Algunas propiedades deducidas de semejanzas asociadas a los v´ ertices de un tri´ angulo Angel Montesdeoca

Para un punto P , sobre la circunferencia circunscrita a un tri´angulo ABC, consideramos tri´angulos que tienen dos de sus v´ertices en los del tri´angulo dado y son semejantes al formado por P y dos de los v´ertices de ABC. Estudiamos diversas configuraciones asociadas a estos tri´angulos, en las que est´an involucrados ciertos centros y c´onicas asociadas a ABC. 4 ∇

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Semejanzas directas asociadas a los v´ ertices de un tri´ angulo

Las seis posibles semejanzas directas (no involutivas y sin puntos fijos en los v´ertices), definidas tomando como puntos hom´ologos entre los v´ertices de ABC son las que tienen las siguientes parejas de pares hom´ologos: A 7→ B y B 7→ C;

A 7→ B y C 7→ A;

A 7→ C y B 7→ A;

A 7→ C y C 7→ B;

B 7→ A y C 7→ B;

B 7→ C y C 7→ A.

Las ecuaciones de la semejanza directa definida por B 7→ C y C 7→ A son, en coordenadas baric´entricas respecto a ABC: λx0 = (c2 − b2 )x + a2 z,

λy 0 = b2 x,

λz 0 = (a2 − c2 )x + a2 y.

Esto surge del hecho de que el punto hom´ologo del punto X(x : y : z) en tal semejanza se obtiene intersecando la recta que resulta de girar CA, alrededor de C, un ´angulo igual al que forman las rectas BC y BX, con la que nos da al girar CA, alrededor de A, un ´angulo igual al que determinan CB y CX (AM. §13.3, pag. 50) 1 . Las rectas giradas tienen de coeficientes, respectivamente: ¡

¢ b2 x : (b2 − c2 )x − a2 z : 0 ,

¡

¢ 0 : (c2 − a2 )x + a2 y : b2 x .

4 ∇ 1

A. Monteseoca.- Geometr´ıa m´ etrica y proyectiva en el plano con coordenadas baric´ entricas.

La Laguna, 4 de Agosto del 2010

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Angel Montesdeoca

Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ ertices de un tri´ angulo

En los enunciados que aparecen a continuaci´on pueden omitirse algunos entes o nomenclaturas, por abreviar, que ya est´en citados en alguna parte anterior de este documento.

Sea P un punto en la circunferencia circunscrita a un tri´angulo ABC, consideremos los tri´angulos directamente semejantes CABa ∼ BCP , ABCb ∼ CAP y BCAc ∼ ABP . Entonces los puntos Ba , Cb y Ac est´an alineados y, si U (u : v : w) son las coordenadas baric´entricas del conjugado isogonal de P (u + v + w = 0), el punto del infinito de la recta que los contiene es: U 0 (a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w). La transformaci´on U 7→ U 0 es la involuci´on que la hip´erbola de Kiepert induce en la recta del infinito. La transformaci´on P 7→ P 0 (P 0 conjugado isogonal de U 0 ) es la simetr´ıa respecto al eje de Brocard. La imagen del punto P (a2 vw : b2 wu : c2 uv), u + v + w = 0, sobre la circunferencia circunscrita, mediante la semejanza directa que transforma B 7→ C y C 7→ A, es: ¡ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢¢ Ba −v c2 v + b2 w : b2 vw : w b2 u + a2 − c2 v .

Razonando de la misma manera, se obtienen las ecuaciones las restantes semejanzas consideradas arriba. As´ı, para la semejanza dada por B 7→ A y C 7→ B, las ecuaciones son: λx0 = a2 z,

λy 0 = c2 x + (c2 − b2 )z,

λz 0 = c2 y + (b2 − a2 )z,

el punto hom´ologo de P es: ¡ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ Ca w c2 v + b2 w : v uc2 + a2 − b2 w : c2 vw . Procediendo c´ıclicamente, se obtienen las coordenadas de los puntos, para las correspondientes semejanzas, hom´ologos de P : ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¡ ¢ ¢ Cb u c2 v + b2 − a2 w : −w c2 u + a2 w : c2 uw , ¢¢ ¢ ¡ ¡ ¢ ¡¡ Ab a2 uw : −u c2 u + a2 w : w b2 − c2 u + va2 , ¡ ¡¡ ¢ ¢ ¡ ¢¢ Ac a2 uv : v c2 − b2 u + a2 w : −u b2 u + a2 v , ¡ ¡¡ ¢ ¢ ¡ ¢¢ Bc u c2 − a2 v + b2 w : b2 uv : −v b2 u + a2 v .

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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

Siendo el determinante formado por las coordenadas de los puntos Ba , Cb y Ac igual a: ¡ ¢ ¡ ¢ − a4 + b4 + c4 − b2 c2 − c2 a2 − a2 b2 uvw(u + v + w) a2 vw + c2 uv + b2 uw , ellos est´an alineados, al ser u + v + w = 0. El punto del infinito de la recta que determinan es: U 0 (a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w). En los tri´angulos ABCa ∼ BCP , BCAb ∼ CAP y CABc ∼ ABP , los v´ertices Ab , Bc y Ca tambi´en est´an alineados, en una recta paralela a la determinada por los tres puntos Ba , Cb y Ac . La correspondencia: U (u : v : w) 7−→ U 0 (a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w), es una involuci´on sobre la recta del infinito (U 0 7→ U ). De hecho, la involuci´on U 7→ U 0 es la que la hip´erbola de Kiepert (isogonal conjugada del eje de Brocard), hip´erbola equil´atera circunscrita al tri´angulo de referencia y que pasa por el baricentro, de ecuaci´on (b2 − c2 )yz + (c2 − a2 )zx + (a2 − b2 )xy = 0, induce sobre la recta del infinito; pues la polar de U (u : v : w) respecto a la hip´erbola de Kiepert es: ¡ 2 ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ (a − b2 )v + (c2 − a2 )w x + (a2 − b2 )u + (b2 − c2 )w y + (c2 − a2 )u + (b2 − c2 )v z = 0. La cual corta a la recta del infinito, x + y + z = 0, en el punto U 0 . Por tanto, la correspondencia P 7→ P 0 (P 0 conjugado isogonal de U 0 ) es una involuci´on sobre la circunferencia circunscrita, que en realidad es la simetr´ıa respecto al eje de Brocard, OK, que es el eje de perspectividad de la involuci´on 2 . 2

Esto es una caso particular de la situaci´ on general siguiente:

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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

Podemos hacer una comprobaci´on de este hecho, tomando pares de puntos (centros de ETC) hom´ologos en la involuci´on:

µ X74

a2 : ··· 2 a SA − 2SB SC

¶

µ 7→ X842

¶ a2 : · · · , a2 (a2 SA + b2 c2 ) − 2(a2 SB SC + b2 SA SB + c2 SA SC )

las rectas que unen estos puntos con cualquier otro par de puntos hom´ologos, se cortan en el eje de perspectividad. As´ı, por ejemplo, sean los dos pares de puntos hom´ologos siguientes: ¶ ¶ µ µ a2 a2 X110 : · · · − 7 → X : · · · . 691 b2 − c2 (b2 − c2 )(b2 + c2 − 2a2 ) µ ¶ µ ¶ a2 a2 X112 : ··· 7−→ X2715 : ··· . (b2 − c2 )SA b4 SB − c4 SC ¿Dados un tri´ angulo ABC, una recta ` (no tangente a la circunferencia circunscrita Γ) y la c´ onica circunscrita, C` , conjugada isogonal de `. Si P es un punto de Γ, sean d el di´ ametro de C` con punto impropio el conjugado isogonal de P , d0 su di´ ametro conjugado y P 0 el conjugado isogonal del punto del infinito de d0 . Entonces, la correspondencia σ : P 7−→ P 0 es una involuci´ on sobre Γ, con eje de perspectividad `. Adem´ as, si ` pasa por el circuncentro, σ es la simetr´ıa respecto a ` À. En efecto, la correspondencia entre di´ ametros conjugados de una c´ onica (elipse o hip´ erbola) es una involuci´ on con elementos dobles las as´ıntotas, en el caso de la hip´ erbola. La correspondencia que a un di´ ametro d le asigna el punto P , en la circunferencia circunscrita, conjugado isogonal de su punto del infinito, es una proyectividad; ya que P se obtiene, trazando una paralela a d por un v´ ertice (sea A), luego la recta sim´ etrica de ´ esta, respecto a la bisectriz en A, y finalmente, P es el otro punto en que la u ´ ltima recta trazada vuelve a cortar a Γ. Tenemos as´ı, que σ : P 7−→ P 0 es un involuci´ on sobre Γ y las rectas que unen puntos hom´ ologos pasa por un punto (polo de la involuci´ on), cuya polar es el eje de perspectividad ´ de la involuci´ on. Este contiene a los puntos dobles (reales o imaginarios) de la involuci´ on, que son los puntos de contacto con Γ de las tangentes trazadas desde el polo. Estos puntos de tangencia son los correspondientes conjugados isogonales de los puntos del infinito de la c´ onica circunscrita; es decir que est´ an en la recta `, la cual coincide, por tanto, con el eje de perspectividad de la involuci´ on. En el caso de que ` contenga al circuncentro, el polo de la involuci´ on est´ a en el infinito, ya que es la intersecci´ on de las tangentes en puntos antipodales. As´ı, σ : P 7−→ P 0 es la simetr´ıa respecto a `.

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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

El punto X74 X110 ∩X842 X691 , pertenece al eje de perspectividad; que se trata del circuncentro O, pues X74 y X110 son antipodales y tambi´en los son X691 y X842 . Tambi´en pertenece a dicho eje el simediano K = X74 X112 ∩ X842 X2715 . Por otra parte, las rectas X74 X691 y X110 X842 son paralelas, sim´etricas respecto a O y se cortan en el eje de perspectividad, por lo que X74 y X842 son sim´etricos respecto al eje de Brocard. As´ı, las rectas X842 P y X74 P 0 , que se cortan en el eje de perspectividad, son sim´etricas respecto a ´este, es decir, P y P 0 son sim´etricos, respecto al eje de Brocard. ¤

Los puntos medios de los segmentos Ba Ca , Cb Ab y Ac Bc coinciden, en el punto imagen (en la circunferencia de Euler) de P mediante la homotecia de centro en el baricentro y raz´on −1/2. El punto medio de cualquiera de los tres segmentos Ba Ca , Cb Ab y Ac Bc es el punto: ¡ 2 ¢ u(c v + b2 w) : v(a2 w + c2 u) : w(b2 u + a2 v) , que es el complemento de P , y est´a en la circunferencia de Euler (al estar P en la circunferencia circunscrita). ¤

Cada terna de rectas AP, BCa y CBa ; BP, CAb y ACb , y CP, ABc y BAc son paralelas entre s´ı. Si A0 = BAc ∩ CAb , B 0 = CBa ∩ ABc y C 0 = ACb ∩ BAc , entonces los puntos medios de los segmentos AA0 , BB 0 y CC 0 coinciden, en el punto imagen (en la circunferencia de Euler) de P mediante la homotecia de centro en el baricentro y raz´on −1/2. El punto del infinito de cada una de las tres rectas AP, BCa y CBa es (c2 v + b2 w : −b2 w : −c2 v). Las dos restantes ternas de rectas tienen como puntos del infinito (−a2 w : c2 u + a2 w : −c2 u) y (−a2 v : −b2 u : b2 u + a2 v). La Laguna, 4 de Agosto del 2010

P´ ag. 5/18

Angel Montesdeoca

Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

Por otro lado, se tiene que:

¡ ¢ A0 −a2 vw : v(a2 w + c2 u) : w(b2 u + a2 v) , ¡ ¢ B 0 u(c2 v + b2 w) : −b2 wu : w(b2 u + a2 v) , ¡ ¢ C 0 u(c2 v + b2 w) : v(a2 w + c2 u) : −c2 uv) .

Las sumas de las coordenadas de cada uno de estos puntos es a2 vw +b2 wu+c2 uv. Por lo que poniendo A(a2 vw + b2 wu + c2 uv : 0 : 0) el punto del segmento AA0 es: coinciden en: ¡ 2 ¢ u(c v + b2 w) : v(a2 w + c2 u) : w(b2 u + a2 v) . Este punto coincide con el punto medio de los segmentos BB 0 y CC 0 .

¤

Los seis puntos A0b = BAc ∩ ABa , Bc0 = CBa ∩ BCb , Ca0 = ACb ∩ CAc , A0c = CAb ∩ ACa , Ba0 = ABc ∩ BAb , Cb0 = BCa ∩ CBc , est´an en la circunferencia circunscrita. Los tri´angulos A0c Ba0 Cb0 son congruentes para cualquier P (en la circunferencia circunscrita) y sim´etricos a A0b Bc0 Ca0 con respecto a la recta OP . (Applet CabriJava) Las coordenadas de los puntos A0b y A0c son: ¡ ¢ A0b a2 v(b2 u + (a2 − c2 )v) : −b2 v(b2 u + a2 v) : −b4 u2 + b2 (c2 − 2a2 )uv + a2 (c2 − a2 )v 2 , ¡ ¢ A0c −a2 w(c2 u + (a2 − b2 )w) : c4 u2 + (2a2 − b2 )c2 uw + a2 (a2 − b2 )w2 : c2 w(c2 u + a2 w) . Las coordenadas de los puntos Bc0 y Ca0 se obtienen permutando c´ıclicamente las de A0b . Las de los puntos Ba0 y Cb0 se deducen de las de A0c permutando c´ıclicamente dos veces. Sustituyendo las coordenadas de estos seis puntos en la ecuaci´on de la circunferencia circunscrita, a2 yz + b2 zx + c2 xy = 0, se comprueba que est´an sobre ella.

La Laguna, 4 de Agosto del 2010

P´ ag. 6/18

Angel Montesdeoca

Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

Que todos los tri´angulos A0c Ba0 Cb0 son congruentes es porque: Ba0 Cb0 =

|b2 − c2 | , a

Cb0 A0c =

|c2 − a2 | , b

A0c Ba0 =

|a2 − b2 | . c

A0b Bc0 =

|a2 − b2 | . c

Tambi´en con congruentes los tri´angulos A0b Bc0 Ca0 : Bc0 Ca0 =

|b2 − c2 | , a

Ca0 A0b =

|c2 − a2 | , b

Otras distancias, entre pares de v´ertices de estos tri´angulos, son: Bc0 Cb0 = BC = a, A0b A0c =

2SA = 2a cos A, bc

Ca0 A0c = CA = b, Ba0 Bc0 =

A0b Ba0 = AB = c,

2SB = 2b cos B, ac

Ca0 Cb0 =

2SC = 2c cos C. ab

Nos falta establecer que los A0c Ba0 Cb0 y A0b Bc0 Ca0 son sim´etricos respecto al di´ametro OP . Pero esto surge de que el punto del infinito del di´ametro perpendicular a OP es: ¡ 2 2 2 ¢ a (c v − b2 w2 ) : b2 (a2 w2 − c2 u2 ) : c2 (b2 u2 − a2 v 2 ) . Y de que el determinante formado por estas coordenadas y las de los puntos A0b y A0c es: a2 b2 c2 (u + v + w)(−b2 c2 u2 − c2 (a2 − c2 )uv − b2 (a2 − b2 )uw + 2a2 SA vw)(−c2 u2 v + b2 u2 w − a2 v 2 w + a2 vw2 ),

que es nulo, al ser u + v + w = 0; con lo que A0b y A0c son los extremos de una cuerda perpendicular a OP . An´alogamente, se establece que Bc0 Ba0 y Ca0 Cb0 son cuerdas de la circunferencia circunscritas perpendiculares al di´ametro OP . ¤

Los puntos P para los cuales las rectas Ba Cb Ac y Ab Bc Ca son paralelas a los lados de ABC, son los otros puntos en los que las paralelas por los v´ertices a la direcci´on del conjugado isogonal del punto de Steiner, vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita. La recta Ba Cb Ac es paralela al lado BC, cuando sus puntos del infinito: U 0 (a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w)

y

(0 : 1 : −1),

coinciden; lo cual ocurre para U (b2 − c2 : a2 − b2 : c2 − a2 ). La recta Ba Cb Ac es paralela al lado CA o al AB, cuando U coincide, respectivamente, con (a2 − b2 : c − a2 : b2 − c2 ) ´o (c2 − a2 : b2 − c2 : a2 − b2 ). Luego los puntos, sobre la circunferencia circunscrita, buscados son: 2

µ Ua

b2

a2 b2 c2 : 2 : 2 2 2 −c a −b c − a2

¶

µ , Ub

a2

a2 b2 c2 : 2 : 2 2 2 −b c −a b − c2

¶

µ , Uc

c2

a2 b2 c2 : 2 : 2 2 2 −a b −c a − b2

¶ .

Es decir, el tri´angulo circunceviano del punto X512 , conjugado isogonal del punto de Steiner, X99 . La Laguna, 4 de Agosto del 2010

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Angel Montesdeoca

Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

Cuando P = Ua , se tiene que Ub = Cb0 = BCa ∩ CBc y Uc = Bc0 = BCb ∩ CBa . Si P = Ub , entonces Ua = Ca0 = ACb ∩ CAc y Uc = A0c = CAb ∩ ACa . Y, finalmete, si P = Uc , ocurre que Ua = Ba0 = ABc ∩ BAb y Ub = A0b = BAc ∩ ABa . ¤

Las rectas AP, BBa y CCa son concurrentes cuando P coinciden con uno de los tres puntos siguientes (en la circunferencia circunscrita Γ): los puntos donde las bisectrices (interior y exterior) en A y la paralela a BC por A, vuelven a corta a Γ. El valor del determinante formado por los coeficientes de las rectas AP, BBa y CCa es: (c4 uv 3 + a2 c2 v 3 w − b2 c2 v 3 w − b4 uw3 − a2 b2 vw3 + b2 c2 vw3 )(c2 v + b2 w). El cual se anula para los puntos, en la recta del infinito: (−b − c : b : c),

(b − c : −b : c),

(b2 − c2 : −b2 : c2 ),

cuyos conjugados isogonales (en la circunferencia circunscrita) est´an, respectivamente, en las bisectrices interior y exterior del ´angulo en A (es decir, en la mediatriz del lado BC y los puntos de concurrencia son centros de perspectividad de Kiepert (AM. §15, pag. 61)) y en la paralela por A a BC. Por tanto, en este u ´ltimo caso, se tiene que la recta Ba Ca coincide con el lado BC. Situaci´on similar se tiene para la concurrencia de las tres rectas BP, CCb y AAb y para las tres rectas CP, AAc y BBc . ¤

El punto P (en la circunferencia circunscrita), para el que los seis puntos Ba , Cb , Ac , Ab , Bc y Ca est´an en una misma recta, es el foco de la par´abola de Kiepert. Una de las formas de expresar la condici´on de alineamiento de estos seis puntos es: (−b2 c2 + c4 )u2 v + (−a2 c2 + c4 )uv 2 + (a2 b2 − b2 c2 )u2 w + (a2 b2 − a2 c2 )v 2 w+ +(a4 + b4 + 2c4 − 2b2 c2 − 2a2 c2 )uvw = 0, u + v + w = 0. Cuya u ´nica soluci´on real es el punto, en la recta del infinito, (b2 −c2 : c2 −a2 : a2 −b2 ), cuyo conjugado isogonal es el punto X110 , foco de la par´abola de Kiepert: µ ¶ a2 b2 c2 : : . b2 − c2 c2 − a2 a2 − b2 El punto de medio com´ un de los segmentos Ba Ca , Cb Ab y Ac Bc es, ahora, el centro de la hip´erbola de Jerabek, X125 (en la circunferencia de Euler). Y la recta que contiene a los seis puntos es: t: La Laguna, 4 de Agosto del 2010

b2

x y z + 2 + 2 = 0. 2 2 −c c −a a − b2 P´ ag. 8/18

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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

Es perpendicular3 a la recta que pasa por X110 y X125 ; y se trata de la tripolar del punto X523 , conjugado isogonal del foco de la par´abola de Kiepert. Esta recta vuelve a cortar a la circunferencia de Euler en el punto X115 , centro de la hip´erbola de Kiepert y su punto del infinito es el X690 . Por supuesto, esta recta es la tangente com´ un a la tres c´onica envolventes de las rectas Ba Ca , Cb Ab y Ac BC , cuando P var´ıa en la circunferencia circunscrita. ¤

Las tres c´onicas envolventes de las rectas Ba Ca , Cb Ab y Ac Bc son bitangentes a la circunferencia de Euler. Las rectas que unen los puntos de contacto (reales o imaginarios) forman un tri´angulo Ea Eb Ec perspectivo con ABC, con centro de perspectividad en el conjugado isogonal del foco de la par´abola de Kiepert. Cada par de tangentes (reales o imaginarias) en los puntos de contacto se cortan en los v´ertices de Ea Eb Ec . La ecuaci´on de la recta Ba Ca , cuando P var´ıa en la circunferencia circunscrita (es decir, cuando su conjugado isogonal, U (t : 1 − t : −1), var´ıa en la recta del infinito), la podemos poner en la forma: (−a2 + b2 + c2 )(t − 1)x + (−b2 − c2 (t − 1))y + (−b2 − c2 (t − 1))(t − 1)z = 0. Estas rectas envuelven a la c´onica inscrita en ABC: 2 2 Ca : 4SA x + c4 y 2 + b4 z 2 − 2b2 c2 yz − 4b2 SA zx − 4c2 SA xy = 0.

Similarmente, se tienen las ecuaciones de las c´onicas que envuelven las rectas Cb Ab y Ac Bc , que son, respectivamente: 2 2 y + a4 z 2 − 4a2 SB yz − 2a2 c2 zx − 4c2 SB xy = 0, Cb : c4 x2 + 4SB 2 2 z − 4a2 SC yz − 4b2 SC zx − 2a2 b2 xy = 0. Cc : b4 x2 + a4 y 2 + 4SC

Si consideramos el haz de c´onicas determinado por la circunferencia de Euler y la c´onica Ca : 2 2 SA x2 + SB y 2 + SC z 2 − a2 yz − b2 zx − c2 xy + λ(4SA x + c4 y 2 + b4 z 2 − 2b2 c2 yz − 4b2 SA zx − 4c2 SA xy) = 0,

los valores de λ que anulan al polinomio caracter´ıstico (que corresponden a las c´onicas degeneradas del haz) son: a2 1 , . b2 c2 2SA El segundo, que es doble, da lugar a una recta doble, que pasa por los puntos (reales o imaginarios) de bitangencia: da : (a2 − b2 )y + (c2 − a2 )z = 0. La ra´ız simple, nos da la c´onica degenerada determinada por las tangentes comunes, cuya matriz asociada (de determinante nulo) es: ¢  ¢¡ ¡ ¢ ¢ ¡ ¢ ¡ 2 ¢¡ ¢¡  ¡ 2 a¡ − b2 ¢c2 a¡2 − c2 ¢ b2 a2 − b2 a2 − c2 a − ¡b2 a2 −¢ c2 ¡ a2 − b¢2 − c2 .  0¢ ¡ − a2 − b2 c2 b2 − c2 a2¡ − b2 c¢2 ¡a2 − c2 ¢ ¡ ¢ 2 2 2 2 2 b a −b a −c 0 b2 a2 − c2 b2 − c2 3

Quang Tuan Bui, http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/19123

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P´ ag. 9/18

Angel Montesdeoca

Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

El punto com´ un de estas tangentes es: Ta (c2 − b2 : c2 − a2 : a2 − b2 ). C´alculos similares para los haces de c´onicas formados por la circunferencia de Euler y cada una de las restantes c´onicas, Cb y Cc , nos dan como rectas dobles y puntos de intersecci´on de las tangentes comunes: db : (a2 − b2 )x + (b2 − c2 )z = 0, Tb (b2 − c2 : a2 − c2 : a2 − b2 ),

dc : (c2 − a2 )x + (b2 − c2 )y = 0. Tc (b2 − c2 : c2 − a2 : b2 − a2 ).

El tri´angulo 4 Ta Tb Tc es perspectivo con ABC, con centro de perspectividad X523 , conjugado isogonal del foco de la par´abola de Kiepert. Los puntos de tangencia, con cada una de estas c´onicas, de la tangente t com´ un (1) son, respectivamente: µ 2 ¶ 2(b − c2 )2 SA (c2 − a2 )2 (a2 − b2 )2 La : : , b2 c2 b2 c2 4

El tri´ angulo Ta Tb Tc es autopolar respecto a la circunferencia de Euler y la ecuaci´ on de ´ esta referida a ´ el es: b2

a2 b2 c2 x2 + 2 y2 + 2 z 2 = 0. 2 2 −c c −a a − b2

Tambi´ en, el tri´ angulo Ta Tb Tc es autopolar respecto a las c´ onicas Ca , Cb y Cc , y sus ecuaciones en esta referencia son: Ca :

b2 c2 2 2b2 SA 2 2c2 SA 2 x + 2 y + 2 z = 0, b2 − c2 c − a2 a − b2

2a2 SB 2 c2 a2 2 2c2 SB 2 x + 2 y + 2 z = 0, 2 2 2 b −c c −a a − b2 2a2 SC 2 2b2 SC 2 a2 b2 2 Cc : 2 x + 2 y + 2 z = 0. b − c2 c − a2 a − b2 Cb :

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P´ ag. 10/18

Angel Montesdeoca

Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

µ Lb µ Lc

(b2 − c2 )2 2(c2 − a2 )2 SB (a2 − b2 )2 : : a2 c2 a2 c2 (b2 − c2 )2 (c2 − a2 )2 2(a2 − b2 )2 SC : : a2 b2 a2 b2

¶ , ¶ .

Por tanto, las rectas ALa , BLb y CLc concurren en el punto X338 (producto ceviano X115 y X125 , en los que la tangente com´ un, t, corta a la circunferencia de Euler): µ 2 ¶ (b − c2 )2 (c2 − a2 )2 (a2 − b2 )2 : : . a2 b2 c2

5

de los puntos

Los perspectores de las c´onicas Ca , Cb y Cc son, respectivamente: µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : : , : , : . 2SA c2 b2 c2 2SB a2 b2 a2 2SC O bien:

µ

¶ b2 c2 2 2 :b :c , 2SA

µ a2 :

¶ c2 a2 2 :c , 2SB

µ ¶ a2 b2 a2 : b2 : . 2Sc

5 En el glosario de ETC (faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/glossary.html): Cevapoint (cevian product). Suppose P = p : q : r and U = u : v : w are distinct points, neither lying on a sideline of ABC. The cevapoint of P and U is the point

(pv + qu)(pw + ru) : (qw + rv)(qu + pv) : (ru + pw)(rv + qw)

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P´ ag. 11/18

Angel Montesdeoca

Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

As´ı, estos perspectores forman un tri´angulo perspectivo con ABC, cuyo centro de perspectividad es el simediano. Los centros de las c´onicas, (b2 + c2 : b2 + 2SA : c2 + 2SA ),

(a2 + 2SB : a2 + c2 : c2 + 2SB ),

(a2 + 2SC : b2 + 2SC : a2 + b2 ),

est´an en la recta GK. Esta recta corta a la tangente com´ un (1) a las tres c´onicas en el punto X1648 : ¡ 2 ¢ (2a − b2 − c2 )(b2 − c2 )2 : (2b2 − c2 − a2 )(c2 − a2 )2 : (2c2 − a2 − b2 )(a2 − b2 )2 . El punto X1648 es el baricentro6 de los tres puntos en que la tangente com´ un (1) corta a los lados de ABC ¤

Sean A4 , B4 , C4 los cuartos puntos de intersecci´on de la circunferencia circunscrita con las c´onicas circunscritas que pasan, respectivamente, por los puntos Ba y Ca , Cb y Ab , Ac y Bc , entonces las rectas AA4 , BB4 , CC4 son concurrentes si s´olo si P = X3565 y el punto de concurrencia es el X2079 , inverso del centro de la hip´erbola de Kiepert, X115 , respecto a la circunferencia circunscrita. La c´onica circunscrita que pasa por Ba y Ca tiene por ecuaci´on: Γa : (c2 v + b2 w)(b2 c2 u2 + c2 (a2 − c2 )uv + b2 (a2 − b2 )uw − a2 (−a2 + b2 + c2 )vw)yz+ b2 (c2 u + (a2 − b2 )w)(−c2 v 2 + b2 uw + (a2 − c2 )vw)zx+ c2 (b2 u + (a2 − c2 )v)(c2 uv + (a2 − b2 )vw − b2 w2 )xy = 0. Si consideramos las otras c´onicas circunscritas Γb y Γc que contienen a Cb y Ab , y a Ac y Bc , respectivamente y si A4 , B4 y C4 son sus cuartos puntos de intersecci´on (PY §9.1, pag. 105) con la circunferencia circunscrita, el determinante formado por los coeficientes de las rectas AA4 , BB4 , CC4 vale, poniendo U = (u : v : w) = (t : 1 − t : −1): (−a6 − b6 − c6 − c4 + a2 c4 + b2 c4 + b4 c2 + a4 b2 + a2 b4 + a4 c2 − 3a2 b2 c2 ) (−3a2 b2 + b4 + 3a2 c2 + (a2 − b2 )(a2 + b2 − 3c2 )t)(−a2 + (a2 − b2 + c2 )t − c2 t2 )4 . Que se anula para el valor real: t=

c4 − b4 + 3a2 b2 − 3a2 c2 . (a2 − b2 )(a2 + b2 − 3c2 )

Luego AA4 , BB4 , CC4 concurren si U (u : v : w) es el punto del infinito: ¡ 2 ¢ (b − c2 )(b2 + c2 − 3a2 ) : (c2 − a2 )(c2 + a2 − 3b2 ) : (a2 − b2 )(a2 + b2 − 3c2 ) . 6 Darij Grinberg (ver nota anterior al centro X on de ”tripolar centroid” 1635 en la Enciclopedia de Kimberling) da la noci´ de un punto X, como el baricentro de los tres puntos en los que la tripolar de X corta a los lados del tri´ angulo de referencia. En particular, el punto X1648 es el ”tripolar centroid” del conjugado isogonal, X523 , del foco de la par´ abola de Kiepert, X110 .

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P´ ag. 12/18

Angel Montesdeoca

Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

Su conjugado isogonal es el punto X3565 : µ ¶ a2 b2 c2 : : . (b2 − c2 )(b2 + c2 − 3a2 ) c2 − a2 )(c2 + a2 − 3b2 ) (a2 − b2 )(a2 + b2 − 3c2 ) El punto donde se cortan las rectas AA4 , BB4 , CC4 es el X2079 : ¡ 2 8 ¢ a (a − 2a6 (b2 + c2 ) + 5a4 b2 c2 + a2 (2b6 − 3b4 c2 − 3b2 c4 + 2c6 ) − (b2 − c2 )2 (b4 + c4 )) : · · · : · · · .

El punto X2079 (situado sobre la circunferencia circunscrita al tri´angulo tangencial) es el inverso del centro de la hip´erbola de Kiepert, X115 , respecto a la circunferencia circunscrita. El punto X3565 es uno de los dos extremos del di´ametro de la circunferencia circunscrita que es paralelo al di´ametro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo tangencial que pasa por X2079 . Las tres c´onicas circunscritas Γa , Γb y Γc tiene en com´ un, aparte de los v´ertices A, B y C el punto de primera coordenada: ¡ 2 ¢2 ¡ ¢2 v(c u + a2 w) + b2 wu w(a2 v + b2 u) + c2 uv (a6 vw + a4 u(b2 w + c2 v) + a2 (b2 c2 u2 − ((b2 − c2 )2 + b2 c2 )vw) − u(b2 − c2 )(b4 w − c4 v)) En particular, cuando P = X110 , es decir U = X523 , las tres c´onicas se cortan 7 en el punto X67 : µ ¶ 1 1 1 : : . b4 + c4 − a4 − b2 c2 c4 + a4 − b4 − c2 a2 a4 + b4 − c4 − a2 b2 ¤ 7

Quang Tuan Bui, http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/19123

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P´ ag. 13/18

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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

Cuando P recorre la circunferencia circunscrita, la recta da que une los centros de las circunferencias que describen los puntos Ba y Ca , la recta db que une los centros de las circunferencias que describen los puntos Cb y Ab , y la recta dc que une los centros de las circunferencias que describen los puntos Ac y Bc , concurren en el centro de la circunferencia de Euler. Los ejes radicales ea , eb , ec de cada par de estas circunferencias determinan un tri´angulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad en el conjugado isogonal del foco de la par´abola de Kiepert. Cuando P describe la circunferencia circunscrita, su imagen Ba , mediante la semejanza definida por B 7→ C y C 7→ A, est´a en una circunferencia, que pasa por A y C, de ecuaci´on y centro: ¡ 2 ¢ (a2 − b2 )y 2 − b2 yz − b2 zx − 2SA xy = 0, 2b SB : 2b2 SA : −a4 − b4 − c4 + 2a2 (b2 + c2 ) . La ecuaci´on de la circunferencia que describe Ca y su centro son: ¡ 2 ¢ (a2 − c2 )z 2 − c2 yz − 2SA zx − c2 xy = 0, 2c SC : −a4 − b4 − c4 + 2a2 (b2 + c2 ) : 2c2 SA . Los centros de estas circunferencias est´an en la recta: da : (a4 + b4 + c4 − 2a2 (b2 + c2 ) + b2 c2 )x + c2 (a2 − c2 )y + b2 (a2 − b2 )z = 0. As´ı mismo de obtienen las rectas que unen los centros de las circunferencias descritas por Cb y Ab y por Ac y Bc : db : c2 (b2 − c2 )x + (a4 + b4 + c4 − 2b2 (c2 + a2 ) + c2 a2 )y + a2 (b2 − a2 )z = 0, dc : b2 (c2 − b2 )x + a2 (c2 − a2 )y + (a4 + b4 + c4 − 2c2 (a2 + b2 ) + a2 b2 )z = 0. Estas tres rectas se cortan en el punto X5 , centro de la circunferencia de Euler: ¡ 2 ¢ (b − c2 )2 − a2 (b2 + c2 ) : (c2 − a2 )2 − b2 (c2 + a2 ) : (a2 − b2 )2 − c2 (a2 + b2 ) . El eje radical de las circunferencias descritas por Ba y Ca es la perpendicular por A a la recta da , que une sus centros (as´ı como los otros dos): ea : (a2 − b2 )y + (c2 − a2 )z = 0,

eb : (a2 − b2 )x + (b2 − c2 )z = 0,

ec : (c2 − a2 )x + (b2 − c2 )y = 0.

Los puntos eb ∩ ec , ec ∩ ea y ea ∩ eb son, respectivamente: (b2 − c2 : a2 − c2 : b2 − a2 ),

(c2 − b2 : a2 − b2 : b2 − a2 ),

(c2 − b2 : a2 − c2 : b2 − c2 ),

que forma un tri´angulo perspectivo con ABC, de centro de perspectividad en X523 , conjugado isogonal del foco de la par´abola de Kiepert: (c2 − b2 : a2 − c2 : b2 − a2 ). La Laguna, 4 de Agosto del 2010

P´ ag. 14/18

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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

¤

Denotemos por Pab el punto P (sobre la circunferencia circunscrita) tal que las tres rectas BP, CBa y ACa son concurrentes, y por Pac el punto P tal que las tres rectas CP, ABa y BCa son concurrentes; ellos determinan la recta `a = Pab Pac . Similarmente, definimos las rectas `b y `c . Estas tres rectas forman un tri´angulo sim´etrico de ABC respecto al punto X39 , punto medio de los puntos de Brocard. Para que las rectas BP, CBa y ACa sean concurrentes, ha de ocurrir que: −c2 u + b2 w = 0,

´o

c2 u2 + (a2 − b2 + c2 )uw + a2 w2 = 0.

La segunda condici´on no da puntos reales y la primera nos da el punto: ¡ ¢ Pab a2 (b2 + c2 ) : −b4 : b2 (c2 + a2 ) . Y el punto de concurrencia de las rectas BP, CBa y ACa es Ω1 (1/b2 : 1/c2 : 1/a2 ), primer punto de Brocard. As´ı mismo, para que las rectas CP, ABa y BCa sean concurrentes, se debe verificar que: b2 u − c2 v = 0,

´o

b2 u2 + (a2 + b2 − c2 )uv + a2 v 2 = 0.

La primera condici´on nos dice que la tres rectas son concurrentes cuando se toma el punto de la circunferencia circunscrita: ¡ ¢ Pac a2 (b2 + c2 ) : c2 (b2 + c2 ) : −c2 . Y el punto de concurrencia de las rectas CP, ABa y BCa es Ω2 (1/c2 : 1/a2 : 1/b2 ), segunda punto de Brocard.

Las rectas `a = Pab Pac , `b = Pbc Pba y `c = Pca Pcb , determinan el tri´angulo de v´ertices:

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P´ ag. 15/18

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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

¡ ¢ A0 −b2 c2 : b2 (c2 + a2 ) : c2 (a2 + b2 ) , ¡ ¢ B 0 a2 (b2 + c2 ) : −c2 a2 : c2 (a2 + b2 ) , ¡ ¢ C 0 a2 (b2 + c2 ) : b2 (c2 + a2 ) : −a2 b2 . Se concluye que los tri´angulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos con centro de perspectividad en el centro X39 : ¡ 2 2 ¢ a (b + c2 ) : b2 (c2 + a2 ) : c2 (a2 + b2 ) . Que adem´as es el punto medio de los segmentos AA0 , BB 0 y CC 0 . Por los tri´angulos son sim´etricos respecto a X39 . ¤

Los puntos P (en la circunferencia circunscrita) que est´an en sus correspondientes rectas Ba Cb Ac y Ab Bc Ca son los conjugados isogonales de los brocardianos del punto de Steiner; es decir, los cuartos puntos de intersecci´on de la circunferencia circunscrita con las elipses circunscritas con perspectores los puntos de Brocard.

La condici´on para que el punto P est´e en al recta Ba Cb es: c2 (c2 − a2 )u2 v + c2 (b2 − a2 )uv 2 + b2 (a2 − b2 )u2 w + a2 (a2 − c2 )v 2 w + (a4 + c4 − 2a2 c2 )uvw = 0, u + v + w = 0. 8

2

2

2

2

La u ´nica soluci´on real es (a − c : b − a : c2 − b2 ), cuyo conjugado isogonal es: ¶ µ b2 c2 a2 : : . a2 − c2 b2 − a2 c2 − b2 8 Los brocardianos (AM, §14.4, pag. 58) del punto de Steiner, X (1/(b2 − c2 ) : 1/c2 − a2 ) : 1/(a2 − c2 )), son los puntos 99 de la recta del infinito (c2 − a2 : b2 − a2 : c2 − b2 ) y (a2 − b2 : b2 − c2 : c2 − a2 ).

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P´ ag. 16/18

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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

Este punto es punto de intersecci´on, a parte de los v´ertices de ABC, de la circunferencia circunscrita, a2 yz + b2 zx + c2 xy = 0, y la elipse circunscrita con perspector el primer punto de Brocard, a2 c2 yz + a2 b2 zx + b2 c2 xy = 0. Similarmente, el u ´nico punto P que est´a en la recta Ab Bb Ca es: µ ¶ a2 b2 c2 : : . b2 − a2 c2 − b2 a2 − c2 Hacer notar que en ambos casos el punto de Steiner, X99 , pertenece a las rectas Ba Cb Ac y Ab Bc Ca que se obtienen: y z x y z x + 2 + 2 =0 y + 2 + 2 = 0. 2 2 2 2 2 2 2 b −a c −b a −c a −c b −a c − b2 ¤

Los centros de las semejanzas directas asociadas a los v´ertices de ABC coinciden dos a dos y forman un tri´angulo cuyos v´ertices son los puntos (distintos de K) de intersecciones de las simedianas con la circunferencia de Brocard. De las semejanza asociadas a los v´ertices de ABC consideradas, tres de ellas son las inversas de las otras tres. As´ı, tendremos s´olo tres centros de semejanza distintos, a saber: El punto fijo de la semejanza directa definida por B 7→ C y C 7→ A (que coincide con la que transforma A 7→ C y C 7→ B) es (a2 : b2 : 2SC ), situado en la simediana por C, b2 x − a2 y = 0, y en la circunferencia de Brocard. 1 a2 yz + b2 zx + c2 xy − 2 (x + y + z)(b2 c2 x + c2 a2 y + a2 b2 z) = 0 a + b2 + c2 Similarmente, el punto fijo de la semejanza directa definida por A 7→ B y B 7→ C (que coincide con la que transforma B 7→ A y C 7→ B) es (a2 : 2SB : c2 ). Y el punto fijo de la semejanza directa definida por A 7→ B y C 7→ A (que coincide con la que transforma A 7→ C y B 7→ A) es (2SA : b2 : c2 ). ¤

Los tres puntos, sobre la circunferencia circunscrita, tales que para cada uno de ellos, la correspondiente recta Ba Cb Ac es paralela a una de las cevianas de un punto Q, forman un tri´angulo perspectivo con ABC si Q est´a en la recta del infinito o sobre la hip´erbola de Kiepert. Sean (p : q : r) las coordenadas de un punto Q. Resolviendo el sistema que resulta de imponer que los puntos del infinito de la recta Ba Cb y de la ceviana AQ, coincidan: (a2 u + c2 v + b2 w : c2 u + b2 v + a2 w : b2 u + a2 v + c2 w) = λ(−q − r : q : r),

u + v + w = 0,

resulta que el punto, en el circunferencia circunscrita, para el cual dichas rectas son paralelas tiene de coordenadas: ¶ µ b2 c2 a2 : : . AQ (c2 − a2 )q + (b2 − a2 )r (c2 − b2 )q + (a2 − c2 )r (a2 − b2 )q + (c2 − b2 )r La Laguna, 4 de Agosto del 2010

P´ ag. 17/18

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Algunos resultados referentes a semejanzas directas asociadas a los v´ertices de un tri´ angulo

Similarmente, los puntos que dan rectas paralelas a las cevianas BQ y CQ son: µ ¶ a2 b2 c2 BQ : : , (b2 − c2 )r + (a2 − c2 )p (a2 − b2 )r + (c2 − b2 )p (a2 − c2 )r + (b2 − a2 )p µ ¶ b2 c2 a2 CQ : : . (b2 − a2 )p + (c2 − b2 )q (c2 − a2 )p + (b2 − a2 )q (b2 − c2 )p + (a2 − c2 )q El tri´angulo AQ BQ CQ es perspectivo con ABC si: a2 b2 c2 (a4 + b4 + c4 − b2 c2 − c2 a2 − a2 b2 )(p + q + r)((b2 − c2 )qr + (c2 − a2 )rp + (a2 − b2 )pq) = 0. Es decir, si Q est´a en la recta del infinito o en la hip´erbola de Kiepert. Para un punto arbitrario de la hip´erbola de Kiepert, ¶ µ 1 1 1 : : , Q SA + t SB + t SC + t el centro de perspectividad es: ³ ¡ ¢ Q0 a2 a2 (b2 + c2 ) − b4 − c4 + 2(2a2 − b2 − c2 )t : ¡ ¢ b2 b2 (c2 + a2 ) − c4 − a4 + 2(2b2 − c2 − a2 )t : ¡ ¢´ c2 c2 (a2 + b2 ) − a4 − b4 + 2(2c2 − a2 − b2 )t . Esta es la ecuaci´on param´etrica del eje de Brocard: b2 − c2 c2 − a2 a2 − b2 x + y + z = 0. a2 b2 c2 Si ahora tomamos el conjugado isogonal Q0∗ de Q0 , resulta que Q0∗ es el punto diametralmente opuesto de Q en la hip´erbola de Kiepert: µ

Q0∗

1 1 1 : : b4 + c4 − (b2 + c2 )(a2 − 2t) − 4a2 t c4 + a4 − (c2 + a2 )(b2 − 2t) − 4b2 t a4 + b4 − (a2 + b2 )(c2 − 2t) − 4c2 t

¶

.

Si Q est´a en la recta del infinito, p + q + r = 0, las tres cevianas son paralelas y si tambi´en lo son a la recta Ba Cb Ac , el punto P coincide con AQ , BQ y CQ en el punto: µ ¶ a2 b2 c2 : : . a2 p + c2 q + b2 r c2 p + b2 q + a2 r b2 p + a2 q + c2 r Por ejemplo, para que las rectas Ba Cb Ac sean paralelas a la recta de Euler, Q = X30 y P = X842 . Algunos otros pares (Q, P ) son los siguientes: (X511 , X2698 ),

(X512 , X805 ),

(X513 , X2703 ),

(X514 , X2702 ),

(X515 , X2708 ),

(X516 , X2700 ),

(X517 , X2699 ),

(X518 , X2711 ),

(X519 , X2712 ),

(X520 , X2713 ),

(X521 , X2714 ),

(X522 , X2701 ),

(X524 , X843 ),

(X525 , X2715 ),

(X530 , X2379 ),

(X531 , X2378 ),

(X542 , X74 ),

(X523 , X691 ),

(X543 , X111 ),

La Laguna, 4 de Agosto del 2010

(X690 , X110 ),

(X1499 , X2709 ),

P´ ag. 18/18

(X1503 , X2710 ),

···

Angel Montesdeoca