Derivadas de Orden superior Para una funci´ on cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva funci´on f 0 y podemos aplicar la derivada a f 0 . La funci´ on (f 0 )0 se suele escrbir f 00 y recibe el nombre de derivada segunda de f. Si f 00 existe, se dice que, f es dos veces derivable en a. De manera similar podemos definir f 000 = (f 00 )0 La notaci´ on usual es: f 0 = f 1 , f 00 = f 2 , f 000 = f 3 , ...,k+1 = (f k )0 Las distintas funciones f k para k ≥ 2 son a veces llamadas derivadas de orden superior. Podemos tomar f 0 = f . Ejemplo.-Si f (x) = ax Tenemos que f 0 (x) = ax ln(a) f 00 (x) = ax ln2 (a) f 000 (x) = ax ln3 (a) Esto sugiere la f´ ormula n (ax ) = lnn (x) a > 0 Esta f´ ormula se puede demostrar por inducci´on Para la base de la inducci´ on n = 1 tenemos que 0
(ax ) = ax ln(a) Supong´ amos ahora la validez de la f´ ormula para n n
(ax ) = ax lnn (a) Ahora veamos que la propiedad se cumple para n + 1 tenemos que (ax lnn (a))
por lo tanto la f´ ormula es valida para n + 1. Ejemplo.-Hallar f 17 (x) para f (x) = ax Tenemos que seg´ un la f´ ormula 17
f 17 (x) = (ax )
= ax ln17 (a)
Ejemplo.-Si f (x) = sen(x) Tenemos que π f 0 (x) = cos(x) = sen x + π2 = sen(x) cos π2 + sen 2 cos(x) = cos(x) π f 00 (x) = − sen(x) = sen x + 2 π2 = sen(x) cos 2π + sen 2 2 2 cos(x)= − sen(x) π π 000 f (x) = − cos(x) = sen x + 3 2 = sen(x) cos 3 2 + cos(x) sen 3 π2 = − cos(x) Esto sugiere la f´ ormula π n (sen(x)) = sen x + n 2
1
Esta f´ ormula se puede demostrar por inducci´on Para la base de la inducci´ on n = 1 tenemos que π π π 0 = sen(x) cos + sen cos(x) = cos(x) (sen(x)) = cos(x) = sen x + 2 2 2 Supong´ amos ahora la validez de la f´ ormula para n π n (sen(x)) = sen x + n 2 Ahora veamos que la propiedad se cumple para n + 1 tenemos que π π n+1 n 0 = sen x + (n + 1) (sen(x)) = ((sen(x)) ) = cos x + n |{z} 2 2 ∗
(*)La u ´ltima igualdad la justificamos de la siguiente manera π π π π π π π π sen x + (n + 1) = sen x + n + = sen x + n cos +sen cos x + n = cos x + n 2 2 2 2 2 2 2 2 por lo tanto la f´ ormula es valida para n + 1. Ejemplo.-Hallar f 17 (x) para f (x) = sen(x) Tenemos que seg´ un la f´ ormula 17π 17π 17π 17 17 f (x) = (sen(x)) = sen x + = sen(x) cos + cos(x) sen = cos(x) 2 2 2 Ejemplo.-Si f (x) = cos(x) Tenemos que f 0 (x) = − sen(x) = cos x + π2 = cos(x) cos π2 − sen π2 sen(x) = − sen(x) π − sen 2 sen(x) f 00 (x) = − cos(x) = cos x + 2 π2 = cos(x) cos 2π 2 2 = − cos(x) f 000 (x) = sen(x) = cos x + 3 π2 = cos(x) cos 3 π2 − sen(x) sen 3 π2 = sen(x) Esto sugiere la f´ ormula π n (sen(x)) = cos x + n 2 Esta f´ ormula se puede demostrar por inducci´on Para la base de la inducci´ on n = 1 tenemos que π π π 0 (cos(x)) = − sen(x) = cos x + = cos(x) cos − sen sen(x) = − sen(x) 2 2 2 Supong´ amos ahora la validez de la f´ ormula para n π n (cos(x)) = cos x + n 2 Ahora veamos que la propiedad se cumple para n + 1 tenemos que π π n+1 n 0 = cos x + (n + 1) (cos(x)) = ((cos(x)) ) = − sen x + n 2 |{z} 2 ∗
2
(*)La u ´ltima igualdad la justificamos de la siguiente manera π π π π π π π π cos x + (n + 1) = cos x + n + = cos x + n cos −sen sen x + n = − sen x + n 2 2 2 2 2 2 2 2 por lo tanto la f´ ormula es valida para n + 1. Ejemplo.-Hallar f 51 (x) para f (x) = cos(x) Tenemos que seg´ un la f´ ormula 51π 51π 51π 51 = cos(x) cos − sen(x) sen = sen(x) f 51 (x) = (cos(x)) = cos x + 2 2 2 51π 51π 51π 51 51 f (x) = (cos(x)) = cos x + = cos(x) cos − sen(x) sen = sen(x) 2 2 2 Ejemplo.- Si f (x) = xm Tenemos que f 0 (x) = mxm−1 f 00 (x) = m(m − 1)xm−2 f 000 (x) = m(m − 1)(m − 2)xm−3 Esto sugiere la f´ ormula f n (x) =
m! xm−n (m − n)!
Calcular f 8 (x) para f (x) = x12 Tenemos que: f 12 (x) = x12
12
=
8! x4 = 19958400x4 (12 − 8)!
Ejemplo.- Si f (x) = ln(x) Tenemos que f 0 (x) = x1 f 00 (x) = − x12 f 000 (x) = x23 Esto sugiere la f´ ormula f n (x) =
(−1)n−1 (n − 1)! xn
Calcular f 35 (x) para f (x) = ln(x) Tenemos que: f 35 (x) = (−1)34
34! 295232799039604140847618609643520000000 = 35 x x35
Ejemplo.- Si f (x) = x1 Tenemos que f 0 (x) = − x12 f 00 (x) = x23 f 000 (x) = − x64 Esto sugiere la f´ ormula f n (x) =
(−1)n (n)! xn+1 3
Calcular f 12 (x) para f (x) = Tenemos que:
1 x
f 12 (x) = (−1)12
12! 479001600 = x13 x13
Ejemplo.- Si f (x) = x−m Tenemos que f 0 (x) = −mx−m−1 f 00 (x) = −m(−m − 1)x−m−2 f 000 (x) = −m(−m − 1)(−m − 2)x−m−3 Esto sugiere la f´ ormula f n (x) = (−1)n
(m + n − 1)! −m−n x (m − 1)!
Calcular f 12 (x) para f (x) = x−5 Tenemos que: 16! 4 x = 871782912000x−17 (4)!
f 12 (x) = (−1)12
Teorema 1. Si f n (a) y g n (a) existen, entonces n
(f · g) (a) =
n X n
k
k=0
f k (a) · g n−k (a)
Demostraci´ on. La prueba es por inducci´on, asi que para n = 1 se tiene que 0
1
0
0
(f · g) (a) = (f · g) (a) = f (a)g (a) + f (a)g(a) =
1 X 1 k=0
k
f k (a) · g n−k (a)
por lo tanto es valida para la base de inducci´on Sup´ ongo valida la propiedad para n n
(f · g) (a) =
n X n
k
k=0
f k (a) · g n−k (a)
y probaremos su validez para n + 1, para esto tenemos que: (f · g)
n+1
0
n
(a) = ((f · g) (a)) =
n X n k=0
=
n X k=0
n k
f
k+1
(a)g
n−k
k
(a) + f (a)g
n−k+1
k
!0 k
f (a) · g
(a) =
=
k=1
(a)
=
n X n k=0
n X k=0
n+1 X
n−k
n f k (a)g n−k+1 (a) + k−1
k
0 f k (a) · g n−k (a)
n X n n k+1 n−k f (a)g (a) + f k (a)g n−k+1 (a) k k
k=0
n X n k=0
k
f k (a)g n−k+1 (a)
n n X X n n k n−k+1 n+1 n+1 = f (a)g (a) + f (a)g(a)+f (a)g (a) + f k (a)g n−k+1 (a) k−1 k k=1
k=1
4
= f (a)g
n+1
n n X X n n k n−k+1 (a) + f (a)g (a) + f k (a)g n−k+1 (a) + f n+1 (a)g(a) k−1 k k=1
= f (a)g n+1 (a) +
k=1
n X k=1
= f (a)g n+1 (a) +
n n + f k (a)g n−k+1 (a) + f n+1 (a)g(a) k−1 k
n X n+1 k=1
=
n X k=0
k
f k (a)g n−k+1 (a) + f n+1 (a)g(a)
n+1 X n + 1 n+1 f k (a)g n−k+1 (a) f k (a)g n−k+1 (a) + f n+1 (a)g(a) = k k
k=0
Vamos a comprobar n! kn! (n − k + 1)n! n!(n + 1) n! n+1 n n + = + = = + = k k−1 k (k − 1)!(n − k + 1)! k!(n − k)! (k)!(n − k + 1)! k!(n − k + 1)! k!(n − k + 1)!
Ejemplo.-Vamos a hallar la derivada n-´esima de f (x) = x sen(x), para esto se tiene que seg´ un la f´ ormula n X π π n k n n n n n−k (x sen(x)) = x sen (x) = x (sen(x)) + x(sen(x))n−1 = x sen x + n +n sen x + (n − 1) k 0 1 2 2 k=1
Usaremos lo anterior para hallar f 13 (x) para f (x) = x sen(x), para esto se tiene que: 13π 13π 13 13 f (x) = (x sen(x)) = x sen x + + 13 sen x + = x sen(x) + 13 cos(x) 2 2