Operadores autoadjuntos. 1.

Propiedades del Producto escalar

Sean u,v,w vectores de un espacio de Hilbert y c un número complejo. Recordemos que el producto escalar tiene las siguientes propiedades que utilizaremos más adelante 1. (u, v) = (v, u)∗ 2. (u, cv) = c(u, v) 3. (cu, v) = c∗ (u, v) 4. (u, v + w) = (u, v) + (u, w) 5. (u, u) = ||u||2 > 0 6. Si u y v son ortogonales (u, v) = 0 7. Sea una base ortogonal del espacio {uk }. Los elementos de matriz del operador A son Aij = (ui , Auj )

2.

Adjunto de un operador

Sea A un operador lineal y u ,v vectores de un espacio de Hilbert. Se define el ADJUNTO A† del operador A al que satisface la igualdad: (u, Av) = (A† v, w). Con esta definición es facil demostrar algunas propiedades. 1. Adjunto del producto: (AB)† = B † A† (u, ABv) = (A† u, Bv) = (B † A† u, v) 2. Adjunto del adjunto: (A† )† = A (u, Av) = (A† u, v) = (v, A† u)∗ = (A† )† v, u)∗ = (u, (A† )† v) 3. Adjunto de la inversa: (A† )−1 = (A−1 )† ) Partamos de que I † = I I = I † = (AA−1 )† = (A−1 )† A† por consiguiente debe cumplirse que I = (A−1 )† A† o lo que es lo mismo (A−1 )† = (A† )−1 (1) 4. Combinaciones lineales (c1 A + c2 B)† = c∗1 A† + c∗2 B † 5. Los elementos de matriz del adjunto son (Aij )† = (ui , A† uj ) = ((A† )† ui , uj ) = (Aui , uj ) = (uj , Auj )∗ = A∗ji

1

3.

Definición y Ejemplos en espacios de dimension finita

Se define como operador AUTOADJUNTO al que es su propio adjunto A† = A o lo que es lo mismo, al que satisface la ecuación (u, Av) = (Au, v) para todo u,v. Un operador antiautoadjunto satisface la igualdad A† = −A Los elementos de matriz de un operador autoadjunto tienen que satisfacer Aij = (Aji )∗ Ejemplos de autoadjuntos en espacios de dimensión finita 1. Matrices reales y simétricas. Aij = Aji 2. Matrices Hermíticas. Aij = A∗ji 3. Matrices de Pauli σ1 = σx =

4.



0 1 1 0



(2)

  0 −i σ2 = σy = i 0

(3)

  1 0 σ3 = σz = 0 −1

(4)

Espectro de Autoadjuntos.

4.1.

Autovalores reales.

Supongamos que conocemos el espectro de un operador autoadjunto Avα = λα vα

(5)

Por un lado, utilizando la ecuación de autovalores: (vα , Avα ) = (vα , λα vα ) = λα (vα , vα )

(6)

Por otro lado utilizando la propiedad de ser autoadjunto. (vα , Avα ) = (Avα , vα ) = λ∗α (vα , vα )

(7)

Entonces igualando ambas expresiones (λ∗α vα , vα ) = λα (vα , vα )

(8)

y por consiguiente λα = λ∗α . Es decir, los autovalores de un operador autoadjunto deben ser reales.

2

4.2.

Autovectores forman base ortogonal. (vβ , Avα ) = (vβ , λα vα ) = λα (vβ , vα )

(9)

(vβ , Avα ) = (Avβ , vα ) = λβ (vβ , vα )

(10)

donde hemos utilizado que los autovalores de A son reales. Igualando ambas expresiones λα (vβ , vα ) = λβ (vβ , vα )

(11)

(λα − λβ )(vβ , vα ) = 0

(12)

o lo que es lo mismo :

es decir si (λα −λβ ) 6= 0 entonces (vβ , vα ) = 0 de lo que se deduce que a autovalores distintos les corresponden autovectores ortogonales. Es inmediato construir una base ortogonal del espacio con los autovectores de un operador autoadjunto no degenerado.

5.

Descomposición de Operadores en Autoadjuntos y Antiautoadjuntos. Dado un operador lineal, es posible escribir la siguiente expresión 1 C = (C + C † + C − C † ) 2

(13)

Podemos comprobar que A = 21 (C + C † ) es autoadjunto y que 12 (C − C † ) es antiautoadjunto. Podemos descomponer entonces un operador lineal C como C = A + iB

(14)

donde A y B son autoadjuntos y se definen como 1 A = (C + C † ) 2 i B = − (C − C † ) 2

6.

(15) (16)

Ejemplos de operadores autoadjuntos en espacios de funciones.

Consideremos ahora algunos ejemplos de operadores autoadjuntos en los espacios de funciones. Para ello consideraremos el producto escalar Z b (u, v) = u(x)∗ w(x)dx (17) a

3

6.1.

Operador producto por una función.

Consideremos el operador V que actua sobre una función f(x) multiplicandolo por otra función real: G(x). definido como G : f (x) → G(x)f (x) donde G(x) es una función real. Se puede comprobar utilizando el producto escalar en espacio de funciones que este operador es autoadjunto: Z b Z b Z b ∗ ∗ ∗ (u, Gw) = u(x) G(x)w(x)dx = (u(x)G(x) ) w(x)dx = (u(x)G(x))∗ w(x)dx = (Gu, w) a

a

a

(18)

En el último paso hemos utilizado el hecho de que G(x) es una función real. Si G(x)=x el operador definido de esta forma es el operador de posición en Mecánica Cuántica. De la misma forma, si G(x)=V(x) es la energía potencial clásica de una particula, este operador juega el papel de la energía potencial en Mecanica Cuántica. 6.2.

Operador momento en Mecánica Cuántica.

Consideremos el espacio de funciones normalizables en el intervalo [a, b] al que podemos denominar L2 [a, b]. Supongamos ademas que las funciones f(x) de ese espacio ∂ satisfacen f (a) = f (b) = 0. En este espacio estudiaremos el operador K = −i ∂x . Salvo el factor ~, es el operador momento en Mecánica Cuántica. Z b ∂w (u, Kw) = )dx (19) u(x)∗ (−i ∂x a ahora integramos por partes con el propósito de hacer actuar a la derivada sobre la función u. ∗ Z b ∂u b ∗ w(x)dx (20) = −i [u (x)w(x)]a − i ∂x a Podemos cancelar el término de contorno, pues la funciones de ∗ Z b ∂u = −i w(x)dx = (Ku, w) (21) ∂x a Luego en efecto, el operador K es autoadjunto. Notese que el operador derivada ∂ primera D (1) ∂x no sería autoadjunto. Se puede comprobar de forma similar que su ∂ (1)† adjunto es D = − ∂x . Es decir D (1) es un operador antiautoadjunto. 6.3.

El Operador derivada segunda. Z b ∂u ∂w w b ∗ ′ dx = [u (x)w (x)] − dx = (u, D w) = u(x) a ∂x2 a ∂x ∂x a Z b 2 ∂ u b b ′∗ ∗ ′ = [u (x)w(x)]a − [u (x)w (x)]a + wdx 2 a ∂x (2)

Z

b

∗∂

2

4

(22) (23)

Los términos de contorno se anulan si las funciones f(x) que pertenecen a este espacio de funciones satisfacen alguna de las siguientes condiciones de contorno homogeneas: f (a) = f (b) = 0 f (a) = f (b) = 0 ′ f (a) + cf (a) = f (b) + cf ′ (b) = 0

6.4.

(24) (25) (26) (27)

Operador Integral Autoadjunto. Z

Z

b ∗

b ′

′

′

Z bZ

b

dxu (x) k(x, x )w(x )dx = dxk(x, x′ )u∗ (x)w(x′ )dx′ = (28) a a a a Z b  Z b ′ ∗ ′ ∗ ′ (k(x, x ) u(x )) dx w(x′ ) = (K † u, w) (29) = dx

(u, Kw) =

a

a

†

luego para que K = K el nucleo del operador debe cumplir que k ∗ (x, x′ ) = k(x′ , x) .

7.

Proyector Ortogonal.

Sea a un vector unitario de un espacio de Hilbert (u, u) = 1. Definimos el PROYECTOR ORTOGONAL sobre el vector u Pu = |uihu| a partir de su acción sobre otro vector v Pu v = |uihu|vi = (u, v)u Es decir Pu calcula la proyección ortogonal sobre el vector u. 1. Pu es un operador autoadjunto (w, Pu v) = (w, (u, v)u) = (u, v)(w, u) = ((w, u)∗u, v) = ((u, w)u, v) = (Pu w, v) (30) 2. Un proyector ortogonal satisface la propiedad Pu2 = Pu Pu2 = Pu Pu = |uihu|uihu| = |uihu| = Pu

(31)

3. u es autovector de Pu con autovalor λ = 1 Pu u = |uihu|ui = (u, u)u = u

(32)

4. Cualquier vector v ortogonal a u (u, v) = 0, es autovector de Pu con autovalor cero. Pu v = |uihu|vi = (u, v)u = 0

(33)

Ejercicio: Sea u un vector normalizado y {uk } una base ortogonal. Calcula los elementos de matriz de Pu en la base {uk }. (Pu )ij = (ui , Pu uj ) = (ui |uihu|uj ) = hui |uihu|uj i 5

(34)

8.

Descomposición espectral de los operadores autoadjuntos. Sea un operador autoadjunto del que conocemos su espectro (35)

Aui = λα ui

Podemos expresarlo como una suma de proyectores ortogonales sobre sus autovectores ponderada por los autovalores. X A= λi |ui ihui | (36) i

Podemos comprobarlo reproduciendo su espectro X X λi |ui iδij = λj uj λi |ui ihui |uj i = Auj = i

(37)

i

de la misma manera la descomposición espectral de la identidad es: X |ui ihui | I=

(38)

i

Podemos comprobar P esta descomposición utilizando que un vector v en esa base se expresa como v = i ui (ui , v) X X Iv = v = |ui ihui |vi = ui (ui , v) (39) i

i

Operadores autoadjuntos expresados en una base no ortogonal. Ejercicio: Emplea la descomposición espectral de la identidad para expresar la ecuación de autovalores en forma matricial: H|vi = λ|vi Insertamos la descomposición espectral de la identidad: X H |uj ihuj |vi = λ|vi

(40)

(41)

j

{z

|

I

}

multiplicamos escalarmente por un vector de la base uj : X hui |H |uj ihuj |vi = λhuj |vi

(42)

j

Utilizamos la linealidad del operador H: X hui |H|uj ihuj |vi = λhui |vi j

6

(43)

O lo que es lo mismo, la relación entre elementos de matriz: X Hij vj = λvi

(44)

j

Luego los autovalores satisfacen la ecuación secular: (45)

det(H − λI) = 0

9.

Apéndice: Bases no ortogonales y Matriz de Overlap. 1. En algunas ocasiones es necesario expresar un operador autoadjunto en una base no ortogonal. Esto puede generar algunas confusiones sobre sus elementos de matriz y espectro. 2. Supongamos que tenemos una base no necesariamente ortogonal {wk } que satisface (wl , wk ) = Slk 6= δlk . Donde Slk son los elementos de matriz de la llamada MATRIZ DE OVERLAP Expresemos v en la base no ortogonal: |vi =

X

αk |wk i

(46)

k

sustituyendo en la ecuación de autovalores: H

X

αk |wk i = λ

k

X

αk |wk i

(47)

k

multiplicamos escalarmente por wl y obtenemos: hwl |H

X

αk |wk i = λ

k

X

αk hwl |wk i

(48)

k

utilizamos la linealidad de H: X

hwl |H|wk iαk = λ

k

X hwl |wk iαk

(49)

k

En forma matricial: X

Hlk αk = λ

X k

k

o también:

7

Slk αk

(50)

X

(51)

(Hlk − λSlk ) αk = 0

k

3. La ecuación secular que satisfacen los autovalores es ahora: (52)

det(H − λS) = 0 4. Supongamos ahora que tenemos un operador escrito de la forma H=

X

H˜lk |wl ihwk |

(53)

lk

Calculemos los elementos de matriz X X X Sil H˜lk Skj hwi |wl iH˜lk hwk |wj i = hwi |H˜lk |wl ihwk |wj i = Hij = hwi |H|wj i = lk

lk

lk

(54)

5. Si S = I entonces Hij = H˜ij

8