Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales y direccionales

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

1

Derivadas parciales

2

Derivadas direccionales

3

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales (de campos escalares de dos variables) ´ Sea A = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] un rectangulo de R2 , es decir, n o [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] = (x, y ) ∈ R2 : x ∈ [a1 , b1 ], y ∈ [a2 , b2 ] ´ y sea f una funcion f : A ⊆ R2 −→ R Sea (x0 , y0 ) un punto perteneciente a (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) (es decir, al interior de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1 variable:

´ Fijado y0 ∈ [a2 , b2 ], podemos definir la funcion fy0 : [a1 , b1 ] −→ R,

fy0 (x) = f (x, y0 ).

´ Fijado x0 ∈ [a1 , b1 ], podemos definir la funcion fx0 : [a2 , b2 ] −→ R,

fx0 (y) = f (x0 , y).

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales (de campos escalares de dos variables) ´ Sea A = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] un rectangulo de R2 , es decir, n o [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] = (x, y ) ∈ R2 : x ∈ [a1 , b1 ], y ∈ [a2 , b2 ] ´ y sea f una funcion f : A ⊆ R2 −→ R Sea (x0 , y0 ) un punto perteneciente a (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) (es decir, al interior de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1 variable:

´ Fijado y0 ∈ [a2 , b2 ], podemos definir la funcion fy0 : [a1 , b1 ] −→ R,

fy0 (x) = f (x, y0 ).

´ Fijado x0 ∈ [a1 , b1 ], podemos definir la funcion fx0 : [a2 , b2 ] −→ R,

fx0 (y) = f (x0 , y).

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales (de campos escalares de dos variables) ´ Sea A = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] un rectangulo de R2 , es decir, n o [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] = (x, y ) ∈ R2 : x ∈ [a1 , b1 ], y ∈ [a2 , b2 ] ´ y sea f una funcion f : A ⊆ R2 −→ R Sea (x0 , y0 ) un punto perteneciente a (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) (es decir, al interior de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1 variable:

´ Fijado y0 ∈ [a2 , b2 ], podemos definir la funcion fy0 : [a1 , b1 ] −→ R,

fy0 (x) = f (x, y0 ).

´ Fijado x0 ∈ [a1 , b1 ], podemos definir la funcion fx0 : [a2 , b2 ] −→ R,

fx0 (y) = f (x0 , y).

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)

f1/3 (x) = 5 − x 2 − 3(1/3)2

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)

f−2 (y) = 5 − (−2)2 − 3y 2

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivada parcial respecto de x

fy0 : [a1 , b1 ] −→ R,

fy0 (x) = f (x, y0 )

´ de una variable (la x). Si fy0 es diferenciable en es una funcion el punto x0 ∈ (a1 , b1 ), es decir, si existe el fy0 (x0 + h) − fy0 (x0 ) f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) = l´ım h h h→0 h→0 l´ım

a ese l´ımite lo llamamos Derivada Parcial Primera de primer orden de f en (x0 , y0 ) o Derivada Parcial respecto de x de f en ´ (x0 , y0 ), y se representa por D1 f (x0 , y0 ) o bien en notacion ∂f ´ clasica por ∂x (x0 , y0 ).

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivada parcial respecto de x

fx0 : [a2 , b2 ] −→ R,

fx0 (y) = f (x0 , y),

´ real de una variable real (la y ). Si fx0 es que es una funcion diferenciable en el punto y0 ∈ (a2 , b2 ), es decir, si existe el fx0 (y0 + h) − fx0 (y0 ) f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 ) = l´ım h h h→0 h→0 l´ım

a ese l´ımite lo llamamos Derivada Parcial Segunda de primer orden de f en (x0 , y0 ) o Derivada Parcial respecto de y de f en ´ (x0 , y0 ) , y se representa por D2 f (x0 , y0 ) o bien, en notacion ∂f ´ clasica, por ∂y (x0 , y0 ).

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)

∂f (x, y ) = −2x ∂x ∂f (−2, 1/3) = −2(−2) = 4 ∂x

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)

∂f (x, y ) = −6y ∂y ∂f (−2, 1/3) = −6(1/3) = −2 ∂y

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo

Si f (x) = 2x sen(x 2 + y 2 ), entonces sus derivadas parciales en un punto (x, y ) ∈ R2 son: ∂f (x, y ) = 2 sen(x 2 + y 2 ) + 2x cos(x 2 + y 2 )2x ∂x ∂f (x, y) = 2x cos(x 2 + y 2 )2y ∂y Todo esto se generaliza a funciones de n variables . . .

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo

Si f (x) = 2x sen(x 2 + y 2 ), entonces sus derivadas parciales en un punto (x, y ) ∈ R2 son: ∂f (x, y ) = 2 sen(x 2 + y 2 ) + 2x cos(x 2 + y 2 )2x ∂x ∂f (x, y) = 2x cos(x 2 + y 2 )2y ∂y Todo esto se generaliza a funciones de n variables . . .

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

´ Generalizacion

En general, para funciones con n variables, f (x1 , x2 , . . . , xn ), se ´ define su derivada parcial k -esima en el punto (x1 , x2 , . . . , xn ), que denotamos por Dk f (x1 , x2 , . . . , xn ) o bien por ∂f ∂xk (x1 , x2 , . . . , xn ) al l´ımite f (x1 , . . . , xk + h, . . . , xn ) − f (x1 , x2 , . . . , xn ) h h→0 l´ım

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

1

Derivadas parciales

2

Derivadas direccionales

3

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivada direccional La pendiente de la recta tangente (si existe) a la superficie ´ dada por v es definida por f en la direccion Dv f (x0 , y0 ) = l´ım

h→0

f ((x0 , y0 ) + h(v1 , v2 )) − f (x0 , y0 ) h

o bien f (x0 + hv1 , y0 + hv2 ) − f (x0 , y0 ) h h→0

Dv f (x0 , y0 ) = l´ım

y se llama derivada direccional de f en el punto (x0 , y0 ) en la ´ dada por v . direccion ´ Observacion:

∂f (x0 , y0 ) ∂x ∂f D(0,1) f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂y D(1,0) f (x0 , y0 ) =

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivada direccional La pendiente de la recta tangente (si existe) a la superficie ´ dada por v es definida por f en la direccion Dv f (x0 , y0 ) = l´ım

h→0

f ((x0 , y0 ) + h(v1 , v2 )) − f (x0 , y0 ) h

o bien f (x0 + hv1 , y0 + hv2 ) − f (x0 , y0 ) h h→0

Dv f (x0 , y0 ) = l´ım

y se llama derivada direccional de f en el punto (x0 , y0 ) en la ´ dada por v . direccion ´ Observacion:

∂f (x0 , y0 ) ∂x ∂f D(0,1) f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂y D(1,0) f (x0 , y0 ) =

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Casos ´ f : A ⊆ R2 −→ R y un punto (x0 , y0 ) interior Dada una funcion de su dominio A puede ocurrir, (a) que no existan las rectas tangentes en direcciones (ejemplo: cono) o (b) que s´ı existan las rectas tangentes en direcciones.

TODAS

TODAS

las

las

En este segundo caso, puede ocurrir, ´ todas las rectas tangentes en un (b.1) que no esten mismo plano (superficies regladas), o ´ todas las rectas tangentes en un (b.2) que s´ı esten mismo plano.

Derivadas parciales

Caso (a)

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Caso (b.1): esculturas de Alfaro

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales

Caso (b.2)

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Plano tangente

En el ultimo caso (existen las rectas tangentes en TODAS las ´ ´ todas en un mismo plano), a este ´ direcciones y estan plano se le llama plano tangente a f en el punto (x0 , y0 ), y puede verse ´ es que su ecuacion z = f (x0 , y0 ) + D1 f (x0 , y0 )(x − x0 ) + D2 f (x0 , y0 )(y − y0 )

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas direccionales y continuidad

´ La existencia de las derivadas parciales en un punto o, mas aun, ´ de todas las derivadas direccionales, no implica la ´ en ese punto. continuidad de la funcion

2

Ejemplo: f (x, y) = x 2xy+y 4 si (x, y ) 6= (0, 0) y f (0, 0) = 0. Existen todas las derivadas direccionales en (0, 0) pero no es continua.

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

1

Derivadas parciales

2

Derivadas direccionales

3

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales de orden superior Si f (x) = 2x sen(x 2 + y 2 ), entonces su derivada parcial primera en cada (x, y ) es ∂f (x, y ) = 2 sen(x 2 + y 2 ) + 2x cos(x 2 + y 2 )2x ∂x ´ una funcion ´ de dos variables y tiene derivadas que es tambien parciales que son derivadas parciales de f de segundo orden: ∂2f (x, y ) = 12x cos(x 2 + y 2 ) − 8x 3 sen(x 2 + y 2 ) ∂x 2 ∂2f (x, y ) = 4y cos(x 2 + y 2 ) − 8x 2 y sen(x 2 + y 2 ) ∂y∂x

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales de orden superior Del mismo modo, como ∂f (x, y ) = 4xy cos(x 2 + y 2 )2x ∂y sus derivadas parciales son ∂2f (x, y ) = 4y cos(x 2 + y 2 ) − 8x 2 y sen(x 2 + y 2 ) ∂x∂y ∂2f (x, y) = 4x cos(x 2 + y 2 ) − 8xy 2 sen(x 2 + y 2 ) ∂y 2

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales de orden superior En general, se definen las 4 derivadas parciales de f de segundo orden como: ∂ ∂2f (x, y) = ∂x 2 ∂x



∂2f ∂ (x, y) = ∂y 2 ∂y



∂ ∂2f (x, y ) = ∂y ∂x ∂y ∂2f ∂ (x, y ) = ∂x∂y ∂x

∂f ∂x

 (x, y )

 ∂f (x, y ) ∂y   ∂f (x, y ) ∂x   ∂f (x, y ) ∂y

o bien

D11 f (x, y ) = D1 (D1 f ) (x, y )

o bien

D22 f (x, y ) = D2 (D2 f ) (x, y )

o bien

D12 f (x, y ) = D2 (D1 f ) (x, y )

o bien

D21 f (x, y ) = D1 (D2 f ) (x, y )

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Teorema de Schwarz

Teorema ∂2f ∂f es continua en un punto (x, y) y si existe en un ∂y ∂x ∂y ∂2f ∂2f entorno de (x, y ), entonces existe (x, y) = (x, y) ∂x∂y ∂y ∂x Si

Derivadas parciales

Derivadas direccionales

Derivadas parciales de orden superior

Todo lo anterior puede generalizarse a funciones de n ´ f (x1 , x2 , . . . , xn ) tiene n variables. As´ı, por ejemplo, una funcion derivadas parciales en cada punto (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , que denotamos por ∂f (x1 , x2 , . . . , xn ), k = 1, 2, . . . , n Dk f (x1 , x2 , . . . , xn ) o por ∂xk y tiene n2 derivadas parciales de segundo orden, que denotamos por Dij f (x1 , x2 , . . . , xn ) o por

∂2f (x1 , x2 , . . . , xn ), i, j = 1, 2, . . . , n ∂xj ∂xi

El Teorema de Schwartz nos asegura que, bajo ciertas condiciones de continuidad, las derivadas cruzadas coinciden: Dij f (x1 , x2 , . . . , xn ) = Dji f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∂2f ∂xj ∂xi

(x1 , x2 , . . . , xn ) =

∂2f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∂xi ∂xj