8 Tablas y gráficas ACTIVIDADES INICIALES 8.I.

Fíjate en el siguiente plano. Calle 1

a)

¿Qué recorrido hay que hacer para ir de casa de María, que está en P, a casa de Miguel, que está en Q?

b)

¿En qué punto del plano está situada la casa de María? ¿Y la de Miguel?

Q

Calle D

Calle 3

Calle C

Calle A

Calle B

Calle 2

Calle 4 P Calle 5

a)

Avanzar por la calle 5 hasta llegar a la calle C. Tomar la calle C hasta llegar a la casa de Miguel, en la calle 2. Casa de María: intersección de la calle 5 con la calle A; es decir, punto (5, A). Casa de Miguel: intersección de la calle 2 con la calle C; es decir, el punto (2, C).

b)

8.II.

En una ciudad cuadriculada, ¿qué distancia hay entre dos esquinas consecutivas de una misma manzana? En una ciudad cuadriculada siempre hay la misma distancia entre dos esquinas consecutivas de una misma manzana.

8.III.

Sun City (Arizona, EE. UU.), Nahalal (en el valle de Jezreel, Israel), Bronddy (Dinamarca) y Hamadán (Irán) son cuatro ciudades que tienen algo en común. Busca una vista aérea de las mismas en Google Earth y descubre qué es. ¿Qué ventajas puede tener un diseño de este tipo en una ciudad? Respuesta abierta

8.IV.

Diseña una ciudad en la que las manzanas sean triángulos equiláteros. ¿Qué ventajas e inconvenientes puede tener la misma? Respuesta abierta

ACTIVIDADES PROPUESTAS 8.1.

Actividad resuelta.

8.2.

Escribe las coordenadas de los puntos que aparecen en la figura. Y C

B

A

1 D

O

1

E F

18

Unidad 8 | Tablas y gráficas

X

A(2, 2) C(–3, 3) E(–2, –2)

B(0, 2) D(–4, 0) F(1, –3)

8.3.

Representa en unos ejes de coordenadas los siguientes puntos e indica en qué cuadrante está cada uno. Y

A(3, 2) E(0, 4) B(5, –2) F(1, 2) C(–3, 1) G(3, 1) D(1, –1) H(–4, 3) Los puntos A, G y F están en el primer cuadrante. Los puntos C y H están en el segundo cuadrante. Los puntos B y D están en el cuarto cuadrante. El punto E está en el eje de ordenadas.

E

H

F C

1 O

A G

1 D

X B

8.4.

Actividad interactiva.

8.5.

Actividad resuelta.

8.6.

La tabla muestra el número de toneladas de pilas recogidas en puntos limpios de España.

8.7.

Año

2004

2005

2006

2007

2008

2009

Toneladas

2400

2520

2677

2575

2724

2800

a)

¿Depende la cantidad de pilas de los años?

b)

¿Cuántas toneladas de pilas se recogieron en el año 2007?

c)

¿En qué año se recogieron menos pilas? ¿Y más?

a) b) c)

Sí, la cantidad de pilas recogidas depende del año. En el año 2007 se recogieron 2575 toneladas de pilas. El año en el que se recogieron menos pilas fue 2004, y el año en el que se recogieron más pilas fue 2009.

La tabla muestra el número de horas que dedica Ana a la lectura durante una semana. Día Horas

8.8.

L

M

X

J

V

S

D

1 1,5 1,75 2 0,5 1 1,5

a)

¿Qué día dedica más horas a la lectura?

b)

¿Dedica algunos días el mismo número de horas a la lectura?

c)

¿Qué día dedica menos horas?

d)

¿Cuántas horas semanales dedica a la lectura?

a) b) c) d)

El día que más horas dedica a la lectura es el jueves. Sí. El lunes y el sábado dedica una hora, y el martes y el domingo, una hora y media. El viernes, que dedica media hora. Dedica 1 + 1,5 + 1,75 + 2 + 0,5 + 1 + 1,5 = 9,25 horas.

Actividad resuelta.

Unidad 8 | Tablas y gráficas

19

La temperatura de un enfermo en la UCI de un hospital se registra permanentemente por un aparato. Un día se obtuvo este registro: 41 40 39 38 37 36 35

Temperatura (ºC)

8.9.

O

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Hora del día

a)

¿Cuál era su temperatura a las 8.00?

b)

En cierto momento, el paciente sufrió un paro cardiaco con un brusco descenso de la temperatura. ¿A qué hora se inició?

c)

¿Cuándo empezó la recuperación?

a) b) c)

A las ocho de la mañana, la temperatura era de 37,5º. El paro cardiaco se inició a las 13.00. La recuperación empezó a las 14.00.

8.10. En una revista de automóviles aparece la gráfica siguiente para expresar cómo el

Consumo de gasolina (litros por cada 100 km)

consumo de gasolina de cierto modelo de coche depende de la velocidad a la que circula. 11 10 9 8 7 6 5 4

O

20

20

40

60 80 100 Velocidad (km/h)

120

140

a)

Si el coche circula a 80 kilómetros por hora, ¿cuántos litros consume cada 100 kilómetros?

b)

¿A qué velocidad consume menos?

c)

¿Qué ocurre al aumentar la velocidad

a) b) c)

Si circula a 80 kilómetros por hora, el coche consume unos 5,25 litros cada 100 kilómetros. El menor consumo se produce a 70 kilómetros por hora. Al aumentar la velocidad, aumenta también el consumo de gasolina.

Unidad 8 | Tablas y gráficas

8.11. Actividad resuelta. 8.12. A partir de los valores de la tabla, escribe la fórmula que relaciona las dos magnitudes.

y=x+3

x

1

5

10

15

y

4

8

13

18

8.13. En la fórmula y = 3x + 2, calcula el valor de y para cada uno de los siguientes valores de

x. a) b) a) b) c)

2 6 y=3·2+2=8 y = 3 · 6 + 2 = 20 y=3·0+2=2

c) d)

0 –1 d) e) f)

e) –5 f) 2 y = 3 · (–1) + 2 = –1 y = 3 · (–5) + 2 = –13 y=3·2+2=8

8.14. Escribe la fórmula que relaciona el lado del cuadrado con su área.

Si S es el área o superficie y l es el lado, la fórmula es: S = l 2. 8.15. Escribe una fórmula general en la que a un número entero le corresponde su cuadrado

menos 5. y = x2 – 5 8.16. Escribe una fórmula general que relaciona un número entero con 3 más el número

multiplicado por 4. Usando la fórmula, calcula el valor para el número –7 y = 4x + 3  y = 4 · (–7) + 3 = –25 8.17. Actividad resuelta. 2

8.18. Halla el valor de la variable dependiente en la fórmula y = x + 4 para los siguientes

valores de la variable independiente. a) a) b)

x=5 b) y = 52 + 4 = 29 y = (–1)2 + 4 = 5

x = –1

c) c) d)

x = –8 y = (–8)2 + 4 = 68 y = 32 + 4 = 13

d) x = 3

8.19. ¿La relación que asocia a cada número el número –7 es una función? Si es así, escribe

su fórmula. Sí es una función porque a cada valor de x le corresponde un único y. Su fórmula es y = –7. 8.20. Determina la fórmula de la función que relaciona estos valores y completa la tabla.

x y

–3 –6

–2

–1

0

1 2

2

3

x y

–3 –6

–2 –4

–1 –2

0 0

1 2

2 4

3 6

La fórmula es y = 2x.

Unidad 8 | Tablas y gráficas

21

8.21. Indica si son o no funciones las siguientes relaciones.

a) Relacionamos cada número natural con su anterior y con su posterior. b) Asociamos cada número entero con su opuesto. c) Hacemos corresponder cada número de dos cifras con los dígitos que lo forman. d) Asociamos cada número entero de dos cifras con su cifra de las decenas. e) Asignamos a cada número su doble Son funciones b, d y e. No son funciones a y c. 8.22. Actividad interactiva. 8.23. Actividad resuelta. 8.24. Dibuja la gráfica de la función y = 3x + 2.

x –2 –1 0 1

Y

y –4 –1 2 5

y = 3x + 2 1

O

1

X

8.25. La fórmula que expresa el perímetro de un triángulo equilátero en función del lado es:

P 0 1 2 3

Perímetro de un triángulo

P = 3 · l. Representa gráficamente dicha función l 0 3 6 9

P = 3L

1 O

1 Longitud del lado

8.26. Para realizar llamadas desde el extranjero, un operador móvil tiene la siguiente oferta:

-

Establecimiento de llamada, 0,75 euros.

-

Coste de llamada, 1,15 euros por minuto, tarifando desde el primer segundo.

Representa la gráfica de esta función.

x 0 1 2 3

y –0,75 1,9 3,05 4,2

Coste de la llamada

La función es y = 0,75 + 1,15 · x, siendo y el coste de la llamada y x el tiempo de conversación (en minutos).

2 2 Duración de la conversación

22

Unidad 8 | Tablas y gráficas

8.27. Actividad resuelta. 8.28. Copia y completa en tu cuaderno esta tabla y dibuja la gráfica de la función asociada.

x y

–3 –6

–2

–1

0

1 2

2

x y

–3 –6

–2 –4

–1 –2

0 0

1 2

2 4

Y

y = 2x

1

O

1

X

8.29. Representa estas funciones.

a)

y = 4x

e)

b)

y = –3x

f) y = 5x

c)

y = –2x

g) y = –5x

d)

y=

2 x 3

y = –x

h) y = b)

3 x 2

Y f) a)

c) g)

h) d)

e)

1 O

X

1

8.30. El peso de un objeto en la Luna es la sexta parte de su peso en la Tierra.

a) b)

Escribe la fórmula de la función que indica el peso de un objeto en la Luna. Representa la función que da el peso de un objeto en la Luna.

a)

La fórmula es y =

b)

objeto en la Luna. Representación gráfica: y 1 2 3

Peso en la Luna

x 6 12 18

x , donde x indica el peso de un objeto en la Tierra, e y, el peso del 6

3 y=1x 6

2 1 O

6

12 18 Peso en la Tierra

Unidad 8 | Tablas y gráficas

23

8.31. La razón de proporcionalidad de dos magnitudes directamente proporcionales es 0,5.

a)

Escribe la fórmula de la función que relaciona las dos magnitudes.

b)

Representa gráficamente la función.

a) b)

La fórmula es y = 0,5 · x. Representación gráfica: x 2 4 6

y 1 2 3

Y y = 0,5x 1

O

X

1

EJERCICIOS Coordenadas en el plano 8.32. Representa estos puntos de coordenadas.

A(3, 2) E(5, 0)

B(–1, 5) D(–2, –6)

C(0, 7) F(4, –5) Y C

B

A 1

O

E

1

X

F D

8.33. Escribe las coordenadas de los puntos representados en la siguiente figura. D

Y

A

1 C

E

O F

B X

1 G H

A(6, 1) B(4, 0)

24

Unidad 8 | Tablas y gráficas

C(0, 1) D(–2, 4)

E(–6, 0) F(–2, –2)

G(0, –2) H(3, –3)

8.34. Indica en qué cuadrantes están estos puntos.

a)

A(5, –2)

c)

C(–2, –1)

e)

E(–3, 6)

b)

B(2, 2)

d)

D(0, 8)

f)

F(3, –5)

Escribe cuáles son la abscisa y la ordenada de cada uno de ellos. a) b) c) d) e) f)

El punto A está en el cuadrante IV, la abscisa es 5 y la ordenada es –2. El punto B está en el cuadrante I, la abscisa es 2 y la ordenada es 2. El punto C está en el cuadrante III, la abscisa es –2 y la ordenada es –1. El punto D está en el eje OY, la abscisa es 0 y la ordenada es 8. El punto E está en el cuadrante II, la abscisa es –3 y la ordenada es 6. El punto F está en el cuadrante IV, la abscisa es 3 y la ordenada es –5.

8.35. Los puntos A(–1, –2), B(0, 1) y C(12, 10) son vértices consecutivos de un paralelogramo

ABCD. Dibuja el paralelogramo e indica cuáles son las coordenadas de D. C

Y

D

El punto D tiene coordenadas (11, 7). 1

B

O 1

X

A

Relaciones dadas por tablas 8.36. Pedro está viajando en tren. La tabla muestra la distancia, expresada en kilómetros, que

le falta para llegar a su destino a medida que pasa el tiempo, expresado en horas. Tiempo (h)

10.00

11.00

Distancia (km)

560

425

12.00 13.00 275

14.00

120

0

a)

¿Cuánto dura el viaje?

b)

¿Entre qué horas adelanta más kilómetros?

c)

¿Hay una única distancia para cada hora?

a) b)

El viaje dura 4 horas. Entre las 10.00 y las 11.00 adelanta 135 kilómetros; entre las 11.00 y las 12.00, 150; entre las 12.00 y las 13.00, 155, y entre las 13.00 y las 14.00, 120. Por tanto, adelanta más entre las 11.00 y las 12.00. No. Como se ha visto en el apartado anterior, para cada hora hay diferentes distancias.

c)

8.37. La tabla recoge las dimensiones de diferentes rectángulos cuya superficie mide 36

metros cuadrados. Completa la tabla. Base (m) Altura (m)

2

2,5 14,4

9

6

Base (m) Altura (m)

2 2,5 18 14,4

4 9

9

18 3

6 6

9 4

12 3

18 2

Unidad 8 | Tablas y gráficas

25

Relaciones dadas por gráficas y fórmulas 8.38. Halla el valor de la variable dependiente, para los números –2, –1, 0, 1 y 2, en estas

fórmulas. a)

y = –x2

c)

y = 3 + 4x

b)

y = –x2 + 2

d)

y = x2 – 2x

a)

f(–2) = –(–2)2 = –4 f(–1) = –(–1)2 = –1 f(0) = –02 = 0 f(1) = –12 = –1 f(2) = –22 = –4 f(–2) = –(–2)2 + 2 = –4 + 2 = –2 f(–1) = –(–1)2 + 2 = –1 + 2 = 1 f(0) = –02 + 2 = 0 + 2 = 2 f(1) = –12 + 2 = –1 + 2 = 1 f(2) = –22 + 2 = –4 + 2 = –2

c)

f(–2) = 3 + 4 · (–2) = 3 – 8 = –5 f(–1) = 3 + 4 · (–1) = 3 – 4 = –1 f(0) = 3 + 4 · 0 = 3 + 0 = 3 f(1) = 3 + 4 · 1 = 3 + 4 = 7 f(2) = 3 + 4 · 2 = 3 + 8 = 11 f(–2) = (–2)2 – 2 · (–2) = 4 + 4 = 8 f(–1) = (–1)2 – 2 · (–1) = 1 + 2 = 3 f(0) = 02 – 2 · 0 = 0 – 0 = 0 f(1) = 12 – 2 · 1 = 1 – 2 = –1 f(2) = 22 – 2 · 2 = 4 – 4 = 0

b)

d)

8.39. Expresa mediante una fórmula las siguientes frases.

a)

Asociamos a cada número x su doble.

b)

Asociamos a cada número x su triple más dos.

c)

Asociamos a cada número x su cuadrado menos tres.

d)

Asociamos a cada número x el opuesto de su cuadrado.

a) b)

y = 2x y = 3x + 2

y = x2 – 3 y = –x2

c) d)

8.40. La gráfica muestra la evolución de las ventas de un producto nuevo a medida que

Ventas

transcurren los meses desde que salió al mercado.

1000

O

1

2

3 4 Meses

a)

¿En qué mes hubo más ventas?

b)

¿En qué mes hubo menos ventas?

c)

¿Hubo dos meses con las mismas ventas?

d)

¿Le corresponde a cada mes un único

5

número de ventas? a) b) c) d)

26

Hubo más ventas en el cuarto mes. Hubo menos ventas en el segundo mes. Sí, los meses tercero y quinto. Sí. A cada mes le corresponde un único número de ventas.

Unidad 8 | Tablas y gráficas

6

Funciones y gráficas 8.41. María quiere regalar a su madre bombones. Elige un tipo de bombones que cuestan 35

euros cada kilogramo. a)

Escribe una fórmula que relacione la cantidad de bombones que compra María con lo que tiene que pagar.

b)

¿Corresponde la fórmula anterior a una función?

c)

¿Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente?

a) b) c)

y = 35x, donde x es el número de kilogramos de bombones, e y, el coste de los bombones. Sí, porque para cada cantidad de bombones hay un único precio. La variable independiente es la cantidad de bombones. La variable dependiente es el precio en euros.

8.42. Indica cuál de las siguientes relaciones, dadas por tablas o por gráficas, son funciones.

Razona tu respuesta.

a) x

1

2

3

4

5

5

y

0

1

2

3

10

23

b) x

0

1

2

3

4

5

y

1

2

2

3

4

5

c) Y

1 O

a) b) c)

X

1

No es una función, porque para x = 5 existen dos valores de y. Sí es una función, porque para cada valor de x existe un único y. Sí es una función, porque para cada valor de x existe un único y.

8.43. Una función asigna a cada número el 5.

a)

Escribe la fórmula de esta función.

b)

Construye una tabla con cinco valores para la variable independiente y los correspondientes para la variable dependiente.

c)

Representa gráficamente la función.

a)

y=5

b)

x 1 4 5 8 10

c) y 5 5 5 5 5

Y Y=5

1 O

1

X

Unidad 8 | Tablas y gráficas

27

2

8.44. El área del círculo en función del radio viene dada por la fórmula A = π · r , donde π vale

aproximadamente 3,14. a)

Construye una tabla para distintos valores de r.

b)

Representa gráficamente los valores de la tabla.

c)

¿Tiene sentido unir los puntos obtenidos?

d)

¿Le corresponde a cada radio un único valor del área del círculo?

a) r A

1 3,14

3 28,26

4 50,24

5 78,5

10 314

Área

b)

2 12,56

50 O

5 Radio

c) d)

Sí tiene sentido unir los puntos, porque la función puede tomar cualquier valor real positivo. Sí, para cada radio existe un único valor del área del círculo.

8.45. Para la función y = 3x + 1, calcula los valores de la variable independiente conociendo

los siguientes valores de la variable dependiente. a)

y=1

b)

y = 10

c)

y = –8

Representa gráficamente la función. a)

1 = 3x + 1  0 = 3x  x = 0

b)

10 = 3x + 1  9 = 3x  x = 3

c)

–8 = 3x + 1  –9 = 3x  x = –3 Y

y = 3x +1 2

O

28

Unidad 8 | Tablas y gráficas

1

X

8.46. Indica cuáles de estos puntos pertenecen a la función y = –x + 1.

A(1, 0)

B(0, –1)

C(4, 2)

D(4, –3)

Representa gráficamente los puntos anteriores y comprueba cuáles están en la gráfica de la función. Y

y = –x +1

C 1 A 1

O

X

B D

A pertenece a la gráfica porque 0 = –1 + 1. B no pertenece a la gráfica porque –1 ≠ 0 + 1. C no pertenece a la gráfica porque 2 ≠ –4 + 1. D pertenece a la gráfica porque –3 = –4 + 1.

Funciones de proporcionalidad directa 8.47. Escribe la fórmula de las funciones lineales cuyas razones de proporcionalidad sean las

siguientes. a)

3

b) –5

c)

1 2

a)

y = 3x

b)

c)

y=

y = –5x

1 x 2

d)

−1 7

d)

y=

−1 x 7

8.48. Halla el valor de la variable dependiente para los números –3, 0, 1 y 2 en las siguientes

funciones. a)

y = –2x

c) y = –x

b)

y = 3x + 5

d) y = x(x + 1)

Indica cuáles son de proporcionalidad directa a) f(–3) = –2 · (–3) = 6 f(0) = –2 · 0 = 0 f(1) = –2 · 1 = –2 f(2) = –2 · 2 = –4 b) f(–3) = 3 · (–3) + 5 = –9 + 5 = –4 f(0) = 3 · 0 + 5 = 0 + 5 = 5 f(1) = 3 · 1 + 5 = 3 + 5 = 8 f( 2) = 3 · 2 + 5 = 6 + 5 = 11 c) f(–3) = –(–3) = 3 f(0) = 0 f(1) = –1 f(2) = –2 d) f(–3) = (–3) · (–3 + 1) = –3 · (–2) = 6 f(0) = 0 · (0 + 1) = 0 f(1) = 1 · (1 + 1) = 1 · 2 = 2 f(2) = 2 · (2 + 1) = 2 · 3 = 6 Son de proporcionalidad directa las funciones y = –2x e y = –x, porque son de la forma y = mx.

Unidad 8 | Tablas y gráficas

29

8.49. Representa en los mismos ejes de coordenadas la gráfica de estas funciones de

proporcionalidad directa. a)

y = 0,5x

y=x

y = 2x

b)

y = –0,5x

y = –x

y = –2x

a)

Y y = 3x

y = 3x y = –3x b)

y = 2x

Y y = –3x

y = –2x

y=x

y = –x

y = 0,5x

y = –0,5x 1

1

O

O

X

1

1

X

8.50. Dada la función de proporcionalidad directa y = –2x, responde a los siguientes

apartados. a)

Averigua los números que faltan. f( 3 ) = ?

f(–1) = ?

f(?) = 6

b)

Representa gráficamente esta función.

a)

f(3)= –2 · 3 = –6 f(–1) = (–2) · (–1) = 2 f(x) = –2 · x = 6  x = –3

b)

Y y = –2x 1 O

X

1

8.51. Copia y completa las siguientes tablas de valores de funciones de proporcionalidad

directa, escribe las fórmulas correspondientes y represéntalas. x

0

1

1

2

y

30

4

3

4

–12

y

x

3

8

y x

2

–4

–2 8

Unidad 8 | Tablas y gráficas

0

2

4

x

0

1

2

3

4

y

0

4

8

12

16

x

1

2

3

4

y

–4

–8

–12

–16

–20

x

–4

–2

0

2

4

y

16

8

0

–8

–16

5

8.52. Encuentra la fórmula de esta función. Y

1 O

X

1

Es una gráfica de proporcionalidad directa, porque pasa por el punto (0, 0). Luego es de la forma y = mx. Como pasa por el punto (4, 1), entonces m = La fórmula de la función es y =

1 . 4

1 x. 4

PROBLEMAS 8.53. Una ONG compra 10 vacunas para niños por cada euro que aportamos.

Escribe la fórmula que relaciona la cantidad de dinero aportada con las vacunas compradas.

b)

¿Es una función de proporcionalidad directa?

c)

¿Cuál es la razón de proporcionalidad?

d)

Represéntala.

a) b) c) d)

y = 10x, donde x es el número de euros que aportamos. Es una función de proporcionalidad directa. La constante de proporcionalidad es 10. Vacunas

a)

y = 10x 10 O

1 Euros (€)

Unidad 8 | Tablas y gráficas

31

8.54. La gráfica muestra la temperatura de un horno mientras se hace un bizcocho.

Temperatura (ºC)

200 150 100 50

O

10

20

30

40 50 Tiempo (min)

60

70

80

a)

¿En qué momento se alcanza la mayor temperatura? ¿Cuál es esta?

b)

¿Cuándo la temperatura es de 50 ºC?

c)

¿Entre qué minutos se aprecia una subida fuerte de la temperatura?

d)

¿Le corresponde a cada tiempo una única temperatura?

a) b) c) d)

La temperatura máxima se alcanza a los 40 minutos. Es de 200 ºC. La temperatura es de 50 ºC a los 2 minutos y a los 65 minutos. Se aprecia una fuerte subida en los 10 primeros minutos, y de los 30 a los 40 minutos. Sí, a cada tiempo le corresponde una única temperatura.

Distancia al punto de partida (km)

8.55. Describe la gráfica del siguiente viaje en bicicleta.

4

2

O

2

4

6 8 10 Tiempo (min)

12

14

En los 6 primeros minutos recorre 2 kilómetros. Después aumenta la velocidad considerablemente, ya que en los 4 minutos siguientes avanza otros 2 kilómetros. Después descansa seis minutos. 8.56. En los triángulos de altura 3, la función que asocia el área, A, con la base, b, viene dada

por la fórmula A =

b⋅3 . 2

Construye una tabla con valores para las dos variables.

b)

Representa la función.

a)

b A

1 1,5

2 3

4 6

6 9

b)

Área

a)

. A=b 3 2

1 O

1 Dimensiones de la base

32

Unidad 8 | Tablas y gráficas

8.57. Haz una gráfica para ilustrar el paseo de Jorge.

En la primera hora anda 3 kilómetros.

●

Hace un kilómetro más en la siguiente hora y luego descansa otra hora.

●

Se aleja un kilómetro más durante una hora y decide regresar a casa.

●

En la siguiente hora, de regreso, hace 4 kilómetros y descansa una hora.

●

Tras el descanso, recorre el kilómetro que le falta para llegar en un tiempo similar. Distancia (km)

●

1

O

1 Tiempo (h)

8.58. El franqueo postal se rige por esta tabla.

Peso (g)

Franqueo (€)

Hasta 20 g

0,27

De más de 20 g hasta 50 g

0,40

De más de 50 g hasta 100 g

0,55

De 100 a 250 g

0,89

De 250 a 500 g

1,58

De 500 a 1000 g

3,12

De 1000 a 5000 g

3,80

Alberto ha escrito cartas a algunos amigos. La carta que envía a Alejandro pesa 15 gramos; la de Inés, 80; la de Elena, 90, y la de Pedro, 500. a)

¿Qué franqueo tendrá que poner a cada carta?

b)

¿Es posible que a dos cartas con distinto peso les corresponda el mismo franqueo?

c)

¿La relación definida en la tabla es una función?

a)

Tendrá que poner 0,27 euros para la de Alejandro, 0,55 euros para las de Inés y Elena, y 3,12 euros para la de Pedro. Sí, es posible que a dos cartas con distinto peso les corresponda el mismo franqueo. Sí es una función porque a cada peso le corresponde un único franqueo.

b) c)

Unidad 8 | Tablas y gráficas

33

8.59. La siguiente gráfica indica el tiempo que tardan en hacer su recorrido seis personas.

Distancia (km)

D 3

F B

2

O

E

C

A

1

5

10

15 20 25 Tiempo (m)

a)

¿Qué persona es más rápida, E o F?

b)

Dibuja un punto que represente a una persona más rápida que C. ¿Hay más de una?

c)

¿Es la gráfica de una función? Razona la respuesta.

a) b)

Es más rápida F porque en el mismo tiempo recorre más distancia. Cualquier punto situado en la región sombreada sería válido; por ejemplo, (15, 2).

Distancia (km)

D 3 2 1

O

c)

F B (15, 2) A

5

C

10

E

15 20 25 Tiempo (min)

No es una función porque a cada valor de la variable independiente le corresponde más de un valor de la variable dependiente.

8.60. Pablo se encuentra en la cima, C, de un monte, y Eva, en el punto más bajo, B, del

a)

¿Cuánto mide el monte?

b)

¿A qué hora se encuentran? ¿Qué distancia ha

Km.

mismo. A las diez de la mañana parten uno al encuentro del otro. La gráfica representa la distancia de B a la que se encuentra cada uno en función del tiempo. C

8

recorrido cada uno hasta ese momento? c)

Calcula la velocidad media que han llevado

6

Pablo y Eva.

4 E 2

B

a) b)

c)

La distancia entre los puntos C y B es de 9 kilómetros. Se encuentran a la hora y media del inicio del recorrido, es decir, a las 11.30. En este momento, Pablo ha bajado 6 kilómetros y Eva ha subido 3. Las velocidades medias son: Pablo:

34

6 = 4 kilómetros/hora. 1,5

Unidad 8 | Tablas y gráficas

Eva:

3 = 2 kilómetros/hora. 1,5

30

60

Min. 90

8.61. Un granjero tiene 72 metros de valla para hacer un corral de gallinas de forma

rectangular. a)

¿Cómo cambiará el área del corral al variar la longitud de uno de los lados?

b)

Construye una tabla de valores.

c)

Representa los valores de la tabla.

a)

2x + 2y = 72  x + y = 36  y = 36 – x Por tanto, S = x(36 – x)

b)

1 35 35

x 36 – x S = x(36 – x) Área (S)

c)

4 32 128

350 300 250 200 150 100 50 O

10 26 260

14 22 308

y = x (36 – x)

4 8 12 16 20 24 28 32 36 Lado (x)

AMPLIACIÓN 8.62. * Las coordenadas x e y de los puntos de la recta t de la figura verifican y = 2x – 1. Si el

segmento QP es horizontal y las coordenadas de P son (8, 4), ¿cuál es la distancia de P a Q?

a)

5,5

c)

7

b)

6

d)

7,5

Y t

La segunda coordenada del punto Q es la misma que la del punto P, es decir, 4.

Q

La coordenada x de Q verifica que 4 = 2x – 1  x =

5 . 2

5 11 La distancia de P a Q es 8 – = = 5,5. Respuesta a. 2 2

P

X

O

8.63. Una función asigna a cada entero positivo el producto del anterior por lo que le asigna a

ese anterior. Si f(1) = 1, ¿cuánto vale f(4)? a)

1 6

b)

1 24

c)

24

d)

6

f(2) = 1 · f(1) = 1 · 1 = 1 f(3) = 2 · f(2) = 2 · 1 = 2 f(4) = 3 · f(3) = 3 · 2 = 6 Respuesta d

Unidad 8 | Tablas y gráficas

35

8.64. La gráfica adjunta muestra la distancia recorrida por un coche en función del tiempo.

a)

Viaja a velocidad constante.

b)

Viaja hacia el noroeste.

c)

Está subiendo un puerto de montaña.

d)

Va cada vez más rápido.

Distancia (km)

Observando la gráfica, ¿qué se deduce que está haciendo el coche?

O

Tiempo (h)

El coche viaja siempre con la misma velocidad. Es decir, viaja con velocidad constante. Respuesta a.

8.65. La figura representa el recorrido de una carrera. Ana comienza en lugares diferentes y no

recorre siempre la misma distancia, pero siempre va más deprisa bajando que subiendo. En el camino, y a distancias iguales, están marcados los controles A, B, C, D, E (cima), F, G, H, K (meta). ¿En cuál de los siguientes trayectos tardará menos tiempo? E D

F

C

G

B

H K

A

a)

CEGF

c)

CEH

b)

BEG

d)

DEKH

Si llamamos s al tiempo empleado en recorrer cada tramo de subida y b al tiempo empleado en recorrer cada tramo de bajada, el tiempo invertido en realizar los trayectos es: CEGF → 3s + 2b BEG → 3s + 2b CEH → 2s + 3b DEKH → 2s + 4b El de menor tiempo es, por tanto, el trayecto CEH. Respuesta c.

AUTOEVALUACIÓN 8.A1. Escribe las coordenadas de los puntos de la figura. Y

1 O

A

B 1

X D

C

A(2, 3)

36

B(1, 0)

Unidad 8 | Tablas y gráficas

C(–1, –3)

D(4, –2)

8.A2.

Dada la función y = 2x – 1: a) b)

Construye una tabla con cinco valores para la variable independiente y los correspondientes valores para la variable dependiente. Representa gráficamente la función.

c)

¿Es función de proporcionalidad directa? Razona la respuesta.

a)

b)

x

–1

0

2

3

8

y

–3

–1

3

5

15

Y y = 2x – 1

1 O

c) 8.A3.

8.A4.

1

No es función de proporcionalidad, su gráfica no es una recta que pasa por el origen.

Dada f(x) = 2x, halla los valores que faltan. a) a)

f(–4) = ? b) f(–4) = 2 · (–4) = –8

b)

f(x) = 1  1 = 2x  x =

c)

f(0) = 2 · 0 = 0

f(?) = 1

c)

f(0) = ?

1 2

La tabla muestra la variación de peso de un recién nacido en sus primeras semanas de vida. Semanas Peso (kg)

8.A5.

X

0

1

2

3

4

5

3,20 3,15 3,30 3,40 3,55 3,60

a) b) a)

¿Entre qué semanas ha disminuido el peso? ¿Cuándo se ha producido el mayor aumento de peso? El peso ha disminuido en la primera semana.

b)

Entre la primera y la segunda semana y entre la tercera y la cuarta se ha producido el mayor aumento de peso, que ha sido de 150 gramos.

La relación que asocia a cada moneda su valor en euros y su valor en céntimos de euro, ¿es una función? Razona la respuesta. Esa relación no es una función, pues para cada valor de la variable independiente (valor de las monedas) hay dos valores de la variable dependiente (valor en euros y valor en céntimos de euro).

Unidad 8 | Tablas y gráficas

37

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS Aprende a pensar > Moverse en una cuadrícula Juan, que es funcionario de la ONU, se aloja en un hotel que está en la 3.ª avenida esquina con la 34 y va a la sede de la ONU, que está en la 1.ª con la 46. 8.1.

Busca un posible camino para realizar el trayecto del hotel a la sede de la ONU. Avanzar por la 34 hasta llegar a la 1.ª avenida y subir por ella hasta la 46.

8.2.

¿Cuántos metros tiene el camino más corto? El camino más corto es el mostrado en el apartado anterior: 2 · 200 + 12 · 80 = 1360 metros.

8.3.

Algunos días, a la vuelta del trabajo, pasa por la librería. ¿Qué trayecto debe seguir para caminar loa menos posible? Baja por la 1.ª avenida hasta la calle 42. Girando a la derecha, avanza hasta la 5.ª avenida, baja hasta la calle 34 y, girando a la izquierda, llega a casa.

8.4.

La ONU es una organización fundada para mantener la paz y la seguridad, y promover el progreso. ¿Crees que cumple los objetivos? Respuesta abierta

Interpreta gráficas > Las margaritas Observa la siguiente gráfica, que muestra la población de margaritas en función de la intensidad lumínica. Población de margaritas

Margaritas oscuras

O

0,5

0,6

Margaritas intermedias

0,7

0,8

Margaritas blancas

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

Intensidad solar

38

8.1.

Haz una descripción general de lo que representan las gráficas. Las moradas necesitan poca luz para vivir. Al aumentar la luminosidad, van pereciendo. Las amarillas necesitan una intensidad media. Si hay poca o demasiada luz, mueren. Las blancas necesitan mucha luz para vivir. A medida que aumenta la intensidad, la población aumenta, hasta una intensidad crítica alrededor de 1,16, que si se sobrepasa las mata rápidamente.

8.2.

¿Cuáles son las margaritas más sensibles a la luz solar? Las moradas.

8.3.

Con una intensidad de 0.9, ¿cómo es la población de las distintas margaritas? No hay margaritas moradas y hay las mismas margaritas amarillas que blancas.

8.4.

Si queremos que haya margaritas de los tres tipos, ¿entre qué valores debe mantenerse la intensidad solar? Entre 0 y 0,83.

8.5.

¿Con qué intensidad se alcanza el máximo de las poblaciones? Las moradas con 0, las amarillas con 0,78 y las blancas con 1,1.

Unidad 8 | Tablas y gráficas

Calcula y resuelve > El cine En un cineclub, cada entrada cuesta 4 euros. La empresa propone dos tipos de abonos anuales: Abono A:

8.1.

Abono B:

Carné 10 €

Carné 30 €

Entrada: 25% de descuento

Entrada: mitad del precio

¿Cuánto paga por cada entrada un espectador que tiene el abono A? ¿Y el que tiene el abono B? Abono A. El precio de una entrada es de 0,75 · 4 = 3 euros. Abono B. El precio de una entrada es de 0,5 · 4 = 2 euros.

8.2.

Tomás, Antonio y Begoña han ido a 13 sesiones este año. Tomás no tiene ningún tipo de abono; Antonio tiene el abono A, y Begoña, el B. ¿Cuánto pagó cada uno de ellos? Tomás: 13 · 4 = 52 euros Antonio: 10 + 13 · 3 = 49 euros Begoña: 30 + 13 · 2 = 56 euros

8.3.

Completa las siguientes tablas sobre dinero total pagado según el número de entradas adquiridas y el tipo de abono. Sin abono N.º de Dinero entradas 4 1 2 8 20 5 40 10 60 15 80 20 100 25 120 30 4x x

Abono B N.º de Dinero entradas 32 1 34 2 5 40 50 10 60 15 70 20 80 25 90 30 30 + 2x x

Representa en un sistema de coordenadas, con tres colores diferentes, uno por cada amigo, los pares de puntos obtenidos en cada una de las tres tablas.

Dinero

8.4.

Abono A N.º de Dinero entradas 13 1 16 2 25 5 40 10 15 55 70 20 85 25 100 30 10 + 3x x

20 O

8.5.

20 10 N.º de entradas

30

Indica cuál es la tarifa más ventajosa si asistieran a 5 sesiones, 13 y 22. La más barata para 5 sesiones es la de Tomás (20 euros), para 13 sesiones es la de Antonio (49 euros) y para 22 sesiones es la de Begoña (74 euros).

8.6.

¿A partir de cuántas sesiones es el abono B el más ventajoso? A partir de 20 sesiones.

Unidad 8 | Tablas y gráficas

39

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: M.ª Ángeles Anaya, Isabel de los Santos, José Luis González, Carlos Ramón Laca, M.ª Paz Bujanda, Serafín Mansilla Edición: Rafaela Arévalo, Eva Béjar Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Félix Moreno, José Santos, Estudio “Haciendo el león” Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya

(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain