INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS

ALGUNOS ASPECTOS DE LA TEORÍA DE FUNCIONES a-HIPERHOLOMORFAS

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QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS P

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A:

MARCO ANTONIO PÉREZ DE LA ROSA

DIRECTORES DE TESIS: DRA. MARÍA ELENA LUNA ELIZARRARÁS DR. MYKHAYLO SHAPIRO FISHMAN

México, D.F. octubre de 2010

I RESUMEN En la primera parte de este trabajo es presentado un tratamiento detallado de la teor´ıa de funciones de valores cuaterni´onicos de dos variables reales cuya relaci´on con la ecuaci´on de Helmholtz 2-dimensional es similar a la que tienen las funciones holomorfas usuales de una variable con la ecuaci´on de Laplace. Correlaciones precisas entre estas dos clases de funciones son establecidas, as´ı como el an´alogo del kernel de Cauchy es obtenido para las funciones cuaterni´onicas bajo consideraci´on. Algunas peculiaridades del caso 2-dimensional (en comparaci´on con el caso 3-dimensional) son discutidas. Tambi´en son establecidos an´alogos para las f´ormulas integrales b´asicas del an´alisis complejo: de Borel-Pompeiu, de Cauchy, etc. Posteriormente, son estudiadas las propiedades de valores de frontera de las funciones α-hiperholomorfas donde se muestra que para un α ∈ H(C) arbitrario existe una generalizaci´on de a las f´ormulas de Plemelj-Sokhotski. Esto nos permite demostrar la involutividad del operador de integraci´on singular as´ı como obtener las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una extensi´on α-holomorfa de una funci´on dada sobre una curva. En la segunda parte logramos nuestro prop´osito: obtener algunas generalizaciones de las f´ormulas de Hilbert y del operador de Hilbert usuales para la teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas 2-dimensional. El operador de Hilbert obtenido relaciona una pareja de componentes de la funci´on l´ımite de una funci´on αhiperholomorfa en el disco unitario con la otra pareja de componentes, en una analog´ıa con lo que el operador de Hilbert usual hace para la funci´on l´ımite de una funci´on holomorfa en el disco unitario.

III

ABSTRACT In the first part of this work is presented a detailed treatment of the theory of quaternion-valued functions of two real variables which is in the same relation to the 2-dimensional Helmholtz equation as usual holomorphic functions of one variable are to the Laplace equation. Precise correlations between these two classes of functions are established, as well as the analog of the Cauchy kernel is obtained for the quaternionic functions under consideration. Some peculiarities of the 2-dimensional case (in comparison with the 3-dimensional one) are discussed. Also are established analogues of the basic integral formulas of the complex analysis: Borel-Pompeiu’s, Cauchy’s, etc. Later, boundary properties of α-hyperholomorphic functions are estudied where is shown that for an arbitrary α ∈ H(C) there exists a generalization of Plemelj-Sokhotski’s formulas. This allows us to probe the involutiveness of the singular integration operator as well as to obtain the sufficient and necessary conditions for the existence of an αholomorphic extension of a given function on a curve. In the second part we reach our purpose: obtain some generalizations of the usual Hilbert formulas and Hilbert operator, for 2-dimensional α-hyperholomorphic function theory. The Hilbert operator obtained relates a pair of components of the limit function of a α-hyperholomorphic function in te unit circle with the other pair of components, in an analogy with what the usual Hilbert operator does for the limit function of a function holomorphic in the unit circle.

V

OBJETIVO En el presente trabajo se ha pretendido obtener algunas generalizaciones de las f´ormulas de Hilbert y del operador de Hilbert usuales para la teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas 2-dimensional. Esto se ha realizado primeramente estudiando algunos hechos acerca de la teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en 2-dimensiones como ha sido presentado en [ShaTo1]. Posteriormente se describe lo que sucede en la teor´ıa de funciones de una variable compleja, se define el operador de Hilbert usual y se obtienen las f´ormulas de Hilbert para este caso. As´ı, finalmente se aborda la parte original de este trabajo donde se desarrollan las ideas primero para la situaci´on α0 -hiperholomorfa con α0 ∈ C y luego para la situaci´on α-hiperholomorfa con α ∈ H(C) arbitrario, las f´ormulas de Hilbert obtenidas para tales α son completamente nuevas.

´Indice general 1. Introducci´ on

3

2. Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 . 2.1. Algunas notaciones b´asicas y definiciones. . . . . . . . . . . . . . 2.2. Operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico complejo y noci´on de (ψ,α)-hiperholomorf´ıa. . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Descomposici´on del conjunto nulo del operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico complejo. . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Soluci´on fundamental del operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico complejo y kernel de Cauchy. . . . . . . . . . . 2.5. F´ormulas integrales para funciones α-hiperholomorfas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Propiedades de valores de frontera de funciones α-hiperholomorfas.

7 7

3. El operador de Hilbert y las f´ ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria. 3.1. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones holomorfas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Caso α = α0 ∈ C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Caso α ∈ / S, α ~ 2 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Caso α ∈ / S, α ~ 2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Caso α ∈ S, α0 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Caso α ∈ S, α0 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 16 20 26 38

43 43 48 48 58 60 64 67

4. Conclusiones

71

A. Ap´ endice A A.1. Algunas propiedades de los cuaternios reales. . . . . . . . . . . . .

73 73

´INDICE GENERAL

2 A.1.1. A.1.2. A.1.3. A.1.4.

Cuaternios reales. . . . . . . . . . . . . . . Algunas propiedades de las esferas en R3 y Cuaternios y rotaciones en R3 y R4 . . . . . Representaciones de los cuaternios reales. .

. . R4 . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

73 77 80 81

B. Ap´ endice B 83 3 B.1. Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R . . . . . . . . . . . . . 83 B.1.1. Operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico complejo y noci´on de (ψ,α)-hiperholomorf´ıa en R3 . . . . . 83 B.1.2. Soluci´on fundamental del operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico complejo y kernel de Cauchy en R3 . 86 Bibliograf´ıa

91

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on Por motivos t´ecnicos a lo largo de la tesis se utilizar´an los t´erminos a-hiperholomorfo y α-hiperholomorfo indistintamente. Es bien conocido que la teor´ıa de funciones holomorfas de una variable compleja est´a estrechamente relacionada con la teor´ıa de funciones arm´onicas, es decir, de las soluciones de la ecuaci´on de Laplace (en dos dimensiones). As´ı que cualquier progreso en cada una de estas teor´ıas resulta en progreso en la otra. No existe tal conexi´on para el an´alisis complejo n-dimensional (n > 1), y esta es una de las posibles explicaciones para las diferencias parad´ojicas que existen entre los casos n = 1 y n > 1. Estas paradojas desaparecen si consideramos el an´alisis de Clifford y en particular el an´alisis cuaterni´onico, que nos permite conectar el an´alogo exacto estructural del an´alisis complejo de una dimensi´on con la teor´ıa de funciones arm´onicas de un n´ umero arbitrario de variables. Pero lado a lado con el operador de Laplace se encuentra el operador de Helmholtz ∆λ := ∆ + λ, λ ∈ C (1.1) que juega un papel importante y es encontrado cont´ınuamente en aplicaciones, por ejemplo en campos electro-magn´eticos monocrom´aticos y problemas espaciales de electrodin´amica, f´ısica de part´ıculas, mec´anica cu´antica y teor´ıa de elasticidad (v´ease [KravSha], [KravSha1]). Este puede ser considerado como la generalizaci´on m´as simple y suficientemente natural del operador de Laplace. Esto es por lo que parece bastante natural desear conectar una generalizaci´on correspondiente del an´alisis de Clifford (y, en particular, del cuaterni´onico) con la teor´ıa de funciones metarm´onicas (es decir, funciones del kernel del operador de Helmholtz). Pero existen algunos trabajos realizando este deseo. Una teor´ıa de funciones cuaterni´onicas asociada con el operador (1.1) para λ ∈ R+ := (0, +∞)

4

Introducci´on

ha sido desarrollada en [GurSpr]. En los art´ıculos [HuaLie], [HuaLie1] una teor´ıa an´aloga ha sido desarrollada para λ ∈ R− := (−∞, 0). Aunque ambas teor´ıas (λ ∈ R+ y λ ∈ R− ) fueron desarrolladas en formas similares, eran formalmente diferentes y no ten´ıan intersecciones. Un deseo de unirlas y de incluir un caso importante (λ ∈ C) para las aplicaciones llev´o a darse cuenta de la necesidad de considerar una situaci´on cuando λ es un cuaternio complejo en (1.1). En [ShaTo1] se comenz´o a construir una teor´ıa de funciones con valores cuaterni´onicos (llamada hiperholomorfa) de dos variables reales, esto se hizo b´asicamente siguiendo las ideas de una serie de trabajos de V. V. Kravchenko y M. V. Shapiro ([KravSha], [KravSha1], [KravSha2], [KravSha3]) en la cual ha sido constru´ıda una teor´ıa correspondiente para funciones de tres variables reales. Existen al menos dos razones para desarrollar la teor´ıa para dos variables. Primero, los fen´omenos descritos por tales funciones hiperholomorfas son de suficiente inter´es para la situaci´on del plano que requiere f´ormulas exactas, teoremas y definiciones. En segundo lugar, aunque la l´ınea general de estudio para la situaci´on 2dimensional es bastante clara, el tratamiento riguroso de ella contiene suficientes obst´aculos para justificar tal trabajo. De hecho, la falta de una buena estructura multiplicativa (como la de los n´ umeros complejos) separa el caso 3-dimensional del 2-dimensional haciendo a este u ´ltimo interesante en s´ı mismo. Es importante mencionar que hasta ahora han sido publicados muchos art´ıculos dedicados al operador de Helmholtz 2-dimensional, por lo cual puede esperarse que la teor´ıa encuentre sus propias aplicaciones y uso (algunos trabajos sobre la ecuaci´on de Helmholtz 2-dimensional son [BraDet], [ChuWol], [GonWol], [ProSar]). Se ha elegido hacer el presente trabajo autocontenido, es decir, dar todas las demostraciones directamente, sin referirse al caso 3-dimensional. En mi opini´on, a pesar de que esto ser´ıa posible en la mayor´ıa de los casos no es conveniente ni m´as f´acil extraer de la teor´ıa 3-dimensional lo que necesitamos para la situaci´on 2-dimensional. Tambi´en se ha tomado en cuenta que la teor´ıa 3-dimensional no es tan bien conocida. El presente trabajo est´a organizado como sigue. En el Cap´ıtulo 2 se muestran algunos hechos b´asicos acerca de los cuaternios son descritos. Un breve resumen cuenta de lo que ha sido hecho en [ShaTo1] se presenta en las Secciones 2.2, 2.3 y 2.4. En la Secci´on 2.2 damos la definici´on de funci´on hiperholomorfa de dos variables reales, que necesariamente satisface la ecuaci´on de Helmholtz. En particular, cuando esta ecuaci´on se degenera en la ecuaci´on de Laplace, la noci´on de funci´on hiperholomorfa se reduce a la noci´on com´ un de funci´on holomorfa compleja. En la Secci´on 2.3 surge un punto fino: una soluci´on fundamental θα del operador

de Helmholtz est´a expresada en t´erminos de funciones de Hankel, que difieren esencialmente del caso 3-dimensional, en el cual una soluci´on fundamental correspondiente contiene a la funci´on exponencial. Esto es por lo que nuestro kernel de Cauchy hiperholomorfo, una soluci´on fundamental del operador de CauchyRiemann hiperholomorfo (operador diferencial definiendo una clase de funciones hiperholomorfas), contiene tambi´en funciones de Hankel de distintas especies. En la Secci´on 2.5 damos, primero, una versi´on de la f´ormula de Green usual mediante el operador de Cauchy-Riemann hiperholomorfo y su conjugado. Esto implica inmediatamente varias formas del Teorema integral de Cauchy. Debe notarse que, en contraste con la situaci´on holomorfa compleja, este teorema incluye una integral curvil´ınea y una de ´area. Despu´es, se presentan an´alogos, para nuestra teor´ıa, de las principales f´ormulas integrales del an´alisis complejo basadas en el kernel de Cauchy. Se describe el caso de valores complejos para el par´ametro α. Para hacer lo mismo para un par´ametro cuaterni´onico complejo estamos forzados a considerar expresiones bastante complicadas que incluyen integrales con kernels generados por funciones de Hankel. Se analizan las propiedades de valores de frontera de las funciones α-hiperholomorfas en la Seci´on 2.6 donde se muestra que para un α ∈ H(C) arbitrario existe una generalizaci´on de a las f´ormulas de Plemelj-Sokhotski. Esto nos permite demostrar la involutividad del operador de integraci´on singular as´ı como obtener las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una extensi´on αholomorfa de una funci´on dada sobre una curva. Finalmente, en el Cap´ıtulo 3, se muestra el prop´osito del presente trabajo, que es obtener algunas generalizaciones de las f´ormulas de Hilbert y del operador de Hilbert usuales, para la teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en dos dimensiones. En la primera parte del cap´ıtulo se describe lo que sucede en la teor´ıa de funciones de una variable compleja, se define el operador de Hilbert usual y se obtienen las f´ormulas de Hilbert para este caso. Posteriormente se aborda la parte original de este trabajo, se desarrollan las ideas para la situaci´on α0 -hiperholomorfa con α0 ∈ C donde se obtiene el an´alogo del operador de Hilbert y de las f´ormulas de Hilbert para este caso. El operador de Hilbert obtenido relaciona una pareja de componentes de la funci´on l´ımite de una funci´on α0 -hiperholomorfa en el disco unitario con la otra pareja de componentes, en una analog´ıa con lo que el operador de Hilbert usual hace para la funci´on l´ımite de una funci´on holomorfa en el disco unitario. Cabe mencionar que la situaci´on compleja no se encuentra directamente encajada en este caso, pero si consideramos la situaci´on cuando α0 → 0 se obtienen las f´ormulas de Hilbert usuales para funciones anti-holomorfas de una variable compleja. Para finalizar, con ayuda del caso α0 ∈ C se obtienen tambi´en los an´alogos deseados para la situaci´on α-hiperholomorfa con α ∈ H(C)

6

Introducci´on

arbitrario, las f´ormulas de Hilbert para tales α son completamente nuevas.

Cap´ıtulo 2 Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2. 2.1.

Algunas notaciones b´ asicas y definiciones.

Denotaremos por H := H(R) y por H(C) los conjuntos de cuaternios reales y complejos respectivamente. Esto significa que si a ∈ H o a ∈ H(C), entonces: a=

3 X

ak i k ,

k=0

donde i0 = 1 es la unidad; i2k = −i0 para k ∈ N3 := {1, 2, 3}; i1 · i2 = −i2 · i1 = i3 ; i2 · i3 = −i3 · i2 = i1 ; i3 · i1 = −i1 · i3 = i2 ; {ak } ⊂ R si a ∈ H y {ak } ⊂ C si a ∈ H(C). Denotamos la unidad imaginaria en C por i como usualmente. Por definici´on i · ik = ik · i,

k ∈ N3 .

Diremos que dos cuaternios son iguales si y s´olo si tienen exactamente las mismas componentes: a = b ⇐⇒ ak = bk ,

k ∈ N3 ∪ {0}.

La suma de dos cuaternios a y b est´a definida por la suma de sus correspondientes componentes: 3 X a+b= (ak + bk )ik . k=0

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

8

Adem´as tenemos completamente definida la multiplicaci´on cuaterni´onica por: ab = (a0 i0 + a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 )(b0 i0 + b1 i1 + b2 i2 + b3 i3 ) = = (a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 )i0 + + (a0 b1 + a1 b0 + a2 b3 − a3 b2 )i1 + + (a0 b2 − a1 b3 + a2 b0 + a3 b1 )i2 + + (a0 b3 + a1 b2 − a2 b1 + a3 b0 )i3 . Ahora consideremos los cuaternios complejos a = 1+ii1 y a ¯ = 1−ii1 . Haciendo su producto obtenemos a¯ a = (1 + ii1 )(1 − ii1 ) = 1 − 1 = 0. Tenemos dos elementos diferentes de cero, cuyo producto es igual a cero. En general, si el producto de dos elementos a y b es igual a cero pero a y b no son cero, entonces a y b son llamados divisores de cero. Las operaciones anteriores vuelven a H(C) un a´lgebra compleja, no conmutativa, asociativa con divisores de cero. Obviamente H es una sub´algebra real en H(C). Si a ∈ H(C), entonces a=

3 X

ak ik = a(1) + ia(2) = a(1) + a(2) i,

k=0

donde {a(1) , a(2) } ⊂ H. Adem´as, a = 0 ⇐⇒ ak = 0 ∀k ⇐⇒ a(1) = a(2) = 0. Si a ∈ H(C), entonces se puede representar como a = a0 + ~a, donde ~a =

3 X

ak ik , a0 ser´a llamada la parte escalar y ~a la parte vectorial del

k=1

cuaternio complejo: a0 =: Sc(a), ~a =: V ec(a). En t´erminos vectoriales, la multiplicaci´on de dos cuaternios complejos arbitrarios a, b puede reescribirse como: D E h i ab = a0 b0 − ~a, ~b + ~a × ~b + a0~b + b0~a,

2.1. Algunas notaciones b´asicas y definiciones.

donde

9

i1 i2 i3 3 D E h i X ~a, ~b := ak bk , ~a × ~b := a1 a2 a3 . b1 b2 b3 k=1

Entre otras representaciones de los cuaternios est´a la forma matricial. Sea b ∈ H(C), presentamos las siguientes matrices:   b0 −b1 −b2 −b3 b1 b0 −b3 b2  , Bl (b) :=  (2.1)  b2 b3 b0 −b1  b3 −b2 b1 b0   b0 −b1 −b2 −b3  b1 b0 b3 −b2  . Br (b) :=  (2.2) b2 −b3 b0 b1  b3 b2 −b1 b0 La sub´algebra matricial Bl (C) := {Bl (b)|b ∈ H(C)} y H(C) son isomorfos como a´lgebras complejas. Lo mismo acerca de Br (C) := {Br (b)|b ∈ H(C)} y H(C). Esto implica inmediatamente que cada sub´algebra matricial Bl (R) := {Bl (b)|b ∈ H(R)} y Br (R) := {Br (b)|b ∈ H(R)} son isomorfas a H(R). Existe una involuci´on principal en H, la conjugaci´on cuaterni´onica, jugando un papel muy importante. Est´a definida de la siguiente forma: ¯i0 := i0 ; ¯ik := −ik ∀k ∈ N3 , y se extiende a lo largo de todo H como un mapeo R-lineal: si a ∈ H, entonces a ¯ :=

3 X

ak i k =

k=0

3 X

ak¯ik = a0 −

3 X

ak ik .

k=1

k=0

Si {a, b} ⊂ H, entonces a · b = ¯b · a ¯. Y a¯ a=a ¯a =

3 X

a2k =: |a|2 ∈ R.

k=0

Para H(C) no hay involuci´on con tan buenas propiedades aunque un an´alogo de la operaci´on descrita arriba tambi´en juega un papel importante: para a ∈ H(C) a ¯ :=

3 X k=0

ak¯ik = a0 −

3 X k=1

ak ik = a(1) + ia(2) .

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

10

Entonces a+a ¯ = 2a0 ∈ C,

a¯ a=a ¯a =

3 X

a2k

  (1) 2 (2) 2 (1) (2) (2) (1) = a − a +i a a +a a

k=0

2 2 

= a(1) − a(2) + 2i a(1) , a(2)

R4

∈ C,

(2.3)

donde h·, ·iR4 es el producto escalar usual. N´otese que 3 X 2 2 a¯ a 6= |a|2R8 := |ak |2 = a(1) + a(2) . k=0

Denotemos S := {a ∈ H(C)|a 6= 0; ∃b 6= 0 : ab = 0}. Es importante caracterizar al subconjunto S. Primero notemos que si a ∈ S entonces a−1 no existe. La prueba de esta afirmaci´on se hace como sigue. Supongamos que a ∈ S, esto es, existe b 6= 0 tal que a · b = 0 y que a−1 existe. Entonces a−1 a = 1. Multiplicamos esta igualdad por b: a−1 ab = b, de donde inmediatamente obtenemos la contradicci´on 0 = b. As´ı que los divisores de cero no son invertibles. Denotemos por GH(C) el grupo de los elementos invertibles de H(C). Si a ∈ / S, entonces a ¯ a−1 := (a¯ a) es un inverso del cuaternio complejo a. Por lo tanto, GH(C) = H(C) \ S. 2.1 Lema (Estructura del conjunto de divisores de cero). Sea 0 6= a =

3 X

ak ik = a0 + ~a ∈ H(C).

k=0

Los siguientes enunciados son equivalentes: (1) a ∈ S. (2) a¯ a = 0. (3) a20 = ~a2 .

(4) a2 = 2a0 a. (5) a2 = 2~aa. P3 2 (6) k=0 ak = 0.

 (7) a(1) = a(2) y a(1) , a(2) R4 = 0. Demostraci´on. (a) La equivalencia de (2), (6) y (7) se sigue de (2.3). (b) Demostremos que (1)⇔(2). Si (2) se cumple, entonces b := a ¯ satisface la definici´on de S. Si (2) no se cumple, es decir, a¯ a 6= 0, entonces a ∈ GH(C) ya∈ / S. (c) Tenemos que: a¯ a = (a0 + ~a)(a0 − ~a) = a20 − ~a2 . Por tanto (2)⇔(3). (d) Tenemos que: a2 = (a0 + ~a)2 = a20 + 2a0~a + ~a2 . Entonces a20 = ~a2 ⇔ a2 = 2~a2 +2a0~a = 2~aa y a20 = ~a2 ⇔ a2 = 2a20 +2a0~a = 2a0 a. Por lo tanto (3)⇔(4) y (3)⇔(5).  Sea Ω un dominio en R2 . Consideraremos funciones H(C)-valuadas definidas en Ω: f : Ω −→ H(C). Para ellas tenemos las siguientes representaciones: i) f =

3 X

fk ik ,

k=0

donde fk : Ω −→ C; ii) f = f (1) + f (2) i, donde f (j) : Ω −→ H; iii) f = f0 + f~, donde f0 es de valores en C y f~ es una funci´on de valores en C3 . Las notaciones C p (Ω; H(C)), p ∈ N∪{0}, tienen el significado usual. Sea a una funci´on fija H(C)-valuada. Los operadores M a y a M act´ uan sobre una funci´on f con mismo dominio de a como M a [f ] := f a;

a

M [f ] := af.

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

12

2.2.

Operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´ onico complejo y noci´ on de (ψ,α)hiperholomorf´ıa.

Sobre C 2 (Ω; H(C)) presentamos el operador de Helmholtz dos-dimensional con n´ umero de onda cuaterni´onico: ∆λ := ∆R2 + M λ , donde ∆R2 := ∂12 + ∂22 ,

∂k :=

∂ , ∂xk

(2.4)

λ ∈ H(C)

Para λ = λ0 ∈ C tenemos el operador de Helmholtz usual en R2 . Para λ ∈ H(C) el operador (2.4) genera sobre el espacio complejo C 2 (Ω; C4 ) el siguiente operador de Helmholtz con n´ umero de onda matricial de una forma especial: ∆Br (λ) := ∆R2 · E4 + Br (λ),

(2.5)

con E4 la matriz identidad de cuarto ´orden y Br (λ) definido por (2.2). Adem´as, los resultados obtenidos para ∆λ tienen an´alogos para λ ∆ := ∆R2 + λI, λ ∈ H(C), haciendo los cambios adecuados. Los operadores bien conocidos 1 ∂¯ := (∂1 + i∂2 ) , 2

(2.6)

y 1 (∂1 − i∂2 ) , (2.7) 2 definen clases de funciones muy importantes en el plano: respectivamente, las de funciones holomorfas y anti-holomorfas. Como es sabido, se cumple la siguiente factorizaci´on ∂ · ∂¯ = ∆R2 , (2.8) ∂ :=

la cual es, de hecho, la base de la teor´ıa de funciones holomorfas. Nosotros vamos a obtener el an´alogo de (2.8) para el operador (2.4). Esto requiere introducir algunos an´alogos de (2.6) y (2.7) tomando en cuenta la peculiaridad de la situaci´on cuaterni´onica. Sea ψ := {ψ 1 , ψ 2 } ⊂ H(R) × H(R), denotemos por ψ¯ := {ψ¯1 , ψ¯2 }. Sean ψ∂

:= ψ 1 ∂1 + ψ 2 ∂2 ,

1

2

∂ψ := ∂1 M ψ + ∂2 M ψ .

(2.9)

2.2. Operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico complejo y noci´on de (ψ,α)-hiperholomorf´ıa.

13

Entonces puede demostrarse f´acilmente que las igualdades ∂ψ · ∂ψ¯ = ∂ψ¯ · ∂ψ = ∆R2 ,

ψ∂

· ψ¯∂ = ψ¯∂ · ψ ∂ = ∆R2 ,

(2.10)

se cumplen si y s´olo si, ψ j · ψ¯k + ψ k · ψ¯j = 2δjk ,

(2.11)

para cualquier j, k en N2 , siendo δjk la delta de Kroneker. Llamaremos a ψ con la propiedad (2.11) un conjunto estructural. Es evidente que ψ y ψ¯ son conjuntos estructurales simult´aneamente. Notemos que para ψ puramente vectorial la factorizaci´on (2.10) se reduce a ∂ψ2 = ψ ∂ 2 = −∆R2 ,

(2.12)

la cual es parad´ojicamente diferente de (2.8) para muchos prop´ositos. Denotemos ahora por α una ra´ız cuadrada cuaterni´onica compleja de λ. Esto es, α ∈ H(C) y α2 = λ. Sea ψ := {ψ 1 , ψ 2 } que consiste solamente de cuaternios puramente imaginarios: Sc(ψ 1 ) = Sc(ψ 2 ) = 0. Presentamos ahora una generalizaci´on de los operadores (2.6) y (2.7). Sea ψ ∂α

:= ψ ∂ + M α , y

α ∂ψ

:= ∂ψ + α M.

(2.13)

Entonces (2.10) implica las siguientes factorizaciones del operador de Helmholtz: ∆λ = − ψ ∂α · ψ ∂−α = − ψ ∂−α · ψ ∂α .

(2.14)

Llamaremos funciones λ-metarm´onicas a los elementos pertenecientes a ker ∆λ . Es interesante mencionar expl´ıcitamente que para λ = λ0 ∈ C, aparte de las ra´ıces cuadradas complejas, tambi´en tenemos una familia de cuaternios complejos puramente imaginarios α ~ satisfaciendo la condici´on −α12 − α22 − α32 = λ0 . En particular para λ = 0 tenemos una factorizaci´on del operador de Laplace distinta de (2.8): cuando α ∈ S y α0 = 0 entonces ∆R2 = − ψ ∂α~ · ψ ∂−~α = − ψ ∂−~α · ψ ∂α~ . Abreviaremos ψst := ψi1 ,i2 ,

st ∂

:=

ψst ∂,

∂α :=

st ∂α ,

y denotaremos al conjunto de funciones (ψ, α)-hiperholomorfas por ψ

Mα := ψ Mα (Ω, H(C)) := ker ψ ∂α .

ψ

Mα :

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

14

N´otese que las relaciones (2.14) significan que cada funci´on hiperholomorfa en C 2 (Ω, H(C)) es λ-metarm´onica y se sigue inmediatamente que si α ∈ H(R) entonces ψ Mα (Ω, H(C)) = ψ Mα (Ω, H(R)) ± i ψ Mα (Ω, H(R)). Definimos de forma similar α Mψ como αM

ψ

:= ker α ∂ψ .

2.2 Ejemplo Sea α = α0 ∈ C y consideremos ψ = ψst . Construiremos una funci´on α0 -hiperholomorfa a partir de una soluci´on del operador de Helmholtz con λ = α02 . Sea g(x1 , x2 ) := eix1 α0 la cual es una funci´on λ-metarm´onica, en efecto, ∆λ [g] = ∆R2 [g] + M λ [g] = −α02 eix1 α0 + α02 eix1 α0 = 0. Definimos ahora h(x1 , x2 ) := −∂−α0 [g] = −

st ∂[g]


+ M −α0 [g] = α0 eix1 α0 − α0 ieix1 α0 i1 ,

entonces ∂α0 [h] =

st ∂[h]

+ M α0 [h] = −α02 eix1 α0 + α02 ieix1 α0 i1 − α02 ieix1 α0 i1 + α02 eix1 α0 = 0,

por lo tanto h es α0 -hiperholomorfa. As´ı, dada una funci´on λ-metarm´onica hemos mostrado c´omo construir a partir de ella una funci´on α0 -hiperholomorfa, todo esto gracias a la factorizaci´on obtenida en (2.14). Puesto que el a´lgebra H(C) contiene divisores de cero tenemos que distinguir diferentes casos dependiendo de las propiedades algebraicas de α. (1) Sea α ∈ /Syα ~ 2 6= 0. √ ~ 2 y ξ± := Presentamos los siguientes n´ umeros complejos auxiliares: γ := α a0 ± γ. Definimos los operadores: P ± :=

1 (γ±~α) M , 2γ

los cuales son proyectores mutuamente complementarios, es decir, P + + P − = I. Consideremos el producto α · (γ ± α ~ ) = (α0 + α ~ )(γ ± α ~ ) = α0 γ + γ~ α ± γ 2 ± α0 α ~ = α0 (γ ± α ~ ) + γ(±γ + α ~ ) = ξ± · (γ ± α ~ ).

Consecuentemente, P ± ( ψ ∂ + M α ) = P ± ( ψ ∂ + ξ± I). Entonces el operador

ψ∂

+ M α puede ser reescrito de la siguiente forma

ψ ∂α

= P + ψ ∂ξ+ + P − ψ ∂ξ− .

(2.15)

(2) Sea α ∈ /Syα ~ 2 = 0. El siguiente truco nos ayudar´a a encontrar una forma conveniente para el operador ψ ∂α . Tenemos la igualdad f=

∂ ( ψ ∂α0 f ). ∂α0

Entonces ψ ∂α f

∂ = ψ ∂α0 f + M α~ f = ψ ∂α0 f + M α~ ( ψ ∂α0 f ) ∂α0   ∂ = I + M α~ ψ ∂α0 f ∂α0

(3) Sea α ∈ S y α0 6= 0. Podemos utilizar los proyectores del primer caso y reescribi´endolos obtenemos 1 1 M α, P − = M α¯ , P+ = 2α0 2α0 Entonces ψ ∂α

= P +( ψ ∂ + M α) + P −( ψ ∂ + M α) = P + ψ ∂2α0 + P − ψ ∂.

(4) Sea α ∈ S y α0 = 0. Para este caso todos los resultados necesarios para el operador ψ ∂α pueden obtenerse utilizando la siguiente observaci´on − ψ ∂α ψ ∂−α = ∆R2 . Sea α una ra´ız cuadrada fija arbitraria de λ 6= 0 en H(C), i.e. una soluci´on en H(C) de la ecuaci´on α2 = λ. M´as adelante, la siguiente observaci´on ser´a esencial. 2.3 Observaci´ on Si λ ∈ S, entonces Sc(α) 6= 0. En efecto, sea α = α ~ , entonces 2 2 λ=α =α ~ ∈ C \ {0} ∈ / S. Por lo tanto, abajo asumimos que si λ ∈ S, entonces Sc(α) 6= 0.

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

16

2.3.

Descomposici´ on del conjunto nulo del operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´ onico complejo.

Presentamos el operador

ψ

πα :=

 1 α ¯ / S,  − 2αα¯ M ψ ∂−α , α ∈  − 1 M α ∂ , ψ −α 8α2

α ∈ S,

0

definido sobre C 1 (Ω; H(C)). Consideraremos su restricci´on ψ Πα := ψ πα | ker ∆λ . El operador ψ Πα act´ ua invariantemente sobre ker ∆λ : si f ∈ ker ∆λ entonces   ∆λ ψ Πα [f ] = ψ Πα [∆λ [f ]] = 0. En el c´alculo anterior se usa la conmutatividad de la composici´on de los operadores M α¯ y ψ ∂−α : M α¯ · ψ ∂−α = ψ ∂−α · M α¯ . Observemos que para α ∈ S, otra representaci´on para el operador ψ Πα es obtenida: 1 ψ Πα = − 2 M α · ψ ∂−2α0 . 8α0

2.4 Proposici´ on (Propiedades del operadorψ Πα ). El operador ψ Πα satisface las siguientes relaciones: 1.

ψ

Π2α = ψ Πα , ∀α ∈ H(C).

2.

ψ

Πα ψ Π−α = ψ Π−α ψ Πα = 0, ∀α ∈ H(C).

3.

ψ

Πα + ψ Π−α = I, ∀α ∈ / S.

4.

ψ

Πα + ψ Π−α + (2α0 )−1 M α¯ = I, ∀α ∈ S.

Πα M α¯ = M α¯ ψ Πα = 0, ∀α ∈ S. (
ker ψ π−α |C 2 , ψ
6. im Πα = ker ψ π−α |C 2 ∩ ker (M α¯ |C 2 ) ,

5.

ψ

α∈ / S, α ∈ S.

2.3. Descomposici´on del conjunto nulo del operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico complejo. 17

Demostraci´on. 1) Dividimos la demostraci´on en dos casos, sea α ∈ / S. Entonces, tomando en cuenta la igualdad (2.14) y la conmutatividad de ψ ∂ y M α es f´acil ver: 2 ψ ∂−α [f ]

= (−M α + ψ ∂)2 [f ] = −2M α · ψ ∂−α .

Por lo tanto ψ

2

¯ )−2 M α¯ (−2M α · ψ ∂−α ) [f ] = ψ Πα . Π2α = (2αα

Si α ∈ S y f ∈ ker ∆λ , utilizando el Lema 2.1 tenemos ψ

Π2α = 8α02


−2

M α · ψ ∂−α [ ψ ∂[f ]α − 2α0 f α]

= 8α02


−1

M α (− ψ ∂[f ] + M α f ) = ψ Πα .

2) El resultado se sigue directamente de la factorizaci´on (2.14) y de la conmutatividad de los operadores M α y M α¯ con el operador ψ ∂−α . 3) Es una consecuencia directa de la definici´on del operador

ψ

Πα .

4) y 5). Solamente necesitamos recordar que α · α ¯ = 0 si α ∈ S y aplicar la definici´on y propiedades b´asicas de ψ Πα . 6) Probaremos la doble inclusi´on para ambos casos: Si α ∈ / S y f ∈ im ψ Πα , existe g ∈ ker ∆λ tal que f = ψ Πα [g], as´ı que    2 Πα [g] = ψ π−α ψ πα [g] = (2αα ¯ )−2 M α¯ ∆λ [g] = 0.
Por lo tanto im ψ Πα ⊂ ker ψ π−α |C 2 .
Si f ∈ ker ψ π−α |C 2 , entonces aplicando el operador ψ ∂−α a la igualdad
ψ π−α [f ] = 0 obtenemos f ∈ ker ∆λ . Consecuentemente, ker ψ π−α |C 2 ⊂ ker ∆λ , como f ∈ ker ψ Π−α podemos aplicar la afirmaci´on 3 de esta proposici´on para verificar que f = ψ Πα [f ] as´ı que f ∈ im ψ Πα . ψ

π−α [f ] = ψ π−α

ψ

Cuando α ∈ S, podemos
dar una prueba similar a la de arribaψ para ver que ψ ψ im Πα ⊂ ker π−α |C 2 . Adem´as, αα ¯ = 0 as´
ı que si f ∈ im Πα , entonces α ¯ ψ M [f ] = 0. Por tanto im Πα ⊂ ker ψ π−α |C 2 ∩ ker (M α¯ |C 2 ).
Rec´ıprocamente, si f ∈ ker ψ π−α |C 2 ∩ ker (M α¯ |C 2 ), entonces M α · ψ ∂−α [f ] = 0,

18

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 . por lo tanto ∆λ [f α] = 0 y ∆λ [f α + f α ¯ ] = 0, lo cual implica 2α0 ∆λ [f ] = 0, i.e. f ∈ ker ∆λ as´ı que f ∈ ker ψ Π−α ∩ ker M α¯ . Entonces por la afirmaci´on 3 de esta proposici´on obtenemos de nuevo f ∈ im ψ Πα . 

La proposici´on anterior muestra que los operadores ψ Πα , ψ Π−α son proyecciones ortogonales (su composici´on es el operador cero) sobre ker ∆λ . Adem´as, en el caso de α ∈ / S ellos son proyecciones mutuamente complementarias. Cuando α ∈ S las situaci´on es m´as sofisticada. No son mutuamente complementarios, pero introduciendo el operador (2α0 )−1 M α¯ ortogonal a ψ Π±α obtenemos como una suma el operador identidad. La siguiente proposici´on describe la acci´on de este nuevo operador (2α0 )−1 M α¯ . 2.5 Proposici´ on (Multiplicaci´on por divisores de cero y proyectores). Sea α ∈ S. Entonces los operadores (2α0 )−1 M α y (2α0 )−1 M α¯ son proyectores mutuamente complementarios, y satisfacen las siguientes igualdades: im(M α | ker ∆λ ) =M α (ker ∆2λ0 ), im(M α¯ | ker ∆λ ) =M α¯ (ker ∆). Demostraci´on. Si utilizamos la igualdad 2α0 = α + α ¯ , tenemos, para f ∈ ker ∆λ y tomando en cuenta que α ∈ S, que ∆2λ0 [f α] = f α ¯ 2 α = 0. Adem´as de ∆[f α ¯] = 2 −f λ¯ α = 0 y 2α0 α = α . Por lo tanto im(M α | ker ∆λ ) ⊂M α (ker ∆2λ0 ), im(M α¯ | ker ∆λ ) ⊂M α¯ (ker ∆). Ahora, si g ∈ ker ∆2λ0 , es f´acil ver que ¯ = 0, ∆λ [gα] = −g λα as´ı que gα ∈ ker ∆λ . De la misma forma, si h ∈ ker ∆ obtenemos h¯ α ∈ ker ∆λ ,

entonces M α (ker ∆2λ0 ) ⊂ im(M α | ker ∆λ ), M α¯ (ker ∆) ⊂ im(M α¯ | ker ∆λ ).  Esta proposici´on implica el siguiente corolario. 2.6 Corolario Para α ∈ S ψ

Πα : ker ∆λ −→ ker ∆2λ0

Ahora todo est´a listo para demostrar el enunciado tan importante y u ´til sobre la descomposici´on del conjunto nulo del operador del Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico. 2.7 Teorema (Descomposici´on del espacio de funciones λ-metarm´onicas). Sea λ 6= 0. Si λ ∈ / S, entonces ker ∆λ = ker ψ ∂α ⊕ ker ψ ∂−α . (2.16) Si λ ∈ S, entonces ker ∆λ = M α (ker ψ ∂2α0 ) ⊕ M α (ker ψ ∂−2α0 ) ⊕ M α¯ (ker ∆) = = (ker ψ ∂2α0 ) · α ⊕ (ker ψ ∂−2α0 ) · α ⊕ (ker ∆) · α ¯.

(2.17)

Demostraci´on. Primero, sea λ ∈ / S. N´otese que im ψ Πα = ker ψ ∂α . Entonces la igualdad (2.16) se sigue directamente de la Proposici´on 2.4. Ahora consideremos el caso λ ∈ S. De la Proposici´on 2.5 vemos que ker ∆λ = M α (ker ∆2λ0 ) ⊕ M α¯ (ker ∆). Es claro que 2λ0 ∈ / S, y podemos usar la igualdad (2.16) para ker ∆2λ0 (tomando en cuenta que 2λ0 = 4α02 por el Lema 2.1 ). Tenemos ker ∆λ = M α (ker ψ ∂2α0 ⊕ ker ψ ∂−2α0 ) ⊕ M α¯ (ker ∆), de donde se sigue (2.17).



La ecuaci´on (2.16) toma en cuenta que ker ψ ∂α ∩ ker ψ ∂−α = {0} para λ ∈ / S, mientras que (2.17) incluye otras peculiaridades del caso, por ejemplo: si λ es un divisor de cero, entonces cualquier funci´on λ-metarm´onica es una suma directa de tres funciones, la u ´ltima de ellas siendo arm´onica.

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

20

2.4.

Soluci´ on fundamental del operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´ onico complejo y kernel de Cauchy.

Ahora requerimos para construir una teor´ıa de funciones asociada al operador de Helmholtz de una soluci´on fundamental para tal operador con λ ∈ H(C). Para el caso particular λ ∈ C la soluci´on fundamental es bien conocida: si λ = α2 ∈ C, una soluci´on fundamental θα del operador de Helmholtz ∆λ est´a dada por la f´ormula  −i 1   4 H0 (α|z|), α 6= 0, (2.18) θα (z) =  1 ln |z|, α = 0, 2π donde z = (x, y) y H01 es la funci´on de Hankel del primera especie de orden cero. Para nuestros prop´ositos necesitamos las siguientes relaciones d 1 H (t) = − H11 (t), dt 0 1 d 1 H1 (t) = (H01 (t) − H21 (t)), dt 2 con H11 la funci´on de Hankel de primera especie de orden uno y H21 la funci´on de Hankel de primera especie de orden dos. Acerca de la expansi´on en series (en el origen) de H01 , H11 y H21 , solamente el primer t´ermino es de nuestro inter´es; est´a dado por: 2 2 H01 (t) = i ln t + 1 + i (γ − ln 2) + O(t), t→0 π π 1 2 H11 (t) = − i + O(t), t→0 πt 14 H21 (t) = − i 2 + O(t), t→0 πt

(2.19) (2.20) (2.21)

con t ∈ C, t 6= 0 y donde γ es el n´ umero de Euler. La expansi´on asint´otica (al infinito) est´a dada por: r Hs1 (z)

=

2 i(z−(s+1/2)(π/2)) e (Ps (z) + iQs (z)), −π < arg(z) < π, πz

2.4. Soluci´on fundamental del operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico complejo y kernel de Cauchy.

21

donde (r − 1)(r − 9) (r − 1)(r − 9)(r − 25)(r − 49) + − · · ·, 2!(8z)2 4!(8z)4 (r − 1) (r − 1)(r − 9)(r − 25) − Qs (z) ≈ + · · ·, 1!(8z) 3!(8z)3 Ps (z) ≈1 −

y r = 4s2 . Recordemos que para s = 0, 1, 2 Hs1 := Is + iNs , donde Is es la funci´on de Bessel de primera especie Z π rs eir cos θ sin2s θdθ, Is (r) = s 2 Γ(1/2)Γ(s + 1/2) 0 Γ es la funci´on gamma, y Ns es la funci´on de Bessel de segunda especie Ns (r) =

Is (r) cos sπ − I−s (r) . sin sπ

Para propiedades generales de las funciones de Hankel v´ease [Vl, A]. 2.8 Teorema Sea λ ∈ H(C). Entonces una soluci´on fundamental θα para el 2 operador ∆α2 = ∆+M α est´a dada por las siguientes f´ormulas: para z ∈ R2 \{0}, √ (1) Si α2 ∈ / S, α ~ 2 6= 0, sea γ = + α ~ 2 y ξ± = α0 ± γ entonces
1 ~) θξ+ (z)(γ + α ~ ) + θξ− (z)(γ − α 2γ  −i  1 = H0 ((α0 + γ)|z|)(γ + α ~ ) + H01 ((α0 − γ)|z|)(γ − α ~) . 8γ

θα (z) =

(2) Si α2 ∈ / S, α ~ 2 = 0, entonces θα (z) =θα0 (z) + =

∂ [θα (z)]~ α ∂α0 0

 −i  1 H0 (α0 |z|) − H11 (α0 |z|)|z|~ α . 4

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

22 (3) Si α2 ∈ S, entonces

1 (θ2α0 (z) · α + θ0 (z) · α) 2α0   2i −i 1 H0 (2α0 |z|)α + ln |z|α . = 8α0 π

θα (z) =

aqu´ı θξ± , θ2α0 , θα0 , θ est´an definidos como antes. Demostraci´on. Esta consiste en algunos pasos: (1) Sea λ = α2 ∈ / S, α ~ 2 6= 0. Consideremos los operadores antes definidos P± =

1 (γ±~α) M , 2γ

los cuales son proyectores mutuamente complementarios. Entonces  2  2 α2 = λ = P + ξ+ + P − ξ− . Por lo tanto

2 2 ∆ + M λ = P + ∆ + ξ+ I + P − ∆ + ξ− I . La f´ormula anterior nos da una forma simple de construir una soluci´on fundamental del operador ∆ + M λ en el caso bajo consideraci´on. Es decir, si por los n´ umeros complejos ξ± , θξ± nos referimos a las funciones de (2.18) entonces la funci´on     θα := P + θξ+ + P − θξ− 2

es una soluci´on fundamental del operador ∆ + M α . De hecho,  
 
  α2 2 2 ∆+M [θα ] = P + ∆ + ξ+ I θξ+ + P − ∆ + ξ− I θξ− = δ donde δ es la funci´on delta. (2) Ahora tratamos el caso λ ∈ / S, α ~ 2 = 0. Verifiquemos que ∂ [θα (z)]~ α= ∂α0 0 i i = − H01 (α0 |z|) + H11 (α0 |z|)|z|~ α 4 4

θα (z) :=θα0 (z) +

2.4. Soluci´on fundamental del operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico complejo y kernel de Cauchy.

23

2

es una soluci´on fundamental del operador ∆ + M α . N´otese que α2 = α02 + 2α0 α ~ . Entonces 

∆+M

α2




[θα ](z) = ∆ + α02 I + 2α0 M α~ ·   ∂ · θα0 (z) + (θα (z))~ α = ∂α0 0 ∂ = δ(z) + 2α0 θα0 (z)~ α+ (∆[θα0 ](z)) α ~+ ∂α0
∂ α02 θα0 (z) α ~ − 2α0 θα0 (z)~ α= + ∂α0 ∂ = δ(z) + (δ(z))~ α= ∂α0 = δ(z).

(3) Para completar la prueba tenemos que considerar λ ∈ S. Observando que α0 6= 0 y con P+ =

1 M α, 2α0

P− =

1 M α, 2α0

podemos escribir   α2 = 2α0 α = P + 4α02 . Esto implica la siguiente representaci´on de ∆λ : 2

∆λ = ∆ + M α = P + · ∆4α20 + P − · ∆, que nos da inmediatamente θα = P + [θ2α0 ] + P − [θ0 ] .  Ahora construimos una funci´on α-holomorfa que juega un papel muy importante en la teor´ıa de funciones cuaterni´onicas, el an´alogo del kernel de Cauchy para el an´alisis complejo de una dimensi´on. Denotamos por Kψ,α la funci´on definida por la f´ormula

Kψ,α

  − ψ ∂−α [θα ], α ∈ GH(C) o α ∈ S pero α0 6= 0; = − ψ ∂−α [θ0 ], α ∈ S y α0 = 0,   − ψ ∂[θ0 ], α = 0.

(2.22)

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

24

El Teorema anterior implica inmediatamente que Kψ,α es una soluci´on fundamental del operador ψ ∂α para cualquier α ∈ H(C). Entonces se cumple el siguiente teorema: 2.9 Teorema Sea α ∈ H(C). Entonces una soluci´on fundamental para el operador ψ ∂α est´a dada por las siguientes f´ormulas: para z ∈ R2 \ {0}, (1) Si α = α0 ∈ C, entonces ( Kψ,α0 (z) =

h

z −iα0 H11 (α0 |z|) |z|ψ 4 −zψ , 2π|z|2

i + H01 (α0 |z|) ,

α0 6= 0,

(2.23)

α0 = 0,

donde zψ = ψ 1 x + ψ 2 y. (2) Si α ∈ / S, α ~ 2 6= 0, entonces     Kψ,α (z) =P + Kψ,ξ+ (z) + P − Kψ,ξ− (z)    zψ −i 1 1 ξ+ H1 (ξ+ |z|) + H0 (ξ+ |z|) (γ + α ~) = 8γ |z|    zψ 1 1 ~) , +ξ− H1 (ξ− |z|) + H0 (ξ− |z|) (γ − α |z| donde Kψ,ξ± son las soluciones fundamentales para los operadores par´ametros complejos ξ± , definidos anteriormente;

(2.24) ψ ∂ξ±

con

(3) Si α ∈ / S, α ~ 2 = 0, entonces ∂ Kψ,α (z) =Kψ,α0 (z) + [Kψ,α0 ] (z)~ α ∂α0   −iα0 zψ 1 1 = H1 (α0 |z|) + H0 (α0 |z|) 4 |z|    ∂ zψ 1 1 + H1 (α0 |z|) + H0 (α0 |z|) α ~ ∂α0 |z|   −iα0 zψ 1 1 H1 (α0 |z|) + H0 (α0 |z|) = 4 |z| hz i o
ψ + H01 (α0 |z|) − H21 (α0 |z|) − H11 (α0 |z|)|z| α ~ . 2

(2.25)

2.4. Soluci´on fundamental del operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico complejo y kernel de Cauchy.

25

(4) Si α ∈ S, α0 6= 0, entonces Kψ,α (z) =P + [Kψ,2α0 ] (z) + P − [Kψ,0 ] (z)   zψ −i 1 1 ~) = α0 H1 (2α0 |z|) + H0 (2α0 |z|) (γ + α 4γ |z|  izψ (γ − α ~) . − πα0 |z|2

(2.26)

(5) Si α ∈ S, α0 = 0, entonces Kψ,α (z) =Kψ,0 (z) + θ0 (z)α   1 zψ = ln |z|α − 2 . 2π |z|

(2.27)

Demostraci´on. La f´ormula (2.23) es obtenida de la definici´on de la ecuaci´on (2.22) por un c´alculo directo. Para obtener (2.24) primero observemos que ψ ∂−α

· P ± = P ± · ψ ∂−α = P ± · ψ ∂−ξ± .

Entonces      − ψ ∂−α [θα ] = − ψ ∂−α P + θξ+ + P − θξ− =       = P + − ψ ∂−ξ+ θξ+ + P − − ψ ∂−ξ− θξ− =     = P + Kψ,ξ+ + P − Kψ,ξ− . Cuando α ∈ / S, α ~ 2 = 0 tenemos:   ∂ [θα ]~ α = − ψ ∂−α [θα ] = − ψ ∂−α θα0 + ∂α0 0  = − ψ ∂−α0 [θα0 ] + θα0 α ~ − ψ ∂−α0

 ∂ [θα ] α ~. ∂α0 0

De la igualdad α0

∂ ∂ [θα0 ] = [α0 θα0 ] − θα0 ∂α0 ∂α0

obtenemos − ψ ∂−α [θα ] = Kψ,α0 + θα0 α ~+ = Kψ,α0 +

∂ [− ψ ∂−α0 [θα0 ]] α ~ + θα0 α ~= ∂α0

∂ [Kψ,α0 ] α ~. ∂α0

Cuando α ∈ S, α0 6= 0 tenemos   − ψ ∂−α [θα ] = − ψ ∂−α P + [θ2α0 ] + P − [θ] = = P + [− ψ ∂−2α0 [θ2α0 ]] + P − [−ψ ∂ [θ]] = = P + [Kψ,2α0 ] + P − [Kψ,0 ] . Para el u ´ltimo caso α ∈ S, α0 = 0 tenemos − ψ ∂−α [θ] = − ψ ∂ [θ] + θα = Kψ,0 + θα. 

2.5.

F´ ormulas integrales para funciones α-hiperholomorfas.

Para este cap´ıtulo requerimos algunas f´ormulas u ´tiles que envuelven t´ecnicas de formas diferenciales. Para la variable z = (x, y) definimos la forma diferencial dψ z como: dψ z := ψ 1 dy − ψ 2 dx. (2.28) Sea d` el elemento de longitud en R2 , entonces |dψ z| = d`. Si Γ es una curva suave entonces dψ z = ψ 1 n1 (z)d` + ψ 2 n2 (z)d` = nψ (z)d`, (2.29) donde n = (n1 , n2 ) es un vector unitario de la normal exterior a Γ en el punto z ∈ Γ, nψ := ψ 1 n1 + ψ 2 n2 .
¯ H(C) . C´alculos directos nos llevan a la igualdad Sean {f, g} ⊂ C 1 Ω, d(g · dψ z · f ) = dg ∧ dψ z · f − gdψ z ∧ df = = (∂ψ [g] · f + g · ψ ∂[f ]) dx ∧ dy donde d denota el operador de diferenciaci´on exterior de una forma diferencial. Tomando en cuenta c´omo est´an conectados ψ ∂ y ψ ∂α obtenemos   ( α ∂ψ [g] · f + g · ψ ∂α [f ] − (αgf + gf α)) dx ∧ dy,      
d(g · dψ z · f ) = α ∂ψ [g] · f − g · ψ¯ ∂α [f ] − (αgf − gf α) dx ∧ dy,        g · ∂ [f ] − ∂ [g] · f − (gf α − αgf )
dx ∧ dy. ψ α

α ψ¯

2.5. F´ormulas integrales para funciones α-hiperholomorfas.

27

N´otese que para α ∈ C las f´ormulas se vuelven m´as simples:   ( α ∂ψ [g] · f + g · ψ ∂α [f ] − 2αgf ) dx ∧ dy,      
d(g · dψ z · f ) = α ∂ψ [g] · f − g · ψ¯ ∂α [f ] dx ∧ dy,        g · ∂ [f ] − ∂ [g] · f
dx ∧ dy. α ψ¯

ψ α

2.10 Proposici´ on (Definici´on de hiperholomorf´ ıa en t´erminos de formas difer
¯ H(C) . Entonces enciales). Sean {f, g} ⊂ C 1 Ω, 1. f ∈ ψ Mα ⇐⇒ d(dψ z · f ) = −f αdx ∧ dy, 2. g ∈ α Mψ ⇐⇒ d(g · dψ z) = −αgdx ∧ dy, 3. f ∈ ψ Mα y g ∈ α Mψ ⇐⇒ d(g · dψ z · f ) = −(αgf + f gα)dx ∧ dy. Demostraci´on. Es un corolario directo de lo anterior.



Ahora derivaremos todas las f´ormulas integrales esenciales de la teor´ıa de funciones (ψ,α)-holomorfas. Antes que nada necesitamos una versi´on cuaterni´onica de la f´ormula de Green.
¯ H(C) , ψ un conjunto 2.11 Teorema (F´ormula de Green). Sean {f, g} ⊂ C 1 Ω, estructural y γ0 , γ1 , ..., γn un sistema de (n + 1) curvas cerradas rectificables de ¯ satisfaciendo las siguientes condiciones: Jordan en Ω a) γi ⊂ E(γj ) si i 6= j, i, j = 1, ..., n, b) γi ⊂ I(γ0 ), c) Ω contiene al dominio multiplemente conexo n [

D := I(γ0 ) \

! I(γi ) ,

i=1

con frontera γ0 ∪ γ1 ∪ · · · ∪ γn , entonces: Z g · dψ z · f − γ0

n Z X i=1

γi

g · dψ z · f =

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

28

Z   ( α ∂ψ [g] · f + g · ψ ∂α [f ] − (αgf + gf α)) dx ∧ dy,    D      Z
= α ∂ψ [g] · f − g · ψ¯ ∂α [f ] − (αgf − gf α) dx ∧ dy,  D      Z  
   g · ψ ∂α [f ] − α ∂ψ¯[g] · f − (gf α − αgf ) dx ∧ dy.

(2.30)

D

donde I(γj ) y E(γj ) denotan las regiones interior y exterior dadas por el Teorema de la curva de Jordan. Demostraci´on. Es una consecuencia del Teorema de Green “real” usual y de los resultados anteriores.  2.12 Corolario Bajo las condiciones del Teorema (2.11), si α = 0, y ψ es el conjunto estructural estndar obtenemos Z g · dst z · f − γ0

n Z X

Z ( ∂st [g] · f + g ·

g · dst z · f =

st ∂α [f ]) dx

∧ dy.

D

γi

i=1

2.13 Teorema (Teorema integral de Cauchy cuaterni´ onico para clases

conju¯ ¯ ¯ H(C) , ψ es un H(C) , f ∈ ψ Mα Ω, gadas de hiperholomorf´ıa). Si g ∈ α Mψ Ω, conjunto estructural y γ0 , γ1 , ..., γn es un sistema de (n + 1) curvas cerradas rectificables de Jordan satisfaciendo las condiciones a), b), c) del Teorema de Green entonces Z Z n Z X g · dψ z · f − g · dψ z · f = (αgf − gf α) dx ∧ dy. γ0

i=1

γi

D

En particular, para α ∈ C, Z g · dψ z · f = γ0

n Z X i=1

g · dψ z · f.

γi

Demostraci´on. Se sigue directamente del Teorema de Green.



2.14 Teorema (Teorema integral de Cauchy cuaterni´
onico para una pareja
de ¯ H(C) , f ∈ ψ Mα Ω, ¯ H(C) , ψ funciones (ψ,α)-holomorfas). Sean g ∈ α Mψ Ω,

2.5. F´ormulas integrales para funciones α-hiperholomorfas.

29

es un conjunto estructural y γ0 , γ1 , ..., γn es un sistema de (n + 1) curvas como en los teoremas anteriores; entonces Z g · dψ z · f − γ0

n Z X

Z g · dψ z · f = −

γi

i=1

(αgf + gf α) dx ∧ dy, D

si α ∈ C entonces esta f´ormula se reduce a Z g · dψ z · f − γ0

n Z X i=1

Z g · dψ z · f = −2α

g · f dx ∧ dy.

γi

D

¯

2.15 Observaci´ on Si α = 0, entonces Mψ = Mψ , as´ı que el Teorema 2.13 y el Teorema 2.14 dan el mismo resultado. Puesto que las constantes no son funciones (ψ,α)-holomorfas, el Teorema integral de Cauchy para una funci´on no es una consecuencia inmediata de los teoremas anteriores, este teorema se sigue de la primera igualdad en el Teorema de Green.

2.16 Teorema (Teorema integral de Cauchy cuaterni´onico para
una funci´on
¯ H(C) y γ0 , γ1 , ..., γn ¯ H(C) y g ∈ α Mψ Ω, hiperholomorfa). Si f ∈ ψ Mα Ω, es un sistema de (n + 1) curvas cerradas rectificables de Jordan satisfaciendo las condiciones del Teorema de Green entonces Z dψ z · f =

n Z X

Z dψ z · f −

γ0

i=1

Z

n Z X

g · dψ z = γ0

i=1

γi

γi

f · αdx ∧ dy, D

Z gdx ∧ dy.

g · dψ z − α D

Ahora estamos listos para construir los operadores integrales cuaterni´onicos que generalizan a los bien conocidos operadores del an´alisis complejo de una dimensi´on: el operador de tipo de Cauchy, el operador T , y el operador de integraci´on singular que juega un papel esencial en lo que sigue. Comencemos con el caso α = α0 ∈ C porque todas las construcciones posteriores est´an basadas en este caso. Sean ψ Tα0 , ψ Kα0 y ψ Sα0 los operadores actuando

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

30

de acuerdo a las siguientes reglas:

ψ

Z

Kψ,α0 (x − u, y − v)f (u, v)du ∧ dv, (x, y) ∈ R2 ,

Tα0 [f ](x, y) :=

(2.31)

Ω

ψ

Z

Kψ,α0 (x − u, y − v)nψ (u, v)f (u, v)dΓ(u,v) , (x, y) ∈ R2 \ Γ,

Kα0 [f ](x, y) := − Γ

(2.32)

ψ

Z Sα0 [f ](t1 , t2 ) := − 2

Kψ,α0 (t1 − τ1 , t2 − τ2 )nψ (τ1 , τ2 )f (τ1 , τ2 )dΓ(τ1 ,τ2 ) ,

Γ

(τ1 , τ2 ) ∈ Γ,

(2.33)

donde el kernel de Cauchy Kψ,α0 est´a definido por la f´ormula (2.23); Ω es un dominio en R2 con frontera dada por una curva cerrada rectificable de Jordan Γ. La integral en (2.33) existe en el sentido de valor principal de Cauchy. Utilizando las f´ormulas expl´ıcitas para Kψ,α0 , obtenemos: para (x, y) ∈ R2 :  Z  (x − u, y − v)ψ −i    α0 H11 (α0 |(x − u, y − v)|)   4 Ω |(x − u, y − v)|    + H 1 (α |(x − u, y − v)|) f (u, v)du ∧ dv, 0 0 ψ Tα0 [f ](x, y) =    Z   (x − u, y − v)ψ −1   f (u, v)du ∧ dv,  2π Ω |(x − u, y − v)|2

α0 6= 0, α0 = 0,

para (x, y) ∈ R2 \ Γ:  Z  i (x − u, y − v)ψ    α0 H11 (α0 |(x − u, y − v)|)   |(x − u, y − v)| 4 Γ   + H 1 (α |(x − u, y − v)|) n (u, v)f (u, v)dΓ 0 ψ (u,v) , α0 6= 0, 0 ψ Kα0 [f ](x, y) =    Z   1 (x − u, y − v)ψ   nψ (u, v)f (u, v)dΓ(u,v) , α0 = 0,  2π Γ |(x − u, y − v)|2

2.5. F´ormulas integrales para funciones α-hiperholomorfas.

31

para (t1 , t2 ) ∈ Γ:  Z  i (t1 − τ1 , t2 − τ2 )ψ    α0 H11 (α0 |(t1 − τ1 , t2 − τ2 )|)   2 Γ |(t1 − τ1 , t2 − τ2 )|    + H 1 (α |(t − τ , t − τ )|) n (τ , τ )f (τ , τ )dΓ 0 1 1 2 2 ψ 1 2 1 2 (τ1 ,τ2 ) , α0 6= 0, 0 ψ Sα0 [f ](t1 , t2 ) =    Z   1 (t1 − τ1 , t2 − τ2 )ψ   nψ (τ1 , τ2 )f (τ1 , τ2 )dΓ(τ1 ,τ2 ) , α0 = 0.  π Γ |(t1 − τ1 , t2 − τ2 )|2 Como de costumbre, el operador de integraci´on singular con el kernel de Cauchy genera otros dos operadores importantes: ψ

Pα0 :=


1 I + ψ S α0 ; 2

ψ

Qα0 := I − ψ Pα0 =


1 I − ψ Sα0 . 2

(2.34)

como antes, escribimos Tα0 , Kα0 , Sα0 , Pα0 , Qα0 para ψ = ψst := (i1 , i2 ). Ahora demostraremos, para los operadores integrales presentados, algunos teoremas que son los an´alogos exactos estructurales de los correspondientes hechos del an´alisis complejo de una dimensi´on y los cuales expresan propiedades muy profundas de la teor´ıa de funciones α-holomorfas, as´ı como algunas relaciones muy importantes entre esta teor´ıa y la teor´ıa de operadores. 2.17 Teorema (F´ormula de Borel-Pompeiu cuaterni´onica para un par´ametro complejo α0 ). Sea Ω un dominio en R2 y Γ una curva cerrada rectificable de
¯ H(C) . Entonces Jordan tal que ∂Ω = Γ. Sea α0 ∈ C y f ∈ C 1 (Ω, H(C)) ∩ C Ω, f (x, y) = ψ Kα0 [f ](x, y) + ψ Tα0 · ψ ∂α0 [f ](x, y), (x, y) ∈ I(Γ).

(2.35)

Demostraci´on. Por definici´on de ψ Tα0 , tenemos: sea w = (u, v) y z = (x, y) entonces Z ψ Tα0 · ψ ∂α0 [f ](x, y) = Kψ,α0 (x − u, y − v) ψ ∂α0 ,w [f ](u, v)du ∧ dv I(Γ) Z =l´ım Kψ,α0 (x − u, y − v) ψ ∂α0 ,w [f ](u, v)du ∧ dv. →0

θ

El sub´ındice w en ψ ∂α0 ,w significa diferenciaci´on con respecto a w y θ := I(Γ) \ {(u, v)||(x − u, y − v)| ≤ }. Ahora Z Kψ,α0 (x − u, y − v) ψ ∂α0 ,w [f ](u, v)du ∧ dv = θ

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

32 Z =

Kψ,α0 (x − u, y − v) ψ ∂w [f ](u, v)du ∧ dv Z + α0 Kψ,α0 (x − u, y − v)f (u, v)du ∧ dv

θ

θ

Z =

Kψ,α0 (x − u, y − v) ψ ∂w [f ](u, v)du ∧ dv Z + α0 Kψ,α0 (x − u, y − v)f (u, v)du ∧ dv θ Z − ∂ψ,w [Kψ,α0 (x − u, y − v)] f (u, v)du ∧ dv θ Z + ∂ψ,w [Kψ,α0 (x − u, y − v)] f (u, v)du ∧ dv.

θ

θ

Por definici´on de Kψ,α0 −∂ψ,w [Kψ,α0 (x − u, y − v)] = − ψ ∂w [Kψ,α0 (x − u, y − v)] = ψ ∂z [Kψ,α0 (x − u, y − v)] , y aplicando la F´ormula de Green (2.30) tenemos Z Kψ,α0 (x − u, y − v) ψ ∂α0 ,w [f ](u, v)du ∧ dv = θ

Z [Kψ,α0 (x − u, y − v) ψ ∂w [f (u, v)]

= θ

+ ∂ψ,w [Kψ,α0 (x − u, y − v)] f (u, v)] du ∧ dv Z + (α0 Kψ,α0 (x − u, y − v) + ψ ∂z [Kψ,α0 (x − u, y − v)]) f (u, v)du ∧ dv θ

Z =

Kψ,α0 (x − τ1 , y − τ2 )nψ (τ1 , τ2 )f (τ1 , τ2 )dγ0 Z + ψ ∂α0 [Kψ,α0 (x − u, y − v)] f (u, v)du ∧ dv,

γ0

θ

donde

γ0

= ∂θ . Pasando al l´ımite obtenemos el resultado.



Este Teorema inmediatamente implica el siguiente 2.18 Teorema (F´ormula integral de Cauchy complejo α0 ). Sea Ω un dominio en R2 y Γ ¯ Sea f ∈ ψ Mα0 (Ω) ∩ C Jordan con I(Γ) ⊂ Ω.

cuaterni´onica para un par´ametro una
curva cerrada rectificable de ¯ Ω y α0 ∈ C. Entonces

f (x, y) = ψ Kα0 [f ](x, y), (x, y) ∈ I(Ω).

(2.36)

2.5. F´ormulas integrales para funciones α-hiperholomorfas.

33

Ahora demostramos un teorema inverso (en cierto sentido) al Teorema de Cauchy cuaterni´onico 2.16, esto es, un an´alogo del Teorema de Morera complejo. 2.19 Teorema (Teorema de Morera cuaterni´onico para un par´ametro complejo α0 ). Sea α0 ∈ C, f ∈ C 1 (Ω, H(C)), ψ ∂α0 [f ] ∈ Lp (Ω, H(C)) para alg´ un p > 1. Si para cualquier curva cerrada rectificable de Jordan Γ tal que I(Γ) ⊂ Ω tenemos que Z Z nψ · f dΓ = − Γ

f α0 dx ∧ dy,

(2.37)

Ω

entonces f es (ψ,α0 )-hiperholomorfa en Ω. Demostraci´on. Sea {Ωk }k∈N una sucesi´on regular de dominios convergiendo al punto (x0 , y0 ) ∈ Ω. Sea Γk la frontera de Ωk . Entonces por el Teorema de Lebesgue (v´ease [ShiGu]) para cualquier funci´on H(C)-valuada g ∈ Lp (Ω), p > 1, existe Z 1 gdx ∧ dy =: g˜(x0 , y0 ), l´ım k→∞ |Ωk | Ω k y g = g˜ en Lp (Ω). Si elegimos g := ψ ∂[f ] entonces por (2.30) con α = 0, tenemos Z Z nψ f dΓk . ψ ∂[f ]dx ∧ dy = Ωk

Γk

Por hip´otesis, se sigue que Z 1 ψ ∂α0 [f ]dx ∧ dy = 0, |Ωk | Ωk por lo tanto

ψ ∂α0 [f ](x, y)

k ∈ N ∪ {0},

= 0 casi en todas partes en Ω.



2.20 Teorema (Inverso derecho para el operador de Cauchy-Riemann cuater1 ni´onico para
un par´ametro complejo α0 ). Sea α0 ∈ C, y f ∈ C (Ω, H(C)) ∩ ¯ H(C) . Entonces la siguiente representaci´on para f se cumple: C Ω, f (x, y) = ψ ∂α0 · ψ Tα0 [f ](x, y), ∀(x, y) ∈ Ω.

(2.38)

Demostraci´on. Se sigue de la F´ormula de Green cuaterni´onica (2.30) que si Γ = ∂Ω es una curva cerrada rectificable de Jordan y τ = (τ1 , τ2 ), entonces Z θα0 (x − τ1 , y − τ2 )nψ (τ1 , τ2 )f (τ1 , τ2 )dΓτ Γ Z  = Kψ,α0 (x − u, y − v)f (u, v) − θα0 (x − u, y − v) ψ¯∂α0 [f (u, v)] du ∧ dv, Ω

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

34

lo cual implica ψ

Z Tα0 [f ](x, y) =

θα0 (x − u, y − v) ψ¯∂α0 [f ](u, v)du ∧ dv Z + θα0 (x − τ1 , y − τ2 )nψ (τ1 , τ2 )f (τ1 , τ2 )dΓτ .

Ω

Γ

Aplicando el operador ψ ∂α0 y utilizando la F´ormula de Borel-Pompeiu obtenemos: ψ ∂α0

· ψ Tα0 [f ](x, y) = Z =− ψ ∂α0 [θα0 (x − u, y − v)] ψ ∂−α0 [f ](u, v)du ∧ dv Ω Z + ψ ∂α0 [θα0 (x − τ1 , y − τ2 )] nψ (τ1 , τ2 )f (τ1 , τ2 )dΓτ Γ Z = Kψ,−α0 (x − u, y − v) ψ ∂−α0 [f ](u, v)du ∧ dv ΩZ − Kψ,−α0 (x − τ1 , y − τ2 )nψ (τ1 , τ2 )f (τ1 , τ2 )dΓτ Γ
ψ = T−α0 · ψ ∂−α0 + ψ K−α0 [f ](x, y) = f (x, y). 

La f´ormula de Borel-Pompeiu cuaterni´onica, la f´ormula integral de Cauchy, el teorema de Morera y el teorema sobre el inverso derecho para el operador otesis α = α0 ∈ C. Ahora mostramos que ψ ∂α fueron demostrados bajo la hip´ los operadores integrales asociados con ψ ∂α0 pueden ser presentados para un α ∈ H(C) arbitrario de tal forma que todos los hechos mencionados arriba siguen siendo ciertos. Extendemos la definici´on de los operadores integrales presentados arriba ψ Tα , ψ Kα , ψ Sα para α ∈ H(C) como sigue:

ψ

Tα =

  P + · ψ Tξ+ + P − · ψ Tξ− ,         ψ   ψ α ~ ∂   Tα0 ,  Tα0 + M ∂α

α∈ / S, α ~ 2 6= 0, α∈ / S, α ~ 2 = 0,

0

     P + · ψ T2α0 + P − · ψ T0 ,        ψ T0 + M α · W0 ,

(2.39) α ∈ S, α0 6= 0, α ∈ S, α0 = 0,

2.5. F´ormulas integrales para funciones α-hiperholomorfas.

35

donde Z Wµ [f ](x, y) :=

θµ (x − u, y − v)f (u, v)du ∧ dv, µ ∈ C, (x, y) ∈ R2 ,

Ω

ψ

  P + · ψ Kξ + + P − · ψ Kξ − ,         ψ   ψ α ~ ∂   K + M K , α α 0 0  ∂α

α∈ / S, α ~ 2 6= 0, α∈ / S, α ~ 2 = 0,

0

Kα =

     P + · ψ K2α0 + P − · ψ K0 ,        ψ K0 − M α · ψ V0 ,

(2.40) α ∈ S, α0 6= 0, α ∈ S, α0 = 0,

con ψ

Z Vµ [f ](x, y) :=

θµ (x−τ1 , y−τ2 )nψ (τ1 , τ2 )f (τ1 , τ2 )dΓ(τ1 ,τ2 ) , µ ∈ C, (x, y) ∈ R2 \Γ,

Γ

ψ

Sα =

  P + · ψ Sξ+ + P − · ψ Sξ− ,         ψ   ψ α ~ ∂   S , S + M α α 0 0  ∂α

α∈ / S, α ~ 2 6= 0, α∈ / S, α ~ 2 = 0,

0

     P + · ψ S2α0 + P − · ψ S0 ,        ψ S0 − M α · ψ Vˆ0 ,

(2.41) α ∈ S, α0 6= 0, α ∈ S, α0 = 0,

donde ψ

Vˆµ [f ](t1 , t2 ) := 2

Z θµ (t1 −τ1 , t2 −τ2 )nψ (τ1 , τ2 )f (τ1 , τ2 )dΓ(τ1 ,τ2 ) , µ ∈ C, (t1 , t2 ) ∈ Γ. Γ

Es f´acil verificar que en el caso especial α = α0 ∈ C los operadores ψ Tα , ψ Kα , ψ Sα coinciden con los presentados anteriormente. Definimos como antes los operadores ψ Pα , ψ Qα por (2.34), donde ψ Sα es ya el operador (2.41). 2.21 Teorema (Teoremas integrales principales para funciones hiperholomorfas con par´ametro α cuaterni´onico complejo arbitrario). Sea α un cuaternio complejo arbitrario, Ω un dominio en R2 cuya frontera est´a dada por una curva cerrada rectificable de Jordan Γ y sean ψ Tα y ψ Kα definidos por(2.39) y (2.40) respectivamente. Entonces las siguientes afirmaciones son ciertas:

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

36

1. (F´ormula de Borel-Pompeiu cuaterni´onica para un
par´ametro α cuater¯ H(C) . Entonces ∀(x, y) ∈ Ω ni´onico complejo). Si f ∈ C 1 (Ω, H(C))∩C Ω, f (x, y) = ψ Kα [f ](x, y) + ψ Tα · ψ ∂α [f ](x, y).

(2.42)

2. (F´ormula integral de Cauchy cuaterni´onica para un
par´ametro α cuater¯ H(C) . Entonces ∀(x, y) ∈ ni´onico complejo). Si f ∈ ψ Mα (Ω, H(C))∩C Ω, Ω f (x, y) = ψ Kα [f ](x, y). (2.43) 3. (Teorema de Morera cuaterni´onico para un par´ametro α cuaterni´onico complejo). Si f ∈ C 1 (Ω, H(C)), ψ ∂α [f ] ∈ Lp (Ω, H(C)), p > 1 y si para cualquier curva cerrada rectificable de Jordan Γ∗ con I(Γ∗ ) ⊂ Ω tenemos que Z Z nψ · f dΓ = − f α0 dx ∧ dy, (2.44) Γ∗

I(Γ∗ )

entonces f es (ψ,α)-hiperholomorfa en Ω. 4. (Inverso derecho para el operador de Cauchy-Riemann cuaterni´onico para
¯ H(C) . un par´ametro α cuaterni´onico complejo). Si f ∈ C 1 (Ω, H(C))∩C Ω, Entonces ∀(x, y) ∈ Ω f (x, y) = ψ ∂α · ψ Tα [f ](x, y).

(2.45)

Demostraci´on. Es esencial en la prueba, que los resultados correspondientes para α = α0 ∈ C ya han sido obtenidos y que para este caso, las definiciones de ψ Tα , ψ Kα coinciden con (2.31) y (2.32). 1) Separamos la demostraci´on en cuatro casos. Si α ∈ / S, α ~ 2 6= 0, entonces aplicamos la F´ormula de Borel-Pompeiu para el par´ametro complejo:     ψ Kα [f ] = P + f − ψ Tξ+ ψ ∂ξ+ [f ] + P − f − ψ Tξ− ψ ∂ξ− [f ] = f − ψ Tξ+ P + ψ ∂ξ+ [f ] − ψ Tξ− P − ψ ∂ξ− [f ]. Aplicando la conmutatividad de los operadores P ± con ∂ξ± y la f´ormula (2.15) obtenemos: P + ψ ∂ξ+ [f ] =P + ψ ∂α [f ], P − ψ ∂ξ− [f ] =P − ψ ∂α [f ].

2.5. F´ormulas integrales para funciones α-hiperholomorfas.

37

Por lo tanto obtenemos la F´ormula de Borel-Pompeiu ψ

Kα [f ] = f − P + ψ Tξ+ + P − ψ Tξ−




ψ ∂α [f ]

ψ

= f − Tα · ψ ∂α [f ]. Para los casos α ∈ / S, α ~ 2 = 0 y α ∈ S, α0 6= 0 la prueba es similar. Para el caso α ∈ S, α0 = 0 observemos primero que a partir de la versi´on m´as simple de la F´ormula de Green cuaterni´onica (2.30) obtenemos directamente Z ψ V0 [f ](x, y) = ψ ∂ [θ0 (x − u, y − v)f (u, v)] du ∧ dv. Ω

Pero adem´as tenemos que ψ∂

[θ0 (x − u, y − v)] = ψ K0 (x − u, y − v).

Por tanto despu´es de un c´alculo directo llegamos a ψ

V0 [f ](x, y) = ψ T0 [f ](x, y) + W0 · ψ ∂[f ](x, y),

y por lo tanto ψ

Kα [f ] = f − ψ T0 · ψ ∂[f ] − W0 ψ ∂α [f ]α − ψ T0 [f ]α = f − ψ Tα · ψ ∂α [f ],

es decir, se ha probado la F´ormula de Borel-Pompeiu cuaterni´onica. 2) -3) La F´ormula Integral de Cauchy y el Teorema de Morera no requieren razonamientos nuevos. 4) Consideremos primero el caso α ∈ / S, α ~ 2 6= 0: ψ ∂α

ψ

Tα [f ] =

ψ ∂ξ+ P

+

+ ψ ∂ξ− P −


P + ψ Tξ+ + P − ψ Tξ− [f ]
+ P − ψ ∂ξ− · ψ Tξ− [f ]


= P + ψ ∂ξ+ · ψ Tξ+
= P + + P − [f ] = f

donde hemos usado la f´ormula (2.15) y la f´ormula (2.38) para par´ametros complejos ξ± .

La demostraci´on para el caso α ∈ S, α0 6= 0 es similar. Sea α ∈ S, α0 = 0, entonces
ψ ψ α ψ ∂α Tα [f ] = ψ ∂α T0 + ψ ∂α M W0 [f ] = f + M α ψ T0 [f ] + M α ψ ∂W0 [f ]. Pero ψ ∂W0 = − ψ T0 , por tanto para α ∈ S, α0 = 0 la f´ormula del inverso derecho para el operador de Cauchy-Riemann cuaterni´onico con par´ametro complejo tambi´en es v´alida. Finalmente consideremos el caso α ∈ / S, α ~ 2 = 0. ψ ∂α

ψ

 ∂ ψ Tα0 [f ] α ~ ∂α0  ∂ ψ = f + ψ Tα0 [f ]~ α + ψ ∂α0 · Tα0 [f ] α ~ ∂α0

∂ ψ ~ − ψ Tα0 [f ]~ α = f + ψ Tα0 [f ] α ~+ ψ ∂α0 Tα0 [f ] α ∂α0 ∂ (f )~ α = f. =f+ ∂α0

Tα [f ] = ψ ∂α ψ Tα0 [f ] + ψ ∂α



2.6.

Propiedades de valores de frontera de funciones α-hiperholomorfas.

Como puede esperarse (debido a la analog´ıa con el an´alisis complejo de una dimensi´on), los principales resultados est´an convenientemente expresados en t´erminos de los operadores ψ Sα , ψ Pα , ψ Qα . Sea Γ una curva cerrada de Liapunov en R2 la cual es la frontera de un dominio acotado Ω =: Ω+ y de un dominio no acotado Ω− := R2 \ Ω+ . Sea f : Γ → H(C) una funci´on integrable (en el sentido de Riemann). Entonces por las f´ormulas (2.40) definimos la funci´on ψ

Kα [f ] : x ∈ R3 \ Γ 7→ ψ Kα [f ](x).

Esta ser´a llamada la integral de tipo de Cauchy (c.t.i.) (ψ,α)-hiperholomorfa (izquierda) de la funci´on f . El mapeo correspondiente ψ

Kα : f 7→ ψ Kα [f ]

2.6. Propiedades de valores de frontera de funciones α-hiperholomorfas.

39

tiene el nombre natural c.t.i. Es claro que para cualquier f integrable,

ψ Kα [f ] ∈ C ∞ R2 \ Γ, H(C) ∩ ψ Mα R2 \ Γ, H(C) . ¯ entonces, por supuesto, Si f es la restricci´on a Γ de una funci´on en ψ Mα (Ω)∩C(Ω) la c.t.i. de f es igual a su integral de Cauchy. 2.22 Teorema (F´ormulas de Plemelj-Sokhotski para funciones (ψ,α)-hiperholomorfas) Sea Γ una curva cerrada de Liapunov, f ∈ C 0, (Γ, H(C)), 0 <  ≤ 1. Entonces en todas partes sobre Γ los siguientes l´ımites existen: l´ım

Ω± 3(x,y)→(t1 ,t2 )∈Γ

ψ

Kα [f ](x, y) =: ψ Kα [f ]± (t1 , t2 ),

(2.46)

y se cumplen las siguientes f´ormulas 1 1 Kα [f ]+ (t1 , t2 ) = f (t1 , t2 ) + ψ Sα [f ](t1 , t2 ) 2 2 = ψ Pα [f ](t1 , t2 ),

(2.47)

1 1 Kα [f ]− (t1 , t2 ) = − f (t1 , t2 ) + ψ Sα [f ](t1 , t2 ) 2 2 ψ = − Qα [f ](t1 , t2 ),

(2.48)

ψ

ψ

donde las integrales existen en el sentido de valor principal de Cauchy. Demostraci´on. La prueba puede hacerse directamente utilizando el esquema bien conocido, o uno puede aplicar el siguiente hecho: sea α = α0 ∈ C entonces Kα0 difiere del kernel de Cauchy del an´alisis complejo de una dimensi´on por un sumando que tiene una singularidad d´ebil sobre la frontera. Lo u ´ltimo puede ser obtenido a partir de las propiedades de las funciones de Hankel. En particular esto significa que Sα − S0 es un operador compacto.  En el Teorema anterior, f es cont´ınua y por tanto todas las integrales son entendidas en el sentido de Riemann (propias o impropias). Sea ahora f ∈ Lp (Γ, H(C)), p > 1. Entonces uno tiene que entender a ψ Kα [f ] como una integral de Lebesgue, y los cambios necesarios pueden hacerse f´acilmente. Por ejemplo, los l´ımites (2.46) existen casi en todas partes sobre Γ (con respecto a la medida de superficie de Lebesgue), y las f´ormulas (2.47) y (2.48) son v´alidas tambi´en casi en todas partes. Las demostraciones usan trucos est´andar. En lo que sigue, vamos a utilizar la formulaci´on Lp del Teorema 2.22 si es necesario, sin ninguna observaci´on especial.

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R2 .

40

2.23 Teorema (Involutividad del operador ψ Sα ). El operador ψ Sα es una involuci´on sobre los espacios complejos C 0, (Γ, H(C)), 0 <  ≤ 1, y Lp (Γ, H(C)), p > 1, y por lo tanto ψ Pα y ψ Qα son proyectores mutuamente complementarios de estos espacios: ψ 2 Sα = I, (2.49) ψ

Pα2 = ψ Pα ,

ψ

Q2α = ψ Qα ;

ψ

Pα · ψ Qα = ψ Qα · ψ Pα = 0.

(2.50)

Demostraci´on. Las ecuaciones (2.49) y (2.50) son equivalentes, as´ı que es suficiente con probar (2.50). Sea f ∈ C 0, (Γ, H(C)), entonces ψ Kα [f ] ∈ ψ Mα (Ω) ∩ C(Ω) y podemos aplicar la F´ormula Integral de Cauchy cuaterni´onica a la funci´on ψ Kα [f ] : ∀(x, y) ∈ Ω+ :   ψ Kα [f ](x, y) = ψ Kα ψ Kα [f ] (x, y). Ahora haciendo (x, y) → (t1 , t2 ) ∈ Γ y utilizando (2.47) y (2.48) obtenemos el resultado necesario. Suponiendo que (2.49) es cierta sobre C 0, obtenemos inmediatamente que (2.49) es cierta sobre Lp , p > 1 recordando que C 0, es denso en Lp y que I es un operador cont´ınuo.  Los siguientes enunciados muestran que ψ Pα es el operador que proyecta a cada uno de los espacios C 0, (Γ) y Lp (Γ) en sus respectivos subconjuntos de todas las funciones (ψ,α)-holom´orficamente extendibles desde la frontera hacia adentro de Ω+ . An´alogamente, ψ Qα proyecta estos espacios en las funciones (ψ,α)-holom´orficamente extendibles hacia adentro de Ω− . 2.24 Teorema (Extensi´on (ψ,α)-hiperholomorfa de una funci´on de H¨older dada) Sea Γ una curva cerrada de Liapunov que es la frontera de un dominio finito Ω+ y de un dominio infinito Ω− . Sea f ∈ C 0, (Γ, H(C)), 0 <  ≤ 1. 1) A fin de que f sea un valor de frontera (i.e., una traza sobre Γ) de una funci´on f˜ en ψ Mα (Ω+ ) ∩ C 0, (Ω+ ), la siguiente condici´on es necesaria y suficiente: f (t1 , t2 ) = ψ Sα [f ](t1 , t2 ), (t1 , t2 ) ∈ Γ, (2.51) o, equivalentemente, f ∈ im ψ Pα := ψ Pα (C 0, ).

(2.52)

2) A fin de que f sea un valor de frontera de una funci´on f˜ en ψ Mα (Ω− ) ∩ C 0, (Ω− ), f˜(∞) = 0, la siguiente condici´on es necesaria y suficiente: f (t1 , t2 ) = − ψ Sα [f ](t1 , t2 ), (t1 , t2 ) ∈ Γ,

(2.53)

2.6. Propiedades de valores de frontera de funciones α-hiperholomorfas.

41

o, equivalentemente, f ∈ im ψ Qα := ψ Qα (C 0, ).

(2.54)

Demostraci´on. Tomando f ∈ C 0, (Γ) tal que f es un valor de frontera de f˜ ∈ ψ Mα (Ω+ ) ∩ C 0, (Ω+ ), podemos escribir f˜(x, y) = ψ Kα [f ](x, y), (x, y) ∈ Ω+ . Enviando ahora Ω 3 (x, y) → (t1 , t2 ) ∈ Γ tenemos por el Teorema 2.22: 1 1 f (t1 , t2 ) = f (t1 , t2 ) + ψ Sα [f ](t1 , t2 ), 2 2 que nos da (2.51). Sea ahora f que satisface (2.51), denotemos f˜ := ψ Kα [f ] en Ω+ . Por tanto f˜ ∈ ψ Mα (Ω+ ) ∩ C 0, (Ω+ ), y, para (t1 , t2 ) ∈ Γ: f˜(t1 , t2 ) = 21 f (t1 , t2 ) + 21 ψ Sα [f ](t1 , t2 ) = f (t1 , t2 ). La segunda parte es completamente an´aloga.  2.25 Definici´ on Sea X cualquier espacio formado por funciones con valores en H(C) definidas sobre Γ, entonces ψ Uα (Ω± , X) denota las clases de funciones f˜± tales que: (1) f˜± ∈ ψ Mα (Ω± ), (2) para Ω± 3 (x, y) → (t1 , t2 ) ∈ Γ existe l´ım f˜± (x, y) =: f ± (t1 , t2 ), (en cualquier proporci´on, a lo largo de trayectorias no tangenciales)en todas partes o casi en todas partes sobre Γ generando una funci´on f ± de X, (3) f˜± es representable por la integral de tipo de Cauchy α-hiperholomorfa izquierda con una densidad de X. Si X = Lp (Γ, H(C)) entonces escribimos ψ Uα,p (Ω± ). Es claro que Lp (Γ, H(C)) es un H(C)-bim´odulo y en particular es un espacio complejo. 2.26 Teorema (Extensi´on (ψ,α)-holomorfa de una funci´on de Lp ) Sea Γ una curva cerrada de Liapunov que es la frontera de un dominio finito Ω+ y de un dominio infinito Ω− . Sea f ∈ Lp (Γ, H(C)).

1) A fin de que los valores de la funci´on f coincidan casi en todas partes sobre Γ con valores l´ımites de una funci´on f˜ ∈ ψ Uα,p (Ω+ ), la siguiente condici´on es necesaria y suficiente: f (t1 , t2 ) = ψ Sα [f ](t1 , t2 ),

(2.55)

casi en todas partes sobre Γ, o, equivalentemente, f ∈ im ψ Pα := ψ Pα (Lp (Γ)).

(2.56)

2) A fin de que los valores de la funci´on f coincidan casi en todas partes sobre Γ con valores l´ımites de una funci´on f˜ ∈ ψ Uα,p (Ω− ), la siguiente condici´on es necesaria y suficiente: f (t1 , t2 ) = − ψ Sα [f ](t1 , t2 ),

(2.57)

casi en todas partes sobre Γ, o, equivalentemente, f ∈ im ψ Qα := ψ Qα (Lp (Γ)).

(2.58)

Cap´ıtulo 3 El operador de Hilbert y las f´ ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria. 3.1.

El operador de Hilbert y las f´ ormulas de Hilbert para funciones holomorfas.

3.1.1 Ahora establecemos un muy buen an´alogo, para funciones α-hiperholomorfas, de las llamadas f´ormulas de Hilbert del an´alisis complejo de una dimensi´on. Con esto en mente, describiremos aqu´ı brevemente lo que ocurre en la situaci´on compleja. Denotemos por Γ = S(0; 1) a la circunferencia unitaria en el plano complejo C. Sea f˜ holomorfa (en el sentido usual) en el disco unitario que tenga la funci´on l´ımite f sobre Γ de clase C 0, (Γ), 0 <  < 1. Estamos buscando c´omo expresar una de las componentes reales de f =: f1 + if2 v´ıa la otra. O, equivalentemente, c´omo construir la funci´on l´ımite f conociendo una de sus componentes reales. Por supuesto, esto tiene una interpretaci´on m´as: puesto que teniendo la funci´on l´ımite f tenemos tambi´en la funci´on f˜; entonces estamos buscando a f˜ cuando conocemos una de las componentes reales de su funci´on l´ımite f . Denotemos por S al operador de integraci´on singular con el kernel de Cauchy

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

44

complejo a lo largo de Γ = S(0; 1): 1 S[f ](t) := πi

Z Γ

f (τ ) dτ, t ∈ Γ. τ −t

(3.1)

Se sabe que S es una involuci´on sobre C 0, (Γ), 0 <  < 1: S 2 = I, el operador identidad. Adem´as, una condici´on necesaria y suficiente para que f ∈ C 0, (Γ) sea el valor l´ımite de una funci´on holomorfa f˜ en el disco unitario es que f (t) = S[f ](t), ∀t ∈ Γ.

(3.2)

Ahora, para simplificar los c´alculos, trabajaremos en el intervalo [0, 2π] en lugar de la circunferencia unitaria aprovechando la siguiente parametrizaci´on: τ = eiψ , 0 ≤ ψ ≤ 2π, dτ = ieiψ dψ y t = eiϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π; definimos Φ(ϕ) : = eiϕ , Ψ(t) : = −i ln t, a partir de los cuales introducimos los siguientes operadores del cambio de variable B : C 0, (S(0; 1)) → C 0, ([0, 2π]), B[f ](ϕ) := f ◦ Φ(ϕ) = f (eiϕ ), y su inverso B −1 : C 0, ([0, 2π]) → C 0, (S(0; 1)), B −1 [g](t) := g ◦ Ψ(t) = g(−i ln t). Calculemos entonces BSB −1 [g] =BS[g ◦ Ψ] =BS[g(−i ln τ )]   Z 1 g(−i ln τ ) dτ =B πi Γ τ − t Z 1 g(−i ln τ ) = dτ πi Γ τ − eiϕ Z 1 2π ieiψ = g(ψ)dψ. πi 0 eiψ − eiϕ

3.1. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones holomorfas. 45

Sin embargo, se tiene que (ψ−ϕ)

ieiψ e2i 2 iei(ψ−ϕ+ϕ) ei(ψ−ϕ) = i = = i (ψ−ϕ) eiψ − eiϕ eiψ − eiϕ ei(ψ−ϕ) − 1 e2i 2 − 1 ψ−ϕ ei 2 =i ψ−ϕ ψ−ϕ ei 2 − e−i 2 cos ψ−ϕ + i sin ψ−ϕ 2 2
=i ψ−ϕ ψ−ϕ ψ−ϕ cos 2 + i sin 2 − cos 2 − i sin ψ−ϕ 2 =i

cos ψ−ϕ + i sin ψ−ϕ 2 2

2i sin ψ−ϕ 2   1 ψ−ϕ = cot +i . 2 2 Por lo tanto, finalmente obtenemos Z 1 2π ieiψ BSB [g] = g(ψ)dψ πi 0 eiψ − eiϕ  Z 2π  1 ψ−ϕ + i g(ψ)dψ = cot 2πi 0 2 Z 2π Z 2π 1 ψ−ϕ 1 = −i cot g(ψ)dψ + g(ψ)dψ 2π 0 2 2π 0 =: −iH[g](ϕ) + M [g], −1

donde la integral H[g] se entiende en el sentido del valor principal, H es el llamado 1 operador de Hilbert con n´ ucleo (real) 2π cot ψ−ϕ y M es un funcional. 2

3.1.2 Puesto que BSB −1 = −iH + M, y S es una involuci´on, tenemos que I = −H2 + M 2 − i(HM + M H),

46

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

calculemos entonces HM y M H. Para todo g ∈ C 0, ([0, 2π]) se tiene: Z 2π ψ−ϕ 1 cot M [g]dψ HM [g](ϕ) = 2π 0 2 Z 2π 1 ψ−ϕ =M [g] dψ cot 2π 0 2 Z 2π−ϕ 1 t =M [g] cot dt 2π −ϕ 2 Z 2π t cot dt =M [g] 2 Z0 π t =M [g] cot dt = 0, 2 −π es decir, H ◦ M = O, el operador cero.  Z 2π  Z 2π 1 1 ψ−ϕ M H[g] = cot g(ψ)dψ dϕ 2π 0 2π 0 2  Z 2π  Z 2π 1 ψ−ϕ 1 = cot g(ψ)dϕ dψ 2π 0 2π 0 2  Z 2π  Z 2π 1 ψ−ϕ 1 g(ψ) cot dϕ dψ = 0, = 2π 0 2π 0 2 o sea, M ◦ H = O. As´ı HM + M H = 0 y tenemos entonces I = −H2 + M 2 , adem´as M 2 [g] =M [M [g]] Z 2π 1 = M [g]dψ 2π 0 Z 2π 1 =M [g] dψ 2π 0 =M [g], luego M 2 = M y finalmente I = −H2 + M, en particular I[g] = −H2 [g] ⇔ g ∈ ker M.

(3.3)

3.1. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones holomorfas. 47

3.1.3 Consideremos ahora la ecuaci´on H[f ] = h. Supongamos que tiene una soluci´on f0 entonces H[f0 ] = h ⇒ M H[f0 ] = M [h] ⇒ M [h] = 0 ⇒ h ∈ ker M. Rec´ıprocamente si h ∈ ker M entonces H[−h] =: f0 ⇒ H[f0 ] = −H2 [h] = h − M [h] = h. Ahora, consideremos H[f ] = 0. Si tiene una soluci´on g0 6= 0 entonces H[g0 ] = 0 ⇒ H2 [g0 ] = 0 ⇒ (M − I)[g0 ] = 0 ⇒ M [g0 ] = g0 , por lo que g0 es una constante. Rec´ıprocamente, si g0 es una constante 1 2π

Z 0

2π

ψ−ϕ 1 cot g0 dψ = g0 2 2π

Z

2π

cot 0

ψ−ϕ dψ = 0, 2

y as´ı H[g0 ] = 0. Finalmente concluimos que la ecuaci´on H[f ] = h tiene soluci´on si y s´olo si h ∈ ker M y cuando se cumple la soluci´on general es f ∈ −H[h] + C, el cual es el an´alogo a las f´ormulas inversas de Cauchy obtenidas gracias a la involutividad del operador S y dadas por S[f ] =g, f =S[g].

3.1.4 Adem´as, para que f ∈ C 0, (Γ) sea el valor l´ımite de una funci´on holomorfa f˜ en el disco unitario es necesario que: f = S[f ], puesto que BSB −1 = −iH + M llegamos a que (−iH + M )[g] = g con g = B[f ], reescribiendo g := g1 + ig2 obtenemos (−iH + M )[g1 + ig2 ] = g1 + ig2 ,

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

48

y as´ı llegamos a M [g1 ] + H[g2 ] =g1 , M [g2 ] − H[g1 ] =g2 ,

(3.4)

finalmente, en el caso g ∈ ker M obtenemos H[g2 ] =g1 , −H[g1 ] =g2 ,

(3.5)

las cuales son conocidas como las f´ormulas mutuamente inversas de Hilbert.

3.2. 3.2.1.

El operador de Hilbert y las f´ ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas. Caso α = α0 ∈ C.

3.2.1.1 Desarrollando estas ideas a la situaci´on hiperholomorfa consideraremos, por motivos de simplicidad y tomando en cuenta aplicaciones posteriores, el caso ψ = ψst solamente. Cabe mencionar que a partir de aqu´ı todos los resultados son completamente nuevos. Una estructura m´as de los cuaternios complejos que ha demostrado ser u ´til para nuestros prop´ositos es la siguiente. Sea f ∈ H(C), entonces f=

3 X

fk ik = f0 + f3 i3 + (f1 + f2 i3 )i1 =: F10 + F20 i1 .

k=0

Cada cuaternio complejo F10 , F20 es de la forma a + bi3 con a, b n´ umeros complejos usuales, y por tanto pertenecen al ´algebra (conmutativa) de n´ umeros bicomplejos generada por las unidades imaginarias i e i3 la cual ser´a denotada por C(i)⊗C(i3 ). F10 y F20 ser´an llamadas las componentes (o coordenadas) bicomplejas de f . La conjugaci´on con respecto a i3 ser´a denotada como sigue: F˘10 := f0 − f3 i3 . ˘ 10 ] = F˘10 . Es claro El operador correspondiente ser´a denotado a veces como Z˘ : Z[F ˘ 0 ]. que F20 i1 = i1 F˘20 , es decir, M i1 [F20 ] = i1 Z[F 2

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

49

3.2.1.2 Primero consideraremos el caso α = α0 ∈ C. En lo que sigue utilizaremos el siguiente encaje del plano R2 en H τ = (τ1 , τ2 ) ←→ τ = τ1 i1 + τ2 i2 = (τ1 + τ2 i3 )i1 . Observemos que a partir de las expansiones de las funciones de Hankel (2.19) y (2.20) para z = (x, y) obtenemos que −iα0 1 α0 iα0 α0 H0 (α0 |z|) = ln(α0 |z|) − + (γ − ln 2) + O(z), z→0 2π 4 4 2π 1 1 −iα0 1 H1 (α0 |z|) = − + O(z), z→0 4 2π |z|

(3.6) (3.7)

as´ı que   −iα0 −zst zst 1 1 l´ım + H0 (α0 |z|) = , H1 (α0 |z|) α0 →0 4 |z| 2π|z|2 entonces para Kα0 en (2.23) basta considerar el caso α0 6= 0 y por lo tanto tambi´en para Sα0 en (2.33) solamente consideraremos este caso. Ahora definimos
B[f ](θ) :=f ei3 θ i1 , B−1 [g](τ ) :=g (−i3 ln(−τ i1 )) , donde las funciones e y ln son las funciones exponencial y logaritmo natural pero en el plano complejo con la unidad imaginaria i3 . Adem´as los mapeos anteriores son mutuamente inversos, en efecto, BB−1 [g](τ ) = B [g (−i3 ln(−τ i1 ))]
= g ei3 (−i3 ln(−τ i1 )) i1
= g eln(−τ i1 ) i1 = g(−τ i1 i1 ) = g(τ ).



B−1 B[f ](θ) = B−1 f ei3 θ i1 ]


= f −i3 ln − ei3 θ i1 i1

= f −i3 ln ei3 θ
= f ln eθ = f (θ).

50

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

Calculemos entonces BSα0 B−1 [g] = BSα0 [g (−i3 ln(−τ i1 ))]    Z  (t − τ )st iα0 1 1 H1 (α0 |t − τ |) + H0 (α0 |t − τ |) nst (τ )g (−i3 ln(−τ i1 )) dΓτ =B 2 Γ |t − τ |  Z  iα0 (ei3 θ i1 − τ )st 1 i3 θ 1 i3 θ = + H0 (α0 |e i1 − τ |) · H1 (α0 |e i1 − τ |) i3 θ 2 Γ |e i1 − τ | · nst (τ )g (−i3 ln(−τ i1 )) dΓτ . Haciendo el cambio de variable τ = ei3 ϕ i1 , de acuerdo con (2.28) y (2.29) dτ = nst (τ )dΓτ = i1 cos ϕdϕ + i2 sin ϕdϕ = ei3 ϕ i1 dϕ. Entonces tenemos que BSα0 B−1 [g] =  Z  iα0 2π (ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 ) 1 i3 θ i3 ϕ 1 i3 θ i3 ϕ = H1 (α0 |e i1 − e i1 |) i3 θ + H0 (α0 |e i1 − e i1 |) · 2 0 |e i1 − ei3 ϕ i1 | · ei3 ϕ i1 g(ϕ)dϕ. Sin embargo, observemos que (ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 ) i3 ϕ (ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 ) |ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 | i3 ϕ e i = e i1 1 |ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 | |ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 | |ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 | (ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 ) i3 θ = i3 θ |e i1 − ei3 ϕ i1 |ei3 ϕ i1 |e i1 − ei3 ϕ i1 |2 (ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 ) ei3 ϕ i1 |ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 | = i θ i ϕ i θ i ϕ 3 3 3 3 (e i1 − e i1 )(e i1 − e i1 ) 1 = ei3 ϕ i1 |ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 | i θ e 3 i1 − ei3 ϕ i1 1 = i3 ϕ ei3 ϕ i1 |ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 | i θ 3 e i1 − e i1 1 = i3 ϕ ei3 ϕ i1 |(ei3 θ − ei3 ϕ )i1 | (e − ei3 θ )i1 =

(ei3 ϕ − ei3 θ )i1 ei3 ϕ i1 |ei3 θ − ei3 ϕ ||i1 | (|(ei3 ϕ − ei3 θ )||i1 |)2

=

−i1 (ei3 ϕ − ei3 θ ) i3 ϕ e i1 |ei3 θ − ei3 ϕ | |ei3 ϕ − ei3 θ |2

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

(ei3 ϕ − ei3 θ ) − i1 ei3 ϕ i1 |ei3 θ − ei3 ϕ | i ϕ i θ 2 3 3 |e − e | (ei3 ϕ − ei3 θ ) i3 ϕ i3 θ e |e − ei3 ϕ | = i3 ϕ |e − ei3 θ |2 (ei3 ϕ − ei3 θ ) = ei3 ϕ |ei3 θ − ei3 ϕ | i ϕ i θ i ϕ i θ 3 3 3 3 (e − e )(e − e ) =

e i3 ϕ

|ei3 θ − ei3 ϕ | −   ei3 ϕ = |ei3 θ − ei3 ϕ | ei3 ϕ − ei3 θ  i (ϕ−θ+θ)  e3 = |ei3 θ − ei3 ϕ | ei3 ϕ − ei3 θ  i (ϕ−θ)  e3 |ei3 θ − ei3 ϕ | = i (ϕ−θ) 3 e −1 ! (ϕ−θ) e2i3 2 |ei3 θ − ei3 ϕ | = (ϕ−θ) 2i3 2 −1 e ! ϕ−θ e i3 2 = |ei3 θ − ei3 ϕ | i3 ϕ−θ −i3 ϕ−θ 2 2 e −e =

=

=

ei3 ϕ

e i3 θ

!

+ i3 sin ϕ−θ cos ϕ−θ 2 2 cos

ϕ−θ 2

+ i3 sin

ϕ−θ 2

cos ϕ−θ + i3 sin ϕ−θ 2 2

− cos !

2i3 sin ϕ−θ 2

ϕ−θ 2

− i3 sin

ϕ−θ 2


|ei3 θ − ei3 ϕ |

|ei3 θ − ei3 ϕ |

  1 ϕ−θ −i3 cot + 1 |ei3 θ − ei3 ϕ | = 2 2   1 ϕ−θ = i3 cot + 1 |ei3 θ − ei3 ϕ |. 2 2 Por lo tanto (ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 ) i3 ϕ 1 e i1 = i θ i ϕ 3 3 |e i1 − e i1 | 2



 ϕ−θ i3 cot + 1 |ei3 θ − ei3 ϕ |. 2

51

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

52

As´ı que, finalmente obtenemos BSα0 B−1 [g] =  Z  iα0 2π (ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 ) 1 i3 θ i3 ϕ 1 i3 θ i3 ϕ = + H0 (α0 |e i1 − e i1 |) · H1 (α0 |e i1 − e i1 |) i3 θ 2 0 |e i1 − ei3 ϕ i1 | · ei3 ϕ i1 g(ϕ)dϕ Z 2π  iα0 (ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 ) i3 ϕ 1 i3 θ i3 ϕ e i1 = H1 (α0 |e i1 − e i1 |) i3 θ 2 0 |e i1 − ei3 ϕ i1 |  + H01 (α0 |ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 |)ei3 ϕ i1 g(ϕ)dϕ   Z  1 ϕ−θ iα0 2π i3 θ i3 ϕ 1 H1 (α0 |e i1 − e i1 |) i3 cot + 1 |ei3 θ − ei3 ϕ | = 2 0 2 2  1 i3 θ i3 ϕ i3 ϕ + H0 (α0 |e i1 − e i1 |)e i1 g(ϕ)dϕ   Z 2π  1 ϕ−θ iα0 1 i3 θ i3 ϕ = + 1 |ei3 θ − ei3 ϕ | H1 (α0 |e − e ||i1 |) i3 cot 2 0 2 2  1 i3 θ i3 ϕ i3 ϕ + H0 (α0 |e − e ||i1 |)e i1 g(ϕ)dϕ   Z 2π  ϕ−θ iα0 1 i3 θ i3 ϕ 1 H1 (α0 |e − e |) i3 cot + 1 |ei3 θ − ei3 ϕ | = 2 0 2 2  + H01 (α0 |ei3 θ − ei3 ϕ |)ei3 ϕ i1 g(ϕ)dϕ Z 2π [Aα0 (θ, ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)i1 ] g(ϕ)dϕ, = 0

donde   ϕ−θ iα0 1 i3 θ i3 ϕ H (α0 |e − e |) i3 cot + 1 |ei3 θ − ei3 ϕ |, Aα0 (θ, ϕ) : = 4 1 2 iα0 1 Bα0 (θ, ϕ) : = H (α0 |ei3 θ − ei3 ϕ |)ei3 ϕ . 2 0 Luego, reescribiendo a g en t´erminos de sus componentes bicomplejas obtenemos g=

3 X k=0

gk ik = g0 + g3 i3 + (g1 + g2 i3 )i1 =: G01 + G02 i1 ,

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

53

entonces Z

−1

2π

[Aα0 (θ, ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)i1 ] g(ϕ)dϕ

BSα0 B [g] = 0

Z =

2π

[Aα0 (θ, ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)i1 ] (G01 + G02 i1 ) (ϕ)dϕ

Z0 2π h i 0 0 ˘ Aα0 (θ, ϕ)G1 (ϕ) − Bα0 (θ, ϕ)G2 (ϕ) dϕ = 0 Z 2π h i Aα0 (θ, ϕ)G02 (ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ) i1 dϕ. + 0

Definimos los siguientes operadores para F 0 ∈ C(i) ⊗ C(i3 ) Z 2π 0 ˘ 0 ]dϕ, Bα0 (θ, ϕ)Z[F Hα0 [F ] := − Z 2π0 Mα0 [F 0 ] := Aα0 (θ, ϕ)F 0 dϕ,

(3.8) (3.9)

0

luego BSα0 B−1 [g] = (Mα0 [G01 ] + Hα0 [G02 ]) + (Mα0 [G02 ] − Hα0 [G01 ]) i1 . 3.2.1.3 Sabemos que para que f ∈ C 0, (Γ) sea el valor l´ımite de una funci´on hiperholomorfa f˜ en el disco unitario la siguiente condici´on es necesaria y suficiente: f = Sα0 [f ]. Entonces si g = B[f ] se cumple que: g = G01 + G02 i1 = (Mα0 [G01 ] + Hα0 [G02 ]) + (Mα0 [G02 ] − Hα0 [G01 ]) i1 , de donde se obtienen las siguientes relaciones Mα0 [G01 ] + Hα0 [G02 ] = G01 , Mα0 [G02 ] − Hα0 [G01 ] = G02 ,

(3.10)

adem´as, si g ∈ ker Mα0 obtenemos Hα0 [G02 ] = G01 , −Hα0 [G01 ] = G02 .

(3.11)

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

54

Llamamos entonces al operador Hα0 el operador α-hiperholomorfo de Hilbert, sin embargo, m´as adelante se observa que la relaci´on con los operadores usuales es m´as sofisticada. Por lo tanto, para el caso α = α0 ∈ C hemos obtenido algunas generalizaciones de las f´ormulas de Hilbert y del operador de Hilbert usuales, para la teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en dos dimensiones. Nuestro operador de Hilbert relaciona una pareja de componentes de la funci´on l´ımite de una funci´on α-hiperholomorfa con la otra pareja de componentes, en una analog´ıa con lo que el operador de Hilbert usual hace para la funci´on l´ımite de una funci´on holomorfa disco unitario. Sin embargo, es importante mencionar que, a diferencia de los operadores usuales, el operador Mα0 no es un funcional y a´ un no se conoce el comportamiento de las composiciones Mα0 ◦ Hα0 , Hα0 ◦ Mα0 y Mα20 a f´ın de obtener un an´alogo a la f´ormula (3.3). 3.2.1.4 Analicemos ahora lo que sucede cuando α0 → 0. Utilizando las ecuaciones (3.6) y (3.7) para z = ei3 θ − ei3 ϕ obtenemos α0 iα0 α0 iα0 1 H0 (α0 |ei3 θ − ei3 ϕ |) = − ln(α0 |ei3 θ − ei3 ϕ |) + − (γ − ln 2)+ θ→ϕ 2 π 2 π + O(θ − ϕ), 1 1 iα0 1 + O(θ − ϕ), H1 (α0 |ei3 θ − ei3 ϕ |) = i θ 3 θ→ϕ π |e 2 − e i3 ϕ | luego 1 l´ım Aα0 (θ, ϕ) = α0 →0 2π l´ım Bα0 (θ, ϕ) = 0,



 ϕ−θ +1 , i3 cot 2

α0 →0

por lo que  Z 2π  1 ϕ−θ i3 cot + 1 F (ϕ)dϕ, l´ım Mα0 [F ] = α0 →0 2π 0 2 = i3 H[F ] + M [F ] l´ım Hα0 [F ] = 0. α0 →0

donde H y M son los operadores usuales del an´alisis complejo de una dimensi´on.

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

55

Aplicando las f´ormulas (3.10) y (3.11) cuando α0 → 0 obtenemos l´ım Mα0 [g0 + g3 i3 ] = g0 + g3 i3 ,

α0 →0

l´ım Mα0 [g1 + g2 i3 ] = g1 + g2 i3 ,

α0 →0

es decir, i3 H[g0 + g3 i3 ] + M [g0 + g3 i3 ] = g0 + g3 i3 , i3 H[g1 + g2 i3 ] + M [g1 + g2 i3 ] = g1 + g2 i3 , as´ı que M [g0 ] − H[g3 ] = g0 , M [g3 ] + H[g0 ] = g3 ,

(3.12)

M [g1 ] − H[g2 ] = g1 , M [g2 ] + H[g1 ] = g2 .

(3.13)

y

3.2.1.5 Para entender c´omo se encuentra encajado el caso usual aqu´ı necesitamos observar que para el caso α0 = 0 el operador que define la clase de hiperholomorf´ıa es el siguiente:   ∂ ∂ ∂ ∂ + i2 = i1 − i3 i1 . ∂x ∂y ∂x ∂y P Entonces para que una funci´on g = 3k=0 gk ik = g0 + g3 i3 + (g1 + g2 i3 )i1 = G01 + G02 i1 sea 0-hiperholomorfa se debe cumplir que     ∂ ∂ ∂ ∂ i1 − i3 g = i1 − i3 (G01 + G02 i1 ) ∂x ∂y ∂x ∂y   0 ∂G02 ∂G1 − i3 (3.14) = i1 ∂x ∂y  0  ∂G1 ∂G02 = i1 + i1 = 0, ∂z ∂z es decir, g es una pareja de funciones anti-holomorfas de la variable compleja z = x + i3 y pero con valores bicomplejos en C(i) ⊗ C(i3 ).

56

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

Adem´as, tenemos que G01 = g0 + g3 i3 = Reg0 + iImg0 + (Reg3 + iImg3 )i3 = (Reg0 + i3 Reg3 ) + i(Img0 + i3 Img3 ) =: p1 + iq1 , y G02 = g1 + g2 i3 = Reg1 + iImg1 + (Reg2 + iImg2 )i3 = (Reg1 + i3 Reg2 ) + i(Img1 + i3 Img2 ) =: p2 + iq2 . De ecuaci´on (3.14) obtenemos que ∂G01 ∂p1 ∂q1 ∂p1 ∂q1 = +i =0⇔ = = 0, ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z y

∂p2 ∂q2 ∂p2 ∂q2 ∂G02 = +i =0⇔ = = 0. ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z Por tanto, p1 , q1 , p2 y q2 tambi´en son funciones “usuales” complejas antiholomorfas. Ahora, aplicando las f´ormulas (3.12) y (3.13) obtenemos M [Reg0 + iImg0 ] − H[Reg3 + iImg3 ] = Reg0 + iImg0 , M [Reg3 + iImg3 ] + H[Reg0 + iImg0 ] = Reg3 + iImg3 , y M [Reg1 + iImg1 ] − H[Reg2 + iImg2 ] = Reg1 + iImg1 , M [Reg2 + iImg2 ] + H[Reg1 + iImg1 ] = Reg2 + iImg2 , de donde llegamos a las siguientes ecuaciones M [Reg0 ] − H[Reg3 ] = Reg0 , M [Reg3 ] + H[Reg0 ] = Reg3 ,

(3.15)

M [Img0 ] − H[Img3 ] = Img0 , M [Img3 ] + H[Img0 ] = Img3 ,

(3.16)

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

57

M [Reg1 ] − H[Reg2 ] = Reg1 , M [Reg2 ] + H[Reg1 ] = Reg2 ,

(3.17)

M [Img1 ] − H[Img2 ] = Img1 , M [Img2 ] + H[Img1 ] = Img2 .

(3.18)

Adem´as, si g ∈ ker M entonces M [g] = M [g0 + g1 i1 + g2 i2 + g3 i3 ] = M [g0 ] + M [g1 ]i1 + M [g2 ]i2 + M [g3 ]i3 = 0, as´ı que M [gk ] = 0 ∀k ∈ N3 ∪ {0} ⇒ M [Regk + iImgk ] = 0 ∀k ∈ N3 ∪ {0}, ⇒ M [Regk ] = 0 y M [Imgk ] = 0 ∀k ∈ N3 ∪ {0}. Por lo tanto tenemos que −H[Reg3 ] = Reg0 , H[Reg0 ] = Reg3 ,

(3.19)

−H[Img3 ] = Img0 , H[Img0 ] = Img3 ,

(3.20)

−H[Reg2 ] = Reg1 , H[Reg1 ] = Reg2 ,

(3.21)

−H[Img2 ] = Img1 , H[Img1 ] = Img2 .

(3.22)

As´ı, finalmente hemos obtenido una familia de f´ormulas de Hilbert para el par´ametro α0 6= 0, pero podemos extender por continuidad al caso α0 = 0 y para este caso las f´ormulas de Hilbert bicomplejas se han convertido en cuatro parejas de f´ormulas de Hilbert complejas para funciones anti-holomorfas.

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

58

Caso α ∈ / S, α ~ 2 6= 0.

3.2.2. 3.2.2.1

Sea α tal que α ∈ / S, α ~ 2 6= 0. Tenemos de (2.41) que Sα = P + Sξ+ + P − Sξ− , esto implica que
BSα B−1 [g] = B P + Sξ+ + P − Sξ− B−1 [g] = BP + B−1 BSξ+ B−1 [g] + BP − B−1 BSξ− B−1 [g] = P + BSξ+ B−1 [g] + P − BSξ− B−1 [g] Z 2π   + Aξ+ (θ, ϕ) + Bξ+ (θ, ϕ)i1 g(ϕ)dϕ =P 0 Z 2π   − +P Aξ− (θ, ϕ) + Bξ− (θ, ϕ)i1 g(ϕ)dϕ Z 2π0   1 = Aξ+ (θ, ϕ) + Bξ+ (θ, ϕ)i1 g(ϕ)(γ + α ~ )dϕ 2γ 0 Z 2π   1 ~ )dϕ. Aξ− (θ, ϕ) + Bξ− (θ, ϕ)i1 g(ϕ)(γ − α + 2γ 0 Reescribamos a γ + α ~ y g en la forma bicompleja: γ + α ~ = (γ + α3 i3 ) + (α1 + 0 0 0 0 0 ˘ ~ = γ1 − γ2 i1 y g = G1 + G02 i1 . Por tanto α2 i3 )i1 =: γ1 + γ2 i1 , entonces γ − α 1 BSα B [g] = 2γ −1

Z

2π



 Aξ+ (θ, ϕ) + Bξ+ (θ, ϕ)i1 (G01 (ϕ) + G02 (ϕ)i1 )(γ10 + γ20 i1 )dϕ

0 Z 2π   1 Aξ− (θ, ϕ) + Bξ− (θ, ϕ)i1 (G01 (ϕ) + G02 (ϕ)i1 )(γ˘10 − γ20 i1 )dϕ + 2γ 0 Z 2π h 1 Aξ+ G01 (ϕ)γ10 − Aξ+ G02 (ϕ)γ˘20 − Bξ+ G˘01 (ϕ)γ˘20 − = 2γ 0 − Bξ+ G˘02 (ϕ)γ10 + Aξ− G01 (ϕ)γ˘10 + Aξ− G02 (ϕ)γ˘20 + Bξ− G˘01 (ϕ)γ˘20 −   −Bξ− G˘02 (ϕ)γ˘10 + Aξ+ G01 (ϕ)γ20 + Aξ+ G02 (ϕ)γ˘10 + Bξ+ G˘01 (ϕ)γ˘10 −

− Bξ+ G˘02 (ϕ)γ20 − Aξ− G01 (ϕ)γ20 + Aξ− G02 (ϕ)γ10 + Bξ− G˘01 (ϕ)γ10 +  i +Bξ− G˘02 (ϕ)γ20 i1 dϕ.

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

59

3.2.2.2 Para que f ∈ C 0, (Γ) sea el valor l´ımite de una funci´on hiperholomorfa f˜ en el disco unitario la siguiente condici´on es necesaria y suficiente: f = Sα [f ]. Entonces si g = B[f ] se tiene que Z 2π h 1 0 0 Aξ+ G01 (ϕ)γ10 − Aξ+ G02 (ϕ)γ˘20 − Bξ+ G˘01 (ϕ)γ˘20 − G1 + G2 i1 = 2γ 0 − Bξ+ G˘02 (ϕ)γ10 + Aξ− G01 (ϕ)γ˘10 + Aξ− G02 (ϕ)γ˘20 + Bξ− G˘01 (ϕ)γ˘20 −   −Bξ− G˘02 (ϕ)γ˘10 + Aξ+ G01 (ϕ)γ20 + Aξ+ G02 (ϕ)γ˘10 + Bξ+ G˘01 (ϕ)γ˘10 − − Bξ+ G˘02 (ϕ)γ20 − Aξ− G01 (ϕ)γ20 + Aξ− G02 (ϕ)γ10 + Bξ− G˘01 (ϕ)γ10 +  i +Bξ− G˘02 (ϕ)γ20 i1 dϕ, de donde se obtienen las siguientes igualdades 1 2γ

Z

2π



Aξ+ G01 (ϕ)γ10 − Aξ+ G02 (ϕ)γ˘20 − Bξ+ G˘01 (ϕ)γ˘20 − Bξ+ G˘02 (ϕ)γ10 + 0  +Aξ− G01 (ϕ)γ˘10 + Aξ− G02 (ϕ)γ˘20 + Bξ− G˘01 (ϕ)γ˘20 − Bξ− G˘02 (ϕ)γ˘10 dϕ = G01 , (3.23) Z 2π  1 0 0 0 0 Aξ+ G1 (ϕ)γ2 + Aξ+ G2 (ϕ)γ˘10 + Bξ+ G˘01 (ϕ)γ˘10 − Bξ+ G˘02 (ϕ)γ2 2γ 0  −Aξ− G01 (ϕ)γ20 + Aξ− G02 (ϕ)γ10 + Bξ− G˘01 (ϕ)γ10 + Bξ− G˘02 (ϕ)γ20 dϕ = G02 . Si γ20 = 0, entonces obtenemos las siguientes f´ormulas    1  = G01 , Mξ+ [G01 ]γ10 + Mξ− [G01 ]γ˘10 + Hξ+ [G02 ]γ10 + Hξ− [G02 ]γ˘10 2γ    1  = G02 . Mξ+ [G02 ]γ˘10 + Mξ− [G02 ]γ10 − Hξ+ [G01 ]γ˘10 + Hξ− [G01 ]γ10 2γ Definimos los siguientes operadores para F 0 ∈ C(i) ⊗ C(i3 )
1 Mα [F 0 ] : = Mξ+ [F 0 ] + Mξ− [F 0 ] , 2
˜ α [F 0 ] : = 1 Mξ+ [F 0 ] − Mξ− [F 0 ] α3 i3 , M 2γ
1 Hα [F 0 ] : = Hξ+ [F 0 ] + Hξ− [F 0 ] , 2
0 ˜ α [F ] : = 1 Hξ [F 0 ] − Hξ [F 0 ] α3 i3 . H + − 2γ

(3.24)

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

60

Entonces las f´ormulas (3.24) se reescriben de la siguiente manera     ˜ α [G0 ] = G0 , ˜ α [G0 ] + Hα [G0 ] + H Mα [G01 ] + M 1 2 2 1     ˜ α [G0 ] = G0 . ˜ α [G02 ] − Hα [G01 ] − H Mα [G02 ] − M 1 2

3.2.3.

(3.25)

Caso α ∈ / S, α ~ 2 = 0.

3.2.3.1 Sea ahora α ∈ / S, α ~ 2 = 0. Por definici´on Sα = Sα0 + M α~

∂ Sα , ∂α0 0

tenemos entonces que   α ~ ∂ Sα B−1 [g] BSα B [g] = B Sα0 + M ∂α0 0 ∂ = BSα0 B−1 [g] + BM α~ Sα0 B−1 [g] ∂α0 ∂ BSα0 B−1 [g]. = BSα0 B−1 [g] + M α~ ∂α0 −1

Sin embargo Z 2π  ∂ ∂ −1 [Aα0 (θ, ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)i1 ] g(ϕ)dϕ BSα0 B [g] = ∂α0 ∂α0 0    Z  ∂ ϕ−θ iα0 2π 1 1 i3 θ i3 ϕ = H (α0 |e − e |) i3 cot +1 · ∂α0 2 0 2 1 2 
·|ei3 θ − ei3 ϕ | + H01 (α0 |ei3 θ − ei3 ϕ |)ei3 ϕ i1 g(ϕ)dϕ Z 2π    ϕ−θ i 1 1 i3 θ i3 ϕ = H (α0 |e − e |) i3 cot +1 · 2 2 1 2 0 
·|ei3 θ − ei3 ϕ | + H01 (α0 |ei3 θ − ei3 ϕ |)ei3 ϕ i1 g(ϕ)dϕ Z 2π    iα0 1 dH11 ϕ−θ i3 θ i3 ϕ + (α0 |e − e |) i3 cot +1 · 2 2 du 2 0 · |ei3 θ − ei3 ϕ |2 − H11 (α0 |ei3 θ − ei3 ϕ |)|ei3 θ − ei3 ϕ |· 
·ei3 ϕ i1 g(ϕ)dϕ

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

Z = 0

2π



61

1 (Aα0 (θ, ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)i1 ) α0
 + A∗α0 (θ, ϕ) + B∗α0 (θ, ϕ)i1 g(ϕ)dϕ,

donde   ϕ−θ iα0 dH11 i3 θ i3 ϕ := (α0 |e − e |) i3 cot + 1 |ei3 θ − ei3 ϕ |2 , 4 du 2 iα0 1 B∗α0 (θ, ϕ) : = − H1 (α0 |ei3 θ − ei3 ϕ |)|ei3 θ − ei3 ϕ |ei3 ϕ . 2

A∗α0 (θ, ϕ)

As´ı ∂ BSα B−1 [g] = BSα0 B−1 [g] + M α~ BSα0 B−1 [g] ∂α0 Z 2π [Aα0 (θ, ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)i1 ] g(ϕ)dϕ = 0 Z 2π  1 (Aα0 (θ, ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)i1 ) + α0 0
 + A∗α0 (θ, ϕ) + B∗α0 (θ, ϕ)i1 g(ϕ)~ αdϕ.

Si α ~ = A01 + A02 i1 y g = G01 + G02 i1 , entonces

−1

BSα B [g] =

Z

2π

[(Aα0 (θ, ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)i1 ) (G01 (ϕ) + G02 (ϕ)i1 )   1 1 + Aα (θ, ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)i1 (G01 (ϕ) + G02 (ϕ)i1 )(A01 + A02 i1 ) α0 0 α0
 ∗ ∗ + Aα0 (θ, ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)i1 (G01 (ϕ) + G02 (ϕ)i1 )(A01 + A02 i1 ) dϕ 0

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

62

2π

 1 = Aα0 (θ, ϕ)G01 (ϕ) − Bα0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ) + Aα0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A01 α0 0 1 1 − Aα0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘02 − Bα0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘02 α0 α0 1 − Bα0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A01 + A∗α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A01 − A∗α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘02 α0  0 ∗ ∗ 0 0 0 ˘ ˘ ˘ −Bα0 (θ, ϕ)G1 (ϕ)A2 − Bα0 (θ, ϕ)G2 (ϕ)A1  1 + Aα0 (θ, ϕ)G02 (ϕ) + Bα0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ) + Aα0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A02 α0 1 1 + Aα0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘01 + Bα0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘01 α0 α0 1 − Bα0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A02 + A∗α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A02 + A∗α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘01 α0  i +B∗α0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘01 − B∗α0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A02 i1 dϕ Z 2π  1 0 0 Aα0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A01 = Mα0 [G1 ] + Hα0 [G2 ] + α0 0 1 1 − Aα0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘02 − Bα0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘02 α0 α0 1 − Bα0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A01 + A∗α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A01 − A∗α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘02 α0  ∗ ∗ 0 0 0 0 ˘ ˘ ˘ −Bα0 (θ, ϕ)G1 (ϕ)A2 − Bα0 (θ, ϕ)G2 (ϕ)A1 dϕ Z 2π  1 0 0 Aα0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A02 + Mα0 [G2 ]i1 − Hα0 [G1 ]i1 + α 0 0 1 1 + Aα0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘01 + Bα0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘01 α0 α0 1 − Bα0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A02 + A∗α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A02 + A∗α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘01 α0  +B∗ (θ, ϕ)G˘0 (ϕ)A˘0 − B∗ (θ, ϕ)G˘0 (ϕ)A0 i1 dϕ. Z

α0

1

1

α0

2

2

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

63

3.2.3.2 Utilizando la condici´on: f = Sα [f ] para que f ∈ C 0, (Γ) sea el valor l´ımite de una funci´on hiperholomorfa f˜ en el disco unitario y si g = B[f ] implica Z 2π  1 0 0 0 0 G1 + G2 i1 = Mα0 [G1 ] + Hα0 [G2 ] + Aα0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A01 α 0 0 1 1 − Aα0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘02 − Bα0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘02 α0 α0 1 − Bα0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A01 + A∗α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A01 − A∗α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘02 α0  0 ∗ ∗ 0 0 0 ˘ ˘ ˘ −Bα0 (θ, ϕ)G1 (ϕ)A2 − Bα0 (θ, ϕ)G2 (ϕ)A1 dϕ Z 2π  1 0 0 + Mα0 [G2 ]i1 − Hα0 [G1 ]i1 + Aα0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A02 α 0 0 1 1 + Aα0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘01 + Bα0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘01 α0 α0 1 − Bα0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A02 + A∗α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A02 + A∗α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘01 α0  +B∗ (θ, ϕ)G˘0 (ϕ)A˘0 − B∗ (θ, ϕ)G˘0 (ϕ)A0 i1 dϕ, 1

α0

1

2

α0

2

de donde obtenemos las siguientes igualdades Z

2π



1 Aα0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A01 α0 0 1 1 − Aα0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘02 − Bα0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘02 α0 α0 1 − Bα0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A01 + A∗α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A01 − A∗α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘02 α0  ∗ ∗ 0 0 0 0 ˘ ˘ ˘ −Bα0 (θ, ϕ)G1 (ϕ)A2 − Bα0 (θ, ϕ)G2 (ϕ)A1 dϕ = G01 , Z 2π  1 0 0 Aα0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A02 Mα0 [G2 ] − Hα0 [G1 ] + α 0 0 1 1 + Aα0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘01 + Bα0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘01 α0 α0 1 − Bα0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A02 + A∗α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)A02 + A∗α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)A˘01 α0  +B∗ (θ, ϕ)G˘0 (ϕ)A˘0 − B∗ (θ, ϕ)G˘0 (ϕ)A0 dϕ = G0 . Mα0 [G01 ]

α0

+

Hα0 [G02 ]

1

+

1

α0

2

2

2

(3.26)

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

64

Si, en particular, A02 = 0, entonces tambi´en A01 = 0, es decir, α = α0 con α0 6= 0. Entonces a partir de (3.26) se cumplen las siguientes relaciones Mα0 [G01 ] + Hα0 [G02 ] = G01 , Mα0 [G02 ] − Hα0 [G01 ] = G02 , y para g ∈ ker Mα0 se tiene Hα0 [G02 ] = G01 , −Hα0 [G01 ] = G02 . N´otese que con este desarrollo hemos obtenido nuevamente las f´ormulas (3.10) y (3.11). Por lo tanto, el caso α0 ∈ C est´a contenido en este caso. Adem´as, cabe mencionar que, para este caso (α ∈ / S, α ~ 2 = 0) este hecho tambi´en se cumple para la recta real en [RoShaTo].

3.2.4.

Caso α ∈ S, α0 6= 0.

3.2.4.1 Sea aqu´ı α ∈ S, α0 6= 0. Para este caso recordemos que Sα = P + S2α0 + P − S0 , entonces


BSα B−1 [g] = B P + S2α0 + P − S0 B−1 [g] = BP + B−1 BS2α0 B−1 [g] + BP − B−1 BS0 B−1 [g] = P + BS2α0 B−1 [g] + P − BS0 B−1 [g]. Sin embargo, se tiene que BS0 B−1 [g] = BS0 [g(−i3 ln(−τ i1 ))]   Z (t − τ )st 1 =B nst (τ )g(−i3 ln(−τ i1 ))dΓτ π Γ |t − τ |2 Z 1 (ei3 θ i1 − τ )st nst (τ )g(−i3 ln(−τ i1 ))dΓτ . = π Γ |ei3 θ i1 − τ |2

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

65

Nuevamente, haciendo el cambio de variable τ = ei3 ϕ i1 , dτ = nst (τ )dΓτ = i1 cos ϕdϕ + i2 sin ϕdϕ = ei3 ϕ i1 dϕ, obtenemos que Z 1 2π (ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 ) i3 ϕ −1 BS0 B [g] = e i1 g(ϕ)dϕ π 0 |ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 |2  Z 2π  ϕ−θ 1 i3 cot + 1 g(ϕ)dϕ = 2π 0 2 = i3 H[g] + M [g]. As´ı, llegamos a que BSα B−1 [g] = P + BS2α0 B−1 [g] + P − BS0 B−1 [g] Z 2π + =P [A2α0 (θ, ϕ) + B2α0 (θ, ϕ)i1 ] g(ϕ)dϕ 0

+ P − (i3 H[g] + M [g]) Z 2π 1 [A2α0 (θ, ϕ) + B2α0 (θ, ϕ)i1 ] g(ϕ)αdϕ = 2α0 0 1 + (i3 H[g] + M [g]) α ¯. 2α0 ¯ = Λ˘01 −Λ02 i1 y tomando g = G01 +G02 i1 Si, en este caso, α := Λ01 +Λ02 i1 entonces α obtenemos Z 2π 1 −1 BSα B [g] = [(A2α0 (θ, ϕ) + B2α0 (θ, ϕ)i1 ) (G01 (ϕ) + G02 (ϕ)i1 )· 2α0 0 ·(Λ01 + Λ02 i1 )] dϕ + (i3 H[G01 (ϕ) + G02 (ϕ)i1 ] + o 0 0 0 0 ˘ +M [G1 (ϕ) + G2 (ϕ)i1 ]) (Λ1 − Λ2 i1 ) Z 2π  1 = A2α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)Λ01 − A2α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)Λ˘02 2α0 0  0 0 0 0 ˘ ˘ ˘ −B2α0 (θ, ϕ)G1 (ϕ)Λ2 − B2α0 (θ, ϕ)G2 (ϕ)Λ1 dϕ+ i +i3 H[G01 ]Λ˘01 + M [G01 ]Λ˘01 + i3 H[G02 ]Λ˘02 + M [G02 ]Λ˘02 + Z 2π  + A2α (θ, ϕ)G0 (ϕ)Λ0 + A2α (θ, ϕ)G0 (ϕ)Λ˘0 0

1

2

0

2

1

0



+B2α0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)Λ˘01 − B2α0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)Λ02 dϕ− −i3 H[G01 ]Λ02 − M [G01 ]Λ02 + i3 H[G02 ]Λ01 + M [G02 ]Λ01 ] i1 } .

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

66

3.2.4.2 De nuevo, sabiendo que para que f ∈ C 0, (Γ) sea el valor l´ımite de una funci´on hiperholomorfa f˜ en el disco unitario la siguiente condici´on es necesaria y suficiente: f = Sα [f ]. Si g = B[f ] entonces

G01

+

G02 i1

1 = 2α0

Z

2π



A2α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)Λ01 − A2α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)Λ˘02 0  −B2α0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)Λ˘02 − B2α0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)Λ01 dϕ+ i 0 ˘0 0 ˘0 0 ˘0 0 ˘0 +i3 H[G1 ]Λ1 + M [G1 ]Λ1 + i3 H[G2 ]Λ2 + M [G2 ]Λ2 + Z 2π  A2α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)Λ02 + A2α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)Λ˘01 + 0  0 0 0 0 ˘ ˘ ˘ +B2α0 (θ, ϕ)G1 (ϕ)Λ1 − B2α0 (θ, ϕ)G2 (ϕ)Λ2 dϕ− −i3 H[G01 ]Λ02 − M [G01 ]Λ02 + i3 H[G02 ]Λ01 + M [G02 ]Λ01 ] i1 } ,

de donde se obtiene que 1 2α0

Z

2π



A2α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)Λ01 − A2α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)Λ˘02 0  0 0 0 0 ˘ ˘ ˘ −B2α0 (θ, ϕ)G1 (ϕ)Λ2 − B2α0 (θ, ϕ)G2 (ϕ)Λ1 dϕ+

+ i3 H[G01 ]Λ˘01 + M [G01 ]Λ˘01 + i3 H[G02 ]Λ˘02 + M [G02 ]Λ˘02 = G01 , Z 2π  1 A2α0 (θ, ϕ)G01 (ϕ)Λ02 + A2α0 (θ, ϕ)G02 (ϕ)Λ˘01 2α0 0  +B2α0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)Λ˘01 − B2α0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)Λ02 dϕ−

(3.27)

− i3 H[G01 ]Λ02 − M [G01 ]Λ02 + i3 H[G02 ]Λ01 + M [G02 ]Λ01 = G02 . Si Λ02 = 0, i.e. α = α0 + α3 i3 = Λ01 , entonces de las f´ormulas (3.27) nuevamente obtenemos el siguiente an´alogo de las f´ormulas de Hilbert  1  (i3 H[G01 ] + M [G01 ]) Λ˘01 + M2α0 [G01 ]Λ01 + H2α0 [G02 ]Λ01 = G01 , 2α0  1  0 0 0 0 ˘0 0 ˘0 (i3 H[G2 ] + M [G2 ]) Λ1 + M2α0 [G2 ]Λ1 − H2α0 [G1 ]Λ1 = G02 . 2α0

(3.28)

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

67

M´as a´ un, recordemos que i3 H + M = l´ım Mα0 , entonces α0 →0

   1 0 0 0 0 0 0 ˘ l´ım Mα0 [G1 ] Λ1 + M2α0 [G1 ]Λ1 + H2α0 [G2 ]Λ1 = G01 , α0 →0 2α0    1 0 ˘0 0 0 0 ˘0 l´ım Mα0 [G2 ] Λ1 + M2α0 [G2 ]Λ1 − H2α0 [G1 ]Λ1 = G02 . α0 →0 2α0

3.2.5.

Caso α ∈ S, α0 = 0.

3.2.5.1 Finalmente sea α ∈ S, α0 = 0. De (2.41) tenemos que Sα = S0 − M α~ Vˆ0 , as´ı   BSα B−1 [g] = B S0 − M α~ Vˆ0 B−1 [g] = BS0 B−1 [g] − BM α~ Vˆ0 B−1 [g] = BS0 B−1 [g] − M α~ BVˆ0 B−1 [g]. donde recordemos que Vˆ0 [f ](t) = 2 =

1 π

Z θ0 (t − τ )nst (τ )f (τ )dΓτ ZΓ ln |t − τ |nst (τ )f (τ )dΓτ . Γ

Sin embargo, BVˆ0 B−1 [g] = BVˆ0 [g(−i3 ln(−τ i1 ))]  Z  1 =B ln |t − τ |nst (τ )g(−i3 ln(−τ i1 ))dΓτ π Γ Z 1 ln |ei3 θ i1 − τ |nst (τ )g(−i3 ln(−τ i1 ))dΓτ . = π Γ

(3.29)

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

68

Tomando el cambio de variable τ = ei3 ϕ i1 , dτ = nst (τ )dΓτ = i1 cos ϕdϕ + i2 sin ϕdϕ = ei3 ϕ i1 dϕ, obtenemos que Z 1 2π −1 ˆ BV0 B [g] = ln |ei3 θ i1 − ei3 ϕ i1 |ei3 ϕ i1 g(ϕ)dϕ π 0 Z 1 2π ln |ei3 θ − ei3 ϕ |ei3 ϕ i1 g(ϕ)dϕ = π 0 Z 2π D0 (θ, ϕ)i1 g(ϕ)dϕ, = 0

donde 1 ln |ei3 θ − ei3 ϕ |ei3 ϕ π 1 = ln |1 − ei3 (ϕ−θ) |ei3 ϕ . π

D0 (θ, ϕ) : =

Por tanto BSα B−1 [g] = BS0 B−1 [g] − M α~ BVˆ0 B−1 [g] Z 2π = i3 H[g] + M [g] − D0 (θ, ϕ)i1 g(ϕ)~ αdϕ. 0

Si α ~ = A01 + A02 i1 y g = G01 + G02 i1 , entonces BSα B−1 [g] = i3 H[G01 + G02 i1 ] + M [G01 + G02 i1 ] Z 2π − D0 (θ, ϕ)i1 (G01 (ϕ) + G02 (ϕ)i1 )(A01 + A02 i1 )dϕ  0 Z 2π    0 0 0 0 0 0 ˘ ˘ ˘ = i3 H[G1 ] + M [G1 ] + D0 (θ, ϕ)G1 (ϕ)A2 + D0 (θ, ϕ)G2 (ϕ)A1 dϕ + 0  Z 2π    0 0 0 0 0 0 ˘ ˘ ˘ D0 (θ, ϕ)G2 (ϕ)A2 − D0 (θ, ϕ)G1 (ϕ)A1 i1 dϕ. + i3 H[G2 ]i1 + M [G2 ]i1 + 0

3.2.5.2 Sabemos que para que f ∈ C 0, (Γ) sea el valor l´ımite de una funci´on hiperholomorfa f˜ en el disco unitario la siguiente condici´on es necesaria y suficiente:

3.2. El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas.

69

f = Sα [f ]. Entonces si g = B[f ] tenemos que G01 + G02 i1 =  Z 2π    0 0 0 0 0 0 ˘ ˘ ˘ D0 (θ, ϕ)G1 (ϕ)A2 + D0 (θ, ϕ)G2 (ϕ)A1 dϕ + = i3 H[G1 ] + M [G1 ] + 0  Z 2π    0 0 0 0 0 0 D0 (θ, ϕ)G˘2 (ϕ)A2 − D0 (θ, ϕ)G˘1 (ϕ)A˘1 i1 dϕ, + i3 H[G2 ]i1 + M [G2 ]i1 + 0

de donde se obtienen las siguientes igualdades Z 2π   0 0 D0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘02 + D0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A01 dϕ = G01 i3 H[G1 ] + M [G1 ] + Z0 2π   D0 (θ, ϕ)G˘02 (ϕ)A02 − D0 (θ, ϕ)G˘01 (ϕ)A˘01 dϕ = G02 . i3 H[G02 ] + M [G02 ] + 0

(3.30) Sea, en particular, A02 = 0, es decir, α = α3 i3 con α3 6= 0, definimos el siguiente operador para F 0 ∈ C(i) ⊗ C(i3 ) Z 2π   0 ˘ 0 ] dϕ. D0 (θ, ϕ)Z[F Hα [F ] := 0

Entonces a partir de las f´ormulas (3.30) obtenemos el siguiente an´alogo de las f´ormulas de Hilbert i3 H[G01 ] + M [G01 ] + Hα [G02 ]A01 = G01 , i3 H[G02 ] + M [G02 ] − Hα [G01 ]A˘01 = G02 .

(3.31)

Notemos que A˘01 = −A01 y i3 H+M = l´ım Mα0 , entonces finalmente obtenemos α0 →0

l´ım Mα0 [G01 ] + Hα [G02 ]A01 = G01 ,

α0 →0

l´ım Mα0 [G02 ] + Hα [G01 ]A01 = G02 .

α0 →0

(3.32)

70

El operador de Hilbert y las f´ormulas de Hilbert para funciones α-hiperholomorfas en la circunferencia unitaria.

Cap´ıtulo 4 Conclusiones Por medio del presente trabajo se han obtenido algunas generalizaciones de las f´ormulas de Hilbert y del operador de Hilbert usuales, para la teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en dos dimensiones. Primero se han desarrollado las ideas para la situaci´on α0 -hiperholomorfa con α0 ∈ C donde obtuvimos el an´alogo del operador de Hilbert y de las f´ormulas de Hilbert para este caso. El operador de Hilbert obtenido relaciona una pareja de componentes de la funci´on l´ımite de una funci´on α0 -hiperholomorfa en el disco unitario con la otra pareja de componentes, en una analog´ıa con lo que el operador de Hilbert usual hace para la funci´on l´ımite de una funci´on holomorfa en el disco unitario. Como se puede observar, la situaci´on compleja no se encuentra directamente encajada en este caso, pero si consideramos la situaci´on cuando α0 → 0 se obtienen las f´ormulas de Hilbert usuales para funciones anti-holomorfas de una variable compleja. Posteriormente con ayuda del caso α0 ∈ C obtuvimos tambi´en los an´alogos deseados para la situaci´on α-hiperholomorfa con α ∈ H(C) arbitrario, las f´ormulas de Hilbert para tales α son completamente nuevas. En el Ap´endice B se presentan algunos resultados acerca de la teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en tres-dimensiones, lo que marca la pauta para futuros trabajos encaminados a encontrar generalizaciones de las f´ormulas de Hilbert y del operador de Hilbert usuales, para la teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en tres dimensiones.

72

Conclusiones

Ap´ endice A

A.1.

Algunas propiedades de los cuaternios reales.

A.1.1.

Cuaternios reales.

Los cuaternios H es un a´lgebra real generada por las unidades imaginarias y el uno: 1 := e0 , i := e1 , j := e2 , k := e3 los cuales satisfacen la siguiente tabla de multiplicaci´on (tabla de Cayley): 1 i j k

1 i 1 i i -1 j -k k j

j k j k k -j -1 i -i -1

luego cada x ∈ H se escribe: x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k =

3 X

x` e `

`=0

Si y =

3 X

y` e` , entonces el producto de x por y es:

`=0

xy = (x0 + x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 )(y0 + y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = (x0 y0 − x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 ) + (x0 y1 + x1 y0 + x2 y3 − x3 y2 )e1 + (x0 y2 − x1 y3 + x2 y0 + x3 y1 )e2 + (x0 y3 + x1 y2 − x2 y1 + x3 y0 )e3 .

74

Ap´endice A El espacio R3 est´a contenido en H seg´ un la siguiente identificaci´on H = R ⊕ Re1 ⊕ Re2 ⊕ Re3 = R ⊕ R3 . Se define la conjugaci´on cuaterni´onica por: x=

3 X

x` e` 7−→ x = x0 − x1 e1 − x2 e2 − x3 e3 = x0 −

`=0

3 X

x` e ` .

`=1

Una involuci´on es una funci´on ϕ : H → H tal que ϕ2 ≡ idH , luego la conjugaci´on es una involuci´on. A.1.1.1 Proposici´ on La conjugaci´on es un anti-automorfismo en el R-m´odulo H, es decir, tiene las siguientes propiedades: (1) x + y = x + y. (2) xy = y x. (3) x = x. (4) Para todo λ ∈ R, λx = λx. Dado x =

3 X

x` e` ∈ H,

`=0

xx =

3 X

x2` = |x|2 .

`=0

La ecuaci´on anterior nos dice que se ha escrito una forma cuadr´atica como el producto de dos formas lineales. A.1.1.2 Proposici´ on (1) |xy| = |x||y|. (2) |x| = |x|. A.1.1.3 Observaci´ on El anillo H es un anillo de divisi´on. En efecto, si x ∈ x H \ {0} su inverso multiplicativo es x−1 = 2 . |x|

A.1. Algunas propiedades de los cuaternios reales.

75

Los cuaternios poseen varias involuciones, en particular tiene conjugaciones parciales: ζ` : H → H, ` = 1, 2, 3. ζ1 (x) = ζ1 (

3 X

x` e` ) := x0 − x1 e1 + x2 e2 + x3 e3

`=0

ζ2 (x) = x0 + x1 e1 − x2 e2 + x3 e3 ζ3 (x) = x0 + x1 e1 + x2 e2 − x3 e3

A.1.1.4 Teorema Todas las operaciones cuaterni´onicas son cont´ınuas. Demostraci´on. Sean x, y ∈ H y sean {xn } → x y {yn } → y. Estimemos la n→∞ n→∞ distancia, para la suma: |(xn + yn ) − (x + y)| ≤ |xn − x| + |yn − y| → 0. Para la conjugaci´on: |xn − x| = |xn − x| = |xn − x| → 0. Para el producto: |xn yn − xy| = |xn yn − xn y + xn y − xy| ≤ |xn ||yn − y| + |xn − x||y| → 0. Para inversos: −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 |x−1 n − x | = |xn (x − xn )x | = |xn ||x − xn ||x | = |xn | ||x − xn ||x | → 0.

 Dado a ∈ H: a = a0 + a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 a0 =: Sc(a) (parte escalar) ~a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 =: V ect(a) (parte vectorial)

76

Ap´endice A

Sea b =

P3

`=0 b` e`

= b0 + ~b, entonces:

ab = (a0 + ~a)(b0 + ~b) = a0 b0 + a0~b + b0~a + ~a~b ~a~b = (a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 )(b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 ) = −a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 + (a2 b3 − a3 b2 )e1 + (−a1 b3 + a3 b1 )e2 + (a1 b2 − a2 b1 )e3 a2 a3 a1 a3 a1 a2 e − e + e = −h~a, ~bi + b2 b3 1 b1 b3 2 b1 b2 3 = −h~a, ~bi + [~a × ~b] ∴ ab = a0 b0 − h~a, ~bi + a0~b + b0~a + [~a × ~b]. A.1.1.5 Proposici´ on La conjugaci´on cuaterni´onica caracteriza a los vectores y a los escalares en H, es decir: (1) x = x ⇔ x ∈ R. (2) x = −x ⇔ x ∈ R3 . A.1.1.6 Proposici´ on Dado x ∈ H, x ∈ R ⇔ xy = yx para todo y ∈ H.Es decir, el centro de H, C(H) = R. Demostraci´on. La primera implicaci´on es inmediata. Rec´ıprocamente supongamos x = x0 +x1 e1 +x2 e2 +x3 e3 y por hip´otesis xy = yx para todo y ∈ H. En particular para y = e1 : xe1 = x0 e1 − x1 + x2 e2 e1 + x3 e3 e1 = e1 x0 − x1 − x2 e1 e2 − x3 e1 e3 = e1 x e1 x = e1 x0 − x1 + x2 e1 e2 + x3 e1 e3 Luego x2 = −x2 y x3 = −x3 pero esto ocurre si y s´olo si x2 = x3 = 0. Entonces x = x0 + x1 e1 . Ahora tomemos y = e2 : xe2 = x0 e2 + x1 e1 e2 = e2 x e2 x = e2 x0 + x1 e2 e1 = x0 e2 − x1 e1 e2 . Entonces x1 = 0 y por lo tanto x = x0 ∈ R.



A.1. Algunas propiedades de los cuaternios reales.

77

A.1.1.7 Proposici´ on Dado x ∈ H, x ∈ R3 \ {0} si y s´olo si x2 ∈ R y x2 < 0. Demostraci´on. Supongamos que x ∈ R3 \ {0}, entonces x = ~x x2 = ~x~x = −h~x, ~xi + [~x × ~x] = −|~x|2 . Por lo tanto x2 ∈ R y x2 < 0. Rec´ıprocamente si x ∈ H, x2 ∈ R y x2 < 0 entonces: x2 = (x0 + ~x)2 = (x0 + ~x)(x0 + ~x) = x20 − |~x|2 + 2x0~x. Puesto que x2 ∈ R, entonces 2x0~x = 0. Luego x0 = 0 o ~x = 0. Si x0 = 0 ya terminamos. Si ~x = 0, entonces x2 = x20 > 0, lo cual es una contradicci´on.  A.1.1.8 Proposici´ on Para todo a ∈ H existe x ∈ H tal que x2 = a. ´ Demostraci´on. Basta aplicar el Teorema Fundamental del Algebra para cuaternios 2 al polinomio x − a = 0 (v´ease [PogSha]).  A.1.1.9 Observaci´ on Como espacio vectorial H ∼ = R4 , por lo que tiene sentido hablar de ortogonalidad en H utilizando el producto interno de R4 . Por ejemplo: si a = a0 +~a, b = ~b ∈ H con a0 6= 0 tales que a ⊥ b, entonces ~a y ~b son ortogonales en R3 pues como: ha, bi = a0 0 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0, entonces: h~a, ~bi = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0. A.1.1.10 Corolario (Vectores y ra´ıces cuadradas de n´ umeros negativos). x2 = −1 si y s´olo si x ∈ S2 , donde S2 es la esfera bidimensional unitaria en R3 , es decir, S2 = {~x ∈ R3 | |~x| = 1}.

A.1.2.

Algunas propiedades de las esferas en R3 y R4 .

Una primera noci´on geom´etrica que debemos considerar sobre la esfera unitaria en R4 , es su dimensi´on. Es claro que dimR R = 1 y la esfera unitaria en R es: S0 := {r ∈ R | |r| = 1} = {−1, 1}.

78

Ap´endice A En R2 , dimR R2 = 2 y la esfera unitaria en R2 es: S1 := {z ∈ R2 | |z| = 1}. En R3 , dimR R3 = 3 y la esfera unitaria en R3 es: S2 := {~x ∈ R3 | |~x| = 1}. En R4 , dimR R4 = 4 y la esfera unitaria en R4 es: S3 := {x ∈ H | |x| = 1}.

La esfera S0 es un conjunto cero-dimensional, S1 es 1-dimensional, S2 es 2dimensional y S3 es una superficie 3-dimensional. A.1.2.1 Proposici´ on S3 es un grupo multiplicativo, es decir: (1) Si a, b ∈ S3 entonces ab ∈ S3 . (Es decir, la multiplicaci´on es invariante en S3 . (2) 1 ∈ S3 . (3) Si a ∈ S3 entonces a−1 ∈ S3 . A.1.2.2 Observaci´ on Dado x ∈ H se tiene que: x = x0 + x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3 = (x0 + x1 e1 ) + (x2 + x3 e1 )e2 = (x0 + x1 i) + (x2 + x3 i)j = z1 + z2 j donde z1 , z2 ∈ C(i). Similarmente: x = (x0 + x2 e2 ) + (x1 e1 + x3 e1 e2 ) = (x0 + x2 e2 ) + e1 (x1 + x3 e2 ) = (x0 + x2 j) + i(x1 + x3 j) = w1 + iw2 , donde w1 , w2 ∈ C(j). Por lo tanto: H = C(i) + C(i)j = C(j) + iC(j).

A.1. Algunas propiedades de los cuaternios reales.

79

A.1.2.3 Proposici´ on Dado a ∈ S3 , existe un n´ umero real α ∈ (−π, π] y b ∈ S2 tales que: a = cos α + b sen α. Demostraci´on. Si a ∈ R, entonces a = ±1 y en este caso tomamos α = 0 o α = π y b ∈ S2 arbitrario. Si a ∈ / R, entonces a = a0 + ~a con ~a 6= 0. Luego: a = a0 +

~a |~a| = a0 + b|~a|. |~a|

(A.1)

Por otro lado, 1 = |a|2 = a20 + |~a|2 y sabemos que existe α ∈ (−π, π] tal que : cos α = a0 y

sen α = |~a|,

sustituyendo en (A.1): a = cos α + b sen α.  A.1.2.4 Corolario Dado q ∈ H, existe α ∈ (−π, π] y b ∈ S2 tales que: q = |q|

q = |q|(cos α + b sen α) |q|

Uno puede preguntarse si hay alguna noci´on geom´etrica que nos permita “visualizar” a la esfera S3 . Para tal efecto hagamos el siguiente an´alisis: La esfera S1 ⊂ R2 puede obtenerse como la uni´on de los conjuntos {x × S0 (1 − x2 )}x∈[−1,1] donde S0 (1 − x2 ) es la esfera cero-dimensional de radio 1 − x2 . La esfera S2 ⊂ R3 puede obtenerse como la uni´on de los conjuntos {x × S1 (1 − x2 )}x∈[−1,1] , con S1 (1 − x2 ) la esfera 1-dimensional de radio 1 − x2 . Similarmente S3 := ∪x∈[−1,1] x × S2 (1 − x2 ).

80

A.1.3.

Ap´endice A

Cuaternios y rotaciones en R3 y R4 .

Hist´oricamente, la popularidad de los cuaternios se debi´o a su contribuci´on en el estudio de las rotaciones en R3 . Presentamos algunas propiedades b´asicas. A.1.3.1 Lema Dado a ∈ S3 , se define el mapeo fa : H → H por fa (x) := axa−1 . Este mapeo tiene las siguientes propiedades: (1) fa es multiplicativa y aditiva. (2) fa es real homog´enea de grado 1; es decir, es R-lineal. (3) Se preserva la norma. (4) El producto escalar en R4 es invariante bajo fa ; es decir, hfa (x), fa (y)i = hx, yi. (5) fa ◦ fb = fab .

A.1.3.2 Corolario (1) Cada fa preserva la ortogonalidad. (2) fa |R = IdR . (3) fa |R3 es un automorfismo en R3 . (4) fa (x) = x0 + fa (~x). A.1.3.3 Corolario (1) Cada fa determina una rotaci´on del espacio euclidiano R4 . (2) fa |R3 determina una rotaci´on del espacio euclidiano R3 . A.1.3.4 Teorema (Rotaciones en R3 y cuaternios). Sea a+ 3 (R) el conjunto de todas las rotaciones en R3 . Entonces: 3 ∼ a+ 3 (R) = {fa |R3 | a ∈ S }.

A.1. Algunas propiedades de los cuaternios reales.

81

A.1.3.5 Teorema (Rotaciones en R4 ). Sean a, b ∈ S3 y fa,b : H → H dada por 4 fa,b (x) = axb−1 . Adem´as sea a+ 4 (R) el conjunto de todas las rotaciones en R . Entonces: 3 ∼ a+ 4 (R) = {fa,b | a, b ∈ S }.

A.1.4.

Representaciones de los cuaternios reales.

A.1.4.1 Proposici´ on (1) h~a, ~bi = − 21 (~a~b + ~b~a). (2) [~a × ~b] = 21 (~a~b − ~b~a). Demostraci´on. Primero calculemos: ~a~b = −h~a, ~bi + [~a × ~b] ~b~a = −h~b, ~ai + [~b × ~a]. As´ı, sum´andolos obtenemos: ~a~b + ~b~a = −h~a, ~bi + [~a × ~b] − h~b, ~ai + [~b × ~a] = −h~a, ~bi + [~a × ~b] − h~b, ~ai − [~a × ~b] = −2h~a, ~bi. Por lo tanto se cumple la primera parte. Para la segunda parte se tiene: ~a~b − ~b~a = −h~a, ~bi + [~a × ~b] + h~b, ~ai − [~b × ~a] = −h~a, ~bi + [~a × ~b] + h~b, ~ai + [~a × ~b] = 2[~a × ~b].  A.1.4.2 Corolario (1) ~a ⊥ ~b si y s´olo si ~a~b = −~b~a. (2) ~a k ~b si y s´olo si ~a~b = ~b~a.

82

Ap´endice A

A.1.4.3 Proposici´ on   hh i i (1) ~a × ~b × ~c = 14 ~a~b~c + ~c~b~a − ~b~a~c − ~c~a~b . Dh i E   (2) (~a; ~b; ~c) := ~a × ~b , ~c = 14 ~b~a~c + ~c~b~a − ~a~b~c − ~c~a~b . Demostraci´on. (1) Sabemos que: h i ~a × ~b = 1 (~a~b − ~b~a). 2 Luego:   hh i i 1  1    1 ~a × ~b × ~c = ~a~b − ~b~a ~c − ~c ~a~b − ~b~a 2 2 2 1 ~~~ ~~~ ~~~ ~~~  = ab c + c b a − b ac − c ab . 4 (2) En este caso tenemos: i h i Dh i E h ~a × ~b , ~c = − 1 ~a × ~b ~c + ~c ~a × ~b 2     1 1 ~~ ~~  ~ ~ 1 ~~ ~~  =− ab − b a c + c − ab − b a 2 2 2 1 ~~~ ~~~ ~~~ ~~~  bac + cba − abc − cab . = 4  A.1.4.4 Proposici´ on h  i h i h i (1) ~a + ~b × ~c = ~a × ~c + ~b × ~c . h  i h  i h i (2) λ~a × ~b = ~a × λ~b = λ ~a × ~b para todo λ ∈ R. (3) (~a; ~b; ~c) = (~c; ~a; ~b) = (~b; ~c; ~a). (4) Si dos de los tres vectores son paralelos, entonces (~a; ~b; ~c) = 0. h h ii D E hh i i D E ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (5) a × b × c − a b, c = a × b × c − ~a, ~b ~c. hh i i hh i i hh i i ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (6) a × b × c + c × a × b + b × c × a = 0.

Ap´ endice B

B.1.

Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R3 .

B.1.1.

Operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´ onico complejo y noci´ on de (ψ,α)-hiperholomorf´ıa 3 en R .

Sea Ω ⊂ R3 , sobre C 2 (Ω; H(C)) definimos el siguiente operador: ∆λ := ∆ + M λ , donde ∆ :=

3 X

∂k2 ,

∂k :=

k=1

∂ , ∂xk

(B.1)

λ ∈ H(C)

Llamaremos a este operador el operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´onico. Adem´as, todo lo que sigue es tambi´en cierto para el operador λ ∆ := ∆ + λI, λ ∈ H(C), con los cambios obvios. Sobre el conjunto C 1 (Ω; H(C)) se define el bien conocido operador de MoisilTheodoresco por la f´ormula 3 X D := ik ∂k . (B.2) k=1

En lenguaje vectorial, el sistema de Moisil-Theodoresco D[f ] = 0

(B.3)

div f~ = 0,

(B.4)

puede ser reescrito como

84

Ap´endice B grad f0 + rot f~ = 0.

(B.5)

Una funci´on que cumple f ∈ ker D(Ω) ser´a llamada holomorfa cuaterni´onica o hiperholomorfa en Ω. De la definici´on del operador D surge la siguiente propiedad importante: −D2 = ∆

(B.6)

Ahora definimos sobre C 1 (Ω; H(C)) un operador ψ D por la f´ormula ψ

D[f ] :=

3 X

ψ k ∂k f,

(B.7)

k=1

donde ψ := {ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 }, ψ k ∈ H. Denotamos por ψ¯ := {ψ¯1 , ψ¯2 , ψ¯3 }. Se tiene que las siguientes igualdades ¯ ¯ ψ D ψD = ψD ψD = ∆ (B.8) son ciertas si y s´olo si ψ j ψ¯k + ψ k ψ¯j = 2δjk

(B.9)

para cualesquiera j, k ∈ N3 . Llamaremos a cualquier conjunto ψ de cuaternios reales con la propiedad anterior un conjunto estructural. Es evidente que ψ y ψ¯ son conjuntos estructurales simult´aneamente. Razonando de forma similar podemos considerar el operador ψ

D [f ] :=

3 X

(∂k f )ψ k .

k=1

Adem´as, tenemos que ψ

¯

D = ZH Dψ ZH ,

¯

Dψ = ZH ψ DZH ,

(B.10)

as´ı que es suficiente con estudiar el caso izquierdo (o el derecho); nosotros enfocamos la discusi´on al izquierdo. Notemos que para ψ puramente imaginario se tiene la siguiente factorizaci´on − ψ D2 = ∆.

(B.11)

Denotemos ahora por α una ra´ız cuadrada cuaterni´onica compleja de λ. Esto es, α ∈ H(C) y α2 = λ. Sea ψ := {ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 } que consiste solamente de cuaternios

B.1. Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R3 .

85

puramente imaginarios: Sc(ψ 1 ) = Sc(ψ 2 ) = Sc(ψ 3 ) = 0. Presentamos ahora una generalizaci´on del operador (B.7). Sea ψ

Dα := ψ D + M α .

(B.12)

Entonces de (B.11) se tiene la siguiente factorizaci´on: ∆λ = − ψ Dα ψ D−α = − ψ D−α ψ Dα .

(B.13)

Para el operador ψ Dα definimos el conjunto ψ

Mα :=ψ Mα (Ω; H(C)) := ker ψ Dα .

Nos referiremos a sus elementos como funciones (ψ,α)-hiperholomorfas izquierdas. Las funciones de ker∆λ ser´an llamadas metarm´onicas (o m´as precisamente, λ-metarm´onicas). Es claro que las funciones 0-metarm´onicas no son m´as que las arm´onicas. Puesto que el a´lgebra H(C) contiene divisores de cero tenemos que distinguir diferentes casos dependiendo de las propiedades algebraicas de α. (1) Sea α ∈ /Syα ~ 2 6= 0. √ ~2 y Presentamos los siguientes n´ umeros complejos auxiliares: γ := + α ξ± := a0 ± γ. Definimos los operadores: P ± :=

1 (γ±~α) M , 2γ

los cuales son proyectores mutuamente complementarios. Consideremos el producto α · (γ ± α ~ ) = (α0 + α ~ )(γ ± α ~ ) = α0 γ + γ~ α ± γ 2 ± α0 α ~ = α0 (γ ± α ~ ) + γ(±γ + α ~ ) = ξ± · (γ ± α ~ ). Consecuentemente, P ± (ψ D + M α ) = P ± (ψ D + ξ± I). Entonces el operador ψ D + M α puede ser reescrito de la siguiente forma ψ

Dα = P + ψ Dξ+ + P − ψ Dξ− .

(2) Sea α ∈ /Syα ~ 2 = 0. El siguiente truco nos ayudar´a a encontrar una forma conveniente para el operador ψ Dα . Tenemos la igualdad f=

∂ ψ ( Dα0 f ). ∂α0

Entonces ψ

∂ ψ ( D α0 f ) Dα f = ψ Dα0 f + M α~ f = ψ Dα0 f + M α~ ∂α0   α ~ ∂ ψ = I +M D α0 f ∂α0

(3) Sea α ∈ S y α0 6= 0. Podemos utilizar los proyectores del primer caso y reescribi´endolos obtenemos 1 1 P+ = M α, P − = M α¯ , 2α0 2α0 Entonces ψ

Dα = P + (ψ D + M α ) + P − (ψ D + M α ) = P + ψ D2α0 + P − ψ D.

(4) Sea α ∈ S y α0 = 0. Para este caso todos los resultados necesarios para el operador ψ Dα pueden obtenerse utilizando la siguiente observaci´on − ψ Dα ψ D−α = ∆.

B.1.2.

Soluci´ on fundamental del operador de Helmholtz con n´ umero de onda cuaterni´ onico complejo y kernel de Cauchy en R3 .

Para construir una teor´ıa de funciones asociada al operador de Helmholtz requerimos de una soluci´on fundamental para tal operador con λ ∈ H(C). Para el caso particular λ ∈ C la soluci´on fundamental es bien conocida: si λ = ν 2 ∈ C, una soluci´on fundamental θν del operador de Helmholtz ∆ν 2 := ∆+ν 2 I est´a dada por la f´ormula θν (x) := −(4π|x|)−1 · e−iν·|x| ,

x ∈ R3 \ {0};

(B.14)

B.1. Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R3 .

87

En particular, para ν = 0 obtenemos una soluci´on fundamental del operador de Laplace: 1 . θ(x) := θ0 (x) = − 4π|x| Considere los siguientes casos: (1) Sea λ = α2 ∈ / S, α ~ 2 6= 0. Consideremos los operadores antes definidos P± =

1 (γ±~α) M , 2γ

los cuales son proyectores mutuamente complementarios. Entonces  2  2 α2 = λ = P + ξ+ + P − ξ− . Por lo tanto

2 2 ∆ + M λ = P + ∆ + ξ+ I + P − ∆ + ξ− I . La f´ormula anterior nos da una forma simple de construir una soluci´on fundamental del operador ∆ + M λ en el caso bajo consideraci´on. Es decir, si por los n´ umeros complejos ξ± , θξ± nos referimos a las funciones de (B.14) entonces la funci´on     θα := P + θξ+ + P − θξ− 2

es una soluci´on fundamental del operador ∆ + M α . De hecho,  
 
  α2 2 2 ∆+M [θα ] = P + ∆ + ξ+ I θξ+ + P − ∆ + ξ− I θξ− = δ donde δ es la funci´on delta. (2) Ahora tratamos el caso λ ∈ / S, α ~ 2 = 0. Verifiquemos que ∂ [θα (x)]~ α= ∂α0 0 =θα0 (x) − iθα0 (x) · |x|~ α

θα (x) :=θα0 (x) +

2

es una soluci´on fundamental del operador ∆ + M α . N´otese que α2 = α02 + 2α0 α ~ . Entonces

88

Ap´endice B



∆+M

α2




[θα ](x) = ∆ + α02 I + 2α0 M α~ ·   ∂ · θα0 (x) + (θα (x))~ α = ∂α0 0 ∂ = δ(x) + 2α0 θα0 (x)~ α+ (∆[θα0 ](x)) α ~+ ∂α0
∂ + α02 θα0 (x) α ~ − 2α0 θα0 (x)~ α= ∂α0 ∂ (δ(x))~ α= = δ(x) + ∂α0 = δ(x).

(3) Para completar la prueba tenemos que considerar λ ∈ S. Observando que α0 6= 0 y con P+ =

1 M α, 2α0

P− =

1 M α¯ , 2α0

podemos escribir   α2 = 2α0 α = P + 4α02 . Esto implica la siguiente representaci´on de ∆λ : 2

∆λ = ∆ + M α = P + · ∆4α20 + P − · ∆, que nos da inmediatamente θα = P + [θ2α0 ] + P − [θ0 ] . Llegamos al teorema. B.1.2.1 Teorema Sea λ ∈ H(C). Entonces una soluci´on fundamental θα para el 2 operador ∆α2 = ∆+M α est´a dada por las siguientes f´ormulas: para x ∈ R3 \{0}, (1) Si α2 ∈ / S, α ~ 2 6= 0, entonces θα (x) =


1 θξ+ (x)(γ + α ~ ) + θξ− (x)(γ − α ~) ; 2γ

(2) Si α2 ∈ / S, α ~ 2 = 0, entonces θα (x) = θα0 (x) − iθα0 (x) · |x| · α ~;

B.1. Teor´ıa de funciones α-hiperholomorfas en R3 .

89

(3) Si α2 ∈ S, entonces θα (x) =

1 (θ2α0 (x) · α + θ(x) · α ¯) ; 2α0

aqu´ı θξ± , θ2α0 , θα0 , θ est´an definidos como antes. Ahora construimos una funci´on α-holomorfa que juega un papel muy importante en la teor´ıa de funciones cuaterni´onicas, el an´alogo del kernel de Cauchy para el an´alisis complejo de una dimensi´on. Denotamos por Kψ,α la funci´on definida por la f´ormula

Kψ,α

 ψ  − D−α [θα ], α ∈ GH(C) o α ∈ S pero α0 6= 0; = − ψ D−α [θ], α ∈ S y α0 = 0 ⇔ α ~ 2 = 0,   ψ − D[θ], α = 0.

(B.15)

El Teorema anterior implica inmediatamente que Kψ,α es una soluci´on fundamental del operador ψ Dα para cualquier α ∈ H(C). Entonces se cumple el siguiente teorema: B.1.2.2 Teorema Sea α ∈ H(C). Entonces una soluci´on fundamental para el operador ψ Dα est´a dada por las siguientes f´ormulas: para x ∈ R3 \ {0}, (1) Si α = α0 ∈ C, entonces 

xψ xψ Kψ,α (x) = θα (x) α + 2 + iα |x| |x| donde xψ :=

3 X

 ,

(B.16)

ψ k xk ;

k=1

(2) Si α ∈ / S, α ~ 2 6= 0, entonces     Kψ,α (x) = P + Kψ,ξ+ (x) + P − Kψ,ξ− (x),

(B.17)

donde Kψ,ξ± son las soluciones fundamentales para los operadores ψ Dξ± con par´ametros complejos ξ± , definidos anteriormente; (3) Si α ∈ / S, α ~ 2 = 0, entonces Kψ,α = Kψ,α0 +

∂ [Kψ,α0 ] α ~; ∂α0

90

Ap´endice B

(4) Si α ∈ S, α0 6= 0, entonces Kψ,α = P + [Kψ,2α0 ] + P − [Kψ,0 ] ; (5) Si α ∈ S, α0 = 0, entonces Kψ,α = Kψ,0 + θ · α. Demostraci´on. La f´ormula (B.16) es obtenida de la definici´on de la ecuaci´on (2.22) por un c´alculo directo. Para obtener (B.17) primero observemos que ψ

D−α · P ± = P ± · ψ D−α = P ± · ψ D−ξ± .

Entonces      − ψ D−α [θα ] = − ψ D−α P + θξ+ + P − θξ− =       = P + − ψ D−ξ+ θξ+ + P − − ψ D−ξ− θξ− =     = P + Kψ,ξ+ + P − Kψ,ξ− . Cuando α ∈ / S, α ~ 2 = 0 tenemos:   ∂ ψ ψ − D−α [θα ] = − D−α θα0 + [θα ]~ α = ∂α0 0 ψ

ψ

= − D−α0 [θα0 ] + θα0 α ~ − D−α0



 ∂ [θα ] α ~. ∂α0 0

de la igualdad α0

∂ ∂ [θα0 ] = [α0 θα0 ] − θα0 ∂α0 ∂α0

obtenemos − ψ D−α [θα ] = Kψ,α0 + θα0 α ~+

 ∂  ψ − D−α0 [θα0 ] α ~ + θα0 α ~= ∂α0

∂ [Kψ,α0 ] α ~. ∂α0 Cuando α ∈ S, α0 6= 0 tenemos   − ψ D−α [θα ] = − ψ D−α P + [θ2α0 ] + P − [θ] =     = P + − ψ D−2α0 [θ2α0 ] + P − −ψ D [θ] = = P + [Kψ,2α0 ] + P − [Kψ,0 ] . = Kψ,α0 +

Para el u ´ltimo caso α ∈ S, α0 = 0 tenemos − ψ D−α [θ] = − ψ D [θ] + θα = Kψ,0 + θα. 

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