CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

3.1. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN La derivada y ' = f ' ( x) =

dy es la primera derivada de y con respecto a x, pero dx

igualmente es posible realizar la derivada de la derivada,

d2y y ' ' = f ' ' ( x) = 2 . dx Lo que se conoce como la segunda derivada de y con respecto a x. En esta forma es posible realizar derivadas de derivadas para obtener derivadas de orden superior.

Velocidad y Aceleración En mecánica, si s = f (t ) da la posición en el instante t de un cuerpo en movimiento, entonces: La primera derivada ds

dt 2 d s La derivada segunda

da la velocidad, y

dt 2

da la aceleración del cuerpo

en el instante t. Así la velocidad es la rapidez de cambio de la posición y la aceleración es la rapidez de cambio de la velocidad.( Esto es, la rapidez con que un cuerpo adquiere o pierde velocidad.).

Ejemplo 1 : Si f ( x ) = xCos ( x ) , encontrar f ′′ ( x )

f ′( x) = x

3.- Derivadas Algebraicas

d d Cos ( x ) ) + Cos ( x ) ( x ) ( dx dx f ′ ( x ) = − xSen ( x ) + Cos ( x )

Por la regla del producto Reemplazando valores de las

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derivadas

Para obtener f ′′ ( x ) , se vuelve a derivar a f ′ ( x ) :

d ( − xSen ( x ) + Cos ( x ) ) dx d d d f ′′ ( x ) = − x ( Sen ( x ) ) + Sen ( x ) ( − x ) + ( Cos ( x ) ) dx dx dx f ′′ ( x ) = − xCos ( x ) − Sen ( x ) − Sen ( x ) f ′′ ( x ) =

De la primera derivada. Por la regla del producto Reemplazando valores de las derivadas

f ′′ ( x ) = − x Cos ( x ) − 2 Sen ( x )

Agrupando términos comunes

Ejemplo 2: La posición de una partícula está dada por la ecuación:

s = f ( t ) = t 3 + 6t 2 + 9t Donde t se mide en segundo y s en metros. i. Halle la aceleración en el instante t . La función de velocidad es la derivada de la función de posición:

s = f ( t ) = t 3 − 6t 2 + 9t v (t ) =

ds = 3t 2 − 12t + 9 dt

Función de posición Derivando la función de posición.

La aceleración es la derivada de la función velocidad:

d 2 s dv a (t ) = 2 = = 6t − 12 dt dt ii. ¿Qué valor tiene la aceleración a los 4 segundos?

a ( 4 ) = 6 ( 4 ) − 12 = 24 − 12 = 12 m Ejercicios Propuestos: 3.- Derivadas Algebraicas

seg 2

Segunda derivada.

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Determine la primera y segunda derivadas de cada una de las siguientes funciones: 1

f ( x ) = x5 + 6 x 2 − 7 x

2

f (t ) = t8 − 7 t 6 + 2 t 4

3

h ( x) =

4

g (r ) =

r +

5

f ( s ) = ( 3 s + 5)

6

g (u ) =

1 1− u

8

y = ( 1 − x2 )

10

x2 + x y + y 2 = 1

7

9

x2 + 1 8

x2 y= x +1 2 x y2 − =1 a 2 b2

3.2. DIFERENCIACION FRACCIONADAS

IMPLICITA

3

3

r

4

Y

POTENCIAS

No siempre se da el caso de que se pueda expresar la función en la forma y = f ( x ) , esto quiere decir que no siempre es posible expresar a y en términos de x, en ocasiones sucede que una misma función corta el eje en más de una ocasión como sucede en las funciones:

x2 + y2 −1 = 0 y2 − x = 0 En las que y no aparece explícitamente en términos de x. Es posible que una posición de una función pueda ser expresada en términos de c, siempre y cuando la función pueda ser definida dentro del intervalo cerrado [ a , b ] .

Método de diferenciación implícita. Si una curva y = f (x) es lo suficientemente suave en todo su recorrido como para tener tangente en cualquiera de sus puntos, entonces varias de sus partes serán graficas de funciones diferenciables. Cuando se tienen ecuaciones de la forma

x 5 + 4 xy 3 − 3 y 7 − 2 = 0 3.- Derivadas Algebraicas

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En donde no es posible o fácil de despejar explícitamente la variable dependiente en términos de la variable independiente. Utilizando el método de diferenciación implícita es posible determinar el valor de dy dx . El método consiste en realizar la diferenciación término a término de cada uno de los componentes de la ecuación original. Esto es más claro si se analiza mediante la ayuda de un ejemplo. Hallar dy dx para x y = 1

d (xy ) = d (1) dx dx dy dx x +y =0 dx dx dy x +y=0 dx dy − y = dx x

Derivando Implícitamente.

Igualando a cero Derivada de x para x es uno ( 1 ). Despejando la derivada.

Como se puede apreciar el método consiste en plantear y despejar el término dy dx . En este tipo de ecuaciones es perfectamente valida la representación de la derivada como dy dx , como y′ . Ejercicios Derivar las siguientes expresiones: 2

3

x 2 + y 2 = 25 x3 + x 2 y + 4 y 2 = 6

5

x 2 y + xy 2 = 3 x

6

1

x+ y +

7 9

3

Tangentes 3.- Derivadas Algebraicas

x y =k

1 + x2 y2 = 2 x y

4

x3 + y 3 = 6 x y x2 − 2 x y + y3 = c y = x2 + 1 x− y

8

x y = 1 + x2 y

10

x +

y =l

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Con el método de la diferenciación implícita es posible calcular el valor de la tangente a una función para cualquier pareja de valores dados ( x , y ) , lo que se logra sustituyendo en la ecuación de la derivada los valores dados de x y y. Ejemplo 1:

Hallar la pendiente de la tangente en el punto

( 1 , 2 ) , para la función

x2 + x y + y 2 = 7 Se realiza la diferenciación en ambos lados del signo igual teniendo en cuenta que se trata de derivadas de potencias y productos, las que se obtienen por los métodos que ya se han visto.

2x

dy dx dy dx + 2y =0 + x +y dx dx dx dx (x + 2 y ) dy = −(2 x + y ) dx dx dx ( dy − 2 x + y ) = dx (x + 2 y )

Para el caso particular del punto ( 1 , 2

dy dx

(1, 2 )

=

)

Derivando respecto a x

Agrupando términos

Despejando

dy dx

se tiene:

− 2(1) − 2 4 =− 1 + 2(2 ) 5

Evaluando para el punto dado

El valor de la pendiente para el punto dado es −4

5

Rectas Normales La recta normal a una curva en un punto dado se interpreta como la recta perpendicular a la recta tangente a la función en ese punto. Una aplicación de este concepto es el ángulo de incidencia de los rayos luminosos en una lente de aumento. Ejemplo:

Hallar la ecuación de las rectas normal y tangente a la curva:

3.- Derivadas Algebraicas

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y 2 − 6 x 2 + 4 y + 19 = 0 en el punto (2,1) Se realiza diferenciación con relación a x en ambos lados de la igualdad.

dy dx dy − 12 x + 4 =0 dx dx dx dx 12 x dy dx = 12 x = 6 x = dx (2 y + 4) (2 y + 4) ( y + 2) 6(1) 6 3 dy = = = dx (1, 2 ) 2 + 2 4 2 2y

3 (x − 2) 2 2 y − 1 = − (x − 2) 3 y −1 =

Por diferenciación Implícita.

Agrupando términos en

dy dx

Evaluando para el punto dado.

Ecuación de la recta tangente.

Ecuación de la normal

En esta forma es posible obtener las ecuaciones de las rectas normal y tangente a una función continua para un punto dado como ( x , y ) . Ejercicios propuestos: En los siguientes ejercicios, encontrar las ecuaciones de la recta normal y tangente a la gráfica en el punto dado: 1.

x 2 + x y − y 2 = 1 en P ( 2 , 3

3.

x 2 + 4 y 2 = 4 en P

5. Sen ( y ) = x en

)

2 , −1

2.

2

( 1, π 2)

x 2 + y 2 = 25 en P ( 3 , − 4

(

4. 3 x 2 + y 2 6.

)

2

)

= 100 x y en P ( 3 , 1 )

x 2 ( x 2 + y 2 ) = y 2 en P

2 2

,

2 2

Potencias enteras negativas de una función diferenciable

Potencias enteras negativas de una función diferenciable

Regla No. 3.8 La derivada de 3.- Derivadas Algebraicas

y = u n , en un punto donde u = g (x) es

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diferenciable y distinta de cero, está dada por:

d n du u ) = n u n −1 ( dx dx Donde n es un entero negativo.

Regla de la potencias para exponentes fraccionados Si u es una función diferenciable de x, y, q y p son enteros con q > 0, entonces:

Regla No. 3.9

d u dx

p q

p = u q

p −1 q

du dx

Siempre que u ≠ 0 si p q 1 .

Esta regla puede entenderse como la ampliación de la regla No. 6, en donde se ha reemplazo n por

p , y equivale al cualquier número racional. q

Ejercicios Resueltos : 1. Encuentre todos los puntos de la gráfica de y = x 3 − x 2 donde la tangente a la función sea horizontal. Por definición, una línea recta horizontal tiene pendiente cero, si la primera derivada representa la pendiente de la recta tangente a la función, el problema se resuelve buscando aquellos puntos para los cuales la primera derivada se hace cero. Primera derivada: y ′ = 3 x 2 − 2 x Para encontrar los puntos de tangencia horizontal se buscan los valores de x para los cuales se cumpla que y′ = 0 , así:

y′ = 3x 2 − 2 x = 0 3.- Derivadas Algebraicas

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x ( 3x − 2 ) = 0 Para que la igualdad se cumpla, se requiere que, bien x = 0 , ó que

( 3 x − 2 ) = 0 , lo

que implica:

( 3x2 − 2 ) = 0 x1 = 0 y 3x2 = 2

x2 = 2

x1 = 0 x2 = 2

3

y = 03 − 0 2 = 0

3

( 3) −(23)

y= 2

3

2

= −4

27

2. La altura s en pies de una pelota sobre el piso a los t segundos está dada por s = − 16 t 2 + 40 t + 100 . Por definición de velocidad se sabe que la velocidad instantánea está definida con la primera derivada evaluada en el momento dado. a. Cuál es la velocidad instantánea cuando t = 2 ? Para conocer el valor de la velocidad instantánea se evalúa la primera derivada para el punto dado t = 2 :

s′ = −32t + 40

t =2

= −32 ( 2 ) + 40 = −64 + 40 = −24 ft

seg

b. Cuando es cero la velocidad instantánea? La velocidad instantánea se hace cero para cuando la primera derivada de hace cero, es decir para cuando la recta tangente a la función tiene pendiente cero.

s′ = −32 t + 40 = 0 3. Encontrar

32 t = 40

t = 40

32

dy , si y = u 3 − 3 u 2 + 1 y u = x 2 + 2 dx

3.- Derivadas Algebraicas

=5

4

seg

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Por definición

y = u 3 − 3u 2

dy dy = dx du

du , luego, si: dx

dy = 3u 2 − 6u , y u = x 2 + 2 du

Luego, la derivada será:

du = 2x dx

dy = ( 3u 2 − 6u ) ( 2 x ) = ( 3 u )( u − 2 )( 2 x ) = 6 x u ( u − 2 ) dx

Para expresar esta derivada como

dy , se utiliza la expresión u = x 2 + 2 , luego: dx

dy = 6 xu ( u − 2 ) = 6 x ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 2 ) − 2 = ( 6 x3 + 12 x )( x 2 ) = 6 x 5 + 12 x 3 dx 4. Hallar

dy si x 2 y + 2 y 3 = 3x + 2 y ( Derivada Implicita ) dx

Derivando Implícitamente, se tiene:

x

2

d d 2 y +y x dx dx 1

d d = 3 ( x ) + x ( 3) dx dx

x2

dy d + 2 3y + y3 ( 2) dx dx 0

d d + 2 ( y) + y ( 2) dx dx

dy dx dy dx dy + y2x + 2 3y2 =3 +2 dx dx dx dx dx dy dy dy dx dx x2 + 6 y2 − 2 = 3 − y2x dx dx dx dx dx dy 2 dx x + 6 y 2 − 2 ) = ( 3 − 2 yx ) ( dx dx ( 3 − 2 yx ) dy = 2 dx ( x + 6 y 2 − 2 )

3.- Derivadas Algebraicas

0

=

2

0

Eliminando términos nulos:

Agrupando términos en

Factorizando:

Despejando

dy dx

dy dx

y

dx , se tiene: dx