PROBABILIDADES Y SIMULACIONES ASOCIADAS A UN JUEGO DE BLACKJACK

CARLOS A. RODRIGUEZ Universidad Tecnol´ ogica de Pereira Maestr´ıa en Ense˜ nanza de la Matem´atica Direcci´on: M.Sc. Jos´e Gerardo Cardona. Abril de 2013.

´ INTRODUCCION La versatilidad de las herramientas matem´aticas nos permiten en la actualidad, apoyados en la inform´atica y en otros recursos did´acticos, realizar estudios de diversos problemas de nuestro entorno. Cualquiera que fuera el estudio, en la actualidad podemos reducir tiempos de c´alculo y de procedimientos, incluso tiempo de experimentaci´ on f´ısica al simular todas las situaciones que vamos a estudiar. El estudio de los juegos de azar ha llamado la atenci´on de los matem´aticos desde hace varios siglos, convirti´endose en una rama de las matem´aticas1 . Y dicho estudio, se fundamenta generalmente en la teor´ıa de las probabilidades aunque no sea de una manera muy simple. Es este el caso del Blackjack, que por su forma un poco compleja de desarrollarse, resulta un poco complejo de entenderse sin las herramientas necesarias para el extenso desarrollo de todas las posibles opciones que surgen en el desarrollo del juego. He aqu´ı la necesidad de recurrir a sistemas de c´omputo para simular diversas partidas que pudi´eramos tener en el juego, tal como las present´o el matem´atico Edward Thorp en la d´ecada de 1960. A partir de estas simulaciones, se ha podido deducir la no total dependencia de este juego al completo azar, debido a ciertas probabilidades condicionales que deben ser tenidas en cuenta en cada uno de los diferentes juegos posibles. Surge entonces el problema de determinar cu´ales son todas estas posibles combinaciones de cartas que se van a obtener en el juego, cu´ales ser´ıan sus probabilidades y qu´e tanto infieren en cada uno de los procesos que se desarrollan en el juego. A partir del inicio del juego, nos encontramos en una situaci´on en la cual se reparten dos cartas de una baraja de cincuenta y dos, donde los valores num´ericos conservan su valor, las figuras 2 toman un valor de diez puntos y el as (A) puede valer uno u once puntos, dependiendo de su conveniencia en 1 2

Teor´ıa de Juegos. Jack (J), Queen (Q) y King (K).

i

el juego y debemos llegar m´aximo a los veinti´ un puntos con la combinaci´ on de dos o m´as de estas cartas. Como no es tan probable obtener este objetivo en la primer mano, entran a hacer parte del juego las probabilidades que nos ayudan a decidir si debemos pedir o no una o mas cartas adicionales para lograr nuestro objetivo y el estudio de estas probabilidades nos lleva poco a poco hasta el c´alculo de una permutaci´ on un poco extensa, 52 P5 , que supera los trescientos millones de juegos diferentes con los que nos podemos encontrar. Dado que hasta el momento se conoc´ıan solamente las posibilidades diferentes y se calculaba la probabilidad de obtener una u otra mano de un posible juego como una aplicaci´on de las t´ecnicas de conteo de un curso b´asico de probabilidad, se presentan en el desarrollo del presente texto cada una de todas las posibles permutaciones que nos podemos encontrar s´ı jug´aramos al blackjack. A partir de cada una de estas posibles combinaciones en cada estado del juego, es decir, seg´ un la cantidad de cartas que tengamos en nuestras manos, se estudian las probabilidades correspondientes que sustentan te´oricamente que tan viable es solicitar una carta adicional en cada estado del juego sin superar los veinti´ un puntos. Adicionalmente, estos estudios te´oricos se ven corroborados con una simulaci´on Montecarlo que nos muestra diferentes manos generadas pseudoaleatoriamente con el uso de una hoja de c´alculo y que a su vez nos muestra las frecuencias absolutas de una corrida de diez mil manos diferentes en las cuales el computador se detiene con dos, tres, cuatro o con cinco cartas.

´Indice general 1. EL JUEGO DE BLACKJACK 1.1. Introducci´on al Juego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Historia del Conteo de las Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack . . 2. TEOR´ IA RELACIONADA 2.1. Introducci´on . . . . . . . . 2.2. Conceptos Previos . . . . 2.3. Definiciones B´asicas . . . ´ 2.4. Teor´ıa de Parada Optima

CON EL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BLACKJACK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 2 2 91 91 91 92 95

´ 3. SIMULACIONES Y ANALISIS ESTAD´ ISTICOS APLICADOS AL JUEGO 97 3.1. Dos Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2. Tres Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3. Cuatro Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.4. El Proceso de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.5. Simulaci´on del Juego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.6. An´alisis Comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.6.1. Dos Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.6.2. Tres Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.6.3. Cuatro Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6.4. Cinco Cartas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.7. Parada del Proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4. CONCLUSIONES

115

iii

´Indice de tablas 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Combinaciones Combinaciones Combinaciones Combinaciones

Para Para Para Para

Dos Cartas. . . Tres Cartas. . . Cuatro Cartas. Cinco Cartas. .

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5 12 33 89

3.1. Probabilidades para dos cartas. . . . . . . . 3.2. Probabilidades para pedir una tercera carta. 3.3. Probabilidades para tres cartas. . . . . . . . 3.4. Probabilidades para pedir una cuarta carta. 3.5. Probabilidades para cuatro cartas. . . . . . 3.6. Probabilidades para pedir una quinta carta. 3.7. Comparaciones para dos cartas. . . . . . . . 3.8. Comparaciones para tres cartas. . . . . . . . 3.9. Comparaciones para cuatro cartas. . . . . . 3.10. Comparaciones para cinco cartas. . . . . . . 3.11. Parada del Proceso. . . . . . . . . . . . . .

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98 100 102 103 105 106 110 111 112 113 114

v

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´Indice de figuras 3.1. Probabilidades para dos cartas. . . . . . . . 3.2. Probabilidades para pedir una tercera carta. 3.3. Probabilidades para tres cartas. . . . . . . . 3.4. Probabilidades para pedir una cuarta carta. 3.5. Probabilidades para cuatro cartas. . . . . . 3.6. Probabilidades para pedir una quinta carta. 3.7. Comparaci´on para dos cartas. . . . . . . . . 3.8. Comparaci´on para tres cartas. . . . . . . . . 3.9. Comparaci´on para cuatro cartas. . . . . . . 3.10. Comparaci´on para cinco cartas. . . . . . . . 3.11. Parada del proceso. . . . . . . . . . . . . . .

vii

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98 99 101 102 104 106 110 111 112 113 114

Cap´ıtulo 1

EL JUEGO DE BLACKJACK 1.1.

Introducci´ on al Juego

La premisa b´asica del juego de blackjack o 21 como se conoce tambi´en, consiste en obtener una serie de cartas cuyos valores sumados sean lo m´as cercanos a veinti´ un puntos pero sin sobrepasar este valor. El puntaje puede ser igual pero no mayor a este puntaje pues en este caso, el jugador pierde. Inicialmente, el tallador1 reparte a cada uno de los jugadores un par de cartas2 y dependiendo de los puntos obtenidos con las cartas, el jugador puede pedir las cartas necesarias, sin exceder de cinco cartas porque en este caso ganar´ıa inmediatamente, hasta lograr obtener un puntaje menor o igual a veintiuno. Los puntos para las cartas num´ericas equivalen al n´ umero correspondiente, las com´ unmente llamadas figuras tienen un valor de diez puntos y el as puede valer uno u once puntos, dependiendo del criterio del jugador y del valor que le sea m´as conveniente en su mano. Debido a que el objetivo del proyecto es investigar sobre un problema de parada ´optima, vamos a estudiar el caso en el cual tenemos un s´olo jugador 1 2

Dealer: Persona encargada de repartir las cartas a los jugadores. Una carta se entrega con la cara hacia arriba o descubierta y la otra con la cara hacia abajo o cubierta.

1

1.2. Historia del Conteo de las Cartas

Cap´ıtulo 1

que est´a recibiendo las cartas de una baraja nueva3 . Se asume que la probabilidad de obtener cada carta que se requiera en este estudio, corresponde a un evento totalmente aleatorio que s´olo depender´a condicionalmente de las cartas que el jugador tenga en el momento inmediatamente anterior al de solicitar una carta nueva.

1.2.

Historia del Conteo de las Cartas

Desde el siglo anterior, ha sido propuesto que el juego del blackjack no es completamente aleatorio y que bajo ciertas t´ecnicas de conteo de cartas4 , un jugador puede estar m´as seguro de su posibilidad de ganar si conoce y tiene en cuenta las cartas ya jugadas. En este caso, este conteo es el que se aplica porque en cada paso del procedimiento, vamos a conocer cuales son las cartas que se encuentran en juego y cuales son las cartas de la baraja que a´ un no han sido jugadas. Es de notar que el conteo de las cartas est´a prohibido en los casinos, as´ı como el uso de dispositivos que permitan el c´alculo de las probabilidades mencionadas anteriormente; sin embargo, usaremos estas probabilidades en el presente documento como un estudio matem´atico del proceso aleatorio que se ve involucrado en el juego de blackjack.

1.3.

Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

Al asumir que un jugador se encuentra frente a una baraja nueva5 y que las cartas se encuentran barajadas, se espera que el hecho de obtener una carta cualquiera en el inicio del juego es un proceso totalmente aleatorio; y que al solicitar una carta al momento de necesitarla, nos encontramos con una probabilidad condicional que va a depender s´olo de las cartas que el jugador tiene en sus manos. 3

El jugador empezar´ a con una probabilidad basada en las cincuenta y dos cartas de la baraja. 4 Desarrollada y estudiada matem´ aticamente por Edward Thorp y aplicada a los casinos por el famoso jugador Ken Uston. 5 Con sus cincuenta y dos cartas.

2

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

Ahora, al iniciar el juego se van a recibir dos cartas de una baraja de cincuenta y dos. Es decir, nos encontraremos con la permutaci´ on 52 P2 , lo que equivale a dos mil seiscientas cincuenta y dos (2652) opciones de juego diferentes. En la siguiente tabla se presenta distribuido seg´ un el puntaje, cuantas permutaciones se generan dependiendo de los puntos obtenidos, cu´al es la probabilidad de obtener cierto puntaje y dado el caso de que se solicitara una carta, cu´al ser´ıa la probabilidad de obtener un puntaje menor que veintiuno. Para realizar este conteo, se requieren t´ecnicas de conteo b´asicas, como lo son el principio de multiplicaci´ on y las permutaciones. Por ejemplo, para el c´alculo de una permutaci´ on que posee dos cartas diferentes, y que ninguna de esta carta toma el valor de diez, nos encontramos con una multiplicaci´on b´asica. Para ser m´as puntuales, supongamos que vamos a calcular las permutaciones posibles para obtener un siete y un cuatro; entonces, hay cuatro sietes y cuatro cuatros en la baraja y las posibles formas diferentes de obtener esta permutaci´on son calculadas con la multiplicaci´ on 4 × 4 × 2. S´ı dese´aramos calcular una probabilidad para una carta repetida, que no tome el valor de diez duntos, se realiza la operaci´on 4 × 3 × 2. Para las cartas que toman el valor de diez puntos, como hay diez y seis en la baraja, se usar´ıa este n´ umero para multiplicarse por un cuatro s´ı es una carta que no toma el valor de diez o por un quince si es una carta que tambi´en toma el valor de diez. Puntaje 2

Cartas a-a

3

a-2

4 4

a-3 2-2

5 5

a-4 2-3

6 6 6

a-5 2-4 3-3

7

a-6

Permutaciones 12 Total 32 Total 32 12 Total 32 32 Total 32 32 12 Total 32 3

Probabilidad 0,00452489 0,00452489 0,01206637 0,01206637 0,01206637 0,00452489 0,01659126 0,01206637 0,01206637 0,02413274 0,01206637 0,01206637 0,00452489 0,02865763 0,01206637

P≤ 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

7 7

2-5 3-4

8 8 8 8

a-7 2-6 3-5 4-4

9 9 9 9

a-8 2-7 3-6 4-5

10 10 10 10 10

a-9 2-8 3-7 4-6 5-5

11 11 11 11 11

a-10 2-9 3-8 4-7 5-6

12 12 12 12 12

2-10 3-9 4-8 5-7 6-6

13 13 13 13

3-10 4-9 5-8 6-7

14

4-10

32 32 Total 32 32 32 12 Total 32 32 32 32 Total 32 32 32 32 12 Total 128 32 32 32 32 Total 128 32 32 32 12 Total 128 32 32 32 Total 128

4

0,01206637 0,01206637 0,03619911 0,01206637 0,01206637 0,01206637 0,00452489 0,040724 0,01206637 0,01206637 0,01206637 0,01206637 0,04826548 0,01206637 0,01206637 0,01206637 0,01206637 0,00452489 0,05279037 0,04826546 0,01206637 0,01206637 0,01206637 0,01206637 0,09653092 0,04826546 0,01206637 0,01206637 0,01206637 0,00452489 0,088989442 0,04826546 0,01206637 0,01206637 0,01206637 0,084464555 0,04826546

Cap´ıtulo 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Blackjack 1 1 1 1 0,7 0,68 0,68 0,68 0,68 0,62 0,62 0,6 0,6 0,54

Cap´ıtulo 1

14 14 14 15 15 15 16 16 16 17 17 18 18 19 20

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

5-9 6-8 7-7

32 32 12 Total 5-10 218 6-9 32 7-8 32 Total 6-10 128 7-9 32 8-8 12 Total 7-10 128 8-9 32 Total 8-10 128 9-9 12 Total 9-10 128 Total 10-10 240 Total Tabla 1.1: Combinaciones Para

0,01206637 0,01206637 0,00452489 0,076923077 0,04826546 0,01206637 0,01206637 0,07239819 0,04826546 0,01206637 0,00452489 0,064856712 0,04826546 0,01206637 0,060331825 0,04826546 0,00452489 0,052790347 0,04826546 0,04826546 0,09049774 0,09049774 Dos Cartas.

0,54 0,54 0,52 0,46 0,46 0,48 0,4 0,4 0,4 0,32 0,32 0,24 0,24 0,16 0,08

Ahora, dependiendo de las cartas obtenidas, el jugador deber´ıa considerar el pedir una nueva carta. Para este caso, se presentan las posibles opciones que podemos obtener al solicitar una tercera carta. Adicionalmente, ponemos las permutaciones, las probabilidades de obtener un juego dado y la probabilidad de que al pedir otra carta, el puntaje sea menor o igual a veintiuno. Las t´ecnicas que se usan para este conteo son un poco m´as complejas debido a que han crecido bastante las posibles combinaciones que debemos tener en cuenta. Por ejemplo, si fu´esemos a calcular las posibles opciones para obtener tres cartas diferentes y que ninguna de estas valiera diez puntos, la multiplicaci´on ser´ıa 4 × 4 × 4 × 6, y si alguna de estas tomara el valor de diez puntos, deber´ıamos cambiar un cuatro por un diez y seis. Pero, donde 5

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

Cap´ıtulo 1

hubiese una carta repetida, al principio de multiplicaci´ on debemos ponerle un producto adicional que tenga en cuenta las tres posiciones diferentes en las cuales se pueda realizar el arreglo, en este caso, multiplicar por un tres. Puntaje 3

Cartas a-a-a

4

a-a-2

5 5

a-a-3 a-2-2

6 6 6

a-a-4 a-2-3 2-2-2

7 7 7 7

a-a-5 a-2-4 a-3-3 2-2-3

8 8 8 8 8

a-a-6 a-2-5 a-3-4 2-2-4 2-3-3

9 9 9 9 9 9 9

a-a-7 a-2-6 a-3-5 a-4-4 2-2-5 2-3-4 3-3-3

10 10 10

a-a-8 a-2-7 a-3-6

Permutaciones 24 Total 144 Total 144 144 Total 144 384 24 Total 144 384 144 144 Total 144 384 384 144 144 Total 144 384 384 144 144 384 24 Total 144 384 384 6

Probabilidad 0,000181 0,000181 0,00108597 0,00108597 0,00108597 0,00108597 0,00217195 0,00108597 0,00289593 0,000181 0,0041629 0,00108597 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00615385 0,00108597 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00904978 0,00108597 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00289593 0,000181 0,0121267 0,00108597 0,00289593 0,00289593

P≤ 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

10 10 10 10 10

a-4-5 2-2-6 2-3-5 2-4-4 3-3-4

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

a-a-9 a-2-8 a-3-7 a-4-6 a-5-5 2-2-7 2-3-6 2-4-5 3-3-5 3-4-4

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

a-a-10 a-2-9 a-3-8 a-4-7 a-5-6 2-2-8 2-3-7 2-4-6 2-5-5 3-3-6 3-4-5 4-4-4

13 13 13 13 13 13 13

a-2-10 a-3-9 a-4-8 a-5-7 a-6-6 2-2-9 2-3-8

384 144 384 144 144 Total 144 384 384 384 144 144 384 384 144 144 Total 576 384 384 384 384 144 384 384 144 144 384 24 Total 1536 384 384 384 144 144 384

7

0,00289593 0,00108597 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,0159276 0,00108597 0,00289593 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,01990951 0,00434389 0,00289593 0,00289593 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00289593 0,000181 0,0280543 0,01158371 0,00289593 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00289593

1 1 1 1 1 Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack 1 1 1 1 1 0,94444444 0,91666667 0,91666667 0,91666667 0,91666667 0,91666667 0,91666667 0,91666667 0,91666667 0,91666667 0,91666667 0,91666667 0,9375 0,9375 0,90625 0,90625 0,90625 0,9375 0,90625

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

13 13 13 13 13 13

2-4-7 2-5-6 3-3-7 3-4-6 3-5-5 4-4-5

14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

a-3-10 a-4-9 a-5-8 a-6-7 2-2-10 2-3-9 2-4-8 2-5-7 2-6-6 3-3-8 3-4-7 3-5-6 4-4-6 4-5-5

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

a-4-10 a-5-9 a-6-8 a-7-7 2-3-10 2-4-9 2-5-8 2-6-7 3-3-9 3-4-8 3-5-7 3-6-6 4-4-7 4-5-6 5-5-5

384 384 144 384 144 144 Total 1536 384 384 384 576 384 384 384 144 144 384 384 144 144 Total 1536 384 384 144 1536 384 384 384 144 384 384 144 144 384 24

8

0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,03728507 0,01158371 0,00289593 0,00289593 0,00289593 0,00434389 0,00289593 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,04343891 0,01158371 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,01158371 0,00289593 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00289593 0,000181

Cap´ıtulo 1

0,90625 0,90625 0,90625 0,90625 0,90625 0,90625 0,53061224 0,53061224 0,53061224 0,51020408 0,53061224 0,53061224 0,53061224 0,51020408 0,51020408 0,51020408 0,51020408 0,51020408 0,51020408 0,51020408 0,44897959 0,44897959 0,44897959 0,46938776 0,44897959 0,44897959 0,44897959 0,44897959 0,44897959 0,44897959 0,44897959 0,42857143 0,44897959 0,42857143 0,42857143

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

a-5-10 a-6-9 a-7-8 2-4-10 2-5-9 2-6-8 2-7-7 3-3-10 3-4-9 3-5-8 3-6-7 4-4-8 4-5-7 4-6-6 5-5-6

17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17

a-6-10 a-7-9 a-8-8 2-5-10 2-6-9 2-7-8 3-4-10 3-5-9 3-6-8 3-7-7 4-4-9 4-5-8 4-6-7 5-5-7 5-6-6

18 18 18 18

a-7-10 a-8-9 2-6-10 2-7-9

Total 1536 384 384 1536 384 384 144 576 384 384 384 144 384 144 144 Total 1536 384 144 1536 384 384 1536 384 384 144 144 384 384 144 144 Total 1536 384 1536 384

9

0,05085973 0,01158371 0,00289593 0,00289593 0,01158371 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00434389 0,00289593 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,05502262 0,01158371 0,00289593 0,00108597 0,01158371 0,00289593 0,00289593 0,01158371 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,06045249 0,01158371 0,00289593 0,01158371 0,00289593

0,36734694 0,3877551 0,3877551 0,36734694 0,36734694 0,3877551 0,3877551 0,36734694 0,36734694 0,36734694 0,3877551 0,36734694 0,36734694 0,3877551 0,36734694 0,30612245 0,30612245 0,30612245 0,30612245 0,30612245 0,30612245 0,30612245 0,30612245 0,30612245 0,30612245 0,26530612 0,30612245 0,30612245 0,32653061 0,32653061 0,2244898 0,2244898 0,2244898 0,2244898

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

2-8-8 3-5-10 3-6-9 3-7-8 4-4-10 4-5-9 4-6-8 4-7-7 5-5-8 5-6-7 6-6-6

19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19

a-8-10 a-9-9 2-7-10 2-8-9 3-6-10 3-7-9 3-8-8 4-5-10 4-6-9 4-7-8 5-5-9 5-6-8 5-7-7 6-6-7

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

a-9-10 2-8-10 2-9-9 3-7-10 3-8-9 4-6-10 4-7-9 4-8-8 5-5-10 5-6-9

144 1536 384 384 576 384 384 144 144 384 24 Total 1536 144 1536 384 1536 384 144 1536 384 384 144 384 144 144 Total 1536 1536 144 1536 384 1536 384 144 576 384

10

0,00108597 0,01158371 0,00289593 0,00289593 0,00434389 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00289593 0,000181 0,06280543 0,01158371 0,00108597 0,01158371 0,00289593 0,01158371 0,00289593 0,00108597 0,01158371 0,00289593 0,00289593 0,00108597 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,06624434 0,01158371 0,01158371 0,00108597 0,01158371 0,00289593 0,01158371 0,00289593 0,00108597 0,00434389 0,00289593

Cap´ıtulo 1

0,2244898 0,2244898 0,2244898 0,2244898 0,24489796 0,24489796 0,24489796 0,24489796 0,24489796 0,24489796 0,24489796 0,14285714 0,14285714 0,14285714 0,14285714 0,16326531 0,16326531 0,16326531 0,16326531 0,16326531 0,16326531 0,16326531 0,16326531 0,16326531 0,16326531 0,06122449 0,08163265 0,08163265 0,08163265 0,08163265 0,08163265 0,08163265 0,08163265 0,08163265 0,08163265

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

20 20 20

5-7-8 6-6-8 6-7-7

21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

a-10-10 2-9-10 3-8-10 3-9-9 4-7-10 4-8-9 5-6-10 5-7-9 5-8-8 6-6-9 6-7-8 7-7-7

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

2-10-10 3-9-10 4-8-10 4-9-9 5-7-10 5-8-9 6-6-10 6-7-9 6-8-8 7-7-8

23 23 23 23 23 23 23 23

3-10-10 4-9-10 5-8-10 5-9-9 6-7-10 6-8-9 7-7-9 7-8-8

384 144 144 Total 2880 1536 1536 144 1536 384 1536 384 144 144 384 24 Total 2880 1536 1536 144 1536 384 576 384 144 144 Total 2880 1536 1536 144 1536 384 144 144 Total

11

0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,06660633 0,02171946 0,01158371 0,01158371 0,00108597 0,01158371 0,00289593 0,01158371 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,00289593 0,000181 0,080181 0,02171946 0,01158371 0,01158371 0,00108597 0,01158371 0,00289593 0,00434389 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,06986425 0,02171946 0,01158371 0,01158371 0,00108597 0,01158371 0,00289593 0,00108597 0,00108597 0,06262443

0,08163265 0,08163265 0,08163265 Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 26 26 26 26 27 27 27 28 28 29 30

4-10-10 5-9-10 6-8-10 6-9-9 7-7-10 7-8-9 8-8-8

2880 1536 1536 144 576 384 24 Total 5-10-10 2880 6-9-10 1536 7-8-10 1536 7-9-9 144 8-8-9 144 Total 6-10-10 2880 7-9-10 1536 8-8-10 576 8-9-9 144 Total 7-10-10 2880 8-9-10 1536 9-9-9 24 Total 8-10-10 2880 9-9-10 576 Total 9-10-10 2880 Total 10-10-10 3360 Total Tabla 1.2: Combinaciones Para

0,02171946 0,01158371 0,01158371 0,00108597 0,00434389 0,00289593 0,000181 0,05339367 0,02171946 0,01158371 0,01158371 0,00108597 0,00108597 0,04705882 0,02171946 0,01158371 0,00434389 0,00108597 0,03873303 0,02171946 0,01158371 0,000181 0,03348416 0,02171946 0,00434389 0,02606335 0,02171946 0,02171946 0,02533937 0,02533937 Tres Cartas.

Cap´ıtulo 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Si el puntaje a´ un es muy bajo, el jugador considerar´a nuevamente la solicitud de una nueva carta al dealer. De solicitarla, nos encontrar´ıamos con las probabilidades que se muestran a continuaci´ on. Se presentan las permutaciones y las probabilidades correspondientes para 12

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

que en la solicitud de otra carta adicional, el puntaje sea menor o igual a veintiuno. Nuevamente, el problema del conteo se magnifica debido a las consideraciones que debemos tomar con m´as cartas. Sin embargo, aunque haya que tener m´as cosas respecto al orden y al tipo de cartas obtenidas, los c´alculos se siguen basando en un principio de multiplicaci´ on combinado con una permutaci´on. A diferencia del caso de las tres cartas, en este hay que modificar los c´alculos dependiendo del n´ umero de cartas repetidas. Este n´ umero de cartas repetidas modifica la permutaci´ on. Puntaje 4

Cartas a-a-a-a

5

a-a-a-2

6 6

a-a-a-3 a-a-2-2

7 7 7

a-a-a-4 a-a-2-3 a-2-2-2

8 8 8 8 8

a-a-a-5 a-a-2-4 a-a-3-3 a-2-2-3 2-2-2-2

9 9 9 9 9 9

a-a-a-6 a-a-2-5 a-a-3-4 a-2-2-4 a-2-3-3 2-2-2-3

10 10 10

a-a-a-7 a-a-2-6 a-a-3-5

Permutaciones 24 Total 384 Total 384 864 Total 384 2304 384 Total 384 2304 864 2304 24 Total 384 2304 2304 2304 2304 384 Total 384 2304 2304 13

Probabilidad 0,00000369 0,00000369 0,00005910 0,00005910 0,00005910 0,00013298 0,00019208 0,00005910 0,0003546 0,00005910 0,00047280 0,00005910 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00000369 0,00090498 0,00005910 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,00153661 0,00005910 0,0003546 0,0003546

P≤ 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

10 10 10 10 10 10

a-a-4-4 a-2-2-5 a-2-3-4 a-3-3-3 2-2-2-4 2-2-3-3

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

a-a-a-8 a-a-2-7 a-a-3-6 a-a-4-5 a-2-2-6 a-2-3-5 a-2-4-4 a-3-3-4 2-2-2-5 2-2-3-4 2-3-3-3

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

a-a-a-9 a-a-2-8 a-a-3-7 a-a-4-6 a-a-5-5 a-2-2-7 a-2-3-6 a-2-4-5 a-3-3-5 a-3-4-4 2-2-2-6 2-2-3-5 2-2-4-4 2-3-3-4 3-3-3-3

13 13

a-a-a-10 a-a-2-9

864 2304 6144 384 384 864 Total 384 2304 2304 2304 2304 6144 2304 2304 384 2304 384 Total 384 2304 2304 2304 864 2304 6144 6144 2304 2304 384 2304 864 2304 24 Total 1536 2304

14

0,00013298 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,00005910 0,00013298 0,00245267 0,00005910 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,00005910 0,00360513 0,00005910 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00000369 0,00511589 0,0002364 0,0003546

Cap´ıtulo 1

1 1 1 1 1 1 Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack 1 1 1 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,66666667 0,60416667 0,60416667

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13

a-a-3-8 a-a-4-7 a-a-5-6 a-2-2-8 a-2-3-7 a-2-4-6 a-2-5-5 a-3-3-6 a-3-4-5 a-4-4-4 2-2-2-7 2-2-3-6 2-2-4-5 2-3-3-5 2-3-4-4 3-3-3-4

14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

a-a-2-10 a-a-3-9 a-a-4-8 a-a-5-7 a-a-6-6 a-2-2-9 a-2-3-8 a-2-4-7 a-2-5-6 a-3-3-7 a-3-4-6 a-3-5-5 a-4-4-5 2-2-2-8 2-2-3-7 2-2-4-6 2-2-5-5 2-3-3-6 2-3-4-5 2-4-4-4

2304 2304 2304 2304 6144 6144 2304 2304 6144 384 384 2304 2304 2304 2304 384 Total 9216 2304 2304 2304 864 2304 6144 6144 6144 2304 6144 2304 2304 384 2304 2304 864 2304 6144 384

15

0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,00005910 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,00715117 0,00141841 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00094561 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00094561 0,00005910

0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,58333333 0,52083333 0,52083333 0,52083333 0,5 0,5 0,52083333 0,52083333 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,52083333 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

14 14

3-3-3-5 3-3-4-4

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

a-a-3-10 a-a-4-9 a-a-5-8 a-a-6-7 a-2-2-10 a-2-3-9 a-2-4-8 a-2-5-7 a-2-6-6 a-3-3-8 a-3-4-7 a-3-5-6 a-4-4-6 a-4-5-5 2-2-2-9 2-2-3-8 2-2-4-7 2-2-5-6 2-3-3-7 2-3-4-6 2-3-5-5 2-4-4-5 3-3-3-6 3-3-4-5 3-4-4-4

384 864 Total 9216 2304 2304 2304 9216 6144 6144 6144 2304 2304 6144 6144 2304 2304 384 2304 2304 2304 2304 6144 2304 2304 384 2304 384

16 16 16 16 16 16 16 16

a-a-4-10 a-a-5-9 a-a-6-8 a-a-7-7 a-2-3-10 a-2-4-9 a-2-5-8 a-2-6-7

9216 2304 2304 864 24576 6144 6144 6144

16

0,00005910 0,00013298 0,01026872 0,00141841 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,00005910 0,01365223 0,00141841 0,0003546 0,0003546 0,00013298 0,00378244 0,00094561 0,00094561 0,00094561

Cap´ıtulo 1

0,5 0,5 0,4375 0,4375 0,4375 0,4375 0,4375 0,4375 0,4375 0,4375 0,41666667 0,4375 0,4375 0,41666667 0,41666667 0,41666667 0,4375 0,4375 0,4375 0,41666667 0,4375 0,41666667 0,41666667 0,41666667 0,41666667 0,41666667 0,41666667 0,35416667 0,35416667 0,375 0,375 0,35416667 0,35416667 0,35416667 0,375

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

a-3-3-9 a-3-4-8 a-3-5-7 a-3-6-6 a-4-4-7 a-4-5-6 a-5-5-5 2-2-2-10 2-2-3-9 2-2-4-8 2-2-5-7 2-2-6-6 2-3-3-8 2-3-4-7 2-3-5-6 2-4-4-6 2-4-5-5 3-3-3-7 3-3-4-6 3-3-5-5 3-4-4-5 4-4-4-4

17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17

a-a-5-10 a-a-6-9 a-a-7-8 a-2-4-10 a-2-5-9 a-2-6-8 a-2-7-7 a-3-3-10 a-3-4-9 a-3-5-8 a-3-6-7 a-4-4-8 a-4-5-7 a-4-6-6

2304 6144 6144 2304 2304 6144 384 1536 2304 2304 2304 864 2304 6144 6144 2304 2304 384 2304 864 2304 24 Total 9216 2304 2304 24576 6144 6144 2304 9216 6144 6144 6144 2304 6144 2304

17

0,0003546 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,0002364 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00000369 0,01813279 0,00141841 0,0003546 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,00094561 0,0003546

0,35416667 0,35416667 0,35416667 0,375 0,35416667 0,35416667 0,39583333 0,35416667 0,35416667 0,35416667 0,35416667 0,375 0,35416667 0,35416667 0,35416667 0,35416667 0,33333333 0,35416667 0,35416667 0,33333333 0,33333333 0,33333333 0,29166667 0,29166667 0,29166667 0,27083333 0,29166667 0,29166667 0,29166667 0,27083333 0,27083333 0,29166667 0,29166667 0,27083333 0,29166667 0,29166667

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17

a-5-5-6 2-2-3-10 2-2-4-9 2-2-5-8 2-2-6-7 2-3-3-9 2-3-4-8 2-3-5-7 2-3-6-6 2-4-4-7 2-4-5-6 2-5-5-5 3-3-3-8 3-3-4-7 3-3-5-6 3-4-4-6 3-4-5-5 4-4-4-5

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

a-a-6-10 a-a-7-9 a-a-8-8 a-2-5-10 a-2-6-9 a-2-7-8 a-3-4-10 a-3-5-9 a-3-6-8 a-3-7-7 a-4-4-9 a-4-5-8 a-4-6-7 a-5-5-7 a-5-6-6 2-2-4-10 2-2-5-9 2-2-6-8

2304 9216 2304 2304 2304 2304 6144 6144 2304 2304 6144 384 384 2304 2304 2304 2304 384 Total 9216 2304 864 24576 6144 6144 24576 6144 6144 2304 2304 6144 6144 2304 2304 9216 2304 2304

18

0,0003546 0,00141841 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,00005910 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,02239911 0,00141841 0,0003546 0,00013298 0,00378244 0,00094561 0,00094561 0,00378244 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,0003546 0,0003546

Cap´ıtulo 1

0,3125 0,27083333 0,27083333 0,29166667 0,29166667 0,27083333 0,27083333 0,29166667 0,29166667 0,27083333 0,29166667 0,3125 0,27083333 0,27083333 0,29166667 0,27083333 0,29166667 0,27083333 0,20833333 0,20833333 0,20833333 0,20833333 0,20833333 0,20833333 0,20833333 0,20833333 0,20833333 0,20833333 0,22916667 0,22916667 0,22916667 0,22916667 0,22916667 0,20833333 0,20833333 0,20833333

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

2-2-7-7 2-3-3-10 2-3-4-9 2-3-5-8 2-3-6-7 2-4-4-8 2-4-5-7 2-4-6-6 2-5-5-6 3-3-3-9 3-3-4-8 3-3-5-7 3-3-6-6 3-4-4-7 3-4-5-6 3-5-5-5 4-4-4-6 4-4-5-5

19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19

a-a-7-10 a-a-8-9 a-2-6-10 a-2-7-9 a-2-8-8 a-3-5-10 a-3-6-9 a-3-7-8 a-4-4-10 a-4-5-9 a-4-6-8 a-4-7-7 a-5-5-8 a-5-6-7 a-6-6-6 2-2-5-10 2-2-6-9 2-2-7-8

864 9216 6144 6144 6144 2304 6144 2304 2304 384 2304 2304 864 2304 6144 384 384 864 Total 9216 2304 24576 6144 2304 24576 6144 6144 9216 6144 6144 2304 2304 6144 384 9216 2304 2304

19

0,00013298 0,00141841 0,00094561 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00094561 5,9101E-05 0,00005910 0,00013298 0,02754086 0,00141841 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,00094561 0,00141841 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,00141841 0,0003546 0,0003546

0,20833333 0,1875 0,20833333 0,20833333 0,20833333 0,22916667 0,22916667 0,22916667 0,22916667 0,1875 0,20833333 0,20833333 0,20833333 0,22916667 0,22916667 0,22916667 0,25 0,25 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,125 0,125 0,125

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19

2-3-4-10 2-3-5-9 2-3-6-8 2-3-7-7 2-4-4-9 2-4-5-8 2-4-6-7 2-5-5-7 2-5-6-6 3-3-3-10 3-3-4-9 3-3-5-8 3-3-6-7 3-4-4-8 3-4-5-7 3-4-6-6 3-5-5-6 4-4-4-7 4-4-5-6 4-5-5-5

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

a-a-8-10 a-a-9-9 a-2-7-10 a-2-8-9 a-3-6-10 a-3-7-9 a-3-8-8 a-4-5-10 a-4-6-9 a-4-7-8 a-5-5-9 a-5-6-8 a-5-7-7 a-6-6-7 2-2-6-10 2-2-7-9

24576 6144 6144 2304 2304 6144 6144 2304 2304 1536 2304 2304 2304 2304 6144 2304 2304 384 2304 384 Total 9216 864 24576 6144 24576 6144 2304 24576 6144 6144 2304 6144 2304 2304 9216 2304

20

0,00378244 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,0002364 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,00005910 0,03244621 0,00141841 0,00013298 0,00378244 0,00094561 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,0003546

Cap´ıtulo 1

0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,14583333 0,04166667 0,04166667 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

2-2-8-8 2-3-5-10 2-3-6-9 2-3-7-8 2-4-4-10 2-4-5-9 2-4-6-8 2-4-7-7 2-5-5-8 2-5-6-7 2-6-6-6 3-3-4-10 3-3-5-9 3-3-6-8 3-3-7-7 3-4-4-9 3-4-5-8 3-4-6-7 3-5-5-7 3-5-6-6 4-4-4-8 4-4-5-7 4-4-6-6 4-5-5-6 5-5-5-5

21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

a-a-9-10 a-2-8-10 a-2-9-9 a-3-7-10 a-3-8-9 a-4-6-10 a-4-7-9 a-4-8-8 a-5-5-10 a-5-6-9 a-5-7-8

864 24576 6144 6144 9216 6144 6144 2304 2304 6144 384 9216 2304 2304 864 2304 6144 6144 2304 2304 384 2304 864 2304 24 Total 9216 24576 2304 24576 6144 24576 6144 2304 9216 6144 6144

21

0,00013298 0,00378244 0,00094561 0,00094561 0,00141841 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,00141841 0,0003546 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00000369 0,03776895 0,00141841 0,00378244 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,00094561

0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 0,02083333 Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

a-6-6-8 a-6-7-7 2-2-7-10 2-2-8-9 2-3-6-10 2-3-7-9 2-3-8-8 2-4-5-10 2-4-6-9 2-4-7-8 2-5-5-9 2-5-6-8 2-5-7-7 2-6-6-7 3-3-5-10 3-3-6-9 3-3-7-8 3-4-4-10 3-4-5-9 3-4-6-8 3-4-7-7 3-5-5-8 3-5-6-7 3-6-6-6 4-4-4-9 4-4-5-8 4-4-6-7 4-5-5-7 4-5-6-6 5-5-5-6

22 22 22 22 22 22

a-a-10-10 a-2-9-10 a-3-8-10 a-3-9-9 a-4-7-10 a-4-8-9

2304 2304 9216 2304 24576 6144 2304 24576 6144 6144 2304 6144 2304 2304 9216 2304 2304 9216 6144 6144 2304 2304 6144 384 384 2304 2304 2304 2304 384 Total 17280 24576 24576 2304 24576 6144

22

0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00005910 5,9101E-05 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,04261151 0,00265953 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,00378244 0,00094561

Cap´ıtulo 1

Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack Blackjack 0 0 0 0 0 0

Cap´ıtulo 1

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-5-6-10 a-5-7-9 a-5-8-8 a-6-6-9 a-6-7-8 a-7-7-7 2-2-8-10 2-2-9-9 2-3-7-10 2-3-8-9 2-4-6-10 2-4-7-9 2-4-8-8 2-5-5-10 2-5-6-9 2-5-7-8 2-6-6-8 2-6-7-7 3-3-6-10 3-3-7-9 3-3-8-8 3-4-5-10 3-4-6-9 3-4-7-8 3-5-5-9 3-5-6-8 3-5-7-7 3-6-6-7 4-4-4-10 4-4-5-9 4-4-6-8 4-4-7-7 4-5-5-8 4-5-6-7 4-6-6-6 5-5-5-7 5-5-6-6

24576 6144 2304 2304 6144 384 9216 864 24576 6144 24576 6144 2304 9216 6144 6144 2304 2304 9216 2304 864 24576 6144 6144 2304 6144 2304 2304 1536 2304 2304 864 2304 6144 384 384 864

23

0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,00141841 0,00013298 0,00378244 0,00094561 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,0003546 0,00013298 0,00378244 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,0002364 0,0003546 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,00005910 0,00013298

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23

a-2-10-10 a-3-9-10 a-4-8-10 a-4-9-9 a-5-7-10 a-5-8-9 a-6-6-10 a-6-7-9 a-6-8-8 a-7-7-8 2-2-9-10 2-3-8-10 2-3-9-9 2-4-7-10 2-4-8-9 2-5-6-10 2-5-7-9 2-5-8-8 2-6-6-9 2-6-7-8 2-7-7-7 3-3-7-10 3-3-8-9 3-4-6-10 3-4-7-9 3-4-8-8 3-5-5-10 3-5-6-9 3-5-7-8 3-6-6-8 3-6-7-7 4-4-5-10 4-4-6-9 4-4-7-8 4-5-5-9 4-5-6-8

Total 46080 24576 24576 2304 24576 6144 9216 6144 2304 2304 9216 24576 2304 24576 6144 24576 6144 2304 2304 6144 384 9216 2304 24576 6144 2304 9216 6144 6144 2304 2304 9216 2304 2304 2304 6144

24

0,04934897 0,00709207 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,00141841 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,00378244 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,00141841 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00094561

Cap´ıtulo 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

23 23 23 23 23

4-5-7-7 4-6-6-7 5-5-5-8 5-5-6-7 5-6-6-6

24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24

a-3-10-10 a-4-9-10 a-5-8-10 a-5-9-9 a-6-7-10 a-6-8-9 a-7-7-9 a-7-8-8 2-2-10-10 2-3-9-10 2-4-8-10 2-4-9-9 2-5-7-10 2-5-8-9 2-6-6-10 2-6-7-9 2-6-8-8 2-7-7-8 3-3-8-10 3-3-9-9 3-4-7-10 3-4-8-9 3-5-6-10 3-5-7-9 3-5-8-8 3-6-6-9 3-6-7-8 3-7-7-7 4-4-6-10 4-4-7-9 4-4-8-8

2304 2304 384 2304 384 Total 46080 24576 24576 2304 24576 6144 2304 2304 17280 24576 24576 2304 24576 6144 9216 6144 2304 2304 9216 864 24576 6144 24576 6144 2304 2304 6144 384 9216 2304 864

25

0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,00005910 0,05502262 0,00709207 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00265953 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,00141841 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,00013298 0,00378244 0,00094561 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 5,9101E-05 0,00141841 0,0003546 0,00013298

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

24 24 24 24 24 24 24 24 24 24

4-5-5-10 4-5-6-9 4-5-7-8 4-6-6-8 4-6-7-7 5-5-5-9 5-5-6-8 5-5-7-7 5-6-6-7 6-6-6-6

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

a-4-10-10 a-5-9-10 a-6-8-10 a-6-9-9 a-7-7-10 a-7-8-9 a-8-8-8 2-3-10-10 2-4-9-10 2-5-8-10 2-5-9-9 2-6-7-10 2-6-8-9 2-7-7-9 2-7-8-8 3-3-9-10 3-4-8-10 3-4-9-9 3-5-7-10 3-5-8-9 3-6-6-10 3-6-7-9 3-6-8-8 3-7-7-8 4-4-7-10 4-4-8-9

9216 6144 6144 2304 2304 384 2304 864 2304 24 Total 46080 24576 24576 2304 9216 6144 384 46080 24576 24576 2304 24576 6144 2304 2304 9216 24576 2304 24576 6144 9216 6144 2304 2304 9216 2304

26

0,00141841 0,00094561 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00000369 0,05838028 0,00709207 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,00005910 0,00709207 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,00378244 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,00141841 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,0003546

Cap´ıtulo 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

4-5-6-10 4-5-7-9 4-5-8-8 4-6-6-9 4-6-7-8 4-7-7-7 5-5-5-10 5-5-6-9 5-5-7-8 5-6-6-8 5-6-7-7 6-6-6-7

26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26

a-5-10-10 a-6-9-10 a-7-8-10 a-7-9-9 a-8-8-9 2-4-10-10 2-5-9-10 2-6-8-10 2 6-9-9 2-7-7-10 2-7-8-9 2-8-8-8 3-3-10-10 3-4-9-10 3-5-8-10 3-5-9-9 3-6-7-10 3-6-8-9 3-7-7-9 3-7-8-8 4-4-8-10 4-4-9-9 4-5-7-10 4-5-8-9

24576 6144 2304 2304 6144 384 1536 2304 2304 2304 2304 384 Total 46080 24576 24576 2304 2304 46080 24576 24576 2304 9216 6144 384 17280 24576 24576 2304 24576 6144 2304 2304 9216 864 24576 6144

27

0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,0002364 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,06116908 0,00709207 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,0003546 0,00709207 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,00005910 0,00265953 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,00013298 0,00378244 0,00094561

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26

4-6-6-10 4-6-7-9 4-6-8-8 4-7-7-8 5-5-6-10 5-5-7-9 5-5-8-8 5-6-6-9 5-6-7-8 5-7-7-7 6-6-6-8 6-6-7-7

27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27

a-6-10-10 a-7-9-10 a-8-8-10 a-8-9-9 2-5-10-10 2-6-9-10 2-7-8-10 2-7-9-9 2-8-8-9 3-4-10-10 3-5-9-10 3-6-8-10 3-6-9-9 3-7-7-10 3-7-8-9 3-8-8-8 4-4-9-10 4-5-8-10 4-5-9-9 4-6-7-10 4-6-8-9 4-7-7-9 4-7-8-8 5-5-7-10

9216 6144 2304 2304 9216 2304 864 2304 6144 384 384 864 Total 46080 24576 9216 2304 46080 24576 24576 2304 2304 46080 24576 24576 2304 9216 6144 384 9216 24576 2304 24576 6144 2304 2304 9216

28

0,00141841 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,0003546 0,00013298 0,0003546 0,00094561 0,00005910 0,00005910 0,00013298 0,06162711 0,00709207 0,00378244 0,00141841 0,0003546 0,00709207 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,0003546 0,00709207 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,00005910 0,00141841 0,00378244 0,0003546 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00141841

Cap´ıtulo 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

27 27 27 27 27 27 27 27

5-5-8-9 5-6-6-10 5-6-7-9 5-6-8-8 5-7-7-8 6-6-6-9 6-6-7-8 6-7-7-7

28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

a-7-10-10 a-8-9-10 a-9-9-9 2-6-10-10 2-7-9-10 2-8-8-10 2-8-9-9 3-5-10-10 3-6-9-10 3-7-8-10 3-7-9-9 3-8-8-9 4-4-10-10 4-5-9-10 4-6-8-10 4-6-9-9 4-7-7-10 4-7-8-9 4-8-8-8 5-5-8-10 5-5-9-9 5-6-7-10 5-6-8-9 5-7-7-9 5-7-8-8 6-6-6-10 6-6-7-9 6-6-8-8

2304 9216 6144 2304 2304 384 2304 384 Total 46080 24576 384 46080 24576 9216 2304 46080 24576 24576 2304 2304 17280 24576 24576 2304 9216 6144 384 9216 864 24576 6144 2304 2304 1536 2304 864

29

0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,0003546 0,00005910 0,06176009 0,00709207 0,00378244 0,00005910 0,00709207 0,00378244 0,00141841 0,0003546 0,00709207 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,0003546 0,00265953 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,00141841 0,00094561 0,00005910 0,00141841 0,00013298 0,00378244 0,00094561 0,0003546 0,0003546 0,0002364 0,0003546 0,00013298

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

28 28

6-7-7-8 7-7-7-7

29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

a-8-10-10 a-9-9-10 2-7-10-10 2-8-9-10 2-9-9-9 3-6-10-10 3-7-9-10 3-8-8-10 3-8-9-9 4-5-10-10 4-6-9-10 4-7-8-10 4-7-9-9 4-8-8-9 5-5-9-10 5-6-8-10 5-6-9-9 5-7-7-10 5-7-8-9 5-8-8-8 6-6-7-10 6-6-8-9 6-7-7-9 6-7-8-8 7-7-7-8

30 30 30 30 30 30 30 30

a-9-10-10 2-8-10-10 2-9-9-10 3-7-10-10 3-8-9-10 3-9-9-9 4-6-10-10 4-7-9-10

2304 24 Total 46080 9216 46080 24576 384 46080 24576 9216 2304 46080 24576 24576 2304 2304 9216 24576 2304 9216 6144 384 9216 2304 2304 2304 384 Total 46080 46080 9216 46080 24576 384 46080 24576

30

0,0003546 0,00000369 0,06002032 0,00709207 0,00141841 0,00709207 0,00378244 0,00005910 0,00709207 0,00378244 0,00141841 0,0003546 0,00709207 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,00378244 0,0003546 0,00141841 0,00094561 5,9101E-05 0,00141841 0,0003546 0,0003546 0,0003546 0,00005910 0,05797765 0,00709207 0,00709207 0,00141841 0,00709207 0,00378244 0,00005910 0,00709207 0,00378244

Cap´ıtulo 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

4-8-8-10 4-8-9-9 5-5-10-10 5-6-9-10 5-7-8-10 5-7-9-9 5-8-8-9 6-6-8-10 6-6-9-9 6-7-7-10 6-7-8-9 6-8-8-8 7-7-7-9 7-7-8-8

31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31

a-10-10-10 2-9-10-10 3-8-10-10 3-9-9-10 4-7-10-10 4-8-9-10 4-9-9-9 5-6-10-10 5-7-9-10 5-8-8-10 5-8-9-9 6-6-9-10 6-7-8-10 6-7-9-9 6-8-8-9 7-7-7-10 7-7-8-9 7-8-8-8

32 32 32

2-10-10-10 3-9-10-10 4-8-10-10

9216 2304 17280 24576 24576 2304 2304 9216 864 9216 6144 384 384 864 Total 53760 46080 46080 9216 46080 24576 384 46080 24576 9216 2304 9216 24576 2304 2304 1536 2304 384 Total 53760 46080 46080

31

0,00141841 0,0003546 0,00265953 0,00378244 0,00378244 0,0003546 0,0003546 0,00141841 0,00013298 0,00141841 0,00094561 0,00005910 0,00005910 0,00013298 0,05428387 0,00827408 0,00709207 0,00709207 0,00141841 0,00709207 0,00378244 0,00005910 0,00709207 0,00378244 0,00141841 0,0003546 0,00141841 0,00378244 0,0003546 0,0003546 0,0002364 0,0003546 0,00005910 0,05401791 0,00827408 0,00709207 0,00709207

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32

4-9-9-10 5-7-10-10 5-8-9-10 5-9-9-9 6-6-10-10 6-7-9-10 6-8-8-10 6-8-9-9 7-7-8-10 7-7-9-9 7-8-8-9 8-8-8-8

33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33

3-10-10-10 4-9-10-10 5-8-10-10 5-9-9-10 6-7-10-10 6-8-9-10 6-9-9-9 7-7-9-10 7-8-8-10 7-8-9-9 8-8-8-9

34 34 34 34 34 34 34 34 34

4-10-10-10 5-9-10-10 6-8-10-10 6-9-9-10 7-7-10-10 7-8-9-10 7-9-9-9 8-8-8-10 8-8-9-9

35 35

5-10-10-10 6-9-10-10

9216 46080 24576 384 17280 24576 9216 2304 9216 864 2304 24 Total 53760 46080 46080 9216 46080 24576 384 9216 9216 2304 384 Total 53760 46080 46080 9216 17280 24576 384 1536 864 Total 53760 46080

32

0,00141841 0,00709207 0,00378244 0,00005910 0,00265953 0,00378244 0,00141841 0,0003546 0,00141841 0,00013298 0,0003546 0,00000369 0,0449349 0,00827408 0,00709207 0,00709207 0,00141841 0,00709207 0,00378244 0,00005910 0,00141841 0,00141841 0,0003546 0,00005910 0,03806076 0,00827408 0,00709207 0,00709207 0,00141841 0,00265953 0,00378244 0,00005910 0,0002364 0,00013298 0,03074707 0,00827408 0,00709207

Cap´ıtulo 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cap´ıtulo 1

35 35 35 35 36 36 36 36 36 37 37 37 38 38 39 40

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

7-8-10-10 7-9-9-10 8-8-9-10 8-9-9-9

46080 0,00709207 9216 0,00141841 9216 0,00141841 384 0,00005910 Total 0,02535414 6-10-10-10 53760 0,00827408 7-9-10-10 46080 0,00709207 8-8-10-10 17280 0,00265953 8-9-9-10 9216 0,00141841 9-9-9-9 24 0,00000369 Total 0,01944778 7-10-10-10 53760 0,00827408 8-9-10-10 46080 0,00709207 9-9-9-10 1536 0,0002364 Total 0,01560255 8-10-10-10 53760 0,00827408 9-9-10-10 17280 0,00265953 Total 0,0109336 9-10-10-10 53760 0,00827408 Total 0,00827408 10-10-10-10 43680 0,00672269 Total 0,00672269 Tabla 1.3: Combinaciones Para Cuatro Cartas.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Dado el caso de solicitar una nueva carta, el jugador solo deber´a tener ahora un puntaje menor que veintiuno. Por tener cinco cartas y no superar el puntaje, el jugador gana inmediatamente el juego. A continuaci´on se muestran todas las posibles permutaciones de cinco cartas que se pueden obtener en el juego. Es v´alido anotar que estas permutaciones pueden servir para futuras investigaciones en juegos de cartas como el Poker. Las posibles permutaciones se basan en el principio de multiplicaci´ on combinado con las permutaciones, que nuevamente se encuentran dependiendo del n´ umero de cartas repetidas que estemos estudiando para cada una de las combinaciones planteadas.

33

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

Puntaje 6

Cartas a-a-a-a-2

7 7

a-a-a-a-3 a-a-a-2-2

8 8 8

a-a-a-a-4 a-a-a-2-3 a-a-2-2-2

9 9 9 9 9

a-a-a-a-5 a-a-a-2-4 a-a-a-3-3 a-a-2-2-3 a-2-2-2-2

10 10 10 10 10 10

a-a-a-a-6 a-a-a-2-5 a-a-a-3-4 a-a-2-2-4 a-a-2-3-3 a-2-2-2-3

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

a-a-a-a-7 a-a-a-2-6 a-a-a-3-5 a-a-a-4-4 a-a-2-2-5 a-a-2-3-4 a-a-3-3-3 a-2-2-2-4 a-2-2-3-3 2-2-2-2-3

12 12 12

a-a-a-a-8 a-a-a-2-7 a-a-a-3-6

Permutaciones 480 Total 480 2880 Total 480 7680 2880 Total 480 7680 2880 17280 480 Total 480 7680 7680 17280 17280 7680 Total 480 7680 7680 2880 17280 46080 2880 7680 17280 480 Total 480 7680 7680

34

Cap´ıtulo 1

Probabilidad 0,00000154 0,00000154 0,00000154 0,00000923 0,00001077 0,00000154 0,00002463 0,00000923 0,00003540 0,00000154 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00000154 0,00009234 0,00000154 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00018623 0,00000154 0,00002463 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00002463 0,00005541 0,00000154 0,00035399 0,00000154 0,00002463 0,00002463

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

a-a-a-4-5 a-a-2-2-6 a-a-2-3-5 a-a-2-4-4 a-a-3-3-4 a-2-2-2-5 a-2-2-3-4 a-2-3-3-3 2-2-2-2-4 2-2-2-3-3

13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13

a-a-a-a-9 a-a-a-2-8 a-a-a-3-7 a-a-a-4-6 a-a-a-5-5 a-a-2-2-7 a-a-2-3-6 a-a-2-4-5 a-a-3-3-5 a-a-3-4-4 a-2-2-2-6 a-2-2-3-5 a-2-2-4-4 a-2-3-3-4 a-3-3-3-3 2-2-2-2-5 2-2-2-3-4 2-2-3-3-3

14 14 14 14 14 14 14

a-a-a-a-10 a-a-a-2-9 a-a-a-3-8 a-a-a-4-7 a-a-a-5-6 a-a-2-2-8 a-a-2-3-7

7680 17280 46080 17280 17280 7680 46080 7680 480 2880 Total 480 7680 7680 7680 2880 17280 46080 46080 17280 17280 7680 46080 17280 46080 480 480 7680 2880 Total 1920 7680 7680 7680 7680 17280 46080

35

0,00002463 0,00005541 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00000923 0,00059716 0,00000154 0,00002463 0,00002463 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00000154 0,00002463 0,00000923 0,00095885 0,00000616 0,00002463 0,00002463 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00014775

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

a-a-2-4-6 a-a-2-5-5 a-a-3-3-6 a-a-3-4-5 a-a-4-4-4 a-2-2-2-7 a-2-2-3-6 a-2-2-4-5 a-2-3-3-5 a-2-3-4-4 a-3-3-3-4 2-2-2-2-6 2-2-2-3-5 2-2-2-4-4 2-2-3-3-4 2-3-3-3-3

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

a-a-a-2-10 a-a-a-3-9 a-a-a-4-8 a-a-a-5-7 a-a-a-6-6 a-a-2-2-9 a-a-2-3-8 a-a-2-4-7 a-a-2-5-6 a-a-3-3-7 a-a-3-4-6 a-a-3-5-5 a-a-4-4-5 a-2-2-2-8 a-2-2-3-7 a-2-2-4-6 a-2-2-5-5 a-2-3-3-6 a-2-3-4-5 a-2-4-4-4

46080 17280 17280 46080 2880 7680 46080 46080 46080 46080 7680 480 7680 2880 17280 480 Total 30720 7680 7680 7680 2880 17280 46080 46080 46080 17280 46080 17280 17280 7680 46080 46080 17280 46080 122880 7680

36

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00002463 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00000154 0,00145597 0,00009850 0,00002463 0,00002463 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00002463

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

15 15 15 15 15 15 15 15

a-3-3-3-5 a-3-3-4-4 2-2-2-2-7 2-2-2-3-6 2-2-2-4-5 2-2-3-3-5 2-2-3-4-4 2-3-3-3-4

16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

a-a-a-3-10 a-a-a-4-9 a-a-a-5-8 a-a-a-6-7 a-a-2-2-10 a-a-2-3-9 a-a-2-4-8 a-a-2-5-7 a-a-2-6-6 a-a-3-3-8 a-a-3-4-7 a-a-3-5-6 a-a-4-4-6 a-a-4-5-5 a-2-2-2-9 a-2-2-3-8 a-2-2-4-7 a-2-2-5-6 a-2-3-3-7 a-2-3-4-6 a-2-3-5-5 a-2-4-4-5 a-3-3-3-6 a-3-3-4-5 a-3-4-4-4 2-2-2-2-8 2-2-2-3-7 2-2-2-4-6

7680 17280 480 7680 7680 17280 17280 7680 Total 30720 7680 7680 7680 69120 46080 46080 46080 17280 17280 46080 46080 17280 17280 7680 46080 46080 46080 46080 122880 46080 46080 7680 46080 7680 480 7680 7680

37

0,00002463 0,00005541 0,00000154 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00220242 0,00009850 0,00002463 0,00002463 0,00002463 0,00022163 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00002463 0,00002463

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

16 16 16 16 16 16 16

2-2-2-5-5 2-2-3-3-6 2-2-3-4-5 2-2-4-4-4 2-3-3-3-5 2-3-3-4-4 3-3-3-3-4

17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17

a-a-a-4-10 a-a-a-5-9 a-a-a-6-8 a-a-a-7-7 a-a-2-3-10 a-a-2-4-9 a-a-2-5-8 a-a-2-6-7 a-a-3-3-9 a-a-3-4-8 a-a-3-5-7 a-a-3-6-6 a-a-4-4-7 a-a-4-5-6 a-a-5-5-5 a-2-2-2-10 a-2-2-3-9 a-2-2-4-8 a-2-2-5-7 a-2-2-6-6 a-2-3-3-8 a-2-3-4-7 a-2-3-5-6 a-2-4-4-6 a-2-4-5-5 a-3-3-3-7 a-3-3-4-6 a-3-3-5-5 a-3-4-4-5

2880 17280 46080 2880 7680 17280 480 Total 30720 7680 7680 2880 184320 46080 46080 46080 17280 46080 46080 17280 17280 46080 2880 30720 46080 46080 46080 17280 46080 122880 122880 46080 46080 7680 46080 17280 46080

38

Cap´ıtulo 1

0,00000923 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00002463 0,00005541 0,00000154 0,00321051 0,00009850 0,00002463 0,00002463 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00009850 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00005541 0,00014775

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17

a-4-4-4-4 2-2-2-2-9 2-2-2-3-8 2-2-2-4-7 2-2-2-5-6 2-2-3-3-7 2-2-3-4-6 2-2-3-5-5 2-2-4-4-5 2-3-3-3-6 2-3-3-4-5 2-3-4-4-4 3-3-3-3-5 3-3-3-4-4

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

a-a-a-5-10 a-a-a-6-9 a-a-a-7-8 a-a-2-4-10 a-a-2-5-9 a-a-2-6-8 a-a-2-7-7 a-a-3-3-10 a-a-3-4-9 a-a-3-5-8 a-a-3-6-7 a-a-4-4-8 a-a-4-5-7 a-a-4-6-6 a-a-5-5-6 a-2-2-3-10 a-2-2-4-9 a-2-2-5-8 a-2-2-6-7 a-2-3-3-9 a-2-3-4-8 a-2-3-5-7

480 480 7680 7680 7680 17280 46080 17280 17280 7680 46080 7680 480 2880 Total 30720 7680 7680 184320 46080 46080 17280 69120 46080 46080 46080 17280 46080 17280 17280 184320 46080 46080 46080 46080 122880 122880

39

0,00000154 0,00000154 0,00002463 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00000923 0,00461261 0,00009850 0,00002463 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00022163 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00039400

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

a-2-3-6-6 a-2-4-4-7 a-2-4-5-6 a-2-5-5-5 a-3-3-3-8 a-3-3-4-7 a-3-3-5-6 a-3-4-4-6 a-3-4-5-5 a-4-4-4-5 2-2-2-2-10 2-2-2-3-9 2-2-2-4-8 2-2-2-5-7 2-2-2-6-6 2-2-3-3-8 2-2-3-4-7 2-2-3-5-6 2-2-4-4-6 2-2-4-5-5 2-3-3-3-7 2-3-3-4-6 2-3-3-5-5 2-3-4-4-5 2-4-4-4-4 3-3-3-3-6 3-3-3-4-5 3-3-4-4-4

19 19 19 19 19 19 19 19

a-a-a-6-10 a-a-a-7-9 a-a-a-8-8 a-a-2-5-10 a-a-2-6-9 a-a-2-7-8 a-a-3-4-10 a-a-3-5-9

46080 46080 122880 7680 7680 46080 46080 46080 46080 7680 1920 7680 7680 7680 2880 17280 46080 46080 17280 17280 7680 46080 17280 46080 480 480 7680 2880 Total 30720 7680 2880 184320 46080 46080 184320 46080

40

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00000616 0,00002463 0,00002463 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00000154 0,00002463 0,00000923 0,00635639 0,00009850 0,00002463 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775

Cap´ıtulo 1

19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-a-3-6-8 a-a-3-7-7 a-a-4-4-9 a-a-4-5-8 a-a-4-6-7 a-a-5-5-7 a-a-5-6-6 a-2-2-4-10 a-2-2-5-9 a-2-2-6-8 a-2-2-7-7 a-2-3-3-10 a-2-3-4-9 a-2-3-5-8 a-2-3-6-7 a-2-4-4-8 a-2-4-5-7 a-2-4-6-6 a-2-5-5-6 a-3-3-3-9 a-3-3-4-8 a-3-3-5-7 a-3-3-6-6 a-3-4-4-7 a-3-4-5-6 a-3-5-5-5 a-4-4-4-6 a-4-4-5-5 2-2-2-3-10 2-2-2-4-9 2-2-2-5-8 2-2-2-6-7 2-2-3-3-9 2-2-3-4-8 2-2-3-5-7 2-2-3-6-6 2-2-4-4-7

46080 17280 17280 46080 46080 17280 17280 184320 46080 46080 17280 184320 122880 122880 122880 46080 122880 46080 46080 7680 46080 46080 17280 46080 122880 7680 7680 17280 30720 7680 7680 7680 17280 46080 46080 17280 17280

41

0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00059101 0,00039400 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00009850 0,00002463 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19

2-2-4-5-6 2-2-5-5-5 2-3-3-3-8 2-3-3-4-7 2-3-3-5-6 2-3-4-4-6 2-3-4-5-5 2-4-4-4-5 3-3-3-3-7 3-3-3-4-6 3-3-3-5-5 3-3-4-4-5 3-4-4-4-4

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

a-a-a-7-10 a-a-a-8-9 a-a-2-6-10 a-a-2-7-9 a-a-2-8-8 a-a-3-5-10 a-a-3-6-9 a-a-3-7-8 a-a-4-4-10 a-a-4-5-9 a-a-4-6-8 a-a-4-7-7 a-a-5-5-8 a-a-5-6-7 a-a-6-6-6 a-2-2-5-10 a-2-2-6-9 a-2-2-7-8 a 2-3-4-10 a-2-3-5-9 a-2-3-6-8 a-2-3-7-7 a-2-4-4-9

46080 2880 7680 46080 46080 46080 46080 7680 480 7680 2880 17280 480 Total 30720 7680 184320 46080 17280 184320 46080 46080 69120 46080 46080 17280 17280 46080 2880 184320 46080 46080 491520 122880 122880 46080 46080

42

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00000923 0,00002463 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00000154 0,00852033 0,00009850 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00022163 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00014775

Cap´ıtulo 1

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-2-4-5-8 a-2-4-6-7 a-2-5-5-7 a-2-5-6-6 a-3-3-3-10 a-3-3-4-9 a-3-3-5-8 a-3-3-6-7 a-3-4-4-8 a-3-4-5-7 a-3-4-6-6 a-3-5-5-6 a-4-4-4-7 a-4-4-5-6 a-4-5-5-5 2-2-2-4-10 2-2-2-5-9 2-2-2-6-8 2-2-2-7-7 2-2-3-3-10 2-2-3-4-9 2-2-3-5-8 2-2-3-6-7 2-2-4-4-8 2-2-4-5-7 2-2-4-6-6 2-2-5-5-6 2-3-3-3-9 2-3-3-4-8 2-3-3-5-7 2-3-3-6-6 2-3-4-4-7 2-3-4-5-6 2-3-5-5-5 2-4-4-4-6 2-4-4-5-5 3-3-3-3-8

122880 122880 46080 46080 30720 46080 46080 46080 46080 122880 46080 46080 7680 46080 7680 30720 7680 7680 2880 69120 46080 46080 46080 17280 46080 17280 17280 7680 46080 46080 17280 46080 122880 7680 7680 17280 480

43

0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00009850 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00002463 0,00002463 0,00000923 0,00022163 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00000154

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

20 20 20 20 20

3-3-3-4-7 3-3-3-5-6 3-3-4-4-6 3-3-4-5-5 3-4-4-4-5

21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

a-a-a-8-10 a-a-a-9-9 a-a-2-7-10 a-a-2-8-9 a-a-3-6-10 a-a-3-7-9 a-a-3-8-8 a-a-4-5-10 a-a-4-6-9 a-a-4-7-8 a-a-5-5-9 a-a-5-6-8 a-a-5-7-7 a-a-6-6-7 a-2-2-6-10 a-2-2-7-9 a-2-2-8-8 a-2-3-5-10 a-2-3-6-9 a-2-3-7-8 a-2-4-4-10 a-2-4-5-9 a-2-4-6-8 a-2-4-7-7 a-2-5-5-8 a-2-5-6-7 a-2-6-6-6 a-3-3-4-10 a-3-3-5-9 a-3-3-6-8 a-3-3-7-7

7680 7680 17280 17280 7680 Total 30720 2880 184320 46080 184320 46080 17280 184320 46080 46080 17280 46080 17280 17280 184320 46080 17280 491520 122880 122880 184320 122880 122880 46080 46080 122880 7680 184320 46080 46080 17280

44

Cap´ıtulo 1

0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,01113830 0,00009850 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00039400 0,00059101 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00005541

Cap´ıtulo 1

21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-3-4-4-9 a-3-4-5-8 a-3-4-6-7 a-3-5-5-7 a-3-5-6-6 a-4-4-4-8 a-4-4-5-7 a-4-4-6-6 a-4-5-5-6 a-5-5-5-5 2-2-2-5-10 2-2-2-6-9 2-2-2-7-8 2-2-3-4-10 2-2-3-5-9 2-2-3-6-8 2-2-3-7-7 2-2-4-4-9 2-2-4-5-8 2-2-4-6-7 2-2-5-5-7 2-2-5-6-6 2-3-3-3-10 2-3-3-4-9 2-3-3-5-8 2-3-3-6-7 2-3-4-4-8 2-3-4-5-7 2-3-4-6-6 2-3-5-5-6 2-4-4-4-7 2-4-4-5-6 2-4-5-5-5 3-3-3-3-9 3-3-3-4-8 3-3-3-5-7 3-3-3-6-6

46080 122880 122880 46080 46080 7680 46080 17280 46080 480 30720 7680 7680 184320 46080 46080 17280 17280 46080 46080 17280 17280 30720 46080 46080 46080 46080 122880 46080 46080 7680 46080 7680 480 7680 7680 2880

45

0,00014775 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00009850 0,00002463 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00009850 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00002463 0,00002463 0,00000923

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

21 21 21 21 21 21

3-3-4-4-7 3-3-4-5-6 3-3-5-5-5 3-4-4-4-6 3-4-4-5-5 4-4-4-4-5

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

a-a-a-9-10 a-a-2-8-10 a-a-2-9-9 a-a-3-7-10 a-a-3-8-9 a-a-4-6-10 a-a-4-7-9 a-a-4-8-8 a-a-5-5-10 a-a-5-6-9 a-a-5-7-8 a-a-6-6-8 a-a-6-7-7 a-2-2-7-10 a-2-2-8-9 a-2-3-6-10 a-2-3-7-9 a-2-3-8-8 a-2-4-5-10 a-2-4-6-9 a-2-4-7-8 a-2-5-5-9 a-2-5-6-8 a-2-5-7-7 a-2-6-6-7 a-3-3-5-10 a-3-3-6-9 a-3-3-7-8 a-3-4-4-10 a-3-4-5-9

17280 46080 2880 7680 17280 480 Total 30720 184320 17280 184320 46080 184320 46080 17280 69120 46080 46080 17280 17280 184320 46080 491520 122880 46080 491520 122880 122880 46080 122880 46080 46080 184320 46080 46080 184320 122880

46

Cap´ıtulo 1

0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00002463 0,00005541 0,00000154 0,01412411 0,00009850 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00022163 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00039400

Cap´ıtulo 1

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-3-4-6-8 a-3-4-7-7 a-3-5-5-8 a-3-5-6-7 a-3-6-6-6 a-4-4-4-9 a-4-4-5-8 a-4-4-6-7 a-4-5-5-7 a-4-5-6-6 a-5-5-5-6 2-2-2-6-10 2-2-2-7-9 2-2-2-8-8 2-2-3-5-10 2-2-3-6-9 2-2-3-7-8 2-2-4-4-10 2-2-4-5-9 2-2-4-6-8 2-2-4-7-7 2-2-5-5-8 2-2-5-6-7 2-2-6-6-6 2-3-3-4-10 2-3-3-5-9 2-3-3-6-8 2-3-3-7-7 2-3-4-4-9 2-3-4-5-8 2-3-4-6-7 2-3-5-5-7 2-3-5-6-6 2-4-4-4-8 2-4-4-5-7 2-4-4-6-6 2-4-5-5-6

122880 46080 46080 122880 7680 7680 46080 46080 46080 46080 7680 30720 7680 2880 184320 46080 46080 69120 46080 46080 17280 17280 46080 2880 184320 46080 46080 17280 46080 122880 122880 46080 46080 7680 46080 17280 46080

47

0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00002463 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00022163 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00005541 0,00014775

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22

2-5-5-5-5 3-3-3-3-10 3-3-3-4-9 3-3-3-5-8 3-3-3-6-7 3 -3-4-4-8 3-3-4-5-7 3-3-4-6-6 3-3-5-5-6 3-4-4-4-7 3-4-4-5-6 3-4-5-5-5 4-4-4-4-6 4-4-4-5-5

23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23

a-a-a-10-10 a-a-2-9-10 a-a-3-8-10 a-a-3-9-9 a-a-4-7-10 a-a-4-8-9 a-a-5-6-10 a-a-5-7-9 a-a-5-8-8 a-a-6-6-9 a-a-6-7-8 a-a-7-7-7 a-2-2-8-10 a-2-2-9-9 a-2-3-7-10 a-2-3-8-9 a-2-4-6-10 a-2-4-7-9 a-2-4-8-8 a-2-5-5-10 a-2-5-6-9 a-2-5-7-8

480 1920 7680 7680 7680 17280 46080 17280 17280 7680 46080 7680 480 2880 Total 57600 184320 184320 17280 184320 46080 184320 46080 17280 17280 46080 2880 184320 17280 491520 122880 491520 122880 46080 184320 122880 122880

48

Cap´ıtulo 1

0,00000154 0,00000616 0,00002463 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00000923 0,01753932 0,00018469 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00059101 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00039400

Cap´ıtulo 1

23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-2-6-6-8 a-2-6-7-7 a-3-3-6-10 a-3-3-7-9 a-3-3-8-8 a-3-4-5-10 a-3-4-6-9 a-3-4-7-8 a-3-5-5-9 a-3-5-6-8 a-3-5-7-7 a-3-6-6-7 a-4-4-4-10 a-4-4-5-9 a-4-4-6-8 a-4-4-7-7 a-4-5-5-8 a-4-5-6-7 a-4-6-6-6 a-5-5-5-7 a-5-5-6-6 2-2-2-7-10 2-2-2-8-9 2-2-3-6-10 2-2-3-7-9 2-2-3-8-8 2-2-4-5-10 2-2-4-6-9 2-2-4-7-8 2-2-5-5-9 2-2-5-6-8 2-2-5-7-7 2-2-6-6-7 2-3-3-5-10 2-3-3-6-9 2-3-3-7-8 2-3-4-4-10

46080 46080 184320 46080 17280 491520 122880 122880 46080 122880 46080 46080 30720 46080 46080 17280 46080 122880 7680 7680 17280 30720 7680 184320 46080 17280 184320 46080 46080 17280 46080 17280 17280 184320 46080 46080 184320

49

0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00009850 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00009850 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00059101

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23

2-3-4-5-9 2-3-4-6-8 2-3-4-7-7 2-3-5-5-8 2-3-5-6-7 2-3-6-6-6 2-4-4-4-9 2-4-4-5-8 2-4-4-6-7 2-4-5-5-7 2-4-5-6-6 2-5-5-5-6 3-3-3-4-10 3-3-3-5-9 3-3-3-6-8 3-3-3-7-7 3-3-4-4-9 3-3-4-5-8 3-3-4-6-7 3-3-5-5-7 3-3-5-6-6 3-4-4-4-8 3-4-4-5-7 3-4-4-6-6 3-4-5-5-6 3-5-5-5-5 4-4-4-4-7 4-4-4-5-6 4-4-5-5-5

24 24 24 24 24 24 24

a-a-2-10-10 a-a-3-9-10 a-a-4-8-10 a-a-4-9-9 a-a-5-7-10 a-a-5-8-9 a-a-6-6-10

122880 122880 46080 46080 122880 7680 7680 46080 46080 46080 46080 7680 30720 7680 7680 2880 17280 46080 46080 17280 17280 7680 46080 17280 46080 480 480 7680 2880 Total 345600 184320 184320 17280 184320 46080 69120

50

Cap´ıtulo 1

0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00002463 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00000154 0,00002463 0,00000923 0,02143627 0,00110814 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00022163

Cap´ıtulo 1

24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-a-6-7-9 a-a-6-8-8 a-a-7-7-8 a-2-2-9-10 a-2-3-8-10 a-2-3-9-9 a-2-4-7-10 a-2-4-8-9 a-2-5-6-10 a-2-5-7-9 a-2-5-8-8 a-2-6-6-9 a-2-6-7-8 a-2-7-7-7 a-3-3-7-10 a-3-3-8-9 a-3-4-6-10 a-3-4-7-9 a-3-4-8-8 a-3-5-5-10 a-3-5-6-9 a-3-5-7-8 a-3-6-6-8 a-3-6-7-7 a-4-4-5-10 a-4-4-6-9 a-4-4-7-8 a-4-5-5-9 a-4-5-6-8 a-4-5-7-7 a-4-6-6-7 a-5-5-5-8 a-5-5-6-7 a-5-6-6-6 2-2-2-8-10 2-2-2-9-9 2-2-3-7-10

46080 17280 17280 184320 491520 46080 491520 122880 491520 122880 46080 46080 122880 7680 184320 46080 491520 122880 46080 184320 122880 122880 46080 46080 184320 46080 46080 46080 122880 46080 46080 7680 46080 7680 30720 2880 184320

51

0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00000923 0,00059101

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24

2-2-3-8-9 2-2-4-6-10 2-2-4-7-9 2-2-4-8-8 2-2-5-5-10 2-2-5-6-9 2-2-5-7-8 2-2-6-6-8 2-2-6-7-7 2-3-3-6-10 2-3-3-7-9 2-3-3-8-8 2-3-4-5-10 2-3-4-6-9 2-3-4-7-8 2-3-5-5-9 2-3-5-6-8 2-3-5-7-7 2-3-6-6-7 2-4-4-4-10 2-4-4-5-9 2-4-4-6-8 2-4-4-7-7 2-4-5-5-8 2-4-5-6-7 2-4-6-6-6 2-5-5-5-7 2-5-5-6-6 3-3-3-5-10 3-3-3-6-9 3-3-3-7-8 3-3-4-4-10 3-3-4-5-9 3-3-4-6-8 3-3-4-7-7 3-3-5-5-8 3-3-5-6-7

46080 184320 46080 17280 69120 46080 46080 17280 17280 184320 46080 17280 491520 122880 122880 46080 122880 46080 46080 30720 46080 46080 17280 46080 122880 7680 7680 17280 30720 7680 7680 69120 46080 46080 17280 17280 46080

52

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00022163 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00009850 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00009850 0,00002463 0,00002463 0,00022163 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24

3-3-6-6-6 3-4-4-4-9 3-4-4-5-8 3-4-4-6-7 3-4-5-5-7 3-4-5-6-6 3-5-5-5-6 4-4-4-4-8 4-4-4-5-7 4-4-4-6-6 4-4-5-5-6 4-5-5-5-5

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

a-a-3-10-10 a-a-4-9-10 a-a-5-8-10 a-a-5-9-9 a-a-6-7-10 a-a-6-8-9 a-a-7-7-9 a-a-7-8-8 a-2-2-10-10 a-2-3-9-10 a-2-4-8-10 a-2-4-9-9 a-2-5-7-10 a-2-5-8-9 a-2-6-6-10 a-2-6-7-9 a-2-6-8-8 a-2-7-7-8 a-3-3-8-10 a-3-3-9-9 a-3-4-7-10 a-3-4-8-9 a-3-5-6-10 a-3-5-7-9

2880 7680 46080 46080 46080 46080 7680 480 7680 2880 17280 480 Total 345600 184320 184320 17280 184320 46080 17280 17280 345600 491520 491520 46080 491520 122880 184320 122880 46080 46080 184320 17280 491520 122880 491520 122880

53

0,00000923 0,00002463 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00000154 0,02601040 0,00110814 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00110814 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00059101 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00157602 0,00039400

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

a-3-5-8-8 a-3-6-6-9 a-3-6-7-8 a-3-7-7-7 a-4-4-6-10 a-4-4-7-9 a-4-4-8-8 a-4-5-5-10 a-4-5-6-9 a-4-5-7-8 a-4-6-6-8 a-4-6-7-7 a-5-5-5-9 a-5-5-6-8 a-5-5-7-7 a-5-6-6-7 a-6-6-6-6 2-2-2-9-10 2-2-3-8-10 2-2-3-9-9 2-2-4-7-10 2-2-4-8-9 2-2-5-6-10 2-2-5-7-9 2-2-5-8-8 2-2-6-6-9 2-2-6-7-8 2-2-7-7-7 2-3-3-7-10 2-3-3-8-9 2-3-4-6-10 2-3-4-7-9 2-3-4-8-8 2-3-5-5-10 2-3-5-6-9 2-3-5-7-8 2-3-6-6-8

46080 46080 122880 7680 184320 46080 17280 184320 122880 122880 46080 46080 7680 46080 17280 46080 480 30720 184320 17280 184320 46080 184320 46080 17280 17280 46080 2880 184320 46080 491520 122880 46080 184320 122880 122880 46080

54

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00059101 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00009850 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00039400 0,00014775

Cap´ıtulo 1

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

2-3-6-7-7 2-4-4-5-10 2-4-4-6-9 2-4-4-7-8 2-4-5-5-9 2-4-5-6-8 2-4-5-7-7 2-4-6-6-7 2-5-5-5-8 2-5-5-6-7 2-5-6-6-6 3-3-3-6-10 3-3-3-7-9 3-3-3-8-8 3-3-4-5-10 3-3-4-6-9 3-3-4-7-8 3-3-5-5-9 3-3-5-6-8 3-3-5-7-7 3-3-6-6-7 3-4-4-4-10 3-4-4-5-9 3-4-4-6-8 3-4-4-7-7 3-4-5-5-8 3-4-5-6-7 3-4-6-6-6 3-5-5-5-7 3-5-5-6-6 4-4-4-4-9 4-4-4-5-8 4-4-4-6-7 4-4-5-5-7 4-4-5-6-6 4-5-5-5-6

46080 184320 46080 46080 46080 122880 46080 46080 7680 46080 7680 30720 7680 2880 184320 46080 46080 17280 46080 17280 17280 30720 46080 46080 17280 46080 122880 7680 7680 17280 480 7680 7680 17280 17280 7680 Total

55

0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00002463 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00009850 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00000154 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,03055684

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26

a-a-4-10-10 a-a-5-9-10 a-a-6-8-10 a-a-6-9-9 a-a-7-7-10 a-a-7-8-9 a-a-8-8-8 a-2-3-10-10 a-2-4-9-10 a-2-5-8-10 a-2-5-9-9 a-2-6-7-10 a-2-6-8-9 a-2-7-7-9 a-2-7-8-8 a-3-3-9-10 a-3-4-8-10 a-3-4-9-9 a-3-5-7-10 a-3-5-8-9 a-3-6-6-10 a-3-6-7-9 a-3-6-8-8 a-3-7-7-8 a-4-4-7-10 a-4-4-8-9 a-4-5-6-10 a-4-5-7-9 a-4-5-8-8 a-4-6-6-9 a-4-6-7-8 a-4-7-7-7 a-5-5-5-10 a-5-5-6-9 a-5-5-7-8 a-5-6-6-8 a-5-6-7-7

345600 184320 184320 17280 69120 46080 2880 921600 491520 491520 46080 491520 122880 46080 46080 184320 491520 46080 491520 122880 184320 122880 46080 46080 184320 46080 491520 122880 46080 46080 122880 7680 30720 46080 46080 46080 46080

56

Cap´ıtulo 1

0,00110814 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00022163 0,00014775 0,00000923 0,00295503 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00059101 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00009850 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775

Cap´ıtulo 1

26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-6-6-6-7 2-2-2-10-10 2-2-3-9-10 2-2-4-8-10 2-2-4-9-9 2-2-5-7-10 2-2-5-8-9 2-2-6-6-10 2-2-6-7-9 2-2-6-8-8 2-2-7-7-8 2-3-3-8-10 2-3-3-9-9 2-3-4-7-10 2-3-4-8-9 2-3-5-6-10 2-3-5-7-9 2-3-5-8-8 2-3-6-6-9 2-3-6-7-8 2-3-7-7-7 2-4-4-6-10 2-4-4-7-9 2-4-4-8-8 2-4-5-5-10 2-4-5-6-9 2-4-5-7-8 2-4-6-6-8 2-4-6-7-7 2-5-5-5-9 2-5-5-6-8 2-5-5-7-7 2-5-6-6-7 2-6-6-6-6 3-3-3-7-10 3-3-3-8-9 3-3-4-6-10

7680 57600 184320 184320 17280 184320 46080 69120 46080 17280 17280 184320 17280 491520 122880 491520 122880 46080 46080 122880 7680 184320 46080 17280 184320 122880 122880 46080 46080 7680 46080 17280 46080 480 30720 7680 184320

57

0,00002463 0,00018469 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00022163 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00059101 0,00039400 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00009850 0,00002463 0,00059101

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26

3-3-4-7-9 3-3-4-8-8 3-3-5-5-10 3-3-5-6-9 3-3-5-7-8 3-3-6-6-8 3-3-6-7-7 3-4-4-5-10 3-4-4-6-9 3-4-4-7-8 3-4-5-5-9 3-4-5-6-8 3-4-5-7-7 3-4-6-6-7 3-5-5-5-8 3-5-5-6-7 3-5-6-6-6 4-4-4-4-10 4-4-4-5-9 4-4-4-6-8 4-4-4-7-7 4-4-5-5-8 4-4-5-6-7 4-4-6-6-6 4-5-5-5-7 4-5-5-6-6 5-5-5-5-6

27 27 27 27 27 27 27 27 27

a-a-5-10-10 a-a-6-9-10 a-a-7-8-10 a-a-7-9-9 a-a-8-8-9 a-2-4-10-10 a-2-5-9-10 a-2-6-8-10 a-2-6-9-9

46080 17280 69120 46080 46080 17280 17280 184320 46080 46080 46080 122880 46080 46080 7680 46080 7680 1920 7680 7680 2880 17280 46080 2880 7680 17280 480 Total 345600 184320 184320 17280 17280 921600 491520 491520 46080

58

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00005541 0,00022163 0,00014775 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00000616 0,00002463 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00002463 0,00005541 0,00000154 0,03555884 0,00110814 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00005541 0,00295503 0,00157602 0,00157602 0,00014775

Cap´ıtulo 1

27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-2-7-7-10 a-2-7-8-9 a-2-8-8-8 a-3-3-10-10 a-3-4-9-10 a-3-5-8-10 a-3-5-9-9 a-3-6-7-10 a-3-6-8-9 a-3-7-7-9 a-3-7-8-8 a-4-4-8-10 a-4-4-9-9 a-4-5-7-10 a-4-5-8-9 a-4-6-6-10 a-4-6-7-9 a-4-6-8-8 a-4-7-7-8 a-5-5-6-10 a-5-5-7-9 a-5-5-8-8 a-5-6-6-9 a-5-6-7-8 a-5-7-7-7 a-6-6-6-8 a-6-6-7-7 2-2-3-10-10 2-2-4-9-10 2-2-5-8-10 2-2-5-9-9 2-2-6-7-10 2-2-6-8-9 2-2-7-7-9 2-2-7-8-8 2-3-3-9-10 2-3-4-8-10

184320 122880 7680 345600 491520 491520 46080 491520 122880 46080 46080 184320 17280 491520 122880 184320 122880 46080 46080 184320 46080 17280 46080 122880 7680 7680 17280 345600 184320 184320 17280 184320 46080 17280 17280 184320 491520

59

0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00110814 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00059101 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00110814 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00157602

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27

2-3-4-9-9 2-3-5-7-10 2-3-5-8-9 2-3-6-6-10 2-3-6-7-9 2-3-6-8-8 2-3-7-7-8 2-4-4-7-10 2-4-4-8-9 2-4-5-6-10 2-4-5-7-9 2-4-5-8-8 2-4-6-6-9 2-4-6-7-8 2-4-7-7-7 2-5-5-5-10 2-5-5-6-9 2-5-5-7-8 2-5-6-6-8 2-5-6-7-7 2-6-6-6-7 3-3-3-8-10 3-3-3-9-9 3-3-4-7-10 3-3-4-8-9 3-3-5-6-10 3-3-5-7-9 3-3-5-8-8 3-3-6-6-9 3-3-6-7-8 3-3-7-7-7 3-4-4-6-10 3-4-4-7-9 3-4-4-8-8 3-4-5-5-10 3-4-5-6-9 3-4-5-7-8

46080 491520 122880 184320 122880 46080 46080 184320 46080 491520 122880 46080 46080 122880 7680 30720 46080 46080 46080 46080 7680 30720 2880 184320 46080 184320 46080 17280 17280 46080 2880 184320 46080 17280 184320 122880 122880

60

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00059101 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00009850 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00059101 0,00039400 0,00039400

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27

3-4-6-6-8 3-4-6-7-7 3-5-5-5-9 3-5-5-6-8 3-5-5-7-7 3-5-6-6-7 3-6-6-6-6 4-4-4-5-10 4-4-4-6-9 4-4-4-7-8 4-4-5-5-9 4-4-5-6-8 4-4-5-7-7 4-4-6-6-7 4-5-5-5-8 4-5-5-6-7 4-5-6-6-6 5-5-5-5-7 5-5-5-6-6

28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

a-a-6-10-10 a-a-7-9-10 a-a-8-8-10 a-a-8-9-9 a-2-5-10-10 a-2-6-9-10 a-2-7-8-10 a-2-7-9-9 a-2-8-8-9 a-3-4-10-10 a-3-5-9-10 a-3-6-8-10 a-3-6-9-9 a-3-7-7-10 a-3-7-8-9 a-3-8-8-8 a-4-4-9-10

46080 46080 7680 46080 17280 46080 480 30720 7680 7680 17280 46080 17280 17280 7680 46080 7680 480 2880 Total 345600 184320 69120 17280 921600 491520 491520 46080 46080 921600 491520 491520 46080 184320 122880 7680 184320

61

0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00009850 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00000923 0,03994213 0,00110814 0,00059101 0,00022163 0,00005541 0,00295503 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00295503 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00059101

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

a-4-5-8-10 a-4-5-9-9 a-4-6-7-10 a-4-6-8-9 a-4-7-7-9 a-4-7-8-8 a-5-5-7-10 a-5-5-8-9 a-5-6-6-10 a-5-6-7-9 a-5-6-8-8 a-5-7-7-8 a-6-6-6-9 a-6-6-7-8 a-6-7-7-7 2-2-4-10-10 2-2-5-9-10 2-2-6-8-10 2-2-6-9-9 2-2-7-7-10 2-2-7-8-9 2-2-8-8-8 2-3-3-10-10 2-3-4-9-10 2-3-5-8-10 2-3-5-9-9 2-3-6-7-10 2-3-6-8-9 2-3-7-7-9 2-3-7-8-8 2-4-4-8-10 2-4-4-9-9 2-4-5-7-10 2-4-5-8-9 2-4-6-6-10 2-4-6-7-9 2-4-6-8-8

491520 46080 491520 122880 46080 46080 184320 46080 184320 122880 46080 46080 7680 46080 7680 345600 184320 184320 17280 69120 46080 2880 345600 491520 491520 46080 491520 122880 46080 46080 184320 17280 491520 122880 184320 122880 46080

62

Cap´ıtulo 1

0,00157602 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00110814 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00022163 0,00014775 0,00000923 0,00110814 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00059101 0,00039400 0,00014775

Cap´ıtulo 1

28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

2-4-7-7-8 2-5-5-6-10 2-5-5-7-9 2-5-5-8-8 2-5-6-6-9 2-5-6-7-8 2-5-7-7-7 2-6-6-6-8 2-6-6-7-7 3-3-3-9-10 3-3-4-8-10 3-3-4-9-9 3-3-5-7-10 3-3-5-8-9 3-3-6-6-10 3-3-6-7-9 3-3-6-8-8 3-3-7-7-8 3-4-4-7-10 3-4-4-8-9 3-4-5-6-10 3-4-5-7-9 3-4-5-8-8 3-4-6-6-9 3-4-6-7-8 3-4-7-7-7 3-5-5-5-10 3-5-5-6-9 3-5-5-7-8 3-5-6-6-8 3-5-6-7-7 3-6-6-6-7 4-4-4-6-10 4-4-4-7-9 4-4-4-8-8 4-4-5-5-10 4-4-5-6-9

46080 184320 46080 17280 46080 122880 7680 7680 17280 30720 184320 17280 184320 46080 69120 46080 17280 17280 184320 46080 491520 122880 46080 46080 122880 7680 30720 46080 46080 46080 46080 7680 30720 7680 2880 69120 46080

63

0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00009850 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00022163 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00009850 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00002463 0,00000923 0,00022163 0,00014775

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

4-4-5-7-8 4-4-6-6-8 4-4-6-7-7 4-5-5-5-9 4-5-5-6-8 4-5-5-7-7 4-5-6-6-7 4-6-6-6-6 5-5-5-5-8 5-5-5-6-7 5-5-6-6-6

29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

a-a-7-10-10 a-a-8-9-10 a-a-9-9-9 a-2-6-10-10 a-2-7-9-10 a-2-8-8-10 a-2-8-9-9 a-3-5-10-10 a-3-6-9-10 a-3-7-8-10 a-3-7-9-9 a-3-8-8-9 a-4-4-10-10 a-4-5-9-10 a-4-6-8-10 a-4-6-9-9 a-4-7-7-10 a-4-7-8-9 a-4-8-8-8 a-5-5-8-10 a-5-5-9-9 a-5-6-7-10 a-5-6-8-9 a-5-7-7-9 a-5-7-8-8

46080 17280 17280 7680 46080 17280 46080 480 480 7680 2880 Total 345600 184320 2880 921600 491520 184320 46080 921600 491520 491520 46080 46080 345600 491520 491520 46080 184320 122880 7680 184320 17280 491520 122880 46080 46080

64

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00000154 0,00002463 0,00000923 0,04444855 0,00110814 0,00059101 0,00000923 0,00295503 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00295503 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00110814 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775

Cap´ıtulo 1

29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-6-6-6-10 a-6-6-7-9 a-6-6-8-8 a-6-7-7-8 a-7-7-7-7 2-2-5-10-10 2-2-6-9-10 2-2-7-8-10 2-2-7-9-9 2-2-8-8-9 2-3-4-10-10 2-3-5-9-10 2-3-6-8-10 2-3-6-9-9 2-3-7-7-10 2-3-7-8-9 2-3-8-8-8 2-4-4-9-10 2-4-5-8-10 2-4-5-9-9 2-4-6-7-10 2-4-6-8-9 2-4-7-7-9 2-4-7-8-8 2-5-5-7-10 2-5-5-8-9 2-5-6-6-10 2-5-6-7-9 2-5-6-8-8 2-5-7-7-8 2-6-6-6-9 2-6-6-7-8 2-6-7-7-7 3-3-3-10-10 3-3-4-9-10 3-3-5-8-10 3-3-5-9-9

30720 46080 17280 46080 480 345600 184320 184320 17280 17280 921600 491520 491520 46080 184320 122880 7680 184320 491520 46080 491520 122880 46080 46080 184320 46080 184320 122880 46080 46080 7680 46080 7680 57600 184320 184320 17280

65

0,00009850 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00110814 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00005541 0,00295503 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00018469 0,00059101 0,00059101 0,00005541

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

3-3-6-7-10 3-3-6-8-9 3-3-7-7-9 3-3-7-8-8 3-4-4-8-10 3-4-4-9-9 3-4-5-7-10 3-4-5-8-9 3-4-6-6-10 3-4-6-7-9 3-4-6-8-8 3-4-7-7-8 3-5-5-6-10 3-5-5-7-9 3-5-5-8-8 3-5-6-6-9 3-5-6-7-8 3-5-7-7-7 3-6-6-6-8 3-6-6-7-7 4-4-4-7-10 4-4-4-8-9 4-4-5-6-10 4-4-5-7-9 4-4-5-8-8 4-4-6-6-9 4-4-6-7-8 4-4-7-7-7 4-5-5-5-10 4-5-5-6-9 4-5-5-7-8 4-5-6-6-8 4-5-6-7-7 4-6-6-6-7 5-5-5-5-9 5-5-5-6-8 5-5-5-7-7

184320 46080 17280 17280 184320 17280 491520 122880 184320 122880 46080 46080 184320 46080 17280 46080 122880 7680 7680 17280 30720 7680 184320 46080 17280 17280 46080 2880 30720 46080 46080 46080 46080 7680 480 7680 2880

66

Cap´ıtulo 1

0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00059101 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00009850 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00009850 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00002463 0,00000923

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

29 29

5-5-6-6-7 5-6-6-6-6

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

a-a-8-10-10 a-a-9-9-10 a-2-7-10-10 a-2-8-9-10 a-2-9-9-9 a-3-6-10-10 a-3-7-9-10 a-3-8-8-10 a-3-8-9-9 a-4-5-10-10 a-4-6-9-10 a-4-7-8-10 a-4-7-9-9 a-4-8-8-9 a-5-5-9-10 a-5-6-8-10 a-5-6-9-9 a-5-7-7-10 a-5-7-8-9 a-5-8-8-8 a-6-6-7-10 a-6-6-8-9 a-6-7-7-9 a-6-7-8-8 a-7-7-7-8 2-2-6-10-10 2-2-7-9-10 2-2-8-8-10 2-2-8-9-9 2-3-5-10-10 2-3-6-9-10 2-3-7-8-10 2-3-7-9-9 2-3-8-8-9

17280 480 Total 345600 69120 921600 491520 7680 921600 491520 184320 46080 921600 491520 491520 46080 46080 184320 491520 46080 184320 122880 7680 184320 46080 46080 46080 7680 345600 184320 69120 17280 921600 491520 491520 46080 46080

67

0,00005541 0,00000154 0,04816850 0,00110814 0,00022163 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00295503 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00295503 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00110814 0,00059101 0,00022163 0,00005541 0,00295503 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00014775

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

2-4-4-10-10 2-4-5-9-10 2-4-6-8-10 2-4-6-9-9 2-4-7-7-10 2-4-7-8-9 2-4-8-8-8 2-5-5-8-10 2-5-5-9-9 2-5-6-7-10 2-5-6-8-9 2-5-7-7-9 2-5-7-8-8 2-6-6-6-10 2-6-6-7-9 2-6-6-8-8 2-6-7-7-8 2-7-7-7-7 3-3-4-10-10 3-3-5-9-10 3-3-6-8-10 3-3-6-9-9 3-3-7-7-10 3-3-7-8-9 3-3-8-8-8 3-4-4-9-10 3-4-5-8-10 3-4-5-9-9 3-4-6-7-10 3-4-6-8-9 3-4-7-7-9 3-4-7-8-8 3-5-5-7-10 3-5-5-8-9 3-5-6-6-10 3-5-6-7-9 3-5-6-8-8

345600 491520 491520 46080 184320 122880 7680 184320 17280 491520 122880 46080 46080 30720 46080 17280 46080 480 345600 184320 184320 17280 69120 46080 2880 184320 491520 46080 491520 122880 46080 46080 184320 46080 184320 122880 46080

68

Cap´ıtulo 1

0,00110814 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00009850 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00110814 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00022163 0,00014775 0,00000923 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00014775

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30

3-5-7-7-8 3-6-6-6-9 3-6-6-7-8 3-6-7-7-7 4-4-4-8-10 4-4-4-9-9 4-4-5-7-10 4-4-5-8-9 4-4-6-6-10 4-4-6-7-9 4-4-6-8-8 4-4-7-7-8 4-5-5-6-10 4-5-5-7-9 4-5-5-8-8 4-5-6-6-9 4-5-6-7-8 4-5-7-7-7 4-6-6-6-8 4-6-6-7-7 5-5-5-5-10 5-5-5-6-9 5-5-5-7-8 5-5-6-6-8 5-5-6-7-7 5-6-6-6-7

31 31 31 31 31 31 31 31 31 31

a a 9 10 10 a-2-8-10-10 a-2-9-9-10 a-3-7-10-10 a-3-8-9-10 a-3-9-9-9 a-4-6-10-10 a-4-7-9-10 a-4-8-8-10 a-4-8-9-9

46080 7680 46080 7680 30720 2880 184320 46080 69120 46080 17280 17280 184320 46080 17280 46080 122880 7680 7680 17280 1920 7680 7680 17280 17280 7680 Total 345600 921600 184320 921600 491520 7680 921600 491520 184320 46080

69

0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00022163 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00000616 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,05157909 0,00110814 0,00295503 0,00059101 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00295503 0,00157602 0,00059101 0,00014775

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31

a-5-5-10-10 a-5-6-9-10 a-5-7-8-10 a-5-7-9-9 a-5-8-8-9 a-6-6-8-10 a-6-6-9-9 a-6-7-7-10 a-6-7-8-9 a-6-8-8-8 a-7-7-7-9 a-7-7-8-8 2-2-7-10-10 2-2-8-9-10 2-2-9-9-9 2-3-6-10-10 2-3-7-9-10 2-3-8-8-10 2-3-8-9-9 2-4-5-10-10 2-4-6-9-10 2-4-7-8-10 2-4-7-9-9 2-4-8-8-9 2-5-5-9-10 2-5-6-8-10 2-5-6-9-9 2-5-7-7-10 2-5-7-8-9 2-5-8-8-8 2-6-6-7-10 2-6-6-8-9 2-6-7-7-9 2-6-7-8-8 2-7-7-7-8 3-3-5-10-10 3-3-6-9-10

345600 491520 491520 46080 46080 184320 17280 184320 122880 7680 7680 17280 345600 184320 2880 921600 491520 184320 46080 921600 491520 491520 46080 46080 184320 491520 46080 184320 122880 7680 184320 46080 46080 46080 7680 345600 184320

70

Cap´ıtulo 1

0,00110814 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00110814 0,00059101 0,00000923 0,00295503 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00295503 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00110814 0,00059101

Cap´ıtulo 1

31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

3-3-7-8-10 3-3-7-9-9 3-3-8-8-9 3-4-4-10-10 3-4-5-9-10 3-4-6-8-10 3-4-6-9-9 3-4-7-7-10 3-4-7-8-9 3-4-8-8-8 3-5-5-8-10 3-5-5-9-9 3-5-6-7-10 3-5-6-8-9 3-5-7-7-9 3-5-7-8-8 3-6-6-6-10 3-6-6-7-9 3-6-6-8-8 3-6-7-7-8 3-7-7-7-7 4-4-4-9-10 4-4-5-8-10 4-4-5-9-9 4-4-6-7-10 4-4-6-8-9 4-4-7-7-9 4-4-7-8-8 4-5-5-7-10 4-5-5-8-9 4-5-6-6-10 4-5-6-7-9 4-5-6-8-8 4-5-7-7-8 4-6-6-6-9 4-6-6-7-8 4-6-7-7-7

184320 17280 17280 345600 491520 491520 46080 184320 122880 7680 184320 17280 491520 122880 46080 46080 30720 46080 17280 46080 480 30720 184320 17280 184320 46080 17280 17280 184320 46080 184320 122880 46080 46080 7680 46080 7680

71

0,00059101 0,00005541 0,00005541 0,00110814 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00009850 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00009850 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00014775 0,00002463

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

31 31 31 31 31 31 31 31 31

5-5-5-6-10 5-5-5-7-9 5-5-5-8-8 5-5-6-6-9 5-5-6-7-8 5-5-7-7-7 5-6-6-6-8 5-6-6-7-7 6-6-6-6-7

32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32

a-a-10-10-10 a-2-9-10-10 a-3-8-10-10 a-3-9-9-10 a-4-7-10-10 a-4-8-9-10 a-4-9-9-9 a-5-6-10-10 a-5-7-9-10 a-5-8-8-10 a-5-8-9-9 a-6-6-9-10 a-6-7-8-10 a-6-7-9-9 a-6-8-8-9 a-7-7-7-10 a-7-7-8-9 a-7-8-8-8 2-2-8-10-10 2-2-9-9-10 2-3-7-10-10 2-3-8-9-10 2-3-9-9-9 2-4-6-10-10 2-4-7-9-10 2-4-8-8-10 2-4-8-9-9

30720 7680 2880 17280 46080 2880 7680 17280 480 Total 403200 921600 921600 184320 921600 491520 7680 921600 491520 184320 46080 184320 491520 46080 46080 30720 46080 7680 345600 69120 921600 491520 7680 921600 491520 184320 46080

72

Cap´ıtulo 1

0,00009850 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00014775 0,00000923 0,00002463 0,00005541 0,00000154 0,05395389 0,00129282 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00295503 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00009850 0,00014775 0,00002463 0,00110814 0,00022163 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00295503 0,00157602 0,00059101 0,00014775

Cap´ıtulo 1

32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

2-5-5-10-10 2-5-6-9-10 2-5-7-8-10 2-5-7-9-9 2-5-8-8-9 2-6-6-8-10 2-6-6-9-9 2-6-7-7-10 2-6-7-8-9 2-6-8-8-8 2-7-7-7-9 2-7-7-8-8 3-3-6-10-10 3-3-7-9-10 3-3-8-8-10 3-3-8-9-9 3-4-5-10-10 3-4-6-9-10 3-4-7-8-10 3-4-7-9-9 3-4-8-8-9 3-5-5-9-10 3-5-6-8-10 3-5-6-9-9 3-5-7-7-10 3-5-7-8-9 3-5-8-8-8 3-6-6-7-10 3-6-6-8-9 3-6-7-7-9 3-6-7-8-8 3-7-7-7-8 4-4-4-10-10 4-4-5-9-10 4-4-6-8-10 4-4-6-9-9 4-4-7-7-10

345600 491520 491520 46080 46080 184320 17280 184320 122880 7680 7680 17280 345600 184320 69120 17280 921600 491520 491520 46080 46080 184320 491520 46080 184320 122880 7680 184320 46080 46080 46080 7680 57600 184320 184320 17280 69120

73

0,00110814 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00110814 0,00059101 0,00022163 0,00005541 0,00295503 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00018469 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00022163

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32

4-4-7-8-9 4-4-8-8-8 4-5-5-8-10 4-5-5-9-9 4-5-6-7-10 4-5-6-8-9 4-5-7-7-9 4-5-7-8-8 4-6-6-6-10 4-6-6-7-9 4-6-6-8-8 4-6-7-7-8 4-7-7-7-7 5-5-5-7-10 5-5-5-8-9 5-5-6-6-10 5-5-6-7-9 5-5-6-8-8 5-5-7-7-8 5-6-6-6-9 5-6-6-7-8 5-6-7-7-7 6-6-6-6-8 6-6-6-7-7

33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33

a-2-10-10-10 a-3-9-10-10 a-4-8-10-10 a-4-9-9-10 a-5-7-10-10 a-5-8-9-10 a-5-9-9-9 a-6-6-10-10 a-6-7-9-10 a-6-8-8-10 a-6-8-9-9 a-7-7-8-10

46080 2880 184320 17280 491520 122880 46080 46080 30720 46080 17280 46080 480 30720 7680 69120 46080 17280 17280 7680 46080 7680 480 2880 Total 1075200 921600 921600 184320 921600 491520 7680 345600 491520 184320 46080 184320

74

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00000923 0,00059101 0,00005541 0,00157602 0,00039400 0,00014775 0,00014775 0,00009850 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00009850 0,00002463 0,00022163 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00000923 0,05653646 0,00344753 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00110814 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00059101

Cap´ıtulo 1

33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-7-7-9-9 a-7-8-8-9 a-8-8-8-8 2-2-9-10-10 2-3-8-10-10 2-3-9-9-10 2-4-7-10-10 2-4-8-9-10 2-4-9-9-9 2-5-6-10-10 2-5-7-9-10 2-5-8-8-10 2-5-8-9-9 2-6-6-9-10 2-6-7-8-10 2-6-7-9-9 2-6-8-8-9 2-7-7-7-10 2-7-7-8-9 2-7-8-8-8 3-3-7-10-10 3-3-8-9-10 3-3-9-9-9 3-4-6-10-10 3-4-7-9-10 3-4-8-8-10 3-4-8-9-9 3-5-5-10-10 3-5-6-9-10 3-5-7-8-10 3-5-7-9-9 3-5-8-8-9 3-6-6-8-10 3-6-6-9-9 3-6-7-7-10 3-6-7-8-9 3-6-8-8-8

17280 46080 480 345600 921600 184320 921600 491520 7680 921600 491520 184320 46080 184320 491520 46080 46080 30720 46080 7680 345600 184320 2880 921600 491520 184320 46080 345600 491520 491520 46080 46080 184320 17280 184320 122880 7680

75

0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00110814 0,00295503 0,00059101 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00295503 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00009850 0,00014775 0,00002463 0,00110814 0,00059101 0,00000923 0,00295503 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00110814 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00039400 0,00002463

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33

3-7-7-7-9 3-7-7-8-8 4-4-5-10-10 4-4-6-9-10 4-4-7-8-10 4-4-7-9-9 4-4-8-8-9 4-5-5-9-10 4-5-6-8-10 4-5-6-9-9 4-5-7-7-10 4-5-7-8-9 4-5-8-8-8 4-6-6-7-10 4-6-6-8-9 4-6-7-7-9 4-6-7-8-8 4-7-7-7-8 5-5-5-8-10 5-5-5-9-9 5-5-6-7-10 5-5-6-8-9 5-5-7-7-9 5-5-7-8-8 5-6-6-6-10 5-6-6-7-9 5-6-6-8-8 5-6-7-7-8 5-7-7-7-7 6-6-6-6-9 6-6-6-7-8 6-6-7-7-7

34 34 34 34

a-3-10-10-10 a-4 9-10-10 a-5-8-10-10 a-5-9-9-10

7680 17280 345600 184320 184320 17280 17280 184320 491520 46080 184320 122880 7680 184320 46080 46080 46080 7680 30720 2880 184320 46080 17280 17280 30720 46080 17280 46080 480 480 7680 2880 Total 1075200 921600 921600 184320

76

Cap´ıtulo 1

0,00002463 0,00005541 0,00110814 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00005541 0,00005541 0,00009850 0,00014775 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00000154 0,00002463 0,00000923 0,05743374 0,00344753 0,00295503 0,00295503 0,00059101

Cap´ıtulo 1

34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-6-7-10-10 a-6-8-9-10 a-6-9-9-9 a-7-7-9-10 a-7-8-8-10 a-7-8-9-9 a-8-8-8-9 2-2-10-10-10 2-3-9-10-10 2-4-8-10-10 2-4-9-9-10 2-5-7-10-10 2-5-8-9-10 2-5-9-9-9 2-6-6-10-10 2-6-7-9-10 2-6-8-8-10 2-6-8-9-9 2-7-7-8-10 2-7-7-9-9 2-7-8-8-9 2-8-8-8-8 3-3-8-10-10 3-3-9-9-10 3-4-7-10-10 3-4-8-9-10 3-4-9-9-9 3-5-6-10-10 3-5-7-9-10 3-5-8-8-10 3-5-8-9-9 3-6-6-9-10 3-6-7-8-10 3-6-7-9-9 3-6-8-8-9 3-7-7-7-10 3-7-7-8-9

921600 491520 7680 184320 184320 46080 7680 403200 921600 921600 184320 921600 491520 7680 345600 491520 184320 46080 184320 17280 46080 480 345600 69120 921600 491520 7680 921600 491520 184320 46080 184320 491520 46080 46080 30720 46080

77

0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00059101 0,00059101 0,00014775 0,00002463 0,00129282 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00110814 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00110814 0,00022163 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00295503 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00009850 0,00014775

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34

3-7-8-8-8 4-4-6-10-10 4-4-7-9-10 4-4-8-8-10 4-4-8-9-9 4-5-5-10-10 4-5-6-9-10 4-5-7-8-10 4-5-7-9-9 4-5-8-8-9 4-6-6-8-10 4-6-6-9-9 4-6-7-7-10 4-6-7-8-9 4-6-8-8-8 4-7-7-7-9 4-7-7-8-8 5-5-5-9-10 5-5-6-8-10 5-5-6-9-9 5-5-7-7-10 5-5-7-8-9 5-5-8-8-8 5-6-6-7-10 5-6-6-8-9 5-6-7-7-9 5-6-7-8-8 5-7-7-7-8 6-6-6-6-10 6-6-6-7-9 6-6-6-8-8 6-6-7-7-8 6-7-7-7-7

35 35 35

a-4-10-10-10 a-5-9-10-10 a-6-8-10-10

7680 345600 184320 69120 17280 345600 491520 491520 46080 46080 184320 17280 184320 122880 7680 7680 17280 30720 184320 17280 69120 46080 2880 184320 46080 46080 46080 7680 1920 7680 2880 17280 480 Total 1075200 921600 921600

78

Cap´ıtulo 1

0,00002463 0,00110814 0,00059101 0,00022163 0,00005541 0,00110814 0,00157602 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00009850 0,00059101 0,00005541 0,00022163 0,00014775 0,00000923 0,00059101 0,00014775 0,00014775 0,00014775 0,00002463 0,00000616 0,00002463 0,00000923 0,00005541 0,00000154 0,05686275 0,00344753 0,00295503 0,00295503

Cap´ıtulo 1

35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

a-6-9-9-10 a-7-7-10-10 a-7-8-9-10 a-7-9-9-9 a-8-8-8-10 a-8-8-9-9 2-3-10-10-10 2-4-9-10-10 2-5-8-10-10 2-5-9-9-10 2-6-7-10-10 2-6-8-9-10 2-6-9-9-9 2-7-7-9-10 2-7-8-8-10 2-7-8-9-9 2-8-8-8-9 3-3-9-10-10 3-4-8-10-10 3-4-9-9-10 3-5-7-10-10 3-5-8-9-10 3-5-9-9-9 3-6-6-10-10 3-6-7-9-10 3-6-8-8-10 3-6-8-9-9 3-7-7-8-10 3-7-7-9-9 3-7-8-8-9 3-8-8-8-8 4-4-7-10-10 4-4-8-9-10 4-4-9-9-9 4-5-6-10-10 4-5-7-9-10 4-5-8-8-10

184320 345600 491520 7680 30720 17280 1075200 921600 921600 184320 921600 491520 7680 184320 184320 46080 7680 345600 921600 184320 921600 491520 7680 345600 491520 184320 46080 184320 17280 46080 480 345600 184320 2880 921600 491520 184320

79

0,00059101 0,00110814 0,00157602 0,00002463 0,00009850 0,00005541 0,00344753 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00059101 0,00059101 0,00014775 0,00002463 0,00110814 0,00295503 0,00059101 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00110814 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00110814 0,00059101 0,00000923 0,00295503 0,00157602 0,00059101

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35

4-5-8-9-9 4-6-6-9-10 4-6-7-8-10 4-6-7-9-9 4-6-8-8-9 4-7-7-7-10 4-7-7-8-9 4-7-8-8-8 5-5-5-10-10 5-5-6-9-10 5-5-7-8-10 5-5-7-9-9 5-5-8-8-9 5-6-6-8-10 5-6-6-9-9 5-6-7-7-10 5-6-7-8-9 5-6-8-8-8 5-7-7-7-9 5-7-7-8-8 6-6-6-7-10 6-6-6-8-9 6-6-7-7-9 6-6-7-8-8 6-7-7-7-8

36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

a-5-10-10-10 a-6-9-10-10 a-7-8-10-10 a-7-9-9-10 a-8-8-9-10 a-8-9-9-9 2-4-10-10-10 2-5-9-10-10 2-6-8-10-10 2-6-9-9-10 2-7-7-10-10

46080 184320 491520 46080 46080 30720 46080 7680 57600 184320 184320 17280 17280 184320 17280 184320 122880 7680 7680 17280 30720 7680 17280 17280 7680 Total 1075200 921600 921600 184320 184320 7680 1075200 921600 921600 184320 345600

80

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00009850 0,00014775 0,00002463 0,00018469 0,00059101 0,00059101 0,00005541 0,00005541 0,00059101 0,00005541 0,00059101 0,00039400 0,00002463 0,00002463 0,00005541 0,00009850 0,00002463 0,00005541 0,00005541 0,00002463 0,05528211 0,00344753 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00059101 0,00002463 0,00344753 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00110814

Cap´ıtulo 1

36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

2-7-8-9-10 2-7-9-9-9 2-8-8-8-10 2-8-8-9-9 3-3-10-10-10 3-4-9-10-10 3-5-8-10-10 3-5-9-9-10 3-6-7-10-10 3-6-8-9-10 3-6-9-9-9 3-7-7-9-10 3-7-8-8-10 3-7-8-9-9 3-8-8-8-9 4-4-8-10-10 4-4-9-9-10 4-5-7-10-10 4-5-8-9-10 4-5-9-9-9 4-6-6-10-10 4-6-7-9-10 4-6-8-8-10 4-6-8-9-9 4-7-7-8-10 4-7-7-9-9 4-7-8-8-9 4-8-8-8-8 5-5-6-10-10 5-5-7-9-10 5-5-8-8-10 5-5-8-9-9 5-6-6-9-10 5-6-7-8-10 5-6-7-9-9 5-6-8-8-9 5-7-7-7-10

491520 7680 30720 17280 403200 921600 921600 184320 921600 491520 7680 184320 184320 46080 7680 345600 69120 921600 491520 7680 345600 491520 184320 46080 184320 17280 46080 480 345600 184320 69120 17280 184320 491520 46080 46080 30720

81

0,00157602 0,00002463 0,00009850 0,00005541 0,00129282 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00059101 0,00059101 0,00014775 0,00002463 0,00110814 0,00022163 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00110814 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00110814 0,00059101 0,00022163 0,00005541 0,00059101 0,00157602 0,00014775 0,00014775 0,00009850

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

5-7-7-8-9 5-7-8-8-8 6-6-6-8-10 6-6-6-9-9 6-6-7-7-10 6-6-7-8-9 6-6-8-8-8 6-7-7-7-9 6-7-7-8-8 7-7-7-7-8

37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37

a-6-10-10-10 a-7-9-10-10 a-8-8-10-10 a-8-9-9-10 a-9-9-9-9 2-5-10-10-10 2-6-9-10-10 2-7-8-10-10 2-7-9-9-10 2-8-8-9-10 2-8-9-9-9 3-4-10-10-10 3-5-9-10-10 3-6-8-10-10 3-6-9-9-10 3-7-7-10-10 3-7-8-9-10 3-7-9-9-9 3-8-8-8-10 3-8-8-9-9 4-4-9-10-10 4-5-8-10-10 4-5-9-9-10 4-6-7-10-10 4-6-8-9-10 4-6-9-9-9

46080 7680 30720 2880 69120 46080 2880 7680 17280 480 Total 1075200 921600 345600 184320 480 1075200 921600 921600 184320 184320 7680 1075200 921600 921600 184320 345600 491520 7680 30720 17280 345600 921600 184320 921600 491520 7680

82

Cap´ıtulo 1

0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00000923 0,00022163 0,00014775 0,00000923 0,00002463 0,00005541 0,00000154 0,05246098 0,00344753 0,00295503 0,00110814 0,00059101 0,00000154 0,00344753 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00059101 0,00002463 0,00344753 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00110814 0,00157602 0,00002463 0,00009850 0,00005541 0,00110814 0,00295503 0,00059101 0,00295503 0,00157602 0,00002463

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37

4-7-7-9-10 4-7-8-8-10 4-7-8-9-9 4-8-8-8-9 5-5-7-10-10 5-5-8-9-10 5-5-9-9-9 5-6-6-10-10 5-6-7-9-10 5-6-8-8-10 5-6-8-9-9 5-7-7-8-10 5-7-7-9-9 5-7-8-8-9 5-8-8-8-8 6-6-6-9-10 6-6-7-8-10 6-6-7-9-9 6-6-8-8-9 6-7-7-7-10 6-7-7-8-9 6-7-8-8-8 7-7-7-7-9 7-7-7-8-8

38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38

a-7-10-10-10 a-8-9-10-10 a-9-9-9-10 2-6-10-10-10 2-7-9-10-10 2-8-8-10-10 2-8-9-9-10 2-9-9-9-9 3-5-10-10-10 3-6-9-10-10 3-7-8-10-10 3-7-9-9-10

184320 184320 46080 7680 345600 184320 2880 345600 491520 184320 46080 184320 17280 46080 480 30720 184320 17280 17280 30720 46080 7680 480 2880 Total 1075200 921600 30720 1075200 921600 345600 184320 480 1075200 921600 921600 184320

83

0,00059101 0,00059101 0,00014775 0,00002463 0,00110814 0,00059101 0,00000923 0,00110814 0,00157602 0,00059101 0,00014775 0,00059101 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00009850 0,00059101 0,00005541 0,00005541 0,00009850 0,00014775 0,00002463 0,00000154 0,00000923 0,04905193 0,00344753 0,00295503 0,00009850 0,00344753 0,00295503 0,00110814 0,00059101 0,00000154 0,00344753 0,00295503 0,00295503 0,00059101

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38 38

3-8-8-9-10 3-8-9-9-9 4-4-10-10-10 4-5-9-10-10 4-6-8-10-10 4-6-9-9-10 4-7-7-10-10 4-7-8-9-10 4-7-9-9-9 4-8-8-8-10 4-8-8-9-9 5-5-8-10-10 5-5-9-9-10 5-6-7-10-10 5-6-8-9-10 5-6-9-9-9 5-7-7-9-10 5-7-8-8-10 5-7-8-9-9 5-8-8-8-9 6-6-6-10-10 6-6-7-9-10 6-6-8-8-10 6-6-8-9-9 6-7-7-8-10 6-7-7-9-9 6-7-8-8-9 6-8-8-8-8 7-7-7-7-10 7-7-7-8-9 7-7-8-8-8

39 39 39 39 39

a-8-10-10-10 a-9-9-10-10 2-7-10-10-10 2-8-9-10-10 2-9-9-9-10

184320 7680 403200 921600 921600 184320 345600 491520 7680 30720 17280 345600 69120 921600 491520 7680 184320 184320 46080 7680 57600 184320 69120 17280 184320 17280 46080 480 1920 7680 2880 Total 1075200 345600 1075200 921600 30720

84

Cap´ıtulo 1

0,00059101 0,00002463 0,00129282 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00110814 0,00157602 0,00002463 0,00009850 0,00005541 0,00110814 0,00022163 0,00295503 0,00157602 0,00002463 0,00059101 0,00059101 0,00014775 0,00002463 0,00018469 0,00059101 0,00022163 0,00005541 0,00059101 0,00005541 0,00014775 0,00000154 0,00000616 0,00002463 0,00000923 0,04495337 0,00344753 0,00110814 0,00344753 0,00295503 0,00009850

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39 39

3-6-10-10-10 3-7-9-10-10 3-8-8-10-10 3-8-9-9-10 3-9-9-9-9 4-5-10-10-10 4-6-9-10-10 4-7-8-10-10 4-7-9-9-10 4-8-8-9-10 4-8-9-9-9 5-5-9-10-10 5-6-8-10-10 5-6-9-9-10 5-7-7-10-10 5-7-8-9-10 5-7-9-9-9 5-8-8-8-10 5-8-8-9-9 6-6-7-10-10 6-6-8-9-10 6-6-9-9-9 6-7-7-9-10 6-7-8-8-10 6-7-8-9-9 6-8-8-8-9 7-7-7-8-10 7-7-7-9-9 7-7-8-8-9 7-8-8-8-8

40 40 40 40 40 40

a-9-10-10-10 2-8-10-10-10 2-9-9-10-10 3-7-10-10-10 3-8-9-10-10 3-9-9-9-10

1075200 921600 345600 184320 480 1075200 921600 921600 184320 184320 7680 345600 921600 184320 345600 491520 7680 30720 17280 345600 184320 2880 184320 184320 46080 7680 30720 2880 17280 480 Total 1075200 1075200 345600 1075200 921600 30720

85

0,00344753 0,00295503 0,00110814 0,00059101 0,00000154 0,00344753 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00059101 0,00002463 0,00110814 0,00295503 0,00059101 0,00110814 0,00157602 0,00002463 0,00009850 0,00005541 0,00110814 0,00059101 0,00000923 0,00059101 0,00059101 0,00014775 0,00002463 0,00009850 0,00000923 0,00005541 0,00000154 0,04046850 0,00344753 0,00344753 0,00110814 0,00344753 0,00295503 0,00009850

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40

4-6-10-10-10 4-7-9-10-10 4-8-8-10-10 4-8-9-9-10 4-9-9-9-9 5-5-10-10-10 5-6-9-10-10 5-7-8-10-10 5-7-9-9-10 5-8-8-9-10 5-8-9-9-9 6-6-8-10-10 6-6-9-9-10 6-7-7-10-10 6-7-8-9-10 6-7-9-9-9 6-8-8-8-10 6-8-8-9-9 7-7-7-9-10 7-7-8-8-10 7-7-8-9-9 7-8-8-8-9

41 41 41 41 41 41 41 41 41 41 41 41 41 41

a-10-10-10-10 2-9-10-10-10 3-8-10-10-10 3-9-9-10-10 4-7-10-10-10 4-8-9-10-10 4-9-9-9-10 5-6-10-10-10 5-7-9-10-10 5-8-8-10-10 5-8-9-9-10 5-9-9-9-9 6-6-9-10-10 6-7-8-10-10

1075200 921600 345600 184320 480 403200 921600 921600 184320 184320 7680 345600 69120 345600 491520 7680 30720 17280 30720 69120 17280 7680 Total 873600 1075200 1075200 345600 1075200 921600 30720 1075200 921600 345600 184320 480 345600 921600

86

Cap´ıtulo 1

0,00344753 0,00295503 0,00110814 0,00059101 0,00000154 0,00129282 0,00295503 0,00295503 0,00059101 0,00059101 0,00002463 0,00110814 0,00022163 0,00110814 0,00157602 0,00002463 0,00009850 0,00005541 0,00009850 0,00022163 0,00005541 0,00002463 0,03560963 0,00280112 0,00344753 0,00344753 0,00110814 0,00344753 0,00295503 0,00009850 0,00344753 0,00295503 0,00110814 0,00059101 0,00000154 0,00110814 0,00295503

Cap´ıtulo 1

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

41 41 41 41 41 41 41 41 41

6-7-9-9-10 6-8-8-9-10 6-8-9-9-9 7-7-7-10-10 7-7-8-9-10 7-7-9-9-9 7-8-8-8-10 7-8-8-9-9 8-8-8-8-9

42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 42

2-10-10-10-10 3-9-10-10-10 4-8-10-10-10 4-9-9-10-10 5-7-10-10-10 5-8-9-10-10 5-9-9-9-10 6-6-10-10-10 6-7-9-10-10 6-8-8-10-10 6-8-9-9-10 6-9-9-9-9 7-7-8-10-10 7-7-9-9-10 7-8-8-9-10 7-8-9-9-9 8-8-8-8-10 8-8-8-9-9

43 43 43 43 43 43 43 43

3-10-10-10-10 4-9-10-10-10 5-8-10-10-10 5-9-9-10-10 6-7-10-10-10 6-8-9-10-10 6-9-9-9-10 7-7-9-10-10

184320 184320 7680 57600 184320 2880 30720 17280 480 Total 873600 1075200 1075200 345600 1075200 921600 30720 403200 921600 345600 184320 480 345600 69120 184320 7680 1920 2880 Total 873600 1075200 1075200 345600 1075200 921600 30720 345600

87

0,00059101 0,00059101 0,00002463 0,00018469 0,00059101 0,00000923 0,00009850 0,00005541 0,00000154 0,03161880 0,00280112 0,00344753 0,00344753 0,00110814 0,00344753 0,00295503 0,00009850 0,00129282 0,00295503 0,00110814 0,00059101 0,00000154 0,00110814 0,00022163 0,00059101 0,00002463 0,00000616 0,00000923 0,02521470 0,00280112 0,00344753 0,00344753 0,00110814 0,00344753 0,00295503 0,00009850 0,00110814

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

43 43 43 43 43

7-8-8-10-10 7-8-9-9-10 7-9-9-9-9 8-8-8-9-10 8-8-9-9-9

44 44 44 44 44 44 44 44 44 44

4-10-10-10-10 5-9-10-10-10 6-8-10-10-10 6-9-9-10-10 7-7-10-10-10 7-8-9-10-10 7-9-9-9-10 8-8-8-10-10 8-8-9-9-10 8-9-9-9-9

45 45 45 45 45 45

5-10-10-10-10 6-9-10-10-10 7-8-10-10-10 7-9-9-10-10 8-8-9-10-10 8-9-9-9-10

46 46 46 46

7-9-10-10-10 8-8-10-10-10 8-9-9-10-10 9-9-9-9-10

47 47 47

7-10-10-10-10 8-9-10-10-10 9-9-9-10-10

48 48

8-10-10-10-10 9-9-10-10-10

49

9-10-10-10-10

345600 184320 480 30720 2880 Total 873600 1075200 1075200 345600 403200 921600 30720 57600 69120 480 Total 873600 1075200 1075200 345600 345600 30720 Total 1075200 403200 345600 1920 Total 873600 1075200 57600 Total 873600 403200 Total 873600

88

Cap´ıtulo 1

0,00110814 0,00059101 0,00000154 0,00009850 0,00000923 0,02022193 0,00280112 0,00344753 0,00344753 0,00110814 0,00129282 0,00295503 0,00009850 0,00018469 0,00022163 0,00000154 0,01555853 0,00280112 0,00344753 0,00344753 0,00110814 0,00110814 0,00009850 0,01201096 0,00344753 0,00129282 0,00110814 0,00000616 0,00585465 0,00280112 0,00344753 0,00018469 0,00643334 0,00280112 0,00129282 0,00409395 0,00280112

Cap´ıtulo 1

50

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

Total 0,00280112 524160 0,00168067 Total 0,00168067 Tabla 1.4: Combinaciones Para Cinco Cartas. 10-10-10-10-10

89

1.3. Las Probabilidades Involucradas en el Juego de Blackjack

90

Cap´ıtulo 1

Cap´ıtulo 2

TEOR´IA RELACIONADA CON EL BLACKJACK 2.1.

Introducci´ on

El juego de Blackjack ha llamado la atenci´on de muchos matem´aticos debido a la simplicidad de sus reglas y su componente aleatorio que ha permitido estudios de simulaci´on bastante conocidos a nivel mundial. Dichos estudios que datan desde hace m´as de medio siglo han abierto las posibilidades a intentar encontrar nuevos medios para el estudio del juego y las ventajas que puede tener el jugador que maneja a priori los estados y las probabilidades relacionadas en su desarrollo. A continuaci´on haremos un tratado de la teor´ıa relacionada con el juego y las herramientas que necesitaremos en nuestro estudio respecto a las probabilidades en un problema de parada ´optima aplicada al juego de blackjack

2.2.

Conceptos Previos

Se asume que el lector posee conocimientos b´asicos respecto a la teor´ıa de las probabilidades, distribuciones de variables aleatorias discretas y continuas, valor esperado y varianza, entre otras. De lo contrario, es recomendado una lectura previa de estos conceptos debido a que ser´an frecuentemente mencionados y aplicados en las secciones posteriores. 91

2.3. Definiciones B´ asicas

2.3.

Cap´ıtulo 2

Definiciones B´ asicas

Definici´ on 1 Variables Independientes Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad. Los eventos Ai , con i = 1, 2, . . . , n, son independientes s´ı y s´olo s´ı para cualquier subconjunto {i1 , i2 , . . . , ik } de {1, 2, . . . , n}, P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = P (Ai1 ) P (Ai2 ) . . . P (Aik ) Las colecciones Ci ⊂ F, i ∈ I se dicen independientes s´ı y s´olo s´ı los eventos en cualquier coleci´on de la forma {Ai ∈ Ci : i ∈ I} son independientes. Los vectores aleatorios Xi : i ∈ I, se dicen independientes s´ı y s´olo s´ı σ(Xi ) : i ∈ I son independientes. En pocas palabras, un par de variables independientes son dos variables que no influyen una en la otra, como el experimento de lanzar un dado y una moneda, la moneda no influir´a en el puntaje obtenido en el dado y el dado no influir´a en el lado de la moneda que caiga. Definici´ on 2 Probabilidad Condicional En probabilidad elemental, se define la probabilidad de que ocurra un evento B dado un evento A, es definido como: P (A|B) =

P (A ∩ B) P (B)

Para las variables que no son independientes, la ocurrencia de un evento influir´a en la ocurrencia del otro. En el juego de blackjack por ejemplo, la probabilidad de recibir un as puede variar dependiendo de la cantidad de ases que ya hacen parte de nuestro juego. Definici´ on 3 Esperanza Condicional sea X una variable aleatoria integrable en (Ω, F, P ). Sea A un campo sub-σ de F. La esperanza condicional de X dado A, denotado como E(X|A), es la u ´nica variable aleatoria que satisface las siguientes condiciones: 92

Cap´ıtulo 2

2.3. Definiciones B´ asicas

1. E(X|A) es medible desde (Ω, A) hasta (R, B) R R 2. A E(X|A) dP = A X dP para cualquier A ∈ A. Sea B ∈ F. La probabilidad condicional de B dado A es definida como P (B|A) = E(IB |A). S´ı Y es medible desde (Ω, F, P ) hasta (Λ, G), la esperanza condicional de X dado Y est´a definda como: E(X|Y ) = E[X|σ(Y )]. Definici´ on 4 Filtraci´ on Una filtraci´on {Fn }n∈N en un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) es una sucesi´on de sub-σ-´algebras de F mon´otona creciente. Se puede definir de forma m´as general con un conjunto indizado, pero no es de inter´es para el presente trabajo. Definici´ on 5 Proceso Estoc´ astico Sucesi´on de variables aleatorias que evolucionan en funci´on de una variable, usualmente el tiempo. El experimento con el que trabajamos en el presente proyecto es un proceso aleatorio pues cada evento de obtener una carta es una variable aleatoria. Definici´ on 6 Proceso Estoc´ astico Adaptado Dada una sucesi´on de variables aleatorias {Xn }n∈N definidas en el mismo espacio (Ω, F, P ) y dada una filtraci´on {Fn }n∈N . Diremos que {Xn }n∈N es un proceso estoc´astico adaptado a la filtraci´on si se cumple que Xn es Fn -medible, ∀n ∈ N. Definici´ on 7 Proceso Browniano El proceso estoc´astico {B(t), t ≥ 0} es un movimiento Browniano con varianza σ 2 , s´ı: B(0) = 0. Tiene incrementos independientes. ∀s < t, B(t) − B(s) N (0, σ 2 (t − s)). Las trayectorias del proceso t → Bt son funciones continuas. 93

2.3. Definiciones B´ asicas

Cap´ıtulo 2

Definici´ on 8 Proceso de Poisson Un proceso de Poisson con tasa λ ≥ 0, es un proceso de contar en tiempo continuo {N (t), t ≥ 0}, donde Nt es una colecci´on de variables aleatorias y cumplen: N (0) = 0. S´ı s < t, entonces Ns ≤ Nt . ∀n > 0 y 0 < t1 < t2 < . . . < tn , las variables aleatorias Nt1 , Nt2 − Nt1 , . . . , Ntn − Ntn−1 son independientes. ∀h > 0 y t ∈ R+ , Nh y Nt−h − Nt tienen la misma distribuci´on. P (N (h) = 1) = λh + o(h). P (N (h) ≥ 2) = o(h) o(h) . h→0 h

Donde o(h) es una funci´on tal que l´ım Definici´ on 9 Proceso Martingala.

Decimos que M0 , M1 , . . . es una martingala s´ı: 1. E|Mn | < ∞. 2. Para cualquier sucesi´on de posibles valores m0 , m1 , ldots, mn , E(Mn+1 − Mn |M0 = m0 , M1 = m1 , . . . , Mn = mn ) = 0). Lo que implica que la ganancia neta esperada luego del turno siguiente es cero, esto es, el juego es justo. Definici´ on 10 Filtraci´ on Generada por un Proceso Si tenemos una sucesi´on de variables aleatorias {Xn }n∈N en (Ω, F, P ) y consideramos {Fn }n∈N donde Fn es la m´ınima sub-σ-´ algebra de F que hace medibles a Xi : i = 1, 2, 3, . . . , n, tenemos naturalmente, un proceso estoc´astico adaptado. A la filtraci´on {Fn }n∈N se le denomina filtraci´on generada por el proceso {Xn }n∈N . 94

´ 2.4. Teor´ıa de Parada Optima

Cap´ıtulo 2

2.4.

´ Teor´ıa de Parada Optima

Las definiciones citadas a continuaci´ on, nos permitir´an comprender los procesos de Markov relacionados al estudio basados en la parada ´optima de un proceso. Definici´ on 11 Tiempo de Parada Un tiempo de parada respecto a una filtraci´on {Fn }n∈N es una funci´on T : Ω → N tal que, para todo natural n, el conjunto {ω : T (Ω) = n} es medible con respecto a Fn y P (T < ∞) = 1. Definici´ on 12 Estado del proceso en un Tiempo n Sea un proceso {Xn }n∈N en (Ω, F, P ), {Fn }n∈N una filtraci´on y T un tiempo de parada; entonces: X XT := Xn I{T =n} n∈N

En el experimento estudiado, se definen los estados con la cantidad de cartas que posee el jugador. Definici´ on 13 Clase C Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad, {Xn }n∈N una sucesi´on de variables aleatorias en dicho espacio y {Fn }n∈N una filtraci´on; se define la clase C como la clase de los tiempos de parada tales que: E(XT− ) < ∞ Dado el caso en que las variables sean no negativas, la clase ser´ıa la de todos los tiempo de parada en el espacio. En nuestro caso, el proceso es de clase C debido a que las variables que miden nuestro puntajes son no negativas. Definici´ on 14 Caso Mon´ otono Dados un espacio de probabilidad (Ω, F, P ), una filtraci´on {Fn }n∈N y un proceso adaptado {Xn }n∈N a la filtraci´on; consideramos los conjuntos An definidos como: An := {ω : E(Xn+1 |Fn )(ω) ≤ Xn (ω).} 95

´ 2.4. Teor´ıa de Parada Optima

Cap´ıtulo 2

Un caso mon´otono se presenta cuando: Ai ⊆ Ai+1 y tambi´en

∞ [

(i = 1, 2, 3, . . .)

Ai = Ω.

i=1

El proceso estudiado en el juego de blackjack es un caso mon´otono pues en cada estado del proceso, las cartas que el jugador posee son un superconjunto de las cartas contenidas en los estados anteriores.

96

Cap´ıtulo 3

SIMULACIONES Y ´ ANALISIS ESTAD´ISTICOS APLICADOS AL JUEGO 3.1.

Dos Cartas

En el primer paso del juego, el dealer reparte un par de cartas al jugador. En este instante del juego no es posible sobrepasar los veinti´ un puntos; sin embargo, la idea es quedar lo suficientemente cerca de este puntaje como sea posible debido a que el dealer tambi´en se repartir´a unas cartas para intentar sobrepasar al jugador. A continuaci´on se presenta una distribuci´on de probabilidades de obtener un puntaje espec´ıfico en esta primer tirada de las cartas. Podemos observar que sobre los doce puntos obtenidos en el juego, encontramos las probabilidades mas grandes. Sin embargo, obtener un juego entre doce y diez y seis puntos no es una mano muy confiable. De hecho, se espera en los fundamentos del juego, que un jugador se detenga si obtiene un puntaje mayor o igual a diez y siete pues este ser´ıa un valor que usualmente es dif´ıcil de superar por parte del dealer. Adicionalmente, podemos notar que tenemos un 69 % de probabilidad de obtener un juego mayor o igual a doce puntos y una probabilidad de 30 % de obtener un puntaje mayor o igual a diez y siete. Y no sobra decir que la probabilidad de obtener un puntaje mayor a 21 con las dos cartas es imposible.

97

3.1. Dos Cartas

Cap´ıtulo 3

Figura 3.1: Probabilidades para dos cartas.

Puntaje f.d.p. f.d.a. 2 0,00452489 0,00452489 3 0,01206637 0,01659125 4 0,01659125 0,0331825 5 0,02413273 0,05731523 6 0,02865762 0,08597285 7 0,0361991 0,12217195 8 0,04072398 0,16289593 9 0,04826546 0,21116139 10 0,05279035 0,26395173 11 0,04826546 0,31221719 12 0,08898944 0,40120664 13 0,08446456 0,48567119 14 0,07692308 0,56259427 15 0,07239819 0,63499246 16 0,06485671 0,69984917 17 0,06033183 0,760181 18 0,05279035 0,81297134 19 0,04826546 0,8612368 20 0,09049774 0,95173454 Blackjack 0,04826546 1 Tabla 3.1: Probabilidades para dos cartas.

98

Cap´ıtulo 3

3.1. Dos Cartas

A partir de estas probabilidades y de cada valor obtenido, presentamos a continuaci´on las probabilidades que est´an involucradas a partir de los resultados anteriores para solicitar una carta adicional. Se muestran las probabilidades de obtener un valor menor o igual a 21 puntos cuando tenemos un puntaje dado.

Figura 3.2: Probabilidades para pedir una tercera carta.

Puntaje 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Probabilidad 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,68 0,6 0,52 0,46 0,4 0,32 99

3.2. Tres Cartas

18 19 20 Tabla 3.2: Probabilidades

3.2.

Cap´ıtulo 3

0,24 0,16 0,08 para pedir una tercera carta.

Tres Cartas

Dado el caso en que se haya escogido la opci´on de solicitar una carta adicional, nos encontramos ahora con un juego de tres cartas. La distribuci´on de probabilidad para esta opci´on nos lleva a las siguientes conclusiones: La probabilidad de obtener un puntaje menor o igual a 21 es de 62 %. Hay mas de una tercera parte de probabilidad de perder el juego por exceder el m´aximo puntaje permitido. Hay una tercera parte de probabilidad de obtener un buen juego, mayor a diez y siete puntos y sin excederse. A continuaci´on se presentan la gr´afica y la tabla de distribuciones asociada al juego con tres cartas. Es de notar lo mucho que sobresale la frecuencia asociada al evento de obtener 21 puntos con las tres cartas. Esto se debe a la cantidad de posibilidades diferentes de combinar estos 21 puntos y tambi´en a los valores asociados a los once puntos que poseen al menos un as. Estas combinaciones se toman en cuenta en este conteo y tambi´en en la simulaci´ on como un valor de 21 (por la versatilidad de puntos que puede tomar el as, uno u once seg´ un lo considere conveniente quien desarrolla el juego). En el desarrollo real del juego, al tener once puntos y entre estas cartas un as, debe hacerse valer esta carta por once puntos en vez de por un punto, y as´ı ganar inmediatamente el juego. La simulaci´on se encuentra programada para decidir autom´aticamente que valor tomar´a el as para no exceder los 21 puntos. Estos detalles se tratar´an a fondo en una secci´on posterior de este cap´ıtulo que trata a fondo la simulaci´on generada.

100

Cap´ıtulo 3

3.2. Tres Cartas

Figura 3.3: Probabilidades para tres cartas.

Puntaje 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

f.d.p. 0,000181 0,00108597 0,00217195 0,0041629 0,00615385 0,00904977 0,0121267 0,0159276 0,00904977 0,0280543 0,03728507 0,04343891 0,05085973 0,05502262 0,06045249 0,06280543 0,06624434 0,06660633 0,09104072 0,06986425 0,06262443 0,05339367 101

f.d.a. 0,000181 0,00126697 0,00343891 0,00760181 0,01375566 0,02280543 0,03493213 0,05085973 0,0599095 0,0879638 0,12524887 0,16868778 0,21954751 0,27457014 0,33502262 0,39782805 0,4640724 0,53067873 0,62171946 0,69158371 0,75420814 0,80760181

3.2. Tres Cartas

Cap´ıtulo 3

25 0,04705882 0,85466063 26 0,03873303 0,89339367 27 0,03348416 0,92687783 28 0,02606335 0,95294118 29 0,02171946 0,97466063 30 0,02533937 1 Tabla 3.3: Probabilidades para tres cartas.

Si en este proceso se hubiera obtenido un puntaje menor a 21, las probabilidades que debemos esperar al solicitar una carta adicional y que el puntaje total sea menor o igual a 21 puntos son las siguientes:

Figura 3.4: Probabilidades para pedir una cuarta carta.

Puntaje 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Probabilidad 1 1 1 1 1 1 1 1 1 102

Cap´ıtulo 3

3.3. Cuatro Cartas

12 0,91666667 13 0,90625 14 0,51020408 15 0,42857143 16 0,36734694 17 0,30612245 18 0,2244898 19 0,14285714 20 0,06122449 Tabla 3.4: Probabilidades para pedir una cuarta carta.

3.3.

Cuatro Cartas

Si en el proceso anterior se ha obtenido un puntaje menor que 21 puntos y se solicita una carta adicional, nos encontramos con un juego de cuatro cartas. De este juego podemos notar lo siguiente: Hay un 61 % de probabilidad de obtener un puntaje que es mayor a 21; es decir, de perder el juego. Hay menos de un cinco por ciento de probabilidad de obtener un juego entre diez y siete y veinti´ un puntos. La distribuci´on parece normalizarse con estos valores. De hecho, una prueba de Kolmogorov presenta resultados favorables respecto a la normalidad. (Sig: 0,066. Kolmogorov-Smirnov). Sin embargo, esta distribuci´on presenta un valor estimado para la media que supera los valores del juego (E(X)=26,18); es decir, el valor esperado excede el puntaje que un jugador puede tener en el blackjack. Por esto, se puede esperar basados en el teorema central del l´ımite que en este estado del juego, el jugador exceda los veinti´ un puntos y pierda la partida. Se nota una tendencia leve hacia el lado izquierdo de la distribuci´on. Esta tendencia es explicada por la cantidad de cartas a las que se les asocia el valor de diez puntos (diez y seis de las cincuenta y dos). De hecho, aunque no era tan simple de visualizar en los gr´aficos anteriores, vamos a tener unas probabilidades mayores asociadas siempre a una combinaci´on de m´as alto puntaje.

103

3.3. Cuatro Cartas

Cap´ıtulo 3

Figura 3.5: Probabilidades para cuatro cartas.

Puntaje 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

f.d.p. 0,00000369 0,00005910 0,000192077 0,00047280 0,00090498 0,00153661 0,00245267 0,00047280 0,00511589 0,007151168 0,010268723 0,01365223 0,018132792 0,022399113 0,027540862 0,032446209 0,037768954 0,045743836 0,04934897 0,055022624 0,058380275

104

f.d.a. 0,00000369 0,00006279 0,00025487 0,00072768 0,00163265 0,00316927 0,00562194 0,00609475 0,01121064 0,01836181 0,02863053 0,04228276 0,06041555 0,08281466 0,11035553 0,14280174 0,18057069 0,22631453 0,2756635 0,33068612 0,3890664

Cap´ıtulo 3

3.3. Cuatro Cartas

25 0,061169083 0,45023548 26 0,061627112 0,51186259 27 0,061760089 0,57362268 28 0,060020316 0,633643 29 0,057977653 0,69162065 30 0,054283867 0,74590452 31 0,054017915 0,79992243 32 0,044934897 0,84485733 33 0,038060763 0,88291809 34 0,030747068 0,91366516 35 0,025354142 0,9390193 36 0,019447779 0,95846708 37 0,015602549 0,97406963 38 0,010933604 0,98500323 39 0,008274079 0,99327731 40 0,006722689 1 Tabla 3.5: Probabilidades para cuatro cartas.

Es de anotar que los puntajes mayores o iguales a 31 puntos hacen solo parte del conteo, pero que es imposible llegar a ellos a partir del juego sin haber llegado o superado los 21 puntos en el procedimiento inmediatamente anterior. Ahora, en este punto del juego, las probabilidades de solicitar una nueva carta disminuye notoriamente debido a que para que en este momento obtengamos un puntaje menor a 21 es muy baja y esta combinaci´ on debe formarse con cartas que poseen un puntaje bajo. Adicionalmente, para no exceder los 21 puntos, necesitar´ıamos una carta que tenga un valor bajo. Si tenemos un juego con cartas bajas, es muy poco probable que obtengamos una nueva carta que posea un valor bajo tambi´en. Estas probabilidades pueden encontrarse en las tablas relacionadas en el primer cap´ıtulo. All´ı se encontrar´a la probabilidad de obtener cualquier combinaci´ on de cartas si estamos en un punto del juego donde contamos con dos, tres, cuatro o cinco cartas. Puntaje 4 5

Probabilidad 1 1 105

3.3. Cuatro Cartas

Cap´ıtulo 3

6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 0,66666667 13 0,58333333 14 0,5 15 0,41666667 16 0,35416667 17 0,27083333 18 0,1875 19 0,125 20 0,02083333 Tabla 3.6: Probabilidades para pedir una quinta carta.

Figura 3.6: Probabilidades para pedir una quinta carta.

106

Cap´ıtulo 3

3.4.

3.4. El Proceso de Markov

El Proceso de Markov

Mediante estos valores obtenidos, podemos generar una pol´ıtica de control para el proceso de Markov que estar´a determinado en cuatro tiempos: el tiempo inicial en el cual el jugador recibe las dos cartas, un segundo tiempo si el jugador solicita una tercera carta, un tercer tiempo cuando el jugador solicita una cuarta carta y un cuarto tiempo que ser´ıa la finalizaci´on del juego al solicitar la quinta carta. Al iniciar el proceso y recibir las dos primeras cartas, debemos considerar la variable X0 que definir´a el puntaje obtenido con las dos primeras cartas; esto es: X0 = 2, 3, 4, . . . , 21. Se asume que deber´ıa pedirse una carta adicional si X0 ≤ 17, lo cual es considerado un juego d´ebil. Dado que hay una probabilidad de 0, 7 de que suceda esto con la variable en este estado, podr´ıa esperarse que tuvi´eramos que pedir una tercera carta. De hecho, el valor esperado de X0 es 13,5596 y este resultado nos llevar´ıa te´oricamente a la necesidad de solicitar una tercera carta. Adicionalmente, la probabilidad de no superar los 21 puntos si tenemos 14 puntos es de 0,52. Ahora, si se ha solicitado un tercera carta, estamos en el estado X1 donde el valor esperado de obtener tres cartas es de 19,952 y las probabilidades asociadas a la solicitud de una cuarta carta no se muestran muy convenientes. De hecho, hay aproximadamente un 0,06 de probabilidad de solicitar una cuarta carta y no exceder los veinti´ un puntos. Sin embargo, como el valor esperado es aproximadamente veinte, se esperar´ıa que un jugador no solicitara una carta adicional. Dado el caso de solicitar una carta adicional, el estado X2 del proceso nos genera un valor esperado de 26, 1851 que es muy elevado; es decir, se puede esperar que con cuatro cartas, el jugador habr´a superado los veinti´ un puntos y habr´a perdido el juego. De hecho, la probabilidad de obtener veinti´ un puntos o menos en una mano con cuatro cartas es de 0, 22 solamente. Para el juego con cinco cartas, el valor esperado de X3 es de 32,6958 y se encuentra definitivamente muy lejos del l´ımite del juego. En las probabilidades calculadas anteriormente, se mostr´o que s´olo un 22 % de los resultados obtenidos en este estado del juego ser´an menores o iguales a veinti´ un puntos. A continuaci´on se muestran los detalles de la simulaci´ on generada, el desarrollo de la misma y como se logra adaptar a un juego real, verificando minuciosamente cada uno de los detalles que pueden pasar en la realidad. Luego de obtener resultados de la simulaci´ on, podremos corroborar los estados de las variables que se acaban de mencionar con los valores obtenidos en 107

3.5. Simulaci´ on del Juego

Cap´ıtulo 3

la pr´actica que se ha simulado, para justificar o desaprobar las acciones que te´oricamente nos presentan los an´alisis de las permutaciones y los valores esperados que hemos visto hasta el momento.

3.5.

Simulaci´ on del Juego

Con ayuda de una hoja de c´alculo de Microsoft Excelr, se realiz´o una simulaci´on Montecarlo del problema estudiado para corroborar los resultados obtenidos en la investigaci´ on. Mediante una selecci´on de n´ umeros pseudoaleatorios, desde 1 hasta 52 se presentan las diferentes cartas de la baraja, corrigiendo la poco probable opci´on de que se epitan. Es decir, la selecci´on de las cartas al igual que en el juego real consiste en cartas diferentes y esto ha sido contemplado en la simulaci´ on del juego. En un paso siguiente, se discrimina la puntuaci´ on que se ha de asociar a cada carta y posteriormente, se eval´ ua este conteo para paso a paso darnos cuenta si en los juegos obtenidos poseemos menos de veinti´ un puntos con dos, tres, cuatro o cinco cartas. Este paso de evaluar los puntajes es delicado y se ha programado de la siguiente manera:

Se generan cinco n´ umeros aleatorios diferentes entre 1 y 52 para escoger cinco cartas en total, teniendo en cuenta que los n´ umero aleatorios generados no sean iguales entre s´ı, para asegurar que el juego tenga cinco cartas diferentes de la baraja. Dado el caso de que se haya generado un n´ umero repetido, la hoja de c´alculo generar´a otro condicionada iterat´ıvamente a volverlo a generar hasta que todos sean diferentes. Se discriminan cuadro grupos de trece cartas, las cuales pueden verse como los diferentes palos1 de tal manera que las trece primeras cartas indiquen un palo, las trece segundas otro palo y as´ı sucesivamente hasta completar los cuatro palos de la baraja. Se corrigen los valores del 14 al 26, del 27 al 39 y del 40 al 52, restando respectivamente 13, 26 y 39 a cada valor, para definir las cartas como: A, 2, 3, . . ., 10, J, Q y K. Se presenta un grupo de cuatro valores que implican la suma de los puntajes de las dos primeras cartas, de las tres primeras, de las cuatro 1

Diamantes, corazones, tr´eboles y picas.

108

Cap´ıtulo 3

3.5. Simulaci´ on del Juego

primeras y finalmente de las cinco cartas con un formato condicional que nos ind´ıca cuando la suma de los puntajes supera los 21 puntos. En la suma de los dos primeros valores no es posible exceder lo 21 puntos, sin embargo, ex´ıste un formato condicional adicional que nos indica que se ha obtenido un blackjack con un as y una carta que tenga un valor de diez puntos. En las tres casillas adicionales, donde tenemos las sumas de los puntajes para tres, cuatro y cinco cartas, existe una correcci´on adicional en la cual por defecto el computador toma la carta asignada como un as con el valor de un punto. Sin embargo, como esta carta puede tomar los valores de uno u once, antes de mostrarnos un resultado en pantalla, se ha programado una verificaci´ on adicional con la cual se verifica que pasa si el as tomara el valor de once. Si el as toma el valor de once puntos y no excedemos los veinti´ un puntos, en pantalla nos aparecer´a la suma de puntuaci´ on con un as que vale once puntos. Si con estos once puntos nos excedemos, veremos en pantalla que el computador asumi´o que el as vale un punto solamente. En s´ıntesis, evaluando el puntaje con ciertas funciones l´ogicas, el computador decidir´a si en su juego le conviene tener un uno o un once. Tenemos adicionalmente una casilla indicadora de la cantidad de cartas que tenemos en cada juego y no exceden los veinti´ un puntos. Es decir, cuantas cartas se requirieron para no superar este puntaje. Por otra parte, la simulaci´ on muestra las gr´aficas asociadas a las frecuencias absolutas del n´ umero de cartas con las que se jug´o sin exceder el puntaje y las frecuencias absolutas del puntaje en cada mano que fue menor de 21. Una correcci´on adicional e importante que se aplic´o en el conteo es que paso a paso el computador verifica los puntajes que puede asociarle a un as, dado el caso que este estuviera en su mano. Por ejemplo, si tenemos un cinco y un as con las dos primeras manos, el computador asumir´a que debe asociar un once al valor del as. Si se solicita una carta adicional y esta fuera un seis, el computador verificar´ a que si asocia un valor de once al as, exceder´a el puntaje y entonces decidir´a que el as debe valer un punto solamente.

109

3.6. An´ alisis Comparativo

3.6. 3.6.1.

Cap´ıtulo 3

An´ alisis Comparativo Dos Cartas

Figura 3.7: Comparaci´on para dos cartas.

Podemos observar en la gr´afica que los valores reales aparecen con mayor frecuencia hasta los once puntos y una menor en los puntajes de doce a veinti´ un puntos. Esto se debe a que en la simulaci´ on, el computador por defecto asume que el as que aparece en estos valores peque˜ nos puede hacerlo valer por once puntos. Esto hace que los puntajes peque˜ nos que son obtenidos teniendo un as en las cartas obtenidas, se aumenten en diez puntos. Sin embargo, la diferencia de medias entre los valores real y simulado es aproximadamente cero como se muestra a continuaci´ on. Valor Real Valor Simulado E(X)=13,5596 X=14,5048 Var(X)=22.0805 s2 =16.535 Tabla 3.7: Comparaciones para dos cartas.

El promedio de la diferencia entre los valores real y esperado es de 6, 94 × 10−19 comprobando as´ı que las simulaci´ on muestra perfectamente el experimento, aunque saque ventaja de ciertos valores, tal y como lo har´ıa un jugador en la vida real. 110

Cap´ıtulo 3

3.6.2.

3.6. An´ alisis Comparativo

Tres Cartas

Figura 3.8: Comparaci´on para tres cartas.

En un juego con tres cartas, podemos observar el mismo efecto que se visualizaba con las dos cartas. El computador toma en los valores m´as peque˜ nos que contienen un as, la decisi´on de hacer valer esta carta por once puntos. Es por esto que los valores reales se ven con mas frecuencia en los puntajes peque˜ nos y con una frecuencia menor que los simulados en los puntajes desde once hasta veinti´ un puntos. Los valores posteriores no tienen una diferencia definida debido a que el computador no tom´o ninguna elecci´on con respecto al valor que debe darle a un as cuando se han superado los veinti´ un puntos, es decir, cuando se ha perdido el juego. A continuaci´on se muestran resultados que se calculan de los datos te´oricos y de los obtenidos en la simulaci´on. Valor Real Valor Simulado E(X)=19,952 X=20,0811 Var(X)=27,9079 s2 =22,639 Tabla 3.8: Comparaciones para tres cartas.

111

3.6. An´ alisis Comparativo

3.6.3.

Cap´ıtulo 3

Cuatro Cartas

Figura 3.9: Comparaci´on para cuatro cartas.

Nuevamente se puede visualizar la diferencia de los puntajes obtenidos con la correcci´on que se hace en la simulaci´ on, donde los puntajes menores que once tienen tendencia a ser mayores en los resultados reales y a ser mayores los simulados desde once hasta 21 puntos. No se observa ninguna tendencia en los puntajes que exceden los veinti´ un puntos por las razones que se han explicado anteriormente. A continuaci´on se muestran los estad´ısticos de valores reales y simulados. Valor Real Valor Simulado E(X)=26,1851 X=26,2447 Var(X)=36,7872 s2 =35,5956 Tabla 3.9: Comparaciones para cuatro cartas.

3.6.4.

Cinco Cartas

Aunque en esta parte del juego, se observa la correcci´on que hace el computador en la simulaci´ on para los puntajes peque˜ nos, pero no se nota para los puntajes entre once y veinti´ un puntos. Sin embargo, las diferencias no son muy notables en este estado del proceso debido a que las frecuencias de cada puntaje son muy peque˜ nos. De hecho, hay unas probabilidades 112

Cap´ıtulo 3

3.7. Parada del Proceso

Figura 3.10: Comparaci´on para cinco cartas.

muy bajas de llegar en el desarrollo del juego a encontrarnos con cinco cartas. A continuaci´on se muestra la comparaci´on de los datos te´oricos y los obtenidos en la simulaci´on. Valor Real Valor Simulado E(X)=32,6958 X=32,6578 Var(X)=45,6881 s2 =45,8035 Tabla 3.10: Comparaciones para cinco cartas.

3.7.

Parada del Proceso

Hemos visto los datos y las gr´aficas con las que nos vemos relacionados en el desarrollo del juego de blackjack y hemos observado te´oricamente como disminuyen las posibilidades de llegar a un puntaje menor o igual a veintiuno cuando empezamos a solicitar cartas adicionales. A continuaci´on se presentan los resultados de las frecuencias absolutas en una corrida de diez mil partidas en la simulaci´ on indicando con cu´antas cartas debe detenerse el proceso para no superar los veinti´ un puntos.

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3.7. Parada del Proceso

Cap´ıtulo 3

Figura 3.11: Parada del proceso.

No. de Cartas Frecuencia Absoluta 2 0.4273 3 0.372 4 0.1539 5 0.0468 Tabla 3.11: Parada del Proceso.

Podemos ver que contamos con cerca de un ochenta por ciento de probabilidades de detener el juego con dos o tres cartas; mientras que las probabilidades de no superar los veinti´ un puntos con cuatro y cinco cartas son sucesos muy poco probables. Estos resultados obtenidos de la simulaci´ on son decisiones que ha tomado el computador para detener el juego con cierta cantidad de cartas y sin superar el puntaje l´ımite del juego.

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Cap´ıtulo 4

CONCLUSIONES A partir de las probabilidades calculadas y los resultados obtenidos en la simulaci´on, podemos concluir en el presente estudio que: Mediante las permutaciones que se encontraron, es poco probable predecir una combinaci´on cualquiera de dos, tres o cuatro cartas. Es m´as prudente calcular y analizar rangos de puntajes para alg´ un estudio posterior. Las probabilidades asociadas a cada uno de los estados del proceso parecen indicar tanto en la teor´ıa como en la pr´actica que el juego es m´as favorable al jugarse con dos o tres cartas en la mano. El solicitar cartas adicionales a partir de este estado reduce dr´asticamente la probabilidad de obtener un puntaje menor o igual a veintiuno. Las caracter´ısticas que podemos asociar a las simulaciones en cualquier experimento, pueden lograr un acercamiento bastante objetivo a casi cualquier tipo de experimento. En nuestro caso, la simulaci´ on generada evit´o un proceso f´ısico de repartir diez mil partidas por cada corrida1 . Y es de notar, que los resultados obtenidos causan cierto asombro debido a la decisi´on de favorabilidad que se le ha dado al computador para decidir que valores debe asociar a las cartas y no exceder los puntajes involucrados en el juego. Bajo la informaci´on obtenida, podemos posteriormente generar otro tipo de situaciones para estudiar basadas en este juego. Unas de las 1

Generaci´ on de datos diferentes en la simulaci´ on.

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Cap´ıtulo 4 posibilidades que han surgido hasta el momento son el estudio de juegos cooperativos y las probabilidades que va a tener un dealer de superar a un jugador en cierta partida. Este u ´ltimo estudio puede ser interesante debido a que nos llevar´ıa a concluir cu´al es la probabilidad de que un casino llegue a perder en el desarrollo del juego de blackjack.

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Bibliograf´ıa [1] Thorp, Edward. Beat The Dealer, Vintage Books, 1 (1966). [2] Uston, Ken. Ken Uston On Blackjack, Ishi Press, 5 (2011). [3] Uston, Ken. Million Dollar Blackjack, carol Publishing Group, 7 (1992). [4] Rubinstein, Reuven. Simulation And The Monte Carlo Method , Wiley, 1 (2007). [5] Gilks, W.R. Markov Chain. Monte Carlo In Practice, Chapman & Hall, 1 (1996).

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