Tema 3

Derivadas Parciales y Derivadas Direccionales En este tema y en el siguiente presentaremos los conceptos fundamentales del C´alculo Diferencial para funciones de varias variables. Comenzaremos con las definiciones y c´alculos de las derivadas parciales y direccionales, present´andose el concepto de diferenciabilidad, m´as complejo que el correspondiente al C´alculo en una variable real, en el tema pr´oximo.

3.1

Derivadas Parciales

Presentaremos en primer lugar la definici´on de derivadas parciales para una funci´on escalar de dos variables. Sea f (x, y) una funci´on escalar de dos variables reales definida al menos en un entorno del punto (x0 , y0 ). Se define la derivada parcial de f (x, y) con respecto a x en el punto (x0 , y0 ) como el siguiente l´ımite (si existe): ∂f f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim h→0 ∂x h De manera an´aloga, definiremos la derivada parcial con respecto a y: f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = lim h→0 ∂y h De estas definiciones se deduce f´acilmente que el c´alculo efectivo de una derivada parcial con respecto a a una variable es id´entico al de las derivadas ordinarias, sin m´as que considerar el resto de las variables involucradas como constantes. Desde el punto de vista geom´etrico, y teniendo en cuenta que la gr´afica de una funci´on f (x, y) se visualiza como la superficie de ecuaci´on: z = f (x, y), las derivadas parciales ∂f ∂x 19

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y ∂f on ∂y en (x0 , y0 ) representan las pendientes de las rectas tangentes a las curvas intersecci´ entre dicha superficie y los planos y = y0 y x = x0 , respectivamente, en el punto (x0 , y0 , z0 ), siendo z0 = f (x0 , y0 ). De esta manera, si las derivadas parciales existen en el punto, la ecuaci´on del plano tangente1 ser´ıa: z = z0 +

∂f ∂f (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 ) (y − y0 ) ∂x ∂y y=y0

fHx,yL

x=x0 y x

Figura 1: (izquierda) Curvas sobre la superficie z = f (x, y), obtenidas al cortarla con los planos x = x0 e y = y0 .

(derecha) Plano tangente a la superficie en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).

Como vemos, la derivabilidad de una funci´on f (x, y) se va a relacionar de manera directa con la existencia y “correcto” comportamiento del plano tangente a su gr´afica. Resulta evidente, en cualquier caso, que para superficies del tipo a las presentadas en la siguiente figura (con “picos”, o “dobleces”, el plano tangente no estar´a bien definido).

Generalicemos la definici´on de derivada parcial al caso de n variables: Definici´ on: Sea f (~x), f : Rn → R, una funci´on escalar de n variables reales, ~x = (x1 , . . . , xn ), definida al menos en un entorno2 de ~x0 ∈ Rn . Se define la derivada parcial de f con respecto a xj en ~x0 como el l´ımite (si existe): 1

Suponiendo que dicho plano existe y que est´e bien definido, lo cual no siempre es cierto, aunque las derivadas parciales s´ı que existan. Aclararemos estas ideas en el pr´ oximo tema. 2 Recordemos que un entorno de un punto ~x0 ∈ Rn es todo conjunto abierto que contenga una bola abierta centrada en ~x0 , es decir: U ⊃ Br (~x0 ), con: Br (~x0 ) = {~ x ∈ Rn / k~x − ~ x0 k < r }

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f (~x0 + h~uj ) − f (~x0 ) ∂f (~x0 ) = lim h→0 ∂xj h donde ~uj = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) denota al vector j-´esimo de la base can´onica de Rn . Si denotamos: ~x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ), podemos escribir, de forma expl´ıcita: f (x01 , . . . , x0j + h, . . . , x0n ) − f (x01 , . . . , x0n ) ∂f (~x0 ) = lim h→0 ∂xj h Una vez definida la derivada parcial en un punto, es directo definir la funci´on derivada parcial: Definici´ on: Sea f : Rn → R definida en un conjunto abierto U de Rn , se define la ∂f funci´on derivada parcial respecto de la variable i-´esima ∂x , Dxi f o fxi , como la funci´on i ∂f tal que a cada punto ~x0 ∈ U le asocia, cuando exista, el valor ∂x (~x0 ). i Ejemplo: Calculemos las derivadas parciales de f (x, y) = 2x3 y + cos(xy). ∂f = 6x2 y − y sen xy ∂x

∂f = 2x3 − x sen xy ∂y

,

Ejemplo: Calcular la ecuaci´on del plano tangente a la superficie: z = x2 + y 3 en el punto P ≡ (3, 1, 10). Evidentemente: f (x, y) = x2 + y 3 , y f (3, 1) = 10. ∂z = 2x , ∂x

∂z = 3y 2 ∂y

;

∂z (3, 1) = 6 ∂x

∂z (3, 1) = 3 ∂y

De esta forma, el plano tangente ser´a: z = 10 + 6(x − 3) + 3(y − 1)

3.2

Derivadas direccionales

Teniendo en cuenta la definici´on anterior, se puede considerar la posibilidad de derivar con respecto a una direcci´on diferente a las de los ejes coordenados, tenemos entonces el concepto de derivada direccional: Definici´ on: Sea f : Rn → R definida al menos en un entorno de ~x0 , y sea ~v un vector de Rn tal que k~v k = 1. Se define entonces la derivada direccional de f en la direcci´on3 de ~v en el punto ~x0 ∈ Domf como el l´ımite: f (~x0 + h~v ) − f (~x0 ) h→0 h

D~v f (~x0 ) = lim 3

Se produce aqu´ı un evidente abuso del lenguaje, pues lo correcto ser´ıa decir: “en la direcci´ on y sentido de ~v ”.

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Alternativamente, esta definici´on puede escribirse de la siguiente forma, con frecuencia m´as u ´til en los c´alculos: ¯ ¯ d D~v f (~x0 ) = f (~x0 + t ~v ) ¯¯ dt t=0 La equivalencia entre ambas expresiones es trivial si recordamos la definici´on de derivada ordinaria. Una vez definido el concepto de derivada direccional, poemod comprobar con facilidad que las derivadas parciales no son m´as que las derivadas direccionales en la direcci´on de los vactores ~uj de la base can´onica de Rn . En particular, para el caso de una funci´on de tres variables f (x, y, z), tendremos: ∂f = D~i f ∂x

∂f = D~j f ∂y

,

∂f = D~k f ∂z

,

donde se ha denotado, como es tradicional, por {~i, ~j, ~k}, a la base can´onica de R3 . Ejemplo: Encontrar la derivada direccional de la funci´on f (x, y) = x2 + y + 1 en la direcci´on de ~v = ( √12 , √12 ) en el punto (0, 0). Utilizando la definici´on de derivada direccional como un l´ımite tendremos: D~v f (0, 0) = lim

f [(0, 0) + h( √12 , √12 )] − f (0, 0) h

h→0

= lim

f ( √h2 , √h2 ) − f (0, 0) h

h→0

2

= lim

h→0

h 2

+

h √ 2

=

+1−1

h

1 =√ 2

Alternativamente, usando la definici´on como una derivada ordinaria: µ ¶ 1 1 t2 t d t2 t 1 √ √ √ √ f [(0, 0) + t( , )] = + +1⇒ + +1 = t+ √ 2 dt 2 2 2 2 2 2 y as´ı: D~v f (0, 0) =

µ ¶ 1 1 t+ √ = √ 2 t=0 2

Veremos en el pr´oximo tema c´omo es posible calcular las derivadas direccionales de una tercera forma, m´as f´acil y operativa.

3.3

Matriz Jacobiana

Dada una funci´on vectorial f~ : A ⊂ Rn → Rm , con f~(~x) = (f1 (~x), f2 (~x), ..., fm (~x)), es posible derivar parcialmente (o direccionalmente) dicha funci´on en ~x0 si las correspondientes funciones escalares componentes fi (i = 1, 2, ..., m) tienen derivadas parciales o direccionales en dicho punto ~x0 .

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Si existen las derivadas parciales de las funciones componentes de f~ en el punto ~x0 , entonces se define la matriz de derivadas parciales o matriz Jacobiana de f~ en el punto ~x0 de la forma siguiente:  ∂f1  ∂f1 ∂f1 ∂f1 x0 ) ∂x (~x0 ) ∂x (~x0 ) · · · ∂x (~x0 ) ∂x1 (~ n 2 3    ∂f2  ∂f2 ∂f2 ∂f2 µ ¶  (~ x ) (~ x ) (~ x ) · · · (~ x ) 0 0 0 0  ∂x ∂x ∂x ∂x ∂f n 1 2 3   i J(f~)(~x0 ) = (~x0 ) =     ∂xj ··· ··· ··· ···     ∂fm ∂fm ∂fm ∂fm x0 ) ∂x2 (~x0 ) ∂x3 (~x0 ) · · · ∂xn (~x0 ) ∂x1 (~ A veces se utiliza la notaci´on: J(f~)(~x0 ) ≡ D(f~)(~x0 ) Finalmente, se utiliza tambi´en el t´ermino matriz Jacobiana de f~ para referirse a la “funci´on” matricial J(f~) que asigna de manera directa la matriz J(f~)(~x) a cada punto concreto ~x ∈ Rn . Ejemplo: Calcular la matriz Jacobiana de la funci´on f~(x, y, z) = (x2 + yz 2 , sen(x2 + y 2 )) en el punto (1, 1, 1). Las funciones componentes de esta funci´on vectorial son: f1 (x, y, z) = x2 + yz 2 , f2 (x, y, z) = sen(x2 + y 2 ), y por tanto la matriz Jacobiana de f~ en un punto cualquiera ser´a: ! µ ¶ Ã ∂f1 ∂f1 ∂f1 ! Ã ∂fi 2x z2 2yz ∂x ∂y ∂z ~ J(f ) = = = ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂xj 2x cos(x2 + y 2 ) 2y cos(x2 + y 2 ) 0 ∂x ∂y ∂z Para el caso particular del punto (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 1), tendremos: Ã ! µ ¶ ∂fi 2 1 2 (1, 1, 1) = ∂xj 2 cos(2) 2 cos(2) 0