C u r s o : Matemática 3º Medio Material Nº MT - 25 UNIDAD: GEOMETRÍA PROBABILIDADES II COMBINATORIA FACTORIALES La expresión n! se lee, factorial de n o n factorial. Definición:

Sea n un número natural. n! = n · (n – 1) · (n – 2) · ........... · 3 · 2 · 1 ó bien n! = 1 · 2 · 3 · .............. · (n – 2) · (n – 1) · n

Las siguientes identidades expresan el significado de factorial n: 1! = 1,

2! = 1 · 2 = 2,

Nota1

3! = 1 · 2 · 3 = 6,

0! = 1 (por convención) • (-5)! ∃ (no existe)

Nota2 •

•

3 ! ∃ 5

2! ∃

• 0,3! ∃

PROPIEDADES 1)

n! = n(n – 1)!

3)

2)

x! = n! ⇒ x = n

4)

EJEMPLOS

1.

Si A) B) C) D) E)

2.

(n + 3)! = 156, entonces n = (n + 1)!

5 10 20 30 40

¿Cuál es el valor de A) B) C)

11 9 2

D)

11 10 11 9

E)

10! + 9! ? 10! − 9!

n! = (n – 1)! n n! =n (n − 1)!

4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

Variaciones o arreglos simples: Son los diferentes grupos o conjuntos que se pueden formar con n elementos de modo que cada grupo tenga r elementos. La variación de n elementos tomados de r en r está dado por la fórmula: Vnr =

Regla práctica:

n! (n − r)!

Vnr = n · (n – 1) · (n – 2) · .......

r factores Permutaciones simples: Son los grupos o conjuntos que se pueden formar con n elementos, de modo que cada uno tenga n elementos. El número de permutaciones de n elementos está dado por P(n) = n! Permutaciones circulares: El número de maneras en que se pueden colocar n elementos diferentes a lo largo de una circunferencia está dado por la fórmula: Pcircul = (n – 1)! OBSERVACIÓN:

Tanto en permutaciones como en variaciones interesa el orden de los elementos.

EJEMPLOS

1.

¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila? A) B) C) D) E)

2.

4 16 24 64 216

7

¿Cuál es el valor de V 5 ?

A) B) C) D) E)

5.040 2.520 1.760 35 Ninguna de las anteriores

2

Combinaciones:

Son los diferentes grupos que se pueden formar con n elementos de modo que cada grupo tenga r elementos, no interesando el orden de estos. El número de combinaciones de n elementos tomados de r en r está dado por la fórmula Cnr =

n! (n − r)! ⋅ r!

r factores

Regla práctica:

Cnr =

n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ⋅ .......... 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ .......... ⋅ r

EJEMPLOS

1.

¿Cuál es el valor de C79 ?

A) B) C) D) E)

2.

¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo saluda una vez a cada una de las otras? A) B) C) D) E)

3.

16 36 63 72 Ninguna de las anteriores

11 12 24 66 144

Si en una caja hay 8 corbatas, ¿de cuántas formas se pueden escoger 5 corbatas? A) B) C) D) E)

13 40 56 168 336

3

EJERCICIOS

1.

Usando las letras de la palabra CORTINA y llamando a cada permutación “palabra”, ¿cuántas palabras distintas se pueden formar? A) B) C) D) E)

2.

Si se usan las letras de la palabra MOLDURA y llamando a cada variación “palabra” ¿cuántas palabras distintas de 3 letras se pueden formar? A) B) C) D) E)

3.

21 128 210 343 5.040

¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse 5 personas alrededor de una mesa circular? A) B) C) D) E)

4.

49 128 1.260 2.520 5.040

5 10 15 24 25

¿De cuántas maneras se pueden ordenar 4 niños en una fila? A) B) C) D) E)

4 8 12 16 24

4

5.

En un curso se forma un comité formado por 7 alumnos. ¿De cuántas maneras se pueden llenar los puestos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero en dicho comité? A) B) C) D) E)

6.

¿De cuántas maneras se pueden colocar 5 cartas en 2 buzones? A) B) C) D) E)

7.

28 840 1.680 5.040 8.820

32 20 10 5 2

Si se forman palabras de 5 letras (sin importar que carezcan de significado), con las letras de la palabra PROTEGIDA, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

8.

120 palabras sólo contienen consonantes. 720 palabras comienzan con dos vocales consecutivas. 210 palabras comienzan con R y terminan en E.

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

En una canasta hay una docena de manzanas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger 3 manzanas? A) B) C) D) E)

36 110 220 440 20.736

5

9.

Si el número de combinaciones de n objetos tomados de dos en dos es igual a 36, ¿cuál es el valor de n? A) B) C) D) E)

10.

Se tienen que repartir 2 premios entre 10 alumnos. Si ambos premios no pueden ser concedidos a un mismo alumno, ¿de cuántas maneras se pueden repartir? A) B) C) D) E)

11.

20 30 45 90 180

En una pared se deben colocar 7 cuadros de distinto tamaño en línea, de modo que el más grande debe ubicarse en el centro. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? A) B) C) D) E)

12.

3 6 9 12 18

360 720 1.440 2.520 5.040

Siete libros (todos con tapas de distintos colores) se deben ubicar uno al lado del otro en un estante. Si el libro de tapa roja se debe colocar en uno de los extremos, y el libro de tapa verde en el otro extremo, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar los libros? A) B) C) D) E)

35 120 240 720 1.440

6

13.

González pertenece a un curso que tiene 15 alumnos. Si se debe escoger 3 representantes de este curso, pero uno de los elegidos debe ser González, ¿de cuántas maneras se pueden escoger los 3 representantes? A) B) C) D) E)

14.

91 182 210 364 2.730

De una baraja inglesa (52 cartas), se sacan 3 cartas. ¿Cuál es la probabilidad que todas ellas sean tréboles sabiendo que hay sólo 13 tréboles? 13

A)

C3

52

C3

B)

3 52

C3

13

C)

3 ⋅ C1 52

C3 13

D)

C1

13

⋅ C1

13

⋅ C1

52

C3 13

E)

C1

13

+ C1

13

+ C1

52

C3

15.

Para cubrir 2 plazas de profesor acuden 13 profesionales, 6 hombres y 7 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que en la elección se escoja, al menos, una mujer? 6

A)

C2 13

C2

7

B)

C2 13

C2

13

C)

C2

7

C2 7

D)

1–

C2 13

C2

6

E)

1–

C2 13

C2

7

RESPUESTAS

Ejemplo

CLAVES PÁG. 4

1

2

1

A

E

1.

E

6.

A

11. B

2

C

B

2.

C

7.

E

12. C

3

B

D

3.

D

8.

C

13. A

4.

E

9.

C

14. A

5.

B

10. D

15. E

Pág.

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DOMT-25

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