ALGUNAS PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN ACERCA DEL RAZONAMIENTO PLAUSIBLE DESDE LA PERSPECTIVA DEL ENFOQUE ONTOLÓGICO – SEMIÓTICO1 María Elena Markiewicz Universidad Nacional de Río Cuarto – Argentina RESUMEN Este trabajo se enmarca en la tesis de maestría en Didáctica de la Matemática “El rol del razonamiento plausible en la enseñanza de la matemática del nivel medio” y tiene como objetivo plantear algunas cuestiones de investigación acerca del razonamiento plausible, según la agenda de investigación para la didáctica de la matemática proporcionada por el Enfoque Ontológico-Semiótico de la Cognición e Instrucción Matemática (Godino, 2003).

Palabras claves: investigación

Razonamiento

plausible;

Conjeturas;

Agenda

1. EL RAZONAMIENTO PLAUSIBLE EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS El objeto de estudio elegido es el razonamiento plausible o conjetural, definido por Polya (1954) como aquel que nos permite elaborar hipótesis y conjeturas que nos parecen acertadas, examinar su validez, contrastarlas y reformularlas para obtener nuevas hipótesis susceptibles de ser puestas a prueba. Dado que este tipo de razonamiento se pone en juego en la actividad matemática, es que podemos considerarlo como un objeto matemático. El motivo de la elección de este objeto de investigación tiene relación con el importante papel que juega el razonamiento plausible o conjetural dentro de la matemática. Sabemos que si bien la misma, presentada en su forma final, parece ser una ciencia puramente deductiva, en el momento de su construcción, no lo es: antes de probar un teorema matemático, hay que imaginarlo, conjeturarlo, contrastarlo en diferentes situaciones; así mismo antes de enfrentar los detalles de la demostración de un teorema hay que imaginarse la idea de la misma, relacionar, realizar analogías, etc. 1

Primer Congreso Internacional sobre Aplicaciones y Desarrollos de la Teoría de las Funciones Semióticas en Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Jaén.Noviembre, 2004.

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En el ámbito educativo, después de muchos años en que se ha manejado la idea de que la matemática se debe enseñar tal como está estructurada como ciencia, desde los medios académicos se ha ido imponiendo un enfoque de enseñanza a partir de la resolución de problemas, que involucre al alumno en un ambiente similar al que se encuentran los matemáticos al trabajar. Esto implica, entre otras cosas, que el estudiante debe tener la posibilidad de observar, relacionar, buscar regularidades o analogías, generalizar, contrastar sus conjeturas de diversos modos, particularizar, reformular sus conjeturas, todo lo cual forma parte del razonamiento plausible. Sin embargo, la observación de la práctica escolar, realizada en el campo experimental de nuestro ámbito de investigación, nos permitió detectar el siguiente problema didáctico: En el contexto escolar, en particular en la escuela media, no hay demasiados espacios que permitan el desarrollo del razonamiento plausible, y la toma de conciencia de su papel y de su importancia dentro de la matemática. Esto genera, en el ámbito de la clase de matemática, una suerte de “confusión argumentativa”, producto de la falta de discriminación entre la fase de acción y la fase de validación en la resolución de problemas, y de la falta de distinción entre distintas formas de validación. Este problema fue el que nos llevó a indagar con más profundidad al razonamiento plausible y a preguntarnos acerca del papel que juega o que debería jugar en la enseñanza de la matemática del nivel medio. Sin embargo, la respuesta a esta pregunta no es sencilla, ya que cuando comenzamos a pensar en el tema, aparecen numerosas cuestiones a considerar, cuestiones que tienen una naturaleza muy diferente, pero que es necesario abordar si se quiere realizar un estudio sistemático del tema. El Enfoque Ontológico- Semiótico (Godino, 2003) nos da pautas para plantear y clasificar las preguntas referidas a nuestro objeto de investigación. Esta clasificación se realiza teniendo en cuenta dos ejes o dimensiones complementarias, según el FIN y el FOCO de la investigación. El FOCO de la investigación comprende las siguientes categorías: EPISTÉMICA: cuando el énfasis está puesto en los significados institucionales. COGNITIVA: cuando el interés gira en torno a los significados personales. INSTRUCCIONAL: cuando el foco está centrado en la interacción entre significados personales e institucionales.

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El FIN de la investigación, comprende a su vez, las siguientes categorías: SEMIOMETRÍA: cuando se trata de describir significados (institucionales y personales) ECOLOGÍA: cuando el fin es estudiar las relaciones entre los significados de un objeto así como su relación con otros objetos. DINÁMICA: si el fin es analizar los cambios de los significados, ya sea institucionales o personales. A continuación mostraremos cuáles son las preguntas que nos planteamos en cada una de las categorías consideradas, destacando que en el trabajo de tesis antes mencionado se profundizan aquellas correspondientes a la dimensión epistémica. 2. PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN SOBRE RAZONAMIENTO PLAUSIBLE 2.1. Dimensión epistémica Dentro de la faceta epistémica nos preguntamos acerca de la naturaleza misma de nuestro objeto de investigación, lo cual implica comenzar a identificar los significados institucionales del mismo. En especial, nos interesa caracterizar su significado en la institución matemática, explicitando los sistemas de prácticas vinculados al razonamiento plausible en este contexto y delimitando los elementos praxémicos y discursivos correspondientes. Es decir, trataremos de determinar en qué situaciones se pone en funcionamiento el razonamiento conjetural, qué procedimientos están vinculados al mismo, y qué definiciones, propiedades y argumentaciones forman parte de su significado. Esto nos permitirá contar con un marco de referencia para luego poder analizar las características del significado de razonamiento plausible en las instituciones de enseñanza, en particular para poder detectar ciertas trazas o indicios de razonamiento plausible presentes en el currículo y en los libros de texto de nivel medio. Como hasta aquí nuestro fin es la descripción o caracterización de significados institucionales, estas cuestiones están dentro de lo que consideramos como semiometría. Ahora bien, el razonamiento plausible no sólo está presente en la matemática: la evidencia inductiva de un físico, la evidencia circunstancial de un abogado, la evidencia documental de un historiador así como la evidencia estadística de un economista pertenecen al razonamiento

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plausible. Esto es, este tipo de razonamiento se encuentra en diferentes “lugares”, aparece en diferentes contextos institucionales, y, dado que, tal como lo expresan Godino y Recio 2001), el estudiante se encuentra sujeto simultáneamente a algunas de estas instituciones, en particular la vida diaria y las ciencias experimentales, en cuyo seno se ponen en práctica distintos esquemas argumentativos, y en particular el razonamiento plausible, consideramos que es necesario analizar su función, su papel en dichos contextos, haciendo énfasis en las relaciones entre su uso en uno y otro contexto. También nos interesa analizar la relación del razonamiento plausible con otros objetos con los cuales entra en asociación, en particular, con la demostración deductiva. Estas cuestiones corresponden a la “ecología” ya que tienen como fin el análisis de las relaciones entre significados. Por otra parte, en la categoría correspondiente a la dinámica de significados, nos interesa determinar los cambios que el significado institucional de nuestro objeto sufre para convertirse en un saber a enseñar, a través de distintas instituciones de enseñanza. Estos cambios se analizarán a través de la comparación de aquellas trazas o indicios de razonamiento plausible detectados en el currículo y en los libros de texto con el significado de referencia descripto en la semiometría. Así mismo, dicho marco de referencia nos proporcionará pautas para la construcción de un significado institucional adecuado acerca del razonamiento plausible para el nivel medio, es decir, nos dará criterios para la elaboración de praxeologías que permitan superar la problemática planteada en nuestro problema didáctico. En resumen: Semiometría - ¿Cuál es el significado del razonamiento plausible en la institución matemática? ¿Cuáles son los elementos praxémicos (situaciones, procedimientos) y discursivos (definiciones, propiedades, argumentaciones) que constituyen el sistema de prácticas vinculado al razonamiento plausible en la matemática? - ¿Qué características tiene el significado del razonamiento plausible en las instituciones de enseñanza?, ¿Qué trazas o indicios de razonamiento plausible podemos hallar en el currículo y en los libros de texto de nivel medio? Ecología

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- ¿ Qué papel desempeña el razonamiento plausible en otros contextos institucionales en los que aparece, en particular en la vida cotidiana y en las ciencias experimentales? ¿Qué relaciones hay entre su uso en estos contextos y en la matemática? - ¿Cuál es su relación con otros objetos, en particular con la demostración deductiva? Dinámica - ¿Cómo cambia el significado institucional en distintas instituciones de enseñanza, en particular en el currículo y en los textos más comúnmente utilizados por los docentes del nivel medio? - ¿Qué elementos de significado (situaciones, procedimientos, elementos discursivos) deberían tenerse en cuenta para la construcción de un significado institucional adecuado sobre el razonamiento plausible en el nivel medio? 2.2. Dimensión cognitiva Esta dimensión está referida a la caracterización de los significados personales de los sujetos acerca de nuestro objeto de investigación. Es por ello que nos interesa aquí determinar en qué situaciones o momentos del proceso de estudio utilizan los alumnos del nivel medio el razonamiento plausible o conjetural, qué acciones o procedimientos ponen en juego, qué patrones de inferencia plausible utilizan. Queremos saber hasta qué punto el alumno utiliza de manera legítima o pertinente los procedimientos y patrones del razonamiento plausible, y si es conciente de su alcance y limitaciones. Nos interesa determinar también qué relaciones establece el sujeto entre distintas formas de validación, más específicamente entre el razonamiento plausible y el deductivo. En particular, nos preguntamos si el razonamiento plausible puede convertirse en un obstáculo para avanzar en la demostración deductiva o si, por el contrario, puede facilitar su construcción. También nos interesa identificar los conflictos semióticos que se pueden plantear a los estudiantes y que, por tanto, requerirán una atención especial en los procesos de estudio, y nos preguntamos acerca de la evolución de los conocimientos de los alumnos, es decir, la transformación de los significados personales como consecuencia de la instrucción.

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En resumen, las preguntas que nos planteamos en esta dimensión son las siguientes: Semiometría - ¿En qué situaciones o momentos utilizan los alumnos del nivel medio el razonamiento plausible? - ¿Qué procedimientos utilizan en la elaboración y contrastación de una conjetura?, ¿Qué patrones ponen en funcionamiento? - Los alumnos, ¿utilizan estos procedimientos y patrones de manera pertinente, siendo concientes de su alcance y de sus limitaciones? Ecología -¿Qué relaciones establece el alumno entre distintas formas de argumentación, en particular, entre el razonamiento plausible y el deductivo? - El razonamiento plausible, ¿puede constituir un obstáculo para el alumno en la elaboración de una demostración deductiva o por el contrario, puede facilitar la construcción de la misma? Dinámica - ¿Qué dificultades cognitivas pueden presentar los alumnos en la utilización del razonamiento conjetural?, ¿Cuáles pueden ser los motivos de tales dificultades? - ¿Cómo cambian los significados personales como consecuencia de un determinado proceso de instrucción? 2.3.

Dimensión instruccional

Esta dimensión está referida a la relación docente-alumno-contenido y apunta, fundamentalmente a la elaboración de un proceso instruccional viable y óptimo vinculado al razonamiento plausible para ser implementado en la escuela, en función de los análisis epistémico y cognitivo realizados previamente. Ello incluirá no sólo la selección de una praxeología matemática adecuada y la determinación de las funciones del docente y del alumno sino también el análisis de las interacciones entre elementos de significado y tales funciones docentes y discentes. Deberá tenerse en cuenta

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también cuáles son los factores que condicionarán el proceso de instrucción y cómo se desarrollará este proceso a lo largo del tiempo. En resumen: Semiometría - ¿Qué situaciones deberían plantearse para favorecer el desarrollo del razonamiento plausible en el alumno del nivel medio? ¿Qué procedimientos deberían ponerse en funcionamiento? ¿Qué elementos discursivos deberían explicitarse? - ¿Cuáles deberían ser las funciones del docente? ¿Cuáles deberían ser las funciones del alumno? - ¿Qué patrones de interacción debe haber entre las funciones docentes y discentes y los distintos componentes del contenido pretendido del proceso de estudio? Ecología - ¿Qué factores deberían tenerse en cuenta en el diseño de un proceso instruccional orientado a lograr que el alumno pueda distinguir entre distintas formas de argumentación, y comprenda la relación entre razonamiento plausible y deductivo? Dinámica - ¿Cómo se debería desarrollar el proceso de instrucción a lo largo del tiempo? 3. REFLEXIONES FINALES Debemos destacar que, tal como lo expresan Godino y Arrieche (2001), las cuestiones referidas a la dimensión epistémica tienen un carácter primario, esto es, deben estudiarse en primer lugar, ya que sus resultados y conclusiones determinan las restantes facetas. Aunque entre las facetas cognitiva e instruccional hay una dialéctica más compleja ya que, por una parte, los significados construidos por los estudiantes dependen del proceso de estudio seguido; pero este proceso debe tener en cuenta también los significados personales y los potenciales conflictos cognitivos identificados en investigaciones previas. Respecto al enfoque metodológico a emplear en la investigación, según lo expresado por Godino (2003), se deben combinar diversos métodos y

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técnicas de recogida y análisis de datos según las diferentes fases de la investigación y dependiendo del problema abordado. Así, en la dimensión epistémica el estudio será fundamentalmente documental, recurriéndose al análisis de trabajos relacionados al razonamiento plausible de varios autores del ámbito científico, de textos de historia de la matemática, del currículo nacional oficial correspondiente a la Educación General Básica y de textos de enseñanza correspondiente a este nivel. En las dimensiones cognitiva e instruccional, en cambio, se deberá combinar el enfoque cuantitativo- experimental con el cualitativo- interpretativo. Como los métodos cuantitativos muestran las tendencias existentes en la población, pero no toda la riqueza de la variabilidad individual, estos deben ser complementados con métodos cualitativos, en particular, el estudio de casos, que permitirá analizar los significados personales, detectando las dificultades, conflictos y grado de comprensión logrado por los estudiantes de la muestra y también enfocar algunas de las cuestiones relativas a la faceta instruccional. Claro que estos estudios de tipo cualitativos, al realizarse con muestras reducidas, tendrán un carácter exploratorio y permitirán formular hipótesis que luego deberán ser contrastadas formalmente en nuevas investigaciones. REFERENCIAS: Godino, J. D.(2003). Teoría de las funciones semióticas. Un Enfoque Ontológico-Semiótico de la Cognición e Instrucción Matemática. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. [Recuperable en: http://www.ugr.es/local/jgodino] Godino, J. D. y Arrieche, M. (2001). Génesis de un tema de investigación: Papel de la teoría de conjuntos en la formación de maestros. En P. Gómez y L. Rico (Eds.), Iniciación a la investigación en Didáctica de la Matemática. Homenaje al profesor Maurio Castro (pp. 245-255). Granada: Universidad de Granada. Godino, J. D. y Recio, A. M. (2001). Significados institucionales de la demostración matemática. Implicaciones para la educación matemática. Enseñanza de las Ciencias, 19 (3), 405-414. Polya, G.(1954). Mathematics and Plausible Reasoning. New Jersey: Princeton University Press.

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