APORTES
Elementos en OPERADORES AUTOADJUNTOS de segundo orden José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia. junio - 2006
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El presente cursillo tiene por objeto el estudio del problema de Sturm-Liouville, el cual es una herramienta basica ´ de la matematica, ´ con un gran nu ´mero de problemas en ecuaciones diferenciales parciales, los cuales se resuelven con su ayuda. Tambien ´ el problema de Sturm-Liouville es basico ´ en mecanica ´ cuantica, ´ en el estudio de la ecuacio ´n de Schro ¨dinger y en otros campos de la Física.
1. PROBLEMAS DE CONTORNO DE SEGUNDO ORDEN
Se considerara ´ el siguiente problema Ú a (x) yww + a (x) yw + a (x) y = f(x) o " # Û m" y(a) + n" yw (a) + p" y(b) + q" yw (b) = h" " Ü m# y(a) + n# yw (a) + p# y(b) + q# yw (b) = h# donde mi , ni , pi , qi − ‘ , i = 1, 2 y se supone que ao − V" ([a,b]), a" ,a# − V([a,b]) y ao (x) Á 0 si x − [a,b]. Salvo mención de lo contrario, suponemos f − V([a,b]). Las consideraciones de contorno se pueden escribir matricialmente como sigue : Ô y(a) × m" n" p" q" Ö yw (a) Ù h Ù =” " • ”m • Ö y(b) n p q h# # # # # Õ yw (b) Ø Mereceran ´ especial atencio ´n los siguientes casos particulares : m" n" 0 0 ” 0 0 p# q # • que son condiciones separadas o de Sturm y 1 0 1 0 ” 0 1 0 1 • que son condiciones perio ´dicas. Como se vera, ´ estos dos casos particulares tienen propiedades interesantes y ademas ´ apareceran ´
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con frecuencia al resolver los problemas de ecuaciones en derivadas parciales por el metodo ´ de Fourier. Cuando 2" œ 2# œ ! , se dira ´ que se trata del problema de contorno con condiciones homogeneas. ´ La primera cuestio ´n que se plantea es la existencia y unicidad de soluciones del problema de contorno ". Tengase ´ en cuenta que se trata de un problema GLOBAL , es decir la solucio ´n ha de estar definida en todo el intervalo [+ß ,] y las condiciones se dan en los dos extremos. Sin embargo, en este caso la respuesta es una cuestio ´n de Algebra Lineal elemental y representa un modelo muy interesante de argumentar : "La reduccio ´n de la demostracio ´n de existencia a la prueba de unicidad para un problema asociado". Este es el metodo ´ que se usa en las aplicaciones del teorema de Rouche-Frobenius, ´ en la discusio ´n de un sistema lineal y tiene extensiones a la teoría de ecuaciones integrales y contextos mas ´ generales. Nos referiremos a estos tipos de resultados como a los Teoremas de Alternativa. Por brevedad vamos a usar la siguiente notacio ´n ~ ww w L(y)(x) ´ ao (x) y + a" (x) y + a# (x) y Ô y(a) × m" n" p" q" Ö yw (a) Ù U(y) ´ ” Ö Ù m# n# p# q# • y(b) Õ yw (b) Ø Con esta notacio ´n podemos formular el siguiente resultado : TEOREMA 1. 1 . Sea el problema ~~ L(y(x)) = f(x) # U(y) = h − ‘# ´ y el problema homogeneo asociado ~ L(y(x)) = 0 $ œ U(y) = 0 − ‘# Entonces se verifica una de las dos alternativas siguientes: ´ unica. ´ i- (2) tiene solucion ´ no trivial . ii- (3) tiene solucion ~ DEMOSTRACION. Toda solucio ´n de la ecuacio ´n L(y(x)) = f(x) se escribe como y(x) = c" 9" (x) + c# 9# (x) + v (x) , c" , c# − ‘ donde {9" , 9# } es una base del espacio vectorial ~ ¿ = { y − V# / L(y) = 0 } y L(v) = f(x) . Por ser lineales las condiciones de contorno se tiene U(y) = c" U(9" ) + c# U(9# ) + U(v) Entonces para que (2) tenga solucio ´n ´ unica cualquiera que sea # h − ‘ se ha de tener
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rang(U(9" ),U(9# )) = 2 Si rang(U(9" ),U(9# )) < 2 (3) tiene solucio ´n distinta de la trivial. No ´tese que como aplicacio ´n del teorema de Rouche-Frobenius, ´ si rang(U(9" ),U(9# )) < 2 el problema (2) tiene solucio ´n, y en este caso no es ´ unica , si verifica rang(U(9" ),U(9# )) = rang(U(9" ),U(9# ), h U(v)) . Para mayor informacio ´n sobre la alternativa de Rouche-Frobenius ´ ´ Metematico, ´ los invitamos a leer el Apéndice I del libro Analisis de Rey Pastor-Calleja-Trejo Volumen III ([14]) Otro punto de vista interesante, el cual sugiere los anteriores resultados, es el siguiente: Consideremos X = { 9 − V# ([a,b]) / U(9) = 0 } es decir, las funciones con dos derivadas continuas, las cuales satisfacen las condiciones de contorno. Entonces el OPERADOR ~ ´n DIFERENCIAL L puede verse como la aplicacio ~ L : X V([a,b]) lineal y uno a uno, pues se supone que el problema homogeneo ´ asociado tiene so ´lo la solucio ´n trivial. Pero se puede mostrar que definiendo Z : V([a,b]) X por b
Z (f(x)) = ' G(x,t) f(t)dt a
donde G(x,t) es una funcio ´n de Green [4] dada por G(x,t) = c" 9" (x) + c# 9# (x) + k(x,t) y 0 si a Ÿ x < t 9 (t) 9 (x) 9 (x) 9 (t) " # " # si t Ÿ x Ÿ b ao (t)W(9" , 9# ) (t) ~ ~ se tiene LZ (f(x)) = f(x), luego Z es la aplicacio ´n inversa de L. Ademas ´ la unicidad de soluciones implica tambien ´ que ~ Z L(U(x)) = U(x) Esta algebraizacio ´n del problema sera ´ u ´til. Para que así sea, damos al espacio X de funciones continuas una NORMA parecida a la de ‘n , en el sentido de que es inducida por un producto escalar. Mas ´ exactamente, si f , g − V([a,b]) definimos el producto escalar por b
– dt Øf, gÙ =' f(t) g(t) a
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entonces la norma asociada b
² f ² # = (' |f(t)|# dt)"/2 = (Øf, fÙ)"/2 a
La u ´nica propiedad que requiere alguna demostracio ´n no obvia es la propiedad triangular de la norma, la cual esta ´ basada en la desigualdad de Cauchy-Schwartz, se obtiene a continuacio ´n LEMA 1. 2. (DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARTZ) En el espacio X se verifica la desigualdad siguente: |Øf,gÙ| Ÿ ² f ² # ² g ² # . DEMOSTRACION: Sea x,) − ‘. Entonces, 0 Ÿ ² f xei) g ² 22 = Ø f xei) g, f xei) gÙ = ² f ² 22 2Åe[xei) Øf, gÙ] +x# ² g ² 22
Tomando ) = argØf, gÙ se tiene
0 Ÿ ² f xei) g ² 22 = ² f ² 22 2x|Øf, gÙ| + x# ² g ² 22
en consecuencia el polinomio de segundo grado debe ser positivo o cero, es decir |Øf, gÙ|# Ÿ ² f ² 22 ² g ² 22
como se quería demostrar. La desigualdad triangular se obtiene por el siguiente calculo ´ ² f+g ² 22 = ² f ² 22 + 2ÅeØf, gÙ + ² g ² 22 Ÿ ² f ² 22 + 2|Øf gÙ| + ² g ² 22 Ÿ ² f ² 22 + 2 ² f ² # ² g ² # + ² g ² 22 = ( ² f ² # + ² g ² # )#
Ademas ´ la desigualdad de Cauchy-Schwartz permite establecer las propiedades de la aplicacio ´n Z que se usaran ´ como por ejemplo, se verifica que existe una constante c > 0 tal que ²Zf²# Ÿc²f²# ,
f − V([a,b])
En efecto, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwartz b
b
b
b
b
² Z f ² 22 = ' |' G(x,t) f(t) dt|# dx Ÿ ' {(' |G(x,t)|# dt)(' |f(t)|# dt)} dx a
a b b
a
a
a
b
= (' ' |G(x,t)|# dt dx)(' |f(t)|# dt) a a b b
a
Tomando c = ' ' |G(x,t)|# dt dx, se obtiene lo deseado.
a a
2. EL OPERADOR AUTOADJUNTO DE SEGUNDO ORDEN
Examinemos en detalle un problema de la teoría general de valores propios o de autovalores de un operador especial el cual, sin lugar a dudas, constituye una de las teorías mas ´ profundas y ricas de la matematica. ´ Con tal propo ´sito es u ´til introducir la nocio ´n de ecuacio ´n diferencial autoadjunta.
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´ diferencial lineal homogenea ´ DEFINICION 2. 1. Una ecuacion de segundo orden se dice una FORMA AUTOADJUNTA si y solamente si se tiene
p(x) yww + pw (x) yw + [q(x) + - r(x)] y = 0 , x" < x < x# donde p(x) > 0 y r(x) > 0 en (x" ,x# ) y pw (x), q(x) y r(x) son todas funciones definidas en el intervalo [x" ,x# ] . ~ el cual nos proponemos, de forma autoadjunta, es Este diseno suficientemente general y cualquier ecuacio ´n diferencial lineal de segundo orden puede tomar la forma autoadjunta la cual constituye una motivacio ´n para el siguiente numeral. 2.1. FORMA AUTOADJUNTA ASOCIADA A UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN.
Considerese ´ la ecuacio ´n diferencial lineal estandar ´ ww w A# (x) y + A" (x) y + [Ao (x) + -] y = 0 donde A# − V" ([a,b]) y A" , Ao − V([a,b]) , A# (x) Á 0. Estamos interesados en hallar una funcio ´n g − V" ([a,b]) de tal manera que se tenga g(x){A# (x) yww + A" (x) yw + [Ao (x) + -] y} ´ {p(x)yw }w + [q(x) + -r(x)] y La funcio ´n 1B es llamada “FACTOR INTEGRANTE" y por lo tanto debe esperarse que satisfaga al siguiente sistema de ecuaciones g(x) A# (x) = p(x) g(x) A" (x) = pw (x) g(x) (Ao (x) + -) = q(x) + -r(x) es decir, se debe tener que [g(x)A# (x)]w = g(x) A" (x) lo cual es lo mismo que gw (x) A# (x) + g(x) A2w (x) = g(x) A" (x) de donde se obtiene que g(x)[A" (x)Aw (x)] gw (x) = A# (x) Cualquier solucio ´n no nula de esta ecuacio ´n diferencial nos sirve como factor integrante; así resolvemos la ecuacio ´n diferencial para 1ÐBÑ como sigue: A" (x)Aw (x) Aw (x) gw (x) A" (x) = = g(x) A# (x) A# (x) A# (x) Integrando se obtiene 2
2
2
ln g(x) + ln A# (x) = ' o en forma equivalente se tiene ln A# (x) g(x) = '
x
x
A" (t) A# (t)
A" (t) A# (t)
dt
dt
de donde x
" (t) A# (x) g(x) = exp{' A A# (t) dt} El factor integrante deseado sera ´ dado por
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x
A" (t) g(x) = A#1(x) ext {' A dt} . # (t) EJEMPLO 1. Hallar la forma autoadjunta asociada a la siguiente ecuacio ´n x yww + (1 x) yw + - y = 0 , Aquí A# (x) = x, A" (x) = 1 x , Ao (x) = 0 El factor integrante estara ´ dado por gw (x) g(x)
=
así ,
1x x
1 x
x
Í ln g(x) = ' dt = x g(x) = ex
Ahora tenemos p(x) = g(x) A# (x) = xex q(x) = g(x) Ao (x) = 0 r(x) = g(x) = ex
La forma autoadjunta deseada sera ´ xyww + (1 x)yw + -y = (xexyw )w + -exy = 0 . EJEMPLO 2. Hallar la forma autoadjunta asociada a la siguiente
ecuacio ´n
x# yww + xyw +(-x# n# )y = 0
Se tiene
A# (x) = x# , A" (x) = x , Ao (x) = n# El factor integrante debe ser tal que gw (x) x 2x 1 g(x) = x# x# = x Integrando ln g(x) = ln x1 Í g(x) = x1 Ahora p(x) = g(x) A# (x) = x# x" = x # q(x) = g(x) Ao (x) = nx r(x) = g(x) = x" La forma autoadjunta asociada sera ´: # x# yww + xyw + (-x# n# ) = (xyw )w + (-x nx ) y = 0 . EJEMPLO 3. Hallar la forma autoadjunta asociada a la siguiente ecuacio ´n x# (x# + 1) yww + 2x$ yw + - y = 0 , x>0. Aquí tenemos A# (x) = x# (x# + 1) , A" (x) = 2x$ , Ao (x) = 0 El factor integrante se halla así : gw (x) 2x$ 4x$ + 2x g(x) = x# (x# +1) x% + x# Integrando se tiene x
x
$ # % # ln g(x) = ' t# 2t+ 1 dt ' 4tt% ++t2t # dt = ln (x +1) ln (x +x ) Así g(x) = x1# . La forma autoadjunta asociada esta dada por
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x# (x# + 1) yww + 2x$ yw + - y = [(x# + 1 ) yw ]w +
x#
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y=0 .
Puesto que muchas de las discusiones que siguen estan centradas alrededor de formas autoadjuntas, es notacionalmente conveniente introducir un operador diferencial ( donde D = d /dx ) L = D[p(x)D] + q(x) (4) llamado “ OPERADOR AUTOADJUNTO ". En terminos de L , podemos expresar una ecuacio ´n diferencial lineal homogenea ´ autoadjunta en la siguiente forma compacta L[y] + - r(x) y = 0 En lo sucesivo, usaremos el símbolo L exclusivamente para denotar a la forma compacta (4) del operador diferencial autoadjunto. 3. SISTEMAS DE STURM-LIOUVILLE
Iniciamos esta seccio ´n presentando una definicio ´n basica ´ en el estudio de la teoría que nos proponemos desarrollar a lo largo de ´ esta y las pro ´ximas secciones. DEFINICION 3. 1. Un sistema de Sturm-Liouville es una forma autoadjunta dy d dx [p(x) dx ]
+ [ - p(x) + q(x)] y = 0 junto con condiciones de contorno, las cuales deben cumplir las soluciones; por ejemplo como y(a) = y(b) = 0 . Esta definicio ´n nos permite establecer una clasificacio ´n en la clase de los sistemas de Sturm-Liouville segu ´n el tipo de condiciones de contorno; las cuales previamente se han determinado sobre el operador L y en lo que sigue se estudiaran ´ en detalle algunos de los sistemas de Sturm-Liouville mas ´ conocidos por la gran variedad de aplicaciones que de ellos se obtienen. 3.1. SISTEMAS DE STURM-LIOUVILLE SIMETRICOS.
El operador de Sturm-Liouville L tiene muchas propiedades; una de ellas es la de ser simetrico ´ y se presenta de la siguiente manera. DEFINICION 3. 2 . Un operador autoadjunto L se dice SIMETRICO en el ´ si intervalo [x" , x# ] si y solo '
x#
(uL[v] vL[u]) dx = 0
x"
(5)
para cualesquier par de funciones u,v − V# ([a,b]) las cuales satisfacen condiciones de contorno predeterminadas asociadas con L.
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NOTA : A problemas de valores propios, para los cuales el operador
L es simetrico, ´ seran ´ tambien ´ referidos en la literatura como a problemas autoadjuntos. Así, un problema de autovalores puede ser un operador autoadjunto pero no un problema autoadjunto. Puesto que ´ esta terminología puede prestarse a confusio ´n. Tenemos que adoptar el uso de operador simetrico ´ en lugar de problema autoadjunto, el cual tiene en cierto sentido, el mismo de la teoría de las matrices, cuando se refiere a una matriz especial, la cual posee propiedades analogas ´ a estas que se estan discutiendo. Aunque la definicio ´n 3.2 se refiere a una propiedad del operador L, posteriormente hallamos que esta propiedad es relativamente restringida a clases de condiciones de contorno predeterminadas sobre el operador L. En estas condiciones es posible que un operador dado L sea simetrico ´ con un conjunto de condiciones de contorno pero no con otro, como se ilustra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO. Determinar para cual conjunto de condiciones de contorno el operador autoadjunto L = D# es simetrico ´ en [0,1] (a) y(0) = 0, y(1) = 0 (b) y(0) y(1) = 0 , yw (1) = 0 SOLUCION : Sustituyendo L = D# en la integral de la definicio ´n 3.2 y usando integracio ´n por partes, hallamos que 1
' [u(x) vww (x) v(x) uww (x) ] dx = u(x) vw (x) v(x) uw (x) |10 = 0
= [ u(1) vw (1) v(1) uw (1)] [ u(0) vw (0) v(0) uw (0)] . Por las condiciones de contorno en (a), se sigue que u y v satisfacen u(0) = v(0) = 0 y u(1) = v(1) = 0. Por lo tanto el lado derecho de la anterior integral es nulo y concluimos que L = D# es SIMETRICO en este caso. En el caso de (b), las condiciones de contorno conducen a u(0) u(1) = 0 , v(0) v(1) = 0 y uw (1) = vw (1) = 0. Basandose ´ en estas relaciones, la anterior integral se reduce a 1
' [u(x) vww (x) v(x) uww (x) ] dx = v(0) uw (0) u(0) vw (0) 0
Puesto que el lado derecho de esta u ´ltima expresio ´n no # necesariamente es cero; deducimos que L = D no es SIMETRICO en este caso. LEMA. 3.3 . (IDENTIDAD DE LAGRANGE ). Si L = D[p(x)D] + q(x) esta´ definido en el intervalo [x" , x# ] y si u y v son funciones cualesquiera en V# ([x" x# ]) , entonces d uL[v] vL[u] = dx [p(x) W(u,v)(x)] (6) w w ´ Wronskiano. donde W(u, v) = uv u v es la funcion
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DEMOSTRACION : Como L = D[p(x)D] + q(x), tenemos
d d uL[v] vL[u] = u dx (pvw ) + uqv v dx (puw ) vqu = d d = dx (pvw u puw v ) = dx [p(x)W(u,v)(x)] Lo cual se deseaba probar. Basados en la identidad de Lagrange, hallamos que x#
x#
' (uL[v] vL[u] ) dx = ' x"
x"
d dx
[p(x)W(u,v)(x)] dx
de lo cual deducimos que x#
' (uL[v] vL[u] ) dx = p(x) W(u, v)(x) | xx# "
(7)
x"
Nos referiremos a (7) como a la fo ´rmula de Green, la cual es un tipo de versio ´n unidimensional del teorema de Green en el plano, del calculo ´ avanzado. Ambas, la identidad de Lagrange y la fo ´rmula de Green, son fundamentales en el estudio general de los problemas con valores de contorno. TEOREMA. 3. 4 . Un operador autoadjunto L = D[p(x)D] + q(x) es un operador ´ ´ si simetrico en el intervalo [x" , x# ] si y solo p(x) W(u,v) (x) | xx#" = 0 # ´ cumpliendo condiciones de para funciones u y v − V ([x" , x# ]) y ademas contorno predeterminadas sobre el operador L. La demostracio ´n de ´ este teorema es una simple aplicacio ´n de la formula de Green. 3.2. PROPIEDADES DE UN OPERADOR AUTOADJUNTO SIMETRICO.
En seguida establecemos que si un operador L dado, es simetrico, ´ entonces existen varias propiedades importantes consecuencialmente asociadas con los autovalores y las autofunciones de tal operador. Quizas la mas ´ importante de estas propiedades es la ORTOGONALIDAD de las funciones propias o de las autofunciones. Pero primero precisemos la nocio ´n de autofuncio ´n y autovalor del operador L. ´ no trivial de un sistema de Sturm-Liouville es DEFINICION 3. 5. Una solucion ´ llamada autofuncion y el correspondiente - es llamado autovalor . A cada ´ tambien ´ se dice pertenecer a su autovalor. El conjunto de todos los autofuncion autovalores de un sistema de Sturm-Liouville se le llama el ESPECTRO del sistema. Como ya lo hemos comentado en la primera seccio ´n, el espacio funcional X esta provisto de un producto interno Ø , Ù y se nos permite hablar de ortogonalidad. DEFINICION. 3. 6. Si f y g son funciones integrables en un intervalo (x" , x# ) , ´ si entonces decimos que ellas son ortogonales en este intervalo si y solo
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x2
' f(x) g(x) dx = 0
(8)
x"
´ de peso r(x) > 0 Decimos que f y g son ortogonales con respecto a una funcion ´ si si y solo x2
' r(x) f(x) g(x) dx = 0
(9)
x"
Tambien se dice en el caso (9) que f y g son r(x)-ortogonales . NOTA : El intervalo de ortogonalidad en la definicio ´n 3.6 puede ser, en algunos casos, cerrado o infinitamente extendido en ambos extremos. EJEMPLO 1. Las funciones f(x) = 2 sen 2x y g(x) = cos x son ortogonales en el intervalo ( 1,1) con funcio ´n de peso r(x) = 1. En efecto usando la identidad sen 2x = 2sen x cos x, obtenemos 1
1
' sen 2x dx = 2 ' sen x cos# x dx = 2 cos$ x |-11 = 0 3
1
1
EJEMPLO 2. Demuéstrese que f(x) = 1 y g(x) = 1 x son ortogonales en x
(0,∞) con funcio ´n de peso r(x) = e . Para mostrarlo, usando integracio ´n por partes, se halla ∞
∞
0
0
' ex (1 x) dx = (1 x)ex | 0∞ ' ex dx = 1 1 = 0 consiguiendose ´ lo deseado. En el teorema que sigue se afirma la ortogonalidad de un conjunto de autofunciones {9n (x)} de un sistema de Sturm-Liouville. ´ TEOREMA 3. 7 (STURM-LIOUVILLE) Sea L un operador simetrico en el intervalo [x" , ´ propia x# ] asociado con la ecuacion L[y] + - r(x) y = 0 , x" < x < x# Si -n y -k son dos autovalores distintos, de L, con correspondientes autofunciones 9n (x) y 9k (x) respectivamente , entonces 9n (x) y 9k (x) son r(x)ortogonales , es decir x2
' r(x) 9n (x) 9k (x) dx = 0 ,
nÁk
x"
DEMOSTRACION: Las funciones propias 9n (x) y 9k (x) satisfacen las
relaciones L[9n (x)] = -n r(x) 9n (x) L[9k (x)] = -k r(x) 9k (x) Si multiplicamos la primera de estas ecuaciones diferenciales por 9k (x) y la segunda por 9n (x), restando las ecuaciones resultantes e integrando sobre el intervalo de interes, ´ obtenemos x2
x2
' {9k (x) L[ 9n (x)] 9n (x)L[ 9k (x)] } dx = (-k -n)' r(x) 9n (x) 9k (x) dx x"
x"
A causa de que L es simetrica, ´ se sigue de la definicio ´n 3.2, que la integral en el lado izquierdo es cero y por lo tanto
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x2
(-k -n)' r(x) 9n (x) 9k (x) dx = 0 x"
Por hipo ´tesis, -n Á -k ; así decimos que la integral es nula y el teorema queda mostrado. Previamente hemos supuesto que todos los autovalores del operador L son reales, siempre y cuando el operador sea simetrico ´ tambien ´ en este caso las autofunciones son reales. Se demostrara ´ sin embargo esta afirmacio ´n en el pro ´ximo teorema. ´ TEOREMA 3. 8 . Los autovalores de un operador simetrico son todos reales. DEMOSTRACION : Supo ´ngase que existe algu ´n autovalor complejo -k con respecto a una autofuncio ´n 9k (x), es decir L[9k (x)] + -k r(x)9k (x) = 0 Puesto que el operador L esta ´ formado de funciones reales, su – conjugado complejo L es igual a L. Tomando el conjugado complejo a los dos lados, se obtiene – L[9k (x)] + -k r(x)9k (x) = L[9k (x)] + -k r(x)9k (x) = 0 Se sigue ahora que 9k (x) y 9k (x) corresponden a autovalores – diferentes, -k y -k respectivamente, y por lo tanto son necesariamente ortogonales debido a la simetría del operador L . Esto indica que x2
x2
' r(x) 9k (x) 9k (x) dx = ' r(x) | 9k (x)|# dx = 0 x"
x"
pero puesto que el integrando es positivo, esta integral jamas es cero, con lo cual obtenemos una contradiccio ´n. Nuestra afirmacio ´n de que existe un autovalor complejo es falsa y el teorema esta demostrado. Aunque el teorema 3.8 , afirma que todos los autovalores de un operador simetrico ´ son reales, no garantiza la existencia de algu ´n autovalor. El siguiente teorema se muestra con la ayuda del teorema espectral y aquí no la damos. ´ ´ TEOREMA 3. 9. Los autovalores de un operador simetrico forman una sucesion infinita ordenados en magnitud tal que : -" < -# < â < -n < â y donde -n Ä ∞ cuando n Ä ∞. 4. SISTEMAS DE STURM-LIOUVILLE REGULARES.
Muchos de los problemas de autovalores estudiados tienen un remoto rango de simplicidad o de separabilidad con respecto a las condiciones de contorno. Problemas de este tipo son caracterizados por L[y] + -r(x) y = 0 x" < x < x#
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APORTES 12
B" [y] ´ a" " y(x" ) + a" # yw (x# ) = 0 , (a211 + a212 Á 0 ) (10) B# [y] ´ a# " y(x# ) + a# # yw (x# ) = 0 , (a221 + a222 Á 0 ) donde L = D[p(x)D] + q(x). Cualquier problema de autovalores perteneciente a esta clase general es llamado un SISTEMA STURMLIOUVILLE REGULAR.
Estas condiciones de frontera homogeneas ´ para la regularidad, son de tres tipos distitos y en cualquiera de los puntos extremos del intervalo puede tomar una de las siguientes formas : y=0 yw = 0 h y + yw = 0 ( h es una constante ) Estas condiciones son llamadas de primer, segundo y tercer tipo, de condiciones de contorno. Cada uno de estos tipos de condiciones de contorno corresponden a diferentes tipos de condiciones físicas en los puntos extremos. Algunas de estas condiciones físicas se presentan por ejemplo en la obtencio ´n de la ecuacio ´n de onda. Para demostrar que el operador asociado con un sistema de Sturm-Liuoville es simetrico, ´ consideremos dos funciones u y v de # clase V las cuales satisfacen condiciones de contorno del tipo (10). En x œ x" , esto implica a" " u(x" ) + a" # uw (x" ) = 0 a" " v(x" ) + a" # vw (x" ) = 0 pero puesto que a" " y a" # no pueden ser simultaneamente ´ cero , por definicio ´n, se supone que anulan el determinante de los coeficientes, es decir u(x" ) uw (x" ) u(x" ) v(x" ) º v(x ) vw (x ) º œ º uw (x ) vw (x ) º œ W(u,v) (x" ) = 0. " " " " Del mismo modo para la condicio ´n de frontera en x = x# , podemos aplicar un argumento analogo ´ para mostrar que W(u,v)(x) = 0. Así tenemos demostrado que p(x) W(u v)(x)| xx#" = 0 y por el teorema 3.4, se sigue que L es simetrico. ´ Por la regularidad del sistema de Sturm-Liouville, se tiene que para un operador simetrico, ´ los autovalores y las autofunciones de tal sistema tienen las importantes propiedades establecidas en los teoremas 3.4, 3.6 y 3.7. En resumen tenemos el siguiente resultado para estos sistemas. TEOREMA 4. 9 . Los autovalores de un sistema de Sturm-Liouville regular son ´ corresponde a cada autovalor. simples, es decir solamente una autofuncion DEMOSTRACION: Supongamos que 9n (x) y 9k (x) son funciones propias correspondientes al mismo autovalor -n . En x = x" , cada autofuncio ´n debe satisfacer las condiciones de contorno predeterminadas; así que
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Darío Sánchez H
Elementos en Operadores Autoadjuntos
APORTES 13
a" " 9n (x" ) + a" # 9nw (x" ) = 0 a" " 9k (x" ) + a" # 9kw (x" ) = 0 Puesto que a" " y a" # no pueden ser cero simultaneamente, ´ en los extremos del intervalo solucio ´n, se exige que el determinante de los coeficientes debe ser nulo, y así (como arriba) W( 9n , 9k )(x" ) = 0. Si el Wronskiano de dos soluciones, de una ecuacio ´n diferencial, es nulo, en un punto del intervalo solucio ´n; por el principio de prolongamiento de identidades para funciones continuas, se sigue que ´ el debe ser cero en todo el intervalo. Por lo tanto, 9n (x) y 9k (x) son proporcionales (linealmente dependientes), y representan a la misma autofuncio ´n. 4.1. SISTEMAS DE STURM-LIOUVILLE PERIODICOS
La segunda mayor clase de problemas de autovalores que consideramos son aquellos de la forma L[y] + -r(x) = 0 , x" < x < x# y(x" ) = y(x# ) , yw (x" ) = yw (x2 ) Donde L = D[p(x)D] + q(x) y donde p(x" ) = p(x# ). Tales problemas son llamados sistemas de Sturm-Liouville PERIODICOS. Dejamos al lector curioso la demostracio ´n de que ´ este operador L, así definido, es simetrico ´ para esta clase de condiciones de contorno. La primera diferencia de los sistemas de Sturm-Liouville perio ´dicos con los otros es que los autovalores no son necesariamente simples, como se ilustra en el siguiente ejemplo EJEMPLO: En un instante particular de tiempo, la deflexio ´n transversal de una membrana vibrante circular centrada en un punto fijo, esta ´ relacionada por las soluciones de la autoecuacio ´n 1