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ALGEBRA PROBLEMARIO ELABORADO POR:
M. en C. JOSÉ CORREA BUCIO SEMESTRE FEBRERO-JULIO 2013
Algebra
CBTis No. 149
EJERCICIOS SOBRE NOTACIÓN ALGEBRAICA: 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.15.16.18.-
19.-
20.-
Escribe la suma de a, b, y m. Escribe la suma del cuadrado de m, el cubo de b y la cuarta potencia de x. Siendo a un numero entero, escríbanse dos números enteros consecutivos posteriores a a. Siendo x un número entero, escríbanse los dos números consecutivos anteriores a x. Siendo y un número entero par, escríbanse los tres números pares consecutivos posteriores a y. Escríbase la diferencia entre m y n. Pedro tenía $a, cobró $x y le regalaron $m. ¿Cuanto tiene Pedro? Debía x pesos y pague 6. ¿Cuánto debo ahora? De una jornada de x Km. Ya se han recorrido m Km. ¿Cuánto falta por andar? Recibo $x y después $a. Si gasto $m, ¿Cuánto me queda? Tengo que recorrer m Km. El lunes ando a Km., el martes b Km. Y el miércoles c Km. ¿Cuánto me falta por andar? Al vender una casa en $n gano $ 300. ¿Cuánto me costo la casa? Si han transcurrido x días de un año, ¿Cuántos días faltan por transcurrir? Sin un sombrero cuesta $a, ¿Cuánto importarán 8 sombreros; 15 sombreros; m sombreros? Expresar la superficie de una sala rectangular que mide a m. de largo y b m. de ancho. En el primer piso de un hotel hay x habitaciones, en el segundo piso hay el doble que en el primero, en el tercer piso la mitad de las que hay en el primero. ¿Cuántas habitaciones tiene el hotel? Pedro tiene a pesos; Juan tiene la tercera parte de lo de Pedro; Enrique la cuarta parte del doble de lo de Pedro. La suma de lo que tienen los tres es menor que 1000 pesos. ¿Cuánto falta a esta suma para ser igual a 1000 pesos? Tenia a $ y cobre b $. Si el dinero que tengo lo empleo todo en comprar (m-2) libros. ¿A como sale cada libro?
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. 1. 2a a (a b) 3. 5. 7. 8. 9. 10.
2. 3x x y (2 x y )
2m (m n) (m n) 4. 4 x 2 ( x 2 xy ) (3 y 2 2 xy ) (3x 2 y 2 ) a (2a b) (a b c) a 6. 4m 2m (n 3) 4n (2m 1) (a b) (a b) (2a 3b) (b a b) 2a (4a b) 4a (b a) (b a 3x ( x (2 y 3) (2 x y ) ( x 3) 2 ( x y ) (a b c) (c a b) a (b)
11. 7m 2 m 2 3n (5 n) (3 m 2 ) (2n 3)
12. x 2 7 xy y 2 ( x 2 3xy 2 y 2
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CBTis No. 149
3 x ( x) (2 y 3) (2 x y ) ( x 3) 2 ( x y ) a a (a b) (a b c) (a) b 6c (2a c) (a c) 2a (a c) 2c 6c a (a b) (a b) (b a) (3a b) (2a b)
a b 2a a b a(a b) (a b) x ( x y) x (3x x 5) x xy 3 y ( x 3xy ) x y ( x 2 xy y ) x y 5 x 3xy 3 y (2 x 3xy )
17. 8 x 2 2 xy y 2 x 2 xy 3 y 2 ( x 2 3xy ) 18. 19. 20.
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VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Hallar el valor numérico 1 a3 b4 c 3 1. a 2 2ab b 2
de las exp resiones siguientes para : 1 1 d m6 n 2 4 a b c m 2. 3. 2 c d d n a2 b2 m2 3 1 ab bm 4. 5. c b 2d 6. 3 2 6 5 2 c d b a 16n a 1 12c a 16 a 3c 2 4n 2 7. 8. 5a 9. n m a 2b d 4 m Hallar el valor numérico de las exp resiones siguientes para : 1 2 1 a 1 b2 c3 d 4 m n p x0 2 3 4 1. a b c d 2. 2m 3n 4 p b 2 4(m p ) a 2 b 2 8m 16 p 3. a 4 . 9 n b a c2 5. x m ( a b d c c a ) 6. 2mx 6(b 2 c 2 ) 4d 2 7. b 2 ( c d ) a 2 ( m n ) 2 x 8. (b m) (c n) 4a 2 2 d 5 2 a b m 9. (c b ) ( d c ) ( b a ) ( m p ) 10. 2 d b p 2 2 a b 11. 3( a b ) ( 2 a 3b ) b2 a2
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CBTis No. 149
SUMA DE POLINOMIOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
x xy y 5x y x 2 x 4 xy 5 y 7m n 4n m 6mn n m 7m n 5n x x x x 4 x 5 x 4 x 6 a a 6 a 3a 8 a 3a 14 x x 9 3x 7 x 6 3x 4 x 5 x x y 8x 5 y 6 xy x 6 x 4 xy y a 8ax x 5a x 6ax x 3a 5a x x a 14ax x 8a m 6am m a 5am m 4a 4a m 3am 7a m 4am 3
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9. (a 4 b 4 ) (a 4 b a 2 b 2 ab 3 ) (3a 4 5a 3 b 4a 2 b 2 ) (4a 3 b 3a 2 b 2 3b 4 ) 10. (5ab 3bc 4cd ) (2bc 2cd de) (4bc 2ab 3de) (3bc 6cd ab) 11. ( x 2 x 6) ( x 3 7 x 2 5) ( x 3 8 x 5) 12. (7 x 2 5 x 6) (8 x 9 4 x 2 ) (7 x 14 x 2 ) 13. ( x 4 x 2 y 2 ) (5 x 3 y 6 xy 3 ) (4 x 2 y 2 6) 14. (a 3 8ax 2 x 3 ) (5a 2 x 6ax 2 x 3 ) (3a 3 5a 2 x x 3 ) (a 3 14ax 2 x 3 ) 15. (27m 3 125n 3 ) (9m 2 n 25mn 2 ) (14mn 2 8) (11mn 2 10m 2 n) 16. ( a 4 a 3 ) ( a 2 5 a 5 ) ( 8 a 2 6 a 3 10 ) 17. ( x 4 x 2 y 2 )22 (5 x 3 y 6 xy 3 4) (4 x 2 y 2 6 x y 3 ) ( 4 x 2 y 2 6 x ) 18. ( x y x 2 y 2 y 2 ) ( 7 y 2 4 x y x 2 ) ( 5 y 2 x 3 6 x y ) ( 6 x 2 4 x y y 2 ) 19. ( m 3 n 3 6 m 2 n ) ( 4 m 2 n 5 m n 2 n 3 ) ( m 3 n 3 6 m n 2 ) ( 2 m 3 2 m 2 n n 3 ) 20. ( a x 2 a x a x 1 ) ( 3 a x 2 a x 1 2 a x 3 ) ( a x 4 a x 3 5 a x 2 ) ( a x 1 a x 2 a x 2 )
DIFERENCIA O RESTA DE POLINOMIOS.
8.
y 9 y 6 y 11y 31y 8 y 19 y x x 6 5x 4 x 6 3a ab 6b 5b 8ab a 25x 25x 18x 11x 46 x 6 x 9 15x 7 x 5x 23x 51x 36 x x 3x 5x 9 y 60 x y 90 x y 50 xy x y x 3x y 35x 7a b 5ab 8a b b 5a 9a b 40ab 6b 8a mx 6am m 4a mx 3am 5m
9.
(3a 4 5a 3 b 4a 2 b 2 ) (4a 3 b 3a 2 b 2 3b 4 )
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
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y 3 8 x 2 y 5 60
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(4bc 2ab 3de 9ac 8abc) (3bc 6cd ab 3ac 18abc) ( x 3 7 x 2 5 xy ) ( x 3 8 xy 5 x 2 3 y 5 ) (7 x 2 5 xy 6 8 xy 2 9 x 2 y 2 4 x 2 y ) (7 xy 14 x 2 5 xy 4 x 2 y 7 xy 2 ) ( x 4 x 2 y 2 5 x 3 y 6 xy 3 ) ( 4 x 2 y 2 6 x 4 5 xy 3 3x 2 y 2 ) (a 3 8ax 2 x 3 a 2 5a 2 x 6ax 2 x 3 ) (3a 3 5a 2 x x 3 a 3 14ax 2 x 3 ) (27m 3 125n 3 9m 2 n 25mn 2 ) (14mn 2 11mn 2 10m 2 n) (1 x 2 x 4 x 3 3 x 6 x 5 ) ( x 6 8 x 4 30 x 2 15 x 24 ) ( 6 x 2 y 3 8 x 5 23 x 4 y 80 x 3 y 2 18 ) ( y 5 9 x y 4 80 21 x 3 y 2 51 x 4 y ) ( a x a x 1 a x 2 ) ( 5 a x 6 a x 1 a x 2 ) ( m n m n 1 3 m n 2 ) ( 3 m n 1 4 m n 5 m n 2 8 m n 3 ) ( 8 a n 1 5 a n 2 7 a n a n 3 ) ( 8 a n 16 a n 4 15 a n 2 a n 3 )
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
x xy y x y x 2 x x x 2 x 5 a 5a 2 a a 5 8 x 9 y 6 xy 12 x y 2 x 3 y x y z xy xz yz x y z x x x x 1 x 2 x 3x 6 3a 6a 2a 3a 2 a 3a 4a 5 m 2m n 3m n 4n n 5mn 3m n m 2
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(3a 5 5a 2a 2 4) ( a 2 a 3 2a 1) ( a 6 3a 4 6a 2 10) ( a 8 4a 6 3a 4 2a 2 ) ( x 5 3x 4 y 6 x 3 y 2 4 x 2 y 3 y 5 ) (2 x 2 4 y 2 ) ( x10 5 x 6 y 4 3 x 2 y 8 6 y10 ) ( x 6 4 x 4 y 2 y 6 5 x 2 y 4 ) ( x 4 x 2 y 2 ) ( 5 x 3 y 6 xy 3 ) ( 4 x 2 y 2 6 x 4 3 x 2 y 2 ) ( a 3 8ax 2 x 3 a 2 ) (3a 2 5a 3 x x 3 a 2 ) ( m12 7 m8 9m 4 15) ( m16 5m12 9m8 4m 4 3) ( x4 3 x2 y 2 x2 y 2 x y 2 ) ( y 2 x y x2 ) ( 2 a 5 a 2 a3 3 ) ( a 2 2 a x2 ) ( a3 a a 2 1) ( a 2 a3 2 a 1) ( a3 a 2 a 1) ( 2 a 3 a 2 5 a 4 ) ( 3 y2 5 6y 4 x y2 ) ( 3 y 5 y2 3)
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CBTis No. 149
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
( 3 x 2 y 3 5a 2 x 4 ) ( 3 x 2 ) ( 4 x 8 10 x 6 5 x 4 ) (2 x 3 ) ( a 2 2a 3 ) ( a 3 ) ( 6 x 2 xy 2 y 2 ) ( y 2 x ) ( x 6 6 x 3 2 x 5 7 x 2 4 x 6 ) ( x 4 3x 2 2 ) (16 x 4 27 y 4 24 x 2 y 2 ) ( 8 x 3 9 y 3 6 xy 2 12 x 2 y ) ( a 5 a 4 10 27a 7 a 2 ) ( a 2 5 a ) ( m 5 5m 4 n 20m 2 n 3 16mn 4 ) ( m 2 2mn 8n 2 ) (22a 2 b 4 5a 4 b 2 a 5b 40ab 5 ) (a 2 b 2ab 2 10b 3 ) (2 x 5 y x 6 3 x 2 y 4 xy 5 ) ( x 4 3 x 3 y 2 x 2 y 2 xy 3 ) (24 x 5 52 x 4 y 38 x 3 y 2 33 x 2 y 3 26 xy 4 4 y 5 ) (8 x 3 12 x 2 y 6 xy 2 y 3 ) ( x 7 3 x 6 6 x 5 x 2 3 x 6) ( x 3 2 x 2 3 x 6) ( x 3 y 3 z 3 3 xyz ) ( x 2 y 2 z 2 xy xz yz ) (3a 6 5a 5 9a 4 10a 3 8a 2 3a 4 ) (3a 3 2a 2 5a 4) (3m 7 11m 5 m 4 18m 3 8m 3m 2 4) (m 4 3m 2 4) ( a 6 2 a 5 3 a 3 2 a 4 2 a 2 a 1) ( a 3 a 2 a 1) (m 6 m 5 5 m 3 6 m 9 ) ( m 4 3 m 2 m 3 ) ( x6 2 x 4 y 2 2 x3 y3 3 x y5 2 y 6 ) ( x 2 2 y 2 x y ) ( x10 y10 ) ( x 2 y 2 ) ( x5 y5 ) ( x 4 x3 y x 2 y 2 x y3 y 4 )
PRODUCTOS NOTABLES 1.
( x y) 2
4.
(3x 2 4 y ) 2
7.
5x
4
9b 3
2. (2a 1) 2 2 x 5. 3 4
2
2
10. 13. 16. 19.
3 3 5 x 8 y 5 2 2 ( x 3ay ) 2 3 3 2 2 2 x 5 y (2a 1) (2a 1)
8. (8 x 2 y 9m 3 ) 2 2
3x 2 5 y 11. 3 2 5 14. (3a 4b 3 ) 2
15. (2m 3n) 2
17. (4 x 3) 2
18.
20. ( x 2 5) ( x 2 5) 4y2 4y2 2 3 2 3 22. (5 x 7 y ) (5 x 7 y ) 23. 5 5 3 3
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3. 3x (4 y 2)2 2 2 3 1 6. a b 4 3 2 7x 4 y 9. 3 2 12. (10 x 3 9 xy 5 ) 2
( x 3 y) 82
21. (3x 5 y ) (3x 5 y ) x x 24. 3 3 4 4
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25.
( x 5) ( x 3)
28. 31.
( y 2 7) ( y 2 10) (3b 8) (3b 5)
34.
(2 x 5 y ) 3
37.
3 1 3x 3 y
35. (3a 5b) 3 3
40. (2 x y ) 2
x x 26. 3 6 4 4 29. (5 x 8 y ) (5 x 3 y ) 32. (ab 5) (ab 6)
2 3
43. (2 x 3 y 5 z ) 2 46. (2m 2 3n 3 mn) 2 2 5 2 6 2 7 49. x y z 7 4 2
38. (a 2 4b) 3
27. (a 7) (a 13) 30. (3x 2 5 y ) (3x 2 4 y ) 33. ( x 2 y 3 9) ( x 2 y 3 8) 3 1 36. c 2 39. ( x 3 2 y ) 3 3
44. ( x 2 y 9) 2 47. (t 2 5t 2) 2
x2 y2 42. 5 3 45. (3x y 5) 2 48. (2 y 2 3 y 5 y 3 ) 2
50. ( x 2 y xy 2 x 3 y 2 ) 2
51. (3mn 2mn 2 m 2 n 2 ) 2
41. (4 xy 2 x y ) 3
2
3
FACTORIZACIÓN FACTOR COMUN 1. 6 x 4 y 60 x 3 y 36 x 2 z 2. 4 x 2 y 2 8 x 3 y 3 12 x 4 y 4 3. 21a 4 42a 5b 35a 2 c 14a 3b 2 4. 10 x10 8 x 8 6 x 6 4 x 4 5. 12 x 3 yz 18 x 2 z 2 24 xyz 6. 6mn 3 12mn 4 9m 2 n 3m 5 n 7. 25 x 7 10 x 5 15 x 3 5 x 2 8. 9a 2 12ab 15a 3b 2 24ab 3 9. 3a 2 b 6ab 5a 3b 2 8a 2 bx 4 a b 2 m 10. 16 x 3 y 2 8 x 2 y 24 x 4 y 2 40 x 2 y 3 11. a 3 a 2 a 12. 15 y 2 20 y 2 5 y 13. 34 a x 2 51 a 2 y 68 a y 2 14. a 2 b 2 c 2 a 2 c 2 x 2 a 2 c 2 y 15. a 6 3 a 4 8 a 3 4 a 2 16. 9 a 2 12 a b 15 a 3 b 2 24 a b 2 17. 16 x 3 y 2 8 x 2 y 24 x 4 y 2 40 x 2 y 3 18. 4 x 2 8 x 2 19. 12 m 2 n 24 m 3 n 2 36 m 4 n 3 48 m 2 n 3 20. 93 a 3 x 2 y 62 a 2 x 3 y 2 124 a 2 x AGRUPACIÓN 1. a 2 ab ax bx 3. 4 a 3 1 a 2 4 a 5. 4a 3 x 4a 2 b 3bm 3amx 7. 2a 2 x 5a 2 y 15by 6bx 9. 4 x 2 5 xy 8 xz 10 yz 11. a m b m a n b n 13. 3 m 2 n 2 n x 4 3m x 4
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2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.
a 2 x 2 3bx 2 a 2 y 2 3by 2 3abx 2 2 y 2 2 x 2 3aby 2 2 x 2 y 2 xz 2 y 2 z 2 xy 3 3ac 3a 4bc 4b 3x 2 7 y 2 z 3xz 7 xy 2 a x 2b x 2 a y 4b y x x2 x y2 y2
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15. 3 a b 2 2 b 2 x 6 a x 17. 3 x 3 9 a x 2 x 3 a 19. n 2 x 5 a 2 y 3 n 2 y 2 5 a 2 x
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16. 6 a x 3 a 1 2 x 18. 6 m 9 n 21n x 14 m x 20. a 3 a a 2 1 x 2 a 2 x 2
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 1. x 2 4 x 4 2. 9 x 2 6 x 1 3. 1 16ax 2 64a 2 x3 4 4. 25a 2 30ab 9b 2 a 2 ab 5. b2 6. 49 14( a b) ( a b) 2 16 2 7. y 4 1 2 y 2 8. 1 a10 2a 5 b4 4 2 2 4 2 2 9. 1 49 x y 14 x y 10. a a b 4 2 2 11. x 2 x 1 12. a 10 a 25 y4 2 4 6 3 2 13. 16 40 x 25 x 14. 16 x 2 x y 16 2 a 15. 400 x10 40 x 5 1 16. ab b 2 4 17. a 8 18 a 4 81 18. 4 x 2 12 x y 9 y 2 19. a 2 2 a ( a b ) ( a b ) 2 20. ( m n ) 2 6 ( m n ) 9
TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA x 2 bx c 1. x 2 7 x 8 2. b 2 10b 24 3. x 2 60 7 x 4. a 2 28a 29 5. x 2 x 12 6. m 2 12m 27 7. 28 a 2 11a 8. n 2 6n 40 9. a 2 33 14a 10. x 2 9 x 8 11. x 2 7 x 10 12. x 2 x 2 13. y 2 9 y 20 14. 20 a 2 21 a 15. x 2 7 x 30 16. x 2 12 x 364 17. m 2 41 m 400 18. x 2 17 x 60 19. x 2 8 x 180 20. x 2 2 x 528 TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA ax 2 bx c 1. 2 x 2 3 x 2 2. 2a 2 5a 2 3. 4n 2 n 33 4. 8a 2 14a 15 5. 6 x 2 6 5 x 6. 3 11a 10a 2 7. 5b 2 16b 3 8. 3r 2 10r 3
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9.
CBTis No. 149
3 p 2 4 p 15
10. 8 x 6 7 x 3 1
11. 3 x 2 5 x 2
12. 6 x 2 7 x 2
13. 4 a 2 15 a 9
14. 12 m 2 13 m 35
15. 12 x 2 x 6
16. 3 11 a 10 a 2
17. 5 x 2 13 x 6
18. 20 y 2 y 1
19. 9 a 2 10 a 1 DIFERENCIA DE CUADRADOS
20. 2 x 2 29 x 90
1. x 2 y 2
2. 16 n 2
1 3. 9a 2 4 5. 4 x 2 81 y 4
x 6 4a10 4. 49 121 6. a 2 m 4 n 6 144 p 4
7. a 6 b 4
8. 4 a 2b 2 c 2 1
9. 225a b 169b 2 4
2
10.
x4 9 4 y2
SUMA DE CUBOS 1.
x3 y 3
2. m3 64
3. 27 a 3 64b9
4.
x12 8
5.
6.
x4 x
8.
(2a b)3 27
x 3 y 3 64
7. 1 ( x y ) 3 9.
8(a b)3 (a b)3
10.
(m 2)3 (m 3)3
11. 1 a 3
12. 8 x 3 27
13. x 9 y 9
14. 1 343 n3
15. 512 27 a 3
16.
17. 216 x12
18. 8 x3 729
19. 8 x 3 y 3 125 z 6
20. 64 x 6 216 y 9
José Correa Bucio
343 x 3 512 y 3
8
Algebra
CBTis No. 149
DIFERENCIA DE CUBOS 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.
a3 1 x 6 b9 1 8x3 ( x 4) 3 27 16 2 x 3 8 x 9 125 y 3 z 6 a 3b 3 x 3 1 216 x12 64 a 3 729 b 6 x 3 y 6 216 y 9
2. 8 x 3 216 y 3 4. a 3b 3 x 6 6. 27m 3 64n 3 8. 8( x y ) 3 27( x y ) 3 10. 64(m n) 3 125 12. 27 m 6 343 n 9 14. 8 x 6 728 y12 16. x 6 8 y12 18. a 6b 3 x 9 20. 729 (a b ) 2 512 ( x y ) 6
POLINOMIOS DONDE SE OBTIENE UNO O DOS TRINOMIOS CUADRADOS 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.
a2 2 a b b2 1 2. 2 2 9a x 2 x 1 4. 2 2 2 a 9 n 6 m n 10 a b 25 b m 6. 2 2 2 x 2x y y m 8. 2 2 1 a 2a x x 10. 2 2 2 16 a 1 10 m 9 x 24 a x 25 m 12. 2 2 a 2ab 1 b 14. 2 2 a 16 x 36 12a 8 x 16. 2 2 9 x 1 16 a 24 a x 18. 2 2 1 a 9n 6an 20.
a2 2 a m m2 4b2 4 x2 a2 y 2 4 x y 2 a b b2 a2 2 a b b2 x2 4 x 2 25 y 2 36 20 x y 2 a m x 2 9 a 2 m 2 6x a 2 16 x 2 36 12 a 8 x 9 n 2 25 10 n 16 a 2 1 10 m 9 x 2 24 a x 25 m 2 225 a 2 169 b 2 1 30 a 26 b c c 2 x2 y2 4 4 x 1 2y
TRINOMIOS CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN 1. 4 a4 8a2 b2 9b2 2. a 4 16 a 2 b 2 36 b 4
3.
49 m 4 151 m 2 n 4 81n 8
4.
a4 3 a2 b2 b4
5.
x4 6 x2 1
6.
a4 a2 1
7.
m4 m2 n2 n4
8.
x8 3 x 4 4
9.
4 a4 3a2 b2 9 b4
10.
x4 x2 y2 y4
José Correa Bucio
9
Algebra
CBTis No. 149
11.
16 m 4 25 m 2 n 2 9 n 4
12.
x 8 4 x 4 y 4 16 y 8
13.
25 a 4 54 a 2 b 2 49 b 4
14.
36 x 4 109 x 2 y 2 49 y 4
15.
81 m8 2 m 4 1
17.
4a 8 53 a 4 b 4 49 b 8
18.
49 76 n 2 64 n 4
19.
144 23 n 6 9 n12
20.
225 5 m 2 m 4
16.
c 4 45 c 2 100
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES:
14a 2 21ab 1. 8a 3 27b 3 m 2 6m 112 3. m 2 64 x 2 2 x 4 xy 8 y 5. x 3 12 x 2 y 48 xy 2 64 y 3
6a 2 15a 4ab 10b 2. 8a 2 18a 5 4a 2 52a 169 4. 39ab 6a 2b x 5 4 x 4 16 x 2 16 x 6. x 5 8 x 3 16 x
x 2 x 12 7. 2 x 2 5x 3 16 x 2 16 x 3 9. 8 x 2 10 x 3
x3 8 8. x 2 7 x 10 9 x 2 6 xy 12 x 8 y 10. 9 x 2 12 xy 4 y 2
x2 4 x 4 11. x2
25 a 2 9 12. 5a 3
2 x2 5 x 3 13. 2x 1
x3 8 14. 2 x 2x 4
27 x 6 64 y 9 15. 9 x 4 12 x 2 y 3 16 y 6 2 x2 5 x 3 17. 2x 6 ( m 8) 19. m 2 64 José Correa Bucio
16. 18. 20 .
a2 b2 a b b2 4a 1 8a 2 18a 5 x 2 7 x 10 x 2 3 x 10 10
Algebra
CBTis No. 149
SUMA DE FRACCIONES 2 3 1. 2 x 1 3x 1 x 1 x 1 3. 2 2 x 3x 5 2 x x 2 x y x y 4 xy 5. 2 x y x y x y2 7. 9. 11. 13. 15.
x2 4 1 3 3 x 1 x8 2 8. 2 3 x 1 x 1 x x 1 2x 4 2x 4 x 4 1 3 x4 x5 x3 10 . 2 x2 5x 3 x2 x 2 x 2 4 x 5 x 2 5 x 4 x 2 25 x 1 x5 x2 1 1 x3 12. 10 5 x 10 2 x x2 x x2 1 x2 1 a a5 ab a 2 2 14. 2 2 a 5 a 4 a 54 a 2a 1 9a b 3a b 1 1 3 2 16. 2 2 2 2 2 a b (a b ) x y ( x y )2
1 xy 17. 2 3x 2 y 9 x 4 y 2 3 2 1 85a3 19. a 5 a 3 25a 2 9
1. 3. 5. 7.
x3 x2 x 1 2. x 8 x 2 11x 24 1 1 4. a 1 a 1 x ax a 6. 2 a ax ax ax x 2
xa 18. x 3a a2 20. a 1
3 a2 x2 x2 9 a2 a 3 a 1 a2 a3
DIFERENCIA DE FRACCIONES: 1 1 ax x 2 . x x2 x x2 (a x) 2 a 2 x 2 x x 1 x3 1 4 . x 2 1 ( x 1) 2 6x 2 x 2 4x 2 4x 1 x 1 x 1 x 3 x 6 . x2 x 1 x2 x 1 x 2 x 2 x 2 2 x 3 x 2 5x 6 a2 b2 ab 1 a 1 1 8 . a 3 b 3 2a 2 2ab 2b 2 2a 2b a 2 ab a a b
José Correa Bucio
11
Algebra
CBTis No. 149
x3 x x 1 2 x 8 x 11x 24 1 1 11. 2 2 a b ( a b) 2 x 1 13. x y y2 y 2
9.
2a 3 a 1 15. 2 6 a 9 4 a 12 a 9 a3 a4 17. a 2 a 12 a 2 6 a 9 1 1 1 19. 2 4a 4 8 a 8 12 a 12
1 3 x x 2 xy x 2 xy x 2 xy 2 x 1 x2 12. 4 x 4 8x 8 b b 14. a 2 b 2 a 2 ab
10.
a2 4 a b 3b2 b 16. a2 9 b2 a 3b a 1 1 1 18. a2 a 2 a 2 2 a 2 1 1 y 20. 2 2 2 x x y x x y x x y2
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES: 2x x 8 5 x 25 7 x 7 1. 2. 6 4x 2 14 10 x 50 xy 2 y 2 x 2 2 xy y 2 ( x y)3 x 2 x 1 3. 4. x 2 xy x 2 2 xy x3 1 ( x y)2 2
x 3 27 a 2 a 1 5. a 3 1 x 2 3x 9 2a 3 2ab 2 x3 x x 7. 2 2 2 2ax 2ax a x b x x 1
x2 2x x2 2x 8 x2 4x 6. 2 3 2 2 x 16 x x x 4x 4 x 2 3xy 10 y 2 x 2 16 y 2 x 2 6 xy 8. x 2 2 xy 8 y 2 x 2 4 xy x 2 y
a 2 4ab 4b 2 2a 4b 9. 3 (a 2b)3
x 3 2 x 2 3x 2 x 2 3x 10. 2 4x 2 8x 3 x x
2x2 2x x 2 3x 11. 2 2x2 x 2x 3
a2 a b a b 3 12. a2 2 a 1 6 a2 6 a b
y 2 9 y 18 5 y 25 13. y5 5 y 15
( m n )2 x2 ( m n ) x2 14. ( m x ) 2 x 2 m 2 mn m x
1 x a2 a x2 15. a 1 x x2 a
2 x2 3 x 2 3 x 6 16. 2 6x 3 x 4
José Correa Bucio
12
Algebra
CBTis No. 149
x2 4 x y 4 y2 x2 17. 2 x 2 2 xy x 4 y2
m n n2 18. m n n2 m2 n2
2 a 2 a 2 4a 5 19. 2 a 2 50 3a 3
a2 5 a 6 6a a 2 25 20. 2 3 a 15 a a 30 2 a 4
DIVISIÓN DE FRACCIONES: x 1 2x 2 1. 3 6 3a 2 5a 3 3. 2 a 6ab 9b 2 a 2 b 3ab 2 16 x 2 24 xy 9 y 2 64 x 3 27 y 3 5. 16 x 12 y 32 x 2 24 xy 18 y 2
x 3 x 5x 2 5x 2. 2x 2 6x 2x 6 20 x 2 30 x 4 x 6 4. 15 x 3 15 x 2 x 1 x3 1 7x2 7x 7 6. 2x2 2x 2 7x3 7
a 2 6a a 2 3a 54 7. 3 a 3a 2 a 2 9a x 3 125 x 3 5 x 2 25 x 9. 2 2 x 64 x x 56 2 a 6 a 5 a 2 2 a 35 11. 2 a 15 a 56 a 2 5 a 24
15 x 2 7 x 2 6 x 2 13x 6 8. 25 x 3 x 25 x 2 10 x 1 8 x 2 26 x 15 6 x 2 13x 5 10. 16 x 2 9 9x 2 1 1 2 12. 2 2 a a 30 a a 42
a x2 5 a3 x2 5a2 13. 2a 1 4a2 1
x 2 6 x 9 x 2 5 x 24 14. 2 4 x2 1 2 x 17 x 8
a4 1 a4 4a2 3 15. 3 a a2 3a3 9 a
x 3 121 x x 2 11 x 16. x7 x 2 49
2m x 2m y n x n y 17. 8m 4n 3x 3 y
2a 2 7 a b 15 b 2 a 2 3 a b 40 b 2 18. 2 a 3 4 a 2b a 4 a b 32 b 2
a 2 81 2 a 18 19. 3 2 2 a 10 a a 5 a 2
x 4 27 x x5 20. 3 2 4 x x x x x
José Correa Bucio
13
Algebra
CBTis No. 149
POTENCIACIÓN: 1. ( 4 a 2 ) 2
2. (6a 2 b) 2
x 4. 2y 7.
2
5
1 5. a 2 b 4 2 3 x 2 y 2 z 8. 3 2 y xz 4 1 1 1 32 x 4 y 8 11. 1
( x 6 y 3 z 2 ) 3 ( x 8 y 4 z 5 ) 2
1 3 1 22 x2 y 4 10. 4 8 10 2 x y 13.
4
3 x y z
2 4 6 8 4
1 1 2 26 x 2 2
(3 x 2 y )2 16. 3 ( x y )
19. 5 y 3 z 2
1
1 1 1 2 2 2 x y
3
2
14. xy 2 3 2 a b 17. ( a b ) 3 x 3 a 3 b 2 c 1 20. 2 3 2 a b c
3. (7ab 3c 4 ) 3 3 23 x 2 y 3 6. 2 3 2 2 x y 9.
x y z
5 3 2
1 2 1 2 12. x y z
2
1 1 2 2 2 x y
15. xy
1 3 6 9 3 x y z
1 1 3 2 18. (a b ) 4 a2
SIMPLIFACIÓN DE RADICALES:
1.
12 x 4 36 x 2 y 2 27 y 4
2.
3.
64 x 7 y 6
4.
5.
x3 x 2
6.
x3 2x 2 x
7.
x3 6x 2 9x
8.
a 3 a 2b ab 2 b 3
9.
(a 2 b 2 )(a b)
José Correa Bucio
10.
2a a 2 6a 9 3
3
88 x 3 y 6 z 5
128a 7 b 6 c 4
14
Algebra
CBTis No. 149
11.
2
4a b
13.
20 40
49 a b
15.
4
17.
9
19.
a8 81b 4 c12 a18 b 9 c 27 1000 x
12
9a2
1 2.
4
y
25 x 4
1 4.
5
16.
7
18.
3
20.
18
a 5 b10
32 x 5
128
10
x14 a 3 a 2 b ab 2 b 3 x 20 1024 y 30
SUMA CON RADICALES: 1.
b 3a b 7a b
2. 3x y (a x) y 2 x y
3.
( x 1) 3 ( x 3) 3 4 3
4.
5.
25ax 2 49b 9ax 2
6.
9x 9 4x 4 5 x 1
7.
2 m 2 n 9m 2 n 16mn 2
9.
4 xy 2 9 x 16 x 3 y 2
11.
320 x 9 m 2 n 16 m n 2
12. 2 a 4 x 3 a 4 y a 2 9 x 27 y 25 a 4 x 75 a 4 y
13.
( a b ) 2 ( a b) ( a b ) 3
14.
2 a 2 b 2 8 a 5 b 50 a 7 b 3
15.
9x 4 4 x x x
16.
32 h 3 k 1 50 h 9k 5 h 3 k
17. 19.
2a2 b
2
6a2 b
a
José Correa Bucio
18 ab 9a 6b
2
3
b 50 a b 2 5 b5 a 4a
b 6a
8.
x 3 a 2 ( a 2 x ) 3 a 2 ( 2 a 3 x )3 a 2
10.
36mn 2 9m 3 n 2 16m 5 n 2 3 ( x y ) 3 9 x 3 9 x 2 y 16 x 16 y
32 a 5 b
18.
7
20.
16 a a
4k 25 h
2 x 4 y x 9 x 2 y x 2 16 y 9 a3 a
2
6 a
15
Algebra
CBTis No. 149
DIFERENCIA O RESTA CON RADICALES: 1.
4b 5a 16b 3 7 a b
2.
3.
3 x 2 3 x 3 27 x 4 27 x 5
4.
5.
50ax 2 49a 2 b 9a 2 x 2
6.
7.
2a m 3 n 2 9m 2 n 3 16m 2 n 2
9.
33 2a 3 b 3ab 3 p3
11.
p3
2 13. 15. 17.
3
a 320 x 7 5a 2 x (a x) 5 x 4x 4 5 x 1
8. 10.
p3
18 x 2 y x 9 y 3 2 x 8 y
2 a 4 x 3a 4 y a 2 9 x 27 y a 3 250b 53 2a 3b 3 64a 3b
1 2.
4
144 a 2 b2
27 a 8 81 a 4 b b4
27 a b 4 2 b 6 a 2 b 2 b 9 a 3b 3 14. 2 x 4 y x 9 x 2 y
x 8x y 3
y
10 x 2 y
16.
2
x5
9 u 2 v 4 u v 2 u 2 v 25 u v 2
2x
2 x 2 t 4 3 x t 5 3 16 x 5 t 3 8 x 4 t 2 x7
19.
18 x 3
3 x5
18.
20.
3
a5 t 4 a3 t 3 a t 5
27 a b 4 2 b 3 a 2 b 2 b 3 a 3b 3
MULTIPLICACIÓN CON RADICALES: 1.
a
3.
1 x 2 x 2x 1 x 2
5. 7. 9. 11. 13. 15.
a 1
a 2 a 1
2 x 2 2 x 2 3 a x a x a x 2 a x x h x x h x x y x y x y x y a b c a b c x 2 x 3 x 2 x 3
José Correa Bucio
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16.
2 a 3 a b 3 a a b a 1 a 1 a 1 2 a 1 3 a 2 a x 2 a 3 a x 3 xy 4 x y 4
3
(2 x 1) 2
4
3 5
2x 1
a a 2 a a a 2 a x 2 x y 2 y x 2 x y y 4a 1 a x 2a a x 16
Algebra
CBTis No. 149
17.
4a 4 x
19.
u v u
9a 9 x
ax
uv v
ax
3 x 4 x6 y 5 4 y 4 x7 y8 x3 y 2 2x 20. 4 x y 4
18.
COCIENTES CON RADICALES: 1.
3 3 16a 5 4
3
2.
2a 2
3.
75 x 2 y 3 5 3 xy
5.
1 1 3 2x 16 x 4 2 4 4 3 1 4ab 2a 2 5 10
7. 9.
3
8a 3b
11.
2a 3
3
4
x2
4.
x3
14.
3
81 x 7 3
32 x 5 y 3
2 x3 y
16.
64 a 3b 3
2a 2
1 8.
9.
6
18 x 3 y 4 z 5
4
20.
3 x2 y2 z3
1 4
2x
4 a2
3 x2
3
4
3 m4 128 x 8 2x3
m3n 2
3x 2
3
15. 3
1 2
3
x 5
12.
9x
17.
9x
10. 3
5m 2 n
3
8.
13.
3
1 3 3 xy 2 4
6.
4a 2
a 3 x2
4x a3 x 2 2 a 2 x3
6
16 x 4
2a
3
3
3 x2
27 m
3
2x2
6
8 x8
RACIONALIZACIÓN: 1. 4. 7. 10.
a x 2 a x x2 2 x2 2 6x 2 3 x 1 5 x 1 x 1
José Correa Bucio
2. 5. 8. 11.
x x 1 x x 1 a4 a a4 a x2 4 x 3x 2 2 xh x
3. 6. 9. 12.
a a 1 a a 1 ab ab ab ab h xh x 2 x2 2 17
Algebra
CBTis No. 149
x 1 x 1
13.
16.
19.
14.
x 1 x 1 z3 z2 3 z 3 x 8 x 4 w2 4 3
w2
17.
20.
x x (1 x ) x x 2 2 x 48
18.
a 5 b 5
a
a b
15.
a 5 b 5 x62 x62
a 4 36 4
a 2 3 6 3 64
ECUACIONES DE PRIMER GRADO: CON UNA INCOGNITA 1.
5 x 8 x 15
4.
11x 5 x 1 65 x 36
5. 8 x 4 3x 7 x x 14
6.
5 y 6 y 81 7 y 102 65 y
7.
8.
x (2 x 1) 8 (3x 3)
9.
10.
x 3( x 1) 6 4(2 x 3)
11.
12.
x x x 11 2 4 6
13.
3 1 7 2 1 2 x 5 x 10 3x
14.
x 1 x 2 x3 3 2 4
15.
2 3x 1 4x 1 x 1 3 4
16.
z
19.
5 4 3 18 y y 8 3 9 8
7 7 3 4 2 4
2. 4 x 1 2
18. 20.
3.
y 5 3 y 25
16 7 x 5 x 11x 3 x 5 x 10 6 x ( x 2) ( x 3) (4 5 x) (4 x 5) (10 x 3) (7 2 x)
9 1 2 x x 5 3 4 3 5 11 7 x 2 x 3 6 6
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. La edad de Rafael es doble de la de Raúl más dieciocho años, si la edad de Rafael es cuarenta y ocho años, ¿cuál es la edad de Raúl?
José Correa Bucio
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Algebra
CBTis No. 149
2. Encontraremos un número tal que si se le suma dieciocho queda igual al triple del número. 3. La edad actual de Ricardo es igual al doble que la de su hijo. Hace 15 años la edad de Ricardo era el triple de la edad de su hijo. Encontraremos la edad actual de Ricardo y la de su hijo. 4. Seis veces la edad de Lucrecia más nueve años es igual a siete veces la edad de Ramón menos tres años. Si Ramón y Lucrecia son gemelos, ¿qué edad tienen? 5. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales mide seis centímetros más que la longitud del otro lado. Si el perímetro del triángulo es de cuarenta y ocho centímetros. Encontraremos la longitud de cada lado del triángulo. 6. El largo de un terreno rectangular es cinco veces su ancho y el perímetro del rectángulo es de ciento ocho metros. ¿Cuánto mide cada lado del terreno? 7. El área de un triángulo es de cuarenta y ocho kilómetros cuadrados y su altura mide ocho kilómetros. ¿Cuánto mide su base? 8. Si restamos –21 de un número, el resultado es –18, ¿cuál es el número? 9. Si sumamos –32 a un número, el resultado es sesenta y ocho, ¿cuál es el número? 10. Cinco veces un número más veintiuno es igual a tres veces ese número menos once. Hallaremos el número. 11. Hallaremos tres números enteros consecutivos cuya suma sea menos setenta y cinco. 12. Teresa leyó veintiún revistas en tres días. Cada día ella leyó cuatro revistas más que el día anterior. ¿Cuántas revistas leyó Teresa cada uno de los tres días? 13. Dividiremos cuatro mil setecientos veinticinco pesos en tres partes, de tal manera que la segunda sea ciento cincuenta pesos más que la primera y la tercera sea quinientos veinticinco pesos menos que la segunda. ¿Cuáles son las tres cantidades mencionadas? 14. Silvia tiene dos años más que Arturo. La suma de sus edades es de veinte años. ¿Qué edad tiene cada uno? José Correa Bucio
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Algebra
CBTis No. 149
15. La edad de Nicolás es un tercio de la edad de Juan. Si la suma de las edades de ambos es treinta y dos, ¿qué edad tiene cada uno? 8 del número de las páginas de un libro. Le faltan por leer 25 páginas. 9 ¿Cuántas páginas tiene el libro?
16. Georgina leyó
17. Si por dos kilos de papa y tres kilos de jitomate se pagaron 21.50 pesos y el costo de la papa es de 3.40 pesos el kilo. ¿Cuánto cuesta el kilo de jitomate? 18. Una vendedora de aguacates vende camino al mercado
3 de su mercancía, ya en el 7
5 de lo que le quedaba, al regresar a casa llevaba 12 aguacates. ¿Con 8 cuántos aguacates salió de la casa?
mercado vende
19. Si sumamos
3 3 a un número, el resultado es - , ¿cuál es el número? 4 2
20. Cinco tercios de un número, aumentado en siete tercios es cinco. Encontraremos el número. 21. Tres cuartos de un número menos dos quintos de ese mismo número es igual a 7. Encontraremos el número. 22. ¿Cuál es la longitud del radio de una circunferencia que tiene un perímetro de 4 unidades?
CON 1. 3. 5.
DOS
INCOGNITAS
x 6 y 27 7 x 3 y 9 9 x 16 y 7 4 y 3 x 0 10 x 18 y 11 16 x 9 y 5
José Correa Bucio
2.
3 x 5 y 7 2 x y 4
4.
x 3y 6 5 x 2 y 13
6.
4 x 5 y 5 10 y 4 x 7
20
Algebra
CBTis No. 149
7.
8 x 5 7 y 9 6 x 3 y 6
9:
5( x 3 y ) (7 x 8 y ) 6 7 x 9 y 2( x 18 y ) 0
y x 7 2 11. 3 x y 11 2 12 x 11 y 13 13. 16 x 3z 2 3 1 2 x y 5 3 5 15. 3 x 1 y 4 4 3 8 3 x y 0 4 7 17. 4 x 3 y 0 3 4 y x 2 3 0 19. 2 x y 15 2
x 1 y 1 x 3 3y 7 2( x 5) 4( y 4 x) 10. 10( y x) 11 y 12 x 8.
5 2 x y 2 12. 3 x 1 y 1 5 4 x 3y 4 4 20 14. x y 10 7 6 3 4 x y 8 16. x 2 y 2 5 y 1 2 x 3 y 2 2 18. 4 x 3 y x 3 7 x y 12 20. 10 x y 3y 2 6
CON TRES INCOGNITAS 1.
x y z 6 x y 2z 5 x y 3z 10
José Correa Bucio
2.
x y z 2 x y z 4 2 x 2 y z 4
21
Algebra
3.
5.
CBTis No. 149
5 x 2 y z 24 2 x 5 y 2 z 14 x 4 y 3 z 26 x 2 y 1 2 y z 0 x 2 z 11 2 x 3 y 4 z 3 2 x 6 y 8 z 5 4 x 9 y 4 z 4
4.
6.
x y y z z x 3z 5 x 5 x 3 y 3 y 5 z
1 1 6 10 7 13
x 4 y 5 z 11 3 x 2 y z 5 4 x y 3 z 26
4 x y z 4 8. 2 y z 2 x 2 6 x 3 z 2 y 12 3x 2 y 1 10. 4 x z 28 x 2 y 3 z 43
x y z 11 x y 3 z 13 2 x 2 y z 7 7 x 10 y 4 z 2 5 x 2 y 6 z 38 3 x y z 21
x y z 6 12. 2 x y z 1 x 2 y 3 z 6 4 x 7 y 5 z 2 14. 6 x 3 y 7 z 6 x y 9 z 21
15.
3 x 5 y 2 z 22 2 x y 6 z 32 8 x 3 y 5 z 33
x y z 3 16. x 2 y 6 2 x 3 y 6
17.
y z x 1 3 4 4 x y z 1 6 2 x y z 0 2 8 2
x 3 y 2 z 3 18. x y 1 y x z 11 4
7.
9.
11.
13.
José Correa Bucio
22
Algebra
19.
CBTis No. 149
1 4 2 6 x y z 3 2 4 20. 3 x y z 6 5 6 31 x y z
yz x y 3 2 x y x z 0 2 4 y z x 5 2
ECUACIONES CUADRATICAS O DE SEGUNDO GRADO: 1.
3x 2 5 x 2 0
2.
x 2 16 x 63
3.
x 2 11x 24
4.
8x 2 2 x 3 0
5.
5 x( x 1) 2(2 x 2 7 x) 8
6.
( x 1)( x 2) (2 x 3)( x 4) x 14 0
7.
2 x 2 ( x 2)( x 5) 7( x 3)
8.
x2 x 6 0
9.
x2 7x 8
10.
6 x 2 10 11x
11. 7 x 15 30 x 2 6 9 4 13. 2 x 3 x 4x 1 2x 1 15. 2x 3 6x 5 17. 4 x 2 3 x 22 0
12.
( x 2) 2 (2 x 3) 2 80 x 1 x3 2 x 1 3 3x 2 9 x 14 5 4 12 x 2 12 x 4 9 x 0 2x 3 x 2 1 x5 10
19.
1 7 11 2 3x 5x 60
14. 16. 18. 20.
INECUACIONES
1. x 5 2 x 6 3. x 6 21 8 x 5. 2 x
José Correa Bucio
5 x 10 3 3
2. 5 x 12 3 x 4 4. 3 x 14 7 x 2 5x x 6. 3 x 4 2 4 2
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Algebra
7. ( x 1 ) 2 7 ( x 2 ) 2 9. 3 ( x 2 ) 2 x ( x 3 ) ( 2 x 1 ) ( ( x 4 ) 11. 6 ( x 2 1 ) ( 2 x 4 ) ( 3 x 2 ) 3 ( 5 x 21 ) 13. ( x 4 ) ( x 5 ) ( x 3 ) ( x 2 )
CBTis No. 149
8.
( 2 x 3 )2 4 x 2 ( (x 7 ) 4 ( x 2 )2 2x 1 2x 5 10. 3x 1 3x 2 x3 4 x 12. 3 x2 3 5 20 2 14. 2 3x 1 9x 1 3x 1
15. ( x 2 ) ( x 1 ) 26 ( x 4 ) ( ( x 5) MATERIAL RECOPILADO POR EL M. en C. JOSE CORREA BUCIO QUE SERÁ UTILIZADO EN LA MATERIA DE ÁLGEBRA Y ESTA DE ACUERDO A LA REFORMA DEL PROGRAMA MAESTRO DEL TRONCO COMUN.
José Correa Bucio
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