MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y ACOMPAÑAMINMETO A DOCENTES DE CUNDINAMARCA Y DUITAMA PARA EL DESARROLLO DELOS NIVELES DE COMPETENCIA DE MATEMÁTICAS Y DISEÑO DE SECUENCIAS DIDÁCTICAS A PARTIR DE LAS EXPERIENCIAS SIGNIFICATIVAS DE LOS MAESTROS

DESARROLLO DE ALGUNOS ASPECTOS DEL PENSAMIENTO MÉTRICO A TRAVÉS DE LA MEDICIÓN DE SUPERFICIES DE FIGURAS PLANAS REGULARES E IRREGULARES

ZOILA ESPERANZA BERNAL PÉREZ Y MARIA DEL CARMEN VERDUGO Asesor: Edgar Alberto Guacaneme S.

Instituciones Educativas Agroindustriales La Pradera y Francisco Medrano - Duitama En este documento presentamos un breve estudio realizado en torno al diseño e implementación de una secuencia didáctica (situaciones de aprendizaje) relacionadas con la medición de superficies de figuras planas regulares e irregulares, puestas en juego con estudiantes de grado séptimo de Educación Básica. Las tareas propuestas ejemplifican de manera sencilla cómo una cadena de consignas elementales puede constituir un problema matemático genuino para los estudiantes y cómo su solución puede generar aprendizajes en ellos. El estudio mismo constituyó una fuente de problemas y aprendizaje para nosotras las autoras.

Zoila Esperanza Bernal y Ma. del Carmen Verdugo

INTRODUCCIÓN Cuando inicialmente pensamos en los temas de las matemáticas escolares relativos a la medida, de manera inmediata dirigimos nuestra atención o bien a las fórmulas para calcular perímetro, longitud, área, volumen, o capacidad, o bien a la conversión de unidades de medida; sin embargo, la realización efectiva de tales medidas, es decir medir, no constituye la primera, ni la más importante, referencia a dicho tema. En efecto, lo que constantemente hacemos es aritmetizar la medida, pues reemplazamos magnitudes por números, sustituimos letras en las fórmulas por números, nos ocupamos de enseñar cuántos lugares se debe correr la coma o el punto decimal para expresar una medida en múltiplos o submúltiplos de la unidad, u operamos con números que representan medidas de una magnitud para obtener otro número que representa otra medida de la misma u otra magnitud. No creemos que con dicha aritmetización estemos desarrollando el pensamiento métrico de nuestros estudiantes y consideramos que estamos desdibujando bastante lo que es la medición y su potencial para el desarrollo del pensamiento matemático. En este sentido, suponemos que los profesores debemos estimular en el estudiante la práctica efectiva de mediciones, permitiéndole que, entre otras: (i) diseñe y utilice instrumentos que se ajusten al tamaño y naturaleza de la cualidad del objeto que se quiere medir, (ii) realice mediciones a través del conteo del número de veces que una unidad patrón se dispone sobre el objeto a medir y 2

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comprenda las condiciones en que hacerse tal conteo, (iii) descubra la utilidad de un sistema de unidades, aunque éste no sea el convencional o legal, y las posibilidades que brinda contar con múltiplos y submúltiplos de la unidad seleccionada. Cuando consideramos el caso particular de la medición de superficies planas, reconocemos que infortunadamente lo descrito antes se ajusta muy bien aquí. Lo que habitualmente hacemos la mayoría de los profesores de matemáticas en la escuela es proponer el cálculo de áreas a través del uso de las fórmulas que los estudiantes terminan aprendiendo a fuerza de memorización sin una comprensión de sus posibles procesos de deducción o sin que ellas resulten de procesos de generalización. Para esta magnitud específica, no es tan usual que intentemos que los estudiantes se enfrenten a situaciones donde tengan que teselar una superficie con un patrón o unidad y luego cuenten para determinar un valor numérico o área. Mucho más extraña es la selección de un patrón o unidad arbitraria que se ajuste a la forma y tamaño de la superficie así como extraño es la construcción y uso de un buen instrumento para realizar la medición de la cantidad de superficie. Además, cuando trabajamos medición de superficies tenemos en cuenta solamente figuras planas y regulares y rara vez proponemos medir superficies de figuras irregulares o con bordes no rectilíneos (como pueden ser un terreno de nuestras granjas escolares, el cual casi nunca se asemeja a una figura plana conocida pero que trabajamos como si fuera figura plana y regular).

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Por lo anterior, nos hemos visto conminadas a buscar estrategias que nos ayuden a medir superficies, sean regulares o irregulares y atendiendo a que el patrón de medida encaje o no en ellas exactamente. En éste informe damos cuenta de algunos aspectos de la experiencia de diseño y desarrollo curricular, relativa a la medición de superficies de figuras planas regulares e irregulares; para ello, inicialmente damos a conocer algunas reflexiones acerca de la medición de superficies, luego presentamos elementos descriptivos sobre el diseño, planeación de la observación, implementación de las actividades y una discusión de los resultados observados. ALGUNOS ASPECTOS SUPERFICIES

RELATIVOS

A

LA

MEDICIÓN

DE

Un primer aspecto que llamó nuestra atención fue el marcado énfasis en el uso de un cuadrado de área 1 cm2 para referirse a la medida de la superficie, pues nos cuestionamos acerca de si siempre debe ser la figura que representa a la unidad un cuadrado o si podría sustituirse por otra figura regular. Al respecto pudimos aclararnos que el hecho de la elección de un cuadrado se debe, entre otras razones, a que con éste se puede teselar el plano; pero sabíamos que una teselación tal también se logra con triángulos isósceles, triángulos equiláteros, rectángulos, hexágonos, o paralelogramos, entre otras figuras geométricas planas conocidas. También, logramos reconocer que el que sea de 1 cm2 se debe a su relación con el sistema métrico decimal que a otra razón. Por tanto, quisimos que nuestra situación incluyera

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cuadrados, no necesariamente de tal medida y otras figuras como unidad de superficie. Un segundo aspecto, ligado con el anterior, fue el reconocimiento de que casi siempre la medición directa da por hecho la existencia de una retícula preestablecida sobre la cual se ubica la región a medir y ésta encaja perfectamente; nos interesaba entonces que nuestra situación implicara precisamente la construcción de una telesación de la región a partir de la “repetición ordenada” del patrón, es decir sin que la retícula estuviese previamente establecida. Otro aspecto que nos inquietó fue precisamente el hecho de si la unidad de medida encajaba o no un número exacto de veces en la región a la que se pretendía medir su superficie. Esto nos llevó a considerar que deberíamos proponer figuras que cumplieran tal condición y, posteriormente, figuras en donde el encaje no fuera exacto y, quizá, obligar a una estrategia de división alícuota de la unidad y conteo de tales partes. Un último aspecto, lo constituyó la forma de la figura, pues usualmente las figuras empleadas son figuras geométricas regulares para las cuáles existe una fórmula, pero no se consideran figuras de bordes no rectilíneos o no descomponibles en figuras regulares. Por ello creímos conveniente que nuestra situación tuviera también figuras irregulares. PROPÓSITOS E INTENCIONES En concordancia con los aspectos señalados antes, quisimos proponer una serie de actividades a través de 5

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las cuales los estudiantes tuvieran la exigencia y promovieran su conocimiento matemático en torno a: • • • • •

Teselar superficies con cuadrados y determinar su área. Aplicar distintas estrategias para comparar superficies (triangulaciones, cuadrículas, subdivisiones) y medir superficies regulares e irregulares. Diferenciar entre medir una superficie y calcular el área. Evidenciar que al medir superficies no siempre el patrón de medida elegido encaja en ella exactamente un número entero de veces. Reconocer que polígonos de diferente forma pueden tener la misma cantidad de superficie.

Con esto en mente, diseñamos la secuencia didáctica que se presenta a continuación. SECUENCIA DIDÁCTICA SOBRE MEDICION DE FIGURAS PLANAS REGULARES E IREGULARES Actividad No. 1 Utilizando el patrón de medida a determinar cuántas veces entra en las figuras 1, 2 y 3

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Patrón a

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Actividad No. 2 Haciendo uso del patrón de medida a determinar las veces que dicho patrón cubre exactamente las figuras 1, 2 y 3 y conjeture sobre el resultado obtenido.

Patrón a

Figura 1

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Figura 2

Figura 3

Actividad No. 3 Haciendo uso de los patrones de medida a y b, determinar las veces que dichos patrones de medida cubren exactamente las figuras 1y 2.

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Patrón a

Patrón b

Figura 1

Figura 2

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Actividad No. 4 Haciendo uso del patrón de medida a determinar las veces que dicho patrón de medida cubre exactamente las figuras 1 y 2

Patrón a

Figura 1

Figura 2

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Actividad No. 5 Haciendo uso de un patrón de medida que se acomode a la forma de la figura, medir la superficie.

Responda los siguientes interrogantes acerca de la actividad realizada. a. Describa el patrón de medida que utilizó para medir la superficie. b. ¿Con el patrón que utilizó pudo realizar exactamente la medición? c. Determine las veces que dicho patrón encajó en la superficie. d. ¿Le faltó superficie por medir? e. Si le faltó parte de esa superficie que no pudo medir con el patrón escogido, ¿qué proceso puede realizar para obtener la medida de la superficie?

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Actividad No. 6 Calque la superficie de la Actividad No. 5 sobre un papel milimetrado y mida su superficie realizando conteo de los cuadritos más pequeños del papel milimetrado y compare con la medición de la superficie que realizó en la Actividad No. 5. PLANEACIÓN DE LA OBSERVACIÓN Como parte de la planeación de la observación nos dimos a la tarea de identificar las respuestas posibles a las actividades propuestas, para ello nosotros como autoras de éstas las desarrollamos. A continuación presentamos los resultados para cada actividad: Actividad No. 1 En la figura No. 1 el patrón de medida encaja exactamente 13 veces, en la figura No. 2 encaja exactamente 15 veces (13 completos y 4 mitades del patrón), y en la figura No 3 el patrón de medida encaja exactamente 19 veces (18 completos y dos mitades). Actividad No. 2 En la figura No. 1 el patrón de medida encaja exactamente 18 veces, en la figura No. 2 encaja exactamente 12 veces, y en la figura No. 3 el patrón de medida a encaja exactamente 12 veces Actividad No. 3 En la figura No. 1 el patrón de medida a encaja exactamente 2 veces y el patrón de medida b una vez o el patrón de medida a encaja exactamente 8 veces.

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En la figura No. 2 el patrón de medida a encaja exactamente 18 veces y el patrón de medida b encaja exactamente 3 veces o el patrón de medida b encaja exactamente 20 veces. Actividad No. 4 En la figura No. 1 el patrón de medida a encaja exactamente 26 veces (24 completos y cuatro mitades), en tanto que en la figura No. 2 el patrón de medida a encaja exactamente 9 veces (8 completos y dos mitades ). Actividad No. 5 1. El patrón de medida utilizado es un cuadrado 2. Con el patrón elegido no se puede realizar exactamente la medida de la superficie. 3. El patrón elegido encajó exactamente 38 veces en la figura irregular. 4. Si falta superficie por medir. 5. El patrón se puede dividir en cuatro partes y utilizar cada parte para encajar en la superficie que quedó sin cubrir para así acercarse más a la medida exacta de superficie. Actividad No. 6 Para dar solución a ésta actividad se espera que el estudiante tésele la figura y cuente los cuadritos más pequeños del papel milimetrado que encajan exactamente en la figura irregular, para que la precisión de la medida de superficie sea aceptable. 12

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Adicionalmente, como parte de la planeación de la observación se determinó que nosotras como autoras de esta propuesta de aula cumpliéramos el papel de observadoras de lo que sucediera al implementar las diferentes actividades, teniendo también la posibilidad de intervenir para cuestionar las posibles respuestas. Además, definimos que debíamos registrar los diferentes aspectos en la implementación de cada una de ellas, identificando las estrategias que los estudiantes utilizaran para medir las superficies, si éstos además de contar el número entero de veces que el patrón de medida encajaba exactamente en la figura fraccionaron el patrón de medida para realizar dicha medición. IMPLEMENTACIÓN Condiciones de implementación Las actividades se realizaron con la participación de cincuenta (50) estudiantes de grado séptimo de Educación Básica Secundaria, pertenecientes a las Instituciones Educativas Agroindustriales La Pradera y Francisco Medrano de Duitama (Boyacá), quienes emplearon varias horas de la clase de geometría y estuvieron acompañados y observados por cada uno de los docentes del área de matemáticas. Se tomó directamente un registro sobre el trabajo de cada uno de los estudiantes y se tomaron fotos como evidencias del desarrollo de las actividades. En ocasiones el observador intervino a través de cuestionamientos que llevaron al estudiante a encarar un problema matemático y a aportar las posibles soluciones.

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RESULTADOS DE LAS OBSERVACIONES Actividad No. 1 y 2, la mayoría de los estudiantes contó el número entero de veces que encajó exactamente el patrón de medida utilizado, mientras que una minoría de los estudiantes, además de contar el número entero de veces que encajó exactamente el patrón de medida en las figuras, lo fraccionó para obtener una medida más aproximada. Actividad No. 3, la mayoría de los estudiantes contaron el número de veces que los patrones de medida encajaron exactamente en las figuras. Actividad No. 4, la mayoría de los estudiantes contaron el número de veces que el patrón de medida encajó exactamente en las figuras. Actividad No. 5 y 6, la mayoría de los estudiantes contaron el número de veces que el patrón de medida encajó exactamente en las figuras irregulares y tuvieron en cuenta el patrón de medida fraccionado para medir la superficie de las figuras. En general, la mayoría de los estudiantes concluyeron que si el patrón de medida se hace más pequeño la medida de la superficie de la figura es más aproximada.

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DISCUSIÓN DE RESULTADOS En éste aspecto destacamos algunos de los resultados del trabajo de los estudiantes y docentes que evidencia el aprendizaje de la medición de superficies de figuras planas regulares e irregulares. •

• • • • •

El desarrollo de las actividades nos permitió reconocer que los problemas matemáticos no son solamente enunciados literales sino que existen actividades que pueden convertirse en problemas matemáticos legítimos para los estudiantes. En el desarrollo de las actividades hubo necesidad de intervenir con cuestionamientos que le permitieron al estudiante encarar un problema. Cuando se presentó una figura irregular para medir la superficie hubo la tendencia a fraccionar el patrón de medida para dar una medida más aproximada. El tipo de actividades propuestas, mediadas por una atenta observación, permite que el docente reconozca la actividad intelectual del estudiante. Se observó en los estudiantes interés y agrado en el desarrollo de las actividades propuestas. Los estudiantes advirtieron que, además del cuadrado, pueden usarse otras figuras como patrón de medida de superficies.

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REFERENCIAS Chamorro, M. (1995). Aproximación a la medida de magnitudes en la enseñanza primaria. Revista: UNO, 3. Didáctica de las Matemáticas. Chamorro, M. (2003). El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida en Didáctica de la Matemática. Editorial Pearson-Prentice Hall. Chamorro, M., y Belmonte, J. (1991). El problema de la medida. Editorial Síntesis. Madrid, España. Ministerio de Educación Nacional. (2005). Taller: Estándares Básicos para Matemáticas. División de perfeccionamiento y calidad de la Educación.

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