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Álgebra Lineal Ma1010 Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas
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Álgebra Lineal - p. 1/80
Objetivos En esta lectura se introduce el concepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y las matrices m × n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudiante un esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general.
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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Motivación Ejemplo
Considere el sistema homogéneo: x + 2y + w + 2t 2x + 4y − z + w + 5t x + 2y + z + 2w + t z+w−t
= = = =
0 0 0 0
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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Álgebra Lineal - p. 3/80
Motivación Ejemplo
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Considere el sistema homogéneo: x + 2y + w + 2t 2x + 4y − z + w + 5t x + 2y + z + 2w + t z+w−t
= = = =
0 0 0 0
Si utilizamos el orden x → y → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:
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Motivación Ejemplo
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Considere el sistema homogéneo: x + 2y + w + 2t 2x + 4y − z + w + 5t x + 2y + z + 2w + t z+w−t
= = = =
0 0 0 0
Si utilizamos el orden x → y → z → w matriz aumentada reducida queda: 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 4 −1 1 0 5 → 0 0 0 1 2 1 2 1 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 0 Espacios Vectoriales
→ t la 1 2 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0
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De donde la fórmula para las soluciones son: x −2 −1 −2 y 1 0 0 z = y 0 + w −1 + t 1 w 0 1 0 t 0 0 1
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De donde la fórmula para las soluciones son: x −2 −1 −2 y 1 0 0 z = y 0 + w −1 + t 1 w 0 1 0 t 0 0 1
Si utilizamos el orden x → y → w → z → t la matriz aumentada reducida queda:
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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De donde la fórmula para las soluciones son: x −2 −1 −2 y 1 0 0 z = y 0 + w −1 + t 1 w 0 1 0 t 0 0 1
Si utilizamos el orden x → y → w → z → t la matriz aumentada reducida queda: 1 2 0 −1 3 1 2 1 0 2 0 0 0 1 2 4 1 −1 0 5 1 −1 → 0 0 0 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 0 0 0 Espacios Vectoriales
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0 0 0 0
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De donde la fórmula para las soluciones son: x −2 1 −3 y 1 0 0 z =y 0 +z 1 +t 0 w 0 −1 1 t 0 0 1
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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De donde la fórmula para las soluciones son: x −2 1 −3 y 1 0 0 z =y 0 +z 1 +t 0 w 0 −1 1 t 0 0 1 Si utilizamos el orden x → y → t → z → w la matriz aumentada reducida queda:
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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De donde la fórmula para las soluciones son: x −2 1 −3 y 1 0 0 z =y 0 +z 1 +t 0 w 0 −1 1 t 0 0 1
Si utilizamos el orden x → y → t → z → w la matriz aumentada reducida queda: 1 2 2 0 1 0 1 2 0 2 3 0 2 4 0 0 1 −1 −1 0 5 −1 1 0 → 1 2 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 −1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
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De donde la fórmula para las soluciones son: x −2 −2 −3 y 1 0 0 z =y 0 +z 1 +w 0 w 0 0 1 t 0 −1 1
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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De donde la fórmula para las soluciones son: x −2 −2 −3 y 1 0 0 z =y 0 +z 1 +w 0 w 0 0 1 t 0 −1 1
Si utilizamos el orden y → x → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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De donde la fórmula para las soluciones son: x −2 −2 −3 y 1 0 0 z =y 0 +z 1 +w 0 w 0 0 1 t 0 −1 1
Si utilizamos el orden y → x → z → w matriz aumentada reducida queda: 1 2 1 0 1 2 0 0 1 2 4 2 −1 1 5 0 0 0 1 → 2 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 0
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→ t la
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1 1 0 2 1 −1 0 0 0 0 0 0 0
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De donde la fórmula para las soluciones son: x 1 0 0 y −1/2 −1/2 −1 z = x 0 +w −1 +t 1 w 0 1 0 t 0 0 1
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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De donde la fórmula para las soluciones son: x 1 0 0 y −1/2 −1/2 −1 z = x 0 +w −1 +t 1 w 0 1 0 t 0 0 1
Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto solución.
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De donde la fórmula para las soluciones son: x 1 0 0 y −1/2 −1/2 −1 z = x 0 +w −1 +t 1 w 0 1 0 t 0 0 1
Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto solución. Necesitamos una teoría que nos dé confianza en los resultados obtenidos;
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De donde la fórmula para las soluciones son: x 1 0 0 y −1/2 −1/2 −1 z = x 0 +w −1 +t 1 w 0 1 0 t 0 0 1
Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto solución. Necesitamos una teoría que nos dé confianza en los resultados obtenidos; qué nos indique las cosas que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las múltiples respuestas válidas en Rn que podemos obtener. Espacios Vectoriales
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Además de los conjuntos solución en Rn , existen otras áreas de la ingeniería que requieren un apoyo matemático: las matrices tienen su importancia y uso en ingeniería industrial y en control; las series trigonométricas en procesamiento de señales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para los IFIs, etc..
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Además de los conjuntos solución en Rn , existen otras áreas de la ingeniería que requieren un apoyo matemático: las matrices tienen su importancia y uso en ingeniería industrial y en control; las series trigonométricas en procesamiento de señales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para los IFIs, etc.. ¿Cómo desarrollar una teoría comodín que se pueda aplicar a diferentes contextos sin ningún cambio importante?
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Abstracción y Generalización Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves:
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Abstracción y Generalización Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización.
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Abstracción y Generalización Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización. La abstracción tiene que ver con representar cantidades por medio de símbolos
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Abstracción y Generalización Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización. La abstracción tiene que ver con representar cantidades por medio de símbolos ,y la generalización tiene que ver con la construcción de estructuras o teorías que engloban ciertas cosas o hechos conocidos.
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Abstracción y Generalización Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización. La abstracción tiene que ver con representar cantidades por medio de símbolos ,y la generalización tiene que ver con la construcción de estructuras o teorías que engloban ciertas cosas o hechos conocidos. La que nos interesa más para abrir este tema es el aspecto de la generalización.
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Abstracción y Generalización Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización. La abstracción tiene que ver con representar cantidades por medio de símbolos ,y la generalización tiene que ver con la construcción de estructuras o teorías que engloban ciertas cosas o hechos conocidos. La que nos interesa más para abrir este tema es el aspecto de la generalización. La generalización también tiene que ver con la economia del trabajo realizado para investigar, y con determinar cuáles son los elementos mínimos responsables de que ciertos resultados ocurran. Espacios Vectoriales
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Generalización Para entender como ocurre la generalización en nuestra materia recordemos algunos conceptos hemos visto en diferentes cursos de matemáticas: 1. vectores en el espacio n dimensional (Rn ), 2. matrices con entradas reales (Mn×m ), 3. polinomios reales, 4. series de pontencias, 5. series trigonométricas, y 6. soluciones a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas entre otros elementos.
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El objetivo que se persigue en el presente tema consiste en introducir aquella estructura abstracta que engloba las anteriores construcciones,
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El objetivo que se persigue en el presente tema consiste en introducir aquella estructura abstracta que engloba las anteriores construcciones, y qué resultados se pueden obtener en lo general sin importar a cual de las estructuras específicas se haga referencia.
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El concepto de operación Antes que el concepto de espacio vectorial está el ´ . Veamos algunos ejemplos concepto de operacion de operaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicación por escalares podrían ser diferentes de las que conocemos.
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El concepto de operación Antes que el concepto de espacio vectorial está el ´ . Veamos algunos ejemplos concepto de operacion de operaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicación por escalares podrían ser diferentes de las que conocemos. Lo que es importante recordar es el uso de los paréntesis
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El concepto de operación Antes que el concepto de espacio vectorial está el ´ . Veamos algunos ejemplos concepto de operacion de operaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicación por escalares podrían ser diferentes de las que conocemos. Lo que es importante recordar es el uso de los paréntesis : sirven para indicar un orden en las operaciones.
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Ejemplo Suponga que V = R2 y que se define la operación: (x, y) ⊕ (z, w) = (5 x + z, 2 w + 2 y) Si a = (−2, −3) , b = (−1, 3) , c = (−1, −1) Calcule: 1. a ⊕ b 2. b ⊕ a 3. (a ⊕ b) ⊕ c
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4. a ⊕ (b ⊕ c)
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Ejemplo Suponga que V = R2 y que se define la operación: (x, y) ⊕ (z, w) = (5 x + z, 2 w + 2 y) Si a = (−2, −3) , b = (−1, 3) , c = (−1, −1) Calcule: 1. a ⊕ b = (5 · (x = −2) + (z = −1), 2 · (w = 3) + 2 · (y = −3)) = (−11, 0) 2. b ⊕ a = (5 · (−1) + (−2), 2 · (−3) + 2 · (−1)) = (−7, 0) 3. (a ⊕ b) ⊕ c = (−11, −0) ⊕ (−1, −1) = (5 · (−11) + (−1), 2 · (−1) + 2 · (0)) = (−56, −2)
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4. a ⊕ (b ⊕ c) = (−2, −3) ⊕ (−6, 4) = (−16, 2)
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Ejemplo Suponga que V = R2 y que se definen las operaciones: (x, y) ⊕ (z, w) = (2 x, 3 w + y) y t ⊙ (x, y) = (2 t x, 3 t y) Si a = (1, 0) , c1 = 1, c2 = −4 Calcule: 1. (c1 + c2 ) ⊙ a 2. (c1 ⊙ a) ⊕ (c2 ⊙ a) 3. (c1 · c2 ) ⊙ a 4. c1 ⊙ (c2 ⊙ a)
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Ejemplo
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Suponga que V = R2 y que se definen las operaciones: (x, y) ⊕ (z, w) = (2 x, 3 w + y) y t ⊙ (x, y) = (2 t x, 3 t y) Si a = (1, 0) , c1 = 1, c2 = −4 Calcule: 1. (c1 + c2 ) ⊙ a = −3 ⊙ (1, 0) = (2(−3)(1), 3(−3)(0)) = (−6, 0) 2. (c1 ⊙ a) ⊕ (c2 ⊙ a) = (2, 0) ⊕ (−8, 0) = (4, 0) 3. (c1 · c2 ) ⊙ a = −4 ⊙ (1, 0) = (−8, 0) 4. c1 ⊙ (c2 ⊙ a) = 1 ⊙ (−8, 0) = (−16, 0)
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Espacio Vectorial Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones.
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Espacio Vectorial Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores
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Espacio Vectorial Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector.
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Espacio Vectorial Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u ⊕ v.
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Espacio Vectorial Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u ⊕ v. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c ⊙ u.
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Espacio Vectorial Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u ⊕ v. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c ⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:
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(A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V u⊕v ∈V
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(A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V u⊕v ∈V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:
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(A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V u⊕v ∈V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma: La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.
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(A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V u⊕v =v⊕u
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(A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V u⊕v =v⊕u Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:
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(A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V u⊕v =v⊕u Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
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(A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en V u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w
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(A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en V u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:
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(A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en V u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma: En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.
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(A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por 0 y que se llamará el vector cero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple u⊕0=0⊕u=u
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Álgebra Lineal - p. 19/80
(A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por 0 y que se llamará el vector cero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple u⊕0=0⊕u=u Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:
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Álgebra Lineal - p. 19/80
(A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por 0 y que se llamará el vector cero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple u⊕0=0⊕u=u Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro: Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.
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(A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0
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Álgebra Lineal - p. 20/80
(A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:
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(A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos: Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo.
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(M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple c⊙u∈V
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Álgebra Lineal - p. 21/80
(M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple c⊙u∈V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares:
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(M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple c⊙u∈V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares: El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.
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(M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple c ⊙ (u ⊕ v) = (c ⊙ u) ⊕ (c ⊙ v)
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Álgebra Lineal - p. 22/80
(M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple c ⊙ (u ⊕ v) = (c ⊙ u) ⊕ (c ⊙ v) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores):
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Álgebra Lineal - p. 22/80
(M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple c ⊙ (u ⊕ v) = (c ⊙ u) ⊕ (c ⊙ v) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores): En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados.
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(M3) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple (a + b) ⊙ u = (a ⊙ u) ⊕ (b ⊙ u)
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Álgebra Lineal - p. 23/80
(M3) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple (a + b) ⊙ u = (a ⊙ u) ⊕ (b ⊙ u) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares.
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Álgebra Lineal - p. 23/80
(M4) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple a ⊙ (b ⊙ u) = (a b) ⊙ u
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Álgebra Lineal - p. 24/80
(M4) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple a ⊙ (b ⊙ u) = (a b) ⊙ u Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar con vector.
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Álgebra Lineal - p. 24/80
(M4) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple a ⊙ (b ⊙ u) = (a b) ⊙ u Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar con vector. Lo llamaremos simplemente como la propiedad asociativa del producto.
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Álgebra Lineal - p. 24/80
(M5) Para cualquier vector u ∈ V se cumple 1⊙u=u
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Álgebra Lineal - p. 25/80
Cuando se elabora una argumentación en algún cálculo o demostración uno debe hacer referencia a los axiomas.
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Álgebra Lineal - p. 26/80
Cuando se elabora una argumentación en algún cálculo o demostración uno debe hacer referencia a los axiomas. Por ellos es que es conveniente y elegante llamarlos por su descripción.
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Álgebra Lineal - p. 26/80
Cuando se elabora una argumentación en algún cálculo o demostración uno debe hacer referencia a los axiomas. Por ellos es que es conveniente y elegante llamarlos por su descripción. Se le pide ´ al alumno que entienda la logica de cada uno de ellos y memorice sus descripciones.
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Álgebra Lineal - p. 26/80
Ejemplo
Indique cual opción enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto.
1.2.3.4.5.6.-
(c + k) ⊙ x = (c ⊙ x) ⊕ (k ⊙ x) x⊕0=0⊕x=x x⊕y =y⊕x c ⊙ x es vector x ⊕ (−x) = (−x) ⊕ x = 0 x ⊕ y es vector
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Álgebra Lineal - p. 27/80
Ejemplo
Indique cual opción enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto.
1.2.3.4.5.6.-
(c + k) ⊙ x = (c ⊙ x) ⊕ (k ⊙ x) ← Respuesta x⊕0=0⊕x=x x ⊕ y = y ⊕ x ← Conmutatividad c ⊙ x es vector ← Cerradura x ⊕ (−x) = (−x) ⊕ x = 0 x ⊕ y es vector ← Cerradura
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Ejemplo
Indique cual opción describe la propiedad: x⊕0=0⊕x=x 1.- Cerradura del producto por escalares. 2.- Existencia del neutro de la suma. 3.- Distributividad del producto sobre la suma de vectores. 4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el producto. 5.- Asociatividad del producto por escalares. 6.- Existencia del inverso aditivo
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Álgebra Lineal - p. 28/80
Ejemplo
Indique cual opción describe la propiedad: x⊕0=0⊕x=x 1.- Cerradura del producto por escalares. 2.- Existencia del neutro de la suma. ← Respuesta 3.- Distributividad del producto sobre la suma de vectores. 4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el producto. 5.- Asociatividad del producto por escalares. 6.- Existencia del inverso aditivo
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Ejemplo
Apesar que nuestro interés no es hacer demostraciones matemáticas si es conveniente entender cómo se construyen.
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Ejemplo
Apesar que nuestro interés no es hacer demostraciones matemáticas si es conveniente entender cómo se construyen. El siguiente argumento prueba que el vector cero es único.
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Álgebra Lineal - p. 29/80
Ejemplo
Apesar que nuestro interés no es hacer demostraciones matemáticas si es conveniente entender cómo se construyen. El siguiente argumento prueba que el vector cero es único. Es decir, que si hay otro vector que cumple la propiedad que define al neutro debe ser el mismo neutro.
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Álgebra Lineal - p. 29/80
Ejemplo
Apesar que nuestro interés no es hacer demostraciones matemáticas si es conveniente entender cómo se construyen. El siguiente argumento prueba que el vector cero es único. Es decir, que si hay otro vector que cumple la propiedad que define al neutro debe ser el mismo neutro. Justifique los pasos.
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Álgebra Lineal - p. 29/80
Suponga que x+y =x
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Álgebra Lineal - p. 30/80
Suponga que x+y =x Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da
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Álgebra Lineal - p. 30/80
Suponga que x+y =x Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da (−x) + (x + y) = (−x) + x
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Álgebra Lineal - p. 30/80
Suponga que x+y =x Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da (−x) + (x + y) = (−x) + x Por la propiedad (b) se deduce entonces
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Álgebra Lineal - p. 30/80
Suponga que x+y =x Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da (−x) + (x + y) = (−x) + x Por la propiedad (b) se deduce entonces ((−x) + x) + y = (−x) + x
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Álgebra Lineal - p. 30/80
Suponga que x+y =x Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da (−x) + (x + y) = (−x) + x Por la propiedad (b) se deduce entonces ((−x) + x) + y = (−x) + x Por la propiedad (c) se tiene entonces
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Álgebra Lineal - p. 30/80
Suponga que x+y =x Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da (−x) + (x + y) = (−x) + x Por la propiedad (b) se deduce entonces ((−x) + x) + y = (−x) + x Por la propiedad (c) se tiene entonces 0+y =0
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Álgebra Lineal - p. 30/80
Suponga que x+y =x Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da (−x) + (x + y) = (−x) + x Por la propiedad (b) se deduce entonces ((−x) + x) + y = (−x) + x Por la propiedad (c) se tiene entonces 0+y =0 Finalmente, por la propiedad (d) se tiene
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Álgebra Lineal - p. 30/80
Suponga que x+y =x Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da (−x) + (x + y) = (−x) + x Por la propiedad (b) se deduce entonces ((−x) + x) + y = (−x) + x
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Rn Mm×n P Pn F (R)
Por la propiedad (c) se tiene entonces 0+y =0
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Finalmente, por la propiedad (d) se tiene y = 0. 1: la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutro
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 30/80
Suponga que x+y =x Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da (−x) + (x + y) = (−x) + x Por la propiedad (b) se deduce entonces ((−x) + x) + y = (−x) + x
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Rn Mm×n P Pn F (R)
Por la propiedad (c) se tiene entonces 0+y =0
Subespacio definicion Resultado Clave
Finalmente, por la propiedad (d) se tiene y = 0. 1: la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutro Respuesta: la correspondencia es (a)=1,(b)=2,(c)=1,(d)=3
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Álgebra Lineal - p. 30/80
Teoremas sobre espacios vectoriales Resultados generales sobre espacios generales: Sea V es un espacio vectorial, y sean u ∈ V y c ∈ R, entonces: 1. 0 u = 0 (El escalar 0 por cualquier vector da el vector cero) 2. c 0 = 0 (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero) 3. c u = 0 implica c = 0 ó u = 0 (Cuando el producto de un escalar por un vector da el vector cero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero) 4. (−c) u = − (c u) (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso aditivo del producto del escalar sin el signo por el vector) Espacios Vectoriales
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Álgebra Lineal - p. 31/80
Ejemplos de EV Veamos algunos de los espacios vectoriales que utilizaremos.
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Álgebra Lineal - p. 32/80
Ejemplo EV 1
Sea V = R+ con las operaciones: x ⊕ y = x · y y c ⊙ x = xc , veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial:
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Álgebra Lineal - p. 33/80
Ejemplo EV 1
Sea V = R+ con las operaciones: x ⊕ y = x · y y c ⊙ x = xc , veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial: Axioma A1: x ⊕ y ∈ V Efectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 y por tanto x ⊕ y = x · y > 0, probando que x ⊕ y ∈ V .
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Álgebra Lineal - p. 33/80
Ejemplo EV 1
Sea V = R+ con las operaciones: x ⊕ y = x · y y c ⊙ x = xc , veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial: Axioma A1: x ⊕ y ∈ V Efectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 y por tanto x ⊕ y = x · y > 0, probando que x ⊕ y ∈ V . Axioma A2: x ⊕ y = y ⊕ x Efectivamente, pues x ⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x. Esto se tiene por la propiedad conmutativa del producto de números reales.
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Álgebra Lineal - p. 33/80
Ejemplo EV 1
Sea V = R+ con las operaciones: x ⊕ y = x · y y c ⊙ x = xc , veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial: Axioma A1: x ⊕ y ∈ V Efectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 y por tanto x ⊕ y = x · y > 0, probando que x ⊕ y ∈ V . Axioma A2: x ⊕ y = y ⊕ x Efectivamente, pues x ⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x. Esto se tiene por la propiedad conmutativa del producto de números reales. Axioma A3: x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z Efectivamente, pues x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ (y · z) = x · (y · z) = (x · y) · z = (x · y) ⊕ z = (x ⊕ y) ⊕ z. Esto se tiene por la propiedad asociativa del producto de números reales. Espacios Vectoriales
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Existe en V un neutro para ⊕ Efectivamente, el número 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1 ⊕ x = 1 · x = x = x · 1 = x ⊕ 1. Axioma A4:
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Álgebra Lineal - p. 34/80
Existe en V un neutro para ⊕ Efectivamente, el número 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1 ⊕ x = 1 · x = x = x · 1 = x ⊕ 1. Axioma A5: Todo elemento de V posee un inverso aditivo en V Efectivamente, si x ∈ V es número, 1/x también está en V = R (Pues si x > 0, también se cumple 1/x > 0) y cumple la propiedad requerida pues x ⊕ 1/x = x · 1/x = 1 = 1/x · x = 1/x ⊕ x. Axioma A4:
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Álgebra Lineal - p. 34/80
Existe en V un neutro para ⊕ Efectivamente, el número 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1 ⊕ x = 1 · x = x = x · 1 = x ⊕ 1. Axioma A5: Todo elemento de V posee un inverso aditivo en V Efectivamente, si x ∈ V es número, 1/x también está en V = R (Pues si x > 0, también se cumple 1/x > 0) y cumple la propiedad requerida pues x ⊕ 1/x = x · 1/x = 1 = 1/x · x = 1/x ⊕ x. Axioma M1: c ⊙ x ∈ V Efectivamente, pues si x ∈ V entonces x > 0 y c ⊙ x = xc > 0 para cualquier número c. (Recuerde que para x > 0, xc = ec ln(x) > 0) Axioma A4:
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Álgebra Lineal - p. 34/80
c ⊙ (x ⊕ y) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y) Efectivamente, c ⊙ (x ⊕ y) = c ⊙ (x · y) = (x · y)c = xc · y c = (xc ) ⊕ (y c ) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M2:
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Álgebra Lineal - p. 35/80
c ⊙ (x ⊕ y) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y) Efectivamente, c ⊙ (x ⊕ y) = c ⊙ (x · y) = (x · y)c = xc · y c = (xc ) ⊕ (y c ) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M3: (c1 + c2 ) ⊙ x = (c1 ⊙ x) ⊕ (c2 ⊙ x) Efectivamente, (c1 + c2 ) ⊙ x = xc1 +c2 = xc1 · xc2 = (xc1 ) ⊕ (xc2 ) = (c1 ⊙ x) ⊕ (c2 ⊙ x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M2:
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Álgebra Lineal - p. 35/80
c ⊙ (x ⊕ y) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y) Efectivamente, c ⊙ (x ⊕ y) = c ⊙ (x · y) = (x · y)c = xc · y c = (xc ) ⊕ (y c ) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M3: (c1 + c2 ) ⊙ x = (c1 ⊙ x) ⊕ (c2 ⊙ x) Efectivamente, (c1 + c2 ) ⊙ x = xc1 +c2 = xc1 · xc2 = (xc1 ) ⊕ (xc2 ) = (c1 ⊙ x) ⊕ (c2 ⊙ x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M4: (c1 · c2 ) ⊙ x = c1 ⊙ (c2 ⊙ x) Efectivamente, (c1 ·c2 )⊙x = xc1 ·c2 = (xc2 )c1 = c1 ⊙(xc2 ) = c1 ⊙(c2 ⊙x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M2:
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Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Álgebra Lineal - p. 35/80
c ⊙ (x ⊕ y) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y) Efectivamente, c ⊙ (x ⊕ y) = c ⊙ (x · y) = (x · y)c = xc · y c = (xc ) ⊕ (y c ) = (c ⊙ x) ⊕ (c ⊙ y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M3: (c1 + c2 ) ⊙ x = (c1 ⊙ x) ⊕ (c2 ⊙ x) Efectivamente, (c1 + c2 ) ⊙ x = xc1 +c2 = xc1 · xc2 = (xc1 ) ⊕ (xc2 ) = (c1 ⊙ x) ⊕ (c2 ⊙ x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M4: (c1 · c2 ) ⊙ x = c1 ⊙ (c2 ⊙ x) Efectivamente, (c1 ·c2 )⊙x = xc1 ·c2 = (xc2 )c1 = c1 ⊙(xc2 ) = c1 ⊙(c2 ⊙x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M5: 1 ⊙ x = x Efectivamente, 1 ⊙ x = x1 = x. Axioma M2:
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Álgebra Lineal - p. 35/80
Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que V con las operaciones ■ x⊕y = x·y y ■ c ⊙ x = xc sí es un espacio vectorial
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Álgebra Lineal - p. 36/80
Ejemplo EV 2: Rn
El conjunto de todas las n-adas con componentes reales Rn : operaciones: ■ La suma: La suma de dos vectores con n componentes es un vector también con n componentes cuya componente i-ésima es la suma de las componentes i-ésimas de los vectores que se están sumando: (xi ) + (yi ) = (xi + yi )
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Álgebra Lineal - p. 37/80
■
El producto por escalares: El producto de un escalar por un vector de n componentes se también un vector de n componetes cuya componente i-ésima es el producto del escalar por la i−ésima componente del vector que se multiplica: c · (xi ) = (c · xi )
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Álgebra Lineal - p. 38/80
x + y ∈ Rn y c · x ∈ Rn De la misma definición de la suma y producto por escalares. Axioma A2 : x + y = y + x Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componente i se tiene Axiomas A1 y M1:
x i + yi = yi + x i
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Álgebra Lineal - p. 39/80
x + y ∈ Rn y c · x ∈ Rn De la misma definición de la suma y producto por escalares. Axioma A2 : x + y = y + x Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componente i se tiene Axiomas A1 y M1:
x i + yi = yi + x i
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Álgebra Lineal - p. 39/80
x + y ∈ Rn y c · x ∈ Rn De la misma definición de la suma y producto por escalares. Axioma A2 : x + y = y + x Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componente i se tiene Axiomas A1 y M1:
x i + yi = yi + x i x + (y + z) = (x + y) + z Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componente i se tiene Axioma A3:
xi + (yi + zi ) = (xi + yi ) + zi
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Álgebra Lineal - p. 39/80
Axioma A4:
Existe el vector neutro bajo la adición: Este vector es el vector con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0 + x = x + 0 = x pues al comparar las i-ésimas componentes se cumple: 0 + xi = xi + 0 = xi
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Álgebra Lineal - p. 40/80
Axioma A4:
Existe el vector neutro bajo la adición: Este vector es el vector con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0 + x = x + 0 = x pues al comparar las i-ésimas componentes se cumple: 0 + xi = xi + 0 = xi Axioma A5:
Cada vector de tiene su inverso aditivo: Para cada vector x = (xi ) el vector −x = (−xi ) cumple x + (−x) = (−x) + x = 0 pues al comparar las i-ésimas componentes se cumple: −xi + xi = 0 = xi + −xi
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Álgebra Lineal - p. 40/80
c(x + y) = c x + c y: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene Axioma M2:
c(xi + yi ) = c xi + c yi
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Álgebra Lineal - p. 41/80
c(x + y) = c x + c y: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene Axioma M2:
c(xi + yi ) = c xi + c yi (c1 + c2 )x = c1 x + c2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene Axioma M3:
(c1 + c2 )xi = c1 xi + c2 xi
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Álgebra Lineal - p. 41/80
c(x + y) = c x + c y: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene Axioma M2:
c(xi + yi ) = c xi + c yi (c1 + c2 )x = c1 x + c2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene Axioma M3:
(c1 + c2 )xi = c1 xi + c2 xi (c1 · c2 )x = c1 (c2 x): Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene Axioma M4:
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(c1 · c2 )xi = c1 (c2 xi ) Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 41/80
c(x + y) = c x + c y: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene Axioma M2:
c(xi + yi ) = c xi + c yi (c1 + c2 )x = c1 x + c2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene Axioma M3:
(c1 + c2 )xi = c1 xi + c2 xi (c1 · c2 )x = c1 (c2 x): Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene Axioma M4:
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(c1 · c2 )xi = c1 (c2 xi ) Axioma M5:
1 · (xi ) = (1 · xi ) = (xi )
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Álgebra Lineal - p. 41/80
Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que Rn con las operaciones ■ (xi ) + (yi ) = (xi + yi ) y ■ c(xi ) = (c xi ) sí es un espacio vectorial
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Álgebra Lineal - p. 42/80
Ejemplo EV 3: Mm×n
El conjunto de todas las matrices m × n con componentes reales Mm×n : operaciones: ■ La suma: La suma de dos matrices m × n es una matriz también m × n cuyo elemento (i, j) es la suma de los elementos (i, j) de las matrices que se están sumando: (aij ) + (bij ) = (aij + bij )
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Álgebra Lineal - p. 43/80
■
El producto por escalares: El producto de un escalar por una matriz m × n es también una matriz m × n cuyo elemento (i, j) es el producto del escalar por el elemento (i, j) de la matriz que se multiplica: c · (aij ) = (c · aij )
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Álgebra Lineal - p. 44/80
A + B ∈ Mm×n y c · A ∈ Mm×n : De la misma definición de la suma de matrices y producto por escalares. Axioma A2 ; A + B = B + A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axiomas A1 y M1:
aij + bij = bij + aij
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Álgebra Lineal - p. 45/80
A + B ∈ Mm×n y c · A ∈ Mm×n : De la misma definición de la suma de matrices y producto por escalares. Axioma A2 ; A + B = B + A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axiomas A1 y M1:
aij + bij = bij + aij A + (B + C) = (A + B) + C: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene aij + (bij + cij ) = (aij + bij ) + cij Axioma A3:
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Álgebra Lineal - p. 45/80
Axioma A4,
Existe una matriz neutra bajo la adición: Esta matriz es la matriz con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0 + A = A + 0 = A, pues al comparar los elementos (i, j) componentes se cumple: 0 + aij = aij + 0 = aij
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Álgebra Lineal - p. 46/80
Axioma A4,
Existe una matriz neutra bajo la adición: Esta matriz es la matriz con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0 + A = A + 0 = A, pues al comparar los elementos (i, j) componentes se cumple: 0 + aij = aij + 0 = aij Axioma A5:
Cada matriz de tiene su invero aditivo: Para cada matriz A = (aij ), la matriz −A = (−aij ) cumple A + (−A) = (−A) + A = 0, pues al comparar los elementos (i, j) se cumple: −aij + aij = 0 = aij + −aij
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Álgebra Lineal - p. 46/80
c(A + B) = c A + c B: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axioma M2:
c(aij + bij ) = c aij + c bij
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Álgebra Lineal - p. 47/80
c(A + B) = c A + c B: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axioma M2:
c(aij + bij ) = c aij + c bij (c1 + c2 )A = c1 A + c2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axioma M3:
(c1 + c2 )aij = c1 aij + c2 aij
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Álgebra Lineal - p. 47/80
c(A + B) = c A + c B: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axioma M2:
c(aij + bij ) = c aij + c bij (c1 + c2 )A = c1 A + c2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axioma M3:
(c1 + c2 )aij = c1 aij + c2 aij (c1 · c2 )A = c1 (c2 A): Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axioma M4:
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(c1 · c2 )aij = c1 (c2 aij ) Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 47/80
c(A + B) = c A + c B: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axioma M2:
c(aij + bij ) = c aij + c bij (c1 + c2 )A = c1 A + c2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axioma M3:
(c1 + c2 )aij = c1 aij + c2 aij (c1 · c2 )A = c1 (c2 A): Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene Axioma M4:
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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(c1 · c2 )aij = c1 (c2 aij ) Axioma M5:
1 · (aij ) = (1 · aij ) = (aij )
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 47/80
Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que Mm×n con las operaciones ■ (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) y ■ c(bij ) = (c aij ) sí es un espacio vectorial
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Álgebra Lineal - p. 48/80
Ejemplo EV 4: P
De todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x con las operaciones: ■ Suma: Cuando son dos polinomios, esta operación se lleva a cabo sumando los coeficientes de las mismas potencias de x de los polinomios. a0 + a1 x + · · · + am xm + b0 + b1 x + · · · + bm x m = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + · · · + (am + bm ) xm Alguno de los polinomios se completa hasta el grado mayor de los dos con coeficientes cero Espacios Vectoriales
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Álgebra Lineal - p. 49/80
■
´ : Multiplicacion
La multiplicación por escalar es la multiplicación de todo el polinomio por una constante: c(a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + am xm ) = c a0 + c a1 x + · · · + c am xm
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Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 50/80
En lo siguiente supondremos que cada polinomio se escribe en la forma p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + · · · Es decir, que usaremos el nombre del polinomio para nombrar a sus coeficientes y usaremos subíndices para indicar la potencia de x a la cual acompañan. Axiomas A1 y M1: p(x) + q(x) ∈ P y c · p(x) ∈ P: De la misma definición de la suma de polinomios y producto por escalares. Axioma A2 ; p(x) + q(x) = q(x) + q(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: p i + q i = p i + qi Espacios Vectoriales
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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Álgebra Lineal - p. 51/80
En lo siguiente supondremos que cada polinomio se escribe en la forma p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + · · · Es decir, que usaremos el nombre del polinomio para nombrar a sus coeficientes y usaremos subíndices para indicar la potencia de x a la cual acompañan. Axiomas A1 y M1: p(x) + q(x) ∈ P y c · p(x) ∈ P: De la misma definición de la suma de polinomios y producto por escalares. Axioma A2 ; p(x) + q(x) = q(x) + q(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: p i + q i = p i + qi Espacios Vectoriales Axioma A3:
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Álgebra Lineal - p. 51/80
Axioma A4,
Existe un polinomio neutro bajo la adición: Este polinomio es el polinomio con todos sus coeficientes cero: 0 = 0 = 0 + 0 x y cumple 0 + p(x) = p(x) + 0 = p(x), pues al comparar los coeficientes de xi se tiene: 0 + pi = pi + 0 = pi
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Álgebra Lineal - p. 52/80
Axioma A4,
Existe un polinomio neutro bajo la adición: Este polinomio es el polinomio con todos sus coeficientes cero: 0 = 0 = 0 + 0 x y cumple 0 + p(x) = p(x) + 0 = p(x), pues al comparar los coeficientes de xi se tiene: 0 + pi = pi + 0 = pi Axioma A5:
Cada polinomio de tiene su invero aditivo: Para cada plinomio p(x) = p0 + p1 x + · · · , el polinomio −p(x) = (−p0 ) + (−p1 ) x + (−p2 )x2 + · · · cumple p(x) + (−p(x)) = (−p(x)) + p(x) = 0, pues al comparar los coeficientes de xi se tiene: (−pi ) + pi = 0
Espacios Vectoriales
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Álgebra Lineal - p. 52/80
c(p(x) + q(x)) = c p(x) + c q(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: c(pi + qi ) = c pi + c qi Axioma M2:
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Álgebra Lineal - p. 53/80
c(p(x) + q(x)) = c p(x) + c q(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: c(pi + qi ) = c pi + c qi Axioma M2:
(c1 + c2 )p(x) = c1 p(x) + c2 p(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: (c1 + c2 )pi = c1 pi + c2 pi Axioma M3:
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
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Álgebra Lineal - p. 53/80
c(p(x) + q(x)) = c p(x) + c q(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: c(pi + qi ) = c pi + c qi Axioma M2:
(c1 + c2 )p(x) = c1 p(x) + c2 p(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: (c1 + c2 )pi = c1 pi + c2 pi Axioma M3:
(c1 · c2 )p(x) = c1 (c2 p(x)): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: (c1 · c2 )pi = c1 (c2 pi ) Axioma M4:
Espacios Vectoriales
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Álgebra Lineal - p. 53/80
c(p(x) + q(x)) = c p(x) + c q(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: c(pi + qi ) = c pi + c qi Axioma M2:
(c1 + c2 )p(x) = c1 p(x) + c2 p(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: (c1 + c2 )pi = c1 pi + c2 pi Axioma M3:
(c1 · c2 )p(x) = c1 (c2 p(x)): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de xi se tiene: (c1 · c2 )pi = c1 (c2 pi ) Axioma M4:
Axioma M5: 1 · p(x) = p(x) Espacios Vectoriales
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Álgebra Lineal - p. 53/80
Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que P con las operaciones suma de polinomios y producto de un escalar por un polinomio conocidas sí es un espacio vectorial
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Álgebra Lineal - p. 54/80
Ejemplo EV 5: Pn
Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero):
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Álgebra Lineal - p. 55/80
Ejemplo EV 5: Pn
Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero): 1 operaciones:Sea x la variable independiente de los polinomios. a) Suma: Misma que en P. ´ por escalares: Misma que en P. b) Multiplicacion
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Álgebra Lineal - p. 55/80
Ejemplo EV 5: Pn
Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero): 1 operaciones:Sea x la variable independiente de los polinomios. a) Suma: Misma que en P. ´ por escalares: Misma que en P. b) Multiplicacion 2 el cero: El polinomio 0, es áquel cuya totalidad de coeficientes es cero.
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Álgebra Lineal - p. 55/80
Ejemplo EV 5: Pn
Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero): 1 operaciones:Sea x la variable independiente de los polinomios. a) Suma: Misma que en P. ´ por escalares: Misma que en P. b) Multiplicacion 2 el cero: El polinomio 0, es áquel cuya totalidad de coeficientes es cero. 3 inversos aditivos: El inverso de −p de un polinomio p tiene por coeficientes los opuestos de los coeficientes de p
Espacios Vectoriales
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Álgebra Lineal - p. 55/80
Ejemplo EV 6: F (R)
El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R:
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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Álgebra Lineal - p. 56/80
Ejemplo EV 6: F (R)
El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: 1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar.
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Ejemplo EV 6: F (R)
El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: 1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar. a) Suma: Se define la suma de f + g de f y g como la función cuyos valores están expresados por: (f + g)(x) = f (x) + g(x) para toda x ∈ R
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Ejemplo EV 6: F (R)
El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: 1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar. a) Suma: Se define la suma de f + g de f y g como la función cuyos valores están expresados por: (f + g)(x) = f (x) + g(x) para toda x ∈ R b) producto por escalares: Igualmente, el producto por escalar cf se define como sigue:
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(c f )(x) = c f (x) para toda x ∈ A
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Ejemplo EV 6: F (R)
El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: 1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar. a) Suma: Se define la suma de f + g de f y g como la función cuyos valores están expresados por: (f + g)(x) = f (x) + g(x) para toda x ∈ R b) producto por escalares: Igualmente, el producto por escalar cf se define como sigue:
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(c f )(x) = c f (x) para toda x ∈ A 2 el cero: La función cero, 0 es aquella cuyos valores son todos ceros: 0(x)= 0 para toda x ∈ R. Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 56/80
3 inversos aditivos: La inversa de −f de f es la función (-1)f .
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3 inversos aditivos: La inversa de −f de f es la función (-1)f . 4 axiomas: La comprobación de los axiomas se deja como ejercicio.
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Ejemplo EV 7: F (A)
De manera más general que en el ejemplo de espacio vectorial 6, si A es un conjunto cualquiera definimos el conjunto F (A) de todas las funciones de valor real que tienen como dominio A; entonces F (A) es un espacio vectorial.
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Ejemplo EV 8: F (A, V )
De manera más general que en el ejemplo de espacio vectorial 7, si A es un conjunto cualquiera y V es un espacio vectorial (con una operación suma ⊕ y producto por escalares ⊙) definimos el conjunto F (A, V ) de todas las funciones que tienen como dominio X y como codominio V . Definimos en F (A, V ) la suma ⊞ de la siguiente manera: f ⊞g : A → V a 7→ f (a) ⊕ g(a) y definimos el producto por escalares de la siguiente manera: c⊡f : A → V a 7→ c ⊙ f (a) Espacios Vectoriales
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Subespacio Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo.
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Subespacio Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente:
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Subespacio Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto está contenido en un conjunto mayor que ya es un espacio vectorial.
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Subespacio Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto está contenido en un conjunto mayor que ya es un espacio vectorial. En este caso, como todas las propiedades de los axiomas hacen referencia a elementos del conjunto y por tanto a elementos al conjunto mayor que ya es espacio vectorial y por consiguiente se verifican.
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Subespacio Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto está contenido en un conjunto mayor que ya es un espacio vectorial. En este caso, como todas las propiedades de los axiomas hacen referencia a elementos del conjunto y por tanto a elementos al conjunto mayor que ya es espacio vectorial y por consiguiente se verifican. Salvo posiblemente los axiomas A1 y M1 que hacen referencia a la cerradura.
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Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial.
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Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V
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Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalares que están definidas en V
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Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalares que están definidas en V , pero restringidas a vectores de U
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Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalares que están definidas en V , pero restringidas a vectores de U , es un espacio vectorial.
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Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalares que están definidas en V , pero restringidas a vectores de U , es un espacio vectorial. Apesar que en la definción de subespacio está implicita la verificación de los axiomas, el siguiente resultado da la clave para la verificación de que un conjunto se subespacio.
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Teorema
Un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V es con operaciones ⊕ y ⊙ es un subespacio de V si cumple las siguientes condiciones:
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Teorema
Un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V es con operaciones ⊕ y ⊙ es un subespacio de V si cumple las siguientes condiciones: ■ El conjunto U es cerrado bajo la suma;
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Teorema
Un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V es con operaciones ⊕ y ⊙ es un subespacio de V si cumple las siguientes condiciones: ■ El conjunto U es cerrado bajo la suma; Cualquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que también está en U .
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Teorema
Un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V es con operaciones ⊕ y ⊙ es un subespacio de V si cumple las siguientes condiciones: ■ El conjunto U es cerrado bajo la suma; Cualquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que también está en U . ■ El conjunto U es cerrado bajo la multiplicacion ´ por escalares;
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Teorema
Un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V es con operaciones ⊕ y ⊙ es un subespacio de V si cumple las siguientes condiciones: ■ El conjunto U es cerrado bajo la suma; Cualquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que también está en U . ■ El conjunto U es cerrado bajo la multiplicacion ´ por escalares;
Cualquier elemento de U multiplicado por cualquier escalar da como resultado un elemento que también está en U .
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´ Demostracion
Debemos probar que si se cumplen las condiciones marcadas, entonces U con la suma, que ya tenía V , y el producto por escalares, que ya tenía V , satisface los 10 axiomas para ser él mismo un espacio vectorial. newline A1 Sean x y y dos elementos cualquiera de U . Al cumplirse que U es cerrado bajo la suma, x ⊕ y está en U . A2 Sean x y y dos elementos cualquiera de U , como x y y son elementos de V y V es espacio vectorial cumple A2: x⊕y =y⊕x A3 Sean x, y y z elementos cualquiera de U ; por tanto, son elementos de V y como V es espacio vectorial se cumple A3:
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x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z A4 Como U no es vacío, U tiene al menos un elemento, digamos x. U es cerrado bajo el producto por escalares: Espacios Como Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 63/80
Observe que realmente el resultado anterior hace referencia a tres condiciones:
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Observe que realmente el resultado anterior hace referencia a tres condiciones: La que está en el enunciado: que el conjunto no sea vacío,
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Álgebra Lineal - p. 64/80
Observe que realmente el resultado anterior hace referencia a tres condiciones: La que está en el enunciado: que el conjunto no sea vacío, y las dos explícitamente citadas.
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Ejemplo
El subconjuto W de P2 formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x2 donde a es un número real, ¿es un subespacio vectorial?
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Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 65/80
Ejemplo
El subconjuto W de P2 formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x2 donde a es un número real, ¿es un subespacio vectorial? ´ Solucion Requisito 0:
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 65/80
Ejemplo
El subconjuto W de P2 formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x2 donde a es un número real, ¿es un subespacio vectorial? ´ Solucion Requisito 0:
Se debe probar que el conjunto posee al menos un elemento:
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Espacios Vectoriales
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Ejemplo
El subconjuto W de P2 formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x2 donde a es un número real, ¿es un subespacio vectorial? ´ Solucion Requisito 0:
Se debe probar que el conjunto posee al menos un elemento: Debemos dar un ejemplo concreto de un polinomio que corresponde a este formato:
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Ejemplo
El subconjuto W de P2 formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x2 donde a es un número real, ¿es un subespacio vectorial? ´ Solucion Requisito 0:
Se debe probar que el conjunto posee al menos un elemento: Debemos dar un ejemplo concreto de un polinomio que corresponde a este formato: Por ejemplo p(x) = 2 x + 6 x2
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Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
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Ejemplo
El subconjuto W de P2 formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x2 donde a es un número real, ¿es un subespacio vectorial? ´ Solucion Requisito 0:
Se debe probar que el conjunto posee al menos un elemento: Debemos dar un ejemplo concreto de un polinomio que corresponde a este formato: Por ejemplo p(x) = 2 x + 6 x2
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el coeficiente de x2 , 6, es justo el doble del coeficiente de x, que es 2. Espacios Vectoriales
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Ejemplo
El subconjuto W de P2 formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x2 donde a es un número real, ¿es un subespacio vectorial? ´ Solucion Requisito 0:
Se debe probar que el conjunto posee al menos un elemento: Debemos dar un ejemplo concreto de un polinomio que corresponde a este formato: Por ejemplo p(x) = 2 x + 6 x2
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
el coeficiente de x2 , 6, es justo el doble del coeficiente de x, que es 2. Por tanto, W 6= ∅. Espacios Vectoriales
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Requisito 1:
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Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto,
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto.
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a;
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras.
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sean p(x) = a1 x + 3 a1 x2 y q(x) = a2 x + 3 a2 x2 dos elementos de W ,
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sean p(x) = a1 x + 3 a1 x2 y q(x) = a2 x + 3 a2 x2 dos elementos de W , veamos si p(x) + q(x) ∈ W :
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sean p(x) = a1 x + 3 a1 x2 y q(x) = a2 x + 3 a2 x2 dos elementos de W , veamos si p(x) + q(x) ∈ W :
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p(x)+q(x) = a1 x+3 a1 x2 +a2 x+3 a2 x2 = (a1 +a2 ) x+3 (aR1n+a2 ) x2 Mm×n P Pn F (R)
Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sean p(x) = a1 x + 3 a1 x2 y q(x) = a2 x + 3 a2 x2 dos elementos de W , veamos si p(x) + q(x) ∈ W :
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
p(x)+q(x) = a1 x+3 a1 x2 +a2 x+3 a2 x2 = (a1 +a2 ) x+3 (aR1n+a2 ) x2 de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3.
Mm×n P Pn F (R)
Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sean p(x) = a1 x + 3 a1 x2 y q(x) = a2 x + 3 a2 x2 dos elementos de W , veamos si p(x) + q(x) ∈ W :
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
p(x)+q(x) = a1 x+3 a1 x2 +a2 x+3 a2 x2 = (a1 +a2 ) x+3 (aR1n+a2 ) x2 de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, p(x) + q(x) ∈ W .
Mm×n P Pn F (R)
Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sean p(x) = a1 x + 3 a1 x2 y q(x) = a2 x + 3 a2 x2 dos elementos de W , veamos si p(x) + q(x) ∈ W :
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
p(x)+q(x) = a1 x+3 a1 x2 +a2 x+3 a2 x2 = (a1 +a2 ) x+3 (aR1n+a2 ) x2 de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, p(x) + q(x) ∈ W . Por tanto, W es cerrado bajo la suma.
Espacios Vectoriales
Mm×n P Pn F (R)
Subespacio definicion Resultado Clave
Álgebra Lineal - p. 66/80
Requisito 2:
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 67/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto,
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 67/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto.
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 67/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a;
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 67/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras.
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
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Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x + 3 a1 x2 un elemento cualquiera de W y c un escalar cualquiera,
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Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x + 3 a1 x2 un elemento cualquiera de W y c un escalar cualquiera, veamos si c p(x) ∈ W :
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Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x + 3 a1 x2 un elemento cualquiera de W y c un escalar cualquiera, veamos si c p(x) ∈ W : c p(x) = c (a1 x + 3 a1 x2 ) = (c a1 ) x + 3 (c a1 ) x2
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Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x + 3 a1 x2 un elemento cualquiera de W y c un escalar cualquiera, veamos si c p(x) ∈ W : c p(x) = c (a1 x + 3 a1 x2 ) = (c a1 ) x + 3 (c a1 ) x2 de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3.
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Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x + 3 a1 x2 un elemento cualquiera de W y c un escalar cualquiera, veamos si c p(x) ∈ W : c p(x) = c (a1 x + 3 a1 x2 ) = (c a1 ) x + 3 (c a1 ) x2 de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, c p(x) ∈ W .
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Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x + 3 a1 x2 un elemento cualquiera de W y c un escalar cualquiera, veamos si c p(x) ∈ W : c p(x) = c (a1 x + 3 a1 x2 ) = (c a1 ) x + 3 (c a1 ) x2 de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, c p(x) ∈ W . Por tanto, W es cerrado bajo el producto por escalares.
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Como hemos probado los tres requisitos,
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Como hemos probado los tres requisitos, W es un subespacio vectorial de P2 .
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Ejemplo
El conjunto W de todas las matrices 2 × 2 de la forma: " # a 0 0 b donde a y b son números reales que cumplen a b ≤ 0, ¿es un subespacio vectorial de M2×2 ?
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´ Solucion
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´ Solucion Requisto 0:
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´ Solucion Requisto 0:
Como la matriz " # 1 0 A= 0 −1
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´ Solucion Requisto 0:
Como la matriz " # 1 0 A= 0 −1
tiene el patrón de las matrices de W para a = 1 y b = −1 y se cumple a b = −1 ≤ 0,
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´ Solucion Requisto 0:
Como la matriz " # 1 0 A= 0 −1
tiene el patrón de las matrices de W para a = 1 y b = −1 y se cumple a b = −1 ≤ 0, A ∈ W .
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´ Solucion Requisto 0:
Como la matriz " # 1 0 A= 0 −1
tiene el patrón de las matrices de W para a = 1 y b = −1 y se cumple a b = −1 ≤ 0, A ∈ W . Por tanto, W 6= ∅.
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Requisito 1:
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Álgebra Lineal - p. 71/80
Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto,
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Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto.
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Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar valores numéricos;
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Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar valores numéricos; debemos utilizar letras.
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Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar valores numéricos; debemos utilizar letras. Sean # # " " a2 0 a1 0 yB= A= 0 b2 0 b1 dos elementos de W , que cumplan a1 b1 ≤ 0 y a2 b2 ≤ 0
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Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar valores numéricos; debemos utilizar letras. Sean # # " " a2 0 a1 0 yB= A= 0 b2 0 b1 dos elementos de W , que cumplan a1 b1 ≤ 0 y a2 b2 ≤ 0 veamos si A + B ∈ W :
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Requisito 1:
Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar valores numéricos; debemos utilizar letras. Sean # # " " a2 0 a1 0 yB= A= 0 b2 0 b1 dos elementos de W , que cumplan a1 b1 ≤ 0 y a2 b2 ≤ 0 veamos si A + B ∈ W : # " a1 + a2 0 A+B = 0 b1 + b2
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Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W
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Álgebra Lineal - p. 72/80
Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W (a1 + a2 ) (b1 + b2 )) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0?
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Álgebra Lineal - p. 72/80
Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W (a1 + a2 ) (b1 + b2 )) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0? Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 y que a2 b2 ≤ 0.
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Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W (a1 + a2 ) (b1 + b2 )) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0? Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 y que a2 b2 ≤ 0. Pero el término a2 b1 + a1 b2 puede cambiar la desigualdad.
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Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W (a1 + a2 ) (b1 + b2 )) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0? Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 y que a2 b2 ≤ 0. Pero el término a2 b1 + a1 b2 puede cambiar la desigualdad. De hecho los valores a = 1, b1 = −5, a2 = −3, y b2 = 1 cumplen a1 b1 = (1)(−5) = −5 ≤ 0 y a2 b2 = (−3)(1) = −3
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Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W (a1 + a2 ) (b1 + b2 )) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0? Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 y que a2 b2 ≤ 0. Pero el término a2 b1 + a1 b2 puede cambiar la desigualdad. De hecho los valores a = 1, b1 = −5, a2 = −3, y b2 = 1 cumplen a1 b1 = (1)(−5) = −5 ≤ 0 y a2 b2 = (−3)(1) = −3 Pero (a1 +a2 )(b1 +b2 ) = (1+−3)(−5+1) = (−2)(−4) = 8 > 0
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Estos números nos dan las matrices # " # " −3 0 1 0 Ao = y Bo = 0 −5 0 1 que sí están en W , pero cuya suma no está en W .
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Álgebra Lineal - p. 73/80
Estos números nos dan las matrices # " # " −3 0 1 0 Ao = y Bo = 0 −5 0 1 que sí están en W , pero cuya suma no está en W . A estos ejemplos concretos que prueban que una cierta afirmación del tipo para cualquiera no se cumpla se llaman contra ejemplos.
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Álgebra Lineal - p. 73/80
Estos números nos dan las matrices # " # " −3 0 1 0 Ao = y Bo = 0 −5 0 1 que sí están en W , pero cuya suma no está en W . A estos ejemplos concretos que prueban que una cierta afirmación del tipo para cualquiera no se cumpla se llaman contra ejemplos. El anterior contra ejemplo hace que W no sea cerrado bajo la suma.
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Álgebra Lineal - p. 73/80
Estos números nos dan las matrices # " # " −3 0 1 0 Ao = y Bo = 0 −5 0 1 que sí están en W , pero cuya suma no está en W . A estos ejemplos concretos que prueban que una cierta afirmación del tipo para cualquiera no se cumpla se llaman contra ejemplos. El anterior contra ejemplo hace que W no sea cerrado bajo la suma. Fallando un requisito como ahora, W no es un subespacio.
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Álgebra Lineal - p. 73/80
Estos números nos dan las matrices # " # " −3 0 1 0 Ao = y Bo = 0 −5 0 1 que sí están en W , pero cuya suma no está en W . A estos ejemplos concretos que prueban que una cierta afirmación del tipo para cualquiera no se cumpla se llaman contra ejemplos. El anterior contra ejemplo hace que W no sea cerrado bajo la suma. Fallando un requisito como ahora, W no es un subespacio. Sin embargo, como nos interesa ver la opción que se ajusta a W deberemos revisar el otro requisito.
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Requisito 2:
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Álgebra Lineal - p. 74/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto,
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Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
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Álgebra Lineal - p. 74/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto.
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Álgebra Lineal - p. 74/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a;
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Álgebra Lineal - p. 74/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras.
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
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Álgebra Lineal - p. 74/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea # " a1 0 A= 0 b1 un elemento cualquiera de W (y por tanto a1 b1 ≤ 0) y c un escalar cualquiera,
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Álgebra Lineal - p. 74/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea # " a1 0 A= 0 b1 un elemento cualquiera de W (y por tanto a1 b1 ≤ 0) y c un escalar cualquiera, veamos si cA ∈ W:
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Álgebra Lineal - p. 74/80
Requisito 2:
Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea # " a1 0 A= 0 b1 un elemento cualquiera de W (y por tanto a1 b1 ≤ 0) y c un escalar cualquiera, veamos si cA ∈ W: " # c a1 0 cA = 0 c b1 Espacios Vectoriales
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Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W
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Álgebra Lineal - p. 75/80
Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W (c a1 ) (c b1 ) ≤ 0?
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Álgebra Lineal - p. 75/80
Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W (c a1 ) (c b1 ) ≤ 0? Como (c a1 ) (c b1 ) = c2 (a1 b1 ) y c2 ≥ 0 y a1 b1 ≤ 0 entonces 2
(c a1 ) (c b1 ) = c (a1 b1 ) ≤ 0
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Álgebra Lineal - p. 75/80
Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W (c a1 ) (c b1 ) ≤ 0? Como (c a1 ) (c b1 ) = c2 (a1 b1 ) y c2 ≥ 0 y a1 b1 ≤ 0 entonces 2
(c a1 ) (c b1 ) = c (a1 b1 ) ≤ 0 Por tanto, c A ∈ W .
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Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 75/80
Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W (c a1 ) (c b1 ) ≤ 0? Como (c a1 ) (c b1 ) = c2 (a1 b1 ) y c2 ≥ 0 y a1 b1 ≤ 0 entonces 2
(c a1 ) (c b1 ) = c (a1 b1 ) ≤ 0 Por tanto, c A ∈ W . Por tanto, W es cerrado bajo el producto por escalares.
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Resumiendo,
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Resumiendo, W no es espacio vectorial:
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Álgebra Lineal - p. 76/80
Resumiendo, W no es espacio vectorial: sí es cerrado bajo el producto por escalares
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Resumiendo, W no es espacio vectorial: sí es cerrado bajo el producto por escalares pero no es cerrado bajo la suma.
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Álgebra Lineal - p. 76/80
Ejemplo
Sea V = Mn×n el conjunto de todas las matrices cuadradas. Este conjunto con la suma conocida de matrices y el producto de un escalar por una matriz es un espacio vectorial. Éste es nuestro espacio vectorial de referencia. Definimos un subconjunto de Mn×n formado por las matrices simétricas: n o T U = A ∈ Mn×m : A = A Es decir, U está formado por todas las matrices cuadradas n × n que al tomarle la transpuesta queda la misma matriz. Vea que U es un subespacio de Mn×n . ´ Demostracion
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Álgebra Lineal - p. 77/80
Veamos que U cumple los requisitos para ser subespacio: 1. Que U 6= ∅. Efectivamente, la matriz de ceros 0 n × n es una matriz que al tomarle su transpuesta queda ella misma. Por tanto, 0T = 0. Como U agrupa a todas las matrices n × n que cumplen esta propiedad; 0 es un elemento de V . Por tanto, U no es vacío. 2. Que U es cerrado bajo la suma. Tomemos dos matrices cualquiera n × n de U , digamos A y B. AT BT
=
A
=
B
(A + B)T = AT + BT 3. Que U es cerrado bajo el producto por escalares. Sea c un escalar cualquiera y A es un elemento de U cualquiera. (c · A)T = c · AT = c · A
Espacios De Vectoriales lo anterior, concluimos que el conjunto U es un subespacio de M Álgebra Lineal - p. 78/80 n×n
Ejemplo
Tomemos como espacio vectorial de referencia Rn con la suma y el producto por escalares comúnes. Sea A una matriz m × n fija, defina en Rn el conjunto formado por todos los vectores que son solución al sistema de ecuaciones homogéneas cuya matriz de coeficientes es A: U = {x ∈ Rn : A · x = 0} Vea que U es un subespacio de Rn . Comente si el correspondiente conjunto de soluciones a un sistema no homogéneo es un subespacio.
Objetivos ´ Motivacion ´ y Abstraccion ´ Generalizacion ´ Generalizacion ´ Operacion Espacio Vectorial Axiomas de la Suma Axiomas del Producto Resultados Ejemplos de EV
Rn Mm×n P Pn F (R) Subespacio definicion Resultado Clave
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 79/80
´ Demostracion
Veamos que U satisface los requisitos para ser espacio vectorial. 1. Que U 6= ∅. el vector 0 de Rn es un elemento de U . 2. Que U es cerrado bajo la suma. Sean x1 y x2 dos elementos cualquiera de U . A · x1 = 0 y A · x2 = 0
A · (x1 + x2 )
=
A · x1 + A · x2
=
0+0=0
3. Que U es cerrado bajo el producto por escalares. Sean c un escalar cualquiera y y un elemento cualquiera de U . A · (c · y)
=
c · (A · y)
=
c·0=0
Por lo anterior, U es un subespacio vectorial de Rn .
Espacios Vectoriales
Álgebra Lineal - p. 80/80