Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Estadística Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés.

Estudiantes: FAREM-Carazo

UNIDAD II Probabilidades “Aprendizaje Por Problemas"

Año académico:

II Semestre 2010

Clases Practicas

La duración de las clases prácticas será de 90 mínutos ininterrumpidas. Durante este tiempo se irán realizando las prácticas, las tareas y el Trabajo de curso.

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Teoría de Probabilidades

En esta Unidad vamos a: Recordar qué entendemos por probabilidad. Estudiar algunas reglas de cálculo. Ver cómo aparecen las probabilidades en Turismo  Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en Turismo

Teoría de Probabilidades Temas 2.1 Introducción 2.2 Conceptos básicos de probabilidad: experimento aleatorio espacio muestral, eventos, tipos de eventos. 2.3 Tipos de probabilidad clásica, empírica y subjetiva. 2.4 Probabilidad simple o marginal. 2.5 Probabilidad condicional. 2.6 Regla de la multiplicación. 2.7 Teorema de Bayes.

Teoría de Probabilidades

Introducción

¡Para Analizar! ¿Cómo atrevernos a hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley? Bertrand Rusell La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto mas rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente. El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67 % restante ha sido causado por alguien que no había bebido. A la vista de esto y de lo anterior, esta claro que la forma más segura de conducir es ir borracho y a gran velocidad.

Teoría de Probabilidades

Introducción La Probabilidad es una disciplina matemática cuyos propósitos son de la misma clase que, por ejemplo, los de la Geometría o Mecánica. En cada campo debemos distinguir tres aspectos de la teoría: a) el contenido lógico-formal, b) el antecedente intuitivo, c) las aplicaciones. El carácter y el encanto de toda la estructura no pueden ser apreciados sin considerar los tres aspectos adecuadamente relacionados. según William Feller en su libro Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus aplicaciones.

Teoría de Probabilidades

Experimento aleatorio Entenderemos por experimento aleatorio cualquier (EVENTO) situación que, realizada en las mismas condiciones, proporcione un resultado imposible de predecir a priori ( de antemano). Por ejemplo:

* Lanzar un dado. (posibles valores 1,2,3,4,5,6) * Extraer una carta de una baraja. (52 posibles valores diferentes)

* Se lanza una moneda. Si sale cara se extrae de una urna U1, con una determinada composición de bolas de colores, una bola y si sale cruz de extrae de una urna U2, con otra determinada composición de bolas de colores, una bola.

Teoría de Probabilidades

Sucesos o eventos Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E). Los espacios muestrales pueden ser finitos o infintos, discretos o continuos. Experimento aleatorio: lanzar un dado.

Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. Distinguiremos entre sucesos simples (o indivisibles) y compuestos (o divisibles). Por ejemplo: el suceso A = {"que el resultado sea par”}: A = {2, 4, 6} es un suceso compuesto. Se llama suceso complementario de un suceso A, Ac al formado por los elementos que no están en A. Ac será: “que el resultado sea impar”, Ac = {1, 3, 5}.

Teoría de Probabilidades

Suceso: Se llama suceso o evento a un subconjunto de del espacio muestral.. Distinguiremos entre sucesos simples (o indivisibles) y compuestos (o divisibles).

 Suceso Simple: Cualquier resultado básico de un experimento. Un evento simple no se puede descomponer en resultados más simples. Por ejemplo el suceso A = {"que al lanzar el dado caiga uno”}: entonces A= {1}  Suceso compuesto: Se puede descomponer en otros eventos simples. Por ejemplo: el suceso A = {"que el resultado sea par”}: A = {2, 4, 6} es un suceso compuesto. Suceso complementario: Se llama suceso complementario de un suceso A, Ac al formado por los elementos que no están en A. Ac será: “que el resultado sea impar”, Ac = {1, 3, 5}.

Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda. Si sale cara, se extrae de una urna que contiene bolas azules y rojas una bola, y si sale cruz, se extrae una bola de otra urna que contiene bolas rojas y verdes. ¿Cuál es el espacio muestral E de dicho experimento aleatorio? E = {(C,R), (C,A), (+,R), (+,V)}

TIPOS DE EVENTOS  Evento imposible: Es un evento determinístico, por que tenemos certeza que no ocurrira, por tanto coincide con el conjunto vacío. Operaciones  Evento Cierto: Es también un evento determinístico, por que tenemos certeza que ocurrirá, y coincide con el conjunto del espacio muestral.  Evento probabilístico: Es un evento no determinístico, ya bajo ciertas condiciones puede ocurrir o puedo no ocurrir.

 Probabilidad Clásica: Según Laplace,define la probabilidad de un suceso A como el cociente P ( A) 

Número de casos favorables Número de casos posibles

siempre que nada obligue a creer que alguno de estos casos debe tener lugar de preferencia a los demás, lo que hace que todos sean igualmente posibles. Ejemplo: La probabilidad de obtener un 6 el lanzamiento de un dado. Caras del dado X P(X)

1

2

3

4

5

6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

El inconveniente de esta definición radica precisamente en hay eventos que no necesariimente son igualmente posibles.

 Probabilidad empírica o Frecuentista (objetiva): Probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa (%) de veces que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces en idénticas condiciones. Lanzar una moneda 100 veces

Frecuencia Porcentaje

Cara

Cruz

49

51

0.49

0.51

 Probabilidad subjetiva(bayesiana): Es el grado de certeza que se posee sobre un suceso. Está basado en la experiencia personal.

Lo Actual La diferencia básica en el papel de la Probabilidad matemática en 1946 y en 1988 es que hoy en día es aceptada como Matemática, mientras que en 1946, para la mayoría de los matemáticos, la Probabilidad era a las Matemáticas como el mercado negro es al mercado: esto es, la Probabilidad era una fuente de matemáticas interesantes, pero el análisis del contexto de fondo era algo poco recomendable. J. L. Doob, A Century of Mathematics in America, Part II (Peter Duren, ed.)

TEOREMA DE PROBABILIDAD Si un espacio muestral E esta asociado con un experimento aleatorio. A cada elemento A definido en E (A ⊂ E), se le asigna un número P(A), denominado probabilidad de A, de tal manera que se cumplen los axiomas siguientes:

I. Axioma 1: P(A)≥0 II. Axioma 2: p(E)= 1 III. Axioma 3: Si A1, A2 , A3 … forman una sucesión de eventos de E que se excluyen mutuamente, por parejas, entonces P( A1  A2  A3  ...UAn )   P( Ai )

EJEMPLO DE OPERACIONES CON SUCESOS Dado el expermento del lanzamiento de un dado y sean los sucesos A={Un número impar }, B={Un número mayor que 4 } Solución A= {1,3,5} y B= {5,6} E= {1,2,3,4,5,6} 1. Ac ={2, 4, 6} 2. Bc ={1, 2, 3, 4} 3. A  B ={1, 3, 5, 6} 4. A  B = {5} 5. (A  B)c ={2, 4} 6. (A  B)c = {1, 2, 3, 4, 6} 6. A-B = {1,3} 7. B - A = {6} Ver los diagramas de Venn

 Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). A  B ={1, 3, 5, 6}

A

B

Unión A  B

E

 Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los elementos que están en A y B. A B A  B = {5} Intersección A  B E

Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso A, Ac al formado por los elementos que no están en A A

Ac ={2, 4, 6}

Ac

Ac complemento

E

 El complemento de la Unión de dos eventos. . (A  B)c ={2, 4} A

E

B

(A  B)c

El complemento de la intersección de dos sucesos.

(A  B)c = {1, 2, 3, 4, 6} A

B

E

 La Diferencia de dos sucesos A y B: Son los elementos de A que no están en B. (A-B). Pero la diferencia B-A son los elementos de B que no estan en A. A

E

B

A

A-B= {1,3} E

B

B-A={6}

 La probabilidad de pertenecer al menos a dos eventos E

P[(A∩B ∩Cc ) ∪ (A ∩Bc∩C) ∪ (Ac∩B ∩C) ∪(A∩B ∩C)] La probabilidad de pertencer examente a un evento P[(A∩(B ∪ C)c ) ∪ (B ∩ (A ∪ C) c )∪ (Cc∩(A ∪ B ))]

 Definición de Eventos disjuntos o excluyentes: Dos eventos son disjuntos o mutuamente excluyentes si A y B no tienen elementos en común. A y B son disjuntos si A ∩ B = Ø A

P(AuB)=P(A+B)=P(A)+P(B) P(A∩B)=0

B E

Eventos compatibles: Dos eventos son compatibles si tienen elementos comunes e incompatibles en caso contrario. A

B

 EVENTOS IGUALES: Dos eventos A y B son iguales Si solo Si ocurre entoces ocurre también B. y Si y solo si ocurre B entonces ocurre A. A = {2, 3, 6} B = {2, 3, 6} Se ecribe A=B

EVENTOS EQUIPROBABLES: Son eventos de un mismo espacio mestral que tienen la misma probabilidad de ocurrencia. La probabilidad asociada a cada evento es P(Ai)=1/n , para cada uno de los enesimos eventos. Ejemplo: Elegir una pelota blanca de una urna que tiene igual números de pelotas blancas, rojas, verdes, celeste, amarillas, etc. En total hay 10 colores diferentes en 100 pelotas, habiendo 10 de cada color.

Diagramas de Árbol

R

e1 e2

a1

Un Diagrama de Árbol es una serie de líneas que parten de un punto en común llamado Raíz, esas 1 líneas a su vez se ramifican según las opciones que se presenten en cada Problema.

a2

a3

b b2 b3 b4 b5 b6

Ejemplo: Carla se ganó un viaje para dos personas, al entregárselo le presentaron las siguientes opciones: Lugar: Panamá o Cancún Transporte: Autobús o Avión Acompañante: Papá, mamá o hermano ¿De cuántas maneras distintas puede Carla efectuar el viaje? Representemos la solución con un diagrama de árbol

Diagrama de Árbol

a

Autobús

Panamá Avión

Autobús

Cancún Avión

Papá Mamá Hermano Papá Mamá Hermano Papá Mamá Hermano

Papá Mamá Hermano

{(Panamá,Autobus,Papá),…,(Cancún, Avión, Hermano)} Contamos ahora, todas las opciones de la última columna solamente y tendremos el total de formas posibles en las que Laura puede efectuar su viaje. 12 opciones distintas Esto corresponde a: Por lo tanto, diferentes.

Carla

puede

viajar

de

12

maneras

Definiciones de Técnicas de Conteo Regla de multiplicación: Si una operación puede realizarse de n1 formas y si por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse a cabo en de n2 formas entonces las dos operaciones pueden realizarse juntas en n1 x n2 formas. Ejemplo: Si un experimiento consiste en lanzar un dado y después seleccionar una letra vocal al azar. Cuantos puntos habrá en el espacio muestral. n1 =6 ( hay 6 resultados diferentes al lanzar un dado) n2 =5 (hay 5 resultados diferentes de elegir una vocal) n1x n2 =6x5= 30 puntos muestrales.

Espacio Muestral

En forma gráfica de árbol Puede verse que hay 30 posibles parejas: E= {(1,A),(1,E),(1,I),(1,O),(1,U), (2,A),(2,E),(2,I),(2,O),(2,U), (3,A),(3,E),(3,I),(3,O),(3,U), (4,A),(4,E),(4,I),(4,O),(4,U), (5,A),(5,E),(5,I),(5,O),(5,U), (6,A),(6,E),(6,I),(6,O),(6,U)}

Definiciones de Técnicas de Conteo

 Regla de la mutiplicación generalizada: Si una operación puede realizarse de n1 formas y si por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse a cabo en de n2 formas y para cada una de las dos primeras se puede efectuar una tercera en n3 formas, y así sucesivamente, entonces la secuencia de k operaciones puede acerse en n1 x n2 x n3 x…x nk formas. Ejemplo: Un estudiante de segundo año de Ingenería debe tomar un curso de física, uno de computación y otro de matemáticas. Se puede escoger entre cualquiera de 6 cursos de física, 4 de computación y 5 de matemáticas. De cuantas formas puede acomodar su horario? f1,f2,f3,f4,f5,f5 (grupos de física), C1,C2,C3,C4 (grupos de computación) y M1,M2,M3,M4,M5 (grupos de Matemáticas)

Solución: n1 =6; n2 =4; n3 =5 n1 x n2 x n3= 6 x 4 x 5 = 120 formas diferentes. Física Matemáticas

Computación

Computación

Matemáticas

Definiciones de Técnicas de Conteo Permutaciones: El arreglo ordenado de r objetos o elementos distintos es llamado permutación. El número de maneras en que se puede ordenar n objetos distintos tomados r a la vez se denota por el símbolo: n!=1x2x3x…xn n! n n Pr  Pr  (n  r )! 0!=1

4!=1x2x3x4=24

Ejemplo: Si para una caja fuerte se requiere de la selección correcta de un conjunto de cuatro dígitos en sucesión, los dígitos se fijan girando el tambor alternativamente en el sentido de las manecillas del reloj y en el sentido opusto. Supóngase que no se utiliza un mismo número dos veces. Encuentre el número total de las posibles combnaciones.

Definiciones de Técnicas de Conteo

Solución: n=10 (los números dígitos 0,1,2,…,9) de los cuales se tomará un conjunto de 4 del total de 10. 10 P 4  P410 

10! 10! 10 x9 x8 x7 x6!    10 x9 x8 x7  5,040 (10  4)! 6! 6!

Se podrán obtener 5,040 combinaciones distintas de conjuntos de números de 4 dígitos. Definición: El número de n objetos ordenados en un círculo es (n-1)!. Ejemplo: En un lbrero hay cinco libros(Estadística, Matemática, Turismo, Inglés y Computación) se desea ordenar de manera diferente, permaneciendo fijo el libro de Matématica.

Definiciones de Técnicas de Conteo Solución: n=5 P  (n  1)! P(5  1)! 4! 4 x3x 2 x1  24 Definición de Combinación:El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es el número de subconjunto, cada uno de tamaño r, que se pueden formar a partir de los n objetos. Este número se denotará por. C( n , r )  n C r  C

n r

n n!   !  r  r!( n  r )!  

Ejemplo: En una Urna que tiene 30 bolas de colores, de las cuales 15 son rojas, 10 son blancas y 5 son verdes. De cuantas maneras diferentes se puden elegir 3 pelotas(una de cada color) sacadas sin remplazo, retirándolas de una en una.

Solución:

Definiciones de Técnicas de Conteo

15! 10! 5! 15C110C15C1  x x  15 X 10 X 5  750 1!14! 1!9! 1!4! Hay 750 maneras diferentes de seleccionar tres pelotas siendo todas de colores diferentes.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Al controlar la calidad de un producto para turistas, se eligen al azar tres envases de una caja que contiene 100. Por termino medio, sabemos que en cada caja hay diez cuya calidad es deficiente. Hallar la probabilidad de que entre los tres no haya ninguno, uno, dos o tres deficientes.

Solución: (B)=bueno (D)=defectuoso 1.a) P(niguno defectuoso)=P(BBB)=

90 89 88 178 x x   0.726 100 99 98 245

1.b) P(uno defectuoso)=P(BBD,BDB,DBB)=

3x

90 89 10 2403 x x   0.24768 100 99 98 9702

1.c) P(dos defectuoso)=P(BDD,DBD,DDB)=

3x

90 10 9 243 x x   0.0250 100 99 98 9702

1.d) P(tres defectuoso)=P(DDD)=10 x 9 x 8

100 99 98



8  0.00074 10780

PROBLEMAS RESUELTOS 2. Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Hallar la probabilidad de que: a)

si se escogen 2 personas al azar (i) sean esposos (ii) uno sea hombre y otro mujer.

b)

si se escogen 4 personas al azar (i) se escojan dos parejas de casados (ii) ninguna pareja sean casados en tre los 4 (iii) haya exactamente una pareja de casados

c) si las 12 personas se reparten en seis parejas (i) cada pareja sean casados (ii) cada pareja la forme un hombre y una mujer

PROBLEMAS RESUELTOS Solución: a) Casos posibles:

C 2  66

12

i) Hay 6 parejas de casados:

maneras de escoger 2 personas de las 12

6 1 P  66 11

II) Hay 6 maneras de escoger a un hombre y 6 maneras de escoger a una mujer:

P

6 6 6  66 11

PROBLEMAS RESUELTOS Solución:

C 4  495

b) Casos posibles: 12

maneras de escoger 4 personas de las 12

C 2  15 maneras de escoger 2 parejas de las 6

i) Hay 6

15 1 P  495 33

ii) Las 4 personas vienen de 4 parejas diferentes, hay 6C 4  15 maneras de escoger 4 parejas de las 6 y ahí 2 maneras de escoger a la persona de cada pareja

2  2  2  2 15 16 P  495 33 iii) Este evento es complementario de los otros dos, por tanto:

1 16 16 P  1   33 33 33

PROBLEMAS RESUELTOS Solución: 12! 12!  6 maneras de repartir 12 personas en 6 células ordenadas 2!2!2!2!2!2! 2

c) Casos posibles:

con 2 personas cada una.

i) Las 6 pareja pueden ser colocadas en 6 células ordenadas de 6! maneras:

6! 1 P  6 12! 2 10395 ii) Cada uno de los 6 hombres se pueden colocar en 6 células de 6! maneras y cada una de las 6 mujeres lo mismo: 6!6! 16

P

12! 2

6



231

Regla del Producto de Probabilidades: Si la probabilidad de que ocurra un evento A es P(A) y la probabilidad de que ocurra un evento B es P(B), entonces la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:

P(A y B) = P(A) x P(B) Siempre y cuando los eventos A y B sean independientes. ¿Qué significa la condición de que los eventos A y B sean independientes? Que la ocurrencia de cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Cuando A y B no son independientes: P(A y B) P(A) x P(B)

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire, caiga número y escudo? 1 P(número)  2

Y la probabilidad de que caiga águila es: P(escudo)  1

2

Entonces la probabilidad de que salga un número y escudo será: P (número y escudo) = 1 x 1 = 1 2 2 4

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sean A y B dos eventos y P(B) > 0. La probabilidad condicional de A con respecto a B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurre B:

En forma similar:

Ejemplo : En una aula de clase el 60% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%. Hombres y mujeres forman un sistema. Exhaustivo y Exclusivo de sucesos esto la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. 0.1

• ¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F) P(M∩F) = P(M)P(F|M) P(H∩F) = P(H)P(F|H) = P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)

0.6

Mujer

Fuma

0.9

No fuma

Estudiante

=0.6 x 0.1 + 0.4 x 0.2 = 0.06 + 0.08 = 0.14 =14%

0.2

0.4

Fuma

Hombre

•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

0.8 No fuma

•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas. Tema 4: Probabilidad

43

Intuir la probabilidad condicionada A

A

B

B

P(A) = 0.25 P(B) = 0.10 P(A∩B) = 0.10

P( A | B) 

P( A  B) P( B)

P(A) = 0.25 P(B) = 0.10 P(A∩B) = 0.08

¿Probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B?

P(A|B)=0.8

P(A|B)=1 Tema 4: Probabilidad

44

Intuir la probabilidad condicionada A

A

B B

P(A) = 0.25 P(A) = 0.25 P( A  B) P( A | B)  P(B) = 0.10 P(B) = 0.10 P( B) P(A∩B) = 0.005 P(A∩B) = 0 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B)=0

P(A|B)=0.05 Tema 4: Probabilidad

45

Propiedades 1.

P(Ac) = 1 - P( A )

2.

P( Ø ) = 0

3.

Si A

B

P( B ) = P( A ) + P(B-A)

4.

Si A

B

P( A ) ≤ P( B )

5.

Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces: P( A1 U A2 U .. U Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )

6.

P(A U B ) = P( A ) + P( B ) - P(A ∩ B)

7.

Si el espacio muestral E es finito y un conjunto de sucesos es A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces:

P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos Son una colección de sucesos

A1

A2

A1 , A2 , A3 , A4 … Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. ¿Recuerde cómo formar intervalos en tablas de frecuencias? A

A3

1

A4 Evento seguro

A2 A3 A4

Divide y vencerás Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. A2

A1

B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 ) B

A3

B

A1

A4

Suceso seguro

Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples..

A2

B

A3

B

A4

B

Teorema de la probabilidad total A2

A1

P(B|A1)

B P(A1)

A3

A4

Suceso seguro

P(A2)

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 ) =P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ … + P(A4) P(B|A4)

P(B|A2) A2

P(A3) P(A4)

B

A1

B

P(B|A3) A3 A4

B P(B|A4)

B

Teorema de Bayes A2

A1

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai. B

A3

A4

P(B Ai) P(Ai | B)  P(B)

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …