Análisis armónico no conmutativo y geometría de espacios de operadores

´ noma de Madrid Universidad Auto Facultad de Ciencias ´ ticas Departamento de Matema

An´ alisis arm´ onico no conmutativo y geometr´ıa de espacios de operadores

Javier Parcet

Tesis Doctoral dirigida por ´ Garc´ıa-Cuerva Abengoza D. Jose

A mi padre, porque ´el me mostr´o la belleza de las matem´aticas... ... y a Marta, porque ella me ha ense˜ nado que existen otras cosas bellas.

Los principales protagonistas... Joseph Fourier Sophus Lie

John von Neumann Robert Schatten

Elie Cartan

Ray Kunze

Issai Schur

Alexander Grothendieck

Frigyes Riesz

Bernard Maurey

Hugo Steinhaus

Stanislaw Kwapie´ n

Hermann Weyl

Gilles Pisier

Hans Rademacher Stefan Banach Aleksandr Khintchine Solomon Bochner

Jean Bourgain William Beckner Zhong-Jin Ruan Marius Junge

Arqu´ımedes seguir´a siendo recordado cuando el mundo haya olvidado a Esquilo, porque las lenguas mueren y las ideas matem´aticas, no. Puede que ‘inmortalidad’ sea una palabra absurda, pero quiz´as un matem´atico tenga m´as probabilidades que nadie de aproximarse a su posible significado. G.H. Hardy, Apolog´ıa de un matem´atico.

Indice

Prefacio

I

III

Espacios de operadores y clases de Schatten

1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1

Espacios de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1 Acotaci´on completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Caracterizaci´on abstracta de Ruan . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3 Cocientes y dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Productos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Cuantizaciones maximal y minimal . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Interpolaci´on compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 El espacio de Hilbert de operadores OH . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Ultraproductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.9 Los espacios fila y columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2

Cuantizaci´ on de espacios de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Los espacios de Bochner-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Las clases de Schatten Snp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Las clases de Schatten Snp (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Sumas directas con una p-norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 i

II Tipo de Fourier respecto de grupos compactos Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 La transformada de Fourier vectorial . . 3.1 Definici´on de la transformada de Fourier . ˆ . . . . . . . . . . . . . 3.2 Los espacios LpE (G) 3.3 Algunos resultados escalares . . . . . . . . 4 Tipo y cotipo de Fourier . . . . . . . . . . 4.1 Tipo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Cotipo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Interpolaci´on, dualidad y distancia cb . . . 4.4 Espacios de Lebesgue y clases de Schatten

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37 . . . . . . . . . .

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III Desigualdad local en grupos semisimples Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Tipo de Fourier ´ optimo de Lp (Ω) . . . . . . . . . . 5.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . 5.2 Crecimiento de Cq1 (`p (n), G) . . . . . . . . . . . . . 5.3 Un problema abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Desigualdad local de Hausdorff-Young . . . . . . 6.1 Coeficientes de Fourier de funciones centrales . . . . 6.2 Desigualdad local en grupos semisimples . . . . . . 6.3 Sobre el valor exacto de K(G, q) . . . . . . . . . . . 6.4 Sistemas casi-unimodulares con espectros disjuntos

79 . . . . . . . . . .

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IV Sistemas ortonormales cuantizados Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Sistemas uniformemente acotados . . . . . . 7.1 Definici´on y propiedades b´asicas . . . . . . . . 7.2 Cuantizaci´on de los sistemas cl´asicos . . . . . 7.3 Extremalidad del sistema de Rademacher . . . 8 Teorema de Kwapie´ n no conmutativo . . . . 8.1 Prueba elemental . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Sistemas ortonormales cuantizados completos 8.3 Prueba probabil´ıstica . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Ejemplos y cuestiones . . . . . . . . . . . . . ii

39 47 47 49 55 59 59 63 66 72

. . . . . . . . . .

81 91 91 95 97 103 103 107 115 118

123 . . . . . . . . . .

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125 135 135 141 144 147 147 150 154 162

V Espacios de operadores B-convexos Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 BΣ -convexidad y nociones equivalentes 9.1 Definiciones y resultados previos . . . . . 9.2 Caracterizaciones de la BΣ -convexidad . 9.3 Submultiplicatividad tensorial . . . . . . 10 Σ-tipo no trivial y KΣ -convexidad . . . 10.1 Relaci´on con el Σ-tipo no trivial . . . . 10.2 Sobre la independencia respecto de Σ .

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165 . . . . . . . .

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. . . . . . . .

Ap´ endices A

B

C

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167 177 177 182 188 193 193 198

203

La teor´ıa conmutativa . . . . . . . . . . . . . . A.1 Tipo y cotipo de Rademacher . . . . . . . . . A.2 Tipo y cotipo de Fourier . . . . . . . . . . . . A.3 Tipo y cotipo de Riesz . . . . . . . . . . . . . A.4 Teorema de Kwapie´ n. . . . . . . . . . . . . . A.5 Espacios de Banach B-convexos . . . . . . . . A.6 Teorema de Maurey-Pisier . . . . . . . . . . . An´ alisis arm´ onico en grupos compactos . . . B.1 Grupos topol´ogicos y medida de Haar . . . . B.2 Representaciones unitarias, irreducibilidad . . B.3 El a´lgebra de grupo . . . . . . . . . . . . . . B.4 Caracteres y relaciones de ortogonalidad . . . B.5 La transformada de Fourier . . . . . . . . . . B.6 La desigualdad de Hausdorff-Young-Kunze . . Grupos de Lie compactos y semisimples . . C.1 Toros maximales y la forma de Killing . . . . C.2 Ra´ıces y sistemas fundamentales . . . . . . . C.3 El grupo de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . C.4 Los tres ret´ıculos de la sub´algebra de Cartan C.5 Teorema del peso dominante . . . . . . . . . C.6 Los resultados de Hermann Weyl . . . . . . .

Bibliograf´ıa

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205 205 209 214 218 220 224 227 227 229 231 232 234 236 239 239 241 244 246 248 251

253

iii

Prefacio

Uno de los objetivos b´asicos del an´alisis funcional es la clasificaci´on de los espacios de Banach. En dicha categor´ıa los morfismos son operadores lineales y acotados y, en los u ´ltimos 30 a˜ nos, ha predominado la clasificaci´on de tales espacios salvo isomorfismo. A este respecto, los trabajos de Hoffmann-Jorgensen, Kwapie´ n, Maurey y Pisier de principios de los a˜ nos 70, supusieron un punto de inflexi´on. Las investigaciones, llevadas a cabo por estos y otros matem´aticos de la ´epoca, evidenciaron una fuerte interacci´on entre la geometr´ıa de los espacios de Banach y las series ortogonales con valores vectoriales. El hilo conductor no es otro que el estudio de la validez de determinadas desigualdades cl´asicas, como las desigualdades de Khintchine o las de Hausdorff-Young, para funciones que toman valores en el espacio considerado. De este modo entran en escena diferentes sistemas ortonormales, en funci´on de la desigualdad analizada, respecto de los cuales se construyen las mencionadas series ortogonales.

1. Historia. La interacci´on entre la geometr´ıa de espacios de Banach y los sistemas ortonormales se puede resumir en dos bloques bien diferenciados. En primer lugar, sea f : G → X una funci´on vectorial definida en un grupo topol´ogico compacto y abeliano. Si f es integrable Bochner, nada nos impide considerar sus coeficientes de Fourier Z fb(ξ) = f (g)ξ(g) dµ(g) G

definidos para todo car´acter ξ : G → T. Aqu´ı µ denota la medida de Haar normalizada por la condici´on µ(G) = 1. Entonces, dado 1 < p ≤ 2, podemos preguntarnos por la validez de la desigualdad X 1/p0 1/p Z p0 p b kf (ξ)kX ≤ Kp (X, G) kf (g)kX dµ(g) G

b ξ∈G

para cierta constante Kp (X, G) independiente de f . Dicho de otro modo, se trata de la desigualdad de Hausdorff-Young para funciones vectoriales definidas en un grupo abeliano. En este caso diremos que el espacio de Banach X tiene tipo de Fourier v

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vi

p respecto de G. El primer trabajo en el que se estudia la desigualdad vectorial de Hausdorff-Young se debe a Jaak Peetre [62], quien analiz´o dicha desigualdad para funciones vectoriales definidas en la recta real. No obstante, fue Mario Milman [55] el responsable de introducir en 1984 la noci´on general de tipo de Fourier. Con el paso de los a˜ nos se han sucedido algunos trabajos que han desarrollado esta rama del an´alisis arm´onico vectorial. En este contexto, cabe destacar el resultado de Jean Bourgain [11], que asegura que todos los espacios de Banach B-convexos satisfacen la desigualdad de Hausdorff-Young para un exponente no trivial. No obstante, existen todav´ıa dos problemas importantes de la teor´ıa que permanecen abiertos. Por un lado, no se conoce ninguna condici´on geom´etrica que caracterice la propiedad de tener tipo de Fourier p respecto de un determinado grupo abeliano. En segundo lugar, eliminando algunos casos degenerados, se ha conjeturado que la noci´on de tipo de Fourier no depende del grupo considerado. Nuestro segundo bloque est´a menos relacionado con el an´alisis arm´onico y m´as con la interacci´on entre an´alisis funcional y probabilidad. A saber, si sustituimos los grupos compactos por espacios de probabilidad y el sistema de caracteres del grupo por el sistema de Rademacher o el sistema de Gauss, entonces perdemos la estructura de grupo pero ganamos independencia en las variables aleatorias que forman nuestro sistema. Concretamente, si denotamos por r1 , r2 , . . . a las funciones de Rademacher y nos dan un exponente 1 ≤ p ≤ 2, entonces diremos que un espacio de Banach X tiene tipo de Rademacher p cuando se tenga n n

2 1/2 Z 1 X X 1/p

xk rk (t) dt ≤ Kp (X) kxk kpX

0

k=1

X

k=1

para cierta constante Kp (X) independiente de n. El cotipo de Rademacher se define considerando la desigualdad inversa y sustituyendo p por su exponente conjugado. Las nociones de tipo y cotipo de Rademacher se deben a Hoffmann-Jorgensen [36]. Enumeramos a continuaci´on los resultados m´as relevantes de esta teor´ıa. Uno de los primeros resultados, que reflejan la interacci´on entre la geometr´ıa de los espacios de Banach y el sistema ortonormal de Rademacher, el es teorema de Kwapie´ n. Entre otros resultados de inter´es, Stanislaw Kwapie´ n [45] demostr´o en 1972 que un espacio de Banach es isomorfo a un espacio de Hilbert si y s´olo si dicho espacio tiene tipo y cotipo de Rademacher 2. Existen otras condiciones equivalentes, de las que daremos cuenta en esta Memoria, que hacen uso de otros sistemas ortonormales. Las caracterizaciones existentes de la condici´on de tener tipo de Rademacher p para cierto 1 < p ≤ 2, o tipo de Rademacher no trivial, ocupan tambi´en un lugar de primera fila. As´ı, en los trabajos de Daniel P. Giesy [30] por un lado y Gilles Pisier [65] por otro, se prueba que un espacio de Banach

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es B-convexo si y s´olo si dicho espacio contiene a `1 (n) de forma uniforme. Adem´as, ambas propiedades equivalen a la condici´on de tener tipo de Rademacher no trivial. Otra de las caracterizaciones de esta condici´on permaneci´o abierta durante algunos a˜ nos. Me refiero a la conjetura, planteada en 1976 y resuelta finalmente por Pisier [66] en 1982, de que un espacio de Banach es B-convexo si y s´olo si es K-convexo. El u ´ltimo resultado que destacamos aqu´ı se debe a Bernard Maurey y Gilles Pisier. En el conocido trabajo [54], ambos autores demostraron que el supremo de los exponentes p ∈ [1, 2], para los que un espacio de Banach infinito-dimensional tiene tipo de Rademacher p, coincide con el m´ınimo de los exponentes q ∈ [1, 2] para los que dicho espacio contiene a `q (n) de forma uniforme. Por lo tanto, a diferencia de lo que ocurre con el tipo de Fourier, existe una condici´on geom´etrica que caracteriza la propiedad de tener tipo de Rademacher p. La teor´ıa de tipo y cotipo de Rademacher es m´as extensa que la correspondiente teor´ıa de tipo de Fourier. Existen muy pocos resultados que combinen ambas teor´ıas. El teorema de Bourgain, que asegura que un espacio de Banach tiene tipo de Rademacher no trivial si y s´olo si dicho espacio satisface una desigualdad de Hausdorff-Young no trivial, es por tanto de capital importancia. Por u ´ltimo cabe destacar que, como comprobaremos a lo largo de esta Memoria, la teor´ıa de tipo y cotipo se extiende a otras familias de sistemas ortonormales. Algunos ejemplos destacados son el sistema de Walsh o el de Haar, as´ı como todos los sistemas ortonormales y uniformemente acotados.

2. Objetivos. En esta Memoria pretendemos abordar la teor´ıa descrita desde un punto de vista no conmutativo. La ausencia de conmutatividad es una idea demasiado ambigua. Por tanto, matizamos a continuaci´on a qu´e nos referimos con ello. Esta Memoria arranc´o con el objetivo de estudiar la validez de la desigualdad de Hausdorff-Young para funciones vectoriales f : G → E definidas en un grupo topol´ogico compacto no conmutativo. Dicha desigualdad no tiene sentido cuando tomamos valores en un espacio de Banach. Como se justificar´a debidamente, es necesario imponer una estructura m´as fuerte en el espacio donde nuestras funciones est´an valoradas. Se trata de la estructura de espacio de operadores, tambi´en conocidos como espacios de Banach no conmutativos. Nuestro segundo objetivo consiste en extender los resultados previos con el fin de obtener una teor´ıa general de tipo y cotipo para espacios de operadores. Para ello ha sido necesario adaptar y generalizar el concepto de sistema ortonormal al contexto no conmutativo. Esto ha derivado en los que hemos dado en llamar sistemas ortonormales cuantizados. Hemos trabajado as´ı con las cuantizaciones

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de sistemas cl´asicos como el sistema de Rademacher o el sistema de Gauss. Con la ayuda de estos sistemas hemos podido definir las nociones de tipo y cotipo de un espacio de operadores. Adem´as, como en el caso particular de los grupos compactos no conmutativos, hemos obtenido resultados generales que extienden otros resultados propios de la teor´ıa cl´asica. Una vez comprobada la consistencia que tiene la teor´ıa de tipo y cotipo en el contexto no conmutativo, nuestra u ´ltima meta no es otra que investigar la posible interacci´on entre los sistemas ortonormales cuantizados y la geometr´ıa de los espacios de operadores. Dicho con otras palabras, hemos analizado la validez para espacios de operadores de los resultados m´as relevantes de la teor´ıa cl´asica. As´ı por ejemplo, hemos estudiado la existencia de un teorema de Kwapie´ n no conmutativo o hemos definido la noci´on de espacio de operadores B-convexo. No todos los resultados son extensiones naturales de la teor´ıa conmutativa. Como veremos, en algunas ocasiones la teor´ıa de espacios de operadores se desmarca de la teor´ıa cl´asica, obteniendo de este modo resultados sorprendentes.

3. T´ecnicas. A lo largo de la Memoria ser´a necesario utilizar diferentes t´ecnicas, necesarias a la hora de cubrir nuestros objetivos. En primer lugar, el trato con los grupos topol´ogicos compactos no conmutativos impone un cierto manejo de la teor´ıa de representaciones de tales grupos. Para empezar, los coeficientes de Fourier de una funci´on f : G → C definida en un grupo compacto no conmutativo se construyen a partir de las representaciones irreducibles del grupo. A saber, dada una representaci´on unitaria e irreducible π : G → U (Vπ ), se define Z b f (π) = f (g)π(g)? dµ(g) G

donde µ denota la medida normalizada de Haar. N´otese que, si el espacio de Hilbert Vπ es de dimensi´on dπ , entonces el coeficiente de Fourier fb(π) resulta ser una matriz con entradas complejas de orden dπ . Por otro lado, en alg´ un punto de esta Memoria, tambi´en necesitaremos aplicar resultados m´as profundos sobre la estructura y representaciones de los grupos de Lie compactos y semisimples. En segundo t´ermino, a la hora de construir los sistemas ortonormales cuantizados, nos inspiramos en lo que sucede con los grupos compactos no conmutativos. Antes hemos apuntado que en la teor´ıa cl´asica se sustituyen los caracteres por variables aleatorias independientes. En esta ocasi´on, las representaciones irreducibles se sustituyen por una familia de matrices aleatorias independientes que conforman nuestro sistema. Por consiguiente, algunas nociones sobre matrices aleatorias y probabilidad vectorial ser´an necesarias. El resultado m´as profundo que utilizamos

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en este sentido es el teorema central del l´ımite para variables aleatorias con valores en un espacio de Banach de tipo 2. No obstante, como en cierto modo ya hemos anunciado, la teor´ıa que m´as va a aparecer a lo largo de esta Memoria es la de los espacios de operadores. Esta es una teor´ıa reciente iniciada por Zhong-Jin Ruan, quien en su Tesis Doctoral [74] caracteriz´o los espacios de operadores por dos axiomas que permitieron el posterior desarrollo de la teor´ıa.

4. Contenidos. Los contenidos de esta Memoria se dividen en cinco Partes. Adem´as, se incluyen al final tres Ap´endices en los que se resumen algunas de las t´ecnicas utilizadas a la largo de la Memoria. La Parte I contiene un resumen, adaptado a nuestras necesidades, de los resultados m´as relevantes de la teor´ıa de espacios de operadores. Tambi´en dedicamos algunas p´aginas a la versi´on no conmutativa de ciertos espacios de Bochner-Lebesgue. Se trata de las clases de Schatten vectoriales, definidas por Pisier en [68] con la ayuda de los espacios de operadores. Tanto los espacios de operadores como las clases de Schatten son esenciales para la lectura de esta Memoria. Por tanto, aunque la Parte I no contiene resultados originales, hemos decidido no incluir este material al final de la Memoria por lo novedoso de la teor´ıa y el importante papel que juega aqu´ı. El resto de las Partes de esta Memoria, excluyendo obviamente los Ap´endices, son completamente originales. En la Parte II, comenzamos por introducir los coeficientes de Fourier de una funci´on f : G → E definida en un grupo compacto no conmutativo y con valores en un espacio de operadores. Tambi´en estudiamos el espacio donde toma valores la transformada de Fourier. Este an´alisis preliminar, de los objetos con los que vamos a trabajar, nos permite a posteriori estudiar la desigualdad de Hausdorff-Young en este contexto. En 1958, Ray A. Kunze [44] demostr´o la validez de la desigualdad de Hausdorff-Young para funciones escalares definidas en un grupo compacto no conmutativo. A saber, dado 1 < p ≤ 2, se tiene que X 1/p0 Z 1/p p0 b dπ kf (π)k p0 ≤ |f (g)|p dµ(g) b π∈G

Sdπ

G

donde µ denota la medida normalizada de Haar asociada al grupo. Estudiamos por tanto la validez de esta desigualdad y otras relacionadas para funciones vectoriales. Como ya hemos anticipado, la necesidad de trabajar con las clases de Schatten vectoriales nos obliga a definir una estructura de espacio de operadores en el espacio donde nuestras funciones toman valores. Esto da lugar a la nociones de tipo y cotipo de Fourier de un espacio de operadores respecto de un grupo compacto no conmutativo, cuyas propiedades analizaremos.

x

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

La condici´on de satisfacer dicha desigualdad vectorial es m´as restrictiva en el espacio de operadores a medida que el exponente se aproxima a 2. Esto nos ha llevado a considerar la noci´on de tipo de Fourier o´ptimo, siguiendo as´ı los pasos de la teor´ıa conmutativa. En la Parte III analizamos el tipo de Fourier ´optimo de los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten. El problema de calcular los exponentes o´ptimos de Fourier de un espacio de operadores es en general bastante complicado. Adem´as, como veremos, dicho problema est´a fuertemente ligado a la no conmutatividad del grupo. Esta situaci´on nos lleva a restringir la familia de grupos compactos con los que trabajamos. Efectivamente, nos centraremos en los grupos de Lie compactos y semisimples, donde la estructura y las representaciones son mucho m´as conocidas que en el caso general. Demostraremos que nuestro problema equivale a probar una desigualdad de Hausdorff-Young de tipo local en esta familia de grupos. M´as concretamente, dado 1 ≤ q ≤ 2, necesitamos probar que ( ) kfbkLq0 (G) b K(G, q) = ´ınf sup : f central, f ∈ Lq (G), sop(f ) ⊂ Uk > 0 k≥1 kf kLq (G) donde la familia U1 , U2 , . . . constituye una base de entornos del elemento neutro 1 de nuestro grupo. Es decir, se trata de estudiar la desigualdad de Hausdorff-Young para funciones centrales con soporte arbitrariamente peque˜ no. Este es el resultado m´as relevante de la Parte III, cuya demostraci´on requiere el uso de las t´ecnicas desarrolladas por Hermann Weyl [87, 88, 89] a comienzos de los a˜ nos 20 y algunas t´ecnicas del an´alisis arm´onico eucl´ıdeo. En la Parte IV dejamos a un lado los grupos compactos. Comenzamos por definir los sistemas ortonormales cuantizados. Hablando sin mucho rigor, se trata de sistemas de funciones matriciales que satisfacen ciertas propiedades que sirven para generalizar otras propiedades cl´asicas como la ortonormalidad, la acotaci´on uniforme o la completitud. El primer paso consistir´a en asegurarse de que estos sistemas nos permiten construir una teor´ıa general de tipo y cotipo. No obstante, una gran parte del trabajo ya est´a realizada en las p´aginas anteriores con nuestro estudio de los grupos compactos no conmutativos. Pasamos entonces a estudiar la versi´on para espacios de operadores del teorema de Kwapie´ n. Utilizando ahora la terminolog´ıa propia de los espacios de operadores, buscamos caracterizaciones salvo isomorfismo completo de los espacios de operadores OH y para ello hacemos uso de las propiedades de tener tipo y cotipo 2. Los espacios de operadores OH fueron definidos por Pisier en [67] y constituyen el sustituto natural de los espacios de Hilbert en la categor´ıa de espacios de operadores. Daremos varios enfoques para el teorema de Kwapie´ n no conmutativo. En primer lugar, utilizamos los sis-

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temas ortonormales cuantizados que est´an uniformemente acotados. En segundo lugar, sustituimos la cota uniforme por la completitud del sistema. Por u ´ltimo, analizamos lo que ocurre con el sistema cuantizado de Gauss, que no es completo ni uniformemente acotado. Proporcionamos entonces una prueba probabil´ıstica del teorema de Kwapie´ n para dicho sistema que posee interesantes aplicaciones. Entre otras cosas, dicha prueba servir´a para justificar la introducci´on de los sistemas cuantizados en la teor´ıa, pues mostraremos al lector que tales sistemas poseen propiedades mucho m´as interesantes en esta teor´ıa que los sistemas cl´asicos. En la Parte V nos centramos en analizar la validez, para espacios de operadores, de las caracterizaciones cl´asicas de la clase de espacios de Banach B-convexos. El primer obst´aculo radica en definir los espacios de operadores B-convexos. Dado un sistema cuantizado, las dimensiones de las matrices donde toman valores sus funciones constituyen una familia Σ de par´ametros asociados al sistema. Es por tanto natural que, como en nuestras definiciones de tipo y cotipo, la noci´on de espacio de operadores B-convexo dependa a priori de Σ. Esto da lugar a la noci´on de espacio de operadores BΣ -convexo. Tambi´en introducimos nociones tales como la de Σ-subtipo o la propiedad de contener a L1 (Σ) de forma uniforme. En la primera mitad de la Parte V nos ocuparemos de demostrar que todas estas nociones son, como es de esperar, equivalentes entre s´ı. No obstante, en contra de lo que ocurre en la teor´ıa cl´asica, la propiedad de tener Σ-tipo no trivial no es equivalente a la condici´on de BΣ -convexidad. Tambi´en observaremos que este resultado negativo redunda en la imposibilidad de obtener una versi´on no conmutativa del teorema de Maurey-Pisier. Por u ´ltimo, veremos que la BΣ -convexidad es independiente de Σ si y s´olo si se satisface la versi´on no conmutativa de la equivalencia entre espacios B-convexos y K-convexos, debida a Pisier. Dicho resultado es cierto y es parte de un trabajo en colaboraci´on con Marius Junge [40]. Esta Memoria ha dado pie a cuatro publicaciones. Cada Parte de esta Memoria se corresponde m´as o menos con una de tales publicaciones: II Vector-valued Hausdorff-Young inequality on compact groups. Con J. Garc´ıa-Cuerva, enviado. III Sharp Fourier type and cotype with respect to compact semisimple Lie groups. Con J. Garc´ıa-Cuerva y J.M. Marco, aceptado en Trans. Amer. Math. Soc. IV Quantized orthonormal systems: A non-commutative Kwapie´ n theorem. Con J. Garc´ıa-Cuerva, Studia Math. 155 (2003), 273-294. V B-convex operator spaces. Aceptado en Proc. Edinburgh Math. Soc. (2)

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An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Por u ´ltimo, los Ap´endices est´an ah´ı con objeto de facilitar la lectura de esta Memoria. En el Ap´endice A damos un resumen, adaptado a nuestras necesidades, de los resultados m´as relevantes de la teor´ıa conmutativa de tipo y cotipo. En el Ap´endice B damos una breve introducci´on al an´alisis arm´onico no conmutativo. Los resultados b´asicos de la teor´ıa de representaciones de grupos compactos se incluyen all´ı. Por u ´ltimo, el Ap´endice C tiene un car´acter m´as algebraico. All´ı desarrollamos de forma escueta la profunda teor´ıa obtenida por matem´aticos como Elie Cartan, Issai Schur o Hermann Weyl. En todos los casos hemos pretendido dar una visi´on hist´orica de las teor´ıas matem´aticas que se presentan. Tambi´en hemos incluido todas las referencias que est´an a nuestro alcance, con objeto de que el lector pueda profundizar m´as en las direcciones que estime oportuno.

5. Agradecimientos. Durante estos a˜nos, muchas personas han intervenido de uno u otro modo en este proyecto. En primer lugar, quisiera agradecer a Pepe su dedicaci´on, la confianza que ha depositado en m´ı y sobre todo las ideas matem´aticas en las que me ha propuesto trabajar. A Marco por su generosidad y su visi´on global de las matem´aticas. Con ´el no s´olo he trabajado en aspectos de esta Memoria, sino en otros problemas interesantes [50, 51, 52]. Aunque no figure como tal, le considero mi codirector. Me siento en deuda con Gilles Pisier, que se interes´o por mi trabajo y con quien es impresionante compartir unos minutos delante de un encerado. Tambi´en le debo mucho a Marius Junge, que no ha dejado de aportarme ideas interesantes y del que estoy aprendiendo mucho. Otras personas que han participado activamente con discusiones, preguntas y sugerencias son Aicke Hinrichs, Magdalena Musat y Maite Mart´ınez. Tambi´en quiero agradecer la labor de Patricio y Pablo. El primero ha aceptado generosamente ser el lector de esta Memoria y el segundo ha soportado la mayor´ıa de mis preguntas sobre Latex. En parte gracias a ellos esta Memoria presenta este aspecto. Muchas gracias a mi familia, en particular a mi padre, porque ´el me transmiti´o el gusto por las matem´aticas y porque su est´ımulo me ha empujado hasta aqu´ı. A Marta, porque me hace feliz y llena mi vida. Gracias a Rafa, Antonio, Agust´ın y Juampa por su amistad y por las juergas que espero sigamos compartiendo. Gracias tambi´en a Pablo, Maite, Dani, Chema, Ana, Sonsoles, Cristina, Ra´ ul... Todos ellos han hecho que ir a trabajar sea, contra todo pron´ostico, agradable.

Madrid, 3 de Diciembre de 2002.

I

Espacios de operadores y clases de Schatten

Introducci´ on

Effros y Ruan presentan, en la introducci´on a su monograf´ıa [21], la siguiente motivaci´on para el estudio de los espacios de operadores. En el a˜ no 1925, con ¨ la publicaci´on de su trabajo Uber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Heisenberg prob´o que los fen´omenos cu´anticos se pueden deducir desde las ecuaciones de la f´ısica de Newton si entendemos las variables dependientes del tiempo como matrices infinitas en lugar de funciones. No obstante, a diferencia de las funciones, las matrices no forman una estructura conmutativa para la multiplicaci´on. Heisenberg interpret´o este comportamiento en t´erminos de su Principio de Incertidumbre. Conocidos matem´aticos de la ´epoca, como Jordan, von Neumann y Weyl, se interesaron r´apidamente por este fen´omeno que m´as tarde se conoci´o como cuantizaci´on. El posterior desarrollo de las ´algebras de operadores iniciado por von Neumann, proporcion´o las herramientas necesarias para cuantizar otras ´areas de las matem´aticas. Citando a Effros y Ruan, la teor´ıa de espacios de operadores se puede interpretar como la cuantizaci´on de la teor´ıa de espacios de Banach o, dicho de otro modo, como la teor´ıa no conmutativa de espacios de Banach. Aunque existen varias contribuciones anteriores, se podr´ıa decir que la teor´ıa de espacios de operadores nace en 1988 con la tesis de Zhong-Jin Ruan [74]. En este trabajo, Ruan proporciona una caracterizaci´on abstracta de estos espacios que permite desarrollar r´apidamente la teor´ıa gracias a las investigaciones de Effros y Ruan por un lado y de Blecher y Paulsen por otro, ver [18, 19, 20] y [10]. Si B(H) denota el espacio de operadores acotados en un espacio de Hilbert, un espacio de operadores no es otra cosa que un subespacio cerrado de B(H) para cierto espacio de Hilbert H. En particular, es claro que todo espacio de operadores posee una estructura de espacio de Banach. Sin embargo, todo espacio de Banach posee varias estructuras posibles de espacio de operadores. Es decir, existen diversos modos de incluir isom´etricamente un espacio de Banach fijo en espacios de tipo B(H). Por tanto, en un espacio de operadores no es tan importante el espacio en s´ı mismo (que ya sabemos que es un espacio de Banach), como el modo en el que tal espacio se incluye en B(H). Es as´ı natural que la diferencia fundamental entre 3

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An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

espacios de Banach y espacios de operadores no resida en los espacios, sino en los morfismos. A saber, si consideramos la categor´ıa de los espacios de operadores, entonces los objetos de tal categor´ıa son los mismos que en la categor´ıa de espacios de Banach. Por contra, los morfismos de esta nueva categor´ıa han de preservar no s´olo la estructura lineal del espacio, sino tambi´en la informaci´on contenida en el modo en que se incluye el espacio en B(H). Esto da lugar a la noci´on de acotaci´on completa, que es m´as restrictiva que la noci´on de acotaci´on que aparece en la teor´ıa de espacios de Banach. Por el teorema de Gelfand-Naimark, toda C ? -´algebra se puede realizar como una sub´algebra cerrada y autoadjunta de B(H). En particular, toda C ? -´algebra es un espacio de operadores. Esto nos da a entender que la teor´ıa de espacios de operadores vive en un punto intermedio entre las C ? -´algebras y los espacios de Banach. Esta afirmaci´on se ve reforzada por una observaci´on que Pisier realiza en el Cap´ıtulo 1 de su libro [69] y que se puede resumir como sigue. El objeto de la teor´ıa de espacios de Banach es la clasificaci´on de los espacios de Banach. En los u ´ltimos 25 a˜ nos, ha predominado mayormente la clasificaci´on salvo isomorfismo y no salvo isometr´ıa. Por otro lado, toda C ? -´algebra admite una u ´nica C ? -norma. Es decir, en este caso las teor´ıas salvo isomorfismo y salvo isometr´ıa se confunden. Debido a esta rigidez en la teor´ıa de C ? -´algebras, los algebristas de operadores han necesitado en los u ´ltimos a˜ nos relajar la estructura de las C ? -´algebras. Una de las estructuras que han utilizado es precisamente la de espacio de operadores, en donde las teor´ıas salvo isomorfismo y salvo isometr´ıa son distintas. En funci´on de lo dicho hasta ahora, la teor´ıa de espacios de operadores aparece como una rama del a´lgebra de operadores. Sin embargo, existe otra vertiente de esta teor´ıa m´as cercana al an´alisis arm´onico no conmutativo de la que Gilles Pisier es el m´aximo exponente. En 1998, Pisier desarrolla en [68] la teor´ıa, hasta entonces desconocida, de espacios de Lebesgue no conmutativos con valores vectoriales. En la teor´ıa de integraci´on conmutativa, dado un espacio de medida (Ω, M, µ) y un espacio de Banach X, sabemos c´omo construir el espacio LpX (Ω) de las funciones p-integrables con valores en X, utilizando una construcci´on bien conocida debida a Bochner. Por otro lado, las clases de Schatten S p constituyen el equivalente no conmutativo de los espacios de Lebesgue cuando trabajamos con una medida discreta. El trabajo de Pisier permite, entre otras cosas, dar una definici´on de las clases de Schatten con valores vectoriales. Por otro lado, Pisier tambi´en estudia en [68] la versi´on vectorial de espacios de Lebesgue no conmutativos m´as generales. El motivo de que estos espacios hayan tardado tanto tiempo en salir a la luz se debe principalmente a que, para definirlos, no basta con tomar valores en un espacio de Banach, es necesario trabajar con espacios de operadores. Aunque esto constituye

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Espacios de operadores y clases de Schatten

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una limitaci´on clara –no podemos valorar nuestras funciones en un espacio de Banach sin dotarle antes de una estructura de espacio de operadores– los espacios obtenidos en el proceso ser´an tambi´en espacios de operadores y no s´olo espacios de Banach. Este trabajo es por tanto uno de los pilares para estudiar la interacci´on entre el an´alisis arm´onico no conmutativo y la teor´ıa de espacios de operadores. La t´ecnica fundamental en [68] es el m´etodo de interpolaci´on compleja para espacios de operadores, desarrollado previamente por el propio Pisier en [67] y del que daremos cuenta en el Cap´ıtulo 1. Los resultados sobre la teor´ıa de espacios de operadores que me dispongo a presentar en esta Parte I no cubren en absoluto toda la teor´ıa. En primer lugar existen ramas de la misma que ni siquiera voy a mencionar. Pero incluso los temas abordados no ser´an tratados en toda su extensi´on. La filosof´ıa es otra, me limitar´e a enunciar aquellos resultados que sean esenciales para el curso de esta Memoria. Puesto que no voy a demostrar ning´ un resultado, el lector interesado puede acudir a las referencias que proporcionar´e a largo del texto. La referencia fundamental en el Cap´ıtulo 1 ser´a la monograf´ıa de Pisier [69] que aparecer´a pr´oximamente publicada, mientras que para los resultados del Cap´ıtulo 2 mi fuente principal ser´a el texto de Pisier [68].

1 Espacios de operadores

Comenzamos definiendo los espacios de operadores y la acotaci´on completa, que es la noci´on adecuada de morfismo en esta categor´ıa. La caracterizaci´on abstracta de Ruan, que como ya hemos anticipado antes permite desarrollar la teor´ıa, ser´a presentada a continuaci´on. Las definiciones naturales del cociente de espacios de operadores as´ı como del espacio de operadores dual constituyen las primeras aplicaciones del resultado de Ruan. Otras construcciones relevantes son los productos tensoriales entre espacios de operadores –trataremos el producto tensorial minimal, el proyectivo y el de Haagerup– as´ı como las cuantizaciones maximal y minimal. Nos centraremos tambi´en en el m´etodo de interpolaci´on compleja para espacios de operadores y en los llamados espacios de operadores OH. Estos espacios juegan el mismo papel, en la categor´ıa de espacios de operadores, que los espacios de Hilbert en la categor´ıa de los espacios de Banach. Finalmente, definiremos el ultraproducto de espacios de operadores y los espacios de Hilbert fila y columna.

1.1 Acotaci´ on completa Un espacio de operadores es un espacio de Banach E dotado de una inclusi´on isom´etrica j : E → B(H) en el espacio B(H) de operadores lineales y acotados en cierto espacio de Hilbert H. Cometiendo un peque˜ no abuso de notaci´on, de ahora en adelante identificaremos E con j(E). As´ı podemos decir que un espacio de operadores es simplemente un subespacio cerrado de B(H). De forma equivalente, debido al teorema de Gelfand-Naimark, podemos definir los espacios de operadores como subespacios cerrados de C ? -´algebras. En la categor´ıa de espacios de operadores, los objetos contin´ uan siendo espacios de Banach mientras que los morfismos son los operadores completamente acotados. 7

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An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Pasamos a definir la noci´on de acotaci´on completa. Sea E ⊂ B(H) un espacio de operadores. Si Mn denota el espacio de las matrices n × n con entradas complejas, consideramos para cada n ≥ 1 el espacio Mn (E) = Mn ⊗ E de las matrices cuadradas de orden n con entradas en E. Se tienen las identificaciones naturales Mn (B(H)) ' B(`2 (n)) ⊗ B(H) ' B(`2H (n)), donde `2H (n) denota el espacio de Hilbert formado por vectores de longitud n y entradas en H con su producto interior habitual. De este modo podemos dotar a Mn (E) de la norma inducida por el espacio B(`2H (n)). Esto proporciona una estructura natural de espacio de operadores para Mn (E), identific´andolo como subespacio de B(`2H (n)). Sea ahora Λ : E1 → E2 una aplicaci´on lineal entre espacios de operadores y denotemos por IMn al operador identidad en Mn . Definimos Λn : Mn (E1 ) → Mn (E2 ) por la relaci´on Λn (eij ) = (Λ(eij )) o, lo que es lo mismo, Λn = Λ ⊗ IMn . Entonces diremos que Λ : E1 → E2 es completamente acotada cuando exista una cota uniforme para la familia {kΛn k : n ≥ 1}. Es decir, cuando la norma cb de Λ, definida como kΛkcb = sup kΛn kB(Mn (E1 ),Mn (E2 )) n≥1

sea finita. Denotaremos por CB(E1 , E2 ) al espacio de Banach formado por los operadores completamente acotados de E1 en E2 equipado con la norma cb. Por supuesto se tiene Λ1 = Λ, de donde kΛk ≤ kΛkcb . Por tanto CB(E1 , E2 ) es un subespacio de B(E1 , E2 ), el espacio de los operadores acotados de E1 en E2 . Una vez definida la acotaci´on completa surgen nuevas definiciones paralelas a las que ya existen en la teor´ıa de espacios de Banach. As´ı por ejemplo, diremos que Λ ∈ CB(E1 , E2 ) es una isometr´ıa completa si Λn es una isometr´ıa para todo n ≥ 1. An´alogamente, una aplicaci´on Λ : E1 → E2 entre espacios de operadores es completamente contractiva si kΛkcb ≤ 1. Dos espacios de operadores E1 y E2 son completamente isomorfos si existe un isomorfismo completo entre ambos. Es decir, un isomorfismo lineal Λ : E1 → E2 completamente acotado con inverso completamente acotado. Por u ´ltimo diremos que Λ : E1 → E2 es un isomorfismo completamente isom´ etrico si es un isomorfismo lineal y una isometr´ıa completa al mismo tiempo. As´ı, diremos que E1 y E2 son completamente isom´ etricos. Observaci´ on 1.1 En lo que sigue, dos espacios de operadores ser´an considerados id´enticos si existe un isomorfismo completamente isom´etrico entre ambos. Por tanto no es del todo correcto afirmar que un espacio de operadores es un subespacio cerrado de B(H) para cierto espacio de Hilbert H. M´as bien deber´ıamos decir que un espacio de operadores es una clase de equivalencia de tales subespacios, donde la relaci´on de equivalencia viene dada por la existencia de un isomorfismo completamente isom´etrico entre los espacios de operadores considerados.

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Espacios de operadores

En la teor´ıa de espacios de operadores existe un sustituto natural de la distancia de Banach-Mazur entre dos espacios de Banach. Se trata de la distancia cb que fue introducida por Pisier y se define como sigue. Sean dos espacios de operadores completamente isomorfos E1 y E2 , entonces n o −1 dcb (E1 , E2 ) = ´ınf kΛkcb kΛ kcb : Λ : E1 → E2 es isomorfismo completo . Los operadores completamente acotados aparecieron al principio de los a˜ nos 80 de forma independiente en los trabajos de Haagerup [32], Paulsen [60] y Wittstock [90, 91]. N´otese que todos estos trabajos son anteriores a la definici´on de espacio de operadores. El lector que se pregunte porqu´e la acotaci´on completa es la noci´on adecuada de morfismo en la categor´ıa de espacios de operadores deber´a esperar a la pr´oxima Secci´on, donde presentamos la caracterizaci´on abstracta de Ruan. No obstante, tambi´en puede acudir a la Introducci´on de [69]. All´ı Pisier proporciona otros dos excelentes argumentos.

1.2 Caracterizaci´ on abstracta de Ruan Sea E un espacio vectorial complejo, diremos que E posee una estructura matricial cuando para cada n ≥ 1 se tenga una norma αn definida en el espacio Mn (E). Diremos que la estructura matricial es completa cuando todas las normas mencionadas den lugar a espacios de Banach. Por u ´ltimo se dice que E posee una ∞ estructura L -matricial cuando la sucesi´on de normas (αn )n≥1 satisface los siguientes axiomas: (R1 ) Dados n ≥ 1, β, γ ∈ Mn y A ∈ Mn (E), se tiene que αn (βAγ) ≤ kβkB(`2 (n)) αn (A) kγkB(`2 (n)) . (R2 ) Dados n1 , n2 ≥ 1, A1 ∈ Mn1 (E) y A2 ∈ Mn2 (E), se tiene que αn1 +n2 (A1 ⊕ A2 ) = m´ax{αn1 (A1 ), αn2 (A2 )}. Es habitual referirse a un espacio de Banach como el resultado de completar un espacio normado. El Teorema que presentamos a continuaci´on nos permitir´a adoptar el mismo punto de vista en el caso de los espacios de operadores. Se trata del resultado central de [74].

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An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Teorema 1.2 (Ruan, [74])Caracterizaci´ on abstracta de Zhong-Jin Ruan. Sea E un espacio vectorial complejo. Sea (αn )n≥1 una sucesi´on de normas en los espacios Mn (E). Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) Las sucesi´on (αn )n≥1 forma una estructura L∞ -matricial completa. (b) Existe un espacio de Hilbert H y una inclusi´on lineal j : E → B(H) tal que para todo n ≥ 1, j ⊗ IMn es una isometr´ıa entre el espacio Mn (E) con la norma αn y el espacio Mn (j(E)) con la norma inducida de B(`2H (n)). La caracterizaci´on abstracta de Ruan proporciona las condiciones necesarias y suficientes que ha de cumplir una estructura matricial para que provenga de un espacio de operadores. Tenemos as´ı dos formas de describir un espacio de operadores. La primera consiste en identificarlo como un subespacio de B(H), la segunda en proporcionar su estructura matricial. Un espacio de operadores se dir´a que es concreto o abstracto en funci´on de la descripci´on utilizada. Un modo interesante de justificar esta notaci´on se da en el Cap´ıtulo 2 de [21]. All´ı los autores parten del hecho de que todo espacio de Banach es isom´etrico a un espacio de funciones. Entienden que un espacio de Banach concreto consiste en describirlo como espacio de funciones mientras que un espacio de Banach abstracto es simplemente un espacio normado completo. Las estructuras L∞ -matriciales sustituyen por tanto a las normas en la categor´ıa de los espacios de operadores. Despu´es de haber enunciado el teorema de Ruan, se hace ahora m´as natural aceptar por buena la definici´on de acotaci´on completa como noci´on adecuada de morfismo en la categor´ıa de espacios de operadores. Aunque el resultado original de Ruan est´a contenido en [74], Effros y el propio Ruan encontraron una demostraci´on m´as sencilla en [20]. Otras exposiciones detalladas pueden encontrarse en los textos [21] y [69], que tratan sobre la teor´ıa general de espacios de operadores.

1.3 Cocientes y dualidad En lo que sigue, cuando un espacio vectorial complejo posea una estructura L -matricial completa, diremos que tal espacio tiene una estructura de espacio de operadores. El teorema de caracterizaci´on de Ruan permite proporcionar una estructura natural de espacio de operadores a los espacios cociente as´ı como a los espacios duales de espacios de operadores. ∞

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Sea E un espacio de operadores y F un subespacio cerrado de E. Puesto que se tiene la identificaci´on natural Mn (E/F ) ' Mn (E)/Mn (F ) para todo n ≥ 1, podemos dotar a E/F de una estructura matricial imponiendo en Mn (E/F ) la norma inducida por Mn (E)/Mn (F ) para cada n ≥ 1. Es f´acil comprobar que de este modo obtenemos una estructura de espacio de operadores en E/F . Nos referiremos a este espacio como espacio de operadores cociente. Dado un operador completamente acotado y sobreyectivo Λ : E1 → E2 entre espacios de operadores, diremos que Λ es una sobreyectividad m´ etrica completa si el operador asociado E1 / ker(Λ) → E2 es un isomorfismo completamente isom´etrico. Pasamos ahora al estudio del dual. Sean E1 y E2 dos espacios de operadores. De la identificaci´on natural Mn (CB(E1 , E2 )) ' CB(E1 , Mn (E2 )) obtenemos una estructura matricial para los operadores completamente acotados de E1 en E2 . Resulta que esta estructura matricial proporciona una estructura de espacio de operadores en CB(E1 , E2 ). Por tanto, dado un espacio de operadores E, esto nos permite definir el espacio de operadores dual de E como el espacio CB(E, C) con la estructura de espacio de operadores mencionada. Esta definici´on plantea el siguiente problema. Por un lado, el dual de E como espacio de Banach es E ? = B(E, C) y por otro tenemos E ? = CB(E, C) como espacio de operadores. De modo que se deber´ıa dar la igualdad kξkcb = kξk para todo ξ ∈ B(E, C). Afortunadamente es as´ı y el motivo quedar´a claro en la Secci´on 1.5 puesto que la u ´nica cuantizaci´on posible para C es la cuantizaci´on minimal. Las propiedades habituales de la dualidad en la teor´ıa de los espacios de Banach siguen siendo v´alidas en la categor´ıa de los espacios de operadores. Proposici´ on 1.3 Se cumplen las siguientes propiedades: (a) Sea E un espacio de operadores y F un subespacio cerrado de E, entonces los isomorfismos F ? ' E ? /F ⊥ y (E/F )? ' F ⊥ son completamente isom´etricos. (b) Dado un operador Λ : E1 → E2 completamente acotado, el operador adjunto Λ? : E2? → E1? es completamente acotado y se tiene que kΛ? kcb = kΛkcb . (c) Sea E un espacio de operadores, entonces la inclusi´on natural E → E ?? de E en su bidual es una isometr´ıa completa. La definici´on de cociente de espacios de operadores se debe a Ruan [74] mientras que la dualidad aparece de forma independiente en los trabajos de Effros y Ruan [19] y Blecher y Paulsen [10] respectivamente. Como veremos, la noci´on de dualidad en la categor´ıa de espacios de operadores permite establecer muchas

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An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

analog´ıas con la teor´ıa de espacios de Banach tales como las normas tensoriales o el m´etodo de interpolaci´on compleja.

1.4 Productos tensoriales Una vez definida la dualidad para espacios de operadores, podemos presentar la noci´on de norma tensorial en tales espacios. Como veremos en los siguientes apartados –en los que estudiaremos las normas tensoriales m´as relevantes– los resultados obtenidos ser´an similares a los ya existentes en la teor´ıa de espacios de Banach. Para el lector interesado, el texto de Defant y Floret [15] recoge los aspectos m´as relevantes de la teor´ıa de normas tensoriales en espacios de Banach. Sean E1 , E2 espacios de operadores y n1 , n2 ≥ 1. Dados A = (aij ) ∈ Mn1 (E1 ) y B = (bkl ) ∈ Mn2 (E2 ), definimos A ⊗ B = (aij ⊗ bkl ) ∈ Mn1 n2 (E1 ⊗ E2 ). Supongamos que tenemos una estructura L∞ -matricial γ = (γn )n≥1 en E1 ⊗ E2 . Decimos entonces que γ es una norma tensorial en E1 ⊗ E2 si para todo par A, B con las caracter´ısticas anteriores se tiene que γn1 n2 (A ⊗ B) = kAkMn1 (E1 ) kBkMn2 (E2 ) . De ahora en adelante E1 ⊗γ E2 denotar´a el espacio de operadores que resulta de completar la estructura L∞ -matricial (E1 ⊗ E2 , γ). Como es natural, si γ es una norma tensorial en E ⊗ C, entonces la identificaci´on natural E ⊗γ C ' E resulta ser un isomorfismo completamente isom´etrico. Ocurre lo mismo si consideramos una norma tensorial γ en C ⊗ E. En la teor´ıa de espacios de Banach podemos considerar a las normas tensoriales como functores. Esto permite generalizar las normas naturales que Grothendieck introduce en su R´esum´e [31]. En nuestro caso podemos hacer actuar a tales functores en la categor´ıa de espacios de operadores. Denotemos por Cos a la categor´ıa de los espacios de operadores. Diremos que γ es una norma tensorial uniforme cuando podamos construir un functor γ : Cos × Cos −→ Cos (E1 , E2 ) 7−→ E1 ⊗γ E2 que satisfaga las siguientes condiciones: Dados Λ1 ∈ CB(E1 , F1 ) y Λ2 ∈ CB(E2 , F2 ), se tiene que Λ1 ⊗γ Λ2 ∈ CB(E1 ⊗γ E2 , F1 ⊗γ F2 ).

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Dados A ∈ Mn1 (CB(E1 , F1 )) y B ∈ Mn2 (CB(E2 , F2 )), se tiene que kA ⊗γ Bkcb(E1 ⊗γ E2 ,Mn1 n2 (F1 ⊗γ F2 )) ≤ kAkcb(E1 ,Mn1 (F1 )) kBkcb(E2 ,Mn2 (F2 )) . El isomorfismo C ⊗γ C ' C es completamente isom´etrico. 1.4.1 Producto tensorial minimal. Sean E1 y E2 dos espacios de operadores incluidos de forma isom´etrica en B(H1 ) y B(H2 ) respectivamente. Si denotamos por H1 ⊗2 H2 al producto tensorial hilbertiano de H1 y H2 , entonces definimos el producto tensorial minimal E1 ⊗min E2 como el resultado de completar el producto tensorial algebraico E1 ⊗ E2 respecto de la norma inducida por el espacio B(H1 ⊗2 H2 ) v´ıa la inclusi´on E1 ⊗E2 → B(H1 ⊗2 H2 ). La norma tensorial minimal es la estructura matricial inducida por el espacio de operadores E1 ⊗min E2 . Se tiene por ejemplo que la norma que se impuso en Mn (E) = Mn ⊗ E para definir los operadores completamente acotados es precisamente la norma tensorial minimal Mn ⊗min E. Podemos as´ı expresar la norma cb de un operador Λ : E1 → E2 como kΛkcb(E1 ,E2 ) = sup kΛ ⊗ IMn kB(Mn ⊗min E1 ,Mn ⊗min E2 ) . n≥1

Observaci´ on 1.4 El producto tensorial minimal nos permite dar una definici´on alternativa de acotaci´on completa. A saber, si K denota el espacio de los operadores compactos en `2 , se tiene que kΛkcb(E1 ,E2 ) = kΛ ⊗ IK kB(K⊗min E1 ,K⊗min E2 ) . Esta nueva definici´on de acotaci´on completa se sigue f´acilmente de la anterior sin m´as que observar que, puesto que `2 tiene la propiedad de aproximaci´on, los operadores de rango finito son densos en K. El siguiente resultado recoge las propiedades m´as importantes del producto tensorial minimal. Tales propiedades ponen de manifiesto que el producto tensorial minimal es el sustituto natural, en la categor´ıa de espacios de operadores, del producto tensorial inyectivo entre espacios de Banach. Proposici´ on 1.5 El producto minimal satisface las siguientes propiedades: (a) La norma tensorial minimal es una norma tensorial uniforme. (b) Si A ∈ Mn (E1 ⊗ E2 ), cualquier otra norma tensorial uniforme γ satisface las desigualdades kAkMn (E1 ⊗min E2 ) ≤ kAkMn (E1 ⊗γ E2 ) para todo n ≥ 1. (c) La inclusi´on natural E1? ⊗min E2 → CB(E1 , E2 ) es una isometr´ıa completa.

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(d) El producto minimal es inyectivo. Es decir, dadas dos isometr´ıas completas Λ1 y Λ2 , se tiene que Λ1 ⊗min Λ2 es tambi´en una isometr´ıa completa. (e) El producto tensorial minimal es conmutativo y asociativo. 1.4.2 Producto tensorial proyectivo. En el apartado anterior hemos visto que el producto tensorial minimal constituye el sustituto natural del producto tensorial inyectivo de Grothendieck. Es razonable por tanto preguntarse por un sustituto para el producto tensorial proyectivo entre espacios de Banach. Esta cuesti´on fue estudiada de forma independiente en [10] y [19]. La descripci´on m´as expl´ıcita de [19] es como sigue. Sean E1 y E2 espacios de operadores y tomemos un elemento A ∈ Mn (E1 ⊗ E2 ). Consideramos descomposiciones de A de la forma A = α(A1 ⊗A2 )β, donde α ∈ Mn,n1 n2 , A1 ∈ Mn1 (E1 ), A2 ∈ Mn2 (E2 ) y β ∈ Mn1 n2 ,n . Definimos entonces la siguiente norma en Mn (E1 ⊗ E2 ) n o 2 2 2 2 kAkn = ´ınf kαkB(` (n),` (n1 n2 )) kA1 kMn1 ⊗min E1 kA2 kMn2 ⊗min E2 kβkB(` (n1 n2 ),` (n)) donde el ´ınfimo se toma sobre todas las posibles descomposiciones de A en la forma dada. Esta colecci´on de normas proporciona una estructura matricial en E1 ⊗ E2 que satisface los axiomas que Ruan impone en su caracterizaci´on. El producto tensorial proyectivo E1 ⊗∧ E2 se define entonces como el espacio de operadores que resulta de completar el producto tensorial algebraico E1 ⊗ E2 respecto de esta estructura matricial. La norma tensorial proyectiva es la estructura matricial inducida por el espacio de operadores E1 ⊗∧ E2 . Presentamos ahora las propiedades m´as importantes de la norma tensorial proyectiva. Estas propiedades pondr´an nuevamente de manifiesto que estamos ante el sustituto natural de la norma tensorial proyectiva que proviene de la teor´ıa de espacios de Banach. Proposici´ on 1.6 El producto proyectivo satisface las siguientes propiedades: (a) La norma tensorial proyectiva es una norma tensorial uniforme. (b) Si A ∈ Mn (E1 ⊗ E2 ), cualquier otra norma tensorial uniforme γ satisface las desigualdades kAkMn (E1 ⊗γ E2 ) ≤ kAkMn (E1 ⊗∧ E2 ) para todo n ≥ 1. (c) El isomorfismo (E1 ⊗∧ E2 )? ' CB(E1 , E2? ) es completamente isom´etrico. (d) El producto proyectivo es proyectivo. Es decir, dadas dos sobreyectividades m´etricas completas Λ1 y Λ2 , entonces Λ1 ⊗∧ Λ2 tambi´en lo es.

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Espacios de operadores

(e) El producto tensorial proyectivo es conmutativo y asociativo. (f) CB(E1 ⊗∧ E2 , E3 ) ' CB(E1 , CB(E2 , E3 )) es una isometr´ıa completa. (g) Se tiene que la identidad E1 ⊗∧ (E2 ⊗min E3 ) → (E1 ⊗∧ E2 ) ⊗min E3 es un operador completamente contractivo. Como hemos dicho, el producto tensorial proyectivo fue estudiado de forma independiente por Effros y Ruan [19] y Blecher y Paulsen [10] respectivamente. La prueba de los resultados presentados en la Proposici´on 1.6 pueden encontrarse en dichas referencias. Sin embargo, Effros y Ruan fueron un poco m´as lejos e introdujeron una versi´on de la propiedad de aproximaci´on de Grothendieck para espacios de operadores. De este modo consiguieron generalizar muchos resultados de la teor´ıa desarrollada por Grothendieck. Para m´as detalles el lector puede acudir a los textos [21] y [69]. 1.4.3 Producto tensorial de Haagerup. Sorprendentemente, la categor´ıa de espacios de operadores admite un producto tensorial que parece no tener an´alogo en los espacios de Banach. Se trata del producto tensorial de Haagerup. Dado un espacio de operadores E, denotaremos por Mp,q (E) al espacio Mp,q ⊗ E de las matrices p × q con entradas en E. A˜ nadiendo ceros si es preciso, podemos considerar al espacio Mp,q como un subespacio de Mn para cierto entero n. Esto nos permite imponer en Mp,q (E) la estructura de espacio de operadores dada por Mp,q ⊗min E. Sean ahora dos espacios de operadores E1 y E2 , dados A ∈ Mp,r (E1 ) y B ∈ Mr,q (E2 ) definimos el producto r X A B = aik ⊗ bkj ∈ Mp,q (E1 ⊗ E2 ). k=1

Por u ´ltimo, si A ∈ Mn (E1 ⊗ E2 ), definimos la norma n o kAkn = ´ınf kA1 kMn,m (E1 ) kA2 kMm,n (E2 ) donde el ´ınfimo recorre todas las descomposiciones de A en la forma A = A1 A2 con A1 ∈ Mn,m (E1 ), A2 ∈ Mm,n (E2 ) y m ≥ 1. Nuevamente, esta sucesi´on de normas proporciona una estructura L∞ -matricial. El producto tensorial de Haagerup E1 ⊗h E2 se define como el resultado de completar E1 ⊗ E2 respecto de la estructura matricial dada. An´alogamente podemos definir el producto tensorial de Haagerup E1 ⊗h E2 ⊗h · · · ⊗h EN de N factores. Se obtiene as´ı un espacio de operadores cuya estructura matricial est´a determinada por n o kAkMn (E1 ⊗h E2 ⊗h ···⊗h EN ) = ´ınf kA1 kMn,m1 (E1 ) kA2 kMm1 ,m2 (E2 ) · · · kAN kMmN −1 ,n (EN )

16

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

donde esta vez el ´ınfimo recorre las descomposiciones A = A1 A2 · · · AN . Proposici´ on 1.7 El producto de Haagerup satisface las siguientes propiedades: (a) La norma tensorial de Haagerup es una norma tensorial uniforme. (b) Sea A ∈ Mn (E1 ⊗ E2 ), entonces la norma tensorial de Haagerup satisface las desigualdades kAkMn (E1 ⊗min E2 ) ≤ kAkMn (E1 ⊗h E2 ) ≤ kAkMn (E1 ⊗∧ E2 ) . (c) La inclusi´on E1? ⊗h E2? → (E1 ⊗h E2 )? es una isometr´ıa completa. Adem´as, si E1 y E2 son finito-dimensionales, obtenemos un isomorfismo. (d) El producto tensorial de Haagerup es inyectivo y proyectivo. (e) El producto tensorial de Haagerup es asociativo, pero no es conmutativo. El producto tensorial de Haagerup fue introducido por Effros y Kishimoto en [17] quienes, inspirados por un trabajo no publicado de Haagerup [32] en donde ya aparec´ıa dicha construcci´on, decidieron llamarlo as´ı. Sin embargo, mientras estos autores consideraron u ´nicamente el espacio de Banach resultante, la estructura de espacio de operadores fue estudiada por Paulsen y Smith en [61] extendiendo un trabajo anterior de Christensen y Sinclair [14] para C ? -´algebras. Tanto este producto tensorial, como los otros dos definidos con anterioridad, ser´an de gran utilidad en el Cap´ıtulo 2 a la hora de estudiar las clases de Schatten con valores vectoriales.

1.5 Cuantizaciones maximal y minimal Sea E un espacio normado, entonces cada inclusi´on lineal de E en B(H) con H Hilbert define una estructura de espacio de operadores en E. Si la inclusi´on es isom´etrica, entonces esta estructura conserva la norma original de E. En este caso diremos que la estructura de espacios de operadores es admisible. Blecher y Paulsen observaron en [10] que el conjunto de estructuras admisibles en E admite un elemento minimal y otro maximal. La estructura minimal procede del hecho de que todo espacio normado E se puede incluir isom´etricamente en una C ? -´algebra conmutativa. Efectivamente, consideremos el espacio topol´ogico K formado por la bola unidad cerrada BE ? del espacio dual de E con la topolog´ıa d´ebil-?. K es un compacto debido al teorema de

1.

17

Espacios de operadores

Banach-Alaoglu y C(K) es una C ? -´algebra conmutativa con unidad. Obtenemos entonces la inclusi´on isom´etrica e ∈ E 7→ fe ∈ C(K) dada por fe (ξ) = ξ(e) para ξ ∈ K. Utilizando el teorema de Gelfand-Naimark, que permite incluir C(K) en un espacio B(H), obtenemos la estructura de espacio de operadores minimal para E. El espacio de operadores resultante se denotar´a por m´ın(E). De hecho, cualquier inclusi´on isom´etrica de E en una C ? -´algebra conmutativa A proporciona la misma estructura de espacio de operadores en E independientemente de la elecci´on de A. Es m´as, se tiene que la estructura minimal proviene de imponer en Mn ⊗ E la norma tensorial inyectiva para espacios de Banach, que en este caso toma la forma kAkMn (m´ın(E)) = sup kξ ⊗ IMn (A)kB(`2 (n)) . ξ∈BE ?

Cuando un espacio de operadores posee esta estructura matricial se dice que es un espacio de operadores conmutativo. Pasamos a describir la estructura maximal. Sea E un espacio normado y sea I la colecci´on de todas las aplicaciones contractivas i : E → B(Hi ). Consideremos la inclusi´on lineal M M M j : E −→ B(Hi ) ⊂ B Hi dada por j(e) = i(e). i∈I

i∈I

i∈I

La estructura de espacio de operadores maximal es la inducida por la inclusi´on j. N´otese que j es claramente isom´etrica, de modo que la estructura maximal es admisible. El espacio de operadores resultante se denotar´a por m´ax(E). Se tiene que kAkMn (m´ax(E)) = sup ki ⊗ IMn (A)kMn (B(Hi )) . i∈I

El siguiente resultado resume las propiedades m´as importantes de las estructuras minimal y maximal de espacios de operadores. Proposici´ on 1.8 Se cumplen las siguientes propiedades: (a) Sea E un espacio normado dotado de una estructura de espacio de operadores admisible. Entonces, el operador identidad m´ax(E) → E → m´ın(E) define contracciones completas. (b) Un espacio de operadores E posee la estructura minimal si y s´olo si para todo espacio de operadores F y todo Λ : F → E lineal, se tiene kΛkcb = kΛk. (c) Un espacio de operadores E posee la estructura maximal si y s´olo si para todo espacio de operadores F y todo Λ : E → F lineal, se tiene kΛkcb = kΛk.

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An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

(d) Todo subespacio de un espacio de operadores minimal es minimal. (e) Todo cociente de un espacio de operadores maximal es maximal. (f) Los isomorfismos m´ın(E)? ' m´ax(E ? ) y m´ax(E)? ' m´ın(E ? ), dados por el operador identidad en E ? , son completamente isom´etricos.

1.6 Interpolaci´ on compleja En 1960 Calder´on, [13] introdujo el m´etodo de interpolaci´on compleja para espacios de Banach. Lo repasamos brevemente, para m´as detalles v´eanse los textos [9] y [86]. Sean E0 y E1 espacios de Banach sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos. Recu´erdese que (E0 , E1 ) es un par compatible cuando ambos espacios est´an incluidos de manera lineal y continua en un espacio vectorial topol´ogico X. Imponemos entonces en el espacio E0 ∩ E1 la norma kekE0 ∩E1 = m´ax kekE0 , kekE1 . Tambi´en definimos en E0 + E1 la norma kekE0 +E1 = ´ınf ke0 kE0 + ke1 kE1 : e = e0 + e1 , e0 ∈ E0 , e1 ∈ E1 . Sea S = {z ∈ C : 0 < Re(z) < 1} y consideremos la siguiente partici´on de su frontera ∂S: ∂0 = {z ∈ C : Re(z) = 0} y ∂1 = {z ∈ C : Re(z) = 1}. Denotaremos por Φ(E0 , E1 ) al conjunto de todas las funciones acotadas y continuas f : S → E0 + E1 que son anal´ıticas en S y tales que su restricci´on a ∂0 y ∂1 son funciones continuas y acotadas con valores en E0 y E1 respectivamente. Si adem´as dotamos a Φ(E0 , E1 ) de la norma kf kΦ(E0 ,E1 ) = m´ax sup kf (z)kE0 , sup kf (z)kE1 z∈∂0

z∈∂1

obtenemos una estructura de espacio de Banach para Φ(E0 , E1 ). Sea 0 < θ < 1, decimos que e ∈ E0 + E1 pertenece al espacio de interpolaci´on Eθ = (E0 , E1 )θ si existe f ∈ Φ(E0 , E1 ) tal que f (θ) = e. La norma kekEθ = ´ınf kf kΦ(E0 ,E1 ) : f ∈ Φ(E0 , E1 ), f (θ) = e proporciona a Eθ una estructura de espacio de Banach.

1.

19

Espacios de operadores

Una vez revisado el m´etodo de interpolaci´on compleja para espacios de Banach, ahora supongamos que E0 y E1 son adem´as espacios de operadores. Es claro que Mn (E0 ) y Mn (E1 ) forman un par compatible dado que (E0 , E1 ) tambi´en lo es. El siguiente paso parece obvio, imponemos en Eθ la estructura matricial interpolada identificando isom´etricamente Mn (Eθ ) ' (Mn (E0 ), Mn (E1 ))θ . Se comprueba que tal imposici´on satisface los axiomas de la caracterizaci´on de Ruan y definimos as´ı el espacio de operadores interpolado Eθ . Pasamos a definir las estructuras matriciales naturales de los espacios E0 ∩ E1 y E0 + E1 . Denotaremos por E0 ⊕∞ E1 al espacio E0 ⊕ E1 dotado de la norma k(e0 , e1 )kE0 ⊕∞ E1 = m´ax ke0 kE0 , ke1 kE1 . E0 ⊕∞ E1 posee la estructura matricial que se desprende de la identificaci´on Mn (E0 ⊕∞ E1 ) ' Mn (E0 )⊕∞ Mn (E1 ). De este modo es f´acil comprobar, utilizando de nuevo el teorema de Ruan, que E0 ⊕∞ E1 obtiene una estructura de espacio de operadores. Definimos as´ı una estructura de espacio de operadores en E0 ∩ E1 v´ıa la inclusi´on completamente isom´etrica j : E0 ∩ E1 → E0 ⊕∞ E1 definida por j(e) = (e, e). En particular, la estructura matricial de E0 ∩E1 est´a dada por la identificaci´on Mn (E0 ∩ E1 ) ' Mn (E0 ) ∩ Mn (E1 ). De forma similar, denotaremos por E0 ⊕1 E1 al espacio E0 ⊕ E1 dotado de la norma k(e0 , e1 )kE0 ⊕1 E1 = ke0 kE0 + ke1 kE1 . Tambi´en obtenemos una estructura de espacio de operadores en E0 ⊕1 E1 imponiendo en Mn (E0 ⊕1 E1 ) la norma inducida por el espacio CB(E0? ⊕∞ E1? , Mn ). Definimos entonces E0 + E1 = (E0 ⊕1 E1 )/∆ donde ∆ = (e, −e) : e ∈ E0 ∩ E1 . Puesto que ya sabemos definir el cociente, obtenemos una estructura de espacio de operadores para E0 + E1 . Recordando la definici´on de espacio de operadores cociente obtenemos la siguiente expresi´on para la estructura matricial n o kAkMn (E0 +E1 ) = ´ınf k(A0 , A1 )kMn (E0 ⊕1 E1 ) : A = A0 + A1 . El m´etodo de interpolaci´on complejo satisface muchas de las propiedades que se dan en el m´etodo para espacios de Banach. Proposici´ on 1.9 Se cumplen las siguientes propiedades: (a) Sean (E0 , E1 ) y (F0 , F1 ) pares compatibles de espacios de operadores. Sea Λ : E0 + E1 → F0 + F1 un operador lineal, entonces se tiene que 1−θ kΛkcb(Eθ ,Fθ ) ≤ kΛkCB(E kΛkθCB(E1 ,F1 ) . 0 ,F0 )

20

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

(b) Sea (E0 , E1 ) un par compatible de espacios de operadores. Consideremos los espacios de interpolaci´on Eθ0 = (E0 , E1 )θ0 y Eθ1 = (E0 , E1 )θ1 para ciertos 0 < θ0 , θ1 < 1. Sea θ = (1 − α)θ0 + αθ1 para cierto 0 < α < 1. Entonces, el isomorfismo isom´etrico Eθ ' (Eθ0 , Eθ1 )α es completamente isom´etrico. (c) El producto tensorial de Haagerup conmuta con el functor de interpolaci´on compleja entre espacios de operadores. Es decir, tenemos un isomorfismo completamente isom´etrico (E0 ⊗h F0 , E1 ⊗h F1 )θ ' (E0 , E1 )θ ⊗h (F0 , F1 )θ cuando (E0 , E1 ) y (F0 , F1 ) son pares compatibles de espacios de operadores. El m´etodo de interpolaci´on complejo para espacios de operadores apareci´o en 1996 gracias al trabajo de Pisier [67]. Nosotros hemos presentado aqu´ı s´olo algunos de los resultados que aparecen all´ı. Existe tambi´en una versi´on del m´etodo de interpolaci´on real para espacios de operadores debida a Xu [92].

1.7 El espacio de Hilbert de operadores OH Un espacio de operadores se dice Hilbertiano si es isom´etricamente isomorfo, como espacio de Banach, a un espacio de Hilbert. Los espacios de operadores Hilbertianos aparecen frecuentemente en teor´ıa de operadores y en f´ısica cu´antica. El lector interesado puede encontrar una extensa lista de ejemplos en [69]. En todo caso, a pesar de la diversidad de ejemplos existente, existe un objeto central en la clase de espacios de operadores Hilbertianos. Es decir, un espacio que tiene la misma funci´on en la categor´ıa de espacios de operadores que los espacios de Hilbert entre los espacios de Banach. Se trata del espacio de operadores OH. Dado un espacio de Banach E, denotamos por E a su conjugado complejo. Como sabemos, se trata del mismo espacio dotado del producto por escalares dado por λ · e = λe. Supongamos que E es adem´as un subespacio de B(H). Entonces la inclusi´on E ⊂ B(H) ' B(H) nos permite proporcionar a E una estructura natural de espacio de operadores conjugado. Si H es un espacio de Hilbert, entonces el teorema de representaci´on de Riesz nos permite identificar H con su antidual H ? . Adem´as esto caracteriza a los espacios de Hilbert, pues si un espacio de Banach E es tal que existe una isometr´ıa i : E → E ? que es positiva –es decir, i(e)(e) ≥ 0 para todo e ∈ E– entonces E es isom´etricamente isomorfo a un espacio de Hilbert.

1.

Espacios de operadores

21

Es siguiente Teorema se basa en esta caracterizaci´on y es uno de los resultados centrales del trabajo de Pisier [67]. Teorema 1.10 (Pisier, [67]) Los espacios de Hilbert de operadores OH. Sea I un conjunto de ´ındices, entonces existe un espacio de operadores OH(I) que es isom´etricamente isomorfo a `2 (I) y en el que la identificaci´on can´onica de `2 (I) en `2 (I)? induce una isometr´ıa completa de OH(I) en OH(I)? . Adem´as, se tiene que OH(I) es el u ´nico espacio de operadores –salvo isomorfismo completamente isom´etrico– con esta propiedad. Si I = N, escribiremos simplemente OH y lo llamaremos espacio de Hilbert de operadores. Si I = {1, 2, . . . n}, escribiremos OHn . Pasamos ahora a enunciar algunas de las propiedades de estos espacios. Proposici´ on 1.11 Se cumplen las siguientes propiedades: (a) Dados I, J conjuntos de ´ındices y Λ : OH(I) → OH(J), se tiene kΛkcb = kΛk. (b) Dados I, J conjuntos de ´ındices, se tiene que OH(I) ⊗h OH(J) y OH(I × J) son espacios de operadores completamente isom´etricos. (c) Sea E un espacio de operadores de dimensi´on n, entonces dcb (E, OHn ) ≤

√ n.

(d) Sea E un espacio de operadores dotado de una inyecci´on continua y positiva i : E ? → E. Entonces (E ? , E)1/2 es completamente isom´etrico a OH(I) para cierto conjunto de ´ındices I. La propiedad (a) ser´a utilizada repetidas veces a lo largo de esta Memoria. Por otro lado, puesto que la distancia de Banach-Mazur entre espacios de Banach est´a acotada superiormente por la distancia cb entre espacios de operadores, observamos que la propiedad (c) constituye una mejora del resultado original de Fritz John de 1948. El resultado de John asegura que la distancia de Banach-Mazur entre un espacio de Banach y un espacio de Hilbert, ambos de dimensi´on n, es √ menor o igual que n. Por u ´ltimo, un caso particular de la propiedad (d) es la isometr´ıa completa OH = (m´ın(`2 ), m´ax(`2 ))1/2 . Como ya hemos indicado, la referencia fundamental a seguir para los espacios de operadores OH es el trabajo de Pisier [67]. Al igual que en la Secci´on 1.6, nosotros hemos presentado s´olo una peque˜ na parte de los resultados que aparecen en el texto general [69].

22

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

1.8 Ultraproductos Antes de introducir los ultraproductos recordamos algunas definiciones. Un filtro U en un conjunto I es una colecci´on de subconjuntos no vac´ıos de I que satisfacen: Si U1 , U2 ∈ U, entonces U1 ∩ U2 ∈ U. Si U ∈ U y V ⊃ U , entonces V ∈ U. Dado un espacio topol´ogico R y una funci´on f : I → R, diremos que f converge a r respecto de U y escribiremos l´ımU f (i) = r si para todo entorno V de r existe U ∈ U tal que f (i) ∈ V para todo i ∈ U . Un ultrafiltro es un filtro maximal. Es decir, un filtro U en I es ultrafiltro si todo filtro V en I que contenga a U coincide forzosamente con U. Un ultrafiltro U se dice que es libre cuando \ U = Ø. U ∈U

Sea U un ultrafiltro libre en un conjunto I y sea (Ei )i∈I una familia de espacios de Banach indexada por I. Denotaremos por X al espacio de sucesiones e = (ei )i∈I que satisfacen ei ∈ Ei para todo i ∈ I y tales que supi∈I kei k < ∞. Dotamos entonces a X de la norma kek = supi∈I kei k. Sea NU el subespacio de X formado por las sucesiones e que satisfacen l´ımU kei k = 0. El espacio definido por el cociente Y Ei /U = X /NU i∈I

se denomina ultraproducto de la familia (Ei )i∈I respecto de U. N´otese que, dada una clase de equivalencia e˙ del ultraproducto y un representante e de dicha clase, se tiene que kek ˙ = l´ımU kei k. Se podr´ıa interpretar por tanto al ultraproducto de (Ei )i∈I respecto de U como el l´ımite de los espacios (Ei )i∈I a lo largo de U. Asumamos ahora que cada espacio Ei es un espacio de operadores. Entonces es sencillo extender la noci´on de ultraproducto a este contexto. Basta con considerar la estructura matricial dada por la isometr´ıa Y Y Mn Ei /U ' Mn (Ei )/U. i∈I

i∈I

Esta estructura satisface los axiomas de Ruan de manera que, completando los espacios matriciales, obtenemos que el ultraproducto de espacios de operadores es tambi´en un espacio de operadores con la estructura dada.

1.

23

Espacios de operadores

Presentamos a continuaci´on algunas de las propiedades de estos espacios. Una exposici´on m´as detallada se puede encontrar en [69]. El ultraproducto de espacios de operadores es inyectivo. Es decir, si Fi es un subespacio cerrado del espacio de operadores Ei para cada i ∈ I, entonces la inclusi´on Y Y Fi /U −→ Ei /U i∈I

i∈I

es completamente isom´etrica. El ultraproducto tambi´en es proyectivo. A saber, la identificaci´on Y . Y Y (Ei /Fi )/U ' Ei /U Fi /U i∈I

i∈I

i∈I

resulta un isomorfismo completamente isom´etrico. Sean (Ei )i∈I y (Fi )i∈I dos familias de espacios de operadores indexadas por bU y FbU los correspondientes ultraproductos respecto I. Denotaremos por E de U. Para cada i ∈ I consideramos un operador Λi ∈ CB(Ei , Fi ) de manera que se tenga supi∈I kΛi kcb < ∞. Entonces nada nos impide considerar el b:E bU → FbU que env´ıa la clase de equivalencia de (ei )i∈I a la clase operador Λ de equivalencia de (Λi (ei ))i∈I . Se tiene entonces la siguiente estimaci´on para b la norma cb del operador Λ b cb ≤ sup kΛi kcb . kΛk i∈I

1.9 Los espacios fila y columna Concluimos este Cap´ıtulo con los espacios de Hilbert fila y columna. Adem´as de los espacios de operadores que presentaremos en el Cap´ıtulo 2, estos espacios son unos de los que aparecen con mayor frecuencia en la teor´ıa de espacios de operadores. Denotemos por {eij : i, j ≥ 1} a la base can´onica de B(`2 ). Entonces el espacio de Hilbert fila R se define como el cierre del espacio generado por los vectores e1j con j ≥ 1. Del mismo modo, el espacio de Hilbert columna C es el cierre de lo generado por ei1 con i ≥ 1. N´otese que R y C son espacios de operadores pues se trata de subespacios cerrados de B(`2 ). Tambi´en definimos

24

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Rn = span e1j : 1 ≤ j ≤ n y Cn = span ei1 : 1 ≤ i ≤ n como subespacios de B(`2 (n)). Como espacios de Banach, R y C son isom´etricamente isomorfos a `2 puesto que

X

λi ei1

i≥1

B(`2 )

=

X k≥1

2

|λk |

1/2

X

λj e1j = j≥1

B(`2 )

para todo λ ∈ `2 . An´alogamente Rn y Cn son isom´etricamente isomorfos a `2 (n). En particular, R y C son espacios de operadores Hilbertianos indistinguibles como espacios de Banach. Sin embargo, los espacios R y C no son completamente isomorfos. De hecho, si nos fijamos en sus versiones finito-dimensionales, se tiene que dcb (Rn , Cn ) = n que es la m´axima distancia cb entre dos espacios de operadores de dimensi´on n como se puede deducir de la Proposici´on 1.11. Presentamos a continuaci´on dos propiedades de los espacios R y C que ser´an de utilidad m´as adelante. Ambas propiedades siguen siendo v´alidas si sustituimos R y C por Rn y Cn . Para m´as informaci´on sobre los espacios de Hilbert fila y columna, v´ease [69]. R y C son espacios de operadores duales entre s´ı. Los espacios de Hilbert fila y columna son homog´eneos. Es decir, dado un operador Λ : R → R, se tiene que kΛkcb = kΛk. Lo mismo ocurre para cualquier operador lineal Λ : C → C. El operador de transposici´on τ : R → C definido por τ (e1j ) = ej1 nos permite ver a (R, C) como un par compatible de espacios de operadores. Adem´as, de la Proposici´on 1.11 se deduce que (R, C)1/2 y OH son espacios de operadores completamente isom´etricos.

2 Cuantizaci´ on de espacios de Lebesgue

Dado un espacio de medida (Ω, M, µ) y un espacio de operadores E, definimos una estructura natural de espacio de operadores para LpE (Ω), el espacio de las funciones p-integrables definidas en Ω y con valores en E. Tambi´en presentamos la clase de Schatten vectorial Snp (E), la versi´on no conmutativa del espacio `pE (n). Las propiedades de las clases de Schatten vectoriales son esenciales en el an´alisis arm´onico no conmutativo con valores vectoriales y ser´an utilizadas en repetidas ocasiones a lo largo de esta Memoria. Por u ´ltimo, daremos tambi´en una estructura natural de espacio de operadores a las sumas directas de espacios de operadores dotadas de una p-norma. Este caso particular ser´a tambi´en muy relevante en nuestro estudio, puesto que constituir´a el espacio donde se localizan los coeficientes de Fourier con los que vamos a trabajar. Todos los resultados presentados en este cap´ıtulo son originales de Gilles Pisier y est´an recogidos en su trabajo Non-commutative vector valued Lp -spaces and completely p-summing maps [68].

2.1 Los espacios de Bochner-Lebesgue En esta Secci´on proporcionaremos una estructura de espacio de operadores a los espacios de Lebesgue y Bochner-Lebesgue. Dado un espacio de medida (Ω, M, µ), el espacio L∞ (Ω) es una C ? -´algebra conmutativa. Obtenemos as´ı una estructura de espacio de operadores privilegiada para L∞ (Ω) por medio del teorema de Gelfand-Naimark. Como ya se indic´o en la Secci´on 1.5, esto significa que L∞ (Ω) est´a equipado con la estructura minimal. Para el espacio L1 (Ω) la elecci´on es tambi´en sencilla, la inclusi´on natural de L1 (Ω) en su bidual nos hace ver a L1 (Ω) como un subespacio de L∞ (Ω)? , donde imponemos la estructura de espacio de operadores dual de L∞ (Ω). Esta estructura matricial en L1 (Ω) es la estructura maximal 25

26

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

de modo que obtenemos L1 (Ω)? = L∞ (Ω) de forma completamente isom´etrica por la Proposici´on 1.8. Para el caso general utilizamos el m´etodo de interpolaci´on compleja. Es decir, dado 1 < p < ∞, definimos Lp (Ω) = (L∞ (Ω), L1 (Ω))1/p . Esta definici´on permite proporcionar una estructura de espacio de operadores a todos los espacios de Lebesgue. Nos referiremos a ella como estructura natural. De forma similar definimos la estructura natural de espacio de operadores para los espacios de Bochner-Lebesgue. A saber, si E es un subespacio de B(H) se tiene ´ltimo espacio es una C ? que L∞ etricamente en L∞ E (Ω) se incluye isom´ B(H) (Ω). Este u a´lgebra, ya no necesariamente conmutativa, con las operaciones obvias. Definimos ∞ entonces en L∞ E (Ω) la estructura de espacio de operadores que hereda de LB(H) (Ω). Con esta estructura, se tiene que la inclusi´on L∞ (Ω) ⊗min E −→ L∞ E (Ω) resulta completamente isom´etrica. Por otro lado, puesto que ya tenemos una estructura definida en L1 (Ω), definimos L1E (Ω) = L1 (Ω) ⊗∧ E. N´otese que en el caso 1 vectorial L∞ E (Ω) y LE (Ω) ya no poseen las estructuras minimal y maximal respectivamente. Finalmente, para el caso 1 < p < ∞ interpolamos nuevamente por el 1 m´etodo complejo obteniendo as´ı LpE (Ω) = (L∞ E (Ω), LE (Ω))1/p . Concluimos con dos resultados sencillos que se siguen f´acilmente de las definiciones dadas y de la teor´ıa general expuesta en el Cap´ıtulo 1. L2 (Ω) es completamente isom´etrico a OH(I), donde I es un conjunto del mismo cardinal que el de cualquier base ortonormal de L2 (Ω). Dado un par compatible (E0 , E1 ), se tiene que LpEθθ (Ω) = (LpE00 (Ω), LpE11 (Ω))θ para 0 < θ < 1, donde 1 ≤ p0 , p1 ≤ ∞ y 1/pθ = (1 − θ)/p0 + θ/p1 .

2.2 Las clases de Schatten Snp Sea A ∈ Mn y denotemos por A? su matriz adjunta At . La matriz A? A es una matriz autoadjunta y semidefinida positiva, en particular es diagonalizable y sus autovalores son no negativos. Por tanto existe una matriz unitaria B de cambio de base que satisface la relaci´on ! λ2 1

A? A = B

..

B?

. λ2n

2.

27

Cuantizaci´ on de espacios de Lebesgue

donde λk ≥ 0 para 1 ≤ k√≤ n. La expresi´on obtenida nos permite introducir el m´odulo de A como |A| = A? A. En particular, dado 1 ≤ p < ∞, se tiene λp1

|A|p = B

! ..

B?.

. λpn

Si 1 ≤ p < ∞, la clase de Schatten Snp se define como el espacio Mn de las matrices cuadradas de orden n con entradas complejas dotado de la norma kAk

p Sn

p 1/p

= tr|A|

=

n X

λpk

1/p

.

k=1

La clase de Schatten Sn∞ es el espacio Mn dotado de la norma de operadores. Es decir, kAkSn∞ = m´ax λk : 1 ≤ k ≤ n . La descomposici´on polar de un operador A ∈ Mn viene dada por el siguiente resultado. Proposici´ on 2.1 Dada A ∈ Mn , existe UA unitaria tal que A = UA |A|. La demostraci´on puede encontrarse en [75]. Tambi´en existen versiones m´as precisas de la Proposici´on 2.1, v´ease por ejemplo [72]. El siguiente resultado recoge las propiedades m´as relevantes de las clases de Schatten. N´otese que las similitudes entre los espacios `p (n) y Snp son patentes. Teorema 2.2 Las clases de Schatten satisfacen las siguientes propiedades: (a) Snp es un espacio de Banach para todo 1 ≤ p ≤ ∞. (b) Sn2 es un espacio de Hilbert con el producto hA, BiHS = tr(AB ? ). (c) Desigualdad de H¨older: kABkSn1 ≤ kAkSnp kBkS p0 , donde p0 = n

p . p−1

(d) Normas ordenadas: Sean 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞, entonces kAkSnp2 ≤ kAkSnp1 . (e) Invarianza por adjuntos: kAkSnp = kA? kSnp para todo 1 ≤ p ≤ ∞. 0

(f) Dualidad: A ∈ Snp 7→ tr(A·) ∈ Snp ? es un isomorfismo isom´etrico. (g) Interpolaci´on compleja: (Snp0 , Snp1 )θ = Snpθ , donde 1/pθ = (1 − θ)/p0 + θ/p1 .

28

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Observaci´ on 2.3 A lo largo de esta Memoria tambi´en necesitaremos tratar con las clases de Schatten de dimensi´on infinita. Dado un espacio de Hilbert infinito√ dimensional H y un operador Λ : H → H, definimos igualmente |Λ| = Λ? Λ. Dada una base ortonormal E de H, la traza de Λ se define como X tr(Λ) = hΛe, eiH e∈E

donde h , iH denota el producto interior de H. Esta definici´on no es ambigua puesto que la expresi´on dada no depende de la base ortonormal elegida. Dado p 1 ≤ p < ∞ definimos la clase de Schatten SH como el espacio de los operadores 1/p compactos Λ : H → H que satisfacen kΛkSHp = tr|Λ|p < ∞. La clase de ∞ Schatten SH es el espacio de los operadores compactos en H con la norma de p operadores. Las clases de Schatten SH satisfacen todas las propiedades enunciadas en el Teorema 2.2, salvo la dualidad para el caso p = 1 que ser´a explicada con m´as detalle en la pr´oxima Secci´on. Nosotros trabajaremos normalmente con H = `2 y escribiremos S p en lugar de S`p2 . Como hemos dicho, las clases de Schatten Snp constituyen el equivalente no conmutativo de los espacios `p (n). De forma m´as general, dada un a´lgebra de von Neumann M equipada con una traza semi-finita, normal y fiel τ , existe una versi´on no conmutativa de los espacios de Lebesgue Lp (Ω) –definidos ahora sobre un espacio de medida (Ω, M, µ) no necesariamente discreto– que denotaremos por Lp (M, τ ). Este tipo de espacio se conoce en la literatura como espacio de Lebesgue no conmutativo. Cuando M es B(`2 (n)) y est´a equipada con su traza habitual, recuperamos la definici´on de Snp . Las primeras aportaciones en integraci´on no conmutativa que dieron lugar a estos espacios aparecieron en los a˜ nos 50 y se deben a Segal [81], Dixmier [16], Kunze [44] y Stinespring [84]. Para m´as informaci´on sobre las clases de Schatten, el lector interesado puede acudir a [72] y [73] o al texto del propio Schatten [79].

2.3 Las clases de Schatten Snp (E) Como ya apunt´abamos en la Introducci´on a la Parte I, la definici´on de las clases de Schatten con valores vectoriales Snp (E) exige una estructura de espacio de operadores en E. No obstante, una atenta observaci´on de los espacios `pX (n) de nuplas con valores en un espacio de Banach X, nos marcar´a el camino a seguir para

2.

Cuantizaci´ on de espacios de Lebesgue

29

la construcci´on de los espacios Snp (E). Los espacios `pX (n) se pueden interpretar como productos tensoriales `p (n) ⊗ X dotados de la norma correspondiente. Los casos p = 1 y p = ∞ son especiales en este sentido pues sus normas coinciden con las principales normas tensoriales de Grothendieck. La norma del espacio `1X (n) es la norma proyectiva mientras que en `∞ ´ltimo, X (n) aparece la norma inyectiva. Por u p como sabemos, la norma de `X (n) se obtiene por interpolaci´on compleja entre los espacios anteriormente citados. Siguiendo la observaci´on sobre los espacios `pX (n), nos disponemos a definir los espacios Snp (E). Comenzamos por el caso p = ∞. Puesto que Sn∞ no es otra cosa que el espacio de operadores B(`2 (n)), definimos Sn∞ (E) = Sn∞ ⊗min E. Obtenemos as´ı una estructura de espacio de operadores para Sn∞ (E). Cuando p = 1, lo primero es asignar a Sn1 una estructura de espacio de operadores. Sabemos que Sn1 es el dual de Sn∞ como espacio de Banach, luego parece natural imponer que ese isomorfismo sea completamente isom´etrico. Definimos de esta forma Sn1 = Sn∞ ? para obtener tal estructura. Ahora Sn1 es un espacio de operadores de modo que, atendiendo a lo que ocurre en el espacio `1X (n), la definici´on m´as l´ogica parece ser Sn1 (E) = Sn1 ⊗∧ E. Por otro lado, se tiene que la identidad Sn1 (E) → Sn∞ (E) es un operador contractivo. Esto nos permite ver a (Sn∞ (E), Sn1 (E)) como un par compatible. Definimos as´ı las clases de Schatten Snp (E) por medio del m´etodo de interpolaci´on compleja, Snp (E) = (Sn∞ (E), Sn1 (E))1/p . Esta definici´on proporciona una estructura de espacio de operadores en Snp (E) que designaremos como estructura natural. N´otese que para E = C recuperamos la estructura natural de Snp definida anteriormente. Observaci´ on 2.4 A diferencia del caso conmutativo en el que `∞ (n) y `1 (n) poseen la estructura minimal y maximal respectivamente, se tiene que Sn∞ y Sn1 poseen estructuras distintas de la minimal y la maximal. A saber, la estructura de Sn∞ proviene de la C ? -´algebra B(`2 (n)), que no es conmutativa. Adem´as, un argumento de dualidad y la Proposici´on 1.8 nos aseguran que Sn1 tampoco posee la estructura maximal de espacio de operadores. un la Observaci´ on 2.5 Es tambi´en importante notar que Sn∞ (E) = Mn (E) seg´ ∞ definici´on dada de estructura natural. Es decir, las clases de Schatten Sn (E) con n ≥ 1 recuperan la estructura de espacio de operadores de E. Este el el motivo por el cual es necesario utilizar los espacios de operadores para definir las clases de Schatten vectoriales. En lo que sigue, utilizaremos la expresi´on Sn∞ (E) con mayor frecuencia que Mn (E). Existe sin embargo un modo distinto de definir a las clases de Schatten SEp (n)

30

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

en t´erminos del producto tensorial de Haagerup. Pisier prob´o en [68] el siguiente resultado combinando el m´etodo de interpolaci´on compleja con el hecho de que el producto tensorial de Haagerup conmuta con el funtor de interpolaci´on. No obstante, los casos p = 1 y p = ∞ eran ya conocidos con anterioridad, v´ease [10] y [19]. Conviene recordar que con Rn y Cn designamos los espacios de Hilbert fila y columna de dimensi´on n, introducidos ya en el Cap´ıtulo 1. Teorema 2.6 (Pisier, [68]) Dado 0 < θ < 1, sea Rn (θ) = (Rn , Cn )θ . Fijemos adem´as Rn (0) = Rn y Rn (1) = Cn . Entonces, dado 1 ≤ p ≤ ∞, se tienen los siguientes isomorfismos completamente isom´etricos Snp (E) ' Rn (1 − θ) ⊗h E ⊗h Rn (θ)

para

θ = 1/p.

N´otese que, en particular, Sn1 (E) ' Rn ⊗h E ⊗h Cn y Sn∞ (E) ' Cn ⊗h E ⊗h Rn . Observaci´ on 2.7 Al igual que ya ocurriera en la Secci´on anterior, las clases de Schatten vectoriales de dimensi´on infinita se comportan esencialmente del mismo modo. Como es de esperar, S ∞ hereda la estructura de espacio de operadores de B(`2 ) y S ∞ (E) = S ∞ ⊗min E. Tambi´en definimos S 1 como el espacio de operadores dual de S ∞ , dando lugar as´ı a S 1 (E) = S 1 ⊗∧ E. Finalmente, los espacios S p (E) se definen por interpolaci´on compleja. Por otro lado, el Teorema 2.6 sigue siendo v´alido sin m´as que sustituir Rn y Cn por los espacios de Hilbert fila y columna de dimensi´on infinita R y C respectivamente. Para m´as informaci´on acerca del caso infinito-dimensional, el lector puede acudir a [68]. En lo que sigue, ser´a conveniente pensar en los espacios Snp (E) como subespacios de S p (E) mediante la inclusi´on que e ∈ S p (E) que satisface hace corresponder a A ∈ Snp (E) con la matriz infinita A eij = Aij cuando 1 ≤ i, j ≤ n y A eij = 0 en otro caso. Por u A ´ltimo, de ahora en adelante, los resultados que sean enunciados para clases de Schatten infinitodimensionales tendr´an la misma validez para el caso finito-dimensional. En muchas ocasiones esta afirmaci´on se har´a evidente por la inclusi´on mencionada de Snp (E) en S p (E). Los dos pr´oximos Teoremas recogen las propiedades de las clases de Schatten con valores vectoriales y constituye la mayor parte del Cap´ıtulo 1 de [68]. Teorema 2.8 (Pisier, [68]) Propiedades de las clases de Schatten S p (E). (a) La clase de Schatten S 2 : La estructura de espacio de operadores definida en S 2 es completamente isom´etrica a la del espacio OH(N × N).

2.

31

Cuantizaci´ on de espacios de Lebesgue

(b) Interpolaci´on compleja: Sean 1 ≤ p0 , p1 ≤ ∞ y supongamos que (E0 , E1 ) es un par compatible de espacios de operadores. Entonces (S p0 (E0 ), S p1 (E1 )) tambi´en lo es. Adem´as, dado 0 < θ < 1, se tiene que (S p0 (E0 ), S p1 (E1 ))θ = S pθ (Eθ )

para

1/pθ = (1 − θ)/p0 + θ/p1 .

(c) Dualidad: Sea 1 < p ≤ ∞ y sea p0 el exponente conjugado de p. Entonces, dado un espacio de operadores E, se tiene que 0

S p (E)? ' S p (E ? )

y

S 1 (E)? ' B(`2 ) ⊗min E ?

de forma completamente isom´etrica. N´otese que, para dimensiones finitas, obtenemos Sn1 (E)? ' B(`2 (n)) ⊗min E ? ' Sn∞ (E ? ). (d) Teoremas de Fubini: Sea E un espacio de operadores y (Ω, M, µ) un espacio de medida. Entonces, dados 1 ≤ p ≤ ∞ y n, n1 , n2 ≥ 1, se tiene Snp (LpE (Ω)) ' LpSnp (E) (Ω)

y

Snp1 (Snp2 (E)) ' Snp2 (Snp1 (E))

de forma completamente isom´etrica. Lo mismo ocurre si consideramos clases de Schatten de dimensi´on infinita. (e) Desigualdad de Minkowski: Sea E un espacio de operadores. Entonces, dados 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ y n1 , n2 ≥ 1, se tiene que la aplicaci´on natural Snp1 (Snq 2 (E)) −→ Snq 2 (Snp1 (E)) es una contracci´on completa. Lo mismo ocurre si consideramos clases de Schatten de dimensi´on infinita. (f) Ultraproductos: Sea (Ei )i∈I una familia de espacios de operadores indexada por I y sea U un ultrafiltro libre en I. Sea n ≥ 1 y 1 ≤ p ≤ ∞, entonces se da el siguiente isomorfismo completamente isom´etrico entre ultraproductos de espacios de operadores Y Y Snp Ei /U ' Snp (Ei )/U. i∈I

i∈I

(g) Normas ordenadas: Sea E un espacio de operadores y sean 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞, entonces la identidad S p1 (E) → S p2 (E) es un operador contractivo.

32

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

(h) Matrices diagonales por cajas: Sea 1 ≤ p < ∞ y sea E un espacio de operadores. Entonces, dada A ∈ S p (E) una matriz diagonal por cajas con cajas A1 , A2 , . . ., se tiene que kAkS p (E) =

∞ X k=1

kAk kpS p (E)

1/p

y

kAkS ∞ (E) = m´ax kAk kS ∞ (E) . k≥1

Hasta ahora, las definiciones que hemos proporcionado de los espacios S p (E) han utilizado de manera esencial el m´etodo de interpolaci´on compleja para espacios de operadores. Esto constituye una limitaci´on importante, pues tales definiciones no proporcionan expresiones expl´ıcitas de la norma de S p (E). Ya en el u ´ltimo apartado del Teorema 2.8 hemos simplificado el problema para matrices diagonales por cajas. De hecho, ese mismo resultado nos proporciona una expresi´on expl´ıcita para el caso particular de las matrices diagonales. Nos disponemos ahora a estudiar la norma de una matriz general de S p (E). Teorema 2.9 (Pisier, [68]) La norma en las clases de Schatten S p (E). (a) Primera expresi´on: Sea 1 ≤ p < ∞ y sea E un espacio de operadores. Entonces, dada A ∈ S p (E), se tiene que kAkS p (E) = ´ınf kαkS 2p kBkS ∞ (E) kβkS 2p donde el ´ınfimo recorre todas las representaciones de la forma A = αBβ con α, β ∈ S 2p y B ∈ S ∞ (E). (b) Segunda expresi´on: Sea 1 ≤ p < ∞ y sea E un espacio de operadores. Entonces, dada A ∈ S p (E), se tiene que kAkS p (E) = sup kαAβkS 1 (E) 0

donde el supremo recorre todas las matrices α, β en la bola unidad de S 2p . (c) La norma de Sn∞ (E): Sea E un espacio de operadores y n ≥ 1. Entonces, dada A ∈ Sn∞ (E) y 1 ≤ p ≤ ∞, se tiene que kAkSn∞ (E) = sup kαAβkSnp (E) donde el supremo recorre todas las matrices α, β en la bola unidad de Sn2p . (d) Una estimaci´on: Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea E un espacio de operadores. Entonces, dados A ∈ S p (E) y α, β ∈ B(`2 ), se tiene que kαAβkS p (E) ≤ kαkB(`2 ) kAkS p (E) kβkB(`2 ) .

2.

33

Cuantizaci´ on de espacios de Lebesgue

Observaci´ on 2.10 La expresi´on para la norma de S p (E) proporcionada en el apartado (a) del Teorema 2.9 es una generalizaci´on de la siguiente expresi´on para la norma de `pE ∞ X

kek kpE

1/p

= ´ınf

n

sup kb ek kE k≥1

k=1

∞ X

p

|αk |

1/p o

k=1

donde el ´ınfimo recorre todas las representaciones de la forma ek = αk ebk con α ∈ `p y eb ∈ `∞ ´nica diferencia radica en que, debido a la no conmutatividad del E . La u espacio, nos vemos obligados a considerar de forma separada la multiplicaci´on a derecha e izquierda. Ese es el motivo por el cual el espacio S 2p aparece dos veces. De forma an´aloga, el apartado (b) del mismo Teorema nos recuerda a la expresi´on ∞ X k=1

kek kpE

1/p

= sup

∞ nX

kαk ek kE

o

k=1 0

donde el supremo recorre todos los elementos α de la bola unidad de `p . En particular, se puede decir que las expresiones dadas en los apartados (a) y (b) del Teorema 2.9 son duales entre s´ı. Observaci´ on 2.11 N´otese que el apartado (d) del Teorema 2.9 constituye una generalizaci´on del primer axioma de Ruan, as´ı como el apartado (h) del Teorema 2.8 generaliza al segundo axioma. El siguiente resultado es una consecuencia de la expresi´on para la norma de dada en el apartado (c) del Teorema 2.9. De hecho, es sencillo comprobar que el apartado (c) no es m´as que una extensi´on del apartado (b) del mismo Teorema para p = ∞ en el caso finito-dimensional. El motivo por el que enuncio este resultado de forma independiente es porque se trata posiblemente del resultado que se va a utilizar con mayor frecuencia a lo largo de esta Memoria. Sn∞ (E)

Corolario 2.12 (Pisier, [68]) Dado 1 ≤ p ≤ ∞, la norma cb de un operador lineal Λ : E1 → E2 entre espacios de operadores se puede expresar como sigue kΛkcb = sup kΛ ⊗ ISnp kB(Snp (E1 ),Snp (E2 )) = kΛ ⊗ IS p kB(S p (E1 ),S p (E2 )) . n≥1

En el Cap´ıtulo 3 de [68], Pisier desarrolla la teor´ıa general de espacios de Lebesgue no conmutativos con valores vectoriales. As´ı, dada un a´lgebra de von Neumann M equipada con una traza semi-finita, normal y fiel τ y dado un espacio

34

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

de operadores E, Pisier define los espacios LpE (M, τ ). Estos espacios presentan el mismo buen comportamiento que la clases de Schatten con valores vectoriales. Por ejemplo, adem´as de resultados como la interpolaci´on compleja y el teorema de Fubini, Pisier presenta en el Cap´ıtulo 4 de [68] una teor´ıa de dualidad en estos espacios an´aloga a la que presentan los espacios de Bochner-Lebesgue. De este modo aparece una versi´on no conmutativa de la propiedad de Radon-Nikodym v´alida en la categor´ıa de espacios de operadores. Observaci´ on 2.13 La elecci´on de estructura natural de espacio de operadores p para LE (M, τ ) presenta cierta dificultad que no aparece en el caso discreto. El problema reside en fijar la estructura de espacio de operadores en L1 (M, τ ). En vista de nuestras definiciones previas, puede parecer que la definici´on m´as natural consiste en considerar a L1 (M, τ ) como el predual M? del a´lgebra de von Neumann op denota el espacio de M. No obstante, la elecci´on es L1 (M, τ ) = Mop ? donde E operadores opuesto a E. El lector puede encontrar una definici´on de tal estructura de espacio de operadores en [69]. Si esta dificultad no aparec´ıa en nuestro estudio de las clases de Schatten es precisamente porque en este contexto la estructura de espacio de operadores opuesto coincide con la estructura original. El lector interesado en conocer los motivos por los cuales esta es la definici´on adecuada puede acudir a [69] donde se justifica esta elecci´on con claridad.

2.4 Sumas directas con una p-norma Concluimos este Cap´ıtulo con una clase especial de espacios de Lebesgue. Se trata de sumas directas de familias arbitrarias de espacios de operadores dotadas de una p-norma. M´as concretamente, dado un conjunto de ´ındices I consideramos una familia de espacios de operadores E = {Ei : i ∈ I} y una familia de n´ umeros positivos ∆ = {δi : i ∈ I}, ambas indexadas por I. Entonces, dado un exponente 1 ≤ p < ∞, definimos los espacios n X 1/p o Y LpE (∆) = e∈ Ei : kekLpE (∆) = δi kei kpEi 0, π ∈ G b : kAπ kS ∞ (E) ≥ ε < ∞ . C0 (G, E dπ

Despu´es de imponer en tales espacios una estructura de espacio de operadores y de enunciar ciertas propiedades b´asicas –que se siguen f´acilmente del trabajo [68] de Pisier– nos centramos en probar algunos resultados m´as profundos sobre

42

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

b que ser´an de capital importancia para el estudio del tipo y los espacios LpE (G), cotipo de Fourier. Tales resultados se resumen a continuaci´on. Teorema 1 La acci´on de dualidad X A 7−→ dπ tr(Aπ ·), b π∈G

proporciona los siguientes isomorfismos completamente isom´etricos 1 b b L∞ E (G) ' CB(L (G), E)

y

b ' C0 (G, b E)? . L1E ? (G)

b → L1 (G) b ⊗∧ E es una isometr´ıa completa. El operador identidad L1E (G)

1 b b Estos resultados nos muestran adem´as que los espacios L∞ E (G) y LE (G) se comportan, respecto del producto tensorial minimal y proyectivo respectivamente, como los espacios cl´asicos de Lebesgue respecto de las correspondientes normas tensoriales –inyectiva y proyectiva– de Grothendieck. El Cap´ıtulo 3 lo cerramos discutiendo algunos resultados escalares. En primer lugar ponemos de manifiesto cierta mejora del resultado de Kunze para grupos compactos mostrando que, con las estructuras naturales de espacio de operadores en los espacios involucrados, la transformada de Fourier no es s´olo contractiva sino completamente contractiva. Adem´as discutimos el an´alogo del lema de Riemann-Lebesgue en este contexto.

En el Cap´ıtulo 4 nos centramos ya en el estudio del tipo y cotipo de Fourier en el contexto no conmutativo. Para ello comenzamos por observar que, dado 1 ≤ p ≤ 2, el operador FG,E env´ıa el producto tensorial algebraico Lp (G) ⊗ E en el espacio 0 b ⊗ E. Esto es una consecuencia sencilla del resultado de Kunze para grupos Lp (G) compactos. An´alogamente, el operador inverso de FG,E env´ıa el producto tensorial b ⊗ E en el espacio Lp0 (G) ⊗ E. Esta observaci´on nos permite dar nuestras Lp (G) definiciones de tipo y cotipo de Fourier para espacios de operadores. Definici´ on 3 Dado 1 ≤ p ≤ 2, diremos que el espacio de operadores E tiene tipo de Fourier p respecto del grupo compacto G, si se puede 0 b ⊗E a extender la transformada de Fourier FG,E : Lp (G) ⊗ E → Lp (G) un operador completamente acotado 0 b FG,E : LpE (G) −→ LpE (G)

con norma cb Cp1 (E, G).

II.

43

Tipo de Fourier respecto de grupos compactos

Definici´ on 4 Dado 1 ≤ p ≤ 2, diremos que el espacio de operadores E tiene cotipo de Fourier p0 respecto del grupo compacto G, si se puede −1 b ⊗ E → Lp0 (G) ⊗ E a un extender el operador inverso FG,E : Lp (G) operador completamente acotado 0

−1 b −→ Lp (G) con norma cb FG,E : LpE (G) E

Cp20 (E, G).

N´otese que la definici´on de cotipo de Fourier constituye una gran novedad pues esta noci´on no aparece en el contexto conmutativo, v´ease el Ap´endice A. En el Cap´ıtulo 4 explicaremos el motivo de esta diferencia fundamental entre ambas teor´ıas. Las Secciones 4.1 y 4.2 est´an dedicadas casi por completo a justificar estas definiciones. Tambi´en probamos ciertas propiedades que resultan evidentes en el caso conmutativo y, por contra, ofrecen ciertas dificultades en este nuevo contexto. Me refiero al hecho de que todo espacio de operadores tiene tipo de Fourier 1 y cotipo de Fourier ∞ respecto de cualquier grupo compacto. En la segunda parte del Cap´ıtulo 4 estudiamos las propiedades principales del tipo y cotipo de Fourier de un espacio de operadores e investigamos los ejemplos m´as relevantes. De entre las propiedades estudiadas, destacamos dos por encima de las dem´as. En primer lugar, se tiene el siguiente resultado de dualidad. Teorema 2 Sea E un espacio de operadores. Entonces, dado 1 ≤ p ≤ 2, se cumplen las siguientes propiedades: (a) E tiene tipo de Fourier p respecto de un grupo compacto G si y s´olo si E ? tiene cotipo de Fourier p0 respecto de G. Adem´as Cp1 (E, G) = Cp20 (E ? , G). (b) E tiene cotipo de Fourier p0 respecto de un grupo compacto G si y s´olo si E ? tiene tipo de Fourier p respecto de G. Adem´as Cp1 (E ? , G) = Cp20 (E, G).

Por otro lado, la distancia cb entre dos espacios de operadores completamente isomorfos es una herramienta u ´til para comparar las constantes de tipo y cotipo de Fourier de ambos espacios. M´as concretamente, hemos obtenido el siguiente resultado.

44

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Teorema 3 Sea G un grupo compacto y sean E1 , E2 dos espacios de operadores. Entonces, dado 1 ≤ p ≤ 2, se tienen las desigualdades: Cp1 (E2 , G) ≤ dcb (E1 , E2 ) Cp1 (E1 , G) Cp20 (E2 , G) ≤ dcb (E1 , E2 ) Cp20 (E1 , G) Cp1 (E2 , G) ≤ dcb (E1 , E2? ) Cp20 (E1 , G) Cp20 (E2 , G) ≤ dcb (E1 , E2? ) Cp1 (E1 , G).

Finalmente, nos centraremos en los casos particulares m´as relevantes. Es decir, calcularemos el tipo y cotipo de Fourier de los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten. Como veremos, el caso escalar es m´as sencillo pues basta un argumento de interpolaci´on compleja. Sin embargo, los espacios de Bochner-Lebesgue y las clases de Schatten vectoriales nos fuerzan a desarrollar una versi´on cuantizada de la desigualdad integral –conmutativa y no conmutativa– de Minkowski, que se puede enunciar como sigue. Teorema 4 Sea E un espacio de operadores y sean 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞. Entonces, se cumplen las siguientes propiedades: (a) Espacios de Lebesgue: Sean (Ω1 , M1 , ν1 ) y (Ω2 , M2 , ν2 ) espacios de medida σ-finitos. Entonces, el operador identidad LpL1p2 (Ω ) (Ω1 ) −→ LpL2p1 (Ω ) (Ω2 ) E

2

E

es una contracci´on completa.

1

(b) Clases de Schatten: Sean H1 y H2 espacios de Hilbert. Entonces, p1 p2 p2 p1 el operador identidad SH (SH (E)) → SH (SH (E)) es un operador 1 2 2 1 completamente contractivo. (c) Resultados mixtos: Sea (Ω, M, ν) un espacio de medida y H un espacio de Hilbert. Entonces, los siguientes operadores identidad son contracciones completas p1 SH (LpE2 (Ω)) −→ LpS2p1 (E) (Ω) H

y

p2 LpS1p2 (E) (Ω) −→ SH (LpE1 (Ω)). H

Los resultados obtenidos sobre el tipo y cotipo de Fourier de espacios de Lebesgue y clases de Schatten se resumen as´ı.

II.

Tipo de Fourier respecto de grupos compactos

45

Teorema 5 Sean 1 ≤ p, q ≤ 2 y sea E un espacio de operadores con tipo de Fourier p y cotipo de Fourier q 0 respecto de un grupo compacto G. Sea (Ω, M, ν) un espacio de medida σ-finito o regular y sea H un espacio de Hilbert. Entonces se tiene que: r (a) LrE (Ω) y SH (E) tienen tipo de Fourier p respecto de G cuando 0 p ≤ r ≤ p . Adem´as se tienen las igualdades: r Cp1 (LrE (Ω), G) = Cp1 (SH (E), G) = Cp1 (E, G). s (b) LsE (Ω) y SH (E) tienen cotipo de Fourier q 0 respecto de G cuando q ≤ s ≤ q 0 . Adem´as se tienen las igualdades: s Cq20 (LsE (Ω), G) = Cq20 (SH (E), G) = Cq20 (E, G).

Por otro lado, es natural preguntarse si estos resultados son ´optimos. En la teor´ıa conmutativa la respuesta es afirmativa cuando el espacio de Lebesgue o la clase de Schatten estudiada es de dimensi´on infinita y el grupo considerado no es finito. En la Parte III de esta Memoria nos centraremos en este problema cuando el grupo considerado es de Lie, compacto y semisimple. Como veremos, en este nuevo contexto aparecen nuevas dificultades intr´ınsecas a la no conmutatividad del grupo y que requieren resultados muy profundos de la estructura y teor´ıa de representaciones de tales grupos. El lector posiblemente se pregunte el motivo por el cual s´olo hemos cubierto el caso compacto en esta Memoria. La raz´on no es otra que las dificultades propias de esta teor´ıa cuando se trabaja con grupos topol´ogicos localmente compactos. En primer lugar, las representaciones irreducibles ya no son necesariamente de grado finito, por lo que nos ver´ıamos obligados a sustituir las clases de Schatten vectoriales por otros espacios de Lebesgue no conmutativos m´as generales, tambi´en introducidos por Pisier en [68]. No obstante, la dificultad principal consiste en que la teor´ıa de representaciones no compacta es mucho m´as complicada. A modo de ejemplo, hasta donde conocemos, el mismo teorema de Plancherel es un resultado desconocido para ciertas familias de grupos localmente compactos. Por supuesto, una posibilidad es trabajar con grupos separables y unimodulares, de los que se conoce m´as. A saber, Segal obtuvo en [80] una extensi´on del teorema de Plancherel para dicha familia de grupos mientras que Kunze [44] generaliz´o la desigualdad de Hausdorff-Young. En la redacci´on de los Cap´ıtulos 3 y 4, hemos asumido que el

46

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

lector posee ciertas nociones de teor´ıa de espacios de operadores y an´alisis arm´onico abstracto. En todo caso, dichas nociones se pueden encontrar en la Parte I de esta Memoria, as´ı como en los Ap´endices A y B.

3 La transformada de Fourier vectorial

Con objeto de desarrollar una teor´ıa satisfactoria de tipo y cotipo de Fourier respecto de grupos compactos, es necesario definir con precisi´on la transformada de Fourier para funciones definidas en un grupo compacto y con valores en un b que proporcionan espacio de operadores. Tambi´en analizamos los espacios LpE (G), una estructura natural de espacio de operadores al rango de la transformada de Fourier. Finalmente, obtendremos ciertos resultados para funciones escalares como una mejora de la desigualdad de Hausdorff-Young-Kunze o la versi´on del lema de Riemann-Lebesgue en este contexto.

3.1 Definici´ on de la transformada de Fourier Sea G un grupo topol´ogico Hausdorff y compacto dotado de una medida de Haar µ normalizada por la condici´on µ(G) = 1. Denotemos por π : G → U (Vπ ) a una representaci´on unitaria e irreducible cualquiera de G. Escribiremos dπ para referirnos al grado de π o dimensi´on del espacio de representaci´on Vπ . Definici´ on 3.1 Dado un espacio de operadores E y una funci´on f ∈ L1E (G), definimos el coeficiente de Fourier de f en π como el operador Z fb(π) = f (g)π(g)? dµ(g) ∈ B(Vπ , E dπ ). G

Aqu´ı π(g)? denota el operador adjunto de π(g). Para ver a fb(π) como un operador lineal de Vπ en E dπ , interpretamos dicha integral vectorial en sentido d´ebil. Es decir, dada una base ortonormal {v1 , v2 , . . . vdπ } de Vπ y dado un vector u ∈ Vπ , definimos la k-´esima componente de fb(π)u respecto de la base dada como 47

48

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

el elemento de E dado por Z

f (g)hπ(g)? u, vk i dµ(g).

G

Observaci´ on 3.2 N´otese que, si consideramos funciones con valores complejos, entonces nuestra definici´on recupera la noci´on cl´asica de coeficiente de Fourier. El lector puede comprobarlo en el Ap´endice B. Observaci´ on 3.3 Puesto que π(g) es un operador unitario en Vπ para todo g ∈ G, es obvio que el coeficiente de Fourier de f en π est´a bien definido para toda f : G → E integrable y toda representaci´on irreducible π. En particular, puesto que la medida µ es finita, lo mismo ocurre para f ∈ LpE (G) con 1 ≤ p ≤ ∞. N´otese tambi´en que, si fijamos una base ortonormal de Vπ , entonces podemos identificar B(Vπ , E dπ ) con el espacio Mdπ ⊗E de las matrices cuadradas dπ ×dπ con entradas en el espacio de operadores E. A saber, no tenemos m´as que asignar a cada operador de B(Vπ , E dπ ) su matriz respecto de la base escogida. Por ejemplo, el operador fb(π) se identificar´ıa con la matriz Z f (g)πji (g) dµ(g) ∈ Mdπ ⊗ E G

1≤i,j≤dπ

donde πij (g) denotan las entradas de la matriz que define al operador π(g) respecto de la base ortonormal escogida. b el objeto dual del grupo compacto G y sea E un espacio Definici´ on 3.4 Sea G de operadores, entonces la transformada de Fourier vectorial FG,E se define como el operador Y FG,E : L1E (G) −→ Mdπ ⊗ E b π∈G

que hace corresponder a f ∈ L1E (G) con la colecci´on de sus coeficientes de Fourier. Naturalmente, ser´a necesario dotar dicho producto cartesiano de una p-norma. Hablando sin mucho rigor, el motivo por el cual imponemos en E una estructura de espacio de operadores se debe a que –como veremos en la pr´oxima Secci´on– es necesaria toda su estructura matricial para definir dicha p-norma. No obstante, m´as adelante justificaremos formalmente la necesidad de trabajar con espacios de operadores en este contexto.

3.

49

La transformada de Fourier vectorial

b 3.2 Los espacios LpE (G) El producto cartesiano donde toma valores la transformada de Fourier ser´a deb El primer paso para estudiar la validez de la desigualdad de notado por ME (G). b de una p-norma. Hausdorff-Young es dotar ME (G) b se definen como sigue: Definici´ on 3.5 Dado 1 ≤ p < ∞, los espacios LpE (G) b = LpE (G)

n X b : kAk p b = A ∈ ME (G) dπ kAπ kpS p L (G)

dπ (E)

E

1/p

o 0, existe fε ∈ LpSnp (E) (G) de norma 1 y tal que

X

dπ tr(Aπij π(·)) p0 p0

Sn (LE ? (G))

b π∈G

Z ≤ (1 + ε)

h X i tr dπ tr(Aπij π(g)) fijε (g) dµ(g)

G

b π∈G

donde fijε , las entradas de fε , pertenecen al producto tensorial Lp (G) ⊗ E. Si denotamos por I a la integral sobre G escrita arriba, entonces queremos comprobar que Z n X X

I= dπ tr(Aπij π(g)), fjiε (g) dµ(g). G

i,j=1 π∈G b

b ⊗ E ? y que f ε ∈ Lp (G) ⊗ E, basta demostrar Teniendo en cuenta que Aij ∈ Lp (G) ij que las expresiones Z X I1 = dπ tr(Aπ π(g))f (g) dµ(g) G

I2 =

b π∈G

X

Z dπ

b π∈G

tr(Aπ π(g))f (g) dµ(g)

G

b y toda f ∈ Lp (G). Pero A tiene soporte numerable coinciden para todo A ∈ Lp (G) sop(A) = {πk }∞ k=1 , de modo que ∞ Z X |I1 − I2 | = l´ım dπk tr(Aπk πk (g))f (g) dµ(g) n→∞

G k=n+1

4.

69

Tipo y cotipo de Fourier

≤

∞ p 0 1/p0 Z X πk . dπk tr(A πk (g)) dµ(g) l´ım kf kLp (G)

n→∞

G

k=n+1

b por las relaciones Aπn = Aπ si π = πk para Ahora bien, si definimos An ∈ Lp (G) alg´ un 1 ≤ k ≤ n y Aπn = 0 en otro caso, entonces podemos escribir ∞ p 0 1/p0 Z X ≤ l´ım kA − An kLp (G) l´ım dπk tr(Aπk πk (g)) dµ(g) b = 0

n→∞

G

n→∞

k=n+1

por la desigualdad de Hausdorff-Young. En definitiva, se tiene que

X

π π(·)) d tr(A

p0 p0 π ij Sn (LE ? (G))

b π∈G

≤ (1 + ε)

n X X i,j=1 π∈G b

= (1 + ε)

n X

X

Z dπ

tr(Aπij π(g)), fjiε (g) dµ(g)

G

dπ tr hAπij , τ\ (fjiε )(π)i

i,j=1 π∈G b

h i = (1 + ε) tr Aij τ\ (fijε ) donde τ (f )(g) = f (g −1 ). Por u ´ltimo, la acci´on de dualidad en las clases de Schatten vectoriales nos permite escribir

h i

\

ε tr Aij τ\ (fijε ) ≤ Aij p0 p τ (f )

p p0 b ij b Sn (LE ? (G)) Sn (LE (G))

≤ Cp1 (E, G) Aij p0 p b Sn (LE ? (G))

ε puesto que τ (fij )

p Sn (LpE (G))

= kfε kLp p

Sn (E)

(G)

= 1.

2. Cp1 (E, G) ≤ Cp20 (E ? , G). Utilizando los mismos argumentos que en el paso anterior, deducimos que es suficiente con ver que se tiene

b

fij p0 p0 b ≤ Cp20 (E ? , G) fij

0

p Sn (LpE (G))

Sn (LE (G))

para toda familia fij ∈ Lp (G) ⊗ E con 1 ≤ i, j ≤ n y todo n ≥ 1. Por otro lado, dado ε > 0, la isometr´ıa completa 0 0 b ' Lp0p0 Snp (LpE (G))

Sn (E)

b (G)

70

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

b de norma 1 y tal que nos permite considerar un elemento Aε ∈ LpSnp (E ? ) (G)

b

fij

0

0

p b (LpE (G)) Sn

≤ (1 + ε)

X

i h bij (π) f dπ tr Aε,π ij

b π∈G

b ⊗ E ? . Si S denota la suma de arriba donde Aεij , las entradas de Aε , est´an en Lp (G) entonces, con argumentos similares a los del apartado anterior, obtenemos S=

n Z X

X i,j=1

G

? dπ tr(Aε,π ij π(g) ), fji (g) dµ(g).

b π∈G

Por consiguiente,

b

fij

0 p0 b Sn (LpE (G))

≤ (1 + ε)

n Z X

i,j=1

−1 ε −1 FG,E ) dµ(g) ? (Aij )(g), fji (g

G

h i −1 ε = (1 + ε) tr FG,E τ (fij ) ? (Aij )

−1 ε ≤ (1 + ε) FG,E (A ) f

p0 p ? ij 0 ij p Sn (LpE ? (G)) Sn (LE (G))

≤ (1 + ε) Cp20 (E ? , G) fij p0 p Sn (LE (G))

La prueba se completa haciendo a ε tender a cero.

2

Observaci´ on 4.18 Existe una prueba alternativa, esbozada en [27], del Teorema 4.17. La idea es comparar el operador inverso de FG,E con su adjunto. Utilizando la acci´on de dualidad adecuada, no es dif´ıcil comprobar que son de hecho el mismo operador. De manera que utilizando la Proposici´on 1.3, que asegura que la norma cb de un operador coincide con la de su adjunto, se obtiene la primera igualdad del Teorema 4.17. La segunda igualdad se obtiene de un modo similar. Esta otra demostraci´on es seguramente m´as breve que la que hemos ofrecido. No obstante, encontramos que la prueba dada del Teorema 4.17 ilustra con m´as claridad la relaci´on dual que mantienen las nociones de tipo y cotipo de Fourier. Corolario 4.19 Se tiene Cp1 (E, G) = Cp1 (E ?? , G) y Cp20 (E, G) = Cp20 (E ?? , G). El pr´oximo resultado relaciona las constantes de tipo y cotipo de Fourier de una pareja de espacios de operadores completamente isomorfos. A tal fin, utilizaremos la distancia cb entre espacios de operadores, introducida al comienzo del Cap´ıtulo 1 de esta Memoria.

4.

71

Tipo y cotipo de Fourier

Teorema 4.20 Sea G un grupo topol´ogico compacto y sean E1 , E2 dos espacios de operadores completamente isomorfos. Entonces, dado 1 ≤ p ≤ 2, se tienen las siguientes desigualdades: Cp1 (E2 , G) ≤ dcb (E1 , E2 ) Cp1 (E1 , G) Cp20 (E2 , G) ≤ dcb (E1 , E2 ) Cp20 (E1 , G) An´alogamente, si E1 y E2? son completamente isomorfos, entonces se tiene que: Cp1 (E2 , G) ≤ dcb (E1 , E2? ) Cp20 (E1 , G) Cp20 (E2 , G) ≤ dcb (E1 , E2? ) Cp1 (E1 , G). Demostraci´ on. Las dos u ´ltimas desigualdades se siguen de las dos primeras por dualidad. Es decir, aplicando el Teorema 4.17. Por otro lado, supongamos que la primera desigualdad es cierta, entonces la segunda desigualdad tambi´en se sigue por dualidad. Efectivamente, Cp20 (E2 , G) = Cp1 (E2? , G) ≤ dcb (E1? , E2? ) Cp1 (E1? , G) = dcb (E1? , E2? ) Cp20 (E1 , G). Ahora bien, la identidad kΛkCB(E1 ,E2 ) = kΛ? kCB(E2? ,E1? ) dada en la Proposici´on 1.3, justifica la igualdad dcb (E1? , E2? ) = dcb (E1 , E2 ). Por tanto, s´olo nos queda probar la primera desigualdad. Para ello es suficiente con ver que

b −1 1 f ≤ kΛk kΛ k C (E , G) f

p0 p0 b

p0 p

ij cb cb p 1 ij Sn (LE (G))

Sn (LE (G))

2

2

para toda familia fij ∈ Lp (G) ⊗ E2 con 1 ≤ i, j ≤ n, todo isomorfismo completo Λ : E1 → E2 y todo n ≥ 1. Pero

X p0 1/p0

b

dπ fbij (π) p0

fij p0 p0 b = Sn (LE (G)) 2

Sdπ n (E2 )

b π∈G

≤ kΛkcb

X

p0

dπ IMdπ n ⊗ Λ−1 fbij (π) p0

π∈G

= kΛkcb FG,E1 ILp (G) ⊗ Λ−1 (fij )

1/p0

Sdπ n (E1 )

b

0

Lp p0

b (G)

Sn (E1 )

I ⊗ Λ (fij ) p0 p ≤ Sn (LE (G)) 1

−1 1 ≤ kΛkcb kΛ kcb Cp (E1 , G) fij p0 p

kΛkcb Cp1 (E1 , G)

Lp (G)

−1

Sn (LE (G)) 2

puesto que kILp (G) ⊗ Λ−1 kcb = kΛ−1 kcb . Esto completa la prueba.

2

72

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Si OS n denota la clase de los espacios de operadores n-dimensionales, Pisier √ prob´o la estimaci´on dcb (E, OHn ) ≤ n para todo espacio de operadores E ∈ OS n , v´ease la Proposici´on 1.11. El siguiente resultado es una sencilla consecuencia de dicha estimaci´on y del Teorema 4.20. Corolario 4.21 Se tiene que C21 (E, G), C22 (E, G) ≤

√

n para todo E ∈ OS n .

4.4 Espacios de Lebesgue y clases de Schatten Analizamos ahora el tipo y cotipo de Fourier de los espacios de Lebesgue, las clases de Schatten y sus versiones vectoriales. Comenzamos por establecer ciertas desigualdades de tipo Minkowski en el contexto de los espacios de operadores. Sean 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ y consideremos dos espacios de medida σ-finitos (Ω1 , M1 , ν1 ) y (Ω2 , M2 , ν2 ). Entonces, la desigualdad integral de Minkowski cl´asica afirma que Z 1/p2 Z 1/p1 p2 p1 kf (·, ω2 )kLp1 (Ω1 ) dν2 (ω2 ) ≤ kf (ω1 , ·)kLp2 (Ω2 ) dν1 (ω1 ) Ω2

Ω1

para toda f ∈ LpL1p2 (Ω2 ) (Ω1 ). Dicho con otras palabras, la desigualdad integral de Minkowski nos asegura que el operador identidad LpL1p2 (Ω2 ) (Ω1 ) −→ LpL2p1 (Ω1 ) (Ω2 ) es contractivo. Obviamente, lo mismo sucede cuando trabajamos con funciones vectoriales f : Ω1 × Ω2 → X valoradas en un espacio de Banach. Nosotros estamos interesados en la acotaci´on completa de este operador y otros similares en los que reemplazamos los espacios de Lebesgue por clases de Schatten. Teorema 4.22 Desigualdades de Minkowski cuantizadas. Sea E un espacio de operadores. Entonces, dados 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞, se cumplen las siguientes propiedades: (a) Espacios de Lebesgue: Sean (Ω1 , M1 , ν1 ) y (Ω2 , M2 , ν2 ) espacios de medida σ-finitos. Entonces, el operador identidad LpL1p2 (Ω ) (Ω1 ) −→ LpL2p1 (Ω ) (Ω2 ) E

2

E

1

es una contracci´on completa.

4.

73

Tipo y cotipo de Fourier

(b) Clases de Schatten: Sean H1 y H2 espacios de Hilbert. Entonces, el operador p1 p2 p2 p1 identidad SH (SH (E)) −→ SH (SH (E)) es una contracci´on completa. 1 2 2 1 (c) Resultados mixtos: Sea (Ω, M, ν) un espacio de medida y sea H un espacio de Hilbert. Entonces, los siguientes operadores son contracciones completas p1 SH (LpE2 (Ω)) −→ LpS2p1 (E) (Ω)

y

p2 (LpE1 (Ω)). LpS1p2 (E) (Ω) −→ SH H

H

Demostraci´ on. Me centrar´e u ´nicamente en el caso de los espacios de Lebesgue. Los apartados (b) y (c) se demuestran de forma an´aloga e incluso presentan menos dificultades t´ecnicas. Por interpolaci´on compleja, es suficiente con considerar los casos p1 = 1 y p1 = p2 . Pero, aplicando nuevamente el m´etodo de interpolaci´on compleja al exponente p2 , basta con estudiar el caso p1 = p2 y el caso en el que p1 = 1 y p2 = ∞. Por un lado, si p1 = p2 y los espacios de medida con los que trabajamos son σ-finitos, estamos ante un isomorfismo completamente isom´etrico. Efectivamente, nuestra afirmaci´on se sigue como resultado de combinar el Corolario 2.12 con el teorema de Fubini. Por otro lado, cuando p1 = 1 y p2 = ∞, probamos a continuaci´on que tenemos una contracci´on completa independientemente de las medidas ν1 y ν2 con las que trabajemos. Nos basta comprobar que

f ≤ f (ω )

∞ 1

∞ 1

ij ij 2 Sn (LL∞ (Ω ) (Ω1 ))

Sn (LE (Ω1 ))

E

2

para toda familia fij ∈ L1L∞ (Ω2 ) (Ω1 ) con 1 ≤ i, j ≤ n, casi todo ω2 ∈ Ω2 y todo E n ≥ 1. Denotemos por ∆1 = Sn∞ ⊗min L1 (Ω1 ) ⊗∧ E ∆2 = Sn∞ ⊗min L1 (Ω1 ) ⊗∧ (L∞ E (Ω2 )) . Entonces queremos probar que kA(ω2 )k∆1 ≤ kAk∆2 para casi todo ω2 ∈ Ω2 y todo A ∈ ∆2 . Pero, siguiendo las expresiones expl´ıcitas –dadas en la Secci´on 1.4– de la estructura matricial para el producto tensorial proyectivo entre dos espacios de operadores, obtenemos n o ∞ (L1 (Ω )) kB2 kS ∞ (E) kβk kA(ω2 )k∆1 = ´ınf kαk kB1 kSm 1 m2 1 n o 0 ∞ (L∞ (Ω )) kβ k . kAk∆2 = ´ınf kα0 k kB10 kS ∞0 (L1 (Ω1 )) kB20 kSm 2 0 E m

1

2

donde ambos ´ınfimos se toman sobre todas las descomposiciones de A y de A(ω2 ) en las formas A = α0 (B10 ⊗B20 )β 0 y A(ω2 ) = α(B1 ⊗B2 )β respectivamente. Es obvio

74

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

que toda descomposici´on de A produce una descomposici´on de A(ω2 ) sin m´as que tomar α = α0 (m1 = m01 ) B1 = B10 B2 = B20 (ω2 ) (m2 = m02 ) β = β 0. De manera que, puesto que evidentemente se tiene 0 ∞ (E) ≤ kB kS ∞ (L∞ (Ω )) kB20 (ω2 )kSm 2 m2 E 2 2

para casi todo ω2 ∈ Ω2 ,

obtenemos la desigualdad deseada. Esto concluye la prueba.

2

Observaci´ on 4.23 Sea Ω un espacio topol´ogico localmente compacto dotado de una medida ν de Radon. Denotemos por C0 (Ω) a la C ? -´algebra formada por las funciones continuas definidas en Ω y con valores complejos que tienden a cero en el infinito. Dado un espacio de operadores E, definimos entonces el espacio C0 (Ω, E) = C0 (Ω)⊗min E. N´otese que C0 (Ω, E) es un subespacio cerrado de L∞ E (Ω). En el Cap´ıtulo 2 de [68], Pisier se˜ nala que los espacios de Bochner-Lebesgue LpE (Ω) se pueden obtener por interpolaci´on compleja mediante la relaci´on LpE (Ω) = (C0 (Ω, E), L1E (Ω))1/p . Bajo estas condiciones –es decir, (Ω2 , M2 , ν2 ) es un espacio de medida localmente compacto y ν2 es una medida de Radon– existe una prueba alternativa del Teorema 4.22 considerablemente m´as sencilla. A saber, siguiendo los pasos de la prueba que hemos ofrecido, queda ver el caso en el que p1 = 1 y p2 = ∞. En tal caso, puesto que las hip´otesis adicionales nos lo permiten, hacemos las sustituciones ' L1 (Ω1 ) ⊗∧ (C0 (Ω2 ) ⊗min E) 7 → L1C0 (Ω2 ,E) (Ω1 ) L1L∞ (Ω2 ) (Ω1 ) − E L∞ (Ω2 ) − 7 → C0 (Ω2 , L1E (Ω1 )) ' C0 (Ω2 ) ⊗min (L1 (Ω1 ) ⊗∧ E). L1 (Ω1 ) E

Ahora bien, en la Proposici´on 1.6 se afirma que el operador identidad E1 ⊗∧ (E2 ⊗min E3 ) −→ (E1 ⊗∧ E2 ) ⊗min E3 es una contracci´on completa. Esto concluir´ıa la demostraci´on. N´otese que este argumento funciona s´olo para los casos 1 ≤ p1 ≤ p2 < ∞. Observaci´ on 4.24 Si en el apartado (c) del Teorema 4.22, sustituimos las clases b tambi´en de Schatten o bien los espacios de Lebesgue por los espacios LpE (G), obtenemos operadores completamente contractivos. De hecho, debido al Corolario 3.12, la prueba puede seguir los mismos pasos que la demostraci´on original. Esta observaci´on tambi´en ser´a de utilidad en lo que sigue.

4.

75

Tipo y cotipo de Fourier

En el estudio del tipo de Fourier de un espacio de Banach respecto de un grupo abeliano y localmente compacto, Andersson [2] proporcion´o la siguiente versi´on de la desigualdad integral de Minkowski para medidas regulares. Proposici´ on 4.25 (Andersson, [2]) Sean 1 ≤ p1 ≤ p2 < ∞ y supongamos que (Ω1 , M1 , ν1 ) y (Ω2 , M2 , ν2 ) son espacios de medida regular. Denotemos por K↓ al espacio de las funciones f : Ω1 × Ω2 → C tales que |f | es acotada, semicontinua inferiormente y kf (·, ω2 )kLp1 (Ω1 ) est´a acotada en Ω2 . Entonces, se tiene que el operador identidad LpL1p2 (Ω2 ) (Ω1 ) ∩ K↓ −→ LpL2p1 (Ω1 ) (Ω2 ) ∩ K↓

es un operador contractivo.

Notemos que, si (Ω, M, ν) denota un espacio de medida regular y tomamos Ω1 = G y Ω2 = Ω en la Proposici´on 4.25, entonces el espacio Cc (G × Ω) de las funciones continuas con soporte compacto, definidas en G × Ω y con valores complejos, est´a contenido en K↓ . Por tanto, debido a la densidad de Cc (G × Ω) en los espacios LpL1p2 (Ω) (G) y LpL2p1 (G) (Ω), deducimos que el operador identidad LpL1p2 (Ω) (G) −→ LpL2p1 (G) (Ω) es contractivo siempre que se tenga 1 ≤ p1 ≤ p2 < ∞. De manera que, por los mismos argumentos que dimos en la prueba del Teorema 4.22, concluimos que de hecho estamos ante una contracci´on completa. Es m´as, lo mismo ocurre si tomamos Ω1 = Ω y Ω2 = G. En particular hemos demostrado la validez del siguiente resultado, que enunciamos para funciones con valores en un espacio de operadores puesto que su demostraci´on es an´aloga. Lema 4.26 Sea E un espacio de operadores, G un grupo compacto y (Ω, M, ν) un espacio de medida regular. Entonces, dados 1 ≤ p1 ≤ p2 < ∞, los siguientes operadores identidad son contracciones completas LpL1p2 (Ω) (G) −→ LpL2p1 (G) (Ω) E

E

y

LpL1p2 (G) (Ω) −→ LpL2p1 (Ω) (G). E

E

Analizada ya la validez de la desigualdad integral de Minkowski en el contexto de los espacios de operadores, volvemos a nuestro prop´osito original. Es decir, estudiamos a continuaci´on el tipo y cotipo de Fourier de los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten. Teorema 4.27 Sean 1 ≤ p, q ≤ 2 y sea E un espacio de operadores con tipo de Fourier p y cotipo de Fourier q 0 respecto de un grupo compacto G. Entonces, dado un espacio de medida (Ω, M, ν) σ-finito o regular, se tiene que:

76

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

(a) LrE (Ω) tiene tipo de Fourier p respecto de G para todo p ≤ r ≤ p0 . (b) LsE (Ω) tiene cotipo de Fourier q 0 respecto de G para todo q ≤ s ≤ q 0 . Adem´as, se tiene Cp1 (LrE (Ω), G) = Cp1 (E, G) y tambi´en Cq20 (LsE (Ω), G) = Cq20 (E, G). Demostraci´ on. Probamos la relaci´on Cp1 (LrE (Ω), G) = Cp1 (E, G). Para p = 1 basta con aplicar la Proposici´on 4.5. Por tanto, asumimos en lo que sigue que 1 < p ≤ 2. La desigualdad Cp1 (LrE (Ω), G) ≥ Cp1 (E, G) se sigue de la Proposici´on 4.14. Por u ´ltimo, utilizamos el m´etodo de interpolaci´on compleja para ver que 1 r Cp (LE (Ω), G) ≤ Cp1 (E, G). Es decir, s´olo tenemos que estudiar los casos r = p y r = p0 . Para r = p, la Observaci´on 4.24 nos permite afirmar que el operador identidad 0 b Lp p0 b (Ω) −→ LpLp (Ω) (G) LE (G)

E

es una contracci´on completa. En particular,

b

≤ fbij

fij p p0 b Sn (L

L

(G)) p (Ω) E

Lp p

(Ω) p0 b Sn (L (G)) E

≤ Cp1 (E, G) fij

p Sn (Lp p L

E

(Ω)

(G)).

Para el caso r = p0 , utilizamos el Teorema 4.22 o el Lema 4.26 en funci´on de c´omo sea el espacio de medida (Ω, M, ν). Se tiene que

b

1 ≤ Cp (E, G) fij p0

fij p0 p0 Sn (L

(G)) p0 (Ω) E b

L

L

(Ω) p0 p Sn (L (G)) E

1 ≤ Cp (E, G) fij

0

p Sn (Lp p0

(G)).

L (Ω) E

La desigualdad Cq20 (LsE (Ω), G) ≤ Cq20 (E, G) se prueba de forma an´aloga.

2

Observaci´ on 4.28 La prueba del Teorema 4.27 para los espacios de Lebesgue cl´asicos –es decir, aquellos formados por funciones con valores complejos– es m´as sencilla pues no se necesitan las desigualdades de Minkowski cuantizadas. A saber, simplemente se necesita comprobar que L2 (Ω) tiene tipo de Fourier 2 y entonces el resultado se sigue por un argumento de dualidad e interpolaci´on compleja. Pero el caso p = 2 es una consecuencia del teorema de Plancherel para grupos compactos. El lector puede encontrar dicha prueba en [57].

4.

77

Tipo y cotipo de Fourier 0

Es bien conocido que el dual de LpE (Ω) en general no es LpE ? (Ω). Sin embargo, la dualidad en los espacios de Bochner-Lebesgue se comporta bien cuando el espacio dual E ? posee la propiedad de Radon-Nikodym RNP. En [68], Pisier desarrolla una versi´on para espacios de operadores de dicha propiedad y la denomina ORNP. El siguiente resultado, que se sigue f´acilmente de los Teoremas 4.17 y 4.27, muestra que ambos espacios tienen el mismo tipo y cotipo de Fourier incluso cuando E ? no cumple la propiedad ORNP. Corolario 4.29 Sean 1 ≤ p, q ≤ 2 y sea E un espacio de operadores con tipo de Fourier p y cotipo de Fourier q 0 respecto de un grupo compacto G. Entonces, dado un espacio de medida (Ω, M, ν) σ-finito o regular, se tiene que: 0

(a) Cq1 (LsE (Ω)? , G) = Cq1 (LsE ? (Ω), G) para todo q ≤ s ≤ q 0 . 0

(b) Cp20 (LrE (Ω)? , G) = Cp20 (LrE ? (Ω), G) para todo p ≤ r ≤ p0 . Estudiamos ahora el tipo de Fourier de las clases de Schatten. Omitimos la prueba del resultado que sigue, pues su demostraci´on es completamente an´aloga a la dada en el teorema 4.27. Teorema 4.30 Sean 1 ≤ p, q ≤ 2 y sea E un espacio de operadores con tipo de Fourier p y cotipo de Fourier q 0 respecto de un grupo compacto G. Entonces, dado un espacio de Hilbert H, se tiene que: r (a) SH (E) tiene tipo de Fourier p respecto de G para todo p ≤ r ≤ p0 . s (b) SH (E) tiene cotipo de Fourier q 0 respecto de G para todo q ≤ s ≤ q 0 . s r (E), G) = Cq20 (E, G). (E), G) = Cp1 (E, G) y tambi´en Cq20 (SH Adem´as, se tiene Cp1 (SH

Observaci´ on 4.31 Ya sabemos que el tipo y cotipo de Fourier son condiciones m´as exigentes –en cualquier par formado por un espacio de operadores y un grupo topol´ogico compacto– a medida que el exponente p ∈ [1, 2] y su conjugado se aproximan a 2. Esto da lugar a las nociones de exponentes ´optimos de tipo y cotipo de Fourier, que ser´an introducidas en el Cap´ıtulo 5. El problema de encontrar los exponentes o´ptimos de un espacio de operadores dado es altamente no trivial, incluso para el caso m´as sencillo de los espacios de Lebesgue. Una soluci´on a parte de este problema constituye el contenido de la Parte III de esta Memoria.

III

Desigualdad local en grupos semisimples

Introducci´ on

Independientemente del sistema ortonormal con el que se trabaje, las nociones de tipo y cotipo de un espacio de Banach respecto de dicho sistema ortonormal son m´as restrictivas conforme los exponentes de tipo y cotipo se aproximan a 2. Naturalmente, esta situaci´on conduce a introducir los exponentes ´optimos de tipo y cotipo de un espacio de Banach. El an´alisis de los exponentes ´optimos de un espacio de Banach es interesante puesto que, cuanto m´as sepamos sobre su tipo y cotipo, m´as sabemos sobre la geometr´ıa de dicho espacio. En general, el problema de hallar los exponentes ´optimos de un espacio de Banach dado respecto de cierto sistema ortonormal es considerablemente complicado. No obstante, existen determinados sistemas con los que se tienen resultados generales. A saber, Bernard Maurey y Gilles Pisier hallaron en 1976 una conocida caracterizaci´on geom´etrica de aquellos espacios con tipo de Rademacher ´optimo p, v´ease [54] o la parte final del Ap´endice A. Concretamente, un espacio de Banach tiene tipo de Rademacher o´ptimo p si y s´olo si contiene a `p (n) uniformemente pero no a `q (n) para 1 ≤ q < p. El teorema de Maurey-Pisier proporciona otro criterio para analizar el exponente o´ptimo de cotipo de Rademacher. El problema se reduce entonces a estudiar para qu´e exponentes 1 ≤ r ≤ ∞ se tiene que nuestro espacio contiene a `r (n) uniformemente. Desafortunadamente, no existe una caracterizaci´on geom´etrica similar que nos permita estudiar los exponentes o´ptimos de Fourier de un espacio de Banach. Es decir, no se conoce ninguna condici´on geom´etrica en los espacios de Banach que permita identificar a aquellos que tienen un determinado tipo de Fourier o´ptimo respecto de un grupo abeliano y localmente compacto. De hecho, este es uno de los problemas abiertos m´as relevantes de la teor´ıa conmutativa. Sin embargo, aunque no tenemos un criterio general con el que trabajar, es natural preguntarse por los exponentes ´optimos de Fourier de familias concretas de espacios de Banach. Obviamente, los espacios de Lebesgue constituyen la primera de tales familias que uno deber´ıa estudiar. En este sentido, existen dos trabajos que hacen referencia a dicho problema:

81

82

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Por un lado, Mats Erik Andersson [2] estudi´o el tipo de Fourier o´ptimo de los espacios Lp (Ω) para 1 ≤ p ≤ 2. Si denotamos por Cp (X, G) a la norma 0 b entonces el resultado principal de del operador FG,X : LpX (G) → LpX (G), Andersson se puede resumir como sigue. Teorema Sean 1 ≤ p < q ≤ 2 y sea G un grupo localmente compacto y abeliano. Entonces existe una constante K(G, q) ≥ 0 independiente de n tal que K(G, q) n1/p−1/q ≤ Cq (`p (n), G) ≤ n1/p−1/q . Por otro lado, si el espacio de medida (Ω, M, ν) no es una uni´on finita de ν-´atomos, entonces el espacio `p (n) se incluye de forma isom´etrica en Lp (Ω) para todo n ≥ 1. Esto nos permite deducir que, debido a la estimaci´on de Andersson y para tales espacios de medida, el espacio Lp (Ω) no tiene tipo de Fourier q para p < q ≤ 2 siempre que se tenga K(G, q) > 0. Aqu´ı la constante K(G, q) tiene la forma ( ) kfbkLq0 (G) b K(G, q) = ´ınf sup : f ∈ Lq (G), sop(f ) ⊂ Uk k≥1 kf kLq (G) donde {Uk : k ≥ 1} es una base de entornos de la identidad 1 de G. Es decir, hablando sin mucho rigor, la constante K(G, q) nos informa sobre la desigualdad de Hausdorff-Young para funciones f : G → C con soporte peque˜ no. En particular, conocemos el tipo de Fourier ´optimo de los espacios p L (Ω) –respecto de un grupo abeliano y localmente compacto G– siempre que sepamos demostrar que K(G, q) > 0 para 1 < q < 2. Por contra Jos´e Garc´ıa-Cuerva, Kazaros Kazarian, Victor Kolyada y Jos´e Luis 0 Torrea estudiaron en [25] el tipo de Fourier o´ptimo de Lp (Ω). Es decir, se centraron en el caso no investigado por Andersson, aunque tuvieron que asumir compacidad en el grupo. Teorema Sea G un grupo compacto y abeliano. Supongamos que el espacio de medida (Ω, M, ν) no es una uni´on finita de ν-´atomos. 0 Entonces, dados 1 ≤ p < q ≤ 2, Lp (Ω) no tiene tipo de Fourier q. La prueba se apoya en un resultado auxiliar que, haciendo uso del principio de contracci´on, demuestra que todo espacio de Banach con tipo de Fourier q tiene cotipo de Rademacher q 0 . Esto permite a los autores utilizar la teor´ıa

III.

83

Desigualdad local en grupos semisimples

m´as conocida de tipo y cotipo de Rademacher y resolver as´ı el problema. La pega de este argumento es que no proporciona informaci´on alguna sobre lo que ocurre con el espacio Lp (Ω) puesto que, como se indica en el Ap´endice A, Lp (Ω) tiene cotipo de Rademacher 2 para 1 ≤ p ≤ 2. Dado 1 ≤ q ≤ 2, la constante de Babenko-Beckner Bq se define como la norma 0 de la transformada de Fourier FR : Lq (R) −→ Lq (R). De hecho, dado un entero positivo n, se tiene que la norma de FRn coincide con Bqn . En el Cap´ıtulo 6 de esta Memoria explicaremos con m´as detalle esta constante, de gran relevancia en muchos problemas del an´alisis de Fourier. Observaci´ on 1 Se tiene que K(Tn , q) = K(Rn , q) = Bqn para todo n ≥ 1 y todo 1 ≤ q ≤ 2. Por otro lado, cualquier grupo abeliano, localmente compacto y discreto satisface K(G, q) = 1. De hecho, los u ´nicos grupos localmente compactos y abelianos de los que se sabe que K(G, q) > 0 son los ya citados. Como ya hemos indicado, esto permite calcular el tipo de Fourier o´ptimo de Lp (Ω) respecto de tales grupos cuando 1 ≤ p ≤ 2. De hecho, se conoce el tipo de Fourier o´ptimo de los espacios de Lebesgue Lp (Ω), respecto de los grupos R, Z, T, Zk y sus potencias, para el rango completo de exponentes 1 ≤ p ≤ ∞. Estos casos excepcionales son consecuencia de que los grupos mencionados satisfacen la propiedad de que un espacio de Banach tiene tipo de Fourier q respecto de cualquiera de ellos si y s´olo si su dual tambi´en tiene tipo de Fourier q. Observaci´ on 2 Existe un grupo m´as que satisface la propiedad de autodualidad enunciada en la Observaci´on 1. Se trata del grupo de Cantor D. Puesto que D 0 es compacto, conocemos el tipo de Fourier o´ptimo de Lp (Ω) respecto de D para 2 ≤ p0 ≤ ∞. Ahora bien, utilizando nuevamente la propiedad de autodualidad, obtenemos el tipo de Fourier o´ptimo para el rango completo de exponentes. Observaci´ on 3 Los grupos analizados en las Observaciones 1 y 2 son los u ´nicos, adem´as de productos directos de los mismos, de los que se conoce el tipo de Fourier o´ptimo de los espacios de Lebesgue en el rango completo de par´ametros. Para nosotros, es especialmente relevante la igualdad K(T, q) = Bq . La idea b´asica de la prueba consiste en interpretar las funciones f : T → C como funciones definidas en la recta real R y soportadas en [−1/2, 1/2). Entonces, expresando la 0 norma de fb en Lq (R) como una suma de Riemann, se obtiene la relaci´on kfbkLq0 (R) kf kLq (R)

= l´ım

k→∞

kϕ bk kLq0 (T) kϕk kLq (T)

84

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

donde ϕk (t) = k 1/q f (kt). Esto da lugar a la desigualdad K(T, q) ≥ Bq , obtenida por Andersson en su Tesis Doctoral [1]. La identidad K(T, q) = Bq para q 0 ∈ 2Z se debe tambi´en a Andersson [1]. Per Sj¨olin demostr´o en [83] la validez de dicha identidad para todo 1 ≤ q ≤ 2. En otro orden de ideas, ya probamos en el Cap´ıtulo 4 que –fijados un espacio de operadores y un grupo topol´ogico compacto– el tipo y cotipo de Fourier siguen siendo propiedades m´as exigentes en dicho par a medida que los exponentes se aproximan a 2. Al igual que en la teor´ıa conmutativa, esto nos permite considerar los exponentes ´optimos de Fourier de un espacio de operadores respecto de un grupo compacto. El objetivo de la Parte III de esta Memoria no es otro que determinar los exponentes o´ptimos de Fourier de los espacios de Lebesgue y de las clases de Schatten. Como el lector podr´a apreciar, nuestros argumentos est´an fuertemente ligados a la estructura no conmutativa de los grupos con los que trabajamos. Esto se debe a que, aunque inicialmente seguimos un camino paralelo al seguido por Andersson, finalmente nos vemos obligados a probar la desigualdad K(G, q) > 0. Dicho de otro modo, necesitamos una desigualdad local de Hausdorff-Young para grupos topol´ogicos compactos no conmutativos. De hecho, esta situaci´on nos fuerza a trabajar con grupos de Lie compactos y semisimples, entre los que se encuentran los as´ı llamados grupos cl´asicos. El motivo de esta restricci´on se fundamenta en la necesidad de aplicar ciertos resultados sobre la estructura y representaciones de esta familia de grupos, obtenidos al comienzo de los a˜ nos 20 por Hermann Weyl y de los que damos cuenta en el Ap´endice C. Aunque nuestro prop´osito original es analizar determinados exponentes o´ptimos de Fourier, la desigualdad local de Hausdorff-Young obtenida para grupos de Lie compactos y semisimples constituye un resultado interesante por derecho propio. Es precisamente por ese motivo por el cual esta Parte III recibe el nombre de Desigualdad local en grupos semisimples. A continuaci´on damos un breve resumen de los resultados m´as interesantes que obtenemos en esta parte de la Memoria. Como es natural, comenzamos definiendo los exponentes o´ptimos en nuestro contexto. Definici´ on 1 Los exponentes ´ optimos de Fourier de un espacio de operadores E respecto de un grupo compacto G se definen como Ft(E, G) = sup p ≤ 2 : Cp1 (E, G) < ∞ Fc(E, G) = ´ınf p0 ≥ 2 : Cp20 (E, G) < ∞ .

Si E tiene tipo de Fourier Ft(E, G) respecto de G, diremos que E tiene tipo de

III.

85

Desigualdad local en grupos semisimples

Fourier o ´ptimo Ft(E, G). El cotipo de Fourier o ´ptimo se define de forma an´aloga. En virtud de los Teoremas 4.27 y 4.30, parece claro que los candidatos p naturales para tipo y cotipo de Fourier ´optimos de Lp (Ω) y SH –donde ahora 0 0 1 ≤ p ≤ ∞– son de nuevo m´ın(p, p ) y m´ax(p, p ) respectivamente. Por lo tanto, dados 1 ≤ p < q ≤ 2, queremos probar 0

(P1 ) Cq1 (Lp (Ω), G) = Cq20 (Lp (Ω), G) = ∞ 0 (P2 ) Cq1 (Lp (Ω), G) = Cq20 (Lp (Ω), G) = ∞ con las modificaciones obvias para las clases de Schatten. Observamos que por el Teorema 4.17, basta con estudiar el tipo de Fourier o´ptimo de los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten, pues el cotipo de Fourier ´optimo se sigue por dualidad. La parte inicial del Cap´ıtulo 5 est´a dedicada a puntualizar ciertas observaciones u ´tiles acerca de los problemas P1 y P2 . Condiciones necesarias. En primer lugar y, al igual que en la teor´ıa conmutativa, tenemos que descartar ciertos casos degenerados. A saber, los grupos finitos as´ı como los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten finitodimensionales. Obtenemos los siguientes resultados. Proposici´ on 1 Todo espacio de operadores tiene tipo y cotipo de Fourier 2 respecto de un grupo finito G. Adem´as, dado 1 ≤ p ≤ 2, se tienen las estimaciones 0

Cp1 (E, G), Cp20 (E, G) ≤ |G|1/p . Para el caso de los espacios de dimensi´on finita, utilizamos el Teorema 4.20 para probar el siguiente resultado. Proposici´ on 2 Supongamos que el espacio de medida (Ω, M, ν) es una uni´on finita de ν-´atomos. Entonces, dados 1 ≤ p < q ≤ 2, todo grupo topol´ogico compacto satisface las estimaciones Cq1 (Lp (Ω), G) ≤ ν(Ω)1/p−1/q

y

0

0

0

Cq1 (Lp (Ω), G) ≤ ν(Ω)1/q −1/p .

N´otese que 1/p − 1/q = 1/q 0 − 1/p0 , de manera que obtenemos la misma cota para ambas normas cb. Las clases de Schatten de dimensi´on finita satisfacen un resultado similar. Condiciones suficientes. Bajo las hip´otesis impuestas anteriormente, es f´acil comprobar que los espacios `p (n) se incluyen de forma completamente

86

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

isom´etrica en el espacio de Lebesgue Lp (Ω) as´ı como en la clase de Schatten p SH para 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces, se obtienen f´acilmente las desigualdades 0

0

Cq1 (Lp (Ω), G) ≥ l´ım Cq1 (`p (n), G) y Cq1 (Lp (Ω), G) ≥ l´ım Cq1 (`p (n), G). n→∞

n→∞

Por tanto, una condici´on suficiente para resolver los problemas P1 y P2 es 0 demostrar que las constantes Cq (`p (n), G) y Cq (`p (n), G) tienden a infinito con n. Esta observaci´on, que tambi´en se aplica a las clases de Schatten, nos lleva transformar nuestro problema en el estudio del orden de crecimiento de estas constantes. Espacios de Bochner-Lebesgue. Demostraremos que el estudio del tipo y cotipo de Fourier o´ptimo de los espacios de Bochner-Lebesgue y las clases de Schatten vectoriales se reduce a los resultados obtenidos para el caso escalar. Despu´es de estas puntualizaciones, analizamos el crecimiento de la constante Demostraremos el siguiente resultado.

Cq1 (`p (n), G).

Teorema 1 Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple. Entonces, dados 1 ≤ p < q ≤ 2, existe una constante K(G, q) independiente de n tal que K(G, q) n1/p−1/q ≤ Cq1 (`p (n), G) ≤ n1/p−1/q para todo n ≥ 1 y donde, dada una base de entornos {Uk : k ≥ 1} del elemento neutro 1 de G, se tiene ( ) kfbkLq0 (G) b K(G, q) = ´ınf sup : f central, f ∈ Lq (G), sop(f ) ⊂ Uk . k≥1 kf kLq (G)

La cota superior de Cq1 (`p (n), G) se obtiene como consecuencia del Teorema 4.20. La cota inferior resuelve el problema P1 siempre y cuando tengamos K(G, q) > 0. En tal caso sabemos adem´as que la constante Cq1 (`p (n), G) crece como n1/p−1/q . La desigualdad K(G, q) > 0 es cierta para grupos de Lie compactos y semisimples. La prueba se da en el Cap´ıtulo 6 y constituye una variante local para funciones centrales de la desigualdad de Hausdorff-Young en dichos grupos, debida a Kunze. 0 Dedicamos la parte final del Cap´ıtulo 5 al an´alisis del crecimiento de Cq1 (`p (n), G). 0 Si observamos que Cq1 (`p (n), G) = Cq20 (`p (n), G), podemos interpretar el crecimiento de esta constante como el problema dual del crecimiento de Cq1 (`p (n), G). Por tanto,

III.

Desigualdad local en grupos semisimples

87

puesto que el objeto dual ya no tiene una estructura de grupo topol´ogico –como ocurre en el caso conmutativo– no tenemos un teorema de inversi´on de Fourier y no podemos esperar reconstruir la prueba dada en el caso 1 ≤ p ≤ 2. Este problema sigue abierto, de forma que lo enunciamos como sigue. Problema 1 Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple. Entonces, dados 1 ≤ p < q ≤ 2, existe una constante K0 (G, q) > 0 independiente de n que satisface la desigualdad 0

Cq1 (`p (n), G) ≥ K0 (G, q) n1/p−1/q .

No obstante, obtenemos ciertos resultados parciales que pueden ser de utilidad a la hora de resolver el Problema 1. En primer lugar, obtenemos una estimaci´on que proviene de dualizar la prueba dada para el caso 1 ≤ p ≤ 2. Por otro lado, anticipando resultados de la Parte IV de esta Memoria, utilizamos un enfoque similar al de Garc´ıa-Cuerva, Kazarian, Kolyada y Torrea en [25] que nos permite sustituir el objeto dual de nuestro grupo por una versi´on cuantizada del sistema ortonormal de Rademacher. Como hemos dicho antes, el objetivo del Cap´ıtulo 6 es demostrar la validez de la desigualdad local para grupos de Lie compactos y semisimples. Comenzaremos fijando ciertos resultados sobre la estructura y representaciones de esta familia de grupos, que ser´an utilizados en la demostraci´on. El siguiente paso es obtener una expresi´on sencilla para los coeficientes de Fourier de funciones centrales f : G → C en t´erminos de la transformada de Fourier FT sobre el toro maximal T de G. La prueba del siguiente resultado se apoya fundamentalmente en la f´ormula de caracteres y de integraci´on de Weyl. Teorema 2 Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple. Denotemos por T a su toro maximal, por πλ a la representaci´on unitaria e irreducible de G asociada al peso dominante λ y por dλ al grado de πλ . Entonces, dada una funci´on central e integrable f : G → C, se tiene que Z 1 1 b f (πλ ) = f (t)(exp−δ Aδ )(t) exp−λ (t) dm(t) 1dλ = FT (f Bδ )(λ) 1dλ dλ T dλ donde Bδ = exp−δ Aδ , m denota la medida normalizada de Haar en T y 1dλ es el operador identidad en el espacio de representaci´on de πλ .

88

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

La notaci´on empleada en el Teorema 2 se explica con detalle en el Ap´endice C. Este resultado nos permite trabajar en el toro maximal T, donde la transformada de Fourier se conoce mejor. A pesar de ello, nuestro problema sigue evidenciando rasgos de la no conmutatividad de los grupos con los que trabajamos. A saber, el grado dλ de una representaci´on irreducible πλ no tiene porqu´e ser 1. Como veremos, esto constituye un nuevo obst´aculo respecto de la prueba original de Andersson, que tiene que ser tratado con la ayuda de la f´ormula de dimensi´on de Weyl. Nuestros argumentos nos conducen entonces a un problema del an´alisis de Fourier cl´asico en Rn o, dicho con propiedad, en el ´algebra de Cartan de G. En este punto, el uso de una integral fraccionaria nos facilita el camino hasta la soluci´on. Este es un resumen poco riguroso de la prueba del siguiente resultado, que se enuncia como sigue. Teorema 3 Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple. Entonces, dado 1 ≤ q ≤ 2, existe una constante positiva K(G, q) tal que, para cualquier abierto U de G, se tiene ) ( kfbkLq0 (G) b : f central, f ∈ Lq (G), sop(f ) ⊂ U ≥ K(G, q). sup kf kLq (G)

A estas alturas, del mismo modo que Andersson y Sj¨olin calcularon el valor de K(Tn , q), es natural preguntarse por el valor exacto de la constante K(G, q). Creemos que este es un problema altamente complicado. No obstante, hemos obtenido una expresi´on alternativa de K(G, q) que permite establecer cierta relaci´on con una desigualdad de Hausdorff-Young con pesos de tipo Pitt. Problema 2 Dado un grupo de Lie compacto y semisimple G y una base de entornos {Uk : k ≥ 1} del elemento neutro 1 de G, hallar el valor exacto de la constante ( ) kfbkLq0 (G) b K(G, q) = ´ınf sup : f central, f ∈ Lq (G), sop(f ) ⊂ Uk . k≥1 q kf kL (G)

Por u ´ltimo, incluimos en la parte final del Cap´ıtulo 6 un resultado que se 0 utiliza en la discusi´on previa del crecimiento de la constante Cq1 (`p (n), G). Dada una funci´on continua de cuadrado integrable f0 : G → C definida en un grupo

III.

Desigualdad local en grupos semisimples

89

compacto no conmutativo, construimos un sistema Φ = {ϕn : n ≥ 1} de funciones definidas en G con valores complejos que tienen espectros disjuntos dos a dos y cuyos m´odulos se aproximan a |f0 | en la norma uniforme a medida que n tiende a infinito. El enunciado preciso del resultado es como sigue. Teorema 4 Sea G un grupo compacto e infinito dotado de una medida de Haar µ normalizada por µ(G) = 1. Sea ε1 , ε2 , . . . una sucesi´on de n´ umeros positivos que decrece a cero. Entonces, dada f0 ∈ L2 (G) una funci´on continua, existe una colecci´on {Ωn : n ≥ 1} de subconjuntos medibles de G tales que µ(Ωn ) → 1 cuando n → ∞, as´ı como un sistema Φ = {ϕn : n ≥ 1} de polinomios trigonom´etricos en G que satisfacen: (a) ϕ b1 , ϕ b2 , . . . tienen soportes disjuntos. (b) |ϕn (g)| < |f0 (g)| + εn para todo g ∈ G y todo n ≥ 1. (c) |ϕn (g)| > |f0 (g)| − εn para todo g ∈ Ωn y todo n ≥ 1.

5 Tipo de Fourier ´ optimo de Lp(Ω)

El objetivo es encontrar los exponentes ´optimos de Fourier de los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten respecto de un grupo compacto. Comenzamos por establecer ciertas condiciones necesarias y otras condiciones suficientes para nuestro problema. Despu´es, dados 1 ≤ p < q ≤ 2 y un grupo de Lie compacto y semisimple G, nos ocupamos de estudiar el crecimiento de la constante Cq1 (`p (n), G) a medida que n tiende a infinito. Este an´alisis nos proporciona el tipo de Fourier o´ptimo de los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten para los exponentes 0 1 ≤ p ≤ 2. Por otro lado, el orden de crecimiento de Cq1 (`p (n), G) es hasta el momento desconocido. Concluiremos con algunas observaciones que apuntan a la resoluci´on de este problema abierto, que es a su vez una forma de hallar los exponentes ´optimos de Fourier de los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten para los exponentes 2 ≤ p0 ≤ ∞.

5.1 Planteamiento del problema Como ya hemos observado anteriormente, dados un espacio de operadores y un grupo topol´ogico compacto, el tipo y cotipo de Fourier se hace m´as restrictivo en dicho par a medida que los exponentes se acercan a 2. La siguiente definici´on pone de manifiesto esta propiedad. Definici´ on 5.1 Sea G un grupo topol´ogico compacto. Entonces, dado un espacio de operadores E, los exponentes ´ optimos de Fourier de E respecto de G se definen como Ft(E, G) = sup p ≤ 2 : Cp1 (E, G) < ∞ Fc(E, G) = ´ınf p0 ≥ 2 : Cp20 (E, G) < ∞ . 91

92

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Si se alcanza el supremo o el ´ınfimo dados, diremos que E tiene tipo de Fourier ´ optimo Ft(E, G) o cotipo de Fourier ´ optimo Fc(E, G) respectivamente. El problema en el que estamos interesados es en encontrar los exponentes o´ptimos de Fourier de los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten. Observaci´ on 5.2 Es claro que los candidatos naturales para ser los exponentes o´ptimos de Fourier son m´ın(p, p0 ) y m´ax(p, p0 ) respectivamente. Adem´as, en vista de los Teoremas 4.27 y 4.30, los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten tendr´ıan en ese caso tipo y cotipo de Fourier o´ptimo. Por u ´ltimo, debido al Teorema 4.17, basta con encontrar el tipo de Fourier ´optimo de tales espacios pues el cotipo de Fourier o´ptimo se obtiene por dualidad. Por consiguiente, dados 1 ≤ p < q ≤ 2, la idea central es encontrar condiciones en el grupo G, en el espacio de medida (Ω, M, ν) y en el espacio de Hilbert H bajo las cuales se tenga p , G) = ∞ (P1 ) Cq1 (Lp (Ω), G) = Cq1 (SH p0 1 p0 1 (P2 ) Cq (L (Ω), G) = Cq (SH , G) = ∞.

5.1.1 Condiciones necesarias. La primera condici´on necesaria tiene que ver con los grupos con los que trabajamos. A saber, ser´a necesario excluir a los grupos finitos. Esto se debe a que, como vemos a continuaci´on, todo espacio de operadores tiene tipo y cotipo de Fourier 2 respecto de cualquier grupo finito. En todo caso, nosotros damos adem´as una estimaci´on de las constantes de tipo y cotipo de Fourier en funci´on del cardinal del grupo. Proposici´ on 5.3 Sea G un grupo finito. Entonces, dado 1 ≤ p ≤ 2, todo espacio de operadores E satisface las desigualdades 0

Cp1 (E, G), Cp20 (E, G) ≤ |G|1/p . Demostraci´ on. Supongamos que se tiene C21 (E, G) ≤ |G|1/2 para todo espacio de operadores E, entonces C22 (E, G) = C21 (E ? , G) ≤ |G|1/2 por dualidad. Adem´as, 2 puesto que C11 (E, G) = C∞ (E, G) = 1, las estimaciones deseadas se obtienen por interpolaci´on compleja. Por tanto, nos concentramos en probar la desigualdad C21 (E, G) ≤ |G|1/2 . Para ello basta con comprobar que, para toda familia de funciones fij : G → E con 1 ≤ i, j ≤ n y todo n ≥ 1, se tiene que

X 2 1/2

b

1/2 dπ fij (π) 2 ≤ |G| fij 2 2 b π∈G

Sdπ n (E)

Sn (LE (G)).

5.

Tipo de Fourier ´ optimo de Lp (Ω)

93

Ahora bien, dados α ∈ Snp y e ∈ E, se tiene que kα ⊗ ekSnp (E) ≤ kαkSnp kekE . Esto es consecuencia del m´etodo de interpolaci´on compleja, ya que en los casos p = 1 y p = ∞ se tiene una igualdad porque trabajamos con las normas tensoriales proyectiva y minimal respectivamente. Por otro lado, si enumeramos los elementos de G como g1 , g2 , . . . gm , obtenemos

b

fij (π)

Sd2π n (E)

m

1 X

? = fij (gk ) π(gk ) 2 m k=1 Sdπ n (E) m

1 X

≤ kπ(gk )? kSd2 fij (gk ) 2 (E) π m k=1 Sn

≤ dπ1/2 fij 2 2 Sn (LE (G)).

Al principio combinamos la desigualdad triangular con el resultado mencionado en el p´arrafo anterior con p = 2. En segundo t´ermino aplicamos la desigualdad de H¨older. En conjunto, obtenemos la estimaci´on sX

b d2π fij .

fij 2 2 b ≤ 2 2 Sn (LE (G))

Ahora bien, como

X

Sn (LE (G))

b π∈G

d2π = |G| por el teorema de Peter-Weyl, se concluye.

2

b π∈G

La segunda condici´on necesaria nos impide trabajar con espacios de medida (Ω, M, ν) que sean una uni´on finita de ν-´atomos. Proposici´ on 5.4 Supongamos que el espacio de medida (Ω, M, ν) es una uni´on finita de ν-´atomos. Entonces, dados 1 ≤ p < q ≤ 2, se tiene que todo grupo compacto satisface Cq1 (Lp (Ω), G) ≤ ν(Ω)1/p−1/q

y

0

0

0

Cq1 (Lp (Ω), G) ≤ ν(Ω)1/q −1/p .

Puesto que 1/p−1/q = 1/q 0 −1/p0 , obtenemos la misma cota para ambas constantes. Demostraci´ on. Aplicando los Teoremas 4.20 y 4.27, obtenemos las estimaciones 0 0 0 1 p Cq (L (Ω), G) ≤ dcb (Lp (Ω), Lq (Ω)) y Cq1 (Lp (Ω), G) ≤ dcb (Lp (Ω), Lq (Ω)). Por otro lado es sencillo comprobar que, para 1 ≤ p1 < p2 ≤ ∞ y un espacio de medida como (Ω, M, ν), se tiene que dcb (Lp1 (Ω), Lp2 (Ω)) ≤ ν(Ω)1/p1 −1/p2 . 2 En otras palabras, no permitimos los espacios de Lebesgue finito-dimensionales. Puesto que la distancia cb entre dos clases de Schatten finito-dimensionales de la

94

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

misma dimensi´on es tambi´en finita, los argumentos utilizados en la Proposici´on 5.4 son igualmente v´alidos para descartar de nuestro estudio a las clases de Schatten de dimensi´on finita. 5.1.2 Condiciones suficientes. Debido a las condiciones necesarias impuestas, trabajaremos en lo que sigue con grupos compactos infinitos y con espacios de Lebesgue y clases de Schatten de dimensi´on infinita. Puesto que el espacio de medida (Ω, M, ν) ya no es una uni´on finita de ν-´atomos, deducimos que los espacios `p (n) se incluyen isom´etricamente en Lp (Ω) para todo n ≥ 1 y todo 1 ≤ p ≤ ∞. De forma similar, si observamos que el subespacio de las matrices diagonales de Snp es completamente isom´etrico a `p (n), lo mismo se puede decir de las clases de p Schatten SH con H un espacio de Hilbert infinito-dimensional. Adem´as, como ya se prob´o en la Proposici´on 4.14, las constantes de tipo y cotipo de Fourier de los subespacios de un espacio de operadores dado est´an acotadas superiormente por las respectivas constantes del espacio de operadores original. De manera que, bajo las hip´otesis impuestas hasta el momento y dados 1 ≤ p < q ≤ 2, para resolver los problemas P1 y P2 es suficiente con demostrar l´ım Cq1 (`p (n), G) = ∞

n→∞

y

0

l´ım Cq1 (`p (n), G) = ∞.

n→∞

As´ı que, de ahora en adelante, nos centraremos en el orden de crecimiento de las 0 constantes Cq1 (`p (n), G) y Cq1 (`p (n), G). Argumentando como en la Proposici´on 5.4, obtenemos una cota superior para dichas constantes 0

Cq1 (`p (n), G), Cq1 (`p (n), G) ≤ n1/p−1/q . 5.1.3 Espacios de Bochner-Lebesgue. En este apartado s´olo pretendemos convencer al lector de que, para estudiar el tipo y cotipo de Fourier o´ptimos de los espacios de Bochner-Lebesgue y de las clases de Schatten vectoriales, basta con aplicar las mismas t´ecnicas utilizadas hasta ahora. A saber, la Proposici´on 4.14 nos proporciona las siguientes estimaciones. Cq1 (LpE (Ω), G) ≥ Cq1 (Lp (Ω), G) Cq20 (LpE (Ω), G) ≥ Cq20 (Lp (Ω), G)

Cq1 (LpE (Ω), G) ≥ Cq1 (E, G) Cq20 (LpE (Ω), G) ≥ Cq20 (E, G)

con las modificaciones obvias para las clases de Schatten. Por tanto, los exponentes o´ptimos de Fourier se obtienen calculando por separado los exponentes o´ptimos de Fourier del espacio de operadores donde tomamos valores y de los espacios de Lebesgue o las clases de Schatten que aparezcan. En particular, las condiciones

5.

Tipo de Fourier ´ optimo de Lp (Ω)

95

suficientes enunciadas antes siguen siendo vigentes en este contexto. De manera que nos concentramos a partir de ahora en el orden de crecimiento de las constantes 0 Cq1 (`p (n), G) y Cq1 (`p (n), G).

5.2 Crecimiento de Cq1 (`p (n), G) Trabajamos en lo que sigue con grupos de Lie compactos y semisimples. Esta condici´on en el grupo es esencial en los argumentos que vamos a utilizar. En todo caso, de momento, la u ´nica propiedad de tales grupos que necesitamos es la existencia de un toro maximal T en G. El siguiente resultado resuelve en particular el problema P1 cuando trabajamos con grupos de Lie compactos y semisimples. Teorema 5.5 Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple. Entonces, dados 1 ≤ p < q ≤ 2, existe una constante 0 < K(G, q) ≤ 1 independiente de n tal que K(G, q) n1/p−1/q ≤ Cq1 (`p (n), G) ≤ n1/p−1/q . La cota superior ya se puso de manifiesto en la Secci´on 5.1 para todo grupo topol´ogico compacto. N´otese por tanto que el orden de crecimiento de Cq1 (`p (n), G) es o´ptimo para grupos de Lie compactos y semisimples. Puesto que existe un toro maximal T, podemos considerar una familia numerable g1 , g2 , . . . de elementos de G que conmutan dos a dos. Simplemente hay que escoger dichos elementos en T. Para todo n ≥ 1, tomamos un entorno Un del elemento neutro 1 de G tal que gj−1 Un ∩ gk−1 Un = Ø

para 1 ≤ j, k ≤ n y j 6= k.

Observamos que siempre podemos considerar una funci´on central fn ∈ Lq (G) soportada en Un . Por ejemplo, t´omese Un invariante por conjugaciones –v´ease el Lema (5,24) del texto de Folland [23]– y fn = 1Un la funci´on caracter´ıstica de Un . De manera que fn ser´a una funci´on central en Lq (G) soportada en Un , a ser fijada m´as tarde. Entonces definimos la funci´on Φn : G → Cn por Φn (g) = (fn (g1 g), fn (g2 g), . . . fn (gn g)). Obviamente se tiene que Cq1 (`p (n), G)

≥

b n k q0 kΦ L

(G) `p (n) b

kΦn kLq`p (n) (G)

.

El siguiente lema es necesario para concluir nuestra demostraci´on.

96

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Lema 5.6 Sea π una representaci´on unitaria de G. Consideramos, para cada n ≥ 1, el vector con valores matriciales Aπ,n = (π(g1 ), π(g2 ), . . . π(gn )). Entonces, dados 1 ≤ p1 , p2 ≤ ∞, se tiene que kAπ,n kSdp2 (`p1 (n)) = kAπ,n k`p1p

S 2 dπ

π

(n)

2 . = n1/p1 d1/p π

Demostraci´ on. Puesto que g1 , g2 , . . . gn conmutan dos a dos, lo mismo ocurre con los operadores π(g1 ), π(g2 ), . . . π(gn ). Esto nos permite aplicar el Lema C.3, dado en el Ap´endice C, para asegurar que existe una base de Cdπ formada por autovectores comunes de π(g1 ), π(g2 ) . . . π(gn ). Por tanto, las matrices de estos operadores respecto de ese base son diagonales   k θ1   .. π(gk ) =  . . θdkπ

Adem´as, |θjk | = 1 para 1 ≤ j ≤ dπ debido a la unitaridad de π(gk ). De modo que, aplicando el u ´ltimo apartado del Teorema 2.8 que nos proporciona una isometr´ıa completa entre `pE2 (dπ ) y el subespacio de matrices diagonales Sdpπ2 (E), obtenemos f´acilmente el resultado deseado. Esto concluye la prueba. 2 b n k q0 El valor de kΦ L

`p (n)

b (G)

1 fbn (π) = dπ

. Puesto que fn es central, podemos escribir Z

fn (g)χπ (g) dµ(g) 1dπ = γπ,n 1dπ

G

donde χπ denota el car´acter irreducible asociado a π y escribimos 1m para la matriz identidad de orden m × m. Efectivamente, dada una representaci´on irreducible π : G → U (Vπ ), se tiene que fbn (π) conmuta con la representaci´on π debido a que fn es funci´on de clase. Pero el lema de Schur, enunciado en el Ap´endice B, nos asegura que EndG (Vπ ) s´olo contiene m´ ultiplos escalares de la identidad. Por otro lado, fn (gk ·) es la traslaci´on por gk de la funci´on fn , as´ı que Z 1 b Φn (π) = fn (g)χπ (g)dµ(g) (π(g1 ), π(g2 ), . . . π(gn )) = γπ,n Aπ,n . dπ G Por u ´ltimo, el Lema 5.6 nos proporciona la siguiente relaci´on X 1/q0 q0 q0 b n k q0 b = kΦ d |γ | kA k = n1/p kfbn kLq0 (G). 0 b π π,n π,n q p L (G) `p (n)

b π∈G

Sdπ (` (n))

5.

Tipo de Fourier ´ optimo de Lp (Ω)

97

El valor de kΦn kLp`p (n) (G) . Tenemos kΦn kLq`p (n) (G) = =

n Z hX

|fn (gk g)|p

iq/p

dµ(g)

1/q

G k=1 n XZ

1/q |fn (gk g)|q dµ(g) = n1/q kfn kLq (G)

k=1

G

puesto que el soporte de fn (gk ·) es el entorno gk−1 Un y, por hip´otesis, dichos entornos son disjuntos dos a dos. En resumen, hemos obtenido que Cq1 (`p (n), G) ≥ K(G, q, n) n1/p−1/q donde la constante K(G, q, n) tiene la forma K(G, q, n) =

kfbn kLq0 (G) b kfn kLq (G)

.

Si definimos K(G, q) = ´ınf n≥1 K(G, q, n), es obvio que K(G, q) ≤ 1 debido a la desigualdad de Hausdorff-Young para grupos compactos. En consecuencia, s´olo queda probar que K(G, q) > 0. Pero, puesto que todav´ıa no hemos fijado fn , lo que necesitamos demostrar es la desigualdad ( ) kfbkLq0 (G) b ´ınf sup : f central, f ∈ Lq (G), sop(f ) ⊂ Un > 0. n≥1 kf kLq (G) Como ya se indic´o en la Introducci´on, esto constituye una variante local de la desigualdad de Hausdorff-Young para funciones centrales con soporte peque˜ no y daremos la prueba de este resultado, para grupos de Lie compactos y semisimples, en el Cap´ıtulo 6. Es precisamente esa la parte m´as complicada de la prueba del Teorema 5.5 y en la que aparece de forma m´as evidente la necesidad de trabajar con grupos de Lie compactos y semisimples.

5.3 Un problema abierto En la Introducci´on a esta Parte III se˜ nal´abamos que el orden de crecimiento de 1 p0 la constante Cq (` (n), G) constituye un problema abierto. Sabemos tambi´en que dicha constante est´a acotada superiormente por n1/p−1/q . Es natural por tanto, al igual que conjeturamos en el Problema 1 de la Introducci´on, preguntarse si el

98

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

orden de crecimiento est´a marcado precisamente por esa potencia de n. En esta secci´on ofrecemos una serie de argumentos que, si bien no resuelven el problema, constituyen una discusi´on que puede ser u ´til para su posterior resoluci´on. 5.3.1 Argumentos duales. Si nos fijamos en la prueba del Teorema 5.5, la idea es encontrar un optimizador Φn = (ϕ1 , ϕ2 , . . . ϕn ), tal que Cq1 (`p (n), G)

≥

b n k q0 kΦ L

`p (n)

b (G)

kΦn kLq`p (n) (G)

≥ K(G, q) n1/p−1/q .

Nuestras funciones ϕ1 , ϕ2 , . . . ϕn satisfacen dos condiciones cruciales, a saber 0

b (C1 ) La norma de ϕ bk (π) en Sdqπ no depende de k para todo π ∈ G. (C2 ) ϕ1 , ϕ2 , . . . ϕn tienen soportes disjuntos dos a dos en G. Nuestro argumento consiste en comparar la norma de Φn con n1/q y la norma de su transformada de Fourier con n1/p . A este fin, las condiciones C1 y C2 son esenciales puesto que simplifican considerablemente las complicadas expresiones originales de tales normas. Ahora bien, como ya se justific´o en la Introducci´on, el 0 orden de crecimiento de Cq1 (`p (n), G) se puede considerar como el problema dual. 0 Por tanto, si reemplazamos `p (n) por `p (n) en la desigualdad anterior, deber´ıamos 0 0 comparar las normas de Φn y su transformada de Fourier con n1/p y n1/q respectivamente. N´otese que 1/p − 1/q = 1/q 0 − 1/p0 . Pero, con objeto nuevamente de simplificar las expresiones originales de las normas que aparecen, necesitamos exigir a ϕ1 , ϕ2 , . . . ϕn las condiciones duales de C1 y C2 . b 1 ) El valor absoluto de |ϕk (g)| no depende de k para casi todo g ∈ G. (C b 2) ϕ b (C b1 , ϕ b2 , . . . ϕ bn tienen soportes disjuntos dos a dos en G. b1 y C b 2 son compatibles. No Observaci´ on 5.7 No sabemos si las condiciones C obstante, dada f0 ∈ L2 (G) una funci´on continua y una sucesi´on ε1 , ε2 , . . . de n´ umeros positivos que decrece a cero, se puede comprobar que existe un sistema Φ = {ϕn : n ≥ 1} de polinomios trigonom´etricos en G que satisfacen: (a) ϕ b1 , ϕ b2 , . . . tienen soportes disjuntos. (b) Se tiene |ϕn | < |f0 | + εn en todo G. (c) Se tiene |ϕn | > |f0 | − εn fuera de Ωn , donde µ(Ωn ) → 0 cuando n → ∞.

5.

Tipo de Fourier ´ optimo de Lp (Ω)

99

En la u ´ltima secci´on del Cap´ıtulo 6 demostraremos este resultado. Los sistemas casi-unimodulares construidos en la Observaci´on 5.7 emulan a b1 y C b 2 lo suficiente para nuestros prop´ositos. A saber, puesto las condiciones C que las funciones ϕ b1 , ϕ b2 , . . . , ϕ bn tienen espectros Γ1 , Γ2 , . . . Γn disjuntos dos a dos, podemos escribir b n k q0 kΦ L

0 `p (n)

b (G)

=

n X X

dπ kϕ bk (π)k

k=1 π∈Γk

1/q0

q0 0

Sdqπ

=n

1/q 0

n 1 X

n

0 kϕ bk kqLq0 (G) b

1/q0

.

k=1

Por otro lado, la desigualdad |ϕn | . |f0 | obtenida en la Observaci´on 5.7, nos proporciona n Z hX i 0 1/q 0 q/p 0 kΦn kLq 0 (G) = |ϕk (g)|p dµ(g) . n1/p kf0 kLq (G) `p (n)

G

k=1

para todo 1 ≤ k ≤ n. Ahora bien, de las condiciones (b) y (c) de la Observaci´on 5.7 deducimos que kϕk kLq (G) ≈ kf0 kLq (G) para 1 ≤ k ≤ n. Recapitulando, hemos obtenido la desigualdad 0

Cq1 (`p (n), G) & K0 (G, q, n) n1/p−1/q , donde K0 (G, q, n) tiene la forma " #q0 1/q0 n X 0 k ϕ b k q b k 1 L (G)  K0 (G, q, n) =  n k=1 kϕk kLq (G) 

.

De modo que, si definimos K0 (G, q) = ´ınf n≥1 K0 (G, q, n), s´olo nos queda ver que K0 (G, q) > 0. De momento no sabemos si esta desigualdad es cierta, ni siquiera para los grupos de Lie compactos y semisimples. 5.3.2 Caracteres irreducibles. En el apartado anterior hemos utilizado las mismas ideas que las utilizadas en la prueba del Teorema 5.5. Otra posible fuente de ideas consiste en observar lo que ocurre en los grupos compactos y abelianos. En ese caso, tomando una colecci´on ϕ1 , ϕ2 , . . . ϕn de n caracteres distintos del grupo, se obtiene f´acilmente la relaci´on 0

Cq1 (`p (n), G) = n1/p−1/q . Esta observaci´on provoca que estudiemos lo que ocurre cuando consideramos los caracteres irreducibles de un grupo de Lie compacto y semisimple. Sea χλ el car´acter

100

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

de la representaci´on irreducible πλ asociada al peso dominante λ. Entonces si dλ denota el grado de πλ , consideramos la funci´on Φn (g) = (dτλ1 χλ1 (g), dτλ2 χλ2 (g), . . . dτλn χλn (g)), donde λ1 , λ2 , . . . λn son pesos dominantes distintos y τ = 1 − 2/q 0 . La elecci´on del exponente τ es natural, el lector puede comprobarlo sin m´as que ojear por encima la prueba de la desigualdad local de Hausdorff-Young dada en el Cap´ıtulo 6 de esta Memoria. En tal caso tenemos b n k q0 kΦ L

0 `p (n)

b (G)

=

n X k=1

0

dλk kdτλk χ bλk (πλk )kq q0 Sd

1/q0

0

= n1/q .

λk

Por otro lado, puesto que Φn es funci´on de clase, podemos aplicar la f´ormula de integraci´on de Weyl dada en el Ap´endice C, para calcular su norma. Si adem´as utilizamos la f´ormula de caracteres de Weyl, el resultado es n q/p0 1/q 1 Z X τ p0 p0 q |dλ Aδ | |Aλk +δ (t)| dm(t) . kΦn kL 0 (G) = `p (n) |WG | T k=1 k De manera que, si supi´esemos demostrar que la expresi´on obtenida est´a acotada 0 superiormente por un m´ ultiplo constante de n1/p , habr´ıamos obtenido el resultado deseado. Desafortunadamente esto no ocurre y este enfoque no nos proporciona 0 el crecimiento o´ptimo de Cq1 (`p (n), G). El contraejemplo se localiza en SU (2), el grupo de Lie compacto y semisimple m´as sencillo de todos. Aunque no vamos a dar aqu´ı los detalles se puede comprobar que, utilizando la expresi´on obtenida, se tiene que existe una constante Kp,q > 0 independiente de n y tal que Z 1/q 1 q kΦn (g)k`p0 (n) dµ(g) ≥ Kp,q nτ . 0 1/p n SU (2) Observaci´ on 5.8 Si intentamos averiguar el motivo por el cual nuestros intentos de obtener el crecimiento ´optimo han fallado hasta ahora, es preciso volver a ojear la prueba del Teorema 5.5. La raz´on se basa en que, no s´olo exig´ıamos a las funciones ϕ1 , ϕ2 , . . . ϕn satisfacer las condiciones C1 y C2 , tambi´en impon´ıamos que dichas funciones fuesen traslaciones de una misma funci´on. Esta condici´on era esencial en la demostraci´on y aqu´ı el obst´aculo reside en el hecho de que no podemos tomar traslaciones, pues el objeto dual no tiene una estructura de grupo. Esta es la principal diferencia con el caso abeliano donde, como el objeto dual es un grupo, la acci´on de multiplicar por un car´acter se convierte en una traslaci´on al otro lado de la transformada de Fourier.

5.

Tipo de Fourier ´ optimo de Lp (Ω)

101

5.3.3 Sistema de Rademacher cuantizado. Sean (Ω, M, µ) un espacio de probabilidad, Σ un conjunto de ´ındices y dΣ = {dσ : σ ∈ Σ} una familia de enteros positivos. Entonces, definimos el sistema de Rademacher cuantizado de par´ametros (Σ, dΣ ) como una colecci´on R = {ρσ : Ω → O(dσ )}σ∈Σ de matrices aleatorias ortogonales e independientes donde, cada matriz aleatoria ρσ , est´a uniformemente distribuida en el grupo ortogonal O(dσ ). Observaci´ on 5.9 N´otese que si tomamos Ω = [0, 1] con la medida de Lebesgue, Σ = N y dσ = 1 para todo σ ∈ Σ, entonces obtenemos un sistema ortonormal con las mismas propiedades que el sistema cl´asico de Rademacher. En la Parte IV de esta Memoria definimos los sistemas ortonormales cuantizados, que constituyen una generalizaci´on de los sistemas ortonormales cl´asicos y de los que el sistema de Rademacher cuantizado es uno de los ejemplos m´as destacados. Esto nos permite establecer el contexto adecuado para desarrollar una teor´ıa general de tipo y cotipo para espacios de operadores. Por otro lado, todo grupo compacto G con su medida de Haar normalizada es un espacio de probabilidad. Adem´as, podemos entender a su objeto dual como un conjunto de ´ındices y a los grados de las representaciones irreducibles del grupo b Esto nos permite construir como una familia de enteros positivos indexada por G. b d b ). En el Cap´ıtulo el sistema de Rademacher cuantizado RG de par´ametros (G, G 7 definimos las nociones de RG -tipo y RG -cotipo de un espacio de operadores. La siguiente afirmaci´on es consecuencia de un resultado probado en dicho cap´ıtulo. (†) Dado 1 ≤ q ≤ 2 y un grupo compacto G, se tiene que todo espacio de operadores con tipo de Fourier q respecto de G tiene RG -cotipo q 0 . Aunque no vamos a profundizar en los detalles, se comprueba que la propiedad † nos permite trabajar con el sistema cuantizado de Rademacher con el que se pueden emplear t´ecnicas distintas de las utilizadas hasta ahora para estudiar el 0 crecimiento de Cq1 (`p (n), G). Como veremos m´as adelante, tambi´en en este nuevo contexto aparecen dificultades. Me refiero al hecho de que los isomorfismos entre espacios de Banach, proporcionados por las desigualdades de Khintchine, no son isomorfismos completos entre espacios de operadores. En la Parte IV y tambi´en en la Parte V de esta Memoria justificaremos estas afirmaciones con mayor rigor.

102

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores 0

Observaci´ on 5.10 El orden de crecimiento de la constante Cq1 (`p (n), G) es o´ptimo cuando trabajamos con grupos compactos que tienen infinitas respresentaciones irreducibles de grado 1. El argumento a seguir es el mismo que hemos utilizado para los grupos compactos y abelianos. De hecho, lo mismo ocurre cuando el grupo compacto tratado tiene infinitas representaciones del mismo grado d0 , pues en ese caso podemos utilizar la estimaci´on obvia |χπ (g)| ≤ d0 , valida para todo g ∈ G y toda representaci´on irreducible π de grado d0 . Los grupos unitarios U (n) son los ejemplos no conmutativos m´as sencillos de este caso degenerado. Tampoco es 0 0 complicado demostrar que C21 (`p (n), G) = n1/2−1/p para todo grupo compacto. Es una consecuencia sencilla del teorema de Plancherel para grupos compactos.

6 Desigualdad local de Hausdorff-Young

Dada una funci´on central f : G → C, definida en un grupo de Lie compacto y semisimple, comenzamos con una expresi´on de sus coeficientes de Fourier en t´erminos de la transformada de Fourier sobre el toro maximal T. En la prueba combinamos la f´ormula de integraci´on y de caracteres de Weyl. Despu´es, la f´ormula 0 b utilizando de dimensi´on de Weyl nos permite expresar la norma de fb en Lq (G) u ´nicamente elementos del a´lgebra de Cartan. Asumimos inicialmente que nuestros grupos son simplemente conexos y despu´es probamos el caso general. Del uso de una integral fraccionaria y algunas estimaciones se obtiene la desigualdad local de Hausdorff-Young para grupos de Lie compactos y semisimples. Acto seguido discutimos el valor exacto de la constante K(G, q), aportando algunas ideas que pueden ser u ´tiles para la resoluci´on de este problema abierto. Por u ´ltimo, damos una construcci´on de los sistemas casi-unimodulares con espectros disjuntos sobre grupos topol´ogicos compactos, que ya han sido utilizados en el cap´ıtulo anterior de esta Memoria.

6.1 Coeficientes de Fourier de funciones centrales Aplicando ciertos resultados sobre la estructura y las representaciones de los grupos de Lie compactos y semisimples, daremos en esta secci´on una expresi´on sencilla de los coeficientes de Fourier de las funciones centrales definidas en tales grupos. La teor´ıa de representaciones de esta familia de grupos se desarrolla por ejemplo en el texto de Barry Simon [82] o, desde un enfoque m´as algebraico, en el texto de Fulton y Harris [24]. No obstante, el lector puede encontrar en el Ap´endice C de esta Memoria un resumen condensado y adecuado a nuestros prop´ositos. Aqu´ı simplemente fijamos la notaci´on.

103

104

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Dado un grupo de Lie compacto y semisimple G, denotaremos por g a su ´algebra de Lie. En lo que sigue, elegimos de una vez y para siempre un toro maximal T en G y escribimos h para referirnos a su ´algebra de Lie. Es decir, h es la sub´algebra de Cartan de g. La letra r se utilizar´a para el rango del grupo, en particular se tiene que T ' Tr donde T = R/Z con su estructura de grupo natural. Tambi´en, como de costumbre, consideramos la complexificaci´on gC = g ⊕ ig –con conjugados complejos tomados de manera que se tiene gR = ig y de forma similar hR = ih– con el producto interior h , i inducido por la forma de Killing. Recordamos aqu´ı que el grupo de Weyl WG , asociado a nuestro grupo, se puede interpretar como un conjunto de matrices unitarias W de orden r × r –isometr´ıas en hR – con entradas en Z y tales que det W = ±1. En particular, el conjunto WG? = {W t : W ∈ WG } se puede ver como un conjunto de isometr´ıas en h?R . La letra R designar´a el conjunto de ra´ıces mientras que, si tomamos H0 ∈ hR tal que α(H0 ) 6= 0 para toda ra´ız α, la letra R+ = {α ∈ R : α(H0 ) > 0} denota el conjunto de ra´ıces positivas. Finalmente escribiremos ΛW y ΛDW para el ret´ıculo de pesos y el conjunto de pesos dominantes respectivamente. Una vez fijada la notaci´on, consideramos una funci´on central f : G → C y un peso dominante λ ∈ ΛDW . Por el teorema del peso dominante, sabemos que b asociada a λ. Puesto que f es existe una u ´nica representaci´on irreducible πλ ∈ G central, sabemos que fb(πλ ) conmuta con πλ . Ahora bien, la irreducibilidad de πλ y el lema de Schur nos permiten asegurar que fb(πλ ) es un m´ ultiplo del operador identidad en el espacio de representaci´on de πλ . Tomando trazas, podemos ajustar las constantes y escribir Z 1 b f (πλ ) = f (g)χλ (g) dµ(g) 1dλ dλ G donde dλ es el grado de πλ , χλ es el car´acter irreducible asociado a πλ y 1m denota la matriz identidad de orden m × m. Recordamos ahora la definici´on de las funciones Aβ que aparecen en la f´ormula de caracteres de Weyl. Dado β ∈ h?R , definimos las funciones expβ : hR → C y Aβ : hR → C como sigue expβ (H) = exp(2πihβ, Hi) X Aβ (H) = det W expβ W (H) . W ∈WG

El toro maximal T es isomorfo, v´ıa la aplicaci´on exponencial, al espacio cociente hR /LW , donde LW es el ret´ıculo formado por aquellos H ∈ hR que satisfacen exp(2πiH) = 1. Es decir, LW es el ret´ıculo dual de ΛW . Por lo tanto, las funciones expβ y Aβ estar´an bien definidas en T si y s´olo si β ∈ ΛW . Como es bien sabido,

6.

105

Desigualdad local de Hausdorff-Young

la forma integral δ=

1 X α 2 + α∈R

no es necesariamente un peso, de modo que las funciones expδ y Aδ podr´ıan no estar bien definidas en T. Para evitar esta dificultad, asumimos por el momento que G es simplemente conexo. Esta condici´on asegura que δ ∈ ΛW . Por tanto, aplicando consecutivamente la f´ormula de integraci´on de Weyl y la f´ormula de caracteres de Weyl, obtenemos Z 1 b f (πλ ) = f (t)χλ (t) |Aδ (t)|2 dm(t) 1dλ dλ |WG | T Z 1 f (t)Aδ (t) Aλ+δ (t) dm(t) 1dλ = dλ |WG | T donde m denota la medida de Haar en T normalizada por la condici´on m(T) = 1. Si escribimos Aλ+δ como una combinaci´on lineal de exponenciales, se tiene que Z X 1 b f (πλ ) = det W f (t)Aδ (t) exp−(λ+δ) (W (t)) dm(t) 1dλ . dλ |WG | W ∈W T G

Ahora bien, puesto que f es central, sabemos que su restricci´on al toro maximal T es invariante por las acciones del grupo de Weyl. Es decir, dados t ∈ T y W ∈ WG , se tiene que f (W (t)) = f (t). Por otro lado, la relaci´on Aδ (W (t)) = det W Aδ (t) es evidente. En resumen, la siguiente expresi´on se deduce haciendo el cambio de variable t 7→ W −1 (t) en la expresi´on anterior Z 1 b f (πλ ) = f (t)Aδ (t) exp−(λ+δ) (t) dm(t) 1dλ . dλ T Recordamos que, tomando coordenadas respecto de la base {ω1 , ω2 , . . . ωr } de pesos fundamentales, cada peso λ ∈ ΛW tiene coordenadas enteras. Por consiguiente, podemos interpretar la u ´ltima expresi´on obtenida como la transformada de Fourier de f Aδ en el toro maximal T evaluada en λ + δ. Es decir, dada f : G → C una funci´on central definida en un grupo de Lie compacto, semisimple y simplemente conexo, tenemos que 1 fb(πλ ) = FT (f Aδ )(λ + δ) 1dλ . dλ Cuando el grupo G no es simplemente conexo necesitamos ser un poco m´as cuidadosos. Aunque en este caso no podemos asegurar que δ ∈ ΛW , lo que si se cumple es que W t (δ) ± δ ∈ ΛW para todo W ∈ WG .

106

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Lema 6.1 Se tiene que W t (δ) ± δ ∈ ΛW , para todo W ∈ WG . Demostraci´ on. Por la forma de δ, sabemos que 2δ ∈ ΛR ⊂ ΛW donde ΛR denota el ret´ıculo de ra´ıces. De manera que, si vemos que W t δ −δ ∈ ΛW se tendr´a tambi´en que W t δ + δ ∈ ΛW . Pero WG? est´a generado por las reflexiones {Sα : α ∈ R+ } respecto de los hiperplanos Pα ortogonales a α. As´ı que podemos escribir W t δ − δ = Sα1 Sα2 · · · Sαn δ − δ. Por otro lado, dada α ∈ R+ , se tiene que Sα δ = δ − α por el Lema IX.2.6 del texto de Simon [82]. Entonces, puesto que Sα deja fijo al conjunto de ra´ıces R, obtenemos W t δ = δ − γ para cierto γ ∈ ΛR ⊂ ΛW . Esto concluye la prueba. 2 En particular, dado un peso dominante λ ∈ ΛDW , podemos utilizar el resultado obtenido en el Lema 6.1 para asegurar que la funci´on exp±δ Aλ+δ =

X

det W expW t (λ+δ)±δ

W ∈WG

est´a bien definida en T. Esta observaci´on nos permite descomponer χλ |Aδ |2 = (expδ Aλ+δ ) (exp−δ Aδ ) como producto de dos funciones bien definidas en T. De este modo, aplicando de nuevo el lema de Schur, la f´ormula de integraci´on de Weyl y la f´ormula de caracteres de Weyl, obtenemos Z X 1 b f (πλ ) = det W f (t)(exp−δ Aδ )(t) expδ−W t (λ+δ) (t) dm(t) 1dλ dλ |WG | W ∈W T G Z 1 = f (t)(exp−δ Aδ )(t) exp−λ (t) dm(t) 1dλ dλ T donde utilizamos otra vez el cambio de variable t 7→ W −1 (t). Es decir, hemos comprobado que 1 fb(πλ ) = FT (f Bδ )(λ) 1dλ dλ donde Bδ = exp−δ Aδ . Esta expresi´on es ahora v´alida para todo grupo de Lie compacto y semisimple y generaliza la expresi´on anterior. En definitiva, hemos probado el siguiente resultado.

6.

Desigualdad local de Hausdorff-Young

107

Teorema 6.2 Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple. Denotemos por T a su toro maximal, por πλ a la representaci´on unitaria e irreducible de G asociada al peso dominante λ y por dλ al grado de πλ . Entonces, dada una funci´on central e integrable f : G → C, se tiene que Z 1 1 b f (πλ ) = f (t)(exp−δ Aδ )(t) exp−λ (t) dm(t) 1dλ = FT (f Bδ )(λ) 1dλ dλ T dλ donde Bδ = exp−δ Aδ , m denota la medida de Haar normalizada en T y 1dλ es el operador identidad en el espacio de representaci´on de πλ . Adem´as, si el grupo es simplemente conexo, podemos reescribir la expresi´on anterior como sigue Z 1 1 b f (πλ ) = FT (f Aδ )(λ + δ) 1dλ . f (t)Aδ (t) exp−(λ+δ) (t) dm(t) 1dλ = dλ T dλ

6.2 Desigualdad local en grupos semisimples Como ya anticipamos en la Introducci´on, probamos ahora la desigualdad local de Hausdorff-Young para grupos de Lie compactos y semisimples, completando de ese modo la demostraci´on del Teorema 5.5. Teorema 6.3 Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple. Entonces, dado 1 ≤ q ≤ 2, existe una constante positiva K(G, q) tal que, para cualquier abierto U de G, se tiene ( ) kfbkLq0 (G) b sup : f central, f ∈ Lq (G), sop(f ) ⊂ U ≥ K(G, q). kf kLq (G) Puesto que la norma de f en Lq (G) y la de su transformada de Fourier en b no se ven alteradas bajo traslaciones de f , podemos asumir sin p´erdida de L (G) generalidad que U es un entorno del elemento neutro 1. Antes de dar la prueba del Teorema 6.3 necesitamos algunos resultados auxiliares. Supongamos que G es simplemente conexo y sea f : G → C una funci´on central. Una r´apida ojeada a la prueba del Teorema 6.2 nos proporciona la relaci´on q0

1 fb(πλ ) = det W FT (f Aδ )(W t (λ + δ)) 1dλ , dλ

(1)

108

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

v´alida para W ∈ WG . Por otro lado, denotamos por Pα al hiperplano de h?R ortogonal a α respecto del producto interior dado por la forma de Killing. El diagrama de Cartan-Stiefel se define entonces como [

P=

n o Y ? Pα = ξ ∈ hR : hα, ξi = 0 . α∈R+

α∈R

Lema 6.4 Sea G un grupo de Lie compacto, semisimple y simplemente conexo. Entonces se tiene que {W t (λ + δ) : W ∈ WG , λ ∈ ΛDW } = ΛW \ P. Adem´as, la correspondencia (W, λ) ∈ WG × ΛDW 7→ W t (λ + δ) ∈ ΛW \ P es inyectiva.

Demostraci´ on. Puesto que G es simplemente conexo, sabemos que δ ∈ ΛW y que el ret´ıculo de pesos ΛW coincide con el ret´ıculo de formas integrales ΛI . Tomando coordenadas respecto de la base formada por los pesos fundamentales ω1 , ω2 , . . . ωr , sabemos que δ=

r X

ωk

y

k=1

ΛDW =

n nX

o nk ωk : nk ∈ Z, nk ≥ 0 .

k=1

De manera que se tiene que {λ + δ : λ ∈ ΛDW } = ΛW ∩ Cint donde C denota la c´amara de Weyl fundamental y escribimos Cint para referirnos a su interior. Ahora bien, puesto que P y ΛW permanecen fijos bajo la acci´on de WG? y para cada c´amara de Weyl C existe un u ´nico W ∈ WG tal que W t (C) = C, obtenemos la igualdad deseada. Finalmente, la inyectividad se sigue de la unicidad en la relaci´on anterior W t (C) = C. Esto completa la demostraci´on. 2 Con ayuda del Lema 6.4 y de la f´ormula de dimensi´on de Weyl, expresamos en 0 b en t´erminos del ret´ıculo de pesos. el siguiente resultado la norma de fb en Lq (G) Proposici´ on 6.5 Sea f : G → C una funci´on central definida en un grupo de Lie compacto, semisimple y simplemente conexo. Entonces, existe una constante A(G, q) > 0 independiente de f que satisface 1/q0

 X b π∈G

0 dπ kfb(π)kq q0

Sdπ

1/q0

 X = A(G, q)  

λ∈ΛW \P

0 |FT (f Aδ )(λ)|q   Y 0  |hα, λi|q −2

α∈R+

.

6.

109

Desigualdad local de Hausdorff-Young

Demostraci´ on. Puesto que f es central y G es simplemente conexo, podemos aplicar la expresi´on (1) para obtener kfbkLq0 (G) = b

X

0 dλ kfb(πλ )kq q0

1/q0

Sd

λ

λ∈ΛDW

1 X = |WG | W ∈W

G

X λ∈ΛDW

q 0 1 1/q0 0 dλ FT (f Aδ )(W t (λ + δ)) k1dλ kq q0 Sd dλ λ

Si adem´as utilizamos la f´ormula de dimensi´on de Weyl para dλ , se tiene 1/q0



X |FT (f Aδ )(W t (λ + δ))|q0   Y  q 0 −2 |hα, λ + δi| G λ∈ΛDW

X  1 Y 0  kfbkLq0 (G) |hα, δi|q −2 b =  |WG | + W ∈W α∈R

.

α∈R+

Finalmente, observamos que Y Y Y |hα, λ + δi| = |hW (α), λ + δi|1/2 = |hα, W t (λ + δ)i| α∈R+

α∈R+

α∈R

ya que todo W ∈ WG es una permutaci´on del conjunto de ra´ıces R. Por lo tanto, debido al Lema 6.4, podemos escribir 1/q0

 X  1 Y 0  kfbkLq0 (G) |hα, δi|q −2 b =  |WG | +

λ∈ΛW \P

α∈R

0

|FT (f Aδ )(λ)|q   Y q 0 −2  |hα, λi|

.

α∈R+

La prueba se completa tomando A(G, q) =

1 Y 1/q0 0 |hα, δi|q −2 . |WG | +

2

α∈R

Ya estamos en condiciones de probar el Teorema 6.3 para grupos simplemente conexos. Sean H1 , H2 , . . . Hr los elementos que forman la base predual de los pesos fundamentales. Entonces, todo elemento del ret´ıculo LW se puede escribir como una combinaci´on lineal de H1 , H2 , . . . Hr con coeficientes enteros. En particular, como T ' hR /LW , podemos identificar a T con el subconjunto de hR dado por T=

r nX

o xk Hk : −1/2 ≤ xk < 1/2 .

k=1

Por otro lado, fijada una funci´on central y acotada f0 : G → C, podemos ver a f0 como una funci´on en T invariante bajo la acci´on del grupo de Weyl WG . Ahora

110

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

bien, puesto que el grupo de Weyl est´a generado por un conjunto de simetr´ıas en hR , f0 se puede interpretar como una funci´on con valores complejos, definida en hR , soportada en T y sim´etrica bajo dichas reflexiones. Recordemos que denotamos por ω1 , ω2 , . . . ωr a la base de pesos fundamentales. Sea τ = 1 − 2/q 0 , la forma en que hemos interpretado a f0 nos permite definir la funci´on Iτ\ (f0 Aδ ) : h?R −→ C 1 Iτ\ (f0 Aδ )(ξ) = Y FhR (f0 Aδ )(ξ) |hα, ξi|τ

como donde ξ =

r X

ξk ωk .

k=1

α∈R+

Observaci´ on 6.6 La notaci´on empleada est´a motivada por lo que pasa en SU (2), el grupo cl´asico m´as sencillo. En dicho grupo, la funci´on definida arriba no es otra cosa que la transformada de Fourier de la integral fraccionaria Z x 1 f (y)(x − y)τ −1 dy Iτ (f )(x) = Γ(τ ) −∞ actuando en f0 Aδ , v´ease [93]. Aqu´ı reside la diferencia fundamental con el caso conmutativo –donde, como se apuntaba en la Introducci´on, Andersson [1] y Sj¨olin [83] han investigado la desigualdad local de Hausdorff-Young en Tn – puesto que la presencia de los grados dλ –en forma de producto en la Proposici´on 6.5 debido a la f´ormula de dimensi´on de Weyl– requiere la presencia de un factor de FhR (f0 Aδ ). Esto no ocurre en el caso conmutativo, pues en ese caso dλ = 1 para todo λ ∈ ΛDW . Lema 6.7 Sea G un grupo de Lie compacto, semisimple y simplemente conexo. Sea f : G → C una funci´on central, entonces FhR (f Aδ )(ξ) = 0 para todo ξ ∈ P. Demostraci´ on. Si ξ ∈ P, existe una ra´ız α tal que ξ ∈ Pα . Sea Sα la simetr´ıa respecto de Pα , entonces FhR (f Aδ )(ξ) = det Sα FhR (f Aδ )(Sα (ξ)) = −FhR (f Aδ )(ξ) puesto que, como se sabe, Sα ∈ WG? . Esto concluye la prueba. 2 El producto que aparece en el denominador de la funci´on Iτ\ (f0 Aδ ) tambi´en se anula en el diagrama de Cartan-Stiefel P. Es por tanto natural preguntarse si nuestra funci´on presenta alguna singularidad. Lema 6.8 La funci´on Iτ\ (f0 Aδ ) es anal´ıtica e id´enticamente cero en P.

6.

111

Desigualdad local de Hausdorff-Young

Demostraci´ on. La funci´on FhR (f0 Aδ ) es anal´ıtica puesto que f0 Aδ tiene soporte compacto. Dada α ∈ R+ , consideramos una base ortonormal e1 , e2 , . . . er de h?R P donde e1 es la normalizaci´on de α. Debido al Lema 6.7 y dado ξ = ξk ek , se tiene que t=1 Z 1 ϕ0ξ Lξ1 (t) L0ξ1 (t) dt FhR (f0 Aδ )(ξ) = FhR (f0 Aδ )(ξ1 t, ξ2 , . . . , ξr ) = t=0

0

donde Lξ1 (t) = ξ1 t y ϕξ (t) = FhR (f0 Aδ )(t, ξ2 , . . . , ξr ). Pero entonces Z hα, ξi 1 0 ϕξ Lξ1 (t) dt = hα, ξi Φα (ξ) FhR (f0 Aδ )(ξ) = kαk 0 donde Φα es nuevamente anal´ıtica. Ahora, dado β ∈ R+ \ {α}, el Lema 6.7 nos proporciona FhR (f0 Aδ )(ξ) = hα, ξi Φα (ξ) = 0 para todo ξ ∈ Pβ . Por continuidad se deduce entonces que Φα se anula en Pβ . Por lo tanto, un argumento similar al utilizado hace un momento nos permite escribir Φα (ξ) = hβ, ξi Φα,β (ξ), donde ahora Φα,β satisface propiedades similares a las de Φα . Iterando este proceso, se obtiene Y FhR (f0 Aδ )(ξ) = hα, ξi ΦR+ (ξ) α∈R+

donde ΦR+ es una funci´on anal´ıtica. Por u ´ltimo, puesto que 0 ≤ τ < 1, obtenemos el resultado deseado. Esto completa la prueba. 2 0 Ahora escribimos la norma de la funci´on Iτ\ (f0 Aδ ) en el espacio Lq (h?R ) en t´erminos de una suma de Riemann. Para ello, denotaremos por VG al volumen de una celda cualquiera del ret´ıculo ΛW . Se tiene que  1/q0 Z 1/q0  X VG |FhR (f0 Aδ )(k −1 λ)|q0  q0 \  . Y |Iτ (f0 Aδ )(ξ)| dξ = l´ım   r −1 τ q0  k→∞ ? k hR |hα, k λi| λ∈ΛW

α∈R+

Por otro lado, puesto que sop(f0 ) ⊂ T, obtenemos Z −1 FhR (f0 Aδ )(k λ) = f0 (ξ)Aδ (ξ) exp(−2πihk −1 λ, ξi) dξ = k r−σ FT (φk )(λ) T σ

donde φk (x) = k f0 (kx)Aδ (kx) y σ ∈ R. Tomando σ = τ |R+ | + r/q, se tiene  1/q0  X 1/q 0 kIτ\ (f0 Aδ )kLq0 (h? ) = VG l´ım  R k→∞ 

λ∈ΛW \P

0 |FT (φk )(λ)|q   Y τ q0  |hα, λi|

α∈R+

,

(2)

112

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

puesto que sabemos por el Lema 6.8 que para λ ∈ P se anula nuestra funci´on. Finalmente, definimos ϕk : hR → C por la relaci´on φk = ϕk Aδ . La funci´on ϕk satisface la relaci´on ϕk (W (x)) = ϕk (x) para todo W ∈ WG y est´a soportada en k −1 T, por tanto podemos ver a ϕk como una funci´on central en G. Tambi´en podemos afirmar que, como consecuencia de la igualdad Y Aδ = exp−δ (expα −1), (3) α∈R+

ϕk no tiene singularidades. Efectivamente, ϕk (t) = k σ f0 (kt)

Y exp (kt) − 1 Aδ (kt) α = k σ f0 (kt) exp−δ ((k − 1)t) Aδ (t) exp α (t) − 1 + α∈R

= k σ f0 (kt) exp−δ ((k − 1)t)

Y

k−1 X

α∈R+

j=0

expα (jt).

En definitiva, si insertamos la definici´on de ϕk en la identidad (2) y aplicamos la Proposici´on 6.5, deducimos que existe una constante B(G, q) > 0 tal que kIτ\ (f0 Aδ )kLq0 (h? ) = B(G, q) l´ım kϕ bk kLq0 (G) b . k→∞

R

(4)

Puesto que ϕk se puede ver como una funci´on central en G, nos ocupamos ahora de estimar la norma de ϕk en Lq (G). Por la f´ormula de integraci´on de Weyl obtenemos que 1/q 1 Z kϕk kLq (G) = |ϕk Aδ (t)|q |Aδ (t)|2−q dm(t) |WG | T k σq Z 1/q q 2−q = |f0 Aδ (kx)| |Aδ (x)| dx |WG | T Z (2π)(2−q)|R+ | 1/q Y σq ≤ k |f0 Aδ (kx)|q |α(x)|2−q dx , |WG | T + α∈R

donde la u ´ltima desigualdad se sigue f´acilmente de la expresi´on (3). Ahora, bajo + el cambio de variable y = kx y tomando C(G, q) = (2π)τ |R | |WG |−1/q , se tiene Z 1/q Y σ−τ |R+ |−r/q kϕk kLq (G) ≤ C(G, q) k |f0 Aδ (y)|q |α(y)|τ q dy . T

α∈R+

N´otese que el dominio de integraci´on despu´es de realizar el cambio de variable es kT. Sin embargo, puesto que sop(f0 Aδ ) ⊂ T, podemos escribir la integral sobre T. Ahora bien, nuestra elecci´on previa de σ hace que σ − τ |R+ | − r/q = 0 de

6.

113

Desigualdad local de Hausdorff-Young

manera que nuestra cota no depende de k. Adem´as, el producto que est´a dentro de la integral es una funci´on acotada en T, digamos que por una constante MqG . Entonces podemos escribir kϕk kLq (G) ≤ C(G, q) MG kf0 Aδ kLq (hR ) .

(5)

En definitiva, utilizando las expresiones (4) y (5), sabemos que existe una constante D(G, q) > 0 que depende u ´nicamente de G y q tal que K(G, q) = D(G, q)

kIτ\ (f0 Aδ )kLq0 (h? ) R

kf0 Aδ kLq (hR )

≤ l´ım inf k→∞

kϕ bk kLq0 (G) b kϕk kLq (G)

≤ 1.

Como hemos elegido f0 acotada, se tiene que f0 Aδ ∈ Lq (hR ). Por otro lado, como la expresi´on anterior est´a acotada por 1 por la desigualdad de Hausdorff-Young y 0 f0 Aδ ∈ Lq (hR ), se deduce que Iτ\ (f0 Aδ ) ∈ Lq (h?R ). En particular, K(G, q) > 0. De este modo hemos encontrado una familia ϕ1 , ϕ2 , . . . de funciones centrales en G cuyos soportes son cada vez m´as peque˜ nos y, a partir de un momento dado, est´an en U. Adem´as hemos probado que su cociente de Hausdorff-Young de exponente q est´a acotado inferiormente por una constante positiva K(G, q). Esto completa la prueba del Teorema 6.3 para grupos simplemente conexos. Cuando el grupo no es simplemente conexo, hay que modificar ligeramente la prueba dada. Dejamos al lector completar los detalles de los resultados que siguen.

1. La generalizaci´on (1) de la expresi´on dada en el Teorema 6.2 para grupos simplemente conexos no tiene sentido en el caso general. No obstante, s´ı podemos generalizar la primera expresi´on del Teorema 6.2. Se tiene que 1 fb(πλ ) = det W FT (f Bδ )(W t (λ + δ) − δ) 1dλ . dλ Tambi´en hemos obtenido los resultados paralelos a los Lemas 6.4 y 6.7. A saber, • Se tiene {W t (λ + δ) − δ : W ∈ WG , λ ∈ ΛDW } = ΛW \ (P − δ). Adem´as la siguiente aplicaci´on es inyectiva (W, λ) ∈ WG × ΛDW 7→ W t (λ + δ) − δ ∈ ΛW \ (P − δ). • Si f : G → C es central, entonces FhR (f Bδ )(ξ) = 0 para todo ξ ∈ P − δ.

114

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

2. La Proposici´on 6.5 se reemplaza ahora por la siguiente identidad, v´alida para funciones centrales f : G → C 1/q0

   kfbkLq0 (G) b = A(G, q) 

X λ∈ΛW \(P−δ)

0 |FT (f Bδ )(λ)|q   Y q 0 −2  |hα, λ + δi|

.

α∈R+

3. Las bases de h?R y hR que generan ΛW y LW respectivamente con coeficientes enteros ya no son la base de pesos fundamentales y su predual. De hecho, los pesos fundamentales generan el ret´ıculo de formas integrales o ret´ıculo de pesos del recubrimiento universal de G, que es un ret´ıculo que contiene a ΛW . Por lo tanto, necesitamos definir H1 , H2 , . . . Hr y ω1 , ω2 , . . . ωr simplemente como las bases respecto de las cuales LW y ΛW tienen coeficientes enteros. Una vez aclarado este punto, podemos definir T como antes e interpretar a f0 como una funci´on acotada con valores complejos, definida en hR , soportada en T y sim´etrica bajo las reflexiones que generan WG .

4. Recordemos que si δ ∈/ ΛW , la funci´on Aδ no est´a bien definida en T. Pero Aδ est´a originalmente definida en hR y la condici´on δ ∈ / ΛW no es un obst´aculo para trabajar con Aδ como una funci´on definida en hR . Por otro lado, el punto 2. nos lleva a considerar –en el mismo esp´ıritu que en la prueba para grupos simplemente conexos– la funci´on \ Ieτ (f0 Bδ )(ξ) = Y

1 |hα, ξ + δi|τ

FhR (f0 Bδ )(ξ).

α∈R+

\ Ahora, la observaci´on sobre Aδ muestra que Ieτ (f0 Bδ )(ξ) = Iτ\ (f0 Aδ )(ξ + δ). De manera que podemos proceder como antes expresando la norma de esta 0 funci´on en Lq (h?R ) como una suma de Riemann, aunque esta vez tomamos el ret´ıculo ΛW + δ en lugar de ΛW 1/q0



0 VG |FhR (f0 Aδ )(k −1 λ)|q   Y r −1 τ q0  k |hα, k λi| +δ

 X \ kIeτ (f0 Bδ )kLq0 (h? ) = l´ım  R k→∞  λ∈ΛW

.

α∈R+

5. No es dif´ıcil comprobar que FhR (f0 Aδ )(k−1 λ) = kr−σ FT (ϕk Bδ )(λ − δ), donde

6.

115

Desigualdad local de Hausdorff-Young

ϕk se define como antes. De forma que obtenemos   \ 1/q 0 kIeτ (f0 Bδ )kLq0 (h? ) = VG l´ım  R k→∞ 

1/q0

0 |FT (ϕk Bδ )(λ)|q   Y 0 |hα, λ + δi|τ q

X λ∈ΛW \(P−δ)

α∈R+

= B(G, q) l´ım kϕ bk kLq0 (G) b . k→∞

6. Finalmente, para estimar la norma de ϕk en Lq (G), seguimos las mismas ideas. Esto completa la prueba del Teorema 6.3 y, en consecuencia, la prueba del Teorema 5.5. Observaci´ on 6.9 Quiz´as el u ´nico resultado que merece una explicaci´on con m´as detalle es la versi´on del Lema 6.4 dada por la igualdad t W (λ + δ) − δ : W ∈ WG , λ ∈ ΛDW = ΛW \ (P − δ). Para justificarla definimos los conjuntos ∆1 = W t (λ + δ) − δ : W ∈ WG , λ ∈ ΛDW ∆2 = W t (λ + δ) − δ : W ∈ WG , λ ∈ ΛDI . Por el Lema 6.1 sabemos que W t (δ)−δ ∈ ΛW de modo que, como ΛW es invariante por la acci´on de WG , deducimos que ∆1 ⊂ ΛW . Por otro lado ∆1 est´a obviamente incluido en ∆2 , de forma que se tiene ∆1 ⊂ ΛW ∩ ∆2 . Rec´ıprocamente, si tomamos W t (λ + δ) − δ ∈ ΛW ∩ ∆2 , se deduce f´acilmente que λ ∈ ΛW ∩ ΛDI = ΛDW . Es decir, hemos probado que ∆1 = ΛW ∩ ∆2 . Ahora bien, utilizando el mismo argumento que en el Lema 6.4, obtenemos que ∆2 + δ = ΛI \ P. Dicho de otro modo, puesto que δ ∈ ΛI , podemos escribir ∆2 = ΛI ∩ Pc − δ = ΛI ∩ (Pc − δ). Finalmente, ∆1 = ΛW ∩ ΛI ∩ (Pc − δ) = ΛW \ (P − δ) como quer´ıamos.

6.3 Sobre el valor exacto de K(G, q) Como ya se indic´o en la Introducci´on, Mats Erik Andersson [1] y Per Sj¨olin [83] estudiaron el valor exacto de la constante K(Tn , q). Es decir, la constante de Hausdorff-Young para funciones f : Tn → C con soporte arbitrariamente peque˜ no. n n El resultado al que llegaron es que K(T , q) = Bq , donde Bq denota la constante de Babenko-Beckner.

116

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Observaci´ on 6.10 Dado 1 ≤ q ≤ 2, la constante de Babenko-Beckner Bq se define 0 como la norma del operador FR : Lq (R) → Lq (R). Su valor num´erico es q 0 Bq = q 1/q /q 0 1/q . Konstantin I. Babenko [4] demostr´o en 1961 dicho resultado para la sucesi´on 4/3, 6/5, 8/7, . . . de valores de q. Dicho de otro modo, para aquellos q tal que su exponente conjugado q 0 es un entero par. En 1975, William Beckner [6] prob´o en su Tesis la validez del resultado de Babenko para todo 1 < q ≤ 2. De hecho, Beckner 0 b para todo grupo calcul´o tambi´en la norma del operador FG : Lq (G) → Lq (G) abeliano y localmente compacto G. Por u ´ltimo, Bernard Russo se ocup´o en una serie de trabajos [76, 77, 78] del problema de calcular la norma de la transfor0 b para distintas clases de grupos localmente mada de Fourier FG : Lq (G) → Lq (G) compactos no necesariamente abelianos. Es por tanto natural preguntarse, al igual que hicieron Andersson y Sj¨olin, por el valor exacto de la constante K(G, q) para grupos de Lie compactos y semisimples. Nosotros consideramos que este es un problema altamente no trivial y nuestra u ´nica aportaci´on es aclarar un poco la expresi´on de dicha constante. Para ello, fijamos una base de entornos {Un : n ≥ 1} del elemento neutro 1 y definimos ( ) kfbkLq0 (G) b K(G, q) = ´ınf sup : f central, f ∈ Lq (G), sop(f ) ⊂ Un . n≥1 kf kLq (G) Observaci´ on 6.11 Obviamente, la constante K(G, q) no depende de la base de entornos escogida. Tambi´en es evidente que K(G, 2) = 1, debido al teorema de Plancherel en grupos compactos. Por otro lado, si escogemos a Un invariante por conjugaci´on para todo n ≥ 1 –esto es posible por el Lema (5.24) del texto [23] de Folland– y tomamos fn = 1Un , la funci´on caracter´ıstica de Un , entonces no es complicado ver que K(G, 1) = 1. De manera que los casos interesantes son los dados por los exponentes 1 < q < 2. Proposici´ on 6.12 Dado 1 < q ≤ 2, la constante K(G, q) est´a dada por el supremo de la siguiente expresi´on Z 1/q0 0 Y 2−q 0 Fh (f Aδ (ξ)) q |hα, ξi| dξ R h?R + |WG |τ Y α∈R |hα, δi|τ Z 1/q Y (2π)τ |R+ | q 2−q α∈R+ |f Aδ (x)| |hα, xi| dx hR

α∈R+

donde el supremo recorre las funciones f : hR → C soportadas en T, acotadas y que son sim´etricas por las reflexiones Sα que generan el grupo de Weyl.

6.

117

Desigualdad local de Hausdorff-Young

Demostraci´ on. Denotemos por ST (hR ) al espacio de las funciones f : hR → C soportadas en T, acotadas y sim´etricas por las reflexiones que generan WG . Dada una funci´on f0 ∈ ST (hR ), consideramos la familia de funciones centrales ϕ1 , ϕ2 , . . . construidas a partir de f0 como hicimos en la prueba del Teorema 6.3. Es sencillo comprobar que, dado 1 < q ≤ 2, se tiene que X K(G, q) =

dπ k ϕ bk (π)k

sup

l´ım inf Z k→∞

0

Sdqπ

b π∈G

f ∈ST (hR )

1/q0

q0

q

|ϕk (g)| dµ(g)

1/q .

G

Ahora bien, una atenta lectura de la prueba del Teorema 6.3 nos permite dar una expresi´on expl´ıcita del l´ımite inferior del numerador. Adem´as, como ya hicimos anteriormente, utilizamos la f´ormula de integraci´on y la f´ormula de caracteres de Weyl para simplificar la expresi´on del denominador. Concretamente se obtiene Z 1/q0 0 Y 2−q 0 Fh (f Aδ (ξ)) q |hα, ξi| dξ R −1/q 0

K(G, q) = A(G, q) VG

h?R

sup f ∈ST (hR )

α∈R+

k σq Z 1/q . q 2−q |f Aδ (kx)| |Aδ (x)| dx l´ım sup |WG | T k→∞

El cambio de variable kx 7→ x, nos permite escribir la constante K(G, q) como el supremo sobre ST (hR ) de 1/q0 Z 0 Y 2−q 0 Fh (f Aδ (ξ)) q |hα, ξi| dξ R Y h?R α∈R+ −1/q 0 τ τ |WG | |hα, δi| VG Z 1/q + α∈R+ |f Aδ (x)|q |k |R | Aδ (x/k)|2−q dx l´ım sup k→∞

hR

puesto que sop(f ) ∈ T y σ − r/q = τ |R+ |. N´otese que, como τ = 1 − 2/q 0 vale 0 para q = 2, el teorema de Plancherel nos asegura que la expresi´on obtenida vale −1/2 VG cuando q = 2. Ahora bien, puesto que K(G, 2) = 1, deducimos que VG = 1 para todo grupo de Lie compacto y semisimple, por lo que suprimimos dicho factor de nuestro c´alculo en lo que sigue. De manera que, para concluir la demostraci´on, es suficiente con ver que Y + l´ım |K |R | Aδ (x/k)| = |2πhα, xi| uniformemente en T. k→∞

α∈R+

Pero eso es una consecuencia sencilla de la expresi´on (3) de Aδ en forma de producto y del teorema del valor medio. Esto concluye la prueba. 2

118

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Observaci´ on 6.13 La expresi´on de la Proposici´on 6.12 se puede interpretar como una desigualdad de Hausdorff-Young con pesos de tipo Pitt. Por un lado Beckner [7] y por otro Benedetto y Heinig [8] han tratado con este tipo de desigualdades. Sin embargo, por lo que nosotros conocemos, la teor´ıa existente es insuficiente para dar con el valor exacto de la desigualdad que presentamos.

6.4 Sistema casi-unimodulares con espectros disjuntos Sea G un grupo compacto dotado de una medida de Haar µ normalizada por la condici´on µ(G) = 1. Denotemos por π : G → U (Vπ ) a las representaciones unitarias e irreducibles de G. Entonces es bien conocido c´omo construir n funciones ϕ1 , ϕ2 , . . . ϕn que satisfagan (C1 ) ϕ b1 (π), ϕ b2 (π), . . . ϕ bn (π) tienen la misma norma de operadores en End(Vπ ). (C2 ) ϕ1 , ϕ2 , . . . ϕn tienen soportes disjuntos dos a dos. Simplemente tenemos que tomar traslaciones disjuntas de una misma funci´on con soporte suficientemente peque˜ no, como ya hici´eramos en la Secci´on 5.2. En la Secci´on 5.3 usamos tambi´en las propiedades duales respecto de la transformada de Fourier. A saber, b 1 ) ϕ1 (g), ϕ2 (g), . . . ϕn (g) tienen el mismo valor absoluto. (C b 2) ϕ (C b1 , ϕ b2 , . . . ϕ bn tienen soportes disjuntos dos a dos. Si el grupo es abeliano, es sencillo construir tales funciones. Basta tomar n caracteres irreducibles de nuestro grupo. Muchas otras construcciones est´an a nuestra disposici´on. Ciertamente, podemos tomar n traslaciones disjuntas de una misma funci´on en el grupo dual. Obtenemos entonces las propiedades deseadas como consecuencia del principio de dualidad de Pontrjagin. No obstante, cuando trabajamos con grupos compactos no conmutativos, los caracteres irreducibles no forman un sistema unimodular. Adem´as, el objeto dual no tiene una estructura natural de grupo, como consecuencia de lo cual el principio de Pontrjagin deja de tener validez. Por otro lado el teorema de Tannaka, la versi´on no conmutativa del principio de dualidad de Pontrjagin, no es un resultado adecuado para construir nuestras funciones. Por lo tanto, tiene sentido preguntarse si es posible construir un sistema

6.

119

Desigualdad local de Hausdorff-Young

Φ = {ϕn : n ≥ 1} de funciones que satisfagan ciertas condiciones similares a las b1 y C b 2 . El siguiente resultado es el contenido de [28] y recordamos enunciadas en C que ya fue utilizado en nuestra discusi´on previa sobre el orden de crecimiento de 0 la constante Cq1 (`p (n), G). Teorema 6.14 Sea G un grupo compacto e infinito dotado de una medida de Haar µ normalizada por µ(G) = 1. Sea ε1 , ε2 , . . . una sucesi´on de n´ umeros positivos 2 que decrece a cero. Entonces, dada f0 ∈ L (G) una funci´on continua, existe una colecci´on {Ωn : n ≥ 1} de subconjuntos medibles de G tales que µ(Ωn ) → 1 cuando n → ∞, as´ı como un sistema Φ = {ϕn : n ≥ 1} de polinomios trigonom´etricos en G que satisfacen: (a) ϕ b1 , ϕ b2 , . . . tienen soportes disjuntos. (b) |ϕn (g)| < |f0 (g)| + εn para todo g ∈ G y todo n ≥ 1. (c) |ϕn (g)| > |f0 (g)| − εn para todo g ∈ Ωn y todo n ≥ 1. En particular, f0 ≡ 1 produce un sistema casi-unimodular con espectros disjuntos. Demostraci´ on. Completaremos la prueba en varios pasos. En primer lugar observamos que la medida de Haar µ no puede tener a´tomos.

1. La medida µ no tiene ´atomos. Supongamos que existe un a´tomo A ⊂ G con µ(A) = α > 0. Sea n > 1/α y sean g1 , g2 , . . . gn elementos del grupo tales que gi U ∩ gj U = Ø

para i 6= j y cierto entorno U de 1.

N´otese que esto siempre es posible porque asumimos que los grupos con los que trabajamos tienen la propiedad de Hausdorff. Por compacidad podemos escribir G=

[

m [

gU =

g∈G

gk U

donde n ≤ m < ∞.

k=1

Si escribimos Ak = gk U ∩ A para 1 ≤ k ≤ m, entonces existe k0 tal que µ(Ak0 ) = α. En particular, µ(U) = µ(gk0 U) ≥ µ(Ak0 ) = α. Por lo tanto, obtenemos una contradicci´on mediante la siguiente cadena de desigualdades µ(G) ≥

n X k=1

µ(gk U) = nµ(U) ≥ nα > 1.

120

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

2. El sistema ∆. Por la ausencia de µ-´atomos podemos definir una familia de conjuntos di´adicos {Dkj : k ≥ 1, 1 ≤ j ≤ 2k } en G que satisfagan las siguientes propiedades: k+1 Dkj = Dk+1 para todo k ≥ 1 y todo 1 ≤ j ≤ 2k . 2j−1 ∪ D2j

G es la uni´on disjunta de Dkj para cualquier k ≥ 1 fijo y todo 1 ≤ j ≤ 2k . Los conjuntos Dkj son µ-medibles y Z Dkj

|f0 (g)|2 dµ(g) = 2−k kf0 k2L2 (G) .

En consecuencia, si 1Ω denota la funci´on caracter´ıstica de Ω, definimos el sistema ∆ como el sistema formado por las funciones k

δk = f 0

2 X

(−1)j+1 1Dkj .

j=1

3. El sistema Ψ. Puesto que toda medida finita de Radon es regular, podemos considerar subconjuntos compactos Kkj ⊂ Dkj tales que µ(Dkj \Kkj ) < 2−2k para todo k ≥ 1 y todo 1 ≤ j ≤ 2k . Entonces, por el lema de Urylshon, podemos construir funciones continuas γjk en G tales que 1Kkj ≤ γjk ≤ 1Dkj . Finalmente definimos el sistema Ψ por las funciones k

2 X ψk = f0 (−1)j+1 γjk . j=1

4. Una observaci´on previa. Sea π : G → U (Vπ ) una representaci´on unitaria e irreducible de grado dπ y fijemos 1 ≤ i, j ≤ dπ . Trabajaremos respecto de determinada base ortonormal de Vπ de modo que π(g) se puede identificar con una matriz unitaria de orden dπ × dπ . Entonces tenemos ∞ X k=1

|ψbk (π)ij |2 ≤ 2

∞ Z 2 Z 2 X (ψk − δk )(g)πji (g) dµ(g) + δk (g)πji (g) dµ(g) . k=1

G

G

Aplicando la desigualdad de H¨older a la primera parte de la suma y la desigualdad 2 de Bessel a la segunda –n´otese que el sistema kf0 k−1 L2 (G) ∆ es ortonormal en L (G)–

6.

121

Desigualdad local de Hausdorff-Young

obtenemos ∞ X

|ψbk (π)ij |2 ≤ 2 kπji k2L2 (G)

k=1

∞ X

kψk − δk k2L2 (G) + 2 kf0 k2L2 (G) kπji k2L2 (G)

k=1

2 2 kf0 k2L∞ (G) + kf0 k2L2 (G) < ∞ ≤ dπ dπ puesto que k

kψk − δk k2L2 (G) ≤

2 Z X j=1

Dkj \Kkj

|f0 (g)|2 dµ(g) ≤ 2−k kf0 k2L∞ (G) .

b existe un entero En particular, para todo > 0 y todo subconjunto finito Λ ⊂ G, positivo m(Λ, ) tal que para todo k ≥ m(Λ, ) se tiene X

dπ

π∈Λ

dπ X

|ψbk (π)ij | < .

(6)

i,j=1

b denotamos por Eπ al subespacio generado por las 5. El sistema Φ. Dada π ∈ G, entradas de π. Tambi´en escribiremos E para referirnos a lo generado por la uni´on b Por el teorema de Peter-Weyl sabemos que de los espacios Eπ cuando π recorre G. E es denso en el espacio C(G) de las funciones continuas en G respecto de la norma de la convergencia uniforme. Entonces construimos el sistema Φ como sigue: Sea ϕ1 ∈ E tal que sup |ϕ1 (g) − ψ1 (g)| < ε1 . g∈G

Para n > 1, sea Λn =

n−1 [

b y sea sopϕ bk un subconjunto finito de G

k=1

n = m´ın

ε

n

3

,

hX

d5/2 π

i−1

.

π∈Λn

Escribimos kn = m(Λn , n ) e introducimos ξn ∈ E tal que sup |ξn (g) − ψkn (g)| < 2n . g∈G

Entonces definimos ϕn = ξn −

X π∈Λn

dπ tr(ξbn (π)π(·)).

122

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

6. Una estimaci´on necesaria. Sea kn = m(Λn , n ) como antes. Entonces, debido a la desigualdad de Hausdorff-Young en grupos compactos y a (6), tenemos X sup |ϕn (g) − ψkn (g)| ≤ sup |ξn (g) − ψkn (g)| + sup dπ tr(ξbn (π)π(g)) g∈G

g∈G

<

2n

+

g∈G

X

π∈Λn

dπ kξbn (π)kSd1

π

π∈Λn

≤

2n

+

X π∈Λn

<

2n

+ n +

dπ

dπ X i,j=1

X π∈Λn

≤

2n

|ξbn (π)ij |

dπ Z X dπ (ξ − ψ )(g)π (g)dµ(g) n kn ji i,j=1

G

+ n + kξn − ψkn kL2 (G)

X

dπ

π∈Λn

≤ 2n + n + sup |ξn (g) − ψkn (g)| g∈G

<

2n

dπ X

kπij kL2 (G)

i,j=1

X

d5/2 π

π∈Λn

+ 2n ≤ εn .

7. Propiedades de Φ. Finalmente probamos que Φ satisface las propiedades requeridas. k

2 n [

Tomando Ωn =

Kkj n , se tiene que

j=1 k

µ(Ωn ) = 1 −

2 n X

µ(Dkj n \ Kkj n ) ≥ 1 − 2−kn −→ 1

cuando

n −→ ∞.

j=1

Es evidente, por la definici´on de ϕn , que ϕ b1 , ϕ b2 , . . . tienen soportes disjuntos dos a dos. Si g ∈ G, se tiene que |ϕn (g)| ≤ |ψkn (g)| + |ϕn (g) − ψkn (g)| < |f0 (g)| + εn . Si g ∈ Ωn , se tiene que |ϕn (g)| ≥ |ψkn (g)| − |ϕn (g) − ψkn (g)| > |f0 (g)| − εn . Es decir, hemos obtenido el sistema deseado. Esto concluye la prueba.

2

IV

Sistemas ortonormales cuantizados

Introducci´ on

Las definiciones de tipo y cotipo de un espacio de Banach, respecto de sistemas ortonormales tales como el sistema de Rademacher o el de Gauss, salieron a la luz a comienzos de los a˜ nos 70 con objeto de estudiar la validez de determinadas desigualdades cl´asicas para funciones vectoriales. En pocos a˜ nos, el estudio de estas nociones desvel´o una fuerte interacci´on entre la geometr´ıa de espacios de Banach y los sistemas ortonormales, que resumimos brevemente en el Ap´endice A. Uno de los primeros y m´as palpables ejemplos de dicha interacci´on se debe a Stanislaw Kwapie´ n quien, en su conocido trabajo [45], caracteriz´o a los espacios de Hilbert salvo isomorfismo haciendo uso de las series ortogonales con coeficientes vectoriales respecto de ciertos sistemas ortonormales cl´asicos. El teorema de Kwapie´ n contempla distintas familias de sistemas ortonormales. El resultado m´as relevante de [45] asegura que, dado un espacio de Banach X y un sistema ortonormal completo Ψ, son equivalentes: 1. X es isomorfo a un espacio de Hilbert. 2. X tiene tipo y cotipo de Rademacher 2. 3. X tiene tipo y cotipo de Gauss 2. 4. X tiene Ψ-tipo y Ψ-cotipo 2. 5. X tiene T-tipo de Fourier 2. 6. X tiene T-cotipo de Fourier 2. En pocas palabras, la prueba de Kwapie´ n se puede resumir como sigue. En primer lugar, no es complicado demostrar que todo espacio de Banach isomorfo a un Hilbert posee tipo y cotipo de Rademacher 2. Despu´es, para pasar del sistema de Rademacher al sistema de Gauss, Kwapie´ n demuestra un resultado auxiliar que constituye una mejora del teorema central del l´ımite. La mejora de Kwapie´ n radica en que extiende el espacio de funciones para las que el teorema central del l´ımite es v´alido, pues s´olo exige que dichas funciones sean continuas con un crecimiento 125

126

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

subexponencial. Esto le permite interpretar la esperanza de una funci´on, que depende de variables aleatorias gaussianas, como un l´ımite de las esperanzas de la misma funci´on evaluada en variables aleatorias que se forman tomando promedios normalizados de las funciones de Rademacher. Una vez probada la relaci´on entre ambos sistemas, Kwapie´ n utiliza un resultado previo de Joram Lindenstrauss y Aleksander Pelczy´ nski [47] con el que completa las tres primeras equivalencias. Este resultado permite a Kwapie´ n extender su caracterizaci´on a otras familias de sistemas. En primer lugar, dado un sistema ortonormal completo Ψ, prueba que todo espacio de Banach con Ψ-tipo y Ψ-cotipo 2 tiene tipo y cotipo de Rademacher 2. De manera que se puede incluir tambi´en a los sistemas ortonormales completos en su caracterizaci´on. Por otro lado, Kwapie´ n estudia de forma independiente al sistema trigonom´etrico de T. Aunque se trata de un sistema completo, Kwapie´ n observa por primera vez que este sistema presenta la propiedad de autodualidad a la que ya hicimos referencia en la Introducci´on a la Parte III. Es decir, que un espacio de Banach tiene T-tipo 2 si y s´olo si tiene T-cotipo 2. De hecho, el propio Kwapie´ n conjetura que todo sistema ortonormal completo presenta esta propiedad. Sin embargo, como poco despu´es se demostr´o, el sistema de Haar constituye un contraejemplo. En definitiva, se puede afirmar que el sistema trigonom´etrico del toro presenta ciertas propiedades m´as all´a de la completitud. En la Parte IV de esta Memoria cubriremos esencialmente dos objetivos. El primero de ellos consiste en desarrollar una teor´ıa general de tipo y cotipo para espacios de operadores. Con ello pretendemos generalizar la teor´ıa iniciada en el Cap´ıtulo 4 para el tipo y cotipo de Fourier de un espacio de operadores respecto de un grupo compacto. En este caso particular, la diferencia fundamental entre nuestra noci´on de tipo de Fourier y su an´alogo cl´asico, para grupos compactos abelianos, reside en que el sistema de caracteres tiene que ser reemplazado por el conjunto de representaciones unitarias e irreducibles del grupo. Con otras palabras, las funciones del sistema toman ahora valores matriciales y nuestro espacio de Banach tiene una estructura matricial que satisface los axiomas de Ruan. Volviendo al caso general, nuestra primera meta es entender qu´e propiedades debemos exigir al sistema con objeto de obtener informaci´on acerca de la geometr´ıa del espacio de operadores. Como veremos m´as adelante, nuestros sistemas ser´an colecciones de funciones con valores matriciales –lo cual es muy natural en vista de la observaci´on realizada para grupos compactos– que satisfacen determinadas condiciones adicionales que hacen las veces de otras propiedades an´alogas de los sistemas cl´asicos, como la ortonormalidad, la completitud o la acotaci´on uniforme. Por este motivo, hemos decidido referirnos a este tipo de sistemas como sistemas

IV.

Sistemas ortonormales cuantizados

127

ortonormales cuantizados, completando as´ı el cuadro donde los espacios de Banach pasan a ser espacios de operadores y la acotaci´on se sustituye por la acotaci´on completa. De hecho, como ya ocurr´ıa con los grupos compactos no conmutativos, la necesidad de trabajar con las clases de Schatten vectoriales implica que la teor´ıa de tipo y cotipo respecto de sistemas ortonormales cuantizados no sea viable tomando valores en un espacio de Banach. Es decir, los espacios de operadores requieren la presencia de los sistemas ortonormales cuantizados tanto como ´estos la de los espacios de operadores. Nuestro segundo objetivo consiste en aplicar esta teor´ıa con objeto de investigar la posible interacci´on entre los sistemas ortonormales cuantizados y la geometr´ıa de espacios de operadores. En cierto modo, ya hemos vislumbrado dicha interacci´on en la Parte III de esta Memoria, con nuestro an´alisis de los exponentes o´ptimos de Fourier de los espacios de Lebesgue y las clases de Schatten. Parece por tanto natural que nuestro paso siguiente sea investigar la existencia de una versi´on no conmutativa del teorema de Kwapie´ n, pues el resultado de Kwapie´ n es uno de los primeros y m´as destacados ejemplos de dicha interacci´on en la teor´ıa de espacios de Banach. La cuesti´on es evidente, se trata de caracterizar a los espacios de operadores OH de Pisier –el contrapunto de los espacios de Hilbert en la teor´ıa de espacios de operadores– bajo isomorf´ıa completa, mediante la condici´on de tener tipo y cotipo 2 respecto de determinado sistema ortonormal cuantizado. Y en caso de obtener resultados satisfactorios, para qu´e sistemas cuantizados tiene validez la versi´on no conmutativa del resultado de Kwapie´ n. Otra de las manifestaciones relevantes de la interacci´on que existe entre sistemas ortonormales y geometr´ıa de espacios de Banach, se da al estudiar los espacios de Banach con tipo no trivial. En el Ap´endice A recordamos al lector que dicha condici´on es equivalente a cierta noci´on geom´etrica, conocida como B-convexidad. Esta y otras caracterizaciones ser´an tambi´en estudiadas en el contexto de los espacios de operadores en la Parte V de esta Memoria. A lo largo del Cap´ıtulo 8, estudiamos el teorema de Kwapie´ n no conmutativo desde tres perspectivas bien distintas. En primer lugar, probamos su validez para los sistemas ortonormales cuantizados uniformemente acotados utilizando t´ecnicas de la teor´ıa de espacios de operadores. Despu´es, extendemos este resultado a los sistemas cuantizados completos –no necesariamente acotados– por medio de un argumento de densidad. Nuestro tercer enfoque trata la cuantizaci´on del sistema cl´asico de Gauss, que no es completo ni uniformemente acotado. Este sistema tambi´en caracteriza a los espacios de operadores OH salvo isomorfismo completo y la demostraci´on sigue los mismos argumentos que los utilizados para los sistemas cuantizados y uniformemente acotados. No obstante, mostramos al lector c´omo

128

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

utilizar las ideas originales de Kwapie´ n para relacionar a los sistemas cuantizados de Rademacher y Gauss por medio del teorema central del l´ımite. Adem´as, la prueba probabil´ıstica presenta una ventaja a˜ nadida. A saber, nos proporciona un corolario bastante esclarecedor. Hablando sin mucho rigor, cuando trabajamos con sistemas formados por funciones que toman valores en matrices de dimensi´on arbitrariamente grande, nuestro resultado asegura que la versi´on para espacios de operadores del teorema de Kwapie´ n sigue siendo v´alida si exigimos u ´nicamente la acotaci´on –y no la acotaci´on completa– de los operadores involucrados. Es decir, este tipo de sistemas son m´as adecuados, pues reflejan la estructura matricial del espacio de operadores sin necesidad de utilizar los morfismos propios de la categor´ıa. Concluimos con algunos ejemplos y ciertas cuestiones abiertas que se desprenden de nuestro trabajo. Por u ´ltimo, me gustar´ıa expresar mi agradecimiento a Gilles Pisier por las conversaciones sobre este trabajo que mantuve con ´el durante una estancia breve en la Universidad Paris VI. Adem´as de interesarse por mi investigaci´on y valorar los resultados obtenidos, tambi´en enriqueci´o el trabajo proporcion´andome una prueba alternativa del corolario anteriormente citado que permite extender dicho resultado a los sistemas cuantizados completos. Nos disponemos ahora a dar un esquema de los resultados m´as interesantes de la Parte IV de esta Memoria. Dado un espacio de probabilidad sin ´atomos (Ω, M, µ) y una familia dΣ = {dσ : σ ∈ Σ} de enteros positivos indexada por Σ, introducimos las siguientes nociones. Definici´ on 1 Una colecci´on Φ = {ϕσ : Ω → Mdσ }σ∈Σ de funciones con valores matriciales se dice que es un sistema ortonormal cuantizado y uniformemente acotado si se satisfacen las siguientes condiciones: Z 1 0 ϕσij (ω)ϕσi0 j 0 (ω) dµ(ω) = δσσ0 δii0 δjj 0 . dσ Ω sup ess sup kϕσ (ω)kSd∞σ = MΦ < ∞. σ∈Σ

ω∈Ω

El par (Σ, dΣ ) se denomina el conjunto de par´ ametros de Φ mientras que la mejor constante MΦ es la cota uniforme de Φ. Decimos que Φ es completo cuando toda funci´on f ∈ L2 (Ω) se puede escribir como X Y f= dσ tr(Aσ ϕσ ) para cierto A ∈ Mdσ . σ∈Σ

σ∈Σ

IV.

129

Sistemas ortonormales cuantizados

Dado un espacio de operadores E, los espacios LpE (Σ) se definen de la forma evidente. Los coeficientes de Fourier de una funci´on f ∈ L1E (Ω) respecto de un sistema cuantizado Φ se definen como Z b f (σ) = f (ω)ϕσ (ω)? dµ(ω) ∈ Mdσ ⊗ E Ω

mientras que la transformada de Fourier respecto de Φ es el operador Y Mdσ ⊗ E FΦ,E : L1E (Ω) −→ σ∈Σ

que hace corresponder a f con la colecci´on de sus coeficientes de Fourier. Por otro lado, dado Γ un subconjunto finito de Σ, sea ΦΓ = {ϕσ : Ω → Mdσ }σ∈Γ la restricci´on del sistema Φ al conjunto de ´ındices Γ. Consideramos el subespacio de LpE (Ω) formado por las series de Fourier respecto de Φ truncadas por Γ o nX Y p σ σ ΦE (Γ) = Mdσ ⊗ E . dσ tr(A ϕ ) : A ∈ σ∈Γ

σ∈Γ

Consideramos tambi´en los operadores Y X Mdσ ⊗ E dσ tr(Aσ ϕσ ) ∈ Φ1E (Γ) 7−→ A ∈ FΦΓ ⊗ IE : σ∈Γ σ∈Γ Y X FΦ−1Γ ⊗ IE : A ∈ Mdσ ⊗ E 7−→ dσ tr(Aσ ϕσ ) ∈ Φ1E (Γ). σ∈Γ

σ∈Γ

Definici´ on 2 Sea Φ un sistema ortonormal cuantizado y uniformemente acotado de par´ametros (Σ, dΣ ). Entonces, dado 1 ≤ p ≤ 2, diremos que el espacio de operadores E tiene Φ-tipo p si existe una constante K1p (E, Φ) tal que, para todo subconjunto finito Γ de Σ, se tiene que kFΦ−1Γ ⊗ IE kCB(Lp (Γ),Φp0 (Γ)) ≤ K1p (E, Φ). E

E

An´alogamente, diremos que E tiene Φ-cotipo p0 si existe una constante K2p0 (E, Φ) tal que, para todo subconjunto finito Γ de Σ, se tiene que kFΦΓ ⊗ IE kCB(Φp (Γ),Lp0 (Γ)) ≤ K2p0 (E, Φ). E

E

Observaci´ on 1 El lector observar´a que estas definiciones difieren ligeramente de las que dimos en el Cap´ıtulo 4 de esta Memoria para definir el tipo y cotipo de Fourier de un espacio de operadores. Estas diferencias se justificar´an debidamente m´as adelante. Para ello ser´a necesario utilizar la noci´on auxiliar de Φ-cotipo fuerte de un espacio de operadores.

130

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Observaci´ on 2 Una vez definidos el tipo y cotipo de un espacio de operadores respecto de un sistema ortonormal cuantizado, estamos en condiciones de estudiar las propiedades b´asicas de estas nociones. Al igual que hicimos cuando trabajamos con grupos compactos, nos podemos preguntar por los exponentes triviales, la interpolaci´on compleja o la dualidad. Aunque los resultados obtenidos no son exactamente iguales, las modificaciones son evidentes por lo que no me entretengo en dar aqu´ı los detalles. A continuaci´on, definimos las versiones cuantizadas de los sistemas cl´asicos de Gauss y Rademacher, que son probablemente los sistemas con los que m´as vamos a trabajar en la Parte IV. Aunque nuestra noci´on de sistema ortonormal cuantizado parece ser original, estos casos particulares eran ya conocidos a principios de los a˜ nos 80. Concretamente, Michael B. Marcus y Gilles Pisier ya utilizaban estos conceptos en su texto [53], que trata sobre series de Fourier aleatorias en grupos compactos no conmutativos. Como antes, consideramos un espacio de probabilidad (Ω, M, µ) sin a´tomos y un conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ). Definici´ on 3 El sistema de Rademacher cuantizado asociado a (Σ, dΣ ) se define como una colecci´on R = {ρσ : Ω → O(dσ )}σ∈Σ formada por matrices aleatorias ortogonales e independientes tal que, cada matriz aleatoria ρσ , est´a uniformemente distribuida en el grupo ortogonal O(dσ ) equipado con su medida de Haar normalizada νσ .

Observaci´ on 3 El sistema de Rademacher cuantizado satisface las propiedades exigidas en la Definici´on 1 con MR = 1. Existe tambi´en una versi´on cuantizada del sistema de Steinhaus, que definiremos m´as adelante y que ser´a de gran utilidad en la Parte V de esta Memoria. Definici´ on 4 El sistema de Gauss cuantizado asociado a los par´ametros (Σ, dΣ ) se define como una colecci´on G = {γ σ : Ω → Mdσ }σ∈Σ formada por las matrices aleatorias 1 σ γσ = √ gij dσ donde las variables aleatorias gσij : Ω → R constituyen una familia de gaussianas independientes, con media 0 y varianza 1.

IV.

Sistemas ortonormales cuantizados

131

Observaci´ on 4 El sistema de Gauss cuantizado satisface u ´nicamente la primera condici´on de la Definici´on 1. Es decir, no es uniformemente acotado y tampoco es completo. Al igual que con el sistema de Rademacher, existe una versi´on compleja del sistema de Gauss cuantizado de la que hablaremos m´as adelante. De entre los sistemas ortonormales cl´asicos que est´an uniformemente acotados, el sistema de Rademacher satisface cierta propiedad de extremalidad respecto de las nociones de tipo y cotipo. Nuestra discusi´on sobre el tipo y cotipo de Riesz, que damos en el Ap´endice A, contiene dicho resultado. Comprobaremos que esta propiedad sigue siendo v´alida en el contexto de los espacios de operadores. Para ello aplicamos una versi´on no conmutativa del principio de contracci´on debida a Marcus y Pisier. Teorema 1 Sea Φ un sistema ortonormal cuantizado y uniformemente acotado. Denotemos por RΦ al sistema de Rademacher cuantizado que posee los mismos par´ametros que Φ. Entonces, dado 1 ≤ p ≤ 2 y un espacio de operadores E, se tiene que: (a) Si E tiene Φ-tipo p, entonces E tiene RΦ -tipo p. (b) Si E tiene Φ-cotipo p0 , entonces E tiene RΦ -cotipo p0 .

Observaci´ on 5 Como ya se hizo notar en el Cap´ıtulo 5, este resultado nos lleva a enfocar el problema planteado all´ı desde otro punto de vista. Efectivamente, podemos sustituir el objeto dual de nuestro grupo por el sistema de Rademacher cuantizado asociado a los mismos par´ametros. No obstante, tambi´en existen en este contexto dificultades importantes. A saber, los isomorfismos que proporcionan las desigualdades de Khintchine no son isomorfismos completos cuando imponemos en los espacios involucrados su estructura natural de espacio de operadores. Esta observaci´on, que justificaremos en detalle m´as adelante, ser´a de gran relevancia en lo que resta de esta Memoria. Una vez dadas las definiciones y analizadas las propiedades m´as relevantes, comentamos nuestros resultados acerca del teorema de Kwapie´ n para espacios de operadores. Nuestro primer resultado afecta a los sistemas cuantizados que poseen una cota uniforme. La idea de la prueba consiste en utilizar nuestro resultado de extremalidad, que nos permite centrar nuestra atenci´on u ´nicamente en el sistema de Rademacher cuantizado. Despu´es comprobamos, con la ayuda de un resultado

132

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

auxiliar, que el espacio S 2 (E) tiene tipo y cotipo de Rademacher cl´asico 2. En este punto, combinamos el resultado original de Kwapie´ n con una caracterizaci´on de los espacios OH debida a Pisier [68] que nos permite concluir. Teorema 2 Sea Φ un sistema ortonormal cuantizado y uniformemente acotado. Entonces, dado un espacio de operadores E, son equivalentes: (a) E es completamente isomorfo a un espacio de operadores OH. (b) E tiene Φ-tipo y Φ-cotipo 2.

En segundo t´ermino, nos ocupamos de los sistemas cuantizados completos. Obviamente, aqu´ı ya no tiene validez el resultado de extremalidad. De manera que necesitamos recurrir a otro argumento. Como es de esperar, la idea consiste en utilizar un argumento de densidad aprovechando as´ı la completitud del sistema. De hecho, probaremos un lema muy similar al que utilizamos en la Parte III para construir sistemas casi-unimodulares con espectros disjuntos sobre grupos compactos no conmutativos. Teorema 3 Sea Ψ un sistema cuantizado completo. Entonces, dado un espacio de operadores E, son equivalentes: (a) E es completamente isomorfo a un espacio de operadores OH. (b) E tiene Ψ-tipo y Ψ-cotipo 2.

Observaci´ on 6 Las ideas originales de Kwapie´ n no funcionan en este contexto. Explicaremos dichas ideas y justificaremos esta observaci´on despu´es de la prueba del teorema de Kwapie´ n para sistemas cuantizados completos. Por u ´ltimo nos centramos en el sistema cuantizado de Gauss que, como ya sabemos, no es uniformemente acotado ni completo. Sin embargo, comprobaremos que la prueba dada para los sistemas cuantizados con una cota uniforme se puede adaptar de manera sencilla a este caso particular. No obstante, como ya hemos apuntado antes, nuestro inter´es se centra por diversos motivos en dar una prueba probabil´ıstica siguiendo las mismas ideas que Kwapie´ n. Es decir, utilizando una mejora del teorema central del l´ımite. Nuestra mejora es similar a la ofrecida por Kwapie´ n en [45], con la salvedad de que nosotros nos vemos obligados a trabajar

IV.

133

Sistemas ortonormales cuantizados

con variables aleatorias que toman valores en un espacio de Banach, mientras que Kwapie´ n s´olo necesit´o considerar el caso escalar. Antes de enunciar el resultado e el espacio de probabilidad formado por infinitas copias fijamos la notaci´on. Sea Ω del espacio Ω, es decir e= Ω

∞ Y

Ωk

y

µ e=

k=1

∞ Y

µk

k=1

e → donde Ωk = Ω y µk = µ para todo k ≥ 1. La matriz aleatoria ρσ,k : Ω σ O(dσ ) se define como la copia de ρ –la σ-´esima matriz de Rademacher– que depende u ´nicamente de la k-´esima coordenada. Tambi´en, para cada entero positivo m, definimos m 1 X σ,k σ ρ . ρ (m) = √ m k=1 Entonces, obtenemos el siguiente resultado. Lema 1 Sea h : Sd2σ1 × · · · × Sd2σn −→ R una funci´on continua tal que σ1

σ2

σn

h(A , A , . . . , A ) exp −

n X

kAσk kSd2

σk

k=1 n X

cuando

kAσk kSd2

σk

k=1

Z l´ım

m→∞

σ1

−→ 0

→ ∞. Entonces tenemos que

σ2

σn

Z

h(ρ (m), ρ (m), . . . , ρ (m)) de µ= e Ω

h(γ σ1 , γ σ2 , . . . , γ σn ) dµ.

Ω

El Lema 1, unido a una nueva caracterizaci´on de los espacios de operadores OH debida a Pisier [68], nos permitir´a obtener la demostraci´on probabil´ıstica del siguiente resultado. Teorema 4 Sea G el sistema cuantizado de Gauss con par´ametros (Σ, dΣ ). Supongamos que dΣ no es acotado, entonces son equivalentes: (a) E es completamente isomorfo a un espacio de operadores OH. (b) E tiene G-tipo y G-cotipo 2.

134

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Como ya hemos anticipado, la demostraci´on probabil´ıstica nos proporciona un interesante corolario. Antes de enunciar dicho resultado, necesitamos la siguiente definici´on. Definici´ on 5 Sea Φ un sistema ortonormal cuantizado y uniformemente acotado de par´ametros (Σ, dΣ ). Entonces, dado 1 ≤ p ≤ 2, diremos que el espacio de operadores E tiene Banach Φ-tipo p si existe una constante e 1p (E, Φ) tal que, para todo subconjunto finito Γ de Σ, se tiene que K e 1p (E, Φ). kFΦ−1Γ ⊗ IE kB(Lp (Γ),Φp0 (Γ)) ≤ K E

E

An´alogamente, diremos que E tiene Banach Φ-cotipo p0 si existe una e 2p0 (E, Φ) tal que, para todo subconjunto finito Γ de Σ, se tiene constante K que e 2p0 (E, Φ). kFΦΓ ⊗ IE kB(Φp (Γ),Lp0 (Γ)) ≤ K E

E

En el resultado que sigue mostramos que, los sistemas cuantizados que toman valores en matrices arbitrariamente grandes, interact´ uan mejor con la geometr´ıa del espacio de operadores. Corolario 1 Sea Φ un sistema ortonormal cuantizado y uniformemente acotado de par´ametros (Σ, dΣ ) y sea GΦ el sistema cuantizado de Gauss asociado al mismo conjunto de par´ametros. Entonces, cuando dΣ es una familia no acotada de enteros positivos, son equivalentes: (a) E es completamente isomorfo a un espacio de operadores OH. (b) E tiene Banach Φ-tipo y Banach Φ-cotipo 2. (c) E tiene Banach GΦ -tipo y Banach GΦ -cotipo 2.

Observaci´ on 7 Tambi´en proporcionaremos una generalizaci´on de este resultado, debida a Pisier, que permite extender su validez a todos los sistemas cuantizados completos con dΣ no acotado. Observaci´ on 8 Concluimos comentando algunos ejemplos y planteando algunas cuestiones directamente relacionadas con este resultado.

7 Sistemas uniformemente acotados

Extendemos a un contexto no conmutativo las nociones de tipo y cotipo de Riesz de un espacio de Banach respecto de un sistema ortonormal uniformemente acotado. En primer lugar, los espacios de Banach son reemplazados por espacios de operadores. Los sistemas ortonormales cuantizados, que ocupan el lugar de los sistemas ortonormales cl´asicos en este nuevo contexto, son entonces definidos. Tanto el tipo como el cotipo de Fourier de un espacio de operadores respecto de un grupo compacto no conmutativo encajan en nuestro desarrollo. Los an´alogos cuantizados de los sistemas de Gauss y Rademacher tambi´en ser´an tratados. Para concluir discutimos el papel, respecto de las nociones de tipo y cotipo, del sistema de Rademacher en la clase de sistemas cuantizados con una cota uniforme.

7.1 Definici´ on y propiedades b´ asicas La desigualdad cl´asica de Hausdorff-Young en T fue generalizada por Frigyes Riesz en 1923 a todo sistema ortonormal uniformemente acotado. Si uno estudia la validez del resultado de Riesz para funciones vectoriales, entonces las nociones de tipo y cotipo de Riesz de un espacio de Banach aparecen de forma natural. Tales nociones fueron definidas en [25] con objeto de construir una teor´ıa general de tipo y cotipo que incluye a los sistemas uniformemente acotados cl´asicos: Rademacher, Fourier, Walsh, etc... Nosotros introducimos aqu´ı la versi´on para espacios de operadores de dicha teor´ıa. Para ello, lo primero que necesitamos hacer es fijar un nuevo concepto de sistema ortonormal que generaliza a la noci´on cl´asica. Fijamos antes la notaci´on, denotaremos por (Ω, M, µ) a un espacio de probabilidad sin a´tomos. Tambi´en consideramos un conjunto infinito de ´ındices Σ y una colecci´on dΣ = {dσ : σ ∈ Σ} de enteros positivos indexada por Σ.

135

136

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Definici´ on 7.1 Una colecci´on Φ = {ϕσ : Ω → Mdσ }σ∈Σ de funciones con valores matriciales y entradas medibles se denomina sistema ortonormal cuantizado y uniformemente acotado si se satisfacen las siguientes condiciones: Z

0

ϕσij (ω)ϕσi0 j 0 (ω) dµ(ω) =

Ω

1 δσσ0 δii0 δjj 0 . dσ

sup ess sup kϕσ (ω)kSd∞σ = MΦ < ∞. σ∈Σ

ω∈Ω

El par (Σ, dΣ ) se denomina el conjunto de par´ ametros de Φ mientras que la mejor constante MΦ es la cota uniforme de Φ. Decimos que Φ es completo cuando toda funci´on f ∈ L2 (Ω) se puede escribir como f=

X

dσ tr(Aσ ϕσ )

para cierto A ∈

σ∈Σ

Y

Mdσ .

σ∈Σ

Observaci´ on 7.2 N´otese que, si tomamos Σ = N y dσ = 1 para todo σ ∈ Σ, recuperamos la definici´on cl´asica de sistema ortonormal uniformemente acotado y/o completo en Ω. Por otro lado, si Ω es un grupo topol´ogico compacto dotado de una medida de Haar normalizada, se tiene que su objeto dual es un sistema ortonormal cuantizado y uniformemente acotado. A saber, las funciones ϕσ son representaciones unitarias e irreducibles, dσ es el grado de ϕσ y MΦ = 1. Es m´as, debido al teorema de Peter-Weyl, el objeto dual es tambi´en completo. Sea 1 ≤ p < ∞ y sea E un espacio de operadores. Entonces, dado un conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ) y siguiendo la misma notaci´on que la utilizada hasta ahora, definimos los espacios n X 1/p o Y LpE (Σ) = A ∈ Mdσ ⊗ E : kAkLpE (Σ) = dσ kAσ kpS p (E) 0 tal que, para toda funci´on f ∈ LrX [0, 1], se tiene Z 0

1

∞

r 1/r

X Z

b ≤ Ar f (k)rk (t) dt

k=1

X

1

kf (t)krX

1/r dt

0

donde fb(k) denota el k-´esimo coeficiente de Fourier de f respecto del sistema de Rademacher. Es decir, la proyecci´on de Rademacher de LrX [0, 1] en el subespacio Rr (E) generado por las funciones de Rademacher es acotada. La Kr -convexidad no depende del exponente r y diremos que un espacio de Banach es K-convexo cuando se satisfaga la desigualdad anterior para cierto 1 < r < ∞. Esta noci´on fue introducida por Maurey y Pisier [54] en 1976. En dicho trabajo, ambos autores formularon la conjetura de que la B-convexidad y la K-convexidad eran nociones equivalentes. Este problema permaneci´o abierto hasta 1982, a˜ no en el que Pisier [66] resolvi´o el problema demostrando que un espacio de Banach es K-convexo si y s´olo si dicho espacio no contiene a `1 (n) uniformemente. La prueba de Pisier es bastante compleja, utiliza en ella la teor´ıa de semigrupos holomorfos de operadores para relacionar ambas propiedades. En definitiva, determinadas propiedades de un espacio de Banach –ligadas a la teor´ıa de tipo y cotipo– est´an caracterizadas por otras condiciones de ´ındole m´as geom´etrica, como la B-convexidad o la propiedad de contener a `1 (n) de forma uniforme. Dichas caracterizaciones dan lugar a las siguientes equivalencias: 1. X es B-convexo. 2. X no contiene a `1 (n) uniformemente. 3. X tiene subtipo de Rademacher. 4. X tiene tipo de Rademacher no trivial. 5. X es K-convexo.

V.

Espacios de operadores B-convexos

169

El lector interesado en profundizar un poco m´as en estas caracterizaciones puede acudir al Ap´endice A y a las referencias que all´ı se citan. En este punto cabe mencionar que existe una colecci´on de propiedades similares –aunque no son completamente an´alogas– que caracterizan la condici´on de tener cotipo de Rademacher no trivial. El texto de Pietsch y Wenzel [64] contiene los resultados mencionados. El motivo de que no profundicemos m´as en ellos, ni aqu´ı ni en el Ap´endice A, se debe a que no vamos a trabajar en esta Memoria con la versi´on no conmutativa de los mismos. Una breve mirada hacia atr´as nos permite resumir los resultados obtenidos hasta ahora en esta Memoria. En primer lugar hemos estudiado la desigualdad de Hausdorff-Young para funciones vectoriales definidas en un grupo compacto no conmutativo. Esto nos ha obligado a imponer, en los espacios donde toman valores nuestras funciones, una estructura de espacio de operadores. En particular, hemos analizado de este modo las propiedades del tipo y cotipo de Fourier de un espacio de operadores. Despu´es, obviando la Parte III en la que nos centramos en el caso particular de los grupos de Lie compactos y semisimples, hemos generalizado dichas nociones haciendo entrar en escena a los sistemas ortonormales cuantizados. A partir de ese instante, en el que ya se hace evidente que la teor´ıa de tipo y cotipo es susceptible de ser generalizada a un contexto no conmutativo, pasamos a estudiar la validez para espacios de operadores de los resultados m´as relevantes de la teor´ıa. El primero de ellos ha sido el teorema de Kwapie´ n. Por otro lado, parece natural que nuestro siguiente objetivo sea estudiar la validez, para espacios de operadores, de las caracterizaciones apuntadas antes de los espacios B-convexos. Naturalmente nuestro primer cometido consiste en obtener una definici´on, adaptada al contexto de los sistemas ortonormales cuantizados, de nociones tales como la B-convexidad. M´as adelante daremos las definiciones expl´ıcitas. No obstante es obvio que, como ya ocurr´ıa con las definiciones de tipo y cotipo, la noci´on de B-convexidad depende a priori del conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ). Esto da lugar a lo que hemos dado en llamar BΣ -convexidad. Tambi´en introducimos las nociones de Σ-tipo y Σ-subtipo. Aqu´ı es importante se˜ nalar que, puesto que los espacios de operadores est´an definidos sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos, es preferible trabajar con el sistema cuantizado de Steinhaus. Aunque por supuesto, todos los resultados obtenidos conservan su validez para el sistema de Rademacher cuantizado. Posiblemente el lector habr´a observado que estamos cometiendo un peque˜ no abuso de notaci´on. Efectivamente en ciertas ocasiones, si no hay ambig¨ uedad posible, utilizamos u ´nicamente la letra Σ para referirnos al conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ). Por u ´ltimo definimos la noci´on de contener a 1 L (Γ) uniformemente que, como veremos, resulta algo sorprendente.

170

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

En pocas palabras, tras dar algunas definiciones previas ya apuntadas, la Parte V de esta Memoria se puede dividir en cuatro apartados bien diferenciados: En primer lugar comenzamos estudiando qu´e nociones, de entre las que hemos definido, son equivalentes una vez fijado el conjunto de par´ametros. Esto da pie a una versi´on no conmutativa de algunas de las caracterizaciones previas, obtenidas por Giesy y Pisier. A saber, un espacio de operadores es BΣ -convexo si y s´olo si dicho espacio no contiene a L1 (Γ) uniformemente. Adem´as, ambas propiedades equivalen a que el espacio de operadores tenga Σ-subtipo. Como veremos, nuestra prueba no sigue los mismos pasos que la prueba original de Pisier, la cual utiliza con mucha habilidad una propiedad de submultiplicatividad de las constantes involucradas. Por contra, nosotros utilizamos los ultraproductos de espacios de operadores. Por otro lado, tambi´en hemos detectado un tipo de submultiplicatividad en nuestras constantes. Sin embargo, la presencia de los sistemas ortonormales cuantizados hace que el producto ordinario tenga que ser reemplazado por el producto tensorial. Obtenemos de este modo una propiedad que llamamos submultiplicatividad tensorial. Dicha propiedad nos permitir´a deducir ciertos corolarios interesantes. En tercer lugar nos hemos preocupado por saber qu´e relaci´on existe entre la BΣ -convexidad y el Σ-tipo no trivial. Aqu´ı es donde nuestro trabajo obtiene respuestas m´as sorprendentes. Efectivamente, hasta ahora la mayor´ıa de los resultados presentados en esta Memoria constituyen generalizaciones no conmutativas m´as o menos complicadas de resultados cl´asicos. Sin embargo, demostraremos que existen ejemplos de espacios de operadores Hilbertianos y BΣ -convexos que s´olo poseen Σ-tipo trivial. Esto, como ya hemos se˜ nalado, no sucede en la teor´ıa conmutativa. Tambi´en daremos ejemplos de espacios de Hilbert equipados con cuantizaciones para las que el espacio de operadores resultante no es ni siquiera BΣ -convexo. Por u ´ltimo, nos ocupamos de analizar la dependencia o no de la noci´on de BΣ -convexidad respecto del conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ). En principio demostraremos que no existe tal dependencia cuando nos movemos entre los conjuntos de par´ametros con dΣ no acotado. As´ı, el lector puede comprobar de nuevo que ese tipo de sistemas juega un papel relevante en nuestra teor´ıa. Por u ´ltimo, damos cierta condici´on que equivale a la independencia completa respecto de Σ. Dicha condici´on tiene que ver con la noci´on de espacio de

V.

171

Espacios de operadores B-convexos

operadores K-convexo. Probaremos que la BΣ -convexidad no depende de Σ si y s´olo si la BΣ -convexidad es equivalente a la K-convexidad. Es decir, si se tiene una versi´on no conmutativa del teorema de Pisier. En el Ap´endice A tambi´en exponemos otros resultados de gran relevancia en la teor´ıa conmutativa, tales como el teorema de Maurey-Pisier, el teorema de Bourgain o el teorema de Pisier. Dejando a un lado el teorema de Bourgain, que no estudiamos en esta Memoria, en la Parte V tambi´en haremos un hueco para analizar dichos resultados. En particular, deducimos que no existe una versi´on del teorema de Maurey-Pisier para espacios de operadores. Pasamos a resumir el contenido de la Parte V. Como ya hemos se˜ nalado, vamos a trabajar con el sistema de Steinhaus cuantizado, formado por matrices aleatorias ζ σ : Ω → U (dσ ) independientes y uniformemente distribuidas. Dado un espacio de operadores y un subconjunto finito Γ de Σ, consideramos entonces el operador Tp (Γ, E) : LpE (Γ) → L2E (Ω) definido por la relaci´on A 7−→

X

dσ tr(Aσ ζ σ ).

σ∈Γ

Definici´ on 1 Dado 1 ≤ p ≤ 2, diremos que el espacio de operadores E tiene Σ-tipo p si existe una constante Kp (E, Σ) tal que, para todo subconjunto finito Γ de Σ, se tiene que kTp (Γ, E)kcb ≤ Kp (E, Σ).

Observaci´ on 1 N´otese que nuestra definici´on de tipo difiere de la dada en la Parte IV de esta Memoria. A saber, la imagen de los operadores con los que trabajamos ha cambiado. Adem´as debido a la ausencia de desigualdades de Khintchine-Kahane en nuestro contexto, que ya observamos con anterioridad, la noci´on resultante no es ni siquiera equivalente. Sin embargo comprobaremos m´as adelante que la noci´on de Σ-tipo no trivial, que es en definitiva con la que vamos a trabajar, no depende de la definici´on escogida. Esto nos permite alterar la definici´on sin ning´ un riesgo. Adem´as, como veremos, esta definici´on se ajusta mejor a nuestros prop´ositos. Observaci´ on 2 Dado Γ un subconjunto finito de Σ, definimos ∆Γ =

X σ∈Γ

d2σ .

172

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Definici´ on 2 Sea E un espacio de operadores. Entonces, dado (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros, diremos que: E tiene Σ-subtipo si existe un subconjunto finito Γ de Σ tal que p kT2 (Γ, E)kcb < ∆Γ . E es BΣ -convexo si existe 0 < δ ≤ 1 y un subconjunto finito Γ de Σ tal que, para toda familia de matrices Aσ ∈ Mdσ ⊗ S 2 (E) indexada por Γ, se tiene que

X 1

σ σ d tr(A B ) ´ ınf

2 ≤ (1 − δ) m´ax kAσ kSd∞σ (S 2 (E)) .

σ σ∈Γ ∆Γ B σ unitaria σ∈Γ S (E) E contiene a L1 (Γ) uniformemente con par´ ametro λ si, para todo subconjunto finito Γ de Σ, existe un subespacio FΓ de S 2 (E) y un isomorfismo lineal ΛΓ : L1 (Γ) → FΓ tal que kΛΓ kcb kΛ−1 Γ k ≤ λ.

Observaci´ on 3 A primera vista, no es evidente que estemos ante las versiones adecuadas de las definiciones cl´asicas. Por ejemplo, el lector bien podr´ıa esperar que exigi´esemos que kΛΓ kcb kΛ−1 Γ kcb ≤ λ. Tampoco es claro el motivo por el que 2 tomamos el espacio S (E) y no otra clase de Schatten S p (E). No obstante, estas cuestiones quedar´an debidamente justificadas. Como ya hemos anticipado, despu´es de introducir y justificar debidamente estas nuevas nociones, pasamos a analizar las equivalencias existentes.

Teorema 1 Sea E un espacio de operadores. Entonces, dado (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros, son equivalentes: (a) E tiene Σ-subtipo. (b) E es BΣ -convexo. (c) E no contiene a L1 (Γ) uniformemente.

V.

173

Espacios de operadores B-convexos

Observaci´ on 4 Entre otras t´ecnicas, la principal novedad en nuestra prueba es la aparici´on de ultraproductos de espacios de operadores. La independencia y la distribuci´on uniforme de las matrices aleatorias de Steinhaus tambi´en juegan en la demostraci´on un papel importante. Sea (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros. Entonces, dados dos subconjuntos Γ1 y Γ2 de Σ, definimos su producto tensorial como Γ1 ⊗ Γ2 = σ1 ⊗ σ2 : σj ∈ Γj , j = 1, 2

donde dσ1 ⊗σ2 = dσ1 dσ2 .

Diremos que (Σ, dΣ ) es ⊗-cerrado si, para cada par (Γ1 , Γ2 ) de subconjuntos de Σ, existe una aplicaci´on inyectiva j : Γ1 ⊗ Γ2 → Σ tal que dj(σ1 ⊗σ2 ) = dσ1 ⊗σ2 para todo σ1 ⊗ σ2 ∈ Γ1 ⊗ Γ2 . Por u ´ltimo, dado un subconjunto finito Γ de Σ, definimos 1 kT2 (Γ, E)kcb . NΓ (E) = √ ∆Γ El siguiente resultado proporciona la propiedad de submultiplicatividad anunciada. Lema 1 Sea (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros ⊗-cerrado. Entonces, dados dos subconjuntos finitos Γ1 y Γ2 de Σ, se tiene que NΓ1 ⊗Γ2 (E) ≤ NΓ1 (E) NΓ2 (E).

Observaci´ on 5 Como es natural, uno deber´ıa esperar que la BΣ -convexidad sea una propiedad estable bajo isomorf´ıa completa. Como veremos, esta propiedad se deduce como consecuencia de la submultiplicatividad antes enunciada. Otra de las propiedades cl´asicas, que se desprenden del Lema 1, es el hecho de que la propiedad de contener λ-uniformemente a L1 (Γ) no depende del par´ametro λ > 1. Demostraremos ambos resultados en el Cap´ıtulo 9. La siguiente etapa en nuestro estudio consiste en analizar la relaci´on que existe entre la BΣ -convexidad y la propiedad de tener Σ-tipo no trivial. La prueba del resultado que sigue es sencilla. Proposici´ on 1 Sea (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros. Si un espacio de operadores tiene Σ-tipo no trivial, entonces es un espacio BΣ -convexo.

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An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

No obstante, el problema realmente interesante no es otro que decidir si el rec´ıproco de dicho resultado es cierto. Como ya hemos anunciado, aqu´ı la teor´ıa no conmutativa se desmarca de la teor´ıa cl´asica. A saber, hemos encontrado ciertos espacios de operadores BΣ -convexos que s´olo tienen Σ-tipo trivial. Para enunciar nuestro resultado necesitamos fijar antes la notaci´on. Sea Σ0 el conjunto cl´asico de par´ametros. Es decir, Σ0 = N y dσ = 1 para todo σ ∈ Σ0 . Por otro lado, sean R y C los espacios de Hilbert fila y columna respectivamente. Entonces, dado un ´ındice 0 < θ < 1, escribiremos R(θ) = (R, C)θ

y

C(θ) = (C, R)θ .

Adem´as convenimos que R(0) = C(1) = R y que R(1) = C(0) = C. Los or´ıgenes del siguiente teorema se remontan a un resultado no publicado de Magdalena Musat, que asegura que S 2 (R) y S 2 (C) son espacios de Banach superreflexivos. Despu´es de algunas conversaciones, iniciadas por Marius Junge y Gilles Pisier, Timur Oikhberg encontr´o una prueba sorprendentemente sencilla del resultado de Musat. En la prueba del siguiente teorema adecuamos las t´ecnicas de Oikhberg, fundamentalmente basadas en el m´etodo de interpolaci´on compleja para espacios de operadores, para resolver nuestro problema. Teorema 2 Dado 1 ≤ p ≤ 2, se tiene que los espacios de operadores R(1/p) y C(1/p) son espacios BΣ0 -convexos con Σ0 -tipo ´optimo p. Observaci´ on 6 En particular, nuestro resultado muestra que los espacios de Hilbert fila y columna son BΣ0 -convexos pero s´olo poseen Σ0 -tipo trivial. Adem´as, dado un exponente 1 ≤ p ≤ 2, obtenemos dos espacios de operadores BΣ0 -convexos, con Σ0 -tipo o´ptimo p y con la sorprendente propiedad de que todos ellos resultan ser cuantizaciones de un mismo espacio de Hilbert. Observaci´ on 7 El lector podr´ıa pensar que este contraejemplo se da s´olo para el conjunto cl´asico de par´ametros Σ0 . No obstante demostraremos que, dado otro conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ), todo espacio de operadores que sea BΣ0 -convexo es autom´aticamente BΣ -convexo. Observaci´ on 8 Como veremos, una de las principales consecuencias del Teorema 2 es que no existe una versi´on no conmutativa del teorema de Maurey-Pisier. Observaci´ on 9 Aunque no vamos a dar aqu´ı los detalles, tambi´en obtenemos ejemplos de espacios de operadores Hilbertianos que ni siquiera son BΣ0 -convexos.

V.

175

Espacios de operadores B-convexos

Finalmente, cerramos la Parte V con un estudio de la dependencia de la noci´on de BΣ -convexidad respecto del conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ). Comenzamos con el siguiente resultado parcial, en el que las equivalencias obtenidas en el Teorema 1 son esenciales. Proposici´ on 2 Sean (Σ1 , dΣ1 ) y (Σ2 , dΣ2 ) dos conjuntos de par´ametros. Entonces, si las familias de enteros positivos dΣ1 y dΣ2 no son acotadas, un espacio de operadores es BΣ1 -convexo si y s´olo si es BΣ2 -convexo. Por otro lado el problema de decidir si se tiene independencia respecto de Σ, cuando consideramos al tiempo todos los posibles conjuntos de par´ametros, parece ser mucho m´as complicado. Nuestro u ´nico progreso en este sentido ha sido obtener cierta condici´on equivalente a la mencionada independencia. Antes de enunciar dicha condici´on necesitamos la siguiente definici´on. Definici´ on 3 Sea (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros. Entonces, dado un exponente 1 < r < ∞, diremos que el espacio de operadores E es KrΣ -convexo si la proyecci´on X dσ tr(fb(σ)γ σ ) ∈ LrE (Ω) f ∈ LrE (Ω) 7−→ σ∈Σ

es completamente acotada. Aqu´ı, las matrices aleatorias γ σ representan los elementos del sistema de Gauss cuantizado de par´ametros (Σ, dΣ ). Observaci´ on 10 Demostraremos que la noci´on de KrΣ -convexidad no depende del exponente r ni del conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ). Por tanto, esto da lugar a la noci´on de espacio de operadores K-convexo. La noci´on de K-convexidad para espacios de operadores es por tanto muy u ´til para determinar si la BΣ -convexidad es independiente de Σ. El resultado que sigue evidencia este hecho. Teorema 3 Las siguientes propiedades son equivalentes: (a) La BΣ -convexidad no depende de Σ. (b) Todo espacio de operadores BΣ -convexo es K-convexo.

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An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Observaci´ on 11 N´otese que la segunda condici´on del Teorema 3 constituye la versi´on, para espacios de operadores y sistemas ortonormales cuantizados, de lo que se conoce en la teor´ıa cl´asica como teorema de Pisier. Observaci´ on 12 Dado un espacio de probabilidad Ω y una familia f1 , f2 , . . . fn de variables aleatorias independientes definidas en Ω, se tiene la siguiente equivalencia de normas para 1 ≤ p ≤ q < ∞ n Z X Ω

k=1

|fk (ω)|p

q/p

dµ(ω)

1/q

'

n X k=1

kfk kpLp (Ω)

1/p

+

n X

kfk kqLq (Ω)

1/q

.

k=1

En un trabajo conjunto con Marius Junge [40], demostraremos una versi´on no conmutativa de esta equivalencia. Las t´ecnicas esenciales empleadas en la prueba son las propiedades del producto tensorial de Haagerup, as´ı como las desigualdades para martingalas no conmutativas [38, 39, 70]. Una de las principales aplicaciones de dicha expresi´on, es el hecho de que las propiedades que aparecen en el Teorema 3 son ciertas. Para ello, construimos cierta inclusi´on de la clase de Schatten Sn1 en el espacio S 2 (`1 (m)) en la que las constantes no dependen de n ni de m. M´as adelante justificaremos con m´as detalle la relaci´on entre estas inclusiones y la versi´on no conmutativa del teorema de Pisier. Nuevamente quiero agradecer a Marius Junge, Magdalena Musat y Gilles Pisier las innumerables y esclarecedoras conversaciones sobre el contenido de mi trabajo. Durante una estancia breve, en la Universidad de Texas A&M, estuve recibiendo de ellos un incesante flujo de ideas y sugerencias.

9 BΣ-convexidad y nociones equivalentes

Comenzamos por definir la noci´on de espacio de operadores B-convexo, que a priori depende del conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ). Alguna de las caracterizaciones cl´asicas de esta condici´on geom´etrica para espacios de Banach son obtenidas en este nuevo contexto. As´ı, un espacio de operadores es BΣ -convexo si y s´olo si tiene Σ-subtipo. Adem´as, ambas propiedades son equivalentes a que dicho espacio de operadores no contenga a L1 (Γ) uniformemente. Por u ´ltimo, observamos que se da cierto tipo de submultiplicatividad tensorial, que generaliza a la que presentan las constantes involucradas en la teor´ıa conmutativa. Esto ser´a de utilidad para obtener algunas aplicaciones.

9.1 Definiciones y resultados previos En lo que resta seguiremos la misma notaci´on que hemos empleado en la Parte IV de esta Memoria. A saber, (Ω, M, µ) denotar´a un espacio de probabilidad sin a´tomos y dΣ = {dσ : σ ∈ Σ} ser´a una familia de enteros positivos indexada por Σ. El sistema cuantizado de Steinhaus asociado a los par´ametros (Σ, dΣ ) es una colecci´on S = {ζ σ : Ω → U (dσ )}σ∈Σ de matrices aleatorias unitarias e independientes tal que, cada matriz aleatoria ζ σ , est´a uniformemente distribuida en el grupo unitario U (dσ ) equipado con su medida de Haar normalizada λσ . Por otro lado, dados 1 ≤ p ≤ ∞ y un subconjunto Γ de Σ, definimos el operador Tp (Γ, E) por la relaci´on X A ∈ LpE (Γ) 7−→ dσ tr(Aσ ζ σ ) ∈ L2E (Ω). σ∈Γ

Escribiremos Tp (Σ, E) = Tp (E). Para Γ finito, tambi´en definimos ∆Γ =

X σ∈Γ

177

d2σ .

178

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Definici´ on 9.1 Dado 1 ≤ p ≤ 2, diremos que el espacio de operadores E tiene Σ-tipo p si existe una constante Kp (E, Σ) tal que, para todo subconjunto finito Γ de Σ, se tiene que kTp (Γ, E)kcb ≤ Kp (E, Σ). Observaci´ on 9.2 El motivo por el cual hemos decidido trabajar con el sistema cuantizado de Steinhaus, en lugar de con la versi´on cuantizada del sistema de Rademacher, se debe a que los espacios de operadores est´an definidos sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos. Esto nos lleva a que, en determinados puntos de las pruebas que vamos a ofrecer, sea m´as sencillo trabajar con matrices unitarias que con matrices ortogonales. La necesidad de utilizar la descomposici´on polar de una matriz ilustra nuestra elecci´on. No obstante, como ya se apunt´o en el Cap´ıtulo 7, esto no constituye una p´erdida de generalidad pues las nociones de Σ-tipo de Rademacher y Σ-tipo de Steinhaus son equivalentes. Observaci´ on 9.3 Nuestra definici´on de tipo depende de la familia de par´ametros con la que trabajamos. Si tomamos Σ0 = N y dσ = 1 para todo σ ∈ Σ0 , entonces nos encontramos ante el sistema cl´asico de Steinhaus y la Definici´on 9.1 constituye la versi´on completamente acotada de la definici´on cl´asica de tipo de Steinhaus. En lo que resta de esta Memoria, nos referiremos a Σ0 como el conjunto cl´asico de par´ametros. El lector podr´ıa pensar que esta es la noci´on adecuada de tipo en la categor´ıa de espacios de operadores y que no existe ning´ un motivo para trabajar con todos los posibles conjuntos de par´ametros. Pero debemos recordar que, en nuestro estudio del teorema de Kwapie´ n, observamos que aquellos conjuntos de par´ametros con dΣ no acotado son especialmente importantes en la teor´ıa. Otra situaci´on en donde se pone de manifiesto la relevancia de esta familia de sistemas aparecer´a en el Cap´ıtulo 10, donde demostraremos que la noci´on de BΣ -convexidad no depende de Σ cuando s´olo consideramos los conjuntos de par´ametros (Σ, dΣ ) que satisfacen que dΣ no es acotado. Observaci´ on 9.4 Como ya hicimos notar en la Observaci´on 7.17, la ausencia de las desigualdades de Khintchine-Kahane para espacios de operadores nos fuerza a escoger un exponente q en la definici´on de Σ-tipo. Nuestra elecci´on en la Definici´on 9.1 ha sido tomar q igual a 2 independientemente del valor de p. Esta elecci´on difiere de la del Cap´ıtulo 7, donde tomamos q como el exponente conjugado de p para definir Σ-tipo p. El motivo de esta diferencia es que, mientras que en la Parte IV nuestra definici´on proporciona una teor´ıa general de tipo y cotipo para todos los sistemas cuantizados con una cota uniforme, aqu´ı nuestra elecci´on

9.

179

BΣ -convexidad y nociones equivalentes

simplifica enormemente las pruebas de nuestros resultados. No obstante, aunque estamos trabajando con una noci´on de Σ-tipo distinta, nuestros resultados s´olo utilizan la noci´on de Σ-tipo no trivial para la que la elecci´on de q es indiferente. Es decir, un espacio de operadores tiene Σ-tipo no trivial respecto de una de nuestras definiciones de Σ-tipo si y s´olo si tiene Σ-tipo no trivial respecto de la otra definici´on. A saber, dado 1 ≤ q < ∞, definimos el operador Tqp (E) por la relaci´on X A ∈ LpE (Σ) 7−→ dσ tr(Aσ ζ σ ) ∈ LqE (Ω). σ∈Σ

Entonces es suficiente con ver que, dados 1 ≤ q1 < q2 < ∞, existe 1 < p1 ≤ 2 con Tqp11 (E) completamente acotado si y s´olo si existe 1 < p2 ≤ 2 con Tqp22 (E) completamente acotado. La acotaci´on completa de Tqp2 (E) obviamente implica la acotaci´on completa de Tqp1 (E), pues el operador identidad LqE2 (Ω) → LqE1 (Ω) es completamente contractivo. Nuestra afirmaci´on se sigue f´acilmente del m´etodo de interpolaci´on compleja para espacios de operadores y la desigualdad integral de Minkowski cuantizada, que demostramos en el Cap´ıtulo 4 de esta Memoria. Rec´ıprocamente, supongamos que Tqp11 (E) es completamente acotado. Entonces, puesto que la norma cb de T∞ 1 (E) es 1 para todo espacio de operadores E, por interpolaci´on compleja existe alg´ un 1 < p2 < p1 tal que Tqp22 (E) es completamente acotado. Es decir, la noci´on de Σ-tipo no trivial no depende de la elecci´on de q en la definici´on de Σ-tipo. Seguimos generalizando ciertas nociones de la teor´ıa conmutativa. Para ello necesitamos utilizar los n´ umeros ∆Γ definidos antes para cada subconjunto finito Γ de Σ. Sea E un espacio de operadores y sea (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros. Decimos que E tiene Σ-subtipo si existe un subconjunto finito Γ de Σ, tal que p kT2 (Γ, E)kcb < ∆Γ . Ahora introducimos los espacios de operadores BΣ -convexos as´ı como aquellos que contienen a L1 (Γ) uniformemente. Como en las definiciones previas, si trabajamos con el conjunto cl´asico de par´ametros Σ0 , obtenemos la versi´on completamente acotada de las nociones cl´asicas. Definici´ on 9.5 Sea E un espacio de operadores. Entonces, dado un conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ), diremos que: E es BΣ -convexo si existe 0 < δ ≤ 1 y un subconjunto finito Γ de Σ tal que, para toda familia de matrices Aσ ∈ Mdσ ⊗ S 2 (E) indexada por Γ, se tiene la

180

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

desigualdad 1 ∆Γ

Bσ

´ınf

unitaria

X

σ σ dσ tr(A B )

σ∈Γ

S 2 (E)

≤ (1 − δ) m´ax kAσ kSd∞σ (S 2 (E)) . σ∈Γ

E contiene a L1 (Γ) uniformemente con par´ ametro λ si, para todo subconjunto finito Γ de Σ, existe un subespacio FΓ de S 2 (E) y un isomorfismo lineal ΛΓ : L1 (Γ) → FΓ tal que kΛΓ kcb kΛ−1 Γ k ≤ λ. Observaci´ on 9.6 Si nos fijamos en lo que ocurre para el conjunto cl´asico de par´ametros Σ0 , es evidente que la condici´on de BΣ0 -convexidad de E no es otra cosa que la B-convexidad de S 2 (E) como espacio de Banach. Por otro lado, para dicho conjunto de par´ametros, se tiene que E contiene a L1 (Γ) uniformemente si y s´olo si S 2 (E) contiene a `1 (n) uniformemente como espacio de Banach. Efectivamente, esto es consecuencia de que la norma cb de ΛΓ coincide con la norma cl´asica de operadores, pues se trata de un operador definido en un espacio de operadores equipado con la cuantizaci´on maximal. Observaci´ on 9.7 Puede no ser claro el motivo por el cual, en la Definici´on 9.5, aparece la clase de Schatten S 2 (E) y no cualquier otra clase S p (E). M´as adelante comprobaremos que, dado 1 < p < ∞, la noci´on de BΣ -convexidad no cambia si sustituimos el espacio S 2 (E) por la clase de Schatten S p (E). De forma an´aloga, demostraremos que podemos utilizar cualquier exponente 1 < p < ∞ para definir la propiedad de contener a L1 (Γ) uniformemente. No obstante, los exponentes extremos p = 1, ∞ no sirven para definir las nociones introducidas. Aunque no lo justificaremos aqu´ı, dado un conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ), se puede comprobar que utilizando los exponentes extremos la Definici´on 9.5 dar´ıa lugar a que todos los espacios de operadores contienen a L1 (Γ) uniformemente y que ning´ un espacio de operadores es BΣ -convexo. Observaci´ on 9.8 El lector podr´ıa suponer que, en la Definici´on 9.5, deber´ıamos imponer la condici´on kΛΓ kcb kΛ−1 Γ kcb ≤ λ. Es decir, utilizar la distancia cb de la misma manera que en la noci´on cl´asica se utiliza la distancia de Banach-Mazur. Sin embargo, la noci´on que hemos introducido se puede considerar como un h´ıbrido entre la distancia de Banach-Mazur y la distancia cb. Nuestra elecci´on se justifica m´as adelante, cuando probamos las equivalencias entre las nociones previamente introducidas. Otra manera de justificar nuestra elecci´on se fundamenta en que,

9.

181

BΣ -convexidad y nociones equivalentes

si buscamos una noci´on equivalente al Σ-subtipo, tenemos que tener en cuenta que el operador T2 (Γ, E) est´a definido en un espacio de Lebesgue no conmutativo pero toma valores en un espacio de Lebesgue cl´asico. De forma que, ni la distancia cb ni la distancia de Banach-Mazur reflejan adecuadamente lo que buscamos. No obstante, como veremos, algo que vive a medio camino como la noci´on introducida en la Definici´on 9.5 satisface la equivalencia deseada. El pr´oximo resultado ser´a utilizado espor´adicamente en lo que sigue. Hemos decidido demostrarlo, pues no hemos encontrado ninguna referencia. Lema 9.9 Dado un espacio de operadores E y un entero positivo n, se tiene que: (a) Si 1 ≤ p < q ≤ ∞, entonces kAkSnp (E) ≤ n1/p−1/q kAkSnq (E) . √ (b) Si kAkSn1 (E) = n kAkSn2 (E) , entonces kAkSn1 (E) = n kAkSn∞ (E) . Demostraci´ on. El apartado (a), para p = 1 y q = ∞, es una sencilla consecuencia del Corolario 9.8 de [67]. El caso general se sigue por interpolaci´on compleja. Para probar (b), podemos asumir por homogeneidad que kAkSn2 (E) = 1. Por otro lado, el Teorema 2.9 nos permite escribir kAkSn2 (E) = ´ınf kαkSn4 kBkSn∞ (E) kβkSn4 = 1 A=αBβ

donde α, β ∈ Mn y B ∈ Mn ⊗E. Adem´as, si F denota el subespacio de E generado por las entradas de A, podemos tomar B ∈ Mn ⊗F . En particular, para todo k ≥ 1 podemos encontrar αk , βk ∈ Mn y Bk ∈ Mn ⊗ F tales que A = αk Bk βk ,

1 ≤ kαk kSn4 < 1 + 1/k

y

kBk kSn∞ (F ) = kβk kSn4 = 1.

Puesto que F es de dimensi´on finita, sabemos que la sucesi´on (αk , Bk , βk ) pertenece a un subconjunto compacto de Sn4 × Sn∞ (E) × Sn4 . Por tanto, por acumulaci´on, existen α0 , β0 ∈ Mn y B0 ∈ Mn ⊗ F tales que A = α0 B0 β0

y

kα0 kSn4 = kB0 kSn∞ (F ) = kβ0 kSn4 = 1.

Pero entonces, de nuevo por el Teorema 2.9, se tiene que √ kα0 kSn2 kβ0 kSn2 ≥ kAkSn1 (E) = n. Por otro lado, tomando p = 2 y q = 4 en el apartado (a), deducimos que kα0 kSn2 , kβ0 kSn2 ≤ n1/4 . En resumen, hemos obtenido que kα0 kSn2 = kβ0 kSn2 = n1/4

y

kα0 kSn4 = kβ0 kSn4 = 1.

182

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Los resultados obtenidos nos llevan a que, si nos fijamos en los autovalores de |α0 | y |β0 |, se tiene una igualdad en la desigualdad de H¨older. De ah´ı se deduce f´acilmente la existencia de dos matrices unitarias U, V ∈ U (n) tales que α0 = n−1/4 U y β0 = n−1/4 V . Por consiguiente, 1 kAkSn∞ (E) ≤ kα0 kSn∞ kB0 kSn∞ (E) kβ0 kSn∞ = √ . n Esto nos proporciona la desigualdad kAkSn1 (E) ≥ n kAkSn∞ (E) , la otra desigualdad es una sencilla consecuencia del apartado (a). Esto completa la prueba. 2

9.2 Caracterizaciones de la BΣ -convexidad Nos centramos a continuaci´on en probar las equivalencias existentes entre las nociones previamente definidas. Para ello comenzamos por fijar un conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ). En primer lugar, necesitamos demostrar un resultado auxiliar. Lema 9.10 Sea F un espacio de operadores y sea Γ un subconjunto finito de Σ. Supongamos que, para todo ε > 0, existe una familia de matrices Xεσ ∈ Mdσ ⊗ F con σ ∈ Γ y tales que

2 Z X 1/2

dσ tr(Xεσ ζ σ (ω)) dµ(ω) ≥ ∆Γ − ε.

Ω

X σ∈Γ

F

σ∈Γ

1/2

dσ kXεσ k2S 2

dσ (F )

=

p ∆Γ .

Entonces se tiene que m´ax kXεσ kSd∞σ (F ) ≤ 1+ξ(ε), donde ξ(ε) → 0+ cuando ε → 0+ . σ∈Γ

Demostraci´ on. Sea U un ultrafiltro en R+ que contiene a todos los intervalos (0, ε) con ε > 0 y denotemos por FbU al correspondiente ultraproducto de espacios de operadores. Es decir, siguiendo la notaci´on empleada en el Cap´ıtulo 1, se tiene Y FbU = Fi /U donde Fi = F para todo i ∈ I. i∈I

Definimos entonces X σ = (Xεσ )U para σ ∈ Γ. La matriz X σ pertenece al producto tensorial Mdσ ⊗ FbU . Obviamente tenemos que

9.

183

BΣ -convexidad y nociones equivalentes

2 Z X 1/2

dσ tr(X σ ζ σ (ω)) dµ(ω) ≥ ∆Γ .

b Ω

X

FU

σ∈Γ

1/2

dσ kX σ k2S 2

dσ (FU )

σ∈Γ

=

p

b

∆Γ .

Debido a la desigualdad de H¨older y al Lema 9.9, podemos escribir Z X 2 1/2 ∆Γ ≤ dσ kX σ kS 1 (FbU ) kζ σ (ω)kSd∞σ dµ(ω) Ω

X

≤

dσ

σ∈Γ

dσ

p

dσ kX σ kS 2

dσ (FU )

σ∈Γ

≤

b

p X ∆Γ dσ kX σ k2S 2

1/2

dσ (FU )

σ∈Γ

b

= ∆Γ .

En particular, todas las desigualdades anteriores son de hecho igualdades. Por tanto, obtenemos las expresiones p p kX σ kS 1 (FbU ) = dσ kX σ kS 2 (FbU ) y dσ = c0 dσ kX σ kS 2 (FbU ) dσ

dσ

dσ

para cierta constante positiva c0 y todo σ ∈ Γ. Ahora bien, el Lema 9.9 nos asegura entonces que kX σ kS ∞ (FbU ) = 1/c0 . Pero c0 = 1 ya que se tiene dσ

X 1 ∆ = dσ kX σ k2S 2 (Fb ) = ∆Γ . Γ 2 U dσ c0 σ∈Γ De manera que obtenemos la relaci´on m´ax kX σ kS ∞ (FbU ) = 1. σ∈Γ

dσ

∞ Finalmente, por la isometr´ıa Sd∞σ (FbU ) = S\ dσ (F )U que se desprende de la propia definici´on de ultraproducto de espacios de operadores, se concluye la prueba. 2

Teorema 9.11 Sea (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes para todo espacio de operadores E: (a) E tiene Σ-subtipo. (b) E es BΣ -convexo. (c) Existe λ > 1 tal que E no contiene λ-uniformemente a L1 (Γ).

184

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Demostraci´ on. Supongamos que E tiene Σ-subtipo y veamos entonces que E √ es tambi´en BΣ -convexo. Sabemos que kT2 (Γ, E)kcb = (1 − δ) ∆Γ para cierto subconjunto finito Γ de Σ y cierto 0 < δ ≤ 1. En particular, podemos escribir

X

1 1

X σ σ σ σ dσ tr(A B ) ≤ ´ınf dσ tr(A ζ )

∆Γ B σ unitaria σ∈Γ ∆Γ σ∈Γ S 2 (E) S 2 (L2E (Ω)) (1 − δ) √ kAkS 2 (L2E (Γ)) . ∆Γ

≤

Entonces se deduce f´acilmente el resultado puesto que, por el Lema 9.9, se tiene p kAkL2 2 (Γ) ≤ ∆Γ m´ax kAσ kSd∞σ (S 2 (E)) . σ∈Γ

S (E)

Ahora, para ver que todo espacio de operadores BΣ -convexo no contiene a L (Γ) λ-uniformemente para cierto λ > 1, probamos el contrarrec´ıproco. Es decir, asumimos que E contiene λ-uniformemente a L1 (Γ) para todo λ > 1 y queremos ver que entonces E no puede ser BΣ -convexo. Sabemos que, para todo λ > 1 y todo Γ subconjunto finito de Σ, existe un subespacio FΓ de S 2 (E) y cierto isomorfismo lineal ΛΓ : L1 (Γ) → FΓ 1

1

A ∈ L (Γ) 7−→

dσ XX

aσij xσij ∈ FΓ

donde Aσ = (aσij ),

σ∈Γ i,j=1

tal que kΛΓ kcb = 1 y kΛ−1 Γ k ≤ λ. Por otro lado, si σ ∈ Γ y definimos la matriz σ −1 σ X = dσ (xij ), se tiene que kX σ kSd∞σ (S 2 (E)) = ktr(X σ ·)kCB(Sd1

σ

,S 2 (E))

≤ kΛΓ kcb = 1.

De manera que, la desigualdad anterior y la estimaci´on dada para la norma cb de Λ−1 Γ , nos permite escribir 1 ∆Γ

´ınf σ

B unitaria

X

σ σ d tr(X B )

σ σ∈Γ

S 2 (E)

≥

1 m´ax kX σ kSd∞σ (S 2 (E)) λ σ∈Γ

puesto que kBkL1 (Γ) = ∆Γ cuando B σ ∈ U (dσ ) para todo σ ∈ Γ. En particular, tomando λ → 1+ , se concluye que E no es BΣ -convexo. Es decir, s´olo nos queda ver que todo espacio de operadores que no contenga λ-uniformemente a L1 (Γ) para cierto λ > 1 tiene Σ-subtipo. Probaremos nuevamente el contrarrec´ıproco. √ Supongamos que kT2 (Γ, E)kcb = ∆Γ para todo subconjunto finito Γ de Σ. Tenemos que demostrar que, en tales condiciones, E contiene uniformemente a

9.

185

BΣ -convexidad y nociones equivalentes

L1 (Γ) con par´ametro λ para cualquier valor de λ > 1. Haciendo uso del Corolario 2.12 obtenemos la relaci´on kT2 (Γ, E)kcb = kT2 (Γ, S 2 (E))k. En particular, para todo ε > 0 existen Xεσ ∈ Mdσ ⊗ S 2 (E) tales que Z X

2

dσ tr(Xεσ ζ σ (ω)) dµ(ω) ≥ ∆2Γ − ε.

2 Ω

S (E)

σ∈Γ

X

dσ kXεσ k2S 2

dσ (S

σ∈Γ

2 (E))

= ∆Γ .

Adem´as, la desigualdad de H¨older nos proporciona

X

X

σ σ dσ kXεσ kSd2 (S 2 (E)) kζ σ (ω)kSd2 ≤ ∆Γ . dσ tr(Xε ζ (ω)) ≤

2 σ σ S (E)

σ∈Γ

σ∈Γ

X

2

σ σ dσ tr(Xε ζ (ω)) Dicho de otro modo, si definimos fε (ω) = 2 0 ≤ fε ≤

∆2Γ

y

∆2Γ

, se tiene que

S (E)

σ∈Γ

Z

fε (ω) dµ(ω) ≤ ∆2Γ .

−ε≤ Ω

En particular, µ{ω ∈ Ω : fε (ω) < ∆2Γ − kε} ≤ 1/k para todo k ≥ 1. Por otro lado, fijada una matriz unitaria U0σ ∈ U (dσ ) para cada σ ∈ Γ, definimos U0 (σ, δ) = U σ ∈ U (dσ ) : kU σ − U0σ kSd2 < δ . σ

Entonces observamos que, debido a la independencia de las matrices aleatorias ζ σ y a su distribuci´on uniforme en U (dσ ) respecto de la medida normalizada de Haar λσ en U (dσ ), obtenemos Y MΓ (δ) = µ ω ∈ Ω : ζ σ (ω) ∈ U0 (σ, δ), σ ∈ Γ = λσ (U0 (σ, δ)) > 0. σ∈Γ

Por lo tanto, tomando k0 (δ) tal que MΓ (δ) > k0 (δ)−1 , deducimos que µ{ω ∈ Ω : fε (ω) < ∆2Γ − k0 (δ)ε} < MΓ (δ). Es decir, existe cierto ω0 ∈ Ω tal que ζ σ (ω0 ) ∈ U0 (σ, δ) para todo σ ∈ Γ y tal que fε (ω0 ) ≥ ∆2Γ − k0 (δ)ε. De modo que q

X

X

∆2Γ − k0 (δ)ε ≤ dσ tr(Xεσ [ζ σ (ω0 ) − U0σ ]) + dσ tr(Xεσ U0σ ) σ∈Γ

S 2 (E)

σ∈Γ

S 2 (E)

186

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

donde el primer sumando satisface

X X

σ σ σ ≤ dσ kXεσ kSd2 dσ tr(Xε [ζ (ω0 ) − U0 ])

S 2 (E)

σ∈Γ

σ

(S 2 (E)) kζ

σ

(ω0 ) − U0σ kSd2 < δ∆Γ . σ

σ∈Γ

De forma que, tomando ε(δ) = δ/k0 (δ), es sencillo comprobar que

X

σ σ ) ≥ ∆Γ − γ1 (δ) U d tr(X

σ ε(δ) 0 2 S (E)

σ∈Γ

donde ε(δ), γ1 (δ) → 0+ cuando δ → 0+ . Adem´as, si escogemos cualquier otra colecci´on de matrices unitarias U0σ ∈ U (dσ ), se obtiene la misma desigualdad con el mismo γ1 (δ). Efectivamente, esto se sigue de que el valor de k0 (δ) no depende de nuestra elecci´on de matrices unitarias, pues tampoco lo hace λσ (U0 (σ, δ)) debido a la invariancia por traslaciones de la medida de Haar. Efectivamente, si considero otra matriz U1σ ∈ U (dσ ) se tiene que U0σ = U1σ Aσ para cierta matriz unitaria Aσ . Entonces, se tiene que U0 (σ, δ) = U σ ∈ U (dσ ) : kU σ − U1σ Aσ kSd2 < δ = U1 (σ, δ) Aσ . σ

En particular, si tomamos A ∈ L1 (Σ) de norma 1, utilizamos la descomposici´on polar –v´ease la Proposici´on 2.1– para escribir Aσ = UAσ |Aσ | con UAσ ∈ U (dσ ). Entonces, se tiene que

X

X

σ σ σ σ σ dσ tr(Xε(δ) UA [I − |A |]) dσ tr(Xε(δ) A ) ∆Γ − γ1 (δ) ≤ + S 2 (E)

σ∈Γ

donde el primer sumando satisface

X

σ dσ tr(Xε(δ) UAσ [I − |Aσ |])

2 σ∈Γ

≤

S (E)

X

σ∈Γ

S 2 (E)

σ dσ kXε(δ) kSd∞σ (S 2 (E)) kI − |Aσ |kSd1

σ

σ∈Γ

≤ (1 + ξ(δ)) (∆Γ − 1) con ξ(δ) → 0+ cuando δ → 0+ . La u ´ltima desigualdad es consecuencia del Lema σ 9.10 y de que I − |A | ≥ 0. Consideramos ahora el subespacio FΓ de S 2 (E) que σ est´a generado por las entradas de Xε(δ) cuando σ recorre Γ. N´otese que las desigualdades previas nos permiten deducir que dichas entradas forman un sistema linealmente independiente. Esto nos lleva a considerar el isomorfismo lineal ΛΓ definido por X σ A ∈ L1 (Γ) 7−→ dσ tr(Xε(δ) Aσ ) ∈ FΓ . σ∈Γ

9.

187

BΣ -convexidad y nociones equivalentes

Las desigualdades obtenidas nos proporcionan la estimaci´on kΛ−1 Γ k ≤ 1 + γ2 (δ) + + para cierto γ2 (δ) > 0 que satisface γ2 (δ) → 0 cuando δ → 0 . Adem´as, se tiene que kΛΓ kcb ≤ 1 + ξ(δ). A saber, dado A ∈ S 1 (L1 (Γ)), tenemos

X

σ Aσ ) dσ tr(Xε(δ)

S 1 (S 2 (E))

σ∈Γ

X

≤

σ kSd∞σ (S 2 (E)) kAσ kSd1 dσ kXε(δ)

σ

(S 1 )

σ∈Γ

≤ (1 + ξ(δ)) kAkS 1 (L1 (Γ)) donde la primera desigualdad es consecuencia del Lema 3.10. N´otese que la prueba dada de dicho resultado sigue siendo v´alida cuando aparecen clases de Schatten de dimensi´on infinita. Es decir, hemos visto que kΛΓ kcb = kΛΓ ⊗ IS 1 k ≤ 1 + ξ(δ). Por consiguiente kΛΓ kcb kΛ−1 Γ k ≤ 1 + γ3 (δ)

con γ3 (δ) → 0+ cuando δ → 0+ .

As´ı que, tomando δ → 0+ se deduce que E contiene a L1 (Γ) uniformemente con par´ametro λ para todo λ > 1. Esto completa la demostraci´on. 2 Observaci´ on 9.12 Existe un argumento alternativo para demostrar la u ´ltima implicaci´on del Teorema 9.11. A saber, se trata de explotar algo m´as la teor´ıa de ultraproductos de espacios de operadores, utiliz´andola en otros puntos adem´as del Lema 9.10. El argumento mencionado, que no incluimos aqu´ı, es quiz´as algo m´as corto. No obstante, consideramos que la prueba que finalmente hemos incluido en la Memoria ilustra con mayor claridad las ideas utilizadas. Como ya se˜ nalamos en la Observaci´on 9.7, es muy natural preguntarse si la Definici´on 9.5 se ve afectada si cambiamos S 2 (E) por S p (E) para 1 < p < ∞. La noci´on de BΣ -convexidad no deber´ıa depender del exponente escogido. En el siguiente resultado utilizamos las caracterizaciones obtenidas en el Teorema 9.11 para demostrar que afortunadamente as´ı es. Corolario 9.13 Un espacio de operadores E es BΣ -convexo si y s´olo si existe un subconjunto finito Γ de Σ tal que 1 ∆Γ

´ınf σ

B unitaria

X

σ σ d tr(A B )

σ σ∈Γ

S p (E)

≤ (1 − δ) m´ax kAσ kSd∞σ (S p (E)) σ∈Γ

para alg´ un 1 < p < ∞ y toda familia de matrices Aσ ∈ Mdσ ⊗ S p (E).

188

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Demostraci´ on. Debido al Corolario 2.12 y al Teorema 9.11, podemos decir que E es BΣ -convexo si y s´olo si existe un subconjunto finito Γ de Σ tal que kT2 (Γ, S 2 (E))k < √ ∆Γ . Por otro lado, dados 1 < p, q < ∞, afirmamos que p p kT2 (Γ, S p (E))k < ∆Γ ⇐⇒ kT2 (Γ, S q (E))k < ∆Γ . Efectivamente, dado un espacio de operadores F , la desigualdad de H¨older nos asegura que

2 Z X 1/2 p X 1/2

dσ tr(Aσ ζ σ (ω)) dµ(ω) ≤ ∆Γ . dσ kAσ k2S 2 (F )

d Ω

σ∈Γ

F

σ∈Γ

σ

√ Es decir, se tiene kT2 (Γ, F )k ≤ ∆Γ para todo espacio de operadores F . Entonces, nuestra afirmaci´on se sigue por interpolaci´on compleja con S 1 (E) y S ∞ (E), seg´ un el caso. En particular, dado 1 < p < ∞, hemos probado que E es BΣ -convexo √ si y s´olo si existe un subconjunto finito Γ de Σ tal que kT2 (Γ, S p (E))k < ∆Γ . Pero, argumentando como en la prueba del Teorema 9.11, se comprueba que esta condici´on es equivalente a la desigualdad deseada. Esto completa la prueba. 2 Observaci´ on 9.14 Utilizando las mismas ideas que en el Corolario 9.13, dado 1 < p < ∞, tambi´en obtenemos una definici´on equivalente de los espacios que contienen a L1 (Γ) uniformemente. A saber, se tiene que E contiene a L1 (Γ) uniformemente con par´ametro λ si y s´olo si, para todo subconjunto finito Γ de Σ, existe un subespacio FΓ de S p (E) y un isomorfismo lineal ΛΓ : L1 (Γ) → FΓ tal que kΛΓ kcb kΛ−1 Γ k ≤ λ.

9.3 Submultiplicatividad tensorial Como ya se indic´o en la Observaci´on 9.3, parece ser que el conjunto cl´asico de par´ametros y aquellos Σ con dΣ no acotado son los m´as relevantes en la teor´ıa. En esta Secci´on comprobaremos que, para estos conjuntos de par´ametros Σ, la noci´on de BΣ -convexidad es estable bajo isomorf´ıa completa y que la propiedad de contener λ-uniformemente a L1 (Γ) no depende del par´ametro λ > 1. Los an´alogos conmutativos de estos resultados son propiedades bien conocidas y esenciales en la teor´ıa. El lector puede encontrar en [30] o en [65] las pruebas de dichos resultados.

9.

189

BΣ -convexidad y nociones equivalentes

Con objeto de comprobar la validez de estos resultados en nuestro contexto, necesitamos antes fijar la notaci´on. Sea (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros. Dados dos subconjuntos no necesariamente finitos Γ1 y Γ2 de Σ, definimos su producto tensorial como Γ1 ⊗ Γ2 = {σ1 ⊗ σ2 : σj ∈ Γj , j = 1, 2}

donde

dσ1 ⊗σ2 = dσ1 dσ2 .

Diremos que (Σ, dΣ ) es ⊗-cerrado si, para todo par de subconjuntos Γ1 y Γ2 de Σ, existe una aplicaci´on inyectiva j : Γ1 ⊗ Γ2 → Σ

tal que

dj(σ1 ⊗σ2 ) = dσ1 ⊗σ2 para todo σ1 ⊗ σ2 ∈ Γ1 ⊗ Γ2 .

Por u ´ltimo, dado un espacio de operadores E y un subconjunto finito Γ de Σ, definimos 1 NΓ (E) = √ kT2 (Γ, E)kcb . ∆Γ Es decir, utilizando esta nueva constante, se tiene que un espacio de operadores es BΣ -convexo si y s´olo si existe un subconjunto finito Γ de Σ tal que NΓ (E) < 1. Lema 9.15 Sea (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros ⊗-cerrado. Entonces, dados dos subconjuntos finitos Γ1 y Γ2 de Σ, se tiene que NΓ1 ⊗Γ2 (E) ≤ NΓ1 (E) NΓ2 (E). Demostraci´ on. En primer lugar, consideramos la siguiente familia de matrices indexada por Γ1 ⊗ Γ2 y con entradas en S 2 (E) A = Aσ1 ⊗σ2 ∈ Mdσ1 dσ2 ⊗ S 2 (E) : σ1 ∈ Γ1 , σ2 ∈ Γ2 . Definimos entonces Aσ1 ⊗σ2 (ω) = ζ j(σ1 ⊗σ2 ) (ω) Aσ1 ⊗σ2 para cada ω ∈ Ω. Sabemos que ζ j(σ1 ⊗σ2 ) est´a uniformemente distribuida en el grupo unitario U (dσ1 dσ2 ). Por otro lado, fijados ω1 , ω2 ∈ Ω, la matriz ζ σ1 (ω1 ) ⊗ ζ σ2 (ω2 ) es unitaria. De manera que, por la invariancia por traslaciones de la medida de Haar en el correspondiente grupo unitario, la matriz aleatoria B(ω) = (ζ σ1 (ω1 ) ⊗ ζ σ2 (ω2 )) ζ j(σ1 ⊗σ2 ) (ω) posee la misma distribuci´on que la matriz de Steinhaus ζ j(σ1 ⊗σ2 ) . En particular, dados ω1 , ω2 ∈ Ω, podemos escribir Z X

2

σ1 ⊗σ2 d d tr(A (ω))

2 dµ(ω) σ1 σ2 Ω

σj ∈Γj

S (E)

190

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Z X

2

dσ1 dσ2 tr Aσ1 ⊗σ2 (ω) (ζ σ1 (ω1 ) ⊗ ζ σ2 (ω2 )) =

2 Ω

Z = Ω3

σj

dµ(ω)

S (E)

∈Γj

X

2

σ2 σ1 σ1 ⊗σ2 (ω) (ζ (ω1 ) ⊗ ζ (ω2 )) dσ1 dσ2 tr A

2

S (E)

σj ∈Γj

dµ3 (ω, ω1 , ω2 )

Ahora bien, si definimos la funci´on X X σ1 (ω, ω2 ) = dσ2 tr(Aσ1 ⊗σ2 (ω) ζ σ2 (ω2 )) ∈ Mdσ1 ⊗ S 2 (E) σ2 ∈Γ2

entonces se comprueba que se tiene X X dσ1 tr(X σ1 (ω, ω2 ) ζ σ1 (ω1 )). dσ1 dσ2 tr Aσ1 ⊗σ2 (ω) (ζ σ1 (ω1 ) ⊗ ζ σ2 (ω2 )) = σ1 ∈Γ1

σj ∈Γj

Obtenemos entonces la siguiente estimaci´on Z X

2

dσ1 dσ2 tr(Aσ1 ⊗σ2 (ω)) dµ(ω)

2 Ω

S (E)

σj ∈Γj

Z Z Z X

2

σ1 σ1 = dσ1 tr(X (ω, ω2 ) ζ (ω1 ))

2 Ω

Ω

Ω 2

≤ NΓ1 (E) ∆Γ1

X σ1

2

S (E)

σ1 ∈Γ1

∈Γ1

Z Z

kX σ1 (ω, ω2 )k2S 2

dσ1 Ω

2

≤ NΓ1 (E) NΓ2 (E) ∆Γ1 ∆Γ2

X σj

= NΓ1 (E)2 NΓ2 (E)2 ∆Γ1 ∆Γ2

dσ1 (S

Ω

∈Γj

X σj

∈Γj

Z dσ1 dσ2

dµ(ω1 ) dµ(ω2 ) dµ(ω)

2 (E))

dµ(ω2 ) dµ(ω)

kAσ1 ⊗σ2 (ω)k2S 2

dσ1 dσ2 (S

Ω

dσ1 ⊗σ2 kAσ1 ⊗σ2 k2S 2

dσ1 dσ2 (S

2 (E))

dµ(ω)

2 (E))

donde la u ´ltima igualdad es consecuencia de la unitaridad de ζ j(σ1 ⊗σ2 ) (ω). Ahora bien, puesto que obviamente se tiene que ∆Γ1 ⊗Γ2 = ∆Γ1 ∆Γ2 , hemos obtenido la desigualdad deseada. Esto completa la demostraci´on. 2 Proposici´ on 9.16 Sea (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros ⊗-cerrado. Entonces la BΣ -convexidad es una propiedad estable bajo isomorf´ıa completa. Demostraci´ on. Supongamos que E es un espacio de operadores BΣ -convexo y sea F otro espacio de operadores completamente isomorfo a E. Por el Teorema 9.11, sabemos que existe un subconjunto finito Γ0 de Σ tal que NΓ0 (E) < 1 y tambi´en

9.

191

BΣ -convexidad y nociones equivalentes

que nos basta con demostrar que existe otro subconjunto finito Γ de Σ tal que NΓ (F ) < 1. Adem´as, es obvio que se tiene NΓ⊗n (F ) ≤ dcb (E, F ) NΓ⊗n (E) 0 0 donde n es un entero positivo y Γ⊗n = Γ0 ⊗ Γ0 ⊗ · · · ⊗ Γ0 con n factores. Ahora 0 bien, el Lema 9.15 nos asegura que (E) ≤ NΓ0 (E)n → 0+ NΓ⊗n 0

cuando

n → ∞.

De manera que es suficiente con tomar Γ = Γ⊗n 0 con n suficientemente grande. 2 Observaci´ on 9.17 La Proposici´on 9.16 es v´alida para el conjunto cl´asico de par´ametros, pues Σ0 es ⊗-cerrado. Por otro lado, si consideramos el conjunto de par´ametros dado por Σ = N × N y dσjk = 2k para (j, k) ∈ N × N, entonces es claro que σ11 genera todo Σ sin m´as que tomar potencias tensoriales de s´ı mismo. El conjunto de par´ametros definido es obviamente ⊗-cerrado y con dΣ no acotado. Por lo tanto, dicho conjunto de par´ametros satisface la Proposici´on 9.16. Adem´as, como demostraremos en el Cap´ıtulo 10, la noci´on de BΣ -convexidad no depende de Σ cuando s´olo trabajamos con conjuntos de par´ametros Σ con dΣ no acotado. En particular, se deduce que la Proposici´on 9.16 se satisface para todo Σ con dΣ no acotado as´ı como para el conjunto cl´asico de par´ametros Σ0 . Proposici´ on 9.18 Sea (Σ, dΣ ) un conjunto de par´ametros ⊗-cerrado. Entonces, dado un espacio de operadores E, son equivalentes: (a) Existe λ > 1 tal que E contiene a L1 (Γ) uniformemente con par´ametro λ. (b) Para todo λ > 1, E contiene a L1 (Γ) uniformemente con par´ametro λ. Demostraci´ on. Ya hemos visto en la prueba del Teorema 9.11 que, si E contiene λ-uniformemente a L1 (Γ), entonces 1 ∆Γ

´ınf σ

B unitaria

X

dσ tr(X σ B σ )

σ∈Γ

S 2 (E)

≥

1 m´ax kX σ kSd∞σ (S 2 (E)) λ σ∈Γ

para todo subconjunto finito Γ de Σ y cierta familia de matrices X σ ∈ Mdσ ⊗ S 2 (E) indexada por Γ. Por otro lado, de esta desigualdad y el Lema 9.9 se deduce f´acilmente que NΓ (E) ≥ 1/λ para todo subconjunto finito Γ de Σ. Ahora bien, si

192

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

E fuese BΣ -convexo, sabemos que existir´ıa un subconjunto finito Γ0 de Σ tal que NΓ0 (E) < 1. De modo que, por el Lema 9.15, se tendr´ıa 1 ≤ NΓ⊗n (E) ≤ NΓ0 (E)n → 0+ 0 λ

cuando

n → ∞.

Esta contradicci´on nos permite asegurar que E no es BΣ -convexo. Pero, debido al Teorema 9.11, eso es lo mismo que decir que E contiene a L1 (Γ) uniformemente con par´ametro λ para todo λ > 1. Con esto se concluye la prueba. 2 Observaci´ on 9.19 La Proposici´on 9.18 es nuevamente v´alida para el conjunto cl´asico de par´ametros Σ0 as´ı como para cualquier conjunto de par´ametros Σ que satisfaga que dΣ no es acotado. De nuevo, los argumentos necesarios para justificar esta afirmaci´on se proporcionar´an en el Cap´ıtulo 10 de esta Memoria.

10 Σ-tipo no trivial y KΣ-convexidad

Un espacio de operadores con Σ-tipo no trivial es autom´aticamente BΣ -convexo. Sin embargo, el rec´ıproco es falso. Los espacios de operadores fila y columna son contraejemplos sorprendentes de este hecho, puesto que ambos son Hilbertianos. En particular, de este resultado se deduce que no existe una versi´on del teorema de Maurey-Pisier para espacios de operadores. Otros espacios de operadores, que son interesantes para ilustrar ciertos resultados obtenidos, ser´an tambi´en analizados. Por u ´ltimo, estudiamos si la BΣ -convexidad es independiente o no del conjunto de par´ametros Σ. Esto nos lleva a considerar la noci´on de espacio de operadores KΣ -convexo y a plantear cierto problema de inter´es.

10.1 Relaci´ on con el Σ-tipo no trivial En lo que sigue Σ0 denotar´a, como viene siendo habitual, el conjunto cl´asico de par´ametros. Comenzamos por demostrar que todo espacio de operadores con Σ-tipo no trivial es BΣ -convexo. No obstante, la parte m´as interesante aparece al estudiar el rec´ıproco de dicho resultado. En contraste con la teor´ıa cl´asica, existen espacios de operadores BΣ -convexos que no tienen Σ-tipo p para ning´ un 1 < p ≤ 2. Proposici´ on 10.1 Si E tiene Σ-tipo no trivial, entonces E es BΣ -convexo. Demostraci´ on. Sea Γ un subconjunto finito cualquiera de Σ y supongamos que E tiene Σ-tipo p para cierto 1 < p ≤ 2. Debido a la versi´on para espacios de operadores de la desigualdad integral de Minkowski, enunciada en el Teorema 4.22, se tiene que el operador natural LpS 2 (E) (Γ) −→ S 2 (LpE (Γ)) 193

194

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

es completamente contractivo. En particular, podemos factorizar el operador Tp (Γ, S 2 (E)) como LpS 2 (E) (Γ) −→ S 2 (LpE (Γ)) −→ S 2 (L2E (Ω)) −→ L2S 2 (E) (Ω). De manera que, si Kp (E, Σ) denota el supremo de la norma cb de Tp (Γ, E) cuando Γ recorre los subconjuntos finitos de Σ, se tiene que kTp (Γ, S 2 (E))k ≤ kT(Γ, E)kcb ≤ Kp (E, Σ). Por consiguiente, 1/p−1/2

kT2 (Γ, E)kcb = kT2 (Γ, S 2 (E))k ≤ kTp (Γ, S 2 (E))k ∆Γ

1/p−1/2

≤ Kp (E, Σ) ∆Γ

,

donde la primera desigualdad se sigue f´acilmente del Lema 9.9. En definitiva, puesto que Kp (E, Σ) es finito debido a que E tiene Σ-tipo p, podemos escoger 1−1/p . N´otese que es Γ suficientemente grande para que se tenga Kp (E, Σ) < ∆Γ aqu´ı donde se utiliza que 1 < p ≤ 2. Esto nos lleva a deducir, en virtud de la cadena de desigualdades anterior, que E tiene Σ-subtipo. O, lo que es lo mismo, el espacio de operadores E es BΣ -convexo, como quer´ıamos demostrar. 2 Con objeto de enunciar el pr´oximo resultado, necesitamos fijar previamente la notaci´on. En primer lugar, denotaremos como es habitual por R y C a los espacios de operadores fila y columna respectivamente. Por otro lado, siguiendo la notaci´on de Pisier en [68], definimos los espacios R(θ) y C(θ) como R(θ) = (R, C)θ

y

C(θ) = (C, R)θ

para 0 < θ < 1. Es decir, se trata de la familia de espacios de operadores que viven entre los espacios fila y columna. Obviamente se tiene que C(θ) = R(1 − θ). Por u ´ltimo convenimos que R(0) = C(1) = R

y

C(0) = R(1) = C.

Teorema 10.2 Denotemos por Σ0 al conjunto cl´asico de par´ametros. Entonces, R(1/p) y C(1/p) son espacios BΣ0 -convexos con Σ0 -tipo ´optimo p para 1 ≤ p ≤ 2. Demostraci´ on. Dado 1 ≤ p ≤ 2, supongamos que R(1/p) y C(1/p) no son BΣ0 -convexos. Entonces, debido a la Observaci´on 9.6, los espacios S 2 (R(1/p)) y S 2 (C(1/p)) no deber´ıan tener tipo de Rademacher no trivial como espacios de Banach. No obstante, afirmamos que ambos espacios tienen tipo de Rademacher 4/3. Por lo tanto, R(1/p) y C(1/p) son espacios de operadores BΣ0 -convexos. Para

10.

Σ-tipo no trivial y KΣ -convexidad

195

demostrar nuestra afirmaci´on observamos que, debido al Teorema 2.6, se tiene que S 2 (R) ' R(1/2) ⊗h R ⊗h R(1/2) y que S 2 (C) ' C(1/2) ⊗h C ⊗h C(1/2) de forma completamente isom´etrica. Ahora bien, puesto que el producto tensorial de Haagerup conmuta con el funtor de interpolaci´on compleja, podemos escribir S 2 (R) ' (R ⊗h R ⊗h R, C ⊗h R ⊗h C)1/2 S 2 (C) ' (C ⊗h C ⊗h C, R ⊗h C ⊗h R)1/2 de forma completamente isom´etrica. Pero tanto R ⊗h R ⊗h R como C ⊗h C ⊗h C, vistos como espacios de Banach, son isom´etricamente isomorfos a un espacio de Hilbert. En particular, ambos tienen tipo de Rademacher 2. Obtenemos as´ı que S 2 (R) y S 2 (C) tienen tipo de Rademacher 4/3 como espacios de Banach. Como consecuencia, por interpolaci´on compleja se deduce que lo mismo ocurre con los espacios de Banach S 2 (R(1/p)) y S 2 (C(1/p)). Por otro lado, debido al teorema de reiteraci´on para el m´etodo de interpolaci´on compleja, se tiene que R(1/p) = (R(1/2), C)2/p−1 y que C(1/p) = (C(1/2), R)2/p−1 . Pero, como ya se indic´o en la Secci´on 1.9, R(1/2) = C(1/2) es un espacio de operadores OH. Por consiguiente, utilizando la versi´on del teorema de Kwapie´ n para espacios de operadores, deducimos que R(1/2) tiene Σ0 -tipo 2. En particular, por interpolaci´on compleja, R(1/p) y C(1/p) tienen al menos Σ0 -tipo q donde 1 1 − (2/p − 1) 2/p − 1 1 = + = . q 2 1 p Es decir, R(1/p) y C(1/p) tienen Σ0 -tipo p. Por u ´ltimo, dado p < q ≤ 2, s´olo nos queda comprobar que R(1/p) y C(1/p) no tienen Σ0 -tipo q. Siguiendo la notaci´on introducida en la Observaci´on 9.4, es obvio que se tiene kTq (Σ0 , E)kcb ≥ kTqq (Σ0 , E)kcb = kTqq (Σ0 , S q (E))k para todo espacio de operadores E. N´otese que aqu´ı utilizamos que el operador identidad L2E (Ω) → LqE (Ω) es completamente contractivo, como ya hicimos notar en dicha Observaci´on. De modo que s´olo tenemos que ver que Tqq (Σ0 , S q (E)) no est´a acotado para E = R(1/p) o E = C(1/p). Pero, por las desigualdades de Khintchine-Kahane, eso es equivalente a probar que S q (R(1/p)) y S q (C(1/p)) no tienen tipo de Rademacher q como espacios de Banach para p < q ≤ 2. Aplicando de nuevo el Teorema 2.6, observamos que S q (R(1/p)) ' C(1/q) ⊗h R(1/p) ⊗h R(1/q) S q (C(1/p)) ' C(1/q) ⊗h C(1/p) ⊗h R(1/q).

196

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Consideramos el subespacio de S q (R(1/p)) que corresponde a C(1/q) ⊗h R(1/p). Entonces podemos escribir C(1/q) ⊗h R(1/p) = (C ⊗h R(1/p), R ⊗h R(1/p))1/q = ((C ⊗h R, C ⊗h C)1/p , (R ⊗h R, R ⊗h C)1/p )1/q de forma completamente isom´etrica. Pero los espacios R ⊗h R y C ⊗h C, vistos como espacios de Banach, son isom´etricamente isomorfos a S 2 . Por consiguiente, se tiene que C(1/q) ⊗h R(1/p) ' ((S ∞ , S 2 )1/p , (S 2 , S 1 )1/p )1/q = (S 2p , S 2p/p+1 )1/q = S 2pq/p+q . Es decir, C(1/q) ⊗h R(1/p) y S 2pq/p+q son espacios de Banach isom´etricamente isomorfos. Ahora bien, puesto que 2pq < q(p + q) siempre que p < q, obtenemos que el espacio de Banach C(1/q) ⊗h R(1/p) no puede tener tipo de Rademacher q. Como consecuencia, lo mismo sucede para S q (R(1/p)). Un argumento similar nos asegura que S q (C(1/p)) no tiene tipo de Rademacher q como espacio de Banach. Esto completa la demostraci´on. 2 Observaci´ on 10.3 En particular, el caso p = 1 en el Teorema 10.2 asegura que los espacios de operadores fila y columna son BΣ0 -convexos pero s´olo tienen Σ0 -tipo trivial. Estos espacios son si cabe m´as sorprendentes por el hecho de que ambos son isom´etricamente isomorfos a un espacio de Hilbert. Adem´as, dado 1 ≤ p ≤ 2, el Teorema 10.2 proporciona dos espacios de operadores isom´etricamente isomorfos a un espacio de Hilbert, BΣ0 -convexos y con Σ0 -tipo o´ptimo p. Es decir, parece ser que podemos obtener distintas cuantizaciones de un mismo espacio de Hilbert de forma que el espacio de operadores resultante satisfaga las condiciones que queramos. Esta observaci´on est´a reforzada por un ejemplo que presentamos m´as adelante. Se trata de un espacio de operadores, isom´etricamente isomorfo a un espacio de Hilbert, que no es ni siquiera BΣ0 -convexo. Observaci´ on 10.4 N´otese que el Teorema 10.2 establece diferencias relevantes entre la teor´ıa cl´asica y el contexto no conmutativo. A saber, es evidente que ya no podemos esperar que exista una versi´on del teorema de Maurey-Pisier para espacios de operadores. Aunque el lector puede acudir al Ap´endice A para un enunciado m´as preciso, recordamos que el resultado de Maurey-Pisier asegura que el exponente ´optimo de tipo de Rademacher de un espacio de Banach de dimensi´on infinita coincide con el m´ınimo exponente q para el que dicho espacio contiene a `q (n) uniformemente. El Teorema 10.2 asegura que dicho resultado es falso para los espacios de operadores, incluso en el caso m´as sencillo.

10.

197

Σ-tipo no trivial y KΣ -convexidad

Observaci´ on 10.5 Aunque damos los detalles m´as adelante, es una consecuencia sencilla del Teorema 9.11 que la BΣ0 -convexidad es la condici´on m´as fuerte de entre los conjuntos de par´ametros con los que trabajamos. Es decir, un espacio de operadores BΣ0 -convexo es autom´aticamente BΣ -convexo para cualquier otro conjunto de par´ametros Σ. En particular, los espacios estudiados en el Teorema 10.2 tambi´en son BΣ -convexos. Adem´as, el argumento utilizado para ver que dichos espacios tienen Σ0 -tipo p conserva su validez cuando trabajamos con otro conjunto de par´ametros Σ. Una vez hemos encontrado espacios de operadores Hilbertianos, BΣ0 -convexos y con Σ0 -tipo o´ptimo p, demostramos a continuaci´on que los espacios de operadores Hilbertianos m´ın `2 y m´ax `2 no son ni siquiera BΣ0 -convexos. Nuestra prueba se basa en el Ejemplo 4.2 de [68], donde Pisier realiza la siguiente construcci´on. Denotemos por M2 al a´lgebra de matrices 2 × 2 con entradas complejas, equipada con su traza normalizada t. Definimos entonces el par (Ak , tk ) = (M2 , t) para cada k ≥ 1. Consideramos as´ı lo que se conoce como el factor II1 hiperfinito (M, τ ) =

∞ O

(Ak , tk ).

k=1

Ahora, sea Mn la sub´algebra de M que se corresponde con el producto tensorial A1 ⊗ · · · ⊗ An . Consideramos el elemento de M ⊗ m´ın `2 dado por dn = Vn ⊗ en , donde e1 , e2 , . . . denota la base can´onica de `2 y donde V1 , V2 , . . . es una sucesi´on en M que satisface Vn ∈ Mn para todo n ≥ 1, E Mn (Vn+1 ) = 0 y las relaciones can´onicas de anticonmutatividad Vi Vj? + Vj? Vi = δij I

y

Vi Vj + Vj Vi = 0.

Entonces, con estas propiedades, Pisier demuestra que para toda sucesi´on finita de escalares α1 , α2 , . . . αn y todo 1 ≤ p ≤ ∞, se tiene n

X

1

sup |αk | ≤ α k dk ≤ sup |αk | 2 1≤k≤n Lp (M;m´ın `2 ) 1≤k≤n k=1 donde Lp (M; m´ın `2 ) denota el espacio Lp no conmutativo definido en (M, τ ) y con valores en m´ın `2 . En particular, las desigualdades de Pisier nos aseguran que la distancia de Banach-Mazur entre cierto subespacio de Lp (Mn ; m´ın `2 ) y `∞ (n) est´a acotada por 2 para todo n ≥ 1 y todo 1 ≤ p ≤ ∞. Por otro lado, consideramos la inclusi´on natural de `1 (n) en `∞ (2n ) definida por (α1 , α2 , . . . , αn ) 7−→

n X k=1

ε1k αk ,

n X k=1

ε2k αk , . . . ,

n X k=1

n

ε2k αk

198

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

donde las familias de coeficientes εj = (εj1 , εj2 , . . . , εjn ) recorren el conjunto de signos {±1}n . Entonces, tomando p = 2 en las desigualdades anteriores y utilizando la inclusi´on isom´etrica definida antes, se comprueba que S 2 (m´ın `2 ) contiene a `1 (n) uniformemente como espacio de Banach. De manera que, debido a la Observaci´on 9.6 y al Teorema 9.11, hemos demostrado que el espacio de operadores m´ın `2 no es BΣ0 -convexo. Por un sencillo argumento de dualidad se obtiene que lo mismo sucede para el espacio de operadores m´ax `2 .

10.2 Sobre la independencia respecto de Σ Cerramos este Cap´ıtulo analizando si la BΣ -convexidad es independiente del conjunto de par´ametros Σ. Comenzamos por demostrar que existe independencia respecto de Σ cuando trabajamos u ´nicamente con conjuntos de par´ametros que satisfacen que dΣ es una familia no acotada de enteros positivos. Proposici´ on 10.6 Sean Σ1 y Σ2 dos conjuntos de par´ametros. Entonces, si dΣ2 no es acotado, se tiene que todo espacio de operadores BΣ1 -convexo es BΣ2 -convexo. Demostraci´ on. Por el Teorema 9.11 y la Proposici´on 9.18, es suficiente con ver que si un espacio de operadores contiene uniformemente a L1 (Γ2 ) con Γ2 ⊂ Σ2 entonces tambi´en contiene uniformemente a L1 (Γ1 ) con Γ1 ⊂ Σ1 . Para probar tal resultado, comenzamos por considerar un subconjunto finito Γ1 de Σ1 . Entonces, como dΣ2 no es acotado, existe un subconjunto finito Γ2 de Σ2 con el mismo cardinal que Γ1 y una biyecci´on τ : Γ1 → Γ2 tal que dσ1 ≤ dτ (σ1 ) para todo σ1 ∈ Γ1 . En particular, podemos considerar el operador lineal SΓ : L1 (Γ1 ) → L1 (Γ2 ) dado por σ1 dσ1 Aij si 1 ≤ i, j ≤ dσ1 τ (σ1 ) SΓ (A)ij = en otro caso. dτ (σ1 ) 0 Dado que SΓ es una isometr´ıa completa y que por hip´otesis, nuestro espacio de operadores contiene uniformemente a L1 (Γ2 ) con Γ2 ⊂ Σ2 , se deduce que dicho espacio tambi´en contiene uniformemente a L1 (Γ1 ) con Γ1 ⊂ Σ1 . 2 Observaci´ on 10.7 La Proposici´on 10.6 nos asegura por tanto, como ya hemos anunciado, que la noci´on de BΣ -convexidad no depende de Σ cuando trabajamos con conjuntos de par´ametros Σ con dΣ no acotado.

10.

199

Σ-tipo no trivial y KΣ -convexidad

Observaci´ on 10.8 Dados (Σ1 , dΣ1 ) y (Σ2 , dΣ2 ) conjuntos de par´ametros, diremos que Σ1 ≤ Σ2 si existe una aplicaci´on inyectiva j : Σ1 → Σ2 tal que dσ1 ≤ dj(σ1 ) para todo σ1 ∈ Σ1 . Entonces, utilizando los mismos argumentos que los empleados en la prueba de la Proposici´on 10.6, se comprueba que la BΣ1 -convexidad es m´as fuerte que la BΣ2 -convexidad cuando Σ1 ≤ Σ2 . En particular, como hemos dicho antes, si Σ0 denota el conjunto cl´asico de par´ametros, un espacio de operadores BΣ0 -convexo es autom´aticamente BΣ -convexo para cualquier otro conjunto de par´ametros Σ, pues es obvio que se tiene que Σ0 ≤ Σ. La Proposici´on 10.6 es u ´nicamente un peque˜ no progreso a la hora de estudiar la independencia de la BΣ -convexidad respecto de Σ. De hecho, el caso general parece ser mucho m´as complicado. A continuaci´on caracterizamos ese problema con una condici´on equivalente, que puede ser u ´til para enfocarlo desde otro punto de vista que permita resolverlo. Nuestro primer objetivo es introducir la noci´on de espacio de operadores KΣ -convexo. Para tal fin, necesitamos recordar al lector la definici´on del sistema cuantizado de Gauss, previamente introducido en la Parte IV de esta Memoria. Dado un conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ), consideramos una familia de variables gaussianas est´andar gσij : Ω → C independientes, con valores complejos y con 1 ≤ i, j ≤ dσ cuando σ recorre Σ. Entonces, las matrices aleatorias 1 σ γσ = √ gij dσ forman el sistema cuantizado de Gauss asociado a los par´ametros (Σ, dΣ ). Por otro lado, dado un espacio de operadores E y una funci´on f ∈ L2E (Ω), podemos considerar los coeficientes de Fourier de f respecto de este sistema Z b f (σ) = f (ω)γ σ (ω)? dµ(ω) ∈ Mdσ ⊗ E. Ω

Definici´ on 10.9 Diremos que un espacio de operadores E es KΣ -convexo si la proyecci´on de Gauss, definida como X dσ tr(fb(σ)γ σ ) ∈ L2E (Ω), f ∈ L2E (Ω) 7−→ σ∈Σ

es un operador completamente acotado en el espacio de Lebesgue L2E (Ω). Observaci´ on 10.10 La noci´on de KΣ -convexidad no depende del conjunto de par´ametros Σ. Efectivamente, es obvio que se tiene dσ Z X XX σ b dσ tr(f (σ)γ ) = f (ω)gσij (ω) dµ(ω) gσij . σ∈Σ

σ∈Σ i,j=1

Ω

200

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

En particular, si Σ0 denota el conjunto cl´asico de par´ametros, entonces todo espacio de operadores E satisface E KΣ -convexo ⇐⇒ E KΣ0 -convexo ⇐⇒ S 2 (E) K-convexo como espacio de Banach ⇐⇒ S 2 (E) B-convexo como espacio de Banach ⇐⇒ E BΣ0 -convexo. Por consiguiente, se puede decir que en la Definici´on 10.9 introducimos la noci´on de espacio de operadores K-convexo. Adem´as, obtenemos como consecuencia inmediata que las siguientes condiciones son equivalentes: La BΣ -convexidad es independiente de Σ. Todo espacio de operadores BΣ -convexo es KΣ -convexo. Observaci´ on 10.11 En particular, nuestro problema es equivalente a la versi´on para espacios de operadores del teorema de Pisier. Si el lector intenta construir una versi´on para espacios de operadores de la prueba original que Pisier ofrece en [66], observar´a que una de las primeras dificultades con las que se encuentra no es otra que construir el sistema de Walsh cuantizado. Observaci´ on 10.12 Sin embargo, existe un modo alternativo de proceder. A saber, supongamos que existe para cada n ≥ 1 un subespacio Fn de S 2 (`1 (n2 )) y un isomorfismo Φn : Sn1 → Fn que satisface las siguientes propiedades: Φn es un operador completamente acotado. Denotemos por Fnmin al espacio Fn equipado con la estructura de espacio de operadores que hereda como subespacio de S 2 (m´ın `1 (n2 )), donde m´ın `1 (n2 ) denota el espacio de Banach `1 (n2 ) equipado con la cuantizaci´on minimal. Suponemos entonces que el operador inverso Ψn : Fnmin → Sn1 es acotado. Existe una constante k > 0 tal que kΦn kcb kΨn k ≤ k para todo n ≥ 1. En tales condiciones, consideramos un espacio de operadores E que contiene a `1 (n) uniformemente con par´ametro λ. Es decir, para todo n ≥ 1 existe un subespacio Kn de S 2 (E) y un isomorfismo lineal Λn : `1 (n) → Kn tal que kΛn kcb kΛ−1 n k ≤ λ. Si ahora consideramos el isomorfismo lineal Tn = (IS 2 ⊗ Λn2 ) ◦ Φn : Sn1 −→ Hn ⊂ S 2 (E)

10.

Σ-tipo no trivial y KΣ -convexidad

201

entonces el operador inverso factoriza como sigue Hn −→ Fnmin −→ Sn1 −1 por medio de la composici´on T−1 n = Ψn ◦ (IS 2 ⊗ Λn2 ). En resumen, utilizando las propiedades de la cuantizaci´on minimal, se obtiene la siguiente estimaci´on −1 kTn kcb kT−1 n k ≤ kΛn2 kcb kΦn kcb kΨn kkΛn2 k ≤ kλ.

De aqu´ı se deduce f´acilmente que E contiene uniformemente a L1 (Γ) para todo conjunto de par´ametros (Σ, dΣ ). Por tanto, todo espacio de operadores BΣ -convexo es BΣ0 -convexo. Puesto que sabemos que el rec´ıproco tambi´en es cierto, quedar´ıa probada la independencia de la noci´on de BΣ -convexidad respecto de Σ y con ello la versi´on no conmutativa del teorema de Pisier. Por consiguiente, la construcci´on de una familia de operadores Φn que satisfaga las propiedades citadas conduce a la soluci´on del problema. En la Introducci´on a la Parte V de esta Memoria, en la que comentamos un trabajo en preparaci´on con Marius Junge [40], ya hemos anticipado qu´e camino seguimos para construir tales operadores. Observaci´ on 10.13 Como en la teor´ıa cl´asica, la definici´on de KΣ -convexidad no deber´ıa verse afectada si utilizamos la proyecci´on de Gauss en LpE (Ω) en lugar de L2E (Ω) para cualquier exponente 1 < p < ∞. Afortunadamente as´ı es, sin embargo en esta ocasi´on los argumentos no se pueden basar en las desigualdades de Khintchine-Kahane, como ya sabemos. En todo caso, el argumento es sencillo. A saber, si nos referimos a esta a priori nueva noci´on como KpΣ -convexidad, entonces un espacio de operadores E es KpΣ -convexo si y s´olo si es KpΣ0 -convexo. Pero eso significa que S p (E) es K-convexo como espacio de Banach. Ahora bien, puesto que la K-convexidad y la B-convexidad son nociones equivalentes en la categor´ıa de espacios de Banach, se deduce que E es KpΣ -convexo si y s´olo si S p (E) es B-convexo como espacio de Banach. Pero, debido al Corolario 9.13, sabemos que eso equivale a que E sea BΣ0 -convexo. Finalmente, como la KΣ -convexidad es equivalente a la BΣ0 -convexidad, se concluye.

Ap´endices

A La teor´ıa conmutativa

Las nociones de tipo y cotipo de un espacio de Banach respecto de un sistema ortonormal, como el sistema de Rademacher o el formado por los caracteres de un grupo localmente compacto y abeliano, es una forma com´ un de expresar la validez de ciertas desigualdades cl´asicas para funciones valoradas en el espacio de Banach analizado. El estudio sistem´atico, en los u ´ltimos 30 a˜ nos, de estas nociones ha desvelado una fuerte interacci´on entre los sistemas ortonormales y la geometr´ıa de espacios de Banach. Presentamos a continuaci´on los resultados m´as relevantes de esta teor´ıa: el teorema de Kwapie´ n, el teorema de Maurey-Pisier, el teorema de Bourgain y el teorema de Pisier.

A.1 Tipo y cotipo de Rademacher El sistema de Rademacher es una colecci´on infinita de variables aleatorias independientes en el intervalo [0, 1] con valores ±1 y uniformemente distribuidas. Se definen como rn (t) = sgn sen(2n πt) para t ∈ [0, 1] y n ≥ 1. Esta colecci´on de funciones forma un sistema ortonormal no completo de L2 [0, 1]. Dado 1 ≤ p < ∞ existe una constante Ap > 0 tal que, para cada familia finita a1 , a2 , . . . an de coeficientes complejos, se tiene n

1/2 1 X |ak |2 ≤ Ap k=1

Z 0

1

n n X p 1/p X 1/2 ak rk (t) dt ≤ Ap |ak |2 . k=1

k=1

Estas desigualdades, conocidas como desigualdades de Khintchine, ponen de manifiesto importantes propiedades del sistema de Rademacher. Una demostraci´on de este resultado puede encontrarse en el Cap´ıtulo 5 del texto de Zygmund [93]. 205

206

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Por otro lado, podemos considerar polinomios del sistema de Rademacher con coeficientes en un espacio de Banach. En este caso m´as general, las desigualdades de Khintchine no son necesariamente v´alidas. Sin embargo, dados 1 ≤ p < q < ∞ existe una constante Ap,q > 0 tal que, para todo espacio de Banach X y toda familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene Z 0

1

n

X

q 1/q Z

xk rk (t) dt ≤ Ap,q

X

k=1

0

1

n

X

p 1/p

x r (t) .

dt k k X

k=1

Es decir, dado un tal polinomio, todas sus normas en LpX [0, 1] son equivalentes cuando 1 ≤ p < ∞. Este resultado se conoce como teorema de Kahane, v´ease el Cap´ıtulo 2 de [41]. Definici´ on A.1 Sea X un espacio de Banach: Dado 1 ≤ p ≤ 2, diremos que X tiene tipo de Rademacher p si existe una constante C > 0 tal que, para toda familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene Z

1

0

n n

X

2 1/2 X 1/p

xk rk (t) dt ≤C kxk kpX .

X

k=1

k=1

Dado 2 ≤ p0 < ∞, diremos que X tiene cotipo de Rademacher p0 si existe una constante C > 0 tal que, para toda familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene n X k=1

0 kxk kpX

1/p0

≤C

Z 0

1

n

X

2 1/2

xk rk (t) dt .

k=1

X

El cotipo de Rademacher ∞ se define con las modificaciones obvias. Observaci´ on A.2 N´otese que, debido al teorema de Kahane, podemos sustituir en la Definici´on A.1 la norma de L2X [0, 1] por la norma de LqX [0, 1] obteniendo una definici´on equivalente para cada 1 ≤ q < ∞. Observaci´ on A.3 Ning´ un espacio de Banach tiene tipo de Rademacher p > 2. Efectivamente, basta escoger en la Definici´on A.1 todos los coeficientes x1 , x2 , . . . xn iguales y no nulos. Esto proporciona la desigualdad n1/2 ≤ Cn1/p , la cual es falsa para p > 2 y n suficientemente grande. Un argumento similar nos asegura tambi´en que ning´ un espacio de Banach tiene cotipo de Rademacher p0 < 2.

A.

207

La teor´ıa conmutativa

Las nociones de tipo y cotipo de Rademacher fueron introducidas en 1972 por Hoffmann-Jorgensen [36]. Es sencillo comprobar que todo espacio de Banach X satisface las siguientes estimaciones Z 1 X n n

X

xk rk (t) dt ≤ m´ax kxk kX ≤ kxk kX .

1≤k≤n

0

k=1

X

k=1

En particular, todo espacio de Banach tiene tipo de Rademacher 1 y cotipo de Rademacher ∞. Pasamos ahora a enunciar ciertas propiedades b´asicas del tipo y cotipo de Rademacher. Proposici´ on A.4 Se cumplen las siguientes propiedades: (a) Interpolaci´on compleja: Sea 0 < θ < 1 y sean X0 y X1 espacios de Banach con tipo de Rademacher p0 y p1 respectivamente. Entonces, si (X0 , X1 ) es un par compatible, el espacio interpolado Xθ tiene tipo de Rademacher pθ donde 1/pθ = (1 − θ)/p0 + θ/p1 . La misma propiedad sigue siendo v´alida para el cotipo de Rademacher. (b) Tipo y cotipo o´ptimos: Sean 1 ≤ p ≤ q ≤ 2, entonces todo espacio de Banach con tipo de Rademacher q tiene tipo de Rademacher p. De forma similar, si 2 ≤ q 0 ≤ p0 ≤ ∞, todo espacio de Banach con cotipo de Rademacher q 0 tiene cotipo de Rademacher p0 . (c) Subespacios: Todo subespacio cerrado de un espacio de Banach con tipo de Rademacher p tiene tipo de Rademacher p. Lo mismo ocurre con el cotipo de Rademacher. (d) Tipo y cotipo 2: Todo espacio de Hilbert as´ı como todo espacio de Banach de dimensi´on finita tiene tipo y cotipo de Rademacher 2. Existe una cierta relaci´on de dualidad entre las nociones de tipo y cotipo de Rademacher. A saber, si un espacio de Banach X tiene tipo de Rademacher p y p0 denota el exponente conjugado de p, entonces el espacio dual X ? tiene cotipo de Rademacher p0 . Sin embargo, el rec´ıproco es falso: el espacio de sucesiones c0 s´olo tiene tipo de Rademacher 1, mientras que su dual `1 tiene cotipo de Rademacher 2. Para completar esta relaci´on de dualidad es necesario introducir una nueva noci´on de cotipo. Sea 2 ≤ p0 < ∞, diremos que el espacio de Banach X tiene cotipo fuerte de Rademacher p0 si existe una constante C > 0 tal que, para toda funci´on f ∈ L2X [0, 1], se tiene ∞ Z 1

p0 1/p0 Z 1 1/2 X

kf (t)k2X dt . f (t) rk (t) dt ≤C

k=1

0

X

0

208

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores 0

Es decir, exigimos que la norma en `pX de los coeficientes de Fourier de f respecto del sistema de Rademacher est´e controlada por la norma de f en L2X [0, 1]. Es obvio que todo espacio de Banach que tenga cotipo fuerte de Rademacher p0 tambi´en tiene cotipo de Rademacher p0 . Observaci´ on A.5 En la definici´on de cotipo fuerte de Rademacher podemos sustituir el espacio L2X [0, 1] por el espacio LqX [0, 1], obteniendo as´ı una definici´on equivalente para cada 1 < q < ∞. En particular, si tomamos por q al exponente conjugado de p0 , damos con una versi´on de la desigualdad de Hausdorff-Young para el sistema de Rademacher. Proposici´ on A.6 Sea X un espacio de Banach y sea 1 ≤ p ≤ 2, entonces: (a) X tiene tipo de Rademacher p si y s´olo si X ? tiene cotipo fuerte p0 . (b) X ? tiene tipo de Rademacher p si y s´olo si X tiene cotipo fuerte p0 . Debido a la Proposici´on A.4, dado un espacio de Banach X sabemos que la condici´on de tener tipo de Rademacher p se hace m´as restrictiva en X a medida que p se aproxima a 2. Y lo mismo ocurre con el cotipo de Rademacher. Los exponentes ´ optimos de Rademacher en X est´an dados por TX = sup p ≤ 2 : X tiene tipo de Rademacher p CX = ´ınf p0 ≥ 2 : X tiene cotipo de Rademacher p0 . En el siguiente resultado presentamos los exponentes o´ptimos tanto de los espacios de Lebesgue como de las clases de Schatten. Recordamos que, dado un espacio de p Hilbert H, las clases de Schatten SH ya se definieron el la Secci´on 2.2 Proposici´ on A.7 Se cumplen los siguientes resultados: (a) Sea (Ω, M, µ) un espacio de medida y supongamos que Ω no es una uni´on finita de µ-´atomos. Entonces, dado 1 ≤ p < ∞, el espacio Lp (Ω) tiene tipo de Rademacher m´ın(p, 2) y cotipo de Rademacher m´ax(p, 2). Adem´as se tiene que TLp (Ω) = m´ın(p, 2) y CLp (Ω) = m´ax(p, 2). Por u ´ltimo, el espacio L∞ (Ω) se comporta de un modo distinto. Se tiene que TL∞ (Ω) = 1 y CL∞ (Ω) = ∞. (b) Supongamos que H es un espacio de Hilbert de dimensi´on infinita. Entonces, p dado 1 ≤ p < ∞, la clase SH tiene tipo de Rademacher m´ın(p, 2) y cotipo de Rademacher m´ax(p, 2). Adem´as TSHp = m´ın(p, 2) y CSHp = m´ax(p, 2). Por u ´ltimo, para p = ∞ se tiene TSH∞ = 1 y CSH∞ = ∞.

A.

La teor´ıa conmutativa

209

Observaci´ on A.8 Los casos no considerados –a saber, Ω una uni´on finita de µ-´atomos o H un espacio de Hilbert finito-dimensional– son m´as sencillos. Efectivamente en tales casos, como consecuencia de la Proposici´on A.4, siempre se tiene tipo y cotipo de Rademacher 2 puesto que el espacio de Lebesgue o clase de Schatten resultante es de dimensi´on finita. Observaci´ on A.9 La demostraci´on de (a) es sencilla, v´ease por ejemplo [25]. p La demostraci´on de que SH tiene tipo de Rademacher 2 para p ≥ 2 y cotipo de Rademacher 2 para p ≤ 2 se debe a Nicole Tomczak-Jaegermann y es m´as complicada que el resto de la prueba de la Proposici´on A.7, v´ease [85]. Cerramos esta Secci´on introduciendo dos nuevos sistemas de funciones que dan lugar a las mismas nociones de tipo y cotipo que se desprend´ıan del sistema de Rademacher. El sistema de Steinhaus es una colecci´on infinita s1 , s2 , . . . de variables aleatorias independientes definidas en el intervalo [0, 1], con valores en T = {z ∈ C : |z| = 1} y uniformemente distribuidas. Por otro lado, el sistema de Gauss es una colecci´on infinita g1 , g2 , . . . de gaussianas est´andar –es decir, con media 0 y varianza 1– independientes definidas en el intervalo [0, 1]. Sin m´as que sustituir el sistema de Rademacher por uno de estos sistemas en la Definici´on A.1, obtenemos las definiciones de tipo y cotipo de Steinhaus y Gauss respectivamente. El siguiente resultado nos asegura que estas nuevas nociones coinciden en realidad con las de tipo y cotipo de Rademacher. Proposici´ on A.10 Sea X un espacio de Banach y sean 1 ≤ p ≤ 2 ≤ q ≤ ∞. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) X tiene tipo de Rademacher p y cotipo de Rademacher q. (b) X tiene tipo de Steinhaus p y cotipo de Steinhaus q. (c) X tiene tipo de Gauss p y cotipo de Gauss q.

A.2 Tipo y cotipo de Fourier Otro sistema de gran relevancia para nosotros es el sistema trigonom´ etrico 2πikt del toro T, formado por las exponenciales e donde k ∈ Z y t recorre el intervalo

210

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

[0, 1]. Dado 1 ≤ p ≤ 2 y f ∈ Lp [0, 1], la desigualdad de Hausdorff-Young se formula como sigue X 1/p0 Z 1 1/p p0 b |f (k)| ≤ |f (t)|p dt k∈Z

0

donde {fb(k) : k ∈ Z} son los coeficientes de Fourier de f . La desigualdad dual, que tiene la forma Z 1 1/p0 X 1/p 0 |f (t)|p dt ≤ |fb(k)|p 0

k∈Z

tambi´en se satisface. En ambos casos p0 denota el exponente conjugado de p. Como veremos m´as adelante, estas desigualdades desempe˜ nan un papel similar al de las desigualdades de Khintchine. Otra versi´on cl´asica de la desigualdad de HausdorffYoung se da en la recta real. Sean 1 ≤ p ≤ 2 y f ∈ Lp (R) con transformada de Fourier fb, entonces se tiene que Z 1/p0 Z 1/p p0 p b |f (ξ)| dξ ≤ |f (x)| dx . R

R

Nosotros necesitaremos trabajar con versiones m´as generales de la desigualdad de Hausdorff-Young. Por ejemplo, en grupos topol´ogicos abelianos y localmente compactos. Comenzamos con un r´apido sumario de definiciones y resultados de la teor´ıa de grupos topol´ogicos. El lector interesado puede acudir al texto de Folland [23] para m´as detalles. Otras referencias interesantes son [34] y [75]. Adem´as, muchos de los resultados que vamos a presentar a continuaci´on ser´an tratados con mayor generalidad en el Ap´endice B. Un grupo topol´ogico G es un grupo equipado con una topolog´ıa de forma que las operaciones en dicho grupo sean continuas respecto de dicha topolog´ıa. En lo que sigue supondremos que G es un grupo topol´ogico abeliano, Hausdorff y localmente compacto. Una medida de Haar en G es una medida µ de Radon no nula en G que satisface µ(gB) = µ(B) para todo g ∈ G y todo boreliano B de G. Para todo grupo abeliano y localmente compacto existe una medida de Haar, que adem´as es u ´nica salvo factores constantes. Un car´acter es un homomorfismo continuo ξ : G → T. Es decir, una funci´on continua en G con valores complejos que satisface |ξ(g)| = 1 y ξ(gh) = ξ(g)ξ(h) para todo g, h ∈ G. Si G es compacto, entonces la medida de Haar es finita y podemos normalizarla de modo que se tenga µ(G) = 1. En este caso el conjunto de caracteres forma un sistema ortonormal completo de L2 (G). b de todos los caracteres del grupo G es un grupo abeliano con la El conjunto G multiplicaci´on de funciones punto a punto. La identidad es la constante 1 mientras

A.

211

La teor´ıa conmutativa

b imponemos la topolog´ıa de que el inverso se obtiene tomando conjugados. En G la convergencia uniforme sobre subconjuntos compactos de G. Con esta topolog´ıa b se convierte en un grupo topol´ogico abeliano y localmente compacto al que nos G referiremos como grupo dual de G. Los considerados grupos cl´asicos en el an´alisis arm´onico conmutativo son la recta real R, los enteros Z y el toro T. Las relaciones b es otra vez R, de dualidad entre estos grupos son bien conocidas: el grupo dual R b = T y tambi´en mientras que Z y T son grupos duales entre s´ı. Es decir, se tiene Z b = Z. Estos sencillos ejemplos sugieren estudiar el bidual de los grupos abelianos T y localmente compactos. Teorema A.11 Principio de dualidad de Pontryagin. Sea G un grupo abeliano y localmente compacto y sea Φ la aplicaci´on natural de G en su bidual, que hace corresponder a cada elemento g ∈ G con el car´acter b → T definido por Φ(g) : G Φ(g)(ξ) = ξ(g)

b para todo ξ ∈ G.

b b Entonces Φ es un isomorfismo de grupos topol´ogicos entre G y su bidual G. Sea G un grupo abeliano y localmente compacto. La transformada de Fourier de una funci´on f ∈ L1 (G) se define como sigue Z b fb(ξ) = f (g)ξ(g) dµ(g), para todo ξ ∈ G. G

La trasformada de Fourier para grupos abelianos y localmente compactos satisface muchas de las propiedades relevantes de la transformada de Fourier en la recta real, la cual es un caso particular de nuestro estudio. Por ejemplo, el operador transformada de Fourier es inyectivo en L1 (G), existe un teorema de inversi´on y tambi´en se tienen generalizaciones del lema de Riemann-Lebesgue as´ı como del teorema de Plancherel. Es por tanto sencillo, utilizando el m´etodo de interpolaci´on compleja, obtener la desigualdad de Hausdorff-Young en esta clase de grupos. Sea 0 1 ≤ p ≤ 2 y f ∈ Lp (G), entonces fb ∈ Lp (G) y se tiene Z 1/p0 Z 1/p p0 p b |f (ξ)| dν(ξ) ≤ |f (g)| dµ(g) b G

G

b convenientemente reescalada. As´ı por ejemplo, donde ν es la medida de Haar de G si G es un grupo compacto con medida de Haar µ normalizada por µ(G) = 1, b es un grupo discreto y ν es la medida de contar en G. b entonces el grupo dual G

212

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Dado un espacio de Banach X, la transformada de Fourier de una funci´on f ∈ L1X (G) se define de la misma forma con la peculiaridad de que ahora la integral resultante se interpreta en el sentido de Bochner. Sea 1 ≤ p ≤ 2, consideramos entonces la combinaci´on lineal f=

n X

ϕk xk

donde ϕk ∈ Lp (G) y xk ∈ X para 1 ≤ k ≤ n.

k=1

p

Es decir, f ∈ L (G) ⊗ X. Entonces es claro que fb =

n X

0

ϕ bk ⊗ xk ∈ Lp (G) ⊗ X.

k=1

Definici´ on A.12 Sea 1 ≤ p ≤ 2 y X un espacio de Banach. Diremos que X tiene tipo de Fourier p respecto de G si el operador transformada de Fourier, originalmente definido en Lp (G) ⊗ G, se puede extender a un operador acotado 0

b FG,X : LpX (G) −→ LpX (G). En tal caso, denotaremos por Cp (X, G) a la norma del operador FG,X . El primer trabajo sobre la desigualdad de Hausdorff-Young para funciones con valores vectoriales aparece en 1969 y se debe a Jaak Peetre [62]. En este trabajo se estudian u ´nicamente las funciones definidas en la recta real. En 1984, Mario Milman [55] introduce por primera vez la definici´on de tipo de Fourier de un espacio de Banach respecto de un grupo abeliano y localmente compacto. Otras aportaciones a esta teor´ıa de deben a K¨onig [42], Andersson [2] y Garc´ıa-Cuerva, Kazarian, Kolyada y Torrea [25]. Muchos de los resultados que presentamos a continuaci´on aparecieron por primera vez en estos trabajos. Observaci´ on A.13 Recordamos que el motivo por el cual la noci´on de cotipo de Fourier no aparece en esta teor´ıa ya se puso de manifiesto en el la Secci´on 4.2. De manera que, en lo que sigue, todos los resultados ser´an enunciados en t´erminos del b tipo de Fourier respecto de G o respecto de su grupo dual G. Observaci´ on A.14 En el caso particular de que G sea compacto y abeliano con b es un grupo discreto medida de Haar normalizada por µ(G) = 1, sabemos que G donde su medida de Haar es la medida de contar y que el conjunto de caracteres de G forma un sistema ortonormal completo de L2 (G). Entonces no es complicado comprobar que, en este caso, un espacio de Banach X tiene tipo de Fourier p respecto de G si y s´olo si existe una constante C > 0 tal que, para toda familia finita

A.

213

La teor´ıa conmutativa

x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X y toda familia finita ξ1 , ξ2 , . . . ξn de caracteres de G, se tiene n n

p X 1/p0 Z X 1/p

p0 kxk kX ≤C . xk ξk (g) dµ(g)

G

k=1

k=1

X

Es decir, si 1 ≤ p ≤ 2 y p0 denota el exponente conjugado de p, entonces para G compacto y abeliano la noci´on de tipo de Fourier p respecto de G constituye el an´alogo natural de la noci´on de cotipo de Rademacher p0 . De forma similar se puede comprobar que, para G compacto y abeliano, el tipo de Rademacher p tiene b A saber, su an´alogo natural en el tipo de Fourier p respecto del grupo dual G. dado 1 ≤ p ≤ 2 y G compacto y abeliano, un espacio de Banach X tiene tipo de b si y s´olo si existe una constante C > 0 tal que, para toda Fourier p respecto de G familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X y toda familia finita ξ1 , ξ2 , . . . ξn de caracteres de G, se tiene n n

p0 Z X 1/p0 X 1/p

p xk ξk (g) dµ(g) kxk kX . ≤C

G

k=1

X

k=1

Observaci´ on A.15 Ning´ un espacio de Banach puede tener tipo de Fourier p > 2 respecto de un grupo abeliano y localmente compacto G, puesto que la desigualdad de Hausdorff-Young s´olo tiene validez para 1 ≤ p ≤ 2. Pasamos ahora a enunciar las propiedades del tipo de Fourier respecto de grupos abelianos y localmente compactos. Tanto los resultados como sus demostraciones son muy similares a los ya enunciados en la secci´on anterior. Proposici´ on A.16 Sea G un grupo abeliano y localmente compacto: (a) Tipo de Fourier 1: Todo espacio de Banach tiene tipo de Fourier 1. (b) Interpolaci´on compleja: Sea 0 < θ < 1 y sean X0 y X1 espacios de Banach con tipo de Fourier p0 y p1 respectivamente. Entonces, si (X0 , X1 ) es un par compatible, el espacio interpolado Xθ tiene tipo de Fourier pθ respecto de G, donde 1/pθ = (1 − θ)/p0 + θ/p1 . (c) Tipo de Fourier ´optimo: Sean 1 ≤ p ≤ q ≤ 2, entonces todo espacio de Banach con tipo de Fourier q respecto de G tiene tambi´en tipo de Fourier p. (d) Subespacios: Todo subespacio cerrado de un espacio de Banach con tipo de Fourier p respecto de G tiene tipo de Fourier p respecto de G.

214

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

(e) Tipo de Fourier 2: Todo espacio de Hilbert as´ı como todo espacio de Banach de dimensi´on finita tiene tipo de Fourier 2 respecto de G. (f) Dualidad: Un espacio de Banach X tiene tipo de Fourier p respecto de G si y s´olo si el espacio dual X ? tiene tipo de Fourier p respecto del grupo dual b Adem´as se tiene que Cp (X, G) = Cp (X ? , G). b G. Observaci´ on A.17 N´otese que en este caso la dualidad se comporta mejor que cuando trabajamos con el sistema de Rademacher. El motivo radica en que, debido a la definici´on dada de tipo de Fourier, no es necesario introducir una noci´on auxiliar an´aloga a la de cotipo fuerte de Rademacher. Los exponentes ´ optimos de Fourier de un espacio de Banach X respecto de un grupo abeliano y localmente compacto G se definen de forma similar que los ya definidos para el sistema de Rademacher. Aqu´ı no incluimos los resultados conocidos sobre el tipo y cotipo ´optimo de Fourier de los espacios de Lebesgue, pues ya dimos un resumen de los mismos en la Introducci´on a la Parte III. Proposici´ on A.18 Sea G un grupo abeliano y localmente compacto: (a) Dado un espacio de medida (Ω, M, µ) y dado 1 ≤ p ≤ ∞, el espacio Lp (Ω) tiene tipo de Fourier m´ın(p, p0 ) y cotipo de Fourier m´ax(p, p0 ) respecto de G. p (b) Dado un espacio de Hilbert H y dado 1 ≤ p ≤ ∞, la clase de Schatten SH tiene tipo de Fourier m´ın(p, p0 ) y cotipo de Fourier m´ax(p, p0 ) respecto de G.

Proposici´ on A.19 Sea X un espacio de Banach y n1 , n2 , n3 enteros positivos. Entonces las siguientes propiedades son equivalentes: (a) X tiene tipo de Fourier p respecto de Tn1 . (b) X tiene tipo de Fourier p respecto de Rn2 . (c) X tiene tipo de Fourier p respecto de Zn3 .

A.3 Tipo y cotipo de Riesz En la Secci´on anterior hemos observado que, si el grupo con el que trabajamos es compacto y abeliano, entonces sus caracteres forman un sistema ortonormal

A.

215

La teor´ıa conmutativa

que hace las veces del sistema de Rademacher en el contexto trigonom´etrico. Es natural por tanto preguntarse bajo qu´e condiciones existe una teor´ıa general de tipo y cotipo para sistemas ortonormales. Como veremos a continuaci´on, los sistemas ortonormales y uniformemente acotados permiten construir tal teor´ıa. El punto de partida es la siguiente generalizaci´on de la desigualdad de Hausdorff-Young debida a F. Riesz. Sea ϕ1 , ϕ2 , . . . una colecci´on infinita de funciones definidas en el intervalo [a, b], con valores complejos y que forman un sistema ortonormal de L2 [a, b]. Supongamos adem´as que el sistema es uniformemente acotado. Es decir, existe una constante M > 0 tal que |ϕn (t)| ≤ M

para todo n ≥ 1 y todo t ∈ [a, b].

En ese caso, dado 1 ≤ p ≤ 2 y f ∈ Lp [a, b], se tiene que ∞ X

0 |fb(k)|p

1/p0

≤M

2/p−1

b

Z

k=1

1/p |f (t)|p dt

a

donde fb(k) denota el k-´esimo coeficiente de Fourier de f respecto del sistema ϕ1 , ϕ2 , . . .. Rec´ıprocamente, dada una sucesi´on a1 , a2 , . . . p-sumable, existe una funci´on f ∈ Lp [a, b] con coeficientes de Fourier a1 , a2 , . . . respecto de dicho sistema y tal que ∞ Z b 1/p0 X 1/p p0 2/p−1 p |f (t)| ≤M |ak | . a

k=1

Sea ahora (Ω, M, µ) un espacio de medida con µ(Ω) = 1. Es decir, Ω es un espacio de probabilidad. Sea Φ = {ϕn : n ≥ 1} un sistema ortonormal en L2 (Ω) y uniformemente acotado en L∞ (Ω) con cota uniforme M . Entonces, dado un espacio de Banach X y f ∈ L1X (Ω), denotaremos por fb(n) al n-´esimo coeficiente de Fourier de f respecto de Φ donde esta vez la integral se entiende en el sentido de Bochner. La siguiente definici´on se debe a Garc´ıa-Cuerva, Kazarian, Kolyada y Torrea [25]. En este trabajo, los autores desarrollan una teor´ıa general de tipo y cotipo para sistemas ortonormales y uniformemente acotados. Los problemas abiertos que plantea esta teor´ıa, fundamentalmente todo lo que ayude a entender la relaci´on existente entre el tipo y cotipo respecto de varios sistemas, ha despertado u ´ltimamente gran inter´es. Definici´ on A.20 Sea X un espacio de Banach: Dado 1 ≤ p ≤ 2, diremos que X tiene tipo de Riesz p respecto del sistema Φ o Φ-tipo p si existe una constante C > 0 tal que, para toda familia finita

216

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene n n

p0 Z X 1/p0 X 1/p

≤C xk ϕk (ω) dµ(ω) kxk kpX .

Ω

X

k=1

k=1

Dado 2 ≤ p0 ≤ ∞, diremos que X tiene cotipo de Riesz p0 respecto del sistema Φ o Φ-cotipo p0 si existe una constante C > 0 tal que, para toda familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene n n

p X 1/p0 Z X 1/p

p0 kxk kX ≤C xk ϕk (ω) dµ(ω) .

Ω

k=1

X

k=1

Dado 2 ≤ p0 ≤ ∞, diremos que X tiene cotipo fuerte de Riesz p0 respecto del sistema Φ o Φ-cotipo fuerte p0 si existe una constante C > 0 tal que, para toda funci´on f ∈ LpX (Ω), se tiene ∞ X

0 kfb(k)kpX

1/p0

≤C

Z

kf (ω)kpX

1/p dµ(ω) .

Ω

k=1

Observaci´ on A.21 Dado un espacio de Banach X con Φ-tipo p, no es complicado comprobar que para una sucesi´on p-sumable x1 , x2 , . . . de vectores de X, la serie P∞ p0 k=1 xk ϕk converge en la norma de LX (Ω) y que su suma satisface ∞ ∞

p0 1/p 1/p0 X Z X

. ≤C kxk kpX xk ϕk (ω) dµ(ω)

Ω

k=1

X

k=1

Observaci´ on A.22 Estas definiciones generalizan a las dadas para el sistema de b hace Rademacher. En el caso de los grupos compactos y abelianos, el grupo dual G las veces de sistema ortonormal y uniformemente acotado. Es sencillo comprobar que, si p0 denota el exponente conjugado de p, la noci´on de tipo de Fourier p b respecto de G coincide con la de G-cotipo fuerte p0 . An´alogamente, el tipo de b no es otra cosa que el G-tipo b Fourier p respecto de G p. Observaci´ on A.23 Dado un sistema ortonormal y uniformemente acotado Φ, es obvio que todo espacio de Banach que tiene Φ-cotipo fuerte p0 tambi´en tiene Φcotipo p0 . El rec´ıproco no es cierto en general. Sin embargo, estas nociones coinciden cuando el sistema Φ es completo adem´as de uniformemente acotado. Muchas de las propiedades fundamentales del tipo y cotipo de Rademacher o Fourier se extienden a este caso m´as general. Pasamos a enunciar tales propiedades.

A.

La teor´ıa conmutativa

217

Proposici´ on A.24 Sea Φ un sistema ortonormal y uniformemente acotado: (a) Tipo y cotipo de Riesz triviales: Todo espacio de Banach tiene Φ-tipo 1 y Φ-cotipo fuerte ∞. (b) Interpolaci´on compleja: Sea 0 < θ < 1 y sean X0 y X1 espacios de Banach con Φ-tipo p0 y p1 . Entonces, si (X0 , X1 ) es un par compatible, el espacio interpolado Xθ tiene Φ-tipo pθ , donde 1/pθ = (1 − θ)/p0 + θ/p1 . La misma propiedad sigue siendo v´alida para el Φ-cotipo y el Φ-cotipo fuerte. (c) Tipo de Riesz o´ptimo: Sean 1 ≤ p ≤ q ≤ 2, entonces todo espacio de Banach con Φ-tipo q tiene tambi´en Φ-tipo p. An´alogamente, el Φ-cotipo y el Φ-cotipo fuerte son propiedades m´as restrictivas a medida que el exponente p0 se aproxima a 2. (d) Subespacios: Todo subespacio de un espacio de Banach con Φ-tipo p tiene Φ-tipo p. La misma propiedad es v´alida para el Φ-cotipo y el Φ-cotipo fuerte. (e) Tipo de Riesz 2: Todo espacio de Hilbert as´ı como todo espacio de Banach de dimensi´on finita tiene Φ-tipo y Φ-cotipo fuerte 2. (f) Dualidad: Un espacio de Banach X tiene Φ-tipo p si y s´olo si el espacio dual X ? tiene Φ-cotipo fuerte p0 . De forma similar, X ? tiene Φ-tipo p si y s´olo si su predual X tiene Φ-cotipo fuerte p0 . (g) Espacios de Lebesgue y clases de Schatten: Dado un espacio de medida p (Ω, M, µ) y un espacio de Hilbert H, los espacios Lp (Ω) y SH tienen Φ-tipo 0 0 m´ın(p, p ) y Φ-cotipo fuerte m´ax(p, p ). Observaci´ on A.25 N´otese que no hemos mencionado los exponentes o´ptimos. Esto se debe a que los exponentes o´ptimos dependen del sistema estudiado y no se pueden tratar con generalidad para todos los sistemas uniformemente acotados. Cerramos esta secci´on hablando nuevamente del sistema de Rademacher. Se trata de la siguiente propiedad de extremalidad que este sistema presenta respecto de la familia de sistemas ortonormales y uniformemente acotados. Proposici´ on A.26 Sea Φ un sistema ortonormal y uniformemente acotado y sea X un espacio de Banach. Entonces, dado 1 ≤ p ≤ 2, se tiene que: (a) Si X tiene Φ-tipo p, entonces tiene tipo de Rademacher p.

218

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

(b) Si X tiene Φ-cotipo p0 , entonces tiene cotipo de Rademacher p0 . (c) Si X tiene Φ-cotipo fuerte p0 , entonces tiene cotipo fuerte de Rademacher p0 .

A.4 Teorema de Kwapie´ n Como ya se˜ nal´e en la Introducci´on a la Parte I de esta Memoria, en los u ´ltimos 25 a˜ nos ha predominado mayormente la clasificaci´on de espacios de Banach salvo isomorfismo y no salvo isometr´ıa. En este sentido, es interesante saber cuando un espacio de Banach dado es isomorfo a un espacio de Hilbert. Hoy por hoy existen diversas caracterizaciones de los espacios de Hilbert salvo isomorfismo. Una de tales caracterizaciones utiliza de manera esencial la teor´ıa desarrollada hasta ahora. Me refiero al resultado bien conocido de Stanislaw Kwapie´ n [45], que establece que un espacio de Banach es isomorfo a un Hilbert si y s´olo si tiene tipo y cotipo de Rademacher 2. N´otese que una de las implicaciones es sencilla y ya fue enunciada en la Proposici´on A.4. En esta secci´on resumimos brevemente el contenido de dicho art´ıculo de Kwapie´ n. El resultado m´as relevante de [45] dice que un espacio de Banach es isomorfo a un Hilbert si y s´olo si los polinomios de Rademacher con coeficientes en dicho espacio satisfacen las desigualdades de Khintchine. Recordamos que las funciones de Rademacher se denotan por r1 , r2 , . . ., mientras que escribimos g1 , g2 , . . . para las gaussianas est´andar que conforman el sistema de Gauss. Teorema A.27 (Kwapie´ n, [45]) Teorema de Kwapie´ n. Sea X un espacio de Banach, las siguientes condiciones son equivalentes: (a) X es isomorfo a un espacio de Hilbert. (b) Existe una constante C ≥ 1 tal que, para toda familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene n n n

2 1/2 1/2 Z 1 X 1/2 X 1 X

2 kxk kX ≤ xk rk (t) dt ≤C kxk k2X .

C k=1 X 0 k=1 k=1 (c) Existe una constante C ≥ 1 tal que, para toda familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene n n n

2 1/2 1/2 1/2 Z 1 X X 1 X

2 2 . kxk kX ≤ xk gk (t) dt ≤C kxk kX

C k=1 X 0 k=1 k=1

A.

219

La teor´ıa conmutativa

Observaci´ on A.28 Como ya hemos dicho, la demostraci´on de que todo espacio isomorfo a un Hilbert tiene tipo y cotipo de Rademacher 2 es sencilla. Para ver que el tipo y cotipo de Rademacher 2 implican tipo y cotipo de Gauss 2, Kwapie´ n utiliza un argumento basado en el teorema central del l´ımite del que ya dimos cuenta en la Secci´on 8.3. Finalmente, para probar que todo espacio con tipo y cotipo de Gauss 2 es isomorfo a un Hilbert, Kwapie´ n se apoya en una caracterizaci´on auxiliar de espacios isomorfos a un Hilbert debida a Lindenstrauss y Pelczy´ nski [47]. Pasamos ahora a estudiar algunas variantes interesantes de este resultado. Comenzamos por analizar qu´e otros sistemas ortonormales, aparte del sistema de Rademacher y del sistema de Gauss, satisfacen un resultado del mismo tipo. Utilizaremos la letra Φ = {ϕn : n ≥ 1} para los sistemas ortonormales que est´en uniformemente acotados. Los sistemas ortonormales completos, no necesariamente acotados uniformemente, ser´an designados por la letra Ψ = {ψn : n ≥ 1}. Proposici´ on A.29 Sea X un espacio de Banach, entonces: (a) X es isomorfo a un espacio de Hilbert si y s´olo si existe una constante C ≥ 1 tal que, para toda familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene n

1/2 1 X kxk k2X ≤ C k=1

Z X n n

2 1/2 X 1/2

2 x ϕ (ω) dµ(ω) ≤ C kx k .

k k k X Ω

k=1

X

k=1

(b) X es isomorfo a un espacio de Hilbert si y s´olo si existe una constante C ≥ 1 tal que, para toda familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene n

1/2 1 X 2 kxk kX ≤ C k=1

Z X n n

2 1/2 X 1/2

2 xk ψk (ω) dµ(ω) ≤C kxk kX .

Ω

k=1

X

k=1

Observaci´ on A.30 N´otese que el sistema de Gauss no entra en las hip´otesis del resultado anterior, pues no es un sistema completo ni uniformemente acotado. El resultado para sistemas completos es de Kwapie´ n [45], mientras que la validez del teorema de Kwapie´ n para sistemas ortonormales uniformemente acotados se debe a Garc´ıa-Cuerva, Kazarian, Kolyada y Torrea [25]. Por u ´ltimo conviene se˜ nalar que el sistema trigonom´etrico, que es completo y uniformemente acotado, se comporta de un modo especial. Nos referimos al hecho de que s´olo es necesario exigir la condici´on de tipo 2 o bien la de cotipo 2 en el teorema de Kwapie´ n.

220

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Proposici´ on A.31 (Kwapie´ n, [45]) Sea X un espacio de Banach, las siguientes condiciones son equivalentes: (a) X es isomorfo a un espacio de Hilbert. (b) Existe una constante C > 0 tal que, para toda familia finita x−n , x−n+1 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene n n

2 1/2 X Z 1 X 1/2

2πikt ≤C xk e kxk k2X .

dt 0

k=−n

X

k=−n

(c) Existe una constante C > 0 tal que, para toda familia finita x−n , x−n+1 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene n n

2 1/2 X 1/2 Z 1 X

2 2πikt kxk kX ≤C x e .

dt k k=−n

0

k=−n

X

Observaci´ on A.32 N´otese que es posible obtener extensiones de este resultado sin m´as que combinarlo con la Proposici´on A.19. De hecho, el mismo resultado tiene validez si sustituimos el sistema trigonom´etrico por el sistema de Walsh. Observaci´ on A.33 En la parte final del trabajo [45], Kwapie´ n conjetura que la Proposici´on A.31 podr´ıa ser cierta sustituyendo el sistema trigonom´etrico por cualquier otro sistema ortonormal completo. Sin embargo, el sistema de Haar constituye un contraejemplo.

A.5 Espacios de Banach B-convexos Como ya hemos se˜ nalado, todo espacio de Banach tipo de Rademacher 1. No obstante, existen ciertos espacios de Banach como `1 , c0 o `∞ que s´olo tienen tipo de Rademacher 1. La clase de los espacios de Banach que tienen tipo de Rademacher no trivial –es decir, aquellos que tienen tipo de Rademacher p para cierto exponente p > 1– ha sido ampliamente estudiada. Desde principios de los a˜ nos 70 han aparecido diversas caracterizaciones de esta clase de espacios. En esta secci´on nos disponemos a profundizar en tales caracterizaciones con objeto de motivar el contenido de la Parte V de esta Memoria. Obviamente, s´olo tratamos aquellas caracterizaciones relevantes en nuestro estudio. El texto de Pietsch y Wenzel [64] contiene otras caracterizaciones de inter´es.

A.

221

La teor´ıa conmutativa

Una de esas caracterizaciones viene dada por la siguiente condici´on geom´etrica para espacios de Banach. Diremos que un espacio de Banach X es B-convexo si existe un entero positivo n y un n´ umero 0 < δ ≤ 1 tal que, para cada familia x1 , x2 , . . . xn de vectores de X, se tiene n

X

1

´ınf εk xk ≤ (1 − δ) m´ax kxk kX . ε =±1 1≤k≤n n k X k=1

Observaci´ on A.34 Como se indic´o en la Parte V, en ciertas ocasiones es mejor sustituir en la definici´on los coeficientes reales εk por coeficientes complejos ξk de m´odulo 1. Esto no supone ning´ un cambio significativo, puesto que la definici´on resultante es equivalente a la dada. El inter´es por los espacios de Banach B-convexos fue despertado por Anatole Beck en 1962 con su trabajo [5]. En dicho trabajo Beck estudi´o cierta ley de los grandes n´ umeros para variables aleatorias valoradas en espacios de Banach. Sin embargo, nuestro inter´es por esta teor´ıa comienza con el trabajo [30] de su estudiante Daniel P. Giesy. Antes de enunciar el resultado principal del trabajo de Giesy, necesitamos dar una nueva definici´on. Diremos que un espacio de Banach X contiene a `1 (n) λ-uniformemente si, para todo entero positivo n, existe un subespacio Xn de X y un isomorfismo lineal Λn : `1 (n) −→ Xn

tal que

kΛn kkΛ−1 n k ≤ λ.

Dicho de otro modo, para todo n ≥ 1 existe un subespacio Xn de X cuya distancia de Banach-Mazur hasta `1 (n) es menor o igual que λ. Proposici´ on A.35 Sea X un espacio de Banach, las siguientes condiciones son equivalentes: (a) X no contiene a `1 (n) λ-uniformemente para cierto λ > 1. (b) X no contiene a `1 (n) λ-uniformemente para todo λ > 1. (c) X es B-convexo. Observaci´ on A.36 La B-convexidad es una propiedad estable bajo isomorf´ıa. Es decir, si dos espacios de Banach son isomorfos, entonces uno es B-convexo si y s´olo si el otro tambi´en lo es. La B-convexidad tambi´en es estable cuando pasamos a subespacios, duales y cocientes.

222

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Diremos que un espacio de Banach X tiene subtipo de Rademacher si existe un entero positivo n y un n´ umero 0 < δ ≤ 1 tal que, para toda familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X, se tiene n n

2 1/2 Z 1 X 1/2 √ X

xk rk (t) dt ≤ (1 − δ) n kxk k2X .

0

k=1

X

k=1

La relaci´on entre la clase de espacios de Banach B-convexos y los espacios de Banach con tipo de Rademacher no trivial se debe a Gilles Pisier [65]. Enunciamos a continuaci´on algunas de las m´ ultiples caracterizaciones que Pisier proporciona en el trabajo [65]. Proposici´ on A.37 Sea X un espacio de Banach, las siguientes condiciones son equivalentes: (a) X es B-convexo. (b) X tiene subtipo de Rademacher. (c) X tiene tipo de Rademacher no trivial. Observaci´ on A.38 Sea λn (X) la mejor constante posible 1 − δ en la desigualdad que define la B-convexidad de X. An´alogamente, sea νn (X) la mejor constante posible 1 − δ en la desigualdad que define el subtipo de Rademacher. Entonces, se puede decir que la clave de la prueba del resultado de Pisier reside en observar la submultiplicatividad de ambas constantes. Es decir, dados dos enteros positivos n1 y n2 , se tiene que λn1 n2 (X) ≤ λn1 (X)λn2 (X) y que νn1 n2 (X) ≤ νn1 (X)νn2 (X). En su trabajo [65], Pisier saca un rendimiento asombroso de esta propiedad. Sea 1 < r < ∞, diremos que un espacio de Banach X es Kr -convexo si existe una constante Ar > 0 tal que, para toda funci´on f ∈ LrX [0, 1], se tiene ∞

r 1/r 1/r Z 1 X Z 1

r b f (k) r (t) dt ≤ A kf (t)k dt

k r X 0

k=1

X

0

donde fb(k) denota el k-´esimo coeficiente de Fourier de f respecto del sistema de Rademacher. Dicho de otro modo, exigimos que la proyecci´on de LrX [0, 1] en el subespacio generado por las funciones de Rademacher con coeficientes en el espacio X –habitualmente denominada proyecci´on de Rademacher – sea acotada. Es un resultado conocido que la Kr -convexidad no depende del exponente r. De modo que diremos que un espacio de Banach es K-convexo cuando se satisfaga

A.

La teor´ıa conmutativa

223

la desigualdad anterior para cierto 1 < r < ∞. La definici´on de K-convexidad apareci´o por primera vez en el trabajo de Maurey y Pisier [54]. Sin embargo, la relaci´on existente entre los espacios con tipo de Rademacher no trivial y la clase de espacios K-convexos no sale a la luz hasta 1982. Durante algunos a˜ nos este problema estuvo abierto y fue finalmente Pisier quien en su trabajo [66] demostr´o que ambas clases de espacios son la misma. Teorema A.39 (Pisier, [66]) Teorema de Pisier. Sea X un espacio de Banach, las siguientes condiciones son equivalentes: (a) X no contiene a `1 (n) uniformemente. (b) X es B-convexo. (c) X es K-convexo. (d) X tiene tipo de Rademacher no trivial. Observaci´ on A.40 La prueba del teorema de Pisier es bastante m´as complicada que la de las caracterizaciones dadas anteriormente. Adem´as de introducir al sistema de Walsh como elemento auxiliar de la prueba, el argumento de Pisier combina t´ecnicas de variables compleja con la teor´ıa de semigrupos de operadores. Observaci´ on A.41 Recu´erdese que las relaciones de dualidad entre tipo y cotipo de Rademacher presentaban ciertas dificultades que nos obligaron a introducir la noci´on de cotipo fuerte de Rademacher. No obstante, se sigue del teorema de Pisier, que tales dificultades desaparecen cuando trabajamos con espacios de Banach Kconvexos. A saber, dado 2 ≤ p0 < ∞, todo espacio K-convexo con cotipo de Rademacher p0 tiene autom´aticamente cotipo fuerte de Rademacher p0 . Adem´as del teorema de Pisier, otra de las caracterizaciones relevantes de la clase de espacios de Banach con tipo de Rademacher no trivial se debe a Jean Bourgain. Tambi´en en 1982 Bourgain publica el art´ıculo [11], donde se demuestra que podemos sustituir el sistema de Rademacher en la condici´on de tener tipo no trivial por cualquier sistema de caracteres de un grupo compacto y abeliano. Teorema A.42 (Bourgain, [11]) Teorema de Bourgain. Sea X un espacio de Banach B-convexo y sea G un grupo compacto y abeliano. Entonces existe un exponente 1 < p ≤ 2 y una constante C > 0 tal que, para toda

224

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

familia finita x1 , x2 , . . . xn de coeficientes en X y toda familia finita ξ1 , ξ2 , . . . ξn de caracteres de G, se tiene n n

2 Z X 1/2 X 1/p

p xk ξk (g) dµ(g) ≤C kxk kX .

G

X

k=1

k=1

Tambi´en existe un exponente 2 ≤ p0 < ∞ tal que n X

0 kxk kpX

1/p0

n

2 Z X 1/2

≤C xk ξk (g) dµ(g) .

k=1

G

k=1

X

Observaci´ on A.43 Como el propio Bourgain observa al final de [11], podemos reemplazar en el resultado anterior la norma de L2X (G) por la norma de LqX (G) para 1 < q < ∞. En particular, dado un grupo compacto y abeliano G, se tiene que todo espacio B-convexo satisface la desigualdad de Hausdorff-Young respecto de G para alg´ un exponente 1 < p ≤ 2. Adem´as, utilizando la caracterizaci´on dada en la Proposici´on A.37, obtenemos que todo espacio de Banach con tipo de Rademacher b no trivial tiene G-tipo no trivial. Pero en vista de la Proposici´on A.26 el rec´ıproco tambi´en es cierto. Por tanto, el tipo de Rademacher no trivial es equivalente al b G-tipo no trivial para todo grupo compacto y abeliano G. Observaci´ on A.44 En 1988 Bourgain revisa sus propios resultados en [12] con 1 (T) y objeto de estudiar ciertos multiplicadores en los espacios de Hardy HX 1 HX (R), donde X es un espacio de Banach B-convexo.

A.6 Teorema de Maurey-Pisier Cerramos este Ap´endice con el teorema de Maurey-Pisier, que completa la lista de los cuatro resultados fundamentales de la teor´ıa junto con los teoremas de Kwapie´ n, Pisier y Bourgain. Dado 1 ≤ p ≤ ∞, diremos que un espacio de Banach X contiene a `p (n) λ-uniformemente si, para todo entero positivo n, existe un subespacio Xn de X y un isomorfismo lineal Λn : `p (n) −→ Xn

tal que

kΛn kkΛ−1 n k ≤ λ.

Se tiene que un espacio de Banach X contiene a `p (n) λ-uniformemente para cierto λ > 1 si y s´olo si X contiene a `p (n) λ-uniformemente para todo λ > 1. Este

A.

225

La teor´ıa conmutativa

resultado ya se anunci´o anteriormente para p = 1 en la Proposici´on A.35. El caso general es un resultado bastante profundo conocido como teorema de Krivine. El lector interesado puede encontrar una prueba de este resultado en la referencia original [43] o bien en [56]. El espectro de Minkowski spec(X) de un espacio de Banach de dimensi´on infinita X consiste en el conjunto de exponentes 1 ≤ p ≤ ∞ para los cuales los espacios `p (n) est´an contenidos uniformemente en X. El espectro de Minkowski es siempre un subconjunto cerrado de [1, ∞]. Adem´as, el teorema de Dvoretzky nos asegura que el espectro de Minkowski nunca es vac´ıo puesto que todo espacio de Banach infinito-dimensional contiene a `2 (n) uniformemente. En el a˜ no 1976, Bernard Maurey y Gilles Pisier publicaron el conocido trabajo [54] en el que, entre otras cosas, se relaciona al espectro de Minkowski de un espacio de Banach infinito-dimensional con sus exponentes o´ptimos de Rademacher. Teorema A.45 (Maurey y Pisier, [54]) Teorema de Maurey-Pisier. Dado un espacio de Banach X de dimensi´on infinita, se tiene TX = m´ın spec(X)

y

CX = m´ax spec(X).

Observaci´ on A.46 N´otese que, para los espacios de Banach de dimensi´on finita, ambos exponentes ´optimos de Rademacher son 2 en virtud de la Proposici´on A.4.

B An´ alisis arm´ onico en grupos compactos

Aunque comenzaremos analizando todos los grupos localmente compactos, la idea central ser´a la transformada de Fourier en grupos compactos. Obtendremos una teor´ıa unificada que incluye como casos particulares a las series de Fourier en Tn , la transformada de Fourier finita o los desarrollos en serie de Fourier para funciones definidas en algunos grupos cl´asicos de Lie. En el camino necesitaremos estudiar ciertos resultados de la teor´ıa de representaciones de grupos. Esto nos permitir´a definir los coeficientes de Fourier de funciones definidas sobre grupos compactos as´ı como presentar la desigualdad de Hausdorff-Young para grupos compactos, debida a Kunze y fundamental a lo largo de esta Memoria.

B.1 Grupos topol´ ogicos y medida de Haar Utilizaremos notaci´on multiplicativa para referirnos a la operaci´on de los grupos que aparezcan en lo que sigue. Un grupo topol´ ogico es un grupo G equipado con una topolog´ıa respecto de la cual las operaciones del grupo son continuas. Es decir, la aplicaci´on (g1 , g2 ) 7→ g1 g2 es continua de G × G en G mientras que g 7→ g −1 es continua de G en G. Denotaremos por 1 al elemento neutro de G. Dados g ∈ G y B un subconjunto de G, definimos gB = {gh : h ∈ B},

Bg = {hg : h ∈ B},

B −1 = {h−1 : h ∈ B}.

Asumiremos que G es un grupo topol´ogico Hausdorff y localmente compacto. En el Cap´ıtulo 2 del texto de Folland [23] se puede encontrar un resumen bastante completo de las propiedades b´asicas de este tipo de grupos. El an´alisis arm´onico en grupos topol´ogicos precisa definir una medida en tales grupos. Esto nos proporcionar´a una teor´ıa de la integral en grupos topol´ogicos que, unida a la estructura de grupo, permite generalizar conocidas construcciones en 227

228

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Rn como el producto de convoluci´on o la transformada de Fourier. Una medida de Haar por la izquierda (resp. derecha) en G es una medida de Radon no nula µ en G que satisface µ(gB) = µ(B) (resp. µ(Bg) = µ(B)) para todo boreliano B de G y todo g ∈ G. Proposici´ on B.1 Sea µ una medida de Radon en G. Si denotamos por BG a la σ-´algebra de Borel en G y definimos µ e : BG −→ R+ B 7−→ µ(B −1 ), entonces se tiene que µ es una medida de Haar por la izquierda si y s´olo si µ e es una medida de Haar por la derecha. Teorema B.2 Todo grupo localmente compacto G posee una medida de Haar por la izquierda. Esta medida es u ´nica salvo multiplicaci´on por constantes positivas. Dada una medida de Haar por la izquierda µ en un grupo topol´ogico G, podemos definir para cada g ∈ G otra medida de Haar por la izquierda µg como sigue µg : BG −→ R+ B 7−→ µ(Bg). Es obvio que µg es una medida de Haar por la izquierda para todo g ∈ G. Debido a la unicidad de la medida de Haar salvo constantes positivas se tiene que existe una funci´on ∆G , definida en G y con valores positivos, que satisface µg = ∆G (g)µ para todo g ∈ G. La funci´on ∆G : G → R+ se llama funci´ on modular de G. Un grupo topol´ogico localmente compacto que satisfaga ∆G (g) = 1 para todo g ∈ G se llama unimodular. Proposici´ on B.3 Todo grupo compacto o abeliano es unimodular, de manera que toda medida de Haar por la izquierda lo es tambi´en por la derecha y viceversa. En particular se tiene que µ(B) = µ(gB) = µ(Bg) = µ(B −1 ) para toda medida de Haar µ en G, todo g ∈ G y todo boreliano B de G. Observaci´ on B.4 Sabemos que toda medida de Radon es finita sobre compactos, de manera que si G es un grupo compacto toda medida de Haar definida en G es finita. En particular, dado un grupo compacto G, existe una u ´nica medida de probabilidad en G que sea de Haar.

B.

229

An´ alisis arm´ onico en grupos compactos

B.2 Representaciones unitarias, irreducibilidad Sea V un espacio de Hilbert, la topolog´ıa fuerte de operadores en B(V) se define como la topolog´ıa en B(V) inducida por las seminormas Λ 7→ kΛvk, con v ∈ V. Dicho de otro modo, una red {Λα } converge a Λ fuertemente en B(V) cuando kΛα v − Λvk −→ 0

para todo

v ∈ V.

Definici´ on B.5 Una representaci´ on unitaria de G es un homomorfismo π de G en el grupo U (Vπ ) de operadores unitarios sobre un espacio de Hilbert no nulo Vπ , que es continuo respecto de la topolog´ıa fuerte de operadores. Es decir, una aplicaci´on π : G → U (Vπ ) que satisface: π(g1 g2 ) = π(g1 )π(g2 ) para todo g1 , g2 ∈ G. π(g −1 ) = π(g)? para todo g ∈ G. La aplicaci´on g 7→ π(g)v de G en Vπ es continua para todo v ∈ Vπ . Vπ se dice espacio de representaci´ on de π y su dimensi´on dπ es el grado de π. Diremos que π es una representaci´on finito-dimensional cuando dπ sea finito. Si π1 y π2 son representaciones unitarias de G, un operador de entrelazado para π1 y π2 es un operador lineal Λ : Vπ1 → Vπ2 que satisface Λπ1 (g) = π2 (g)Λ para todo g ∈ G. El conjunto de estos operadores se denota por HomG (Vπ1 , Vπ2 ). π1 y π2 se dicen unitariamente equivalentes si HomG (Vπ1 , Vπ2 ) contiene alg´ un operador unitario. Escribiremos EndG (Vπ ) para HomG (Vπ , Vπ ). Supongamos que W es un subespacio de Vπ , W se dice un subespacio invariante por π si π(g)W ⊂ W para todo g ∈ G. Si W es un subespacio invariante no nulo de π, la restricci´on π W de π a W define una representaci´on de G en W. Se dice una subrepresentaci´ on de π. Si π admite un subespacio invariante distinto de {0} y de Vπ diremos que π es reducible, en otro caso π ser´a irreducible. Observaci´ on B.6 De ahora en adelante π denotar´a representaciones unitarias irreducibles mientras que ρ denotar´a cualquier representaci´on unitaria. Presentamos a continuaci´on uno de los resultados m´as relevantes en el estudio de las representaciones irreducibles de un grupo.

230

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Teorema B.7 Lema de Schur. Las representaciones irreducibles cumplen las siguientes propiedades: (a) Una representaci´on unitaria π : G → Vπ es irreducible si y s´olo si EndG (Vπ ) contiene s´olo m´ ultiplos escalares de la identidad. (b) Sean π1 : G → Vπ1 y π2 : G → Vπ2 representaciones irreducibles de G. Entonces: • π1 y π2 son equivalentes si y s´olo si HomG (Vπ1 , Vπ2 ) es uno-dimensional. • π1 y π2 no son equivalentes si y s´olo si HomG (Vπ1 , Vπ2 ) = {0}. Observaci´ on B.8 Sea G un grupo topol´ogico localmente compacto y abeliano. Entonces, si π : G → Vπ es una representaci´on irreducible, los operadores π(g) conmutan entre s´ı y por tanto pertenecen a EndG (Vπ ). Por el lema de Schur obtenemos que π(g) = λg IVπ con λg ∈ C para cada g ∈ G. Pero entonces todo subespacio uno-dimensional de Vπ es invariante por π. Puesto que π es irreducible deducimos que dim Vπ = 1. Es decir, todas las representaciones irreducibles de un grupo abeliano son uno-dimensionales. Pero tales representaciones no son otra cosa que los caracteres del grupo, de los que ya dimos cuenta en el Ap´endice A. Sea ρ1 , ρ2 , . . . ρn una familia de representaciones unitarias de G. Definimos la suma directa ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρn como la representaci´on de G en el espacio Vρ = Vρ1 ⊕ · · · ⊕ Vρn definida por ρ(g)

n X k=1

vk =

n X

ρk (g)vk

donde

vk ∈ Vρk .

k=1

N´otese que Vρk es un subespacio invariante por ρ de Vρ para 1 ≤ k ≤ n. Por tanto, las representaciones ρk son subrepresentaciones de ρ. Proposici´ on B.9 Si W es invariante por ρ, tambi´en lo es W ⊥ . Si ρ tiene un ⊥ subespacio invariante W no trivial, entonces ρ es la suma directa de ρW y ρW . Hasta ahora, todo lo que hemos estudiado son resultados generales de la teor´ıa de representaciones unitarias de grupos localmente compactos. Nos centramos ahora en los grupos compactos. Comenzamos con un teorema de descomposici´on que resulta fundamental en nuestro estudio.

B.

An´ alisis arm´ onico en grupos compactos

231

Teorema B.10 Dado un grupo compacto G, toda representaci´on irreducible de G es finito-dimensional. Adem´as toda representaci´on unitaria de G se descompone en una suma directa de representaciones irreducibles. Sea Γ el conjunto de todas las representaciones irreducibles de G. Entonces, la equivalencia unitaria resulta ser una relaci´on de equivalencia en Γ. El objeto b se define como un conjunto de representantes de las clases de equivalencia dual G obtenidas. Como ya sabemos, en el caso abeliano las representaciones irreducibles son uno-dimensionales. De manera que el objeto dual no es otra cosa que un conjunto de homomorfismos π : G → U (C) ' T m´odulo equivalencia unitaria. A este conjunto lo podemos convertir en un grupo topol´ogico con la operaci´on dada por la multiplicaci´on punto a punto y la topolog´ıa de la convergencia puntual. En b se denomina grupo dual de G. tal caso G Dada una representaci´on unitaria ρ : G → U (Vρ ), sabemos que ρ se descompone de manera que es unitariamente equivalente a M (π ⊕ · · · ⊕ π) b π∈G

donde el n´ umero de veces que aparece π es un invariante de ρ que llamaremos multiplicidad de π en ρ y escribiremos Multπ (ρ). De esta manera podemos expresar el espacio de representaci´on como M Vρ ' Vπ ⊗ CMultπ (ρ) . b π∈G

El espacio CMultπ (ρ) se llama espacio de multiplicidad de π en ρ. Por otro lado, el subespacio de Vρ correspondiente a Vπ ⊗ CMultπ (ρ) est´a un´ıvocamente determinado y se denomina componente π-isot´ıpica de Vρ . El lector interesado puede acudir a los textos de Folland [23] o de Fulton y Harris [24] para m´as informaci´on sobre la teor´ıa de representaciones de grupos.

B.3 El ´ algebra de grupo A partir de ahora G denotar´a un grupo compacto al que le dotamos de una medida de Haar µ con masa total 1. Dadas dos funciones f1 , f2 ∈ L1 (G) definimos su producto de convoluci´ on como Z f1 ∗ f2 (g) = f1 (gh−1 )f2 (h) dµ(h). G

232

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Es un resultado conocido que el producto de convoluci´on constituye una ley de composici´on interna en L1 (G) para todo grupo localmente compacto. Nosotros nos centraremos u ´nicamente en el estudio de este producto de convoluci´on sobre grupos compactos. Dado un grupo compacto G, diremos que el espacio de Banach L1 (G) es el ´ algebra del grupo de G cuando le dotamos del producto de convoluci´on y de la involuci´on dada por f ? (g) = f (g −1 ) para f ∈ L1 (G). El espacio L1 (G), con el producto y la involuci´on introducidos, es una ?-´algebra de Banach. De hecho, tomando µ con masa total 1, la desigualdad integral de Minkowski nos asegura que L2 (G) es una ?-sub´algebra de Banach de L1 (G). Una funci´ on de clase o funci´ on 1 −1 central en G es una funci´on f ∈ L (G) que satisface f (ghg ) = f (h) para todo g, h ∈ G. Es decir, f es constante en las clases de conjugaci´on de G. Denotaremos por Z(G) al conjunto de las funciones centrales. Esta notaci´on est´a motivada por el hecho de que las funciones de clase constituyen el centro del a´lgebra de grupo L1 (G) con el producto de convoluci´on. Toda representaci´on unitaria ρ de G determina el siguiente homomorfismo de a´lgebras, que tambi´en denotaremos por ρ, entre L1 (G) y B(Vρ ) Z 1 f (g)ρ(g) dµ(g) ∈ B(Vρ ). f ∈ L (G) 7−→ ρ(f ) = G

Interpretaremos este operador en sentido d´ebil. Es decir, para cada vector v ∈ Vρ definimos ρ(f )v por medio de la relaci´on Z f (g)hρ(g)v, wi dµ(g). hρ(f )v, wi = G

Es obvio que ρ(f ) ∈ B(Vρ ) y que kρ(f )k ≤ kf kL1 (G) . Tambi´en es sencillo ver que la aplicaci´on ρ : L1 (G) → B(Vρ ) es un homomorfismo continuo de ´algebras.

B.4 Caracteres y relaciones de ortogonalidad Sea ρ : G → U (Vρ ) una representaci´on unitaria finito-dimensional. Definimos el car´ acter de ρ como la funci´on χρ : G → C que resulta de tomar la traza de ρ en cada punto. Es decir, χρ (g) = tr(ρ(g)). Diremos que χρ es un car´ acter irreducible cuando la representaci´on unitaria ρ sea irreducible. Las propiedades m´as inmediatas de los caracteres son las siguientes: Los caracteres son funciones centrales: Los caracteres nos dan el grado de la representaci´on:

χρ (ghg −1 ) = χρ (h). χρ (1) = dim Vρ .

B.

233

An´ alisis arm´ onico en grupos compactos

El car´acter de la suma es la suma de caracteres:

χρ1 ⊕ρ2 = χρ1 + χρ2 .

Cuando ρ es uno-dimensional se tiene que χρ = ρ mediante la identificaci´on U (C) ' T. Por tanto se deduce que para todo grupo abeliano G su grupo dual es el conjunto de los caracteres irreducibles de G. Teorema B.11 Sea G un grupo compacto dotado de una medida de Haar µ con b y sea Λ un operador de B(Vπ1 , Vπ2 ). Entonces se masa total 1. Sean π1 , π2 ∈ G tienen las siguientes relaciones de ortogonalidad: Z tr(Λ) π2 (g) Λ π1 (g −1 ) dµ(g) = δπ1 π2 IVπ1 . dπ 1 G Z Λ tr(Λπ1 (g)) π2 (g −1 ) dµ(g) = δπ1 π2 . dπ 1 G Z π1 (g) χπ1 (gh−1 ) π2 (h) dµ(h) = δπ1 π2 . dπ 1 G Z χπ (g) χπ1 (gh−1 ) χπ2 (h) dµ(h) = δπ1 π2 1 . dπ1 G Los caracteres de un grupo unido a las relaciones de ortogonalidad proporcionan una colecci´on interesante de resultados que pasamos a enunciar. Proposici´ on B.12 Dado un grupo compacto G, se tiene que: b Entonces (a) Sea ρ : G → U (Vρ ) una representaci´on unitaria de G y sea π ∈ G. el operador definido por Z P π = dπ χπ (g −1 )ρ(g) dµ(g) G

es la proyecci´on ortogonal de Vρ sobre su componente π-isot´ıpica. b (b) Sea ρ : G → U (Vρ ) una representaci´on unitaria de G y sean π1 , π2 ∈ G inequivalentes. Entonces las componentes π-isot´ıpicas asociadas a π1 y π2 son subespacios ortogonales de Vρ . (c) La descomposici´on de una representaci´on unitaria ρ : G → U (Vρ ) en suma directa de representaciones irreducibles es u ´nica m´odulo equivalencia unitaria y orden de los sumandos.

234

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

(d) El car´acter de una representaci´on unitaria ρ : G → U (Vρ ) se escribe de manera u ´nica, salvo el orden de los sumandos, como X χρ = Multπ (ρ)χπ . b π∈G

(e) Los caracteres irreducibles de G son una base ortonormal del subespacio de L2 (G) formado por las funciones centrales. (f) Una representaci´on unitaria ρ : G → U (Vρ ) es irreducible si y s´olo si Z |χρ (g)|2 dµ(g) = 1. G

Dos representaciones de G son unitariamente equivalentes si y s´olo si sus caracteres coinciden. (g) La ?-representaci´on de ´algebras dada por Z 2 f ∈ L (G) 7−→ f (g)π(g) dµ(g) ∈ B(Vπ ) G

b Por tanto, el espacio B(Vπ ) est´a linealmente es sobreyectiva para todo π ∈ G. generado por los operadores π(g) cuando g recorre G.

B.5 La transformada de Fourier De ahora en adelante asumiremos que G es un grupo topol´ogico Hausdorff y compacto al que le dotamos de la u ´nica medida de Haar µ que tiene masa total 1. Dada f ∈ L1 (G) y π : G → U (Vπ ) una representaci´on irreducible, definimos el coeficiente de Fourier de f en π como Z b f (π) = f (g)π(g)? dµ(g) ∈ B(Vπ ). G

Nuevamente, entenderemos a este operador en sentido d´ebil. El operador que asigna a cada f ∈ L2 (G) su transformada de Fourier evaluada en π, constituye un homomorfismo continuo de ?-´algebras entre L2 (G) y la clase de Schatten SV2π : b b (λ1 f\ 1 + λ2 f2 )(π) = λ1 f1 (π) + λ2 f2 (π)

B.

235

An´ alisis arm´ onico en grupos compactos

b b f\ 1 ∗ f2 (π) = f1 (π) ◦ f2 (π) fb? (π) = fb(π)? . Si fn → f en L2 (G), entonces fbn (π) → fb(π) en SV2π . N´otese que si fijamos una base del espacio de representaci´on Vπ para cada b entonces podemos identificar el espacio B(Vπ ) con el espacio Mdπ de las π ∈ G, matrices cuadradas con entradas complejas de orden dπ . An´alogamente, la clase de Schatten SV2π se puede escribir como Sd2π , donde dπ denota el grado de π. Esta observaci´on nos permite definir la transformada de Fourier FG como el operador que asigna a cada f ∈ L1 (G) la colecci´on fb(π) π∈Gb de sus coeficientes de Fourier Y FG : L1 (G) −→ Mdπ . b π∈G

Dada una representaci´on unitaria e irreducible π : G → U (Vπ ), definimos el espacio Hπ = {tr(Aπ(·)) : A ∈ Sd2π }. Hπ es un subespacio vectorial de L2 (G), es sencillo comprobar que el operador Λπ : Sd2π −→ Hπ A 7−→ tr(Aπ(·)) es un isomorfismo lineal. De modo que, fijada una base de Vπ , las entradas πij de la matriz π forman una base de Hπ y se tiene dim Hπ = d2π . Es evidente que el b Adem´as, como consecuencia de las relaciones car´acter χπ ∈ Hπ para todo π ∈ G. de ortogonalidad, se tiene que Hπ1 y Hπ2 son ortogonales cuando π1 y π2 no son b reescalamos en el producto escalar unitariamente equivalentes. Para todo π ∈ G, natural de Sd2π de manera que definimos el producto interior X hA, Bi = dπ tr(Aπ B π? ) b π∈G

para A y B en la suma directa hilbertiana

M

Sd2π .

b π∈G

Proposici´ on B.13 Sea f ∈ Hπ , entonces se tiene que Z

2

|f (g)| dµ(g) = G

d2π

dπ Z 2 X f (g)πij (g) dµ(g) . i,j=1

G

Es decir, la norma de f en L2 (G) coincide con dπ veces la norma de fb(π) en Sd2π .

236

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

El teorema que sigue, debido a Fritz Peter y Hermann Weyl, constituye uno de los resultados centrales del an´alisis arm´onico en grupos compactos. Teorema B.14 (Peter y Weyl, [63]) Teorema de Peter-Weyl. Se cumplen las siguientes propiedades: M (a) L2 (G) coincide con la suma directa hilbertiana Hπ . b π∈G

h[ i (b) El espacio span Hπ es denso en C(G) y en Lp (G) para 1 ≤ p < ∞. b π∈G

Corolario B.15 Teorema de Plancherel en grupos compactos. La transformada de Fourier en un grupo compacto G M FG : f ∈ L2 (G) 7−→ fb ∈ Sd2π b π∈G

es un isomorfismo unitario de ´algebras con inversa dada por

X

dπ tr fb(π)π(·) .

b π∈G

Para m´as informaci´on sobre el an´alisis de Fourier en grupos compactos, los textos de Folland [23] o Hewitt y Ross [35] son buenas referencias.

B.6 La desigualdad de Hausdorff-Young-Kunze b a la suma directa de clases de Schatten que aparece en Denotaremos por L2 (G) el teorema de Plancherel para grupos compactos como rango de la transformada de Fourier, dotado del producto interior definido anteriormente. Con objeto de profundizar en el an´alisis arm´onico sobre grupos compactos, es necesario considerar b ya definidos en el Cap´ıtulo 3 de esta Memoria. los espacios Lp (G), Para 1 ≤ p < ∞, n X 1/p o Y π p b = A∈ Lp (G) Mdπ : kAkLp (G) < ∞ . = d kA k b π Sp dπ

b π∈G

b π∈G

Para p = ∞, n o Y π b = A∈ L∞ (G) Mdπ : kAkL∞ (G) b = sup kA kSd∞ < ∞ . π b π∈G

b π∈G

B.

237

An´ alisis arm´ onico en grupos compactos

b ya fueron analizadas en la Secci´on 3.2. Las propiedades de los espacios Lp (G) Concluimos con la desigualdad de Hausdorff-Young para funciones definidas en un grupo compacto, un resultado debido a Ray A. Kunze [44] y como sabemos de gran relevancia en esta Memoria. Teorema B.16 (Kunze, [44]) Hausdorff-Young en grupos compactos. Dado 1 ≤ p ≤ 2, con exponente conjugado p0 , se tiene que: 0 b Adem´as (a) Si f ∈ Lp (G), su transformada de Fourier fb ∈ Lp (G). 1/p0 Z X 1/p p0 b dπ kf (π)k p0 ≤ |f (g)|p dµ(g) .

b π∈G

Sdπ

G

b su preimagen A ˇ por FG est´a en Lp0 (G). Adem´as (b) Si A ∈ Lp (G), Z X 1/p0 X 1/p p0 dπ tr Aπ π(g) dµ(g) ≤ dπ kAπ kpS p . G

dπ

b π∈G

b π∈G

Observaci´ on B.17 De hecho, el trabajo de Kunze [44] contiene una versi´on de la desigualdad de Hausdorff-Young v´alida para todo grupo localmente compacto y unimodular, entre los que se encuentran los grupos compactos. La presencia de grupos no necesariamente compactos oblig´o a Kunze a utilizar la por entonces incipiente teor´ıa de integraci´on no conmutativa para desarrollar un resultado de interpolaci´on adaptado al problema estudiado.

C Grupos de Lie compactos y semisimples

En an´alisis arm´onico abstracto es a veces necesario exigir m´as estructura a los grupos topol´ogicos que aparecen. A menudo los grupos de Lie, que poseen una estructura de variedad diferencial, constituyen el contexto adecuado para trabajar. Analizaremos aqu´ı la estructura y representaciones de los grupos de Lie compactos y semisimples. En esta familia se encuentran los conocidos como grupos cl´asicos: el especial unitario SU (n), los especiales ortogonales SO(2n) y SO(2n + 1) de orden par e impar respectivamente y el grupo simpl´ectico Sp(n). La teor´ıa que vamos a desarrollar est´a contenida en los profundos trabajos de Hermann Weyl de los a˜ nos 1925 y 1926. Concluiremos con las conocidas f´ormulas de caracteres, de dimensi´on y de integraci´on de Weyl, resultados imprescindibles en la prueba de la desigualdad local de Hausdorff-Young presentada en esta Memoria.

C.1 Toros maximales y la forma de Killing Un grupo de Lie se dice semisimple cuando su ´algebra de Lie g no tiene subespacios propios h contenidos en el centro de g. Nosotros estudiaremos los grupos semisimples compactos. Una presentaci´on minuciosa desde el punto de vista anal´ıtico de la estructura y representaciones de los grupos de Lie compactos y semisimples se puede encontrar en el texto de Simon [82]. De hecho, el contenido de este Ap´endice es un breve resumen de la teor´ıa desarrollada en dicho texto. Para un enfoque m´as algebraico, el lector interesado puede acudir al texto de Fulton y Harris [24]. En lo que sigue adg : G → G denotar´a la aplicaci´on adjunta por g ∈ G, mientras que escribiremos adg : g → g para referirnos a la diferencial de adg en el elemento neutro 1 de G. Una m´axima general en la teor´ıa de representaciones es encontrar subgrupos abelianos tan grandes como sea posible. Esto simplifica enormemente el estudio 239

240

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

de la estructura y de las representaciones irreducibles del grupo considerado. Un toro en un grupo de Lie compacto y semisimple es un subgrupo T difeomorfo e isomorfo a Tn para cierto entero positivo n. Aqu´ı T denotar´a el espacio cociente R/Z con su estructura natural de grupo, como lo hemos entendido habitualmente en esta Memoria. Un toro maximal es un toro T tal que si T es otro toro con T ⊂ T, entonces T = T. Proposici´ on C.1 Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple, entonces: (a) Todo g ∈ G pertenece a alg´ un toro maximal. (b) Todos los toros maximales son conjugados entre s´ı. La Proposici´on C.1 nos permite observar que todos los toros maximales tienen la misma dimensi´on, a esa dimensi´on la denominaremos rango de G. En lo que sigue fijamos de una vez y para siempre un toro maximal T. El toro maximal T es un subgrupo de Lie de G cerrado y conexo. Su a´lgebra de Lie h es una sub´algebra abeliana y maximal de g, se denomina sub´ algebra de Cartan y tambi´en es fija pues depende u ´nicamente de T. Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple. Las siguientes propiedades se siguen de la Proposici´on C.1: La funci´on exponencial exp : X ∈ g 7→ exp(X) ∈ G es sobreyectiva. El centro Z(G) del grupo es la intersecci´on de los toros maximales de G. El centro Z(G) es un conjunto finito. El ´algebra de Lie g es un espacio vectorial real de la misma dimensi´on que G. La complexificaci´ on gC del a´lgebra de Lie g no es otra cosa que la suma directa g ⊕ ig. Es decir, los puntos de gC son pares (X, Y ) donde X, Y ∈ g y se satisfacen las siguientes operaciones: (X1 , Y1 ) + (X2 , Y2 ) = (X1 + X2 , Y1 + Y2 )

(a + ib)(X, Y ) = (aX − bY, aY + bX) (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ) = ([X1 , X2 ] − [Y1 , Y2 ], [X1 , Y2 ] + [Y1 , X2 ]).

El corchete de Lie define as´ı una aplicaci´on bilineal [·, ·] : gC × gC → gC . Dado un elemento (X, Y ) de gC definimos su conjugado complejo (X, Y ) por (−X, Y ), de forma que se tiene gR = {Z ∈ gC : Z = Z} = ig y an´alogamente hR = ih. Esta sorprendente definici´on para el conjugado complejo se justificar´a enseguida cuando

C.

241

Grupos de Lie compactos y semisimples

estudiemos la forma de Killing. En virtud de la definici´on anterior sabemos que las aplicaciones LZ : gC → C, con Z ∈ gC , dadas por LZ (W ) = [Z, W ] son lineales sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos. La forma de Killing K : gC × gC → C se define por la relaci´on K(Z1 , Z2 ) = tr(LZ1 ◦ LZ2 ) donde ◦ indica la composici´on de operadores. La forma de Killing satisface las siguientes propiedades: K es una forma bilineal sim´etrica en gC × gC y definida positiva en gR × gR . LZ es antisim´etrico respecto de K: adg es unitario respecto de K:

K([Z, Z1 ], Z2 ) = −K(Z1 , [Z, Z2 ]). K(adg (Z1 ), adg (Z2 )) = K(Z1 , Z2 ).

Observaci´ on C.2 N´otese que el producto h , i : gC × gC → C definido por la relaci´on hZ1 , Z2 i = K(Z1 , Z 2 ) es un producto interior sobre C. Adem´as, si Z es un elemento de gR , entonces LZ es autoadjunto respecto del producto h , i.

C.2 Ra´ıces y sistemas fundamentales Los operadores LH , con H ∈ hR , son una familia de operadores autoadjuntos en gC respecto de h , i. Adem´as estos operadores conmutan dos a dos. Esto es consecuencia de la identidad de Jacobi para el corchete de Lie y de que [H1 , H2 ] = 0 para H1 , H2 ∈ hR puesto que h es abeliana. Lema C.3 Sea X un espacio vectorial real o complejo de dimensi´on finita. Sean Λ1 y Λ2 automorfismos de X tales que Λ1 ◦ Λ2 = Λ2 ◦ Λ1 . Entonces existe una descomposici´on de X como suma directa de autoespacios comunes a Λ1 y Λ2 . L La demostraci´on es sencilla, sea X = Xλ la descomposici´on en autoespacios respecto de Λ1 . Dado x ∈ Xλ , se tiene Λ1 (Λ2 (x)) = Λ2 (Λ1 (x)) = λΛ2 (x). Luego Λ2 (x) ∈ Xλ y por tanto Λ2 (Xλ ) ⊂ Xλ . Por un argumento sim´etrico, se tiene que Λ1 (Xν ) ⊂ Xν para los autoespacios Xν respecto de Λ2 . La descomposici´on deseada L es entonces X = Xα donde Xα = Xλ ∩ Xν . N´otese que el autovalor de Λ1 en Xα es α(Λ1 ) = λ y el de Λ2 est´a dado por α(Λ2 ) = ν.

242

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Es evidente que este argumento sigue siendo v´alido para cualquier familia de operadores que conmuten dos a dos. En particular, el espacio gC se descompone como suma directa de autoespacios comunes a todos los LH con H ∈ hR . Es decir, subespacios gα formados por vectores Z que satisfacen LH (Z) = α(H)Z. Se tiene adem´as que α(H) ∈ R para H ∈ hR pues LH es autoadjunto respecto de h , i. Por u ´ltimo es obvio que α : hR → R es lineal, de modo que α ∈ h?R . Definici´ on C.4 Una ra´ız α es un funcional lineal α : hR → R no nulo tal que existe Z ∈ gC no nulo con LH (Z) = α(H)Z para todo H ∈ hR . El subespacio de todos los Z ∈ gC que cumplen esta condici´on se denomina espacio de ra´ıces y se escribe gα . Finalmente, el u ´nico Hα ∈ hR tal que α(H) = hHα , Hi se denomina el vector ra´ız asociado a α. Observaci´ on C.5 N´otese que la definici´on de ra´ız excluye el funcional nulo α = 0. El autoespacio asociado a este funcional es la intersecci´on de los n´ ucleos de LH con H ∈ hR \ g0 = ker(LH ). H∈hR

Por otro lado, puesto que h es una sub´algebra abeliana maximal de g, podemos escribir hC = {Z ∈ gC : [H, Z] = 0 para todo H ∈ hR }. En consecuencia g0 = hC y obtenemos la descomposici´on M gα gC = hC ⊕ α∈R

donde R denota el conjunto de ra´ıces. En el siguiente resultado es conveniente interpretar gγ como {0} para γ ∈ / R ∪ {0} y g0 como hC . Proposici´ on C.6 Las ra´ıces satisfacen las siguientes propiedades: (a) Sea α ∈ R, entonces −α ∈ R. (b) Sea β ∈ R un m´ ultiplo real de α ∈ R, entonces β = ±α. (c) R genera h?R , en particular el conjunto de vectores ra´ız genera hR . (d) Se tiene que dim gα = 1 para todo α ∈ R. (e) Se tiene que [gα1 , gα2 ] ⊂ gα1 +α2 para α1 , α2 ∈ R.

C.

243

Grupos de Lie compactos y semisimples

(f) Dados H1 , H2 ∈ hR , su producto interior tiene la forma X hH1 , H2 i = α(H1 )α(H2 ). α∈R

La forma de Killing proporciona un producto interior en hR y el teorema de representaci´on de Riesz nos permite construir un producto interior en h?R de manera que hα1 , α2 i = hHα1 , Hα2 i para α1 , α2 ∈ R. En particular podemos definir los denominados enteros de Cartan para α, β ∈ R como nβα = 2

hα, βi . hα, αi

El siguiente resultado, sobre los enteros de Cartan, es fundamental en lo que sigue. Proposici´ on C.7 Se cumplen las siguientes propiedades: (a) Los posibles valores de nβα son 0, ±1, ±2 y ±3 para todo α, β ∈ R. (b) Si α, β ∈ R, entonces β − nβα α ∈ R. N´otese que la simetr´ıa respecto del hiperplano ortogonal a α ∈ R es un operador Sα : h?R → h?R dado por Sα (β) = β − 2α

hα, βi = β − nβα α. hα, αi

Corolario C.8 El conjunto R es invariante por cada reflexi´on Sα , con α ∈ R. Tomemos H0 ∈ hR tal que α(H0 ) 6= 0 para todo α ∈ R. Esto proporciona una partici´on R = R+ ∪ R− del conjunto de ra´ıces R en el conjunto de ra´ıces positivas R+ = {α ∈ R : α(H0 ) > 0} y el de ra´ıces negativas R− = R \ R+ . Definici´ on C.9 Una ra´ız positiva α ∈ R+ se dice fundamental si no se puede escribir como β1 + β2 con β1 , β2 ∈ R+ . El conjunto de ra´ıces fundamentales se denomina sistema fundamental y se denota por S. N´otese que S depende de la elecci´on de H0 . En lo que sigue, fijamos un sistema fundamental S. Proposici´ on C.10 Las ra´ıces fundamentales cumplen las siguientes propiedades: (a) Si α1 , α2 son ra´ıces fundamentales distintas, entonces hα1 , α2 i ≤ 0.

244

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

(b) S es una base de h?R , en particular |S| coincide con el rango de G. (c) Toda α ∈ R+ es combinaci´on lineal de S con coeficientes en Z≥0 . La noci´on de sistema fundamental es de hecho m´as general y es objeto de estudio en otras ramas de las matem´aticas. Un sistema fundamental es un conjunto de vectores e1 , e2 , . . . , en en un espacio de Hilbert n-dimensional que satisface las siguientes propiedades: {e1 , e2 , . . . , en } es una base del espacio. nij = 2

hei , ej i ∈ {0, −1, −2, −3}, con nji = −1 si nij = −2 o nij = −3. hej , ej i

Si {e1 , e2 , . . . , en } es un sistema fundamental, entonces es f´acil comprobar que el sistema dado por vi = 2ei hei , ei i−1 satisface nij (v) = nji (e). De este modo obtenemos lo que se denomina el sistema fundamental dual.

C.3 El grupo de Weyl Sea α ∈ R una ra´ız y Pα el hiperplano ortogonal a α en h?R . Sabemos que la simetr´ıa Sα respecto de Pα env´ıa R en s´ı mismo. El diagrama de Cartan-Stiefel se define como [ P= Pα . α∈R

Puesto que dado β ∈ R se tiene que Sα (Pβ ) = PSα (β) , concluimos que cada simetr´ıa Sα con α ∈ R env´ıa P en s´ı mismo. Por otro lado, h?R \ P es una uni´on de regiones cuyas fronteras son piezas de los hiperplanos Pα con α ∈ R. Los cierres de las componentes conexas de h?R \ P se denominan c´ amaras de Weyl y el conjunto de todas las c´amaras de Weyl lo denotaremos por CW . Obviamente, como cada Sα deja P invariante, se sigue que cada Sα permuta los elementos de CW . Sea C una c´amara de Weyl y Pα un hiperplano que corta a C. Pα deja a C a un lado de Pα , en consecuencia α tiene un signo bien definido respecto de C. Sustituyendo α por −α si es preciso, podemos suponer que α est´a al mismo lado de Pα que C. Las ra´ıces definidas de esta manera se denominan caras de C y el conjunto de las caras de C se denota por F(C). Esta definici´on nos permite escribir C = {β ∈ h?R : hβ, αi ≥ 0 para toda α ∈ F(C)}. Por u ´ltimo, antes de dar la definici´on del grupo de Weyl,

C.

245

Grupos de Lie compactos y semisimples

definimos el centralizador y el normalizador de un subconjunto S de G como los subgrupos de G dados por

Z(S) =

g ∈ G : adg (s) = s para todo s ∈ S N (S) = g ∈ G : adg (S) = S .

Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple con toro maximal T. El grupo de Weyl asociado a G se define como el cociente WG = N (T)/Z(T). El grupo de Weyl no depende del toro maximal T escogido. Notando adem´as que h es el a´lgebra de Lie de T, se obtiene la caracterizaci´on WG = N (h)/Z(h) del grupo de Weyl donde g ∈ G : adg (H) = H para todo H ∈ h N (h) = g ∈ G : adg (h) = h . Z(h) =

N (T) se puede interpretar como el conjunto de automorfismos por conjugaci´on de G que conservan T. Del mismo modo vemos a Z(T) como el n´ ucleo de la −1 aplicaci´on ψ : N (T) → Aut(T) dada por ψ(g)(h) = ghg . De manera que, por el primer teorema de isomorf´ıa, WG es el conjunto de automorfismos de T inducidos por automorfismos por conjugaci´on de G. Si vemos a W ∈ WG como un tal automorfismo, existe un g ∈ G tal que W (h) = ghg −1 . Por tanto, adg define a partir de W un automorfismo real en h. En particular tambi´en se define en hR y, por el teorema de representaci´on de Riesz, en h?R . Es decir, todo elemento W del grupo de Weyl WG se puede interpretar como un automorfismo real en h?R . Proposici´ on C.11 El grupo de Weyl satisface las siguientes propiedades: (a) WG es finito y tiene tantos elementos como CW c´amaras de Weyl. (b) Cada W ∈ WG , visto como un endomorfismo de h?R , es una isometr´ıa. (c) Cada W ∈ WG permuta los elementos de R y los de CW , adem´as deja fijo P. (d) Cada Sα , con α ∈ R, es un elemento de WG . (e) Dadas C1 , C2 ∈ CW , existe un u ´nico W ∈ WG tal que W (C1 ) = C2 . (f) Dada C ∈ CW , WG est´a generado por {Sα : α ∈ F(C)}. Observaci´ on C.12 Todo W ∈ WG es una isometr´ıa real, por tanto det(W ) = ±1.

246

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Concluimos esta secci´on presentando una relaci´on sorprendente entre c´amaras de Weyl y sistemas fundamentales. Proposici´ on C.13 Sea S un sistema fundamental de ra´ıces, entonces el conjunto {β ∈ h?R : hβ, αi ≥ 0 para todo α ∈ S} es una c´amara de Weyl. Rec´ıprocamente si C es una c´amara de Weyl, entonces F(C) es un sistema fundamental. Existe de este modo una biyecci´on natural entre c´amaras de Weyl y sistemas fundamentales.

C.4 Los tres ret´ıculos de la sub´ algebra de Cartan Comenzamos dando una definici´on general de ret´ıculo. Despu´es analizaremos aquellos ret´ıculos de hR y h?R que son relevantes en nuestro estudio. Sea X un espacio vectorial finito-dimensional sobre R. Un ret´ıculo es un subgrupo aditivo L de X tal que: L es discreto. Es decir, existe un entorno U de 0 tal que L ∩ U = {0}. L es un sistema de generadores de X . Dados L y M ret´ıculos de X , L es un subret´ıculo de M cuando L ⊂ M. Proposici´ on C.14 Los ret´ıculos satisfacen las siguientes propiedades: (a) Todo ret´ıculo L posee una base {x1 , x2 , . . . xm } ⊂ L, donde m es la dimensi´on de X , de manera que todo elemento de L tiene la forma m X

n k xk

donde nk ∈ Z.

k=1

(b) Si L es un subret´ıculo de M, entonces M/L es un grupo finito. Introducimos ahora los ret´ıculos m´as relevantes de hR . Fijado S, un sistema fundamental de ra´ıces, definimos en hR los siguientes ret´ıculos: n o LR = H ∈ hR : α(H) ∈ Z para todo α ∈ S n o LW = H ∈ hR : exp(2πiH) = 1 o n X LI = H ∈ hR : H = nα Hα0 , nα ∈ Z . α∈S

donde

Hα0

−1

= 2hHα , Hα i Hα y Hα es el vector ra´ız de α ∈ R.

C.

Grupos de Lie compactos y semisimples

247

Proposici´ on C.15 Se tiene que LI ⊂ LW ⊂ LR . Dado un ret´ıculo L de X , definimos el ret´ıculo dual de L como el subconjunto de X ? dado por L? = {w ∈ X ? : w(x) ∈ Z para todo x ∈ L}. Proposici´ on C.16 Se cumplen las siguientes propiedades: (a) Sea {x1 , x2 , . . . xm } una base del ret´ıculo L de X . Entonces, el subconjunto de X ? dado por yj (xi ) = δij para 1 ≤ j ≤ m define una base de L? . (b) Existe un isomorfismo can´onico entre el ret´ıculo L y su bidual L?? . Pasamos ahora a definir los ret´ıculos de h?R que utilizaremos en lo que sigue. No son otros que los ret´ıculos duales de los introducidos antes en hR . Definici´ on C.17 Fijado un sistema fundamental de ra´ıces S, definimos en h?R los siguientes ret´ıculos: n o ΛI = β ∈ h?R : β(Hα0 ) ∈ Z para todo Hα0 , α ∈ S n o ΛW = β ∈ h?R : β(H) ∈ Z para todo H ∈ LW n o X ? ΛR = β ∈ hR : β = nα α, nα ∈ Z α∈S

ΛI se denomina el ret´ıculo de formas integrales, ΛW es el ret´ıculo de pesos y finalmente nos referiremos a ΛR como el ret´ıculo de ra´ıces. Observaci´ on C.18 Por dualidad, se tiene que ΛR ⊂ ΛW ⊂ ΛI . Sabemos que, debido a las contenciones existentes entre los ret´ıculos definidos antes en hR y h?R , los espacios cociente LR /LW , LR /LI , LW /LI , ΛI /ΛW , ΛI /ΛR y ΛW /ΛR son grupos finitos. Nos centramos ahora en establecer isomorfismos naturales entre algunos de estos espacios cociente y ciertos grupos relacionados con G. Proposici´ on C.19 El homomorfismo de grupos H ∈ LR 7→ exp(2πiH) ∈ T tiene por n´ ucleo a LW y por imagen a Z(G). En particular se tiene que LR /LW ' Z(G).

248

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

La aplicaci´on H ∈ hR 7→ exp(2πiH) ∈ T es un homomorfismo sobreyectivo de grupos con n´ ucleo LW , por tanto T ' hR /LW . Por otro lado hR es el recubrimiento universal de T, de manera que LW es naturalmente isomorfo a π1 (T), el primer grupo fundamental de T. Este isomorfismo se puede explicitar considerando la aplicaci´on H ∈ LW 7→ [γH ] ∈ π1 (T) donde [γH ] denota la clase de equivalencia de γH (t) = exp(2πitH), que es una curva cerrada en T. Por otro lado, si consideramos la inclusi´on natural i : T → G, podemos construir la aplicaci´on inducida dada por π1 (i) : π1 (T) ' LW → π1 (G) que se define como [γH ] 7→ [i ◦ γH ]. Proposici´ on C.20 π1 (i) es un homomorfismo sobreyectivo de grupos con n´ ucleo LI . En particular se tiene el isomorfismo de grupos LW /LI ' π1 (G). Este resultado nos asegura que, si G es simplemente conexo, entonces LW = LI . En particular, el recubrimiento universal de G satisface esta propiedad. Pasamos ahora a analizar los isomorfismos naturales en los ret´ıculos duales. Para ello, sean [ es un isomorfismo natural entre L ⊂ M ret´ıculos de X , entonces L? /M? ' M/L L? /M? y el grupo dual de M/L. Corolario C.21 Se dan los isomorfismos ΛW /ΛR ' Z(G) y ΛI /ΛW ' π1 (G). Adem´as, si G es simplemente conexo, se tiene que ΛI = ΛW .

C.5 Teorema del peso dominante Fijado un sistema fundamental S, la c´amara de Weyl C cuyas caras est´an dadas por los elementos de S se denomina c´ amara de Weyl fundamental. Es decir, ? se tiene la caracterizaci´on C = {β ∈ hR : β(Hα ) ≥ 0 para todo α ∈ S}. Definici´ on C.22 El conjunto ΛDI de las formas dominantes se define como ΛDI = ΛI ∩C. An´alogamente, el conjunto ΛDW de los pesos dominantes est´a dado por ΛDW = ΛW ∩ C. Recordamos que, dada una ra´ız α ∈ R, se define Hα0 = 2hHα , Hα i−1 Hα donde Hα denota el vector ra´ız asociado a α. Sabemos tambi´en que {Hα0 : α ∈ S} es base de LI . Sea {ωα : α ∈ S} la base dual de {Hα0 : α ∈ S}. Obtenemos de este modo una base de ΛI cuyos elementos se denominan pesos fundamentales. N´otese que, seg´ un la notaci´on utilizada hasta ahora, los pesos fundamentales deber´ıan llamarse formas fundamentales. Sin embargo, es as´ı como se llaman en la literatura.

C.

249

Grupos de Lie compactos y semisimples

En virtud de la caracterizaci´on dada de C y de que los pesos fundamentales constituyen la base dual de {Hα0 : α ∈ S}, el siguiente resultado es inmediato. nX

Proposici´ on C.23 Se tiene que ΛDI =

o nα ωα : nα ∈ Z, nα ≥ 0 .

α∈S

Si tomamos nα = 1 para todo α ∈ S en la proposici´on anterior obtenemos una forma integral X δ= ωα α∈S

que, como m´as adelante veremos, es un elemento muy importante de ΛDI . Teorema C.24 Se tiene que δ =

1 X α. 2 + α∈R

Sea ρ : G → U (H) una representaci´on unitaria y finito-dimensional del grupo de Lie compacto y semisimple G. La restricci´on de ρ a T se puede expresar como una suma directa de representaciones irreducibles unidimensionales. Por otro lado, el isomorfismo natural T ' hR /LW nos muestra que todas las representaciones irreducibles de T tienen la forma πλ (t) = e2πiλ(t) donde λ ∈ ΛW . Esto produce una descomposici´on en suma directa M H= Hλ tal que ρ(t)v = πλ (t)v para t ∈ T y v ∈ Hλ λ∈Sp(ρ)

donde Sp(ρ) = λ ∈ ΛW : Hλ 6= {0} es el conjunto de pesos de ρ. Finalmente observamos que, dado un H0 ∈ hR tal que α(H0 ) 6= 0 para todo α ∈ R, se establece un orden d´ ebil en h?R dado por α1 > α2 si y s´olo si α1 (H0 ) > α2 (H0 ). Esto permite establecer, como ya hemos indicado antes, las ra´ıces positivas y negativas. Teorema C.25 Teorema del peso dominante. Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple. Dada una representaci´on unitaria e irreducible π de G, existe un u ´nico peso dominante λπ ∈ ΛDW tal que λπ es un elemento maximal en Sp(π) respecto del orden d´ebil impuesto en h?R . Adem´as se satisfacen los siguientes resultados: (a) Para todo α ∈ S se tiene que λπ + α ∈ / Sp(π). (b) Todo λ ∈ Sp(π) est´a en la envolvente convexa de {W (λπ ) : W ∈ WG }. X (c) Todo λ ∈ Sp(π) tiene la forma λπ − nα α con nα ≥ 0. α∈S

250

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Rec´ıprocamente, dado un peso dominante λ ∈ ΛDW , existe una u ´nica representaci´on irreducible πλ de G tal que λ es un elemento maximal de Sp(πλ ) respecto del orden d´ebil establecido en h?R . Esto nos permite parametrizar el objeto dual b = πλ : λ ∈ ΛDW . G Observaci´ on C.26 La descomposici´on de H en suma directa dada arriba se puede obtener tambi´en de otro modo. Tomando la diferencial ρ? : g → u(H) de ρ en el elemento neutro de G –donde u(H) denota el a´lgebra de Lie de U (H)– obtenemos una representaci´ on de ´ algebras de Lie y por consiguiente: ρ? es un operador lineal. ρ? conserva el corchete de Lie. En particular [ρ? (H1 ), ρ? (H2 )] = ρ? ([H1 , H2 ]) = 0 para todo H1 , H2 ∈ hR . Es decir, los operadores de la familia {ρ? (H) : H ∈ hR } conmutan dos a dos. Por tanto, utilizando el mismo argumento que en el Lema C.3, existe una descomposici´on de H como suma directa de autoespacios comunes a todos los operadores ρ? (H), con H ∈ hR . Esta descomposici´on de H coincide con la dada arriba y se tiene que Hλ = {v ∈ H : ρ? (H)v = λ(H)v para todo H ∈ hR }. N´otese que la versi´on integrada de la expresi´on ρ? (H)v = λ(H)v no es otra cosa que ρ(exp(2πiH))v = e2πiλ(H) v o, lo que es lo mismo, ρ(t)v = πλ (t)v. Cerramos este apartado estudiando la relaci´on que tiene el grupo de Weyl con el ret´ıculo de pesos y el de pesos dominantes. Proposici´ on C.27 Se cumplen las siguientes propiedades: (a) W (Sp(ρ)) ⊂ Sp(ρ) para todo W ∈ WG y toda representaci´on ρ de G. b tal que Hλ 6= {0} . (b) ΛW = λ ∈ h?R : ∃ π : G → U (H), π ∈ G (c) En particular, W (ΛW ) ⊂ ΛW . En consecuencia, dada una base de ΛW –y por tanto una base de h?R – cualquiera, la matriz de todo W ∈ WG respecto de esa base tiene coordenadas enteras. Adem´as, cada ´orbita de WG en ΛW corta a ΛDW en un u ´nico punto.

C.

251

Grupos de Lie compactos y semisimples

C.6 Los resultados de Hermann Weyl Comenzamos definiendo algunas funciones relevantes en el espacio hR . Dado β ∈ h?R definimos las siguientes funciones expβ : H ∈ hR − 7 → exp(2πihβ, Hi) ∈ C X Aβ : H ∈ hR − 7 → det W expβ (W (H)) ∈ C W ∈WG

Proposici´ on C.28 Se tiene que: Y (a) Aδ = (expα/2 − exp−α/2 ). α∈R+ +|

(b) A2δ = (−1)|R

Y

(expα −1) se eleva a una funci´on bien definida en T.

α∈R

Observaci´ on C.29 La justificaci´on de que A2δ se eleva a una funci´on bien definida en T se fundamenta en el isomorfismo natural T ' hR /LW . Concretamente, puesto que R ⊂ ΛR ⊂ ΛW , se tiene que la funci´on expα es id´enticamente 1 en LW para todo α ∈ R. En particular expα y en consecuencia A2δ est´an bien definidas en T. b asociada al peso dominante λ, recordamos que el car´acter de πλ Dada πλ ∈ G se define como χλ (g) = tr(πλ (g)). Teorema C.30 F´ ormula de caracteres de Weyl. Se tiene la siguiente relaci´on para todo λ ∈ ΛDW , χλ =

Aλ+δ . Aδ

Recordemos que el grado dρ de una representaci´on ρ : G → U (H) se define como la dimensi´on del espacio de representaci´on H y coincide con el valor del car´acter de ρ en el elemento neutro 1 de G. Esto nos permite utilizar la f´ormula de caracteres de Weyl para investigar el grado de las representaciones unitarias e irreducibles de G. Corolario C.31 F´ ormula de dimensi´ on de Weyl. b Sea πλ ∈ G asociada al peso dominante λ. Si denotamos por dλ al grado de πλ , entonces se tiene que . Y Y dλ = hα, δ + λi hα, δi. α∈R+

α∈R+

252

An´ alisis arm´ onico y espacios de operadores

Concluimos este Ap´endice con la f´ormula de integraci´on de Weyl, que constituye una aplicaci´on relevante de la teor´ıa desarrollada hasta ahora. Recordamos que una funci´on f : G → C es central si es invariante por conjugaci´on –f (ghg −1 ) = f (h) para todo g, h ∈ G– y que los caracteres irreducibles son una base ortonormal del subespacio de las funciones centrales. Puesto que todos los toros maximales son conjugados entre s´ı y cubren G sabemos que toda clase de conjugaci´on de G corta a T. De modo que toda funci´on central queda determinada por sus valores en T. De hecho casi todas las clases de conjugaci´on –el conjunto de clases que no satisfacen esta condici´on tiene medida de Haar nula– cortan a T en precisamente |WG | puntos, el cardinal del grupo de Weyl. Si adem´as entendemos a los elementos de WG como automorfismos de T que proceden de automorfismos por conjugaci´on de G, entonces es obvio que las funciones centrales son exactamente aquellas cuya restricci´on a T es una funci´on invariante por los automorfismos de WG . Es decir, los caracteres irreducibles forman una base ortonormal de las funciones en T sim´etricas por WG , donde la ortonormalidad es entendida en L2 (G) y no en L2 (T). En definitiva, todo lo aqu´ı expuesto nos hace ver que la integral de una funci´on central en G se deber´ıa poder expresar en t´erminos de una integral en T. Antes de enunciar el resultado deseado recordamos aqu´ı que la funci´on A2δ es una funci´on bien definida en T. Teorema C.32 F´ ormula de integraci´ on de Weyl. Sea G un grupo de Lie compacto y semisimple. Sea f : G → C una funci´on central e integrable. Entonces Z Z 1 f (g)dµ(g) = f (t)A2δ (t) dm(t) |W | G G T donde µ y m denotan respectivamente las medidas de Haar de G y T normalizadas de modo que se tenga masa total 1. La teor´ıa que hemos desarrollado se condensa en los trabajos de Hermann Weyl [87, 88, 89] de 1925 y 1926, completando as´ı las aportaciones anteriores de grandes matem´aticos como Killing, Frobenius, Schur o Cartan. El lector interesado en el desarrollo hist´orico de esta materia puede acudir al texto [33], donde se narra con todo detalle la evoluci´on de la teor´ıa de grupos de Lie desde su nacimiento en 1869 debido al propio Sophus Lie hasta 1926, a˜ no en el que se publica el teorema de Peter-Weyl.

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Análisis armónico no conmutativo y geometría de espacios de operadores

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