Álgebra Lineal

Juan Núñez Olmedo Iván Sandoval Palis Escuela Politécnica Nacional

Dedicamos este trabajo a los estudiantes de la Escuela Politécnica Nacional

PRÓLOGO Esta obra está dirigida a los estudiantes que están iniciando sus estudios superiores en las diferentes carreras de ingeniería, así también como a los docentes y personas en general que necesitan una obra de consulta. El objetivo fundamental de esta obra es proporcionar una guía, para plantear, analizar y resolver problemas de los diferentes temas del álgebra Lineal. El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como: matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y, su enfoque más formal que son los espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Es un espacio que tiene muchas conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como el cálculo vectorial y las ecuaciones diferenciales, la ingeniería, etc. La historia del álgebra lineal se remonta a los años de 1843 cuando Willam Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creo los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro La teoría de la extensión. De manera formal el álgebra lineal estudia las estructuras matemáticas denominadas espacios vectoriales, las cuales constan de un conjunto de vectores definido en un campo, con una operación de suma de vectores, y, otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades. El lector debe aprender la parte teórica, las propiedades que se describen en cada capítulo de este libro, para analizar cómo se aplican en los ejercicios resueltos en clases y luego debe apropiarse de sus métodos de análisis y de solución, para resolver los ejercicios propuestos. La favorable acogida que se brinde a este texto, servirá para continuar trabajando a favor del proceso de enseñanza y aprendizaje. Las sugerencias que permitan mejorar este trabajo, serán de mucha ayuda para facilitar la comprensión y el estudio. Deseamos expresar nuestros sinceros agradecimientos a todas las personas que de una u otra manera contribuyeron a la elaboración del mismo. Loa Autores

ISBN: 978-9942-21-774-5

Primera Edición Septiembre 28 de 2015

Reservados todos los derechos Ni todo el Libro, ni parte de él, pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema, electrónico, mecánico de reproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso escrito de los autores.

Hecho en Quito – Ecuador – Sudámerica

COPIA LEGAL

I

CONTENIDO CAPÍTULO 1..............................................................................................................................................1 MATRICES ................................................................................................................................................1 DEFINICIÓN ..........................................................................................................................................1 OPERACIONES CON MATRICES........................................................................................................3 SUMA DE MATRICES........................................................................................................................3 DIFERENCIA DE MATRICES ...........................................................................................................3 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR ...........................................................................................4 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES..................................................................................................6 MATRIZ TRANSPUESTA ...................................................................................................................10 TRAZA DE UNA MATRIZ ..................................................................................................................16 MATRIZ INVERTIBLE........................................................................................................................17 OPERACIONES ELEMENTALES ......................................................................................................23 OPERACIONES ELEMENTALES INVERSAS ..................................................................................23 MATRICES ELEMENTALES..............................................................................................................23 MATRICES EQUIVALENTES ............................................................................................................24 FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ......................................................................................27 MATRIZ ESCALONADA POR FILAS ..............................................................................................27 MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS..........................................................................27 1

ALGORITMO PARA EL CALCULO DE A ....................................................................................30 PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................31 CAPÍTULO 2............................................................................................................................................49 DETERMINANTES.................................................................................................................................49 DEFINICIÓN ........................................................................................................................................49 DESARROLLO POR MENORES Y COFACTORES ..........................................................................50 PROPIEDADES ....................................................................................................................................51 DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES......................................................................57 INVERSA DE UNA MATRIZ ..............................................................................................................60 PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................63 CAPÍTULO 3............................................................................................................................................81 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.........................................................................................81 SISTEMAS EQUIVALENTES .............................................................................................................83 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.................................................................................83 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN............................................................................................................84 MÉTODO DE GAUSS ......................................................................................................................85 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN ......................................................................................................85 MÉTODO DE CRAMER...................................................................................................................85 PROBLEMAS PROPUESTOS .............................................................................................................89 CAPÍTULO 4..........................................................................................................................................101 ESPACIOS VECTORIALES ................................................................................................................101 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................101 SUBESPACIOS VECTORIALES.......................................................................................................104 COMBINACIÓN LINEAL .................................................................................................................105 CONJUNTO GENERADOR...............................................................................................................106 CÁPSULA LINEAL............................................................................................................................106 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALES .........................................................................107 BASE...................................................................................................................................................110 DIMENSIÓN.......................................................................................................................................114 CAMBIO DE BASE ............................................................................................................................123 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................127

II CAPÍTULO 5..........................................................................................................................................163 PRODUCTO INTERNO........................................................................................................................163 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................163 EJEMPLOS .........................................................................................................................................163 NORMA DE UN VECTOR .................................................................................................................164 VECTORES ORTOGONALES ..........................................................................................................167 PROYECCIÓN ORTOGONAL ..........................................................................................................167 CONJUNTO ORTOGONAL...............................................................................................................168 VECTOR UNITARIO .........................................................................................................................169 NORMALIZACIÓN DE UN VECTOR ..............................................................................................169 CONJUNTO ORTONORMAL ...........................................................................................................169 BASE ORTONORMAL ......................................................................................................................169 3 PRODUCTO CRUZ EN R ...............................................................................................................171 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................173 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................174 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................175 CAPÍTULO 6..........................................................................................................................................189 TRANSFORMACIONES LINEALES .................................................................................................189 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................189 NÚCLEO .............................................................................................................................................190 IMAGEN .............................................................................................................................................191 INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD ........................................................194 CONJUNTO DE LAS TRANFORMACIONES LINEALES L (V , W ) ............................................196 IGUALDAD ....................................................................................................................................196 OPERACIONES CON TRANFORMACIONES LINEALES.............................................................197 SUMA..............................................................................................................................................197 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR .......................................................................................197 COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES ............................................................198 TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES .....................................................................201 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL ...................................................204 REDEFINICIÓN DE NÚCLEO E IMAGEN ......................................................................................207 MATRIZ ASOCIADA A UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ..................................................208 SEMEJANZA DE MATRICES...........................................................................................................209 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................213 CAPÍTULO 7..........................................................................................................................................241 VALORES Y VECTORES PROPIOS .................................................................................................241 DEFINICIÓN ......................................................................................................................................241 VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES......................................................................242 POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ ....................................................................245 ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ ......................................................................245 CÁLCULO DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO ........................................................................246 MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA....................................................................................................246 MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA ...................................................................................................246 MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN......................................................................247 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS ....................................................................250 TEOREMA DE CALEY - HAMILTON..............................................................................................254 FORMAS CUADRÁTICAS Y CANÓNICAS ....................................................................................257 SECCIONES CÓNICAS..................................................................................................................260 PROBLEMAS PROPUESTOS ...........................................................................................................265

1 MATRICES

Capítulo 1 MATRICES

x

DEFINICIÓN

Una matriz A de m n es un ordenamiento rectangular de m por n números distribuidos en un orden definido de m filas y n columnas:  a11 a12   a21 a22  ... ... A  ai1 ai 2  ...   am1 am 2 

... a1 j ... a2 j ... ... ... aij ... anj

a1n   ... a2n  ... ...   ... ain    ... amn  ...

 aij es el elemento i,j-ésimo (pertenece a la fila i y a la columna j).  A por conveniencia se escribe A  aij  .  Las matrices se denotan con letras mayúsculas.  M mxn , es el conjunto de todas las matrices de orden m por n , definidas en el campo

K.  La i-ésima fila de A es: ai1

 La j-ésima columna de A es:

ai 2

... aij

... ain  y constituye la matriz fila de Ai

 a1 j     a2 j   .     a1 j   .    a   mj 

y constituye la matriz columna A j

 A puede ser representada por matrices fila, así: A   A1 , A2 ,  , Ai ,  , Am 



 A puede ser representada por matrices columna, así: A  A , A 2 ,  , A j ,  , A n ÁLGEBRA LINEAL

1



2 MATRICES

IGUALDAD Sean las matrices A  aij mn y B  bij mn ,

A  B  aij  bij

Ejemplos 1.

Las siguientes matrices son iguales

 1 2  A     3 4

 1 2  B     3 4

2.

Las siguientes matrices no son iguales

 1 2  A     3 4

1 2  B   3 4

MATRIZ CUADRADA Sea A  aij mn .

A es matriz cuadrada si y sólo si m  n . El conjunto de matrices cuadradas se nota M nxn ó M n .

Ejemplos  1 5  A    2 7

 2 1 0   B   7 8 9 10  5 8   

MATRIZ NULA Sea O  aij mn . O es una matriz nula si y sólo si aij  0 , es decir, es una matriz cuyos elementos son

iguales a cero.

Ejemplos Las siguientes marices son nulas:

0 0  O2   0 0

0 0 0   O3   0 0 0  0 0 0  

ÁLGEBRA LINEAL

0  0 O4   0  0 

0 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 0 

3 MATRICES

OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES Sean las matrices A  aij mn y B  bij mn . La suma de A y B es la matriz A  B de m filas y n columnas, dada por:

a12  b12  a11  b11  a22  b22 a b A  B  aij  bij   21 21   a  b  m1 m1 am 2  bm 2





 a1n  b1n    a2n  b2n      amn  bmn 

La suma de matrices está definida cuando ambas matrices tienen el mismo tamaño.

Ejemplo 3 1 2 3  3 4 0  4 6        5 0  1   1  1 0    6  1  1  2 3 4   1 1 6   3 4 10       

DIFERENCIA DE MATRICES Sean las matrices A  aij mn y B  bij mn . La diferencia de A y B es la matriz A  B de m filas y n columnas, dada por:

A  B  A  ( B)

Ejemplos

1.

 2  5   1 7   1  12          0 3  3 2 3 1      

2.

4  1 3 4   5  6 0   4 9       3    2  2  4  1 0  1    1 2 2 3 7   1 4 10   1  1  3    

ÁLGEBRA LINEAL

4 MATRICES

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Si A  aij mn y  es un escalar, entonces A está dada por:  a11 a12  a1n     a 21 a 22  a 2 n  A  aij         a   a   a m2 mn   m1

Es decir,  A se obtiene multiplicando por  a cada componente de A .

Ejemplos

1.

 2  3   10  15      5   7 1   35 5 

2.

 0  8   0 16       2  10  4    20 8 

3.

Dadas las matrices A y B , hallar 2 A  3B y 3 A  2 B

 2 3  A    1 0

 3  1  B   0 1 

Solución:

5 9   2 A  3B     2  3  0 11   3 A  2 B     3  2

DEFINICIÓN

(1) A   A ÁLGEBRA LINEAL

5 MATRICES

PROPIEDADES TEOREMAS

 ,   K , A, B, C  M mxn , se cumple que: 1.

A  ( B  C )  ( A  B)  C

2.

A B  B A

3.

AO  A

4.

A  ( A)  O

5.

 A =  A

6.

1. A  A

7.

   A  A  A

8.

  A  B   A   B

9.

0. A  O

Se demostrarán los teoremas 1, 3 y 5 los restantes teoremas se dejan como ejercicio.

DEMOSTRACIONES

1. A+(B+C)=A+(B+C)

Axioma reflexivo

 (aij )  (bij  cij )

Cambio de notación

 (aij  bij  cij )

Definición de suma

 ((aij  bij )  cij )

Propiedad de campo

=(A+B)+C

3. A+O=A+O

Axioma reflexivo

 (aij  0ij )

Notación

 (aij )

Propiedad de campo

=A ÁLGEBRA LINEAL

6 MATRICES 5. ( ) A  ( ) A

Axioma reflexivo

 ( aij )

Notación

 ( ( aij ))

Propiedad de campo

  ( A)

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

 mn y B   b jk np .

Sean las matrices A  aij

El producto de A y B es la matriz C   cik mp , donde n

cik   aij b jk . j 1

En forma desarrollada: cik  ai1b1k  ai 2b2 k    aij b jk    aip b pk .

Esto se muestra en la figura

 a11 a12  a1 p     a21 a22  a2 p   b11 b12  b1k        b21 b22  b2k   aip       ai1 ai 2         b p1 b p 2  b pk   am1 am 2  amp   

 b1n   c11 c12    b2n   c21 c22            b pn   cm1 cm 2

  cik 

c1n       cmn 

Observaciones 1.

El elemento i, k -ésimo de AB es el producto escalar de la i -ésima fila de A y la k -ésima columna de B .

2.

Dos matrices A y B se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. De otra manera el producto no estará definido.

ÁLGEBRA LINEAL

7 MATRICES Ejemplo Una empresa fabrica en su planta 3 productos A, B y C. Los almacenes principales se encuentran en Quito, Guayaquil, Cuenca y Loja. Las ventas durante el año anterior en Quito se cifraron en 400,100 y 500 unidades de los productos A, B y C en orden; las del almacén de Guayaquil en 300, 150 y 400; las del almacén en Cuenca en 100, 100 y 200; y las del almacén de Loja en 200,150 y 300. Los precios de venta de los productos fueron 25, 50 y 80 USD para los productos A,B y C respectivamente. a)

Expresar las ventas de la empresa mediante una matriz A de orden 4x3.

b)

Expresar mediante una matriz X de orden 3x1 el precio de cada producto.

c)

¿Qué es AX?

Solución: a)

Las ventas en el año anterior se pueden representar en una matriz A de orden 4x3 de tal forma que en cada fila aparezcan las ventas realizadas por cada uno de los almacenes principales y en cada columna las proporcionadas a cada tipo de producto. Así:

 400   300 A 100   200  b)

100 150 100 150

500   400  200   300 

Los precios unitarios de cada producto se pueden escribir en X de orden 3x1 en la forma  25    X   50   80   

c)

Si se consideran las matrices A y X definidas en los apartados a) y b), se tiene que

 55.000     47.000  AX   23.500     36.500    AX es una matriz en la que se especifican los ingresos obtenidos en el año anterior por cada uno de los cuatro almacenes principales de la empresa.

ÁLGEBRA LINEAL

8 MATRICES Ejemplo Comprobar que las siguientes identidades algebraicas

 A  B 2  A2  2 AB  B 2 ( A  B )( A  B )  A2  B 2 no son ciertas si A y B son matrices cuadradas de orden n , usando las marices

 1  1  A   0 2 

1 0   B   1 2 

¿Por qué las identidades dadas no son ciertas? Modificar el segundo miembro de ambas identidades de manera que el resultado sea válido para cualesquiera A y B matrices cuadradas. Solución:

 2  1  A  B   1 4   1  3  A2   0 4 

 0  1  A  B    -1 0  1 0  B 2   3 4

 0  2  AB   2 4   1  1  BA   1 3   Por lo tanto

3  6 2  7   A2  2 AB  B 2     6 15   7 16 

 A  B 2  

 1  2  0  3   A2  B 2    ( A  B)( A  B)     4 1  3 0  Las expresiones que se indican en el enunciado para  A  B  y ( A  B)( A  B) son 2

verdaderas si A y B son escalares, pero no son válidas si A y B son matrices, ya que el producto de matrices no cumple la ley conmutativa a diferencia del producto de escalares. Las identidades algebraicas correctas para cualesquiera A, B  M mxn son

 A  B 2  A2  AB  BA  B 2 ( A  B)( A  B)  A2  AB  BA  B 2

ÁLGEBRA LINEAL

9 MATRICES y como ordinariamente AB  BA

AB  BA  2 AB AB  BA  O

Por lo que

 A  B 2  A2  2 AB  B 2 ( A  B)( A  B)  A2  B 2 Observación No existe ley conmutativa para la multiplicación de matrices.

PROPIEDADES TEOREMAS

  K , A  M mxn ,B  M nxp 10. (A) B   ( AB) 11. ( A ) B   ( AB) 12. ( AB)  A( B )

A  M mxn,B, C  M nxp 13. A ( B  C )  AB  AC

A, B  M mxn ,C  M nxp 14. ( A  B)C  AC  BC

A  M mxn, , B  M nxp , C pxq 15. ( AB) C  A ( BC )

DEMOSTRACIONES

10.

(A) B  (A) B

Axioma reflexivo

 (aij )(b jk )

Notación

 ( )(aij )(b jk )

Multiplicación escalar por matriz

  ( AB)

Notación

ÁLGEBRA LINEAL

10 MATRICES 13.

A( B  C )  A( B  C )

Axioma reflexivo

 (aij )(b jk  c jk )

Notación

n

  aij (b jk  c jk ) j 1 n

  (aij b jk  aij c jk ) j 1 n

n

j 1

j 1

Multiplicación de matrices

Propiedad de campo

  aij b jk   aij c jk Propiedad del sumatoria AB  AC

15.

Notación

A( BC )  A( BC )

Axioma reflexivo

 p   (aij )  b jk c kl   k 1 

Notación

n  p    aij   b jk c kl  j 1  k 1 

Multiplicación de matrices

p  n      aij b jk  c kl k 1  j 1 

Propiedad del sumatoria

 n     aij b jk  (c kl )  j 1 

Multiplicación de matrices

 ( AB) C

Notación

MATRIZ TRANSPUESTA Sea la matriz A  aij mn . La transpuesta de A notada por A t , es la matriz nxm obtenida al intercambiar las filas y las columnas de A , es decir, A t  ( a ji ) nm .

Ejemplo

 1  2 3  A    0 1 5

ÁLGEBRA LINEAL

 1 0   At    2 1   3 5  

11 MATRICES

PROPIEDADES TEOREMAS

A, B  M mxn , 16. ( A  B) t  A t  B t 17. ( A t ) t  A

  K , A  M mxn , 18. (A) t  A t

A  M mxn ,B  M nxp 19. ( AB) t  B t A t

DEMOSTRACIONES 16.

18.

19.

( A  B) t  ( A  B) t

Axioma reflexivo

 (a ij  bij ) t

Notación

 (a ji  b ji )

Definición de transpuesta

 At  B t

Notación

(A) t  (A) t

Axioma reflexivo

 (aij ) t

Notación

 (a ji )

Definición de transpuesta

  (a ji )

Definición escalar por matriz

 A

Notación

aij  a ji   , numéricamente b jk  bkj 

( AB) t  (cik ) t  n     aij b jk   j 1 

ÁLGEBRA LINEAL

t

Producto de matrices

12 MATRICES  n     a ji bkj   j 1 

Definición de transpuesta

 n     bkj a ji   j 1 

Propiedad de campo

 B t At

Notación

DEFINICIÓN Sea la matriz A  M nxn , se define

A. A  A 2 A. A A  An    n veces

MATRIZ SIMÉTRICA Sea la matriz A  aij mn . A es una matriz simétrica si y sólo si A  A t

Ejemplos

1.

 1  2  , A    2 3 

 1  2  , At    2 3 

2.

1  1 2   A   2 2  3 , 1  3 3   

1  1 2   A   2 2  3  , A  A t  A es simétrica. 1  3 3   

A  A t  A es simétrica.

t

TEOREMA 20 Si A y B son matrices simétricas, A  B es matriz simétrica.

ÁLGEBRA LINEAL

13 MATRICES DEMOSTRACIÓN

A  A t (1)   Hipótesis B  B t (2) Sumando (1) y (2)

A  B  At  B t  ( A  B) t

(Teorema 16)

MATRIZ ANTISIMÉTRICA Sea la matriz A  a ij n . A es antisimétrica si y sólo si A   A t .

Ejemplo 1  2 1  2 0  0 1 2  0      t  Si A    1 0 3  A  1 0  3     1 0 3   A  2 3 0   2 3  2 3 0  0      

A es matriz antisimétrica.

MATRICES CONMUTABLES Sean las matrices A, B  M nxn .

A y B son conmutables si y sólo si AB  BA.

DIAGONAL DE UNA MATRIZ La diagonal está definida para matrices cuadradas y forman parte de esta los elementos aij , tales que, i  j .

Ejemplo  a11 a12  a1n     a21 a22  a2n  A     a   m1 am 2  ann 

ÁLGEBRA LINEAL

14 MATRICES

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Sea la matriz A  a ij n . A es matriz triangular superior si y sólo si aij  0, i  j .

 a11   0 A    0 

a12  a1n   a 22  a 2 n    0  a mn 

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Sea la matriz A  a ij n . A es matriz triangular inferior si y sólo si aij  0, i  j .

 a11  a A   21   a  m1

0 a 22 am2

0   0     a mn   

MATRIZ DIAGONAL Sea la matriz A  aij n .

A es matriz diagonal si y sólo si aij  0, i  j y aij es escalar, i  j . Ejemplos 1.

2 0   A    0  1

2.

1 0  I   0 1  

3.

1 0  0    0 3  0  D     0 0   2  

ÁLGEBRA LINEAL

15 MATRICES

MATRIZ ESCALAR Sea la matriz A  a ij n .

A es matriz escalar si y sólo si aij  0, i  j y aij es constante, i  j .

5 0  0   0 5  0 A     0 0  5  

MATRIZ IDENTIDAD Sea la matriz I  a ij n .

I es matriz identidad si y sólo si aij  0, i  j y aij  1, i  j .

Ejemplos

1 0 , I 2   0 1

I 1  1,

1 0 0   I 3   0 1 0 , 0 0 1  

1 0  0   0 1  0 In       0 0  1  

MATRIZ NILPOTENTE Sea la matriz A  a ij n .

A es matriz nilpotente de orden k , si k es el menor entero positivo tal que A k  O .

Ejemplos

1.

0 2  A   0 0  

es matriz nilpotente de orden 2, pues, A2  O

2.

0 1 3    B  0 0  2 0 0 0   

es matriz nilpotente de orden 3, pues, B3  O

ÁLGEBRA LINEAL

16 MATRICES

TRAZA DE UNA MATRIZ Sea A  M nxn . La traza de A es la suma de los elementos de la diagonal. Así:

n

Tr ( A)   aij . i 1

Ejemplos 1.

 2 0  , entonces Tr ( A)  7 Si A     7 5

2.

0 4  1   Si A    2  2 1  , entonces Tr ( A)  5  3 4 6  

Propiedades 1.

Tr ( A)   .Tr ( A)

2.

Tr ( A  B)  Tr ( A)  Tr ( B)

3.

Tr ( AB)  Tr ( BA)

TEOREMA 21 x

A  M m n , I  M nxn , tal que A.I  A

DEMOSTRACION Sean A  (aij ) mn

I  (b jk ) nn , donde b jk  0, j  k  b jk  1, j  k

n

cik   aij b jk j 1

cik  ai1b1k  ai 2 b2 k    aij b jk    ain bnk ÁLGEBRA LINEAL

17 MATRICES si k=1

ci1  ai1b11  ai 2 b21    aij b j1    ain bn1 ci1  ai1

si k=2

ci 2  ai1b12  ai 2 b22    aij b j 2    ain bn 2 ci 2  a i 2

si k=j

cij  ai1b1 j  ai 2 b2 j    aij b jj    ain bnj cik  cij  aij n

cik   aij b jk  aij j 1

Por lo tanto A.I  A

TEOREMA 22

A  M mxn , I  M mxm , tal que. I . A  A

Corolario Sean las matrices A , I  M nxn

A.I  I . A  A

MATRIZ INVERTIBLE Sea la matriz A  M nxn .

A es matriz invertible si y sólo si existe una matriz B  M nxn , tal que A.B  B. A  I . ÁLGEBRA LINEAL

18 MATRICES Notas 1. B es matriz inversa de A , B  A 1 , de la definición,

AA 1  A 1 A  I . 2. B es matriz invertible, A  B 1 , de la definición,

BB 1  B 1 B  I

TEOREMA 23 Sea A  M nxn , Si A es matriz invertible, entonces su inversa es única.

DEMOSTRACION Por contradicción: Se supone que la inversa de A no es única, es decir, existen matrices B1 y B2 , inversas de A , tales que B1  B2 . AB1  B1 A  I

AB 2  B2 A  I ( 2) B1  B1 I

(1)

(1)

(2)

(

(3)

Reemplazando (2) en (3) B1  B1 ( AB 2 ) B1  ( B1 A) B2

Reemplazando (1) en (4) B1  IB2 B1  B 2

Lo que contradice la suposición. Por lo tanto la inversa de A es única.

TEOREMA 24 Sea A  M nxn , matriz invertible, entonces A 1   A 1

ÁLGEBRA LINEAL

19 MATRICES DEMOSTRACION

AA 1  A 1 A  I ,

(

(

A 1 es matriz invertible, por lo tanto cumple que: A 1 A 1   A 1  A 1  I ,,,,,,,,,, 1

1

Igualando

 

A  A 1

1

TEOREMA 25 Sean A, B  M nxn , matrices invertibles, entonces

AB también es invertible y cumple que:

 AB 1  B 1 A 1

DEMOSTRACION Si A y B son invertibles existen matrices A1 y B 1

P.D.

Existe una matriz D tal que:

( AB ) D  D ( AB ) a)

( AB ) B 1 A 1  A( BB 1 ) A 1  A( I ) A 1

 AA 1

I b)

(1)

B 1 A 1 ( AB )  B 1 ( A 1 A) B  B 1 ( I ) B

 B 1 B

I

(2)

Igualando (1) y (2) 1 1 1 1 ( AB)  B  A   B  A ( AB)  I D

D

Por lo tanto ( AB ) 1  B 1 A 1 ÁLGEBRA LINEAL

20 MATRICES TEOREMA 26 Sean A1 , A2 ,, An  M nxn , matrices invertibles, entonces:

 A1 . A2  , An 1  An1  A21 . A11

MATRIZ ORTOGONAL Sea la matriz A  M nxn .

A es ortogonal si y sólo si A t  A 1 , es decir, A. At  At . A  I

Ejercicio Comprobar que la matriz dada es ortogonal

1 3

2  2 1     2 1  2 1 2 2  

TEOREMA 27 A  M mxn , O  M nxp , tal que A.O  O

DEMOSTRACION Sean las matrices A  (aij ) mn  O  (b jk ) np , donde, b jk  0 AO  (aij )(b jk )

 n     aij b jk   j 1   n     aij .0   j 1  O

ÁLGEBRA LINEAL

21 MATRICES TEOREMA 28 A  M nxp , O  M mxn , tal que, O. A  O

DEMOSTRACION Se deja como ejercicio.

TEOREMA 29 A  M mxn , B  M nxp , se cumple que

Fila i-ésima de AB=Fila i-ésima de A.B

DEMOSTRACION A=  A1 , A2 ,  , Ai ,  , Am 



B= B1 , B 2 ,, B i , B P





Fila i-ésima de AB= Ai B1 , Ai B 2 ,  Ai B i ,  , Ai B p



= Ai. B =Fila i-ésima de A.B

TEOREMA 30 Sea ei la fila i-ésima de I  M nxn , entonces: Fila i-ésima de A  ei . A

DEMOSTRACION Fila i-ésima de I A  ei . A I . A  A , entonces

Fila i-ésima de A  ei . A ÁLGEBRA LINEAL

(Teorema 29)

22 MATRICES TEOREMA 31 Sean A  M mxn , B  M nxp Si A tiene fila de ceros, AB también tiene fila de ceros.

DEMOSTRACION Ai es la Fila i-ésima de A

Ai  (aij ) in , donde aij  0 B  (b jk ) np

Fila i-ésima de AB=Fila i-ésima de A.B

(Teorema 29)

 Ai .B

=O.B  O1 p

Por lo tanto

AB tiene fila de ceros.

TEOREMA 32 Sea A  M nxn Si A tiene fila de ceros, entonces A no es invertible.

DEMOSTRACION Por contradicción. Se supone que A es invertible, por lo tanto

AA 1  A 1 A  I AA 1 tiene fila de ceros

I

(Teorema 31)

tiene fila de ceros

Lo que contradice la hipótesis, pues, la matriz identidad no tiene fila de ceros. Por lo tanto:

A no es invertible.

ÁLGEBRA LINEAL

23 MATRICES

OPERACIONES ELEMENTALES Una operación elemental se representa por e y se la puede aplicar sobre matrices. Existen tres tipos de operaciones elementales:

1. Intercambio de filas o columnas (e I ) Fi  F j , C i  C j

2. Multiplicación de una fila o columna por un escalar   0 (e II ) Fi  Fi , C i  C i

3. Sumar una fila o columna multiplicada por un escalar a otra fila o columna (e III )

Fi  F j , C i  C j ,

OPERACIONES ELEMENTALES INVERSAS Se expresan por e ' y son aquellas que cumplen que: 1) e I' e I  A  A 2) e II' e II  A  A ' 3) e III eIII  A  A

MATRICES ELEMENTALES Una matriz elemental se la representa por E , y se la puede obtener mediante la aplicación de una operación elemental sobre la matriz identidad.

TEOREMA 33

e ( A)  E. A , siendo e , una operación elemental que se aplica tanto en

A como en I .

ÁLGEBRA LINEAL

24 MATRICES

MATRICES EQUIVALENTES A es equivalente por filas o columnas a B si y sólo si B se obtiene por medio de una aplicación sucesiva e infinita de operaciones elementales sobre A . A  B  B  e K e K 1  e 2 e1  A .

TEOREMA 34 Sea A  M mxn , A es equivalente a A , es decir, Toda matriz es equivalente a sí misma.

DEMOSTRACION B  eK eK 1  e2 e1  A

(1)

eK, B   eK 1  e2 e1  A



 



e1, e2,  eK, B   A

(2)

Sustituyendo (1) en (2)

 



e1, e2,  eK,  A  A

Cambiando la notación A es equivalente a A.

Corolario Sean A, B  M mxn . Si A es equivalente a B , B es equivalente a A .

TEOREMA 35 Sean A, B, C  M mxn . Si A es equivalente a B y B es equivalente a C , entonces A es equivalente a C .

ÁLGEBRA LINEAL

25 MATRICES DEMOSTRACION Si A es equivalente a B, B  eK eK 1  e2 e1  A

(1)

Si B es equivalente a C, C  e J e J 1  e2 e1 B 

(2)

Sustituyendo (1) en (2) C  eJ eJ 1  eK eK 1  e2 e1  A

Por lo tanto A es equivalente por filas a C .

TEOREMA 36 Toda matriz elemental es invertible y su matriz inversa es elemental.

DEMOSTRACION E matriz elemental E´ matriz inversa de A





I  e , eI   e e , I 

e(A)=EA P.D. EE´=E´E=I a)

EE´=I

  eE   I

e e , I   I ,

EE´=I b)

(Teorema 33) (1)

E´´E=I e , eI   I

e´(E)=I EE´=I Igualando (1) y (2) EE´=E´E=I ÁLGEBRA LINEAL

(Teorema 33) (2)

26 MATRICES TEOREMA 37

A es equivalente por filas a B si y sólo si B es un producto de matrices elementales por A .

DEMOSTRACION a)

“Si A es equivalente por filas a B , entonces B es un producto de matrices elementales por A ” Si A es equivalente por filas a B , B  eK eK 1  e2 e1  A , B  e K e K 1  e2 E1 A ,

(Teorema 33)

B  e K e K 1  e3 E 2 E1 A ,

 Por lo tanto: B  E K E K 1  E 2 E1 A

b)

“Si B es un producto de matrices elementales por A , entonces A es equivalente por filas a B ”. Si B es un producto de matrices elementales por A . B  E K E K 1  E 2 E1 A B  E K E K 1  E 2 ( E1 A) B  E K E K 1  E 2 e1  A

(Teorema 33)

 B  eK eK 1  e2 e1  A ,

Por lo tanto: A es equivalente a B.

Corolario Sean A, B  M mxn .

A es equivalente a B si y sólo si B  PA , donde P es un producto de matrices elementales por A . ÁLGEBRA LINEAL

27 MATRICES

FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ MATRIZ ESCALONADA POR FILAS Es una matriz cuyos elementos iguales a cero aumentan de izquierda a derecha, fila a fila.

Ejemplos

1  2 3    0 1 2

 2  3 4   0 0 0 0 0 0  

1  2 3    0 0 2

1  2 0    0 0 2

 4  2 1    0 1 3  0 0 5  

 0 0 3  2   0 0 0 5 

 1  3 2   1 0 0 0 0 0  

1  0 0  0 

0 0 0  1 0 0 0 1 0  0 0 1 

MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS Es una matriz escalonada cuyos primeros elementos son iguales a 1, y en sus respectivas columnas son los únicos diferentes de cero.

Ejemplos 1 0 0    0 1 0  0 0 0  

1  0 0  0 

0 1 0 0

5 3 0 0

1 0 0   0 0 1 0 0 0  

0  0 0  0 

1 0 0 5    0 0 1 2 ÁLGEBRA LINEAL

1  0 0  0 

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 3    0 1  2 0 0 0   

0  0 0  1 

28 MATRICES

TEOREMA 38 Sea A  M mxn . A es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas.

TEOREMA 39 Sea A  M mxn . A es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida por filas

.

TEOREMA 40 Sea A  M nxn . A es una matriz escalonada reducida por filas. Si A  I , entonces A tiene fila de ceros.

DEMOSTRACION “Si A no tiene fila de ceros, entonces A  I ” (Contra recíproca) Si A no tiene fila de ceros,

An

0

0 0  0 0 1

An 1

0

0 0  0 1 0

A2

0

1 0  0 0 0

A1

1

0 0  0 0 0 ,



A  ( A1 , A2 ,  , An 1 , An )

A  I AA ÁLGEBRA LINEAL

29 MATRICES TEOREMA 41 Sea A  M nxn .

A es invertible si y sólo si es equivalente por filas a I .

DEMOSTRACION

a)

“Si A es invertible, entonces es equivalente por filas a I” Por Contradicción: Se supone que: A es equivalente por filas a B

B  I 

A  E K E K 1  E 2 E1 B

Si B  I B tiene fila de ceros (Teorema 40) E K E K 1  E 2 E1 B

tiene fila de ceros

(Teorema 31)

A tiene fila de ceros A no es invertible

(Teorema 32)

Lo que contradice la suposición. Por lo tanto: A es equivalente por filas a I .

b)

“Si A es equivalente por filas a I , entonces A es invertible” Si A es equivalente por filas a I , I es equivalente por filas a A

(Corolario, Teorema 34)

A  E K E K 1  E 2 E1 I ,

(Teorema 37)

A  E K E K 1  E 2 E1 ,

Por lo tanto: A es invertible.

Corolario

A es invertible si y sólo si es un producto de matrices elementales. ÁLGEBRA LINEAL

(Teorema 21) (Teoremas 25, 36)

30 MATRICES TEOREMA 42 Si A es invertible y reducible a la matriz identidad por sucesión de operaciones elementales, al aplicar a I esta sucesión, se obtiene A 1 .

DEMOSTRACION Si A es invertible, A es equivalente por filas a I,

(Teorema 41)

I  E K E K 1  E 2 E1 A

(1)

(Teorema 37)

I  ( E K E K 1  E 2 E1 ) A

IA 1  ( E K E K 1  E 2 E1 ) AA 1 A 1  ( E K E K 1  E 2 E1 ) I A 1  e K e K 1  e2 e1 I  I  eK eK 1  e2 e1  A

(2)

ALGORITMO PARA EL CALCULO DE A 1 Sea la matriz de bloques ( A ‫ ׀‬B ) Al aplicar operaciones elementales eK eK 1  e2 e1  A I  , es decir,

e K e K 1  e2 e1  A ‫ ׀‬e K e K 1  e2 e1 I  ( I ‫ ׀‬A 1 ).

Ejemplo

 1 3  Hallar la inversa de la matriz A     2 2  1 3   2 2

1 0 1 3  0 1   0 8

1 0 1 3  2 1   0 1

1  2  5  A1   2  2 1 

ÁLGEBRA LINEAL

1 0 1 0    2 1 8 8 0 1

2 8 2 8

 85   1  8 

31 MATRICES

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Sean las matrices:

 1  2 3  A    2 1 0

 1 0   B   2 1  3 2  

1 2   D    2  5

0  2 1   E   1  2  3  4 3  1  

1  3 1   C  1 1 1   0 1  2  

Calcular: a)

C+E, AB, BA, 2C-3E, CB+D, AB+D 2 , 3(2A), 6A

ÁLGEBRA LINEAL

32 MATRICES b)

A(BD), (AB)D, A(C+E), AC+AE, 3A+2A, 5A

ÁLGEBRA LINEAL

33 MATRICES c)

A t , A t  , (AB) t , B t A t , (C+E) t , A(2B), 2(AB)

ÁLGEBRA LINEAL

t

34 MATRICES 2.

 x 0  . Hallar A2 , A3 , A4 Sea A    z y

3.

1 0  . Determinar A tal Sean las matrices A del problema anterior y B    26 27  que A3  B .

ÁLGEBRA LINEAL

35 MATRICES

4.

1 2 3   Comprobar que A   0 1 2  es raíz de F ( X )  X 3  4 X 2  5 X  2 I . 0 0 2  

5.

Las matrices A y B son conmutables si AB  BA . Hallar todas las matrices A

a b   1 1  y B    . conmutables con B si A   c d   0 1

ÁLGEBRA LINEAL

36 MATRICES

6.

 1 2 0  1 0 0     Sean las matrices A    2  1  3  e I 3   0 1 0  . Si   R , calcular  0 0 0 1 3  1     I 3  A

7.

Calcular AB

1 1  1 2 0 3 A 5 1 3 1  2 1 

ÁLGEBRA LINEAL

2  3 1 5 2 1 4  3 2 0 1 4 6  3 5 0  3

4

1  2 B  1  0 3 

2 3 0 1 3 2 5 4 2 1 3 0 0 4 6

1   1 3  0 1 

37 MATRICES 8.

Dadas las matrices

 1 x 3  A    x 1 2

1  1 B 0  1 

2 x  3 1 1 0  3  1

 1   2 C  x   1 





a)

Encontrar el valor de x tal qué Tr AB t C  0 .

b)

Calcular el rango (número de filas no nulas de la matriz escalonada equivalente) de CA sí x  0 .

9.

3  1 0  x 

 

Escribir una matriz simétrica A  M 3 , A  aij tal que aij 

i  1 j  1 , si i  i j

ÁLGEBRA LINEAL

j

38 MATRICES 10.

Reducir las siguientes matrices a su forma escalonada y luego a su forma escalonada reducida por filas

a)

 1   1  2   0 

b)

0 1  0 1 0  2  0 0 

ÁLGEBRA LINEAL

2 3 0  1 1 0  1 0  1  1 2  1

2 1 1 1

3  0 3  0 

39 MATRICES

c)

11.

 1 0 1  3   1 2  3 0   2 1 0  1  

Determinar la matriz inversa de a)

 1 2    1 3

b)

  4  3   3  1  

ÁLGEBRA LINEAL

40 MATRICES

c)

0 0   1    2  2 0    3  3  3  

d)

2  2 1   0  1 3  0  2 1  

e)

  2 1  3    1 0  4  1 1  2  

ÁLGEBRA LINEAL

41 MATRICES 12.

Dadas las matrices 1 1 1  1 0 0     P   2 0  1 y J   0 1 1  . Hallar 1 1 0  0 0 1    

a) P 1 y J n . b) A tal que A  PJP 1 . c) An  PJ n P 1 . Verificar que A0  I y A1  A .

ÁLGEBRA LINEAL

42 MATRICES 13

 cos  Sea la matriz A     sen

sen   . Hallar A n cos  

Deducir la ley y demostrar por inducción.

14.

x Sea la matriz A   0

ÁLGEBRA LINEAL

y  . Hallar A n . Usar el Teorema del Binomio. x

43 MATRICES

15.

 x 1 0   Sea la matriz A   0 x 1  . Hallar A n . Usar el Teorema del Binomio. 0 0 x  

16.

Si K nn es una matriz diagonal cuyos elementos, sobre la diagonal, son todos iguales a k, demostrar que K nn Ann  kAnn .

17.

Demostrar que la suma de dos matrices triangulares inferiores es una matriz triangular inferior.

ÁLGEBRA LINEAL

44 MATRICES 18.

Si A es una matriz simétrica probar que A t y A

2

19.

Sea A una matriz cuadrada sobre un campo K, ,   K , y B   . A   .I (I es

son simétricas.

la matriz identidad del mismo orden que A . Demostrar que A y B conmutan con el producto usual de matrices.

ÁLGEBRA LINEAL

45 MATRICES 20

Dadas la matrices  1 2 0  A     1 1 4

 0 1 0  B    3  1 0

2 1   C    3  2

Determinar la matriz X indicando su número de filas y columnas que cumple: a)

2A  X  B

b)

At  2 X  C

c)

CX  AB t  BB t

ÁLGEBRA LINEAL

46 MATRICES 21.

Una matriz A es idempotente si y sólo si A2  A . Dadas las matrices identidad

 

de orden n , esto es, I n y la matriz B  M n , se define A  I n  B B t B

1

Bt .

Demostrar que A es una matriz idempotente.

22.

Una matriz A es idempotente si y sólo si A2  A . Probar que si A es idempotente, entonces B  I  A es idempotente y además AB  BA  O .

ÁLGEBRA LINEAL

47 MATRICES 23.

Probar que si A satisface A2  A  I  O , existe una matriz inversa de A .

24.

Demostrar que toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.

ÁLGEBRA LINEAL

48 MATRICES

 mn se cumple que .A  O    0  A  O .

25.

Demostrar que   R, A  aij

26.

Considerando Amn X n1  Om1 y

Amn X n1  Bm1 , sistemas definidos sobre los

reales, demostrar que: a)

Si H es solución de AX  O ,   R ,  H es solución de AX  O .

b)

Si H y K son soluciones de AX  O , H  K es solución de AX  O .

c)

Si H y K son soluciones de AX  B , H  K es solución de AX  O .

ÁLGEBRA LINEAL

49 DETERMINANTES

Capítulo 2 DETERMINANTES

DEFINICIÓN El determinante es una función que establece una correspondencia entre el conjunto de matrices cuadradas y el campo real o complejo. Asi: f : M nxn  K

A  f (A)  det(A)

NOTACIÓN Sea A  (aij ) n , el determinante de A se nota así: A  det( A)

O también a11 a A  21  a n1

a12 a 22

 a1n  a2n

a n 2  a nn

DEFINICIÓN Sea A  M 2x 2

a Si A   11  a 21

a12   , entonces a 22  det( A)  a11 a 22  a 21 a12

ÁLGEBRA LINEAL

50 DETERMINANTES

DEFINICIÓN Sea A  M 3x 3  a11  Si A   a 21 a  31

a32

a13   a 23  , entonces a33 

a 22 a32

a 23 a  a12 21 a33 a31

a12 a 22

det( A)  a11

a 23 a  a13 21 a33 a31

a 22 a32

DESARROLLO POR MENORES Y COFACTORES MENOR Sea la matriz A  (aij ) n y M ij la submatriz de A de orden (n  1) , obtenida por eliminación de la i-ésima fila y la j-ésima columna de A . El determinante M ij se denomina menor de aij . COFACTOR Sea la matriz A  (aij ) n . El cofactor Aij del elemento aij se define como: Aij  (1) i  j M ij

TEOREMA DE LA EXPANSIÓN DE LAPLACE Sea A  (aij ) n . n

det( A)   (1) i  j aij M ij , ó j 1 n

det( A)   aij Aij j 1

ÁLGEBRA LINEAL

51 DETERMINANTES

PROPIEDADES

TEOREMAS Sea A  (aij ) n . 1. Si A tiene fila o columna de ceros, el det( A)  0 . 2. Si la i-ésima fila de A o la j-ésima columna de

A, se multiplica

por  (escalar) y se obtiene una matriz B, det( B)   det( A) . 3.   K , det(A)   n det( A) . 4. Si las matrices A, B, C , son idénticas, excepto en la j-ésima columna (fila) tal que la j-ésima columna (fila) de C es la suma de las j-ésimas columnas (filas) de A y B ,

det(C )  det( A)  det( B) 5. Si se intercambian dos filas (columnas ) de A , para obtener la matriz B , det( B)   det( A) . 6. Si la matriz A tiene dos filas (columnas) iguales, det( A)  0 . 7. Si una fila (columna) de A es un múltiplo de una fila (columna) de A , det( A)  0 . 8. Si un múltiplo de una fila (columna) de A , se suma a otra fila (columna) de A , el determinante no se altera. 9. det( A)  det( A t ) . 10. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal.

DEMOSTRACIONES 1.

Sea A una matriz con una fila de ceros n

A   aij Aij , j 1

Sea i la fila de ceros n

A   0.Aij  0 j 1

ÁLGEBRA LINEAL

52 DETERMINANTES n

2.

det( B)   bij Bij j 1 n

det( B)   aij Bij j 1

n

det( B)    aij Aij j 1

det( B)   det( A)

3.

 , det(A)   n det( A)

Por inducción i)

n 1 A1  ( a11 )

det(A1 )   1. det( A1 )

ii)

det(AK )   K det( AK )

P.D. det(AK 1 )   K 1 det( AK 1 ) n

det(AK 1 )   (1) i  j  aij Aij j 1

K

n

det(AK 1 )    (1) i  j  K aij Aij j 1

n

det(AK 1 )   K 1  (1)i  j aij Aij j 1

det(AK 1 )   K 1 det( AK 1 )

4.

P.D.

det( A1 ,  , Ai ,  , An )  det( A1 ,  , Bi ,  , An )  det( A1 ,  , Ai  Bi ,  , An ) n

det( A1 ,  , Ai  Bi ,  , An )   (1) i  j (aij  bij ) Aij

según la i-ésima fila

j 1

n

n

j 1

j 1

  (1)i  j aij Aij   (1)i  j bij Aij  det( A1 ,  , Ai ,  , An )  det( A1 ,  , Bi ,  , An )

ÁLGEBRA LINEAL

53 DETERMINANTES 5

Sean

 a11     a A   i1  a11,1     a  n1 P.D.

a1n    ain   ai 1,n    a nn 

   

 a11    a B   i 1,1  ai ,1     a  n1

   

a1n    ai 1,n   ai ,n    ann 

det( A)   det( B) n

det( A)   aij Aij j 1 n

det( B)   bi 1, j Bi 1, j j 1

  (1) i 1 j aij N ( i 1)   (1)(1) i  j aij N ( i 1)



n

a j 1

ij

Aij

  det(A)

6.

Sea

 a11     a A   i1  a11,1     a  n1

   

a1n    ain   ai 1,n    a nn 

tal que las filas i,i+1 son iguales Al intercambiar las filas i,i+1:

det( A)   det( B) det( A)   det( A) Ordenando la igualdad

ÁLGEBRA LINEAL

(Teorema 8)

54 DETERMINANTES

2 det( A)  0 det( A)  0

7.

Sea

 a11     a B   i1  a11,1     a  n1

   

   ain   ai 1, n    ann  a1n

det( B)   det( A) Pero, det( A)  0 , Por lo tanto det( B)  0

8.

Sea

 a11     a A   i1  a11,1     a  n1

   

a1n    ain   ai 1,n    a nn 

Se obtiene B al sumar: fila i+1 +  .fila i

a11      ai1 B  ai1  a11,1     a n1 

   

Al aplicar el Teorema 7

ÁLGEBRA LINEAL

    ain  ain  ai 1,n     a nn  a1n

55 DETERMINANTES

a11



a1n

a11

 det( B) 



a1n



ain

 

ain

ai1 

ain

ai1

+



ai1

ai 1,1 

ai 1,n



a n1



a nn

a n1





a nn

 det(A)

0

det(B)  det( A)

9.

Se demuestra por inducción i)

Si n  2

a A   11  a 21

a12  , a 22 

a A t   11  a12

a 21   a 22 

det( A)  a11 a 22  a 21 a 22

(1)

det( A t )  a11 a 22  a 21 a 22

(2)

Igualando (1) y (2) det( A)  det( A t )

ii)

Si n  k det( AK )  det( AKt )

si n  k  1 det( AK 1 )  det( AKt 1 )

Sean A  a ij K 1 B  bij K 1 bij  a ji

Desarrollando B según la fila 1: n

B   (1)1 j b1 j B1 j j 1

K

(1)

Desarrollando A de acuerdo a la columna 1: K 1

A   (1) j 1 a j1 Ai1 j 1

ÁLGEBRA LINEAL

K

(2)

56 DETERMINANTES Pero, a j1  b1 j , es decir, B1 j  A j1 

t

B1 j  A j1 

t

B1 j  A j1

De (1) n

B   (1)1 j a j1 A j1 j 1

K

B  A

det( AK 1 )  det( AKt 1 ) , det( A)  det( A t )

10.

Se demuestra por inducción i)

Si n  2

a A   11  0

a12  , a 22 

A  a11 a 22 2

A   aii i 1

ii)

Si n  k K

AK   aii

Hipótesis inductiva

i 1

AK 1 

K 1

 aii

Tesis inductiva

i 1

K 1

AK 1   (1) K 1 j a K 1, j AK 1, j

según la fila K  1

j 1

 0    ( 1) K 11 a K 1,1 AK 1,1

 (1) K 11 a K 1, K 1 AK 1, K 1 K

 (1)2 K  2 aK 1, K 1 aii i 1

ÁLGEBRA LINEAL

K

K

 0  0

57 DETERMINANTES K

 aK 1, K 1 aii i 1

K

  aii i 1

DETERMINANTES DE MATRICES ELEMENTALES 1. E1 es una matriz elemental tipo I obtenida por intercambio de filas o columnas, entonces: E1   I  1 . 2. E 2 es una matriz elemental tipo II obtenida al multiplicar la i-ésima fila o columna por  (escalar), entonces: E 2   I   . 3. E 3 es una matriz elemental tipo III obtenida al sumar  veces la fila o columna j a la fila o columna i, entonces: E 3  I  1 . Observación E  0 .

TEOREMA 11 Si E es una matriz elemental, entonces: EA  E A , y AE  A E

DEMOSTRACION a)

Intercambio de dos filas o columnas E  1

EA se obtiene intercambiando dos filas o columnas de A EA  A  (1) A

Por lo tanto: EA  E A

b)

Se multiplica una fila o columna por  (escalar) E  I 

ÁLGEBRA LINEAL

58 DETERMINANTES EA   A EA  E A

c)

Se reemplaza una fila o columna por la suma de una de ellas multiplicada por  E 1 EA  A  1 A EA  E A

De manera semejante se demuestra que AE  A E

Corolario Si A y B son equivalentes: B  E K E K 1  E 2 E1 A

TEOREMA 12 Sea A  M nxn

A es invertible si y sólo si A  0

DEMOSTRACION 1.

“Si A es invertible, entonces A  0 " Si A es invertible, A es producto de matrices elementales, A  E K E K 1  E 2 E1

A  E K E K 1  E 2 E1 A  0 , puesto que  E  0

2.

“Si A  0 , entonces A es invertible”. Se demuestra la contrarrecíproca: Si A no es invertible, entonces A  0 Si A no es invertible, A es equivalente a una matriz B que tiene fila de ceros,

ÁLGEBRA LINEAL

(M, Teorema 41) (Teorema 11)

59 DETERMINANTES A  E K E K 1  E 2 E1 B es matriz con fila de ceros

A  E K E K 1  E 2 E1 B

(M, Teorema 31) (Teorema 11)

A 0

TEOREMA 13 Sean las matrices A, B  M nxn AB  A B

DEMOSTRACION

1.

A es invertible

Si A es invertible A  E K E K 1  E 2 E1

(1)

A  E K E K 1  E 2 E1

(2)

AB  E K E K 1  E 2 E1 B

A B  E K E K 1  E 2 E1 B

(3)

Sustituyendo (2) en (3) AB  A B

2.

A no es invertible

Si A no es invertible A 0

AB no es invertible AB  0 AB  0. B

Por lo tanto: AB  A B

ÁLGEBRA LINEAL

(Teorema (12) (M, Teoremas 31,32)

60 DETERMINANTES

INVERSA DE UNA MATRIZ

TEOREMA 14 Sea A  M nxn ai1 Ak1  ai 2 Ak 2    ain Akn  0 , si i  k

DEMOSTRACION Sea B es la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima fila de A por la i-ésima fila de A , así:  a11    a  i1 A  a  k1     a n1

a12



a12



ak 2  an2 

a1n    a an    a kn    a nn 

 a11    a  i1 B  a  i1     an1

a12



a12



ai 2



an 2 

a1n    aan    ain    ann 

B es una matriz con dos filas iguales, es decir, B  0 Desarrollando B según la k-ésima fila de B por menores y cofactores: ai1 Ak1  ai 2 Ak 2    ain Akn  0

DEFINICIÓN Sea A  M nxn , se define como matriz adjunta de A a la transpuesta de la matriz de los cofactores de los elementos aij .

Ejemplo

 2  1  A   1 3 

ÁLGEBRA LINEAL

 3  1  Cof (A)   1 2 

 3 1  adjA    1 2

61 DETERMINANTES

TEOREMA 15 Sea A  M nxn adjA. A  A.adjA  A I

DEMOSTRACION

 a11   a 21   A.adjA    a11    a  n1

a12



a 22



ai 2



an2 

a1n   a2n    ain    a nn 

 A11   A12     A  12

A21  A22

Ak1 

 Ak 2

A2 n  Akn

Ani   An 2     Ann 

El elemento i, k -ésimo de la matriz A .adj A es: a i1 Ak 1  a i 2 Ak 2    a in Akn  A , si i  k

ai1 Ak1  ai 2 Ak 2    ain Akn  0 , si i  k

(Teorema 14)

es decir,

    A.adjA       



A

0

0

A 

 0

0



0



 0

0  0   0   A 

adjA. A  A.adjA  A I

Corolario Sea A  M nxn y A  0 , entonces

A 1 

ÁLGEBRA LINEAL

1 .adjA A

62 DETERMINANTES Ejemplo Dada la matriz 1 2 4    A   3 8  2 2 0 4   

a)

Calcular A .

b)

Hallar la matriz Adj (A) .

c)

Comprobar que A. Adj ( A)  Adj ( A). A  A .I

d)

Calcular A1 .

Solución: 1 2

a)

A  3 8 2 2 2 0

b)

c)

4 4

 8   0  3 Adj ( A)     2  3   2

2 4 2 4 8 0

2

4

8 2

4

1 2 3 8

2 4

2

0 4 1 4

8 1  3 1



2 4 1 2  2 0

3

 2(36)  4(2)  64

4   2   32  8  36   4       16  4 14  2   16 4 2  2    8 

0 0   1 2 4  32  8  36    64      A. Adj ( A)   3 8  2   16  4 14    0  64 0   2 0 4   16 4 2   0 0  64    0 0   32  8  36  1 2 4    64      Adj ( A). A    16  4 14  3 8  2    0  64 0    16 4 2  2 0 4   0 0  64  

d)

 32  8  36   1 1  A  Adj ( A)    16  4 14  A  64  2    16 4 1

9 / 16   1/ 2 1/ 8   A   1/ 4 1 / 16  7 / 32   1 / 4  1 / 16  1 / 32    1

ÁLGEBRA LINEAL

63 DETERMINANTES

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Encontrar el valor de los siguientes determinantes 1

1

a)

0

1 2 3 2

1

1

1  2 1

b)

1

1

0

0  3 1

1  2i 0

c)

1

0

2 1 i

3

0

ÁLGEBRA LINEAL

1

64 DETERMINANTES

d)

1 4 2 3

2 3 1 4

e)

1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a

f)

2 1 1 1

0 9 9 9

ÁLGEBRA LINEAL

3 2 4 1

1 8 8 9

4 1 3 2

x 4 , donde x es el último dígito del año actual. 7 0

65 DETERMINANTES 2.

Determinar el valor de

1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 1 a)

3 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 b)

1 2 3 3 3 3 1 2 3 4 4 4 1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 5 6

ÁLGEBRA LINEAL

66 DETERMINANTES

c)

a b c 1 b c a 1 c a b 1 1 1 1 1 i)

abc  0

ii)

abc 3

ÁLGEBRA LINEAL

67 DETERMINANTES

d)

1  a1 a2 a3 a1 1  a2 a3 a1 a2 1  a3  a1 a2 a3

y2 y y3

  

 1  an

e)

x2 x x3

f)

sen 2 A cos 2 A cos 2 A sen 2 B cos 2 B cos 2 B sen 2 C cos 2 C cos 2C

ÁLGEBRA LINEAL

an an an

z2 z z3

68 DETERMINANTES 3  7i

0 4

1

7

2  3i

8

1

0

5

2

8

0

6

6

1

2

6

0

g)

1  10i 8  3 3i

3.

0

1

Demostrar que:

0 a a a

a 0 a a

a a 0 a

a a  3 a 4 a 0

ÁLGEBRA LINEAL

69 DETERMINANTES 4.

Demostrar que el determinante nxn

a b b  b b b a b  b b b b a  b b 









 a  b 

b b b  a b b b b  b a

5.

Hallar el valor de a1  b1 a2  b1  an  b1

a1  b2  a1  bn a2  b2  a2  bn an  b2  an  bn

ÁLGEBRA LINEAL

n 1

a  (n  1)b

70 DETERMINANTES 6.

a)

Demostrar que:

b 2  ac bc c2 A  ab ac bc  4a 2b 2 c 2 a2 ab b 2  ac b c 0 Verificar primero que: A  a 0 c 0 a b

b)

Hallar el valor del determinante

b2  c2 ab ca

ÁLGEBRA LINEAL

ab c  a2 bc 2

ca bc 2 a  b2

2

71 DETERMINANTES 7.

Demostrar que 1 0 1 0

8.

0 a 1 b 0 c 1 d

a2 b2  a  c b  d a  b  c  d  c2 d2

¿Para qué valores a, b  R , el siguiente determinante es diferente de cero? a2 ab ab b2

ab a2 b2 ab

ab b2 a2 ab

ÁLGEBRA LINEAL

b2 ab ab a2

72 DETERMINANTES 9.

Probar que

b  c 2

10.

b2

a2

a  c 2

a2

b2

c2 c2

a  b 2

 2abca  b  c 

3

Demostrar que 1 a1 2 a1 3 a1

1 a2 2 a2 3 a2

1 a3 2 a3 3 a3

1 a4 2  a1  a 2 a1  a3 a1  a 4 a 2  a3 a 2  a 4 a3  a 4  a4 3 a4

¿Cuál es la generalización de este resultado a determinantes de orden n ?

ÁLGEBRA LINEAL

73 DETERMINANTES 11.

Aplicaciones a la Geometría Analítica a)

Si P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), P3 ( x3 , y 3 ) son tres puntos no colineales, la ecuación de la parábola y  Ax 2  Bx  C que pasa por los puntos P1 , P2 , P3 puede escribirse de la forma:

y y1 y2 y3

1 x 1 x1 1 x2 1 x3

x2 x12 =0 x 22 x32

Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:

(1,5), (2,6), (2,2).

ÁLGEBRA LINEAL

74 DETERMINANTES b)

Si P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), P3 ( x3 , y 3 ) son tres puntos no colineales, la ecuación del círculo que pasa por los puntos P1 , P2 , P3 , puede escribirse: x2 x12 x 22 x32

   

y2 y12 y 22 y 32

x x1 x2 x3

y y1 y2 y3

1 1 0 1 1

Hallar la ecuación del círculo que pasa por los puntos:

(1,5), (2,6), (2,2).

ÁLGEBRA LINEAL

75 DETERMINANTES c)

Si se conoce que: L1 : a11 x  a12 y  a13  0, L2 : a21 x  a22 y  a23  0, L3 : a31 x  a32 y  a33  0,

son tres rectas no paralelas, el área determinada por L1 , L2 , L3 es igual al valor absoluto de: A11 1 A21 A13 A23 A33 A31

A12

A13

A22

A23

A32

A33

Donde Aij es el cofactor de aij en A: a11

a12

a13

A  a 21

a 22

a 23

a31

a32

a33

Hallar la superficie del triángulo cuyos lados son las rectas:

5 x  7 y  27  0, 9 x  2 y  15  0, 4 x  5 y  11  0.

ÁLGEBRA LINEAL

76 DETERMINANTES d)

El volumen de tetraedro determinado en el espacio por los puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), P3 ( x3 , y 3 , z 3 ), P4 ( x 4 , y 4 , z 4 ) , está dado por el

valor absoluto de x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4

z1 z2 z3 z4

1 D , siendo D el determinante de: 6

1 1 1 1

(1,2,5), (0,4,6), (1,2,6), (0,3,0) .

ÁLGEBRA LINEAL

77 DETERMINANTES 12.

Sea  1  2 a   A   1 a 1 0 1 a  

a)

Determinar los valores de a para que para que A sea invertible.

b)

Hallar la inversa de A cuando existe.

ÁLGEBRA LINEAL

78 DETERMINANTES 13.

Sea 1 1 1   A   1   3 3 2  

a)

Determinar el valor de  para que A sea invertible.

b)

Calcular A1 con el valor de  para el cual A  2 .

ÁLGEBRA LINEAL

79 DETERMINANTES 14.

Sea 1   3   A  2 3    3  1  2  

a)

Determinar los valores de  para que para que A sea invertible.

b)

Hallar la inversa de A cuando existe.

ÁLGEBRA LINEAL

80 DETERMINANTES 15.

Dada la matriz

1 a a 2    A  1 b b 2  1 c c 2    a) Hallar A . b) Encontrar Adj(A) . c) Calcular A1 .

ÁLGEBRA LINEAL

81 SISTEMAS DE ECUACIONES

Capítulo 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DEFINICIÓN Ecuación lineal, es una expresión del tipo: a1 x1  a 2 x 2    a n x n  b

(1)

donde x1 = variable

x2 , x3 , xn ,  = variables libres a i = coeficientes de las variables b = término constante

a, b  K xi  K

El conjunto solución de la expresión (1) es:

CS  t1 , t 2 ,  , t n  : ti  K 

Se consideran los siguientes casos:

I.

Si a1  0 x1 

a b a2  x2    n xn a1 a1 a1

se puede obtener x1 dependiendo de los valores x 2 , x3 ,  , x n II.

Si a1  a2    an  0  b  0 Reemplazando en (1) 0 x1  0 x 2    0 x n  b 0b

Para ningún valor se verifica la igualdad anterior. La ecuación (1) es inconsistente, por lo tanto, no tiene solución, o se dice que CS  Ø ÁLGEBRA LINEAL

82 SISTEMAS DE ECUACIONES III.

Si a1  a2    an  0  b  0 De (1) 0 x1  0 x 2    0 x n  0 00

Se obtiene una identidad La ecuación (1) se cumple para todos los valores de xi .

DEFINICIÓN Los sistemas de ecuaciones lineales son expresiones del tipo: a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a x  a x    a x  b  21 1 22 2 2n n 2   am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm

(1)

El sistema (1) es de m ecuaciones y n variables (m.n) .

Observaciones

1.

Si bi  0 , (1) se llama sistema no homogéneo.

2.

Si bi  0 , (1) se llama sistema homogéneo.

3.

Resolver el sistema (1) es hallar las n -úplas ordenadas que al reemplazar en el mismo dan identidades, es decir, satisfacen el sistema.

4.

Si una de las ecuaciones de (1) es del tipo 0 x1  0 x 2    0 x n  b , el sistema es inconsistente, es decir, no tiene solución, o no existen n -úplas ordenadas que satisfacen el sistema (Teorema de Rouché-Fröbenius).

5.

Si en una de las ecuaciones los coeficientes y el término constante son iguales a cero, se tiene un sistema de m  1 ecuaciones con n incógnitas.

En el siguiente cuadro se presenta un resumen de los diferentes tipos de sistemas, así: ÁLGEBRA LINEAL

83 SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES

INCONSISTENTE

CONSISTENTE

NO HOMOGÉNEO

Solución única no-trivial

Infinitas soluciones

HOMOGÉNEO

Solución Infinitas única soluciones trivial + trivial

SISTEMAS EQUIVALENTES Son aquellos sistemas que tienen las mismas soluciones.

Para obtener un sistema equivalente de uno dado, se pueden realizar las siguientes operaciones:

1.

Intercambiar ecuaciones ( Ei  E j ) .

2.

Multiplicar por un escalar diferente de cero a una de las ecuaciones ( Ei  Ei ) .

3.

Reemplazar una ecuación por la suma de otra ecuación multiplicada por un escalar ( Ei  Ei  E j ) .

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Las operaciones definidas sobre matrices y sobre ecuaciones son idénticas, por lo tanto, es posible trabajar sobre un sistema representado en forma matricial. En este apartado se describirán métodos para hallar todas las soluciones (si las hay) de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. ÁLGEBRA LINEAL

84 SISTEMAS DE ECUACIONES Del sistema (1),  a11 x1  a12 x2    a1n xn   b1       a21 x1  a22 x2    a2n xn   b2            a x  a x    a x  b  m2 2 mn n   m   m1 1

 a11 a12  a1n  x1   b1        a21 a22  a2 n  x2   b2                a      m1 am 2  amn  xn   bm 

A

X

B

AX  B Es la ecuación matricial del sistema (1).  a11 a12  a1n   a21 a22  a2 n    a  m1 am 2  amn

b1   b2     bm 

(2)

La matriz (2) es la matriz ampliada ( A  B ) correspondiente al sistema (1).

Observaciones 1.

A todo sistema AX  B le corresponde la matriz ampliada (2).

2.

De toda matriz ampliada (2) se puede escribir el sistema

AX  B

correspondiente. 3.

Si la matriz ampliada ( A  B ) es equivalente a la matriz ampliada ( C  D ), los sistemas AX  B y CX  D son equivalentes.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Para resolver sistemas de ecuaciones se utilizarán los métodos de Gauss (o de la triangulación), Gauss-Jordan y Cramer, los mismos que se detallan a continuación. ÁLGEBRA LINEAL

85 SISTEMAS DE ECUACIONES

MÉTODO DE GAUSS Consiste en encontrar una matriz ampliada escalonada equivalente por filas a la matriz correspondiente al sistema original, se escribe el sistema equivalente conforme a la matriz escalonada y se resuelve el sistema así obtenido. Si la matriz A tiene fila de ceros y la matriz ( A  B ) no tiene fila de ceros, el sistema es inconsistente.

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Consiste en encontrar una matriz ampliada escalonada reducida por filas equivalente por filas a la matriz correspondiente al sistema original, se escribe el sistema equivalente ajustado a la matriz escalonada reducida por filas y se resuelve el sistema así obtenido.

MÉTODO DE CRAMER Este método sirve para resolver sistemas que tienen el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.

TEOREMA DE CRAMER Sea un sistema de ecuaciones nxn donde:

A es matriz de los coeficientes xi es la fila i-ésima de X (matriz de las variables) Ai es la matriz que tiene los mismos elementos de A , excepto los de la

i-ésima columna, en la que constan los términos independientes. Si A  0 , entonces xi 

DEMOSTRACIÓN Se expresa el sistema en forma matricial.

AX  B De acuerdo a la hipótesis: A 0

ÁLGEBRA LINEAL

Ai A

86 SISTEMAS DE ECUACIONES

A es invertible y existe A 1 A( A 1 X )  A 1 B

X  A 1 B

X 

adjA.B A

 A11   A12 adjA      A  12

 Ak1  Ani    Ak 2 An 2      Akn Ann 

A21 A22

A2 n

siendo

 a11   a 21   A.    a11    a  n1

a12



a 22



ai 2



an2 

a1n   a2n    ain    a nn 

Considerando la fila i-ésima de X

xi 

Fi (adjA.B) A

Fi (adjA.B )  c1i b1  c 2i b2    c ni bn

(1)

Se calcula Ai

a11 a Ai  21  an1

ÁLGEBRA LINEAL

a12  b1 a22  b2  an 2  bn

 a1n  a2 n   ann

87 SISTEMAS DE ECUACIONES Desarrollando por cofactores de acuerdo a la i-ésima columna: Ai  b1ci1  b2 ci 2    bn cin

(2)

Igualando (1) y (2)

xi 

Fi (adjA.B) Ai  A A

Síntesis Si A  M n con A  0 , entonces AX  B tiene como solución única: b1 1 b2 x1  A  bn

a12  a1n a22 a2 n an 2

ann

a11 b1  a1n a2 n 1 a21 b2 x2  A  an1 bn ann

  a11 1 a21 xn  A  an1

a12  b1 a22 b2 an 2

bn

x

Observación

Este método es válido únicamente si el sistema es n n .

Ejemplo Resolver usando el método de Cramer  x1  x 2  x3  2   2 x1  x 2  2 x3  1  3x  x  x  0 2 3  1

ÁLGEBRA LINEAL

88 SISTEMAS DE ECUACIONES Solución: 1

1

A  2

1

 2  12  0  el sistema es de Cramer

1 1

3

x1 

1

2

1

1

1

1

2

0 1 1  12

1

2



1 2

1

2 1 2 x2 

x3 

3

0

1

 12

1

1

2

2

1

1

1 0

3

 12



5 3



1 6

 1 5 1  CS   , ,   2 3 6 

Resumen En ciencia y tecnología existe una gran variedad de situaciones que pueden expresarse en términos matemáticos mediante sistemas de ecuaciones lineales, o bien acercarse a un sistema de este tipo, de ahí el interés de su estudio. Una vez que se ha planteado un sistema lineal de ecuaciones, se delinean tres cuestiones importantes. La primera de ellas es conocer si tiene o no solución, la segunda es la unicidad de la misma y, por último, el cálculo de la solución cuando existe. A las dos primeras cuestiones da respuesta el teorema de Rouché-Fröbenius, tal como se ilustra en este capítulo. En este punto del estudio es importante tomar en cuenta también las propiedades que presentan los conjuntos de soluciones de los sistemas lineales homogéneos y no homogéneos. La cuestión referente al cálculo de las soluciones tiene múltiples respuestas, ya que existen diversos métodos para determinarlas. Entre ellos, cabe destacar el método de triangulación de Gauss y la regla de Cramer. ÁLGEBRA LINEAL

89 SISTEMAS DE ECUACIONES

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Resolver

a)

2 x1  x2  3 x3  5  3 x1  2 x2  2 x3  6  5 x1  3 x2  x3  16

b)

2 x1  3 x2  2 x3  5   x1  2 x2  3 x3  2  4 x1  x2  4 x3  1

c)

1  x1  ax2  x2  x3  2  x  x  x  2 2 3  1

Usar el método de Cramer

ÁLGEBRA LINEAL

90 SISTEMAS DE ECUACIONES d)

1  i x1  2  i x2  5  2  2i x1  ix2  1  2i Usar el método de Cramer

e)

 x1  2 x2  3 x3  2 x4  2  2 x1  5 x2  8 x3  6 x4  5 3 x  4 x  5 x  2 x  4 2 3 4  1

f)

 x1  2 x2  2 x3  2 3 x  2 x  x  5  1 2 3  2 x1  5 x2  3 x3  4  x1  4 x2  6 x3  0

ÁLGEBRA LINEAL

91 SISTEMAS DE ECUACIONES

g)

2.

 x1  5 x2  4 x3  13 x4  3  3 x1  x2  2 x3  6 x4  2 2 x  2 x  3 x  4 x  1 2 3 4  1

Determinar los valores de k tales que el sistema con las incógnitas x1 , x2 , x3 tenga i) Solución única, ii) Infinitas soluciones, iii) No tenga solución. a)

kx1  x2  x3  1   x1  kx2  x3  1  x  x  kx  1 3  1 2

ÁLGEBRA LINEAL

92 SISTEMAS DE ECUACIONES

b)

 x1  x2  kx3  2  3 x1  4 x2  2 x3  k 2 x  3 x  x  1 2 3  1

c)

 3 x3  3  x1  2 x1  kx2  x3  2  x  2 x  kx  1 2 3  1

ÁLGEBRA LINEAL

93 SISTEMAS DE ECUACIONES 3.

Determinar los valores de  para que el sistema  x2  x3  1 (  1) x1  2 x1  (  1) x2  2 x3  2   3   x1  2 x2  (  1) x3   

a)

Tenga solución única. Hallarla

b)

Tenga más de una solución. Hallarlas

c)

No tenga solución.

ÁLGEBRA LINEAL

94 SISTEMAS DE ECUACIONES 4.

Determinar los valores de  para que el siguiente sistema:  x1  x2  x3    2 x1  x2  x3  0  2  x1  2 x2  x3    

a)

Tenga solución única. Hallarla.

b)

Tenga más de una solución. Hallarlas.

c)

No tenga solución.

ÁLGEBRA LINEAL

95 SISTEMAS DE ECUACIONES 5.

Determinar los valores de a y b para que el siguiente sistema:  x2  x3  1  x1  2 x1  (3  a ) x2  (2  a ) x3  1 3 x  3 x2  (4  2a ) x3  3  b  1

a)

Tenga solución única. Hallarla.

b)

Tenga más de una solución. Hallarlas.

c)

No tenga solución.

ÁLGEBRA LINEAL

96 SISTEMAS DE ECUACIONES 6.

Determinar los valores de a y b para que el siguiente sistema:  x1  x2  x3  3   x1  x2  x3  1 2 x  ax3  b  1

a)

Tenga solución única. Hallarla

b)

Tenga más de una solución. Hallarlas.

c)

No tenga solución.

ÁLGEBRA LINEAL

97 SISTEMAS DE ECUACIONES 7.

Determinar los valores m para que el siguiente sistema: (2m  2) x1  (m  1) x2  (m  3) x3  2m  2  (m  1) x2  (m  1) x3  0   mx1  x2  x3  m  1 

a)

Tenga solución única. Hallarla

b)

Tenga más de una solución. Hallarlas

c)

No tenga solución.

ÁLGEBRA LINEAL

98 SISTEMAS DE ECUACIONES 8.

Determinar los valores m para que el siguiente sistema x2  x3  m  1 (m  2) x1   mx1  (m  1) x2  x3  m  1  (m  1) x  (m  1) x3  m  1 1 

a)

Tenga solución única. Hallarla

b)

Tenga más de una solución. Hallarlas

c)

No tenga solución.

ÁLGEBRA LINEAL

99 SISTEMAS DE ECUACIONES 9.

Determinar los valores de a para que el sistema 2a  2x1  a  1x2  a  3x3  2  a  1x2  a  1x3  0   2 x1  x2  x3  1 

a)

Tenga solución única. Hallarla

b)

Tenga más de una solución. Hallarlas

c)

No tenga solución.

ÁLGEBRA LINEAL

100 SISTEMAS DE ECUACIONES 10.

Determinar los valores a , b , c y k para que el sistema

 x1  x2  x3  1   ax1  bx2  c x3  k  2 2 2 2 a x1  b x2  c x3  k a)

Tenga solución única. Hallarla

b)

Tenga más de una solución. Hallarlas

c)

No tenga solución.

ÁLGEBRA LINEAL

101 ESPACIOS VECTORIALES

Capítulo 4 ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN Sean

V un conjunto no vacío, K un campo, (+) una ley de composición interna

sobre V , llamada adición, (  ) una ley de composición externa, que relaciona V y K , llamada producto, entonces se dice que V tiene estructura de espacio vectorial sobre el campo K , notada por  V , K , ,   si cumple las siguientes propiedades: 1.

(V, +) es un grupo conmutativo i)

u, v  V | u  v  V

Axioma de clausura

ii)

u, v, w  V | (u  v)  w  u  (v  w)

Axioma de asociatividad

iii)

!e  V , u  V | e  u  u  e  u e  0 v  Axioma del neutro aditivo

iv)

u  V ,  ! u ,  V | u  u ,  u ,  u  e

Axioma del inverso aditivo

v)

u, v  V | u  v  v  u

Axioma de conmutatividad

2.

  K , u  V | u  V

Axioma de clausura

3.

 ,   K , u  V | (  )u   (  u )

Ley asociativa mixta

4.

!e  K , u  V | eu  u (e  1)

Axioma del neutro

5.

 ,   K , u  V | (a   )u  u  u

Primera ley de distribución

6.

  K , u, v  V | (u  v)  u  v

Segunda ley de distribución

EJEMPLOS 1.

R , R,, es el espacio vectorial de las n  úplas de números reales. n

R n  a1 , a2 ,  , an  ai  R, i  1,2,  , n

Si   R , u , v  R n , u  a1 , a2 ,, an  , v  b1 , b2 ,, bn  se definen u  v  a1  b1 , a2  b2 ,, an  bn  y u  a1 , a2 , , an 

ÁLGEBRA LINEAL

102 ESPACIOS VECTORIALES 2.

M mxn , R,, es el espacio vectorial de todas las matrices

mxn .

M m xn  Am xn | Am xn es una matriz de orden m x n , a ij R 

Donde + representa la suma usual de matrices y  la multiplicación usual de un número real por una matriz. 3.

F , R,, es el espacio vectorial de todas las funciones reales. F   f | f : R  R es una función 

Donde + representa la suma usual de funciones y  la multiplicación usual de un número real por una función. 4.

Pn x , R,, es el espacio vectorial de todos los polinomios de grado  n . Donde + representa la suma usual de polinomios y  la multiplicación usual de un número real por un polinomio.

Observaciones 1.

Los elementos de V se llaman vectores, los elementos de K se llaman escalares.

2.

La operación (+) se llama suma vectorial, la operación (  ) se llama multiplicación por un escalar.

3.

El vector 0V se llama vector nulo o vector cero.

El siguiente teorema es de mucho interés

TEOREMA 1 Sea V , K ,,  un espacio vectorial

  K , u, v, w  K se cumple que: a) b)

uvvwu  w 0.u  Ov

c)

 .OV  OV

d)

 .u  OV    0  u  OV

e)

( .u )   (u )  ( .u )

DEMOSTRACIONES ÁLGEBRA LINEAL

103 ESPACIOS VECTORIALES a)

c)

u  0V  u

Axioma del neutro

u  (v  (v))  u

Axioma del inverso

(u  v)  (v)  u

Axioma de asociatividad

v  w  ( v )  u

Hipótesis

v  ( v )  w  u

Axioma de asociatividad

0V  w =u

Axioma del inverso

uw

Axioma del neutro

0V  0V  0V

Axioma del neutro

 

Axioma reflexivo

 (0 V  0 V )   0 V

Axioma reflexivo

 0V   0V   0V

(1)

Axioma distributivo

  .u   .u

(2)

Axioma reflexivo

Sumando (1) y (2)

 0V  ( 0V  ( 0V ))   0V  ( 0V )

d)

 0V  0V  0V

Axioma del inverso

 0V  0V

Axioma del neutro

Por Contradicción Se supone que:

(  0  u  0V )   0  u  0V

  K , tal que,   0, 

1 

 0V  0V

Hipótesis

1 1  u   0V     1.u  0V u  0V Lo que contradice la suposición

   0  u  0V

ÁLGEBRA LINEAL

Axioma del inverso

104 ESPACIOS VECTORIALES

SUBESPACIOS VECTORIALES Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K , entonces S es un subespacio vectorial de V , si y sólo si, S  V . De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales. Gráficamente se tiene

V

S

TEOREMA 2 Sea  V , K , ,   un espacio vectorial, S  V , S  Ø, S es subespacio vectorial de V si y sólo si cumple que:

1.

u, v  S ‫ ׀‬u  v  S

2.

  K , u  S | u  S

DEMOSTRACION 1)

""

Se cumple pues S  V 2.

""

P.D.  S , K , ,   es un espacio vectorial

 S ,   es un grupo conmutativo a)

u, v  S | u  v  S

Axioma de clausura

Si cumple b)

u, v, w  S | (u  v)  w  u  (v  w)

Axioma de asociatividad

Si cumple c)

!e  S , u  S | e  u  u  e (e  0 v ) P.D.

e  0V  S Si   0

ÁLGEBRA LINEAL

Axioma del neutro aditivo

105 ESPACIOS VECTORIALES u  0u

u  0 V 0V  S Si cumple d)

u  S ,  ! u ,  S | u  u ,  u ,  u  e P.D.

Axioma del inverso aditivo

u ,  u  S Si   1 u  1.u  u  u

es decir, uS

Si cumple e)

u, v  V | u  v  v  u Si cumple

Puesto que S  V se cumplen las propiedades de los espacios vectoriales. Si S es espacio vectorial y S  V , entonces S es subespacio vectorial de V. Observación

0V pertenece a todo subespacio vectorial de V .

Corolario

S  V , si S es subespacio vectorial de V , entones se cumple que: 1.

0V  S , S  Ø

2.

  K , u, v  S | u  v  S

COMBINACIÓN LINEAL Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, T  V ,

T  t1 , t 2 , t n  Se dice que u  V es combinación lineal de T si y sólo si existen elementos del campo

K tal que se verifica la siguiente identidad: u  1t1   2t2     ntn

ÁLGEBRA LINEAL

106 ESPACIOS VECTORIALES

CONJUNTO GENERADOR Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, S  V , S  s1 , s 2 ,  s n  , u  V . Si u  1s1   2 s2     n sn ,entonces S es conjunto generador de V .

CÁPSULA LINEAL Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, S  V , S  Ø, S  s1 , s 2 ,  s n  La cápsula de S es el conjunto de los vectores que son combinaciones lineales de los elementos de S , y se nota por S , es decir, S  v  V | v  1s1   2 s2     n sn ,  i  K 

TEOREMA 3 Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, S  V , S  Ø La cápsula de S es subespacio vectorial de V .

DEMOSTRACION 1.

0v  S y S  Ø

u  S

Sea   0  K

u  0 V 0u  0V 0v  S

2.

u , v  S | u  v  S

u   1 s1   2 s 2     n s n v  1 s1   2 s 2     n s n u  v  ( 1   1 ) s1  ( 2   2 ) s 2    ( n   n ) s n uv  S

ÁLGEBRA LINEAL

107 ESPACIOS VECTORIALES 3.

  K , u  S | u  S

u   1 s1   2 s 2   n s n u   1 s1   2 s 2     n s n  i   i u   1 s1   2 s 2     n s n u  S

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALES Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, T  V , T  t1 , t 2 , t n , 1. T es linealmente dependiente si y sólo si existen escalares  i no todos iguales a cero, tales que:

1t1   2t 2     n t n  0V

2. T es linealmente independiente si y sólo si existen escalares  i únicos e iguales a cero, tales que:

1t1   2t 2     n t n  0V a esta se llama combinación lineal trivial.

TEOREMA 4 Sean

 V , K , ,  un espacio vectorial,

1.

Si S1 es linealmente dependiente., entonces S 2 también lo es.

2.

Si S 2 es linealmente intependiente., entonces S1 también lo es.

DEMOSTRACION 1

S1  S 2  V

S1  s1 , s2 ,, sn  S 2  s1 , s2 ,, sr 

ÁLGEBRA LINEAL

108 ESPACIOS VECTORIALES Si S1 es linealmente dependiente,  1  0 , tales que: 1s1   2 s2     n sn  0v

Se puede escribir que: 1s1   2 s2     n sn  0.sn    0.sr  0v ,

donde no todos los coeficientes son cero.  S 2 es linealmente dependiente

2. Por contradicción: Se supone que S1 es linealmente dependiente S1 es linealmente dependiente  S1  S 2 S 2 es linealmente dependiente

Lo que contradice la suposición.  S1 es linealmente independiente.

TEOREMA 5 Sean

 V , K , ,  un espacio vectorial,

S V .

S es linealmente dependiente si y sólo si si  S , tal que,

si es combinación lineal de los restantes vectores.

DEMOSTRACION 1.

""

Si S es linealmente dependiente, entonces  i  0 , tales que:

 1 s1   2 s 2     i si     n s n  0V , es decir,  i si    1 s1   2 s 2     n s n  1  0 , (en caso contrario se elige otro vector)

Despejando si

si  1 s1   2 s 2     n s n Por lo tanto: si es combinación lineal de los restantes vectores.

ÁLGEBRA LINEAL

109 ESPACIOS VECTORIALES 2. "" Sea si  S , tal que, es combinación lineal de los restantes vectores de S ,

si   1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i 1 si 1     n s n

(1)

 si   si

(2)

Sumando (1) y (2) y reordenando

 1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i si   i 1 si 1     n s n  0V

 S es linealmente dependiente.

TEOREMA 6 EL WRONSKIANO

x  D f , S   f1 , f 2 ,, f n  es linealmente independiente si y sólo si x  D f , tal que:

W  f1, f 2 ,, f n  

f1 f1' 

f1( n 1)

f2 f2 ' f 2( n 1)

 

fn fn '

0

f n ( n 1)

DEMOSTRACION a)

""

Por contradicción Se supone que W  0 , entonces Una fila o columna de W es combinación lineal de las restantes, por ejemplo:

f1   2 f 2     n f n , es decir, S es linealmente dependiente. Lo que contradice la suposición.

W 0

b)

""

Por contradicción: Se supone que S es linealmente dependiente, entonces Una fila o columna de W es combinación lineal de las restantes, es decir, W  0 , lo que contradice la suposición

Por lo tanto S es linealmente independiente. ÁLGEBRA LINEAL

110 ESPACIOS VECTORIALES

BASE

DEFINICION Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y S  V , S es una base de V , si y sólo si:

1.

S genera a V , y

2.

S es linealmente independiente.

TEOREMA 7 Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y S  V , Si S  s1 , s 2 ,  s n  es una base del espacio vectorial V , entonces todo vector de S se puede expresar de una y solo una manera como combinación lineal de los vectores de S. La combinación lineal es única.

DEMOSTRACION Sea u  V Se supone que la combinación lineal no es única, es decir,

u   1 s1   2 s 2     n s n

(1)

u   1 s1   2 s 2     n s n

(2)

i  i Restando (1) y (2)

u  (u )  ( 1   1 ) s1  ( 2   2 ) s 2    ( n   n ) s n 0V  ( 1  1 ) s1  ( 2   2 ) s 2    ( n   n ) s n Si S es base de V , entonces S es linealmente independiente,

i  i  0 , i  i ÁLGEBRA LINEAL

111 ESPACIOS VECTORIALES Lo que contradice la suposición. Por lo tanto: la combinación lineal es única.

TEOREMA 8 Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y S  V , Si S es un conjunto finito de vectores no nulos que genera a V entonces, S contiene a una base T de V .

DEMOSTRACION a)

Si S es linealmente independiente, entonces es base de V. //

b)

Si S es linealmente dependiente, existe un vector que es combinación lineal de los restantes vectores (Teorema 6). Si se considera el conjunto S1  S  s1  s1 es combinación lineal de S1

si   1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i 1 si 1     n s n

(1)

S1 genera a V?

Sea u  V u es combinación lineal de S u   1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i si   i 1 si 1     n s n

(2)

Se sustituye (1) en (2) u   1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i 1 si 1     n s n , es decir, S1 es generador de V .

Si S1 es linealmente independiente, entonces es base. //

c)

Si S1 es linealmente dependiente, se elimina un vector, que es combinación lineal de los restantes, es decir,

S 2  S1  si 1 , que es generador de V . Al continuar con el proceso se encuentra un subconjunto T de S que es linealmente independiente y que genera a V . //

ÁLGEBRA LINEAL

112 ESPACIOS VECTORIALES

TEOREMA 9 Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y S , T  V ,

S 

s 1 , s 2 , 

, s n  , es una base de V , y

T  t1 , t 2 ,  , t r  es un conjunto linealmente independiente de V ,

entonces n  r . Esto es, todo conjunto linealmente independiente no tiene más que n vectores.

DEMOSTRACION Se supone que: nr

Si S genera a V

t i es combinación lineal de S t i   1 s1   2 s 2     n s n Se despeja s n  0V (En caso contrario, si se despeja otro)

t i  0V  a n  0  1   1 s n   t1    an   an

  ( 1 s1   2 s 2     n 1 s n 1 ) 

S1  s1 , s 2 ,  , s n1 , t1  genera a V t 2 es combinación lineal de S1

t 2   1 s1   2 s 2     n 1 s n 1   t1 t 2  0V si  1     n 1  0 t 2   t1 , entonces T es linealmente independiente

Lo que contradice la suposición. Por lo tanto debe(n) existir algún(nos)  i  0

 n 1  0 En caso contrario se elige otro ÁLGEBRA LINEAL

113 ESPACIOS VECTORIALES  1   1  t 2    (  1 s1   2 s 2     n  2 s n  2 ) s n 1     n 1    n 1 

de donde,

S 2  s1 , s 2 , , s n 2 , t1 , t 2  genera a V Repitiendo el proceso n veces, se encuentra el conjunto

S n  t1 , t 2 , , t n  que es base de V , pues genera y es linealmente independiente (Teorema 4). Si r  n

t n 1   1t1   2 t 2     n t n , entonces T es linealmente dependiente

Lo que contradice la suposición. Por lo tanto:

nr.

TEOREMA 10 Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, S , T  V ,

S 

s 1 , s 2 , 

, s n  , es una base de V , y

T  t1 , t 2 ,  , t r  es otra base de V , entonces nr

DEMOSTRACION Si S es base de V y T es linealmente independiente, n  r (Teorema 9) Si T es base de V y S es linealmente independiente, n  r (Teorema 9) Se concluye que n  r . Es decir, las diferentes bases de un mismo espacio vectorial tienen igual número de vectores.

Corolario Si S es base de V y tiene n vectores, un conjunto con n  1 vectores es linealmente dependiente. ÁLGEBRA LINEAL

114 ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN Las coordenadas de un vector u  V , respecto a una base dada S , son los escalares que sirven para expresar u como combinación lineal de S , así:

u   1 s1   2 s 2     n s n

u S

 1        2  , es el vector coordenadas de u respecto a S .       n

DIMENSIÓN Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, S  V , S 

s 1 , s 2 , 

, s n  , es una base

de V , entonces la dimensión de V es igual a n , y se nota por dim V  n . La dimensión de espacio vectorial trivial se considera cero, esto es, dim  0V   0 .

DIMENSIÓN FINITA Un espacio vectorial V es de dimensión finita si y sólo si la base de V tiene un finito número de vectores. Ejemplos: R n , C n , Pn , M mn .

DIMENSIÓN INFINITA Un espacio vectorial V es de dimensión infinita si y sólo si la base de V tiene un infinito número de vectores. Ejemplo: P el espacio vectorial de todos los polinomios.

TEOREMA 11 Sean  V , K , ,   un espacio vectorial, dim V  n , S  V ,

S 

s 1 , s 2 , 

, s n  , entonces

Si S es linealmente independiente, S es una base de V . ÁLGEBRA LINEAL

115 ESPACIOS VECTORIALES DEMOSTRACION Por contradicción Se supone que S no es base de V , Si S no es base, entonces S no genera a V

u  V tal que no es combinación lineal de S , S  s1 , s 2 ,, s n , u es linealmente independiente Lo que contradice la suposición. Por lo tanto S es base de V .

TEOREMA 12 Sean  V , K , ,  un espacio vectorial, dimV  n , S  V ,

S 

s 1 , s 2 , 

, sn

Si S es generador de V , entonces S es una base de V .

DEMOSTRACION Por contradicción Se supone que S no es base de V , Si S no es base, entonces S es linealmente independiente (Teorema 9)

 si  S , que es combinación lineal de los restantes, S1  S  si  si   1 s1   2 s 2     i 1 si 1   i 1 si 1     n s n

1.

Si S1 es linealmente independiente, es base dim V  n  1

Lo que contradice la suposición.

2.

Si S1 es linealmente dependiente,

 s i 1 que es combinación lineal de los restantes vectores, S 2  S1  Si 1

ÁLGEBRA LINEAL

116 ESPACIOS VECTORIALES Si S 2 es linealmente independiente, es base y dim V  n  2 Lo que contradice la suposición. Por lo tanto S es base de V .

TEOREMA 13 Sean  V , K , ,  un espacio vectorial, dim V  n , S es un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces existe una base T de V que contiene a S .

DEMOSTRACION

S  s1 , s 2 ,, s j  Si S no es base, u  V que es combinación lineal de S ,

S1  s1 , s 2 ,, s j , u es linealmente independiente

1.

Si S

es linealmente independiente y es generador, entonces es base

S1  T , S  T . 2.

Si S1 no es generador, no es base

v  V que es combinación lineal de S 2 , S 2  s1 , s 2 ,, s j , u, v es linealmente independiente Si S 2 es linealmente independiente y es generador, entonces es base

S 2

 T , S  T .

Si S 2 es linealmente independiente, pero no es generador, se repite el proceso hasta encontrar un conjunto T generador de V .

TEOREMA 14 Sean  V , K , ,  y  W , K ,, espacios vectoriales de dimensión finita, si W es subespacio vectorial de V , entonces se cumple que dim W  dim V

ÁLGEBRA LINEAL

117 ESPACIOS VECTORIALES DEMOSTRACION Si W es subespacio vectorial de V ,

W  V , es decir, W V W  V

1. Si W  V , dim W  dim V 2. Si W  V , u  V t.q. u  W , Una base de W tiene menor número de vectores que una base de V, dim W  dim V

Por lo tanto dim W  dim V .

TEOREMA 15 Sea  V , K , ,  un espacio vectorial. La intersección de cualquier colección de subespacios vectoriales de V , es un subespacio vectorial de V , es decir, si V1 , V2 ,  , Vn , son subespacios vectoriales de V , entonces n

W  Vi , es subespacio vectorial de V . i 1

DEMOSTRACION 1.

0v W 0 v  Vi , i  1,2,, n , pues Vi es subespacio vectorial 0v W

2.

u, v  W  u  v  W n

u  Vi , u  Vi , i  1,2,, n i 1

n

v  Vi , v  Vi , i  1,2,..., n i 1

n

u  v  Vi i 1

u  v W

ÁLGEBRA LINEAL

118 ESPACIOS VECTORIALES 3.

  K , u  W   .u  W n

u  W , entonces u  Vi i 1

n

u  Vi , entonces u  Vi i 1

n

u  V , entonces αu  W . i 1

DEFINICIÓN Sean V1 , V2 ,  , Vn subespacios vectoriales del espacio vectorial

 V , K , ,  ,

S  V1 , V2 ,  , Vn , y los vectores vi  Vi

donde

i  1,2,, n , la suma de los subespacios de S se define por V1  V2  Vn   v  v1  v2   vn v1  V1 , v2  V2 ,  , vn  Vn 

TEOREMA 16 Sean

 V , K , , 

un espacio vectorial, y W1 y W 2 subespacios

vectoriales de V , entonces W1  W2 es un subespacio vectorial de V

TEOREMA 17 Sean

 V , K , , 

un espacio vectorial, y W1 y W 2 subespacios

vectoriales de V . Si B1 y B2 son bases de y W1 y W 2 , entonces

W1  W2  B1  B2

DEFINICIÓN Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y U , W1 y W2 , subespacios vectoriales de V , U  W1  W2 define la suma directa de W1 yW2 si

W1  W2   v  V !v1  W1  !v2  W2 , v  v1  v2  ÁLGEBRA LINEAL

119 ESPACIOS VECTORIALES

TEOREMA 18 Sean  V , K , ,   un espacio vectorial y U , W1 y W2 , subespacios vectoriales de dimensión finita de V .

U  W1  W2 , si y sólo si U  W1  W2 y W1  W2  0V .

DEMOSTRACION  u1  W 2 ,  v 2  W 2  v  u 2  v 2 u1  v1  u 2  v 2 u1  u 2  v 2  v1

u1  u 2  W1  W2  0V  v1  v 2  W1  W2  0V  u1  u 2  0V  u1  u 2

v1  v 2  0V  v1  v 2

 Por lo tanto u1  v1 son únicos.

Corolario Sean

 V , K , , 

un espacio vectorial y U , W1 y W2 , subespacios vectoriales de

dimensión finita de V , entonces

dimW1  W2   dim W1  dim W2

TEOREMA 19 Sean  V , K , ,  un espacio vectorial, y W1 un subespacio vectorial de V . entonces existe un subespacio (complemento) W 2 del espacio vectorial de V tal qué V  W1  W 2 .

ÁLGEBRA LINEAL

120 ESPACIOS VECTORIALES DEMOSTRACION 1.

W1  V

W2  0V  W1  W2  0V   V  W1  W 2 . 2.

W1  V W1 es subespacio vectorial propio de V , dim V  n S1  v1 , v 2 ,  , v r  , base de W1 , r  n ,

S1  W1 S 2  v r 1 ,  , v r  , donde v j  S1 , j  r  1,..., n

S 2  W2

W1  W2  0V  W1  W2  v1 , v 2 ,  , v r , v r 1 ,  , v n

S1  S 2  v1 , v 2 ,  , v r , v r 1 ,  , v n 

S1  S 2 es linealmente independiente y es base de V W1  W2  V  S1  S 2  V , entonces

V  W1  W 2 .

Ejercicio





Sea W1  ax 3  bx 2  cx  d  P3 x  a  2b  c  d  b  c

subespacio vectorial de

P3 x  . Hallar un subespacio vectorial W2 tal que P3 x   W1  W2 .

TEOREMA 20 Sean W1 y W 2 subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio vectorial  V , K , ,  , entonces W1  W2 es un espacio vectorial de dimensión finita y además: dim W1  dim W2  dim(W1  W2 )  dim(W1  W2 ) .

ÁLGEBRA LINEAL

121 ESPACIOS VECTORIALES DEMOSTRACION W1  W2  Ø

Sea S  u1 , u 2 , , u k  base de W1  W2 S tiene k vectores y es parte de una base de W1 y W 2

S1  u1 , u 2 ,  , u k , v1 ,  , v n  es base de W1 S 2  u1, u2 ,, uk , w1,, wm  es base de W 2 S1  S 2  u1, u2 ,, uk , v1,, vn , w1,, wm  S1  S 2 tiene k  m  n vectores S1  S 2 genera a W1  W2 (Definición)

P.D. S1  S 2 es linealmente independiente k

n

m

i 1

i 1

i 1

  iui   i vi    i wi  0v

(1)

Reordenando m

k

n

i 1

i 1

i 1

 ( i wi )    iui   i vi  W1 m

 ( w )  W i 1

i

i

2

m

 ( w )  W i 1

i

i

1

m

k

i 1

i 1

 W2

 ( i wi )    i ui Reordenando k

m

i 1

i 1

  i u1    i w1  0V Se obtiene una combinación lineal de S 2 , base de W 2 que tiene k  m vectores

 i  0, i  1,2, , k  i  0, i  1,2,  , m Se obtiene una combinación lineal de S1 , base de W1 que tiene k  n vectores k

n

i 1

i 1

  i u1    i vi  0V  i  0, i  1,2,  , k ÁLGEBRA LINEAL

122 ESPACIOS VECTORIALES

 i  0, i  1,2,  , n S1  S 2 es linealmente independiente y genera a W1  W2 dim W1  dim W2  ( k  n)  ( k  m) dim W1  dim W2  ( k  n  m)  k dim W1  dim W2  dim(W1  W2 )  dim(W1  W2 ) .

TEOREMA 21 Sean W1 y W 2 subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio vectorial  V , K , ,  . W1  W2 es subespacio vectorial de V si y sólo si W1  W2 o

W2  W1 . DEMOSTRACION a) "" Por contradicción Se supone que:

W1  W2  W2  W1 u1  u1  W1  u1  W2 u 2  u 2  W2  u 2  W1 u1  W1  W1  W2 u 2  W2  W1  W2 u1 , u 2  W1  W2 que es subespacio vectorial u1  u 2  W1  W2 , entonces u1  u 2  W1  u1  u 2  W2

1.

Si u1  u 2  W1 u1  W1  u1  W1  u1  u1  u 2  W1 u 2  W1

ÁLGEBRA LINEAL

123 ESPACIOS VECTORIALES Lo que contradice la suposición.

2.

Si u1  u 2  W2 u 2  W 2  u 2  W 2  u 2  u1  u 2  W 2 u1  W 2

Lo que contradice la suposición.

b)

""

W1  W2 W1  W2 que es subespacio vectorial

Por lo tanto W1  W2 es subespacio vectorial de V si y sólo si W1  W2  W2  W1

CAMBIO DE BASE En este apartado se estudia la relación entre dos vectores coordenadas para el mismo vector, respecto a bases diferentes. Sean el espacio vectorial  V , K , ,  y, S y T bases ordenadas de V

S  s1, s 2 ,, s n  T  t1 , t 2 ,  , t n  v  V

v   1 s1   2 s 2     n s n

(I)

v   1 t1   2 t 2     n t n

(II)

Considerando los vectores de S como combinación lineal de T

ÁLGEBRA LINEAL

124 ESPACIOS VECTORIALES

s1  a11t1  a12 t 2    a1n t n

(1)

s 2  a 21t1  a 22 t 2    a 2 n t n

(2)

 s n  a n1t1  a n 2 t 2    a nn t n

Los vectores coordenadas de S respecto a la base T son:

s1 T

 a11    a    21     a   n1 

s 2 T

 a12     a 22       a   n2 



s n T

 a1n     a2n       a   nn 

Entonces se construye la matriz PS T  S1 T

S 2 T



S n T 

En forma desarrollada

 a11 a12  a1n     a21 a22  a2n  PS T       a  a  a n2 nn   n1

PS T es la matriz de cambio de base de S a T .

ÁLGEBRA LINEAL

(n)

125 ESPACIOS VECTORIALES Sustituyendo (1),(2),…,(n) en (I) e igualando a (II)

 1t1   2 t 2     n t n   1 (a11t1  a12 t 2    a1n t n ) +  2 (a 21t1  a 22 t 2    a 2 n t n     n (a n1t1  a n 2 t 2    a nn t n )

Reordenando

 1t1   2 t 2     n t n  (a11 1  a12 2    a1n n )t1 + (a 21 1  a 22 2    a 2 n n )t 2    an11  an 2 2    ann n tn

Escribiendo matricialmente   1   a11      2   a 21          a  n   n1

a12 a 22 an2

 a1n    1    a2n   2       a nn    n 

O también

v T

 PS T v  S

Similarmente

v S

 QT  S v T

QT  S es la matriz de cambio de base de T a S , además QT  S  P S1T .

Ejemplo Sean los conjuntos S y T bases ordenadas del espacio vectorial R 3 , tales que

S  (6,3,3), (4,3,1), (5,5,2) , y T  (2,01), (1,2,0), (1,1,1) Hallar la matriz de cambio de base P de S a T . Solución:

ÁLGEBRA LINEAL

126 ESPACIOS VECTORIALES u  (6, ,3,3)  2( 2,0,1)  1(1,2,0)  1(1,1,1)

u T

 2    1 1  

v  ( 4, ,3,1)  2( 2,0,1)  1(1,2,0)  1(1,1,1)

vT

2      1 1  

w  (5,2,2)  1( 2,0,1)  2(1,2,0)  1(1,1,1)

1   wT   2  1  

La matriz requerida es 2 2 1   P  1 1 2 1 1 1  

Resumen En este capítulo se revela y se enseña una parte importante del Álgebra Lineal, ya que se analiza la estructura de espacio vectorial, que es el ambiente de trabajo del que se parte para la obtención de los resultados y desarrollos que se verán a continuación en los siguientes temas. Se comenzó reflexionando con vectores en el plano y en el espacio considerándolos como segmentos de rectas orientados, junto con las posibles operaciones que pueden realizarse entre ellos y sus propiedades. Una vez conocidos los espacios R 2 y R 3 como conjuntos de vectores, se procedió a generalizar, en un proceso de abstracción, los aspectos que los caracterizan, obteniéndose así la estructura de un espacio vectorial. De la definición de subespacio vectorial W surge de manera inmediata el concepto de conjunto generador, que permite definir, a partir de un número finito de vectores, todos los elementos de W . Dentro de los conjuntos generadores interesan aquellos que contienen el menor número de elementos y estos pueden encontrarse con ayuda de los conceptos de dependencia e independencia lineales. Estos conjuntos generadores “mínimos” se conocen como las bases de los espacios vectoriales y, el número de elementos que las componen, la dimensión de los mismos. ÁLGEBRA LINEAL

127 ESPACIOS VECTORIALES

PROBLEMAS PROPUESTOS ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 1.

Sea R n el conjunto de n-uplas ordenadas (a1 , a 2 ,  , a n ) en el campo R , con la adición en R n y la multiplicación por un escalar, definidas por:

(a1 , a 2 ,  , a n )  (b1 , b2 , , bn )  (a1  b1 , a 2  b2 ,  , a n  bn ) k (a1 , a 2 ,  , a n )  (ka1 , ka 2 , , ka n ) Donde a, b, k  R . Demostrar que R n es un espacio vectorial sobre R .

ÁLGEBRA LINEAL

128 ESPACIOS VECTORIALES 2.

Sea R 2 el conjunto de parejas ordenadas (a, b) de números reales. Demostrar que R 2 no es espacio vectorial sobre R con la adición en R 2 y la multiplicación por un escalar sobre R definidas por: a)

(a, b)  (c, d )  (a  d , b  c) y k (a, b)  (ka, kb)

b)

( a , b )  ( c, d )  ( a  c, b  d ) y k ( a , b )  ( a , b )

c)

(a, b)  (c, d )  (0,0) y k (a, b)  (ka, kb)

d)

(a, b)  (c, d )  (a  c, b  d ) y k (a, b)  (0,0)

ÁLGEBRA LINEAL

129 ESPACIOS VECTORIALES 3.

El conjunto dado con las operaciones dadas no es un espacio vectorial. ¿Qué propiedades de la definición no se satisfacen? a)

Los reales positivos sobre los reales con las operaciones + y .

b)

El conjunto de las ternas ordenadas de números reales con las operaciones:

( x, y , z )  ( x , , y , , z , )  ( x  x , , y  y , , z  z , ) , y

r ( x, y, z )  ( x,1, z ) c)

 x El conjunto de las matrices M 2x1 tal que   , donde x  0  y con las operaciones usuales en R 3 .

ÁLGEBRA LINEAL

,

130 ESPACIOS VECTORIALES 4.

Sea el espacio vectorial de M 3x1 .

a)

 a     2  2 2 W   b  a  b  c  1  c     

b)

 a      W   b  a  b  1  c     

c)

 a      W   b  b  a  2c   c     

Determinar si W es subespacio vectorial de M 3 x1 .

ÁLGEBRA LINEAL

131 ESPACIOS VECTORIALES 5.

Determinar si el conjunto W es subespacio vectorial de R 3 .





a)

W  ( x, y , z ) e x  y  0

b)

W  ( x, y, z ) y  x  z

c)

W  ( x, y , z ) x  z 2

d)

W  ( x, y, z ) x  y  0  2 x  z  0

e)

W  ( x, y, z ) x  2 y  z  0



ÁLGEBRA LINEAL



132 ESPACIOS VECTORIALES 6.

Determinar si el conjunto W es subespacio vectorial de P2 x a) b) b) c)

 W  p( x)  ax W  p ( x )  ax W  p( x)  ax



W  p( x)  ax 2  bx  c p(0)  p(1)  1

ÁLGEBRA LINEAL



2

 bx  c p' (0)  p' ' (0)  0

2

 bx  c b  c

2

 bx  c p(0)  p' (1)

 

133 ESPACIOS VECTORIALES 7.

Sea el espacio vectorial V   f :  1,1  R , W  V . Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de V . a)

W   f :  1,1  R

f es contínua

b)

W   f :  1,1  R

f es derivable

c)

W   f :  1,1  R 



d)

W   f :  1,1  R

f ( x)  f ( x)

e)

W   f :  1,1  R

f (0) 

f)

W   f :  1,1  R

f  12   0

ÁLGEBRA LINEAL

1

-1

f ( x)dx  0 

1 2



134 ESPACIOS VECTORIALES COMBINACIONES LINEALES Y CONJUNTOS GENERADORES 1.

Dado el espacio vectorial R 2 . Expresar vector u  (1  2) como combinación lineal de T cuando es posible. a)

T  ( 2,1)

b)

T  (2,1), (1,2)

c)

T  (3,1), (1, 13 )

d)

T  (1,1), (2,5), (3,0)

ÁLGEBRA LINEAL

135 ESPACIOS VECTORIALES 2.

Escribir si es posible el vector u  (1,1,4)  R 3 como combinación lineal los vectores de R 3 a)

(1,1,2),((0,0,1)

b)

(2,-2,0),(-1,1,2)

c)

(3,0,-2),(2,-1,1)

d)

(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)

ÁLGEBRA LINEAL

136 ESPACIOS VECTORIALES 3.

Determinar si el conjunto de vectores dado genera al espacio vectorial indicado. a)

S  (1,1), ( 2,3) . En R 2 .

b)

S  (1,1, ), ( 2,1), ( 1,0) . En R 2

c)

 1    1     S   2 ,  2  . En M 3x1 .  3   3     

d)

S  1  x,3  x 2 , x 2  x  1 . En P2 x .

e)

1 0   1 2   4  1   2 5  ,  ,  ,   . En M 2 x 2 . S   1 0   0 0   3 0   6 0 



ÁLGEBRA LINEAL



137 ESPACIOS VECTORIALES 4.

Hallar la cápsula de S en el espacio vectorial dado. a)

S  (1,2,1,2), (0,1,2,3. En R 4 .

b)

2 S  1  t  , 1  t  . En P2 t .

c)

 1    S    2  . En M 3 1 .  3   



x

ÁLGEBRA LINEAL



138 ESPACIOS VECTORIALES 5.

¿Para qué valor de  el vector (2,2,0) pertenece a la cápsula formada por el conjunto de vectores B  (1,1,1), (3,  ,0)?

6.

 1  1  1 0   0  1  ,   ,   Dado el conjunto de matrices S   0 0 0  1 1 1       a)

Calcular S .

b)

Encontrar una base para S .

ÁLGEBRA LINEAL

139 ESPACIOS VECTORIALES

7.

 1   1      Sea el conjunto S   1 ,  0  del espacio vectorial M 3x1 .  0   1      a)

Hallar S .

b)

 1    Probar que la matriz F    2  pertenece a S .  3   

c)

Demostrar que S es subespacio vectorial de M 3x1 .

ÁLGEBRA LINEAL

140 ESPACIOS VECTORIALES 8.

En el espacio vectorial indicado determinar el valor de  para que el conjunto de vectores dado sea linealmente independiente y linealmente dependiente. a)

T  (1,1,1), (1,   2,0), (4,3   ,4). En R 3 .

b)

1  0   1        T  1,  1 ,  0  . En M 3x1 . 1  1          

c)

S  1  x  x 2 , 1  x  x 2 ,   x  x 2 . En P2 x .



ÁLGEBRA LINEAL



141 ESPACIOS VECTORIALES 9.

Hallar un conjunto linealmente independiente en P2 x que contenga a los polinomios x 2  1 y x 2  1 . Sugerencia : Obtener un p ( x )  x 2  1, x 2  1 .

10.

Hallar un conjunto linealmente independiente en R 3 que contenga a los vectores (2,1,2) y (-1,3,4). Considerar la sugerencia del ejercicio anterior.

ÁLGEBRA LINEAL

142 ESPACIOS VECTORIALES 11.

En el espacio vectorial R 3 demostrar que los vectores 1, a, a 2 , 1, b, b 2 , 1, c, c 2  son linealmente independientes si a  b, a  c y b  c .

ÁLGEBRA LINEAL

143 ESPACIOS VECTORIALES 12.

Cuáles de los siguientes conjuntos de R 3 son linealmente dependientes? Para los que lo sean expresar uno de los vectores como combinación lineal de los restantes (relación de dependencia). a) b) c)

(1,1,0), (3,4,2

(1,10), (0,1,1), (1,0,1), (1,2,2) (1,1,0), (0,2,3), (1,2,3), (0,0,0)

ÁLGEBRA LINEAL

144 ESPACIOS VECTORIALES 13.

Considerar el espacio vectorial P2 t . Hacer lo mismo que en ejercicio 12. a) b) c)

t 2  1, t  2, t  3 2t 2  t, t 2  3, t 2t 2  t  1,3t 2  t  5, t  13

ÁLGEBRA LINEAL

145 ESPACIOS VECTORIALES 14.

Sea el espacio vectorial de las funciones continuas de valor real. Hacer lo mismo que en el ejercicio 12. a) b) c)

cos t , sent , e  t , e , sent cos t , sen t , cos 2t t

t

2

ÁLGEBRA LINEAL

2

146 ESPACIOS VECTORIALES BASES Y DIMENSION 1.

Cuáles de los siguientes conjuntos forman una base en R 3 ? Expresar el vector u  ( 2,1,1) como una combinación lineal de los vectores del conjunto que

sea base. a)

(1,1,1), (1,2,3), (0,1,0)

b)

(1,0,2), (2,1,3), (2,0,4)

c)

(1,1,3), (1,0,1), (1,1,0), (1  1,1)

ÁLGEBRA LINEAL

147 ESPACIOS VECTORIALES 2.

3.

Hallar una base de R 3 que incluya a: a)

El vector (1,0,2)

b)

Los vectores (1,0,2) , (0,1,3).

Hallar una base de P3 x  que incluya a los vectores x 3  x, x 2  1 .

ÁLGEBRA LINEAL

148 ESPACIOS VECTORIALES 4.

1 1   0 1  y B    Sean las matrices A   1 0   1 1 a)

a b   , tales que AM  MB Determinar las matrices M   c d 

b)

Demostrar que las matrices M forman un subespacio vectorial de M 2x2

c)

Escribir una base de este subespacio vectorial.

d)

Determinar la dimensión de este subespacio vectorial.

ÁLGEBRA LINEAL

149 ESPACIOS VECTORIALES 5.

 1  1  Sea la matriz A    1 1   a)

a b   tales que AM  O . Determinar las matrices M   c d 

b)

Demostrar que las matrices M forman un subespacio vectorial de M 2x2

c)

Escribir una base de este subespacio vectorial.

d)

Determinar la dimensión de este subespacio vectorial.

ÁLGEBRA LINEAL

150 ESPACIOS VECTORIALES 6.

Sea W el conjunto de las matrices simétricas de orden 2. a)

Demostrar que W es subespacio vectorial de M 2x 2 .

b)

Hallar una base y determinar la dimensión de W .

ÁLGEBRA LINEAL

151 ESPACIOS VECTORIALES 7.

Sea el conjunto W del espacio vectorial P2 t 





W  p (t )  at 2  bt  c p (t )  p (1  t )

a) Demostrar que W es subespacio vectorial de P2 t  . b) Encontrar una base y la dimensión de W .

ÁLGEBRA LINEAL

152 ESPACIOS VECTORIALES 8.

Sea el conjunto W del espacio vectorial P2 x   a  b  c  0   W   p ( x )  ax 2  bx  c b  c  0  2a  b  c  0 

a) Demostrar que W es subespacio vectorial de P2 x  . b) Encontrar una base y la dimensión de W .

ÁLGEBRA LINEAL

153 ESPACIOS VECTORIALES 9.

Sea el conjunto W del espacio vectorial M 2x 2

 a b  a  b  c  0  W     c  d  0  c d  a a)

Demostrar que W es subespacio vectorial de M 2x 2 .

b)

Hallar una base y determinar la dimensión de W .

ÁLGEBRA LINEAL

154 ESPACIOS VECTORIALES 10.

Dado el subespacio vectorial de P3 x 



W  p ( x )  ax 3  bx 2  cx  d

abc



a) Determinar una base B1 de W y su dimensión. b) ¿El polinomio p( x)  x  1  W ? c) A partir de B1 , completar una base B2 para el espacio vectorial P3 x  .

ÁLGEBRA LINEAL

155 ESPACIOS VECTORIALES 11.

Sean bases ordenadas de P2 t 









B  t 2  t  1, t  2,1 , C  t 2 , t ,1 a)

b)

Hallar  p (t )  B si p(t )  t  2t  1 2

Encontrar  p (t ) C si  p (t ) B

ÁLGEBRA LINEAL

1      1 3  

156 ESPACIOS VECTORIALES 12.

Dados W1 y W 2 los subespacios vectoriales de R 4

  a  b  c  0 a  b  c  d  0 W1  (a, b, c, d )  y W2  (a, b, c, d )  a  b  d  0 2a  c  d  0   a)

Determinar W1  W2 .

b)

Demostrar que W1  W2 es subespacio vectorial de R 4 .

c)

Hallar una base para W1  W 2 y su dimensón.

ÁLGEBRA LINEAL

157 ESPACIOS VECTORIALES 13.

Dado W1 un subespacio vectorial de R 3 .

W1  (1,2,3), (01,1 a)

Hallar W1 explícitamente.

b)

Hallar un subespacio vectorial W2 tal que W1  W2  R 3 .

ÁLGEBRA LINEAL

158 ESPACIOS VECTORIALES 14.

Sean W1 y W2 subespacios vectoriales de R 2 . W1  ( x, y ) 2 x  3 y  0

W 2  ( x, y ) 5 x  4 y  0

a) b)

Hallar W1  W2 , W1  W2 y W1  W2 . Establecer si W1  W2 es subespacio vectorial de R 2 .

c)

Determinar si R 2  W1  W2 .

ÁLGEBRA LINEAL

159 ESPACIOS VECTORIALES 15.

Dados W1 , W2 y W3 subespacios vectoriales de R 3 . W1  ( x, y , z ) x  y  z  0 W 2  ( x, y , z ) x  z W3  ( x, y , z ) x  0  y  0

Demostrar que R 3  W1  W2 , R 3  W1  W3 y R 3  W2  W3 e indicar cuando la suma es directa.

ÁLGEBRA LINEAL

160 ESPACIOS VECTORIALES 16.

Dados W1 yW2 subespacios vectoriales de R 3 W1  ( x, y , z ) x  y  0 W2  ( x, y , z ) y  z  0

a)

Calcular W1  W2 , W1  W2 y W1  W2 .

b)

Determinar cuáles de los subconjuntos anteriores son subespacios vectoriales de R 3 .

c)

Comprobar si se verifica que R 3  W1  W2 .

ÁLGEBRA LINEAL

161 ESPACIOS VECTORIALES 17.

Dados los sistemas de ecuaciones lineales  x yzw0  2 z  y  3 z  w  0 x  2 z  2w  0 

 x  2 y  4 z  2w  0  y zw0 

a)

Hallar los conjuntos solución W1 y W2 subespacios vectoriales de R 4 .

b)

Dar una base para W1 y W2 y sus dimensiones.

c)

Demostrar que W1  W2 es subespacio vectorial de R 4 dar una base y su dimensión.

d)

Encontrar W1  W2 y W1  W2 , una base para cada subespacio vectorial y su dimensión.

ÁLGEBRA LINEAL

162 ESPACIOS VECTORIALES 18.

Dados los sistemas de ecuaciones lineales x  y  z  w  0  a  b  c  0 x  2z  w  0  x  2 y  4 z  4w  0 

 x  y  3z  w  0

a)

Hallar los conjuntos solución W1 y W2 subespacios vectoriales de R 4 .

b)

Dar una base para W1 y W2 y sus dimensiones.

c)

Dar una base para W1  W2 y determinar la dimensión de W1  W2 .

d)

Demostrar que W1  W2 es subespacio vectorial de R 4 dar una base y su dimensión y determinar si W1  W2  W1  W2 .

.

ÁLGEBRA LINEAL

163 PRODUCTO INTERNO

Capítulo 5 PRODUCTO INTERNO

DEFINICIÓN Sean (V , K ,,) un espacio vectorial, un producto interno sobre V , es una función que asigna a cada par de vectores u, v  V , un escalar

(u, v)  K y cumple que: 1.

u, v  V  (u, v)  (v, u )

2.

u  V  (u , u )  0  u  0V  u  0V

3.

  K , u, v  V  (u, v)  (u,v)   (u, v)

4.

u, v, w  V  (u  v, w)  (u, w)  (v, w)

Los espacios vectoriales dotados de producto interno se denominan espacios euclidianos o euclídeos.

EJEMPLOS 1.

Sea ( R n , R,,.)  u , v  R n

u  a1 , a 2 ,  , a n  v  b1 , b2 ,  , bn  n

(u, v)  a1b1  a2b2    anbn   ai bi

Producto interno usual en

i 1

2.

Rn

Sea (C n , C ,,.)  u , v  C n

u   z1 , z 2 ,  , z n  v  w1 , w2 , , wn  





n



(u, v)  z1 w1  z 2 w 2    z n w n   z i w i Producto interno usual en C n i 1

ÁLGEBRA LINEAL

164 PRODUCTO INTERNO 3.

Sea M n , R,.   A, B  M n

 A, B   Tr ( B t A) 4.

Producto interno usual en M n

Sea M n , C ,.   A, B  M n

 A, B   Tr B * A 

Producto interno usual en M n

donde B * es la conjugada de la matriz transpuesta de B .

5.

Sea F el espacio vectorial de las funciones reales continuas a , b   f , g  F en b

( f , g )   f (t ) g (t )dt a

6.

Sea F

a, b  

el espacio vectorial de las funciones complejas continuas en f ,g F b



( f , g )   f (t ) g (t ) dt a

7.

Sea Pn x , R, ,.  p( x), q( x)  Pn x  p ( x )  a0  a1x    an x n q ( x )  b0  b1x    bn x n

 p( x), q( x)   a0b0  a1b1    anbn

NORMA DE UN VECTOR Sea el espacio vectorial (V , K ,,) u  V

u  (u , u ) Terminología u se lee: “norma de u ”.

ÁLGEBRA LINEAL



Producto interno usual en Pn x

165 PRODUCTO INTERNO Observación. Al referirse a los espacios euclidianos R, R 2 , R 3 , la norma, es un número real que representa la distancia entre el origen y el extremo del vector.

TEOREMAS Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno. 1.

Si u  0V , u  0

2.

Si u  0V , u  0

3.

u   u

4. 5.

(u , v)  u v

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

uv  u  v

Desigualdad triangular

DEMOSTRACIONES 1.

Si u  0V , u  0 Si u  0V , (u, u )  0 Si (u, u )  0 , (u , u )  0 Si

3.

(u , u )  0 , u  0

u   u u  u  ( u ,  u )

  2 ( u, u )   2 (u, u )   (u, u )  u

5.

uv  u  v

uv

2





u  v, u  v



2

 (u, u )  2(u, v)  (v, v) ÁLGEBRA LINEAL

166 PRODUCTO INTERNO

 u  2 Re(u, v)  v 2

 u  2 (u, v)  v 2

 u 2u v  v 2

 u  v

21

2

2



2

Por lo tanto: uv  u  v

TEOREMA 6 Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno,

u , v  V , u  0V , v  0V K  R  es el ángulo formado por u y v , entonces

cos  

(u , v) u v

DEMOSTRACION

uv

2

 u  v  2 u v cos

uv

2

 (u  v, u  v)

2

2

 u  2(u, v)  v 2

2

(1)

(2)

Igualando (1) y (2) 1

Re( z )  z Re(u , v )  (u , v )  u  v ,

z  z  2 Re( z ) ÁLGEBRA LINEAL

(Teorema 4)

167 PRODUCTO INTERNO

u  v  2 u v cos  u  2(u, v)  v 2

2

2

2

Simplificando: u v cos   (u , v) 2

u VECTORES ORTOGONALES Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, u, v  V , u y v son ortogonales si y solamente sí su producto interno es igual a cero, es decir,

cos  

(u , v) 0 u v

En R 2 , R 3 la ortogonalidad se da para vectores perpendiculares.

Observación. El vector nulo se considera ortogonal a todo vector v  V .

PROYECCIÓN ORTOGONAL El vector w es la proyección ortogonal de v sobre u si y solamente si (v  w, w)  0 .

CÁLCULO DE w Según la figura anterior: w es paralelo a u , entonces

w u (v  w, w)  0 , pues v  w es ortogonal a w . ÁLGEBRA LINEAL

(1)

168 PRODUCTO INTERNO

(v   u ,  u )  0  (v, u )    (u, u )  0 

(v, u ) (u , u )

(2)

Sustituyendo (2) en (1)

w  ( v, u )

u u

2

CONJUNTO ORTOGONAL Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T  V . T es un conjunto ortogonal si y solamente sí:

u, v  T , (u  v)  (v, u )  0

Ejemplo Sea T  R 3 T  (1,0,0), (0,2,0), (0,0,1) es ortogonal.

TEOREMA 7 Sea (V , K ,,) un espacio vectorial con producto interno, T  V Si T es ortogonal, entonces es linealmente independiente.

DEMOSTRACION Sea T  t1 , t 2 ,  , t n  conjunto ortogonal

 1 t1   2 t 2     n t n  0 V (0 V , t i )  0 ,

donde 1  i  n

( 1t1   2 t 2     n t n , t i )  0  1 (t1 , t i )   2 (t 2 , t i )     n (t n , t i )  0 ,es decir,  i (t i , t i )  0 i  0 ÁLGEBRA LINEAL

169 PRODUCTO INTERNO Si  i  0 , entonces T es linealmente independiente.

Corolario Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T  V , T es conjunto ortogonal, entonces se cumple que si T tiene n vectores, T es base ortogonal de V.

VECTOR UNITARIO Sea u  V . Se dice que u es un vector unitario si su norma es igual a 1.

NORMALIZACIÓN DE UN VECTOR Sea u  V

u 1 u

CONJUNTO ORTONORMAL Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T  V , T es ortogonal, entonces se cumple que: Si u  V es unitario, entonces T es ortonormal.

BASE ORTONORMAL Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, T  V , entonces Si T es conjunto ortonormal y es base de V , entonces T es base ortonormal de V.

Ejemplos 1.

Sea el conjunto T  R 2 T   (1,0), (0,1)   i , j es base ortonormal de R 2 .

2.

Sea el conjunto T  R 3 T   (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)   i , j , k  es base ortonormal de R3 .

ÁLGEBRA LINEAL

170 PRODUCTO INTERNO

TEOREMA 8 El Proceso de Gram-Schmidt Sea (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno, W es subespacio vectorial de V . DimV  n , entonces W tiene una base ortonormal.

DEMOSTRACION 1.

DimW  2

A partir de S  s1 , s 2 , se construye una base T  t t ,t 2  ortogonal. Si s1  t1 t 2   1 s1   2 s 2

(1)

(t 2 , s1 )  ( 1 s1   2 s 2 , t1 )  ( 1t1   2 s 2 , t1 )

 t2 ,t1    1 (t1 , t1 )   2 ( s 2 , t1 )  0

0   1 (t1 , t1 )   2 ( s 2 , t1 )

 1   2

( s 2, t1 )

(2)

(t1 , t1 )

Sustituyendo (2) en (1)  (s , t )  t 2   2  s 2  2 1 .t1  (t1 , t1 )  

Si T es ortogonal , entonces es linealmente independiente

(Teorema 7)

T es base de W

 t t  T '   1 , 2  es base ortonormal de W .  t1 t 2  2.

DimW  3

Se repite el proceso anterior A partir de S  s1 , s 2 , s3  , se construye una base T  t t , t 2 , t 3  ortogonal

t 3   1 t1   2 t 2   3 s 3 (t 3 , t1 )  ( 1t1   2 t 2   3 s3 , t1 )

ÁLGEBRA LINEAL

(1)

171 PRODUCTO INTERNO

0  1 t1 , t1    2 t2 , t1    3 s3 , t1  ,  0

de donde:  1   3

( s 3 , t1 ) (t1 , t1 )

(2)

(t 3 , t 2 )  ( 1t1   2 t 2   3 s3 , t 2 ) 0  1 t1 , t2    2 t2 , t2    3 s3 , t2   0

 2   3

( s3 , t 2 ) (t 2 , t 2 )

(3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1)  (s , t ) (s , t )  t3   3  s3  3 2 .t2  3 1 .t1  (t2 , t2 ) (t1, t1 )  

El proceso continua hasta obtener n vectores ortogonales

( DimV  n ), luego se

normalizan todos los vectores obteniendo una base ortonormal del espacio vectorial.

PRODUCTO CRUZ EN R3 Sean u, v  R 3 tales que u  a1 , a 2 , a3  y v  (b1 , b2 , b3 ) , el producto cruz entre u y v se define por:  a2b3  a3b2    uxv   a3b1  a1b3  ab a b  2 1  1 2

Gráficamente uxv es un vector perpendicular al plano formado por u y v .

El producto cruz o producto vectorial sólo tiene sentido en R3 . ÁLGEBRA LINEAL

172 PRODUCTO INTERNO Ejemplo Sea el espacio vectorial R 4 . S  R 4 . S  s1 , s2 , s3  base de R 4 . s1  (1,1,1,1) , s 2  (1,1,1,1) , s3  (1,1,1,1)

A partir de S hallar una base ortonormal de este espacio vectorial. Solución: Los vectores s1 , s2 , s3  son linealmente independientes. Se va a encontrar una base ortonormal T *  t1 , t 2 , t 3  usando el proceso de Gram-Schmidt. Primero se considera t1  s1

 (s , t )  t 2   2  s 2  2 1 .t1  (t1 , t1 )  

2   t 2   2 (1,1,1,1)  (1,1,1,1) 4   1   t 2   2 (1,1,1,1)  (1,1,1,1) 2   2  2

2   t 2  2(1,1,1,1)  (1,1,1,1)  (3,1,1,1) 4    (s , t ) (s , t )  t3   3  s3  3 2 .t2  3 1 .t1  (t2 , t2 ) (t1, t1)  

2 2   t 3   3 (1,1,1,1)  (3,1,1  1)  (1,1,1,1) 12 4   1 1   t 3   3 (1,1,1,1)  (3,1,1  1)  (1,1,1,1) 6 2   2 

t3 

6 4

6 1 1  (1,1,1,1)  (3,1,1  1)  (1,1,1,1)  4 6 2 

t 3  (0,1,1,2) T  (1,1,1,1), (3,1,1,1), (0,1,1,2 es base ortogonal

t1  4

t 2  12  2 3

t3  6

 1  1 1 T*   (1,1,1,1), (3,1,1,1), (0,1,1,2 es base ortonormal. 2 3 6  4  ÁLGEBRA LINEAL

173 PRODUCTO INTERNO

DEFINICIÓN

Sean (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno y W un subespacio vectorial de V . Un vector de V es ortogonal al subespacio vectorial W si es ortogonal a cada uno de los elementos de W .

Ejemplo Sea el espacio vectorial R 3 . a)

Hallar el conjunto W de todos los vectores ortogonales a u  5,3  2  .

b)

Demostrar W que es subespacio vectorial de V .

c)

Hallar una base de W y su dimensión.

Solución: a)





W  v  x, y, z   R3 : v, u   0

v, u   5 x  3 y  2 z  0 3 2   W  v  x, y, z   R3 : x  y  z  5 5   b)

i.

0

R3

W

r,0   0 R3

ii.

  R, v, w  W | v   w  W

u , v   w   u , v   u , w 

u , v   w   u , v    u , w  u , v   w   0 Por i. y ii. W es subespaio vectorial de R 3 . c)

Cálculo de una base de W :

2 3  v   y  z , y, z  5 5  3  2  v  y ,1,0   z ,0,1 5  5  B  3,5,0 , 2,0,5  es base de W

Dim W  2 ÁLGEBRA LINEAL

174 PRODUCTO INTERNO

DEFINICIÓN

Sean (V , K ,,) un espacio vectorial definido con producto interno y W un subespacio vectorial de V . El subespacio ortogonal de V notado por W ┴ se define por:

W ┴   u  V : w  W , u, w   0 

La definición anterior indica que el subespacio ortogonal W ┴ contiene a todos los vectores de V que son ortogonales a cada uno de los elementos de W .

Ejemplo Sea el espacio vectorial R 4 . W  R 4





W  u  x, y, z, w  R 4 : x  y  3z  w  0 a)

Hallar W ┴.

b)

Demostrar que R 4  W  W ┴.

Solución: a)

u   y  3 z  w , y , z , w  u  y  1,1,0,0   z 3,0,1,0   w 1,0,0,1

B   1,1,0,0 , 3,0,1,0 ,  1,0,0,1  u1 , u2 , u3 

B es base de W





W ┴  v  x' , y' , z ' , w'  R 4 : v, u   0

W ┴ se obtiene de : v, u1   0 , v, u2   0 , v, u3   0 De donde  x' y '  0   3 x' z '  0  x' w'  0 



 y '  x'   z '  3 x' w'  x' 





W ┴  v  x' , y' , z ' , w'  R 4 : y'  x' , z '  3x' , w'  x`' ó también: v   x ' , x ' ,3 x ' , x '  x ' 1,1,3,1

W ┴  1,1,3,1 b)

Se deja como ejercicio.

ÁLGEBRA LINEAL

175 PRODUCTO INTERNO

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Sea el espacio vectorial P1 t  , p (t ), q (t )  P1 t  , tales que p (t )  a1t  a0 y q (t )  b1t  b0 . Determinar si  p (t ), q (t )   a1b1  a0b1  a1b0  8a0b0 define un

producto interno en P1 t  .

ÁLGEBRA LINEAL

176 PRODUCTO INTERNO 2.

Sean los vectores u , v  R 3 u   x1 , x2 , x3 , v   y1 , y 2 , y3  .

Determinar si (u , v)  x1 y1  x2 y 2  x2 y3  x3 y 2  2 x3 y3 define un producto interno en R3 .

ÁLGEBRA LINEAL

177 PRODUCTO INTERNO 3.

Sea el espacio vectorial S de las matrices simétricas de orden 2. a)

Demostrar que  A, B   Tr ( AB ) define un producto interno en S .

b)

1 3   0  8  2 1  , B    , C    Sean las matrices A   3  4  8 0   1 3 Hallar ( A, B ), ( B, C ), ( 4 A  5C , B ), A , B  C

ÁLGEBRA LINEAL

178 PRODUCTO INTERNO 4.

Sea V un espacio vectorial definido con producto interno, probar que u, v  V , 2

2

cumplen que u  v  u  v

2

si y sólo si u , v   0 . Este resultado se conoce

como Teorema de Pitágoras.

5.

Probar la Ley del Paralelogramo para dos vectores cualesquiera en un espacio vectorial con producto interno:

uv  uv 2

ÁLGEBRA LINEAL

2

2u 2v 2

2

179 PRODUCTO INTERNO 6.

7.

En el espacio vectorial R 2 , determinar: a)

x , tal que (3,2) y (1, x +2) sean ortogonales.

b)

t , tal que u (t )  (1  t ,2t  2) sea unitario, t  R .

Dada la base S  s1 , s2 , s3  R3 tal que s1  (2,1,1), s2  (1,0,1), s3  (1,1,1) A partir de S calcular una base T ortogonal de R3 conociendo que: s1  s2  1, s1 , s3  s1   0, s1 , s2   0, s3 , s2   4 Nota: El producto interno dado no es el usual

ÁLGEBRA LINEAL

180 PRODUCTO INTERNO 8.

Dada la base B del espacio euclidiano R 3 B  (1,01), (0,1,1), (1,1,0)

Utilizar el proceso de Gram-Schmidt para obtener, una base ortonormal. Aplicar el producto interno usual en R3 .

ÁLGEBRA LINEAL

181 PRODUCTO INTERNO 9.

Dada la base B del espacio euclidiano R 3 B  (1,01), (0,1,11), (0,0,1)

Utilizar el proceso de Gram-Schmidt para obtener, una base ortonormal. Aplicar el producto interno usual en R 3 .

ÁLGEBRA LINEAL

182 PRODUCTO INTERNO 10.

Sea W subespacio vectorial de las funciones reales, tal que W   f :  1,1  R

f contínua 





S  W , un conjunto linealmente independiente, donde S  1, t , t 2 . A partir 1

de S encontrar un conjunto ortonormal de W , si  f , g    f (t ).g (t ).dt , define 1

un producto interno en el espacio vectorial de las funciones reales en el intervalo dado.

ÁLGEBRA LINEAL

183 PRODUCTO INTERNO 11.

Sea W subespacio vectorial del espacio euclidiano R 3 , donde a)

W  ( x, y , z ) 2 x  y  2 z  0

b)

W  ( x, y , z ) x  2 y  z  0

c)

W  (1,1,1), (1,2,3)

Emplear el proceso de Gram-Schmidt para encontrar una base ortonormal de W . Aplicar el producto interno usual en R3 .

ÁLGEBRA LINEAL

184 PRODUCTO INTERNO 12.

Sea W subespacio vectorial del espacio vectorial R 3 W  ( a, b, c ) a  b  c  0

13.

a)

Hallar una base de B de W y su dimensión.

b)

Completar una base ortonormal para R 3 usando los vectores de B .

Sea W  (1,2,1), (1,3,2) , W  R 3 a)

Hallar una base para el espacio complemento ortogonal de W .

b)

Dar una descripción geométrica.

ÁLGEBRA LINEAL

185 PRODUCTO INTERNO 14.

Sean W1 y W2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial M 2 x 2 , R,,  a b    a b  a  2b  c  d  0   a  b  2c  0 , y W2    W1    b  3c  d  0  c d    c d  a) Calcular W1  W2 , una base y su dimensión. b)

Calcular una base ortogonal para W1  W2 , usando el producto interno

 A, B   Tr  A.B t .

ÁLGEBRA LINEAL

186 PRODUCTO INTERNO 15.

Si W  p ( x )  P2 x  p ( x )  p ( x  1) un subespacio vectorial de P2 x  con el producto interno definido por: 1

 p ( x), q ( x)    p x q x dx . 0

Hallar el espacio complemento ortogonal de W , esto es, W ┴.

ÁLGEBRA LINEAL

187 PRODUCTO INTERNO 16.

Sea la matriz A del espacio vectorial del problema 3.

 1  2  A    2 3  Hallar el conjunto complemento ortogonal de A , esto es, A ┴.

ÁLGEBRA LINEAL

188 PRODUCTO INTERNO 17.

Sea W subespacio vectorial de R 4 . W  ( x, y , y , w) x  3 y  w  0 .

a) Hallar el subespacio vectorial W ┴. b) Verificar que R 4  W  W ┴ Usar el producto interno usual en R 4 .

ÁLGEBRA LINEAL

189 TRANSFORMACIONES LINEALES

Capítulo 6 TRANSFORMACIONES LINEALES

DEFINICIÓN Sean V y W dos espacios vectoriales definidos sobre el mismo campo. Una función L de V en W que asigna a cada vector v  V , un vector L(v)  W es una transformación lineal, si y sólo si,

  K , vi , v j  V , satisface los siguientes axiomas: 1.

L (v i  v j )  L (v i )  L (v j )

2.

L(vi )   L(vi )

La definición anterior indica que L es una transformación lineal si y sólo si

  K , vi , v j V | Lvi  v j   Lvi   Lv j 

Gráficamente:

Notación Se escribe L : V  W para indicar que L transforma el espacio vectorial V en el espacio vectorial W . Terminología A las transformaciones lineales suele llamárseles operadores o aplicaciones lineales. ÁLGEBRA LINEAL

190 TRANSFORMACIONES LINEALES

TEOREMA 1 Sea L : V  W una transformación lineal, entonces se cumple que: 1.

L (0 V )  0 W

2.

L(vi  v j )  L(vi )  L(v j )

DEMOSTRACION 1.

L( vi )   L(vi )  0

 vi  0V L (0 V )  0 W

2.

L(vi  v j )  L(vi  (1)v j )  L(vi )  L(1v j )  L (v i )  L (v j )

NÚCLEO Sea L : V  W una transformación lineal, entonces el núcleo de L , notado por N (L) , es el subconjunto de V , que contiene todos los elementos v V , tales que sus imágenes son iguales al vector nulo de W . Así: N ( L)  v  V | L(v)  0W 

Al núcleo de L de le llama también Ker L .

TEOREMA 2 Sea L : V  W una transformación lineal, entonces se cumple que: El núcleo de L es un subespacio vectorial de V .

ÁLGEBRA LINEAL

191 TRANSFORMACIONES LINEALES DEMOSTRACION 1.

0V  N ( L ) L (0 V )  0 W 0V  N ( L )

2.

  K , vi , v j  N ( L)  vi   v j  N (L) L(vi   v j )  L(vi )   .L(v j )   0W

0W

 0W

Por las partes 1. y 2. N (L) es un subespacio vectorial de V

Gráficamente: V

L

W

N (L)

IMAGEN Sea L : V  W una transformación lineal, entonces la imagen de L , notada por Im(L) , es el subconjunto de W , que contiene todos los elementos wW , que son imágenes de vectores v V debidas a la transformación L . Así:

Im(L)  w W v V , L(v)  w

A la imagen de L de le llama también rango o recorrido de L .

Se debe destacar que las definiciones de núcleo e imagen son muy importantes en el estudio de las transformaciones lineales.

ÁLGEBRA LINEAL

192 TRANSFORMACIONES LINEALES

TEOREMA 3 Sea L : V  W una transformación lineal, entonces se cumple que: La imagen de L es un subespacio vectorial de W .

DEMOSTRACION 1.

0W  Im(L) L (0 V )  0 W 0W  Im(L)

2.

  K , wi , w j  Im(L)  wi   w j  Im(L) Si wi , w j  Im(L) , entonces vi , v j  V , tales que:

L(vi )  wi

(1)

L (v j )  w j  L (v j )   w j Sumando (1) y (2)

L(vi )   L(v j )  wi   w j wi   w j  Im(L)

Por las partes 1. y 2. Im(L) es subespacio vectorial de W .

Gráficamente:

ÁLGEBRA LINEAL

(2)

193 TRANSFORMACIONES LINEALES

TEOREMA 4 Una transformación lineal queda totalmente determinada si se conocen las imágenes de los elementos de la base del espacio de salida. Sea L : V  W una transformación lineal, dim V  n

S n  v1 , v 2 , , v n  , una base de V tal que vi  V L(vi )  L(v1 ), L(v 2 ),  , L(v n )

DEMOSTRACION Si S n es base de V y vi  V

vi   1v1   2 v 2     n v n Aplicando el operador lineal L a los dos miembros

L(vi )   1 L(v1 )   2 L(v 2 )     n L(v n )

TEOREMA 5 Sea L : V  W una transformación lineal, dim V  n

dim V  dim N ( L)  dim Im(L)

DEMOSTRACION Sea S  v1 , v 2 ,  , v k  , una base de N (L) , donde: 1  k  n Se puede extender este conjunto hasta una base de V . Asi:

S  v1 , v 2 , , v k , v k 1 , , v n  Sus imágenes son: L(v1 ), L(v2 ),  , L(vk ), L(vk 1 ),  , L(vn )     0W

T  L(v k 1 ), , L(v n ) P.D. T es base de Im(L) Se debe demostrar que en conjunto genera y es base de la imagen de L. Así:

ÁLGEBRA LINEAL

194 TRANSFORMACIONES LINEALES 1.

T genera Im(L) Sea wi  W tal que vi  V

L(vi )  wi vi   1v1   2 v 2     k v k   k 1v k 1     n v n L(vi )   1 L(v1 )   2 L(v 2 )   k L(v k )   k 1 L(v k 1 )     n L(v n )  0W

L(vi )   k 1 L(v k 1 )     n L(v n ) Por lo tanto T genera a Im(L) 2.

T es linealmente independiente  k 1 L(v k 1 )     n L(v n )  0W L(  k 1v k 1     n v n )  0W  k 1v k 1     n v n  N ( L)  k 1v k 1     n v n   1v1   2 v 2     k v k  1v1   2 v 2     k v k   k 1v k 1     n v n  0V i  i  0

T es linealmente independiente. Por las partes 1. y 2. T es base de Im(L)

dim Im(L)  n  k Por lo tanto:

dim V  dim N ( L)  dim Im(L)

INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD Sea L : V  W una transformación lineal 1.

L es inyectiva si y sólo si vi , v j  V : v1  v j  L (v i )  L (v j ) , ó L (v i )  L (v j )  v i  v j

2.

L es sobreyectiva si y sólo si L (V )  W ó dim Im( L )  dim W

3.

L es biyectiva si y sólo si L es inyectiva y es sobreyectiva.

ÁLGEBRA LINEAL

195 TRANSFORMACIONES LINEALES

TEOREMA 6 Sea L : V  W una transformación lineal.

L es inyectiva si y sólo si N ( L)  0V 

DEMOSTRACION 1.

Si L es inyectiva, entonces N ( L)  0V  Por contradicción: Se supone que

N ( L)  0V  L (v )  L (0 V ) v  0V

 N ( L)  0V 

2.

Si N ( L)  0V  , entonces L es inyectiva Por contradicción: Se supone que L no es inyectiva Sean vi , v j  V , vi  v j

L(vi )  L(v j ) , L no es inyectiva

(1)

L (v j )  L (v j )

(2)

Restando (1) y (2)

L (v j )  L (v j )  0 W L (v j  v j )  0W v j  v j  0V vj  vj Lo que contradice la suposición, entonces

L es inyectiva.

Por las partes 1. y 2. el teorema queda demostrado. ÁLGEBRA LINEAL

196 TRANSFORMACIONES LINEALES Corolario 1 Sea L : V  W una transformación lineal. Si L es inyectiva, entonces dim N ( L)  0

Corolario 2 Sea L : V  W una transformación lineal.

L biyectiva si:

1.

dim N ( L)  0

2.

dim Im(L)  dim(W )

Corolario 3 Sea L : V  W una transformación lineal, dim V  dim W . Las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes:

L es biyectiva  L es sobre  L es inyectiva  dimN ( L)  0  dim Im(L)  dim(W )

CONJUNTO DE LAS TRANFORMACIONES LINEALES L (V ,W ) Al conjunto de las transformaciones lineales de V e n W , se le notará por: L (V ,W )   L : V  W | L es lineal



Gráficamente:

L

IGUALDAD L i , L j  L (V ,W ) Li  L j  vi  V : Li (vi )  L j (vi ) ÁLGEBRA LINEAL

197 TRANSFORMACIONES LINEALES

OPERACIONES CON TRANFORMACIONES LINEALES SUMA L i , L j  L (V ,W )  ( Li  L j )(v)  Li (v)  L j (v)

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR   K, L i  L (V ,W )  ( Li )(v)   Li (v)

A continuación se presentan los siguientes teoremas que son de mucha utilidad.

TEOREMA 7

L i , L j  L (V ,W ) se cumple que: Li  L j  L (V ,W )

DEMOSTRACION Sean Li , L j  L (V ,W ) Sea vi  V

Li (vi )  wi L j (vi )  wi,

Considerando que

Li , L j  L (V ,W ) wi , wi,  W , ( Li  L j )(vi )  Li (vi )  L j (vi )

 wi  wi,

Según el axioma de clausura para los espacios vectoriales

wi  wi,  W Por lo tanto Li  L j  L (V ,W ) .

ÁLGEBRA LINEAL

198 TRANSFORMACIONES LINEALES

TEOREMA 8

  K, L i  L (V ,W ) se cumple que:  Li  L (V ,W )

TEOREMA 9 L (V ,W ) definido sobre el campo K , con las operaciones de suma y producto es un espacio vectorial ( L (V ,W ) , K ,,) .

DEMOSTRACION Como ejemplo se demuestra el axioma de asociatividad:

Li , L j , Lk  L (V ,W )  ( Li  L j )  Lk  Li  ( L j  Lk )

( Li  L j )  Lk  (v)  ( Li  L j )  Lk  (v)  ( Li  L j )(v)  L j (v)  Li (v)  ( L j )(v)  L j (v)



 Li (v)  ( L j )(v)  L j (v)



 Li (v)  ( Li  L j )(v)  Li  ( L j  Lk )

COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES Sean los espacios vectoriales V ,W , Z definidos sobre el campo K con las operaciones usuales de adición y multiplicación.

Se define la siguiente operación:

L j  L (V ,W ) , Li  L (W , Z )  ( Li oL j )(v)  Li ( L j (v))

ÁLGEBRA LINEAL

199 TRANSFORMACIONES LINEALES Terminología

Li oL j se lee: “ Li compuesta L j ”

La siguiente figura ilustra la compuesta de este par de transformaciones lineales:

Los siguientes teoremas son de interés.

TEOREMA 10

L j  L (V ,W ) , Li  L (W , Z ) , se cumple que: Li oL j  L (V , Z )

DEMOSTRACION

( Li oL j )(v)  ( Li oL j )(v)  Li ( L j (v))  Li (w)

 z , zZ Por lo tanto:

Li oL j  L (V , Z ) ÁLGEBRA LINEAL

200 TRANSFORMACIONES LINEALES

TEOREMA 11

Li  L (V ,W ) , Lm , Lk L (W , Z ) , se cumple que: ( Lk  Lm )oLi  Lk oLi  Lm oLi

TEOREMA 12

Li , L j  L (V ,W ) , Lk  L (W , Z ) , se cumple que: Lk o( Li  L j )  Lk oLi  Lk oL j

TEOREMA 13   K , L j  L (V ,W ) , Li  L (W , Z ) , se cumple que:

1. 1. 2. 2.

   Li oL j   Li o L j 

 Li oL j  Li oL j

3.

TEOREMA 14

Lk  L (V ,W ) , L j  L (W , Z ) , Li  L ( Z ,U ) , se cumple que:

Li o( L j oLk )  ( Li oL j )oLk

ÁLGEBRA LINEAL

201 TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES INVERTIBLES Sea Li  L (V ,W ) , Li es invertible si existe una transformación L j : W  V , tal que:

Li oL j  I W y L j oLi  I V .

Gráficamente:

L j  Li 1

Li oL1 i  IW L1 i oLi  I V

ÁLGEBRA LINEAL

202 TRANSFORMACIONES LINEALES

TEOREMA 15 Sea L una transformación lineal invertible de V en W , entonces: 1.

v  V : L1 ( L(v))  v

2.

w  W : L ( L1 ( w))  w

DEMOSTRACION 1.

( L1oL)(v)  ( L1oL)(v)  L1 ( L(v))  L1 ( w) w

2.

( LoL1 )( w)  ( LoL1 )( w)  L( L1 ( w))

 L(v) w

TEOREMA 16 Sea L L (V ,W ) , si L es invertible, entonces

L1 es una transformación lineal de W en V .

DEMOSTRACION P.D. L1 ( L(vi )  L(v j ))  L1 (( L(vi ))  L1 ( L(v j ))

L(vi ), L(v j )  W ( L1oL )(vi  v j )  ( L1oL )(vi  v j )  L1 ( L((vi  v j ))  L1 ( L((vi ))  L1 ( L(v j ))

ÁLGEBRA LINEAL

203 TRANSFORMACIONES LINEALES

 v i  v j

(Teorema 15)

 L1 (( L(vi ))  L1 ( L(v j ))

TEOREMA 17 Sea la transformación lineal L  L (V ,W ) ,

L es invertible si y solamente sí L es biyectiva.

DEMOSTRACION

1.

Si L es invertible, entonces es biyectiva

L es inyectiva

a)

Sean vi , v j  V Se supone que:

L (v i )  L (v j ) L1 ( L(v j ))  L1 ( L(v j ))

vi  v j

L es inyectiva L es sobreyectiva

b)

Sea L L (W ,V ) ,

w W , v V : L1 ( w)  v L( L1 ( w))  L(v)

L (v )  w

L es sobreyectiva Por a) y b) L es biyectiva

2.

Si L es biyectiva, entonces es invertible P.D. L1 : W  V  L1oL  I v  LoL1  I W

L (v )  w ÁLGEBRA LINEAL

(1)

204 TRANSFORMACIONES LINEALES

w  W , v  V  H ( w)  v

(2)

De (1)

H ( L(v))  H ( w) H ( L(v))  v HoL(v)  v HoL  I V

(3)

De (2)

L( H ( w))  L(v) De (1)

L( H ( w))  w ( LoH )( w)  w LoH  I W

(4)

Por (3) y (4) L es invertible y L1  H .

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL A toda transformación lineal L : V  W de espacios vectoriales de dimensión finita n y m , respectivamente, se le puede asociar una matriz A  M mxn , tal que:  x1    x  L( X )  AX , donde X   2     x   n

Recíprocamente a toda matriz A se le puede asociar con una transformación lineal L :V  W .

Esto es de extrema utilidad. Considerando que: 1.

Dim Im(L)  Rango de L = Rango de A (Rango es el número de filas no nulas de una matriz escalonada).

2.

DimN ( L)  n  Rango de A .

Por lo tanto, se puede determinar el recorrido, núcleo y sus dimensiones determinando el recorrido y el núcleo de la matriz correspondiente. Además si se conoce L( X )  AX , se puede conocer L(X) para todo X mediante una simple multiplicación matricial. ÁLGEBRA LINEAL

205 TRANSFORMACIONES LINEALES

TEOREMA 18 Sea L una transformación lineal, dim V  n, dim W  m .

Bs  v1 , v2 ,  , vn  , base ordenada de V Bl  w1 , w2 ,  , wm , base ordenada de W , entonces ! A  M mxn , tal que L(v)Bl  Av Bs

donde: A es una matriz cuya j-ésima columna es el vector





coordenadas L(v j ) de L(v j ) , 1  j  n . Bl

DEMOSTRACION 1.

Existencia Sea v  V v es combinación lineal de Bs

v   1v1   2 v 2     n v n

vBs

 1       2       n

(1)

(2)

L(v)  W L(v) es combinación lineal de Bl L(v)   1 w1   2 w2     n wm

L(v)Bl

 1       2       m

(3)

(4)

De (3) m

L(v)    i wi i 1

De (1) aplicando el operador L a los dos miembros

L(v)  L( 1v1   2 v 2     n v n ) L(v)   1 L(v1 )   2 L(v 2 )     n L(v n ) ÁLGEBRA LINEAL

(5)

206 TRANSFORMACIONES LINEALES n

L (v )    i v j

(6)

j 1

L (v j )  W L(v j ) es combinación lineal de Bl L(v j )  a1 j w1  a 2 j w2    a nj wm  a1 j     a2 j       a   mj 

L(v ) j

Bl

m

L(v j )   aij wi

(7)

i 1

Sustituyendo (7) en (6) n

m

j 1

i 1

L(v)    i  aij wi m  n  L(v)     aij  j  wi i 1  j 1 

Igualando (8) y ((5) m  n    aij  j  wi  w   i i    i 1 i 1  j 1 

m

Se cumple la igualdad anterior si n

 i   a ij  j j 1

Desarrollando

 i  ai1 1  ai 2 2    ain n También

 1  a11 1  a12 2    a1n n  2  a 21 1  a 22 2    a 2 n n   m  a m  1  a m 2 2    a m  n

ÁLGEBRA LINEAL

(8)

207 TRANSFORMACIONES LINEALES Escribiendo matricialmente   1   a11      2   a 21          a  m   m1

 a1n   1    a 2 n   2       a mn   n 

a12 a 22 am2







A

vBs

L(v)Bl L(v)Bl

 Av Bs , donde

A  L(v1 Bl

2.

L(v2 Bl



L(vn Bl 

Unicidad Por contradicción Se supone que A no es única, entonces

A ' tal que A '  A

L(v)Bl

 A ' v Bs

(1)

L(v)Bl

 Av Bs

(2)

Igualando (1) y (2)

A  A' Lo que contradice la suposición. Por lo tanto A es única.

REDEFINICIÓN DE NÚCLEO E IMAGEN Sea L : V  W una transformación lineal con matriz asociada A  L Bs Bl , entonces Imagen de L : Av  w

Núcleo de L : Av  O

ÁLGEBRA LINEAL

208 TRANSFORMACIONES LINEALES Observaciones 1.

Dim Im(L)  Rango de L = Rango de A Rango es el número de filas no nulas de una matriz escalonada.

2.

DimN ( L)  n  Rango de A .

MATRIZ ASOCIADA A UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sea la siguiente composición de funciones:

Base

Base

La matriz asociada a Li oL j , existe y cumple que:

( Li oL j )(v)B3  Li oL j BB13vB1

TEOREMA 19

L j  L (V ,W ) , Li  L (W , Z ) , se cumple que:

L oL  i

B1 j B3

ÁLGEBRA LINEAL

 

 Li B 3 . L j B2

B1 B2

Base dim

209 TRANSFORMACIONES LINEALES DEMOSTRACION

( L oL (v)

  = L ( L (v)  L  L (v) L oL  v  L  .L  L oL   L  .L  i

j

B3

 ( Li oL j (v) i

j

B2 i B3

i

B1 j B3

i

B1 j B3

B3

j

B2 i B3

B1

B2 i B3

B3

(Teorema 18)

B2

B1 j B2

B1 j B2

SEMEJANZA DE MATRICES

TEOREMA 20 Sea L : V  W una transformación lineal, dimV  n y la dimW  m .

S , S ' , bases ordenadas de V , con matriz de cambio de base PS ' S de

S ' a S , y T y T ' bases ordenadas de W con matriz de cambio de base QT 'T de T ' a T . Entonces si B  L  TS '' y A  L  TS

B  QT1'T . A. PS ' S

DEMOSTRACION

S  s1 , s 2 , .s n 



S '  s1' , s 2' ,.s n'



T  t1 , t 2 , .t n 



T '  t1' , t 2' ,.t n'

s S  Ps S t T  Qt T



'

'

s 'j representa la j-ésima columna de P t 'j representa la j-ésima columna de Q

Si A  LT , entonces S

ÁLGEBRA LINEAL

(1) (2)

210 TRANSFORMACIONES LINEALES

L( s)T

 As S

(Teorema 18) (3)

L( s )  t

(4)

Sustituyendo (4) en (2)

L( s)T

 Qt T '

(5)

Igualando (5) y (3)

QL( s )T '  As S

(6)

Sustituyendo (1) en (6)

QL( s )T '  APs S '

(7)

Multiplicando a (7) por Q 1

L(s)T LTS

' '

'

 Q 1 APs S '

 Q 1 AP

Gráficamente:

Los conjuntos S ' , S y T ' , T son bases ordenadas de V y W respectivamente.

Se definen las matrices asociadas A y B

vi  S

S T    A L 

L(vi ) T Q

P

vi  S ' ÁLGEBRA LINEAL

S' T  '  B  L 

L(vi ) T '

211 TRANSFORMACIONES LINEALES

P y Q son las matrices de cambio de base de S ' a S y de T ' a T respectivamente. Entonces se pueden considerar:

1.

AST es la representación directa de L

2.

BS 'T '  QT'1T AST PS ' S

Además: 3.

BST '  QT'1T AST

4.

BS 'T  AST PS ' S

Corolario Sea L : V  V una transformación lineal y sean S , S ' bases ordenadas de V con matriz S' de cambio de base PS ' S de S ' a S . Entonces si B  L  S ' y A  L  SS

B  P S 1' S . A. P S '  S

DEFINICIÓN Sean las matrices A, B  M n xn , B es semejante a A si existe una matriz P invertible, tal que, B  P 1 AP .

TEOREMA 21 Sean

L : V  W una transformación lineal y A, B  M mxn . Las

matrices A y B son semejantes si y sólo si representan la misma transformación lineal respecto a bases diferentes.

ÁLGEBRA LINEAL

212 TRANSFORMACIONES LINEALES Observaciones 1.

Si B es la matriz asociada a f respecto a la base B2 y A es la matriz asociada a

f respecto a la base B1 , entonces se tiene que B  P 1 AP , donde P es la matriz de transición de la base B2 a la base B1 . Este es uno de los casos que ocurre con mucha frecuencia en las aplicaciones a la ingeniería. 2

El propósito de una representación matricial de la transformación lineal

f es

permitir analizar f usando B . Trabajar con B presenta ventajas. Como bases distintas dan como resultado matrices asociadas distintas, la elección adecuada de una base para obtener una matriz B sencilla es importante. Este es el objetivo del siguiente capítulo. Resumen La teoría de matrices es una herramienta muy útil en muchas áreas del conocimiento, ya que permite trabajar con grandes conjuntos de información de una forma cómoda y activa. Sin embargo, el concepto de matriz consiste en algo más que una "tabla de “números”, de hecho, es la representación de funciones definidas entre espacios vectoriales que se conocen como transformaciones lineales. En este sentido, se ilustra en distintos ejercicios la correspondencia uno a uno existente entre el conjunto de matrices de orden mxn y el de las transformaciones lineales de V en W , que son espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. La conexión entre estos conceptos es tan estrecha que las operaciones entre transformaciones lineales tienen una simetría en términos de matrices. Otra muestra más, de esta relación, la ofrece el concepto de matriz inversa, que está asociado al de transformación lineal inversa. Así pues, los contenidos que se enfatizan en este capítulo son: Transformaciones lineales. Núcleo e imagen. Isomorfismos. Operaciones entre transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal. Matriz asociada a una transformación lineal compuesta. Matriz y transformación lineal inversa. ÁLGEBRA LINEAL

213 TRANSFORMACIONES LINEALES

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Determinar si la función dada es una transformación lineal

f :RR x  y  f ( x) a)

f ( x)  x 2

b)

f ( x)  ax  b , si : i) b  0 ii) b  0

c)

f ( x)  senx

d)

f ( x)  e x

e)

f ( x)  x

ÁLGEBRA LINEAL

214 TRANSFORMACIONES LINEALES 2.

Determinar si la función f es una transformación lineal

f : R2  R2 a)

b)

 x, y   f  x, y    x  y , x  2 y 

f : Mn  Mn A  f ( A)  At

F :V  R

c)

b

f  F ( f )   f ( x)dx a

ÁLGEBRA LINEAL

, donde V   f a , b   R : f es contínua 

215 TRANSFORMACIONES LINEALES 3.

Sea la función f :

R4



P1 x 

(a, b, c, d)  f ( a, b, c, d )  a  b  d   a  c  d  x

a)

Hallar la imagen de f una base y su dimensión.

b)

Encontrar el núcleo de f una base y su dimensión.

ÁLGEBRA LINEAL

216 TRANSFORMACIONES LINEALES 4.

Dada la función

f :

R 2  P1 x  (a, b)  f (a, b)  (a  b)  (b  2a) x

a)

Demostrar que f es una transformación lineal.

b)

Hallar la imagen de f una base y su dimensión.

c)

Encontrar el núcleo de f una base y su dimensión.

d)

¿f es inyectiva, es sobreyectiva?

ÁLGEBRA LINEAL

217 TRANSFORMACIONES LINEALES 5.

Sean T : R 3  R 2 una transformación lineal y B una base de R 3 tales que B  (1,0,  1), ( 2,  1,1), (  1,1,  1)

T (1,0,1)  (3,1), T (2,1.1)  (4,2), T (1,1,1)  (1,3) . a)

Hallar T ( x, y, z ) explícitamente.

b)

Encontrar la imagen de T , una base y su dimensión.

c)

Calcular el núcleo de T , una base y su dimensión.

ÁLGEBRA LINEAL

218 TRANSFORMACIONES LINEALES 6.

Sean f : P2 x  R3 una transformación lineal y B una base de P2 x  tales que:



B  1  x,1  x 2 , x  x 2



f 1  x   0,1,1

  f x  x    1,1,0  f 1  x 2  1,0,1 2

Hallar: a)

f (a  bx  cx 2 ) explícitamente.

b)

Hallar la imagen de f , una base y su dimensión.

c)

Encontrar el núcleo de f, una base y su dimensión.

ÁLGEBRA LINEAL

219 TRANSFORMACIONES LINEALES 7.

Sea la transformación lineal f :

P2 x 



a  bx  cx 2





R3



f a  bx  cx 2   a  b  c, a   b  c, a  b   c 

a)

¿Para qué valores de  , f es biyectiva?

b)

Calcular f 1 para   0 .

ÁLGEBRA LINEAL

220 TRANSFORMACIONES LINEALES 8.

Sea f : R 3  M una transformación lineal tal que

2x  y  2z  x  2z   f ( x, y, z )    2 x  y  2 z 3x  y  (  1) z  donde M es el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden 2x2. a)

Hallar los valores de  para los cuales f es biyectiva.

b)

Encontrar la inversa de f si   0 .

ÁLGEBRA LINEAL

221 TRANSFORMACIONES LINEALES 9.

Dada f : R 3  R 3 , una transformación lineal invertible tal que f ( x, y , z )   x  2 y  z , y  3 z , x  2 z  y. además, B1  (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) y B2  (1,1,1), (0,1,1), (0,0,1), bases R 3 . a)

Comprobar que f es invertible

b)

Hallar A   f  BB12 .

c)

Si

 f (u )B 2

ÁLGEBRA LINEAL

 1       3  hallar u . Sugerencia: u B1  A 1  f (u )B 2 .  1   

222 TRANSFORMACIONES LINEALES 10.

Sea la transformación lineal f : Ms a b    c d 



Ms

a  b  c a b   a  b      f  a  c  c d  a  b  c x

donde M s  A2 x 2 : A es simétrica es subespacio vectorial de M 2 2 , y  1 0   0 1   0 0   1 0   0 1   0 0  ,  ,   , B2   ,  ,   B1    0 0   1 0   0 1   0 1   1 0   0 1 

son bases ordenadas del subespacio vectorial M S , R,, . a)

Hallar la matriz asociada A   f  BB12 .

b)

Encontrar

ÁLGEBRA LINEAL

 2 1  .  1 0

 f ( E ) B2 , conociendo que E  

223 TRANSFORMACIONES LINEALES 11.

Sea el conjunto B  u1 , u 2 , u 3  base de R 3 donde u1  (1,1,1), u2  (1,0,1), u3  (1,1,1)

Si

L : R 3  R 3 es una transformación lineal, tal que u1  N ( L ) , v2  L(u2 )  (0,1,1), v3  L(u3 )  (1,1,1)

a)

Hallar la matriz asociada A  L BB .

b)

Encontrar L( x, y, z )

c)

¿ L es inyectiva, sobre, biyectiva?

d)

A partir del conjunto v 2 , v3  completar una base ortogonal para R 3 .

ÁLGEBRA LINEAL

224 TRANSFORMACIONES LINEALES 12.

Dada la transformación lineal L:

R3



R3

 x, y , z   L  x, y , z    x  2 y

, x  3 y  5 z ,2 x  3 y  z 

a)

¿Para qué valores de  , L es biyectiva?

b)

Hallar la matriz asociada a L respecto a las bases canónicas

c)

Encontrar una base B para la cual la matriz asociada a L respecto a B tenga una columna de ceros. (Indicación: uno de los vectores de B debe pertenecer al núcleo).

ÁLGEBRA LINEAL

225 TRANSFORMACIONES LINEALES 13.

Dada la transformación lineal

L:

P2



P2

p(x)



L(p(x))  p' (x) - 2 p(x)

a)

Comprobar que L es invertible

b)

Hallar L1

c)

Encontrar la matriz asociada A  L  CB , donde









C  1, x, x 2 y B  1  x, x  x 2 ,1  x 2 son bases de P2 .

d)

Si p ( x)  2  x  x 2 , hallar L( p( x)) usando la definición y usando A .

ÁLGEBRA LINEAL

226 TRANSFORMACIONES LINEALES 14.

Sean f : R 3  R 3 una transformación lineal y B base de R 3 , donde f 1,0,0   1,1,   , f 0,1,1  0,1,1 , f 0,2,1  0,2,1

B  (1,0,0), (0,1,1), (0,2,1) a)

Encontrar f ( x, y, z )

b)

¿Para qué valores de  , L es biyectiva?

c)

Hallar las bases del núcleo y la imagen de L usando b).

d)

Calcular la matriz asociada A   f BB cuando   2

ÁLGEBRA LINEAL

227 TRANSFORMACIONES LINEALES 15.

Sean f  L P2 t , R 3  y B1 y B2 bases ordenadas de P2 t , R 3 respectivamente





B1  t  t 2 ,1, t 2 y B2  0,1,1, 1,0,1, 1,1,0 

A  f 

B1 B2

1  1 1     1 1 1  1 1 1  

a)

Calcular explícitamente f  L P2 t , R 3 .

b)

Encontrar f ( p( x)) de dos maneras: usando la matriz asociada y el resultado en a). Considerar que p ( x)  x 2  5 x  6

ÁLGEBRA LINEAL

228 TRANSFORMACIONES LINEALES 16.

Sean las transformaciones lineales f :

R3



R3

 x, y , z   f  x, y , z    x

g:

R3



R3

 x, y , z   f  x, y , z    x

a)

Hallar gof y A  gof  CC .

b)

Calcular B  g CC y C   f CC

c)

Verificar que A  BC

ÁLGEBRA LINEAL

 z,

y  z, x  y



, x  y , x  y  z

229 TRANSFORMACIONES LINEALES 17.

Sea gof : P2 t   R 3 , una transformación lineal tal que

gof ( p(t ))  g ( f ( p(t ))  g ( p(0), p' (1))  ( p(0), p' (1), p(0)  p' (1)) , y las bases



B1  1  t , t , t 2



B2  (1,1), (1,2)

B3  (1,1,0), (01,1), (0,1,0) a)

Encontrar gof BB13 directamente.

b)

Verificar que: gof BB13  g BB 32 .g BB12 .

ÁLGEBRA LINEAL

230 TRANSFORMACIONES LINEALES 18.

Sea f : R3  R3 una transformación lineal donde 1

1  1  1 1 1 0   

 1 A f B  0 B2

 

1

B1  1,0,0 , 0,0,1, 0,1,0  y B2  1,1,0 , 0,1,1, 1,0,1 son bases R3 .

a)

Hallar f explícitamente.

b)

Calcular  f CC , donde C representa la base canónica de R3 .

c)

Encontrar f (u ) de dos maneras. Considerar que u  B1

ÁLGEBRA LINEAL

 1       2 .  1   

231 TRANSFORMACIONES LINEALES 19.

Sea la transformación lineal f : M 2x 2 a b    c d 



R2

a b    a  b  c, b  c  d   f  c d 

a)

Calcular  f CB . C representa la base canónica.

b)

Encontrar  f CC . C representa la base canónica.

c)

1   1 Determinar f (E ) usando a). Si E B    . 0    2  

ÁLGEBRA LINEAL

x

 1 0   0  1  0 0   0 0  ,  ,  ,   base ordenada de M 2 B    0 1    1 0   1 1   0 1 

2

232 TRANSFORMACIONES LINEALES 20.

Sean las bases del espacio vectorial P2 x







B  1  x, x, x  x 2 y S   2,1  x, x 2

a) b)



Hallar la matriz de cambio de base de B a S. Calcular

ÁLGEBRA LINEAL

 p ( x)S

si

 p( x)B

  2     1  y determinar p (x ) .  1  

233 TRANSFORMACIONES LINEALES 21.

Dadas las transformaciones lineales f : R 2  R 3 y g : R 3  R 2 definidas por f (u1 , u 2 )  (u1 , u 2 ,0)

g (v1 , v2 , v3 )  (v1  v3 , v2  v3 )

a)

Obtener la transformación lineal h  fog .

b)

Expresar A   f CC .

c)

Hallar B  g CB .

d)

Encontrar E  hB . B

B  (1,0,1), (0,2,3), (1,1,2 y C son bases ordenadas de R 3 .

ÁLGEBRA LINEAL

234 TRANSFORMACIONES LINEALES 22.

Sean las bases de R 2 B1   (1,0), (0,1) y B 2   (1,3), ( 2,5)

a)

Hallar la matriz de cambio de base Q de B1 a B2 .

b)

Encontrar la matriz de cambio de base P de B2 a B1 .

c)

Verificar que P  Q 1 .

d)

Mostrar que  u B2  Q  u B1 , donde u  ( x, y, z ) .

e)

2 B1 Mostrar que B  P 1 A P , donde B   f B B 2 , A   f B1 , y además

f ( x, y , z )  ( 2 y , 3 x  y ) .

ÁLGEBRA LINEAL

235 TRANSFORMACIONES LINEALES 23.

Sean las bases de R3 B1   (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) y B2   (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)

a)

Hallar la matriz de cambio de base Q de B1 a B2 .

b)

Encontrar la matriz de cambio de base P de B2 a B1 .

c)

Verificar que P  Q 1 .

d)

Mostrar que  u B2  Q  u B1 , donde u  ( x, y, z ) .

e)

2 B1 Mostrar que B  P 1 A P , donde B   f B B 2 , A   f B1 , y además

f ( x, y , z )  ( 2 y  z , x  4 y , 3 x ) .

ÁLGEBRA LINEAL

236 TRANSFORMACIONES LINEALES 24.

Dada la transformación lineal f : R 2  R 2 si se conoce que

f( 1,  1 )  (  2 ,1 ) y f ( 2,3)  (3,1) a) Calcular f explícitamente. b) Hallar la matriz A   f CC . C es la base canónica de R 2 . c) Encontrar la matriz B   f  SS usando la matriz de cambio de base. S  (1,1), ( 1,1) es base de R 2 .

ÁLGEBRA LINEAL

237 TRANSFORMACIONES LINEALES 25.

Dadas la transformación lineal f y las bases C y S de R 2

f : R2  R2

 x, y   f  x, y    x,  y 

C es base canónica y S  (1,1), (1,2 a) Hallar A   f CC . b) Calcular B   f SS usando la matriz de cambio de base. c) Mostrar que A y B son semejantes.

ÁLGEBRA LINEAL

238 TRANSFORMACIONES LINEALES 26.

Dada la transformación lineal

f : R3  R3

 x, y , z   f  x, y , z   ( 2 x  z , x  y  z , z )

, y

C la base canónica de R 3 S  (1,0,11), (0,1,0), (1,1,0) base ordenada de R 3

a)

Hallar A   f CC .

b)

Calcular B   f SS usando la matriz de cambio de base.

c)

Mostrar que A y B son semejantes.

ÁLGEBRA LINEAL

239 TRANSFORMACIONES LINEALES 27.

Dada la transformación lineal f : R 3  R 2 donde

2 1 1  B  A   f C    3 2  3 B  e1 , e2 , e3  es base canónica R 3

C   f 1 , f 2  es base canónica R 2

a)

Si B'  e1 ' , e2 ' , e3 ' donde e1 '  e2  e3

e2 '  e1  e3 e3 '  e1  e2

b)

Calcular  f CB ' Si C '   f 1 ' , f 2 ' donde 1 f1 '   f1  f 2  2 1 f 2 '   f1  f 2  2 Calcular  f CB ''

ÁLGEBRA LINEAL

240 TRANSFORMACIONES LINEALES 28.

Dada la transformación lineal f : R 2  R 2 donde

 2 3  B  A   f C    1  1 B  (1,1), ( 2,3) es base R 3 C  e1 , e 2  es base canónica R 2 B '  e1 , e 2  es base canónica R 2 C '  (1,1), ( 2,1) es base R 3

Hallar  f CB '' usando la matriz de cambio de base.

ÁLGEBRA LINEAL

241 VALORES Y VECTORES PROPIOS

Capítulo 7 VALORES Y VECTORES PROPIOS

DEFINICIÓN Sean L L (V ,V ) , (V , K ,,) ,   K  es valor propio de L , si y solo sí v  0V , v  V , tal que,

L (v )  v . v  V , v  0V , es vector propio de L asociado con el valor propio .

Gráficamente:

Observaciones 1.

0V no es un vector propio

2.

0 si es un valor propio

ÁLGEBRA LINEAL

242 VALORES Y VECTORES PROPIOS Notación

V representa al conjunto de vectores propios de la transformación lineal L asociados al valor propio  , incluyendo al vector nulo. V   v  L(v)  v    0V 

TEOREMA 1

V es subespacio vectorial de (V , K ,,)

DEMOSTRACION

1.

0 V  V Si cumple por definición

2.

  K , u , v  V  u   v  V

L(u )  u

(1)

L (v )  v

(2)

L(u   v)  L(u )   L(v)

(3)

Sustituyendo (1) y (2) en (3)

L(u   v)   u    v   (u   v) u   v  VK

Por 1. y 2. V es subespacio vectorial de V .

VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES Sean   K y X  M nx1 .  y X se llaman valor y vector propios de A  M nxn , respectivamente si y sólo si

AX   X

ÁLGEBRA LINEAL

243 VALORES Y VECTORES PROPIOS

TEOREMA 2 Sean L L (V ,V ) , (V , K ,,) , A  LS y X  M nx1 , entonces  S

es un valor propio de L , si y sólo si  es un valor propio de la matriz asociada A .

DEMOSTRACION 1.

Si  es un valor propio de L , entonces  es un valor propio de A Si  es un valor propio de L , L(v)   v

L(v)S   vS Av S   v S

AX   X  es un valor propio de A

2.

Si  es un valor propio de A , entonces  es un valor propio de L . Seguir el proceso inverso

TEOREMA 3 Si  es un valor propio de A , V  CS ( I  A) X  O  ó también V  CS ( A  I ) X  O 

DEMOSTRACION Si  es un valor propio de A , entonces

AX   X  X  AX  O ( I  A) X  O CS  X  ( I  A) X  O

(1)

V  X  (I  A) X  O  0 nK 1

(2)

Igualando (1) y (2) ÁLGEBRA LINEAL

244 VALORES Y VECTORES PROPIOS

V  CS ( I  A) X  O 

Corolario 1 DimV  n  Rango ( I  A)  n  Rango ( A   I )

Corolario 2  es valor propio de A si y sólo si det( I  A)  0 ó det( A   I )  0

TEOREMA 4 Sea A  M nxn y sean 1 ,  2 ,  ,  n valores propios diferentes de A , con sus vectores propios asociados v1 , v 2 ,  , v n , entonces v1 , v 2 ,  , v n  es linealmente independiente.

DEMOSTRACION Se demuestra por inducción

1.

Si n  2 v1 , v 2 son vectores propios asociados a los valores propios 1 ,  2

 1v1   2 v 2  0V

(1)

Multiplicando (1) por A

 1 Av1   2 Av 2  0V  11v1   2  2 v 2  0V

(2)

Multiplicando (1) por 1

 11v1   2 1v 2  0V Restando (3)-(2)

 2 1v 2   2  2 v 2  0V  2 (1   2 )v 2  0V  2  0 , ya que, 1   2 , y

v 2  0V (vector propio) ÁLGEBRA LINEAL

(3)

245 VALORES Y VECTORES PROPIOS De (1) 1  0

v1 , v 2  es linealmente independiente. 2.

nk

Si v1 , v 2 ,  , v n  es LI, entonces v1 , v 2 , , v n , v n 1  es linealmente independiente

 1v1   2 v 2     n nv   n 1vv 1  0V

(4)

Multiplicando (4) por A

1v1 A   2 v2 A     n vn A   n 1vn 1 A  0V  11v1   2  2 v 2     n  n v n   n 1 n 1v n 1  0V

(5)

Multiplicando (4) por  n 1

 1 n 1v1   2  n 1v 2     n  n 1 nv   n 1 n 1v n 1  0V Restando (6) de (5)

 1 (1   n 1 )v1   2 ( 2   n 1 )v 2     n ( n   n 1 )v n  0V

v1 , v2 ,, vn  es linealmente independiente, entonces 1   n 1  0,  2   n 1  0,  ,  n   n 1  0 1   2     n  0 De (4)

 n 1  0 , por lo tanto

v1 , v2 ,, vn , vn1  es linealmente independiente.

POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ Sea A  M nxn , p( ) es el polinomio característico de A si y solo si:

p( )  det(I  A)  det( A  I )

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ Sea A  M nxn , p( )  0 es la ecuación característica de A si y solo si:

p( )  det(I  A)  det( A  I )  0

ÁLGEBRA LINEAL

(6)

246 VALORES Y VECTORES PROPIOS

CÁLCULO DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO Si A  M 2 x 2  p ( )  2  tr ( A)   det A x

Si A  M 3 3  p ( )  3  tr ( A)2  P11  P22  P33   det A Generalizando: Si A  M nxn  p ( )         tr ( A)     n

n 1

n2

tr2 ( A)    

n 3

tr3 ( A)   0 det A

siendo tri ( A) la suma de todos los menores de orden i que contienen en su diagonal principal, i elementos de la diagonal principal de A .

TEOREMA 5   K es un valor propio de A  M nxn

si y solo si  es raíz de la

ecuación característica de A .

DEMOSTRACION a)

Si   K es un valor propio de A  M nxn ,  es raíz de la ecuación característica de A . Si   K es un valor propio de A , entonces

p( )  det(I  A)  det( A  I )  0

 es raíz de la ecuación característica de A . b)

Se sigue el proceso inverso

MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA Sea A  M nxn y p ( )    1 n1   2 n 2    n nr  0 su ecuación característica y 1 ,  2 ,  ,  n son raíces de p   y las mismas son de multiplicidad algebraica (MA) n1 , n 2 ,  , n r .

MULTIPLICIDAD GEOMÉTRICA DimVi  MGi ÁLGEBRA LINEAL

247 VALORES Y VECTORES PROPIOS Observación

MGi  MAi

MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONALIZACIÓN

DEFINICIÓN Sean A, B  M nxn . A es semejante a B si existe una matriz P invertible, tal que, B  P 1 AP .

DEFINICIÓN Sea A  M nxn . A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que, A es semejante a D , es decir, D  P 1 AP .

TEOREMA 6 Sean A  M nxn una matriz asociada a L y L  L (V ,V ) entonces, A es diagonalizable si y sólo si existe una base del espacio vectorial M nx1 , formada por vectores propios de A .

DEMOSTRACION a)

Si

A es diagonalizable, existe una base del espacio vectorial M nx1 ,

formada por vectores propios de A . Si A es diagonalizable,

D  P 1 AP Multiplicando a los dos miembros de la igualdad anterior por P , se obtiene ÁLGEBRA LINEAL

248 VALORES Y VECTORES PROPIOS

PD  AP Se escriben D y P en forma desarrollada  1    D     

2  k

          n 

 b11   b21   P  b j1    b  n1

b12

 b1 j

b22

b2 j

b j2

b jj

bn 2

bnj

 b1n   b2 n    b jn    bnn 

Columna j-ésima de P.D  P. Columna j-ésima de D , ( D j )

 P.D j

(1)

Columna j-ésima de A.D  A. Columna j-ésima de P , ( Pj )

 A.Pj

(2)

Igualando (1) y (2)

P.D j  A.Pj

(3)

 b1 j     b2 j     P.D j   j    b jj       b   nj 

P.D j   j Pj De (3)

A.Pj   j Pj

Pj es un vector propio de A asociado al valor propio  j . Generalizando, existen n vectores propios que constituyen una base de A  M nx1 . (Teorema 4) ÁLGEBRA LINEAL

249 VALORES Y VECTORES PROPIOS b)

Si existe una base de M nx1 formada por vectores propios de A , entonces A es diagonalizable. Sea S  v p1 , v p 2 ,, v pn  base de nK 1 v  V es combinación lineal de S

v   1v p1   2 v p 2     n v pn L(v)   1 L(v p1 )   2 L(v p 2 )     n L(v pn )

(1)

 L(v p1 )  1v p1  0.v p 2    0.v pn   L(v p 2 )  0.v p1  2 .v p 2    0.v    L(v )  0.v  0.v     v pn p1 p2 n pn 

(2)

Sustituyendo (2) en (1)

L(v)   1 (1v p1  0.v p 2    0.v pn )   2 (0.v p1  2 .v p 2    0.v pn )     n (0.v p1  0.v p 2    n v pn )

Reordenando L(v)  (11  0. 2    0. n )v p1  (0.1  2 . 2    0. n )v p 2    (0.1  0. 2    n n )v pn

Escribiendo matricialmente

L(v)S

 1 1  0. 2    0. n      0. 1   2 2    0. n   0.  0.     .  2 n n   1

 1   1     2    2  L(v)S               n n    

DL S S

ÁLGEBRA LINEAL



v S

250 VALORES Y VECTORES PROPIOS

L(v)S

 Dv S

A es semejante a D , entonces A es diagonalizable.

Corolario 1 Si An tiene n vectores propios, entonces An es diagonalizable ( MGi  MAi )

Corolario 2 Si An es diagonalizable, la matriz diagonal semejante a An tiene en su diagonal los valores propios de An .

Observación Si vi  c son las coordenadas del vector vi en la base canónica C , entonces vi  s son las coordenadas del vector vi en la base de vectores propios S de A y forman la matriz

P. AL  C C  L (v ) vi C   i C

 





P 1 D L  S S  L (v ) vi S   i S

 





DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS En este apartado se analiza la diagonalización de matrices simétricas ( A  A t ) . Se hace particular este caso, debido a que es más fácil de resolver que el caso general, y a que las matrices simétricas se presentan en muchos problemas de aplicación.

TEOREMA 7 Todas las raíces de la ecuación característica de una matriz real y simétrica son reales.

ÁLGEBRA LINEAL

251 VALORES Y VECTORES PROPIOS DEMOSTRACION Se supone que existen valores propios   C de A  M ( R ) nxn tales que AX  X _____

_____

AX  .X ____

__ ____

A X  . X

(1)

Multiplicando (1) por X t ____

__ ____

X tA X  X t . X ____

__

____

____

__

____

____

__

____

( X t A) X   . X t X ( AX t ) X   . X t X

( X ) t X   . X t X ____

__

____

 X t X   .X t X __

 

Lo que contradice la suposición, entonces R

TEOREMA 8 Si A  M nxn es matriz simétrica, entonces los vectores propios asociados a valores propios distintos de A son ortogonales.

DEMOSTRACION Sean X 1 y X 2 vectores propios de A con valores propios 1 y  2 , tales que: AX 1  1 X 1

(1)

AX 2   2 X 2

(2)

1 ( X 1 , X 2 )  1 ( X 1 , X 2 )  (1 X 1 , X 2 )

Sustituyendo (1) en (3) ÁLGEBRA LINEAL

(3)

252 VALORES Y VECTORES PROPIOS 1 ( X 1 , X 2 )  ( AX 1 , X 2 )  ( X 1 , AX 2 )

(4)

Sustituyendo (2) en (4) 1 ( X 1 , X 2 )  ( X 1 ,  2 X 2 ) 1 ( X 1 , X 2 )   2 ( X 1 , X 2 ) 1 ( X 1 , X 2 )   2 ( X 1 , X 2 )  0 (1   2 )( X 1 , X 2 )  0 , donde (1   2 )  0

(Hipótesis)

 (X1, X 2 )  0

DEFINICION Una matriz cuadrada A es ortogonal si su matriz inversa es igual a su transpuesta, esto es, A 1  A t .

TEOREMA 9 Sea A  M nxn , A es ortogonal si y sólo si las columnas y las filas de A forman un conjunto ortonormal de vectores de R n .

TEOREMA 10 Si A es una matriz real y simétrica, entonces existe una matriz ortogonal P , tal que P 1 AP  P t AP  D . En consecuencia se dice que la matriz A es ortogonalmente diagonalizable.

ÁLGEBRA LINEAL

253 VALORES Y VECTORES PROPIOS DEMOSTRACION Si A es una matriz real y simétrica, existe una base de vectores de M nx1 , (Teorema 6) existe una base de vectores ortonormales de M nx1 , entonces existe una matriz P ortogonal, tal que, P 1  P t , donde P 1 AP  P t AP  D .

TEOREMA 11 Sea la matriz A  M ( R) n . Si A es simétrica, entonces es diagonalizable.

PROPIEDADES Sea A  M nxn 1.

Si u y v son vectores propios asociados al valor propio  de A , si u  v  0V , entonces u  v es un vector propio asociado con  .

2.

Si u es un vector propio asociado con el valor propio  de A , ku, k  0, también es un vector propio asociado con  .

3.

Si  es un valor propio de A y u es un vector propio asociado, para cualquier entero no negativo k ,  k es un valor propio de Ak y u es un vector propio asociado.

4.

A y A t tienen los mismos valores propios.

5.

Si A es una matriz diagonal, triangular superior o triangular inferior, sus valores propios son las componentes de su diagonal.

6.

A es el producto de todas las raíces del polinomio característico de A . De

manera equivalente, A es el producto de los valores propios de A . 7.

Matrices semejantes tienen los mismos valores propios.

8.

A no es invertible si y sólo si 0 es un valor propio de A .

9.

A es diagonalizable si y sólo si A tiene n vectores propios linealmente independientes.

10.

Si A tiene n valores propios distintos, A es diagonalizable.

ÁLGEBRA LINEAL

254 VALORES Y VECTORES PROPIOS

TEOREMA DE CALEY - HAMILTON TEOREMA 12 Si P( ) y Q( ) son polinomios en la variable escalar  , con coeficientes matriciales cuadrados y si P( )  Q( ).(I  A) , entonces

P( A)  O.

DEMOSTRACION Q ( )   0  1   2 2     n n , donde 1 son coeficientes matriciales cuadrados





P ( )   0  1   2 2     n n  I  A P ( )    0 A  1 A   2 A2     n An   0   12   2 3     n n 1

Si A  

P( A)  0 A  1 A2   2 A3     n An 1  0 A  1 A2   2 A3     nn 1 P ( A)  O

//

TEOREMA 13 Toda matriz cuadrada satisface su ecuación característica, es decir, si

P( )  0 , es la ecuación característica de A , entonces P ( A)  O .

DEMOSTRACION Considerando que   a11  a12   a1n  a21   a22   a2n P ( )   I  A       an1  an 2    ann

Cualquier cofactor de la matriz  I  A  es un polinomio en  , entonces ÁLGEBRA LINEAL

255 VALORES Y VECTORES PROPIOS  P11 ( ) P12 ( )  P1n ( )     P21 ( ) P22 ( )  P2n ( )  Adj I  A           P ( ) P ( )  P ( )  n2 nn  n1 

Esto es, se puede expresar adj  I  A como un polinomio Q( ) .

Además: det  I  A  I  adj  I  A  . I  A det  I  A  I  Q ( ). I  A 

(1)

Por otro lado det  I  A  I  P ( ) I  P ( )

(2)

Igualando (1) y (2) P ( )  Q ( ). I  A 

Si   A

P ( A)  O

//

(Teorema 12)

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Sea A  M nxn invertible, entonces existe la matriz A1 . La ecuación característica de A es p ( )  n  a n 1 n 1    a1  a0  0 p ( ) I  n I  a n 1n 1I    a1I  a0 I  0.I P ( )  n  a n 1 n 1    a1  a0 I  O

Si   A P ( A)  A n  a n 1 A n 1    a1 A  a0 I  O A 1.P ( A)  A n 1  a n 1 A n  2    a1I  a0 A 1  O

A1 



1  An 1  an 1 A n  2    a1I a0

Ejemplo ÁLGEBRA LINEAL



256 VALORES Y VECTORES PROPIOS Dada la matriz 1 1 4    A   3 2  1  2 1  1  

a)

Encontrar la ecuación característica

b)

Verificar que P( A)  O

c)

Hallar A 1

Solución: a)

p ( )  3  tr ( A)2  ( P11  P22  P33 )  A  0

p ( )  3  22  5  6  0

b)

P ( A)  A3  2 A 2  5 A  6 I  O

1 1 4    A   3 2  1  2 1  1  

6 1 1    A   7 0 11 3 1 8    2

 11  3 22    A   29 4 17   16 13 5    3

 11  3 22   6 1 1   1  1 4   1 0 0   0 0 0            P( A)   29 4 17   2 7 0 11  5 3 2  1  6 0 1 0    0 0 0   16 13 5   3  1 8   2 1  1  0 0 1   0 0 0            P( A)  O

c)

A1 



1  A2  2 A  5I 6



1 1 4    A   3 2  1  2 1  1     6 1 1    A    7 0  11 3 1 8    2

  6  1  1   2  2 8   5 0 0       1  A 1    7 0  11   6 4  2    0 5 0  6    3 1  8   4 2  2   0 0 5 

1  3 7   1 A  1 9  13  6  1  3  5  1

ÁLGEBRA LINEAL

257 VALORES Y VECTORES PROPIOS

FORMAS CUADRÁTICAS Y CANÓNICAS DEFINICION Sea A  M nxn , la función: QA : R n  R x  Q A ( x)  X t AX

se llama forma cuadrática asociada a la matriz A a la expresión Q A ( x)  X t A X

En forma desarrollada:

Q A ( x)   x1

 a11 a12  a1n   x1      a21 a22  a2n   x2  x2  xn             a    n1 an 2  ann   xn 

Observación Q A ( x ) puede ser representada por muchas matrices, pero solo por una matriz simétrica.

Particular Sea Q A ( x)  ax12  bx1 x2  cx22 , su matriz simétrica esta dada por:  a b2   A   b c 2 

TEOREMA 12 Sea A  M nxn , existe una matriz simétrica A1 , tal que

QA ( x)  QA1 ( x) , X t A X  X t A1 X

DEMOSTRACION Sea la matriz ÁLGEBRA LINEAL

258 VALORES Y VECTORES PROPIOS

A1 

t  1 A A  2 

A1t 

t 1 A A 2

A1t 

1 t 1 1 A  A  A  At  A1 , entonces 2 2 2

  

t





A1 es matriz simétrica.

Sean t  1 A A  2 

(1)

X t A1 X  X t A1 X

(2)

A1 

Sustituyendo (1) en (2)

X t A1 X  X t . X t A1 X 







1 A  At X 2

1 t 1 X A X  X t At X 2 2



X t AX  X t AX t

(3) (4)

pues es matriz 1x1

Sustituyendo (4) en (3)

X t A1 X 

1 t 1  X A X   X t At X  t 2 2 

X t A1 X 

1 t 1 X AX  X t AX 2 2

X t A X  X t A1 X

//.

TEOREMA 13 Sea A  M nxn una matriz simétrica y Q A ( x )  X t A X su forma cuadrática asociada. Existe un cambio de variable lineal Y  BX , donde B  M nxn , y una matriz diagonal D , tal que Q A ( x )  Q D ( y ) , es

decir, X t A X  Y t DY .

ÁLGEBRA LINEAL

259 VALORES Y VECTORES PROPIOS DEMOSTRACION Si A es matriz simétrica, existe una matriz P invertible tal que: A  PDP 1  PDP t

(1)

Q A ( x)  X t A X

(2)

Sustituyendo (1) en (2)



 

Q A ( x)  X t P D P t X



(3)

Sea P t X  Y , entonces Y t  X tP

(4)

Sustituyendo (4) en (3) Q A ( x )  Y t DY , es decir, Q A ( x )  Q D ( y ) //

Observación

D es matriz de los valores propios de A , y los vectores propios de P son ortonormales.

TEOREMA 14

Teorema de los ejes principales

Sea ax12  bx1 x2  cx22  d , !  0,2  , tal que la ecuación anterior puede escribirse de la forma 1 y12  2 y 22  D . Donde y1 y y 2 son los ejes principales de la gráfica de la ecuación cuadrática anterior, obtenidos al rotar x1 y x 2 un ángulo en sentido antihorario, y, 1 y  2 a b  son los valores propios de la matriz asociada A   b 2  .  2 c

MATRIZ DE ROTACIÓN Sea P una matriz real y ortogonal, entonces

P.P 1  P.Pt  1



P . Pt  1



P.P 1

Si P  1 , entonces P se denomina matriz de rotación

ÁLGEBRA LINEAL



2

P 1



P  1

260 VALORES Y VECTORES PROPIOS

 cos  P     sen

 sen  , cos  

donde 0    2 .

Observación. Si P  1 se intercambian columnas.

DEFINICIÓN Se llaman invariantes de una curva, a todas las expresiones formadas por los coeficientes de su ecuación, que no varían al realizar rotaciones y traslaciones paralelas de los ejes coordenados.

SECCIONES CÓNICAS Sea la curva f  x1, x2   a11x12  a12 x1x2  a22 x22  2a1x1  2a2 x2  a  0

Esta ecuación puede escribirse en forma matricial como

X t AX  BX  a  0 Como A es matriz simétrica es ortogonalmente diagonalizable, por lo tanto 0   P t AP   1  0 2  y  Si X  PY , donde Y   1   y2 

PY  t APY   BPY   a  0





Y t P t AP Y  BPY  a  0 1 y12  2 y22  b1 y2  b2 y2  a  0

La ecuación anterior no tiene término de producto cruzado.

Los invariantes de una curva de segundo grado son: 1.

La suma de los coeficientes de los cuadrados de las coordenadas s  a11  a 22

ÁLGEBRA LINEAL

261 VALORES Y VECTORES PROPIOS 2.

3.

El determinante formado por los coeficientes de los términos principales a   11 a21

a12 a22

a11

a12

a1

  a12

a22

a2

a1

a2

a

 A

El determinante dado por

Las invariancias de s,  y  facilitan la reducción de la ecuación de la ecuación de la curva a la forma canónica. Así, si 1z12  2 z22  c  0    0 . Entonces 1

0

0

 2 0  12 c 0 c

 0 0

 0   1  1 2 0 2

Sustituyendo (2) en (1)

 

1z12  2 z22 

  0 Curva de tipo elíptico

(2)

 c c

Por lo tanto

(1)

0

 0 

s  0 Elipse s  0 Elipse imaginaria

  0 Un punto o dos rectas imaginarias que se cortan en dicho punto.

 0

 0

Curva de tipo

  0 Hipérbola

hiperbólico

  0 Dos rectas que se cortan.

Curva de tipo

  0 Parábola

parabólico

  0 Dos rectas paralelas (Confundidas, distintas o imaginarias.

ÁLGEBRA LINEAL

262 VALORES Y VECTORES PROPIOS Sus graficas se presentan a continuación.

Elipse

Hipérbola

Parábola

ÁLGEBRA LINEAL

263 VALORES Y VECTORES PROPIOS Ejemplo Dada la forma cuadrática 2 x1  2 x1 x2  2 x22  9  0

Identificar y expresar en la forma canónica Solución:

s4   A

2 1 1 2

2 1

 3  0 es curva de tipo elíptico,   1 2 0  27  0 0 0 9

s  (4)(27)  108  0 es una elipse p ( )  2  4  3  (  3)(  1)  0

Los valores propios de A son 1  3   2  1

Con vectores propios asociados

1 1 v1    y v2      1 1  1  1  B   ,    base ortogonal, entonces   1 1   1  1  1  1   ,   base ortonormal T*    2   1 2  1 

P

1  1 1   2   1 1

 3 0  D   0 1 P  1  P es matriz de rotación

Y t DY  f  0

 y1

0

 3 0  y1     9 y 2   0 1  y 2 

3 y12  y22  9

La ecuación canónica de la elipse es y12 y22  1 3 9

ÁLGEBRA LINEAL

264 VALORES Y VECTORES PROPIOS Resumen Una de las diferentes propiedades de las transformaciones lineales es la de proteger la estructura de espacio vectorial. En concreto, si f es una transformación lineal definida en el espacio vectorial V de dimensión n en sí mismo y W es un subespacio vectorial de V , se verifica que su transformado es de nuevo subespacio vectorial de V . En ocasiones, se tiene además que f (W )  W , por lo que en este caso W permanece invariante por f . Las nociones que permiten determinar los subespacios invariantes por una transformación lineal f son los de valores y vectores propios de f o, exactamente, dada la correspondencia uno a uno existente entre el conjunto M n y el de las trasformaciones lineales L (V , V ) , de su matriz asociada A . Una vez mostrados los métodos analíticos de cálculo de valores y vectores propios de una matriz A (o de la transformación lineal f que representa) se ilustran diversas propiedades de ambos conceptos, que son de gran utilidad en el estudio de la diagonalización de una matriz A  M n . El indicado problema consiste en determinar una base de V respecto de la cual la matriz asociada a la transformación lineal f sea diagonal. Esta base, que se construye a partir de los vectores propios de A , no siempre existe, tal como se analiza en este capítulo, y por ello no todas las matrices cuadradas son diagonalizables. La diagonalización de una matriz A permite realizar ciertas operaciones matriciales de una manera más sencilla, como sucede con el cálculo de la potencia o de la exponencial de A . Las formas cuadráticas constituyen un instrumento del Álgebra Lineal de gran utilidad y aplicación en Estadística, Econometría, Teoría de la Optimización, etc. Lo que justifica su estudio en el ámbito de la ingeniería y ciencias. Una forma cuadrática, tal como se aprendió, es una función con valores propios reales definida por un polinomio cuadrático. Todos estos aspectos se desarrollaron en los conceptos: Valores y vectores propios. Propiedades de los valores y vectores propios. Diagonalización de una matriz. Formas cuadráticas y canónicas. Aplicaciones. ÁLGEBRA LINEAL

265 VALORES Y VECTORES PROPIOS

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Sea u un vector propio de las transformaciones lineales f y g . Mostrar que u es también vector propio de la transformación lineal a f  b g , donde a y b son escalares arbitrarios.

2.

Sean A, B  M nxn . Probar AB y BA tienen los mismos valores propios.

3.

1 a  . Calcular los valores de los parámetros a y b para Dada la matriz A   2 b que el vector  2,1 sea un vector propio asociado al valor propio 1  5 en la matriz A . ¿Cuál es el otro valor propio en este caso?

4.

Sea L : V  V una transformación lineal invertible. ¿Si  es valor propio de

L , cuál es el valor propio de L1 ?

ÁLGEBRA LINEAL

266 VALORES Y VECTORES PROPIOS 5.

Dada la transformación lineal f : R2  R2

 x, y  

f  x, y    x  2 y ,2 x  y 

Calcular los valores y vectores propios, una base para cada espacio propio, du dimensión y una base de vectores propios S tal que f esté representada con respecto a S por una matriz diagonal.

ÁLGEBRA LINEAL

267 VALORES Y VECTORES PROPIOS 6.

Probar que si  es un valor propio de una matriz A con vector propio asociado v y n  N es un entero positivo, entonces 

n

es un valor propio de la matriz

An con vector propio asociado v .

7.

 1 4  . Hallar los valores y vectores propios de A y A 2 . Sea la matriz A   2 3  

ÁLGEBRA LINEAL

268 VALORES Y VECTORES PROPIOS

8.

 1 1 1   Sea la matriz A   a b c  con vectores propios  p q r  

 1  1       1 ,  0   1   1    

1   ,   1 0  

Encontrar los valores de a, b, c, p, q, r .

9.

Hallar una matriz A  M 3x 3 tal que sus valores propios son 1, 2  2 con vectores propios asociados v1  1,1,1,  y v 2  2,1,1 , y 3  3 con vector propio asociado v3  1,1,2, 

ÁLGEBRA LINEAL

269 VALORES Y VECTORES PROPIOS 10.

Demostrar que sí D  P 1 AP , entonces D n  P 1 A n P . Usando el resultado anterior hallar una expresión para A n .

11.

Dada una matriz simétrica A  M n

con elementos reales, comprobar que si

todos sus valores propios son iguales a cero entonces A es una matriz nula.

ÁLGEBRA LINEAL

270 VALORES Y VECTORES PROPIOS 12.

Determinar una matriz de orden tres simétrica tal que   

rango  A  3I 3   1 .





W  x, y, x   R 3 : 4 x  3 y  0 es un espacio propio de A . tr ( A)  7 .

ÁLGEBRA LINEAL

271 VALORES Y VECTORES PROPIOS 13.

Para cada uno de los siguientes casos, si es posible, diagonalizar la matriz dada y hallar las matrices D y P , tales que, D  P 1 AP . a)

1  3 3    3  5 3 6  6 4  

b)

  3 1 1    7 5 1   6 6  2  

ÁLGEBRA LINEAL

272 VALORES Y VECTORES PROPIOS

c)

 3 1  1    2 2  1 2 2 0   

d)

3  2 1   0 2 0 0 0 0  

ÁLGEBRA LINEAL

273 VALORES Y VECTORES PROPIOS 14.

Para cada uno de los siguientes casos, si es posible, diagonalizar la matriz dada y hallar las matrices D y P (ortogonal), tales que, D  P t AP .

a)

  1 0  3    0 2 0    3 0  1  

b)

1 2 1    2 0 2 1 2 1  

ÁLGEBRA LINEAL

274 VALORES Y VECTORES PROPIOS

c)

 3 1 1      1 5  1  1 1 3   

d)

 0  1  1     1 0  1 1 1 0   

ÁLGEBRA LINEAL

275 VALORES Y VECTORES PROPIOS 15.

Identificar las siguientes curvas y reducir la ecuación de estas a la forma canónica a)

3 x12  2 x1x2  3 x22  2 x1  4 x2  1  0

b)

3 x12  2 x1x2  3 x22  2 x1  4 x2  2  0

c)

x12  x22  2 x1  1  0

d)

x12  2 x1x2  x22  6 x1  4 x2  3  0

ÁLGEBRA LINEAL

276 VALORES Y VECTORES PROPIOS e)

x12  3 x1x2  2 x22  2 x1  5 x2  3  0

f)

x12  2 x1x2  x22  4 x1  6 x2  1  0

g)

x12  4 x1x2  4 x22  2 x1  4 x2  3  0

h)

x12  4 x1x2  4 x22  2 x1  4 x2  1  0

i)

x12  4 x1x2  4 x22  2 x1  4 x2  2  0

ÁLGEBRA LINEAL

277 VALORES Y VECTORES PROPIOS 16)

Del ejercicio anterior graficar las curvas: a)

d)

ÁLGEBRA LINEAL

278 VALORES Y VECTORES PROPIOS f)

17)

¿Para qué valores de k se obtiene elipse, hipérbola y parábola de la ecuación x12  2kx1x2  x22  4 x1  4 x2  9  0 ?

ÁLGEBRA LINEAL

SIN INGENIEROS Se murió un Ingeniero y se fue a las puertas del Cielo. Sabido es que los Ingenieros por su honestidad siempre van al cielo. San Pedro buscó en su archivo, pero últimamente andaba un poco desorganizado y no lo encontró en el montón de papeles, así que le dijo: "Lo lamento, no estás en listas...". De modo que el Ingeniero se fue a la puerta del infierno y le dieron albergue y alojamiento inmediatamente. Poco tiempo pasó y el Ingeniero se cansó de padecer las miserias del infierno, y se puso a diseñar y construir mejoras. Con el paso del tiempo, ya tenían ISO 9001, sistema de monitoreo de cenizas, aire acondicionado, inodoros con drenaje, escaleras eléctricas, equipos electrónicos, redes de telecomunicaciones, programas de mantenimiento predictivo, sistemas de control visual, sistemas de detección de incendios, termostatos digitales, etc. Y el Ingeniero se hizo de muy buena reputación. Un día Dios llamo al Diablo por teléfono y con tono de sospecha le preguntó. “¿Y qué…cómo están por allí en el infierno?”. El diablo contestó:"¡¡Estamos REBIEN!! Tenemos ISO 9001, sistema de monitoreo de cenizas, aire acondicionado, inodoros con drenaje, escaleras eléctricas, equipos electrónicos, Internet, etc. Oye, apúntate mi dirección de e-mail, es: [email protected]. Y no sé cuál será la próxima sorpresa del Ingeniero!". "¿QUÉ?, ¡¿QUÉ?! ¿¿TIENEN un Ingeniero allí?? ¡Eso es un error! Nunca debió haber llegado ahí un Ingeniero. Los ingenieros siempre van al cielo, eso está escrito y resuelto ya. ¡Me lo mandas inmediatamente!”. “¡Ni loco!. Me gusta tener un ingeniero de planta en la organización y me voy a quedar con él eternamente”. “Mándamelo o … ¡¡TE DEMANDARÉ!!...”: Y el Diablo, con la vista nublada por la tremenda carcajada que soltó, le contestó a Dios: "¿¿Ah Sí?? ......y por curiosidad... ¡¿DE DÓNDE VAS A SACAR UN ABOGADO?!" si todos están aquí. Ofrece este mensaje a tus amigos y amigas para que tengan una idea de lo que es un ingeniero