TEMA 4: VECTORES EN EL ESPACIO

2° BACH(CN)

TEMA 4: VECTORES EN EL ESPACIO.

1.- OPERACIONES CON VECTORES.

Definiciones: 1) Vector f ii o : es un segmento orientado caracterizado por:

>

Dirección o recta que lo contiene.

> Sentido u orientación de la recta. >

Módulo o longitud del segmento.

2) Coordenadas de un vector fiio : Las coordenadas de un vector fijo de origen A(ax, a2/ a3) y extremo B(blf b2,b3), se obtienen de restar a las coordenadas del extremo las

AB = (b¡ - a ¡ , b 2 - a 2,b3 - a 3)

del origen:

3) Módulo de un vector fiio : es la distancia que hay desde el origen A hasta el extremo B. Se calcula utilizando el teorema de Pitágoras extendido al espacio tridimensional:

4) Vectores equipolentes o iguales: Son los vectores que tienen la misma dirección, el mismo

módulo

y

el

mismo

sentido.

Por

lo

tanto

también

tienen

las

mismas

coordenadas.

5) Vector libre: Todos los vectores equipolentes definen un vector libre, que se denota por ü = {u\,u2, ut,). Este vector puede venir representado por cualquiera de los vectores equipolentes que lo definen. En particular uno de los vectores equipolentes tendrá origen en el origen

de coordenadas.

Nótese que todos los vectores que tienen

coordenadas proporcionales son equipolentes y por tanto representan al mismo vector libre.

61 Módulo de un vector libre:

\u\= ^ju ¿ + Ul + U3

7) Vector unitario: Es aquél cuyo módulo es la unidad.

DAVID RIVIER SANZ

4-1

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SUMA DE VECTORES LIBRES La suma de dos vectores libres se hace sumando coordenada a coordenada:

ü + v = (u¡ + v ¡ , u 2 + v 2, u 3 + v3) Geométricamente la suma viene representada por la regla del paralelogramo:

Propiedades: 1) Asociativa:

(ü + v )+ w = ü + (v + w)

2) Conmutativa:

ü +v = v +ü

3) Vector nulo:

0 + v =v + 0 = v

4) Vector opuesto:

v + (-v ) = 0

PRODUCTO POR UM ESCALAR La multiplicación de un vector por un escalar se hace multiplicando cada coordenada

t-ü = (t-u\,t-u2 ,t-u3)

por el escalar:

Geométricamente el producto por un escalar cambia el módulo o el sentido de un vector, pero no la dirección:

Propiedades: 1) Asociativa:

a - ( b - v ) = (a-b)-v

2) Distributiva I:

(a + b)-v = a - v + b - v

3) Distributiva II:

a - ( v + w) = a - v + a - w

4) Producto por 1:

1 •v = v

DAVID RIVIER SANZ

4-2

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2.- DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES. BASES

Combinación lineal de vectores: Dado varios vectores

ü,v,w,...,z

y dados los escalares

a ,b ,c ,...,l , la expresión aü + bv + cw + ... + lz se llama combinación lineal de los vectores.

Vectores dependientes: Varios

vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se

puede poner como combinación lineal de los demás. En la práctica: -

Dos vectores son linealmente dependientes si el rango de la matriz formada por los vectores es 1. Geométricamente significa que ambos vectores definen la misma dirección.

-

Tres vectores son linealmente dependientes si el rango de la matriz formada por los tres vectores es menor que 3. En esta caso tenemos dos opciones: •

Si el rango es 1 es porque los tres vectores definen la misma dirección

•

Si el rango es 2 es porque uno de los vectores pertenece al plano generado por los otros dos vectores.

Vectores

independientes: Varios

vectores

son

linealmente

independientes

si

no

son

dependientes. En la práctica: -

Dos vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y por tanto pueden generar un plano.

-

Tres vectores linealmente independientes generan tres planos (cogiéndolos dos a dos) y por tanto entre los tres generan el espacio.

Base de vectores: Tres vectores linealmente independientes cualesquiera forman una base del espacio 5K3. Esto quiere decir que, utilizando todas las combinaciones lineales posibles, son capaces de generar cualquier vector del espacio. Y a su vez, cualquier vector del espacio se puede poner como una combinación lineal de los vectores de ia base.

Base ortogonal: Es aquella cuyos vectores son perpendiculares dos a dos.

Base ortonorm al: Es una base ortogonal cuyos vectores son unitarios.

Base canónica: Es una base B =

cuyos vectores con ortonormales. Es la formada por

los vectores canónicos:

B = {í = {l,0,0),j = (0,1,Ó), k = {0,0,1)} Sistema de referencia cartesiano: Está formado por un punto fijo O, llamado origen del sistema y por una base ortonormal.

Sistema de referencia ortonorm al: Es un sistema de referencia cuyo origen de coordenadas es el punto 0(0,0,0) y tiene una base ortonormal. DAVID RIVIER SANZ

4-3

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3.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

Definición: El producto escalar de dos vectores se define como: A

ü ■v = \ü\■|v| cos(ü, v ) (*) Propiedades:

1. ü ■ü = |w|2 > 0

ü-v-v-ü

2. Propiedad conmutativa:

ü-(v + w) = ü -v + ü-w

3. Propiedad distributiva respecto de la suma de vectores: 4. (t -u)-v = ü -(t-v) = t -{u -v) 5. ü - ü = 0 ü = 0 6. El producto escalar es un escalar, no un vector

7. No existe el concepto de producto escalar de tres vectores puesto que el producto de dos de ellos ya es un escalar y al multiplicarlo por el tercero sería la operación de un producto por un escalar.

Expresión analítica del producto escalar: El producto escalar de dos vectores también puede calcularse de forma analítica, obteniéndose el mismo resultado:

Si ü = ( u¡,u 2,u3) y v = ( v 1,v 2,v3) entonces ü •v = u¡ •

+u 2 ■v2 +u 3 -v3

APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR: ,

1) Angulo entre dos vectores:

A

íi 'V

cos(ü, v ) = ,

r

(consecuencia de la definición (*))

r

2) El módulo de un vector se puede calcular como la raíz del producto escalar por sí mismo:

\ü\ — -\Ju 'U —

+ u ~2 + Uj

3) Proyección de un vector ü = (u ¡,u 2,u ¡ ) sobre otro v = (v¡,v2,v3) :

Segmento proyección =

Vector proyección =

ú •v

i?•V _

u, -v¡ + u 2 ■v2 + u3 ■v3

u, -v, + U2 -V, + u, ■V, (

- v = ------ .

rl

..

\

= ----- (v,, v2, v3)

V v; + v2. + vi

4) Vectores perpendiculares u ortogonales:

La condición necesaria y suficiente para que

dos vectores sean perpendiculares es que su producto escalar sea cero:

ü ■v = 0 u1 -v! + u 2 -v2 + u 3 -v3

DAVID RIVIER SANZ

siempre

que

ü ^0

y

v^0

4-4

TE M A 4; VECTORES EN EL ESPACIO

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4.- PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Definición: Dados dos vectores libres ü y v definimos su producto vectorial como: i) ü a v = 0 cuando alguno de los vectores es el vector nulo o son proporcionales. ii) En otro caso, el producto vectorial es el vector ü a v cuyas características son: A

■Módulo: \ü a v| = |«| -|v| -sen(ü, v ) . ■Dirección: la de la recta vectores ü y v . >Sentido: El obtenido de sacacorchos) de ü a v .

perpendicular simultáneamente a los la

regla

de

la

mano

derecha

(o

Interpretación geom étrica: El sentido es el obtenido aplicando la regla de la mano derecha odel sacacorchos como se muestra a acontinuación.

Propiedades: 1.

No es conmutativo, ya que el sentido cambia

2.

Es distributivo respecto de la suma de vectores

3.

(í -ü ) a v = ü - ( t v ) - t ( ü a v )

Expresión analítica del producto vectorial: El producto vectorial de dos vectores también puede calcularse de forma analítica, obteniéndose el mismo resultado. i

( , U A V = u¡

j

k

U2

u3

v2

v3

/

u2

u3

V V2

Vi

—

u¡

u3 u¡

V,

V¡

)

,

u2

\

V2 /

Donde i, j, k se escribe de manera simbólica ya que se refiere a tres vectores de una base canónica.

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4-5

TEMA 4: VECTORES EN EL ESPACIO

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APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL: Entre las aplicaciones del producto vectorial encontramos el cálculo del área de un paralelogramo, que ya hemos visto en la interpretación geométrica y por tanto el cálculo del área de un triángulo. Además recordemos que multiplicando vectorialmente obtenemos un tercer vector perpendicular a ambos.

5.- PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Definición: Se define el producto mixto de tres vectores libres como:

[w, v , w ] = ü • (v a w )

Interpretación geom étrica: El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas a los tres vectores.

Propiedades: 1.

No se altera si se permutan circularmente sus factores: [w, v, w]= [v, w, ü ] = \w, ü, v]

2.

Cambia de signo si se transponen una vez de orden

3.

Es distributivo respecto a la suma de vectores: [ü + ü',v, w]= [ü, v, vv]+[w' v,w]

4.

El producto mixto de tres vectores es nulo si y sólo si los tres vectores son linealmente dependientes.

Expresión analítica del producto m ixto: El producto mixto de tres vectores también puede calcularse de forma analítica, obteniéndose el mismo resultado:

[ü, v , w ] = ü ■(v a w ) -

u¡

u2

u3

V;

v2 w2

w3

W,

APLICACIONES DEL PRODUCTO MIXTO: Entre las aplicaciones del producto mixto encontramos el cálculo del volumen de un paralelepípedo, que ya hemos visto en la interpretación geométrica y por tanto el cálculo del volumen de un tetraedro, que será 1/6 del volumen del paralelepípedo.

DAVID RIVIER SANZ

4-6

•£_MA_vj : sj t c T o f c t S

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# -*■/“y s* b

— c j t

!h e*>

CÍO%

9 JHalla el vector proyección del vector u(3, 1, 2) ¿ ' sobre el vector v (l, -1, 2). Dependencia lineal Dados los vectores w (l, -1 , 0):

10 ¿Son 7(1, 2, 3) y b(2, -2 , 1) ortogonales? Si

u(3, 3, 2),

a) Halla los vectores vl- 2 v + 3w, —2u + v —4w. b) Calcula a j b tales que u = a y + bw. A

no lo son, halla el ángulo que forman.

v(5, -2 , 1),

Comprueba que no es posible expresar el vec­ tor x (3 , —1, 0) como combinación lineal de u (l, 2, —1) y v(2, —.3, 5). ¿Son linealmente in­ dependientes x, u y v?

11

Calcula m para que^ el vector atl, 3, ortogonal al vector b(l, -2, 3).

sea

12 Comprueba que el vector u (l/2, 1/2, 0) no es unitario y da las coordenadas de un vector uni­ tario de la misma dirección que u. SProdocf© vectorial

Comprueba que cualquiera de los vectores a*(l, 2, 3), t>"(2, 1, 3), ?(1, 0, 1) puede expre­ sarse como C.L. de los otros dos.

i a Dados u = 2 1 — i + k y v = - 1 + 31 + 2k, com_ — > — > — > —> prueba que los vectores u x v y v x u son opuestos, y halla su módulo.

s4 Determina m y n para que los siguientes con­ juntos de vectores sean linealmente dependien­ tes:

14 Halla el área del paralelogramo que forman los

a) u (m, -3 , 2), v(2, 3, ni), w (4, 6, - 4 )

vectores ? ( 7 , -1 , 2) y b (1, 4, -2). 15 ! Halla un vector perpendicular a u (2, 3, 1) y a v (—1, 3, 0) y que sea unitario.

b) u(3, 2, 5), v(2, 4, 7), w (l, -1, re) SS ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores

íó jHalla un vector ortogonal a u (l, —1, 0) ¡v(2, 0, 1) cuyo módulo sea V24.

y

son una base?: Producto mixto

.4 = 1(1, 2, 1), (1, 0, 1), (2, 2, 2)} £ = i(l, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0,1)! O

17 Halla el producto mixto de los tres vectores que aparecen en cada caso:

{(-3, 2, 1), (1, 2, -1), (1, 0, 1)}

v,

a) u (l, —3, 2), v (l, 0 ,-1 ), w (2 ,3 , 0) ¿Para qué valores de a el conjunto de vectores S = j(l, 1, 1), (a, 1, 1), (1, a, 0)! es una base?

b) u(3, 2, 1), v (l, -2 , 0), w (—4, 1, 1) c ) u ( l , 2 ,-1 ), vQ, 0 ,2 ), w (-l, 4, -4 )

Producto escotar

Calcula, en cada apartado, el volumen del para­ lelepípedo determinado por los tres vectores.

7 ¡En una base ortonormal tenemos ¡a(l, 2, 2) y jfc> (—4, 5, -3)- Calcula: a) a*•T)

sil

tOla*! y |t)|

c) (a, b)

i d) El vector proyección de b sobre a*. 8 |Dados los vectores: — > — > c _$ _^ j a = i+m j+k y

19 Calcula el volumen del tetraedro determinado — } — ^ ^ ^ b = - 2 i + 4j + mk

ihalla m para que los vectores a y E sean: ! a) Paralelos, ib) Ortogonales.

Calcula el volumen del paralelepípedo determi­ nado por u (l, 2, 3), v (—2, 1 ,0 ) y w = u x v. Justifica por qué el resultado es j u x vp.

por los vectores siguientes: a ( 3 , - l , l ) , b (l, 7, 2), c(2, 1 ,- 4 )

s2Q Calcula el valor de m para que los vectores u(2, -3 , 1), v (l, m, 3) y w (-4 , 5, -1 ) sean coplanarios.

Dados los vectores u (ja, 1 + a, 2á), v (a , 1, a) y w (l, a, 1), se pide: s i l (Prueba que los vectores (1, a, b), (0, 1, c), j (0, 0, 1) son linealmente independientes cualesI quiera que sean a, b y c.

a) Halla los valores de a para los que los vecto­ res u, v y w son linealmente dependientes. b) Estudia si el vector ?(3, 3, 0) depende li­ nealmente de u, v y w para el caso a = 2.

2 2 IDados los vectores ?(1 , 2, -1 ) y b (l, 3, 0), comprueba que el vector a x b es perpendicuj lar a z + b y a a - b.

c) Justifica razonadamente si para a - 0 cumple la igualdad u •(v x w) = 0.

a) Comprueba que el paralelogramo deter­ minado por los vectores u(3, -2 , 1) y v (4, 3, - 6 ) es un rectángulo.

se

a) Halla el número de vectores linealmente in­ dependientes que hay en el conjunto 5 = {(1, 1, 1), (0, 2, 1), (2, 0, -3), (-1, 1, 2)].

j b) Halla su área multiplicando la base por la alj tura y comprueba que obtienes el mismo re­ sultado si hallas l u x vi.

b) Un vector no nulo tiene sus tres componentes iguales. ¿Puede escribirse como combinación lineal de los dos primeros vectores de 5? c) Determina un vector que, teniendo sus dos primeras componentes iguales a 1, se pueda poner como combinación lineal de los vecto­ res segundo y tercero de S.

2 4 I Dado el vector v (-2 , 2, -4 ), halla las coorde­ nadas de los siguientes vectores: a) Unitario y perpendicular a v. b) Paralelos a v y de módulo 6.

Halla un vector u de la misma dirección que v (1, -2 , 3) y tal que determine con el vector w (—2, 4, —1) un paralelogramo de área 25 u2.

Halla un vector ortogonal a u(2, 3, -1 ) y a v (l, 4, 2) cuya tercera componente sea 1. S2© Dados los vectores Uj (2, 0, 0), u,(0, 1, -3), u3 = au j + b u2, ¿qué relación deben cumplir a y & para que u3 sea ortogonal al vector v (l, 1, 1)?

SÁf Calcula las coordenadas de un vector u que j sea ortogonal a v (1, 2, 3) y w (1, - 1 ,1 ) y tal |que [u, v, w] = 19. s28

a) Obtén X para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes: ^ = (3, 2, 5), u2 - (2, 4, 7), u3 = (1, -3 , X) b) Para X = 3, expresa el vector v = (7, 11, 14) como combinación lineal de Uj, u, y u3_

sSv j a) Determina los valores de a para los que re-

; I

sultán linealmente dependientes los vectores (-2, a, a), ( a , -2 , a) y (a, a, -2).

534 Halla un vector v coplanario con a* (2, —1, 1) y b (1, 0, 3) y ortogonal a "c (2, 3, 0). s-3S

Sean a y b tales que |í| = 4 y |b| = 2, con (a, t>) = 60°. Calcula |a*+b| y |"a-b|.

s-J6 De dos vectores u y v sabemos que son orto­ gonales y que |u j = 6 y ]v*! = 10. Halla |u + v| y |i?-v|. Calcula el ángulo que forman a^v b sabien­ do que |?| = 3, |b| = 5 y |?+b| = 7. De los vectores u* y v sabemos que cumplen —> — ¥ —¥ —> —> —> —y u + v = a, 2u - 3v = b, siendo a (2, -1, 0) y b (1, 3, -1). Halla el ángulo formado por u y v. ' Los vectores I?, v y w cumplen las siguientes condiciones:

i b) Obtén en esos casos una relación de depeni dencia entre los vectores.

|u] = 5, |v] = 4, |w| = 7, u + v + w==(? Calcula u - v + u - w + v - w .

s3@ : Dados los vectores u (l, —1, 2) y v(3, 1, —1),

|halla el conjunto de vectores que, siendo per¡ pendiculares a u, sean coplanarios con u y v.

< «"

Desarrolla el siguiente producto escalar.

(u + V+WJ •(U+ v +w)