número anotado en el papel.

sorteo

muy

discutido. Un profesor decidió sortear un premio entre los alumnos y alumnas de su clase. (Vamos a suponer que la clase tiene sólo 10 alumnos/as para simplificar la posterior simulación) Uno de los alumnos propuso tomar 10 papelitos, marcar uno de ellos y, después de doblarlos y mezclarlos, repartir uno a cada alumno... El profesor, que tenía prisa, les propuso un método más rápido: pensaría un número entre el 1 y el 10, lo anotaría en un papel y luego, siguiendo exactamente el orden en que estaban colocados en clase, cada alumno diría

La mayoría de los/as alumnos asintieron pero uno que estaba al final intervino para manifestar que el método de sorteo no le parecía justo, que él tendría muy poca probabilidad de decir su número y de obtener el premio porque seguro que ya lo habría acertado algún compañero situado por delante de él... ¿CREES QUE ES JUSTO EL MÉTODO DE SORTEO ELEGIDO POR EL PROFESOR?

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Se realiza una simulación del sorteo, por dos procedimientos diferentes, un número suficiente de veces. Entonces se podrá observar cómo las frecuencias relativas se estabilizan en torno a un valor próximo a 1/10=0,1. Realiza 100, 200 o más sorteos para comprobar la estabilización de las frecuencias relativas... La imagen muestra un sorteo mediante bolas que son asignadas aleatoriamente a los/as chicos/as siguiendo el orden que estos tienen en clase. La bola azul representa el acierto o premio. Se puede apreciar que, en este caso, el acierto ha recaído en el último chico.

En este caso, la simulación ha asignado el acierto o premio a la chica que ocupa el sexto lugar. Juan García Moreno. 2009/2010

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EL CABALLERO QUE NO QUERÍA PERDER. Uno de los problemas propuestos propuestos por el caballero de Méré a Pascal, y que él intuía como una apuesta ventajosa, puede formularse así: 1.-) ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un 6 en cuatro lanzamientos de un dado? También creía el caballero de Méré que sacar al menos un doble seis al lanzar 24 veces una pareja de dados era igual de ventajoso que

el anterior... 2.-) ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un SEIS DOBLE al lanzar 24 veces una pareja de dados?

Estos dos problemas “históricos” (los primeros en la historia de la probabilidad) se simulan experimentalmente y luego se analizan teóricamente aplicando las propiedades básicas de la probabilidad…

Pantallas para simulación de los problemas anteriores.

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EXPERIMENTO ALEATORIO: Se extraen simultáneamente 2 bolas de una urna que contiene 10 bolas numeradas con los dígitos de nuestro sistema de numeración decimal. Anotamos el mayor número que puede formarse con ambas cifras. SUCESO CONSIDERADO: "Que con las dos cifras obtenidas se pueda formar un número mayor o igual que 50". Puedes realizar varias tandas de 30, 40 ó 50... lanzamientos cada una, por ejemplo; anotar en cada una de ellas el valor de la probabilidad experimental obtenida y hacer la media para así acercarnos mejor al valor de la probabilidad teórica (que se calculará más adelante). (Diferentes pantallas correspondientes a diferentes fases de simulación, análisis detallado de la situación problemática y autoevaluación)

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LOTERÍA I.

CASO_1: Un juego de lotería consiste en marcar dos números de un boleto que contiene 4 números (1, 2, 3 y 4). Por ahora nos vamos a despreocupar tanto del precio de las apuestas como de los premios. Se realiza el sorteo extrayendo dos bolas, sin importar el orden, de una urna que contiene 4 bolas numeradas del 1 al 4. Se consideran boletos con 0, 1 ó 2 aciertos.. Si realizas un buen número de sorteos, puedes comprobar que las frecuencias relativas correspondientes a 0, 1 y 2 aciertos se estabilizan en torno a los valores 0.16, 0.66 y 0.16, respectivamente..

¿Sabrías explicar por qué? (Pantallas de simulación y de análisis) Juan García Moreno. 2009/2010

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LOTERÍA 2. CASO_2: Un juego de lotería consiste en marcar 3 números de un boleto que contiene 9 números (1, 2, 3 4,5,6,7,8 y 9). Por ahora nos vamos a despreocupar tanto del precio de las apuestas como de los premios. Se realiza el sorteo extrayendo tres bolas, sin importar el orden, de una urna que contiene 9 bolas numeradas del 1 al 9. Se consideran boletos con 0, 1, 2 ó 3 aciertos... Si realizas un buen número de sorteos, puedes comprobar que las frecuencias relativas correspondientes a 0, 1, 2 y 3 aciertos se estabilizan en torno a los valores 0.24, 0.54, 0.21 y 0.01 respectivamente.. ¿Sabrías explicar por qué?

QUINIELA. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE ACERTAR UNA QUNIELA? ¿CUÁNTAS QUINIELAS HABRÍA QUE COMPLETAR PARA TENER LA CERTEZA DE OBTENER UN PLENO AL 15? *Para un solo partido ( y marcando un solo pronóstico por partido) habría que rellenar 3 quinielas. * Para 2 partidos habría que completar 3 x 3 =9 quinielas diferentes; para 3 partidos 3 x 3 x 3 = 27 quinielas diferentes, etc... Así, para asegurar acertar los 15 partidos harían falta... (una de las pantallas de simulación de esta aplicación)

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En el menú de Combinatoria se incluyen:

Una urna contiene 6 bolas numeradas con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Se extraen una a una, y sin reposición, cuatro bolas. Se registra el número de cuatro cifras obtenido en cada caso. ¿CUÁNTOS NÚMEROS DE 4 CIFRAS DIFERENTES SE PODRÁN OBTENER POR ESTE PROCEDIMIENTO? El RAZONAMIENTO COMBITATORIO permite adelantar una respuesta a esta y otras situaciones similares. No sabemos con certeza cúal va a ser la primera bola, o cifra, extraída. Es evidente que el número de 4 cifras podrá comenzar por 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. El ORDEN de colocación de las cifras es primordial...No es lo mismo 1356 que 1563... Parece lógico pensar que habrá la misma cantidad de números que comiencen por 1 que los que comiencen por 2, 3, 4, 5 ó 6...

VARIACIONES CON REPETICIÓN

Este candado se abre formando un número de tres cifras secreto. Cada una de ellas se puede seleccionar de entre las diez cifras de nuestro sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9. Como puedes comprobar, el dispositivo permite repetir una cifra incluso tres veces y sí importa el orden: la cifra de las centenas se selecciona girando la rueda más pequeña y la de las unidades girando la rueda exterior.

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LABORATORIA DE AZAR, PROBABILIDAD Y COMBINATORIA GUÍA DEL ALUMNO REGLA DE MULTIPLICAR. El código secreto para abrir este candado consta de un número (del 0 al 7) seguido de una letra mayúscula (de la A a la L) y de un signo (*, ?, =, $, % o &). Hay 8 posibles elecciones para el número. Para cada una de ellas hay 12 posibilidades de elegir letra mayúscula. Por último, para cada número y letra elegidos hay 6 posibilidades de elegir un signo... Así, si ya tenemos elegidos 4 y B, por ejemplo, para ese número y esa letra concretamente tenemos los seis siguientes códigos posibles: 4B*, 4B?, 4B=, 4B$, 4B% y 4B&.

El Triángulo de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este último matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números combinatorios enteros positivos, infinito y simétrico que presenta interesantísimas regularidades numéricas... y está estrechamente relacionado con unos números muy importantes: los números combinatorios.

COMBINANDO FRUTAS. I.-) EN UN RESTAURANTE ESTÁN BUSCANDO LA MACEDONIA DE FRUTAS QUE MÁS GUSTE A LOS NIÑOS. PARA ELLO, EXPERIMENTAN CON COMBINACIONES DE DOS FRUTAS DIFERENTES Y DISPONEN DE SEIS TIPOS DE FRUTA. ¿SABRÍAS TÚ ENCONTRAR LAS 15 COMBINACIONES DIFERENTES DE 6 FRUTAS TOMADAS DE 2 EN 2?

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Calculadora y editora de combinaciones con o sin repetición.

PERMUTANDO FRUTAS En las diferentes permutaciones intervienen las 4 frutas (n = 4 ). En las permutaciones el orden es esencial. Dos permutaciones diferentes deben tener, al menos, un par de elementos con las posiciones intercambiadas. Si el número de permutaciones no es excesivamente grande, la utilización de un diagrama en árbol facilita su obtención y presentación ordenada.

FORMA LAS 24 PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE 4 FRUTAS DIFERENTES. Cada casillero de 4 celdas permite mostrar cuatro frutas diferentes permutadas. Desplaza y suelta cada fruta en la celda correspondiente de cada casillero para formar la permutación deseada. Como puedes comprobar, en las permutaciones lo esencial es el orden de los elementos (las frutas en este caso)

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Calculadora y editora de permutaciones (con o sin repetición) Tabla_resumen de fórmulas para la Combinatoria.

Coloca adecuadamente 4 tramos verticales (V) y 2 tramos horizontales (H) para construir un camino de 6 tramos que una A con B sobre la cuadrícula. Esto es lo que se llama un CAMINO LÓGICO desde A hasta B. ¿Cuantos caminos lógicos diferentes se pueden construir? Cada camino construido es una permutación de 6 elementos (6 tramos) con repetición (hay 4 tramos verticales indiferenciables y 2 tramos horizontales indiferenciables entre sí). Hay, por tanto… Juan García Moreno. 2009/2010

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1.- Pon en marcha el cochecito rojo de la animación. 2.- Observa cómo recorre siempre CAMINOS LÓGICOS para ir desde el punto 1 hasta el punto 12. 3.- Cada camino recorrido está formado exactamente por 5 tramos: 3 tramos verticales y 2 tramos horizontales. 4.- Cada camino une los puntos 1 y 12 pasando exactamente por otros cuatro puntos, de los mostrados en la animación. 5.- Se cuenta y registra el número de veces que pasa el cochecito por cada uno de los puntos señalados. -------------------------------------------¿CUÁNTOS CAMINOS POSIBLES HAY? Si dejamos que el cochecito realice un buen número de caminos... ¿PASARÁ APROXIMADAMENTE EL MISMO NÚMERO DE VECES POR CADA UNO DE LOS PUNTOS? ¿SON TODOS LOS CAMINOS EQUIPROBABLES?

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En el menú de Equipamiento experimental se incluyen:

Baraja española 4 x 10. Muestra diez cartas del palo elegido (oros, copas, espadas o bastos). EXTRAER N CARTAS Y BARAJAR (1 N 10)

Baraja española de 40 naipes o cartas.

Obtención de la probabilidad empírica o experimental de múltiples sucesos compuestos asociados al experimento aleatorio de lanzar dos dados.

Juan García Moreno. 2009/2010

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LANZAMIENTO DE 1 N DADOS. (Probabilidades empíricas sucesos complementarios contrarios)

12 de o

La aplicación registra las frecuencias absolutas y relativas de los sucesos y , contrarios entre sí, tales que.. :"Obtener AL MENOS n veces 6 en un lanzamiento de m dados, con 1 n m". :"Obtener MENOS de n veces 6 en un lanzamiento de m dados, con 1 n m".

Aquí puedes realizar una simulación del experimento aleatorio consistente en lanzar al aire una, dos, tres, cuatro, cinco o seis monedas e ir registrando los sucesos obtenidos.

Ruleta múltiple. Juan García Moreno. 2009/2010

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LABORATORIA DE AZAR, PROBABILIDAD Y COMBINATORIA GUÍA DEL ALUMNO En este experimento aleatorio se tiene un número determinado de bolas del mismo tamaño y colores diferentes atrapadas en el interior de un recinto poligonal regular. Se puede configurar fácilmente el número de bolas de cada color así como la forma del recinto. Las bolas, a modo de partículas materiales, chocan entre sí y con las paredes del recinto ocupando posiciones imprevisibles dentro del mismo. Se registran únicamente los contactos entre bolas. Cuando dos bolas chocan se anota un contacto para cada una de ellas. Experimenta con diferentes configuraciones de bolas y recintos, analiza los datos relativos a las frecuencias de impactos (absolutas y relativas)... ¿QUÉ CONCLUSIONES SE PUEDEN OBTENER?

EXTRACCIONES CON REPOSICIÓN DE 2 BOLAS DE UNA URNA QUE CONTIENE 10 BOLAS NUMERADAS CON LOS DÍGITOS DE NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. OBTENCIÓN DE LAS PROBABILIDADES EMPÍRICAS DE MÚLTIPLES SUCESOS COMPUESTOS.

EXTRACCIONES CON REPOSICIÓN DE N BOLAS. Se puede configurar el número de bolas, las que se desea de cada color, colocarles los números que deseemos, elegir el número de bolas que queremos extraer, simultáneamente, en cada extracción; elegir realizar extracciones una a una o indefinidamente y de manera automática…

Juan García Moreno. 2009/2010

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EXTRACCIONES SIN REPOSICIÓN DE N BOLAS. Lo mismo que la anterior pero ahora las bolas extraídas no vuelven a la urna sino que suben por el tubo que las aspira y desaparecen de la pantalla.

SIMULADOR DE LOTERÍAS.

MULTIQUINIELA. Para cada partido se puede elegir un pronóstico simple (S), doble (D) o triple (T). De modo general, se puede asignar porcentajes de probabilidad a los sucesos 1, X y 2.

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Todas la aplicaciones tienen instrucciones orales. Estos son los iconos correspondientes a los botones que te permiten escuchar o detener la escucha de las instrucciones así como regular el volumen.

Esta obra se ha hecho accesible a personas con minusvalía visual que acceden a Internet mediante lectores de pantalla. La presión repetida de la tecla "TABULADOR" recorre de manera ordenada cada uno de los elementos de cada una de las aplicaciones y pantallas convirtiendo los textos descriptivos, ocultos al usuario, en voz y describiendo detalladamente la actividad propuesta, el orden de actuación sobre los elementos y el papel que juega cada elemento en cada una de las aplicaciones particulares.

Con mis mejores deseos. Saludos cordiales. El autor: Juan García Moreno. CEIP. Blas Infante. Lebrija (Sevilla). Julio de 2010.

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