Análisis de Circuitos Eléctricos – 2010/2011

Autor: Javier Galbally Herrero

2º Ingeniería de Telecomunicación - Escuela Politécnica Superior Universidad Autónoma de Madrid

ACE – Análisis de Circuitos Eléctricos Práctica 1 (1ª Parte) Introducción a la Transformada de Laplace

1er. Apellido

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NOTAS: •

Como resultado de la práctica deberá entregar este cuadernillo debidamente completado al terminar la clase

•

Debe entregarse un cuadernillo por pareja

RECUERDE QUE EN CUALQUIER MOMENTO PUEDE OBTENER AYUDA DE UN COMANDO DE MATLAB UTILIZANDO LA INSTRUCCIÓN help SEGUIDA DEL NOMBRE DEL COMANDO

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1. Transformada de Laplace. Propiedades En este apartado aprenderá a calcular mediante Matlab la transformada de Laplace de una función. También comprobará gráficamente alguna de sus propiedades. Ejercicio 1: transformada de Laplace Este ejercicio le muestra la transformada de Laplace de una función, que puede ser calculada utilizando Matlab. El comando syms de Matlab nos permite definir variables simbólicamente, de manera que pueden utilizarse en expresiones matemáticas. Por ejemplo: syms x a f = x^2+a Por otra parte, el comando laplace nos permite calcular la transformada de Laplace de expresiones definidas de forma simbólica, devolviendo otra expresión simbólica en la variable s. Por ejemplo: syms a t L = laplace(exp(a*t)) Estos comandos nos devuelven en la variable L la expresión simbólica de la transformada de Laplace de la función exp ( at )u ( t ) , que resulta ser la expresión ya conocida 1/(s-a). NOTA: observe que el comando laplace calcula la transformada unilateral. Utilizando los comandos de Matlab syms y laplace, compruebe las siguientes transformadas de Laplace básicas. Función

x= ( t ) exp ( −at )u ( t ) x ( t ) = sen ( 2t )u ( t )

Transformada de Laplace

X (s) = X (s) =

Calcule ahora la transformada de Laplace de las funciones siguientes. Función

x ( t ) = t 5 u ( t ) = x ( t ) t 6 exp ( −at )u ( t )

Transformada de Laplace

X (s) = X (s) =

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Ejercicio 2: desplazamiento de la transformada de Laplace Este ejercicio muestra gráficamente la propiedad de desplazamiento de la transformada de Laplace. Utilizando el comando de Matlab laplace calcule la transformada de Laplace de las funciones siguientes. Función

x1 ( t ) = sen ( 2t )u ( t ) x2= ( t ) exp ( −5t )sen(2t )u ( t )

Transformada de Laplace

X1 ( s ) = X2 (s) =

Utilizando el comando eval de Matlab es posible particularizar una expresión matemática simbólica. Por ejemplo: syms t L = laplace(exp(t)) %Definimos el punto en el que queremos particularizar s = 5 + j %Calculamos el valor en dicho punto eval(L)

Estos comandos nos devuelven el valor de la transformada de Laplace de la función exp ( t )u ( t ) particularizada en el punto s= 5 + j . Observe que el comando eval utiliza el valor que la variable s tenga en el momento de su llamada. A continuación vamos a representar el módulo de una transformada de Laplace, para lo cual primero es necesario particularizarla en la región de valores de s donde deseamos representarla. Por ejemplo: •

Primero definimos una matriz que contenga los valores de s en los que se quiere evaluar H(s). Recuerde que los valores complejos de s pueden representarse como σ + jω . Por lo tanto, hay que crear dos vectores sigma y omega que contengan los valores de σ y ω que se deseen. Una vez definidos los vectores, la matriz con los valores de s puede generarse utilizando el comando meshgrid. %Definición de la región de valores sigma=-10:0.5:10; % para –10 ≤ σ ≤ 10 omega=-10:0.5:10; % para –10 ≤ ω ≤ 10 [sigmagrid,omegagrid]=meshgrid(sigma,omega); sgrid=sigmagrid + sqrt(-1)*omegagrid;

Obsérvese que en este ejemplo, la matriz sgrid contiene un muestreo de la región del plano s definida por: –10 ≤ σ ≤ 10 y –10 ≤ ω ≤ 10.

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Después, particularizamos la transformada de Laplace en los valores de s que hemos definido. %Particularización de L en la región de valores Leval=zeros(size(sgrid,1),size(sgrid,2)) for i=1:size(sgrid,1) for j=1:size(sgrid,2) %En cada iteración definimos un punto concreto %de s y llamamos a la función eval s=sgrid(i,j); Leval(i,j)=eval(L); end end

Estos comandos nos devuelven en la variable Leval el valor de la transformada de Laplace L particularizada en la región del plano −10 ≤ σ ≤ 10 , −10 ≤ ω ≤ 10 . NOTA: para evitar problemas entre cualquier variable de Matlab llamada j y la unidad imaginaria j= −1 , se recomienda definir esta última como −1 , tal como se hace en los comandos anteriores, utilizando sqrt. Con el comando de Matlab mesh representamos la transformada de Laplace (observe que se representa su valor absoluto, obtenido con el comando abs): figure mesh(sigma,omega,abs(Leval)) xlabel('sigma') ylabel('omega') rotate3d

Dibuje el módulo de las transformadas de Laplace X 1 ( s ) y X 2 ( s ) anteriores en la región del plano −10 ≤ σ ≤ 10 , −10 ≤ ω ≤ 10 . Por si le resulta de utilidad, es posible rotar las gráficas de la ventana de ejecución con el ratón manteniendo pulsado el botón izquierdo sobre las mismas (gracias a la llamada al comando rotate3d). NOTAS: •

Indique claramente los puntos más relevantes de las gráficas (máximos, mínimos, etc.)

•

Es posible que durante la ejecución de los comandos anteriores obtenga un mensaje del tipo “Warning: Divide by zero”. Esto se debe a que intenta particularizarse la transformada de Laplace en algún polo. Puede observarse este efecto en que la gráfica está “cortada” en los máximos.

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Gráfica de | X 1 ( s ) |

Gráfica de | X 2 ( s ) |

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Compare los resultados obtenidos en la gráfica de | X 1 ( s ) | y | X 2 ( s ) | . ¿Qué relación existe entre la posición de los máximos de | X 1 ( s ) | y | X 2 ( s ) | ? Justifique estos resultados.

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2. Diagrama de polos y ceros Las transformadas de Laplace racionales son aquellas que pueden expresarse como cociente de polinomios en s, de la forma siguiente: a n s n + a n −1s n −1 +  + a 1s + a o P(s) =K H(s) = Q(s) b m s m + b m −1s m −1 +  + b1s + b o

(1)

Dichas funciones están completamente definidas (excepto por un factor de escala, K) por las raíces de P(s) y Q(s), que se denominan, ceros y polos de H(s), respectivamente.

Ejercicio 3: diagrama de polos y ceros Este ejercicio le muestra el diagrama de polos y ceros de una transformada de Laplace racional, que puede ser calculado utilizando Matlab. La función zplane de Matlab nos permite calcular el diagrama de polos y ceros dados los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador: a=[ an

an −1  a1 a0 ]; bm −1  b1 b0 ];

b=[ bm figure zplane(a, b)

NOTAS: •

zplane pinta los polos con un aspa × y los ceros con un círculo 

•

Los coeficientes del polinomio iguales a cero también se incluyen en la llamada a zplane. Por ejemplo, los coeficientes del polinomio 2 s 3 + 1 se indican como [2 0 0 1].

•

Las matrices de coeficientes a y b deben tener el mismo tamaño (la matriz de menor tamaño debe rellenarse con ceros a la izquierda). Por ejemplo, los coeficientes de 1/(s-1) son a=[0 1] y b=[1 -1]

Calcule el diagrama de polos y ceros de las funciones siguientes. Observe que se trata de las mismas funciones del ejercicio 2.

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x1 ( t ) = sen ( 2t ) u ( t ) Diagrama de polos y ceros de X 1 ( s ) (calcule el valor exacto de cada cero y polo e indíquelo en la gráfica):

x2= ( t ) exp ( −5t )  sen ( 2t ) u ( t ) Diagrama de polos y ceros de X 2 ( s ) (calcule el valor exacto de cada cero y polo e indíquelo en la gráfica):

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Compare los diagramas de polos y ceros con las gráficas de | X 1 ( s ) | y | X 2 ( s ) | obtenidas en el ejercicio 3. Justifique los resultados.

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Ejercicio 4: diagrama de polos y ceros Repita el ejercicio anterior para las funciones siguientes. Diagrama de polos y ceros de X 1 ( s ) (calcule el valor exacto de cada cero y polo e indíquelo en la gráfica):

s2 + s −1 X1 ( s ) = 2 s − 3s − 1

Diagrama de polos y ceros de X 2 ( s ) (calcule el valor exacto de cada cero y polo e indíquelo en la gráfica):

X2 (s) =

s 2 + 3s 2s 2 − 3

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3. Relación de la transformada de Laplace y la transformada de Fourier En este apartado, se analizará de forma gráfica la relación entre la transformada de Laplace y la transformada de Fourier en tiempo continuo. A partir de esta relación, se puede adquirir una idea intuitiva de cómo las localizaciones de los polos y los ceros de la función de transferencia de un sistema, H(s), afectan a la respuesta en frecuencia de dicho sistema, H( jω ). Como introducción previa a este apartado, a continuación describiremos dos procedimientos para visualizar con Matlab la respuesta en frecuencia (transformada de Fourier) y la función de transferencia (transformada de Laplace) de un sistema de tiempo continuo definido a partir de los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador de la ecuación 1.

3.1. Visualización de la respuesta en frecuencia de un sistema Conocidos los coeficientes ak y bk de la transformada de Laplace de una función racional, H(s), la correspondiente transformada de Fourier, H( jω ), puede calcularse y visualizarse utilizando el comando de Matlab freqs. Por ejemplo: omega = -10:0.5:10; % para −10 ≤ ω ≤ 10 a=[ an an −1  a1 a0 ]; b=[ bn bn −1  b1 b0 ]; Hw = freqs(a, b, omega); figure plot(omega, abs(Hw))

Con estos comandos se calcula y visualiza el módulo de la respuesta en frecuencia del sistema definido por la ecuación 1, en el rango de frecuencias −10 ≤ ω ≤ 10 .

3.2. Visualización de la transformada de Laplace de un sistema El comando freqs sólo calcula H(s) en el eje jω . Por ello, si quiere visualizarse la transformada de Laplace en cualquier otra región del plano s, es necesario calcular explícitamente H(s) para los valores de dicha región (esto es lo que se ha hecho en el ejercicio 2). En este caso, usaremos un método distinto, a partir de los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador de la ecuación 1. El procedimiento es el siguiente: •

Primero definimos una matriz que contenga los valores de s en los que se quiere evaluar H(s), al igual que hemos hecho en el ejercicio 2: sigma=-10:0.5:10; % para –10 ≤ σ ≤ 10 omega=-10:0.5:10; % para –10 ≤ ω ≤ 10 [sigmagrid, omegagrid] = meshgrid(sigma, omega); sgrid = sigmagrid +j*omegagrid;

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En segundo lugar, hay que evaluar H(s) en cada punto de sgrid utilizando la función en Matlab polyval: Hs = polyval(a, sgrid)./polyval(b, sgrid);

En este ejemplo, a y b son los coeficientes de la función de transferencia racional definida en la ecuación 1. •

En tercer lugar, la superficie definida por el módulo de H(s) puede dibujarse utilizando la función de Matlab mesh, tal como hemos hecho en el ejercicio 2: mesh(sigma, omega, abs(Hs));

Puede utilizarse las funciones view o rotate3d para rotar la superficie y verla desde distintos puntos de vista.

Calcule el diagrama de polos y ceros y el módulo de la respuesta en frecuencia de las funciones siguientes (ejercicios 5, 6, 7). Utilice los intervalos anteriores –10≤ σ ≤10 y –10≤ ω ≤10. NOTAS: •

Calcule el valor exacto de cada cero y polo e indíquelo en la gráfica correspondiente

•

Indique claramente los puntos más relevantes de la respuesta en frecuencia (máximos, mínimos, posición de los mismos, valores del eje vertical, etc.)

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Ejercicio 5 H1 ( s ) =

4 s + 2 s + 11 2

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Explique la relación entre los polos de la función de transferencia H1 ( s ) y los máximos de su respuesta en frecuencia | H1 ( jω ) | :

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Ejercicio 6 H2 ( s) =

4 s + s + 10.25 2

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Explique la relación entre los polos de la función de transferencia H 2 ( s ) y los máximos de su respuesta en frecuencia | H 2 ( jω ) | . ¿En qué se diferencian | H1 ( jω ) | del ejercicio 5 y | H 2 ( jω ) | ? ¿Cómo puede justificar esta diferencia a la vista de los diagramas de polos y ceros de H1 ( s ) y H 2 ( s ) ?

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Ejercicio 7 H3 ( s ) =

0.25 ( s 2 + 1) s 2 + 2 s + 11

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Haciendo uso de la información proporcionada por los diagramas de polos y ceros correspondientes, explique las similitudes y diferencias entre | H1 ( jω ) | del ejercicio 5 y | H 3 ( jω ) | . Justifique porque | H 3 ( jω ) | tiene dos nulos, mientras que | H1 ( jω ) | no tiene ningún nulo.

FIN DE LA PRÁCTICA No olvide completar sus datos personales en este cuadernillo y entregarlo a la salida 19