ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA

520135, 522115 Segundo Semestre

CAPITULO 6: POLINOMIOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1

Polinomios

Definición: Polinomio Sea K (Q, R ó C), n ∈ N ∪ {0}, y sean a0 , a1 , ..., an ∈ K. Se llama función polinomial o polinomio con coeficientes a0 , a1 , ..., an a la función p : K −→ K que a cada x ∈ K le asigna el valor: p(x) =

n X i=0

ai xi = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ,

El grado de un polinomio es el mayor valor n tal que an 6= 0. Se escribe gr(p) = n. Se denota por P(K) al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K. Por ejemplo, P(Q), P(R) ó P(C).

2

Polinomios Observaciones y notaciones: an se llama coeficiente principal y a0 se llama término libre o independiente. Si an = 1, el polinomio p se llama polinomio mónico. Si n = 0 y a0 6= 0, entonces p(x) = a0 se llama polinomio constante y tiene grado cero. Se define el polinomio constante nulo, θ, por: θ(x) = 0 para todo x ∈ K. Se conviene que el polinomio nulo no tiene grado. Se define el polinomio constante unidad, 1, por: 1(x) = 1, para todo x ∈ K. 3

Polinomios Igualdad de Polinomios:

Si p(x) =

n X i=0

ai xi

y

q(x) =

m X

bi xi ,

i=0

entonces p = q ⇐⇒ [gr(p) = gr(q) ∧ ∀i = 0, ..., n,

ai = bi ].

4

Polinomios Definición : suma y multiplicación de polinomios. Sean

p(x) =

n X

ai xi

y

q(x) =

m X

bi xi

dos polinomios

i=0

i=0

cualesquiera en P(K). Se definen las siguientes operaciones: Suma p(x) + q(x) =

r X

(ai + bi )xi ,

i=0

donde r =max{m, n}. Multiplicación p(x) · q(x) = con di =

i X

k=0

m+n X

di xi ,

i=0

ak b(i−k) , i = 0, 1, ..., m + n; gr(p · q) = gr(p) + gr(q). 5

Polinomios Propiedades de la suma y el producto en P(K). ∀p, q, r ∈ P(K) se tiene: S1).

(p + q) + r = p + (q + r).

S2).

p + q = q + p.

S3).

∃ θ ∈ P(K) : p + θ = p

S4).

∃ − p ∈ P(K) : p + (−p) = θ

M1).

(p · q) · r = p · (q · r)

M2).

p·q =q·p

M3).

∃ 1 ∈ P(K) : p · 1 = p

N).

p · q = θ =⇒ p = θ ∨ q = θ

D).

p · (q + r) = p · q + p · r

Estas propiedades corresponden a una estructura de Anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero.

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Polinomios Observación: Como vemos, el conjunto de los polinomios tiene algunas propiedades en común con el conjunto de los números enteros. Además de las anteriores, veremos que: p Si p, q ∈ P(K), entonces se llama función racional y en general q NO es un polinomio. La división de polinomios es similar a la división de números enteros. También existe la noción de divisibilidad . Es posible extraer Mínimo Común Múltiplo y las funciones racionales se suman de manera similar a las fracciones.

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Polinomios Teorema. Si p, d ∈ P(K), gr(p) ≥ gr(d) y d 6= θ, entonces existen únicos polinomios q, r ∈ P(K) llamados respectivamente cuociente y resto, tales que: p = qd + r,

y (r = θ

o

gr(r) < gr(d)).

Observaciones: Del teorema se tiene que r p =q+ . d d Si r = θ, entonces decimos que q divide a p y que p es divisible por d. 8

Polinomios Ejemplo Si p(x) = 6x + 4x3 + 5x4 − x2 y se obtiene: q(x) = 5x2 + 4x − 6

d(x) = x2 + 1, y r(x) = 2x + 6.

Regla de Ruffini. Si dividimos el polinomio p(x) =

n X

k=0

ak xk por (x − c), obtenemos un

cuociente q(x) = qn−1 xn−1 + qn−2 xn−2 + · · · + q1 x + q0 de grado igual a n − 1 y cuyo coeficiente principal es igual al coeficiente principal de p: qn−1 = an . Además, el resto que se obtiene es un polinomio de grado 0 (e.d., constante). 9

Polinomios Definición.

Sean p ∈ P(K) y c ∈ K, se dice que c es una raíz o cero

de p si p(c) = 0. Es decir, si: p(c) =

n X i=0

ai ci = a0 + a1 c + a2 c2 + · · · + an cn = 0.

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Polinomios Teorema del resto. El resto de dividir p ∈ P(K) por (x − c) es p(c).

Teorema del factor. c es raíz de p ⇐⇒ p es divisible por (x − c), es decir, p(c) = 0 ⇐⇒ ∃ q ∈ P(K), ∀x ∈ K, p(x) = q(x)(x − c).

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Polinomios Definición. Sea k ∈ N el mayor natural tal que (x − c)k divide a p. Es decir existe q ∈ P(K) no divisible por (x − c) tal que ∀x ∈ K,

p(x) = q(x)(x − c)k .

En tal caso decimos que c es una raíz de multiplicidad k. Si k = 1 se dice que c es una raíz simple. La suma de las multiplicidades de todas las raíces de p es menor o igual que gr(p). Un polinomio p tiene a lo más gr(p) raíces distintas. Si un polinomio p(x) de grado n con coeficientes complejos es igual a cero para más de n valores de x distintos, entonces el polinomio es idénticamente nulo. Si dos polinomios p y q de grado n coinciden en n + 1 puntos distintos, entonces p = q.

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Polinomios Definición. Polinomios reducibles e irreducibles. Un polinomio p se dice reducible en P(K) si existen dos polinomios q, s ∈ P(K), con gr(q) ≥ 1, gr(s) ≥ 1, tales que p = qs. En caso contrario se dice que p es irreducible o primo en P(K). Por ejemplo, p(x) = x2 + 1 es reducible en P(C) y es irreducible en P(R) y en P(Q). Los polinomios de grado 1, p(x) = a0 + a1 x, son todos irreducibles en P(K).

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Polinomios Teorema. Sea p ∈ P(C) con coeficientes complejos reales, y z = a + bi ∈ C (con a, b ∈ R y b 6= 0). Si p(z) = 0, entonces p(z) = 0 y existe q ∈ P(R) tal que p(x) = [(x − a)2 + b2 ]q(x),

∀ x ∈ R.

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Polinomios Localización de raíces. Si p ∈ P(R) tiene grado impar, entonces p tiene al menos una raíz.

√ Si a + b es raíz de p ∈ P(R), con coeficientes racionales, a, b ∈ Q √ √ y b es irracional, entonces a − b también es raíz de p. Regla de Descartes. El número de raíces reales positivas (negativas) de un polinomio p ∈ P(C), con coeficientes complejos reales es menor o igual que el número de cambios de signo de los coeficientes de p(x) ( de p(−x)) y difiere de él en un número par. Ejemplo.

p(x) = x4 − x3 − 2x − 1 tiene una raíz real positiva, una

negativa y dos complejas conjugadas. 15

Polinomios Observaciones. Dado p ∈ P(K), y a ∈ K, los polinomios p y ap tienen las mismas raíces. Si p ∈ P(Q) y a es múltiplo común de los denominadores de los coeficientes de p, entonces ap tiene coeficientes enteros. Teorema. Raíces racionales. n X

a ai x un polinomio con coeficientes en Z y sea una raíz Sea p(x) = b i=0 de p con a, b ∈ Z primos relativos, entonces a divide a a0 y b divide a an . Corolario.

i

Si p es mónico, entonces sus raíces racionales son enteros

divisores de a0 . 16

Polinomios Ejemplo Descomponer en factores irreducibles en P(R) y en P(C), p(x) = x6 − 1. Solución p(x) = x6 − 1

= (x3 − 1)(x3 + 1)

= (x − 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 − x + 1).

Como x2 + x + 1 y x2 − x + 1 tienen raíces complejas. Así p(x) = (x − 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 − x + 1) está descompuesto en factores irreducibles en P(R) y p(x) = (x−1)

x−

−1 + 2

√

3i

!

x−

−1 − 2

√

3i

!

(x+1)

x−

√

1 + 3i 2

está descompuesto en factores irreducibles en P(C).

!

x−

√

1 − 3i 2

!

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Polinomios Ejemplo Encuentre todas las raíces de 3 5 45 4 271 3 27 2 p(x) = x − x − x + x − 33 x + x−2 2 4 8 2 6

Solución Para poder encontrar las raíces racionales es necesario que el polinomio sea a coeficientes enteros, entonces multiplicamos por 8 y buscamos las raíces de q(x) = 8 x6 − 12 x5 − 90 x4 + 271 x3 − 264 x2 + 108 x − 16. q tiene 5 cambios de signo, luego tiene una, tres o 5 raíces positivas y tiene exactamente una raíz negativa.   1 1 1 Las posibles raíces racionales son ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ± , ± , ± . 2 4 8 18

Polinomios Hacemos la división sintética de q por (x + 4): 8

8

-12

-90

271

-264

108

-16

-32

176

-344

292

-112

+16

-44

86

-73

28

-4

0

-4

De aquí x = −4 es la raíz negativa y como q(x) = (x + 4)(8 x5 − 44 x4 + 86 x3 − 73 x2 + 28 x − 4)   1 1 1 las posibles raíces racionales restantes son: 1, 2, 4, 8, 16, , , . 2 4 8 Repitiendo el proceso se obtiene que las raíces positivas son: x = 2 con multiplicidad 2 y x =

1 2

con multiplicidad 3.

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Polinomios Descomposición en Suma de Fracciones Parciales. Si p, q ∈ P(R), con gr(p) < gr(q) y q 6= θ.

Entonces la función racional

p puede descomponerse en sumas de fracciones cuyos denominadores q son polinomios obtenidos de la factorización de q en polinomios irreducibles en P(R), de la siguiente forma: I) por cada factor lineal con potencia n, (ax + b)n , se obtienen los sumandos: A1 A2 An + + · · · + . 2 n (ax + b) (ax + b) (ax + b)

20

Polinomios

II) por cada factor cuadrático irreducible en P(R), con potencia m, (ax2 + bx + c)m , se obtienen los sumandos: A1 x + B1 A2 x + B2 Am x + Bm + + ···+ . (ax2 + bx + c) (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)m Si p, q ∈ P(R), con gr(p) ≥ gr(q) y q 6= θ.

Entonces podemos calcular

p el cuociente Q y el resto R de la división , tales que: q R p =Q+ , q q

gr(R) < gr(q),

R y aplicar el procedimiento anterior a . q 21

Polinomios Ejemplo 1.

Descomponga la fracción en suma de fracciones parciales 3x + 6 (x − 2)(x + 4)

Solución Los factores del denominador son lineales diferentes 3x + 6 A B = + (x − 2)(x + 4) x−2 x+4 De aquí A = 2 y B = 1, es decir, 2 1 3x + 6 = + (x − 2)(x + 4) x−2 x+4

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Polinomios Ejemplo 2.

Descomponga la fracción en suma de fracciones parciales 6x2 − 14x − 27 (x + 2)(x − 3)2

Solución El denominador tiene el primer factor lineal no repetido y el segundo lineal repetido 6x2 − 14x − 27 B C A + + = . (x + 2)(x − 3)2 x + 2 x − 3 (x − 3)2 De aquí A = 1, B = 5 y C = −3, es decir, 5 3 1 6x2 − 14x − 27 + − = (x + 2)(x − 3)2 x + 2 x − 3 (x − 3)2 23

Polinomios Ejemplo 3.

Descomponga la fracción en suma de fracciones parciales 5x2 − 8x + 5 (x − 2)(x2 − x + 1)

Solución El denominador tiene el primer factor del denominador lineal y el segundo, es irreducible en los números reales 5x2 − 8x + 5 A Bx + C = + . (x − 2)(x2 − x + 1) x − 2 x2 − x + 1 De aquí A = 3, B = 2 y C = −1, es decir, 5x2 − 8x + 5 3 2x − 1 = + (x − 2)(x2 − x + 1) x − 2 x2 − x + 1 24

Polinomios Ejemplo 4.

Descomponga la fracción en suma de fracciones parciales x3 − 4x2 + 9x − 5 (x2 − 2x + 3)2

Solución x3 − 4x2 + 9x − 5 Cx + D Ax + B + = 2 (x2 − 2x + 3)2 x − 2x + 3 (x2 − 2x + 3)2 De aquí A = 1, B = −2, C = 2 y D = 1, es decir, 2x + 1 x−2 x3 − 4x2 + 9x − 5 + = 2 (x2 − 2x + 3)2 x − 2x + 3 (x2 − 2x + 3)2

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Polinomios Ejemplo 5.

Descomponga la fracción en suma de fracciones parciales x3 − 7x2 + 17x − 17 x2 − 5x + 6

Solución x−5 x3 − 7x2 + 17x − 17 =x−2+ 2 x2 − 5x + 6 x − 5x + 6 y x−5 x−5 3 2 = = − . 2 x − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) x−2 x−3 Luego x3 − 7x2 + 17x − 17 3 2 = (x − 2) + − . 2 x − 5x + 6 x−2 x−3 26