ÁLGEBRA Vol. I

Enrique Izquierdo

Título: Álgebra. Vol. I Autor: © Enrique Izquierdo Guallar ISBN: 978-84-8454-751-8 Depósito legal: A-2-2010 Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33 C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

Reservados todos los der echos. Ni la totalidad ni par te de este libr o puede r eproducirse o transmitirse por ni ngún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualq uier al macenamiento de inform ación o siste ma de reproducción, sin perm iso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

PRÓLOGO Presento este libro de Álgebra que consta de una colección de 312 preguntas de test, perfectamente razonadas, demostrando cuál es la verdadera y porqué el resto son falsas. Toda esta colección corresponde a preguntas de exámenes, que a lo largo de ocho años, se propusieron en la Escuela de Ingeniería Técnica Industrial y Naval de Ferrol (Coruña) y que fui recopilando y resolviendo. Dicha materia se adapta perfectamente a la asignatura de Álgebra de cualquier Escuela Técnica ó Facultad, correspondiente al primer curso. Recorre los bloques de Álgebra: - Matrices y determinantes - Subespacios vectoriales - Aplicaciones lineales - Sistemas de ecuaciones Mi intención, es facilitar la comprensión de estos conceptos, con un razonamiento exhaustivo de las preguntas. Estoy escribiendo otro libro, con un desarrollo parecido, pero dedicado al cálculo, que espero tener terminado este año. Quiero dedicar este libro a mi esposa Raquel Adega y a mis hijos Carolina y Carlos, por el tiempo que, escribir este libro ha supuesto no estar con ellos.

El autor Enrique Izquierdo

ÍNDICE Álgebra Tema

Materia

Nº de Ejercicios

Página

1

Matrices y determinantes

46

7

2

Subespacios.Cambios de base

89

27

3

Aplicaciones lineales

104

67

4

Sistemas de ecuaciones

73

121

Tema 1.- Matrices y determinantes Teoría Clases de Matrices Matríz Triangular Aquella matríz que tiene ceros, por encima ó por debajo de la diagonal principal: 1 2 5 A= 0 2 0 0 0 3

1 0 0 ó B = 2 -1 0 0 5 3

Matríz Diagonal Aquella matríz que tiene ceros por encima y por debajo de la diagonal principal: -2 0 0 C = 0 3 0 0 0 7 Matríz Idempotente Aquella cuyo cuadrado coincide con la misma: A2 = A Matríz Regular Aquella cuyo determinante es distinto de cero: ⏐A⏐ ≠ 0 Matríz Singular Aquella cuyo determinante es igual a cero: ⏐A⏐ = 0 Matríz Simétrica Aquella cuya traspuesta coincide con la misma: At = A Matríz Antisimétrica Aquella cuya traspuesta es igual a dicha matriz cambiada de signo: At = -A Propiedades de las matrices 1.- (At)t = A 2.- (A ± B)t = At ± Bt 3.- (A.B)t = Bt ⋅ At 4.- (A + B) = B + A 5.- (A.B) ≠ B ⋅ A, generalmente Matríz Inversa Dada una matríz cuadrada A, cuyo determinante sea distinto de cero, se denomina matríz inversa a la matríz: A-1 = [1/ ⏐A⏐] ⋅ (Adj A)t

7

Enrique Izquierdo

Adjunta de una matríz.-Está formada por los adjuntos de cada uno de sus elementos, siendo: Adj aij = (-1)i+j.Menor de aij Menor de un elemento aij, es el valor del determinante obtenido al eliminar la fila y columna donde está dicho elemento.

0 5 -1 Ej.- Adjunto del elemento a23 de la matríz A = 2 1 3 4 2 -6 0 5 = (-1) · (-20) = 20 Adj a23 = (-1)2+3 4 2 Menor complementario de un elemento Es igual al valor de su Adjunto, por dicho elemento afectado de un signo más ó menos según que la suma de subíndices de fila y columna donde se encuentra sea par ó impar: Menor de a23 = 3 · (-1)5 · (-20) = 60 Determinantes: De orden dos:.- dada una matríz cuadrada de orden dos, a11 a12 A= a21 a22 se denomina det A = ⏐A⏐ = a11a22-a12a21 De orden tres:- dada una matríz cuadrada de orden tres,

a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 se llama determinante de orden 3 al valor: det A = A = a11a22a23+a21a32a13+a31a12a23-a13a22a31-a23a32a11-a33a12a21 De orden superior a tres: Se debe pasar por menores a determinantes de orden tres

8

Volumen I.-Ejercicios de Álgebra

Ejercicios de exámenes 1.1.-Sea A, una matríz simétrica y B una matríz antisimétrica, entonces: a) Existe B-1 b) (AB)t = -AB c) (A+B)t = B-A d) B2 = (Bt)2

(Feb-97)

Solución: a) No tiene porque existir la inversa de una matríz →Falsa b) (AB)t = BtAt = -BA (≠ en general, de -AB) → Falsa c) (A+B)t = At+Bt = A-B ≠ B-A →Falsa d) (B2)t = (B.B)t = Bt.Bt = (-B) ⋅ (-B) = B2 → Cierta ---------------------------------------1.2.- Sea una matríz cuadrada A, de orden “n”, tal que su determinante sea igual a 3. Entonces: a) Det 2A = 6 b) Det 2A = 3.2n c) Det 2A = 6n d) Det 2A =2n

(Jun-97)

Solución: Por las propiedades de los determinantes: ⏐2A⏐ = 2n ⏐A⏐= 2n ⋅ 3 → Es cierta la respuesta b). ---------------------------------------1.3.- Sean A y B dos matrices de tal forma que existen los productos AB y BA; entonces a) A y B son cuadradas b) A y B son regulares c) A y B tienen igual rango d) Todas falsas

(Jun-97)

Solución: a) Falsa, ya que si A32 y B23→AB = C33,BA = D22, existen esos productos y no son cuadradas b) Matríz regular es aquella cuyo determinante es distinto de cero 1 0 3 c) Si A = 0 1 2

2 1 y B=3 1 5 8

no existen los det A y det B y sin embargo, sí existen los productos AB y BA →Falsa

9

Enrique Izquierdo

c) No tiene porque ser cierto. 2 1

1 1

Si A =

y B= 1 2

, existe AB y BA y rg A = 2 ≠ rg B = 1… Falsa 0 0

d) Es la respuesta verdadera. ----------------------------------------2 4 3 1.4.- Cuál es la matríz adjunta de A = 0 1 -1 3 5 7

12 -3 -3 -13 5 2 -7 2 2

a)

12 3 -3 2 6 9 2 -6 9 b) 13 5 -2 c) 5 -2 -1 d) -5 -2 1 -7 -2 2 2 6 2 2 -6 2

(Feb-98)

La respuesta correcta es la a) (Hallar el Adjunto de cada elemento, según la teoría expuesta al principio del tema). ----------------------------------2 1 , se dice que una matríz B22, permuta con A, si AB=BA

1.5.-Dada una matríz A = 1 1

¿Cuál de las siguientes matrices permuta con A?: 1 0 a)"

1 1 b)

0 1

1 1 c)

0 1

1 0 ó

1 0

Solución: a b Sea B= c d

1 1 d)

0 1

0 1 ó

1 1

0 0

(Feb-98)

el conjunto de matrices que permuta con A

entonces, 2 1 a b

a b 2 1 =

1 1 c d 2a+c = 2a+b 2b+d = a+b a+c = 2c+d b+d = c+d

2a+c 2b+d →

c d 1 1

2a+b a+b =

a+c

b+d

→ 2c+d c+d

a b →

b=c, d=a-b → B =

1 0 →

b a-b

0 1 ó

0 1

1 -1

Si se hace a=1 y b=1 a=1 y b=0, se obtiene la respuesta c), con lo cual las demás son falsas. -------------------------------------------

10

Volumen I.-Ejercicios de Álgebra

1.6.- Sea A44, entonces: a)" Si rgA = 4, existe A-1 y rgA-1 = 4 b)" Si rgA = 4, existe A-1 y rgA-1 puede ser menor que 4 c)" Si rgA = 3, A-1 es una matríz de orden 3 d)" Ninguna es cierta

(Feb-99)

Solución: a) Es cierta ya que si rgA = 4, el det A es distinto de cero y por ser una matríz cuadrada existe A-1. Además el rgA-1 debe ser 4 porque (A-1) -1 = A b) Es falsa por lo explicado en a) c) Si rgA = 3, Det A = 0. Por lo que no existe A-1 y por lo tanto es falsa d) Falsa también, por ser verdadera la respuesta a). ------------------------------------m n 1.7.- Sea p, un número real fijo y sea M = , siendo m y n números -np m+n reales, una matríz 2x2. Entonces: a)" b)" c)" d)

dim M = 2 dim M = 3 dim M = 1 dim M = 4

(Feb-99)

Solución: si p es un número real, el número de parámetros distintos, que tenemos es dos, (m y n).La base estará formada por dos matrices independientes dando valores distintos a m y a n, y por ello su dimensión será 2, por lo tanto la solución verdadera es la a) y las demás son falsas ---------------------------------------1.8.- Sea A23, entonces: a) Si rgA = 2, existe A-1 b) Si rgA = 3, existe A-1 c) rgA = rgA-1 d) rgAt ≤ 2

(Jun-99)

Solución: La matríz A, no es cuadrada, por lo que no existe A-1 y por lo tanto a), b) y c) son respuestas falsas. La matríz At es una matríz 3x2 y el rango máximo de una matríz, es el menor número de filas ó columnas independientes que posee. Entonces, se cumple que rgAt ≤ 2 por lo que la respuesta verdadera es la d). ----------------------------------1.9.- Sea Ann, entonces el det (nA) es igual a: a) (n.detA)n b) n.(detA)n c) nn.detA d) n.detA

(Jun-99)

11

Enrique Izquierdo

Solución: (Ved Ejercicio 1.2) det (nA) = nn detA, por lo que la respuesta correcta es la c). -------------------------------------1 1 1.10.- La matríz M =

verifica: 1 1

a)" b)" c)" d)"

Mn = 2n-1.M Mn = 2n.M Mn es una matríz diagonal Mn tiene inversa

(Jun-99)

Solución: 1 1

1 1

M2 =

2 2 =

1 1

1 1

2 2

2 2

1 1

4 4

3

M = 1 1

4 4

1 1

M4 =

1 1 1 1

4 4

1 1

8 8

1 1

= 22.M …Mn = 2n-1.M Por tanto, a) es cierta

=2 .

1 1 = 23.

= 4 4

= 2.M

2

= 2 2

1 1 = 2.

8 8

= 23.M 1 1

La b) no es la misma expresión, por lo que es falsa. La c) es falsa porque Mn, no es matríz diagonal. La d) es falsa porque Mn no admite inversa, ya que detMn es cero. ------------------------------------------1.11.- Sean A y B matrices cuadradas de igual orden. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?: a) Si AB + BA = 0, A2B3 = B3A2 b) Si A y B son regulares, A+B es regular c) det (A+B) = detA + detB d) Si AB + BA = 0, A2B3 =-B3A2 Solución: A2B3 = A.A.B.B.B = (por el enunciado AB=-BA) = -A.B.A.B.B =A.B.B.A.B= =-AB.B.B.A=B.A.B.B.A=-B.B.A.B.A=B.B.B.A.A= B3A2→a) cierta y d) falsa

b) Falsa. Ej.1 0 A=

B= 0 -2

12

-1 0 detA = -2, detB = -2 y det (A+B) = 0 0 2

(Jun-99)

Volumen I.-Ejercicios de Álgebra

c) Falsa. Con el ejemplo anterior, A y B son regulares y A+B no es regular, ya que det(A+B) ≠ 0 Luego, la correcta es la respuesta a) ------------------------------------------1.12.-Sea Ann una matríz regular. ¿Qué se puede afirmar de An? a) Nada b) Que es regular c) Que es singular d) Que es regular, solo si n=0

(Dic-99)

Solución: Una matríz es regular si su determinante es distinto de cero. Entonces, detAn = detA.detA →detA = (detA)n≠ 0 Por lo cual, An es regular.La respuesta b) es cierta y las demás falsas. ----------------------------------------0 0 0 1.13.-¿Qué matrices, conmutan con: 1 0 0 ? 1 1 0

a)

α β 0 µ 0 0 0

(Feb-2000)

α 0 0 α β µ α 0 0 b) β α 0 c) 0 α β d) 0 β 0 µ β α 0 0 α 0 0 µ

Solución: Dos matrices, A y B, conmutan si AB = BA. a b c Sea B = d e f el tipo de matrices que conmutan con la dada g h i

Entonces, a b c 0 0 0 d e f 1 0 0 g h i 1 1 0

0 0 0 a bc = 1 0 0 d e f 1 1 0 g h i

b+c c 0 0 0 0 e+f f 0 = a b c h+i i 0 a+d b+e c+f

b+c=0 c=0 e+f=a f=b h+i=a+d i=b+e

→

b=0 e=a f=0 → h=d i=e=a

a 0 0 B = d a 0 → comparando, es la respuesta b) g d a

-----------------------------------------

13

Enrique Izquierdo

1.14.-Sea A, una matríz antisimétrica. Entonces A2 es: a) Antisimétrica b) Simétrica c) Ninguna es cierta d) No se puede afirmar nada

(Feb-2000)

Solución: A2 = A.A = por ser A antisimétrica, A = (-At) = (-At) ⋅ (-At) = (At)2, por lo que A2 es Simétrica. La correcta es la respuesta b) y las demás son falsas. -----------------------------------------

1.15.- ¿Cuál es valor del determinante:

0 α α α

α β µ 0 β µ ? β 0 µ β µ 0

a) α +βα +µ b) αβ + αµ+βµ c) (α+β+µ).(-αβµ) d) Ninguna es cierta

(Feb-2000)

Solución: 0 α β µ α 0 β µ α β 0 µ α β µ 0

αµ

0 1 1 1

α 0 β β

β β 0 µ

= (Sacamos α de la 1ª columna y µ de la 4ª fuera) =

1 1 = (restamos de la 3ª y 4ª fila, la 2ª) = αµ. 1 0

0 1 0 0

α β 0 β β -β β µ-β

α β 1 (desarrollando, por el adjunto del elemento a21) = (-1)αµ β -β 0 β µ-β -1

1 1 = 0 -1

=

α β 1 (sacamos β factor común de la 2ª fila) = -αβµ 1 -1 0 = (desarrollando)= α µ-β -1 -αβµ (α-β+β+µ) = -αβµ(α+β+µ), con lo cual, la correcta es la respuesta c) -----------------------------------------

14

Volumen I.-Ejercicios de Álgebra

1.16.-Sea la matríz:

a)" b)" c)" d)"

1 α 1 A = α-1 β α . Entonces: 1 1 1

rgA=3 si α≠1 y rgA=2 si α=1, para todo valor de β rgA=3,si α≠1, rgA=2 siα=1 y β≠1,rgA=1 si α=1 y β=1 rgA=3 para todo valor de α y β rgA=3, si α≠1 y β≠1

(Feb-2001)

Solución: 1 α 1 α-1 β α = β+α-1+α2-β-α-α2+α = α-1 1 1 1 1 1 1 Si α=1 rg A = 0 β 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 = rg 0 β 1 = rg = 2, para todo valor deβ 0 0 0 0 β -1

Si α≠1, el rango de A=3 porque el detA es≠0→ la correcta es la a) ----------------------------------------1.17.- Sean A y B matrices regulares de orden “n”, entonces: a)" b)" c)" d)"

(AB)-1 puede no existir. (AB)-1 = A-1B-1 (AB)-1 = B-1A-1 AB es singular.

(Feb-2001)

Solución: Si A Y B son regulares, detA≠0 y detB≠0→ det(AB) = detA. detB ≠0→d) es falsa Por lo explicado, AB es regular→ Existe(AB)-1→ a) falsa (AB)-1 = 1/detAB. (AdjAB)t = 1/ detA.DetB. (AdjBt.AdjAt)= 1/deBt.AdjBt.1/detA.AdjAt = B-1.A-1→c) Cierta y b) Falsa ----------------------------------------1.18.- Sea A una matríz antisimétrica(A = -At), de orden impar. Se verifica que: a) b) c) d)

detA = 1 detA = -1 detA = 0 detA, puede tomar cualquier valor

(Feb-2001)

Solución: 0 a12 a13 Sea A = -a12 0 a23 -a13 -a23 0 det A = 0+a12a23a13-a13a12a23 = 0→ Es cierta la c) Si fuese de orden 2, el determinante podría tomar cualquier valor. -----------------------------------------

15

Enrique Izquierdo

1.19.- Dadas las matrices A y B pertenecientes al espacio de matrices Mnxp, decir cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: a) b) c) d)

rg (A+B) ≤ máx (rgA, rgB) rg (A+B) ≥ mín (rg A,rg B) rg (A+B) = rgA+rgB Todas las anteriores son falsas

(Feb-2002)

Solución.1 0 1 Sean A = 0 1 0 0 0 1

0 0 0 y B= 1 2 1 0 1 3

1 0 1 → A+B = 1 3 1 0 1 4

rgA = 2 rgB = 3 rg(A+B) = 3 → c) falsa y rg(A+B)≤ máx(rgA,rgB) rg(A+B)≥ mín(rgA,rgB) 0 0 0 Sean A = 0 0 0 1 0 0

0 5 0 0 5 0 y B = 0 0 6 → A+B = 0 0 6 2 0 0 3 0 0

rg A = 1, rg B = 2 y rg(A+B) = 3→rg (A+B)≥mín(rgA,rgB) rg(A+B), no es menor que el máx(rgA,rgB) → Solo se cumple siempre la b). ----------------------------------------1 α -1 2 1.20.- Calcular el rango de la matríz M = 2 α -1 5 , según los valores de α 1 10 -6 1 a) rgM = 3, si α≠3 y rgM = 2 en otro caso b) rgM = 3, si α = 1 y rgM = 2 en otro caso c) rg M = 3, si α=1 y rgM = 2 en otro caso d) rgM = 3, para todo valor de α Solución: 1 α -1 2 1 α -1 2 1 α -1 2 rg M = rg 2 -1 α 5 = rg 0 -1-2α α+2 1 = rg 0 -1-2α α+2 1 1 10 -6 1 0 10-α -5 -1 0 9-3α α-3 0 Si α = 3, rgM = 2 Si α ≠ 3, rgM = 3

→ la correcta es la a) -----------------------------------------

16

(Feb-2002)

Volumen I.-Ejercicios de Álgebra

1 -2 -1 1.21.- Sea M = -3 7 4 , 2 2 1 hallar el valor del elemento que ocupa la posición de la tercera fila y segunda columna de la matríz M-1 a)" b)" c)" d)"

1 2 3 4

(Feb-2002)

Solución: -1 0 -1 -1 11 -20 T M = -1/3. 0 3 -6 = -1/3. 11 3 -1 → a32 = 2→ b) -1 -1 1 -20 -6 1 -1

-----------------------------------------

1.22.-Calcular el valor del determinante:

0 4 1 3 5

3 -2 -2 0 -2 1 -3 1 -1 -1

1 -4 2 6 3 5 5 5 6 3

a)128 b)-200 c)288 d) 0

(Feb-2002)

Solución.0 4 1 3 5

3 -2 -2 -3 -1

-2 0 1 1 -1

1 2 3 5 6

-4 2ªf-3ª.4 0 3 -2 1 -4 3 -2 1 -4 6 4ªf-3ª.3 0 6 -4 -10 -14 6 -4 -10 -14 5 = 5ªf-3ª.5 = 1 -2 1 3 5 = -1. 3 -2 - 4 -10 = 5 0 3 -2 -4 10 9 -6 -9 -22 3 0 9 -6 -9 -22 1 -2 1 -4 2 -4 -10 -14 2ªf-1ª.2 = (sacamos un 3 de la 1ª columna fuera) = -3. 1 -2 -4 -10 = 3ªf-1ª = 3 -6 -9 -22 4ªf-1ª.3 1 -2 1 -4 0 0 -11 -6 0 -12 -6 = -3. 0 0 -5 -6 = -3. 0 -5 -6 = (por tener la 1ª columna ceros) = 0→ d) 0 0 -12 -10 0 -12 -10 -----------------------------------------

17