REVISTA DE

Volumen 5 Número 2 Julio-Diciembre 2011

ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA (Journal of Management, Finance and Economics)

Comité Editorial

Director José Antonio Núñez Mora

Artículos

Directores Adjuntos Carlos Manuel Urzúa Macías

Araceli Espinosa Elguea y Humberto Valencia Herrera

Jorge Fernández Ruiz

Análisis alternativo de valuación de empresas estratégicas

Edgar Ortíz Calisto

descentralizadas que exploran y explotan recursos

José Carlos Ramírez Sánchez

naturales (caso Pemex)

Dennis J. Aigner

Consejo Editorial Alberto Hernández Baqueiro Elvio Accinelli Gamba José Luis de la Cruz Gallegos Anabella Dávila Martínez Julián Pérez García

Horacio Alberto Ruiz Olvera Valuación de opciones europeas mediante procesos de Lévy exponenciales y transformada rápida de Fourier

Fausto Humberto Membrillo Hernández y Marco Antonio Ruíz Olvera Valuación de mercado del seguro de desempleo

Frank Dellman Raúl Moncarz

M. Beatriz Mota Aragón y Faviola Hernández Jiménez

Isabel Martínez Torres Enciso

Un modelo para evaluar el VPN mediante

Enrique Cásares Gil

modelos autorregresivos

Carolyn Erdener

Linda Margarita Medina Herrera y Ernesto Pacheco Velázquez Editora de Producción Martha F. Carrillo Urbina

Comparando distancias en los mercados financieros mundiales

EGADE BUSINESS SCHOOL Directorio Salvador Alva Gómez David Noel Ramírez Padilla María de Lourdes Dieck Assad

Rector del Sistema Tecnológico de Monterrey Rector del Tecnológico de Monterrey Rectora de las Escuelas Nacionales de Posgrado: EGADE Business School & EGAP Gobierno y Política Pública

Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics)

Comité Editorial Director José Antonio Núñez Mora

EGADE Business School del Tecnológico de Monterrey

Directores Adjuntos Jorge Fernández Ruiz Edgar Ortíz Calisto José Carlos Ramírez Sánchez Carlos Manuel Urzúa Macías Dennis J. Aigner

El Colegio de México Universidad Nacional Autónoma de México Universidad Anáhuac EGAP Gobierno y Política Pública del Tecnológico de Monterrey Emeritus Professor of Management & Economics in the Paul Merage School of Business at the University of California, Irvine (UCI)

Consejo Editorial Alberto Hernández Baqueiro Elvio Accinelli Gamba José Luis de la Cruz Gallegos Anabella Dávila Martínez Julián Pérez García Frank Dellman Raúl Moncarz Isabel Martínez Torres Enciso Enrique Cásares Gil Carolyn Erdener

Tecnológico de Monterrey Facultad de Economía de la UASLP Tecnológico de Monterrey EGADE Business School del Tecnológico de Monterrey Universidad Autónoma de Madrid, España Universidad de Münster, Alemania Universidad Internacional de Florida, USA Universidad Autónoma de Madrid, España Universidad Autónoma Metropolitana Kazakhstan Institute of Management Economics Research, KIMEP

Editora de Producción Martha F. Carrillo Urbina

EGADE Business School del Tecnológico de Monterrey

Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics) Volumen 5, Número 2, julio-diciembre 2011, publicación semestral EGADE Business School Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C.P. 14380, México D.F. Aulas III, cuarto piso. Tel. +52 (55) 54832020 ext. 1390 y 1392 Correo electrónico: [email protected] Página: http://www.egade.mx (Elegir “DOCTORAL PROGRAMS” y “PUBLICATIONS”) El presente ejemplar se encuentra protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor. ISSN en trámite. Se prohíbe la reproducción total o parcial del contenido en este número sin la previa autorización que por escrito emita el editor.

Art´ıculos

P´ agina Araceli Espinosa Elguea y Humberto Valencia Herrera An´ alisis alternativo de valuaci´ on de empresas estrat´egicas descentralizadas que exploran y explotan recursos naturales (caso Pemex) ............................................1

Horacio Alberto Ruiz Olvera Valuaci´ on de opciones europeas mediante procesos de L´evy exponenciales y transformada r´ apida de Fourier ................................................................16

Fausto Humberto Membrillo Hern´ andez y Marco Antonio Ru´ız Olvera Valuaci´ on de mercado del seguro de desempleo ..................................................................................34

M. Beatriz Mota Arag´ on y Faviola Hern´ andez Jim´enez Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos ..............................................................66

Linda Margarita Medina Herrera y Ernesto Pacheco Vel´ azquez Comparando distancias en los mercados financieros mundiales..................................................................................88

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa (Journal of Management, Finance and Economics), vol. 6, n´ um. 2 (2011), pp. 1-15.

An´alisis alternativo de valuaci´on de empresas estrat´egicas descentralizadas que exploran y explotan recursos naturales (caso Pemex) Araceli Espinosa Elguea ∗ Humberto Valencia Herrera∗∗ Recibido 22 de noviembre 2010, Aceptado 20 de enero 2011

Resumen El realizar un ejercicio de valuaci´ on de empresas descentralizadas que exploran y explotan recursos naturales (como es el caso de Pemex), interpret´ andolas bajo la o´ptica de un “Veh´ıculo de Prop´ osito Especial”(VPE), modelado como deuda estructurada, permite un an´ alisis m´ as profundo cuando la entidad no es due˜ na de los activos generadores de su flujo operativo, cuando presenta un capital contable negativo, cuando su generaci´ on de flujo libre de efectivo es negativo y cuando est´ a sujeta a un r´egimen fiscal asumido como pagos de regal´ıas que no le permiten la deducibilidad de la deuda. Adem´ as, dada su elevada carga tributaria que la obligan a emitir deuda para financiar sus inversiones de capital, no es claro si podr´ a generar recursos para cubrir sus pasivos laborales y/o financieros particularmente si hay reducciones en los precios de los energ´eticos, por lo que se modelan estas obligaciones como opciones. En resumen, este ejercicio facilita la identificaci´ on de factores clave en el desempe˜ no operativo y financiero de la entidad, permite modelar escenarios y opciones impl´ıcitas, resultando en una herramienta valiosa para sus inversionistas. Abstract Performing a valuation exercise of decentralized companies that explore and exploit natural resources (such as Pemex) interpreted from the perspective of a “Special Purpose Vehicle”(SPV), modeled as structured debt, allowing a deeper analysis when the entity does not own the generating assets of its operating cash flow when capital has a negative book when his generation of free cash flow is negative and when subjected to an assumed tax royalty payments that do not allow the deductibility of debt. Moreover, given its high tax burden that force to issue debt to finance their capital investments, it is unclear whether it can generate resources to meet its labor and/or financial liabilities particularly if reductions in energy prices, so these obligations are modeled as options. In summary, this exercise helps to identify key factors in the operating and financial ∗

Candidata a doctora en ciencias financieras por el Instituto Tecnol´ ogico de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad. de M´ exico, e-mail: [email protected]. ∗∗

Profesor en Finanzas del Instituto Tecnol´ ogico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad. de M´ exico, e-mail: [email protected]

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performance of the company, allows implicit modeling scenarios and options, resulting in a valuable tool for investors. Clasificaci´ on JEL : G28, G32, H30 Palabras clave: energy prices, cash flows, natural resources, options

1. Introducci´ on Pemex al igual que otras empresas descentralizadas en el mundo, cuya actividad es la exploraci´ on y explotaci´ on de recursos naturales estrat´egicos de un pa´ıs, y que de acuerdo al Art. 254 de la Ley Federal de Derechos (2009) est´ a sujeta a reg´ımenes fiscales relacionados con pagos de regal´ıas o derechos, que difieren en forma y en porcentaje a la renta gravada de empresas privadas (Ley del Impuesto sobre la Renta 2010), impidiendo entonces el utilizar el supuesto de deducibilidad en el costo financiero de sus pasivos. Este u ´ltimo es un componente para estimar el costo promedio ponderado de capital de la empresa (o WACC, por sus siglas en ingl´es de “weighted average cost of capital”) que se utiliza para calcular el valor presente de los flujos de efectivo futuros, de acuerdo al m´etodo de valuaci´ on de Flujos de Efectivo Descontados (o DCF, por sus siglas en ingl´es de “discounted cash flows”) y de esta forma estimar el valor de la empresa, por ejemplo, Valencia-Herrera (2009, p.144). Asimismo, la actual estructura financiera de Pemex presenta un componente deficitario en la aportaci´ on de sus accionistas (Resultados Pemex 2T11, p. 15) y, a´ un bajo la Reforma Energ´etica aprobada en 2008 en M´exico (“Todo sobre la Reforma Energ´etica”, Pemex 2011), que reduce marginalmente la carga fiscal a Pemex, s´ olo obtiene una correcci´ on gradual para la reinversi´ on de utilidades. En este trabajo proponemos valuar a Pemex como un bono estructurado (Fabozzi, 2000, p. 152), emitido a trav´es de un Veh´ıculo de Prop´ osito Especial (VPE) y que se explica de la siguiente forma: la empresa no es due˜ na de los activos de hidrocarburos generadores del flujo operativo de Pemex, sino que el gobierno mexicano, siendo constitucionalmente (Art. 27 Constituci´ on Pol´ıtica Mexicana de 1917) el u ´ nico due˜ no de los mismos y sin opci´ on a venta, concesiona a la paraestatal para explorar, explotar y comercializar petr´ oleo y gas. Pemex paga derechos (“regal´ıas”) al gobierno a cambio de los flujos generados en su actividad y necesita emitir deuda para cubrir sus necesidades de financiamiento e inversi´ on. De manera similar, los VPE son entidades legales creadas u ´ nicamente para servir una funci´ on en particular, como de financiamiento o de inversi´ on, y tienen una personalidad jur´ıdica propia, que les permite realizar la adquisici´ on legal de activos o de flujos generados por estos activos, pagando por ellos con recursos provenientes de bonos emitidos por el propio VPE. El pago de intereses y amortizaciones de estos bonos est´ an respaldados con los flujos que se recibir´ an por los activos o flujos adquiridos. Las bursatilizaciones de activos funcionan de esta forma, ver Fabozzi et al. (2006, p. 66). Para valuar un bono estructurado, se obtiene el valor presente de los flujos operativos esperados originados por los activos que respaldan a la emisi´ on, considerando las opciones impl´ıcitas presentes, con el objeto de medir si son suficientes para cubrir la carga financiera y laboral, as´ı como sus amortizaciones.

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Esta misma l´ ogica se aplica para Pemex, calculando el valor presente de los flujos esperados de su actividad con consideraci´ on de opciones impl´ıcitas y medir si son suficientes para pagar sus obligaciones laborales y/o financieras (Fabozzi, 2000, p. 514). La Figura 1 muestra el mecanismo de venta de flujos operativos a Pemex por parte de M´exico. La Figura 2 muestra la bursatilizaci´ on de activos a trav´es de un VPE. Finalmente, si incorporamos instrumentos derivados a este bono estructurado (Pemex), podemos modelar el valor de la empresa considerando la volatilidad del subyacente del derivado, que en este caso es la volatilidad de la variaci´ on en el precio del petr´ oleo, ajustada por el nivel de apalancamiento de Pemex y las diferentes opciones presentes. Figura 1: Mecanismo de venta de flujos operativos de M´exico a Pemex

Figura 2. Esquema tradicional de “bursatilizaci´ on ”o venta de activos.

Este art´ıculo se encuentra ordenado de la siguiente forma, inicia con esta introducci´ on, la secci´ on dos presenta los aspectos relevantes de la investigaci´ on realizada sobre Pemex, la tres, el marco te´ orico, y la cuatro, los resultados de un ejercicio de valuaci´ on. El apartado final contiene las conclusiones. 2. Aspectos relevantes de la investigaci´ on sobre Pemex Para entender Pemex, se requiri´ o de una profunda labor de investigaci´ on sobre la historia y situaci´ on actual de la empresa, y con ello contar con bases s´ olidas para establecer supuestos para la proyecci´ on de diez a˜ nos de los principales estados financieros: balance, estado de resultados y flujo de efectivo. Pemex es la empresa m´ as grande que cotiza en la Bolsa Mexicana de Valores, en t´erminos de activos, alcanzando al 2T11, una cifra equivalente en

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d´ olares de US$ 118,415 millones. La propuesta de valuar a Pemex vista como una entidad de prop´ osito especial (VPE), nos permite conocer el valor de sus activos, a trav´es del c´ alculo del valor presente de sus flujos operativos netos de pagos de derechos (“regal´ıas” ). Bajo diferentes escenarios de estr´es, se conoce la capacidad generadora de excedentes de efectivo de la paraestatal, que pueden destinarse a inversiones o a pago de deuda. Los puntos m´ as importantes que destacan de esta investigaci´ on son: i. Gobierno corporativo La Reforma Energ´etica de 2008 permiti´ o a Pemex fortalecer su gobierno corporativo, destacando ahora dentro de su Consejo de Administraci´ on la presencia de cuatro nuevos consejeros profesionales independientes, cinco representantes del Sindicato de Pemex y seis representantes del Estado, designados por el Ejecutivo Federal. Asimismo se aprob´ o la creaci´ on de comit´es ejecutivos de: a) Auditor´ıa y evaluaci´ on del desempe˜ no; b) Estrategia e inversiones; c) Remuneraciones; d) Adquisiciones, Arrendamientos, obras y servicios; e) Medio ambiente y desarrollo sustentable; f) Transparencia y rendici´ on de cuentas y g) Desarrollo e investigaci´ on tecnol´ ogica. Sobresale la aprobaci´ on del nuevo esquema de contrataci´ on para actividades sustantivas a trav´es de nuevos contratos denominados “Contratos Integrales de Servicios para la Exploraci´ on y Producci´ on”los cuales son responsabilidad del Comit´e de Adquisiciones, Arrendamientos, Obras y Servicios. Bajo este esquema y para incentivar el buen desempe˜ no, los contratistas (destacando la presencia de extranjeros) recibir´ an su remuneraci´ on en funci´ on al n´ umero de barriles de hidrocarburos extra´ıdos. En una primera fase programada para iniciar en el verano de 2011, estos contratos ser´ an utilizados en la exploraci´ on y producci´ on en campos marginales, despu´es en campos maduros como Chicontepec, y en una tercera fase en Aguas Profundas. A trav´es de estos nuevos contratos, se podr´ an financiar proyectos que requieren un uso extensivo de capital, ya que la totalidad de flujo operativo de la empresa se destina al pago de derechos o regal´ıas, lo que impide a Pemex financiar su crecimiento con recursos propios. ii. Reservas de hidrocarburos De acuerdo al Art. 27 de la Constituci´ on Pol´ıtica de los Estados Unidos Mexicanos (1917) y a la Ley Reglamentaria del Art. 27 Constitucional en el Ramo del Petr´ oleo, las reservas de hidrocarburos ubicadas en territorio mexi´ cano son propiedad de la Naci´ on Mexicana. Unicamente Pemex y sus Organismos Subsidiarios tienen la exclusividad de explorar, extraer y producir petr´ oleo y gas, pero no son due˜ nos de los yacimientos de hidrocarburos. Al primero de enero de 2011, las reservas probadas de hidrocarburos ascienden a 13,796 millones de petr´ oleo crudo equivalente (MMbpce), de las cuales el 74% corresponden a crudo, el 9% a condensados y l´ıquidos y el 17% a gas seco (“Reservas”, 2011). Asimismo, el 64% de las reservas probadas se clasifican como “desarrolladas”, es decir aquellas que se espera sean recuperadas de pozos existentes, incluyendo las reservas que pueden ser producidas con la infraestructura actual e inversiones moderadas (Cantarell, Ku Maloob Zaap y Antonio J. Berm´ udez, principalmente). Pemex est´ a comprometido a alcanzar una tasa de restituci´ on de reservas de 100% en 2012; es decir que por cada barril de petr´ oleo que se extraiga del subsuelo este debe ser reemplazado en forma paralela, para

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mantener el negocio en marcha en el largo plazo y al mismo tiempo mantener su valor como empresa. Esta tasa de restituci´ on se ubica actualmente en 77% (“Tasa”, 2011). En cuanto al nivel de reservas probadas, Pemex lamentablemente ya se ubica como la segunda principal petrolera en Am´erica Latina, atr´ as de Petrobras con 15,986 MMbpce, al primero de enero de 2011. Petrobras ya tiene una tasa de restituci´ on de reservas de 100%. De acuerdo a ge´ ologos de Pemex, la producci´ on anual de hidrocarburos para los siguientes cinco a˜ nos se mantendr´ a en 2.5 MMbd para el petr´ oleo y si se incluye gas a 3.8 MMbpce. Figura 3: Reservas petroleras y tasa de restituci´ on de Pemex.

MMMbpce = Miles de millones de petr´ oleo crudo equivalente. Fuente: Reservas de Hidrocarburos al 1 de enero de 2011 iii. Fuentes de financiamiento El nivel de apalancamiento de Pemex de 108.2% (pasivos totales a activos totales) es el m´ as alto entre las empresas latinoamericanas del mismo ramo. Como se mencion´ o, el alto endeudamiento de Pemex est´ a relacionado con la alta carga tributaria de la paraestatal mexicana. La salida de flujo de efectivo hacia el erario p´ ublico, no le deja recursos a Pemex para Capex, sino que forzosamente debe recurrir a fuentes de financiamiento externas, para mantener su crecimiento. La deuda de Pemex (pasivos financieros de corto y largo plazo) al cierre de 2010 alcanz´ o los MXN $631.9 miles de millones, equivalentes a US $ 48.4 miles de millones, de los cuales US$31.1 miles de millones correspondieron a emisiones de bonos en mercados locales y nacionales. Es decir, el an´ alisis de Pemex es de gran inter´es para los mercados financieros. En 2010 los intereses pagados netos, por concepto de pasivos ascendi´ o a MXN$74,382 millones (US$5,887 millones). iv. R´egimen fiscal De acuerdo al Cuadro 1, la relaci´ on de impuestos y derechos (denominados conjuntamente “Regal´ıas”) sobre utilidad antes de impuestos de Pemex, se ubic´ o en 120% (incluyendo IEPS) al cierre de 2010, que es la tasa impositiva m´ as alta entre sus competidores, incluyendo a empresas como Shell y Exxon. Pemex al igual que otras empresas descentralizadas en el mundo, cuya actividad es la exploraci´ on y explotaci´ on de recursos naturales estrat´egicos de una naci´ on, est´ a sujeta a reg´ımenes fiscales relacionados con pagos de regal´ıas o derechos, que difieren sustancialmente del esquema fiscal de empresas privadas.

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Por lo anterior, no puede aplicarse el supuesto de deducibilidad en el costo financiero que se utiliza para valuar empresas bajo DCF. Cuadro 1: Pemex y competidores globales: Comparativo de impuestos, derechos. Regal´ıas sobre hidrocarburos (millones de d´ olares)

(1) Cifras al 31 de diciembre de 2010, (2) cifras al 31 de diciembre 2009, ya en 2010 reporta p´erdidas antes de impuestos, por derrame petrolero en Golfo de M´exico. Fuente: Informes anuales de las empresas seleccionadas. v. Pasivos laborales Los pasivos laborales al 31 de diciembre de 2010 sumaron MXN$661,365 millones (equivalentes a US$ 52,332 millones), cifra superior en MXN$85,164 millones de pesos (US$ 6,739 millones) a la reportada al cierre de 2009. El n´ umero total de empleados al cierre de 2010 fue de 149,421 de los cuales aproximadamente el 70% son sindicalizados y el resto de confianza. Los pasivos laborales pueden representar un riesgo de liquidez futuro para Pemex, ya que se encuentran fondeados en una parte m´ınima. Sin embargo de acuerdo a nuestras proyecciones ser´ a a partir de la siguiente d´ecada cuando se requieran mayor uso de recursos l´ıquidos para cubrir estas obligaciones. El nivel del precio de venta del petr´ oleo ser´ a un factor importante para cubrir este pasivo. Este tema resulta muy importante para Pemex, ya que detr´ as hay un riesgo pol´ıtico mezclado con el sindicato petrolero. Declaraciones recientes del Director General de Pemex (junio de 2011) mencionan la necesidad de capitalizar a Pemex, para cubrir sus fondos de pensiones. En 2010 se erogaron en efectivo MXN$28,166 millones (equivalentes a US$2,228 millones) por concepto de “Contribuciones y pagos por beneficios a empleados”principalmente para jubilados. Sin embargo bajo cifras revisadas nuevamente por los auditores, este monto se elev´ o en 2010 hasta MXN$85, 164 millones (US$6,737 millones). Bajo reglas contables internacionales, todos los pasivos laborales registrados con anterioridad a 2008 deber´ an ser amortizados en un periodo de cinco a˜ nos. A partir de 2009, los beneficios laborales que participaron en la generaci´ on de ingresos del ejercicio, son reconocidos directamente en resultados. Pemex contabiliza los pasivos laborales bajo la modalidad de “Obligaci´ on por

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beneficios definidos”, lo que significa que la empresa es la responsable de este pasivo en su totalidad, as´ı como el de fondear los recursos para creaci´ on de reservas y el cuidar el adecuado manejo de estos recursos, para que no pierdan valor a trav´es del tiempo. vi. Estructura financiera De acuerdo a cifras p´ ublicas m´ as recientes de Pemex (al 2T11), su actual estructura financiera presenta un componente deficitario en la aportaci´ on de sus accionistas, con una cifra negativa en su capital contable de MXN$102,093 millones, equivalente a US$8,624 millones. A´ un bajo la Reforma Energ´etica aprobada en 2008 en M´exico que reduce marginalmente la carga fiscal a Pemex, se observa solo una correcci´ on gradual para la reinversi´ on de utilidades. Para conocer el valor presente de los flujos operativos de Pemex es necesario descontarlos a una tasa promedio ponderada de capital, la cual requiere de una estructura financiera te´ orica para la empresa. En este caso la presencia de un capital contable negativo dificulta los supuestos para estimar una estructura de capital objetivo para Pemex. 3. Marco te´ orico 3.1 Teor´ıa de valuaci´ on tradicional de empresas De acuerdo a Valencia-Herrera (2009), para realizar la valuaci´ on de una empresa o proyecto, se pueden emplear tres paradigmas equivalentes entre s´ı: flujos de efectivo descontados a la empresa (DCF), flujos de efectivo descontados a inversionistas y valor presente ajustado. Aqu´ı usamos el primero, que ´ considera la WACC y los flujos de efectivo despu´es de impuestos. Este es quiz´ as el m´etodo m´ as utilizado para la valuaci´ on de una inversi´ on de capital. El m´etodo para poder ser utilizado requiere suponer una estructura de capital constante, entendida como las proporciones de las diferentes fuentes de financiamiento que entran en el proyecto en cuesti´ on y que deber´ an de mantenerse durante la vida del proyecto. Frecuentemente esta elecci´ on es adecuada si la empresa tiene una estructura de capital objetivo que no la var´ıa en el tiempo, aunque en un momento particular es posible que no sea respetada perfectamente. Sin embargo este enfoque no es aplicable a la realidad de Pemex, ya que la existencia de un capital contable negativo, impide el establecer una estructura objetivo para la empresa; adem´ as el r´egimen fiscal enfocado a regal´ıas impide la deducibilidad en el costo de la deuda, y por ello el factor de descuento para calcular el valor presente de los flujos no es la adecuada, por lo que se requieren consideraciones especiales. M´ etodo de flujos de efectivo descontados Consiste en calcular los flujos de efectivo futuros ajustados seg´ un su valor en el tiempo, esto es, descontados a una tasa que represente el costo de oportunidad de obtenci´ on del capital empleado, Koller et al. (2010). El valor total de la empresa se compone del valor actual de los flujos de efectivo dentro del per´ıodo de pron´ ostico m´ as el valor actual del valor de continuaci´ on que corresponde a los flujos de efectivo libres despu´es del per´ıodo del pron´ ostico: V alor =

F lujot2 F lujot1 + + ... 1 + W ACCt1 (1 + W ACCt1 )(1 + W ACCt2 )

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+

V alor de continuacion , (1 + W ACCt1 )...(1 + W ACCtT )

donde F lujoti es el flujo del per´ıodo ti y la W ACCti es el costo promedio ponderado de capital despu´es de impuestos en el per´ıodo ti de la empresa, t1 , t2 , ..., tT . En el caso de que la empresa tenga una pol´ıtica objetivo de deuda y capital, el costo de financiamiento de la empresa se puede estimar usando el WACC, que consiste en la suma del producto de porcentaje de cada una de las fuentes de financiamiento que utiliza la empresa y el costo financiero de cada una de ellas. En el caso de que la empresa fuera una empresa privada y tenga dos fuentes de financiamiento, deuda y capital, los costos de capital de la deuda y el capital propio antes de impuestos sean rc y rd y la tasa marginal de impuestos corporativos sea T , el WACC ser´ a: 

   Capital P asivos W ACC = rc + rd (1 + T ). Capital + P asivos Capital + P asivos El costo del capital propio, rc , puede ser estimado usando un modelo de valuaci´ on de activos; en el caso de utilizar el modelo de valuaci´ on de activos de capital (CAPM, por las siglas en ingl´es de “Capital Asset Pricing Model”). El costo del capital de una empresa ri ser´ a igual a la tasa libre de riesgo, rf , m´ as una prima por el riesgo de la empresa, que en este modelo se estima multiplicando la beta de la empresa (βi ) del proyecto de inversi´ on en cuesti´ on, que mide el riesgo sistem´ atico de la empresa, a la prima de riesgo de mercado: la diferencia entre el rendimiento esperado de mercado, E[rm ], y la tasa libre de riesgo, rf (Brigham y Houston, 1988, p. 176) E[ri ] = rf + βi (E[rm ] − rf ). El CAPM fue desarrollado por Sharpe (1964) y Lintner (1965). Ambos basaron sus estudios en las investigaciones de Markowitz (1959) y Tobin (1958), quienes propusieron un modelo en que todos los inversionistas seleccionan sus carteras a trav´es del criterio de la media-varianza. El objetivo del modelo CAPM es cuantificar e interpretar la relaci´ on que existe entre el riesgo y el rendimiento; ya que a trav´es de esta relaci´ on lineal se puede establecer el equilibrio de los mercados financieros. El valor de continuaci´ on V CT es el valor de la empresa m´ as all´ a del horizonte de planificaci´ on (el per´ıodo T ), hasta cuando se proyectan con detalle los flujos de efectivo. Este valor de continuaci´ on se puede estimar si se asume que los flujos crecer´ an a una tasa constante g con el modelo de crecimiento de Gordon: V CT =

F ET +1 F ET (1 + g) = , W ACC − g W ACC − g

en donde V CT es el valor de continuaci´ on en el a˜ no T , F ET es el flujo de efectivo en el per´ıodo T , g es la tasa de crecimiento de los flujos de efectivo a perpetuidad y WACC es el costo de financiamiento a perpetuidad.

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En este ejercicio se calcul´ o el valor presente de los flujos operativos, en lugar del valor presente del flujo de efectivo libre, ya que este u ´ ltimo es negativo para Pemex. Consideramos que este supuesto es v´ alido ya que las fuentes de financiamiento de la empresa son utilizadas para cubrir sus inversiones de capital y ambas est´ an pr´ acticamente aisladas del capital de trabajo y de la operaci´ on de Pemex. 3.2 Teor´ıa de valuaci´ on de bonos estructurados Fabozzi (2006, p.1) define “Finanzas Estructuradas”como “el conjunto de t´ecnicas que se utilizan siempre que el originador o due˜ no de ciertos activos, que requiera cubrir necesidades de fondeo, liquidez, transferir riesgo o alguna otra necesidad, y que no puede tener acceso o no represente una alternativa o´ptima, pueda emplear alg´ un mecanismo o producto tradicional de financiamiento”. Cualquier financiamiento estructurado, involucra los siguientes elementos: 1. Transferencia financiera de activos o de la exposici´ on de riesgo, con el fin de alcanzar objetivos contables, regulatorios y/o fiscales. 2. Transacci´ on protegida a trav´es de un VPE o Fideicomiso. 3. La emisi´ on de un bono que est´ a respaldado por activos. 4. Incluye una combinaci´ on de productos derivados, como son los de tasas de inter´es o de cr´edito, o hay opciones impl´ıcitas. La bursatilizaci´ on consiste en obtener liquidez a trav´es de la transferencia de activos financieros (cr´editos, cuentas por cobrar, flujos generados por activos) a un VPE, que a su vez emite bonos estructurados, que reciben este nombre, porque existe un activo subyacente vinculado al mismo, de donde se espera recibir flujos futuros de efectivo (Fabozzi, et al., 2006, p. 13). A trav´es del VPE, los activos financieros se a´ıslan o separan del riesgo propio de la empresa o en este caso, del pa´ıs que los origin´ o. La calidad crediticia de los activos o flujos traspasados al fideicomiso, va a soportar una gran parte de la calificaci´ on crediticia que se asigne a los bonos emitidos. La condici´ on m´ as importante que exige el mercado es que el VPE cuente con el financiamiento suficiente para completarlo y que los acreedores conf´ıen en los flujos esperados del mismo, para garantizarles su pago. La valuaci´ on de un bono estructurado est´ a en funci´ on de la valuaci´ on de los activos o flujos subyacentes en el instrumento. En el caso de este ejercicio, los flujos operativos que provienen de las actividades de exploraci´ on y explotaci´ on de Pemex representan los activos subyacentes del bono. Valuaci´ on de bonos estructurados El modelo que se utiliza para valuar este tipo de bonos va a depender de las caracter´ısticas del activo o de los flujos que respalden a la emisi´ on. En el caso de Pemex, estamos valu´ andolo como un instrumento respaldado por activos, en el cual los inversionistas tienen opciones para reducir costos, considerando dos alternativas: reducci´ on de pasivos laborales o el pago de regal´ıas. La opci´ on de reducir los pagos de pensiones se puede modelar como una opci´ on americana de compra de flujos adicionales, que valuamos aqu´ı a trav´es de un modelo binomial. En el modelo binomial, el valor inicial de la empresa, S0 , tiene una probabilidad p de subir a uS0 y 1 − p de bajar a dS0 , con u > 1 y d < 1. Si se asume neutralidad al riesgo y la tasa libre con capitalizaci´ on

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continua es rf , p es igual a p=

exp(−rf ∆t − d) . u−d

En este caso, para determinar el valor de la opci´ on americana a considerar, se expande el a´rbol con el valor de Pemex como subyacente hasta el per´ıodo T y se eval´ ua la opci´ on, que depende del valor de la empresa, de atr´ as (en el per´ıodo T ) al inicio del a´rbol. La volatilidad que utilizamos para calcular el valor de la opci´ on en el bono se obtiene de la variaci´ on anual en el precio de la mezcla mexicana de crudo obtenida de Bloomberg. Para efectos de este art´ıculo, suponemos que esta volatilidad ya contiene en forma impl´ıcita el efecto del apalancamiento operativo y financiero de Pemex, ya que por s´ı misma es muy elevada, donde en los u ´ ltimos 10 a˜ nos, dicha volatilidad anual es cercana al 52%. 4. Resultados El Cuadro 2 presenta los resultados obtenidos para Pemex bajo diferentes escenarios de estimaciones de flujos operativos futuros y el c´ alculo de su VPN bajo el Modelo DCF. Bajo el escenario base, en que se mantienen vigentes las condiciones operativas y fiscales actuales, destacando que el capital social de la empresa es negativo, el valor neto de la empresa se ubic´ o en $765,004 millones de pesos con lo que Pemex cubre 1.2 veces sus pasivos con costo. La raz´ on de apalancamiento se ubic´ o en 0.85%. En el escenario uno, suponemos que los pasivos laborales se sustituyen por un pasivo con menor costo, a trav´es de un acuerdo entre el gobierno y el sindicato. Con esta operaci´ on, al bajar el costo de financiamiento, el flujo de efectivo que se incrementa por esta transacci´ on, se utiliza para pagar pasivos financieros, lo que eleva el valor de la empresa en 15% superior al obtenido en el escenario base, ubic´ andose en $884,120 millones de pesos. Si bien esperaba una “mejor valuaci´ on”, ´esta se ve afectada por la tasa de descuento respecto al escenario base y esto es debido a una mayor ponderaci´ on del capital. En el escenario dos, asumimos que se reducen en un 50% la tasa de regal´ıas (impuestos y derechos), ya que se interpreta que parte de estas son dividendos, que de ser necesario se pueden reducir, con lo que la valuaci´ on resultante presenta un incremento muy significativo, de casi seis veces respecto al escenario base por dos razones principales: 1. La empresa genera utilidades de poco m´ as de la mitad de la utilidad operativa con su respectivo impacto positivo en el capital contable de Pemex. 2. Parte del nuevo flujo generado se destin´ o al pago de deuda con costo por lo que el monto de intereses pagados disminuye y tambi´en el excedente de efectivo genera intereses; el efecto combinado de estos dos aspectos contribuye a la generaci´ on de utilidad neta desde el inicio del per´ıodo de estimaci´ on. 3. Con esta valuaci´ on, Pemex cubre su deuda con costo en los primeros dos a˜ nos de estimaci´ on por lo que bajo este escenario estoy suponiendo que las inversiones se financian con recursos propios. La raz´ on de apalancamiento es menor a 1, si la medimos como el valor de la empresa entre los pasivos con costo. Se observa en este escenario que el capital contable pondera de manera

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muy importante en este escenario por lo que la tasa de descuento se incrementa casi tres veces m´ as respecto al escenario base; sin embargo no tiene un impacto significativo en la valuaci´ on ya que los flujos crecen en mayor proporci´ on. En el tercer escenario, con un precio internacional del petr´ oleo de US$52.52 d´ olares por barril, el valor de la empresa es pr´ acticamente de cero ya que los ingresos estimados crecen a menor ritmo, en promedio 6.0% vs el 7.5% del escenario base. Este menor crecimiento de los ingresos, aunado al efecto de la reserva laboral sobre los costos y gastos provocan la disminuci´ on de la utilidad de operaci´ on en un 9.0% en promedio, comparada con la estimada para el escenario base. El resultado neto de este escenario se caracteriza por p´erdidas a lo largo del per´ıodo de estimaci´ on. Esta p´erdida neta se refleja directamente en el Capital Contable, haci´endolo m´ as negativo respecto al estimado en el escenario base. El flujo operativo crece a menor ritmo, bajo el supuesto de este escenario, provocando que Pemex dif´ıcilmente puede financiar sus inversiones de capital asimismo y cubrir sus pasivos con costo. La combinaci´ on de los factores mencionados, as´ı como la ponderaci´ on de la deuda se reflejan en una tasa de descuento de casi el doble de la utilizada en el escenario base, afectando negativamente la valuaci´ on de la empresa. Cuadro 2 Resultado en los diferentes escenarios del valor de PEMEX.

*El valor a los accionistas corresponde el valor del bono estructurado, cuyo subyacente el valor presente del flujo operativo de la empresa menos el valor de la deuda con costo. 4.1. Valuaci´ on de Pemex considerando la opci´ on americana de compra de flujos adicionales usando un modelo binomial Supongamos una opci´ on de compra que puede ejercer la Alta Gerencia de Pemex, para comprar flujos adicionales de efectivo, ya sea reduciendo pasivos laborales o el pago de regal´ıas: Opci´ on de compra de reducir pasivos laborales. Si el valor de la empresa bajo el escenario base es de MXN$765 mmp y si lo comparamos con el valor de la empresa en el escenario uno por MXN$884 mmp (donde se sustituyen los pasivos laborales, por un nuevo pasivo financiero de menor costo), obtenemos una diferencia entre ambos valores de MXN $119 mmp, es decir, que Pemex tendr´ıa un valor superior en 15% al escenario base,

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

debido a una mayor retenci´on de flujos operativos en la propia empresa, ya que disminuir´ıa su costo financiero. El valor adicional de MXN$119 mmp es el subyacente de la opci´ on. Para poder sustituir los pasivos laborales, podemos suponer que Pemex pide prestado un monto equivalente a dichas obligaciones laborales, pero a un menor costo financiero, y de esta forma le paga a los empleados sindicalizados una compensaci´ on por jubilaci´ on. Si no se pagan dividendos (regal´ıas), el valor inicial del subyacente es el valor adicional esperado de MXN $119 mmp, el valor de ejercicio es MXN$600 millones, la volatilidad de la variaci´ on anual en el precio de la mezcla mexicana de crudo, ajustada por apalancamiento operativo y costo promedio ponderado de capital es 52% y se tiene un plazo de cinco a˜ nos para ejercer la opci´ on. Por lo tanto, el valor de la opci´ on americana de compra, modelada como un a´rbol binomial con periodos semestrales, es de MXN$11 millones de pesos, por lo que el valor de Pemex incluyendo la opci´ on ser´ıa de MXN$776 mmp (MXN$765 mmp en el escenario base m´ as MXN$11 mmp de la opci´ on). El siguiente cuadro presenta diferentes volatilidades, por arriba y por abajo del 52% que es la que se obtiene de la variaci´ on del precio de la mezcla de crudo mexicana, bajo el escenario de sustituci´ on de pasivos laborales.

Opci´ on de compra para reducir el pago de regal´ıas (impuestos y derechos). Supongamos ahora que la alta gerencia de Pemex tiene una opci´ on de compra para comprar flujos adicionales de efectivo, bajo las mismas condiciones que el ejercicio anterior, pero asumiendo que los pagos de impuestos y derechos son equivalentes al pago de dividendos a los accionistas (la naci´ on mexicana), y por tanto, con posibilidad de reducirlos a juicio de la administraci´ on de la empresa. La tasa de dividendos es de 72% que resulta de dividir las regal´ıas (impuestos y derechos) de un a˜ no, que en 2010 fueron por MXN$554 mmp., entre el valor de la empresa en el escenario base de MXN$765 mmp. Utilizando un a´rbol binomial para valuar la opci´ on, se encuentra un valor de MXN$3,672 mmp., con el que el valor total de Pemex es de MXN$4,437 mmp., considerando que el valor de Pemex en el escenario base es de MXN$765 mmp. Visto de otra forma, podemos suponer que el valor inicial del subyacente de la opci´ on es de MXN$4,053 mmp., que es la diferencia entre el valor de Pemex en el escenario dos, MXN$4,818 mmp., cuando se asume que se disminuye la tasa de regal´ıas un 50% (de 72% a 35.5%) y su valor en el escenario base, MXN$765 mmp., es decir, MXN$4,818 mmp. MXN$765 mmp. = MXN$4,053 mmp., valor muy superior al obtenido con la opci´ on de sustituir el pago de prestaciones laborales.

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El siguiente cuadro presenta diferentes volatilidades, por arriba y por abajo del 52% que es la que se obtiene de la variaci´ on del precio de la mezcla de crudo mexicana, bajo el escenario de reducci´ on de derechos e impuestos.

5. Conclusiones La valuaci´ on de Pemex bajo m´etodos tradicionales de flujos descontados y de acuerdo a diferentes escenarios nos permite concluir que esta empresa siempre tiene un valor presente positivo en el valor de sus flujos operativos (una vez que se ha cubierto deuda con costo), siempre que el precio del petr´ oleo se ubique por arriba de US$52.52 por barril. Cuando el escenario base (bajo condiciones actuales de Pemex) se calcula con un precio de petr´ oleo menor a US$52.52 por barril, la empresa podr´ıa compensar el valor presente de sus flujos, a trav´es de medidas que por el momento son te´ oricas, tales como la reducci´ on en el pago de regal´ıas, la reestructura o eliminaci´ on de sus pasivos labores. En los ejercicios de valuaci´ on de Pemex, visto como un bono estructurado que incluye opciones para la empresa, para que pueda aumentar el monto de sus flujos de operaci´ on, podemos observar que el valor de la empresa obtenido por DCF se puede mejorar, si la empresa incluye como opciones la reducci´ on en el pago de regal´ıas y/o la eliminaci´ on de pasivos laborales. El escenario con mayor valor para la empresa es aquel donde se contempla una tasa de pago de dividendos de 72% (equivalente a la tasa de pago de regal´ıas), concluyendo que el activo m´ as valioso de la empresa es la generaci´ on de flujo de efectivo de operaci´ on. Por lo tanto, dejar de ver a Pemex y a otras empresas dedicadas a la exploraci´ on y explotaci´ on de recursos naturales (que no son de su propiedad y cuyo precio corresponde al de precios internacionales de materias primas o energ´eticos) como empresas tradicionales y valuarlas como bonos estructurados, es una herramienta que permite conocer su valor en forma m´ as objetiva. 6. Referencias Brigham, E. F. y J. F. Houston (1998) Fundamentals of Financial Management, 8a ed., South-Western College Pub. Constituci´ on Pol´ıtica de los Estados Unidos Mexicanos (1917). Diario Oficial de la Federaci´ on, modificada a julio 14, 2011. Fabozzi, F. J. (2000). Fixed Income Analysis for the CFA Program, Frank J. Fabozzi Associates, New Hope, Pennsylvania. Fabozzi, F. J., H. A. Davis, M. Choudhry (2006). Introduction to Structured Finance, Willey.

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

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An´ alisis alternativo de valuaci´ on de empresas estr´ ategicas descentralizadas

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la aplicaci´ on de la valuaci´ on con opciones en empresas de exploraci´ on de petr´ oleo. D´ıas, M.A.G. (1997). An oil company with investment rights, Petrobras, S.A., Society of Petroleum Engineers, septiembre. Este documento de trabajo analiza el problema que enfrentan las compa˜ n´ ias petroleras que tienen derechos restringidos, principalmente en tiempo, para realizar inversiones. Explica el uso de opciones reales. Deng, S. J. U.C. Berkeley; Johnson, B., Stanford and Sogomonian A., Pacificorp, Valuing electricity derivatives using replicating portfolios. Documento de Trabajo donde los resultados de valuaciones son utilizados para construir modelos de opciones reales sobre empresas de generaci´ on y transmisi´ on de electricidad. Soussan, F. (2001). Various business technologies will distinguish future industry winners. The real options paradigm, Documento no publicado, SPE, Texaco Inc. y Society of Petroleum Enginners. October 2001. El documento habla sobre el paradigma sobre las opciones reales, las cuales emergen como un m´etodo state of the art para valuar activos. El concepto de frontera eficiente es cada vez m´ as utilizado dentro del sector energ´etico. Rutherford, S. R. (2001). Real Options Evaluations, Documento no publicado, SPE, Anadarko, Petroleum Corporation y Society of Petroleum Engineers, Octubre. Brennan, M.J. and Trigeorgis L.. London, Oxford University. Documento de trabajo que considera a las opciones reales como un significativo componente de valor, y las empresas que las toman en cuenta pueden presentar un desempe˜ no superior al mercado. El documento habla sobre la teor´ ia del arbitraje entre las inversiones. Otras referencias International Accounting Standards Board (2010). International Financial Reporting Standards (IFRS) Financial Accounting Standards Board of the Financial Accounting Foundation. “Financial Accounting Series (ISSN0885-9051)”. Publicaci´ on Trimestral. 2010-2011 2010-2011 Hull, John C. (2008). Options, Futures and other Derivative Securities, Prentice Hall Edition, 7a edici´ on. Cox, Ross y Rubinstein (1979) “Option Pricing: A Simplified Approach”, Journal of Financial Economics, 7 (Octubre). Frank J. Fabozzi (2001), Fixed Income Analysis, Editorial.

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa (Journal of Management, Finance and Economics), vol. 6, n´ um. 2 (2011), pp. 16-33.

Valuaci´on de Opciones Europeas mediante procesos de L´evy exponenciales y transformada r´apida de Fourier. Horacio Alberto Ruiz Olvera∗ Recibido 10 de enero de 2010. Aceptado 22 de marzo de 2011

Resumen En esta investigaci´ on se presenta una metodolog´ıa alterna de valuaci´ on de opciones europeas mediante el an´ alisis de procesos de L´evy exponenciales y utilizando la transformada r´ apida de Fourier. En este trabajo se aplica la metodolog´ıa de valuaci´ on de opciones mediante el uso de la transformada discreta de Fourier al modelo varianza-gamma (VG) de Madan, Carr y Chang (1998). Este modelo cuenta con una forma cerrada de valuaci´ on obtenida, como en algunos otros modelos, mediante m´etodos probabil´ısticos o de ecuaciones diferenciales parciales, sin embargo estas metodolog´ıas no nos entregan formas cerradas para modelos m´ as complejos. Si tomamos en cuenta el hecho de que para la valuaci´ on de opciones mediante transformada de Fourier (TF) lo u ´ nico que necesitamos es la funci´ on caracter´ıstica del precio logar´ıtmico de la acci´ on y que existe una funci´ on caracter´ıstica u ´ nica, conocida y con forma cerrada para cada funci´ on de densidad, entonces es posible utilizar esta metodolog´ıa para intentar encontrar un m´etodo de valuaci´ on alterno y posiblemente m´ as simple para modelos en los cuales actualmente no existe una forma cerrada. El modelo de Madan, Carr y Chang es un caso particular de modelos de L´evy exponenciales m´ as generales. Si la utilizaci´ on de la TF nos permite desarrollar un m´etodo alterno para la valuaci´ on de opciones que nos entregue los mismos resultados que el utilizar las formas cerradas, entonces estar´ıamos en condiciones de buscar un m´etodo alterno para crear modelos de valuaci´ on que quiz´ a sean m´ as simples que los complejos modelos desarrollados a trav´es de m´etodos probabil´ısticos o de ecuaciones diferenciales. Abstract In this paper, a new valuation methodology is tested as an alternative way to value European options by applying Fast Fourier Transform (FFT) on L´evy processes. It is shown how this new approach can be applied on the VarianceGamma model by Madan, Carr and Chang (1998). This model has a closed ∗

Doctorado en Ciencias Financieras, Tecnol´ ogico de Monterrey, Campus Ciudad de M´ exico, EGADE. Calle del Puente 222, Aulas 4-Piso 4, Ejidos de Huipulco, Tlalpan, D.F. 14380, e-mail: [email protected], Tel:+52 (55)56758165. El autor agradece los valiosos comentarios por parte de Jos´e Antonio Nu˜ nez, Kazuhisa Matsuda, B´ arbara Trejo y V´ıctor Reynoso durante la preparaci´ on de este trabajo de investigaci´ on as´ı como las sugerencias de todos los profesores y compa˜ neros durante la redacci´ on del mismo. El autor es el u ´ nico responsable por opiniones y errores.

Valuaci´ on de Opciones Europeas mediante procesos de L´ evy.

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form formula which can be obtained, as in many other models, by PDE or by probabilistic methods, but even this methodologies will not prove to be useful when we encounter ourselves with more complex models. Nevertheless, if we take into account the fact that there is a one-to-one relationship between a characteristic function of an exponential L´evy process and its probability density and that this CF are known in closed forms or can be expressed in terms of special mathematic functions, then it is possible to use this new methodology to obtain an alternate and maybe simpler valuation forms for models which do not have a closed form solution. Madan, Carr and Changs model is a particular case of general exponential L´evy processes. If there is a way to develop a new valuation method by using Fourier transform and this method proves to give same results as on closed form solutions or by numerical method solutions, then we could be on our way to find simpler ways to price assets than using a traditional approach. Clasificaci´ on JEL: G12, C65 Palabras clave: L´ evy processes, Fourier transform.

1. Introducci´ on Sabemos que para la valuaci´ on de opciones existe una gran variedad de modelos, ya sea en forma cerrada o que se basan en m´etodos num´ericos para su resoluci´ on. Los m´ as sencillos manejan supuestos que no necesariamente explican el comportamiento real del mercado y ´estos son los que actualmente se utilizan en la pr´ actica debido a que se trata de modelos de valuaci´ on en forma cerrada que implican una gran simplicidad de c´ alculo a´ un cuando existen otros modelos que describen mejor dicho comportamiento pero cuya resoluci´ on requiere de mayores recursos de c´ omputo, raz´ on por la cual no se utilizan en la pr´ actica. El modelo de Black y Scholes (1973) es uno de los avances m´ as importantes en las finanzas modernas. Fischer Black y Myron Scholes publicaron en 1973 su art´ıculo “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” en el Journal of Political Economy en donde, bajo el supuesto de equilibrio general, Black y Scholes obtuvieron una ecuaci´ on diferencial parcial de segundo orden, parab´ olica y lineal, cuya soluci´ on culmina en una f´ ormula cerrada para valuar una opci´ on europea sobre una acci´ on que no paga dividendos, y cuyo precio es conducido por un movimiento geom´etrico Browniano. Sin embargo, algunos de sus supuestos como la distribuci´ on log-normal del subyacente o el de volatilidad constante no representan el comportamiento real del subyacente en los mercados financieros ya que la densidad del rendimiento logar´ıtmico del subyacente dista de ser normal al presentar un exceso de curtosis y sesgo. Robert Merton (1976) modifica el proceso que sigue el subyacente proponiendo un proceso de difusi´ on con saltos con el que se extiende el modelo de Black y Scholes al agregar un componente de saltos a la din´ amica del precio del subyacente. Autores posteriores como Jarrow y Rosenfeld (1984), Ball y Torous (1985), Jorion (1988) y Venegas Martnez (2001) han sugerido que el agregar saltos a los modelos de valuaci´ on de opciones ha ayudado a explicar las inconsistencias mostradas en la pr´ actica por el modelo de Black-Scholes. Merton agrega una componente de saltos mediante un proceso de Poisson, donde el tama˜ no del salto sigue una distribuci´ on lognormal. Con esto Merton logra modelar las colas pesadas presentes en los mercados financieros.

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

Por otro lado Madan y Seneta (1990), Madan y Milne (1991) proponen el modelo Varianza Gamma (VG) el cual incorpora par´ ametros adicionales que permiten controlar el sesgo y la curtosis presentes en la densidad de los rendimientos del subyacente. M´ as adelante Madan, Carr y Chang (1998) obtienen una forma cerrada del modelo VG para evaluar el precio de una opci´ on europea. El proceso Varianza Gamma modela un movimiento Browniano evaluado aleatoriamente en el tiempo, donde dicho movimiento Browniano tiene tendencia y volatilidad constantes: Bt (t; θ, σ) = θt + σW (t). Cada unidad de tiempo se supone tiene una longitud dada por una variable aleatoria que sigue un proceso gamma. Esto es, se supone que el rendimiento compuesto continuo sigue una distribuci´ on normal, condicional en un movimiento aleatorio en el tiempo que sigue un proceso gamma. El proceso gamma, γ(t; µ, ϑ), con tasa media µ y tasa de cambio ϑ, es un proceso con incrementos independientes gamma sobre intervalos de tiempo que no se traslapan, (t, t + h). Entonces el proceso VG, X(t; α, θ, ϑ), se puede definir en t´erminos del movimiento Browniano con tendencia Bt (t; θ, σ) y el proceso gamma γ(t; µ, ϑ) como: X(t; σ, θ, ϑ) = Bt (γ(t; µ, ϑ); θ, σ). Este modelo de valuaci´ on de opciones en conjunto con el proceso estoc´ astico que lo conforma, nos entrega dos par´ ametros adicionales a la volatilidad del movimiento Browniano (σ). El primero de ellos, ϑ, con el cual se puede controlar el incremento en la probabilidad de las colas de la distribuci´ on de los rendimientos (colas pesadas) y el segundo, θ, con el que se controla la asimetr´ıa observada en la densidad de los rendimientos (sesgo). El proceso estoc´ astico resultante es un proceso de Markov unidimensional homog´eneo en el tiempo, por lo que no se tiene un modelo de volatilidad estoc´ astica como tal que permita cambios en la volatilidad condicional. El prop´ osito fundamental de este trabajo de investigaci´ on es describir una nueva metodolog´ıa para determinar el precio de una opci´ on europea. Dicha metodolog´ıa se basa en la aplicaci´ on de los conceptos de procesos de L´evy exponenciales y transformada de Fourier. Se trata de hacer la valuaci´ on de una opci´ on de tipo europeo cuando el precio del activo subyacente sigue un proceso de L´evy. Los modelos de Black-Scholes, Merton y de Madan, Carr y Chang son casos particulares de modelos de L´evy exponenciales m´ as generales. Si la utilizaci´ on de la TF nos permite desarrollar un m´etodo alterno para la valuaci´ on de opciones que nos entregue los mismos resultados que el utilizar las formas cerradas, entonces estar´ıamos en condiciones de buscar un m´etodo alterno para crear modelos de valuaci´ on que quiz´ a sean m´ as simples que los complejos modelos desarrollados a trav´es de m´etodos probabil´ısticos o de ecuaciones diferenciales en los cuales no se puede llegar a una forma cerrada de valuaci´ on. Para la aplicaci´ on de esta nueva metodolog´ıa se supone que la forma anal´ıtica de las funciones caracter´ısticas asociadas a las funciones de densidad de dichos modelos es conocida.

Valuaci´ on de Opciones Europeas mediante procesos de L´ evy.

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2. Transformada de Fourier. Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), matem´ atico y f´ısico de nacionalidad francesa, fue el primero en desarrollar la teor´ıa de conducci´ on del calor. La ecuaci´ on de difusi´ on de calor, o simplemente la ecuaci´ on de calor, es una ecuaci´ on diferencial parcial de segundo orden con soluciones expl´ıcitas. Estas soluciones describen como se difunde, al transcurrir el tiempo, el calor en una varilla de longitud infinita despu´es de que ha sido calentada en un tiempo inicial. Mientras estudiaba la ecuaci´ on de calor, Fourier desarroll´ o lo que ahora conocemos como serie de Fourier. La transformada de Fourier de una funci´ on g(t) en el espacio tiempo a una funci´ on G(ω) en el espacio de frecuencia angular est´ a dada por: G(ω) ≡ F {g(t)}(ω) ≡

s

Z

|b| (2π)1−a

∞

etibω g(t)dt.

−∞

A su vez, la transformada inversa de Fourier de una funci´ on en el espacio de frecuencia angular G(ω) a una funci´ on en el espacio tiempo g(t) ser´ a g(t) ≡ F

−1

{G(ω)}(t) ≡

s

|b| (2π)1+a

Z

∞

−∞

e−tibω G(ω)dω.

La TF se puede ver como la descomposici´ on de una funci´ on en el espacio tiempo en una serie (suma) de ondas sinusoidales (funciones seno o coseno) de diversas frecuencias, las cuales al sumarse forman la funci´ on original. Se trata de la misma funci´ on pero vista o formada de dos maneras distintas, de aqu´ı el nombre de “transformada”. Entonces podemos decir que la TF es la representaci´ on en frecuencia angular (ω) de una funci´ on g(t) del espacio tiempo (las dos contienen la misma informaci´ on). Los par´ ametros de Fourier a y b toman diversos valores dependiendo del prop´ osito de la transformada. Por ejemplo, en el procesamiento de se˜ nales es com´ un utilizar los par´ ametros (a, b) = (0, −2π), en la f´ısica moderna se utilizan los par´ ametros (a, b) = (0, 1), etc. En nuestro caso, donde el fin es calcular funciones caracter´ısticas, utilizaremos los par´ ametros (a, b) = (1, 1) definiendo la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier como: Z ∞ G(ω) ≡ F {g(t)}(ω) ≡ etiω g(t)dt, (1) −∞

g(t) ≡ F −1 {G(ω)}(t) ≡

1 2π

Z

∞

−∞

e−tiω G(ω)dω.

(2)

2.1 Transformada discreta de Fourier Si ahora consideramos el caso de una funci´ on discreta g(t) → g(tk ) donde tk = k∆ con k = 1, 2, · · · , N − 1 tendremos que la transformada discreta de Fourier se puede escribir como

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

G(ωj ) ≡ F {(g(tk )}(ωj ) ≡

N−1 X

e−2πijk/N g(tk ),

(3)

k=0

donde j = 0, 1, · · · , N − 1. De este modo la transformada inversa de Fourier ser´ a g(tk ) ≡ F −1 {G(ωj )}(tk ) ≡

N−1 1 X 2πikj/N e G(ωj ). N

(4)

j=0

2.2 Transformada r´ apida de Fourier. La transformada discreta de Fourier presentada anteriormente se puede aplicar a cualquier serie compleja. Sin embargo en la pr´ actica este proceso puede consumir mucho tiempo de c´ omputo, siendo el tiempo proporcional al cuadrado del n´ umero de puntos en la serie. En general, si tratamos de calcular el vector G(ωj ) a partir de g(tk ), o viceversa, necesitamos N 2 productos que contienen n´ umeros complejos mas N (N − 1) Para evitar tal complejidad de c´ alculos, Cooley y Tukey (1965) descubrieron un algoritmo en el cual u ´nicamente se requieren N log2 (N )/2 operaciones. A este algoritmo se le conoce como transformada r´ apida de Fourier. Un aspecto importante de la transformada r´ apida de Fourier es que se trata de un algoritmo recursivo que permite expresar una transformada discreta de Fourier de N elementos como la suma de dos transformadas discretas de Fourier de N/2 elementos cada una mediante la siguiente identidad: N−1 X k=0

N/2−1

ak e

−2πijk/N

=

X

k=0

N/2−1

a2k e

−2πij(2k)/N

+

X

a2k+1 e−2πij(2k+1)/N .

k=0

En su trabajo, Cooley y Tukey muestran especial atenci´ on en la elecci´ on de N y muestran que los mejores resultados se obtienen al elegir N = 2m . De esta manera el tiempo de c´ omputo requerido se vuelve proporcional a N log2 (N ), lo cual implica una enorme reducci´ on en el tiempo de c´ omputo requerido. Por ejemplo, el tiempo necesario para calcular una transformada discreta de Fourier (DFT) a 1024 puntos tomar´ a aproximadamente 100 veces m´ as que utilizando la transformada r´ apida de Fourier (FFT). Matlab contiene dos funciones que calculan la transformada discreta de Fourier y la transformada discreta inversa de Fourier (fft(x) e ifft(x) respectivamente) mediante un algoritmo de transformada r´ apida que se basa en una rutina desarrollada en el MIT1 y se calcula mediante la siguiente suma: 1 Dicha rutina se encuentra disponible en el sitio http://www.fftw.org y es conocida como la Transformada de Fourier m´ as R´ apida de Oeste (The Fastest Fourier Transform in the West)

Valuaci´ on de Opciones Europeas mediante procesos de L´ evy.

X(k) =

N X

e−

2πi N (j−1)(k−1)

x(j).

21

(5)

j=1

Asimismo, la transformada r´ apida inversa se calcula en Matlab como x(j) =



1 N

X N

e

2πi N (j−1)(k−1)

X(k).

(6)

k=1

La ecuaci´ on (6) es esencial en este trabajo de investigaci´on ya que los algoritmos de valuaci´ on que veremos m´ as adelante se desarrollaron en Matlab utilizando la funci´ on fft(x). 2.3 Funci´ on caracter´ıstica La funci´ on caracter´ıstica ϕ(ω), ω ∈ R, de una variable aleatoria X con distribuci´ on FX (x) absolutamente continua y con densidad de probabilidad 0 FX (x) = fX (x) se define como Z ∞ ϕ(ω) = F [fX (x)] = exiω fX (x)dx = E[exiω ], (7) −∞

es decir, la funci´ on caracter´ıstica ϕ(ω) es la transformada de Fourier de la funci´ on de densidad de probabilidad, fX (x). 3. El modelo Varianza Gamma (VG) El proceso VG fue concebido inicialmente por Madan y Seneta (1990), Madan y Milne (1991). En sus inicios el proceso permit´ıa controlar la volatilidad y la curtosis. Posteriormente fue generalizado por Madan, Carr y Chang (1998) y por Carr y Madan (1999) quienes implementaron al modelo la metodolog´ıa de valuaci´ on mediante transformada r´ apida de Fourier y pasaron de dos a tres par´ ametros para as´ı controlar volatilidad, sesgo y curtosis presentes en la densidad de los rendimientos del subyacente. El modelo VG es un buen ejemplo para ilustrar el potencial de la metodolog´ıa de valuaci´ on mediante transformada de Fourier ya que se trata de un modelo en el cual la funci´ on de densidad es complicada mientras que la funci´ on caracter´ıstica asociada es mucho m´ as simple. Se trata de un proceso de salto puro con incrementos estacionarios e independientes en el cual se tiene una cantidad infinita de saltos peque˜ nos y una cantidad finita de saltos grandes. Consideremos un movimiento Browniano con tendencia θ y volatilidad σ, el cual se eval´ ua aleatoriamente en el tiempo y supongamos que dicha aleatoriedad en el tiempo sigue un proceso gamma. Al proceso anterior se le conoce como proceso Varianza Gamma (VG) y se puede definir como un proceso estoc´ astico {Xt ; 0 0; + α − ω2 + i(2α + 1)ω

α2

27

(38)

donde      1 σ2 ϑ φT (ω) = exp iω{lnS 0 + r + ln 1 − θϑ − t} ∗ ϑ 2 

1 1 − iθϑω + (σ 2 ϑ/2)ω2

 ϑt

.

(39)

3.2 M´ etodo de valuaci´ on VG mediante transformada de Fourier. Para implementar la metodolog´ıa de valuaci´ on utilizando transformada r´ apida de Fourier necesitamos la versi´ on discreta de las ecuaciones (38) y (39). Simplemente necesitamos adecuar la forma general de valuaci´ on al modelo VG de Madan, Carr y Chang (1998), lo cual nuevamente resulta poco complicado ya que u ´ nicamente debemos sustituir la funci´ on caracter´ıstica asociada al modelo VG en la siguiente ecuaci´ on:

c(T, kn ) =

N−1 e−αkn X wj e−i∆ωjkn ψ(ωj )∆ω π j=0

N−1 e−αkn X ∆kN = wj e−i∆ωj(− 2 +n∆k) ψ(ωj )∆ω π j=0

=

N−1 ∆kN e−αkn X wj ei∆ωj 2 e−i∆ωjn∆k ψ(ωj )∆ω π j=0

=

N−1 2π e−αkn X wj eijπ e−ijn N ψ(ωj )∆ω π j=0

=

N−1 e−αkn X −ijn 2π N h , e j π

(40)

j=0

con lo cual tenemos que C(T, kn )V G =

N−1 e−αkn X −ijn 2π N h , e j π j=0

(41)

28

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

donde hj = wj eijπ ψ(ωj )∆ω,

ψ(ω) =

e−rT ϕ(ω − (α + 1)i) 0 , α2 + α − ω2 + i(2α + 1)ω

(42)

(43)

      1 σ2 ϑ t ∗ φT (ω) = exp iω lnS 0 + r + ln 1 − θϑ − ϑ 2 

1 1 − iθϑω + (σ 2 ϑ/2)ω2

 ϑt

(44)

y = wj

1 2

1

para j = 0 y N − 1 otros casos

4. Metodolog´ıa y an´ alisis de resultados El m´etodo de valuaci´ on mencionado en los apartados anteriores se aplicar´ a a continuaci´ on sobre el modelo Varianza-Gamma para valuar opciones sobre ´ındices de acciones de tipo europeo. Para ello se llev´ o a cabo la recolecci´ on de informaci´ on necesaria para nuestro fin. Nuestra base de datos consta de informaci´ on hist´ orica de niveles de los ´ındices NASDAQ 100 (EU), S&P 500 (EU), NIKKEI 225 (Jap´ on), HANG SENG (Hong Kong), DAX (Alemania), CAC 40 (Francia) y FTSE 100 (Inglaterra) as´ı como de precios hist´ oricos de opciones sobre dichos ´ındices. Dicha informaci´ on contiene niveles de los ´ındices para el periodo de enero-1997 a agosto-2010. Para la valuaci´ on de las opciones se hizo la implementaci´ on de las ecuaciones (41), (42), (43) y (44) en Matlab. Se llev´ o a cabo la valuaci´ on de diversas opciones tomando un periodo restante para el vencimiento de entre 665 y 2 d´ıas y se hizo una agrupaci´ on entre opciones que se encontraban fuera del dinero”(Out-of-the-money), “en el dinero”(At-the-money) y “dentro del dinero”(In-the-money). Para la estimaci´ on de los par´ ametros se utiliz´ o el m´etodo de optimaci´ on desarrollado por Nelder-Mead (1965), el cu´ al es un algoritmo simplex que intenta minimizar una funci´ on no-lineal de n variables f(x) con x ∈ Rn mediante la comparaci´ on de sus propios valores sin hacer uso de ning´ un tipo de derivado. A este tipo de m´etodos se les conoce como m´etodos simplex de b´ usqueda directa.7 7

Ver trabajo de Nelder-Mead(1965) “A simplex algorithm for function minimization”, Computer Journal 7.

Valuaci´ on de Opciones Europeas mediante procesos de L´ evy.

29

En la Tabla 1 se muestran los par´ ametros estimados para cada ´ındice:

Tabla 1. Par´ ametros estimados Se observa que en todos los casos la distribuci´ on de los rendimientos logar´ıtmicos est´ a ligeramente sesgada a la derecha (sesgo negativo) y se presenta cierto grado de curtosis. Con los par´ ametros estimados se calcul´ o el precio de la opci´ on mediante el modelo Varianza-Gamma con transformada de Fourier (VGTF) para luego comparar la valuaci´ on contra la forma cerrada de Black-Scholes. Se utiliz´ o la misma volatilidad en ambos c´ alculos para hacer comparables los resultados. Dicha volatilidad se estim´ o con la informaci´ on de los rendimientos hist´ oricos de cada ndice y fue anualizada en base a 260 das. Se hizo la inclusi´ on de precios observados en el mercado (Bloomberg) simplemente como informaci´ on adicional ya que no es posible hacer una comparaci´ on real de los precios de mercado contra los precios calculados en este trabajo debido a que los precios calculados suponen que no hay tasa de dividendos mientras que los precios observados en el mercado incluyen este factor en su precio. Las opciones que se valuaron fueron las siguientes:

30

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

Valuaci´ on de Opciones Europeas mediante procesos de L´ evy.

31

En general se observ´ o que ambos m´etodos de valuaci´ on entregan precios m´ as altos que los precios observados en el mercado. Esto era de suponerse y se debe que los precios calculados asumen que no hay tasas de dividendos. El mercado incorpora dicho factor en su precio, raz´ on por la cual es entendible que los precios calculados se encuentren por arriba del mercado. Aunque no podemos hacer una comparaci´ on formal contra los precios del mercado por motivos como el mencionado anteriormente, es interesante observar que el precio calculado con el modelo Varianza-Gamma est´ a por debajo del precio calculado con la forma cerrada de Black-Scholes y por ende se acerca m´ as al precio observado en el mercado. Esto nos podr´ıa indicar como el mercado est´ a incorporando de alguna manera informaci´ on hist´ orica en su precio (efectos de sesgo y colas pesadas) que el modelo VG est´ a reflejando en su valuaci´ on y que Black-Scholes no lo est´ a haciendo. En el caso del ´ındice Hang Seng se observ´ o una volatilidad muy alta al estimar sus par´ ametros y esto al parecer no corresponde con la percepci´ on del mercado, lo que provoc´ o grandes diferencias entre los precios calculados y los precios observados en el mercado.

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

Tabla 2. Media de los errores relativos absolutos contra los precios de mercado (´ unicamente informativo)

5. Conclusiones Mediante este trabajo de investigaci´ on se logr´ o implementar una nueva metodolog´ıa de valuaci´ on de opciones mediante la aplicaci´ on de los conceptos de procesos de L´evy y transformada de Fourier. A partir del trabajo de Madan y Seneta (1990), Madan y Milne (1991) y Madan, Carr y Chang (1998), se obtuvo una forma general para evaluar el precio de una opci´ on europea partiendo del hecho de que para toda densidad de probabilidad existe una funci´ on caracter´ıstica asociada que es u ´ nica. Mediante la implementaci´ on de la teor´ıa propuesta, se logr´ o aplicar esta metodolog´ıa al modelo Varianza-Gamma. Los resultados obtenidos fueron alentadores y sugieren que es posible valuar opciones mediante modelos que parten de la funci´ on caracter´ıstica de la densidad de probabilidad de la din´ amica del subyacente y que esta teor´ıa nos puede ayudar a crear modelos de valuaci´ on m´ as sencillos en casos donde la funci´ on de densidad de probabilidad sea demasiado compleja como para llegar a una forma cerrada de valuaci´ on. Un ejemplo claro es el modelo Varianza-Gamma, el cual requiere de un desarrollo matem´ atico extenso para llegar a una “forma de valuaci´ on”un tanto complicada y cuya aplicaci´ on no es del todo sencilla. En cambio, partiendo de la funci´ on caracter´ıstica, se obtuvo una forma de valuaci´ on sencilla y pr´ actica. A partir de las pruebas realizadas, se comprob´ o que el modelo VG resulta de mayor utilidad para valuar opciones sobre ´ındices de tipo europeo, entregando mejores resultados que modelos m´ as sencillos como Black-Scholes. Esto no es sorpresa, ya que este modelo nos ofrece el control sobre par´ ametros de sesgo y curtosis, con los cuales se puede modelar de mejor manera el comportamiento del mercado. Es necesaria una mayor investigaci´ on en este campo y se propone realizar un ejercicio similar para este tipo de modelos y para algunos m´ as complejos estimando los par´ ametros con informaci´ on de mercado. Si se logra el desarrollo de algoritmos que nos permitan calibrar de manera o´ptima los par´ ametros de cada modelo y se logra desarrollar un software que no requiera de una capacidad de c´ omputo muy elevada podr´ıamos tener en nuestras manos poderosas herramientas de valuaci´ on de instrumentos derivados.

Valuaci´ on de Opciones Europeas mediante procesos de L´ evy.

33

6. Referencias Nelder, J.A., & Meadf, R. A simplex method for function minimization, pp. 308-313. Lam, K., Chang, E., & Lee, M.C. (2001). An Empirical Test of the Variance Gamma Option Pricing Model, pp. 1-39. Carr, P., Geman, H., Madan, D.B., & Yor, M. (2002). The Fine Structure of Asset Returns: An Empirical Investigation. Journal of Business, 75, no. 2, pp. 305-332. Tan, S.M. Chapter 9 The Discrete Fourier transform. Linear Systems. The University of Auckland, pp. 1-8. Lagarias, J., Reeds, J., Wright, M., & Wright, P. (1998). Convergence Properties of the Nelder (Mead Simplex Method in Low Dimensions). 9, no. 1, pp. 112-147. Cooley, J. W., & Tukey, J. W. (1964). An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series, pp. 297-301. Gilliam, D.S. Mathematics 5342 Discrete Fourier Transform. Texas Tech University, pp. 1-16. Black, F. and Scholes, M., 1973, “The Pricing of Options and Corporate Liabilities,”Journal of Political Economy 3. Carr, P., & Madan, D. B. (2000). Factor Models for Option Pricing, pp. 2-18. Borak, S., Detlefsen, k., & Hrdle, W. (2005). FFT Based Option Pricing. SFB 649 Economic Risk, pp. 1-18. Brigham, E. O., 1988, The Fast Fourier Transform and Its Applications, Prentice Hall. Applebaum, D. (2005). Lectures on L´evy Processes, Stochastic Calculus and Financial Applications, Ovronnaz September 2005, pp. 1-30. Matsuda, K. (2004). Introduction to Option Pricing with Fourier Transform: Option Pricing with Exponential L´evy Models. Department of Economics The Graduate Center, The City University of New York, pp. 1-241. Le´ on, A., & Serna, G. (2004). Modelos alternativos de valoraci´ on de opciones sobre acciones: una aplicaci´ on al mercado espa˜ nol. Cuadernos Econ´ omicos de ICE N. 69, pp. 33-49. Venegas, F. (2001). Opciones, Cobertura y procesos de Difusi´ on con Saltos: Una Aplicaci´ on a los T´ıtulos de GCARSO. Oxford University, pp. 203-226. Han, Z. (2007). Option Pricing with The Fourier Transform Method, Based on The S tochastic Volatility Model. Computational Engineering Department of Computer Science Friedrich Alexander University of ErlangenNuremberg. Germany, pp. 1-53. Carr, P., Madan, D. B., 1998, “Option Valuation Using the Fast Fourier Transform,”Journal of Computational Finance 2, 61-73. Madan, D. B., Carr, P., and Chang, E., 1998, “The Variance Gamma Process and Option Pricing,”European Finance Review 2, 79-105. Carr, P., & Wu, L. (2004). Time-changed L´evy processes and option pricing. Journal of Financial Economics, 71, pp. 113141. Calvo. (2000). Transformada de Fourier. Matem´ atica 4, pp. 1-13. Fiorani, F. The Variance-Gamma Process for Option Pricing, pp. 1-60.

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa (Journal of Management, Finance and Economics), vol. 6, n´ um. 2 (2011), pp. 34-65.

Valuaci´on de Mercado del seguro de desempleo Fausto Humberto Membrillo Hern´ andez∗ Marco Antonio Ru´ız Olvera ∗∗ Recibido 21 de febrero de 2011. Aceptado 11 de mayo de 2011

Resumen El presente documento de investigaci´ on propone una metodolog´ıa alterna para la valuaci´ on de un seguro de desempleo con cobertura renovable utilizando la metodolog´ıa de credit default swaps dentro del marco te´ orico de los modelos de forma reducida aplicados en el riesgo cr´edito. La metodolog´ia propuesta incorpora una cadena de Markov con intensidad variable acorde al estado de la naturaleza que se est´e modelando. Asimismo, se demuestra que un modelo neutral al riesgo puede ser utilizado en el c´ alculo de una prima justa para este tipo de seguro. Abstract A new aproach is provided for the market valuation of credit insurance that is based on reduced- form methods for the pricing of income securities under default risk. We suggest how a risk neutral valuation model with a Markov chain embeded using interchangeable probabilities to emulate the state of the economy can be applied, both to the calculation of a fair market deposit insurance premium and to the valuation of long-term claims against the insurer. Clasificaci´ on JEL: G12, G14, G23 Palabras clave: Valuaci´ on, Mercados, Seguros, Desempleo

1. Introducci´ on Este documento de investigaci´ on propone una metodolog´ıa alterna para la valuaci´ on de un seguro de desempleo con cobertura renovable, utilizando modelos de forma reducida los cuales, incorporan los m´etodos de valuaci´ on para credit default swaps y cadenas de Markov con intensidad variable. El c´ alculo de la probabilidad del desempleo y del empleo se realizar´ a de forma emp´ırica para determinar el estado de inicio de la cadena de Markov, y para simulaciones de largo plazo las variables macroecon´ omicas m´ as significativas para el comportamiento laboral y el de los ingresos de los asegurados ser´ an propuestas para futuros l´ıneas de investigaci´ on. Por otro lado, para la valuaci´ on de la exposici´ on al riesgo por el pago de dicho seguro se utilizar´ a un modelo ∗ ∗∗

Infonavit, Contralor Interno, [email protected] Instituto Tecnol´ ogico de Estudios Superiores de Monterrey, [email protected]

Valuaci´ on de Mercado del seguro de desempleo

35

de tasas af´ın, el cual permitir´ a correlacionar el valor de las obligaciones de una aseguradora con los ciclos econ´ omicos prevalecientes. El modelo neutral al riesgo propuesto para la valuaci´ on del seguro de desempleo deber´ a ser capaz de dar como resultado una prima justa de mercado que refleje los ciclos econ´ omicos a trav´es del tiempo. Seguro de Desempleo El seguro de desempleo para cr´editos financieros tiene como principal objetivo, otorgar una cobertura temporal de los pagos de peri´ odicos de un cr´edito, que pudieran ser interrumpidos por riesgo de desempleo inesperado por parte del acreditado. El m´ aximo n´ umero de pagos por per´ıodo de cobertura del seguro t´ıpicamente se establece en seis. Los supuestos siguientes son importantes para la administraci´ on del seguro de desempleo. La cobertura puede ser ejercida de manera consecutiva o en diferentes per´ıodos de desempleo ocurridos durante el per´ıodo de protecci´ on. Para cada evento de desempleo ser´ a necesario cumplir el per´ıodo de espera. El cual, generalmente se define como un periodo para verificar que el acreditado haya sufrido un desempleo involuntario. Por otro lado, el seguro otorga a la Instituci´ on Financiera una cobertura, contra el riesgo de que los acreditados desempleados incumplan la obligaci´ on de pago de las amortizaciones mensuales del cr´edito que la Instituci´ on Financiera les otorgo. Como cualquier seguro, es un contrato sin dolo, por lo anterior, cuando termine su relaci´ on laboral de forma voluntaria, cuando antes del otorgamiento del cr´edito, sea del conocimiento del acreditado que se extinguir´ a su relaci´ on laboral como consecuencia de programas de recorte de personal o de retiros anticipados por parte del patr´ on no tendr´ a derecho a la cobertura. Por lo anterior, podemos observar que la aseguradora al momento de otorgar sus seguros por desempleo, esta acrecentando su portafolio de activos y pasivos contingentes de mediano plazo en la misma proporci´ on. Esto debido a que los pasivos contingentes vistos como la cobertura por desempleo, pudieran se ejercidos en cualquier momento dada una situaci´ on de desempleo que afectara a sus asegurados. De la misma forma los activos contingentes significan un flujo de efectivo para la aseguradora que esta dado por la primas pagadas por los asegurados, siendo que dichas primas est´ an condicionadas a la preservaci´ on del empleo por parte de los acreditados. Por otro lado, cuando un asegurado pierde su empleo la compa˜ n´ıa aseguradora deja de percibir las primas de forma temporal y mantiene una salida importante de flujos temporales de efectivo. Por lo antes mencionado podemos apreciar que el riesgo intertemporal al que se enfrenta la aseguradora est´ a compuesto por m´ ultiples facetas, los riesgos financieros medidos por la administraci´ on los activos y los pasivos contingentes los cuales son influidos por la tasa libre de riesgo, la Macro-Econ´ omica dada por el comportamiento del PIB, la tasa de desempleo junto con la del empleo y la actuarial. La u ´ ltima dada por los riesgos de invalidez y mortandad que pudieran intervenir con el pago de la prima o´ el ejercicio de la cobertura. Todo lo anterior, nos obliga a establecer un planteamiento te´ orico que derive en un modelo de valuaci´ on capaz de incorporar, sintetizar y modelar las

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

distintas facetas en las cuales se encuentra inmerso el seguro de desempleo para cr´editos financieros. Para comenzar con dicha tarea en la siguiente secci´ on comenzaremos a hablar de un modelo simplificado del fen´ omeno de estudio. Partiremos de los trabajos previamente realizados en finanzas en materia de las obligaciones contingentes, para posteriormente adicionar el marco te´ orico relacionado con los modelos afines de tasas de inter´es junto con la valuaci´ on de activos o´ pasivos contingentes y por u ´ ltimo estudiaremos la utilidad de modelar la probabilidad de empleo y desempleo con cadenas de Markov para obtener una prima justa que refleje los ciclos econ´ omicos dentro de los cuales se encuentra inmerso el seguro de desempleo para cr´editos financieros. 2. Valuaci´ on de obligaciones contingentes para un solo periodo Con el objetivo de contar con una forma sencilla de obtener una prima justa de mercado para la valuaci´ on del seguro de desempleo se definir´ a un primer modelo b´ asico. Los principales fundamentos para la construcci´ on de un marco neutral al riesgo est´ an basados en la ausencia de fricciones de mercado tales como comisiones u otros costos ligados a este tipo de seguros junto con la ausencia de oportunidades de arbitraje. En la ausencia de dichas fricciones de mercado, existen probabilidades neutrales al riesgo. Dichas probabilidades permiten establecer que la valuaci´ on de un flujo incierto C de una obligaci´ on contingente en un tiempo t, tiene un valor presente igual a valor descontado de su flujo esperado. z(t)E ∗ (C). Donde z(t) es el factor de descuento en t y E ∗ denota la esperanza bajo probabilidades neutrales al riesgo. El enfoque general de la valuaci´ on de obligaciones contingentes fue planteado inicialmente por Cox y Ross (1976) y Harrison y Kreps (1979). Para periodos independientes de tiempo la existencia de las probabilidades neutrales al riesgo es mostrada por Dalang et al. (1990). Por simplicidad tomamos los periodos independientes de corto plazo t (mensuales por ejemplo) y que los pagos de la aseguradora son al final de estos mismos periodos. La exposici´ on al riesgo por el pago del seguro es C. Donde q(t) = E ∗ () es la probabilidad neutral al riesgo de desempleo (Es decir, que est´ a empleado en t − 1 y paga en t el siniestro por desempleo). Por lo anterior, la prima justa para este tipo de seguro en el modelo simplificado ser´ıa la siguiente: P = q(t)z(t)(1). Con q(t) se refleja la prima de riesgo que los accionistas de una aseguradora demandar´ıan por asumir el riesgo del pago del seguro de desempleo y p´erdidas potenciales dado el desempleo. La incertidumbre del tiempo en el cual se da el pago del seguro tiene una prima de riesgo positiva dado que las condiciones macroecon´ omicas tienen una correlaci´ on positiva con el desempleo. Con la finalidad de ampliar el modelo anterior definiremos el marco te´ orico de los procesos afines en el mundo de las finanzas y se establecer´ a una definici´ on

Valuaci´ on de Mercado del seguro de desempleo

37

general de los mismos, que nos sirva para la modelaci´ on de las tasas de inter´es y las condiciones macroecon´ omicas a trav´es del tiempo. Sea (Ω, Ft , F, P) un espacio de probabilidad. La teor´ıa para la valuaci´ on de activos nos dice que en un tiempo t el valor de un activo (pasivo) contingente V (t) cuyo pago ser´ a recibido en T > t con una funci´ on G(XT ) de un proceso subyacente del precio, est´ a dada por la esperanza condicional. V (t) = B(t)E QB [B(t)−1 G(XT )|Ft ]

2

Donde B(t) es la numeraria utilizada para calcular el valor presente, QB es la medida de probabilidad asociada con la numeraria y E QB [ ] es la esperanza bajo la medida de probabilidad. El mayor problema con esta l´ınea de razonamiento es el c´ alculo de la esperanza. Ahondando en los componentes de este marco te´ orico podemos decir lo siguiente: ∗ B(t) Son los precios de los bonos cup´ on cero libres de riesgo asociados con la tasa libre de riesgo R(t, Xt ), tal que R esta es considerada una funci´ on af´ın de X(t); ∗ X(t) es un proceso af´ın con saltos bajo la medida de probabilidad QB ≡ Q ∗La funci´ on de pago G del activo (pasivo) contingente es de la forma G(Xt ) = (υ0 + υ1 )eµXt donde υ0 es un escalar (real o´ complejo), υ1 y µ son vectores columna n-dimensionales (reales o´ complejos). El valor del activo (pasivo) contingente puede ser expresado como:  RT  − R(s,Xs ) ds Q µ·X T V (t) = E e t (υ0 + υ1 ) e | Ft 3 3. Modelo Te´ orico de forma reducida para la valuaci´ on del Seguro de Desempleo Tomando en consideraci´ on el paradigma de Harrison y Pliska (1981), se determina un espacio de probabilidad con su filtraci´ on correspondiente. Tomando en consideraci´ on un proceso de tasa de corto plazo, se asume que se puede invertir un peso en un instrumento libre de riesgo en un cierto tiempo s y reinvertir RT r(u)du sus pagos de inter´es para tener un valor de mercado de e t pesos en un tiempo futuro t. Asumiendo mercados sin fricciones y libres de arbitraje, las probabilidades neutrales al riesgo pueden seleccionarse de manera que mantengan una propiedad fundamental, la cual, nos dice que todas la obligaciones con un pago variable tiempo t, tienen un valor de mercado en s menor a t igual a  R TY en un  r(u)du Es ∗ e t Y donde Es ∗ denota la esperanza condicional en el tiempo s dada toda la informaci´ on del mercado relacionada a las probabilidades neutrales al riesgo.

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

Suponiendo la existencia de una aseguradora que administra el seguro de desempleo con cobertura renovable que quisiera saber, cu´ al ser´ıa la prima justa que debiera cobrar por este nuevo seguro, esta podr´ıa tener en cuenta el siguiente marco te´ orico. Se asume un proceso de estados multidimensional X que determinan las tasas de inter´es, las intensidades neutrales al riesgo y el cambio en los niveles del PIB. Se asume que bajo las probabilidades neutrales al riesgo que X es un proceso af´ın. Lo anterior implica que el logaritmo de la funci´ on caracter´ıstica de X(t) dado X(s) es af´ın, con respecto de X(s) (e.g., Duffie et al., 2000). Por otro lado, cada una de las componentes del proceso af´ın est´ a definida de la siguiente manera: Sea X(t) ∈ D ⊂ R un proceso af´ın, el cual, es un proceso de Markov que se sigue la siguiente din´ amica. dXt = µ(Xt )dt + σ(Xt )dWt

4

∗El vector de tendencia µ(Xt ) : D → Rn es una funci´ on af´ın de X; T ∗La matriz de covarianza σ(Xt )σ (Xt ) es una funci´ on af´ın de X; ∗ Wt Es un movimiento browniano (Ft ) n-dimensional; Los procesos afines, son procesos cuya tendencia, matriz de varianza-covarianza y saltos (en su caso) son afines. Ejemplos de procesos afines de una dimensi´ on incluyen: ∗El proceso de Ornstein-Ulhenbeck (Vacisek): dXt = κ(x − Xt )dt + σdW(t) ∗El proceso de Feller (Cox Ingersoll-Ross): p dXt = κ(x − Xt )dt + σ (Xt )dW(t)

5

6

∗El proceso definido como el logaritmo de un Movimiento Geom´etrico Browniano, donde se considera que la ecuaci´ on diferencial estoc´ astica de S(t) es: dSt = µSt dt + σSt dWt

7

El proceso Y (t) = ln(St ) se considera como un proceso af´ın con una ecuaci´ on diferencial estoc´ astica:   1 2 dYt = µ − σ dt + σdWt 8 2 A la cual, se le agrega un proceso de saltos como se muestra en el siguiente caso. Con la finalidad de ampliar la introducci´ on de los modelos afines consideraremos lo siguiente, sea X(t) ∈ D ⊂ Rn un proceso af´ın, el cual, es un proceso de Markov que se sigue la siguiente din´ amica. dXt = µ(Xt )dt + σ(Xt )dWt + dZt

9

Valuaci´ on de Mercado del seguro de desempleo

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∗El vector de tendencia µ(Xt ) : D → Rn es una funci´ on af´ın de X; T ∗La matriz de covarianza σ(Xt )σ (Xt ) es una funci´ on af´ın de X; ∗Wt Es un movimiento browniano (Ft ) n-dimensional; ∗Zt Es un proceso de saltos, tal que este tiene asignado una distribuci´ on probabilidad υ en Rn una intensidad {(λX(t)) : t ≥ 0} para alguna funci´ on af´ın λ : D → [0, ∞]. El primer esfuerzo formal para utilizar los procesos afines en la teor´ıa de valuaci´ on de activos (APT) fue realizado por Duffie y Kan (1996), estos mostraron que si la tasa libre de riesgo de corto plazo r(t) es una funci´ on af´ın de un proceso de estados que tiene una difusi´ on af´ın con saltos X(t), rt = ρ0 + ρ1 Xt

10

Entonces el valor de un bono cup´ on cero en el tiempo t cuyo plazo de vencimiento est´ a dado por T es V (t),  RT  − ρ0 +ρ1 ·Xs ds Q t V (t) = E e | Ft = eα(t)+β(t)·X(t) 11 Donde α(t) y β(t) resuelven las ecuaciones diferenciales ordinarias. 4. Modelaci´ on de las Probabilidades de Incumplimiento y los Ciclos Econ´ omicos Con la finalidad de modelar en el largo plazo las probabilidades de Desempleo y Recuperaci´ on del Empleo como funciones afines discretas que sean congruentes con el proceso af´ın de la tasa de corto plazo y que sean capaces de modelar los ciclos econ´ omicos, proponemos inicialmente un modelo basado en una cadena de Markov de cuatro estados. El modelo propuesto intenta modelar de forma emp´ırica el comportamiento de las probabilidades de desempleo, recuperaci´ on del empleo, con econom´ıa en crecimiento y probabilidades de desempleo, recuperaci´ on del empleo, con econom´ıa en recesi´ on. Utilizando un modelo econom´etrico en el cual, las probabilidades dependen de una cadena de Markov de cuatro estados. Los estados impl´ıcitos corresponden a una desaceleraci´ on econ´ omica en la cual, la probabilidad de desempleo es alta y la tasa de recuperaci´ on es baja y a un crecimiento econ´ omico en el cual, lo inverso se cumple. Por lo anterior, podemos interpretar la cadena de Markov para un periodo como un ciclo econ´ omico. Para cada periodo, el estado de empleo-desempleo condicionado a los estados de crecimiento y recesi´on de la econom´ıa es determinado por la evoluci´ on de la cadena de Markov de cuatro estados. Esto significa que la din´ amica del empleo dado el ciclo econ´ omico es parametrizado utilizando probabilidades de transici´ on, es decir, impl´ıcitamente la econom´ıa puede estar en el estado creciente o´ en estado decreciente. Para las proyecciones de largo plazo, la forma funcional de la probabilidad de desempleo y de reempleo es descrita a continuaci´ on. La forma funcional de la probabilidad ser´ a condicional al estado inicial de la econom´ıa y estar´ a definida por una intensidad (hazard rate) discreta. Esta forma funcional servir´ a para establecer la matriz inicial de forma que este calibrada al estado actual de la econom´ıa y sirva como estado inicial a la matriz de transici´ on.

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En particular para realizar el c´ alculo en tiempo discreto del valor total de mercado de las obligaciones por el pago por los siniestros de la aseguradora y de la prima justa de mercado cobrada a los beneficiarios del seguro en periodos de tiempo independientes [0, T ] se puede construir una cadena de Markov de la siguiente manera: Como primer paso se revisan las propiedades que debe cumplir un proceso estoc´ astico para ser una Cadena de Markov de tiempo continuo. ∗Los estados deben formar un conjunto numerable (En caso contrario podemos tener un proceso de Markov). ∗Si X(t) es el evento {En el instante t el sistema se encuentra en estado i} se debe cumplir: P {X(tn ) = i|X(t1 ) = j, X(t2 ) = k, ...} = P (X(tn ) = i|X(t1 ) = j)

12

Para cualquier tn > t1 > t2 > t3 ... Las probabilidades de transici´ on se definen de la siguiente manera: pij (s, t) = P {X(t) = j|X(s) = i}

13

Definamos los posibles estados de la econom´ıa en cada periodo de la cadena de Markov: n Ec econom´ıa buena Ec∗ econom´ıa mala E ∗ = {Ec, Ec∗} Ahora definiremos las probabilidades de transici´ on asociadas a los estados: Las probabilidades de transici´ on para el cambio de estado de la econom´ıa se muestran abajo:   1−p p . q 1−q Las probabilidades antes mencionadas ser´ an calibradas inicialmente con los hist´ oricos de la econom´ıa en recesi´ on. Es decir, si se tienen dos trimestres consecutivos o m´ as con resultados negativos en el PIB, se podr´ a decir que la econom´ıa habr´ a pasado de buena a una econom´ıa mala. Por otro lado si se tiene un trimestre con resultados positivos despu´es de uno negativo, se podr´ a decir que la econom´ıa habr´ a pasado de mala a una econom´ıa buena. Por todo lo antes mencionado, podemos definir las probabilidades de transici´ on condicionadas a los estados de la econom´ıa de la siguiente forma: PEcEc = P (Xn+1 = Ec | Xn = Ec) = 1 − p PEcEc∗ = P (Xn+1 = Ec∗ | Xn = Ec) = p PEc∗ Ec = P (Xn+1 = Ec | Xn = Ec∗ ) = q PEc∗ Ec∗ = P (Xn+1 = Ec∗ | Xn = Ec∗ ) = 1 − q

Valuaci´ on de Mercado del seguro de desempleo

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Por otro lado, comenzaremos definiendo los posibles estados del empleo dependientes de la econom´ıa en cada periodo de la cadena de Markov:  e empleado econom´ıa buena   d dempleado econom´ıa buena ∗   e ∗ empleado econom´ıa mala d desempleado econom´ıa mala E = {e, d, e∗, d∗}

Es importante mencionar que la econom´ıa es el primer factor ex´ ogeno (Macro) que afecta nuestro modelo y por lo tanto nuestra definici´ on de las probabilidades de transici´ on de empleo y desempleo. Es decir, el estado actual de la econom´ıa determinar´ a el nivel de empleo, desempleo y su recuperaci´ on observada para el siguiente trimestre o´ semestre a partir de la fecha de su medici´ on, dependiendo del sector de la econom´ıa. Dicho de otra manera, los estados de la econom´ıa y su transici´ on determinan las probabilidades de empleo, desempleo y su recuperaci´ on para los periodos inmediatos de tiempo. Por ejemplo cuando la econom´ıa tuviera un buen desempe˜ no los niveles de empleo aumentar´ıan y los niveles de desempleo disminuir´ an por lo tanto las probabilidades correspondientes ser´ an distintas al caso donde la econom´ıa tuviera un mal desempe˜ no. Por todo lo antes mencionado, podemos definir las probabilidades de transici´ on condicionadas a los estados de la econom´ıa de la siguiente forma: Pee = P (Xn+1 = e|Xn = e, Ec) = 1 − λ Ped = P (Xn+1 = d|Xn = e, Ec) = λ Pee∗ = P (Xn+1 = e∗ |Xn = e, Ec) = 1 − λ Ped∗ = P (Xn+1 = d∗|Xn = e, Ec) = λ Pdd = P (Xn+1 = d|Xn = d, Ec) = ω Pde = P (Xn+1 = e|Xn = d, Ec) = 1 − ω Pdd∗ = P (Xn+1 = d∗|Xn = d, Ec) = ω Pde∗ = P (Xn+1 = e∗ |Xn = d, Ec) = 1 − ω Pe∗ e = P (Xn+1 = e|Xn = e∗ , Ec∗) = 1 − λ∗ Pe∗ d = P (Xn+1 = d|Xn = e∗ , Ec∗) = λ∗ Pe∗ e∗ = P (Xn+1 = e∗ |Xn = e∗ , Ec∗ ) = 1 − λ∗ Pe∗ d∗ = P (Xn+1 = d∗|Xn = e∗ , Ec∗) = λ∗ Pd∗ d = P (Xn+1 = d|Xn = d∗ , Ec∗) = ω∗ Pd∗ e = P (Xn+1 = e|Xn = d∗ , Ec∗ ) = 1 − ω∗

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Pd∗ d∗ = P (Xn+1 = d∗|Xn = d∗ , Ec∗ ) = ω∗ Pd∗ e∗ = P (Xn+1 = e∗ |Xn = d∗, Ec∗ ) = 1 − ω∗ Ahora definiremos las matrices asociadas a los estados de la econom´ıa: Transici´ on de Estado Econom´ıa Buena a Econom´ıa Mala     1−λ −λ 1 − λ∗ −λ∗ ω 1−ω ω∗ 1 − ω∗ Econom´ıa Buena = Ec Empleado en econom´ıa buena = e Desempleado en econom´ıa buena = d Periodo Inicial

Econom´ıa Mala = Ec∗ Empleado en econom´ıa mala = e∗ Desempleado en econom´ıa mala = d∗ Periodo Siguiente

En econom´ıa buena como estado inicial definiremos la matriz de transici´ on para el empleo, desempleo y la recuperaci´ on del mismo como se muestra abajo:   1−λ −λ ω 1−ω En econom´ıa mala como estado inicial definiremos la matriz de transici´ on para el empleo, desempleo y la recuperaci´ on del mismo como se muestra abajo:   1 − λ∗ −λ∗ ω∗ 1 − ω∗ Adem´ as la econom´ıa y su desempe˜ no es una variable aleatoria independiente del comportamiento y din´ amica del empleo, el desempleo y su recuperaci´ on. Sin embargo, no obstante su independencia sus efectos en el mercado laboral son inminentes. Por lo tanto, al tener dos variables aleatorias independiente podemos incorporar sus efectos al modelo, utilizando una matriz de transici´ on que incorpore todos los estados de la econom´ıa a trav´es de sus probabilidades correspondientes y todos los estados de la din´ amica laboral con sus probabilidades condicionales al estado econ´ omico actual. Por lo anterior, podr´ıamos definir la matriz de transici´ on del empleo, desempleo y la recuperaci´ on del mismo condicionado a todos los posibles estados de la econom´ıa de la siguiente forma:

E. Buena E. M ala

E. Buena   1−λ λ (1 − p) ω 1−ω  1 − λ∗ λ∗ (q) ∗ ω 1 − ω∗

E. M ala 

 1−λ λ (p) ω 1 − ω  1 − λ∗ λ∗ (1 − q) ∗ ω 1 − ω∗

Valuaci´ on de Mercado del seguro de desempleo

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Para el corto plazo las probabilidades podr´ an ser calculadas de forma emp´ırica para el caso particular de estudio. Por otro lado, para proyecciones de largo plazo las probabilidades antes mencionadas ser´ an calibradas inicialmente con los hist´ oricos de la tasa de desempleo, recuperaci´ on del empleo, Cetes 28 d´ıas y la Tasa de crecimiento mensual de PIB.   14 λ (t) = 1 + exp (γ0 + γ1 rt + γ2 P IBt )−1   −1 λ∗ (t) = 1 + exp (γ0 + γ1 rt∗ + γ2 P IBt∗ ) Donde rt es la tasa libre de riesgo (Cetes) y P IBt representa la tasa de crecimiento del PIB en econom´ıa buena. Por otro lado, rt∗ es la tasa libre de riesgo estresada 2σ (Cetes) y P IBt∗ representa la tasa de crecimiento estresada (−)2σ del PIB en econom´ıa mala. La determinaci´ on de los par´ ametros se realizara aplicando una regresi´ on log´ıstica. Lo mismo aplicar´ıa para la probabilidad de recuperaci´ on del empleo.   −1 ω (t) = 1 + exp (ν0 + ν1 rt + γ2 P IBt ) 15   −1 ω∗ (t) = 1 + exp (ν0 + ν1 rt∗ + γ2 P IBt∗ ) Adem´ as el marco te´ orico anterior permite modelar los saltos en el proceso af´ın de estados. Por otro lado, podemos decir que para el largo plazo, tanto en el modelo de tasas rt = R(x), el modelo de las intensidades de desempleo λt y de regreso al empleo ωt∗ tienen un proceso af´ın subyacente. En consecuencia existe una correlaci´ on impl´ıcita entre el pago del seguro de desempleo y la estructura de tasas de inter´es dada por el ciclo econ´ omico. Finalmente, si definimos a Ps como el pago de la prima del seguro de desempleo en el tiempo t, y Vt como el pago del seguro de desempleo cuyo modelo del comportamiento te´ orico del pago del seguro estar´ıa dado por Vt = e(d(X(t)) donde d() es af´ın. Esto permite que haya dependencia del modelo del pago con respecto a las tasas de inter´es y al riesgo del nivel de desempleo observado.

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El modelo de los arribos de las intensidades es doblemente estoc´ astico, cuya trayectoria es definida por X , como es establecido por Karr (1991). Lo anterior significa que condicional a la trayectoria del proceso de estados X, el desempleo y el regreso al empleo ocurren con la primera llegada del proceso Binomial con intensidades cambiantes acorde a los estados de la naturaleza λt y ωt (cadena de Markov con intensidades variables). En particular, condicional R t

−

λ∗ (µ)du

a las trayectorias de X, la probabilidad del riesgo de supervivencia e 0 t Rt ∗ − ω (µ)du para el no desempleo y para el no regreso al empleo e 0 t en el tiempo t. 5. Valuaci´ on de obligaciones contingentes utilizando una cadena de Markov con intensidad variable

El Modelo Un modelo de Markov Switching supone la existencia de dos (o m´ as) estados y adem´ as asume que el estado no es directamente observable. El patr´ on observado de realizaciones de la variable de la serie de tiempo es impulsado por el cambio en las distribuciones o estados subyacentes. Estos interruptores entre los estados evolucionan como un proceso en primer orden de Markov. En nuestra versi´ on espec´ıfica del modelo m´ as general, hay dos estados impl´ıcitos de la econom´ıa: uno estado normal y un estado inestable. Las variables que se ponen en marcha por la variable de estado son el cambio en la tasa de inter´es y el PIB. La realizaci´ on de estas variables es una funci´ on del estado-dependiente de la media y la varianza. Los estados no son observables directamente, por lo que para cada observaci´ on hay un estimado de probabilidad de estar en un estado determinado. El modelo Markov Switching tambi´en calcula las probabilidades de transici´ on y la distribuci´ on dentro de los dos estados. La trayectoria esperada de una probabilidad de transici´ on estimada, se esperar´ıa que a medida que evoluciona a trav´es del tiempo y describe la relaci´ on entre el detonador de cambio de un estado a otro y sus probabilidades de transici´ on asociadas, permanezca variando a trav´es del tiempo. El modelo Markov Switching asume que los datos se derivan de m´ as de un mecanismo generador o de distribuci´ on. Sin embargo, a pesar de algunas investigaciones previas como la de Donaldson (1992) el cual, encuentra resultados que sugieren cambios en la generaci´ on del mecanismo, por otro lado, la de Calomiris y Gorton (1991) que encuentran que las principales variables se comportaron de una manera que fue consistente a trav´es de per´ıodos de inestabilidad y de estabilidad. Se propone utilizar los datos de mercado dentro de la configuraci´ on del modelo de Markov Switching, primero, para determinar los puntos de inicio y finalizaci´ on de los per´ıodos de inestabilidad y luego parametrizar las probabilidades de transici´ on para tener estimaciones sobre sucesos desencadenantes. El primer paso, es examinar los datos de los per´ıodos de inestabilidad para posteriormente aplicar probabilidades de transici´ on constantes. Por lo anterior, la matriz de transici´ on tomando dado el estado de la econom´ıa para un periodo est´ a dada por:

Valuaci´ on de Mercado del seguro de desempleo

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16 Para nuestro caso en particular, la cadena de Markov con intensidad intercambiable podr´ıa definirse como sigue:

17 Donde M contiene las intensidades de desempleo y regreso al empleo, V (t) es el valor de mercado de los pagos por siniestros del seguro de desempleo, considerando una econom´ıa buena y a los integrantes grupo de acreditados con empleo. Esto es,

18 Y ρ el valor de mercado de las primas recibidas dado el nivel de empleo en el tiempo t, considerando una econom´ıa buena. Tal que,

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19

Derivado del supuesto principal de nuestra valuaci´ on tenemos que, el valor presente del valor esperado del de las obligaciones deber´ a ser igual al valor presente del valor esperado de las primas cobradas, podemos afirmar que se cumple la ecuaci´ on (19). Por lo tanto, la prima justa anualizada del seguro de desempleo con cobertura renovable para un solo periodo es:

20

Si quisi´eramos calcular la ecuaci´ on (20) para cada peso cubierto esta de ver´ıa de la siguiente forma:

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21 Por lo tanto, para el largo plazo obtenemos como resultado una prima justa de mercado que refleja los ciclos econ´ omicos a trav´es del tiempo. Y para el corto plazo (un ciclo econ´ omico) la ecuaci´ on (19) nos dar´ıa la prima justa por ese periodo por cada peso asegurado. An´ alisis Econom´ etrico para el mediano y largo plazo Antes de utilizar las series de tiempo del PIB, de los cetes y de correr cualquier tipo de regresi´ on para nuestro modelo, realizaremos las pruebas de ra´ıces unitarias (contrastes) para las variables de inter´es: Prueba de Dicky - Fuller Aumentada y prueba de Phillips - Perr´ on. No se puede realizar la regresi´ on si no conocemos si la serie es estacionaria o no. Se dice que una serie es estacionaria, si la media y las auto-covarianzas de las series no dependen del tiempo. La evidencia emp´ırica muestra que la mayor´ıa de las series macroecon´ omicas no son estacionarias t´ıpicamente en sus niveles (series de tiempo originales), indicado por una alta correlaci´ on serial entre las observaciones sucesivas. Esto implica que la t cl´ asica y las pruebas F no son adecuadas y llevar´ an a conclusiones err´ oneas. Se espera obtener variables dependientes e independientes que est´en integradas del mismo orden. No se puede realizar la regresi´ on combinando ra´ıces de distinto orden para cada variable. Lo anterior nos ayudara a determinar si las series de tiempo utilizadas son las adecuadas para nuestro modelo en t´erminos de las correlaciones impl´ıcitas existentes entre el desempleo, el PIB y las tasas libres de riesgo (Cetes). Si la variable no es estacionaria, debemos saber el n´ umero de diferenciaciones que debemos hacer para volver la serie estacionaria. Por lo tanto, el concepto de estacionalidad es clave para todo el an´ alisis posterior. Para saber si existe estacionalidad se necesita conocer el grado de integraci´ on de cada una de las variables. El grado de integraci´ on se denota como I(d), indicando el n´ umero de ra´ıces unitarias que tiene la serie analizada hasta volverla estacionaria.

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De modo que si la serie es estacionaria se denota como I(0), pero si tiene una ra´ız unitaria se denota como I(1). Si tiene n ra´ıces unitarias, se denotar´ a como I(n). Las diferencias entre I(0) y I(1) seg´ un Suri˜ nach, Artis, etc. (1995) se describen a continuaci´ on. Un proceso I(0) se caracteriza por tener: * Una media constante y una tendencia de la serie a volver a esta media cuando se ha desviado de ella, es decir fluct´ ua alrededor de la media. * Una funci´ on de auto correlaci´ on simple que decrece r´ apidamente cuando aumentan los rezagos. * Varianza finita e independiente del tiempo. Un proceso I(1) se caracteriza por tener las siguientes caracter´ısticas: ∗El tener un comportamiento divagante, en el sentido que no se mantiene sobre un valor medio a lo largo de su historia. ∗Las auto correlaciones tienden a 1 para cualquier rezago. ∗La varianza depende del tiempo y tiende al infinito cuando este tiende al infinito. Para conocer el grado de integraci´ on usamos dos pruebas: la DF(A) y la prueba de Phillips - Perr´ on. La primera prueba (DFA, como se abrevia, considera uno o m´ as de un rezago) sirve para probar la estacionalidad de una serie, es decir, es la prueba de ra´ız unitaria. La prueba Phillips Perr´ on (PP) realiza lo mismo pero propone un m´etodo no param´etrico para controlar las correlaciones seriales de ordenes m´ as altos en las series. Se puede afirmar que esta prueba sirve para averiguar las ra´ıces unitarias que posee la variable para estacionalizarlo. La diferencia entre la prueba DFA y la PP es que mientras la ADF corrige la correlaci´ on serial de alto orden al a˜ nadir t´erminos rezagados en diferencia por el lado derecho de la ecuaci´ on, la prueba PP hace una correcci´ on para representar la correlaci´ on serial en el t´ermino error (). Para la prueba Dicky - Fuller se incluye una prueba con constante y otra sin constante. Para la prueba a niveles en DF se us´ o 0 rezagos. Para la DFA se usa un rezago o m´ as rezagos. Lo mismo se aplic´ o para las pruebas en primeras diferencias. En la prueba de ra´ız unitaria Phillips Para los niveles se us´ o 0 rezagos. Para la primera diferencia se usa 1 o m´ as rezagos, dependiendo si la series es mensual, trimestral, semestral o anual (4 rezagos en este estudio, por ser trimestral los datos). Debido a que las series econ´ omicas, en su mayor parte no son I(0), es necesario estacionalizarlos, sacando diferencias (en nuestro caso, primeras y segundas). Esto se puede relacionar con lo que se conoce como co-integraci´ on. Este concepto se basa en la idea que, aunque las series econ´ omicas muestran un comportamiento tendencioso (implicando no estacionalidad), una combinaci´ on lineal adecuada entre variables tendenciosos deber´ıa quitar el componente de tendencia y de aqu´ı las series estar´ıan co-integradas. La co-integraci´ on es relevante al problema de determinaci´ on de las relaciones econ´ omicas de equilibrio o de largo plazo. La importancia de la cointegraci´ on posa en que nos permite describir la existencia de relaciones de equilibrio entre dos o m´ as series de tiempo, los cuales no son estacionarios individualmente.

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La existencia de una relaci´ on a largo plazo entre las variables puede ser probada. La investigaci´ on sobre pruebas de co-integraci´ on pueden ser desarrolladas en dos direcciones principales: pruebas basadas en los residuales desde una regresi´ on de co-integraci´ on (Engle-Granger) y usando un vector de cointegraci´ on (Johansen). Cuando se usan diferencias, se pierde informaci´ on a largo plazo que presentan las series en niveles (las originales), y permanece solo informaci´ on a corto plazo. Para corregir esto y volver a obtener estimadores a largo plazo se acostumbra usar el Mecanismo de Correcci´ on de Errores (MCE). Este m´etodo fue demostrado como un buen estimador para los M´ınimos Cuadrados Ordinarios por Engle y Granger en 1987 y consisten en introducir los residuos de la regresi´ on est´ atica retardada un periodo en el MCE. Esto corrige la p´erdida de informaci´ on a largo plazo. En este trabajo solo analizaremos la informaci´ on a corto plazo. Cuando se quiere hacer pron´ osticos de tendencia, entonces se usa el MCE. Empezamos el an´ alisis econom´etrico como la de Box - Pierce, estableciendo que estos conceptos y t´ecnicas, a lo largo del tiempo y conforme avanza el conocimiento, han tenido ciertas cr´ıticas y sugerencias de c´ omo tratar a las variables. En estos an´ alisis que realizaremos nos basamos en la metodolog´ıa est´ andar que se sigue actualmente en la literatura econom´etrica. Prueba BOX-PIERCE (Conjunta) Las gr´ aficas de qq de normalidad sugieren que las colas de las distribuciones de las tasas de crecimiento del PIB y de los Cetes son m´ as gordas que las de la distribuci´ on normal.

Esta prueba sirve para ver si todos los coeficientes de auto-correlaci´ on (los AC al correr el correlograma en primer nivel) son simult´ aneamente iguales a cero. Para hacerlo usamos el estad´ıstico Q desarrollado por Box y Pierce y est´ a definido como:

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Q=n

X

m k = 1(AC)2

22

Tabla 1.

Los resultados indican que para el caso de los Cetes el ruido blanco no puede ser descartado, sin embargo para el caso del PIB no es tan claro. Prueba de Dicky Fuller (DF) - Aumentada (DFA) Cuando se supone que existe el problema de ra´ız unitaria en alguna variable, estamos entendiendo una situaci´ on de no estacionalidad. En econometr´ıa, una serie de tiempo que tiene una ra´ız unitaria se conoce como una caminata aleatoria y no es estacionario. La prueba DFA muestra el grado de integraci´ on para cada una de las variables. Las pruebas de ra´ız unitaria son realizadas por niveles, en primeras y segundas diferencias. Esta prueba supone un H0 (hip´ otesis nula) como paseo aleatorio y un proceso auto regresivo de orden 1, AR(1) estacionario; como hip´ otesis alternativo. En 1981, la prueba DF es ampliado para el caso en que el proceso siga un esquema AR(p) estacionario como hip´ otesis alternativo. Esta generalizaci´ on es lo que se conoce hoy como DFA. Si una serie de tiempo ha sido diferenciado una vez y la serie diferenciada resulta ser estacionaria, se dice que la serie original es integrada de orden 1. Si lo diferenciamos 2 veces (sacar diferencia a la primera diferencia) para hacerla estacionaria se dice que la serie original es de orden 2. Antes de hacer esta prueba, debemos especificar el n´ umero de rezagos adecuados.

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(Tabla 2.)

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(Tabla 2.1)

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Prueba de Phillips Perron (PP) Esta prueba sirve para confirmar la estacionalidad de todas las variables involucradas en el modelo, por lo tanto es otro contraste, es decir una prueba alternativa de la prueba Dicky Fuller Aumentada. No se hizo para las segundas diferencias porque desde las primeras diferencias se muestra estacionalidad. (Tabla 3)

(Tabla 3.1)

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Podemos concluir que se requieren m´ as pruebas para poder afirmar que todas las variables que son par´ ametros del modelo del seguro de desempleo son I(1). Al parecer las variables no son del mismo orden de integraci´ on. Por lo tanto, si se requiere realizar las regresiones para determinar si las series de tiempo que son utilizadas son las adecuadas para nuestro modelo en t´erminos de las correlaciones impl´ıcitas existentes entre el desempleo, el PIB y las tasas libres de riesgo (Cetes) se deber´ an tomar en cuenta los resultados observados para las series analizadas. Los resultados observados hasta ahora nos obligan a realizar un an´ alisis m´ as profundo con miras a realizar proyecciones de mediano y largo plazo para realizar una valuaci´ on de mercado. En teor´ıa las propiedades afines del modelo deber´ an funcionar podr´ an ser validadas en el corto plazo. En la siguiente parte de nuestro trabajo de investigaci´ on se muestra la aplicaci´ on pr´ actica del modelo utilizando una cadena de Markov, junto con la estimaci´ on de sus par´ ametros para el corto plazo.

6. Estimaci´ on de Par´ ametros e Implementaci´ on del Modelo del Seguro de Desempleo para Cr´ editos Hipotecarios

6.1 Estimaci´ on de Par´ ametros

Vasicek Se tomaron observaciones de los u ´ ltimos 20 a˜ nos del cete a 28 d´ıas, aplicando a las mismas el m´etodo de m´ axima verosimilitud para ajustar los par´ ametros del modelo. Dando como resultado:

(Tabla 3.1)

dr = 0.59[0.13 − r(t)] + 0.20dB ∗

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Valuaci´ on de Mercado del seguro de desempleo

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Tasas de Recuperaci´ on del Empleo y Desempleo para acreditados de Instituciones Financieras

Para una valuaci´ on de corto plazo (seguro a un a˜ no), es decir de un ciclo econ´ omico, bastar´ a con tomar las probabilidades emp´ıricas en la matriz inicial. Por otro lado, si se realiza el c´ alculo por cada peso asegurado, podremos omitir los saldos asegurados actuales. Tomando en consideraci´ on el n´ umero de cr´editos y su monto originados en el a˜ no 2007 y 2008, y sabiendo que estos cuentan con un seguro de pago de cr´editos proporcionado por una aseguradora especializada en el ramo que cubre el pago de seis mensualidades en caso de p´erdida del empleo. El n´ umero de siniestros registrados en un periodo normal de nuestra econom´ıa (enero 2007 a Julio 2010) es utilizado para obtener la primera estimaci´ on de la tasa de desempleo entre las personas que tienen un cr´edito con un banco y que tendr´ıan derecho a ejercer su cobertura dado que perdieron de manera involuntaria su relaci´ on laboral, esta es del 2.9%. En un periodo de crisis (2008) la p´erdida involuntaria del empleo ha sido de 4.5%. La tasa de recuperaci´ on del empleo en un periodo normal de nuestra econom´ıa es obtenida del n´ umero de personas que recuperan su empleo y vuelven a pagar su cr´edito registrados en las bases de datos de la Instituci´ on Financiera para el 2009 siendo esta del 7.05%. En un periodo de crisis (2008) la recuperaci´ on del empleo ha sido de 3.5 %. 

1−λ ω



1 − λ∗ ω∗



=

−λ∗ 1 − ω∗



−λ 1−ω



97.1% 2.9% 7.05% 92.95%

=





95.5% 4.5% 3.5% 96.5%

en econom´ıa buena



en econom´ıa mala

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(Tabla 5.)

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(Tabla 6.) Comportamiento histrico de la economa y sus probabilidades de cambio de estado

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Para la determinaci´ on inicial de las probabilidades de transici´ on de la econom´ıa se usaron datos anuales de la tasa de crecimiento para poder observar el efecto c´ıclico de la econom´ıa. Por lo anterior, las probabilidades de cambio de estado de la econom´ıa se definir´ıan como sigue: 

1−p q

p 1−q



=



82% 18% 12% 88%



Estad´ısticas Originaci´ on y P´ erdida y Recuperaci´ on del Empleo de la Cartera El cuadro inferior nos muestra los efectos de la p´erdida y recuperaci´ on del empleo de una cartera hipotecaria. De lo observado podemos intuir la importancia para la aseguradora al momento de realizar el c´ alculo de su prima ya que el n´ umero de acreditados var´ıa a trav´es del tiempo en magnitudes considerables.

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Tabla 7.

Matriz de Transici´ on para la cadena de Markov del modelo La matriz de transici´ on obtenida cumple con las caracter´ısticas requeridas para ser aplicada en una cadena de Markov finita y estable. Lo anterior se muestra en la siguiente gr´ afica, donde puede apreciarse que la misma tiende a estabilizarse con el paso del tiempo.

Es decir las migraciones entre empleo y desempleo bajo los distintos estados de la econom´ıa tienden a estabilizarse en el largo plazo como lo muestra la siguiente gr´ afica.

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Trayectorias de Migraci´ on Laboral

6.2 Implementaci´ on del Modelo del Seguro de Desempleo para Cr´ editos Financieros Esta secci´ on muestra una implementaci´ on emp´ırica del modelo para la valuaci´ on del seguro de desempleo para el caso de los cr´editos hipotecarios utilizando el m´etodo de cadenas de Markov con intensidad variable acorde al estado de la naturaleza que se est´e modelando. En el modelo las probabilidades son construidas de forma emp´ırica para el estado inicial. La valuaci´ on de la prima justa se realizar´ a por cada peso de la cobertura asegurada. Modelo Af´ın de Tasas El modelo af´ın de estados impl´ıcito X est´ a definido como X(t) = (r(t), P IB(t)) donde r(t) es la tasa de inter´es de corto plazo y P IB(t) es una medida del crecimiento del PIB. Por lo cual, en el largo plazo modelamos a X como un proceso de difusi´ on af´ın el cual, su din´ amica es llevada por un Borwniano. dXt = κ[r(t) − rt ]dt + σdWt drt = 0.59[0.13 − r(t)] +

24

0.20dW1∗

Modelo aplicado en econom´ıa buena para un periodo anual. Por otra parte, si en primera instancia quisi´eramos validar el resultado en el corto plazo para un nuevo grupo de cr´editos recientemente originados, en el cual, todos los acreditados tienen trabajo, la econom´ıa es buena y el tasas de empelo y desempleo corresponden a la situaci´ on macroecon´omica imperante.

62

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

El valor total de las obligaciones contingentes (pagos potenciales por siniestros) que tendr´ıa que realizar la aseguradora al final del primer periodo (primer a˜ no) es igual a la siguiente f´ ormula:

A = [(λ)(1 − p) + (λ)(p)]/(1.045) = [2.4% + 0.5%]/(1.045) = 2.77% El valor de las primas recibidas en ese mismo periodo:

B = [(1 − λ)(1 − p) + (λ)(p)]/(1.045) = [76.6% + 17.5%]/(1.045) = 90.04%

Valuaci´ on de Mercado del seguro de desempleo

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Todo lo anterior nos da como resultado: ρ = A/B = 0.031% Los cuales, en una econom´ıa buena se traducir´ıan en 0.031% anual, que son 0.003% Mensuales. Modelo aplicado en econom´ıa mala para un periodo anual. En segunda instancia quisi´eramos validar el resultado en el corto plazo para un nuevo grupo de cr´editos recientemente originados, en el cual, todos los acreditados tienen trabajo, la econom´ıa es mala y el tasas de empleo y desempleo corresponden a la situaci´ on macroecon´ omica imperante. El valor total de las obligaciones contingentes (pagos potenciales por siniestros) que tendr´ıa que realizar la aseguradora al final del primer periodo (primer a˜ no) es igual a la siguiente f´ ormula:

A = [(λ∗ )(1 − p) + (λ∗ )(p)]/(1.045) = [0.5% + 4.0%]/(1.045) = 4.30% El valor de la primas recibidas en ese mismo periodo:

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

B = [(1 − λ∗ )(1 − p) + (λ∗ )(p)]/(1.045) = [11.6% + 85%]/(1.045) = 91.39% Todo lo anterior nos da como resultado: ρ = A/B = 0.047% Los cuales, en una econom´ıa buena se traducir´ıan en 0.047% anual, que son 0.0039% Mensual. Observando los dos resultados anteriores podemos decir que la metodolog´ıa propuesta refleja de manera correcta los efectos de los estados prevalecientes en la econom´ıa y sus correspondientes ciclos. Conclusiones El resultado anterior, nos muestra que una metodolog´ıa alterna para la valuaci´ on de un seguro de desempleo con cobertura renovable puede ser utilizada para determinar la prima un seguro de desempleo que modele los ciclos econ´ omicos de corto plazo. La metodolog´ıa expuesta incorpora una cadena de Markov con intensidad variable acorde al estado de la naturaleza que se est´e modelando. Asimismo, se demostr´ o que un modelo neutral al riesgo puede ser utilizado en el c´ alculo de una prima justa para este tipo de seguro. Con las probabilidades para el empleo y la recuperaci´ on del mismo correspondientes a los posibles estados de la econom´ıa, la valuaci´ on de la prima del seguro ser´ a suficiente para hacer frente a las futuras obligaciones contingentes derivadas de los posibles estados de la econom´ıa y de su mercado laboral. La metodolog´ıa expuesta nos muestra que una cadena de Markov con intensidad variable acorde al estado de la naturaleza puede proporcionar una valuaci´ on justa que refleja la prima de riesgo asumida derivada de las condiciones econ´ omicas prevalecientes. Para ampliar y complementar la presente investigaci´ on se propone que se utilicen simulaciones de los par´ ametros de calibraci´ on de la probabilidad de p´erdida del empleo y la recuperaci´ on del mismo utilizando ecuaciones diferenciales estoc´ asticas (con difusiones distribuidas Normal (0, 1)) y con reversi´ on a la media de largo plazo. Por otro lado, utilizar dichos escenarios para verificar la modelaci´ on de los ciclos econ´ omicos, su correlaci´ on con la din´ amica del otorgamiento de cr´editos y el desempleo. Dichas simulaciones permitir´ an obtener las proyecciones multianuales de las primas correspondientes a las distintas trayectorias de ciclos econ´ omicos en el futuro.

Valuaci´ on de Mercado del seguro de desempleo

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6. Referencias Bjork, T. Arbitrage Theory in Continuous Time.Oxford University Press, 1998. Brigo, D., & Mercurio, F. Interest Rate Models: Theory and Practice. Springer Finance. Springer-Verlag, 2 edition, 2006. Duffe, D., & Filipovic, D. Affine processes and applications in finance. Annals of Applied Probability, 13:984 {1053, 2003}. Duffe, D., & Kan, R. A yield-factor model of interest rates. Mathematical Finance 6:379 {406, 1996}. Duffe, D., Pan, J, & Singleton, K. Transform analysis and asset pricing for affine jump-diffusions. Econometrica, 68(6):1343 {1376, 2000}. Heston, A. A closed-form solution of options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. The Review of Financial Studies, 6:327 {343, 1993}. Lando, D. On cox processes and credit risky securities. review of Derivatives Research, 2:99 {102, 1998}. Singleton, K. Estimation of affine diffusion models based on the empirical characteristic function. Journal of Econometrics, 102:111 {141, 2001}.

Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa (Journal of Management, Finance and Economics), vol. 6, n´ um. 2 (2011), pp. 66-87.

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos M. Beatriz Mota Arag´ on∗ Faviola Hern´ andez Jim´ enez∗∗ Recibido 09 de febrero de 2011. Aceptado 13 de mayo de 2011

Resumen En investigaciones anteriores se sostuvo que los flujos de efectivo netos (FNE) y la tasa de rendimiento (rt) de un proyecto de inversi´ on son procesos estoc´ asticos. Incluso se sugiri´ o un nuevo modelo estoc´ astico continuo que explicara esta evoluci´ on aleatoria1 . Esta investigaci´ on parte de lo anterior, y considera que para evaluar un proyecto de inversi´ on de manera m´ as certera a trav´es del Valor Presente Neto (VPN) estoc´ astico, los pron´ osticos de los FNE y de (rt) pueden ahora ser realizados con modelos econom´etricos, espec´ıficamente con modelos del tipo ARIMA, (Box-Jenkings, 1976) y modelos de Suavizamiento Exponencial, (Holt-Winters 1960). El modelo propuesto es: V P NT : −I0

n X t=0

β0 + β1 (F N E)t−1 + ut . (1 + (β0 + β1 ) + Et + ut )n

Abstract In previous investigations it was said that Net Cash Flows (NCF) and the Interest Rate (rt) of the investment project are stochastic processes. There was even suggestion for a new stochastic continous model which would explain this random evolution. This investigation began from there, and agrees that to evaluate an investment project in a more accurate way through the stochastic Net Present Value (NPV). The forecasts NCF and the (rt) can now be achieved with econometric models, specifically with ARIMA models, (Box - Jenkings, 1976) and smoothing exponential models, (Hot - Winters, 1960). The proposed model is: V P NT : −I0

n X t=0

β0 + β1 (F N E)t−1 + ut . (1 + (β0 + β1 ) + Et + ut )n

∗

Profesora Titular ”C” de Tiempo Completo en la Universidad Aut´ onoma Metropolitana - Iztapalapa. E-mail: [email protected]. ∗∗ 1

Directora Administrativa C De Vino S.A. de C.V. E-mail: [email protected]

Mota, Beatriz (2006). Net Cash Flow Analysis as Stochastic Processes Theory Application and the Real Options Theory: A New Approach. Doctoral Dissertation, EGADEITESM, M´ exico. Mota, Beatriz (2008, 2009).

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos

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Clasificaci´ on JEL: C32, G12 Palabras clave: Modelos ARIMA, Suavizamiento Exponencial, Procesos estoc´ asticos, Proyectos de inversi´ on, Pron´ osticos, Flujos de Efectivo, Tasa de Rendimiento.

1. Introducci´ on La teor´ıa de procesos estoc´ asticos aporta los elementos te´ oricos necesarios para evaluar proyectos de inversi´ on desde una perspectiva distinta de la teor´ıa tradicional del VPN. Los flujos de efectivo y la tasa de rendimiento pueden ser modelados como procesos aleatorios. El VPN es entonces un proceso estoc´ astico. Es evidente que los resultados obtenidos son m´ as certeros bajo esta metodolog´ıa que con la evaluaci´ on convencional del VPN. Adicionalmente a esta nueva perspectiva, es posible incluir en la evaluaci´ on de las variables que componen el VPN modelos econom´etricos, del tipo ARIMA (Box-Jenkings, 1976) y modelos de Suavizamiento Exponencial, (Holt-Winters 1960). Esta investigaci´ on parte del debate te´ orico y de una profunda reflexi´ on acerca de las limitaciones de la metodolog´ıa ortodoxa del VPN, e incorpora la teor´ıa de procesos estoc´ asticos, para ver a los componentes del VPN como variables aleatorias. Segundo, se plantean las generalidades te´ oricas del m´etodo (Box-Jenkings, 1976) el cual se utiliza como herramienta en los pron´ osticos de FNE. Tercero, se describe la metodolog´ia desarrollada en esta investigaci´ on; se utilizan tres m´etodos para obtener los FNE mediante el modelo ARIMA; Primero, se pronostican las variables independientes del modelo (V1 , V2 , V3 y V4 ) a trav´es de ARIMA Univariante. Segundo, se realiza el modelo Univariante para FNE desde sus hist´ oricos y tercero; se realiza el modelo ARIMA Estructural para FNE. Dichos m´etodos se realizan con los datos de la empresa CONTAL (caso de estudio) en el periodo 2003-2015, las series utilizadas son trimestrales. Cuarto, se utiliza el m´etodo de Suavizamiento Exponencial de (Holt-Winters 1960) para pronosticar la variable independiente adicional del modelo completo de VPN; la tasa de rendimiento, segundo componente b´ asico del VPN, a trav´es de Cetes (V5 ) e Inflaci´ on (V6 ). Por u ´ ltimo, se propone un modelo te´ orico para evaluar el VPN econom´etrico mediante los m´etodos contenidos en los numerales III y IV. La idea principal en esta investigaci´ on es hacer ´enfasis en que los proyectos de inversi´ on deben modelarse como procesos de difusi´ on y es posible utilizar en la evaluaci´ on modelos autorregresivos. 2. La reflexi´ on te´ orica al enfoque tradicional del VPN y la teor´ıa de procesos estoc´ asticos Esta investigaci´ on parte del debate te´ orico y de una profunda reflexi´ on acerca de las limitaciones que presenta la metodolog´ıa ortodoxa del VPN. La principal cr´ıtica al m´etodo tradicional de VPN es que produce una estimaci´ on simple, y esto es una desventaja, ya que los eventos que afectan los pron´ osticos de los flujos de efectivo son altamente inciertos; Myers (1987), Trigeorgis (1993), (Copeland y Vladimir, 2001). Sin embargo, Trigeorgis (1993), al mismo tiempo plantea que la teor´ıa del VPN tradicional no debe ser desechada por completo, sino m´ as bien es la base de otras importantes teor´ias y que debe verse con otro enfoque. Otras cr´ıticas est´ an en Hayes y Garvin (1982) y Hayes y

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

Abernathy (1980) quienes reconocen que el criterio de VPN subestima las oportunidades de inversi´ on. Brennan y Schwartz (1985) argumentan que el Discount Cash Flow (DCF) presenta severas limitaciones porque los precios son vol´ atiles. Paddock, Siegel y Smith (1988) enumeran las desventajas de la t´ecnica de VPN. Por otro lado, Dixit y Pindick (1994) aseveran que: The simple NVP rule is not just wrong; it is often very wrong, (Ver cap. 5). Una de las debilidades fundamentales que se observan en la t´ecnica tradicional de VPN es que la estimaci´ on de los FNE depende de una tasa de rendimiento constante y de flujos esperados est´ aticos. En diversos trabajos el m´etodo elegido para resolver el problema de la estimaci´ on de los flujos de efectivo esperados del proyecto, consiste en suponer que el proyecto genera rentas perpetuas en t´erminos constantes id´enticas a las generadas en el u ´ ltimo ejercicio, y la tasa de inter´es con la cual descuentan los flujos de efectivo esperados sigue las reglas del CAMP. Copeland y Antikarov (2001), D´ıaz (1999, 2000), kester (1984), Gil (1991) y Smith (2001), entre otros.2 Por otra parte, la teor´ıa de procesos estoc´ asticos y las propiedades de sus modelos de difusi´ on nos proporcionan las herramientas para admitir una nueva manera de concebir el VPN tradicional. A trav´es del estudio de los procesos de Wiener, los procesos de Wiener generalizado y de Wiener geom´etrico, as´ı como los procesos del tipo Ornstein-Uhlenbeck (1930), Vasicek (1977), Longstaff (1979) y Hull-White (1990) para los flujos de efectivo, y el modelo de CIR (1985) para la tasa de rendimiento, inferimos en un VPN estoc´ astico.3 A partir de aqu´ı, se eligen los modelos que mejor representen la aleatoriedad de las variables FNE y tasa de rendimiento, y afirmamos que VPN y sus componentes no son constantes sino son procesos estoc´ asticos. Como es claro, no estamos desechando la teor´ıa ortodoxa, la vemos desde el enfoque de la teor´ıa estoc´ astica, y en esta investigaci´ on se modelara a trav´es de modelos econom´etricos. 3. Generalidades La mayor´ıa de las empresas realizan proyecciones sobre su comportamiento ´ evolutivo y de su entorno. Estas se utilizan en la toma de decisiones operativas o´ estrat´egicas; por ejemplo, la rentabilidad que obtendr´ıa al realizar una inversi´ on en un periodo determinado. En Econometr´ıa utilizar las series de tiempo es un punto de partida. Ahora bien, desde el punto de vista anal´ıtico, los procesos estoc´ asticos que con mayor frecuencia describen las series de tiempo y poseen un conjunto de propiedades deseadas son los procesos autorregresivos (AR) (Kendall, 1944)4 y de medias m´ oviles (MA) (Aigner, 1971)5 . Estos modelos representan procesos estoc´ asticos lineales, dado que se caracterizan por una suma ponderada de variables aleatorias. 2

Mota, B. (2009). Una Cr´ıtica a la Teora Tradicional del VPN: Una Nueva Propuesta para Evaluar los Flujos Netos de Efectivo de la Firma. Denarius,19:230. 3

Mota, B. (2008). La Teor´ıa de Procesos Estoc´ asticos en el An´ alisis de los Flujos de Efectivo de un Proyecto de Inversi´ on. FCA-UNAM.. 4 Kendall, M.G. (1944).On Autoregressive Time Series, Biometrika. 33, pp. 105-122. 5

Aigner, D.J.(1971). A Compedium on estimation of the, autoregressive moving average model from time series data. International Economic Review. 12(3), pp. 348-371.

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos

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A partir de los estudios de Box y Jenkins (1970)6 , el modelo ARIMA parte de la consideraci´ on general de que la serie temporal que se trata de predecir es generada por un proceso aleatorio cuya naturaleza es caracterizada y descrita mediante la modelaci´ on. Los modelos ARIMA se describen en t´erminos de los par´ ametros estructurales p,d y q. Raz´ on por la cual se utiliza la notaci´ on ARIMA (p,d,q), lo que significa que combinan tres tipos de procesos Autorregresivos (AR), Integraci´ on de la serie (I) y medias m´ oviles (MA)7 . El esquema general del modelo Arima es el siguiente: Si Yt es I(d) entonces Zt = ∆d Yt = (1- L)d Yt es I(0), siendo L el operador de retardos. Si adem´ as Zt se comporta como un ARMA (p,q) entonces Yt se denomina ARIMA (p,q,d). Cuyas propiedades estoc´ asticas, eliminan la deficiencia de los m´etodos tradicionales para la obtenci´ on de los FNE est´ aticos, y por lo tanto la deficiencia de la herramienta tradicional del VPN al obtener FNE estoc´ asticos. No es suficiente establecer un modelo ARIMA, este tiene que pasar por un proceso de validaci´ on, dicho proceso fue propuesto por Box y Jenkins (1976) para estimar, contrastar y predecir series temporales8 . Los par´ ametros con los que se va a trabajar y evaluar los diferentes m´etodos para obtener los FNE futuros mediante un modelo ARIMA son los siguientes: 1. Gr´ afica del comportamiento de las variables. 2. Correlograma de las variables, se evaluara mediante la Funci´ on de Autocorrelaci´ on y la Funci´ on de Autocorrelaci´ on Parcial, esto permite identificar a que orden pertenece cada una de las variables I(d). 3. La estructura AR y MA, en esta parte se observaran principalmente dos criterios, el primero el de la R2 (Greenberg , 1986)9 que tiene que ser muy extremo a 1 y -1, el segundo el criterio de no Autocorrelaci´ on (Durbin-Watson, 1950, 1951)10 nos dice si el modelo tiene correlaci´ on entre las variables y el criterio de decisi´ on es; si el valor de Durbin Watson se encuentra entre 1.550 y 2.45 no se tiene correlaci´ on en el modelo, si un valor esta por debajo o encima de este rango el modelo no es u ´ til para la predicci´ on. 4. La prueba de Normalidad (Jarque-Bera, 1980,1981, 1987)11 muestra si el modelo se distribuye como una normal y si tiene presencia de valores extremos, es decir, el criterio para saber si los errores son normales es; si el valor de Jarque 6 Box, George E.P. and F.M. Jenkins (1970). Time Series Analysis: Forescasting and Control, San Francisco, Calif. Holden-Day Inc. 7

Arnau, J. (2001). Dise˜ nos de series temporales: tcnicas de anlisis. Barcelona, Edicions de la Universitat de Barcelona, p´ ag. 48. 8

Box, George E.P., and F.M. Jenkins (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control, 2nd. ed. Oakland, CA: Holden-Day. 9 Greenberg, R., Johnson, G. and Ramesh, K.(1986) . Earnings versus cash flow as a predictor of future cash flow measures. Journal of Accounting, Auditing, and Finance. 1, pp. 266-277. 10

Durbin, J., and Watson, G. S. (1950) .Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression, I. Biometrika 37, 409428. 11

Jarque, C. M., and Bera, A. K. (1980). ”Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals”. Economics Letters 6 (3): 255259.

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

Bera (JB) es menor a 5.99 tiene una distribuci´ on normal y si este es mayor a 5.99 los errores tienen problemas de normalidad. 5. La gr´ afica de los residuos, muestra como es el comportamiento de los errores, este se debe comportar como un ruido blanco12 . Una vez establecidos los par´ ametros de bondad de ajuste (verificaci´ on) anteriores se procede a la elaboraci´ on del modelo ARIMA de los FNE estructural.

4. Metodolog´ıa - el modelo ARIMA en los FNE

Para la realizaci´ on de esta investigaci´ on se tom´ o como caso de estudio a la empresa Contal, con 52 observaciones trimestrales de las cuales 28 son datos hist´ oricos contenidas en los Estados de Resultados (2003-2009) de la empresa, y 24 datos pronosticados (2010-2015) mediante El Modelo ARIMA univariante para cada una de las principales variables explicativas Ventas (V1 ), Costo de Ventas (V2 ), Gastos Operativos (V3 ) y Dep. (V4 ) identificadas que conforman los flujos de efectivo de la firma, para ello se utilizo E-views.

4.1 El modelo ARIMA univariante para V1 , V3 , V3 y V4

Ahora realizaremos modelos ARIMA individuales para cada variable, empezando con la variable V1 (Ventas netas), de manera similar se analiza su gr´ afica, correlograma, se establece la estructura ARIMA y se procede a la predicci´ on. Para realizar el pron´ ostico de cada una de las variables es necesario restar a cada periodo la cantidad del periodo anterior debido a que en los Estados de Resultados Trimestrales de Grupo Continental se presentan de forma acumulada. Para que las series de tiempo de cada variable muestren su comportamiento original y no se vea influenciada por su estacionalidad. Como lo muestra la tabla siguiente:

12

Wiley.

Griffiths, W. Hill,C. Y Judge, G. (1993). Learning and Practicing Econometrics.

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos

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Tabla 1. Datos hist´ oricos por trimestre para la obtenci´ on de los FNE futuros

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Se utiliza las series trimestrales de CONTAL, porque ofrecen mayor n´ umero de observaciones y proporcionan informaci´ on m´ as precisa en el flujo de efectivo, Lorek y Willinger (1996)13 .

En la gr´ afica 1 y en el correlograma 1 se observa que la variable tiene una forma estacional en su movimiento, las FACP (La Funci´ on de Autocorrelaci´ on Parcial) decaen de manera r´ apida por lo que no existe problema con la varianza y la media, por lo tanto V1 tiene un orden I(0).

El cuadro 1 muestra la estructura del modelo para V1 el cual es un modelo ARIMA (4,0,3) tiene un R2 ajustada de 0.933926 que es un nivel alto, el valor de Durbin Watson es muy pr´ oximo a 2 por lo que no tiene correlaci´ on entre las observaciones, es decir, el modelo es u ´ til para la predicci´ on. La tabla muestra los valores pronosticados para V1 . Una vez obtenidos los valores pronosticados se observa c´ omo se comportan los datos hist´ oricos y pronosticados mediante el modelo ARIMA para V1 . Donde VENTAS son los hist´ oricos y VENTASF los pron´ osticos. 13 Lorek, K y Willinger, G. (1996). A Multivariante Time-Series Prediction Model For Cash- Flow. The Accounting Review, Vol. 71, American Accounting Association (jan 1996), p´ ag. 82.

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos

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La gr´ afica 2 muestra la forma en que act´ uan los datos hist´ oricos y pronosticados, comport´ andose con la misma tendencia.

Gr´ afica 2. Datos Hist´ oricos y pronosticados de Ventas Netas

En la gr´ afica 3 se muestra que los residuos tambi´en poseen un tipo ruido blanco, es decir, cada una de las observaciones no guarda relaci´ on con la anterior, y en la gr´ afica 4 se presentan que todos los errores son normales ya que el valor Jarque Bera es 0.3421 menor a 5.99.

En esta investigaci´ on se realiz´ o el mismo procedimiento para las variables V2 , V3 y V4 . Sin embargo, por cuestiones de espacio se omiten dichos procedimientos. Los resultados generales de dichos procedimientos resultan ser modelos ARIMA (p,d,q) Univariantes (los valores a predecir dependen de los valores pasados de las variables regresoras). En la tabla siguiente se presentan los valores pronosticados de V1 , V2 , V3 y V4 , con la finalidad de obtener los FNE pronosticados mediante el Modelo ARIMA Univariante.

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Tabla 3. FNE Pronosticados mediante ARIMA Univariante

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos

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4.2 El modelo ARIMA univariante para FNE Otra forma de obtener los FNE pronosticados son mediante la realizaci´ on del Modelo FNE univariante, es decir, que se realiza el pron´ ostico de los FNE mediante sus hist´ oricos que se presentan en la tabla 1.

Las gr´ afica 5 y el correlograma 2 muestran la estacionalidad de la variable FNE con un orden de integraci´ on de I(0).

La estructura de AR y MA del modelo del cuadro 2 muestra que el modelo ARIMA de los FNE es (4, 0 ,2), con una R2 ajustada de 0.778830, el valor de Durbin Watson entra en el rango de no correlaci´ on, lo que ´ındica que este modelo es viable para realizar las predicciones. La tabla presenta los valores pronosticados de la variable FNE.

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Se observa en la gr´ afica siguiente el comportamiento de la Variable FNE hist´ orica y pronosticada. Donde FNE son los flujos hist´ oricos y FNEF son los flujos pronosticados.

Gr´ afica 2. Datos Hist´ oricos y pronosticados de Ventas Netas En las gr´ afica 7 se observa un comportamiento del tipo ruido blanco, en la gr´ afica 8 se observa un valor JB de 0.101698, cuenta con una probabilidad de 0.950422.

Por lo que los valores pronosticados por el Modelo FNE Univariante (4, 0, 2) son los siguientes:

Tabla 5. Pron´ osticos mediante el Modelo ARIMA Univariante (4, 0, 2) para FNE

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos

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4.3 El modelo ARIMA estructural planteado para FNE El paso previo es establecer el modelo te´ orico para FNE, el cu´ al tiene una variable dependiente (FNE) y cuatro variables independientes, V1 (Ventas Netas), V2 (Costo de Ventas), V3 (Gastos de operaci´ on) y V4 (Depreciaciones y Amortizaciones) m´ as un error aleatorio. Yt = β0 + β1 V1t−1 − β2 V2t−1 − β3 V3t−1 − β4 V4t−1 + ut . Con los datos de las tablas 1(hist´ oricos) y 3 (pron´ ostico de las variables V1 , V2 , V3 y V4 ) se procede a realizar la estimaci´ on del modelo estructural mediante ARIMA. El primer paso consiste en convertir las series de observaciones en una serie estacionaria; se observan las gr´ aficas y los correlogramas de cada variable independiente y si no es estacionaria, esto se puede lograr cuando se le aplica la prueba de ra´ıces unitarias a las variables independientes. Se prosigue con las estimaci´ on de los coeficientes mediante AR y MA (la parte I ya es obtenida mediante las ra´ıces unitarias) (Dickey-Fuller, 1979)14 y finalmente se procede a efectuar un an´ alisis de los residuos. Se comprob´ o que al utilizar ARIMA el valor realmente observado y el valor previsto por el modelo se ajust´ o a los datos de manera adecuada. Enseguida se muestra el procedimiento anterior en la empresa, caso de estudio. Para generar un modelo Arima es necesario obtener el mayor n´ umero de observaciones posibles de esta forma se ocupan los datos hist´ oricos de las variables explicativas V1 , V2 , V3 y V4 y la variable dependiente FNE, obteniendo un total de 52 observaciones. Y se sigue el mismo procedimiento de los m´etodos de las secciones anteriores.

Gr´ afica 9. Comportamiento de las variables independientes 14 Dickey, D.A. and W.A. Fuller (1979).Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root. Journal of the American Statistical Association. 74, p. 427431.

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa

Se muestra en la gr´ afica 9 que la variable independiente Ventas Netas tiene estacionalidad por lo que se prosigue a observar el comportamiento en las funciones de Autocorrelaci´on y Autocorrelaci´ on parcial.

Correlograma 3. Variables independientes Se observa en el Correlograma 3 que las variables independientes presentan problemas de estacionariedad, en la Funci´ on de Autocorrelaci´ on los coeficientes no decaen r´ apidamente lo cual ´ındica falta de estacionariedad en la media, mientras que en la Funci´ on de Autocorrelaci´ on Parcial no se observa estructura de coeficientes significativos para ning´ un tipo de retardo estacionales, por lo que no hay estacionalidad. Por lo tanto se deben diferenciar las variables dando un orden de integraci´ on. Una vez diferenciadas las variables se observan nuevamente los Correlogramas con las series diferenciadas y si ya se elimin´ o la falta de estacionariedad se comprueba con test de ra´ız unitaria.

Correlograma 4. Primera diferencia de las variables independientes

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos

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Cuadro 3. Prueba de Ra´ız Unitaria Se observa que las variables son estabilizadas mediante la primera diferenciaci´ on por lo que el modelo propuesto tiene un orden de integraci´ on I (1). Una vez estacionalizadas las variables se procede a estimar los coeficientes de AR y MA para dicho modelo estructural. Es importante mencionar que en muchas ocasiones el encontrar los coeficientes de AR y MA es a trav´es del ejercicio de prueba y error.

Cuadro 4. Identificaci´ on de los parmetros de AR y MA Para la estimaci´ on del modelo no se diferenci´ o Ventas Netas, esto por ser la variable m´ as significativa del modelo. El modelo tiene un valor Durbin Watson de 1.95 lo cual indica que no hay autocorrelaci´ on entre las variables, adem´ as de un R2 del 0.85 muy pr´ oximo a 1 y todas las variables son significativas para el modelo. A continuaci´ on se presentan las pruebas de verificaci´ on para el Modelo FNE (9, 1, 4). La prueba de Normalidad muestra que los errores tienen un comportamiento normal con un valor JB de 0.8299 menor a 5.99 con una probabilidad del 66.03 por ciento de que los errores sean normales.

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En la gr´ afica 11 se observa que el comportamiento de los errores son de tipo ruido blanco, la amplitud entre las frecuencias se debe a que los datos son trimestrales y los errores solo muestran una parte del periodo (2005-2009) ocasionado por los retardos autorregresivos con los que cuenta el modelo.

Correlograma 5. Estructura ARIMA Se observa en el Correlograma que el modelo no presenta problemas de estacionariedad y se observa en la Funci´ on de Autocorrelaci´ on que sus coeficientes decaen r´ apidamente, lo cual indica estacionariedad en la media, mientras que en la Funci´ on de Autocorrelaci´ on Parcial se observa una estructura de coeficientes significativos para los retardos estacionales. Por lo tanto, se procede a realizar el planteamiento del Modelo emp´ırico estructural para FNE (9, 1, 4); F N E = −1040130.574 + 0.781986392904 ∗ V N − 2.8406989487 ∗ DCV + +5.54829633097 ∗ DGO + 24.2838031323 ∗ DDP + [AR(9) = −1.07231598838, M A(4) = 0.891007213837] + RESID. Se ha comprobado que el modelo se ajusta a todos los par´ ametros de validaci´ on, por lo tanto, se pueden realizar las predicciones de FNE para el periodo 2010-2015.

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos

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Tabla 6. Predicciones para FNE (9, 1, 4) Los hallazgos encontrados con los FNE pronosticados trimestralmente del 2010-2015 mediante los tres m´etodos anteriores, fueron los siguientes: Para el pron´ ostico de FNE mediante las variables V1 , V2 , V3 y V4 son de $486, 483,447 mdp., mientras que para el Modelo FNE Univariante son $559,357.42 mdp., y para el Modelo Estructural (9, 1, 4) son $124,491.4 mdp. En sus reportes trimestrales del 2010, la empresa presenta 425 mdp., de Flujo Neto de Efectivo, acerc´ andose m´ as a la realidad observada el pron´ ostico de FNE por cada variable expuesto en el numeral III.1. Otra ventaja de utilizar Modelos univariantes para cada variable es el conocimiento de su valor pronosticado individualmente lo cual puede mejorar la realizaci´ on de Estados Financieros Pro-Forma tal como lo muestra el siguiente resultado. El 23 de julio del 2010 en la p´ agina electr´ onica www.enlaeconomia.com Grupo Continental reporta Ventas Netas en su primer semestre por 6 mil 816 mdp., el cual es un valor muy aproximado a el pron´ ostico en esta investigaci´ on el cual es de $6, 683, 406 mdp. En cuanto a los Costos de Ventas en el segundo trimestre reporto $3, 355,400 mdp., y lo pronosticado fue $3,237,634 mdp., los de Gastos de Operaci´ on ascendieron a $2, 389,397 mdp.,el pron´ ostico fue de

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$2,252,929 mdp. y para las Depreciaciones y Amortizaciones el pronostico fue de $136,540 mdp., mientras que CONTAL reporta $145,851 millones de pesos. 5. Suavizamiento exponencial para TREMA El Suavizamiento Exponencial o Alisado Exponencial, (Holton y Keating, 2007)15. Para realizar esta predicci´ on es necesario tener en cuenta la estacionalidad de las series, como anteriormente se mencion´ o estas series no tienen estacionalidad, por lo tanto utilizaremos el m´etodo de Suavizamiento de HoltWinters no seasonal. Winters basado en el m´etodo de Suavizamiento Exponencial, (Holt,1959)16 para tratar con datos que presenten variaciones estacionales, desarroll´ o el m´etodo Holt-Winters, (Winters, 1960)17 que aplica tres par´ ametros; el primero est´ a relacionado con la componente aleatoria (a), el segundo con la tendencia (b) y el tercero con la componente estacional (c). Este m´etodo incorpora la tendencia de crecimiento o de decrecimiento de la serie temporal. Por lo que es el m´etodo que mejor se ajusta para realizar los pron´ osticos de TREMA, bajo los siguientes criterios: TREMA= (Tasa de Mercado Inflaci´ on) + Prima de Riesgo. La tasa de mercado es una tasa nominal (CETES a 28 d´ıas) m´ as una prima de riesgo. Para esta investigaci´ on se considero que la prima de riesgo es la tasa de rendimiento del sector, ya que se desconoce la(s) prima(s) de riesgo de la empresa Contal utilizadas para la evaluaci´ on de sus inversiones. Para comprobar el m´etodo utilizado en este trabajo para pronosticar TREMA se utiliza la tasa real y la prima de riesgo, con la l´ ogica de que los inversionistas no arriesgan su capital a una tasa menor que la tasa de inflaci´ on. Entonces, TREMA= Tasa real + prima de riesgo. Para utilizar el m´etodo de Suavizamiento Exponencial para TREMA es necesario aclarar bajo qu´e criterios de Bondad de Ajuste se validar´ an el Suavizamiento Exponencial de Holt-Winters. El primero es el correlograma con los par´ ametros establecidos en el numeral II, la gr´ afica de estacionalidad en sus medias y la gr´ afica comparativa entre la serie original y suavizada. Se observa que no existe estacionalidad en las series de tiempo de Cetes e Inflaci´ on, se revisan ahora sus Correlogramas. 15

Holton y Keating (2007). Pron´ ostico para los negocios. M´ exico, Mc-Graw hill.

16

Holt, C.C. 1959. Forecasting seasonals and trends by exponentially weighted moving averages. ONR Research Memorandum 52. 17

Winters, P.R. (1960). Forecasting sales by exponentially weighted moving averages. Management Science 6; pp. 324-342.

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos

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Correlograma 6. Cetes e Inflaci´ on En el correlograma de Cetes las FAPS (Funci´ on de autocorrelaci´ on parcial) decaen r´ apidamente solo tienen un per´ıodo no significativo, en las FAC (Funci´ on de autocorrelaci´ on) torna m´ as lento la convergencia, el valor de las probabilidades son significativas debido a que todos son menores de 0.05 y la Q-Stat son mayores a 0.05. Mientras que en el correlograma de la variable Inflaci´ on se puede ver como las FAC decaen lentamente lo que significa que existe problema con las medias de la serie, por otro lado las FAPS decaen de manera r´ apida esto no muestra mayor problema en su varianzas, los valores de la probabilidad son todos menores a 0.05 por lo tanto todos son significativos y los de la Q-Stat son mayores a 0.05.

Gr´ afica 12. Estacionalidad en la Media de Cetes e Inflaci´ on Se observa en la gr´ afica 12 una tendencia de V5 en sus medias, por lo tanto se realiza el pron´ ostico de esta serie y de la misma forma para la serie V6 .

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En la gr´ afica 13 se observa los datos hist´ oricos y pron´ osticos de V5 y V6 . Donde la terminaci´ on sm indica la serie suavizada.

Tabla 7 Valores Pronosticados Mediante el Suavizamiento Exponencial de Holt -Winters

Gr´ afica 13. Hist´ oricos y Pron´ osticos de Cetes e Inflaci´ on En la tabla 8 se muestran los valores pronosticados para TREMA por trimestre durante 2010.

Tabla 8. Valores pronosticados para TREMA Los hallazgos encontrados para TREMA en cuanto al pron´ ostico realizado por el m´etodo de Suavizamiento Exponencial (Holt Winters ,1960) son similares

Un modelo para evaluar el VPN mediante modelos autorregresivos

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a los resultados obtenidos por el Modelo ARIMA para los pron´ osticos de FNE. Los cuales se presentan enseguida:

Tabla 9.Comparativo entre los valores pronosticados y reales de V5 y V6 Se observa que la diferencia entre el valor pronosticado y el valor observado es m´ınima, por lo cual se comprueba que el m´etodo para el pron´ ostico de estas series de tiempo es o´ptimo. 6. El modelo propuesto en esta investigaci´ on Tomamos del VPN discreto sus componentes principales que son los Flujos Netos de Efectivo y la Tasa Interna de Retorno para expresarlos, el primero como la estructura de un modelo ARIMA, ( Box-Jenkings,1976) Yt = β0 + β1 (F N E)t−1 + ut , y el segundo como un modelo del tipo Suavizamiento Exponencial, (Holt-Winters,1960) Yt = (β0 + β1 ) + Et + ut , entonces: V P NT : −I0

n X β0 + β1 (F N E)t−1 + ut . 1 + (β0 + β1 ) + Et + ut )n t=0

Como se observa esta propuesta infiere en el uso de los Modelos Econom´etricos para la generaci´ on de pron´ osticos estoc´ asticos. La relevancia de esto es que se captan los movimientos aleatorios de cada una de las variables explicativas que intervienen en el comportamiento de los Flujos Netos de Efectivo. As´ı como las variaciones estoc´ asticas de las variables explicativas que conforman la tasa interna de rendimiento esperada de un proyecto de inversi´ on. 7. Conclusiones Como podemos observar la teor´ıa de procesos estoc´ asticos aporta los elementos te´ oricos necesarios para evaluar proyectos de inversi´ on desde una perspectiva distinta a la convencional. Al adicionar los m´etodos econom´etricos ARIMA y los de Suavizamiento Exponencial en la generaci´ on de pron´ osticos de las variables independientes del modelo VPN econom´etrico, se origina una implicaci´ on directa, que los resultados obtenidos son m´ as certeros y cercanos a la realidad, seg´ un se demuestra emp´ıricamente al revisar la informaci´ on financiera publicada por la empresa durante 2010, comparativamente con los resultados que generar´ıa la evaluaci´ on tradicional del VPN. De ah´ı la importancia de proponer un nuevo modelo para evaluar el VPN mediante modelos Autorregresivos y de utilizar este tipo de modelos en la evaluaci´ on de inversiones de capital.

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Aunado a lo anterior, se cuenta con una herramienta m´ as exacta para la proyecci´ on de Estados Financieros Pro-forma, mediante la modelaci´ on y predicci´ on individual (mediante sus hist´ oricos) de cada variable que los integra. Al utilizar el modelo ARIMA Univariante, se elimina la menos certera proyecci´ on tradicional de la administraci´ on y se origina informaci´ on m´ as real para la toma de decisiones de la firma.

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Revista de Administraci´ on, Finanzas y Econom´ıa (Journal of Management, Finance and Economics), vol. 6, n´ um. 2 (2011), pp. 88-98.

Comparando Distancias en los Mercados Financieros Mundiales Linda Margarita Medina Herrera∗ Ernesto Pacheco Vel´ azquez∗∗ Recibido 12 de enero de 2011. Aceptado 15 de abril de 2011

Resumen En este art´ıculo se analiza la correlaci´ on de los principales ´ındices financieros mundiales. Se compara la estructura del a´rbol de expansi´ on m´ınima construido a partir de la matriz de correlaci´ on (distancia eucl´ıdea) con los a´rboles de expansi´ on m´ınima obtenidos usando tres distancias no euclideas. Se encuentra que los mercados en Europa Occidental, Asia y Norteam´erica forman grandes conglomerados; mientras que los ´ındices de las ´ bolsas de Sudam´erica, Europa del Este y Africa forman bloques menos fuertes. Se encuentra, adem´ as, que las distancias City Block y Chi-City Block permiten distinguir de una manera m´ as clara los conglomerados y el v´ertice central del a´rbol, siendo preferibles sobre el coeficiente de correlaci´ on de Pearson para analizar la estructura de correlaci´ on de los a´rboles. Abstract This paper analyzes the correlation of the world main financial indexes. We compare the structure of the minimum spanning tree constructed from the correlation matrix (Euclidean distance) with minimum spanning trees obtained using three Non-Euclidean distances. It is found that indexes in Western Europe, Asia and North America form large clusters, while the indexes of South America, Eastern Europe and Africa are less strong blocks. It is also found that the distances Chi-City Block and City Block , best separate clusters and point exactly the central vertex of the tree. The above distances are preferable to Pearson correlation coefficient to analyze the correlation structure of the trees. Clasificaci´ on JEL: C02, C22, C38, C45, C61,C81,D85 ´ Palabras clave: ´ Indices Financieros. Correlaci´ on. Distancias. Arboles de expansi´ on m´ınima.

1. Introducci´ on La globalizaci´ on financiera es un fen´ omeno que se ha venido desarrollando en las u ´ ltimas d´ecadas. Las crisis financieras que han azotado a numerosos pa´ıses ∗ Departamento de F´ısica y Matem´ aticas, Tecnol´ ogico de Monterrey, Campus Ciudad de M´ exico, Calle del Puente 222, Oficinas 1, Piso 2, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan, 14380 M´ exico, D.F., Tel´ efono +52(55)54832190, E-mail: [email protected] ∗∗ Departamento de Ingenier´ıa Industrial, Tecnol´ ogico de Monterrey, Campus Ciudad de M´ exico, Calle del Puente 222, Oficinas 1, Piso 3, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan, 14380 M´ exico, D.F., Tel´ efono +52(55)54832190, E-mail: [email protected]

Comparando Distancias en los Mercados Financieros Mundiales

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y regiones del mundo, han sido frecuentes y con repercusiones que se han hecho notar en zonas geogr´ aficas muy distantes de su origen. La estrecha interrelaci´ on entre los mercados, la inestabilidad financiera y las crisis econ´ omicas han producido una abundante literatura tratando de encontrar las causas de estos procesos, anticiparlos y analizar y comprender la manera en que estos efectos son transferidos. Desde hace unos veinte a˜ nos se ha venido desarrollando una literatura paralela que entiende los mercados financieros como sistemas que son influenciados por una gran cantidad de informaci´ on en tiempo real. Esta literatura estad´ıstica se ha denominado Econof´ısica y ha tratado, especialmente, de establecer estructuras jer´ arquicas, taxonom´ıas y simular el proceso aleatorio de los valores o los tipos de cambio de diversas acciones o monedas con el objeto de analizar el grado de correlaci´ on que existe entre las acciones y los diferentes mercados financieros (Mantegna, 1999; Bonano, 2001; Ortega, 2005; Medina, 2010; entre muchos otros). En art´ıculos recientes se ha mostrado la importancia de los a´rboles de expansi´ on m´ınima en el an´ alisis del comportamiento de activos financieros. La mayor´ıa de estas investigaciones utilizan la distancia euclidea para construir los a´rboles, una de las razones m´ as importantes para que esto suceda es la facilidad para obtener esta distancia a partir de la matriz de correlaci´ on. No obstante, no existe ninguna evidencia de que esta distancia sea la m´ as adecuada para la construcci´ on y el an´ alisis de estos a´rboles. De hecho, en este art´ıculo se mostrar´ a que otras distancias no euclideas permiten analizar de una manera m´ as adecuada, la estructura de correlaci´ on de los ´ındices mundiales. El presente art´ıculo analiza la estructura jer´ arquica y la din´ amica de las relaciones existentes en un conjunto de ´ındices mundiales. Para ello, se construye a´rboles de expansi´ on m´ınima (MST) y se calcula las medidas m´ as importantes sobre dichas redes. 2. Revisi´ on de la Literatura Desde los trabajos fundamentales de Mantegna, Bonano y otros (1989), una gran cantidad de literatura ha proporcionado pruebas abrumadoras de que los mercados de valores se comportan como sistemas complejos. Existe una amplia evidencia de que es posible estudiar las propiedades topol´ ogicas de las redes financieras, que tienen asociada un taxonom´ıa econ´ omica significativa. M. Tumminello, F. Lillo, R.N. Mantegna, (2010) presentan una novedosa e interesante revisi´ on de esta literatura. Los a´rboles de expansi´ on m´ınima han sido usados en la optimizaci´ on de portafolios (Bonano, 2004), Onnela, Chakraborti, Kaski y Kert´esz (2002) explotando la idea de que los activos del portafolio o´ptimo de Markowitz est´ an pr´ acticamente todo el tiempo en las ramas externas del a´rbol. Se han definido importantes medidas topol´ ogicas, con el fin de caracterizar los a´rboles y clasificar los v´ertices dependiendo de sus distancias a un v´ertice especial que simula el centro de masa del a´rbol (M. Barth´elemy, A. Barrat, R. Pastor-Satorras, 2005). Algunos estudios emp´ıricos han mostrado que estas medidas son altamente susceptibles a las crisis del mercado y que clasifican los sectores econ´ omicos de acuerdo a su importancia relativa en el a´rbol (Kim, D., and Jeong, H.,2005),

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(Tabak, B. Serra, T. Cajueiro, D., 2010), (Medina, L. Mansilla, R. ,2007) y (Medina, L. D´ıaz, B. ,2011). La investigaci´ on reciente ha aportado indicios de que las redes financieras evolucionan con el tiempo (R. Coelho, S. Hutzler, P. Repetowicz, P. Richmond, 2007). Sin embargo, hasta ahora no hay una prueba clara de si los par´ ametros que caracterizan a las redes financieras cambian en cierto plazo. Tampoco existe evidencia de que la distancia euclidea y el coeficiente de correlaci´ on que se obtiene a partir de ella, sea la forma m´ as adecuada de obtener la taxonom´ıa de los a´rboles. Este documento pretende contribuir a este debate, comparando distancias y analizando la taxonom´ıa de los a´rboles. 3. Distancias y a ´rboles de expansi´ on m´ınima Sea N el n´ umero de acciones con precio Pi (t) para el activo i en el tiempo t, con t = 0, 1, 2, , T . Tomamos Si (t) como el logaritmo de los rendimientos de los activos Si (t) = lnPi (t) − lnPi (t − 1) y al estandarizar la serie, obtenemos Zi (t) = Zit . Las distancias que usaremos son: 1. La distancia euclidea. d2 (Zi , Zj ) =

T X

2 (Zik − Zjk ) = 2 − 2ρij

k=1

donde: ρit es el coeficiente de correlaci´ on entre Zi y Zj . 2. Distancia de Manhattan o city block. dM (Zi , Zj ) =

T X k=1

|Zik − Zjk |

3. Distancia chi-cuadrado. dX 2 (Zi , Zj ) =

T X k=1

wk (Zik − Zjk )2

4. Distancia chi-city block. dX (Zi , Zj ) =

T X k=1

wk |Zik − Zjk |

La distancia chi-cuadrado permite estandarizar las distancias en t´erminos de sus rangos o desviaciones est´ andar. En este caso el an´ alisis se realiz´ o utilizando los rangos. El c´ alculo de los pesos se realiz´ o usando wi = R1i donde Ri es el rango de los precios de las acciones del d´ıa i con i = 1, 2, ..., T . Una vez calculada la matriz de distancia para cada una de estas distancias, se construyen los correspondientes a´rboles de expansi´ on m´ınima. Un a´rbol de expansi´ on es una gr´ afica de N objetos (v´ertices o nodos) unidos por N − 1 arcos que permiten ir de un v´ertice a cualquier otro. Si cada arco

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representa una distancia o costo, o en general si a cada arco se le asocia un peso (n´ umero real), la suma de los pesos de todos los lados de un a´rbol, ser´ a el peso total del a´rbol. Un a´rbol de expansi´ on m´ınima es un a´rbol de expansi´ on que minimiza el peso total del a´rbol. Revisaremos brevemente las diferentes medidas y par´ ametros que nos permitir´ an una primera caracterizaci´ on estad´ıstica de los a´rboles. Fortaleza del v´ertice: la fortaleza del v´ertice si se define como: X Si = dij jV (i)

La fortaleza del v´ertice integra la informaci´ on de su conectividad y de la importancia de los pesos de sus v´ertices conectados. Grado del v´ertice: El grado del v´ertice i, K(i), es el n´ umero de nodos que est´ an conectados directamente al nodo i, esto es, el n´ umero de elementos que integran la vecindad de i , (V (i)). El Promedio de ocupaci´ on: es la distancia promedio del v´ertice vi a los dem´ as v´ertices, esto es: l(vi ) =

n 1 X vij N j=1

El nodo con promedio de ocupaci´ on m´ as baja es el centro de masa del a´rbol. El v´ertice central: El v´ertice central Vc es considerado como la ra´ız de todos los v´ertices del a´rbol. Se usa como punto de referencia en el a´rbol, contra el cual la posici´ on de los dem´ as v´ertices es relativa. Hay un poco de arbitrariedad en la elecci´ on del v´ertice central, usaremos los siguientes criterios que pueden ayudar a escoger al mejor candidato: el v´ertice de mayor grado, el v´ertice de mayor peso y el centro de masa. ´ Arboles emp´ıricos Las series de tiempo que conforman la base de datos para este estudio est´ an formadas por los precios de cierre diario de 45 ´ındices: Am´erica del Norte (6), Am´erica del Sur y el Caribe (7), Europa Occidental (8), Europa Oriental (7), ´ Africa (6), Asia y Ocean´ıa (11) en el periodo comprendido entre 01/01/2005 y 27/09/2011. La Fig. 1 Muestra el a´rbol de expansi´ on m´ınima de los ´ındices financieros cuando se utiliza la distancia euclidea. En el a´rbol se distinguen claramente tres grandes conglomerados: el de Am´erica del Norte, liderado por S&P500 de USA; el de Europa Occidental liderado por CAC40 de Francia; y el de Asia y Australia liderado por HSI de Hong Kong. M´exico aparece unido al conglomerado de Am´erica del Norte, pero tambi´en unido a los pa´ıses Sudamericanos, en particular, por el ´ındice brasile˜ no. Un cuarto conglomerado, corresponde a pa´ıses Sudamericanos, que parecen tener m´ as influencia de los ´ındices Europeos (excepto por Jamaica y Venezuela, quienes muestran comportamientos at´ıpicos al resto de los pa´ıses de esta regi´ on). Los pa´ıses de Europa Oriental tambi´en forman un peque˜ no conglomerado alrededor de los ´ındices de los pa´ıses de Europa Occidental. Los ´ındices de

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pa´ıses Africanos no forman conglomerados. Sin embargo, llama la atenci´ on que el ´ındice de Sud´ africa parece estar influenciada por el ´ındice FTSE250 del Reino Unido.

Fig.1. El a ´rbol de expansi´ on m´ınima utilizando la distancia euclidea. Se distinguen tres grandes conglomerados: Asia, Europa y Norteam´ erica.

En la tabla 1 se presenta un an´ alisis del Grado, la Fortaleza y el Promedio de Ocupaci´ on de los v´ertices con mejores puntuaciones en las diversas regiones. El v´ertice central es ocupado por el ´ındice franc´es CAC40.

Tabla 1. Esta tabla muestra los ´ındices que obtuvieron los valores o ´ptimos por regi´ on cuando se utiliza la distancia euclidea. Los cinco mejores clasificados son el CAC40, HSI de Hong Kong, el AS51de Australia, El FTSE250 del Reino Unido y el S&P500 de USA. El CAC40 es el v´ ertice con mayor grado y fortaleza y menor promedio de ocupaci´ on, lo cual lo convierte en el v´ ertice central del a ´rbol.

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La Fig. 2 Muestra el a´rbol de expansi´ on m´ınima de los ´ındices financieros cuando se utiliza la distancia City Block. En el a´rbol se distinguen cinco conglomerados: el de Europa Occidental liderado por CAC40 de Francia; el de Asia y Ocean´ıa liderado por HSI de Hong Kong; el de Europa del Este, que est´ a liderado por el WIG de Polonia; el bloque de Am´erica (que re´ une a todos los pa´ıses del continente) liderado por el S&P500 de Estados Unidos y un bloque africano liderado por el ´ındice BGSMDC de Botswana. El u ´ nico pa´ıs africano que aparece fuera del bloque es Sud´ africa, quien nuevamente aparece unido al ´ındice FTSE250 de Reino Unido; Jamaica y Venezuela muestran nuevamente un comportamiento at´ıpico con respecto a su regi´ on; Serbia tambi´en aparece separado del resto de los pa´ıses de Europa del Este; finalmente, M´exico nuevamente aparece unido al ´ındice S&P500 (USA2) y al ´ındice brasile˜ no.

Fig.2. El a ´rbol de expansi´ on m´ınima utilizando la distancia City Block. Se distinguen una mejor distribuci´ on en los conglomerados.

La tabla 2 presenta un an´ alisis del Grado, la Fortaleza y el Promedio de Ocupaci´ on de los v´ertices con mejores puntuaciones en las diversas regiones. El v´ertice central nuevamente es ocupado por el ´ındice franc´es CAC40

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Tabla 2. Esta tabla muestra los ´ındices que obtuvieron los valores o ´ptimos por regi´ on cuando se utiliza la distancia City Block. Un ´ındice de un pa´ıs africano y uno de Europa del Este pasan a formar parte de esta lista.

La Fig. 3 muestra el a´rbol de expansi´ on m´ınima cuando se utiliza la distancia Chi Cuadrada. En el a´rbol se distinguen tres conglomerados: el de Europa Occidental liderado por CAC40 de Francia; el de Asia y Ocean´ıa liderado por ´ındice australiano AS51 y el de Am´erica (que nuevamente re´ une a la mayor´ıa de los pa´ıses de este continente) y liderado por el ´ındice MERVAL de Argentina. Sud´ africa nuevamente aparece unido al ´ındice de Reino Unido; Jamaica y Venezuela nuevamente se encuentran separados del resto de pa´ıses de su regi´ on; Per´ u, Colombia y Chile est´ an m´ as unidos a Europa que a los pa´ıses del continente americano. Los pa´ıses de Europa del Este se encuentran un poco m´ as dispersos que en las figuras anteriores, aunque nuevamente aparecen unidos a pa´ıses de Europa Occidental; M´exico nuevamente aparece unido al ´ındice S&P y al ´ındice brasile˜ no. La tabla 3 presenta un an´ alisis del Grado, la Fortaleza y el Promedio de Ocupaci´ on de los v´ertices con mejores puntuaciones en las diversas regiones. Como puede notarse, la fortaleza de los v´ertices se encuentra repartida entre varios ´ındices aunque definitivamente el v´ertice central nuevamente se encuentra en el ´ındice franc´es CAC40.

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Fig.3. El a ´rbol de expansi´ on m´ınima utilizando la distancia Chi Cuadrada. Los conglomerados parecen distinguirse de forma menos clara que en los gr´ aficos anteriores.

Tabla 3. Esta tabla muestra los ´ındices que obtuvieron los valores o ´ptimos por regi´ on cuando se utiliza la distancia Chi Cuadrada. No aparece el ´ındice de la bolsa de Hong Kong ni tampoco ning´ un ´ındice de Estados Unidos.

La Fig. 4 muestra el a´rbol de expansi´ on m´ınima cuando se utiliza la distancia Chi City Block. En el a´rbol se distinguen muy claramente cinco grandes

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conglomerados: el de Europa Occidental liderado por el ´ındice CAC40 de Francia; el de Asia y Ocean´ıa liderado por el ´ındice de HSI de Hong Kong y el de Am´erica (que nuevamente re´ une a la mayor´ıa de los pa´ıses de este continente) y liderado por el S&P500 de Estados Unidos; Europa del Este est´ a liderado por el ´ındice WIG (de Polonia) y finalmente un bloque m´ as claro de pa´ıses africanos encabezados por y el ´ındice BGSMDC de Botswana. El ´ındice de Sud´ africa una vez m´ as aparece unido al ´ındice de Reino Unido; Jamaica y Venezuela est´ an separados del resto de pa´ıses de su regi´ on; Colombia y Chile nuevamente est´ an m´ as cercanos a la econom´ıa europea. M´exico aparece unido al ´ındice S&P500 pero separado del ´ındice brasile˜ no.

Fig.4. El a ´rbol de expansi´ on m´ınima Chi City Block muestra a Francia como v´ ertice central y cinco conglomerados geogr´ aficos. El conglomerado central est´ a liderado por el CAC40 de Francia.

Como podr´ a observarse en la siguiente tabla, existe un ´ındice que lidera claramente cada una de las regiones. La fortaleza de estos v´ertices no se encuentra disgregada, y se distingue claramente que el ´ındice franc´es CAC40 vuelve a ser el v´ertice central del a´rbol.

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Tabla 4. Esta tabla muestra los ´ındices que obtuvieron los valores o ´ptimos por regi´ on cuando se utiliza la distancia Chi City. Aparece nuevamente el ´ındice de la bolsa de Hong Kong y el ´ındice de la bolsa S&P500 de Estados Unidos.

Conclusiones El a´rbol construido con la distancia euclidea muestra tres grandes conglomerados: el de Am´erica del Norte, liderado por S&P500 de USA; el de Europa Occidental liderado por CAC40 de Francia; y el de Asia y Australia liderado por HSI de Hong Kong. El v´ertice central es el CAC40 seguido por HSI de Hong Kong. Las relaciones entre los ´ındices fuera de estos tres grandes conglomerados no son tan claras. Las distancias City Block y Chi City Block nos permiten distinguir de una manera m´ as clara los conglomerados, el v´ertice central y los ´ındices que lideran cada regi´ on. Con estas distancias se logra vislumbrar dos conglomerados adicionales y encontrar relaciones entre ´ındices que no eran claras con la distancia euclidea. Europa, Asia y Norteam´erica son las regiones en donde m´ as claramente se distinguen los conglomerados. El ´ındice franc´es CAC40 es el v´ertice central bajo cualquiera de estas distancias. Investigaciones futuras podr´ıan analizar el comportamiento de las medidas en diferentes horizontes de tiempo y su relaci´ on con las crisis financieras. Esta metodolog´ıa tambi´en puede aplicarse a otras variables financieras y econ´ omicas.

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Casar, J. I., G. Rodríguez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: un análisis de las restricciones al crecimiento económico de México. Economía Mexicana, núm. 7, pp. 21-33. Cox, J. C, J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices. Econometrica, 53(2), pp. 363-384. Fuller, W A. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., John Wiley, New York. Granger, C. W. (1980). Long Memory Relationships and the Aggregation of Dynamics Models. Journal of Econometrics, 14(1), pp. 227-238. The Trouble with Rational Expectations and the Problem of Inflation Stabilization, en R. Fredman y E. S. Phelps (comps.).

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