ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA: ICAI MÁSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL

ADAPTACIÓN DE UN MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL

Autor: Carlos Pablo-Romero Rein Directores: Alberto Campos Fernández, Margarita Robaina Alves, José Villar Collado

Madrid Julio 2016

ADAPTACIÓN DE UN MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL

Carlos Pablo-Romero Rein

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Índice ÍNDICE ...................................................................................................................................... 1 1.

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 5

2.

ESTADO DEL ARTE............................................................................................................. 7 2.1 2.2

3.

DESCRIPCIÓN DE LA TÉCNICA .................................................................................................... 7 APLICACIONES...................................................................................................................... 13

DESCRIPCIÓN, FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DEL MODELO BÁSICO................................ 15 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL COMPUTABLE, CONDICIONES INICIALES DE WALRAS ................... 15 MATRIZ DE CONTABILIDAD SOCIAL .......................................................................................... 17 FUNCIONES DE PRODUCCIÓN DE LA ECONOMÍA COBB-DOUGLAS .................................................. 22 DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL COMPUTABLE ..................... 24 CONDICIONES DE COMPLEMENTARIEDAD MIXTA, MCP ............................................................... 30 LINEALIZACIÓN DEL MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL COMPUTABLE: DESARROLLO DE TAYLOR DE PRIMER ORDEN.................................................................................................................................. 31 3.7 CALIBRADO DEL MODELO DE EQUILIBRO GENERAL COMPUTABLE ................................................... 34 3.8 EJEMPLO ILUSTRATIVO DEL MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL, VALIDACIÓN Y CALIBRADO.................. 37 3.9 DATOS DE LA MATRIZ DE CONTABILIDAD SOCIAL PARA LA CALIBRACIÓN: CASO ESPAÑOL .................... 39 4.

EXTENSIÓN DEL MODELO BÁSICO ................................................................................... 43 4.1 4.2 4.3

INCORPORACIÓN DE LOS IMPUESTOS Y SUBVENCIONES ................................................................ 43 INCORPORACIÓN DE INTERCAMBIOS INTERNACIONALES ............................................................... 54 OTRAS VARIABLES A CONSIDERAR ............................................................................................ 58

5.

INTEGRACIÓN DEL SECTOR ELÉCTRICO ............................................................................ 61

6.

CONCLUSIONES .............................................................................................................. 67 6.1 6.2 6.3

7.

CONCLUSIONES SOBRE LA METODOLOGÍA ................................................................................. 67 CONCLUSIONES SOBRE LOS RESULTADOS................................................................................... 68 FUTURAS LÍNEAS DE DESARROLLO ............................................................................................ 69

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS......................................................................................... 71

ANEXOS.................................................................................................................................. 77 ANEXO A – RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LOS HOGARES (8) .................................................................. 77 ANEXO B – RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LAS EMPRESAS (14) ............................................................... 79 ANEXO C – DESARROLLO DE LA ECUACIÓN (19) ...................................................................................... 81 ANEXO D – LINEALIZACIÓN DE LA CONDICIÓN DE COMPLEMENTARIEDAD MCP COMO MIP ........................... 83

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ANEXO E – LINEALIZACIÓN DE LA CASACIÓN DEL MERCADO DE COMMODITIES.............................................. 84 ANEXO F – LINEALIZACIÓN DE LA CASACIÓN DEL MERCADO DE FACTORES DE PRODUCCIÓN............................. 87 ANEXO G – LINEALIZACIÓN DE LAS CURVAS DE PRODUCCIÓN DE COBB-DOUGLAS ......................................... 89 ANEXO H – DATOS DE LA MATRIZ DE CONTABILIDAD SOCIAL PARA EL CALIBRADO: CASO ESPAÑOL ................... 92 ANEXO I – FUNCIÓN VECTORIAL DEL MODELO DE EQUILIBRIO GENERAL CON IMPUESTOS.............................. 100 ANEXO J – DATOS DEL EJEMPLO ILUSTRATIVO PARA INCREMENTOS DE 1% EN LAS TASAS IMPOSITIVAS ........... 105 ANEXO K – RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LOS HOGARES Y EL PROBLEMA DEL GOBIERNO CON IMPORTACIONES NO NULAS ...................................................................................................................................... 110 ANEXO L – RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LAS EMPRESAS INCLUYENDO EL COMERCIO INTERNACIONAL ........ 112

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Tabla 1. Ejemplos de funciones de producción comunes .................................................... 10 Tabla 2. Disposición de las matrices X, V y G........................................................................ 20 Tabla 3. Matriz de contabilidad social de ejemplo ............................................................... 37 Tabla 4. Parámetros del ejemplo.......................................................................................... 38 Tabla 5. Industrias y ramas de actividad económica en el modelo de equilibrio general ... 40 Tabla 6. Disposición de las matrices X, V y G incluyendo la nueva columna correspondiente al gobierno .................................................................................................................... 50 Tabla 7. Matriz de contabilidad social de España (2010) ..................................................... 93 Tabla 8. Resultados y datos de las variables del modelo ................................................... 105 Tabla 9. Resultados de las variables de los ingresos, los precios y las cantidades ............ 109 Figura 1. Representación del flujo circular de una economía .............................................. 19 Figura 2. Descripción detallada del sector energético dentro de un modelo de equilibrio general .......................................................................................................................... 62 Figura 3. Modelo híbrido con vinculación débil ................................................................... 64 Figura 4. Modelo híbrido con vinculación débil y retroalimentación iterativa .................... 65 Figura 5. Modelo híbrido con vinculación fuerte ................................................................. 66 Gráfica 1. Evolución del precio de la primera commodity ................................................. 106 Gráfica 2. Evolución del precio de la segunda commodity ................................................ 107 Gráfica 3. Evolución de la producción de la primera commodity ...................................... 107 Gráfica 4. Evolución de la producción de la segunda commodity ..................................... 108 Gráfica 5. Evolución del precio de la mano de obra ........................................................... 108 Gráfica 6. Evolución del precio del capital ......................................................................... 109

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1.

Introducción

A menudo los gobiernos necesitan estudiar y analizar la economía de su país en un momento determinado para prever el impacto a largo plazo de ciertas políticas o reformas que quieran llevar a cabo, como por ejemplo la implantación de tasas por emisiones de dióxido de carbono o de subvenciones a las energías renovables. Generalmente, estos estudios se llevan a cabo a través de modelos de simulación económica. Para el estudio de la economía de un país, existen dos enfoques en función de la perspectiva y de las variables utilizadas. Por un lado la microeconomía, que se encarga esencialmente del comportamiento de los agentes económicos individuales que buscan maximizar su beneficio o utilidad, y por otro, la macroeconomía que estudia la economía de forma más global, analizando variables agregadas como el producto interior bruto (PIB), la tasa de desempleo o los niveles de impuestos. Dentro de la microeconomía, la teoría de equilibrio general analiza el comportamiento y las interacciones de los agentes económicos individuales de una economía con uno o varios mercados. Ejemplos de agentes económicos individuales son los productores de bienes y servicios, tanto de las entidades públicas como de las privadas, los consumidores de esos bienes y servicios o las entidades extranjeras que consumen y aportan bienes a través de la importación y la exportación. Para llevar a cabo el análisis cuantitativo del impacto de determinadas políticas económicas, tanto en la economía general como en los comportamientos individuales de los agentes, se desarrollan los modelos de equilibrio general. Éstos sirven para simular las distintas medidas que se proponen en un país y obtener una valoración aproximada de sus efectos. En este proyecto se tratará de desarrollar un modelo económico general de España, adaptando uno ya existente de Portugal (Robaina, 2011) y acoplando un modelo más detallado del mercado eléctrico en España. La integración de este modelo más detallado del sector eléctrico permitirá realizar una mejor evaluación de las interacciones existentes entre la economía y este sector, enriqueciendo el modelo de equilibrio general. Otros modelos de integración similares ya fueron desarrollados para los sectores energéticos (Gonzalez, 2007; Wing, 2008; Proença, 2013), analizando medidas como las emisiones de CO2 y las restricciones medioambientales. Este aspecto medioambiental juega un papel muy

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importante de cara a cumplir los objetivos fijados por la Unión Europea: tanto a medio plazo, con los objetivos ya pactados para el 2020 sobre las emisiones, la eficiencia energética y las energías renovables; como para largo plazo, por ejemplo para cumplir la propuesta de reducción de las emisiones de CO2 en un 50% en España para 2050. Además, para entender el procedimiento de integración del modelo de precios del mercado eléctrico, se pretende llevar a cabo una descripción detallada del proceso de formulación y deducción de las ecuaciones del modelo de equilibrio general. Así, una vez comprendidas bien las funciones del modelo general, se podrá estudiar las distintas alternativas de cómo acoplar el modelo de precios del sector eléctrico, sus ventajas y sus desventajas.

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2. 2.1

Estado del arte Descripción de la técnica

Debido a la importancia que tienen las políticas tanto energéticas como medioambientales en la economía de un país, es necesario el estudio y análisis del impacto que tienen. Además, las políticas anteriores están íntimamente ligadas, y para el estudio de sus impactos económicos y de sus relaciones es frecuente el uso de los modelos computables de equilibrio general (Wing, 2008; Labandeira, Linares y Rodríguez, 2009; Robaina, 2011; Proença y Aubyn, 2013). El primer ensayo sobre las interacciones entre los mercados lo realizó Léon Walras en 1874 en su publicación Elements of pure economics. Tras él, Arrow, Debreu y McKenzie continuaron el desarrollo de los modelos de equilibrio general con el modelo de equilibrio walrasiano como referencia (1954). Finalmente, Johansen propuso el primer modelo de equilibrio general en 1960, aunque no fue hasta la década de los años noventa cuando el uso de esta metodología se comenzó a extender. Los modelos de equilibrio general computables son simulaciones que combinan la estructura teórica del equilibrio general de Arrow y Debreu con datos económicos reales de una entidad para resolver los niveles de oferta, demanda y precios de un determinado mercado. En otras palabras, los modelos de equilibrio general estudian uno o varios mercados de la economía de una entidad, suponiendo equilibrio entre la oferta y la demanda en dichos mercados, y suponiendo que los distintos agentes económicos individuales buscan maximizar su propio beneficio. Se establecen una serie de variables endógenas (precios y cantidades) que se formulan de tal manera que beneficio y bienestar se optimizan, y tal que los agentes no pueden mejorar su situación cambiando su comportamiento (Shoven y Whalley, 1992). Además, se supone que los mercados operan en condiciones de competición perfecta. Por último, para otorgar rigor empírico a estos modelos, es necesario calibrar los parámetros de las ecuaciones formuladas con datos reales.

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El rigor empírico de los modelos de equilibrio general los convierte en unas herramientas de análisis que, debido a la interdependencia de las variables económicas, son capaces de tener en cuenta algunas de las complejidades relevantes de la economía. Una de las principales virtudes del modelo de equilibrio general es su capacidad para valorar las consecuencias que un cambio puntual en una variable o en un sector puede tener en el conjunto de la economía, gracias a la desagregación que permite de las ramas de actividad y a la precisión de los métodos computacionales. Por ello, los modelos de equilibrio general son muy adecuados para el estudio de las interacciones entre diferentes mercados, como el sistema energético y el resto de la economía, ya que tiene en cuenta los efectos directos de los cambios microeconómicos, como son los cambios de políticas exógenas al modelo. Se utilizan en análisis de diversas áreas como por ejemplo en reformas fiscales y planes de desarrollo (Perry et al, 2001; Gunning and Keizer, 1995), comercio internacional (Harrison et al, 1997) o regulación medioambiental (Robaina, 2011; Goulder, 2002). Existen varios tipos de modelos de equilibrio general dependiendo de una serie de suposiciones teóricas básicas que afectan a la estructura de los propios modelos. Suposiciones macroeconómicas La primera rama de suposiciones que afecta a la clasificación de los modelos de equilibrio general es con motivo de los balances macroeconómicos. Es necesario describir cuál es el rol de las entidades macroeconómicas en la producción microeconómica. Desde este punto de vista, generalmente se suelen asumir las condiciones de Walras (1874) de equilibrio económico general: casación del mercado de bienes y servicios, y beneficio nulo de los agentes económicos (se explican con mayor detalle en el apartado 3.1). También, se suelen analizar las suposiciones relacionadas con los demás balances macroeconómicos: el balance de ahorros, el balance del gobierno y el balance de pagos con el exterior. Cada balance aporta al modelo dos variables macroeconómicas, referidas al gasto y a los ingresos respectivamente. Conociendo las variables macroeconómicas que afectan al modelo de equilibrio general, se debe determinar de entre ellas cuáles son variables exógenas y cuáles son endógenas al modelo para solucionar los balances y mantener el sistema compatible determinado. Cada variable macro está compuesta de una serie de términos variables específicos. Para el gobierno: gastos por medio de consumo,

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ahorros, transferencias; ingresos por medio de impuestos, transferencias. Para el balance de pagos con el exterior las variables pueden ser: cambio de moneda, transferencias, balance de pagos, inversión extranjera. Para el balance de ahorro-inversión, la identidad de ahorro e inversión económica de cada agente. La elección de un determinado conjunto de suposiciones sobre estas variables puede modificar significativamente los resultados del modelo (Rodrigues, 2009). Suposiciones microeconómicas La segunda rama de suposiciones son las bases microeconómicas de los modelos de equilibrio general, que le dan consistencia al modelo, por lo que hay que prestar atención a este aspecto. Algunas de las posibles hipótesis son rendimientos de escala no crecientes1, competencia imperfecta (monopolios), commodities perfectamente divisibles, preferencias globales de consumo, homogeneidad del capital y la mano de obra, etcétera. De entre las mencionadas hipótesis, destacan las dos primeras por haber sido las dos suposiciones de los modelos de equilibrio general tradicionales más discutidas y criticadas (François, 1997). Suposiciones de las curvas de producción Por último, la tercera rama de suposiciones son las consideraciones en torno a las curvas de producción de los agentes económicos del modelo de equilibrio general. Los modelos neoclásicos representan la tecnología de producción a través de descripciones matemáticas del proceso de producción, llamadas funciones de producción. Estas funciones de producción son funciones matemáticas que describen el valor de salida posible, con una determinada estructura tecnológica existente, a partir de una combinación más eficiente posible de los factores de entrada físicos (Rodrigues, 2009). Para determinar la relación óptima entre los factores iniciales para la producción de los factores de salida se utilizan las elasticidades. Las elasticidades son parámetros que representan la facilidad (o dificultad) para cambiar de factor de entrada, y cuál es la proporción necesaria de cada factor de entrada para la producción. Las funciones de producción más utilizadas en materia de modelos de equilibrio general son las recogidas en la Tabla 1.

1 Los rendimientos de escala hace referencia al cambio en la cantidad de producción que resulta de un cambio

proporcional en los factores primarios cuando todos ellos se multiplican por un parámetro constante.

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Tabla 1. Ejemplos de funciones de producción comunes2

Función de producción

Ecuación 𝑁

CES

𝑄(𝑥1 , . . , 𝑥𝑁 ) = ∑ (𝐴𝑖

1⁄ 𝑠

Elasticidad de substitución

·

𝑠 𝑠−1 𝑠−1 𝑥𝑖 𝑠 )

Constante = s

𝑖=1

Cobb-Douglas

𝑄(𝑥, 𝑦) = A · x a · y b

CES con s if a + b = 1 if a + b < 1 if a + b > 1

→1 → CRTS3 → DRTS4 → IRTS5

Leontief (Complementos Perfectos)

𝑥 y 𝑄(𝑥, 𝑦) = A · ( , ) 𝑎 𝑏

CES con s → 0

Substitutos Perfectos

𝑄(𝑥, 𝑦) = A · (𝑥 + 𝑦)

CES con s → ∞

Siendo s la elasticidad de substitución. Sin embargo, los economistas no neoclásicos son bastante críticos con estos modelos de producción. Recelan de que estas funciones de producción únicamente tengan en cuenta información respecto a substituciones de los factores de entrada para optimizar su 2

Fuente: Rodrigues, R. (2009-2010). Computable General Equilibrium Models Applied to Energy Policy Evaluations. Master tesis en Universidad Pontificia de Comillas ICAI-ICADE. Madrid, España 3 CRTS: Constant Returns To Scale, rendimientos de escala constantes (independiente de la cantidad producida) 4 DRTS: Decreasing Returns To Scale, rendimientos de escala decrecientes (la cantidad de producción aumenta en menor medida que el cambio proporcional de los factores de entrada) 5 IRTS: Increasing Returns To Scale, rendimientos de escala crecientes (la cantidad de producción aumenta en mayor medida que el cambio proporcional de los factores de entrada)

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eficiencia, dejando de lado otros posibles factores que alterarían la producción, como la racionalidad de los agentes6: por ejemplo, la independencia de la mano de obra en las posibilidades de substitución entre los factores de capital, ya que en la vida real la elección de capital depende de la cantidad y la calidad de la mano de obra disponible (Rodrigues, 2009). Sin embargo, pese a sus limitaciones, las funciones de producción aportan simplificaciones que realizan descripciones razonables que se aproximan bastante a la realidad (Miller, 2008). Atendiendo a otros aspectos de los modelos, podemos distinguir entre modelos de equilibrio general y modelos de equilibrio parcial. Sin embargo, estos últimos son una representación más incompleta de la economía general y se centran en un sector específico, como podría ser el sector eléctrico. Por tanto, son menos apropiados para analizar los efectos retroactivos de los cambios en determinadas políticas en la economía general de una entidad. En cambio, en los modelos de equilibrio general las interacciones están claramente modeladas debido a la dependencia de la oferta y la demanda en los precios relativos (Bandara, 1991). También son más adecuados para el análisis de los efectos de los cambios a muy largo plazo provocados por ciertas políticas. No obstante, al contener menos detalle son más susceptibles a errores e incertidumbre. Por otro lado, para solventar algunas críticas de los economistas no neoclásicos comentadas anteriormente, se pueden desarrollar modelos híbridos que combinen los modelos de equilibrio general con modelos de equilibro parcial para los sectores más sensibles a esas simplificaciones de las funciones de producción. Los modelos de equilibrio parcial, para el análisis cuantitativo de los impactos económicos en un sector específico, generalmente son de del tipo “bottom-up”. Por ejemplo, los modelos tecnológicos, debido a las características específicas de los sistemas de energía, tienen estas características Estos modelos parten de lo particular para realizar una descripción de lo general. Debido a esto, son adecuados para el análisis en cambios tecnológicos específicos, aunque suelen fallar a la hora de tener en cuenta aspectos como las distorsiones en los precios, las interacciones entre mercados y los efectos de los ingresos (Böringher y Rutherford, 2008). 6

Fuente: Rodrigues, R. (2009-2010). Computable General Equilibrium Models Applied to Energy Policy Evaluations. Master tesis en Universidad Pontificia de Comillas ICAI-ICADE. Madrid, España

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En cambio, lo modelos de equilibrio general “top-down” comienzan realizando una descripción general para luego ir centrándose en los detalles. Adoptan una perspectiva más amplia de la economía teniendo en cuenta las distorsiones del mercado iniciales, excedentes monetarios y el efecto de los ingresos de los distintos agentes económicos. No obstante, no suelen tener en cuenta ciertos detalles tecnológicos en la producción de la energía (Böringher y Rutherford, 2008). Debido a las carencias de los dos tipos de modelos, muchas veces se combinan para desarrollar unos modelos híbridos más completos (Proença y Aubyn , 2009). Los modelos híbridos pueden estar relacionados de tres maneras (C.Böhringuer & Rutherford, 2008). Primero, integrando un modelo reducido “bottom-up” dentro de uno “top-down” o viceversa (Bosetti et al. 2006). Segundo, realizando una integración de las versiones completas de ambos modelos, proporcionando unos modelos muy complejos (Böhringuer & Löschel, 2006). Tercero, por un enlace que permita la comunicación entre ambos modelos “top-down” y “bottom-up” hasta que converjan (Labandeira, Linares y Rodríguez 2009). Este último método proporciona el mayor nivel de detalle sin comprometer la viabilidad computacional del modelo debido a su complejidad, aunque representa un cierto reto mantener la coherencia debido a las inconsistencias en las asunciones de los comportamientos y en conceptos de contabilidad. El objetivo final de integrar ambos modelos sería evaluar las influencias de reformas en ciertas políticas de una manera más completa. Tratar de representar todos los posibles efectos de estos cambios con un modelo de equilibrio general conduciría un modelo económico más complejo y detallado. La integración para formar un modelo híbrido entre un modelo de equilibrio parcial (“bottom-up”) y otro general (“top-down”) fortalece la evaluación de las influencias económicas que pueden tener ciertas políticas energéticas o medioambientales, como por ejemplo el comercio de emisiones de CO2 (Labandeira, Linares y Rodríguez 2009). Finalmente, dependiendo del papel del tiempo en los modelos, se pueden disitnguir entre modelos de equilibrio general dinámicos y modelos de equilibrio general estáticos (Robaina, 2011).

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Los modelos dinámicos permiten el análisis de la evolución de una economía a lo largo del tiempo, representando los efectos a corto, medio y largo plazo. El objetivo es maximizar la función de bienestar social sujeta a ecuaciones dinámicas de capital. La dinámica viene de la naturaleza intertemporal de la planificación de los consumidores, cuyas decisiones de ahorro en cada período están basadas en una anticipación estática de los rendimientos futuros. Estas decisiones determinan la inversión, o más bien, los bienes de capital producidos en el período actual, que, situados en una ecuación de acumulación de capital, sirven de enlace entre los períodos sucesivos. El crecimiento del stock de capital, inducido por los ahorros, es lo que modifica las posibilidades de consumo y de inversión futura. Además del capital, el crecimiento demográfico y el progreso técnico son las variables que hacen la conexión entre períodos sucesivos. Por el contrario, los modelos estáticos simulan el equilibrio final de la economía a largo plazo tras la medida. Es decir, permiten comparar las situaciones anterior y posterior a una determinada reforma, cuando la economía ya está en un estado estacionario. Permiten además una mayor desagregación, sobre todo de los consumidores. Esta desagregación puede hacerse por diferentes criterios tales como la edad, el género, el estatus de empleo, el nivel de ingresos, la productividad, etc.

2.2

Aplicaciones

Desde los primeros trabajos de Arrow y Debreu (1954), Johansen (1960) y Taylor y Black (1974), se han publicado numerosos trabajos desarrollando rápidamente las posibles aplicaciones de los modelos de equilibrio general. Devarajan, Lewis y Robinson (1986) y Decaluwe y Martens (1987) agruparon muchos trabajos de diferentes países y con diferentes objetivos que utilizaban este tipo de modelos. Por su parte, en España, autores como Bajo y Gómez (1999, 2004, 2005) han contribuido ofreciendo una versión revisada de los modelos de equilibrio general para España. Otros autores contribuyeron a la expansión de los modelos de equilibrio general con herramientas empíricas aplicadas para el análisis de políticas por todo el mundo, como Shoven y Whalley (1984, 1992) o Dervis, de Melo y Robinson (1982) con su publicación en el Banco Mundial.

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Las ventajas al resolver sistemas multisectoriales y su capacidad al tratar problemas con complejas relaciones internas de los agentes y los mercados colaboraron al auge de las aplicaciones de los modelos de equilibrio general (Rodrigues, 2009). El objetivo de las aplicaciones ha ido modificándose a lo largo del tiempo, desde las primeras aplicaciones con trabajos empíricos como el de Harberger (1962) sobre los efectos de los impuestos en un modelo bisectorial, hasta nuestros días con el estudio de las políticas ambientales y energéticas. Otras áreas de aplicación son: comercio internacional (Taylor & Von Arnim, 2007), bienes y servicios públicos (Bernow, et al., 2002), planificación agraria (Wittwer, et al., 2005), distribución de la riqueza (Bandara, 1991), políticas de desarrollo (Dervis, de Melo, & Robinson, 1982), eficiencia energética y sostenibilidad (Hanley, et al., 2009), o impacto mediambiental (Böhringer, Löschel, & Rutherford, 2006).

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3. Descripción, formulación y resolución del modelo básico 3.1 Modelo de Equilibrio General Computable, condiciones iniciales de Walras7 Los modelos de equilibrio general computable, como ya hemos avanzado, son una herramienta de análisis para estimar cómo reacciona la economía de una entidad, como por ejemplo un país, a cambios políticos, tecnológicos o a otros factores. Estos cambios pueden ser de diversa índole, como reformas económicas, aumento de impuestos sobre un determinado producto, etcétera. Para la configuración del modelo, se deben considerar las instituciones o sectores que conforman la economía, y los diferentes agentes económicos que participan en ella, ya sean consumidores privados (hogares, empresas), públicos (gobierno) o externos (exportaciones e importaciones). Además hay que tener en cuenta los distintos factores de producción que intervienen en el modelo, como el capital o la mano de obra, proporcionados por los agentes económicos. El concepto fundamental que subyace en el modelo de equilibrio general es el flujo circular de las commodities en una economía cerrada, dónde hay dos principales actores: los hogares, que es el agente económico que proporciona los factores de producción (capital y mano de obra) para producir las commodities y al mismo tiempo son los consumidores finales de éstas; y las empresas, que se encargan de producir las commodities que se consumen. Existen otros agentes importantes que podrían intervenir en el modelo como el gobierno, que suele tener una actitud más bien pasiva recaudando impuestos y

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Fuentes: Walras, L. (1874). Éléments d’économie politique pure, ou théorie de la richesse sociale.

republished as Elements of Pure Economics or the Theory of Social Wealth, en Porcupine Press. 1984 Wing, Ian Sue. (2008). The synthesis of bottom-up and top-down approaches to climate policy modeling: Electric power technology detail in a social accounting framework, en Energy Economics, 30, 547-573

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redistribuyendo estos ingresos entre las empresas y los hogares a modo de subsidios, o los agentes externos de exportación e importación. En este modelo, se desarrollará en primer lugar un modelo de equilibrio general computable con únicamente los agente esenciales (hogares y empresas), y más adelante se describirán modelos que integren otros agentes relevantes. La motivación del desarrollo del modelo de equilibrio general desde sus bases radica en la falta de explicaciones paso a paso y de demostraciones rigurosas de su formulación, probablemente por dar las ecuaciones por supuestas pero que sin embargo generan cierta ambigüedad y desconocimiento sobre sus fundamentos de enfoque. Cabe destacar que los modelos de equilibro general computables no representan las commodities en su valor monetario, sino que trabaja en cantidades de commodities que se miden en una unidad común para poder ser comparables. Por ello, los precios del modelo de equilibrio general no son precios absolutos, sino que son precios relativos referidos al precio de una commodity o factor de producción que sirve de referencia al resto de precios. El flujo circular que los modelos de equilibrio general tratan de representar consiste en una serie de hipótesis y normas que buscan la conservación de productos y de valor. Esta conservación se consigue para el producto ya que asumimos que todos los factores de producción que aportan los hogares, y las commodities por la parte de las empresas, son completamente utilizadas por las empresas y hogares de la economía. En cuanto al valor, éste se mantiene de manera que el balance presupuestario de cada empresa y de los hogares asegure que el valor total de gastos sea igual al valor total de ingresos. Dicho de otra manera, se asumen tres hipótesis iniciales para que se conserven los productos y el valor. 

En primer lugar, se produce una casación del mercado. Esto significa que la totalidad de las commodities producidas deben ser consumidas en la economía por los agentes económicos, en este caso el resto de las empresas y los hogares, al considera la economía cerrada.

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

En segundo lugar, al mismo tiempo todos los factores de producción aportados por los agentes, normalmente por los hogares y por el gobierno cuando éste se incluye, deben ser completamente utilizados por las empresas en su producción. No obstante, existen modelos que consideran el desempleo del factor trabajo, lo que llevaría a un consumo parcial de este factor de producción.



Y en tercer lugar, además del principio contable del balance presupuestario, el ingreso total por producir commodities se destina al consumo de los factores primarios: los factores de producción que los hogares ponen en renta, los productos intermedios del resto de empresas o impuestos que recauda el gobierno (en caso de incluir al gobierno como agente económico). Esto se traduce en beneficio nulo, lo que significa que el valor de una commodity debe ser igual a la suma de los valores de las commodities y los factores de producción necesarios para producirla; y en el balance de ingresos, que indica que todos los factores de producción de los hogares son completamente empleados, y los hogares gastan todos sus ingresos resultantes en commodities, incluyendo el ahorro.

Estas tres condiciones previas, casación de mercado, beneficio nulo y balance de ingresos, son las tres restricciones que definen el equilibrio de Walras, un caso particular de los modelos de equilibrio general computables. A través de estas restricciones, las ecuaciones del modelo de equilibrio general permiten determinar el conjunto de precios y las cantidades de bienes y servicios y factores coherentes con la optimización simultánea de las funciones objetivo de todos los agentes económicos. Otras hipótesis igualmente utilizadas pueden ser que las empresas minimizan sus costes, la maximización de la utilidad de la demanda de los hogares y la consideración de mercados de competencia imperfecta, como cuando cada sector que produce una commodity es considerado como una única empresa en régimen de monopolio.

3.2

Matriz de Contabilidad Social

Para la modelización del equilibrio general de un país, se definen inicialmente el número N de sectores o commodities en la economía, el número F de factores de producción que pueden aportar los agentes y los agentes económicos que actúan consumiendo D tipos de

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demanda. Inicialmente, se considerará a los hogares como el único agente económico, y se considerará que no existen impuestos ni subsidios que distorsionen la economía. Más adelante, se irán incluyendo otros factores y agentes al modelo de equilibrio general. El flujo circular de la economía puede ser entonces definido por tres matrices que conjuguen estas definiciones iniciales. Relacionando el índice i={1,…,N} al conjunto de commodities, el índice j={1,…,N} al conjunto de sectores que producen las commodities, el índice f={1,…F} al conjunto de los factores de producción y el índice d={1,…,D} al conjunto de las demandas de los agentes. Se establecen además, las tres matrices previamente mencionadas: primero, una matriz N x N de entradas y salidas donde se recogen los consumos intermedios que cada sector realiza del resto de commodities; segundo, una matriz F x N dónde se recogen los factores de producción para cada sector; y por último una matriz N x D de consumos finales de las commodities demandadas. A continuación la Figura 1 representa el flujo circular de la economía de un país definido por las matrices mencionadas. En este diagrama, se incluye al gobierno y los impuestos, inicialmente no considerados en el desarrollo del modelo básico pero que más adelante se incluirá en la formulación.

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Figura 1. Representación del flujo circular de una economía8

La combinación conjunta de estas tres matrices, que se denominan como X, V y D respectivamente, conforman la matriz de contabilidad social (SAM, por sus siglas en inglés). La matriz de contabilidad social es, en definitiva, una tabla de transacciones de una economía. Es la representación matricial de la economía de una entidad, considerando las instituciones (agentes económicos) y los sectores que conforman dicha economía, y representa el flujo contable circular de la renta de una economía en equilibrio en un periodo de tiempo determinado, generalmente de un año, registrando las transacciones que se realizan entre los distintos agentes. Los objetivos fundamentales por los cuales se diseñó la matriz de contabilidad social son dos: organizar la información referente a una economía de una manera sencilla y clara; y proporcionar una base de datos estadística para la elaboración de un modelo para el análisis económico (Gomez, 2005). A través de esta

8

Fuente: Wing, Ian Sue. (2004). Computable General Equilibrium Models and their use in economy-wide policy analysis. MIT joint program on the science and policy of global change, Technical Note No. 6

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matriz, se puede analizar las relaciones de interdependencia entre la estructura de producción y la de distribución de la renta. Cada fila y columna representa una cuenta de resultados representativa de la economía. Por filas, se recogen los ingresos por vender una cierta commodity i a cada uno de los otros sectores j y a cada una de las demandas gi,d de los agentes. Sin embargo, por columnas se representan los gastos incurridos por el sector j en el resto de commodities i y factores de producción f necesarios para la producción. La disposición de las matrices X, V y G que conforman la matriz de contabilidad social se representa en la Tabla 2. Con esta estructura, la matriz de contabilidad social refleja el principio contable de doble entrada, donde las columnas y filas se agregan para comprobar su consistencia contable (mayúsculas y letras griegas denotarán de aquí en adelante datos de entrada, mientras que minúsculas serán variables). Tabla 2. Disposición de las matrices X, V y G

1

…

j

Comprador … N

1

…d…

D

Y1C

1

…

…

xi,j

i

…

…

Vendedor

YiC

gi,d

N

Y1C

1

V1

…f…

…

vf,j

F

VF Y1I

…

Yj I

… YNI

G1

…

GD

20

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Teniendo en cuenta este criterio de vendedores/compradores en las submatrices de la SAM y la restricción de Walras de la casación del mercado de commodities, podemos establecer de manera directa la siguiente relación entre producción y demanda: la cantidad bruta producida por la industria i, que es igual a la cantidad de oferta yi, es igual a la suma de los j usos intermedios de ese bien, xi,j, más el conjunto de demandas de cada agente económico que actúa, gi,d, todo ello multiplicado por precio de la commodity, pi: 𝑁

𝐷

𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 = ∑ 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 + ∑ 𝑝𝑖 · 𝑔𝑖,𝑑 𝑗=1

(1)

𝑑=1

De la misma manera, la casación del mercado de factores de producción conlleva que el consumo total de cada uno de los factores de producción, vf, por su precio de adquisición, wf, sea el total que ofrecen los agentes: 𝑁

𝑉𝑓 = ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗

(2)

𝑗=1

Además, por la condición de beneficio nulo de Walras se debe cumplir que la suma del coste de los i consumos intermedios, xi,j, y los f factores de producción, vf,j, de un sector j, sea igual al total de los ingresos de la producción del sector, yj. 𝑁

𝐹

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 = ∑ 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 + ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 𝑖=1

(3)

𝑓=1

Donde yi = yj, para i = j, como se había indicado anteriormente para la ecuación (1). Por último, la totalidad de los ingresos de los agentes, M, proviene de la aportación de los factores de producción a la economía. Al mismo tiempo, todos estos ingresos se utilizan para el consumo de las commodities que cada sector proporciona. Por todo esto, se deriva la implicación de igualdad entre la suma de todos los factores de producción y la suma de las demandas de los agentes en la matriz G, o lo que es lo mismo, la restricción del balance de ingresos de Walras.

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𝐹

𝐷

𝑁

𝑀 = ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓 = ∑ ∑ 𝑝𝑖 · 𝑔𝑖,𝑑 𝑓=1

(4)

𝑑=1 𝑖=1

Más adelante, en el apartado 4, se describirá el método para obtener los datos que se necesitan para construir la matriz de contabilidad social de España. También, se incluirá dicha matriz de contabilidad social para España, así como las bases de datos de donde se obtuvo.

3.3

Funciones de producción de la economía Cobb-Douglas

La función de Cobb-Douglas es una función matemática que modela la producción de un determinado bien o servicio estableciendo relaciones entre el producto y las variaciones de otras variables, como otros productos necesarios para su fabricación, otras tecnologías, el capital o el trabajo, entre otros. Dicha función para dos variables presenta la siguiente forma (Cobb Douglas, 1926):

𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝐴 · 𝑥 𝛼 · 𝑦 𝛽 Donde: Q es la producción total del bien o servicio A es un factor de escala de productividad  y  son las elasticidades que relacionan las variables x e y con la producción Q x e y son los factores primarios para producción del producto Q Las elasticidades del producto respecto a los factores primarios miden la respuesta del producto frente a cambios en los niveles de dichas variables utilizadas para la producción. En los modelos de equilibrio general computables los comportamientos de los agentes que participan en la economía que se representa están modelados con funciones de producción. En esta memoria se utiliza una función de Cobb-Douglas: en el caso de las empresas de cada uno de los sectores, para modelar la función de producción de la commodity que produce, que depende del resto de commodities y de los factores de producción; y en el caso de los

22

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hogares, para modelar su función de utilidad para cada una de las commodities posibles en la economía. En concreto, la utilidad de los hogares, U, es una función Cobb-Douglas relacionada con los consumos, ci, de las N posibles commodities de la economía:

𝑈(𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑁 ) = 𝐴𝑐 · 𝑐1 𝛼1 · 𝑐2 𝛼2 · … · 𝑐𝑁 𝛼𝑁

(5)

O lo que es lo mismo: 𝑁

𝑈(𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑁 ) = 𝐴𝑐 · ∏ 𝑐𝑖 𝛼𝑖 𝑖=1

Donde las elasticidades, i, en este caso representan la proporción de los ingresos de los hogares que se gasta en cada una de las diferentes commodities. Por tanto, estas elasticidades deben cumplir: 𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝑁 = 1 En cambio, para las empresas de los sectores la función de producción de Cobb-Douglas tiene en cuenta tanto los consumos intermedios de las N commodities xi,j, como el de los F factores de producción vf,j, obteniendo la siguiente ecuación: 𝑦𝑗 (𝑥1,𝑗 , … , 𝑥𝑁,𝑗 ; 𝑣1,𝑗 , … , 𝑣𝐹,𝑗 ) =

(6)

= 𝐴𝑗 · 𝑥1,𝑗 𝛽1,𝑗 · … · 𝑥𝑁,𝑗 𝛽𝑁,𝑗 · 𝑣1,𝑗 𝛾1,𝑗 · … · 𝑣𝐹,𝑗 𝛾𝐹,𝑗 Que, si se compacta es igual a: 𝑁

𝑦𝑗 (𝑥1,𝑗 , … , 𝑥𝑁,𝑗 ; 𝑣1,𝑗 , … , 𝑣𝐹,𝑗 ) = 𝐴𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝑖=1

𝐹 𝛽𝑖,𝑗

· ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 𝑓=1

23

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De manera análoga a los hogares, las elasticidades, i,j y f,j, en este caso representan la proporción que suponen en el gasto de cada sector en el resto de commodities y factores de producción. Por tanto, estas elasticidades deben cumplir: 𝛽1,𝑗 + ⋯ + 𝛽𝑁,𝑗 + 𝛾1,𝑗 + ⋯ + 𝛾𝐹,𝑗 = 1

3.4 Deducción de las ecuaciones del modelo de equilibrio general computable Conociendo En el modelo de equilibrio general cada uno de los agentes económicos maximiza su función de utilidad y de producción de manera simultánea. Los hogares maximizan su utilidad escogiendo los niveles de consumo de las N commodities que conforman la economía sujetos a la restricción de los ingresos, M, y a los precios de compra de las commodities, pi. Además del consumo, los hogares también demandan bienes y servicios para otros propósitos, como el ahorro. En este modelo, se define el ahorro Si, considerándolo exógeno y constante. El problema de los hogares es por tanto: 𝑚𝑎𝑥 𝑈(𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑁 )

(7)

sujeto a (4): 𝐷

𝑁

𝑀 = ∑ ∑ 𝑝𝑖 · 𝑔𝑖,𝑑 𝑑=1 𝑖=1

Este problema puede reformularse asimilando la utilidad de los hogares a la función de producción de un sector, donde éstos maximizan el beneficio de la producción de un bien “utilidad” cuyo precio es pu Por consiguiente, la ecuación (7) es equivalente a: 𝑁

𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑢 · 𝑈 − ∑ 𝑝𝑖 · 𝑐𝑖

(8)

𝑖=1

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Además, la cantidad consumida de cada commodity, ci, es igual a las cantidades consumidas en la matriz de contabilidad social, incluyendo los ahorros, Si. Es decir: 𝐷

∑ 𝑔𝑖,𝑑 = 𝑐𝑖 + 𝑆𝑖

(9)

𝑑=1

Lo que lleva al balance de ingresos, (4), a ser igual a: 𝑁

𝑀 = ∑ 𝑝𝑖 · (𝑐𝑖 + 𝑆𝑖 )

(10)

𝑖=1

Y por tanto, la ecuación (1) se transforma en la siguiente dividiendo entre el precio de la commodity, pi, y sustituyendo con la ecuación (9): 𝑁

𝐷

𝑁

𝑦𝑖 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗 + ∑ 𝑔𝑖,𝑑 → 𝑦𝑖 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗 + 𝑐𝑖 + 𝑆𝑖 𝑗=1

𝑑=1

(11)

𝑗=1

La resolución de esta optimización otorga la función de demanda de los hogares para la commodity i, que se obtiene derivando e igualando a cero el lagrangiano (ver anexo A para la demostración): 𝑀 − ∑𝑁 𝑖=1 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 𝑐𝑖 = 𝛼𝑖 · 𝑝𝑖

(12)

Reordenando los términos de la ecuación (11) y despejando la elasticidad i, la ecuación resultante indica que los exponentes de la función de utilidad es la cuota de cada commodity sobre el valor total del consumo de los hogares. 𝛼𝑖 =

𝑐𝑖 · 𝑝𝑖 𝑀 − ∑𝑁 𝑖=1 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖

(13)

25

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Por otro lado, las empresas buscan maximizar el beneficio que obtienen de la venta de las commodities que producen teniendo en cuenta el coste de las commodities intermedias y de los factores de producción que consumen para su producción. 𝑁

𝐹

𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 − ∑ 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 − ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 𝑖=1

(14)

𝑓=1

Conociendo la producción de cada commodity, yj, en función delconsumos de las otras commodities intermedias y de los factores de producción por la ecuación (6), de nuevo se deriva e iguala a cero el lagrangiano, obteniéndose así las siguientes ecuaciones (ver anexo B para la demostración): 𝑥𝑖,𝑗 = 𝛽𝑖,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑝𝑖

→

𝛽𝑖,𝑗 =

𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗

(15)

𝑣𝑓,𝑗 = 𝛾𝑓,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑤𝑓

→

𝛾𝑓,𝑗 =

𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗

(16)

Que representan las demandas de las consumos de commodities intermedias (15) y de los factores de producción (16) para cada uno de las industrias de la economía, j. De manera análoga a las elasticidades i de los consumos de los hogares, se puede reordenar las ecuaciones (15) y (16) y despejar las elasticidades de los factores primarios para la producción, i,j y f,j. De manera similar, las elasticidades representan la cuota de gasto de cada commodity intermedia y factor de producción sobre el total de dicho sector. Recapitulando, las variables que intervienen en las ecuaciones del modelo de equilibrio general son las siguientes: N cantidades de las commodities del modelo: yi N2 cantidades de consumo intermedios de commodities: xi,j F·N cantidades de factores de producción consumidos: vf,j N cantidades de commodities demandadas por los hogares: ci N precios de las commodities producidas: pi F precios de los factores de producción consumidos: wf

26

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En total N2+3N+F+F·N variables. Por otro lado, las ligaduras que modelan la economía están representadas por las siguientes ecuaciones: -

Casación de cada factor de producción 𝑁

𝑉𝑓 = ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗

(2)

𝑗=1

-

Beneficio nulo 𝑁

𝐹

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 = ∑ 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 + ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 𝑖=1

-

(3)

𝑓=1

Curva de producción de Cobb-Douglas 𝑁

𝑦𝑗 (𝑥1,𝑗 , … , 𝑥𝑁,𝑗 ; 𝑣1,𝑗 , … , 𝑣𝐹,𝑗 ) = 𝐴𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝑖=1

-

𝐹 𝛽𝑖,𝑗

· ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗

(6)

𝑓=1

Balance de ingresos 𝑁

𝑀 = ∑ 𝑝𝑖 · (𝑐𝑖 + 𝑠𝑖 )

(10)

𝑖=1

-

Casación de cada commodity 𝑁

𝑦𝑖 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗 + 𝑐𝑖 + 𝑆𝑖

(11)

𝑗=1

Curvas de reacción (curvas que resultan de la derivación de las funciones objetivo e igualación a cero)

27

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𝑀 − ∑𝑁 𝑖=1 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 𝑐𝑖 = 𝛼𝑖 · 𝑝𝑖

(12)

𝑥𝑖,𝑗 = 𝛽𝑖,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑝𝑖

(15)

𝑣𝑓,𝑗 = 𝛾𝑓,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑤𝑓

(16)

En total N2+4N+F+F·N+1 restricciones. No obstante, la ecuación del beneficio nulo (3) realmente no aporta nada nuevo, ya que sustituyendo las ecuaciones de reacción (15) y (16) en (3) y dividiendo entre pi·yi, se llega a que: 𝛽1,𝑗 + ⋯ + 𝛽𝑁,𝑗 + 𝛾1,𝑗 + ⋯ + 𝛾𝐹,𝑗 = 1 Por otro lado, tampoco aporta nada la ecuación del balance de ingresos, (10) dado que resulta de sumar las ecuaciones de casación de cada factor de producción. Teniendo esto en cuenta, el número final de restricciones es N2+3N+F+F·N, lo que demuestra que se trata de un sistema compatible determinado. Sustituyendo las curvas de reacción del modelo (12) y (15) en la función de casación de cada commodity (11) y multiplicando por el precio de cada commodity, pi, se obtiene la siguiente ecuación: 𝑁

𝑁

𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 = ∑ 𝛽𝑖,𝑗 · 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 + 𝛼𝑖 · (𝑀 − ∑ 𝑝𝑗 · 𝑆𝑗 ) + 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 𝑗=1

(17)

𝑗=1

Por otro lado, sustituyendo la ecuación de reacción de los factores de producción (16) en la curva de casación de dichos factores (2), se obtiene lo siguiente:

28

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𝑁

𝑉𝑓 = ∑ 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗

(18)

𝑗=1

Por último, introduciendo las curvas de reacción (15) y (16) en la curva de producción de Cobb-Douglas (6), que modela la producción de las commodities en función de los consumos intermedios de otras commodities y factores de producción, y dividiendo entre la cantidad de commodity, yi, se tiene (ver anexo C para más detalle): 𝑁

𝑝𝑗 =

𝐴𝑗−1

𝛽𝑖,𝑗

𝑝𝑖 · [∏ ( ) 𝛽𝑖,𝑗 𝑖=1

𝐹

𝛾𝑓,𝑗

𝑤𝑓 · ∏( ) 𝛾𝑓,𝑗

]

(19)

𝑓=1

Las dos primeras ecuaciones, (17) y (18), representan respectivamente la diferencia entre la oferta y la demanda de las commodities y de los factores de producción en la economía modelada. Existen, por tanto, N ecuaciones (17) que casen el mercado de commodities y F ecuaciones (18) que casen el mercado de factores de producción. La tercera ecuación, (19), es la función del coste variable que determina la cantidad de commodities y factores de producción que hacen que sea rentable la venta de la commodity de cada industria j. En total, 2N+F restricciones, que casa con el número de variables identificadas en el modelo, yi, pi y wf, ratificando el sistema como sistema compatible determinado. 𝑁 ∑𝑁 𝑗=1 𝛽𝑖,𝑗 · 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 + 𝛼𝑖 · (𝑀 − ∑𝑗=1 𝑝𝑗 · 𝑆𝑗 ) + 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 − 𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 ∑𝑁 𝑗=1 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 − 𝑉𝑓

𝑓1 (𝑧) 𝑓(𝑧) = (𝑓2 (𝑧)) = 𝑓3 (𝑧) (

𝑝𝑖 βi,j wf γf,j 𝐹 ∏ 𝑝𝑗 − 𝐴𝑗−1 · [∏𝑁 ( ) · ( 𝑖=1 β 𝑓=1 γ ) ] f,j i,j

)

Siendo: 𝑧 = (𝑝1 , … , 𝑝𝑁 ; 𝑤1 , … , 𝑤𝐹 ; 𝑦1 , … , 𝑦𝑁 ) 𝑓1 (𝑧) = (𝑓1𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁);

𝑓

𝑓2 (𝑧) = (𝑓2 , 𝑓 = 1, 𝐹);

𝑗

𝑓3 (𝑧) = (𝑓3 , 𝑗 = 1, 𝑁)

29

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3.5

Condiciones de complementariedad mixta, MCP

A f1 se le asocia el vector p de precio variable (sombra) de cada commodity, ya que es la ecuación de casación de las N commodities. En el caso de haber exceso de commodities, el valor de p decrecería hasta alcanzar su cota inferior. Por el contrario, si hay defecto de commodities en el mercado, el valor de p, en este caso, se incrementaría hasta alcanzar su cota superior. Cuando no existe ni exceso ni defecto de commodities en la economía y, por tanto, el valor de los precios, p, se encuentra entre sus cotas, se anula f1. Por otro lado, la función f2, proviene de la ecuación de casación de los factores de producción. Por ello, se le asocia el vector de precios sombra, w, el cual contiene los precios de los factores de producción del mercado. De manera análoga a los precios de las commodities, p, si hubiera exceso o defecto de factores de producción, sus precios, w, alcanzarían sus cotas inferiores o superiores, respetivamente. Por último, la función f3, al venir de las curvas de producción de Cobb-Douglas, está relacionada con las variables de producción de las commodities, y, en función del resto de commodities y de los factores de producción. En concreto, f3 es la diferencia entre el precio de venta de la commodity, p, y el coste variable que cuesta producirla. Por tanto, si el valor de f3es mayor que cero, las cantidades de producción, y, llegarían a su cota superior. En caso contrario, si el valor de f3 fuera negativo, las cantidades de commodities producidas alcanzarían su valor mínimo. Solamente en el caso de ser igual a cero, las cantidades de commodities se encontrarían entre sus cotas. Por consiguiente, en el equilibrio general el conjunto de variables, z*, debe cumplir que: 𝑓(𝑧 ∗ ) = 0 teniendo en cuenta que el valor de z* tiene que ser estrictamente positivo (𝑧 ∗ > 0) por hipótesis. Si fuera (𝑧 ∗ = 0), las ecuaciones (17) y (19) planteadas se cumplirían, y la ecuación (18) únicamente con la desigualdad (≤ 𝑉𝑓 ), lo cual implica que:

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0 𝑉 𝑓(𝑧) = ( 𝑓 ) ≤ 0 0 Entonces, para cualquier valor de z* se debería cumplir que: 𝑓(𝑧 ∗ ) = 0 𝑓(𝑧 ∗ ) ≤ 0 { 𝑧∗ ≥ 0 } 𝑜 { ∗ } 𝑧 =0 ∗ 𝑧 ≠0 Lo que es equivalente a resolver las siguientes condiciones de complementariedad: 0 ≤ 𝑧 ⊥ 𝑓(𝑧) ≤ 0 Que tiene una estructura de problema de complementariedad mixta, o MCP por sus siglas en inglés (Mixed Complementarity Problem).

3.6 Linealización del modelo de equilibrio general computable: desarrollo de Taylor de primer orden Como se ha podido observar, el modelo de equilibrio general desarrollado es altamente no lineal: en la primera y segunda funciones de la función vectorial f(z) los precios pi de las commodities y las cantidades yi producidas de commodities se multiplican siendo ambas variables endógenas del modelo. Esto implica que no exista una solución analítica directa para el vector de variables z* y por ello se aborda su linealización. El método de linealización que se propone es el desarrollo de Taylor de primer orden de la función vectorial f(z) en el punto z0 de tal manera que: 𝑓(𝑧) ≅ 𝑓(𝑧0 ) +

𝜕𝑓(𝑧) | · (𝑧 − 𝑧0 ) 𝜕𝑧 𝑧=𝑧 0

La linealización debe aplicarse para cada una de las tres funciones que conforman la función vectorial f(z) y teniendo en cuenta que el vector z de variables contiene 2N+F variables:

31

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𝑝𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁 𝑓1 (𝑧) 𝑓(𝑧) = 𝑓 (𝑤𝑓 , 𝑓 = 1, … , 𝐹 ) = (𝑓2 (𝑧)) 𝑦𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑁 𝑓3 (𝑧) Siendo: 𝑓1 (𝑧) = (𝑓1𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁);

𝑓

𝑓2 (𝑧) = (𝑓2 , 𝑓 = 1, 𝐹);

𝑗

𝑓3 (𝑧) = (𝑓3 , 𝑗 = 1, 𝑁)

Como primera tentativa, se supone que tanto los precios pi de las commodities como los precios wf de los factores de producción que definen el punto de linealización z0 son iguales y unitarios. De igual manera se hará en el apartado 3.5 para la calibración del modelo de equilibrio general. Además, para la linealización de las condiciones de complementariedad mixta del problema (MCP) se aplicará el enfoque basado en técnicas Mixed Integer Programming9. El resultado final linealizado de cada una de las tres ecuaciones de la función vectorial es10:

𝑁

𝑁

𝑓1 (𝑧)𝑖 ≅ (𝑦𝑖0 − ∑ 𝛽𝑖,𝑗 · 𝑦𝑗0 − 𝛼𝑖 · (𝑀 − ∑ 𝑆𝑗 ) − 𝑆𝑖 ) 𝑗=1

𝑗=1

𝑁

+ ∑ ((𝑦𝑘0 · (𝐼𝑘=𝑖 − 𝛽𝑖,𝑘 ) + 𝑠𝑘 · (𝛼𝑖 − 𝐼𝑘=𝑖 ))

(20)

𝑘=1 𝑁

· (𝑝𝑘 − 1)) + ∑ ((𝐼𝑘=𝑖 − 𝛽𝑖,𝑘 ) · (𝑦𝑘 − 𝑦𝑘0 )) 𝑘=1

9

Ver anexo D para la resolución del MCP como MIP Ver anexos E, F y G para el desarrollo de Taylor de primer orden de las ecuaciones f1(z)i, f2(z)f y f3(z)j, respectivamente. 10

32

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𝑁

𝑁

𝑓2 (𝑧) 𝑓 ≅ (∑ 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑦𝑗0 − 𝑉𝑓 ) + ∑ (𝛾𝑓,𝑘 · 𝑦𝑘0 · (𝑝𝑘 − 1)) 𝑗=1

𝑘=1

(21)

𝑁

+ ∑ (𝛾𝑓,𝑘 · (𝑦𝑘 − 𝑦𝑘0 )) 𝑘=1

𝑁

βi,j

1 𝑓3 (𝑧)𝑗 ≅ (𝐴𝑗−1 · [∏ ( ) βi,j 𝑖=1

𝑁

𝐹

βi,j

1 + ∑ (𝐴𝑗−1 · [∏ ( ) βi,j 𝑖=1 𝑖≠𝑘

( 𝐹

+∑ 𝑘=1

((

(22)

𝐹

γf,j

1 · ∏( ) γf,j 𝑓=1

βk,j −1

1 ]·( ) βk,j

− 𝐼𝑘=𝑗 ) · (𝑝𝑘 − 1) )

𝑁

𝐴𝑗−1

] − 1)

𝑓=1

𝑁

𝑘=1

γf,j

1 · ∏( ) γf,j

βi,j

1 · ∏( ) βi,j 𝑖=1 [

𝐹

γf,j

γk,j −1

1 · ∏( ) γf,j 𝑓=1 𝑓≠𝑘

1 ·( ) γk,j ]

· (𝑤𝑘 − 1) )

)

Siendo: 1 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝐼𝐴 = { 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 y sabiendo que: 𝑓 = (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 ) 𝑓1 = (𝑓1𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁);

𝑓

𝑓2 = (𝑓2 , 𝑓 = 1, 𝐹);

𝑗

𝑓3 = (𝑓3 , 𝑗 = 1, 𝑁)

33

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3.7

Calibrado del modelo de equilibro general computable

Es necesario calibrar los parámetros y las elasticidades de cada función de producción calculadas con datos reales para poder establecer las relaciones entre los factores primarios y las producciones. Estas elasticidades, i,j, f,j y i respectivamente, se calibran a través de los datos iniciales que recoge la matriz de contabilidad social sobre la entidad modelada. No obstante, la calibración partiendo de los datos de esta matriz plantea un inconveniente: mientras que las elasticidades i,j y f,j se refieren a cantidades de commodities intermedias y factores de producción demandados, los datos de la matriz de contabilidad social trata de ingresos y costes. Para solventarlo, realizamos las siguientes hipótesis: 1. El valor de los precios, ya sea commodity, pi, o de factor de producción, wf, son inicialmente iguales. 2. Cada precio de un tipo es relativo a un precio de su mismo tipo, que se toma como referencia. Por consiguiente, se pone interés en el cociente entre precios de un mismo tipo más que en el valor numérico en sí mismo. Como se supuso en el apartado anterior relativo a la linealización del modelo, en este apartado también se supone que los precios son la unidad. Esto permite asimilar la matriz de contabilidad social como una matriz de datos de precios y costes variables en lugar de ingresos y costes, como se tenía inicialmente. Por lo tanto, la suposición es: 𝑝𝑖 = 𝑤𝑓 = 1

(23)

Usando esta hipótesis, las elasticidades se ajustan para que las ecuaciones del modelo den como salida los valores de la matriz de contabilidad social. Además, con dicho ajuste, se está considerando que las elasticidades son independientes de los precios elegidos lo cual tiene sentido dado que estas elasticidades son relativas a las cantidades producidas y a las demandas, y no a los ingresos o costes. Por definición, se sabe que:

34

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𝑋𝑖,𝑗 = 𝑥𝑖,𝑗 · 𝑝𝑖

(24)

𝑌𝑖 = 𝑦𝑖 · 𝑝𝑖

(25)

𝑉𝑓,𝑗 = 𝑣𝑓,𝑗 · 𝑤𝑓

(26)

𝐶𝑖 = 𝑐𝑖 · 𝑝𝑖

(27)

Por otro lado, despejando las elasticidades de las ecuaciones de las curvas de reacción (15) y (16) se tiene: 𝑥𝑖,𝑗 = 𝛽𝑖,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑝𝑖

→

𝛽𝑖,𝑗 =

𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗

(15)

𝑣𝑓,𝑗 = 𝛾𝑓,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑤𝑓

→

𝛾𝑓,𝑗 =

𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗

(16)

De la curva de reacción (12), apoyándose además en las ecuaciones del balance de ingresos, (10), y en la ecuación (11), se obtiene que:

𝑐𝑖 = 𝛼𝑖 ·

→ 𝛼𝑖 =

𝑀 − ∑𝑁 𝑖=1 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 𝑝𝑖 𝐶𝑖

𝐷 ∑𝑁 𝑖=1(∑𝑑=1 𝐺𝑖,𝑑 − 𝑆𝑖 )

(12)

=

∑𝐷 𝑑=1 𝐺𝑖,𝑑 − 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 𝐷 ∑𝑁 𝑖=1(∑𝑑=1 𝐺𝑖,𝑑 − 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 )

De la función de producción de Cobb-Douglas (6), y teniendo en cuenta las condiciones (23), (24), (25) y (26), se deduce que: 𝑁

𝐹

−1

𝐴𝑗 = 𝑌𝑗 · (∏ 𝑋𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑉𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 ) 𝑖=1

𝑓=1

35

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Y por otro lado, la función de utilidad que modela el consumo de los hogares (5) debe cumplir en el punto óptimo que: 𝑁

U(c1 , c2 , … , cN ) = 𝐴𝑐 · ∏ 𝑐𝑖

𝑁 𝛼𝑖

= ∑ 𝑝𝑖 · 𝑐𝑖

𝑖=1

𝑖=1

Aplicando las condiciones (23) y (27), se obtiene lo siguiente: ∑𝑁𝑖=1(∑𝐷𝑑=1 𝐺𝑖,𝑑 − 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 ) ∑𝑁 𝑖=1 𝐶𝑖 𝐴𝑐 = 𝑁 = ∏𝑖=1 𝐶𝑖 𝛼𝑖 ∏𝑁 (∑𝐷 𝐺𝑖,𝑑 − 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 )𝛼𝑖 𝑖=1 𝑑=1 En resumen, de (23), (24), (25), (26) y deducimos las siguientes cinco ecuaciones que calibran los valores de las elasticidades y de los parámetros de las funciones de producción del modelo de equilibrio general, a partir de los datos de la matriz de contabilidad social: 𝛽𝑖,𝑗 =

𝑋𝑖,𝑗 𝑌𝑗

(28)

𝛾𝑓,𝑗 =

𝑉𝑓,𝑗 𝑌𝑗

(29)

𝛼𝑖 =

∑𝐷 𝑑=1 𝐺𝑖,𝑑 − 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖

(30)

𝐷 ∑𝑁 𝑖=1(∑𝑑=1 𝐺𝑖,𝑑 − 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 )

𝑁

−1

𝐹

𝐴𝑗 = 𝑌𝑗 · (∏ 𝑋𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑉𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 ) 𝑖=1

𝐴𝑐 =

(31)

𝑓=1

𝐷 ∑𝑁 𝑖=1(∑𝑑=1 𝐺𝑖,𝑑 − 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 ) 𝐷 ∏𝑁 𝑖=1(∑𝑑=1 𝐺𝑖,𝑑 − 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 )

𝛼𝑖

(32)

36

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3.8 Ejemplo ilustrativo del modelo de equilibrio general, validación y calibrado Para comprender correctamente el modelo de equilibrio general desarrollado a lo largo de esta sección del proyecto, se propone un sencillo ejemplo que utilice las ecuaciones deducidas y que se calibre a través del proceso explicado. El ejemplo sencillo propuesto consta de una matriz de contabilidad socia con únicamente dos commodities (i={C1, C2}), que son producidas por dos sectores (j={C1, C2}). Se podrían suponer primero C1 como la producción de bienes en general, y segundo C2 como el sector de la energía. En primera instancia, se define un único agente económico que consume, los hogares (H), y que ahorra una cantidad S. En este ejemplo existen, además, dos factores de producción que proporcionan los hogares: el capital, K, y la mano de obra, L (f={L,K}). Por último, se mantienen todas las hipótesis realizadas en los apartados anteriores para el desarrollo del modelo: las condiciones de Walras (balance de ingresos, beneficio nulo, casación del mercado de commodities y casación del mercado de factores de producción), economía de Cobb-Douglas, ausencia de tasas impositivas que distorsionen la economía (más adelante, en el apartado 5.1, se estudiará la inclusión de estas tasas), ausencia de comercio exterior en forma de exportaciones e importaciones (analizada también más adelante), etcétera. La matriz de contabilidad social que recoge la información necesaria para el calibrado del modelo de equilibrio general ejemplificado es la siguiente: Tabla 3. Matriz de contabilidad social de ejemplo

i

j

C1

C2

H

S

Total

C1

10

30

50

30

120

C2

20

10

60

10

100

L

30

50

80

K

60

10

70

120

100

Total

110

40

37

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Primero, se aplican las ecuaciones de los parámetros deducidas en el apartado de calibración del modelo de equilibrio general. Las ecuaciones (28), (29), (30), (31) y (32) con los datos de la tabla anterior dan como resultado: Tabla 4. Parámetros del ejemplo

βij 1j 2j

i1 0,083 0,167

i2 0,300 0,100

Lj Kj

f1 0,250 0,500

f2 0,500 0,100

αi

1 2

0,455 0,545

Aj

1 2

3,3 3,2

γfj

Ac

0,037

Una vez calculados los parámetros y elasticidades del modelo de equilibrio general, comprobamos que al sustituir en la función vectorial, f, dichos valores y calcular el equilibrio, el resultado coincide con los valores iniciales y precios unitarios supuestos. Se puede concluir entonces que al no haber más agentes que las industrias productoras de commodities y los hogares, todas las variables, incluidas las elasticidades, son endógenas. Esto se debe a que, por un lado, una vez formulado el equilibrio, al ser un sistema de ecuaciones compatible determinado no hay más que una posible solución. Por otro lado, con el calibrado, se fuerza a que esta solución única sea la subyacente inicialmente por la matriz de contabilidad social. En la memoria se incluirían distintas adaptaciones de este

38

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modelo para hacerlo más realista y complejo, como la que subyace al incluir las tasas impositivas que el gobierno pueda recaudar, o la acción de compra/venta de un agente externo por medio de importaciones y exportaciones. Estas adaptaciones del modelo básico incluirán al menos una variable exógena al modelo lo que permitirá poder analizar de una manera realista la distorsión producida en la economía.

3.9 Datos de la matriz de contabilidad social para la calibración: caso español Como se ha avanzado en los apartados anteriores (apartado 3.5), para calibrar el modelo de equilibrio general se utilizan como datos de entrada los recogidos en la matriz de contabilidad social de la entidad, en este caso los correspondientes a España. La matriz de contabilidad social, como también se ha explicado anteriormente en el apartado 3.2, sirve como herramienta empírica de análisis de las relaciones existentes entre las distintas ramas de actividad de producción y la estructura económica de la entidad. En concreto, a partir de este análisis, la matriz se puede utilizar como soporte metodológico para desarrollar modelos multisectoriales, como este modelo de equilibrio general. De él, se derivan los efectos de una determinada política económica que puede generar en los sectores que producen los bienes y servicios, en el nivel de precios de estos bienes, en la renta de los agentes económicos, en el empleo, etc (Cámara, Flores y Fuentes, 2013). De esta manera, la matriz de contabilidad social es una ampliación de la matriz de input-output, matriz X, a la que se añaden las interrelaciones entre los componentes de la demanda, matriz G, y los componentes del valor añadido, matriz V. Para construir esta matriz de contabilidad social, se ha tomado como ejemplo inicial la desarrollada en la tesis de Margarita Robaina (Robaina, 2011). En ella se definen treinta y una ramas de actividad económicas. Los consumos e ingresos del conjunto de actividades económicas conforman la matriz cuadrada de input-output X de la economía. Para simplificar el modelo de equilibrio general, se considerará la economía con competencia imperfecta, es decir, se considerará cada industria o sector como un monopolio de una única empresa. En este proyecto se definen 28 sectores de actividad económica, que son:

39

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Tabla 5. Industrias y ramas de actividad económica en el modelo de equilibrio general

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

AGRSIL PESCA EXTENE/EXTRAC ALITAB TEXTIL/CUERO MADCOR PAPIMP REFPET QUIMIC PLAST MINER METAL EQUIEL MAQEQU MATRANS INDTRAN ELECT/GAS AGUA CONST COMER TRANSCOM RESTA FINAN INMOBILI ADPUB EDUC SALUD SERVI

Agricultura, ganadería y silvicultura Pesca y acuicultura Extracción de productos energéticos Alimentación, bebidas y tabaco Textil Madera y corcho Papel e impresión Refinería y petróleo Industria química Plásticos y derivados Productos minerales no metálicos Metalurgia y productos metálicos Equipos eléctricos y electrónicos Maquinaria y equipos Material de transporte Muebles y productos manufacturados Producción y distribución eléctrica y de gas Captación depuración y distrib. de agua Construcción Comercio al por mayor y menor Transporte y comunicaciones Restauración Servicios financieros Servicios inmobiliarios Administraciones púbicas Educación Salud Otros servicios

40

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Por otro lado, se consideran dos agentes de consumo principales: los hogares, representados como un único agente económico que agrega a todos los hogares de España; y el gobierno, que actúa como un agente económico pasivo que recauda las diferentes tasas e impuestos y las redistribuye en forma de gasto público y/o subvenciones. El conjunto de demandas de bienes y servicios de estos dos agentes económicos, y el ahorro o inversión también presente en la matriz de contabilidad social, conforman la sub-matriz de demandas, G, anteriormente comentada en el apartado 3.2. Por último, se definen dos factores de producción que intervienen en la economía y que son únicamente proporcionados por el agente que representa a los hogares: el trabajo o mano de obra, necesario para la producción de los bienes y servicios de la economía; y el capital de los hogares privados. La sub-matriz de dos filas por el número de sectores de la economía es la matriz de factores de producción, V, previamente introducida en el apartado 3.2. Además, existen otras filas y columnas correspondientes a otros conceptos que intervienen en el modelado de la economía, como: los diferentes impuestos y subsidios, y el consumo y las aportaciones que realiza el exterior a través de importaciones y exportaciones. Los datos que recoge la matriz de contabilidad social son generalmente proporcionados por las instituciones públicas encargadas de estudios estadísticos y/o económicos relacionados con el país. En el caso de España, la institución encargada de la divulgación de estos datos es el Instituto Nacional de Estadística (INE). En primera instancia, para obtener estos datos se accedió a la página web oficial de la institución. Concretamente, en la sección de economía, contabilidad nacional de España. El objetivo de esta sección es ofrecer una representación cuantificada de la realidad económica, referida a ámbitos espaciales y temporales determinados mediante la elaboración del sistema de Cuentas Nacionales de España, según la metodología establecida en el Sistema Europeo de Cuentas Nacionales y Regionales SEC-201011. Dentro de esta sección, se encuentra un apartado dónde se encuentran las tablas de input-output. No obstante, las tablas con datos más recientes corresponden a 2011 y, en el caso de algunas ramas de actividad, los datos son 11

Página web oficial del Instituto Nacional de Estadística (INE) – http://www.ine.es/jaxi/menu.do?type=pcaxis&path=%2Ft35%2Fp008&file=inebase&L=0

41

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provisionales, estimaciones o incompletos. Por esta razón se decidió tomar la matriz de input-output correspondiente al año 2010. La matriz de contabilidad construida a partir de los datos del Instituto Nacional de estadística se muestra en el anexo H.

42

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4.

Extensión del modelo básico

Los modelos de equilibrio general son una herramienta primaria para el análisis de los impactos de los cambios en una o más políticas variables a través de múltiples mercados. Las políticas variables son parámetros exógenos al modelo que pueden afectar a los precios, como los impuestos y las subvenciones, o a las cantidades, como por ejemplo las cuotas de producción y venta (Wing, 2004). En los datos de la matriz de contabilidad social para España aparecen los datos de los impuestos que recauda el gobierno y las exportaciones e importaciones con el exterior. En los apartados anteriores se había simplificado el modelo considerándolos nulos. No obstante, se estudia a continuación la incorporación de ambos agentes y cómo afectan a la economía modelada.

4.1

Incorporación de los impuestos y subvenciones

En el apartado 3.7, donde se proponía un sencillo ejemplo para entender el modelo de equilibrio general, se dedujo que era necesario al menos una variable exógena al modelo para poder distorsionar la economía. La introducción de impuestos y tasas es una forma de añadir un parámetro externo que permita evaluar el efecto de un incremento en el precio de una determinada variable (ya sea commodity, factor de producción o consumo). Los impuestos son una de las medidas del gobierno para interferir en la economía nacional. Por tanto, la capacidad de los modelos de equilibrio general computables para proporcionar información sobre los posibles efectos de los impuestos en la economía hace que sean una herramienta muy útil. Una ventaja de estos modelos es poder estimar el cambio de los ingresos y del consumo de los diferentes agentes económicos como resultado de las interrelaciones existentes entre los diferentes mercados de la economía de un país, como España. No obstante, ya que otras muchas variables que podrían afectar al desarrollo de una economía están omitidas en este modelo, no se debe fijar uno tanto en el valor exacto final que otorga el modelo, sino más bien en la relación existente entre la situación prereforma y post-reforma. Los modelos de equilibrio general se deberían ver como

43

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laboratorios computaciones con los que analizar las dinámicas de las interacciones económicas que surgen de estas reformas (François, 2001). Generalmente, las tasas impositivas se modelan ad-valorem. En otras palabras, una tasa impositiva dada se modela como un porcentaje de incremento del precio de una commodity. Una tasa  de la industria j crea una diferencia entre el precio de producción, pj, y el precio de consumo, (1 + 𝜏) ·pj, para una producción yj de commodity, de valor ·yj· pj. Para el caso de las subvenciones que el gobierno podría proporcionar, bastaría con que la tasa  fuera menor que cero. Por cómo se ha definido la matriz de contabilidad social y cómo se ha ido deduciendo las ecuaciones del modelo de equilibrio general, es lógico pensar que existen cuatro tipos de tasas impositivas dependiendo de a que agente económico afecte: impuesto a la producción total de cada sector, jY; impuesto al consumo final de las commodities por parte de los hogares, iC; impuesto al consumo intermedio de commodities por parte de las propias industrias, i,jX; y el impuesto sobre los factores de producción, f,jV. Teniendo en cuenta estos parámetros impositivos, tanto los ingresos de cada industria expuestos en (1) como la casación del mercado de factores de producción en (2) siguen proporcionando las mismas restricciones que las deducidas en ambas ecuaciones. Sin embargo, para la condición walrasiana de beneficio nulo, la ecuación (3) se transforma en la siguiente: 𝑁 𝑋 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 = ∑(1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 𝑖=1

𝐹

(33)

+ ∑(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 𝑓=1

Así, los ingresos totales, es decir el precio de venta de la commodity, pi, por la cantidad de commodity vendida, yi, son iguales a los costes totales por el consumo de commodities intermedias, xi,j, y de factores de producción, vf,j, con la particularidad de que ambos están multiplicados por las tasas impositivas, i,jX y f,jV respectivamente. Además, los impuestos

44

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de producción, iY, aparecen multiplicando a las cantidades de commodities intermedias consumidas ya que estos impuestos son transmitidos de los productores a los consumidores de sus bienes y servicios. Gobierno como agente económico pasivo Se asume que el gobierno tiene un papel pasivo en el modelo, dónde su labor consiste únicamente en recaudar impuestos para después transferirlos directamente a los hogares, para su consumo de bienes y servicios en los mercados de la economía. Por ello, es lógico sumar las cantidades recaudadas al conjunto de ingresos que perciben los hogares por la aportación de los factores de producción. Todo ello debe ser igual al gasto que incurren los hogares en commodities por la condición del balance de ingresos. Al otro lado de la igualdad, el coste del consumo se ve incrementado por las tasas al consumo, que se aplica únicamente al coste del consumo ci y no al ahorro si, y las tasas de producción que las industrias transmiten a sus consumidores. Entonces, la última condición de Walras que concierne al balance de ingresos de los hogares consumidores, es la que se ve modificada en mayor medida por la aparición de los impuestos en el modelo. De la ecuación deducida en (4), se pasa a la (34), que incluye las recaudaciones por cada una de las cuatro tasas impositivas. Cada tasa  multiplica al valor correspondiente sobre el que se aplica y se suman a los ingresos que perciben los hogares por la renta de los factores de producción, ya que el gobierno les transfiere directamente esta recaudación: el primer término que se añade es, por tanto, la recaudación por el impuesto a la producción; el segundo es por el impuesto al consumo de cada commodity por parte de los hogares; el tercero es por el impuesto al consumo de commodities intermedias por otras empresas; y el cuarto es la recaudación por el impuesto a los factores de producción. La suma total de ingresos, por las rentas y por la recaudación, debe ser igual al gasto de los hogares en las commodities. Por ello, la suma de todos los términos anteriormente descritos tiene que ser igual al consumo de los hogares y a su ahorro para cumplir con el balance de ingresos. Nótese que el valor del consumo y de los ahorros de los hogares se ven incrementados por las tasas impositivas al consumo y a la producción, que las empresas transmiten directamente a sus consumidores como habíamos descrito para la ecuación (33).

45

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𝐹

𝑁

𝑀 = ∑ 𝑤𝑓 · 𝑓=1

𝑣𝑓 + ∑ 𝜏𝑖𝑌 𝑖=1 𝑁 𝑁 +

𝑁

· 𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 + ∑ 𝜏𝑖𝐶 · 𝑝𝑖 · 𝑐𝑖

𝑋 ∑ ∑ 𝜏𝑖,𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝐷 𝑁

𝑖=1 𝐹

𝑁

𝑉 · 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 + ∑ ∑ 𝜏𝑓,𝑗 · 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗

(34)

𝑓=1 𝑗=1

= ∑ ∑(1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · ((1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · 𝑐𝑖 + 𝑆𝑖 ) 𝑑=1 𝑖=1

Manteniéndose inalteradas las ecuaciones de utilidad de los hogares (5) y las curvas de producción de los distintos sectores (6), ahora el problema de los hogares se ha transformado del expuesto en (8) al siguiente: 𝑚𝑎𝑥 𝑈(𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑁 )

(35)

Sujeta a la restricción del balance de ingresos de los hogares (34). Tal y como puede verse, el problema de maximización es similar a (8), a excepción del bloque de tasas impositivas. Sin embargo, dicho bloque es constante y por tanto el consumo óptimo de los hogares se deduce de manera idéntica a como se hizo sin impuestos (ver anexo A). El resultado final es la ecuación (36):

𝑐𝑖 = 𝛼𝑖 ·

𝑌 𝑀 − ∑𝑁 𝑗=1(1 + 𝜏𝑗 ) · 𝑝𝑗 · 𝑆𝑗

(1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖

(36)

Por otro lado, el problema de las empresas productoras de commodities también se ve afectado al añadir los impuestos. Las empresas, como en la ecuación (14), buscan maximizar el beneficio que obtienen de la venta de las commodities que producen teniendo en cuenta el coste de las commodities intermedias y de los factores de producción que consumen para su producción. Estos costes se ven incrementados a razón de las tasas impositivas respectivas para cada tipo, como se ha visto en (33):

46

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𝑁 𝑋 𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 − ∑(1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 𝑖=1

(37)

𝐹

− ∑(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 𝑓=1

Como sucedía en el caso de los hogares, el problema a resolver de las empresas es similar al ya solucionado para la ecuación (14), salvo por los parámetros que multiplican a las variables. De nuevo, el proceso de resolución del problema es el mismo (ver anexo B para más detalle) y el resultado obtenido es el siguiente: 𝑥𝑖,𝑗 = 𝛽𝑖,𝑗 ·

𝑣𝑓,𝑗 = 𝛾𝑓,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 (1 +

𝑋 𝜏𝑖,𝑗 )

· (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 (1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓

(38)

(39)

Por tanto, las ecuaciones a partir de las cuales se deduce la función vectorial, f, del modelo de equilibrio general son en el caso de incluir impuestos, las siguientes (teniendo en cuenta que las variables que intervienen en el modelo son las mismas): -

Casación de cada factor de producción 𝑁

𝑉𝑓 = ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗

(2)

𝑗=1

-

Beneficio nulo

47

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𝑁 𝑋 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 = ∑(1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 𝑖=1

(33)

𝐹 𝑉 + ∑(1 + 𝜏𝑓,𝑗 ) · 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 𝑓=1

-

Curva de producción de Cobb-Douglas 𝑁

𝐹

𝑦𝑗 = 𝐴𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗

𝛽𝑖,𝑗

· ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗

𝑖=1

-

(6)

𝑓=1

Balance de ingresos 𝐹

𝑁

𝑁

𝑀 = ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓 + ∑ 𝜏𝑖𝑌 · 𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 + ∑ 𝜏𝑖𝐶 · 𝑝𝑖 · 𝑐𝑖 𝑓=1

𝑖=1 𝑁 𝑁

+

𝑋 ∑ ∑ 𝜏𝑖,𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝐷 𝑁

𝑖=1 𝐹

𝑁

𝑉 · 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 + ∑ ∑ 𝜏𝑓,𝑗 · 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗

(34)

𝑓=1 𝑗=1

= ∑ ∑(1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · ((1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · 𝑐𝑖 + 𝑠𝑖 ) 𝑑=1 𝑖=1

-

Casación de cada commodity 𝑁

𝑦𝑖 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗 + 𝑐𝑖 + 𝑆𝑖

(11)

𝑗=1

-

Curvas de reacción

𝑐𝑖 = 𝛼𝑖 ·

𝑌 𝑀 − ∑𝑁 𝑗=1(1 + 𝜏𝑗 ) · 𝑝𝑗 · 𝑆𝑗

(1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖

(36)

48

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𝑥𝑖,𝑗 = 𝛽𝑖,𝑗 ·

𝑣𝑓,𝑗 = 𝛾𝑓,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 (1 +

𝑋 𝜏𝑖,𝑗 )

· (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 (1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓

(38)

(39)

De una manera similar a como se hizo para el caso sin impuestos (ver apartado 3.4), de estas ecuaciones se puede deducir un sistema en las variables yi, pi y wf con el mismo número de variables y restricciones. De igual forma puede también obtenerse una linealización del mismo (ver apartados 3.5 y 3.6; ver anexo I para desarrollo). Gobierno como agente económico activo Como se mencionó al inicio del apartado, el gobierno se considera un agente pasivo, que únicamente recauda impuestos y transfiere estos ingresos a los hogares para su consumo. No obstante, el gobierno podría modelarse como un agente económico individual, separado de los hogares y que tiene su propio consumo. En tal caso, se define en la matriz de contabilidad social una nueva columna R correspondiente al consumo que realiza el gobierno.

49

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Tabla 6. Disposición de las matrices X, V y G incluyendo la nueva columna correspondiente al gobierno

1

…

j

Comprador … N 1

…d…

D

R

Y1C

1

…

…

xi,j

i

ri

YiC

…

…

Vendedor

gi,d

N

Y1C

1

V1

…f…

…

vf,j

F

VF Y1 I …

Yj I

… YNI

G1

…

GD

R

El consumo de cada commodity i de esta columna se denomina ri. Por consiguiente, la ecuación de la casación de commodities (11) se convierte en: 𝑁

𝑦𝑖 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗 + 𝑐𝑖 + 𝑆𝑖 + 𝑟𝑖

(40)

𝑗=1

Ya que ahora la matriz G de consumos tiene la nueva columna mencionada. Manteniendo todas las hipótesis iguales, y las ecuaciones para el resto de la economía, se definen los ingresos de los agentes. Primero, el balance de los hogares (igual que el anteriormente desarrollado en el apartado 3.4) es:

50

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𝐹

𝐷

𝑁

𝑀 = ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓 = ∑ ∑ 𝑝𝑖 · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · ((1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · 𝑐𝑖 + 𝑆𝑖 ) 𝑓=1

(10)

𝑑=1 𝑖=1

Y después, el del gobierno, que son los términos correspondientes a las recaudaciones por cada tipo de tasa impositiva explicados anteriormente para (34) más el correspondiente a los impuestos de producción que se transmite al consumo del gobierno. 𝑁

𝑇=

∑ 𝜏𝑖𝑌 𝑖=1

𝑁

· 𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 + 𝐹

∑ 𝜏𝑖𝐶 𝑖=1 𝑁

𝑁

𝑁

𝑋 · 𝑝𝑖 · 𝑐𝑖 + ∑ ∑ 𝜏𝑖,𝑗 · 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝑁

𝑉 + ∑ ∑ 𝜏𝑓,𝑗 · 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 + ∑ 𝜏𝑖𝑌 · 𝜏𝑖𝐶 · 𝑝𝑖 · 𝑟𝑖 𝑓=1 𝑗=1 𝐷 𝑁

(41)

𝑖=1

= ∑ ∑(1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · ((1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · 𝑐𝑖 + 𝑆𝑖 ) 𝑑=1 𝑖=1

Teniéndose en cuenta, entonces, que el gobierno funciona bajo las mismas consideraciones que los hogares (buscan maximizar su utilidad) y que la curva de su consumo es una curva de producción de Cobb-Douglas con elasticidades i, se llega a que el problema del gobierno es: 𝑁

𝑈(𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑁 ) = 𝐴𝑅 · ∏ 𝑟 𝛿𝑖

(42)

𝑖=1

Cuyas las elasticidades deben cumplir que: 𝛿1 + 𝛿2 + ⋯ + 𝛿𝑁 = 1 Y finalmente el problema de optimización del gobierno es: 𝑚𝑎𝑥 𝑈(𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑁 )

(43)

51

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Sujeto a (41). Reformulándose, como en el caso de los hogares, el problema puede expresarse como: 𝑁

𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑢 · 𝑈 − ∑(1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 · 𝑟𝑖

(44)

𝑖=1

De manera análoga al problema de los hogares (ver anexo A), se obtiene que: 𝑟𝑖 = 𝛿𝑖 ·

𝑇 (1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖

(45)

(ver anexo I función vectorial) Ejemplo ilustrativo ampliado12 Retomando el ejemplo ilustrativo del apartado 3.8, se incorporan ahora los impuestos. El proceso de calibración es el mismo al realizado anulando estas tasas impositivas. No obstante, al modificar alguna tasa, los valores de los coeficientes que multiplican a las variables en las ecuaciones varían, deshaciendo el equilibrio. Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen los nuevos valores de las variables que hacen que el modelo vuelva a estar en equilibrio. Sin embargo, al haber linealizado a través del desarrollo de Taylor en torno el punto z0, si el equilibrio se aleja de dicho punto la aproximación no es precisa. Por ello, resulta necesario que se apliquen tasas cuyos valores den lugar a precios que estén cerca de z0. Se realizan cuatro pruebas para evaluar el alcance del impacto de una subida de los impuestos en la producción de cada una de las commodities y en los consumos de los hogares de cada commodity. En cada una de ellas, se aplica una tasa de un 1% de impuesto. Impuestos sobre la producción Cuando el incremento de los impuestos es sobre las producciones de las commodities, el precio relativo de la commodity sobre la cual se aplica la tasa aumenta. Por consiguiente, la 12

Los datos de salida del ejemplo están recogidos en el anexo J

52

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demanda de la commodity decrece ya que se reduce el consumo de los hogares y el de la otra industria sin impuesto. Al reducirse la demanda de la industria con impuesto, la demanda de factores de producción para esa industria se ve reducida también. Esto implica que el consumo de factores de producción de la industria sin impuesto aumente, para así cumplir con la condición de casación del mercado de factores de producción. Esto provoca un incremento en la producción de la commodity sin impuesto, cuyo precio cae ligeramente y aumenta el consumo de los hogares para esta industria. Para el caso en el cual la tasa se aplica a la commodity C1, la renta de los hogares crece gracias a los ingresos que genera la recaudación de impuestos. Sin embargo, cuando la tasa es aplicada a la segunda industria la renta de los hogares decrece sensiblemente. Esta bajada de la renta en el segundo caso es debida esencialmente a que la producción del segundo sector es considerablemente menor que la del primero, y por tanto el ingreso por los impuestos es menor y no llega a cubrir la reducción por los ingresos de los factores de producción consumidos. Además, la demanda de la segunda commodity por parte de los hogares es mayor, lo que una subida de impuestos en esta commodity tiene un impacto mayor en la renta de los hogares. Impuestos sobre el consumo El efecto esperado de los impuestos sobre el consumo de una determinada commodity es el aumento del precio y el descenso en el consumo de ésta. Cuando la tasa del 1% del ejemplo se aplica a la primera industria, esto es exactamente lo que ocurre. Sin embargo, en el segundo caso, dónde el impuesto se aplica al consumo de la segunda commodity, el precio y las cantidades se mantienen constantes. Cuando el impuesto sobre el consumo es aplicado a la primera commodity, las producciones de ambas industrias disminuye y sus precios aumentan. En el segundo caso, sucede al contrario. Las producciones y el consumo de ambas commodities aumentan, y el precio de la commodity no afectada disminuye. El impuesto sobre el consumo tiene un efecto menor sobre los factores de producción que los impuestos sobre la producción. En definitiva, el efecto en la economía general que tienen los impuestos sobre el consumo es menor que cuando los impuestos son aplicados a las producciones.

53

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4.2

Incorporación de intercambios internacionales

Otro agente importante que en el modelo de equilibrio básico no estaba presente por simplicidad es el comercio con el exterior. A través de las exportaciones e importaciones, una entidad (en este caso España) intercambia bienes y servicios y capital con el exterior. El exterior consume bienes y servicios de cada uno de los sectores productores i. Por otro lado, el exterior también proporciona bienes y servicios a los diferentes sectores j de la economía para la producción de las commodities. Además, los demás agentes económicos, los hogares y el gobierno, consumen productos del exterior. Atendiendo a estas consideraciones, una primera posibilidad sería incluir las exportaciones e importaciones como un sector más de la economía. No obstante, esto plantea algunos problemas conceptuales, ya que los precios del exterior Pext,i quedarían determinados por la economía interna del país, cuando dependen de otros aspectos de política y economía internacional. Para solucionar este inconveniente se podría añadir una variable iext en forma de tasa impositiva del gobierno, que modelaría un precio Pext,i de la commodity i del exterior (parámetro exógeno) como función del precio pi interno de la commodity que es salida del modelo: 𝑃𝑒𝑥𝑡,𝑖 = 𝑝𝑖 · (1 + 𝜏𝑖 𝑒𝑥𝑡 )

(46)

Aun así, otro inconveniente a esta posibilidad de incluir el comercio exterior como otro sector más de la economía es que conceptualmente el sector exterior no consume commodities intermedias para luego producir las suyas que aporta a la economía. Existe otra alternativa razonable, que se desarrollada en la tesis de Robaina (2011). En ella, se propone modelar el sector exterior como un agente económico más sin formar parte de las industrias productoras de commodities. Por ello, se definen dos conjuntos de variables endógenas: por un lado las cantidades importadas por cada industria, impj (más adelante se explica que los hogares y el gobierno no importan productos); y por otro lado las cantidades exportadas de cada industria, expi. Los precios, tanto de las importaciones (Pimp,j) como de las exportaciones (Pexp,i), se consideran variables exógenas al modelo. Con estas

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nuevas variables, las ecuaciones desarrolladas hasta ahora quedan ligeramente modificadas. Primero, en la ecuación de casación del mercado de las commodities (40) se añade el término correspondiente por las exportaciones, multiplicado por sus precios de exportación en lugar de por el precio de venta interno en la economía que multiplica al resto de demandas (por ser internas). Esta ecuación indica cómo se distribuyen los ingresos por las commodities producidas de cada sector nacional yi entre el conjunto de demandas posibles (otros sectores, hogares, ahorro, gobierno o comercio internacional). No aparece ningún término referente a las importaciones ya que éstas son un factor primario de producción y no el destino de las commodities producidas por los sectores nacionales. 𝑁

𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 = ∑ 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 + 𝑝𝑖 · 𝑐𝑖 + 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 + 𝑝𝑖 · 𝑟𝑖 + 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑖 · 𝑒𝑥𝑝𝑖

(47)

𝑗=1

Por otro lado, se define yjint como el conjunto de commodities que se consumen dentro de la economía y no se exportan (lo que antes se denotaba simplemente como yj). La suma de las commodities que se consumen dentro de la economía, yjint, y de las commodities exportadas es, entonces, igual al conjunto total de commodities producidas yi, que se modela con la función de producción de Cobb-Douglas. En la función de producción aparece el término referente a las importaciones impj que realiza cada sector ya que se trata de un factor primario más para la producción de commodities. No aparecen las exportaciones porque éstas no son un factor primario, sino que son las demandas del exterior de las commodities que se producen. Por consiguiente, se tiene que: 𝑁

𝑦𝑗 =

𝑦𝑗𝑖𝑛𝑡

+ 𝑒𝑥𝑝𝑗 = 𝐴𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝑖=1

𝐹 𝛽𝑖,𝑗

· ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗

(48)

𝑓=1

Siendo βimp,j la elasticidad de las importaciones como factor primario para cada uno de los sectores de producción. Además, se debe cumplir que: 𝛽1,𝑗 + ⋯ + 𝛽𝑁,𝑗 + 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 + 𝛾1,𝑗 + ⋯ + 𝛾𝐹,𝑗 = 1

55

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Por tanto, la ecuación de beneficio nulo (33) queda ahora de la siguiente manera: 𝑁

𝑝𝑗 ·

𝑦𝑗𝑖𝑛𝑡

𝑋 + 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗 · 𝑒𝑥𝑝𝑗 = ∑(1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 𝑖=1

𝐹

(49)

+ ∑(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 + 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗 𝑓=1

Además, el conjunto de las exportaciones debe cumplir que el coste del sector externo por comprar exportaciones expi de una cierta commodity i debe ser menor que un coste máximo exógeno al modelo, EXPMAX,i. 0 ≤ 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑖 · 𝑒𝑥𝑝𝑖 ≤ 𝐸𝑋𝑃𝑀𝐴𝑋,𝑖

(50)

Al final, las exportaciones dependen del precio Pexp,j de cada commodity y de la cuota EXPMAX, j de exportaciones máximas impuesta para cada commodity dado que: 𝑒𝑥𝑝𝑗 ≤

𝐸𝑋𝑃𝑀𝐴𝑋,𝑗 : 𝜌𝑗 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗

(50)

0 ≤ 𝑒𝑥𝑝𝑗 : 𝑚𝑗 Por tanto, el problema de las empresas consistirá en resolver el siguiente problema de optimización, sujeto a (50): 𝑁 𝑋 max 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗𝑖𝑛𝑡 + 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗 · 𝑒𝑥𝑝𝑗 − ∑(1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 𝑖=1

𝐹

− ∑(1 +

𝜏𝑓𝑉 )

· 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 − 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗

(51)

𝑓=1

Siguiendo las pautas del anexo L, la solución óptima del problema anterior es la siguiente: 𝑝𝑗 = 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗 − 𝜌𝑗 + 𝑚𝑗

(52)

56

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𝑥𝑖,𝑗 = 𝛽𝑖,𝑗 ·

𝑣𝑓,𝑗 = 𝛾𝑓,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 (1 +

𝜏𝑖𝑌 )

𝑋 · (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · 𝑝𝑖

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 (1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓

𝑖𝑚𝑝𝑗 = 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑗

(53)

(54)

(55)

Siendo µj la variable del lagrangiano asociada a la restricción (48) y ρj y mj las correspondientes a las restricciones de (50). Las ecuaciones (53) y (54) son las respectivas curvas de reacción calculadas en apartados anteriores (ecuaciones (15) y (16) del apartado 3.4, y (38) y (39) del apartado 4.1) adaptadas esta vez para tener en cuenta el comercio internacional. Del mismo modo, la ecuación (55) es la curva de producción de las importaciones (ver anexo L para más detalle del desarrollo del problema (51)). Las variables ρj y mj juegan un papel esencial al restringir los precios de exportación. Por un lado, si el precio interno de las commodities fuera mayor que el precio de las exportaciones (ρj=0 y mj>0), las empresas en busca de maximizar su beneficio exportarían todos sus productos hasta saturar la primera de las restricciones de (50). De igual forma, si el precio de las exportaciones fuera mayor que el precio interno de las commodities (ρj>0 y mj=0) se obtendrían exportaciones nulas (saturándose en este caso la segunda de las restricciones de (50)). Nótese además que si no se impusiera cota superior a las exportaciones y por ejemplo los impuestos fueran altos los precios del interior y del exterior serían iguales y se exportaría todo lo posible : 𝑋 𝑒𝑥𝑝𝑖 ≤ ∞, 𝜏𝑖,𝑗 ↑ ⟹ 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑡 + 𝑒𝑥𝑝𝑖 = 𝑒𝑥𝑝𝑖 ,

𝑦𝑖𝑖𝑛𝑡 = 0 , 𝑝𝑖 = 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑖

Al introducir la restricción de la cuota máxima de exportaciones, se introduce la variable ρj, que representa el sobrecoste por alcanzar la cota de exportaciones EXPMAX,i lo cual por ende modela el hecho de que el precio interior pueda ser superior al precio exógeno. Para el resto de agentes económicos del modelo, los hogares y el gobierno, se asume nula la cantidad importada que consumen. No obstante, podría tener sentido pensar que ambos agentes pueden consumir productos importados, pero el desarrollo matemático de este caso no implica ninguna dificultad añadida (únicamente implicaría la consideración de dos variables más en el modelo impC, impR, ver anexo K para más detalle).

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En conclusión, las ecuaciones del equilibrio general en este caso, y considerando al gobierno como un agente activo de la economía, son de nuevo similares las que se obtuvieron en el modelo básico. Respecto a las ecuaciones de la función vectorial del modelo básico, en esta formulación se añaden las tasas impositivas y los términos correspondientes a las importaciones y exportaciones. En el caso de ser nulos estas tasas y términos, se obtendrían las mismas ecuaciones que en el apartado 3.4. Es decir, las ecuaciones resultan ser: 𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 𝑖𝑛𝑡 + 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑖 · 𝑒𝑥𝑝𝑖 = 𝑁

= ∑ 𝛽𝑖,𝑗 · 𝑗=1

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑋 (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 )

·

𝑁

𝑉𝑓 = ∑ 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑗=1

𝑝𝑗 =

𝑌 𝑀 − ∑𝑁 𝑗=1(1 + 𝜏𝑗 ) · 𝑝𝑗 · 𝑆𝑗

𝑇 (1 + 𝜏𝐶𝑖 ) · (1 + 𝜏𝑌𝑖 ) · 𝑝𝑖

(1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 )

+ 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 + 𝛿𝑖

+ 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 · 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 (1 + 𝜏𝑓𝑉 )

𝑁

𝐴𝑗−1

+ 𝛼𝑖 ·

· [∏ (

(1 + 𝜏𝑋𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑌𝑖 ) · 𝑝

𝑖=1

𝑖

𝛽𝑖,𝑗

𝛽𝑖,𝑗

)

𝛾𝑓,𝑗

(1 + 𝜏𝑉𝑓 ) · 𝑤 𝑓 · ∏( ) 𝐹

𝑓=1

𝛾𝑓,𝑗

· (𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑗

En definitiva, se tienen 2N+F ecuaciones y 2N+F incógnitas (yi, wf y pi) corroborando que se trata de un sistema de ecuaciones compatible determinado. Además se debe cumplir: (

𝐸𝑋𝑃𝑀𝐴𝑋,𝑗 − 𝑒𝑥𝑝𝑗 ) ∙ 𝜌𝑗 = 0 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗

(50)

𝑒𝑥𝑝𝑗 ∙ 𝑚𝑗 = 0 𝑝𝑗 = 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗 − 𝜌𝑗 + 𝑚𝑗

4.3

(52)

Otras variables a considerar

A parte del papel del gobierno y del comercio exterior en la economía, podrían considerarse otras variables en el modelo de equilibrio general, como el ocio o el desempleo, que hasta ahora se han descartado por la condición de Walras de casación de los mercados de los

58

𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗

)

]

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factores de producción. No obstante, en la vida real juegan un papel importante a la hora de estudiar la economía de un país. Por su parte, el ocio se puede considerar como el tiempo que voluntariamente los hogares deciden no poner en el mercado de los factores de producción. Es decir, se podría considerar como un servicio que los hogares consumen, cuyo valor es igual al valor del factor de producción L de mano de obra que no se pone en el mercado. Por tanto, una posibilidad sería modelar esta variable como un sector i de la economía, con la particularidad de que únicamente los hogares son consumidores de esta commodity. Además esta nueva commodity no consumiría ninguna commodity intermedia xi,j y solamente requerirían un factor de producción: la mano de obra L.

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60

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5.

Integración del sector eléctrico

En los modelos de equilibrio general, todos los sectores están representados por funciones de producción con una estructura de substitución de los diferentes factores primarios. Para un mayor detalle de una determinada industria, es posible integrar otros modelos de más detalle, como por ejemplo los modelos de equilibrio parcial “bottom-up”. Los modelos que conjugan una estructura de modelo de equilibrio general computable con una descripción detallada de un determinado sector se denominan modelos híbridos. El objetivo de estos modelos híbridos es realizar una representación más completa de la economía por medio de una mejor descripción de las actividades de las que se dispongan más datos e información. La intención es desarrollar una estructura matemática de la producción más refinada y detallada, que posibilite el estudio de políticas específicas en esos sectores y su impacto en el resto de la economía. Los sectores energéticos (electricidad, gas, refinería, etcétera) son los más representativos a la hora de desarrollar modelos de equilibrio general híbridos para evaluar efectos de reformas. Debido a la gran importancia de estos sectores, y a las relaciones con el resto de industrias, las reformas en materia de energía no sólo causan ajustes directos en los mercados de energía, sino que afectan indirectamente al resto de mercados (Böhringer y Löschel, 2006). En este proyecto, la intención es integrar un modelo del sector eléctrico en el modelo de equilibrio general, que permita un mayor detalle en la descripción y representación de los precios y de la generación de la electricidad. La primera alternativa pasaría por formular, dentro del modelo de equilibrio general, las decisiones de la demanda de electricidad utilizando funciones de producción con subniveles y elasticidades de substitución específicas. Ejemplos de modelos así, pero para el sector energético en general, son los trabajos de Paltsev (2005) o el de Gónzalez-Ruiz de Eguino (2007). El ejemplo del diagrama de la Figura 2 representa la descripción detallada del sector energético en un modelo de equilibrio general.

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Figura 2. Descripción detallada del sector energético dentro de un modelo de equilibrio general13

Modelo EGC

Producción Yi

KLE

Otras entradas

KL

Agricultura

Energía

Textil Capital

Trabajo

Comb. fósiles

Electricidad

Alimentación Extracción

Carbón

Petróleo

Gas

… Servicios

Otra alternativa sería definir un modelo híbrido, integrando ahora sí el modelo de equilibrio parcial para el sector eléctrico, a través de vínculos débiles. Los modelos híbridos de vínculos débiles consisten en introducir las variables de salida de un modelo como variables de entrada del segundo modelo, sin que estén físicamente unidas las ecuaciones de ambos modelos. En definitiva, sería como crear una cadena de modelos independientes que se resuelven de manera organizada e iterativa (Mitra-Kahn, 2008). Aunque este tipo de modelos permiten la descripción más detallada del sector deseado sin grandes requisitos de formulación, no tiene en cuenta posibles relaciones entre las demandas y los ingresos de los modelos involucrados. El trabajo por Labandeira, Labeaga y Rodriguez (2006) es un ejemplo de este tipo de modelos híbridos con resolución por vínculos débiles. El modelo de equilibrio parcial del sector eléctrico que se podría integrar mediante un vínculo débil o fuerte (es decir, en este último caso integrando directamente las ecuaciones del equilibrio parcial con las del equilibrio de la economía general) consistiría en la optimización de la explotación de la generación de electricidad con las distintas tecnologías de generación presentes en el sistema eléctrico. El modelo debería tener en cuenta, entre

13

Fuente: Rodrigues, R. (2009-2010). Computable General Equilibrium Models Applied to Energy Policy Evaluations. Master tesis en Universidad Pontificia de Comillas ICAI-ICADE. Madrid, España.

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otros, el coste marginal de producción, el coste de arranque y de parada y los límites de producción. Obviando por simplicidad los costes de arranque y de parada, las ecuaciones del equilibrio parcial consistirían en las T ecuaciones de maximización de beneficio (una por cada tecnología de producción) y una ecuación más para casar la energía producida con la demanda de electricidad: 𝜆 = 𝑀𝑡 (𝑝𝑡 ) + 𝜇𝑡 + 𝜂𝑡

(56)

𝑇

∑ 𝑝𝑡 = 𝐷

(57)

𝑡=1

Dónde: 𝑀𝑡 es el coste marginal de la electricidad por tecnología. 𝑝𝑡 es la producción eléctrica por tecnologías. 𝐷 es la demanda total de energía eléctrica. Al ser una variable que proviene del modelo de equilibrio general, la consideramos parámetro exógeno al modelo de equilibrio parcial del sector eléctrico. 𝜆 es el coste marginal de la electricidad (pelec) en el sistema para alcanzar una producción eléctrica igual que la demanda. 𝜇𝑡 es el coste asociado por alcanzar el límite superior de producción de una determinada tecnología. 𝜂𝑡 es el coste asociado por alcanzar el límite inferior de producción de una determinada tecnología. El sistema de ecuaciones anterior debería incluir además las restricciones de capacidad de producción máxima y/o mínima de cada tecnología. 𝑃𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑝𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 Y las condiciones de complementariedad de holguras:

63

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𝑇

𝜆 · (𝐷 − ∑ 𝑝𝑡 ) = 0

(58)

𝑡=1

𝜆≥0 𝜇𝑡 · (𝑃𝑚𝑎𝑥 − 𝑝𝑡 ) = 0 𝜇𝑡 ≥ 0

(59)

𝜂𝑡 · (𝑝𝑡 − 𝑃𝑚𝑖𝑛 ) = 0 𝜂𝑡 ≥ 0

(60)

La integración del modelo por vinculación débil podría consistir en la demanda de energía eléctrica como salida del modelo de equilibrio general y como variable de entrada en el modelo de precios del mercado eléctrico, como se representa en la Figura 3. Figura 3. Modelo híbrido con vinculación débil14

Modelo EGC

Modelo del sector eléctrico Producción Yi

KL

ll

Otras entradas Agricultura

Capital

Trabajo

Textil Alimentación Extracción

… Servicios

Minimizar: a 𝜋 (𝑝 ) a𝑡 𝑡 Sujeto a: 𝑇

a ∑𝑝 = 𝐷 a𝑡=1 𝑡 a a𝑃𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑝𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥

14

Fuente: Rodrigues, R. (2009-2010). Computable General Equilibrium Models Applied to Energy Policy Evaluations. Master tesis en Universidad Pontificia de Comillas ICAI-ICADE. Madrid, España.

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Para mejorar los resultados que se obtienen de la vinculación débil, se podrían conectar el modelo de equilibrio general y el parcial de tal manera que se retroalimentaran de manera iterativa, como en la Figura 4. La unión iterativa de ambos modelos hasta la convergencia de los resultados daría así una mejor aproximación de la realidad (ver Linares, Rodriguez y Labandeira (2008)). Figura 4. Modelo híbrido con vinculación débil y retroalimentación iterativa15

Demanda eléctrica Precio de trabajo Otras variables

Modelo EGC

Modelo del sector eléctrico

Condiciones KKT Minimizar: a (𝑝 ) a𝜋𝑡 𝑡 Sujeto a:

a𝑇 a∑ 𝑝𝑡 = 𝐷 a𝑡=1 a𝑃𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑝𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥

Condiciones KKT Minimizar: a (𝑝 ) a𝜋𝑡 𝑡 Sujeto a:

a𝑇 a∑ 𝑝𝑡 = 𝐷 a𝑡=1 a𝑃𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑝𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥

Precio de la electricidad Demanda de trabajo Otras variables

Por último, la alternativa de vinculación fuerte es la que proporciona una mejor representación de la realidad. Consiste en la formulación conjunta de ambos modelos. Wing (2008) y Böhringer y Rutherford (2008) presentan modelos con esta estructura. En (Rodrigues, 2008) se describe un enfoque de integración en donde en lugar de usar las funciones de producción resultantes de las ecuaciones de equilibrio parcial (ver sistema de 15

Fuente: Rodrigues, R. (2009-2010). Computable General Equilibrium Models Applied to Energy Policy Evaluations. Master tesis en Universidad Pontificia de Comillas ICAI-ICADE. Madrid, España.

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ecuaciones (56) y (57)), éstas se substituyen por funciones más realistas al aplicar el denominado proceso de Leontief, atendiendo a las rentabilidades (para más detalle ver (Rodrigues, 2009)). La Figura 5 representa este proceso de formulación conjunta, extraído del trabajo de Rodrigues (2009). Figura 5. Modelo híbrido con vinculación fuerte16

Modelo EGC Condiciones KKT Minimizar: a (𝑝 ) a𝜋𝑡 𝑡 Sujeto a:

a𝑇 a∑ 𝑝𝑡 = 𝐷 a𝑡=1 a𝑃𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑝𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥

Modelo del sector eléctrico Condiciones KKT Minimizar: a (𝑝 ) a𝜋𝑡 𝑡 Sujeto a:

a𝑇 a∑ 𝑝𝑡 = 𝐷 a𝑡=1 a𝑃𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑝𝑡 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥

16

Fuente: Rodrigues, R. (2009-2010). Computable General Equilibrium Models Applied to Energy Policy Evaluations. Master tesis en Universidad Pontificia de Comillas ICAI-ICADE. Madrid, España.

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6. 6.1

Conclusiones Conclusiones sobre la metodología

Este trabajo ha consistido en un minucioso estudio de los modelos de equilibrio general para comprender su funcionamiento y entender cuáles son sus bases matemáticas. Comenzando por el análisis de las condiciones macroeconómicas, se ha buscado explicar de una manera sencilla y concisa cómo se formulan las ecuaciones que modelan el equilibrio general de una entidad, desde el origen de las suposiciones iniciales hasta las ecuaciones de equilibrio finales. La falta de explicaciones detalladas y de demostraciones rigurosas de su formulación, probablemente por dar las ecuaciones por supuestas, han motivado el desarrollo del modelo de equilibrio general, ya que la literatura actual podía generar cierta ambigüedad y desconocimiento sobre sus fundamentos de enfoque. A través del proceso de desarrollo de las ecuaciones se ha podido observar como los modelos de equilibrio general poseen grandes ventajas, como la modelización de las relaciones entre distintos mercados de la economía. No obstante, algunas de las suposiciones iniciales que suponen los pilares de este tipo de modelos son criticables. Por ejemplo, los autores no neoclásicos critican el uso de las funciones de producción, ya que no tienen en cuenta posibles variables como el raciocinio del agente económico17. Otras posibles críticas a sus suposiciones iniciales son la homogenización del capital o la suposición de competencia imperfecta (monopolios) en cada rama de actividad. Sin embargo, la posibilidad de combinación de los modelos de equilibrio general con otros modelos de equilibrio parcial que aporten una visión más detallada de ciertos aspectos de una industria, hace posible el estudio del impacto en toda la economía de medidas muy concretas en un sector específico. Este es el caso en particular de las políticas y reformas relacionadas con el sector energético y medioambiental, en donde se podría buscar evaluar el efecto que tienen sobre el resto de la economía. Ahora bien, el principal objetivo de los

17

Rodrigues, R. (2009-2010). Computable General Equilibrium Models Applied to Energy Policy Evaluations.

Master tesis en Universidad Pontificia de Comillas ICAI-ICADE. Madrid, España

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modelos de equilibrio general es realizar una valoración aproximada de las repercusiones de una medida a largo plazo, y no el valor exacto de una determinada variable.

6.2

Conclusiones sobre los resultados

Se ha desarrollado un modelo de equilibrio general básico para comprender bien el funcionamiento de las ecuaciones. Una vez analizadas las ecuaciones, se ha propuesto la incorporación de nuevas variables (impuestos, sector exterior) que permitan realizar ejemplos ilustrativos sencillos para entender el funcionamiento de los modelos de equilibrio general. En primer lugar, el ejemplo utilizado para la calibración del modelo básico ha ayudado a construir e interpretar la matriz de contabilidad social para España del apartado 4. Además, gracias a ese primer desarrollo de las ecuaciones de calibración, se ha facilitado la incorporación más tarde de otros agentes económicos importantes en una economía, como el gobierno a través de los impuestos y el gasto público, y el sector exterior a través de las importaciones y exportaciones. En segundo lugar, se ha propuesto una alternativa a las ecuaciones y condiciones altamente no lineales de los modelos de equilibrio general. Por medio del desarrollo de Taylor, se ha linealizado las ecuaciones obtenidas en la calibración y tras la incorporación de los impuestos y del comercio exterior. Gracias a ellas, se ha propuesto un enfoque de resolución que permite encontrar una solución óptima a las ecuaciones de equilibrio mediante el uso de software comerciales que permiten resolver problemas de programación interna mixta, como GAMS. Sin embargo, esta linealización presenta algunas limitaciones, como es la desviación de los resultados cuando los incrementos son muy grandes y se alejan del punto de aproximación. En tercer lugar, los resultados obtenidos del ejemplo al aplicar determinadas tasas impositivas han servido para mostrar el funcionamiento del modelo de equilibrio general. Gracias al modelo se ha podido valorar los posibles efectos de la aplicación de impuestos sobre la producción y sobre el consumo, llegando a la conclusión de que el impuesto sobre la producción de una commodity tiene en general un efecto mayor en el conjunto de la economía.

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Por último, al inicio del proyecto se pretendía adaptar para España un modelo de equilibrio general ya existente para Portugal (Robaina, 2011) que había sido formulado como problema de programación matemática con estructura de equilibrio general (MPSGE, Rutherford 1987). No obstante, se optó por el desarrollo de un modelo de programación matemática entero mixto desde cero para la comprensión total de la formulación, y para tener bajo control en todo momento las ecuaciones y las variables involucradas, algo que no es transparente en la formulación GAMS del MPSGE. El código de programación del modelo para Portugal con MPSGE es de alta complejidad, lo que dificulta mucho las adaptaciones.

6.3

Futuras líneas de desarrollo

Tras desarrollar el modelo de equilibrio general, el próximo paso sería integrar el modelo del sector eléctrico de modo que se formase un modelo híbrido con mayor detalle de ese sector. En el apartado 6 se ha comentado cuáles son las posibles alternativas para acoplar el modelo, aparentando ser la más adecuada la integración de las ecuaciones de equilibrio parciales del sector mediante vinculación débil. Una vez lograda la integración del modelo eléctrico, se podría estudiar mejoras posibles como la retroalimentación. Además, aparte de la continuación del ejemplo ilustrativo que se ha desarrollado en esta memoria para acompañar la comprensión del modelo, se podría programar el modelo en GAMS para poder evaluar el impacto de determinadas reformas (incremento de impuestos, de subvenciones, cuotas de producción) en la economía española. La calibración inicial de los parámetros se realizaría con los datos ya recogidos en la matriz de contabilidad social que se propone en el apartado 3.9 de esta memoria. No obstante, para poder realizar la calibración del modelo a partir de los datos de la matriz de contabilidad social española es necesaria la adaptación de algunos de los parámetros descritos en el modelo de este proyecto. Por ejemplo, en el modelo formulado se asume al gobierne como un agente económico cuyas rentas únicamente provienen de la recaudación de impuestos, mientras que en la matriz de contabilidad social de España el gobierno también recibe rentas por lo factores productivos y también contribuye con impuestos. También, en el modelo se debería considerar el equilibrio entre ahorro e inversiones de la entidad económica. Es

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decir, la suma de los ahorros públicos, privados y externos tienen que igualar las inversiones de la economía. En la tesis de Margarita Robaina (Robaina, 2011) este equilibrio se modela a través de la ecuación de la capacidad neta de préstamo nacional (CAPNEC).

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7.

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Anexos Anexo A – Resolución del problema de los hogares (8) El lagrangiano de la ecuación (8) resulta ser el siguiente: 𝑁

𝑚𝑎𝑥 𝑧 = 𝐴𝑐 · ∏ 𝑐𝑖

𝑁 𝛼𝑖

− 𝜆 · (∑ 𝑝𝑖 · (𝑐𝑖 + 𝑆𝑖 ) − 𝑀)

𝑖=1

𝑖=1

Derivando la función respecto de la demanda de los hogares, cj, e igualando a cero se obtiene que: 𝑁

𝜕𝑧 𝛼𝑗 −1 = 𝛼𝑗 · (𝑐𝑗 ) · ∏(𝑐𝑖 )𝛼𝑖 − 𝜆 · 𝑝𝑗 = 0 𝜕𝑐𝑗 𝑖=1 𝑖≠𝑖

(𝑐𝑗 ) ⟺ 𝛼𝑗 · 𝑐𝑗

𝛼𝑗

𝑁

· ∏(𝑐𝑖 )𝛼𝑖 = 𝜆 · 𝑝𝑗 𝑖=1 𝑖≠𝑖

𝛼𝑖 ∏𝑁 𝑖=1(𝑐𝑖 ) ⟺ 𝛼𝑗 · = 𝑐𝑗 𝜆 · 𝑝𝑗

⟺ 𝑐𝑖 = 𝛼𝑖 ·

𝑢 𝜆 · 𝑝𝑖

Ahora, derivando la función respecto de l e igualando a cero de nuevo, se obtiene que: 𝑁

𝜕𝑧 = − (∑ 𝑝𝑖 · (𝑐𝑖 + 𝑆𝑖 ) − 𝑀) = 0 𝜕𝜆 𝑖=1

Si se reemplaza la anterior igualdad en esta derivada y despejamos la variable de la demanda de las commodities de los hogares, resulta que:

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𝑁

∑ 𝑝𝑖 · (𝛼𝑖 · 𝑖=1 𝑁

⟺ ∑ (𝛼𝑖 · 𝑖=1

𝑢 + 𝑆𝑖 ) − 𝑀 = 0 𝜆 · 𝑝𝑖 𝑢 + 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 ) = 𝑀 𝜆

Teniendo en cuenta que la suma de todas las elasticidades, i, es igual a uno: 𝑁

𝑢 + ∑(𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 ) = 𝑀 𝜆 𝑖=1

𝑁

𝑢 ⟺ = 𝑀 − ∑(𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 ) 𝜆 𝑖=1

Finalmente, se puede introducir esta igualdad en la obtenida anteriormente de la primera derivada y obtener la ecuación (12): 𝑀 − ∑𝑁 𝑗=1(𝑝𝑗 · 𝑆𝑗 ) 𝑐𝑖 = 𝛼𝑖 · 𝑝𝑖

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Anexo B – Resolución del problema de las empresas (14) El problema planteado en (14) se trata de la maximización de los beneficios de las empresas de los sectores, que dependen de los costes en commodities para el consumo intermedio, xi,j, y de factores de producción, vf,j. 𝑁

𝐹

𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 − ∑ 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 − ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 𝑖=1

𝑓=1

Donde se puede sustituir las producciones de cada commodity con la ecuación (6): 𝑁

𝐹

𝑁

𝐹

𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑗 · (𝐴𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 ) − ∑ 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 − ∑ 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 𝑖=1

𝑓=1

𝑖=1

𝑓=1

Por un lado, derivando la función respecto a los consumos de commodities, xi,j, e igualando a cero se obtiene que: 𝑁

𝐹

𝑖´≠𝑖

𝑓=1

𝜕𝑧 = 𝑝𝑗 · (𝐴𝑗 · 𝛽𝑖,𝑗 · 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗−1 ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 ) − 𝑝𝑖 = 0 𝜕𝑥𝑖,𝑗 𝑁

𝐹

𝑖´≠𝑖

𝑓=1

𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 𝑝𝑖 ⟺ 𝐴𝑗 · 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑝𝑗 ⟺ 𝐴𝑗 · 𝛽𝑖,𝑗 ·

𝑦𝑗 𝑝𝑖 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑝𝑗

Y, finalmente, se obtiene (15): 𝑥𝑖,𝑗 = 𝛽𝑖,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑝𝑖

(se asumen los valores de los precios de las commodities, pi, mayores que cero)

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De manera análoga, derivando la función respecto a los consumos de los factores de producción, vf,j, e igualando a cero se obtiene que: 𝑁

𝐹

𝑖=1

𝑓´=𝑓

𝜕𝑧 = 𝑝𝑗 · (𝐴𝑗 · 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 −1 ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 ) − 𝑤𝑓 = 0 𝜕𝑣𝑓,𝑗 𝑁

𝐹

𝑖=1

𝑓´=𝑓

𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 𝑤𝑓 ⟺ 𝐴𝑗 · 𝛾𝑓,𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 = 𝑣𝑓,𝑗 𝑝𝑗

⟺ 𝛾𝑓,𝑗 ·

𝑦𝑗 𝑤𝑓 = 𝑣𝑓,𝑗 𝑝𝑗

Y, finalmente, se obtiene (16): 𝑣𝑓,𝑗 = 𝛾𝑓,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑤𝑓

(se asumen los valores de los precios de los factores de producción, wf, mayores que cero)

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Anexo C – Desarrollo de la ecuación (19) Para obtener la ecuación (19), se introducen las curvas de reacción (15) y (16) en la curva de producción de Cobb-Douglas (6), que modela la producción de las commodities en función de los consumos intermedios de otras commodities y factores de producción, y se simplifica dividiendo entre la cantidad de commodity, yi. Partiendo de estas ecuaciones: βi,j 𝑦𝑗 (𝑥1,𝑗 , … , 𝑥𝑁,𝑗 ; 𝑣1,𝑗 , … , 𝑣𝐹,𝑗 ) = 𝐴𝑗 · ∏𝑁 · ∏𝐹𝑓=1 vf,j γf,j 𝑖=1 xi,j

𝑥𝑖,𝑗 = 𝛽𝑖,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑝𝑖

𝑣𝑓,𝑗 = 𝛾𝑓,𝑗 ·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑤𝑓

El desarrollo para obtener dicha ecuación es el siguiente: 𝑁

𝐹

𝑖=1

𝑓=1

𝛾𝑓,𝑗

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝛽𝑖,𝑗 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑦𝑗 = 𝐴𝑗 · ∏ (𝛽𝑖,𝑗 · ) · ∏ (𝛾𝑓,𝑗 · ) 𝑝𝑖 𝑤𝑓 𝑁

⟺ 𝑦𝑗 = 𝐴𝑗 · ∏(𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 )

𝛽𝑖,𝑗

𝑖=1

⟺ 𝑦𝑗 = 𝐴𝑗 · (𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 )

𝐹

· ∏(𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 )

𝛾𝑓,𝑗

𝑓=1

∑𝑁 𝑖=1 𝛽𝑖,𝑗

𝑁

𝛽𝑖,𝑗

𝛽𝑖,𝑗 · ∏( ) 𝑝𝑖 𝑖=1

· (𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 )

∑𝐹 𝑓=1 𝛾𝑓,𝑗

𝑁

⟺ 𝑦𝑗 = 𝐴𝑗 · (𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 )

𝐹 ∑𝑁 𝑖=1 𝛽𝑖,𝑗 +∑𝑓=1 𝛾𝑓,𝑗

𝑁

𝛽𝑖,𝑗

𝛽𝑖,𝑗 · ∏( ) 𝑝𝑖 𝑖=1

𝛾𝑓,𝑗 ·∏( ) 𝑤𝑓

𝛽𝑖,𝑗

𝐹

𝛾𝑓,𝑗

𝑓=1

𝛽𝑖,𝑗 ·∏( ) 𝑝𝑖 𝑖=1

𝐹

𝐹

𝛾𝑓,𝑗

𝛾𝑓,𝑗 · ∏( ) 𝑤𝑓 𝑓=1

𝛾𝑓,𝑗 ·∏( ) 𝑤𝑓

𝛾𝑓,𝑗

𝑓=1

81

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𝑁

𝛽𝑖,𝑗

𝛽𝑖,𝑗 ⟺ 𝑦𝑗 = 𝐴𝑗 · 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 · ∏ ( ) 𝑝𝑖 𝑖=1

𝐹

𝛾𝑓,𝑗 ·∏( ) 𝑤𝑓

𝛾𝑓,𝑗

𝑓=1

Y, finalmente, despejando el precio de la commodity j, pj, y simplificando, se obtiene la ecuación (19): 𝑁

𝑝𝑗 =

𝐴𝑗−1

𝛽𝑖,𝑗

𝑝𝑖 · [∏ ( ) 𝛽𝑖,𝑗 𝑖=1

𝐹

𝛾𝑓,𝑗

𝑤𝑓 · ∏( ) 𝛾𝑓,𝑗

]

𝑓=1

82

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Anexo D – Linealización de la condición de complementariedad MCP como MIP El problema de complementariedad mixta (MCP) del modelo es el siguiente: 0 ≤ 𝑧 ⊥ 𝑓(𝑧) ≤ 0 Estas ecuaciones, se pueden resolver como un mixed integer programming (MIP) de la siguiente manera: 0 ≤ 𝑧 ⊥ 𝑓(𝑧) ≤ 0 𝑧 · 𝑓(𝑧) = 0 ⟺ { 𝑓(𝑧) ≤ 0 𝑧≥0 O lo que es equivalente: 𝑓(𝑧) ≤ 𝛿 · 𝑀 𝑧 ≤ (1 − 𝛿) · 𝑀 ⟺ 𝑓(𝑧) ≤ 0 𝑧≥0 { 𝛿 ∈ {0,1}

83

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Anexo E – Linealización de la casación del mercado de commodities La aproximación lineal que se plantea es la siguiente: 𝑓(𝑧) ≅ 𝑓(𝑧0 ) +

𝜕𝑓(𝑧) | · (𝑧 − 𝑧0 ) 𝜕𝑧 𝑧=𝑧 0

siendo 𝑓1 (𝑧)𝑖 𝑝𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁 𝑓 𝑓(𝑧) = 𝑓 (𝑤𝑓 , 𝑓 = 1, … , 𝐹 ) = (𝑓2 (𝑧) ) 𝑦𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑁 𝑓3 (𝑧)𝑗 𝑓1 = (𝑓1𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁);

𝑓

𝑓3 = (𝑓3𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁)

𝑓2 = (𝑓2 , 𝑓 = 1, 𝐹);

Y para el punto inicial, z0: 𝑝𝑖0 = 1, 𝑖 = 1, 𝑁 𝑧0 = (𝑤𝑓0 = 1, 𝑓 = 1, 𝐹 ) 𝑦𝑖0 , 𝑖 = 1, 𝑁 La primera función de este modelo a linealizar por el desarrollo de Taylor de primer orden es la representada por la ecuación (17): 𝑁

𝑁

𝑓1 (𝑧)𝑖 = 𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 − ∑ 𝛽𝑖,𝑗 · 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 − 𝛼𝑖 · (𝑀 − ∑ 𝑝𝑗 · 𝑆𝑗 ) − 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 𝑖=1

(17)

𝑗=1

Primero, las derivadas parciales de la función respecto de los tres tipos de variables presentes en el vector z son iguales a:

84

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𝜕𝑓1 (𝑧)𝑖 𝑦 − 𝛽𝑘,𝑘 · 𝑦𝑘 + 𝛼𝑘 · 𝑆𝑘 − 𝑆𝑘 = 𝑦𝑘 · (1 − 𝛽𝑘,𝑘 ) + 𝑆𝑘 · (𝛼𝑘 − 1) ={ 𝑘 𝜕𝑝𝑘 −𝛽𝑖,𝑘 · 𝑦𝑘 + 𝛼𝑖 · 𝑆𝑘

𝑘=𝑖 𝑘≠𝑖

𝜕𝑓1 (𝑧)𝑖 ⟺ = 𝑦𝑘 · (𝐼𝑘=𝑖 − 𝛽𝑖,𝑘 ) + 𝑆𝑘 · (𝛼𝑖 − 𝐼𝑘=𝑖 ) 𝜕𝑝𝑘 𝜕𝑓1 (𝑧)𝑖 𝑝𝑘 − 𝛽𝑘,𝑘 · 𝑝𝑘 ={ −𝛽𝑖,𝑘 · 𝑝𝑘 𝜕𝑦𝑘

𝑘=𝑖 𝑘≠𝑖

𝜕𝑓1 (𝑧)𝑖 ⟺ = 𝑝𝑘 · (𝐼𝑘=𝑖 − 𝛽𝑖,𝑘 ) 𝜕𝑦𝑘 𝜕𝑓1 (𝑧)𝑖 =0 𝜕𝑤𝑘 Siendo: 1 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝐼𝐴 = { 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Y evaluando la función y sus derivadas en el punto inicial z0 tenemos que: 𝑁

𝑓1 (𝑧0

)𝑖

=

𝑦𝑖0

− ∑ 𝛽𝑖,𝑗 ·

𝑁

𝑦𝑖0

− 𝛼𝑖 · (𝑀 − ∑ 𝑆𝑗 ) − 𝑆𝑖

𝑖=1

𝑗=1

𝜕𝑓1 (𝑧)𝑖 | = 𝑦𝑘0 · (𝐼𝑘=𝑖 − 𝛽𝑖,𝑘 ) + 𝑠𝑘 · (𝛼𝑖 − 𝐼𝑘=𝑖 ) 𝜕𝑝𝑘 𝑧=𝑧 0

𝜕𝑓1 (𝑧)𝑖 | = (𝐼𝑘=𝑖 − 𝛽𝑖,𝑘 ) 𝜕𝑦𝑘 𝑧=𝑧 0

Para finalmente llegar a la ecuación lineal (20):

85

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𝑁

𝑁

𝑓1 (𝑧)𝑖 ≅ (𝑦𝑖0 − ∑ 𝛽𝑖,𝑗 · 𝑦𝑗0 − 𝛼𝑖 · (𝑀 − ∑ 𝑆𝑗 ) − 𝑆𝑖 ) 𝑗=1

𝑗=1

𝑁

+ ∑ ((𝑦𝑘0 · (𝐼𝑘=𝑖 − 𝛽𝑖,𝑘 ) + 𝑠𝑘 · (𝛼𝑖 − 𝐼𝑘=𝑖 )) · (𝑝𝑘 − 1)) 𝑘=1 𝑁

+ ∑ ((𝐼𝑘=𝑖 − 𝛽𝑖,𝑘 ) · (𝑦𝑘 − 𝑦𝑘0 )) 𝑘=1

86

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Anexo F – Linealización de la casación del mercado de factores de producción La aproximación lineal que se plantea es la siguiente: 𝑓(𝑧) ≅ 𝑓(𝑧0 ) +

𝜕𝑓(𝑧) | · (𝑧 − 𝑧0 ) 𝜕𝑧 𝑧=𝑧 0

siendo 𝑓1 (𝑧)𝑖 𝑝𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁 𝑓 𝑓(𝑧) = 𝑓 (𝑤𝑓 , 𝑓 = 1, … , 𝐹 ) = (𝑓2 (𝑧) ) 𝑦𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑁 𝑓3 (𝑧)𝑗 𝑓1 = (𝑓1𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁);

𝑓

𝑓2 = (𝑓2 , 𝑓 = 1, 𝐹);

𝑓3 = (𝑓3𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁)

Y para el punto inicial, z0: 𝑝𝑖0 = 1, 𝑖 = 1, 𝑁 𝑧0 = (𝑤𝑓0 = 1, 𝑓 = 1, 𝐹 ) 𝑦𝑖0 , 𝑖 = 1, 𝑁 La segunda función de este modelo a linealizar por el desarrollo de Taylor de primer orden es la representada por la ecuación (18): 𝑁

𝑓2

(𝑧)𝑓

= ∑ 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 − 𝑉𝑓

(18)

𝑗=1

Primero, las derivadas parciales de la función respecto de los tres tipos de variables presentes en el vector z son iguales a:

87

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𝜕𝑓2 (𝑧) 𝑓 = 𝛾𝑓,𝑘 · 𝑦𝑘 𝜕𝑝𝑘 𝜕𝑓1 (𝑧)𝑖 = 𝛾𝑓,𝑘 · 𝑝𝑘 𝜕𝑦𝑘 𝜕𝑓1 (𝑧)𝑖 =0 𝜕𝑤𝑘 Y evaluando la función y sus derivadas en el punto inicial, z0, tenemos que: 𝑁

𝑓2 (𝑧0

)𝑓

𝑁

𝑁

= ∑ 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑦𝑗 − 𝑉𝑓 = ∑ 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑦𝑗 − ∑ 𝑣𝑓,𝑗 𝑗=1

𝑗=1

𝑗=1

𝜕𝑓2 (𝑧) 𝑓 | = 𝛾𝑓,𝑘 · 𝑦𝑘0 𝜕𝑝𝑘 𝑧=𝑧 0

𝜕𝑓1 (𝑧)𝑖 | = 𝛾𝑓,𝑘 𝜕𝑦𝑘 𝑧=𝑧 0

Para finalmente llegar a la ecuación lineal (21): 𝑁

𝑓2

(𝑧) 𝑓

𝑁

≅ (∑ 𝛾𝑓,𝑗 ·

𝑦𝑗0

𝑗=1

− 𝑉𝑓 ) + ∑ (𝛾𝑓,𝑘 · 𝑦𝑘0 · (𝑝𝑘 − 1)) 𝑘=1

𝑁

+ ∑ (𝛾𝑓,𝑘 · (𝑦𝑘 − 𝑦𝑘0 )) 𝑘=1

88

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Anexo G – Linealización de las curvas de producción de CobbDouglas La aproximación lineal que se plantea es la siguiente: 𝑓(𝑧) ≅ 𝑓(𝑧0 ) +

𝜕𝑓(𝑧) | · (𝑧 − 𝑧0 ) 𝜕𝑧 𝑧=𝑧 0

siendo 𝑓1 (𝑧)𝑖 𝑝𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑁 𝑓 𝑓(𝑧) = 𝑓 (𝑤𝑓 , 𝑓 = 1, … , 𝐹 ) = (𝑓2 (𝑧) ) 𝑦𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑁 𝑓3 (𝑧)𝑗 𝑓1 = (𝑓1𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁);

𝑓

𝑓2 = (𝑓2 , 𝑓 = 1, 𝐹);

𝑓3 = (𝑓3𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁)

Y para el punto inicial, z0: 𝑝𝑖0 = 1, 𝑖 = 1, 𝑁 𝑧0 = (𝑤𝑓0 = 1, 𝑓 = 1, 𝐹 ) 𝑦𝑖0 , 𝑖 = 1, 𝑁 La tercera, y última, función de este modelo a linealizar por el desarrollo de Taylor de primer orden es la representada por la ecuación (19): 𝑁

𝑓3

(𝑧)𝑗

=

𝐴𝑗−1

βi,j

𝑝𝑖 · [∏ ( ) βi,j 𝑖=1

𝐹

γf,j

wf · ∏( ) γf,j

] − 𝑝𝑗

(19)

𝑓=1

Primero, las derivadas parciales de la función respecto de los tres tipos de variables presentes en el vector z son iguales a:

89

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𝑁

𝐹

βi,j

𝑖=1 𝑖≠𝑘

𝜕𝑓3 (𝑧)𝑗 = 𝜕𝑝𝑘

𝑁

{

γf,j

𝑤𝑓 ·∏( ) γf,j

𝑝𝑖 𝐴𝑗−1 · [∏ ( ) βi,j

𝑓=1 𝐹

βi,j

γf,j

𝑖=1 𝑖≠𝑘

𝑝𝑘 ]·( ) βk,j

𝑓=1

βi,j

𝜕𝑓3 (𝑧)𝑗 𝑝𝑖 ⟺ = 𝐴𝑗−1 · [∏ ( ) 𝜕𝑝𝑘 βi,j 𝑖=1 𝑖≠𝑘

𝐹

−1

𝑘=𝑗

βk,j −1

𝑤𝑓 ·∏( ) γf,j

𝑝𝑖 𝐴𝑗−1 · [∏ ( ) βi,j

𝑁

βk,j −1

𝑝𝑘 ]·( ) βk,j

γf,j

𝑤𝑓 ·∏( ) γf,j 𝑓=1

𝑘≠𝑗

βk,j −1

𝑝𝑘 ]·( ) βk,j

− 𝐼𝑘=𝑗

𝜕𝑓3 (𝑧)𝑗 =0 𝜕𝑦𝑘

𝑁

βi,j

𝜕𝑓3 (𝑧)𝑗 𝑝𝑖 = 𝐴𝑗−1 · ∏ ( ) 𝜕𝑤𝑘 βi,j 𝑖=1 [

𝐹

γf,j

γk,j −1

𝑤𝑓 ·∏( ) γf,j 𝑓=1 𝑓≠𝑘

𝑤𝑘 ·( ) γk,j ]

Y evaluando la función y sus derivadas en el punto inicial, z0, tenemos que: 𝑁

𝑓3 (𝑧0

)𝑗

≅

(𝐴𝑗−1

βi,j

1 · [∏ ( ) βi,j 𝑖=1

𝐹

𝑁

βi,j

𝑖=1 𝑖≠𝑘

𝑁

] − 1)

𝑓=1

𝜕𝑓3 (𝑧)𝑗 1 | = 𝐴𝑗−1 · [∏ ( ) 𝜕𝑝𝑘 𝑧=𝑧 βi,j 0

γf,j

1 ·∏( ) γf,j

βi,j

𝜕𝑓3 (𝑧)𝑗 1 | = 𝐴𝑗−1 · ∏ ( ) 𝜕𝑤𝑘 𝑧=𝑧 βi,j 0 𝑖=1 [

𝐹

γf,j

1 · ∏( ) γf,j 𝑓=1

𝐹

γf,j

− 𝐼𝑘=𝑗

γk,j −1

1 ·∏( ) γf,j 𝑓=1 𝑓≠𝑘

βk,j −1

1 ]·( ) βk,j

1 ·( ) γk,j ]

90

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Para finalmente llegar a la ecuación lineal (22): 𝑁

𝑓3

(𝑧)𝑗

≅

(𝐴𝑗−1

βi,j

1 · [∏ ( ) βi,j 𝑖=1

𝑁

+∑

βi,j

1 · [∏ ( ) βi,j 𝑖=1 𝑖≠𝑘

𝑘=1

( 𝐹

+∑ 𝑘=1

((

] − 1)

𝐹

γf,j

1 · ∏( ) γf,j 𝑓=1

βk,j −1

1 ]·( ) βk,j

− 𝐼𝑘=𝑗 ) · (𝑝𝑘 − 1) )

𝑁

𝐴𝑗−1

γf,j

1 ·∏( ) γf,j 𝑓=1

𝑁

(𝐴𝑗−1

𝐹

βi,j

1 · ∏( ) βi,j 𝑖=1 [

𝐹

γf,j

γk,j −1

1 ·∏( ) γf,j 𝑓=1 𝑓≠𝑘

1 ·( ) γk,j ]

· (𝑤𝑘 − 1) )

)

91

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Anexo H – Datos de la matriz de contabilidad social para el calibrado: caso español La matriz de contabilidad construida a partir de los datos del Instituto Nacional de estadística es la siguiente:

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Tabla 7. Matriz de contabilidad social de España (2010) Productos (Nomenclatura NPCN06) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

AGRSIL PESCA EXTENE/EXTRAC

1.868,3 0,0

10,7 64,7

1,9 0,0

1,5

5,6

141,8

ALITAB TEXTIL/CUERO MADCOR PAPIMP REFPET QUIMIC

8.392,3

169,2

2,2

17,1

35,6

6,2

41,5

7,1

96,2

27

PLAST MINER METAL EQUIEL MAQEQU MATRANS INDTRAN ELECT/GAS AGUA CONST COMER TRANSCOM RESTA FINAN INMOBILI ADPUB EDUC SALUD

28

SERVI

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

Trabajo Capital Cotizaciones sociales Impuestos del producto Impuestos de producción Hogares Gobierno Rentas de la propiedad IRPF Cotizaciones sociales Beneficios sociales Transferencias Hogares Gobierno Ahorro-Inversión Comercio internacional TOTAL

11 12 13 14 15

Bienes y servicios

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Generación de ingresos

Asignación de ingresos

Transferencias

Explotación de ingresos Cuentas financieras Balance export/import

26,7

1,3

11,3

190,3

98,1

165,2

1.107,5

21,1

450,6

125,3

21,9

64,6

34,4

1,0

52,5

270,4

13,8

361,9

5,8

4,5

19,1

193,9

86,2

341,9

2,6

51,0

21,5

1,4

0,7

2,8

368,3

53,4

591,9

269,8

10,4

45,3

142,6

13,5

107,8

2.501,3

213,7

231,9

302,0

194,6

821,6

8,6

0,4

5,6

607,0

55,3

93,1

5,7

1,4

15,0

12,2

1,1

7,5

28,5

10,5

9,3

22,2

8,3

9,9

811,0

147,2

820,0

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1.287,5 1.736,7 261,7 143,6 -19,1

7.661,6 48.227,3

1.158,2 3.461,1

35.043,9 42.952,9

93

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) MÁSTER DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

1 2

4

5

6

7

8

9

10

11

23.983,9 410,3

495,9 0,1

237,3 0,0

463,6 0,1

0,0 0,0

254,5 3,2

249,8 0,0

2,6 0,0

3

28,9

3,6

0,0

46,6

20.669,6

1.796,5

27,2

1.087,6

4

37.059,3

525,4

2,7

219,7

0,0

1.024,4

33,9

29,9

5

212,9

5.551,8

31,2

168,3

0,5

293,4

316,3

22,3

6

508,4

27,1

1.295,3

91,2

0,8

138,1

76,3

122,7

7

1.603,5

166,7

76,2

5.259,7

6,3

852,7

459,6

181,3

8

118,8

17,9

9,3

23,7

4.318,1

3.028,5

83,5

63,8

9

1.287,6

718,7

140,2

1.082,5

552,7

16.746,3

2.549,3

451,3

10

1.406,3

355,4

124,3

371,5

3,0

1.521,6

3.165,4

174,2

11

648,7

15,4

40,6

13,9

5,2

351,3

41,7

3.396,1

12

967,5

105,1

67,1

189,5

80,6

869,1

548,4

624,4

13

610,4

36,8

103,8

93,5

14,3

329,4

132,6

153,6

14

1.053,0

85,8

287,1

385,3

198,2

681,9

279,6

409,3

15

32,1

1,9

7,7

12,6

3,1

10,6

4,6

50,0

16

27,2

23,8

85,5

17,7

1,0

25,3

27,6

46,0

17

2.168,1

403,3

221,7

1.180,8

190,4

2.572,6

799,7

1.844,9

18

390,4

89,5

48,4

215,3

136,0

471,0

194,2

179,9

19

648,5

114,3

1,9

173,4

73,0

364,4

168,0

320,3

20

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2.170,4

1.051,9

883,7

72,0

2.305,1

890,0

790,0

21

4.786,2

561,0

396,5

860,5

435,4

2.624,3

633,9

1.411,1

22

62,0

7,5

4,6

8,7

6,6

143,9

18,4

10,2

23

1.250,0

202,8

79,3

254,1

262,4

559,1

210,9

243,2

24

619,7

256,2

40,8

131,2

3,5

201,6

119,0

39,6

25

76,6

8,6

4,4

28,3

3,6

57,9

6,8

9,3

26

332,0

24,5

3,5

126,0

45,8

98,9

24,2

13,9

27

211,5

14,7

1,4

18,4

7,6

71,5

6,7

6,2

28

6.862,7

905,5

347,8

2.331,6

710,8

3.469,9

857,1

1.398,6

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

8.863,2 12.844,8 2.025,9 -447,9 -222,2

2.088,3 2.155,8 422,9 84,7 -309,2

996,4 460,4 299,9 34,8 64,3

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6.151,3 3.378,8 1.684,2 167,2 -870,4

2.089,2 2.101,1 704,3 100,3 123,3

3.138,6 1.715,4 966,4 112,1 30,5

18.795,5 135.115,6

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1.474,9 8.041,2

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7.111,6 24.154,5

2.584,2 21.629,5

43 44 Total

94

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) MÁSTER DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

12

13

14

15

16

17

18

19

1 2

0,0 0,0

0,0 0,0

0,1 0,0

2,7 0,0

9,2 0,5

47,0 0,0

0,3 0,0

78,3 1,2

3

5.195,9

37,7

2,4

10,2

9,6

8.972,6

35,1

1.548,7

4

24,3

0,5

15,0

0,1

4,6

122,8

1,6

241,3

5

209,0

52,7

88,6

701,5

264,2

1,3

56,3

310,8

6

242,3

113,9

89,9

136,7

952,4

0,8

128,5

1.308,2

7

210,6

164,6

132,9

142,0

115,0

124,6

711,6

209,0

8

170,9

19,5

42,2

122,8

4,7

4.692,2

101,7

171,3

9

3.188,8

705,7

491,0

1.315,3

204,9

985,1

934,8

1.905,9

10

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1.102,5

544,0

3.502,5

391,8

8,5

83,5

1.195,2

11

635,1

116,4

134,9

417,4

31,0

119,8

47,7

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12

24.966,7

5.900,3

6.459,2

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1.062,4

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1.797,1

6.530,9

13

491,3

5.219,6

1.695,4

2.537,6

231,9

715,0

208,7

4.599,3

14

1.863,4

431,4

3.596,8

1.810,5

136,4

1.045,2

774,7

2.250,2

15

213,3

221,8

1.229,9

17.459,7

27,6

4,6

65,0

259,8

16

99,5

38,2

52,6

97,1

769,1

25,5

25,5

1.296,2

17

3.785,7

316,7

873,7

909,0

195,3

26.683,0

458,6

3.018,3

18

4.560,5

56,9

113,2

74,0

43,1

272,6

4.883,4

1.037,0

19

311,7

59,2

236,7

121,7

111,7

1.091,0

336,1

52.826,8

20

3.282,1

1.019,9

1.873,1

2.174,7

1.884,4

1.966,2

1.102,2

12.030,8

21

2.668,7

608,5

794,3

1.487,0

544,8

1.010,2

397,8

2.613,4

22

58,8

10,3

23,9

54,4

10,3

21,2

58,2

555,2

23

799,0

296,7

442,6

676,0

159,0

790,9

229,0

3.976,7

24

390,1

445,6

317,2

145,9

319,5

96,3

78,6

3.841,4

25

47,8

12,6

18,0

58,7

8,5

53,3

15,4

303,0

26

140,1

34,2

59,8

125,1

37,1

219,3

72,5

169,8

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Total

13,1

16,8

39,5

54,1

36,6

65,1

80,4

0,1

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2.818,4 27.096,7

390,7 216.290,2

95

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) MÁSTER DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

20

21

22

23

24

25

26

27

1

1.143,2

10,8

783,8

1,1

3,1

55,5

44,7

83,0

2

9,0

0,5

345,4

0,0

0,0

5,2

15,2

20,7

3

434,2

59,6

5,2

1,4

33,6

14,3

0,7

0,3

4

1.638,3

103,9

17.861,4

2,1

0,0

294,9

333,6

973,5

5

448,4

63,0

540,6

6,4

2,2

133,7

50,5

232,4

6

264,0

115,1

190,9

1,2

5,8

17,6

8,6

32,3

7

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177,2

239,8

254,3

172,9

8

542,2

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79,7

58,6

17,1

237,4

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147,7 5.796,2

9

1.478,0

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39,7

38,1

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57,4

10

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274,0

75,4

15,4

55,7

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21,7

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11

499,4

41,6

117,3

1,6

94,1

39,3

18,1

187,4

12

1.075,9

199,1

85,8

15,2

43,9

83,8

46,2

21,5

13

656,7

122,3

379,2

30,1

59,6

103,1

70,9

459,0

14

1.597,0

1.876,6

320,5

112,5

21,5

295,4

200,1

359,8

15

1.178,4

1.169,5

11,8

0,1

1,7

61,7

58,5

20,9

16

86,0

118,5

366,2

69,5

313,9

78,8

202,1

1.970,3

17

5.764,0

2.090,9

1.243,6

376,4

408,4

1.271,5

774,6

920,4

18

752,3

127,6

414,6

22,4

174,5

146,0

108,1

245,3

19

1.805,9

1.842,5

655,6

764,3

6.899,0

996,9

876,0

1.144,5

20

6.172,5

5.102,2

6.949,0

171,5

362,0

687,9

353,0

4.269,4

21

15.080,4

29.618,4

805,1

611,5

307,8

1.948,0

143,7

381,3

22

260,0

127,5

282,3

487,7

102,1

529,6

104,9

852,6

23

4.786,1

1.936,9

1.397,8

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968,9

496,3

1.084,7

24

16.308,1

2.080,5

5.583,8

1.974,5

1.425,8

1.300,3

161,8

389,7

25

429,9

296,3

357,8

0,1

18,7

28,3

7,2

33,9

26

797,6

73,3

58,9

40,1

58,0

77,1

634,7

312,1

27

1.291,8

55,4

304,1

44,2

47,1

77,9

53,3

4.383,2

28

23.371,3

9.090,6

4.287,9

6.147,8

6.167,1

7.989,7

2.390,8

5.008,6

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31.841,3 12.145,3 9.578,7 2.388,4 568,3

35.587,6 4.861,6 10.260,6 1.029,3 -50,0

39.992,9 12.233,3 9.742,3 2.284,5 -100,1

1.098,8 203.429,2

4.713,3 115.610,9

1.235,5 108.581,5

3.276,8 73.470,4

60,1 149.675,6

0,0 74.509,0

29,7 59.416,9

9,8 93.754,5

43 44 Total

96

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) MÁSTER DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

28 1

324,1

2

10,3

3

97,4

4

869,9

5

803,4

6

516,4

7

7.558,6

8

390,9

9

2.233,3

10

634,8

11

307,8

12

796,0

13

4.532,6

14

2.609,6

15

912,2

16

1.489,1

17

4.231,3

18

903,7

19

2.532,2

20

6.675,0

21

5.334,4

22

5.632,0

23

4.606,4

24

10.916,6

25

325,3

26

1.192,3

27

827,7

28

69.221,4

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Total

84.773,7 74.424,8 21.839,0 2.021,0 -187,1

22.885,6 342.241,7

29

30

31

32

33

401.163,0 0,0

417.135,0 19.767,0

113.625,0 0,0

0,0 89.406,0

0,0 8.322,0

1.177,0 402.340,0

436.902,0

373,0 113.998,0

1.182,4 90.588,4

-5.238,0 3.084,0

34

35

197.898,0 99.225,0 156.126,0 16.509,0 88.448,0 605.104,0

22.664,0 0,0 0,0 161.643,0 133.894,0

240.982,0

224.511,0 -48.072,0

1.404.292,0

494.640,0

97

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36

37

38

39

40

41

42

43

1

8.016,0

169,0

1.169,0

2

2.135,4

0,0

0,0

3

27,5

7,0

1.325,0

4

46.578,7

0,0

567,9

5

14.544,9

2,0

454,4

6

204,8

0,0

241,8

7

1.295,4

11,4

289,2

8

11.895,9

0,0

-34,7

9

8.882,2

6.367,9

1.095,3

10

470,4

0,0

356,1

11

386,3

0,0

-90,7

12

641,7

0,0

5.611,9

13

4.737,0

1,0

13.566,0

14

382,7

0,0

17.062,0

15

12.051,9

61,5

13.075,4

16

7.112,0

79,5

4.051,5

17

15.844,8

0,0

-22,6

18

4.839,7

4.511,8

100,2

19

7.131,4

1.761,0

131.246,6

20

94.844,2

6.588,7

10.767,7

21

15.388,4

7.090,8

485,5

22

93.616,2

291,7

0,0

23

19.870,0

24,0

0,0

24

101.417,4

667,0

343,1

25

775,9

71.116,0

0,0

26

13.022,2

41.478,0

0,0

27

24.505,5

61.411,1

0,0

28

74.675,0

19.317,2

39.118,3

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Total

56.492,5 191.654,0 11.725,0

63.191,0 266.570,0

0,0 99.848,0

621,0 100.469,0

16.326,0 140.265,0

453,0 157.044,0

178.223,0 0,0

40,0 178.263,0

-27.544,0 -8.977,0 908,0 343,4 525,0

13.770,1

86.166,0 125.307,0

21.155,0 232.628,0

-177,0

16.370,0

49.931,0 -70.243,0 621.297,0

21.929,0 224.511,0

254.549,0

98

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44 1 2

8.717,9 439,3

TOTAL 48.227,3 3.461,1

3

1.325,6

42.952,9

4

18.022,2

135.115,6

5

9.245,3

34.867,2

6

1.065,3

8.041,2

7

4.084,2

25.904,8

8

11.531,5

42.754,2

9

24.894,9

87.101,2

10

6.186,4

24.154,5

11

4.467,0

21.629,5

12

18.650,5

87.457,3

13

12.387,2

54.307,3

14

10.598,4

51.346,9

15

38.912,0

87.195,0

16

2.585,9

21.186,0

17

374,7

79.913,4

18

1.659,6

27.096,7

19

1.411,7

216.290,2

20

18.152,9

203.429,2

21

15.263,8

115.610,9

22

5.226,1

108.581,5

23

3.701,8

73.470,4

24

38,7

149.675,6

25

386,0

74.509,0

26

97,6

59.416,9

27

69,1

93.754,5

28

24.747,8

342.241,7

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Total

1.177,0

402.340,0 436.902,0 113.998,0 90.588,4 3.084,0 1.404.292,0 494.640,0 266.570,0 100.469,0 157.044,0 178.263,0 232.628,0 621.297,0 224.511,0 254.549,0 294.088,4

322,0 0,0 0,0

46.008,0 1.244,0 918,0 111,0 10.286,0

-10.221,0 294.088,4

99

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Anexo I – Función vectorial del modelo de equilibrio general con impuestos Gobierno pasivo Sustituyendo las curvas de reacción del modelo (36) y (38) en la función de casación de cada commodity (11) y multiplicando por el precio de cada commodity, pi, se obtiene la siguiente ecuación: 𝑁

𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 = ∑ 𝛽𝑖,𝑗 · 𝑗=1

·

(1 +

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑋 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1

+ 𝛼𝑖

+ 𝜏𝑖𝑌 )

𝑌 𝑀 − ∑𝑁 𝑗=1(1 + 𝜏𝑗 ) · 𝑝𝑗 · 𝑆𝑗

(1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 )

(61) + 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖

Por otro lado, sustituyendo la ecuación de reacción de los factores de producción (39) en la curva de casación de dichos factores (2), se obtiene lo siguiente: 𝑁

𝑉𝑓 = ∑ 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑗=1

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗

(62)

(1 + 𝜏𝑓𝑉 )

Por último, se introducen las curvas de reacción (38) y (39) en la curva de producción de Cobb-Douglas (6), que modela la producción de las commodities en función de los consumos intermedios de otras commodities y factores de producción, y se simplifica dividiendo entre la cantidad de commodity, yi, obteniéndose la siguiente función (ver anexo C para el desarrollo): 𝑁

𝑝𝑗 =

𝐴𝑗−1

𝑋 (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 · [∏ ( ) βi,j 𝑖=1

𝐹

(1 + ·∏( 𝑓=1

𝜏𝑓𝑉 ) γf,j

· wf

(63)

γf,j

)

βi,j

]

100

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En definitiva: 𝑓1 𝑓(𝑧) = (𝑓2 ) = 𝑓3 ∑𝑁 𝑗=1 𝛽𝑖,𝑗 · =

𝑌 𝑀 − ∑𝑁 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 𝑗=1(1 + 𝜏𝑗 ) · 𝑝𝑗 · 𝑆𝑗 + 𝛼 · + 𝑝𝑖 · 𝑆𝑖 − 𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 𝑖 𝑋 (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) (1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 ∑𝑁 − 𝑉𝑓 𝑗=1 𝛾𝑓,𝑗 · (1 + 𝜏𝑓𝑉 ) βi,j

𝑝𝑗 −

𝐴𝑗−1

·

𝑋 (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 ) βi,j

[∏𝑁 𝑖=1 (

γf,j

·

(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · wf ) γf,j

∏𝐹𝑓=1 (

]

(

)

Siendo: 𝑧 = (𝑝1 , … , 𝑝𝑁 ; 𝑤1 , … , 𝑤𝐹 ; 𝑦1 , … , 𝑦𝑁 ) 𝑓1 = (𝑓1𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁);

𝑓

𝑓2 = (𝑓2 , 𝑓 = 1, 𝐹);

𝑗

𝑓3 = (𝑓3 , 𝑗 = 1, 𝑁)

Y teniendo en cuenta la restricción del balance de ingresos de la ecuación (34). Como ocurriera anteriormente, el modelo de equilibrio general desarrollado esta vez es altamente no lineal por las mismas razones. Esto implica de nuevo que no exista una solución analítica directa para el vector de variables, z*, y por ello se aborda su linealización. El proceso de linealización es el mismo que el seguido en anteriores apartados (apartado 3.6) por medio del desarrollo de Taylor de primer grado. Además, debido a la similitud de las ecuaciones a excepción de los parámetros (que se pueden considerar constantes) que conciernen a los impuestos, los desarrollos de Taylor para cada una de las ecuaciones de la función vectorial es el mismo. Por ello, el resultado obtenido para la linealización de las ecuaciones es el siguiente (ver anexos E, F y G para desarrollos):

101

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𝑓1 (𝑧)𝑖 ≅ 𝑁

=

(𝑦𝑖0

−∑ 𝑗=1

𝛽𝑖,𝑗 · 𝑦𝑗0 𝑋 (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 )

− 𝛼𝑖 · (

𝑌 𝑀 − ∑𝑁 𝑗=1(1 + 𝜏𝑗 ) · 𝑆𝑗

(1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 )

𝑁

+ ∑ ((𝑦𝑘0 · (𝐼𝑘=𝑖 − 𝑘=1

(1 +

𝛽𝑖,𝑘 𝑋 𝜏𝑖,𝑘 ) · (1

+ 𝜏𝑖𝑌 )

) − 𝑆𝑖 )

) + 𝑆𝑘

(64)

𝛼𝑖 · (1 + 𝜏𝑘𝑌 ) ·( − 𝐼𝑘=𝑖 )) · (𝑝𝑘 − 1)) (1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) 𝑁

+ ∑ ((𝐼𝑘=𝑖 − 𝑘=1

𝑁

𝑓2

(𝑧) 𝑓

≅ (∑ 𝑗=1

𝛾𝑓,𝑗 · 𝑦𝑗0 (1 + 𝜏𝑓𝑉 ) 𝑁

(1 +

𝛽𝑖,𝑘 )· 𝑋 𝜏𝑖,𝑘 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 )

𝑁

(𝑦𝑘 − 𝑦𝑘0 ))

𝛾𝑓,𝑘 · 𝑦𝑘0

− 𝑉𝑓 ) + ∑ ( · (𝑝𝑘 − 1)) (1 + 𝜏𝑓𝑉 ) 𝑘=1

(65)

𝛾𝑓,𝑘 +∑( · (𝑦𝑘 − 𝑦𝑘0 )) (1 + 𝜏𝑓𝑉 ) 𝑘=1

102

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𝑓3 (𝑧)𝑗 ≅ 𝑁

(𝐴𝑗−1

𝑋 (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · [∏ ( ) βi,j

βi,j

𝑖=1

𝐹

(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · ∏( ) γf,j

γf,j

𝑓=1

βi,j

𝑁

𝑁

𝑘=1

𝑖=1 𝑖≠𝑘

𝑋 (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) −1 + ∑ (𝐴𝑗 · [∏ ( ) βi,j

(

(66)

] − 1)

γf,j

𝐹

(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) ·∏( ) γf,j

]

𝑓=1

βk,j −1

𝑋 (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) ·( ) βk,j

− 𝐼𝑘=𝑗 ) · (𝑝𝑘 − 1) )

𝐹

βi,j

𝑁

𝑋 (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) −1 +∑ 𝐴𝑗 · ∏ ( ) βi,j 𝑘=1 𝑖=1 [ ( (

𝐹

γf,j

(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) ·∏( ) γf,j 𝑓=1 𝑓≠𝑘

]

γk,j −1

(1 + 𝜏𝑘𝑉 ) ·( ) γk,j

· (𝑤𝑘 − 1) )

)

Siendo: 1 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝐼𝐴 = { 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 y sabiendo que: 𝑓 = (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 ) 𝑓1 = (𝑓1𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁);

𝑓

𝑓2 = (𝑓2 , 𝑓 = 1, 𝐹);

𝑗

𝑓3 = (𝑓3 , 𝑗 = 1, 𝑁)

103

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Gobierno activo Las ecuaciones de la función vectorial para un gobierno activo quedarían de la siguiente manera: 𝑓1 𝑓(𝑧) = (𝑓2 ) = 𝑓3 ∑𝑁𝑗=1 𝛽𝑖,𝑗

·

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗

(1 +

𝜏𝑋𝑖,𝑗 )

· (1 +

𝜏𝑌𝑖 )

+ 𝛼𝑖 ·

𝑌 𝑀 − ∑𝑁 𝑗=1(1 + 𝜏𝑗 ) · 𝑝𝑗 · 𝑆𝑗

(1 +

𝜏𝐶𝑖 )

· (1 +

∑𝑁 𝑗=1 𝛾𝑓,𝑗 ·

= 𝑝𝑗 −

𝐴𝑗−1

·

𝜏𝑌𝑖 )

+ 𝑝𝑖 · 𝑆 + 𝛿𝑖 · 𝑖

𝑝𝑗 · 𝑦𝑗 − 𝑉𝑓 (1 + 𝜏𝑓𝑉 )

𝑋 (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 ) βi,j

βi,j

[∏𝑁 𝑖=1 (

(1 +

𝜏𝐶𝑖 )

𝑇 − 𝑝𝑖 · 𝑦𝑖 · (1 + 𝜏𝑌𝑖 )

γf,j

·

(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · wf ) γf,j

∏𝐹𝑓=1 (

(

] )

Siendo: 𝑧 = (𝑝1 , … , 𝑝𝑁 ; 𝑤1 , … , 𝑤𝐹 ; 𝑦1 , … , 𝑦𝑁 ) 𝑓1 = (𝑓1𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑁);

𝑓

𝑓2 = (𝑓2 , 𝑓 = 1, 𝐹);

𝑗

𝑓3 = (𝑓3 , 𝑗 = 1, 𝑁)

104

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Anexo J – Datos del ejemplo ilustrativo para incrementos de 1% en las tasas impositivas Tabla 8. Resultados y datos de las variables del modelo

Inicial i C1

j

C1 10,00

C2 30,00

H 50,00

S 30,00

Total 120,00

C2 L K Total

20,00 30,00 60,00 120,00

10,00 50,00 10,00 100,00

60,00

10,00

100,00

1% en y1 i j C1 C2 L K Total

C1 9,81 20,79 33,55 54,54 118,69

C2 29,39 10,38 55,86 9,08 104,71

H 48,96 62,28

S 30,00 10,00

Total 118,16 103,46

1% en y2 i j C1 C2 L K Total

C1 9,99 18,31 25,23 68,70 122,24

C2 29,72 9,08 41,70 11,35 91,85

H 49,26 54,71

S 30,00 10,00

Total 118,97 92,10

1% en c1 i j C1 C2 L K Total

C1 9,82 19,89 30,24 57,92 117,86

C2 29,46 9,95 50,42 9,66 99,48

H 48,58 59,62

S 30,00 10,00

Total 117,86 99,46

105

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1% en c2 i j C1 C2 L K Total

C1 10,17 19,99 29,46 62,45 122,08

C2 30,51 10,00 49,12 10,41 100,04

H 51,08 60,27

S 30,00 10,00

Total 121,75 100,27

Gráfica 1. Evolución del precio de la primera commodity 1% en y1

1% en y2

1% en c1

1% en c2

1,03 1,02 1,01 1 0,99 0,98 0,97 0,96 inicial

post-medida

106

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Gráfica 2. Evolución del precio de la segunda commodity 1% en y1

1% en y2

1% en c1

1% en c2

1,15 1,1 1,05 1 0,95 0,9 0,85 inicial

post-medida

Gráfica 3. Evolución de la producción de la primera commodity 1% en y1

1% en y2

1% en c1

1% en c2

123 122 121 120 119 118 117 116 115 inicial

post-medida

107

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Gráfica 4. Evolución de la producción de la segunda commodity 1% en y1

1% en y2

1% en c1

1% en c2

105

100

95

90

85

80 inicial

post-medida

Gráfica 5. Evolución del precio de la mano de obra 1% en y1

1% en y2

1% en c1

1% en c2

1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 inicial

post-medida

108

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Gráfica 6. Evolución del precio del capital 1% en y1

1% en y2

1% en c1

1% en c2

1,2

1,1

1

0,9

0,8

0,7 inicial

post-medida

Tabla 9. Resultados de las variables de los ingresos, los precios y las cantidades

P1 P2 y1 y2 wL wK M

inicial 1 1 120 100 1 1 150,00

1% en y1 1,02 0,96 117,68 103,84 0,89 1,10 151,25

1% en y2 1,00 1,09 119,89 90,77 1,19 0,87 143,97

1% en c1 1,02 1,01 117,82 99,46 0,99 1,04 148,20

1% en c2 0,98 1,00 122,00 100,00 1,02 0,96 151,35

109

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Anexo K – Resolución del problema de los hogares y el problema del gobierno con importaciones no nulas El problema de los hogares también se ve alterado, ya que cuentan con la posibilidad de consumir algún bien importado. Por tanto, el problema pasa a ser: 𝑁

𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑢 · 𝑈 − ∑(1 + 𝜏𝑖𝐶 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 · 𝑐𝑖 − 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝐶 · 𝑖𝑚𝑝𝐶

(67)

𝑖=1

Sujeto a la restricción de los ingresos expuesta en la ecuación (10). Teniendo en cuenta que la función de producción de la utilidad de los hogares ya no es (5), sino que es la siguiente: 𝑁

𝑈(𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑁 ) = 𝐴𝑐 · ∏ 𝑐𝑖 𝛼𝑖 · 𝑖𝑚𝑝𝐶 𝛼𝑖𝑚𝑝 𝑖=1

(68)

Donde se ha añadido las importaciones y su elasticidad correspondiente. Además, se debe cumplir que:

𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝑁 + 𝛼𝑖𝑚𝑝 = 1 Para resolver este problema, se lleva a cabo el mismo procedimiento empleado anteriormente maximizando para las variables ci18. Sin embargo, se maximiza ahora también respecto a las nuevas variables impC para así optimizar el consumo de las importaciones por parte de los hogares. Tras ambas maximizaciones se obtienen como resultados el mismo para los consumos, ci, y para las importaciones, impC, la siguiente ecuación:

18

Ver anexo A para la resolución de esta ecuación

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𝑖𝑚𝑝𝐶 = 𝛼𝑖𝑚𝑝 ·

𝛼𝑖𝑚𝑝 𝛼𝑖 𝐴𝑐 · ∏𝑁 𝑖=1 𝑐𝑖 · 𝑖𝑚𝑝𝐶 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝐶

(69)

Para el gobierno ocurre de manera análoga, y el problema formulado en (44) se reescribe de la siguiente forma: 𝑁

𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑢 · 𝑈 − ∑ 𝑝𝑖 · 𝑟𝑖 − 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑅 · 𝑖𝑚𝑝𝑅

(70)

𝑖=1

Sujeto a la restricción de los ingresos del gobierno en la ecuación (41), y donde la función de producción es igual que la de los hogares pero modificando las elasticidades α i por las correspondientes δi (δimp en vez de αIMP en el caso de las importaciones) y las variables de las importaciones de los hogares por las del gobierno. El resultado que se obtiene es entonces el mismo que en (45) para las variables del consumo del gobierno, ri, y para impR el siguiente:

𝑖𝑚𝑝𝑅 = 𝛿𝑖𝑚𝑝 ·

𝛿𝑖𝑚𝑝 𝛿𝑖 𝐴𝑅 · ∏𝑁 𝑖=1 𝑟𝑖 · 𝑖𝑚𝑝𝑅 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑅

(71)

111

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Anexo L – Resolución del problema de las empresas incluyendo el comercio internacional Se tiene que las empresas tienen que solucionar el problema: 𝑁

max 𝑝𝑗 ·

𝑦𝑗𝑖𝑛𝑡

𝑋 + 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗 · 𝑒𝑥𝑝𝑗 − ∑(1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑖𝑌 ) · 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 𝑖=1

𝐹

(51)

− ∑(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗 − 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗 𝑓=1

Sujeto a las siguientes restricciones: 0 ≤ 𝑒𝑥𝑝𝑗 ≤

𝐸𝑋𝑃𝑀𝐴𝑋,𝑗 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗

(50)

Para resolverlo, se calcula el lagrangiano que resulta ser: 𝑁

𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑗 · 𝑦𝑗

𝑖𝑛𝑡

+ 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗 · 𝑒𝑥𝑝𝑗 − ∑(1 +

𝐹 𝑋 𝜏𝑖,𝑗 )

· (1 +

𝜏𝑖𝑌 )

· 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖,𝑗 − ∑(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓 · 𝑣𝑓,𝑗

𝑖=1

𝑓=1 𝑁

− 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗 + µ𝑗 · ((𝐴𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗

𝐹 𝛽𝑖,𝑗

𝑖=1

+ 𝜌𝑗 · (

· ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 ) − 𝑦𝑗 𝑖𝑛𝑡 − 𝑒𝑥𝑝𝑗 ) 𝑓=1

𝐸𝑋𝑃𝑀𝐴𝑋,𝑗 − 𝑒𝑥𝑝𝑗 ) + 𝑚 · 𝑒𝑥𝑝𝑗 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗

Por un lado, derivando la función respecto a los consumos de commodities internas yjint e igualando a cero se obtiene que: 𝜕𝑧 = 𝑝𝑗 − µ𝑗 = 0 𝜕𝑦𝑗 𝑖𝑛𝑡

⟹ 𝑝𝑗 = µ𝑗

Por otro lado, si se deriva en respecto a las exportaciones y se iguala a cero se obtiene que:

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𝜕𝑧 = 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗 − µ𝑗 − 𝜌𝑗 + 𝑚𝑗 = 0 𝜕𝑒𝑥𝑝𝑗 Teniendo en cuenta la anterior igualdad obtenida al derivar respecto a los consumos de commodities internas, se obtiene (52): 𝑝𝑗 = 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗 − 𝜌𝑗 + 𝑚𝑗 Igualmente, derivando la función respecto a los consumos de commodities xi,j e igualando a cero se obtiene que: 𝑁

𝐹

𝑖´≠𝑖

𝑓=1

𝜕𝑧 𝑋 = µ𝑗 · (𝐴𝑗 · 𝛽𝑖,𝑗 · 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗−1 ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 ) − (1 + 𝜏𝑖,𝑗 ) 𝜕𝑥𝑖,𝑗 · (1 +

𝜏𝑖𝑌 )

· 𝑝𝑖 = 0

𝑁

𝐹

𝑖´≠𝑖

𝑓=1

(1 + 𝜏𝑋𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑌𝑖 ) · 𝑝𝑖 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 ⟺ 𝐴𝑗 · 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 = 𝑥𝑖,𝑗 µ𝑗

⟺ 𝐴𝑗 · 𝛽𝑖,𝑗 ·

(1 + 𝜏𝑋𝑖,𝑗 ) · (1 + 𝜏𝑌𝑖 ) · 𝑝𝑖 𝑦𝑗 = 𝑥𝑖,𝑗 µ𝑗

Y, finalmente, se obtiene (53): 𝑥𝑖,𝑗 = 𝛽𝑖,𝑗 ·

µ𝑗 · 𝑦𝑗 (1 +

𝜏𝑋𝑖,𝑗 )

· (1 + 𝜏𝑌𝑖 ) · 𝑝𝑖

De manera análoga, derivando la función respecto a los consumos de los factores de producción vf,j e igualando a cero se obtiene que: 𝑁

𝐹

𝑖=1

𝑓´=𝑓

𝜕𝑧 = µ𝑗 · (𝐴𝑗 · 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 −1 ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 ) − (1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓 = 0 𝜕𝑣𝑓,𝑗

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𝑁

𝐹

𝑖=1

𝑓´=𝑓

(1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 ⟺ 𝐴𝑗 · 𝛾𝑓,𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗 = 𝑣𝑓,𝑗 µ𝑗 (1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓 𝑦𝑗 ⟺ 𝛾𝑓,𝑗 · = 𝑣𝑓,𝑗 µ𝑗 Y, finalmente, se obtiene (54): 𝑣𝑓,𝑗 = 𝛾𝑓,𝑗 ·

µ𝑗 · 𝑦𝑗 (1 + 𝜏𝑓𝑉 ) · 𝑤𝑓

Y por último, derivando la función respecto a las importaciones e igualando a cero, se obtiene que: 𝑁

𝐹

𝑖=1

𝑓´=𝑓

𝜕𝑧 = µ𝑗 · (𝐴𝑗 · 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 · 𝑖𝑚𝑝𝑗 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗−1 ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 ) − 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑗 = 0 𝜕𝑖𝑚𝑝𝑗 𝑁

𝐹

𝑖=1

𝑓´=𝑓

𝑖𝑚𝑝𝑗 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑗 ⟺ 𝐴𝑗 · 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 · ∏ 𝑥𝑖,𝑗 𝛽𝑖,𝑗 · ∏ 𝑣𝑓,𝑗 𝛾𝑓,𝑗 = 𝑖𝑚𝑝𝑗 µ𝑗

⟺ 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 ·

𝑦𝑗 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑗 = 𝑖𝑚𝑝𝑗 µ𝑗

Y, finalmente, se obtiene (55): 𝑖𝑚𝑝𝑗 = 𝛽𝑖𝑚𝑝,𝑗 ·

µ𝑗 · 𝑦𝑗 𝑃𝑖𝑚𝑝,𝑗

Se debe cumplir además:

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(

𝐸𝑋𝑃𝑀𝐴𝑋,𝑗 − 𝑒𝑥𝑝𝑗 ) ∙ 𝜌𝑗 = 0 𝑃𝑒𝑥𝑝,𝑗

(50)

𝑒𝑥𝑝𝑗 ∙ 𝑚𝑗 = 0

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