1

Números reales ACTIVIDADES INICIALES

1.I.

Parte una hoja DIN A4 en dos por la mitad del lado mayor. Halla el cociente del largo entre el ancho tanto en el folio original como en la mitad que has obtenido. ¿Qué cociente obtienes en cada caso? Elévalos al cuadrado. ¿Qué observas? Una hoja DIN A4 mide 297 mm × 210 mm. Al doblarla por la mitad mide 148,5 mm × 210 mm. lado mayor en cada uno de los casos obtenemos: Haciendo el cociente lado menor

297 210 ≈ 1,414285714285714 y ≈ 1,414141414141414 . 148,5 210 Elevando ambos números al cuadrado obtenemos números muy próximos a 2. 1.II.

El papel que se usa en las fotocopiadoras suele pesar 80 gramos por metro cuadrado. Si un folio DIN A4 es la dieciseisava parte de un metro cuadrado, ¿cuánto pesa un paquete de 500 folios? Calcúlalo y compruébalo con una balanza. 80 ⋅

1.III.

1 ⋅ 500 = 2500 g = 2,5 kg 16

Ahora un poco de historia: en el texto se mencionan dos momentos claves en la normalización del tamaño del papel: la Revolución Francesa y el período de entreguerras. ¿Sabes decir cuándo ocurrió cada uno?

La Revolución francesa transcurrió entre 1789 y 1799, y el período de entreguerras, entre el final de la Primera Guerra Mundial (1919) y el inicio de la segunda (1939).

ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.1.

Actividad resuelta.

1.2.

Halla el valor de x para que las siguientes fracciones sean equivalentes.

1.3.

a)

15 x = 3 4

a)

15 · 4 = 3 · x  x =

60 = 20 3

b)

3 11 13 , y 5 15 20

b)

7 3 6 , y 9 12 18

a)

3 3 ⋅ 12 36 = = 5 5 ⋅ 12 60

11 11⋅ 4 44 = = 15 15 ⋅ 4 60

13 13 ⋅ 3 39 = = 20 20 ⋅ 3 60

b)

7 7 ⋅ 4 28 = = 9 9 ⋅ 4 36

3 3⋅3 9 = = 12 12 ⋅ 3 36

6 6 ⋅ 2 12 = = 18 18 ⋅ 2 36

Escribe un número que no sea racional.

Respuesta abierta; por ejemplo, el número π .

18

2 · 20 = x · 8  x =

Expresa estas fracciones con el mismo denominador. a)

1.4.

2 8 = x 20

b)

Unidad 1 | Números reales

40 =5 8

1.5.

1.6.

7 9 1 11 , , y , a otra fracción equivalente que 2 5 25 50 tenga por denominador una potencia de 10.

Amplifica cada una de estas fracciones:

7 7 ⋅ 5 35 = = 2 2 ⋅ 5 10

1 1⋅ 4 4 = = 25 25 ⋅ 4 100

9 9 ⋅ 2 18 = = 5 5 ⋅ 2 10

11 11⋅ 2 22 = = 50 50 ⋅ 2 100

3 4 son chicos y chicas? Razona la 6 7

Una clase tiene 42 alumnos. ¿Se puede afirmar que respuesta.

4 42 de 42 es 4 · = 24 7 7

3 42 de 42 es 3 · = 21 6 6

No podemos hacer tal afirmación, ya que de ese modo habría 21 + 24 = 45 alumnos y alumnas en la clase, lo cual no es cierto. 1.7.

Actividad interactiva.

1.8.

Actividad resuelta.

1.9.

Dibuja los puntos de abscisa: a) 1 y –1 b) 3 y –3 ¿Cómo son estos pares de puntos respecto del origen?

c)

5 y –5.

Son puntos simétricos respecto al origen. –5

–3

–1

0

1

3

5

1.10. Utiliza el teorema de Tales para representar en una recta estos números racionales.

3 5

a)

b)

a)

−

1 3

12 5

c)

b)

c)

d) 9 =1+2 7 7

12 = 2 + 2 5 5

3 5

0

1

–1

–1 3

0

0

9 7

d)

1

2 12 3

1 9

0

5

7

2

1.11. Representa en la misma recta las siguientes fracciones. ¿Qué observas?

2 3

b)

4 6

c)

−

2 3

Se puede observar que la 2 4 fracción = y que las 3 6 2 2 fracciones y − están a 3 3 la misma distancia del 0. 2 3

0

1 6

1 3

3 6

2 3

=

–

=

a)

2 6

4 6

5 6

1=

3 6 = 3 6

Unidad 1 | Números reales

19

1.12. Representa en una recta

1 1 1 1 , , , y 1. ¿Qué observas? 5 4 3 2

Se observa que: 1 1 1 1 < < < < 1. 5 4 3 2

0

1 1 5 4

1 3

1

1 2

1.13. Calcula los valores de las abscisas de los puntos de cada figura.

a)

b)

0

a)

0

1

5 8

b)

1+

1

2

3 7 = 4 4

1.14. ¿Verdadero o falso? ¿Por qué?

a)

Toda fracción, propia o impropia, puede representarse en una recta.

b)

La representación de dos fracciones equivalentes es siempre idéntica.

c)

Toda fracción con denominador 0 vale 0.

a)

Verdadero, porque son números racionales y estos pueden representarse en una recta.

b)

Verdadero, porque las fracciones equivalentes representan al mismo número racional.

c)

Falso. No tiene sentido una fracción con denominador cero.

1.15. Actividad interactiva.

1.16. Actividad resuelta.

1.17. Actividad resuelta.

1.18. Realiza y simplifica estas operaciones.

a)

20

3 5 7 − + 4 12 8

b)

7 2 3 − + 3 10 5

c)

1−

5 2 + 3 7

8 5 2 21 35 6 + = − + =– 3 7 21 21 21 21

a)

3 5 7 18 10 21 29 − + = − + = 4 12 8 24 24 24 24

c)

1−

b)

7 2 3 70 6 18 82 41 − + = − + = = 3 10 5 30 30 30 30 15

d)

–

Unidad 1 | Números reales

d)

−

2 4 + −3 5 3

2 4 6 20 45 31 =– + –3 = – + − 5 3 15 15 15 15

1.19.

Efectúa estas operaciones y simplifica. 2 3 ⋅ 5 4 5 8⋅ 6 2 4 : 3 5 2 3 2·3 6 3 ⋅ = = = 5 4 5·4 20 10

a) b) c)

a)

d) e) f)

d)

3 7 : 2 6 9 0: 5 3 5 − : 2 3 3 7 3 6 18 9 : = ⋅ = = 2 6 2 7 14 7

b) 8 ⋅

5 8·5 40 20 = = = 6 6 6 3

e)

0:

c)

2 4 2 5 10 5 : = ⋅ = = 3 5 3 4 12 6

f)

−

1.20. ¿Verdadero o falso?

Falso, pues

9 5 0 = 0⋅ = = 0 5 9 9

3 5 3 3 9 : =− ⋅ =− 2 3 2 5 10

1 2 3 + = 2 3 5

1 2 3 4 7 3 + = + = ≠ 2 3 6 6 6 5

1.21. Un medicamento contra el resfriado contiene 650 mg de paracetamol, 250 mg de ácido

ascórbico, 30 mg de cafeína y 1,07 g de excipiente en cada pastilla. Calcula: a)

El peso de cada pastilla en miligramos.

b)

La fracción que no es excipiente de cada pastilla.

c)

Si un tercio del excipiente es sacarosa, la fracción de sacarosa que contiene el total de la pastilla.

a)

2000 mg

b)

930 93 = 2000 200

c)

1070 3 = 1070 = 107 2000 6000 600

1.22. Calcula y simplifica el resultado.

a) b)

a) b)

3 1 4 + : 2 5 15 1 2 9 − − ⋅ 3 3 4 3 1 4 3 15 30 15 45 9 + : = + = + = = 2 5 15 2 20 20 20 20 4

–

4 18 22 1 2 9 1 18 11 – ⋅ =– – =– – =– =– 3 3 4 3 12 6 12 12 12

Unidad 1 | Números reales

21

1.23. Realiza las siguientes operaciones.

 1  1  :  :  : 2  4  3 

a)

1 3 7 5  7 ⋅ ⋅ + ⋅  1−  4 7 2 6  2

d)

3 2

b)

2 1 2 5  − ⋅ −  :3 3 4 6 2

e)

1 1 7  1+ −  : 2 3 6 

c)

3−

1 3  ⋅ 4 :  − 1 + 1 2 5 

f)

2 3 6 4  + − +  3 2  4 6

a)

287 41 1 3 7 5  7  21 5 −5 21 25 21⋅ 3 25 ⋅ 14 ⋅ ⋅ + ⋅ 1−  = + ⋅ = − = − =– =− 168 24 4 7 2 6  2  56 6 2 56 12 168 168

b)

5 −13 −65 −65 1 −65 2 1 2 5  3 − 4  ⋅  6 − 2  : 3 = 12 ⋅ 6 : 3 = 72 : 3 = 72 ⋅ 3 = 216    

c)

3–

d)

3  1  1   3  1 1  3 6 12 : :  : 2 = :  :  = : = =1 2  4  3   2  4 6  2 4 12

e)

1 1 7  6 3 2 7 7 7  1 + −  : =  + −  : = : = 1 2 3 6 6 6 6 6 6 6 

f)

0  2 3   6 4  13 26 − = =0  + − +  =  3 2   4 6  6 12 12

1  −2  3  ⋅ 4 :  − 1 +1 = 3 – 2 :  +1=3+5+1=9 2  5  5 

1.24. De las 24 horas de un lunes cualquiera, Iria pasa

tiempo libre, dedica

1 a ver su programa de televisión favorito. 5

a) b)

¿Cuánto dura este programa? Si una cuarta parte del programa son anuncios y cada anuncio dura 20 segundos, ¿cuántos anuncios ve al día?

c)

Estima ahora cuántos anuncios ves al día y compárate con Iria. ¿Qué opinas?

a)

Iria se pasa 24 ⋅

b)

Si

c)

Respuesta abierta

1 1 = 8 horas durmiendo y 24 ⋅ = 6 horas en clase, por lo que el tiempo 4 3 1 5 = 10 horas. Dedica a ver su programa de su tiempo libre, libre que le queda es 24 ⋅ 5 12 1 5 1 1 =  24 ⋅ = 2 horas. esto es: ⋅ 5 12 12 12 1 1 1 del tiempo del programa de 2 horas son anuncios, entonces habrá 2· = hora de 4 4 2 1800 = 90 anuncios. anuncios. Como cada anuncio dura 20 s, entonces habrá 20

1.25. Actividad interactiva.

22

1 1 durmiendo y en clase. De su 3 4

Unidad 1 | Números reales

1.26.

Escribe cada fracción en forma decimal. Indica de qué tipo es cada una y, en su caso, la parte entera, el anteperíodo y el período. a)

12 9

c)

12 7

e)

17 19

g)

2 3

h)

7 32

b)

7 5 51 d) f) 15 7 17  1,3 . La parte entera es 1, no hay anteperíodo, y el período es 3.  0,46 . La parte entera es 0, el anteperíodo es 4 y el período es 6.

c)

 . La parte entera es 1, no hay anteperíodo y el período es 71485. 1,71485

d)

 . La parte entera es 0, no hay anteperíodo y el período es 714285. 0,714285

e)

 . La parte entera es 0, no hay anteperíodo y el período es 0,894736842105263157 894736842105263157.

f) g)

3. La parte entera es 3, no hay anteperíodo ni período.  0,6 . La parte entera es 0, no hay anteperíodo y el período es 6.

h)

0,21875 . La parte entera es 0, no hay anteperíodo ni período.

b)

a)

1.27. Sin hacer la división, explica qué tipo de expresión decimal corresponde a cada fracción.

a)

127 12

c)

29 77

b)

59 20

d)

177 45

a)

12 = 22 · 3. Periódico mixto

b)

20 = 22 · 5. Exacto

c)

77 = 7 · 11. Periódico puro

d)

177 59 ; 15 = 3 · 5. Periódico mixto = 45 15

e)

1024 = 210 . Exacto

e)

13 1024

1.28. Escribe en forma fraccionaria los números.

a)

3,5

c)

–3,55…

e)

5,255…

g)

1,11…

b)

0,66…

d)

2,15

f)

0,7575…

h)

6,2525…

a)

35 7 = 10 2

e)

525 − 52 473 = 90 90

b)

6−0 2 = 9 3

f)

75 − 0 25 = 99 33

c)

–

g)

11 − 1 10 = 9 9

d)

215 43 = 100 20

h)

625 − 6 619 = 99 99

35 − 3 32 =− 9 9

1.29. Actividad resuelta.

Unidad 1 | Números reales

23

1.30. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.

b)

3 5 0,75

c)

7

a)

3

d)

–4

g)

e)

632

h)

0,18192021...

f)

0,14 114 1114…

i)

0,771111111...

125

a)

Racional

d)

Racional

g)

Racional

b)

Racional

e)

Racional

h)

Irracional

c)

Irracional

f)

Irracional

i)

Racional

1.31. Escribe tres números irracionales que estén dados por raíces y tres que no lo estén.

Tres números irracionales dados por raíces:

2, 3, 3 4

Tres números irracionales que no vienen dados por una raíz: π, 0,12 112 1112…, 2,01 002 0003 00004… 1.32. Clasifica estos números en racionales o irracionales, y razona la respuesta.

a) b) a) b) c)

123,252525 c) 335,121221222 1… 91,123777… d) 0,311331133311… Racional, es exacto. Racional, tiene período 7. Irracional, detrás de cada 1 aparecen, sucesivamente, 1, 2, 3, 4… cifras 2. De este modo no habrá ningún período. Irracional, no hay ningún grupo de cifras que se repita periódicamente.

d)

1.33. Ya sabes que π es irracional. Escribe ahora algunos decimales de 2π. ¿Es racional o

irracional?

π = 3,14159265... , 2π = 6,283185307... también es irracional. 1.34. Ya sabes que 1, 2, 3, 4, ... son todos números racionales. Considera ahora

4,

1,

2,

3,

5 , ... ¿Cuáles de ellos son racionales?

1 = 1 , racional; 2 = 1,41421356... , irracional; 3 = 1,7320508.... , irracional; racional… Serán racionales las raíces de los cuadrados perfectos.

4 = 2,

1.35. ¿Verdadero o falso? Razona la respuesta.

16 es irracional.

a) b)

La suma de dos racionales es racional.

a)

Falso, porque 16 es un cuadrado perfecto, es decir,

b)

Verdadero. Un número racional se puede expresar como una fracción, y la suma de fracciones es una fracción.

16 = 4 , que es racional.

1.36. Rubén se ha comprado un GPS con una pantalla cuadrada de 10 cm de diagonal.

¿Cuánto miden el lado y el área de la pantalla? ¿Son números racionales o irracionales?

El lado de la pantalla es 10 = 2l  l = 2

2

50 , por el teorema de Pitágoras,

50 = 7,07106781... irracional.

El área de la pantalla es l ⋅ l = 50 ⋅ 50 = 50 , racional.

24

Unidad 1 | Números reales

l

10 cm

1.37. ¿La raíz cuadrada de tu número de teléfono es racional o irracional? (Usa la calculadora).

Respuesta abierta. 1.38. Actividad interactiva. 1.39. Clasifica los siguientes números en todos los conjuntos a los que pertenezcan.

a)

1,2

c)

b)

7 5

d)

a)

Q ⊂ R

c)

b)

Q ⊂ R

d)

−55 2 2

e)

−55,5 3

g)

0,0001

f)

27 3

h)

2 2

Z ⊂ Q ⊂ R

e)

Q ⊂ R

g)

Q⊂R

R

f)

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

h)

R

1.40. Pon un ejemplo de un número real que no sea irracional, de un número entero que no

sea natural y de un número no racional.

Un número real que no sea irracional tiene que ser racional, por ejemplo,

1 . 2

Un número entero que no sea natural, por ejemplo, −4 . Un número no racional tiene que ser irracional, por ejemplo, π . 1.41. ¿Verdadero o falso? Razona tu respuesta.

a)

Ningún número irracional es entero.

b)

Hay números reales no racionales.

c)

No hay números enteros racionales

a)

Verdadero, ya que todo número entero es racional.

b)

Verdadero, los números irracionales.

c)

Falso, todos los números enteros son racionales.

1.42. Calcula los valores absolutos de:

a) b)

a) b)

3,5 −7 5 2 3,5 = 3,5

−7 5 2

=

7 5 2

c)

−10,1

e)

−0,38

g)

−1,0101

d)

8 −5 2

f)

4 −3 : 3 4

h)

1,0101

c)

−10,1 = 10,1

e)

−0,38 = 0,38

g)

−1,0101 = 1,0101

d)

8 − 5 = −1 = 1 2

f)

4 −3 16 16 : = − = 3 4 9 9

h)

1,0101 = 1,0101

1.43. Todos los números reales no negativos son el valor absoluto de exactamente dos

números reales, salvo uno. ¿De cuál se trata?

Del cero 1.44. Calcula la distancia de −15 a 7 utilizando el valor absoluto de su diferencia.

−15 − 7 = −22 = 22 1.45. Actividad interactiva. 1.46. Actividad resuelta.

Unidad 1 | Números reales

25

1.47.

355 , descubierta por 113 el matemático chino Zu Chongzhi en el siglo V. Si el valor del número π es 3,1415926535…, halla el número de cifras que coincide con la aproximación dada.

Una de las mejores aproximaciones fraccionarias del número π es

355 = 3,14159292… Coinciden 6 cifras decimales. 113

10 = 3,162277…, escribe las 5 primeras aproximaciones por defecto, por exceso y por redondeo.

1.48. Sabiendo que

Por defecto Por exceso Por redondeo

3,1 3,2 3,2

3,16 3,17 3,16

3,162 3,163 3,162

3,1622 3,1623 3,1623

3,16227 3,16228 3,16228

1.49. Calcula los valores que faltan en la tabla.

a b a+b a·b Por exceso 3,235 Por defecto 2,471

Por exceso Por defecto

a 3,235 3,234

b 2,472 2,471

a+b 5,707 5,705

a·b 7,997 7,991

1.50. Realiza cada operación con una aproximación de dos cifras decimales, por exceso y por

defecto. a) a)

11 +

b)

3

b) Por exceso Por defecto

c) Por exceso Por defecto

c)

5⋅ 7

3

11 + 3

3,32 3,31

1,74 1,73

5,06 5,04

12

3

3 3

12 − 3 3

3,47 3,46

1,74 1,73

5,22 5,19

–1,72 –1,76

11

Por exceso Por defecto

12 − 3 3

5

7

5⋅ 7

2,24 2,23

2,65 2,64

5,94 5,88

1.51. Actividad interactiva. 1.52. Actividad resuelta.

1.53. Halla los errores absoluto y relativo que se producen al aproximar

Error absoluto: |1,57 – 1,571428…| = 0,001428… Error relativo:

26

Unidad 1 | Números reales

0,001428... = 0,0009090… 1,571428...

11 por 1,57. 7

1.54. Una excelente aproximación del número irracional

2 es la fracción

17 . 12

Comprueba este resultado y señala los errores absoluto y relativo. 17 = 1,41666666… 12 2 = 1,414213562…

Error absoluto: |1,414213562… – 1,416666…| = 0,002453… Error relativo:

0,002453... = 0,0017345... 1,414213562...

1.55. Arquímedes aproximaba π por

22 . Si el radio de una plaza mide 30 metros. 7 22 ?, ¿y si se toma 3,1416? 7

a)

¿Cuánto mide su circunferencia tomando para π el valor

b)

¿Es aceptable el error cometido en ambos casos?

a)

2 · 30 ·

b)

Teniendo en cuenta que la circunferencia mide 60π = 188,49555… metros, el primer error es de un 0,04%; el segundo es de un 0,00023% Ambos son aceptables, aunque es mucho mejor la segunda aproximación.

22 1320 = = 188,5714 7 7

2 · 30 · 3,1416 = 188,496

1.56. La báscula de la cocina tiene una precisión de 3 g. Al pesar una manzana la báscula

marca 0,133 kg. a) ¿Entre qué valores está su peso real? b) Suponiendo que su peso real es de 134,5 g, ¿cuáles son los errores absoluto y relativo que comete la báscula?

a)

133 – 3 = 130; 133 + 3 = 136. Su peso real está entre 130 g y 136 g.

b)

Error absoluto: 134,5 − 133 = 1,5. Error relativo:

134,5 − 133 134,5

=

1,5 = 0,011 134,5

1.57. El colesterol de Ana y el de Pedro han aumentado en 20 unidades durante el último mes.

Sabiendo que Ana tenía un colesterol de 140 y Pedro de 190, ¿cuál es el aumento relativo de cada uno? 160 − 140

Ana:

140

=

20 = 0,143 140

Pedro:

210 − 190 190

=

20 = 0,105 190

1.58. Actividad resuelta.

1.59. Representa estos números irracionales.

a)

3,43574…

a)

b) 1,110100…

c)

b)

c)

[3, 4] 3

3

–1,25239…

1

3,112123…

d)

[1, 2] 4

d)

[–2, –1] 2

–2

[3, 4] –1

3

4

[3,4; 3,5]

[1,1; 1,2]

[–1,3; –1,2]

[3,1; 3,2]

[3,43; 3,44]

[1,11; 1,12]

[–1,26; –1,25]

[3,11; 3,12]

4

1

2

–2

–1

3

4

Unidad 1 | Números reales

27

1.60. Representa los siguientes números.

a)

b)

5

a)

c)

8

b)

d)

26

c)

40

d)

8 = 22 + 22

5 = 22 + 12 26 = 52 + 12

0

1

2 5

0

1

2

40 = 62 + 22

0 1 2 3 4 5 26

8

0 1 2 3 4 5 6 40

1.61. Escribe los números representados en cada figura.

a)

b)

0

a)

1

2

3

0

4

13

b)

1

2

3

4

10

1.62. Dibuja un cuadrado de lado 5 cm. A partir de él, dibuja un cuadrado que tenga el doble de

área. El cuadrado de lado 5 cm tiene de área 25 cm2. El cuadrado formado por la 50 cm de lado y su área es de 50 cm2.

50 cm

5

cm

diagonal del anterior tiene

2

1.63. Sabiendo que el área del cuadrado interior es 1 cm ,

¿cuál es el área del cuadrado más grande?

El lado del cuadrado grande es 2 2 , y su área es de 8 cm2.

1.64. Actividad resuelta. 1.65. Dibuja en la recta real cada uno de estos intervalos.

a)

(2, 3)

b)

[2, 3)

a)

(2, 3]

d)

[2, 3]

c) 0

2

3

0

2

3

b)

28

c)

0

2

3

0

2

3

d)

Unidad 1 | Números reales

1.66. Dibuja en la recta real estas semirrectas.

a)

(2, ∞)

b)

[2, ∞)

(–∞, 3]

c)

a)

(–∞, –3]

d)

c) 0

1

0

2

b)

3

d) 0

1

0

–3

2

1.67. Indica el intervalo que representa cada dibujo.

a)

0

2

b)

a)

7 0

(2, 7]

b)

(–∞, 0)

1.68. Dibuja en la recta real las semirrectas determinadas por las relaciones │x│ > 3 y │x│ ≥ 3.

│x│ > 3  x > 3 y x < –3  (–∞, –3) ∪ (3, ∞) │x│ ≥ 3  x ≥ 3 y x ≤ –3  (–∞, –3] ∪ [3, ∞)

–3

0

3

–3

0

3

1.69. Escribe y representa los intervalos o semirrectas descritos a continuación.

a)

Al menos 20 euros.

b)

Como poco 13 años, pero no llega a 20. e)

c)

No menos de 5 ni más de 7 km.

a)

d)

Entre 750 g y un kilo y medio. De −1 a 12, ambos inclusive.

d) 0

20

0

13

20

0

5

7

b)

0

750

1500

–1

0

12

e)

c)

1.70. Actividad interactiva.

EJERCICIOS Números racionales. Operaciones 1.71. Escribe las fracciones que representan las partes coloreadas.

a)

a)

b)

1 6

b)

9 14

Unidad 1 | Números reales

29

1.72. Averigua el valor de x en cada caso.

a)

3 de 225 = x 5

c)

7 de x = 938 3

b)

x de 320 = 1360 4

d)

2 de x = 300 3

a)

3 ⋅ 225 = 135  x = 135 5

c)

7x 938 ⋅ 3 = 938  x = = 402 3 7

b)

x ⋅ 320 1360 ⋅ 4 = 1360  x = = 17 320 4

d)

2x 300 ⋅ 3 = 300  x = = 450 3 2

1.73. ¿Qué fracción le falta a

1–

7 para completar la unidad? 12

7 12 − 7 5 = = 12 12 12

1.74. Halla el valor de cada letra para que todas las fracciones sean equivalentes.

a 21

c 63

104 b

13 7

143 70 + d

13 a = ⇔ 7a = 273  a = 39 21 7

13 c = ⇔ 7c = 819  c = 117 63 7

104 13 = ⇔ 13b = 728  b = 56 7 b

143 13 = ⇔ 1001 = 910 + 13d  d = 7 70 + d 7

1.75. Indica si son correctas estas desigualdades.

a)

a)

b)

7 8 10 −5 −11 −15 b) < < > > 6 5 7 6 13 18 Expresamos las fracciones con común denominador: 7 245 8 336 300 10 7 10 8 ; < = ; = ; = <  Falsa 6 210 5 210 210 7 6 7 5 Expresamos las fracciones con común denominador: −5 −195 −11 −198 −15 −195 −11 −5 −15  Falsa = ; = ; = ; < = 6 234 13 234 18 234 13 6 18

1.76. *Responde a las siguientes cuestiones.

30

a)

¿Qué fracción del alfabeto representan las vocales?

b)

¿Qué fracción de la centena representa la decena?

c)

¿Qué fracción de la semana representa el lunes?

d)

¿Qué fracción del día representa 1 minuto?

e)

¿Qué fracción de un siglo representa 1 mes?

f)

¿Qué fracción del kilómetro representa 1 centímetro?

a)

Alfabeto = 28 letras  5  Vocales = 5 letras  28

b)

1 centena = 10 decenas 

c)

1 semana = 7 días 

Unidad 1 | Números reales

1 7

1 10

1 1440

d)

1 día = 1440 minutos 

e)

1 siglo = 100 años = 1200 meses 

f)

1 km = 100 000 cm 

1 100000

1 1200

1.77. Ordena las fracciones de menor a mayor utilizando en cada caso el método que se indica.

a) b) c)

a) b)

1 1 1 , , Observando las fracciones. 9 7 8 3 4 6 , , Reduciendo a común denominador. 4 5 7 9 −3 6 , , Representándolas en una recta. 7 9 5 Tienen el mismo numerador, por lo que es mayor la de menor denominador. 105 112 120 3 4 6  < < , , 140 140 140 4 5 7

c)

–3 9

–1

1 6 9 5 7

0

2

1.78. Escribe en cada caso la fracción irreducible.

a)

30 150

c)

13 21

b)

28 42

d)

18 3

a)

30 30 : 30 1 = = 150 150 : 30 5

c)

13 21

b)

28 28 : 14 2 = = 42 42 : 14 3

d)

18 18 : 3 6 = = =6 3 3:3 1

1.79. Indica la abscisa de los puntos indicados.

a)

b)

1

0

a)

1

0

4 5

b)

2

3

5 17 = 6 6

2+

1.80. Representa estas fracciones utilizando el teorema de Tales.

a)

3 7

b)

−

3 10

c)

a)

6 5

d)

16 3

c) 6 =1+1 5 5

0

3 7

1

b)

0

1

6 5

2

d) 16 = 5 + 1 3 3

–1

–3 10

0 0

1

2

3

4

5 16 3

6

Unidad 1 | Números reales

31

1.81. Realiza estas operaciones.

d)

5 ⋅ ( −3 ) 6

7 2 4 + − 30 3 15

e)

5  −1    ⋅ ( −4 ) ⋅ 7  3 

4−

7 1 + 6 2

f)

( −2 ) :

a)

3−

1 12 1 12 − 1 11 = − = = 4 4 4 4 4

d)

5 ⋅ ( −3 ) −15 −5 5 ⋅ ( −3 ) = = = 6 6 6 2

b)

7 2 4 7 20 8 19 + − = + − = 30 3 15 30 30 30 30

e)

5 −1⋅ ( −4 ) 5 4 5 4 ⋅ 5 20  −1  ⋅ = ⋅ = =  3  ⋅ ( −4 ) ⋅ 7 = 3 7 3 7 3 ⋅ 7 21  

c)

4−

7 1 24 7 3 20 10 + = − + = = 6 2 6 6 6 6 3

f)

( −2 ) :

c)

3 3 4  2 −  : − 4 5 5 

d)

4 1 3 1 ⋅ − : 3 5 4 6

a)

3−

b) c)

1 4

−3  1  ⋅  4 6

4 −3  1  ( −2 ) ⋅ 4 1 8 1 8 ⋅ =: ⋅ = ⋅ = = −3 4  6  6 3 6 18 9

1.82. Realiza las siguientes operaciones.

2 4 ⋅ −1 3 5

a)

4:

b)

1 5  2 ⋅  − 1 : 2 + 3 6 

a)

4:

b)

1 1  −1  1 1 5   −1  2 ⋅  − 1 : 2 + = 2 ⋅   : 2 + =   + = 3 3  6  3 6 6   6

c)

3  3 4 5 3 4 25 4 125 48 77   2 − 4  : 5 − 5 = 4 : 5 − 5 = 12 − 5 = 60 − 60 = 60  

d)

4 1 3 1 4 18 16 270 −254 −127 ⋅ − : = − = − = = 3 5 4 6 15 4 60 60 60 30

2 4 12 4 48 38 19 ⋅ −1= ⋅ −1= −1= = 3 5 2 5 10 10 5

1.83. ¿Qué

paréntesis son necesarios y de cuáles podríamos prescindir en estas operaciones? a) b)

a) b) c) d)

32

3 5 3  : + 4 2 7

c)

 4 1 4  − + +1 3 4 5

1   4 1  1 1 −3 ⋅  + 3  − 1 d)  :  +  −  5  5 2 6 4 Sobra el paréntesis, pues la división ya tiene prioridad sobre la suma. 1 1  Sí es necesario, ya que: −3 ⋅  + 3  ≠ −3 ⋅ + 3 . 5 5 

Sobra el paréntesis, ya que solo hay sumas y restas, que no tienen prioridad una sobre la otra. No es necesario, por las razones expuestas en a y b.

Unidad 1 | Números reales

1.84. (TIC) Realiza estos cálculos teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.

a) b)

a) b)

1 2 1 − ⋅ +2 4 5 3 1 2 1  − ⋅  + 2 4 5 3  1 2 1 15 8 120 127 − ⋅ +2= − + = 4 5 3 60 60 60 60 −41 1 2 1 1 2 7 1 14  − ⋅  + 2 = − ⋅ = − = 4 5 3  4 5 3 4 15 60

c)

−3 1 −1 39  1 2 1  4 − 5  ⋅ 3 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 = 20 + 2 = 20  

d)

 1 2  1  −3 7 −7  4 − 5  ⋅  3 + 2  = 20 ⋅ 3 = 20    

 1 2 1  − ⋅ +2 4 5 3  1 2  1   −  ⋅  + 2 4 5 3    

c) d)

1.85. Encuentra una fracción que esté situada entre

4 3 y . 7 5

4 4 ⋅ 5 20 3 3 ⋅ 7 21 20 20,5 21 20,5 205 41 , =  < <  = = = = = 7 7 ⋅ 5 35 5 5 ⋅ 7 35 35 35 35 35 350 70 1.86. Observa la siguiente operación:

3 1 3 10 −2: − = 2 5 4 11

a)

¿Qué prioridad no se ha tenido en cuenta en ella?

b)

Introduce los paréntesis que se necesitan para que la solución sea correcta.

a)

La de la división, se han hecho primero las dos restas. 3   1 3  10  2 − 2  :  5 − 4  = 11    

b)



1.87. Efectúa esta operación: 3 −



 1 2 4  3 1 :  1 −  + 2 ⋅ − : 3 − 5  4 4  3 5

  1 2 4  3 1  4 1 16  1 2 1   1 2 1 3 − 5 :  1 − 4  + 2  ⋅ 3 − 5 : 3 − 4 =  3 − 5 : 4 + 2  ⋅ 3 − 15 − 4 =  3 − 5 + 2  ⋅ 3 − 15 − 4 =         9 1 2 1 9 2 1 13 = ⋅ − − = − − = 5 3 15 4 15 15 4 60

Números racionales. Expresión decimal 1.88. Indica, sin realizar la división, qué tipo de expresión decimal tiene cada fracción.

a)

1 125

c)

11 35

a)

125 = 53. Es decimal exacto.

c)

35 = 7 · 5. Es periódico mixto.

b)

21 = 7 · 3. Es periódico puro.

d)

Es periódico puro.

b)

43 21

d)

2 7

1.89. Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales.

a)

45,777…

a) b)

b)

1,2323…

c)

3,4222…

d)

457 − 45 412 = 9 9

c)

342 − 34 308 154 = = 90 90 45

123 − 1 122 = 99 99

d)

536 − 5 531 59 = = 990 990 110

0,53636…

Unidad 1 | Números reales

33

1.90. Halla los valores que faltan en la tabla.

Expresión decimal

0,52

5,2312 43 7

Expresión fraccionaria

Expresión decimal Expresión fraccionaria

11 45

0,52

 6,142857

5,2312

 0,24

13 25

43 7

6539 1250

11 45

1.91. Determina el valor de un denominador adecuado para convertir cada fracción en una

expresión decimal del tipo que se indica. 51

a = 50,

51

51

a

b

c

Decimal exacto

Periódico puro

Periódico mixto

51 = 1,02 50

b = 9,

 51 = 5,6 9

c=

 51 = 0,16 306

1.92. Realiza las siguientes operaciones, expresando los decimales previamente en forma de

fracción.  2 + 3,4 a) 0,46 − 5  3 1 ⋅ 2,4 − b) 3 5

a)

46 − 4 2 34 42 4 34 14 30 14 + 90 104 52 − + = − + = + = = = 90 5 10 90 10 10 30 10 30 30 15

b)

1 24 − 2 3 22 3 110 − 81 29 ⋅ − = − = = 3 9 5 27 5 135 135

Números reales. Aproximaciones y errores 1.93. Clasifica estos números en racionales o irracionales. Justifica la respuesta.

a)

7

c) d)

121

b)

4,252552555…

4,5252…

a) b)

Irracional. No podemos expresar su parte decimal de modo exacto o periódico. Irracional. En la parte decimal, después de cada 25 se le añaden sucesivamente 0, 1, 2… cifras de 5. De este modo, nunca lo podremos expresar de forma periódica o exacta.

c)

Racional.

d)

Racional, de período 52

121 = 11. Número entero

1.94. ¿Se pueden encontrar dos números enteros cuyo cociente sea 7,41411411…? Justifica la

respuesta. No, ya que si se pudiese expresar dicho número como cociente de dos números enteros, sería un número racional, pero 7,4141141114... es un número irracional.

34

Unidad 1 | Números reales

1.95. Explica si son ciertas o falsas estas afirmaciones.

a)

Todo número entero es racional.

b)

Todo número real es racional.

c)

Muchos números racionales son naturales.

d)

Un número racional tiene una sola expresión fraccionaria.

e)

Los números irracionales forman el conjunto de todos los números con infinitas cifras decimales. z Verdadera, ya que todo número entero z se puede escribir como . 1 Falsa, porque los números reales están compuestos por la unión de los racionales y los irracionales. Por ejemplo, 2 no es racional y sí es real. Verdadera. Todos los racionales con numerador que sea un número natural y denominador igual a uno. 1 2 3 Falsa. Por ejemplo: = = =······· 2 4 6 Falsa. Además de tener infinitas cifras decimales, estas han de ser no periódicas.

a) b) c) d) e)

1.96. Indica qué relación tiene el triángulo de catetos 4 y 5 con la representación del número

41 .

41 es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son 4 y 5, verificando dicho triángulo el teorema de Pitágoras: 4 2 + 5 2 = 41 1.97. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.

a)

9 16

c)

–7,6767…

e)

−3 49

d)

3,454554555

f)

336 21

b)

2π

a)

Racional, el resultado de la operación es

b)

Irracional, ya que π es un número irracional, y su expresión decimal ni es exacta ni se puede expresar de forma periódica; al multiplicarlo por 2 ocurrirá lo mismo.

c)

Racional, con período 67

d)

Irracional. En la parte decimal, después de cada 4 se le añaden sucesivamente 1, 2, 3… cifras de 5. De este modo, nunca lo podremos expresar de forma periódica o exacta.

e)

Racional, el resultado de la operación es –21.

f)

Racional, el resultado de la operación es 16.

3 . 4

1.98. Realiza estas aproximaciones del número 463,2673.

a)

Aproxima por defecto a la centésima.

b)

Aproxima por exceso a la milésima.

c)

Redondea a la parte entera.

d)

Redondea a la décima.

a)

Aproximación por defecto a la centésima: 463,26

b)

Aproximación por exceso a la milésima: 463,268

c)

Redondeo a la parte entera: 463

d)

Redondeo a la décima: 463,3

Unidad 1 | Números reales

35

1.99. Aproxima con dos cifras decimales el valor de

17 , por exceso y por defecto. 17 4,13 4,12

Por exceso Por defecto

1.100. Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen al elegir 5,67 como aproximación

de

17 . 3

a)

Error absoluto: Eabs =

b)

Error relativo: Erelat =

17 − 5,67 = 5.666... − 5,67 = 0,00333... 3

Eabs = 0,00058823... 17 3

1.101. Efectúa estas operaciones con una aproximación de tres cifras decimales, por exceso y

por defecto. a)

7 +2 3

5 ⋅ 12

b)

a)

7 2,646 2,645

Por exceso Por defecto b)

Por exceso Por defecto

3 1,733 1,732

7 +2 3 6,112 6,109

2 3 3,466 3,464

5

12

5 ⋅ 12

2,237 2,236

3,465 3,464

7,752 7,745

1.102. El resultado del cálculo de la diagonal del rectángulo de la figura es 5,831.

3 cm

5 cm

Determina el error absoluto y el error relativo. El valor de la diagonal es

34 .

Error absoluto: |5,831 – 5,83095189…| = 0,0000481… Error relativo:

1.103. Calcula

0,0000481 ... = 0,00000825 5,83095189 ...

7 − 10 , con una aproximación de dos decimales, por exceso y por defecto.

Por exceso Por defecto

7

10

7 − 10

2,65 2,64

3,17 3,16

–0,51 –0,53

1.104. Halla el valor de x e y para que se cumpla la relación

13 <

x < 14. y

La solución del ejercicio no es única. Por ejemplo, valdría:

36

Unidad 1 | Números reales

13 ≅ 3,6;

14 ≅ 3,7 

x 365 73 (Fracción irreducible) = 3,65 = = 100 20 y

1.105. Se han realizado tres cálculos distintos del volumen de un cilindro de 2 centímetros de

radio y 3 centímetros de altura. En cada uno de ellos se ha utilizado una aproximación distinta de π. V1 = 37,6992 cm3 V2 = 37,69908 cm3 V3 = 37,698 cm3

¿En cuál de ellos se ha utilizado la mejor aproximación de π? V1 = π ⋅ 22 ⋅ 3 = 12π = 37,6992  π ≅ 3,1416 V2 = π ⋅ 22 ⋅ 3 = 12π = 37,69908  π ≅ 3,14159 V3 = π ⋅ 22 ⋅ 3 = 12π = 37,698  π ≅ 3,1415

La mejor aproximación se ha utilizado en V2 , y ha sido π ≅ 3,14159 .

Representación gráfica de números reales 1.106. Representa en la recta real el número

7.

7 = ( 3)2 + 22

2 = 12 + 1 2

3 = ( 2)2 + 12

1

0

2

3

7

1.107. Dibuja en una recta estos intervalos y semirrectas.

a)

[– 3, 3)

c)

(– ∞, – 4]

b)

[– 3, ∞)

d)

(2, 4)

a) –3

0

3

b) –3

0

c) –4

0

d) 2

4

1.108. Indica el intervalo que representa cada dibujo.

a)

–2

b) c)

–3

–1

0 0

2

0

d)

6 0

a) b)

[–2, –1] (–3, 2]

c)

(6, +∞)

d)

(–∞, 1]

1

Unidad 1 | Números reales

37

1.109. Representa cada uno de estos números irracionales en una recta.

a) b)

c)

12

5,42422422242222…

21

d)

a)

3,01001000100001…

c) 8 = 22+22 12 = ( 8)2+22

21 = ( 17)2 + 22 17 = 42 + 1

0

8

4

0

12

b)

21

d) [5, 6] 5

[3, 4] 6

3

4

[5,4; 5,5]

[3; 3,1]

[3,42; 3,48]

[3,01; 3,02]

5

6

3

4

1.110. Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos.

a) –6

0

b) –7

–3

0

c) 0

a)

7

(–∞, 6]

b)

[–7, –3)

c)

(–∞, 7]

1.111. Representa la relación |x| < 5 en una recta y escribe el intervalo que la determina.

|x| < 5  –5 < x < 5 El intervalo que la determina es (–5, 5).

–5

0

5

PROBLEMAS 1.112. Los resultados finales de junio de una clase de 3.º de ESO son los siguientes:

38

Unidad 1 | Números reales

1 3

Aprueban todo

1 6

Suspenden 1

1 15

Suspenden 2

1 5

Suspenden 3

1 10

Suspenden 4

Los demás

Suspenden más de 4

Si el grupo es de 30 alumnos, ¿cuántos alumnos hay en cada nivel de suspensos? 1 30 = 10 alumnos. • Aprueban todo: de 30 = 3 3 •

Suspenden 1:

1 30 = 5 alumnos. de 30 = 6 6

•

Suspenden 2:

1 30 = 2 alumnos. de 30 = 15 15

•

Suspenden 3:

1 30 = 6 alumnos. de 30 = 5 5

•

Suspenden 4:

1 30 = 3 alumnos. de 30 = 10 10

•

2 60 1 1 1 1 1  2 Suspenden > 4: 1 −  + + + +  = 15  15 de 30 = 15 = 4 alumnos. 3 6 15 5 10  

1.113. El agua es un elemento escaso en

nuestro planeta, sobre todo la que se utiliza para cubrir las necesidades diarias.

Agua dulce en la Tierra

Agua en la Tierra 3% Dulce

33,25% Subterránea

De cada 100 litros de agua, ¿qué parte se encuentra en los ríos y lagos? 97% Salada

0,5% Ríos y lagos

66,25% Glaciares

Si tenemos 100 litros de agua, solo 3 de ellos son de agua dulce, y a esos 3 litros tenemos que aplicarles un 0,5%. De modo que: 100 ⋅

3 0,5 3 ⋅ = = 0,015 100 100 200

De 100 litros de agua, solo 0,015 litros se encuentran en ríos y lagos. 1.114. De todas mis vacaciones de verano,

2 1 las paso en mi pueblo. Una vez allí, del tiempo 3 5

estoy en la piscina. a)

¿Qué fracción de mis vacaciones estoy en la piscina?

b)

Si tengo 90 días de vacaciones, ¿cuántos días paso en la piscina?

a) b)

1 2 2 de = . 5 3 15 2 180 de 90 = = 12 . Con lo que el número de días que estoy en la piscina es: 15 15

La fracción de tiempo que paso en la piscina es:

1.115. El equipo de baloncesto del instituto juega la final del campeonato. Luis hizo

1 de los 8

2 3 y Laura, . Los restantes jugadores hicieron 16 puntos. Calcula el 8 8 número de puntos conseguidos por Luis, Sonia y Laura.

puntos, Sonia,

1 2 3 6 2 + + =  Los restantes jugadores obtuvieron de los puntos del equipo, que son 16 8 8 8 8 8 puntos  (16 : 2 ) ⋅ 8 = 64 puntos obtuvo todo el equipo.

Luis consiguió

1 2 3 de 64 = 8 puntos; Sonia, de 64 = 16 puntos, y Laura, de 64 = 24 8 8 8

puntos.

Unidad 1 | Números reales

39

1.116. El radio de la Luna es de 1737 kilómetros.

a)

Calcula el perímetro de su ecuador, tomando para π el valor 3,14. Redondea el resultado a las unidades.

b)

Calcúlalo ahora con la aproximación que usaban los babilonios: π = 3.

c)

Compara los resultados obtenidos. Si el valor verdadero es el del apartado a, ¿qué errores absoluto y relativo cometían los babilonios?

a) b)

Perímetro = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 1737 = 10908,36 ≈ 10908 km Perímetro = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3 ⋅ 1737 = 10 422 km

c)

Error absoluto: 10908 − 10422 = 486 Error relativo:

486 = 0,04 10908

1.117. El resultado del cálculo del área de un círculo de 3 centímetros de radio es 28,274337

centímetros cuadrados. a)

¿Qué aproximación de π se ha tomado?

b)

¿Es por exceso o por defecto?

c)

¿Cuáles son los errores absoluto y relativo?

b)

Acírculo 28,274337 ≅ ≅ 3,141593 9 r2 La aproximación tomada es por exceso, ya que π ≅ 3,14159265...

c)

Error absoluto: 3,141593 − 3,141592... = 0,000001

a)

Acírculo = π ⋅ r 2  π ≅

Error relativo:

0,000001 = 0,000000318 3,14159265 ...

1.118. En el triángulo equilátero de la figura.

a)

Determina la altura redondeando a la milésima.

b)

Expresa la altura mediante un número racional de dos decimales.

h

2

40

a)

Aplicando el teorema de Pitágoras: h = 22 − 12 = 3 ≅ 1,732 cm

b)

h = 1,73 cm

Unidad 1 | Números reales

AMPLIACIÓN 1.119. Una fracción menor que la unidad tiene numerador y denominador positivos. Si se le

añade 3 al numerador y al denominador, el valor de la nueva fracción respecto de la anterior verifica que: a)

Crece en 1.

c)

Decrece.

b)

Decrece en 3.

d)

Se aproxima más a 1.

Lo mejor es hacer algunas pruebas e ir eliminando posibilidades: tomemos la fracción es menor que la unidad. La fracción

1 , que 4

4 no ha crecido en 1 ni ha decrecido en 3; además, 7

4 1 > , luego eliminamos las opciones a, b y c. 7 4

Sí es cierto que

4 1 se aproxima más a 1 que . Luego d es la única opción cierta en este 7 4

caso.

a con a < b, pues nos dicen b a+3 : que es menor que 1, y veamos cuánto difieren de 1 dicha fracción y b+3

Para demostrar que d es siempre cierta, consideremos la fracción

1−

a+3 b−a a b−a = =  1− b+3 b+3 b b

Al ser los numeradores y denominadores positivos, y tener igual numerador y denominador mayor, esta última diferencia es menor que la primera. 1.120. Dos números irracionales cuya suma es un número racional son:

a)

2 y 3

c)

1,232232223… y 7,212212221…

b)

2 y π− 2

d)

No existen.

Como 1,232232223… + 7,212212221… = 8,333333… = 2 + 3 es irracional. Vamos a probarlo:

5 + 2 6 = a 2 , de donde

sería

a2 − 5 , es decir, 2

6=

25 es un número racional. 3

2 + 3 = a ; entonces, si elevamos al cuadrado:

a −5 . Si a fuera racional, es decir, una fracción, también lo 2 2

6 sería racional, cosa que sabemos que es falsa.

2 + π − 2 = π es irracional. 1.121. Esteban sube un collado con velocidad uniforme. A las 14.00 ha hecho un sexto de la

subida, y a las 16.00, tres cuartos. ¿Qué fracción de la subida había hecho a las 15.00? a)

11 12

b)

7 12

c)

11 24

d)

1 8

1 3 7 – = , luego entre las 14.00 y las 15.00, como iba a 6 4 12 1 7 7 11 . Así que a las 15.00 había hecho + = . velocidad uniforme, hizo la mitad, 6 24 24 24

Entre las 14.00 y las 16.00 hizo

Unidad 1 | Números reales

41

1.122. ¿Cuál es el mínimo número de losetas cuadradas, idénticas, que se requieren para cubrir

una superficie de a)

18 21 por metros? 5 5

18

b)

21

c)

Como mcd(18, 21) = 3, cada loseta debe medir y de largo, 7, pues

42

d)

84

3 18 3 = 6⋅ , de lado. De ancho caben 6, pues 5 5 5

21 3 = 7 ⋅ . Así que en total necesitaremos 6 · 7 = 42 losetas. 5 5

Otra forma de hacerlo es escribir las medidas en dm: la superficie mide 36 dm de ancho por 42 dm de largo y tenemos un problema de mcd. Como mcd(36, 42) = 6, las losetas medirán 6 36 42 dm de lado y necesitamos ⋅ = 42 losetas para cubrir todo. 6 6

AUTOEVALUACIÓN 1.A1. De una tarta dividida en 30 porciones iguales, Iker, Mohamed y Luis se comen

1 1 3 , y 5 3 10

de la tarta, respectivamente. a)

¿Cuántos trozos toma cada uno?

b)

¿Cuántos sobran?

a) b)

1 1 3 de 30 es 6, de 30 es 10 y de 30 es 9. Iker se toma 6 trozos; Mohamed, 10, y Luis, 9. 5 3 10 30 – (6 + 10 + 9) = 5. Sobran 5 trozos.

1.A2. Halla el valor de las letras que aparecen en esta cadena de igualdades de fracciones.

a 21 42 210 d = = = = 10 b 30 240 c

14 21 42 210 336 = = = = 10 15 30 150 240

1.A3. Representa en la recta real los siguientes números.

a)

−

12 4

b)

13 3

c)

a)

d)

c)

-3

-2

-1

0

2 — — 5

0

1

b)

1

2

d)

-1

42

2 5

0

Unidad 1 | Números reales

1

2

3

13 4— — 3

0

1

2

8 3

8

1.A4. Averigua la expresión fraccionaria de estos números decimales.

a)

8,3

b)

2,353535

c)

0,14444…

a)

83 10

b)

2353535 470707 = 1000000 200000

c)

14 − 1 13 = 90 90

1.A5. Realiza y simplifica estas operaciones.

a) b) a) b)

1 3 7 + − 6 5 3 4 1 4 − + 3 5 15 5 + 18 − 70 47 =− 30 30 20 − 3 + 4 21 7 = = 15 15 5

c) d) c) d)

3 15 14 ⋅ ⋅ 5 7 6 2 4 14 : ⋅ 3 7 8 630 =3 210 2 ⋅ 7 ⋅ 14 196 49 = = 3⋅4⋅8 96 24

1.A6. Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete al tomar 0,216 como

aproximación de

107 . 495

Error absoluto: |0,2161616161616… – 0,216| = 0,00016… 0,0001616161 6... = 0,00074 Error relativo: 0,2161616161 6... 1.A7. Realiza esta operación.

1+

1+

1 4 1  : − 3⋅2 −  5 3 4 

1 3 8 −1 3 21 20 + 3 − 105 −82 −41 ⋅ −3⋅ = 1+ − = = = 5 4 4 20 4 20 20 10

1.A8. Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos.

a) 0

4

b) –2

a)

0

3

( −∞, 4]

b)

[ −2, 3 )

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS Aprende a pensar > ¡No pierdas los papeles! 1.1.

Llama x a la medida del lado corto de un A0. Su lado largo será entonces mide su diagonal en función de x?

2 x . ¿Cuánto

¿Es racional o irracional? Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que d = x 2 +

(

2x

)

2

= 3 x , y este número será

racional o irracional dependiendo del valor de x. Como sabemos que el área de A0 es de 1 m2, x ⋅ 2 x = 1 , y, por tanto, x = 3x = 3

1 2

=

1 2

, por lo que

3 2 es irracional. 2

Unidad 1 | Números reales

43

1.2.

Calcula ahora, en función de x, la medida de la diagonal de un A1, un A2, un A3 y un A4. ¿Observas alguna regularidad? 2x , luego su diagonal mide: 2

El lado largo de un A1 medirá x, y el corto,

2

 2x  d1 = x +  =  2    2

El largo de un A2 medirá

x 2x , y el corto, , luego su diagonal mide: 2 2 2

2  x   2x  d2 =   +   =  2   2 

El largo de un A3 medirá

x , y el corto, 2

3 3x x= . 4 2

2x , luego su diagonal mide: 4 2

2  x   2x  d3 =   +   =  2   4 

El largo de un A4 medirá

3 x. 2

3 3x x= . 8 2 2

2x x , y el corto, , luego su diagonal mide: 4 4 2

2 3 3x  x   2x  d4 =   +  x= .  =  16 4 4  4 

Se observa que para pasar de una diagonal a otra hay que dividir entre semejanza entre las hojas).

Como x = 841 mm, d 4 =

3 ·841 ≈ 364 mm = 4

= 36,4 cm Al medir con una regla la diagonal de un folio, se obtiene aproximadamente 36,5 cm. 1.4.

¿Cuál es el grosor de un folio? ¿Cuánto pesa? Para hacer esta medición es conveniente realizar las medidas de un paquete de 100 ó 500 folios, y después, dividir entre el número de folios. •

Un paquete de 500 folios tiene un grosor de unos 5 cm, así que un folio tiene un 5 grosor aproximado de = 0,01 cm = 500 = 0,1 mm.

•

El peso depende del tipo de papel.

148 mm 74 mm

Mide ahora la diagonal de un folio A4. ¿Coinciden?

105 mm 52 mm

297 mm 1189 mm

Toma el verdadero valor de x del dibujo y sustitúyelo en la expresión de la diagonal del A4 que has calculado. ¿Qué valor obtienes?

594 mm

1.3.

2 (que es la razón de

210 mm 841 mm

A8

A7

A6

A4

A5

A2 A3

A1

Si un paquete de 500 hojas DIN A4 de 80 g pesa 2500 gramos, una hoja pesará:

44

Unidad 1 | Números reales

420 mm

2500 = 5 g. 500

1.5.

1.6.

¿Cuánto pesa cada página de tu libro de Matemáticas? •

Con una báscula, pueden pesar el libro, asumir que la cubierta son dos páginas más y dividir entre el número de páginas del libro.

•

Si se informan en internet, descubrirán que el gramaje del papel que se usa en los libros de texto está entre 90 y 120 g/m2. Si toman como referencia 100 g/m2, entonces el peso de 100 una página será de aproximadamente = 6,25 gramos. 16

¿Cuánta agua puede absorber un folio? Tomar un recipiente graduado del laboratorio o de la cocina, llenarlo de agua, hacer una bola con el folio, introducirlo en el vaso y dejar que se empape del todo. Después, sacarlo con cuidado, escurrirlo y observar cuánto ha bajado el nivel del agua.

1.7.

¿Cuántos folios hacen falta para empapelar tu aula? Depende del aula. La superficie de un folio es de 297 · 210 = 62 370 mm2 = 0,06237 m2. Se calculan las dimensiones del aula; después, la superficie de sus paredes; se resta la superficie de puertas y ventanas y se divide entre la superficie de la hoja.

1.8.

¿Cuántos círculos de radio 3 centímetros caben en un folio sin solaparse? Caben 5 a lo largo por 3 a lo ancho, que hacen un total de 15 círculos y sobra algún bordecito.

1.9.

¿Cuál es el cubo de mayor arista que puedes envolver con un folio? Para envolver un cubo de x cm de arista sin tener que cortar el folio, se debe cumplir que 4x ≤ 29,7 y 3x ≤ 21, luego la arista puede medir 7 cm a lo sumo.

1.10. ¿Cuántos folios harían falta para envolver la Tierra?

El diámetro de la Tierra es de aproximadamente 12 750 km, luego su área total es de 4 ⋅ π ⋅ 63752 ≈ 510 446 250 km2 = 510 446 250 000 000 m2 . Como el área de un folio es de 297 · 210 = 62 370 mm2 = 0,06237 m2: 510 446 250000000 = 8 184 163 059 163 059. Necesitaremos unos 8200 billones de folios. 0,06237 1.11. ¿Debería existir un impuesto ecológico por el uso del papel? ¿Sería así su uso más

responsable? Opina y debate en http://matematicas20.aprendeapensar.net. Respuesta abierta

Unidad 1 | Números reales

45

Reflexiona y deduce > Configurar página Andrea ha elegido el tamaño DIN A4, orientación vertical y márgenes superior e inferior de 3 cm y laterales de 2 cm. Determina: 1.1. El cociente entre el largo y el ancho del papel elegido. 29,7 = 1,414285714285714 21 1.2.

Las dimensiones del rectángulo en el que puede escribir. Largo = 29,7 – 2 · 3 = 23,7 cm, y ancho = 21 – 2 · 2 = 17 cm

1.3.

El área de la zona de que dispone para escribir en esa página. (29,7 – 6) · (21 – 4) = 402,9 cm2

Su compañero Luis configuró la página del mismo tamaño y con los mismos márgenes, pero con orientación horizontal (apaisada). 1.4. Determina las dimensiones del rectángulo en el que puede escribir. Horizontal = 29,7 – 2 · 2 = 25,7 cm, y vertical = 21 – 2 · 3 = 15 cm 1.5.

¿Crees que ambos tendrán el mismo espacio para escribir en esa página? ¿Por qué? Luis tendrá menos espacio para escribir, pues 25,7 · 15 = 385,5 cm2.

1.6.

¿Cuál de ellos aprovecha mejor el papel? Andrea

1.7.

¿Cuál de las dos configuraciones de página te parece más adecuada para escribir una carta al director de tu centro solicitando material didáctico para la clase de Matemáticas? La configuración de Andrea, porque no se necesita aprovechar el papel, y la forma habitual de escribir cartas, solicitudes, etc. es en vertical.

46

Unidad 1 | Números reales

Calcula con ingenio > Un rompecabezas irracional He solado mi terraza con baldosas triangulares, dejando un hueco cuadrado para el pozo. Cada triángulo equilátero tiene un metro de lado. ¿Qué área debe tener la tapa del pozo?

Una pista (pero para usarla tendrás que demostrar que es cierta): ¡todos los triángulos tienen la misma área! Cada uno de los triángulos tiene igual área, pues las diagonales de un rectángulo lo dividen siempre en cuatro triángulos de igual área:

a

b 2

a 2

b 1 m, y su área 2 3 m2. Así pues, su base mide es igual a la de los triángulos equiláteros de lado 1, 4

Los triángulos oscuros tienen altura igual a

Como el área de los 16 triángulos es 16 ⋅

(1 + 3 ) será

2

3 m.

3 = 4 3 m2 y el área de mi terraza es 4

= 4 + 2 3 m2, el área del cuadrado central es 4 − 2 3 m2, y el lado del cuadrado

4−2 3 =

(

)

3 −1

2

= 3 − 1.

Unidad 1 | Números reales

47

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Rafaela Arévalo, José Luis González, Juan Alberto Torresano Edición: Elena Calvo, Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Domingo Duque, Félix Moreno, Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya

(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto del que aparece en el libro del alumno.

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain