Ecuaciones

Desigualdades

Sistemas de coordenadas rectangulares

Gr´ aficas de ecuaciones

´ Algebra y Trigonometr´ıa Clase 2 – Ecuaciones, desigualdades y Funciones CNM-108 Departamento de Matem´ aticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia c 2008. Reproducci´ Copyleft on permitida bajo los t´ erminos de la licencia de documentaci´ on libre GNU.

Funciones

Ecuaciones

Desigualdades

Sistemas de coordenadas rectangulares

1

Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones algebraicas Soluciones de ecuaciones lineales y cuadr´ aticas

2

Desigualdades Propiedades Ejemplos con desigualdades

3

Sistemas de coordenadas rectangulares Plano coordenado Distancia entre dos puntos Punto medio de un segmento

4

Gr´ aficas de ecuaciones Rectas Pendiente Ecuaci´ on de la circunferencia

5

Funciones Definici´ on de funci´ on Dominio Funciones cuadr´ aticas Funci´ on compuesta

Gr´ aficas de ecuaciones

Funciones

Ecuaciones

Desigualdades

Sistemas de coordenadas rectangulares

Gr´ aficas de ecuaciones

Funciones

Ecuaciones Definici´ on de ecuaci´ on Una ecuaci´ on (o igualdad) es un enunciado en el cual dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales.

Ejemplos: Caida de un cuerpo: s =

1 2 gt + v0 t 2

Ecuaci´ on de las lentes:

1 1 1 = + f p q

Ecuaci´ on en y:

3y + 5 = 0

Ecuaci´ on en z:

Ecuaci´ on en x:

1 =x+2 x+1

Capital m´ as inter´es: A = P + P rt

3z 2 + z = 1 − z

Ecuaciones

Desigualdades

Sistemas de coordenadas rectangulares

Gr´ aficas de ecuaciones

Funciones

Ecuaciones Definici´ on de ecuaci´ on Una ecuaci´ on (o igualdad) es un enunciado en el cual dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales.

Ejemplos: Caida de un cuerpo: s =

1 2 gt + v0 t 2

Ecuaci´ on de las lentes:

1 1 1 = + f p q

Ecuaci´ on en y:

3y + 5 = 0

Ecuaci´ on en z:

Ecuaci´ on en x:

1 =x+2 x+1

Capital m´ as inter´es: A = P + P rt

3z 2 + z = 1 − z

Ecuaciones

Desigualdades

Sistemas de coordenadas rectangulares

Gr´ aficas de ecuaciones

Funciones

Terminolog´ıa Terminolog´ıa

Definici´ on

Ejemplo

Ecuaci´ on en x

Igualdad que contiene la variable x

x − x2 = 3x + 1

Soluci´ on o ra´ız, de una ecuaci´ on en x

Un n´ umero, digamos b, que al sustituirlo por x nos da una igualdad.

b = 2 es soluci´ on de la ecuaci´ on: x2 − 16 = −10 − x

Resolver una ecuaci´ on en x

Encontrar todas las soluciones de la ecuaci´ on

Las soluciones de x2 + x − 2 = 0, que equivale a resolver (x + 2)(x − 1) = 0, son x = −2 y x = 1

Teorema

P Q = 0 si, y s´ olo si P = 0 o Q = 0.

Ecuaciones

Desigualdades

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Gr´ aficas de ecuaciones

Funciones

Terminolog´ıa Terminolog´ıa

Definici´ on

Ejemplo

Ecuaci´ on en x

Igualdad que contiene la variable x

x − x2 = 3x + 1

Soluci´ on o ra´ız, de una ecuaci´ on en x

Un n´ umero, digamos b, que al sustituirlo por x nos da una igualdad.

b = 2 es soluci´ on de la ecuaci´ on: x2 − 16 = −10 − x

Resolver una ecuaci´ on en x

Encontrar todas las soluciones de la ecuaci´ on

Las soluciones de x2 + x − 2 = 0, que equivale a resolver (x + 2)(x − 1) = 0, son x = −2 y x = 1

Teorema

P Q = 0 si, y s´ olo si P = 0 o Q = 0.

Ecuaciones

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Gr´ aficas de ecuaciones

Definici´ on de ecuaci´ on algebraica. Una ecuaci´ on algebr´ aica en x contiene s´ olo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

Ejemplos: 1

Lineal:

2x + 5 = 0.

Funciones

Ecuaciones

Desigualdades

Sistemas de coordenadas rectangulares

Gr´ aficas de ecuaciones

Definici´ on de ecuaci´ on algebraica. Una ecuaci´ on algebr´ aica en x contiene s´ olo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

Ejemplos: 1

Lineal:

2x + 5 = 0.

2

Cuadr´ atica:

9x2 − 8x + 1 = 0.

Funciones

Ecuaciones

Desigualdades

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Gr´ aficas de ecuaciones

Definici´ on de ecuaci´ on algebraica. Una ecuaci´ on algebr´ aica en x contiene s´ olo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

Ejemplos: 1

Lineal:

2x + 5 = 0.

2

Cuadr´ atica:

3

Expresi´ on racional:

9x2 − 8x + 1 = 0. 6 3 = 7x − 2 2x + 1

(reducible a lineal)

Funciones

Ecuaciones

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Funciones

Definici´ on de ecuaci´ on algebraica. Una ecuaci´ on algebr´ aica en x contiene s´ olo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

Ejemplos: 1

Lineal:

2x + 5 = 0.

2

Cuadr´ atica:

3

Expresi´ on racional:

6 3 = 7x − 2 2x + 1

4

Expresi´ on racional:

4 5 5 = + (reducible a cuadr´ atica) x−3 6 3x − 9

9x2 − 8x + 1 = 0. (reducible a lineal)

Ecuaciones

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Funciones

Definici´ on de ecuaci´ on algebraica. Una ecuaci´ on algebr´ aica en x contiene s´ olo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

Ejemplos: 1

Lineal:

2x + 5 = 0.

2

Cuadr´ atica:

3

Expresi´ on racional:

6 3 = 7x − 2 2x + 1

4

Expresi´ on racional:

4 5 5 = + (reducible a cuadr´ atica) x−3 6 3x − 9

5

x3 − x2 + x − 1 = 0

9x2 − 8x + 1 = 0. (reducible a lineal)

(no es lineal ni cuadr´ atica)

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Funciones

Definici´ on de ecuaci´ on algebraica. Una ecuaci´ on algebr´ aica en x contiene s´ olo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

Ejemplos: 1

Lineal:

2x + 5 = 0.

2

Cuadr´ atica:

3

Expresi´ on racional:

6 3 = 7x − 2 2x + 1

4

Expresi´ on racional:

4 5 5 = + (reducible a cuadr´ atica) x−3 6 3x − 9

5

x3 − x2 + x − 1 = 0

9x2 − 8x + 1 = 0. (reducible a lineal)

(no es lineal ni cuadr´ atica)

Ecuaciones

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Funciones

Soluciones de ecuaciones lineales y cuadr´ aticas Ecuaci´ on lineal: ax + b = 0 con a 6= 0 Soluci´ on: x = −b a Ecuaci´ on cuadr´ atica: ax2 + bx + c = 0, a 6= 0. 1

2

Factorizaci´ on x2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0.

Resolver: 5x + 3 = −25 + x Soluci´ on: 5x + 3

=

−25 + x

Soluciones: x = −k y x = −d.

4x

=

−28

x2

x

=

−7

Completaci´ on de cuadrados + bx + c = 0 “ ”2 “ ”2 x2+ bx + c = x2+ bx + 2b − 2b + c = 0 “ ”2 “ ”2 x + 2b = 2b − c. Soluciones: x =

3

Ejemplo

−b 2

±

r“ ” 2 b 2

−c

F´ ormula general ax2 + bx + c = 0. √ −b ± b2 − 4ac Soluciones: x = 2a

Ecuaciones

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Funciones

Soluciones de ecuaciones lineales y cuadr´ aticas Ecuaci´ on lineal: ax + b = 0 con a 6= 0 Soluci´ on: x = −b a Ecuaci´ on cuadr´ atica: ax2 + bx + c = 0, a 6= 0.

Ejemplo Resuelva: x2 + 4x − 45 = 0 Soluci´ on:

1

x2

Factorizaci´ on + bx + c = 0 x2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0. Soluciones: x = −k y x = −d.

2

Completaci´ on de cuadrados x2 + bx + c = 0 “ ”2 “ ”2 x2+ bx + c = x2+ bx + 2b − 2b + c = 0 “ ”2 “ ”2 x + 2b = 2b − c. Soluciones: x =

3

−b 2

±

r“ ” 2 b 2

−c

F´ ormula general ax2 + bx + c = 0. √ −b ± b2 − 4ac Soluciones: x = 2a

x2 + 4x + 45

=

0

(x − 5)(x + 9)

=

0.

As´ı:

x = 5 y x = −9

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Funciones

Soluciones de ecuaciones lineales y cuadr´ aticas Ecuaci´ on lineal: ax + b = 0 con a 6= 0 Soluci´ on: x = −b a Ecuaci´ on cuadr´ atica: ax2 + bx + c = 0, a 6= 0.

Ejemplo Resuelva: x2 − 8x + 8 = 0 Soluci´ on:

1

x2

Factorizaci´ on + bx + c = 0 x2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0.

x2 − 8x +

Soluciones: x = −k y x = −d. 2

3

(x − 4)2 = 8

Completaci´ on de cuadrados x2 + bx + c = 0 “ ”2 “ ”2 x2+ bx + c = x2+ bx + 2b − 2b + c = 0 “ ”2 “ ”2 x + 2b = 2b − c. Soluciones: x =

−b 2

±

r“ ” 2 b 2

„ «2 „ «2 8 8 = −8 2 2

−c

F´ ormula general ax2 + bx + c = 0. √ −b ± b2 − 4ac Soluciones: x = 2a

√ x − 4 = ±2 2 √ x = 4±2 2

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Funciones

Soluciones de ecuaciones lineales y cuadr´ aticas Ecuaci´ on lineal: ax + b = 0 con a 6= 0 Soluci´ on: x = −b a Ecuaci´ on cuadr´ atica: ax2 + bx + c = 0, a 6= 0. 1

Factorizaci´ on x2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0. Soluciones: x = −k y x = −d.

2

x2

Completaci´ on de cuadrados + bx + c = 0 “ ”2 “ ”2 x2+ bx + c = x2+ bx + 2b − 2b + c = 0 “ ”2 “ ”2 x + 2b = 2b − c. Soluciones: x =

3

−b 2

±

r“ ” 2 b 2

−c

F´ ormula general ax2 + bx + c = 0. p −b ± b2 − 4ac Soluciones: x = 2a

Ejemplo Resuelva:

x+1 x−2 = 3x + 2 2x − 3

Soluci´ on: (x + 1)(2x − 3)=(x − 2)(3x + 2) 2x2 − x − 3 = 3x2 − 4x − 4 x2 − 3x − 1 = 0 √ 3 ± 13 x = 2

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Funciones

Observaci´ on. 2 Para la ecuaci´ on de segundo on viene √ 2 grado ax + bx + c = 0 cuya soluci´ −b ± b − 4ac 2 , el valor b − 4ac se conoce como dada por x = 2a discriminante.

Si b2 − 4ac > 0 la ecuaci´ on tiene dos soluciones reales distintas. Si b2 − 4ac = 0 la ecuaci´ on tiene una u ´nica soluci´ on real. Si b2 − 4ac < 0 la ecuaci´ on no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas). Recomendaciones para la soluci´ on de problemas Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad desconocida (o inc´ ognita). Relacione los datos conocidos con la inc´ ognita a trav´es de una ecuaci´ on. Resuelva la ecuaci´ on y compruebe las soluciones obtenidas.

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Funciones

Observaci´ on. 2 Para la ecuaci´ on de segundo on viene √ 2 grado ax + bx + c = 0 cuya soluci´ −b ± b − 4ac 2 , el valor b − 4ac se conoce como dada por x = 2a discriminante.

Si b2 − 4ac > 0 la ecuaci´ on tiene dos soluciones reales distintas. Si b2 − 4ac = 0 la ecuaci´ on tiene una u ´nica soluci´ on real. Si b2 − 4ac < 0 la ecuaci´ on no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas). Recomendaciones para la soluci´ on de problemas Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad desconocida (o inc´ ognita). Relacione los datos conocidos con la inc´ ognita a trav´es de una ecuaci´ on. Resuelva la ecuaci´ on y compruebe las soluciones obtenidas.

Ecuaciones

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Funciones

Problemas de aplicaci´on Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Cu´ ales son las dimensiones de la l´ amina para hacer una caja que tenga un vol´ umen de 60cm3 ? Soluci´ on:

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Funciones

Problemas de aplicaci´on Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Cu´ ales son las dimensiones de la l´ amina para hacer una caja que tenga un vol´ umen de 60cm3 ? Soluci´ on:

Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm.

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Funciones

Problemas de aplicaci´on Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Cu´ ales son las dimensiones de la l´ amina para hacer una caja que tenga un vol´ umen de 60cm3 ? Soluci´ on:

Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm.

Paso 2. Ecuaci´ on: Volumen de una caja: Vol=base×altura Inc´ ognita = L

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Funciones

Problemas de aplicaci´on Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Cu´ ales son las dimensiones de la l´ amina para hacer una caja que tenga un vol´ umen de 60cm3 ? Soluci´ on:

Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm.

Paso 2. Ecuaci´ on: Volumen de una caja: Vol=base×altura Inc´ ognita = L

Paso 3. 3(2L − 6)(L − 6) = 60 L2 − 9L + 8 = 0 (L − 8)(L − 1) = 0

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Funciones

Problemas de aplicaci´on Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Cu´ ales son las dimensiones de la l´ amina para hacer una caja que tenga un vol´ umen de 60cm3 ? Soluci´ on:

Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm.

Paso 2. Ecuaci´ on: Volumen de una caja: Vol=base×altura Inc´ ognita = L

Paso 3. 3(2L − 6)(L − 6) = 60 L2 − 9L + 8 = 0 (L − 8)(L − 1) = 0 Luego L = 8cm es la soluci´ on v´ alida.

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Funciones

Problemas de aplicaci´on Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. ¿Cu´ ales son las dimensiones de la l´ amina para hacer una caja que tenga un vol´ umen de 60cm3 ? Soluci´ on:

Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm.

Paso 2. Ecuaci´ on: Volumen de una caja: Vol=base×altura Inc´ ognita = L

Paso 3. 3(2L − 6)(L − 6) = 60 L2 − 9L + 8 = 0 (L − 8)(L − 1) = 0 Luego L = 8cm es la soluci´ on v´ alida.

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Funciones

Desigualdades Propiedades de las desigualdades Propiedad de la no-negatividad: Propiedad aditiva:

a2 ≥ 0

Si a < b entonces a + c < b + c; adem´ as, si a > b entonces a + c > b + c Propiedades de la multiplicaci´ on por un escalar. Sea c > 0.

Si a < b entonces ac < bc; adem´ as a > b entonces ac > bc

Sea c < 0.

Si a < b entonces ac > bc; adem´ as a > b entonces ac < bc

Propiedades del rec´ıproco. Si a > 0, entonces

1 > 0; a

adem´ as, si Si a < 0, entonces

Desigualdades con valor absoluto |x| ≤ a

es equivalente a

−a < x < a

|x| ≥ a

es equivalente a

x ≥ a o x ≤ −a

1 < 0. a

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Funciones

Desigualdades Propiedades de las desigualdades Propiedad de la no-negatividad: Propiedad aditiva:

a2 ≥ 0

Si a < b entonces a + c < b + c; adem´ as, si a > b entonces a + c > b + c Propiedades de la multiplicaci´ on por un escalar. Sea c > 0.

Si a < b entonces ac < bc; adem´ as a > b entonces ac > bc

Sea c < 0.

Si a < b entonces ac > bc; adem´ as a > b entonces ac < bc

Propiedades del rec´ıproco. Si a > 0, entonces

1 > 0; a

adem´ as, si Si a < 0, entonces

Desigualdades con valor absoluto |x| ≤ a

es equivalente a

−a < x < a

|x| ≥ a

es equivalente a

x ≥ a o x ≤ −a

1 < 0. a

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Funciones

Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen

x2 − x − 6 ≥ 0. 1−x

Soluci´ on: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos:

(x + 2)(x − 3) ≥ 0, luego, usando (1 − x)

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Funciones

Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen

x2 − x − 6 ≥ 0. 1−x

Soluci´ on: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos:

(x + 2)(x − 3) ≥ 0, luego, usando (1 − x)

Ecuaciones

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Funciones

Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen

x2 − x − 6 ≥ 0. 1−x

Soluci´ on: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos:

(x + 2)(x − 3) ≥ 0, luego, usando (1 − x)

Ecuaciones

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Funciones

Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen

x2 − x − 6 ≥ 0. 1−x

Soluci´ on: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos:

(x + 2)(x − 3) ≥ 0, luego, usando (1 − x)

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Funciones

Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen

x2 − x − 6 ≥ 0. 1−x

Soluci´ on: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos:

(x + 2)(x − 3) ≥ 0, luego, usando (1 − x)

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Funciones

Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen

x2 − x − 6 ≥ 0. 1−x

Soluci´ on: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos:

(x + 2)(x − 3) ≥ 0, luego, usando (1 − x)

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Funciones

Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen

x2 − x − 6 ≥ 0. 1−x

Soluci´ on: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos:

(x + 2)(x − 3) ≥ 0, luego, usando (1 − x)

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Funciones

Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen

x2 − x − 6 ≥ 0. 1−x

Soluci´ on: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos:

(x + 2)(x − 3) ≥ 0, luego, usando (1 − x)

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Funciones

Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen

x2 − x − 6 ≥ 0. 1−x

Soluci´ on: Inicialmente, factorizamos y se obtiene:

(x + 2)(x − 3) ≥ 0, luego, usando (1 − x)

la leyes de los signos:

La soluci´ on es: x ∈ (−∞, −2] ∪ (1, 3].

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Ejemplo 2 ˛ ˛ ˛x + 4˛ ˛ < 2. Encuentre los valores de x que satisfacen ˛˛ x − 2˛ x+4 Soluci´ on: Descomponiendo valor absoluto: −2 < < 2, luego: x−2 x+4 x+4 −2 < y