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Tema 5. Hoja 1

Tema 5. PROBABILIDAD. 1. Probabilidad: conceptos fundamentales. Regla de Laplace. 1. Un dado se lanza dos veces. Se pide: (a) Construir el espacio muestral. ¿Cu´al es el n´ umero de sucesos elementales? (b) Sean los sucesos A = { en el primer lanzamiento el n´ umero que sale es menor o igual que 2 } B = { el segundo lanzamiento es mayor o igual que 5 }. (i) Calcular P (A) y P (B). (ii) Calcular P (A

S

B).

(iii) ¿Son A y B sucesos incompatibles? 2. Se lanzan dos dados simult´aneamente. Sean los sucesos A = { la suma de los puntos es impar } B = { al menos se obtiene un 1 } Calcular P (A 3. Si A

T

S

B).

B = ∅, P (A) = 1/5 y P (B) = 2/5, calcular P (Ac

4. Sean los sucesos A y B con P (A T P (A), P (B) y P (A B c ).

S

B) = 7/8, P (A

5. Sean los sucesos A y B con P (A) = 1/2, P (A T T S T P (A B), P (Ac B c ), P (Ac B c ) y P (Ac B).

S

T

T

B c ).

B) = 1/4 y P (Ac ) = 5/8. Hallar

B) = 3/4 y P (B c ) = 5/8. Hallar

6. La probabilidad de que una persona sea rubia es de 0.4 y la probabilidad de que tenga los ojos negros es 0.3. Calcular las siguientes probabilidades: (a) que sea rubia y tenga los ojos negros. (b) que sea rubia o tenga los ojos negros. (c) que tres personas sean rubias. (d) que dos personas sean rubias o tengan los ojos negros. 7. Para la se˜ nalizaci´on de emergencia de un hospital se han instalado dos indicadores que funcionan independientemente. La probabilidad de que el indicador accione la alarma durante la aver´ıa es igual a 0.99 para el primero de ellos y 0.95 para el segundo. Hallar la probabilidad de que durante la aver´ıa se accione s´olo un indicador.

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Tema 5. Hoja 2

8. Una urna contiene 4 bolas blancas, 3 rojas y 5 negras. Calcular la probabilidad de que al extraer dos bolas consecutivas sean ambas del mismo color. 9. Hallar la probabilidad de que en una familia con 4 hijos, por lo menos uno de ellos sea var´on. 10. A un congreso cient´ıfico asisten 100 congresistas. De ellos 80 hablan franc´es y 40 ingl´es. ¿Cu´al es la probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar no pueden entenderse sin int´erprete? 11. Un lote de doce art´ıculos tiene cuatro defectuosos. Si se toman tres sin reemplazar, calcular la probabilidad de que (a) ninguno sea defectuoso; (b) alguno sea defectuoso. 12. Seis personas se sientan alrededor de una mesa. ¿Cu´al es la probabilidad de que dos personas determinadas est´en contiguas? 13. Determ´ınese la probabilidad de que dos personas de un conjunto de r (r=5, 10, 15, 20, 25, 30, 35) tengan el mismo cumplea˜ nos. 14. En una baraja de 40 cartas, ¿cu´al es la probabilidad de que un grupo de cinco cartas contenga exactamente dos ases? 15. Probabilidad de que al lanzar un dado 7 veces al aire salga tres veces el mismo n´ umero. 16. ¿Cu´al es la probabilidad de acertar la loter´ıa primitiva? ¿Cu´anto dinero hay que gastarse para que la probabilidad de ganar sea 1/2? Si un apostante gasta 10.000 ptas, ¿qu´e probabilidad tiene de ganar? 17. Se lanzan cuatro monedas y se sabe que por lo menos aparecer´an dos caras. ¿Cu´al es la probabilidad de que aparezcan exactamente cuatro caras? 18. Se supone que 5 de cada 100 hombres y 20 de cada 10.000 mujeres son dalt´onicos. Se elige al azar una persona dalt´onica. ¿Cu´al es la probabilidad de que dicha persona sea hombre? 2. Probabilidad condicionada. 19. Se lanza una moneda dos veces. Sea A el suceso “salir cara en la primera tiradaτ B el suceso “salir cara en la segunda tirada”. Demu´estrese que A y B son independientes pero no incompatibles. 20. Una urna tiene 3 bolas de colores rojo, azul y blanco. Sin reemplazamiento se sacan aleatoriamente una bola y despu´es otra. Consid´erense los sucesos: A = { la bola roja es seleccionada en la primera extracci´on } B = { la bola roja es seleccionada en la segunda extracci´on } C = { la bola azul es seleccionada en la primera extracci´on } Determ´ınese P (A), P (B), P (C) y P (B/C).

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Tema 5. Hoja 3

21. Una urna contiene 5 bolas blancas y 7 negras. Se extraen dos bolas simult´aneamente. Supuesto que se sabe que una de las dos bolas es blanca, hallar la probabilidad de que lo sea tambi´en la otra. 22. Se lanzan varios dados y se obtienen tres puntos. Hallar la probabilidad de que se haya jugado con tres dados. 23. En una reuni´on hay 10 personas, de las cuales 3 son dalt´onicas y 4 llevan gafas. Se sabe adem´as que la probabilidad de que un dalt´onico lleve gafas es de 0.6. ¿Cu´al es la probabilidad de que una persona elegida al azar (a) sea dalt´onica y lleve gafas; (b) sea dalt´onica o lleve gafas? 24. En una cierta ciudad el 40 % de la poblaci´on tiene cabellos casta˜ nos, el 25 % tiene ojos casta˜ nos y el 15 % tienen cabellos y ojos casta˜ nos. Se escoge una persona al azar. (a) Si tiene cabellos casta˜ nos, ¿cu´al es la probabilidad de que no tenga ojos casta˜ nos? (b) Si tiene ojos casta˜ nos, ¿cu´al es la probabilidad de que no tenga cabellos casta˜ nos? (c) ¿Cu´al es la probabilidad de que no tenga ni cabellos ni ojos casta˜ nos? 25. La probabilidad de que tres hombres den en el blanco son, respectivamente, 1/6, 1/4 y 1/3. Cada uno dispara una vez al blanco. (a) Hallar la probabilidad de que exactamente uno de ellos d´e en el blanco. (b) Si solamente uno pega en el blanco, ¿cu´al es la probabilidad de que haya sido el primer hombre? 26. Una urna contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules. (a) Se extrae una bola. Hallar la probabilidad de que dicha bola sea (i)roja; (ii) blanca; (iii) azul; (iv) no roja; (v) roja o blanca. (b) De la urna se sacan sucesivamente 3 bolas. Hallar la probabilidad de que salgan en el orden roja, blanca y azul si cada bola (i) se repone; (ii) no se repone. 27. Se extraen, sucesivamente, tres bolas de una urna que contienen 4 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras. Hallar la probabilidad de sacarlas en el orden blanca, roja y negra si las extracciones se hacen (a) con reemplazamiento; (b) sin reemplazamiento. 3. Probabilidad total. Teorema de Bayes. 28. La caja A contiene 5 fichas azules y 3 rojas y la caja B contiene 4 fichas azules y 6 rojas. (a) Se traslada una ficha de la caja A a la caja B. A continuaci´on se extrae una ficha de la caja B. ¿Cu´al es la probabilidad de que la ficha extra´ıda sea roja?

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Tema 5. Hoja 4

(b) Se trasladan dos fichas de la caja A a la caja B; seguidamente se extrae una ficha de la caja B. ¿Cu´al es la probabilidad de que la ficha extra´ıda sea azul? 29. Se lanza una moneda cargada de modo que la probabilidad de que salga cara es de 2/3. Si sale cara, se escoge al azar un n´ umero del 1 al 9; si sale cruz, se elige al azar un n´ umero del 1 al 5. Hallar la probabilidad de que se escoja un n´ umero par. 30. Una urna U1 contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 8 azules; otra urna U2 contiene 3 bolas rojas y 5 blancas. Se lanza un dado corriente: si sale el 3 o el 6 se escoge una bola de U2 , de lo contrario la bola se extrae de U1 . Hallar la probabilidad de que: (a) se escoja una bola roja; (b) se escoja una bola blanca; (c) se escoja una bola azul; (d) Si se escoge una bola roja, ¿cu´al es la probabilidad de que proceda de la urna U1 ? (e) Si se escoge una bola blanca, ¿cu´al es la probabilidad de que aparezca un 5 en el dado? 31. La caja A contiene nueva cartas numeradas de 1 a 9, y la caja B contiene cinco cartas numeradas de 1 a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta. Si el n´ umero es par, hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A. 32. La urna U1 contiene 5 bolas blancas y 3 rojas, y la urna U2 tiene tres blancas y 4 rojas. Se extrae una bola de la urna U1 y, sin mirarla, se introduce en la urna U2 . Despu´es se extrae una bola de la urna U2 y resulta ser roja. ¿Qu´e probabilidad hay de que la bola trasladada fuese roja? 33. Un comerciante compra 3 clases de yogur, A, B y C. Se sabe que el 20 % de la clase A, el 30 % de B y el 50 % de C vienen en malas condiciones, y que de las marcas B y C se compra igual cantidad y de la A lo mismo que de aqu´ellas juntas. Si un cliente compra un yogur en ese comercio, ¿cu´al es la probabilidad de que est´e en buen estado? Si compra uno y result´o estar en malas condiciones, ¿cu´al es la probabilidad de que sea de la marca A? 34. Una f´abrica produce elementos provenientes de las m´aquinas A,B y C. La m´aquina A realiza la mitad de la producci´on, mientras que la B s´olo hace la tercera parte. Los porcentajes de aver´ıas de la m´aquinas (de elementos defectuosos) son 5 %, 8 % y 10 %, respectivamente. Se pide: (a) Si se toma un elemento al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que est´e averiado? (b) Si tenemos un elemento defectuoso, hallar la probabilidad de que haya sido producido por la m´aquina B. 35. Un barco cubre diariamente el servicio entre Ceuta y Algeciras. Sabemos que la probabilidad de accidente en un d´ıa sin niebla es de 0.005 y en un d´ıa con niebla 0.08. En un cierto mes hubo 18 d´ıas sin niebla y 12 con niebla. En un d´ıa de dicho mes se produjo un accidente. Calcular la probabilidad de que el accidente haya ocurrido

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Tema 5. Hoja 5

(a) en un d´ıa sin niebla. (b) en un d´ıa con niebla. 36. En el jardinero del Sr. Mart´ınez no se puede confiar. La probabilidad de que olvide regar el rosal durante la ausencia del Sr. Mart´ınez es de 2/3. El rosal est´a en un estado inseguro: si se le riega tiene igual probabilidad de progresar o de secarse, pero solamente un 0.25 de probabilidad de progresar si no se le riega. Despu´es de su regreso, el Sr. Mart´ınez se encuentra con que el rosal est´a seco. ¿Cu´al es la probabilidad de que el jardinero no lo haya regado? 37. Un banco ha estimado que la probabilidad de que una persona falle en los pagos de un pr´estamo personal es de 0.3. Tambi´en ha estimado que el 40 % de los pr´estamos no pagados a tiempo se han hecho para financiar viajes de vacaciones y el 60 % de los pr´estamos pagados a tiempo fueron solicitados igualmente para financiar viajes de vacaciones. Se pide: (a) Probabilidad de que un pr´estamo que se haga para financiar un viaje de vacaciones no se pague a tiempo. (b) Probabilidad de que si el pr´estamo se hace para prop´ositos distintos a viajes de vacaciones, sea pagado a tiempo. 38. En una f´abrica de tornillos, las m´aquinas M1 , M2 y M3 producen, respectivamente, el 30 %, 45 % y 25 % del total. Analizadas las producciones se sabe que el 1 %, el 4 % y el 3 % de cada m´aquina, respectivamente, son defectuosas. Si se toma al azar un tornillo y resulta ser defectuoso, ¿cu´al es la m´aquina que con mayor probabilidad lo ha fabricado?