TEMA 3: PROGRESIONES CONCEPTO DE SUCESIÓN Una sucesión es un conjunto de números ordenados según una ley, ley de modo que se pueden numerar: primero, segundo, tercero, …. Los elementos de una sucesión se llaman términos y se designan por una letra con un subíndice. El subíndice indica el lugar que ocupa en la sucesión:

a1 , a 2 , a3 , a 4 ,… a n −1 , a n , a n +1 ,… Veamos algunas sucesiones y descubramos su ley. a) 1 , 5 , 9 , 13 , 17 , ...

b) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , …

c) 2 , 4 , 8 , 17 , 26 , …

d) 1 , -3 , 9 , -27 , 81 , …

e) 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , …

f) 170 , 120 , 70 , 20 , -30 , -80 , …

TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN Es la expresión matemática que representa un término cualquiera de la sucesión. Por ejemplo el término general de la sucesión del apartado a) es:

an = 4n - 3 En esta expresión la n representa el lugar que ocupa el término. Para calcular un término sustituiremos la n por el lugar que ocupa, ocupa por ejemplo si queremos calcular el quinto término sustituiremos la n por 5

a4 =4 .

-3 =

a13 = a0 = Hay sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores y se llaman recurrentes, como por ejemplo la sucesión del apartado e) cuyo término general es:

an =an-1 + an-2 con a1 = 1 y a2 = 1 Para calcular el término tercero, sustituiremos la n por …

a3 = a13=

Ejercicios. 1. Escribe los cuatro primeros términos de estas sucesiones: a) a n = 3n 2 − 2n

b) a n =

3n − 5 n+3

c) a n = 3a n −1 + a n − 2

2. Encuentra la ley de recurrencia y añade un nuevo término a cada una de las siguientes sucesiones. a) 1 , -4 , 5 , -9 , 14 , -23 ,

b) 1 , 2 , 3 , 6 , 11 , 20 ,

c) 1 , 2 , 2 , 1 , ½ , ½ , 1 ,

3. Halla el término general de las siguientes sucesiones: a) 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , -1 , b) -1 , 1 , -1 , 1 , -1 , 1 , c) 1 , -2 , 3 , -4 , 5 , -6 ,

4. Indica si el término 37/44 pertenece a la sucesión de término general a n = ocupa?

2n + 7 , y si pertenece, ¿qué lugar 3n − 1

PROGRESIONES ARITMÉTICAS ARITMÉTICAS Una sucesión aritmética es aquella en la que para pasar de un término al siguiente se suma una misma cantidad (positiva o negativa), a la que llamamos diferencia y denotamos por d.

a1 , a 2 , a3 , a 4 ,… a n −1 , a n , a n +1 ,… Por ejemplo: a) 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , b) 120 , 110 , 100 , 90 , c) 3 , 3,3 , 3,6 , 3,9 , 4,2 , d) 7 , 2 , -3 , -8 , -13 , Término general. general. Vamos a calcular el término general de este tipo de sucesiones.

a1 , a 2 , a3 , a 4 ,… a n −1 , a n , a n +1 ,… a1 =a1 a2=a1 + d a3= a4= a 5=

…… luego an =

Ejercicios. 5. Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas: a) 3 , 6 , 9 , 12 ,

b) -32 , -30 , -28 , -26 ,

c) Su primer término vale 4 y el segundo 12

d) a1 = -3 y a4=-18

e) a3= 7

y a7=23

Suma de los términos de una progresión aritmética. Para calcular la suma de los términos de una sucesión aritmética hemos de tener en cuenta una propiedad de estas sucesiones: 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20 , 23 , 26 , 29 , 32 Luego la suma de estos términos será: S10= En general en una sucesión aritmética

a1 , a2 , a3 , a4 ,… an−3 , an−2 , an−1 , an Se cumple que

a1+an =a2+an-1=a3+an-2= ……. =2acentral

Luego la suma de los n términos de una sucesión geométrica será:

S n = (a1 + an ) ⋅

n 2

Ejercicios. 6. Halla la suma de todos los números números impares menores que 100.

7. En una sucesión aritmética a1=12 y a3=18. Calcula la suma de los 40 primeros términos.

8. En una sucesión aritmética a1=6 y d=7. Calcula la suma desde el término a20 al término a60.

9. Un esquiador comienza la pretemporada pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes mes de 30 días?

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una sucesión geométrica es aquella en la que para pasar de un término al siguiente se multiplica por una misma cantidad a la que llamamos razón y denotamos por r.

a1 , a 2 , a3 , a 4 ,… a n −1 , a n , a n +1 ,… Por ejemplo: a) 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , ….. b) 3 , 30 , 300 , 3000 , …. c) 80 , 8 , 0,8 , 0,08 , ….. d) 3 , -6 , 12 , -24 , 48 , …. Término general. Vamos a calcular el término general de este tipo de sucesiones.

a1 , a 2 , a3 , a 4 ,… a n −1 , a n , a n +1 ,… a1 =a1 a2=a1 . r a3= a4= a 5=

…… luego an =

Ejercicios. 10. Los dos primeros términos de una sucesión son a1=250 y a2=300. Calcular r y an.

11. En una sucesión geométrica, a1=625 =625 y a3=400. Calcula la razón y el término que ocupa el lugar 45.

12. Un centurión le pidió al césar que le recompensara por su valentía. El césar, mostrándole grandes montones de monedas, le dijo: “Puedes tomar un denario; mañana, 2; al día siguiente, 4; al otro, 8. Así, sucesivamente, cada día duplicarás lo anterior. Pero cada día deberás llevártelo tú solo y de una sola vez. Te permito usar un carro”. Suponiendo que un denario pesa 20 g y que lo máximo que puede aguantar el carro es una tonelada, ¿cuántos ¿cuántos días duró la recompensa? Cuál fue el número de denarios de la última carretada?

Suma de los términos de una progresión geométrica. Vamos a calcularlo de una manera sencilla. Sn=a1 +a2 +a3+ ……. +an-2+an-1+an multiplicamos todo por r

Sn . r= a1.r +a2.r +a3.r+ ……. +an-2.r+an-1.r+an.r Sn . r = Si ahora restamos Sn . r - Sn

Sn . r = Sn= a1 +a2 +a3+ ……. +an-2+an-1+an --------------------------------------------------------------Sn . r-Sn=

La suma de los n términos de una sucesión geométrica es:

Sn =

a n ⋅ r − a1 a1 ⋅ r n − a1 = r −1 r −1

Ejercicios. 13. Cuenta la leyenda que un el sabio que invento el ajedrez le pidió a su rey como pago un grano de trigo por la primera casilla del tablero; dos, por la segunda; cuatro por la tercera …; por cada casilla, el doble de granos que por la anterior. anterior. ¿Cuántos granos pidió en total?

14. ¿Cuántos denarios se llevó, en total, el centurión del ejercicio 12?

15. Juan ha comprado 20 libros, por por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y así sucesivamente. ¿Cuánto ha pagado por los libros?

16. La maquinaria de una fábrica pierde cada año el 20% de su valor. En el momento de su compra valía 40 000 €. a) a) ¿Cuánto valía un año después de comprarla? ¿Y dos años después? b) ¿En cuánto se valorará 10 años después de haberla adquirido?

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. En aquellas sucesiones geométricas cuya razón esté entre 0 y 1, podremos calcular la suma de todos los términos de la progresión. Si 0 ‹ r ‹ 1

entonces

S∞ =

a1 1− r

Ejercicios. 17. Calcula la suma de todos los términos términos de una sucesión geométrica en la que a1=8 y r=0,75

18. En una sucesión geométrica, su cuarto término es 10 y el sexto, 0,4. Halla la razón, el primer término, el octavo término, la suma de los ocho primeros términos y la suma de todos sus términos.

EJERCICIOS 1.

Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones: a) Cada término se obtiene sumando 7 al anterior. El primero es –10. b) El primer término es 0,1. Los demás se obtienen multiplicando el anterior por 2. c) El primero es 2; el segundo, 4, y los siguientes, la semisuma de los dos anteriores. 2. Escribe los términos a10 y a25 de las siguientes sucesiones:

Sol: a) a10 = 29 a25 = 74 b) b10 = 101/2 b25 = 312 c) c10 = 11/10 c25 = -24/25 d) d10 = 1,1 d25 = 0,9 e) e10 = 90 e25 = 600 f) f10 = 2/3 f25 = 23/27

3. Escribe los cinco primeros términos de la siguiente sucesión: a1 = 1 an = 2an – 1 + 3 4. Averigua el criterio con el que se han formado las siguientes sucesiones:

a) 11, 9, 7, 5, … d) 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 …

b) 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 …… e) 8, 12, 18, 27, …

c) 2,5; 2,9; 3,3; 3,7; … f) 0, 3, 8, 15, …

5. Halla el término general de estas sucesiones:

Sol: a) an = 10 + 2n b) an = n/n+1 c) an = 2n – 1 d) an = 3n – 1 6. Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones: a) 8, 10, 2, –8, –10, … b) 1, 2, 2, 1, 1/2, … 7. Escribe los cinco primeros términos y a20 de las siguientes progresiones aritméticas: a) a1 = 1,5; d = 2 b) a1 = 32; d = –5 c) a1 = 5; d = 0,5 d) a1 = –3; d = – 4 8. Halla, en cada caso, el término general y calcula, después, a50: a) 25, 18, 11, 4, … b) –13, –11, –9, –7, … c) 1,4; 1,9; 2,4; 2,9; … d) –3, –8, –13, –18, … Sol: a) an = 32 – 7n; a50 = –318 b) an = –15 + 2n; a50 = 85 c) an = 0,9 + 0,5n; a50 = 25,9 d) an = 2 – 5n; a50 = –248 9. Halla el primer término y el término general de las siguientes progresiones aritméticas: a) d = 5; a8 = 37 b) a11 = 17; d = 2 Sol: a) a1 = 2 an = –3 + 5n b) a 1 = –3 an = –5 + 2n 10. Halla la diferencia y el primer término de las progresiones aritméticas siguientes: a) a2 = 18; a7 = –17 b) a4 = 15; a12 = 39 Sol: a) d = –7 a1 = 25 b) d = 3 a1 = 6. 11. Calcula la suma de los veinte primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas: a) a1 = 5; d = 2 b) a1 = –1; a2 = –7 c) Los números pares. d) Los múltiplos de 3. Sol. a) 480 b) –1 160 c) 420 d) 630. 12. El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos. Sol: d = 2 S15 = 195. 13. El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión. Sol: 1, 4, 7, 10, 13, ... 14. Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5. Sol: 300. 15. En una progresión aritmética, el segundo término es 9 y el cuarto es 15. Calcula la suma de los 20 primeros términos. Sol: S20 = 520. 16. Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º. Sol: 52º 30' ; 77º 30' ; 102º 30' ; 127º 30' 17. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética. Sol: 32/3 y 40/3 miden los otros dos catetos. 18. ¿Qué lugar ocupa un término cuyo valor es 56 en la progresión aritmética definida por a1 = 8 y d = 3? Sol: n = 17. 19. Escribe los cinco primeros términos de las siguientes progresiones geométricas: a) a1 = 0,3; r = 2 b) a1 = –3; r = 1/2 c) a1 = 200; r = –0,1 d) a1 = 1/81 ; r = 3 20. Halla, en cada una de las sucesiones siguientes, el término general: a) 20; 8; 3,2; 1,28; … b) 40, 20, 10, 5, … c) 6; –9; 13,5; –20,25; … d) 0,48; 4,8; 48; 480; … Sol: a) an = 20 · 0,4n – 1 b) an = 40 40 ·(1/2)n-1 c) an = 6 · (– (–1,5)n –1 d) an = 0,48 · 10n – 1 21. Calcula la razón y el primer término de las progresiones geométricas siguientes: a) a1 = 1/81; a3 = 1/9 b) a2 = 0,6; a4 = 2,4. Sol: a) r = ±3 b) r = ±2 Si r = 2: a1 = 0,3; si r = -2 a1 = -0,3. 22. Halla el primer término y escribe el término general de las siguientes progresiones: a) a3 = 3; r = 1/10 b) a4 = 20,25; r = –1,5 Sol: a) a1 = 300; an = 300(1/10)n-1 b) a1 = –6; an = –6 · (– (–1,5)n – 1 23. Calcula la suma de los diez primeros términos de las progresiones geométricas siguientes: a) a1 = 5; r = 1,2 b) a1 = 5; r = –2 Sol: a) 129,8 b) –1 705. 24. Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5. Sol: 600. 25. Calcula la suma de todos los números de dos cifras que son divisibles por tres. Sol: 1 665. 26. Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5. Sol: 1125. 27. Halla la suma de los infinitos términos de las progresiones geométricas siguientes: a) a1 = 4; r = 1/3 b) a1 = 17; r = 0,95 Sol: a) 6 b) 340. 28. Calcula la suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica en la que a1 = 1 000 y a4 = 8. ¿Se puede hallar la suma de sus infinitos términos? Sol: S5 = 1 249,6 Si S∞ = 1 250. 29. El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón y la suma de los 8 primeros términos. Sol: r= 2 y S8 = 765. 30. En una progresión geométrica el segundo término es 12 y el quinto 324. Calcula la suma de los 8 primeros términos. Sol: S8 = 13 120. 31. El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión. Sol: 3, 6, 12, 24, 48, ...

32. En un teatro, la primera fila dista del escenario 4,5 m, y la octava, 9,75 m. a) ¿Cuál es la distancia entre dos filas? b) ¿A qué distancia del escenario está la fila 17? Sol: a) La distancia entre dos filas es 0,75 m. b) A 16,5 m está la fila 17. 33. Para preparar una carrera, un deportista comienza corriendo 3 km y aumenta 1,5 km su recorrido cada día. ¿Cuántos días tiene que entrenar para llegar a hacer un recorrido de 21 km? Sol: 13 días. 34. En el año 1986 fue visto el cometa Halley desde la Tierra, a la que se acerca cada 76 años. Esta era la cuarta vez que nos visitaba desde que el astrónomo Halley lo descubrió. a) ¿En qué año fue descubierto? b) ¿Cuándo será visto en el siglo XXI? Sol: a) Fue descubierto en 1758. b) Se verá en 2062. 35. La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura 12 días. ¿Cuántos miligramos tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento? Sol: 870 mg. 36. ¿Cuánto dinero obtendremos si colocamos 3 000 € al 5% de interés anual compuesto durante 4 años? ¿Y si lo colocamos durante 8 años? Sol: 3 646,5 € tendremos al cabo de 4 años y 4 432,4 € tendremos después de 8 años. 37. Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora. ¿Cuántas bacterias habrá después de 6 horas? Sol: 8 388 608 bacterias habrá después de 6 horas. 38. La población de un cierto país aumenta por término medio un 1,12% anual. Si la población actual es de 3 millones, ¿cuál será dentro de 10 años? Sol: 8,32 millones de habitantes dentro de 10 años. 39. Una máquina envasadora pierde cada año un 15% de su valor. Si ha costado 20 000 €, ¿cuál será su valor dentro de 5 años? Sol: 10 440 € será su valor dentro de 5 años. 40. Una bola que rueda por un plano inclinado recorre 1 m en el primer segundo, 4 m en el segundo, 7 m en el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuánto recorre en 20 segundos? Sol: 58 m recorre en 20 s. 41. Depositamos en un banco 1 000 € al 2,5% semestral al comienzo de un cierto año. Averigua el capital disponible al final de cada semestre, durante 3 años, si no sacamos ningún dinero. Sol: 1 025; 1 050,63; 1 076,89; 1 103,81; 1 131,41; 1 1158,69. 58,69. 42. Si al comienzo de cada año ingresamos 2 000 € en un banco al 5% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del sexto año? Sol: 14284 €. 43. Una empresa ofrece a un empleado un sueldo de 1 000 € y una subida de 100 € al año. Otra le ofrece el mismo sueldo con una subida del 10% anual. Razona cuál de las dos es mejor comparando el sueldo dentro de 10 años. Sol: Es mejor la oferta de la empresa B. 44. Una ONG que se dedica a la ayuda al Tercer Mundo se inició con 125 personas. Si todos los meses se incorporan 5 voluntarios, ¿cuántas personas trabajarán en la ONG al cabo de 2 años y medio? Sol: 270 voluntarios. 45. Las edades de tres hermanos están en progresión aritmética de diferencia 4 y su suma es igual a 42 años. ¿Qué edad tiene cada uno? Sol: 10 , 14 y 18 años. 46. Un ciclista recorrió el primer día 15 kilómetros y cada día aumenta su recorrido en 1 kilómetro. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido al cabo de los 20 primeros días? Sol: Habrá recorrido 420 km. 47. Un filántropo muy rico decidió destinar su fortuna a una asociación dedicada a la lucha contra el cáncer. Entregó 10 euros el primer mes, 20 euros el segundo, 40 euros el tercero y así sucesivamente. ¿Qué cantidad entregó a los dos años de su primera donación? Sol: 83 886 080 €. 48. Un equipo de ciclismo programa su entrenamiento semanal en cinco etapas. En la primera etapa recorre una distancia de 40 kilómetros y cada etapa sucesiva es 5 /4 más larga que la anterior. ¿Cuántos kilómetros recorre el equipo a lo largo de la semana? Sol: 328,28 km recorridos a lo largo de la semana. 49. Al comienzo del año, Juan decide ahorrar para comprarse una consola de videojuegos. En enero mete en su hucha 10 euros y cada mes introduce la misma cantidad que el mes anterior y 1 euro más. ¿Cuánto dinero habrá ahorrado al finalizar el año? Sol: 186 €. 50. Las anotaciones obtenidas por las cinco jugadoras de un equipo de baloncesto están en progresión aritmética. Si el equipo consiguió 70 puntos y la máxima anotadora obtuvo 24 puntos, ¿cuántos puntos anotaron las restantes jugadoras? Sol: 24 son las anotaciones de las jugadoras del equipo. 51. Toma un folio y dóblalo por la mitad. Obtienes dos cuartillas que juntas tendrán un grosor doble del grosor del folio. Ahora dobla nuevamente las dos cuartillas y obtienes cuatro octavillas, con un grosor cuádruple que el del folio. Si la hoja inicial tuviera un grosor de 0,1 milímetros y fuese tan grande que pudieras repetir la operación 100 veces, ¿qué grosor tendría el fajo resultante? Sol: 6,34 . 1028 mm = 6,34 . 1022 Km. 52. Averigua la posición que ocupan los términos 8/6 , 71/12 y 143/16 en la sucesión cuyo término general es:

53. 54. 55. 56.

Sol: 2º , 5º y 7º respectivamente. El tercer término de una progresión geométrica es 144 y la razón es 6. ¿Qué posición ocupa dentro de la progresión el número 5 184? Sol: La quinta quinta posición. La progresión 6, 11, 16, 21, …, 126, ¿cuántos términos tiene? Sol: 25 términos tiene la sucesión. Calcula el número de términos de la siguiente sucesión: 7, 14, 28, 56, …, 896. Sol: La sucesión tiene 8 términos. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de diferencia 2 y su perímetro es de 15 centímetros. ¿Cuánto miden los lados del triángulo? Sol: Los lados miden 3, 5 y 7 cm.

57. Cierta ONG ha construido un pozo para abastecer de agua potable a una población de Somalia. Su coste ha sido de 2 190 euros. ¿Qué profundidad tiene el pozo si se sabe que el primer metro costó 15 euros y cada metro restante costó 4 euros más que el anterior? Sol: El pozo tiene 30 metros de profundidad. 58. La asociación de vecinos de un barrio realiza un “rastrillo” de venta de objetos usados cuya recaudación donarán a la gente necesitada del barrio. ¿Cuánto dinero recaudaron a lo largo de una semana si las recaudaciones de cada día forman una progresión geométrica de razón 2 y el primer día recaudaron 15 euros? Sol: 1 905 €. 59. Los lados de un pentágono están en progresión aritmética, el lado mayor mide 12 centímetros y el perímetro es de 40 centímetros. Calcula las longitudes de los lados del pentágono. Sol: Los lados miden 4, 6, 8, 10 y 12 cm. 60. La presa de Assuán situada sobre el río Nilo, en Egipto, contiene 164 _ 109 litros de agua el día del comienzo del verano. Teniendo en cuenta que cada día pierde el 0,2 % de su capacidad, ¿cuántos litros contendrá tras haber pasado 90 días? Sol: 1,37 . 1011 litros. 61. El número de donantes de sangre en un hospital el primer día de cierto mes fue de 30 personas. Si cada día el número de donantes aumentó en 7 personas, ¿cuántas personas donaron sangre el último día del mes? Sol: 4 185 donantes. 62. La suma de las edades de cuatro hermanos es igual a 38 años y la diferencia entre el pequeño y el tercero es de 3 años. Averigua la edad de cada hermano sabiendo que las edades están en progresión aritmética. Sol: Las edades de los cuatro hermanos son de 7,25, 8,75, 10,25 y 11,75 años. AUTOEVALUACIÓN AUTOEVALUACIÓN

3n − 2 n +1 donde a1 = 5 y a 2 = 7 2. Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión de recurrencia: a n = 3a n −1 + 2a n − 2

1.

Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión cuyo término general es: a n =

3.

Encuentra el término general de las siguientes sucesiones: a) 5 ; 8 ; 11 ; 14 ….

b) 24 ; 12 ; 6 ; 3 ……..

4. Calcula la suma de los 15 primeros términos de una sucesión aritmética en la que

a1 = 1 y a 3 = 11

5. Calcula a13 y la suma de los infinitos términos de la sucesión: 40 ; 20 ; 10 ; 5 ….. 6. Calcula la suma de los 10 primeros términos de una sucesión geométrica en la que el primer término vale 5 y su razón es 3. 7. El tercer término de una progresión geométrica vale 80, y la razón es 4. Calcula la suma de los 10 primeros términos 8. Encuentra la suma de los seis primeros términos de una sucesión geométrica de razón positiva en la que

a 2 = 10 y a 4 = 250 . 9.

Un estudiante de 3º ESO, se propone el 1 de septiembre repasar matemáticas durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día comenzó haciendo un ejercicio: a) ¿Cuántos ejercicios tendrá que hacer el 15 de septiembre? -b) ¿Cuántos ejercicios hará en total? 10. La maquinaria de una fábrica pierde cada año el 20% de su valor. En el momento de la compra valía 40 000 €. ¿En cuánto se valorará 10 años después de haberla adquirido? 11. Una máquina costó inicialmente 10 480 €. Al cabo de unos años se vendió por la mitad de su precio. Pasados unos años, se volvió a vender por la mitad, y así sucesivamente. Si en total ha tenido 7 propietarios, ¿cuál es la suma total pagada por esta máquina?