STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006

Análisis de Capabilidad (Porcentaje Defectuoso) Este procedimiento esta diseñado para estimar el porcentaje de artículos defectuosos en una población basándose en muestra de los artículos de esa población que se han clasificado como defectuosos o no defectuosos. Nota: algunos practicantes prefieren el término “no conforme” en lugar de “defectuoso”. Los datos para el análisis consisten de m muestras de una población detallando: ni = numero de artículos en la muestra i

d i = numero de artículos defectuosos en la muestra i

Ejemplo StatFolio: attcap1.sgp Datos del Ejemplo: El archivo juice.sf3 contiene mediciones de la fuerza a la apertura de m = 30 muestras, cada una corresponde a n = 50 latas de jugo de naranja. Los datos son tomados de Montgomery (2005). Cada una fue inspeccionada y el número de defectuosos fueron tabulados. La tabla de abajo muestra una lista parcial de los datos en el archivo: sample (muestra) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

n 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50

defects (defectuosos) 12 15 8 10 4 7 16 9 14 10 5 6 17 12 22

Entrada de Datos La caja de dialogo requiere información acerca de cada muestra.

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Análisis de la Capacidad (Porcentaje Defectuoso) - 1

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•

Número de Defectuosos: Una columna numérica conteniendo el número total de defectuosos di, una fila para cada muestra.

•

Tamaño de Muestra: El tamaño de muestra ni. Ingrese cualquiera de las dos; el nombre de una columna numérica o un solo número si todos los tamaños de muestra son iguales.

•

Objetivo del % Defectuoso: El valor objetivo del proceso dado por un porcentaje defectuoso de los artículos. Si es ingresado, este valor será indicado sobre los gráficos.

•

Selección: Selección de un subconjunto de los datos.

Resumen del Análisis El Resumen del Análisis resume la entrada de los datos y despliega la estimación de la capacidad del proceso. Análisis Capacidad de Procesos(Porcentaje Defectuoso) - defects Datos/Variable: defects Meta: 10.0 Distribución: Binomial número de muestras = 30 tamaño promedio de muestra = 50.0 porcentaje defectuosos medio = 23.1333

Porcentaje defectuoso promedio Defectos por millón Z de proceso Límites de tolerancia (tamaño de muestra promedio)

Estimado 23.1333 231333. 0.734465

Límite Inferior 95% 21.0203 210203. 0.80572 6

Límite Superior 95% 25.3521 253521. 0.663453 18

Importantes cálculos en la salida incluyen: © 2006 por StatPoint, Inc.

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•

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Distribución: La distribución asumida para los datos. Por defecto es binomial, la cual es apropiada si las muestras son tomadas de lotes grandes, típicamente los lotes por lo menos son 10 veces más grandes que el tamaño de muestra. Si los lotes son pequeños, entonces la distribución hipergeométrica deberá ser seleccionada en lugar de la otra usando Opciones del Análisis.

•

Numero de Muestras: El número de muestras m.

•

Tamaño de Muestra Promedio: El tamaño promedio de las m muestras: m

n = ∑ ni / m

(1)

i =1

•

Porcentaje Medio de Defectuosos: El promedio del porcentaje de los artículos defectuosos: m

p = 100

∑d i =1 m

∑n i =1

i

%

(2)

i

Un intervalo de confianza para la población del porcentaje promedio también será presentado. •

Z del Proceso: El valor Z equivalente igual a la estimación de defectos por millón. La Z del proceso es calculada encontrándole valor en una distribución normal estándar para la cual la probabilidad de exceder |Z| es igual al DPM estimado. Los valores grandes de Z son preferibles, puesto que corresponden a porcentajes pequeños de artículos defectuosos. Típicamente el objetivo para Z es 4 o superior.

•

Nivel de Calidad Sigma: El Nivel de Calidad Sigma esta definido por lo practicantes de Seis Sigma. Esta opción solamente se presenta si el Nivel de Calidad Sigma es seleccionado sobre la sección de Capacidad en la selección de Preferencias dentro del menú Edición. El Nivel de Calidad Sigma es igual a la Z del Proceso o la (Z del Proceso + 1.5), dependiendo si la sigma de cambio 1.5 esta seleccionada sobre la sección de Capacidad en la caja de dialogo de Preferencias.

•

Límites de Tolerancia para el Tamaño de Muestra Promedio: Un intervalo de tolerancia 100(1-α)% para el número total de defectos en la muestra de tamaño n . Este intervalo se calcula encontrando el rango de X para la distribución estimada que no deja más que α/2 en cada cola.

Para los datos del ejemplo, la estimación de la proporción media de artículos defectuosos p = 23.13%. Esto es igual a 231,333 artículos no conformes por cada millón producido. Dado el tamaño de muestra, el margen del error es tal que un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción media defectuosa están en un rango de 21.02% a 25.35%. La puntuación de la Z del proceso de 0.73 es algo triste.

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 El intervalo de tolerancia indica que al 95% de todas las muestras de 50 artículos tomados de la población se puede esperar que estén contenidos entre 6 y 18 articulo defectuosos.

Opciones del Análisis

•

Distribución: Seleccione la distribución binomial si el tamaño de la población es grande comparado con el tamaño de muestra promedio (al menos 10 veces más grande) o distribución hipergeométrica si el tamaño de la población es pequeño comparado con el tamaño de muestra.

•

Tamaño de Población: Si se selecciona la distribución hipergeométrica, especificar el tamaño de la población de donde las muestras serán tomadas.

•

Límites de Confianza: Seleccione Intervalos de Dos-Colas para limites inferior y superior alrededor del porcentaje medio de defectuosos o un Limite de Confianza Superior si solamente se desea un limite superior.

•

Nivel de Confianza: Especifica el porcentaje para los intervalos de confianza y los limites de tolerancia, generalmente 90, 95, o 99.

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Gráfico de Capacidad El Gráfico de Capacidad muestra un histograma de los datos juntos con la distribución estimada (mostrada por los puntos símbolos). Capacidad de Proceso para defects 10.0% 24 Media: 23.1333 DPM: 231333. Z: 0.734465

frecuencia

20 16 12 8 4 0 0

5

10

15 defects

20

25

30

La línea vertical larga corresponde al valor objetivo. Las líneas verticales cortas corresponden a los límites de tolerancia mostrados en el Resumen del Análisis. Al margen derecho del gráfico se presenta: • • • •

Media: La estimación del porcentaje medio de articulo defectuosos. DPM: La estimación de defectos por millón. Z: El valor Z calculado. NCS: El calculo del Nivel de Calidad Sigma.

El NCS es presentado solamente si la caja de verificación asociada esta activada sobre la sección de Capacidad en la caja de dialogo de Preferencias., accesible desde el menú Edición.

Prueba de Bondad-del-Ajuste El panel Prueba de Bondad-del-Ajuste desarrolla una prueba Chi-Cuadrada para determinar cuando los datos muéstrales pueden tener razonablemente un comportamiento de la distribución asumida. Pruebas de Bondad-de-Ajuste para defects Prueba Chi-Cuadrada Inferior Superior Observada Límite Límite Frecuencia menor o igual 6.5 7 7.5 7.5 2 8.5 8.5 3 9.5 9.5 3 10.5 10.5 1 11.5 11.5 3 12.5 12.5 2 13.5 13.5 1 en ó por encima de 14.5 8 Chi-Cuadrada = 14.8194 con 7 g.l. Valor-P = 0.0383857

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Esperada Frecuencia 2.43 2.10 2.95 3.64 3.98 3.89 3.42 2.72 4.86

Chi-Cuadrada 8.56 0.00 0.00 0.11 2.23 0.20 0.59 1.09 2.02

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 El rango de los datos es dividido en intervalos, cada uno representando un rango de posibles números de defectuosos en una muestra. Las clases son estructuradas de tal manera que el número de valores esperados sobre los datos por cada clase sea menor que 2. El estadístico de interés primario es el Valor-P. El Valor-P debajo de α indica significancia en la salida de la distribución asumida a un nivel de significancia del 100α%. Por ejemplo, puesto que el Valor-P en la tabla anterior esta bien debajo de 0.05, no hay una significancia a la salida de la distribución binomial asumida en un nivel de significación del 5%. Si la prueba indica una salida significativa, cualquier valor grande en la columna etiquetada ChiCuadrada muestra la localización de la mayor discrepancia. Por ejemplo, la tabla anterior indica que 7 muestras tenían menos o igual a 7 defectuosos, mientras que se esperaba solamente 2.43 que fueran más pequeñas dado una distribución binomial con una media del 23.1% defectuosa. Una posible explicación para la falla de la distribución binomial al buen ajuste de los datos es que el proceso puede que no este en un estado de control estadístico, lo cual puede examinarse seleccionando Gráficos de Control de la lista de opciones gráficas. La prueba es exacta si los tamaños de muestra son iguales para todos. Será una aproximación si los tamaños de muestra son diferentes.

Gráfico de Probabilidad El Gráfico de Probabilidad es utilizado para determinar cualquier discrepancia entre los datos y la distribución asumida. Gráfica de Probabilidad 24 Prob. Evento=0.231333 Ensayos=50.0

20

defects

16 12 8 4 0 0

4

8 12 16 Binomial Distribución

20

24

El eje vertical muestra los datos, ordenados de mayor a menor. Cada punto es graficado contra un perceptil equivalente a la distribución estimada. Permitiéndose para los datos discretos, que los puntos pueden fallar aproximadamente a través de la línea diagonal. En el gráfico anterior, los datos muestran obvias curvaturas, que cuestionarían seriamente la asunción de que provienen de una distribución binomial.

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Gráfico de Corrida Este Gráfico muestra los datos en orden secuencial con una línea horizontal que se dibuja sobre el valor objetivo. Carta de Secuencias para defects

porcentaje defectuoso

50 40 30 20 10

10.0000

0 0

5

10

15 muestra

20

25

30

Idealmente, los puntos pueden variar aleatoriamente alrededor de la línea objetivo. En este caso, los datos son consistentes alrededor del valor objetivo.

Gráfico de Control Este panel muestra un gráfico p para los datos muéstrales.

Gráfico p para defects

proporción defectuosa

0.5 0.4102

0.4 0.3

0.2313

0.2 0.1

0.0524 0 0

5

10

15 muestra

20

25

30

Cada valor de los datos se grafica junto con la línea central y los límites de control. En este caso, 2 puntos que están fuera de los límites de control son señales de que el proceso no esta en un estado de control estadístico.

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Comparación de Distribuciones Alternativas Este panel despliega los resultados de la prueba de bondad-del-ajuste para la distribución binomial y la distribución hipergeométrica. Comparación de Distribuciones Alternas Distribución N especificada Log Verosimilitud Binomial -101.304 Hypergeométrica 1000 -102.787

Chi-Cuadrada P 0.0383857 0.0201058

El tamaño de lote asumido para la distribución hipergeométrica esta especificado sobre la caja de dialogo de Opciones del Análisis. Las mejores estimaciones de las distribuciones deben tener: • •

Valores grandes de la función de la log verosimilitud. Valores grandes del Valor-P en la Chi-Cuadrada.

En la tabla anterior, las estadísticas más grandes son para la distribución binomial, sugiriendo que al cambiar a la distribución hipergeométrica no mejoraría el ajuste.

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Cálculos Intervalo de Confianza para el Porcentaje Medio Defectuoso Para una distribución binomial: ⎡ 100v1 F1−α / 2,v1 ,v2 100v3 Fα / 2,v3 ,v4 ⎤ %, %⎥ ⎢ v 4 + v3 Fα / 2,v3 ,v4 ⎥⎦ ⎣⎢ v 2 + v1 F1−α / 2,v1 ,v2

(3)

donde n

v1 = 2 x , v2 = 2(n − x + 1) , v3 = 2( x + 1) , v 4 = 2(n − x) , n = ∑ ni

(4)

i =1

x=

np 100

(5)

Si se selecciona la distribución hipergeométrica el intervalo anterior es acortado por un factor de (mN − mn) /(mN − 1) , donde N es el tamaño de la población de la cual cada una de las m muestras fueron tomadas.

Gráfico de Control Línea Central: m

p=

∑d i =1 m

∑n i =1

i

(6) i

Límites de Control Binomial: p±3

p (1 − p ) n

(7)

Límites de Control Hipergeométrica: p±3

p (1 − p ) ( N − n ) n ( N − 1)

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(8)

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