REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL (UNEFA)
Probabilidades y Estadística
Ing° Luis Castellanos MSc
UNEFA. Probabilidades y Estadística.
ii
Índice 1
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA.......................................................................................................1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13
2
TEOREMAS DE PROBABILIDADES. ......................................................................................................10 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
3
DEFINICIONES VARIAS. ..........................................................................................................................26 PROPIEDADES O LEYES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA.........................................................................27 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA.................................................................................................27 TEOREMA DE CHEBYSHEV. ....................................................................................................................28 EJERCICIOS. .........................................................................................................................................29
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD..................................................................................................31 5.1 5.2 5.3 5.4
6
DEFINICIONES VARIAS............................................................................................................................21 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. ..........................22 DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA ....................................................22 FUNCIÓN O DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE...............................................................23 DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA....................................................24 EJERCICIOS. .........................................................................................................................................24
ESPERANZA MATEMÁTICA....................................................................................................................26 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
5
DEFINICIONES. ......................................................................................................................................10 PRINCIPIO DE ENUMERACIÓN O CONTEO. ...............................................................................................12 PRINCIPIO DE ADICIÓN ...........................................................................................................................13 PROBABILIDAD DE UN EVENTO ...............................................................................................................15 TEOREMA DE PROBABILIDAD COMPLETA (TEOREMA ADITIVO):.................................................................16 TEOREMA DE PROBABILIDAD COMPUESTA (TEOREMA DE MULTIPLICACIÓN)..............................................16 PROBABILIDAD CONDICIONAL .................................................................................................................17 TEOREMA DE BAYES ..............................................................................................................................18 EJERCICIOS ..........................................................................................................................................19
VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE PROBABILIDADES. .............................................................21 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
4
DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA. ...................................................................................................................1 DIVISIÓN DE MÉTODOS ESTADÍSTICOS......................................................................................................1 MEDIDAS USADAS EN LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ..................................................................................1 MEDIDAS USADAS EN ESTADÍSTICA INDUCTIVA: .........................................................................................2 MEDIDAS USADAS EN MÉTODOS COMPLEJOS ............................................................................................2 PASOS PARA SEGUIR EN UN MÉTODO ESTADÍSTICO ...................................................................................2 MÉTODOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS ...................................................................................................2 POBLACIÓN Y MUESTRA ...........................................................................................................................2 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ..............................................................................................................3 GRÁFICAS DE FRECUENCIAS ....................................................................................................................5 ESTADÍSTICOS IMPORTANTES ...................................................................................................................6 RELACIÓN ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODO EN UN POLÍGONO DE FRECUENCIAS ...................................8 EJERCICIOS ............................................................................................................................................9
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL........................................................................................................................31 DISTRIBUCIÓN DE POISSON ....................................................................................................................32 DISTRIBUCIÓN NORMAL .........................................................................................................................33 EJERCICIOS ..........................................................................................................................................35
DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO ........................................................................................................38 6.1 6.2 6.3 6.4
TEORÍA DEL MUESTREO .........................................................................................................................38 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIA ARITMÉTICA....................................................................................42 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIA ARITMÉTICA CON DOS MUESTRAS ...................................................42 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL χ2 / CHI 2 / JI 2 ................................................................................................43 Ing° Luis Castellanos (Versión 1.20)
UNEFA. Probabilidades y Estadística. 6.5 6.6 6.7 7
iii
DISTRIBUCIÓN “T” DE STUDENT ..............................................................................................................43 DISTRIBUCIÓN F (DE FISCHER)...............................................................................................................45 EJERCICIOS ..........................................................................................................................................46
TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ..................................................................................................................47 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10
8
GENERALIDADES. ..................................................................................................................................47 ESTIMACIÓN PUNTUAL O LOCAL .............................................................................................................47 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS ...............................................................................................................48 ERROR MUESTRAL ................................................................................................................................48 ESTIMACIÓN DE LA MEDIA ......................................................................................................................49 ¿CÓMO SE CALCULA EL TAMAÑO DE UNA MUESTRA?...............................................................................50 LÍMITE DE TOLERANCIA ..........................................................................................................................51 DISTINCIÓN ENTRE LÍMITES DE CONFIANZA Y LÍMITES DE TOLERANCIA .....................................................52 ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA .................................................................................................................52 EJERCICIOS ..........................................................................................................................................52
ENSAYOS DE HIPÓTESIS Y SIGNIFICACIÓN........................................................................................54 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
9
HIPÓTESIS ESTADÍSTICA ........................................................................................................................54 HIPÓTESIS NULA (H0) ............................................................................................................................54 PRUEBA DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA ......................................................................................................54 PRUEBA DE MEDIAS Y VARIANZAS ..........................................................................................................57 EJERCICIOS ..........................................................................................................................................59
ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN ......................................................................................61 9.1 9.2 9.3
ANÁLISIS DE REGRESIÓN PARA DOS VARIABLES.......................................................................................61 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN PARA DOS VARIABLES ...................................................................................64 EJERCICIOS ..........................................................................................................................................66
10
BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................................................68
11
ANEXOS.................................................................................................................................................69
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
ÁREAS BAJO LA CURVA NORMAL ............................................................................................................69 VALORES CRÍTICOS DE LA DISTRIBUCIÓN Χ2............................................................................................70 VALORES CRÍTICOS DE LA DISTRIBUCIÓN T .............................................................................................71 SUMAS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .......................................................................................................72 FACTORES DE TOLERANCIA PARA DISTRIBUCIONES NORMALES ...............................................................73
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1
1 Introducción a la Estadística 1.1
Definición de Estadística. •
Técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivos, cuya medición requiere una masa de observaciones de otros fenómenos (Conrado Gini)
•
Ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica como base a la explicación, descripción y comparación de un fenómeno (G. Vany Yule)
•
Basa sus leyes, no en el estudio de una observación aislada o individual, sino en el estudio de un gran número de observaciones.
•
Dato Estadístico: aquel que mide un fenómeno colectivo (Tasa de Mortalidad de Venezuela en últimos 10 años, Producción de Petróleo en Venezuela durante los últimos 5 años, etc.).
1.2
División de Métodos Estadísticos. •
Métodos Descriptivos (o Estadística Descriptiva): resumen o condensan todos los datos de una serie de valores para describir determinados aspectos de la serie.
•
Métodos Inductivos (o Estadística Inferencial): tratan de estimar las características del universo estadístico o población total a través del estudio de una parte de ese universo.
•
Métodos Simples: se refieren al estudio de una sola característica o variable.
•
Métodos Complejos: se refieren al estudio de dos o más características o variables, determinando la relación entre ellas.
1.3
Medidas usadas en la Estadística Descriptiva •
Razones, tasas y porcentajes
•
Distribución de frecuencias
•
Medidas de Tendencia Central (Media, Mediana, Modo) Ing° Luis Castellanos (Versión 1.20)
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1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
•
Medidas de Dispersión (Desviación cuartel, quintil, decil, percentil)
•
Momentos, Asimetría, Kurtosis
2
Medidas usadas en Estadística Inductiva: •
Probabilidades
•
Distribuciones
•
Pruebas de Significación
Medidas usadas en Métodos Complejos •
Dispersión
•
Correlación
•
Regresión
Pasos para seguir en un Método Estadístico •
Formulación del Problema
•
Desarrollo del Método de Recolección de Datos
•
Recolección de Datos
•
Clasificación de Datos
•
Análisis Estadístico
•
Presentación de Resultados
•
Interpretación de los Resultados
Métodos de Recolección de Datos •
Entrevista Personal
•
Cuestionario
•
Observación Directa
•
Experimentos Estadísticos
Población y Muestra •
Población: conjunto de individuos, objetos o cosas que se van a analizar. Es el Universo Estadístico. Es el TODO. Puede ser: Ing° Luis Castellanos (Versión 1.20)
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3
o Finita: se pueden contar todos sus elementos o Infinita: el número de elementos es ilimitado. •
Muestra: parte representativa de la población. Puede ser: o Probabilística: sus elementos tienen una probabilidad conocida y no nula de ser seleccionados usando un método de selección aleatorio. o No Probabilística: sus elementos son escogidos de acuerdo al criterio del investigador y no al azar.
•
Estudio Poblacional: análisis deductivo. Lo que es válido para el todo, es válido para uno.
•
Estudio Muestral: análisis deductivo. Lo que es válido para uno, podría ser válido para el todo.
1.9
Distribución de Frecuencias • Componentes: o Intervalo Total (o Rango): diferencia entre Límite Superior y el Límite Inferior. (IT) o Clases: fraccionamiento de la amplitud total o Rango. o Intervalo de Clase: diferencia entre los Límites Inferior y Superior de una Clase. (IC) o Punto Medio del Intervalo de Clase. (xi) o Frecuencia de Clase: número de casos en que la variable está comprendida entre los límites de una clase. (fi) •
Organización: o Determinar el Intervalo Total •
IT = LS - LI
o Determinar el número de Clases (se recomiendan entre 3 y 25) o Determinar el Intervalo de Clase IC =
IT N º Clases
IC =
IT 1 + 3,322 x log n
(Ecuación de Sturges)
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o Determinar Límites de Clase, de acuerdo a los IC definidos. Series Discretas
Series Continuas
10 – 19
10 – 19,99
20 – 29
20 – 29,99
30 – 39
30 – 39,99
o Determinar las frecuencias: registrar el número de datos u ocurrencias en cada clase. •
Ejemplo: o Agrupar en Distribución de Frecuencias las notas obtenidas por la Sección J en Matemática II: •
16, 8, 6, 10, 12, 10, 10, 10, 11, 7, 10, 8, 14, 10, 11, 11, 8, 17, 8, 6, 10, 2, 10. Se recomienda primero ordenar los datos: 2, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 14, 16, 17. n=3 IT = LS - LI Æ IT = 17 – 2 Æ IT = 15 IC =
IT 15 → IC = → I C = 2,72 → I C = 3 1 + 3,322 x log n 1 + 3,322 x log 23
Sin embargo, se recomienda tomar IC = 4, para que se incluya en el Límite Inferior de la primera clase, el número menor, y en el Límite Superior de la última clase, el número mayor. Frecuencia
Clases
Punto Medio
Frecuencia
2–5
3,5
1
1
6–9
7,5
7
8
10 – 13
11,5
12
20
14 – 17
15,5
3
23
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Acumulada
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5
1.10 Gráficas de Frecuencias •
Polígono de Frecuencias: diagrama de líneas que representa los puntos medios y sus respectivas frecuencias de una distribución.
Frecuencias
Polìgono de Frecuencias 15 10 5 0 2-5
6-9
10 - 13
14 - 17
Clases
•
Histograma de Frecuencias: serie de rectángulos paralelos, cuya base representa el Intervalo de Clase y su altura la magnitud de la frecuencia de la clase respectiva.
Histograma de Frecuencias Frecuencias 15 10 5 0 2-5
6-9
10 - 13
14 - 17
Clases
•
Histograma de Frecuencias Acumuladas: serie de rectángulos paralelos, cuya base representa el Intervalo de Clase y su altura la magnitud de la frecuencia acumulada.
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6
Histograma de Frecuencias Acumuladas Frecuencias 30 20 10 0 2-5
6-9
10 - 13
14 - 17
Clases
1.11 Estadísticos Importantes •
Estadístico: Medida que se calcula para describir la característica de una sola muestra (, s, s2, p).
•
Media Aritmética: n
x =
∑
f i .x
i=1 n
∑
i=1
•
i
f
i
Media Geométrica: n
∑ f i . log x i
G = 10 •
i =1
n
Desviación Estándar:
∑ (x n
s =
i =1
i
− x
)
2
n
A mayor desviación, mayor dispersión. En una Distribución Normal (ver Unidad correspondiente), el porcentaje de los datos muestrales se agrupan de acuerdo a la siguiente proporción: o ± s Æ 68,27% (Zona Normal) o ± 2 s Æ 95,45% o ± 3 s Æ 99,73%
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•
Varianza (s2)
•
Moda: valor que más se repite o más típico.
Mo= Li + •
f sig f ant + f sig
Ic
Mediana: valor que divide una distribución de tal manera que quede a cada lado un número igual de términos. n
∑f i=1
i
Md = Li + 2 •
− f ant Ic
fi
Ejemplo: o Añadimos unas columnas a la tabla del Ejercicio del Ejemplo anterior, para facilitar los cálculos. Clases
xi
fi
facum
fi xi
fi log xi
(xi - )2
2–5
3,5
1
1
3,50
0,54
48,39
6–9
7,5
7
8
52,50
6,13
8,74
10 – 13
11,5
12
20
138,00
12,73
1,09
14 – 17
15,5
3
23
46,50
3,57
25,44
240,50
22,97
83,66
Totales
23
n
o
x =
∑
f i .x i
i =1 n
∑
i=1
→ x =
fi
240 , 50 → x = 10 , 4565 23
n
∑ f i . log x i
o
G = 10
i =1
∑ (x n
o
s =
i =1
→ G = 10
n
i
n
− x
)
22 , 97 23
→ G = 9 , 9689
2
→ s =
83 , 66 23
o s2 = ( 1,9072) 2 Æ s2 = 3,6374
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→ s = 1 , 9072
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o
Mo= Li +
8
f sig f ant + f sig
Ic → Mo= 10+
3 4 → Mo= 11,20 7 +3
n
∑f i=1
o
Md = Li + 2
i
− f ant fi
23 −7 2 Ic → Md = 10+ 4 → Md = 11,50 12
1.12 Relación entre la Media, Mediana y Modo en un Polígono de Frecuencias
•
Curva Simétrica:
= Md = Mo
•
Curva Asimétrica Positiva:
Mo < Md <
•
Curva Asimétrica Negativa:
< Md < Mo
Simétrica
Asimétrica Positiva
Asimétrica Negativa
Aparte, pueden variar, de acuerdo a su Kurtosis:
Leptokùrtica
Mesokùrtica
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Platikùrtica
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9
1.13 Ejercicios •
Sean las medidas de peso de un grupo de personas: 56, 55, 40, 47, 73, 75, 81, 60, 65, 53, 52, 43, 56, 69, 67, 55, 52, 43, 52, 56, 69, 56. Con los datos agrupados halle:
Media, Media Geométrica, Mediana, Modo, Desviación Estándar, Varianza
Grafique Polígono de Frecuencias, Histograma de Frecuencias e Histograma de Frecuencias Acumuladas
Determine si la gráfica es Simétrica o Asimétrica (Positiva o Negativa)
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2 Teoremas de Probabilidades. 2.1
Definiciones. •
Tipos de Modelos: o Determinísticos (Ej. v =
d ) t
o Probabilísticos (Ej. Lanzamiento de dados)
•
Experimento Aleatorio: registra los resultados al azar, que ocurren en un estudio planificado o en una investigación científica. Ej.: lanzar una moneda.
•
Datos Iniciales: información registrada en la forma en que se recoge, ya sean cuentas o mediciones. Ej.: cara, sello, cara, cara.
•
Cualquier recolección de información debe tener un propósito específico y ser seguido por acciones.
•
Sugerencias para la Recolección de Datos: o Registrar claramente el origen de los datos o Registrar para usar los datos fácilmente o Si se van a registrar datos de manera continua, se pueden preparar y usar formatos para ello
•
Métodos de Recolección de Datos: o Entrevistas o Cuestionarios o Observación Directa o Experimentos Estadísticos
•
Conjunto: agrupación de elementos que comparten una propiedad común.
•
Espacio Muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio (s). o Cada resultado se llama elemento, o miembro del Espacio Muestral, o Punto Muestral. o El Espacio Muestral puede ser Finito o Infinito.
•
Ejemplo: o Sea el lanzamiento de una moneda Æ Ing° Luis Castellanos (Versión 1.20)
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s = { cara, sello }
o Ciudades con más de 1 millón de Habitantes Æ
s = { x / x es ciudad con Población > 1.000.000 }
o Puntos (x,y) dentro de un círculo de radio 2 y centro en el origen Æ
•
s = { (x,y) / x2 + y2 ≤ 4 }
Ejercicios: o Halle el Espacio Muestral al tirar un Dado. o Halle el Espacio Muestral al seleccionar 3 piezas al azar en un proceso de producción. Cada pieza se inspecciona y clasifica como Defectuosa (D) o No Defectuosa (N).
•
Suceso o Evento: cualquier subconjunto del Espacio Muestral (A). o Ejemplo: Determine el evento al lanzar el dado y observar números pares que salen.
•
A = { 2, 4, 6 }
Evento Simple: contiene sólo un elemento del Espacio Muestral. o Ejemplo: A = { t / t < 5 } del S = { t / t ≥ 0 } o (Donde t es la vida en años de un componente electrónico. A es el evento de que falle antes del 5to año).
•
Conjunto Vacío: subconjunto del Espacio Muestral que no contiene elementos (Ø).
•
Evento Compuesto: proviene de la unión de dos o más eventos simples. o Ejemplo.
Tomemos el evento de sacar corazón de un Mazo de Cartas.
•
A = { corazón } del S = { corazón, pica, trébol, diamante }
Ahora tomemos el evento de sacar una carta roja del mismo mazo:
• •
B = { corazón, diamante } (B = { corazón o diamante })
Eventos Mutuamente Excluyentes o Exclusivos: cuando su intersección es Conjunto Vacío. o Sean A = { 2, 4, 6 }; B = { 1, 3, 5 }; C = { 1, 2 }
A ∩ C = { 2 } ; B ∩ C = { 1 }; A ∩ B = Ø Ing° Luis Castellanos (Versión 1.20)
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•
12
Repaso: o Intersección (∩): evento que contiene todos los elementos comunes a A y a B (A ∩ B). o Unión (U): evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A, a B, o a ambos. (A U B).
•
Complemento de un Evento A con respecto a S: es el conjunto de todos los elementos de S que no están en A (A’). o Ejemplo. Sea Q el evento de que una persona seleccionada al azar en un salón de clases fume. Entonces Q’ es el evento de que la persona No Fume.
2.2
Principio de Enumeración o Conteo.
•
Si una operación se puede efectuar en n1 formas, y si para cada una de ellas se puede efectuar una segunda operación en n2 formas, y si para cada una de las dos primeras se puede efectuar una tercera operación en n3 formas, y así sucesivamente, entonces la secuencia de k operaciones se podrá realizar
n3
en n1.n2.n3. … nk formas.
n2 n1
o Ejemplo: ¿Cuántos almuerzos que contengan Sopa, Seco, Postre y Jugo, se pueden preparar si se puede escoger entre cuatro (04) sopas, tres (03) secos, cinco (05) postres y cuatro (04) jugos?
k = 4.3.5.4. Æ k = 240 almuerzos
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2.3
13
Principio de Adición • T = n1 + n2
n1
n2
•
Frecuentemente nos interesamos en un Espacio Muestral que contenga como elementos a todos los órdenes o arreglos posibles de un grupo de objetos. o Permutaciones Æ importa el orden o Combinaciones Æ no importa el orden
•
Permutaciones de n elementos: o
•
n! ( n − r )!
n
P c = ( n − 1)!
Permutaciones de n elementos en k clases:
o
•
n Pr =
Permutaciones en forma circular: o
•
P n = n!
Permutaciones de n elementos tomados r a la vez:
o
•
n
n Pk =
n! n1! n2 ! n3!...nk !
Combinaciones de n elementos tomados r a la vez:
o
nC r=
n! r!( n − r )! Ing° Luis Castellanos (Versión 1.20)
UNEFA. Probabilidades y Estadística.
•
14
Ejemplos: o Consideremos las letras a, b, c. ¿Cuántos objetos distintos se pueden obtener si las agrupamos en 3 letras?
P 3 = 3!→ 3 P 3 = 3.2.1→ 3 P 3 = 6
3
S = { abc, acb, bca, cab, bac, cba }
o Consideremos las letras a, b, c, d. ¿Cuántos objetos distintos se pueden obtener, si las agrupamos en 2 letras?
4 P2=
4! 4.3.2! →4 P2= → 4 P 2 = 12 ( 4 − 2)! 2!
o Consideremos a cuatro (4) jugadores de cartas. ¿Cuántas formas distintas de ubicar a los jugadores se pueden obtener?
4
P c = ( 4 − 1)!→ 4 P c = 3!→ 4 P c = 3.2.1→ 4 P c = 6
o ¿En cuántas formas diferentes pueden arreglarse 3 bombillos rojos, 4 bombillos amarillos y 2 bombillos azules en una extensión navideña de 9 bombillos?
9 Pk =
9! → 9 P k = 1.260 3!4!2!
o ¿De cuántas formas se pueden alojar 7 ingenieros en un cuarto triple y en dos cuartos dobles de un Hotel?
7 Pk =
7! → 7 P k = 210 3!2!2!
o Consideremos a 8 alumnos. ¿Cuántos comités de 3 alumnos se pueden formar?
8 C 3=
8! → 8 C 3 = 56 3!(8 − 3)!
o ¿De cuántas formas puede salir el billete ganador de un Kino?
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2.4
15
25 C15 =
25! → 25 C 15 = 3.268 .760 15!( 25 − 15)!
Probabilidad de un Evento • La Probabilidad de cualquier evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A, con valor entre 0 y 1. o 0 ≤ p(A) ≤ 1
•
Un peso cercano a 0 indica que el evento tiene poca posibilidad de ocurrir, y un peso cercano a 1 indica que tiene mucha posibilidad de ocurrir.
•
Otra definición de Probabilidad: número que se le asigna a un evento que determinará las veces que el mismo puede ocurrir.
•
P( A) =
n N
•
P ( A) =
A S
•
Si un evento puede ocurrir de a maneras, y deja de ocurrir de b maneras, siendo todos los casos posibles, P ( A) =
a a+b
•
p + q = 1 (probabilidad de ocurrencia + probabilidad de no ocurrencia)
•
Ejemplo: o Probabilidad que al lanzar un dado salga un “2”.
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ; A = { 2 }
1 5 p(2) = ; q(2) = 6 6
o Probabilidad que al lanzar dos monedas salga una cara.
S = { cc, cs, ss, sc } ; A = { cs, sc }
p( A) =
2 1 ; p( A) = 4 2
o Si se sacan tres (3) cartas de un mazo de barajas españolas, ¿cuál es la probabilidad que éstas sean as, dos y tres?
Primero se halla el número de maneras que pueden salir 3 cartas de 40: Ing° Luis Castellanos (Versión 1.20)
UNEFA. Probabilidades y Estadística.
16
40! → 40 C 3 = 9.880 3!( 40 − 3)!
40 C 3 =
S = { 9.880 maneras } ; A = { 4 ases, 4 dos, 4 tres }
p( A) =
4.4.4 ; p( A) = 0,0065 9.880
o Si se saca una carta de un mazo de barajas, ¿cuál es la probabilidad que la carta sea diamante?
2.5
S = { 52 } ; A = { 13 }
p( A) =
13 ; p( A) = 0,25 52
Teorema de Probabilidad Completa (Teorema Aditivo):
•
En dos eventos mutuamente excluyentes A y B, A tiene p1 probabilidades de ocurrir, y B tiene p2 probabilidades de ocurrir. La probabilidad de ocurrir A o B es igual a p1 + p2. o P(A U B) = P(A) + P(B) o P(A+B) = P(A) + P(B)
•
Ejemplo: Si tenemos en una caja 12 bolas blancas, 10 bolas azules y 8 bolas rojas, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, ésta sea blanca o roja?
2.6
12 8 ; P (r ) = 30 30
o
P(b) =
o
P(b + r ) =
12 8 20 + → P(b + r ) = → P(b + r ) = 0,66 30 30 30
Teorema de Probabilidad Compuesta (Teorema de Multiplicación) • Si un evento A tiene p1 probabilidades de ocurrir y otro evento B tiene p2 probabilidades de ocurrir, simultáneamente o después de A, entonces la probabilidad de ocurrir A y B es igual a p1. p2. o P(A ∩ B) = P(A). P(B) o P(AB) = P(A). P(B)
Eventos Independientes
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UNEFA. Probabilidades y Estadística.
17
o P(AB) = P(A).P(B/A)
Probabilidad Condicional Eventos Independientes
o P(BA) = P(B).P(A/B)
•
Eventos Independientes: ocurre un evento sin importar el resultado del evento anterior.
•
Eventos Dependientes: la probabilidad de ocurrencia de un evento depende de la ocurrencia del evento anterior.
•
Ejemplo: o Si tenemos en una caja 12 bolas blancas, 10 bolas azules, y 8 bolas rojas, ¿cuál es la probabilidad de que al realizar dos extracciones de la caja, la primera sea blanca y la segunda roja?
2.7
12 8 ; P(r ) = 30 30 − 1
o
P(b) =
o
P (br ) =
12 8 . → P(br ) = 0,1103 30 29
Probabilidad Condicional • Es la probabilidad de que ocurra un evento B cuando se conoce que ha ocurrido un evento A. P(B/A). o
•
P ( B / A) =
P( A ∩ B ) P( AB) = P( A) P( A)
Probabilidad Condicional Eventos Dependientes
Ejemplo: o Sea la probabilidad de que aumenten las ventas de carros el próximo mes p(A) = 0,40. Sea la probabilidad de que aumenten las ventas de repuestos el próximo mes p(R) = 0,50. Sea p(AR) = 0,10. Calcule la probabilidad que aumente “A” dado que aumentará “R”, y la probabilidad que aumente “R” dado que aumentó “A”.
P( A / R) =
P( RA) → P( R)
P( A / R) =
0,10 → 0,50
P ( A / R) = 0,20
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P ( R / A) =
P( AR) → P( A)
P ( R / A) =
0,10 → 0,40
P ( A / R) = 0,25
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2.8
18
Teorema de Bayes
•
Se emplea para conocer las probabilidades de causas que hayan actuado sobre sucesos ya constatados.
•
Enunciado: si un suceso puede ser originado por varias causas, las cuales a priori son igualmente probables, la probabilidad de que el suceso sea debido a
una
determinada
causa
es
igual
a
la
probabilidad
compuesta
correspondiente a dicha causa, dividida entre la suma de las probabilidad compuestas, según las cuales el suceso pudiere derivarse de todas y cada una de ellas. o
P( Ak / B) =
P( Ak ).P( B / Ak ) n
∑ P( A )P( B / A ) i =1
o
P( Bk / A) =
i
P( Bk ).P( A / Bk ) n
∑ P( B )P( A / B ) i =1
•
i
i
i
Ejemplo: o Se tienen 3 cajas:
A1 Æ 5 bolas blancas + 2 bolas negras
A2 Æ 6 bolas blancas + 5 bolas negras
A3 Æ 8 bolas blancas + 3 bolas negras
o Se saca una bola blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la primera caja?
1 = 0,3333 3
p( A1 ) = p ( A2 ) = p( A3 ) =
P( A1 / B) =
1 5 . 55 3 7 P( A1 / B) = → P( A1 / B) = → P( A1 / B) = 0,3595 1 5 1 6 1 8 153 . + . + . 3 7 3 11 3 11
P( A1 ).P( B / A1 ) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 ) + P( A3 ) P( B / A3 )
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UNEFA. Probabilidades y Estadística.
2.9
19
Ejercicios • Encuentre la Probabilidad de que en el lanzamiento sencillo de un dado, resulte un número menor a 4.
•
Las probabilidades de que un marido y su esposa estén vivos durante 20 años a partir de ahora está dada por 0.8 y 0.9 respectivamente. Encuentre la posibilidad de que en 20 años: o Ambos estén vivos o Ninguno esté vivo o Al menos uno de ellos esté vivo
•
Se saca al azar una carta de un mazo de 52 cartas. Encuentre la probabilidad de que la carta sea: o J de Corazones (J♥) o 3 de Trébol (3♣) ó 6 de Diamantes (6♦) o Un Corazón (♥) o Cualquier carta que no sea Corazón. o Ni 4 ni Trébol (♣)
•
Se saca al azar una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules. Determine la probabilidad de que la bola sea: o Roja o Blanca o Azul o No Roja o Roja o Blanca
•
Un dado balanceado se lanza dos (2) veces. Encuentre la probabilidad de obtener 4, 5 ó 6 en el primer lanzamiento, y 1, 2, 3 ó 4 en el segundo lanzamiento.
•
Determine la Probabilidad de obtener 3 “seis” al lanzar 5 veces un dado balanceado
•
Se sacan 2 cartas de un mazo de 52 cartas. Encuentre la probabilidad de que ambas cartas sean Ases. o Con reemplazo Ing° Luis Castellanos (Versión 1.20)
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20
o Sin reemplazo
•
Sea un mazo de 52 cartas, y un jugador de “Blackjack” desea saber la probabilidad de tener “Blackjack”: o Con 2 cartas o Con 3 cartas o Con 4 cartas
•
¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 personas en una rueda de reconocimiento de testigos?
•
¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en una banca, si sólo hay 4 puestos disponibles?
•
¿De cuántas maneras posibles se pueden sentar 7 personas alrededor de una mesa redonda, si o Se pueden sentar en cualquier lugar? o 2 personas en particular no se pueden sentar juntas?
•
¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 5 personas a partir de un grupo de 9?
•
Se va a formar un comité de 2 matemáticos y 3 físicos a partir de 5 matemáticos y 7 físicos. ¿De cuántas maneras se puede hacer si o Se puede incluir cualquier matemáticos y cualquier físico? o Un físico en particular debe estar en el comité? o Dos matemáticos en particular no pueden pertenecer al comité?
•
Empleando Teorema de Bayes: o La Caja 1 tiene 3 metras rojas y 2 metras azules. La Caja 2 tiene 2 metras rojas y 8 metras azules. Se lanza una moneda balanceada. Si se obtiene cara, se saca una metra de la Caja 1. Si se obtiene sello, se saca una metra de la Caja 2. o Si no se revela si se obtiene Cara o Sello, pero se dice que se sacó una metra roja, ¿Cuál es la probabilidad de que la metra haya sido sacada de la Caja1?
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21
3 Variable Aleatoria y Función de Probabilidades. 3.1
Definiciones varias. • Variable: cualquier característica de cada elemento de una población o muestra.
•
Algunas Clasificaciones: o Variables Cualitativas: miden cualidades (género, etc.) o Variables Cuantitativas: se miden a través de cantidades cuantificables (estatura, peso, etc.) o Variables dependientes: aquella cuyo resultado es afectado por el efecto producido por otra variable o Variables Independientes: aquella cuyo valor no depende de otra variable.
•
Variable Aleatoria: es la función cuyo valor es un número real determinado por cada elemento en el Espacio Muestral. Se usa letra mayúscula para representarla, y letra minúscula para representar sus resultados.
•
Espacio Muestral Discreto: contiene una cantidad finita de posibilidades.
•
Variable Aleatoria Discreta: variable aleatoria definida sobre un Espacio Muestral Discreto.
•
Espacio Muestral Continuo: contiene una cantidad infinita de posibilidades.
•
Variable Aleatoria Continua: variable aleatoria definida sobre un Espacio Muestral Continuo. También se llama Función de Densidad.
•
Generalmente las Variables Aleatorias Discretas representan datos contados, y las Continuas datos medidos (alturas, pesos, temperaturas, distancias).
•
Ejemplo: o De una caja que contiene 4 bolas rojas y 3 blancas, se toman sucesivamente 2 bolas sin reemplazarlas. Los resultados posibles z los valores y de la Variable Aleatoria Z (Nº de bolas rojas) es: z
RR Æ
2
RB Æ
1
BR Æ
1
BB Æ
0
Z = { 2, 1 , 1, 0 }
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22
o Se conduce una investigación para medir las distancias que recorre un vehículo con 5 litros de gasolina (W). 3.2
Función de Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta. • La Función ƒ(x) es una función de probabilidad de la Variable Aleatoria X si, para cada x resultado posible: o ƒ(x) ≥ 0 o ∑ ƒ(x) = 1 o P(X = x) = ƒ(x)
•
Ejemplo: o Encuentre la distribución de Probabilidad de la suma de los números cuando se lanzan 2 dados.
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ƒ(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
3.3
2 dados pueden caer en 6x6 = 36 formas.
ƒ(x) =
x −1 36
x≤7
13 − x 36
x>7
Distribución Acumulativa de una Variable Aleatoria Discreta
•
F(x) = P(X≤x) =
•
Ejemplo:
∑ f (t ) t≤x
o F(2) = ƒ(2) = 1/36 o F(3) = ƒ(2) + ƒ(3) = 3/36 o F(4) = ƒ(2) + ƒ(3) + ƒ(4) = 3/36 o … o F(12) = ƒ(2) + ƒ(3) + ƒ(4) + … + ƒ(12) = 36/36
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•
23
Histograma de Probabilidad
0,2 0,15 0,1 0,05 0 2 •
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9
10
11
12
Histograma de Distribución Acumulada Discreta
1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
3.4
2
3
4
5
6
7
8
Función o Distribución de Probabilidad de una Variable. • La función ƒ(x) es una función de Probabilidad de la Variable Aleatoria Continua X (Función de Densidad), definida en R, si: o ƒ(x) ≥ 0; ∀x ∈ R ∞
o
∫ f ( x)dx = 1
−∞
b
o P(a