NÁVAR-CHÁIDEZ Y CONTRERAS-AVIÑA: DISTRIBUCIÓN WEIBULL EN RODALES IRREGULARES DE PINO

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AJUSTE DE LA DISTRIBUCIÓN WEIBULL A LAS ESTRUCTURAS DIAMÉTRICAS DE RODALES IRREGULARES DE PINO EN DURANGO, MÉXICO FITTING THE WEIBULL DISTRIBUTION TO DIAMETER STRUCTURES OF UNEVENAGED STANDS OF PINUS IN DURANGO, MÉXICO José de Jesús Návar-Cháidez y José Contreras-Aviña Facultad de Ciencias Forestales. Universidad Autónoma de Nuevo León. Apartado Postal 41. 67700, Linares, Nuevo León. ([email protected])

RESUMEN

ABSTRACT

La distribución Weibull se ha convertido en una herramienta clásica del manejo forestal. La estimación y predicción de las estructuras diamétricas futuras son algunos usos comunes de esta tecnología matemática. Se presentan seis métodos para estimar parámetros de la distribución Weibull, comparando su eficiencia, su sesgo y su bondad de ajuste. Los procedimientos se evaluaron ajustándolos a las estructuras diamétricas de nueve rodales irregulares y mezclados de Pinus - Quercus - Juniperus con tres índices de sitio en Durango, México. Los resultados indicaron que la técnica convencional de máxima verosimilitud de dos parámetros mostró estimadores menos sesgados, más eficientes y con una de las mayores bondades de ajuste. Por esta razón, se recomienda este procedimiento para estimar las estructuras diamétricas de los rodales irregulares y mezclados de la Sierra Madre Occidental.

The Weibull distribution has become a classic tool in forest management for the estimation and projection of diameter structures. This report presents a summary of six methods to estimate the parameters used in the Weibull distribution, to test their efficiency and bias and their goodness of fit. The methods were evaluated by fitting parameters to diameter structures of nine uneven-aged and mixed Pinus-Quercus-Juniperus stands, located in three site indexes in Durango, México. The results indicate that the conventional twoparameter procedure of maximum likelihood had estimators with the least bias, more efficient and with one of the best goodness of fit tests. Therefore we recommend this method to estimate diameter structures of uneven-aged and mixed stands of the Sierra Madre Occidental of Durango, Mexico. Key words: Pinus spp., diameter fit, forest management, maximum likelihood.

Palabras clave: Pinus spp., ajuste del diámetro, manejo forestal, máxima verosimilitud.

INTRODUCTION INTRODUCCIÓN

F

itting probabilistic density functions (pdf) to diameter structures has become a classic tool in forest management. The gamma, lognormal, beta, johnson SB, charlier and Weibull distributions have been evaluated by Gadow (1984) and Laar et al. (1989). The latest pdf, introduced by Waloddi Weibull (Devore, 1987), was proposed for multiple applications. Wenger (1984) and Vanclay (1994) describe technological examples in which the Weibull distribution has been used to project diameter structures in forest growth and yield applications. Farrar and Matney (1994) fitted the Weibull distribution using a single procedure of parameter estimation. However, there are several mathematical technologies of parameter estimation (Haan, 1986; Devore, 1987), amongst the most important are maximum likelihood, moments, least square, graphical applications and point estimation or percentiles. The first two are widely recognized in the scientific literature (Shiver, 1988), although the latter is the most commonly used due to the ease with which parameters can be estimated (Shiver, 1988; Newberry et al., 1993).

E

l ajuste de distribuciones probabilísticas a las estructuras diamétricas se ha convertido en una herramienta clásica en el manejo forestal. Las distribuciones gamma, lognormal, beta, johnson SB, charlier, y Weibull han sido evaluadas por Gadow (1984) y por Laar et al. (1989). Esta última distribución, introducida por Waloddi Weibull (Devore, 1987), fue propuesta para múltiples aplicaciones. Wenger (1984) y Vanclay (1994) describen ejemplos de su aplicación para proyectar las estructuras diamétricas con el propósito de estimar el crecimiento forestal. Farrar y Matney (1994) ajustaron la distribución Weibull con un solo procedimiento, a pesar de que existen varias tecnologías de ajuste de parámetros (Haan, 1986; Devore, 1987), entre las que destacan: máxima verosimilitud, momentos, cuadrados mínimos, métodos gráficos, ajuste de puntos o percentiles, etc. Las primeros

Recibido: Mayo, 1998. Aprobado: Diciembre, 1999. Publicado como ARTÍCULO en Agrociencia 34: 353-361. 2000. 353

354

AGROCIENCIA VOLUMEN 34, NÚMERO 3, MAYO-JUNIO 2000

dos son las más reconocidas en la literatura (Shiver, 1988), aunque la última es muy popular por su facilidad para estimar los parámetros (Shiver, 1988; Newberry et al., 1993). Por otro lado, en diferentes estudios se han comparado procedimientos de ajuste de parámetros, dentro de los cuales destacan los de máxima verosimilitud con dos y tres parámetros, percentiles y momentos (Zarnoch y Dell, 1985; Ueno y Osawa, 1987; Shiver, 1988; Laar et al., 1989; Torres-Rojo et al., 1992) pero estas comparaciones no se han hecho para describir las estructuras diamétricas de rodales irregulares y mezclados de PinusQuercus-Juniperus como los que existen en la Sierra Madre Occidental, con datos derivados de sitios de muestreo en inventario forestal convencional. El objetivo de este trabajo fue comparar seis procedimientos de estimación de parámetros de la distribución Weibull aplicada a la predicción probabilística de las estructuras diamétricas en rodales irregulares y mezclados en el Edo. de Durango, México. La comparación de los procedimientos se hizo con base en la bondad de ajuste y el sesgo y eficiencia de los parámetros estimados, para establecer el procedimiento más recomendable en este tipo de rodales.

Several researchers have investigated the goodness of fit of several procedures of parameter estimation such as maximum likelihood of two and three parameters, moments, and percentiles (Zarnoch and Dell, 1985; Ueno and Oshawa, 1987; Shiver, 1988; Laar et al., 1989; TorresRojo et al., 1992). However, these methods have not been applied to describe the diameter structures of uneven-aged and mixed forest stands of the Sierra Madre Occidental, dominated by Pinus-Quercus-Juniperus, with data derived from sampling in conventional forest inventories. The objective of this study was to compare six procedures of parameter estimation of the Weibull distribution fitted to the diameter structures of uneven-aged and mixed forest stands of Durango, México, as well as to recommend the best procedure of parameter estimation in these native forest stands. Comparison tests include goodness of fit, bias and efficiency of parameter estimators. MATERIALS AND METHODS This research was conducted in the forest ejido ‘Vencedores’ located in the municipality of San Dimas, Durango, México (105o 36’ 19’’ to 105o 51’ 48’’ W and 24o 19’ 05’’ to 24o 30’’ 16’’ N, at an averaged altitude of 2540 m). The area belongs to the mountain range of the Sierra Madre Occidental. The study site has a temperate, moist

MATERIALES Y MÉTODOS

climate with average annual long-term rainfall of 900 mm and 15 oC average temperature.

La investigación se efectuó en el ejido Vencedores del Municipio de San Dimas, Durango, México, ubicado en el macizo montañoso de la Sierra Madre Occidental, entre los meridianos 105o 36’ 19’’ y 105o 51’ 48’’ O y los paralelos 24o 19’ 05’’ y 24o 30’ 16’’ N, con una altitud promedio de 2540 m. La precipitación y temperatura promedio anual son 900 mm y 15 o C, respectivamente. La vegetación presente en los rodales estudiados está compuesta por bosques de Pinus y mezcla de los géneros Pinus-Quercus y PinusQuercus-Juniperus. El género Pinus es el dominante con 65 % de los individuos, seguido de Quercus con 30 % y Juniperus con el resto. Las especies de pino observadas fueron P. cooperi Blanco, P. leiophylla Sch. et Cham., P. teocote Sch. et Cham. y P. durangensis Mart.

Pine-oak-tascate (Pinus-Quercus-Juniperus) forests characterize the plant community. Pines dominate tree diversity, comprising 65 % of the tree sinusia. Oaks account for 30 % and tascate for the remaining tree diversity. Pine species were P. cooperi Blanco, P. leiophylla Sch. et Cham., P. teocote Sch. et Cham. and P. durangensis Mart. Methodology Data was collected in 27 temporary circular sampling units, with an area of 1000 m2 each. Sampling sites were randomly chosen in nine forest stands, placed in three site indexes: 15, 18 and 21 m. For each tree the diameter at breast height, top height, canopy cover and age were measured.

Metodología The Weibull distribution La información se colectó en 27 sitios temporales de muestreo, con forma circular de 1000 m2 de superficie cada uno, distribuidos aleatoriamente en nueve rodales, con tres índices de sitio: 15, 18 y 21 m. En cada árbol de todas las especies arbóreas presentes en el sitio se midió el diámetro normal, la altura total, el diámetro de copa y la edad. La distribución Weibull Esta distribución, como función de densidad probabilística (fdp) está dada por el Modelo 1, y como función de densidad acumulada (fda) por el Modelo 2 (Haan, 1986):

This distribution, as a pdf is given by Model 1, and as a cumulative density function (cdf) by Model 2 (Haan, 1986):

R| L a x- e f O a U| P V S- M a -1 a b - e f- a e |T MN b- e PQ |W Px a x f = a a x - e f

Px

R| L x- e O a U| S- M P V a x f = 1- e T| N b- e Q W|

(1)

(2)

NÁVAR-CHÁIDEZ Y CONTRERAS-AVIÑA: DISTRIBUCIÓN WEIBULL EN RODALES IRREGULARES DE PINO

R| L a x- e f O a U| S- M b- e PPQ V| a-1 - a |T MN W a b - ef e Px a x f = a a x - e f

where Px(x) = Probability of the random variable at x; Px(x) = Cumulative probability of the random variable from 0 to x; e = Natural antilogarithm; a, b, e = Shape, scale and location parameters, respectively.

(1)

|RS- LM x- e OP a |UV | N b- e Q |W Px a x f = 1 - e T

In this study, parameters a, b, and e were estimated using the following procedures:

(2)

donde Px(x) = Probabilidad de la variable aleatoria en el punto x; Px(x) = Probabilidad acumulada de la variable aleatoria, desde 0 hasta el punto x; e = Antilogaritmo natural; a, b y e = Parámetros de forma, escala y posición. En el estudio, los parámetros a, b y e fueron ajustados por medio de los siguientes procedimientos: 1. Momentos probabilísticos ponderados de tres parámetros (MPP). Grender et al. (1990) presenta la solución del método de momentos por medio de probabilidades ponderadas para estructuras diamétricas que enfatizan las frecuencias menores o las clases diamétricas mayores, cuyas soluciones son: (3), (4) y (5)

a l=1, e¹0 =

af

ln 2

L ln M MN 2c5 M

2M1,1,0 - M1,0 ,0

1,1, 0 - M1,0 ,0 - 6 M1,2,0 + 2 M1,3,0

el=1,e¹0 =

c

h

b l=1,e¹0 =

M l , j ,0 =

cM -e h L 1 OP G M1+ MN a PQ 1,0,0

1 n l åx n i= j+1 i

el=1,e¹0 =

l=1, e¹0

1,0,0

l=1, e¹0

1 n l åx n i= j+1 i

OP PQ

h (5)

d i d i i-1 j

(6)

n-1 j

d i = j!aia-i -11-f! j f!

i-1 j

(6)

n-1 j

a

cM -e L 1 G M1+ MN a

(7)

where ln = Natural logarithm; G = Gamma function; Mi,j,0 = Weighted moment with real numbers l,j,0; l,i,j = Real ordered numbers of x. 2. Moments (MSP). Hahn and Shapiro (1967) observed that the skew coefficient (g) is related to a by:

(7)

f

a

G 1 + 3 / a - 3G 1 + 2 / a G 1 + 1 / a + 2 G 3 1 + 1 / a

f

(4)

M1,1,0 - 8 M1,0,0 +12 M1,2,0 - 4 M1,3,0

(4)

g=

2. Momentos sin ponderar (MSP). Hahn y Shapiro (1967) indican que el coeficiente de asimetría (g) de la variable aleatoria está relacionado con a por:

a

h

b l=1,e¹0 =

(5)

d i d i

f a

c

OP (3) h PQ

4 M1,1,0 3M1,2,0 - M1,3,0 - M1,1,0 - M12,1,0

M l , j ,0 =

donde ln = Logaritmo natural; G = Función gamma; Ml,j,0 = Momento ponderado con números reales l,j,0; l,i,j = Son números reales de x ordenados ascendentemente.

a

2M1,1,0 - M1,0 ,0

i-1 j

i-1 j

f

af

ln 2

L ln M MN 2c 5 M

1,1, 0 - M1, 0 , 0 - 6 M1, 2, 0 + 2 M1,3,0

l=1, e¹0

d i = j!aia-i -11-f! j f!

a

a l=1, e¹0 =

OP (3) h PQ

l=1, e¹0

g=

1. Weighted probabilistic moments of three parameters (MPP). Grender et al. (1990) report the solution to the moments procedure by weighting probabilities fitted to skewed diameter structures. The solution is given by (3), (4), and (5).

4 M1,1,0 3 M1,2,0 - M1,3,0 - M1,1,0 - M12,1,0 M1,1,0 - 8 M1,0,0 +12 M1,2,0 - 4 M1,3,0

355

G 1+ 2 / a - G 2 1+ 1 / a

f

3/2

(8)

f

a

f

a

f a

f

a

G 1 + 3 / a - 3G 1+ 2 / a G 1 + 1 / a + 2 G 3 1 + 1 / a

a

f

G 1+ 2 / a - G

2

a1 + 1 / a f

3/2

(8)

and with (8), they defined: b=m+sA(a)

(9)

e=b-sB(a)

(10)

where s is the standard deviation of the observed diameters, and

a f

a

fa f

A a = 1- G 1+ 1 / a B a

(11)

f

356

AGROCIENCIA VOLUMEN 34, NÚMERO 3, MAYO-JUNIO 2000

a f

y con esto definieron: b=m+sA(a)

(9)

e=b-sB(a)

(10)

donde s es la desviación estándar de los diámetros, y

a f

a

fa f

A a = 1- G 1+ 1 / a B a

a f

a

f

a

B a = G 1+ 2 / a - G 2 1+ 1 / a

(11)

f

- 1/ 2

(12)

3. Máxima verosimilitud de dos parámetros. Con este procedimiento se utilizaron tres opciones: la primera (MV0), que es el método convencional, supone que e = 0. Como no se observaron diámetros menores que 9 cm, en el segundo caso (MV1) los parámetros se ajustaron suponiendo que e es el centro de clase diamétrica mínima, y en el tercer caso (MV2) se desplazó la distribución probabilística hacia el origen por la sustracción del diámetro mínimo-1 a cada diámetro observado. Haan (1986) y Devore (1987) presentan las soluciones a este procedimiento, como:

l=

f

a

f

- 1/ 2

(12)

3. Two-parameter maximum likelihood procedure. In this technique of parameter estimation, three options were used: the first is the conventional procedure (MV0) and assumes that e = 0. As diameters smaller than 9 cm were not observed, the second option (MV1) displaced the diameter structure to the center of the first class interval The last option (MV2) displaced the diameter structure to the origin by subtracting the minimum diameter-1 from every observed diameter. Haan (1986) and Devore (1987) report the solutions to this procedure, as follows:

l=

n n

å xia

(13)

i=1

a=

n n

n

i=1

i=1

l å xia lnxi - å lnxi

(14)

b=l-1/a

(15)

where: l = Weighting parameter of a; xi = Each of the values of the random variable x; n = Number of observations of the random variable.

n n

å xia

(13)

i=1

a=

a

B a = G 1+ 2 / a - G 2 1+ 1 / a

n n

n

i=1

i=1

l å xia lnxi - å lnxi

(14)

b=l

-1/a

(15)

donde: l = Parámetro de ponderación de a; xi = Cada uno de los valores de la variable aleatoria x; n = Número de observaciones de la variable aleatoria x. 4. Cuadrados mínimos (CM). Con la probabilidad acumulada del diámetro observado ordenado, x, Px(x)=r/n; donde r = Orden y n = Número total de observaciones, el Modelo 16 fue ajustado por cuadrados mínimos.

R| L a x - ef O P a x f = 1 - exp S- M P |T MN b - e PQ i

x

a

U| V| W

(16)

Procedimiento Los métodos MV0, MV1 y MV2 se trabajaron iterativamente hasta ajustar a con la Ecuación 14, incluyendo la Ecuación 13 y posteriormente se resolvió la Ecuación 15. Para MSP, primero se resolvió por

4. Least square procedure (CM). Model 16 was fitted by least square techniques, with the cumulative probability of sorted diameters, x, Px(x) = r/n; where r = Real number sorted in ascending order and n = Total number of observations of the random variable x.

R| L a x - ef O P a x f = 1 - exp S- M P |T MN b - e PQ i

x

a

U| V| W

(16)

Procedure Procedures MVO, MV1 and MV2 iteratively fitted a until parameter convergence was reached by using Equation 14, including (13) and (15). For MSP, Equation 8 was first iteratively solved, afterwards Equations 9 and 10 were solved by using Models 11 and 12. For MPP, first Equations 7 and 6 were solved in order to apply Equations 3, 4 and 5. For CM, Equation 16 was fitted by least square techniques in nonlinear regression. Procedures requiring iterative techniques, in addition to MPP, were conducted using computer programs developed by the correspondant author. The Weibull equation was solved with each set of parameter estimators and observed frequencies were compared to those estimated by fitting c2 and Kolmogorov-Smirnoff (KS) tests. Absolute frequencies in class intervals of 5 cm were adjusted to the former goodness of fit test. The second test was carried out with the cumulative frequencies, estimated employing Model 2. These techniques were evaluated for Pinus spp. at the stand, site index and forest scales. For Quercus spp., these techniques were applied

NÁVAR-CHÁIDEZ Y CONTRERAS-AVIÑA: DISTRIBUCIÓN WEIBULL EN RODALES IRREGULARES DE PINO la Ecuación 8 y posteriormente por las Ecuaciones 9 y 10, con el auxilio de las Ecuaciones 11 y 12. Para MPP, se trabajó la Ecuación 6, definiendo la Ecuación 7, para resolver posteriormente las Ecuaciones 3, 4 y 5. Para CM, se ajustó la Ecuación 16 por medio de cuadrados mínimos en regresión no lineal. Los procedimientos que requirieron procesos iterativos, además de MPP, se trabajaron en un programa de cómputo desarrollado por el autor principal. Con los estimadores de los parámetros se calcularon las frecuencias para estimar bondades de ajuste por c2 y Kolmogorov-Smirnov (K-S). La primera se trabajó con las frecuencias absolutas para intervalos de clase de 5 cm observadas y estimadas con la Ecuación 1 y la segunda con las probabilidades diamétricas acumuladas observadas y estimadas con la Ecuación 2. Estos procedimientos se evaluaron para el género Pinus al nivel del rodal, índice de sitio y total; para el género Quercus al nivel de índice de sitio y total y para el género Juniperus sólo al nivel total. En el Cuadro 1 se presentan los estadísticos de los árboles medidos por rodal, índice de sitio y total. Con el total de observaciones diamétricas del género Pinus (N=674) se seleccionaron aleatoriamente 90, 80,…,10 % de los datos y se volvieron a estimar los parámetros para conocer su sesgo y eficiencia, suponiéndose que los parámetros de 100 % fueron de una población, y los de cada porcentaje, de una muestra. Las muestras tuvieron diferente número de observaciones para observar la convergencia de los parámetros de la muestra con los de la población.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

357

at the site index and forest scales, and finally for Juniperus spp. at the forest scales alone. Table 1 presents the statistical characteristics of the measured trees at the stand, site index and forest scales. For Pinus spp. parameters were estimated again by using randomly selected samples of 90, 80,..., and 10 % of the total observed diameters. Bias and efficiency of parameter estimators were obtained by assuming that 100 % of the observed diameters belong to a population and each percentage belongs to a sample. The number of samples varied to observe the convergence of sample with population parameter estimators.

RESULTS AND DISCUSSION Parameter estimation The procedures produced different parameter estimators. The average parameter estimator for a, calculated by MV0 and MV1 was the largest, while calculated by MPP it was the smallest (Table 2). The average estimator for b calculated by MPP and MV2 was similar, but it had the smallest value of all estimates. MV0, MV1 and CM presented similar b estimators. MPP recorded the best average e estimator, because the minimum observed diameters oscillated between 8 and 10 cm; in contrast to CM, MSP, MV0 and MV2, which underestimated it. The estimator for a was less variable when calculated by MV0, MV1 and CM techniques and more variable when estimated by MSP techniques. The estimator for

Estimación de parámetros Los procedimientos produjeron diferentes estimadores. El estimador promedio de a, calculado por MV0 y MV1, fue el mayor y el calculado por MPP fue el menor (Cuadro 2). El estimador promedio de b calculado con los procedimientos MPP y MV2 fue similar entre ellos, pero menor que los obtenidos con los demás procedimientos. Con respecto a este parámetro, los procedimientos MV0, MV1 y CM resultaron en estimadores similares. MPP mostró el mejor estimador promedio de e porque los diámetros mínimos para los rodales oscilaron entre 8 y 10 cm; en cambio con los métodos CM, MSP, MV0 y MV2 se subestimó e. El parámetro a fue menos variable cuando se estimó por MV0, MV1 y CM y más variable cuando se estimó por MSP. El parámetro b fue menos variable cuando se estimó por MV0, MV1, MSP y CM, y más variable cuando se estimó por MPP y MV2. El parámetro e fue menos variable cuando se estimó por MPP y más variable cuando se estimó por MSP y CM (Cuadro 2). Pruebas de bondad de ajuste La hipótesis nula (c2, 0.05) se aceptó en 4, 9, 7, 4, 6 y 13 de 18 ocasiones para los procedimientos MPP, MSP, MV0, MV1, MV2 y CM, respectivamente (Cuadro 3).

Cuadro 1. Estadísticos de los árboles muestreados de los géneros Pinus, Quercus y Juniperus en sitios de 1000 m2 de nueve rodales con tres índices de sitio en el Ejido Vencedores de Durango, México. Table 1. Statistics of trees of Pinus, Quercus and Juniperus genera sampled in circular plots of 1000 m2, placed in nine stands with three site indexes in the ejido ‘Vencedores’ of Durango, México. Diámetro (cm) Rodal/Índice de sitio/Género

1/1/Pinus 2/1/Pinus 3/1/Pinus 4/2/Pinus 5/2/Pinus 6/2/Pinus 7/3/Pinus 8/3/Pinus 9/3/Pinus (1,2,3)/1/Pinus (1,2,3)/1/Quercus (4,5,6)/2/Pinus (4,5,6)/2/Quercus (7,8,9)/3/Pinus (7,8,9)/3/Quercus Total Pinus Total Quercus Total Juniperus

Número de árboles 72 66 109 87 129 76 39 60 36 247 108 291 124 135 85 674 425 52

Promedio Desviación Asimetría geométrico estándar 23.7 19.8 18.8 20.9 16.5 19.9 27.7 23.3 25.6 20.4 23.8 18.6 23.1 25.1 24.7 20.4 23.7 21.3

11.5 12.0 10.7 11.3 8.6 12.2 12.9 13.5 8.5 11.5 13.0 10.7 11.8 12.2 14.5 9.3 13.0 8.8

0.112 1.547 1.233 1.655 1.404 0.848 0.316 1.425 -0.076 0.953 1.768 1.384 1.717 0.937 1.305 1.098 1.602 1.092

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Cuadro 2. Parámetros de la distribución Weibull estimados por seis procedimientos en nueve rodales de Pinus, Quercus y Junuperus con tres índices de sitio en Durango, México. Table 2. Weibull distribution parameters estimated by six procedures in nine forest stands dominated by Pinus, Quercus and Juniperus in three site indexes of Durango, México. Procedimiento de estimación de parámetros Rodal/Índice de sitio

MPP a

1/1 2/1 3/1 4/2 5/2 6/2 7/3 8/3 9/3 CS1P CS2P CS3P CS1Q CS2Q CS3Q Total para Pinus (P) Total para Quercus (Q) Total para Juniperus

b

1.93 1.39 1.11 0.89 0.87 0.98 1.38 1.22 1.76 1.29 0.99 1.73 0.90 1.06 0.91 1.26 1.00 1.08

MSP e

26.5 2.87 20.5 1.75 12.7 8.60 10.7 11.6 7.9 9.63 14.1 8.60 23.4 9.10 19.4 8.22 20.1 9.13 16.6 7.53 11.3 9.41 23.9 6.44 12.1 10.34 13.0 9.74 14.2 9.56 16.5 7.94 14.1 9.72 11.3 9.91

a 3.17 1.45 1.51 1.13 1.26 1.71 2.59 1.25 3.94 1.61 1.27 1.62 1.08 1.10 1.32 1.45 1.20 1.48

b

MV0 e

30.3 -6.80 22.4 1.56 22.4 6.22 23.6 10.10 18.9 7.32 25.2 2.35 34.4 -0.60 27.6 9.52 30.2 -3.01 25.0 4.90 21.8 7.21 30.0 8.34 24.1 9.64 23.4 9.91 26.5 5.61 24.6 6.11 25.4 8.74 22.3 8.4

MV1

a

b

a

b

2.54 2.01 2.27 2.17 2.25 2.02 2.61 2.86 3.62 2.15 2.08 2.40 1.61 1.69 1.53 2.12 1.60 2.21

29.8 25.3 23.6 26.1 20.5 25.8 34.4 29.9 30.0 23.0 23.6 31.3 16.0 16.4 17.8 26.5 18.4 17.4

2.54 2.01 2.27 2.17 2.25 2.02 2.61 2.86 3.62 2.15 2.08 2.40 1.61 1.69 1.53 2.12 1.60 2.21

29.8 25.3 23.6 26.1 20.5 25.8 34.4 29.9 30.0 23.0 23.6 31.3 16.0 16.4 17.8 26.5 18.4 17.4

MV2 a 1.67 1.27 1.11 1.33 1.10 1.20 1.65 1.24 2.21 1.43 1.26 1.49 1.65 1.70 1.56 1.35 1.40 2.27

CM

b

a

21.6 15.5 12.5 15.3 9.4 15.7 23.4 18.5 20.2 17.6 13.8 20.6 17.1 17.2 18.4 15.4 16.4 18.5

3.27 1.21 0.95 1.35 0.88 0.91 2.29 1.69 1.18 1.06 2.45 1.13 1.13 0.90 1.19 1.10 1.65

b

e

30.5 -12.12 22.9 8.08 21.5 9.17 22.9 9.99 17.8 9.64 23.1 9.00 33.8 0.72 28.6 4.33 30.0 24.5 7.82 20.9 8.99 30.8 -0.03 23.1 9.11 23.4 9.62 24.6 9.64 24.8 7.94 24.6 9.54 22.1 7.01

MPP = Momentos ponderados probabilísticos; MSP = Momentos sin ponderar; MV0,1,2 = Máxima verosimilitud 0,1,2; CM = Cuadrados mínimos. a, b y e = Parámetros de forma, escala y posición de la distribución Weibull. -: Falta de convergencia. Cuadro 3. Resultados de la prueba de bondad de ajuste de c2 para los diámetros observados en nueve rodales distribuidos en tres índices de sitio de Durango, México. Valores críticos: c29,05=18.3 y c29,01=23.2. Table 3. Results of the c 2 test, fitted to observed and estimated diameter structures of nine forest stands at three site indexes in Durango, México. Critical values are: c29,05=18.3 and c29,01=23.2).

b was less variable when calculated by MV0, MV1, MSP and CM and more variable when estimated by MPP and MV2. The estimator for e was less variable when estimated by MPP and more variable when estimated by MSP and CM (Table 2). Goodness of fit tests

Rodal/ Índice de sitio

Procedimiento de estimación de parámetros MPP

MSP

MV0

MV1

MV2

CM

1/1P 2/1P 3/1P 4/2P 5/2P 6/2P 7/3P 8/3P 9/3P CS1P CS2P CS3P CS1Q CS2Q CS3Q Total P Total Q Total J

10.4 24.4 44.4 74.7 941.7 646.0 75.6 9.6 25.2 12.6 2863.0 28.5 17.1

10.3 21.8 9.2 11.2 14.0 21.1 3.6 10.4 69.9 18.3 24.3 11.1 24.8 31.5 14.5 24.9 55.0 21.9

9.5 16.7 21.7 20.6 68.9 24.2 3.5 22.1 50.3 41.7 78.6 11.1 10.2 11.2 15.1 93.1 138.2 25.2

24.4 23.0 181.0 27.9 5457.0 61.9 13.5 74.1 169.0 229.0 1078.0 29.7 11.3 15.3 15.1 383.5 23.2 26.2

21.1 20.6 12.3 18.8 23.2 26.7 5.8 21.7 14.1 19.6 17.8 18.7 10.9 9.1 25.1 40.5 35.8 30.2

9.8 9.5 3.6 11.2 4.7 15.6 3.2 7.9 10.6 12.9 11.1 24.2 31.1 9.8 9.8 52.1 19.9

P = Pinus; Q = Quercus; J = Juniperus; MPP = Momentos ponderados probabilísticos; MSP = Momentos sin ponderar; MV0,1,2 = Máxima verosimilitud 0,1,2; CM = Cuadrados mínimos. -: Valores de c2 con enteros de más de 4 dígitos.

The null hypothesis was accepted on 4,9,7,4,6,13 of 18 cases for MPP, MSP, MV0, MV1, MV2 and CM, respectively, when using the c2 goodness of fit test, p=0.05 (Table 3). However, using p=0.01, the null hypothesis was accepted in 4,12,10,6,13,14 of 18 cases for the above procedures, respectively (Table 3). According to this test, CM, MSP and MV2 were the most appropriate procedures of parameter estimation. The null hypothesis (p=0.05) was accepted in 0, 13, 13, 7, 13 and 16 of 18 cases when parameters were estimated by MPP, MSP, MV0, MV1, MV2 and CM, respectively, using the K-S goodness of fit test (Table 4). With p=0.01, the null hypothesis was accepted in 1, 15, 14, 8, 15, 16 of 18 possibilities if estimated by the procedures mentioned above, respectively. These results demonstrate that the best procedure of parameter estimation was CM, closely followed by the maximum likelihood procedures; MV2, MV0, and the moment procedure MSP. MPP and

NÁVAR-CHÁIDEZ Y CONTRERAS-AVIÑA: DISTRIBUCIÓN WEIBULL EN RODALES IRREGULARES DE PINO

En cambio, con p=0.01, la hipótesis nula se aceptó en 4, 12, 10, 6, 13 y 14 de 18 casos para los procedimientos MPP, MSP, MV0, MV1, MV2 y CM, respectivamente (Cuadro 3). Con base en esta prueba, el mejor método de estimación de parámetros fue CM, seguido de MSP y MV2. En la prueba de K-S se aceptó la hipótesis nula, con p=0.05, en 0, 13, 13, 7, 13 y 16 de 18 casos para los métodos de estimación de parámetros MPP, MSP, MV0, MV1, MV2 y CM, respectivamente (Cuadro 4). Con p=0.01, la hipótesis nula se aceptó en 1, 15, 14, 8, 15 y 16 de 18 casos, respectivamente. Con estos resultados, el método de estimación de parámetros de CM fue el de mejor ajuste; MV2, MSP y MV0 ocuparon la segunda posición y muy cerca del primer método. Los procedimientos de estimación MPP y MV1 mostraron las mayores desviaciones. El número de hipótesis nulas fue de 9 y 13 para la prueba de c2 y de 11 y 15 para la prueba de K-S para los géneros Pinus y Quercus, respectivamente, al considerar los seis métodos de estimación de parámetros y los diámetros aglomerados por calidad de sitio. Estas observaciones muestran que los diámetros de Quercus son más regulares que los de Pinus. Sesgo y eficiencia de los estimadores Los menores sesgos totales y promedio para a se presentaron con el uso del procedimiento MV0 y por

359

MV1 had the largest deviations between observed and estimated cumulative diameter structures. Considering the six procedures of parameter estimation and diameter structures pooled by site index, the number of accepted null hypothesis was 9 and 13 for the c2 test and 11 and 15 for the K-S test for Pinus and Quercus, respectively. These observations indicated that Quercus diameter structures are more regular than those of Pinus. Skew and efficiency of parameter estimators The smallest total and average bias figures for a were recorded for MV0 and thus for MV1 as well; for b with MPP, and for e with MSP. The CM procedure recorded the largest average bias figures for all three parameters (Table 5). According to this test, the maximum likelihood technique, MV0, is the most reliable in parameter estimation. In general, the estimator’s variance increased when the number of data was reduced in all techniques. However, the coefficients of variation for a and b were smaller when estimated by MV0 and greater for a and e when estimated by MSP. The CV were larger for b when estimated by MPP (Table 5). The MV0 procedure showed parameters with the smallest variances, smallest bias and largest efficiencies. It also was one method with the largest proportions of

Cuadro 4. Resultados de la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) para los diámetros observados en nueve rodales distribuidos en tres índices de sitio en Durango, México. Table 4. Results of the K-S test fitted to observed and estimated cumulative diameter structures of nine forest stands with three site indexes in Durango, México. Método de estimación de parámetros

Rodal/Índice de sitio

1/1 2/1 3/1 4/2 5/2 6/2 7/3 8/3 9/3 CS1P CS2P CS3P CS1Q CS2Q CS3Q Total P Total Q Total J

Valores críticos de K-S

MPP

MSP

MV0

MV1

MV2

CM

0.05

0.01

0.19 0.21 0.44 1.00 1.00 0.35 0.30 0.29 0.49 0.31 0.62 0.25 0.58 0.52 0.39 0.32 0.43 0.72

0.09 0.20 0.10 0.08 0.13 0.12 0.05 0.09 0.09 0.09 0.10 0.06 0.06 0.06 0.10 0.08 0.05 0.08

0.09 0.11 0.12 0.14 0.17 0.14 0.06 0.16 0.09 0.10 0.14 0.05 0.08 0.05 0.11 0.11 0.58 0.07

0.20 0.22 0.25 0.21 0.31 0.25 0.15 0.26 0.14 0.21 0.24 0.14 0.09 0.06 0.12 0.21 0.05 0.06

0.11 0.13 0.15 0.12 0.16 0.19 0.07 0.09 0.12 0.09 0.08 0.05 0.09 0.05 0.11 0.01 0.45 0.07

0.07 0.07 0.06 0.05 0.06 0.07 0.04 0.06 0.97 0.06 0.06 0.05 0.05 0.05 0.05 0.07 0.03 0.08

0.16 0.16 0.13 0.14 0.11 0.15 0.21 0.17 0.23 0.08 0.07 0.11 0.13 0.12 0.14 0.05 0.07 0.19

0.19 0.19 0.15 0.17 0.14 0.18 0.25 0.21 0.27 0.10 0.09 0.14 0.15 0.14 0.17 0.06 0.08 0.22

P = Pinus; Q = Quercus; J = Juniperus; MPP = Momentos ponderados probabilísticos; MSP = Momentos sin ponderar; MV0,1,2 = Máxima verosimilitud 0,1,2; CM = Cuadrados mínimos.

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AGROCIENCIA VOLUMEN 34, NÚMERO 3, MAYO-JUNIO 2000

consiguiente en MV1; para b ocurrieron con el procedimiento MPP, y para e con el procedimiento MSP. Los mayores sesgos totales y promedio para a, b y e se presentaron con el procedimiento CM (Cuadro 5). De acuerdo con esta prueba, el método de máxima verosimilitud (MVO) generó los mejores estimadores de los parámetros de la población. En general, los estimadores de los parámetros se desviaron de los parámetros poblacionales a medida que el número de datos disminuyó con todos los procedimientos de estimación (Cuadro 5). Los CV para a y b fueron menores con el procedimiento MV0 y mayores con MSP para a y e y con MPP para b (Cuadro 5). El método MV0 mostró las menores varianzas en sus parámetros, menores sesgos y mayores eficiencias; también fue uno de los métodos con mayores números de hipótesis nulas en las pruebas de c2 y de K-S. Por esta razón, se recomienda su uso en el modelaje probabilístico de las estructuras diamétricas de los bosques mezclados, irregulares y bajo manejo de la Sierra Madre Occidental de Durango, México. El método de máxima verosimilitud fue el más apropiado para modelar las estructuras diamétricas de bosques de Q. robur (Laar et al., 1989), de P. elliottii (Shiver, 1988) y de P. montezumae (Torres-Rojo et al., 1992) y se recomendó por estimar parámetros insesgados, eficientes, consistentes y con menor varianza. Haan (1986) define que este procedimiento utiliza toda la información de la muestra para estimar parámetros y que por esta razón puede converger en la solución correcta con un menor número de datos. Sin embargo, Torres et al. (1992) mostraron que este método no produce necesariamente los estimadores más robustos en bosques de P. montezumae. A pesar de que los procedimientos de máxima verosimilitud y de percentiles no difirieron estadísticamente en el ajuste a estructuras diamétricas de plantaciones de P. taeda, Zarnoch y Dell (1985) recomiendan utilizar el

accepted null hypothesis in both goodness of fit tests (c2 and K-S). Therefore its use is recommended to model probabilistically the diameter structures of mixed and uneven-aged forests under management of the Sierra Madre Occidental of Durango, México. Maximum likelihood techniques were the most appropriate methodologies to model diameter structures of forest stands dominated by Q. robur (Laar et al., 1989), by P. elliottii (Shiver, 1988) and by P. montezumae (Torres-Rojo et al., 1992). This methodology has been widely recommended because parameters are estimated with the highest efficiency, consistency and smallest variance and bias. Haan (1986) indicates that this procedure uses all the sample information to estimate parameters and therefore it converges to the right solution with few observations. However, Torres-Rojo et al. (1982) showed that this method did not necessarily provide the robustest parameter estimators in P. montezumae forest stands. Maximum likelihood and percentile techniques modeled P. taeda diameter structures well, however, the latter procedure has been recommended due to the ease and quickness to estimate parameters (Zarnoch and Dell, 1985). Therefore percentile approaches have become popular in parameter estimation (Knowe et al., 1992; Newberry et al., 1993). The least square methodology (CM) fitted the diameter structures best. However, it yields parameter estimators with large variances and bias and therefore it is inefficient. MPP and MSP recorded one of the worst c2 and K-S goodness of fit tests though occasionally they had small variances and biased parameter estimators. The former methodology, originally described by Grender et al. (1990), can be modified for several moments and can fit diameter structures better. This is a matter of additional research. Ueno and Oshawa (1987), however, did not observe statistical differences in modeled diameter structures by maximum likelihood procedures of two and three-parameters and moments for P. densiflora stands,

Cuadro 5. Estadísticos de los parámetros de la distribución Weibull estimados con seis procedimientos en nueve muestras aleatorias de 674 árboles de pino en Durango, México. Table 5. Statistics of Weibull distribution parameters estimated by six procedures in nine randomly chosen samples of 674 pine trees of Durango, México. Procedimiento de estimación de parámetros Estadístico

MPP a

Población Media Varianza Sesgo

b

1.28 16.2 1.25 16.2 0.01 1.06 0.32 0.19

MSP e 7.93 7.95 0.44 0.22

a 1.48 1.55 0.07 0.70

b 24.74 24.91 0.71 2.15

MV0 e 6.23 6.42 3.59 2.06

a

MV1 b

2.14 26.11 2.13 26.34 0.01 0.19 0.13 2.36

a

b

2.14 2.13 0.01 0.13

26.11 26.30 0.19 2.36

MV2 a

b

1.33 16.30 1.24 15.61 0.01 0.79 1.01 8.19

CM a

b

e

1.21 24.34 8.00 1.19 24.51 7.99 0.00 0.39 0.59 0.20 1.90 0.13

MPP = Momentos ponderados probabilísticos; MSP = Momentos sin ponderar; MV0,1,2 = Máxima verosimilitud 0,1,2; CM = Cuadrados mínimos. a, b y e = Parámetros de forma, escala y posición, respectivamente de la distribución Weibull.

NÁVAR-CHÁIDEZ Y CONTRERAS-AVIÑA: DISTRIBUCIÓN WEIBULL EN RODALES IRREGULARES DE PINO

segundo método por su rapidez y facilidad para estimar parámetros. Por esta razón, este último procedimiento se ha convertido en un método popular para estimar parámetros (Knowe et al., 1992; Newberry et al., 1993). El método CM presentó las mejores bondades de ajuste. Sin embargo, estimó parámetros con las mayores varianzas, sesgos y, por consiguiente, es ineficiente. Los métodos MPP y MSP presentaron una de las menores bondades de ajuste en ambas pruebas aunque en ocasiones resultaron con varianzas y sesgos bajos. El primer método, descrito originalmente por Grender et al. (1990), puede ser modificado para diferentes momentos y ajustarlo mejor. Este es un tema de investigación adicional. Ueno y Osawa (1987), por otra parte, no encontraron diferencias significativas entre las estructuras modeladas por la distribución Weibull de dos y tres parámetros ajustados por procedimientos de máxima verosimilitud y momentos para diámetros de P. densiflora, aunque se recomendó el segundo por su facilidad y rapidez de estimación de parámetros. CONCLUSIONES El método de máxima verosimilitud de dos parámetros utilizado para ajustar la distribución Weibull a la estructura diamétrica de nueve rodales irregulares y mezclados (Pinus-Quercus-Juniperus) resultó con parámetros menos variables, más eficientes, menos insesgados y con una de las mejores bondades de ajuste. Por esta razón, se recomienda aplicarlo para modelar las estructuras diamétricas de los bosques irregulares y mezclados de la Sierra Madre Occidental de Durango, México. AGRADECIMIENTO Al CONACyT por su apoyo a los Proyectos 2452P-N y 28536B, respectivamente.

LITERATURA CITADA Devore, J. L. 1987. Probability and Statistics for Engineers and the Sciences. Brooks/Cole Pub. Calif. 312 p. Farrar, R. M., and T. G. Matney. 1994. A dual growth simulator for natural even-aged stands of longleaf pine in the South’s east Gulf region. Southern J. App. For. 18 (4): 147-155. Gadow, K. V. 1984. Fitting diameter distributions of even aged pine stands. Forst. Centralblatt 103: 360-374. Grender, J. M., T. R. Dell, and R. M. Reich. 1990. Theory and derivation for probability weighted moment estimates for Weibull parameter estimates. Institute for Quantitative Studies. Res. Paper SO-260 Southern For. Exp. Sta. USDA For. Serv. 19 p.

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although they recommended the latter procedure because parameters can be estimated more easily. CONCLUSIONS The two-parameter maximum likelihood methodology of parameter estimation is recommended to fit the Weibull distribution to the diameter structures of unevenaged and mixed (Pinus-Quercus-Juniperus) forest stands. This procedure estimated parameters with the smallest variance, bias and with one of the best efficiency and goodness of fit tests. Therefore, it is recommended for modeling the diameter classes of uneven-aged and mixed coniferous forests of the Sierra Madre Occidental of Durango, México. —End of the English version—

pppvPPP Haan, C. T. 1986. Statistical Methods in Hydrology. Iowa State Press. 378 p. Hahn, G. J., and S. S. Shapiro. 1967. Statistical Models in Engineering. John Wiley. New York. 418 p. Knowe, S. A., T. B. Harrington, and R. G. Shula. 1992. Incorporating the effects of interspecific competition and vegetation management treatments in diameter distribution models for Douglas-fir saplings. Can. J. For. Res. 22: 1255-1262. Laar, A. V., R. Mosandl, and A. Van Laar. 1989. Diameter distributions in young oak stands. Allgemeine Forst und Jagdzeitung 160: 189-194. Newberry, J. D., J. A. Moore, L. J. Zhang, and L. Zhang. 1993. Evaluation of simple quantile estimation functions for modeling forest diameter distribution in even-aged stands of interior Duglas-fir. Can. J. For. Res. 23: 2376-2382. Shiver, B. D. 1988. Sample size and estimation methods for the weibull distribution for unthinned slash pine plantation diameter distributions. For. Sci. 34: 809-814. Torres R., J. M., M. Acosta M. y O. S. Magaña. 1992. Métodos para estimar los parámetros de la función Weibull y su potencial para ser predichos a través de atributos de rodal. Agrociencia Serie Recursos Naturales Renovables 2(2): 57-76. Ueno, Y., and Y. Osawa. 1987. The applicability of the weibull and expanded weibull distributions. J. Jap. For. Soc. 69: 24-28. Vanclay, K. V. 1994. Modelling Forest Growth and Yield: Applications to Mixed Tropical Forests. CAB Int. Wallingford, Oxon. UK. 312 p. Wenger, K. F. 1984. Forestry Handbook. 2nd ed. Soc. Am. For. John Wiley & Sons. New York. 1335 p. Zarnoch, S. J., and T. R. Dell. 1985. An evaluation of percentile and maximum likelihood estimators of weibull parameters. For. Sci. 31: 260-268.