STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006

Análisis de Capabilidad (Variables) Resumen El procedimiento Análisis de la Capabilidad para datos por variable esta diseñado para comparar muestras de mediciones recolectadas de un proceso con los límites de especificación establecidos para esa variable. Una estimación es derivada del porcentaje de artículos que probablemente están fuera de especificación. También se calcula una variedad de índices de capacidad que se comparar con el desempeño observado sobre los límites de especificación. Estos métodos están disponibles para manejar datos de distribuciones normales y no normarles.

Ejemplo StatFolio: capability.sgp Datos del Ejemplo: El archivo bottles.sf3 contiene mediciones del esfuerzo a la ruptura de n = 100 botellas de cristal, similar a la base de datos contenida en Montgomery (2005). Cada fila consiste de una muestra probada a intervalos de tiempo en 10 minutos. La tabla de abajo presenta una lista parcial de los datos del archivo: strength (esfuerzo) 255 232 282 260 255 233 240 255 254 259 235 262

time (tiempo) 0:10 0:20 0:30 0:40 0:50 1:00 1:10 1:20 1:30 1:40 1:50 2:00

Las botellas requieren tener un esfuerzo a la ruptura entre 200 psi y 300 psi.

Entrada de Datos Existen dos tipos de selecciones del menú para implementar un análisis de capacidad para datos por variables, uno para datos individuales y otro para subgrupos. Caso #1: Individuales Los datos para analizar consisten de una sola columna numérica que contiene n observaciones. Se asumen que los datos fueron tomados una vez en el tiempo.

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•

Datos: Columna numérica que contiene los datos a ser analizados.

•

LES: Limite de Especificación Superior, si lo hay.

•

Nominal: Valor objetivo o nominal opcional para la variable. Si no se ingresa, algunos índices de la capacidad seguramente no serán calculados.

•

LEI: Limite de Especificación Inferior, si lo hay.

•

Selección: Selección de un subconjunto de los datos.

Al menos uno de los límites de especificación deberá ingresarse.

Caso #2: Datos Agrupados Los datos a ser analizados consisten de una o más columnas numéricas. Se asumen que los datos fueron tomados en subgrupos, en un orden secuencial por filas.

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•

•

• • • •

Datos: Una o más columnas numéricas. Si más de una columna es ingresada, cada fila del archivo es asumida para representar un subgrupo con tamaño de subgrupo m igual al numero de columnas ingresadas. Si solamente una columna es ingresada, entonces el campo Número o Tamaño de Subgrupo será utilizado para formar los grupos. Número o Tamaño de Subgrupo: Si cada conjunto de m filas representa un grupo, ingrese un solo valor para m. Por ejemplo, ingresar un 5 en el ejemplo anterior implica que los datos de la fila 1-5 formaran el primer grupo, fila 6-10 formaran el segundo grupo, y así sucesivamente. Si los tamaños de subgrupos no son iguales, ingrese el nombre de una columna numérica adicional o una columna de texto conteniendo identificadores por grupo. El programa puede escanear esta columna y colocar filas secuenciales con códigos identificadores dentro del mismo grupo. LES: Limite de Especificación Superior, si lo hay. Nominal: Valor objetivo o nominal opcional para la variable. Si no se ingresa, algunos índices de la capacidad seguramente no serán calculados. LEI: Limite de Especificación Inferior, si lo hay. Selección: Selección de un subconjunto de los datos.

Al menos uno de los límites de especificación deberá ingresarse.

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Gráfico de la Capacidad La mejor pintura de los análisis desarrollados por este procedimiento se encuentra por el Gráfico de la Capacidad. Capacidad de Proceso para strength LIE = 200.0, Nominal = 250.0, LSE = 300.0

Normal Media=254.64 Desv. Est.=10.6823

24

frecuencia

20

Cp = 1.64 Pp = 1.56 Cpk = 1.49 Ppk = 1.42 K = 0.09

16 12 8 4 0 200

220

240 260 strength

280

300

El Gráfico de la Capacidad muestra: 1. Un Histograma de frecuencias para las muestra de los datos. 2. Líneas verticales largas en los límites de especificación y valor nominal. 3. Una función de densidad de probabilidad de como se ajusta a los datos. Por defecto, se ajusta una distribución normal, aunque esto se puede cambiar usando Opciones del Análisis. 4. Líneas verticales cortas en los perceptiles especificados de la distribución estimada. Por defecto, los perceptiles están posicionados para cubrir el 99.73% de la distribución ajustada, para una distribución normal se cubre un intervalo de 6 sigma centrada en la media muestral. Para un proceso “capaz”, los perceptiles estarán dentro de los límites de especificación.

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Opciones del Panel

•

Numero de Clases: El número de intervalos en los cuales los datos deberán dividirse. Los intervalos son adyacentes unos de otros con la misma anchura. El número de intervalos sobre los cuales los datos son agrupados por defecto es determinado por la regla especificada en la sección de EDA sobre la caja de dialogo de Preferencias desde el menú Edición.

•

Límite Inferior: Límite inferior para el primer intervalo.

•

Límite Superior: Límite superior para el último intervalo.

•

Mantener: Mantiene el numero de intervalos y límites seleccionados incluso si los datos fuente cambian. Por defecto, el número de clases y los límites son recalculados siempre que los datos cambien. Esto es necesario para presentar todas las observaciones incluso si alguno de los datos actualizados caen más allá de los límites originales.

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Resumen del Análisis El Resumen del Análisis resume la entrada de datos y presenta diferentes resultados importantes. Análisis de Capabilidad de Proceso(Individuales) - strength Datos/Variable: strength Transformación: ninguna Distribución: Normal tamaño de muestra = 100 media = 254.64 desv. est. = 10.6823 6.0 Límites Sigma +3.0 sigma = 286.687 media = 254.64 -3.0 sigma = 222.593

Especificaciones LSE = 300.0 Nominal = 250.0 LIE = 200.0 Total

Observados Fuera Especs. 0.000000% 0.000000% 0.000000%

Valor-Z 4.25 -0.43 -5.12

Estimados Fuera Especs. 0.001087%

Defectos Por Millón 10.87

0.000016% 0.001103%

0.16 11.03

•

Variables de los Datos – La columna o columnas que contienen los datos.

•

Transformación – Si una selección fue hecha en el campo Transformación de Datos sobre la caja de dialogo Opciones del Análisis, la manera en la cual los datos fueron transformados es resumida.

•

Distribución – La distribución asumida para los datos y la estimación o parámetros especificados-por-usuario. Por defecto, una distribución normal es asumida esto se cambia usando Opciones del Análisis. Las distribuciones son ajustadas usando la estimación por máxima verosimilitud (MLE) sobre los datos combinados de todos los subgrupos.

•

Límites Sigma – Para una distribución normal, esto presenta la media muestral más y menos un múltiplo de sigma Esto puede cambiarse usando Opciones del Análisis, el rango de valores cubren 6 veces la estimación de la desviación estándar, lo cual corresponde al 99.73% de una distribución normal. Si otra distribución en lugar de la normal es seleccionada, la salida muestra Límites Sigma Equivalentes cubriendo el mismo porcentaje de la población como límites de la normal. Por ejemplo, la salida cuando se ajusta una distribución Laplace es mostrada abajo: Equivalente 6.0 Límites Sigma 99.865 percentil = 301.488 mediana = 255.0 0.134996 percentile = 208.512

Note que los intervalos para la distribución Laplace son de 208.5 hasta 301.5, lo cual es considerablemente más ancho que el intervalo en una normal de 222.6 hasta 286.7. Esto es por que la distribución Laplace tiene considerablemente colas más largas. Un correcto análisis depende sobre las propiedades de la distribución seleccionada, lo cual es discutido en la sección sobre Comparaciones de Distribuciones Alternativas. © 2006 por StatPoint, Inc.

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 •

Especificaciones – Esta tabla muestra las especificaciones para los datos y varias estadísticas importantes: Observados arriba de Esp. – El porcentaje de la entrada de datos que esta más allá de los límites de especificación. Valor Z – Para una distribución normal, es la distancia de los límites de especificación a la media muestral, dividida por la desviación estándar muestral. Para distribuciones no normales, un equivalente al valor Z se presenta basándose sobre el porcentaje de la distribución ajustada más allá del límite de especificación. Consecuentemente, un valor Z de 3, corresponde a un limite de especificación que esta a 3 desviaciones estándar lejos de la media en el caso de una distribución normal, corresponde exactamente al 0.14% más allá del limite de especificación de la distribución que sea seleccionada. Estimados arriba de Esp. – El porcentaje de la distribución ajustada más allá de los límites de especificación. Esto estima el porcentaje de los productos no conforme que es producido. Defectos Por Millón – Los Estimados arriba de Esp., expresados en términos del número de artículos no conformes fuera de cada millón producidos.

Asumiendo una distribución normal para los esfuerzos de las botellas de cristal, se estima que 11 botellas estarán fuera de los límites de especificación por cada millón producido.

Opciones del Análisis

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•

•

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Distribución – La distribución asumida para los datos. Seleccione Comparación de Distribuciones Alternativas para comparar la prueba de bondad del ajuste para varias distribuciones. Incluir – El tipo de índices de capacidad para calcularse y presentarse sobre el Gráfico de Capacidad. Las opciones son: Largo plazo y corto plazo – Calcula ambos índices a corto y largo plazo. Solamente largo plazo (Etiquetado P) – Calcula solamente índices a largo plazo y lo etiqueta con la letra P, como en Ppk. Solamente largo plazo (Etiquetado C) – Calcula solamente índices a largo plazo y lo etiqueta con la letra C, como en Cpk. Solamente corto plazo – Calcula solamente índices a corto plazo. Son siempre etiquetados con la letra C, como en Cpk.

•

Transformación de los Datos – El tipo de transformación aplicada a los datos antes de ajustar la distribución seleccionada. A menudo, si la distribución normal no se ajusta adecuadamente a los datos, podemos ajustar alguna transformación a los datos. Las opciones son: Ninguno – Ajustar los datos originales. Logaritmo – Ajustar el logaritmo natural de los datos. Potenciar – Ajustar los datos después de aumentar cada valor a la potencia especificada. Box-Cox (Optimización) – Ajustar los datos después de aumentar cada valor a una potencia determinada usando el procedimiento Box-Cox. Observe que regularmente cuando se selecciona una transformación para el análisis, más gráficos y tablas desplegaran resultados en la métrica original (no los transformados.

•

Umbral Inferior – Para distribuciones definidas por un umbral inferior, el valor del límite inferior. Esta incluye todas las distribuciones que se indica el número de parámetros después de su nombre.

•

Límites Sigma – La amplitud sigma usada los límites en el gráfico sobre el Gráfico de Capacidad. Este valor generalmente se fija en 6.

•

Parámetros – Presione este botón para especificar los valores para los parámetros. Normalmente, los parámetros pueden estimarse de los datos. Sin embargo, esta opción permite fijar los valores de estos parámetros.

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Índices de Capacidad Los índices de capacidad resumen el desempeño de un proceso en comparación con los límites de especificación. Dependiendo sobre la selección de la caja de dialogo de Opciones del Panel, STATGRAPHICS puede calcular y presentar un numero grande de índices. Índices de Capabilidad para strength Especificaciones LSE = 300.0 Nom = 250.0 LIE = 200.0 Corto Plazo Capabilidad 10.1637 1.63982 60.9822 1.22987 4.46294 5.376 4.46294 1.48765 1.48765 1.792 1.63982

Largo Plazo Desempeño 10.6823 1.56021 64.0938 1.17016 4.24628 5.115 4.24628 1.41543 1.41543 1.705

Sigma Cp/Pp CR/PR CM/PM Zlse Zlie Zmin Cpk/Ppk Cpk/Ppk (superior) Cpk/Ppk (inferior) CCpk Cpm 1.4299 K 0.0928 % fuera de especs. 0.000408377 0.0011032 DPM 4.08377 11.032 Nivel de Calidad Sigma 5.96075 5.74292 Con base en límites 6.0 sigma. La sigma de corto plazo se estimó a partir del rango móvil promedio. El Nivel de Calidad Sigma incluye un drift de 1.5 sigma en la media.

La grafica anterior muestra dos columnas para los índices, una etiquetada “corto plazo” y la otra “largo plazo”. Los índices a corto plazo son calculado mirando en la variación dentro de subgrupos (si los datos son agrupados) o entre observaciones consecutivas (si los datos se recolectan individuales). Los índices a largo plazo son calculados mirando en la variación sobre el periodo completo de muestreo. Algunos análisis prefieren llamar a la variabilidad a corto plazo variabilidad “dentro” y a la variabilidad a largo plazo la variabilidad “total”. Nota: la capacidad a corto plazo solamente es estimado cuando los datos asumen provenir de una distribución normal. © 2006 por StatPoint, Inc.

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Los valores de la tabla de describen abajo. •

Sigma – La distinción clave entre los índices de corto plazo y largo plazo es el método utilizado para estimar σ, la desviación estándar del proceso. El termino sigma a largo plazo es estimado de la desviación estándar de la muestra del conjunto de datos completos. Esto puede incluir variación potencialmente causada por los cambios del proceso durante el periodo en el cual los datos fueron recolectados, también es una estimación larga que puede dar una señal de una variación inherente larga o un control del proceso pobre. La estimación del termino a corto plazo es obtenido de rangos móviles, el cuadrado medio de diferencias sucesivas, o desviaciones estándar de subgrupos, dependiendo sobre la configuración en la sección de Capacidad de la caja de dialogo Preferencias, accesible desde el menú Edición. Puesto que la estimación es tomada de observaciones juntas sobre el tiempo, esta es mucho menos influenciado por falta de control sobre el proceso. Sin embargo, no necesariamente puede representar el desempeño actual en el proceso.

•

Cp/Pp – Estos son índices de capacidad a dos-colas comparando la distancia entre los limites de especificación entre k-sigma: CP =

LES − LEI kσˆ

(1)

Nota: k es normalmente fijado en 6, aunque esto puede cambiarse usando Opciones del Panel. Muchas compañías requieren que el Cp por lo menos este en 1.33. •

CR/PR – La razón de capacidad, definida por: C R = 100

kσˆ % LES − LEI

(2)

Esta razón es el reciproco de Cp. •

CM/PM – El índice de capacidad de la maquina, definido por: CM =

LES − LEI 8σˆ

(3)

El denominador de este índice es fijado en 8-sigma. •

Z-LES – Un valor Z para el límite de especificación superior: Z LES =

LES − μˆ σˆ

(4) •

Z-LEI – Un valor Z para el límite de especificación inferior:

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Z LSL =

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006

μˆ − LSL σˆ

(5) •

Z-MIN – El mínimo de los valores Z calculados: Z MIN = min (Z LEI , Z LES )

(6)

Un valor Z de 4 corresponde a un Cpk de 1.33 si los datos provienen de una distribución normal. •

Cpk(superior) – Un índice de capacidad basado en una-cola sobre el límite de especificación superior: LES − μˆ (k / 2)σˆ

C PK (sup erior ) =

•

Cpk(inferior) – Un índice de capacidad basado en una-cola sobre el límite de especificación inferior: C PK ( i inf erior ) =

•

(7)

μˆ − LIE (k / 2)σˆ

(8)

Cpk – El mínimo de los dos índices de una-cola: C PK = min (C PK (sup erior ) , C PK (inf erior ) )

(9)

Nota: k/2 es normalmente fijado en 3, aunque esto puede cambiarse usando Opciones del Panel. Muchas compañías requieren que el Cpk por lo menos este en 1.33. •

CCpk – Una versión modificada de Cpk basándose sobre el valor objetivo o nominal T, en lugar de la estimación de la media del proceso: ⎛ LES − T T − LEI ⎞ ⎟⎟ CC PK = min⎜⎜ , ⎝ (k / 2)σˆ (k / 2)σˆ ⎠

(10)

Si el valor nominal no es especificado, entonces T será fijado en la mitad de los límites de especificación inferior y superior. •

Cpm – Una versión modificada de Cp mide la variación alrededor del valor objetivo o T en lugar de la estimación de la media del proceso: CP

C PM = 1+

(μˆ − T )

(11) 2

σˆ 2

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Cpm puede ser sustancialmente menor que Cp si el proceso es significativamente no centrado. •

K – Una medida de la distancia del valor objetivo a la estimación de la media del proceso, dividida entre la distancia de los límites de especificaciones: K=

μˆ − T

(12)

LES − LEI

•

% arriba de esp. – La estimación del porcentaje de la población más allá de los límites de especificación, basándose sobre el ajuste de la distribución.

•

DPM – La estimación de defectos por millón, basado sobre la estimación del % arriba de esp.

•

Nivel de Calidad Sigma – Un índice del nivel de calidad sigma para el desempeño del proceso como parte de un proceso Seis Sigma. Si solamente existe un límite de especificación, el NCL es igual al Z-MIN o (Z-MIN +1.5), dependiendo sobre la configuración del Cambio Sigma a 1.5 en la caja de dialogo de Opciones del Panel.

Para el esfuerzo de las botellas, note que ambos Cpk y Ppk son mayores a 1.33, lo cual normalmente podría considerarse como un desempeño aceptable. El valor de K = 0.09 indica que la estimación de la media del proceso excede el valor T por aproximadamente 9% de la distancia del valor objetivo al límite de especificación superior. STATGRAPHICS también calcula intervalos de confianza o límites para distintos índices de capacidad: Intervalos de confianza del 95.0% Intervalos de Confianza Índice Límite Inferior Límite Superior Cp 1.4116 1.86767 Pp 1.34307 1.77699 Cpk 1.27038 1.70492 Ppk 1.20773 1.62312 Cpm 1.23435 1.6251

Puesto que los índices son estadísticos calculados de los datos, hay un margen de error en su habilidad para estimar la verdadera capacidad del proceso. Para muestras pequeñas, este margen de error puede ser sustancial. Basándose en la tabla anterior, tenemos declarado una confianza del 95% de que el verdadero Cpk para el esfuerzo de las botellas se encuentre entre 1.27 y 1.70.

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Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 12

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Opciones del Panel

•

Desplegar – Seleccione el índice a desplegar. La selección sobre la caja de dialogo afecta a la tabulación de los índices así como al Gráfico de Capacidad. Para cambiar la selección por defecto, use la sección Capacidad sobre la caja de dialogo Preferencias accesible desde el menú Edición.

•

Límites de Confianza – El tipo de límites que serán desplegados para los índices de capacidad. Cualquiera de los dos tipo de intervalos de confianza a dos-colas o una-cola serán calculados.

•

Basado en – El múltiplo de sigma k usado para calculas los índices como Cp y Cpk. Este es generalmente fijado en 6.

•

Nivel de Confianza – El nivel de confianza determinado para los intervalos de confianza.

Preferencias La sección Capacidad en la caja de dialogo de Preferencias, accesible desde el menú Edición, configure varios defectos que afectan la manera en la cual el análisis de capacidad será desarrollado.

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006

•

Desplegar – Los índices desplegados por defecto en los procedimientos de análisis de capacidad.

•

Incluir – El tipo de índices de capacidad a ser calculados y como deberán de ser etiquetados. Las opciones son: Largo plazo y corto plazo – Calcula ambos índices a corto y largo plazo. Largo plazo solamente (Etiquetado P) – Solamente calcula índices a largo plazo y lo etiqueta con la letra P, como en Ppk. Largo plazo solamente (Etiquetado C) – Solamente calcula índices a largo plazo y lo etiqueta con la letra C, como en Cpk. Corto plazo solamente – Calcula solamente índices a corto plazo. Son siempre etiquetados con la letra C, como en Cpk.

•

Límites de Confianza – el tipo de límites a ser desplegados para los índices de capacidad.

•

Término Sigma a Corto – Datos Agrupados – El método usado para estimar la desviación estándar del proceso para datos agrupados. Las opciones son: Por Rango Promedio – Estima sigma por ponderaciones promedio de los rangos de subgrupos.

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Por Promedio s – Estima sigma por ponderaciones promedio de la desviaciones estándar de los subgrupos. Por s combinada – Estima sigma por el cuadrado medio del error dentro de subgrupos de un análisis de varianza. •

Término Sigma a Corto – Individuales – El método usado para estimar la desviación estándar del proceso para datos no agrupados. Las opciones son: Por Promedio MR – Estima sigma por el promedio de rangos móviles de observaciones consecutivas. Por Mediana MR – Estima sigma por la mediana de rangos móviles de observaciones consecutivas. Por Media SSD – Estima sigma por el cuadrado de diferencias (el cuadrado de diferencias entre observaciones consecutivas).

•

Aplicar corrección de sesgo para s – Si es activada, las correcciones son aplicadas para estimar σ removiendo cualquier sesgo. Las formulas afectadas incluyen las estimaciones de grupos basadas sobre el promedio y s combinada, y la estimación de individuos basada sobre la media SSD. Esta configuración también afecta la estimación de sigma a largo plazo.

•

Índices para Datos no Normales – Cuando construimos índices de capacidad para datos con distribuciones no normales, los controles del índice están basados en los valores Z o entre la distancia de los perceptiles. Si selecciona Usar Valor Z Correspondiente, entonces la relación entre los índices de capacidad y el porcentaje de la población a través de los límites de especificación es el mismo para todas las distribuciones. Si selecciona Usar Distancia Entre Perceptiles es seleccionado, entonces la definición de los índices de capacidad así como los cocientes de las distancias se conserva, pero un valor Z igual a 4 se compara para diferentes porcentajes de los artículos no conformes para diferentes distribuciones.

•

Límites Sigma para Graficar – Define la distancia entre los límites de tolerancia mostrados sobre el gráfico de capacidad.

•

Límites Sigma para Índices – Define el número de desviaciones estándar usando como denominador Cp e índices de capacidad relacionados. Este valor generalmente de fija en 6.

Prueba de Normalidad La estimación de la capacidad del proceso presentada anteriormente al altamente dependiente de la distribución asumida de las observaciones. Por defecto, se asume generalmente que los datos siguen una distribución normal. El panel Prueba para Normalidad desarrolla una o más pruebas para determinar cuando o no es razonable esta asunción. Para cada prueba, las hipótesis de interés son: • •

Hipótesis Nula: Los datos son muestras independientes de una distribución normal. Hipótesis Alternativa: Los datos no son muestras independientes de una distribución normal.

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Pruebas de Normalidad para strength Prueba Estadístico Estadístico W de Shapiro-Wilk 0.97781 Puntuación Z para asimetría 0.399024 Puntuación Z para curtosis 1.18663

Valor-P 0.416181 0.689872 0.235371

La prueba es ejecutada usando la selección de Opciones del Panel. Cada prueba es desplegada con la el estadístico de prueba asociado y el Valor-P. Un Valor-P pequeño (arriba de 0.05 si esta operando un nivel de significancia del 5%) rechaza la hipótesis nula y por lo tanto rechaza la distribución normal. En la tabla anterior, los valores P son aceptables arriba de 0.05, no existe significancia estadística de la no-normalidad de los datos. Para una descripción detallada de las pruebas, vea la documentación detallada de Ajustando una Distribución (Datos sin Censura). Opciones del Panel

Incluir – Seleccione las pruebas que serán incluidas a la salida. Los pruebas por defecto son definidas sobre la sección de Ajuste de Distribución de la caja de dialogo Preferencias accesible desde el menú Edición.

Gráfico de Probabilidad El Gráfico de Probabilidad es otro método por el cual podemos juzgar si o no la distribución actual seleccionado describe adecuadamente a los datos.

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Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 16

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Gráfica de Probabilidad

Normal Distribución

300 Media=254.64 Desv. Est.=10.6823 280

260

240

220 220

240

260 strength

280

300

El gráfico muestra los valores de los datos, ordenados de menor a mayor, graficado contra los perceptiles equivalentes de la distribución ajustada. Si el ajuste de la distribución es un modelo razonable para los datos, caerán aproximadamente a lo largo de una línea recta. Para el esfuerzo de las botellas, la distribución normal hace un trabajo razonable. Opciones del Panel

•

Dirección: El eje sobre el cual los perceptiles de la distribución ajustada será graficado.

•

Línea Estimada: Si Activa esta caja incluye una línea diagonal sobre el gráfico.

Comparación de Distribuciones Alternativas Si hubiera una razón para dudar la adecuación de la distribución normal, una distribución diferente puede ser seleccionada usando Opciones del Análisis. Para ayudarlo a determinar una alternativa razonable, el panel Comparación de Distribuciones Alternativas ajusta una variedad de diferentes distribuciones y las ordena de acuerdo al ajuste aceptable sobre los datos.

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STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Comparación de Distribuciones Alternas Distribución Parámetros Est. Laplace 2 Potenciación Exponencial 3 Logística 2 Loglogística 2 Normal 2 Gamma 2 Birnbaum-Saunders 2 Gaussiana Inversa 2 Lognormal 2 Weibull 2 Valor Extremo Inferior 2 Valor Extremo Superior 2 Exponencial 1 Pareto 1

Log Verosimilitud -375.493 -375.389 -377.021 -377.324 -378.253 -378.51 -378.695 -378.695 -378.694 -383.901 -385.804 -389.32 -653.985 -825.078

KS D 0.05 0.0546134 0.0821372 0.0854092 0.0989897 0.104262 0.107108 0.107111 0.107325 0.137322 0.145066 0.15057 0.586708 0.623869

A^2 0.246061 0.249058 0.440957 0.499323 0.788306 0.834605 0.872569 0.872599 0.88292 1.82599 2.17477 2.9171 42.309 45.212

La tabla muestra: • • • •

Distribución – El nombre de la distribución ajustada. Se pueden seleccionar distribuciones adicionales usando Opciones del Panel. Est. Parámetros – El número de parámetros estimados para esa distribución. Log Verosimilitud – El logaritmo natural de la función de verosimilitud. Valores grandes tienden a indicar la mejor distribución ajustada. KS D, A^2, y otros estadísticos – Valores de varios estadísticos para pruebas de bondad-del-ajuste, se selecciona usando el botón Pruebas sobre la caja de dialogo de Opciones del Panel. Los valores más pequeños tienden a indicar la mejor distribución ajustada.

Las distribuciones son ordenadas de la mejor a la peor de acuerdo a una columna de la prueba de bondad-del-ajuste. Esa columna es seleccionada usando el botón Pruebas sobre la caja de dialogo de Opciones del Panel. La tabla anterior muestra las distribuciones ordenadas de acuerdo al estadístico Anderson-Darling A2. De acuerdo a las estadísticas, la distribución Laplace tiene el mejor ajuste.

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Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 18

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Opciones del Panel

• • • • • • •

Alternativas: Seleccione las distribuciones que pueden ajustarse a los datos. Más Común – Presione este botón para seleccionar las distribuciones más comunes. Localización-Escala – Presione esta botón para seleccionar todas las distribuciones que están parametrizados por un parámetro de localización (como la media) y un parámetro de escala (tal como la desviación estándar). Umbral – Presione este botón para seleccionar todas las distribuciones que contengan un parámetro de umbral inferior. Todas – Presione este botón para seleccionar todas las distribuciones. Limpiar – Presione este botón para deseleccionar todas las distribuciones. Pruebas – Presione este botón para desplegar la caja de dialogo usando los estadísticos de bondad-del-ajuste:

•

Incluir – Seleccione el estadístico de bondad-del-ajuste para ser incluidos en la tabla. La lista incluye la función de verosimilitud y varias estadísticas presentadas sobre el panel de Bondad-del-Ajuste. © 2006 por StatPoint, Inc. Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 19

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 •

Ordenar por – Seleccione una de las estadísticas a usar para ordenar las distribuciones del mejor al peor.

Ejemplo – Ajustando una Distribución Laplace Es interesante examinar las diferencias de una distribución Laplace que se ajusta a los datos mejor que una distribución normal. Una distribución Laplace se enarbola en el centro y tiene colas relativamente largas. Capacidad de Proceso para strength LIE = 200.0, Nominal = 250.0, LSE = 300.0

Laplace Media=255.0 Escala=0.127226

25

frecuencia

20

Cp = 1.07 Pp = 1.04 Cpk = 1.01 Ppk = 0.98 K = 0.18

15 10 5 0 200

220

240

260 strength

280

300

320

Las líneas verticales ahora son colocadas en posiciones que cubren el 99.73% del centro de la distribución Laplace, en lugar de más y menos 3 sigma. Esto resulta ser un rango mucho más grande que antes. Pueden realizarse otras comparaciones interesantes entre las distribuciones como se muestra en la tabla: Distribución Normal DPM – A Largo Plazo 11.03 Ppk 1.415 Nivel de Calidad Sigma 5.74

Distribución Laplace 2088.47 0.981 4.36

Claramente, la estimación del desempeño del proceso es pesadamente dependiente sobre la distribución que se utiliza.

Prueba de Bondad-del-Ajuste Si alguna distribución a excepción de la normal se ajusta a los datos, la adecuación como un modelo a los datos deberá probarse usando la Prueba de Falta-de-Ajuste. Hasta 7 diferentes pruebas podrán desarrollarse. Para todas las pruebas, las hipótesis de interés son: © 2006 por StatPoint, Inc.

Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 20

• •

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Hipótesis Nula: Los datos son muestras independientes de la distribución especificada. Hipótesis Alternativa: Los datos no son muestras independientes de la distribución especificada.

Pruebas Bondad-de-Ajuste para strength Prueba de Kolmogorov-Smirnov Laplace Distribución DPLUS 0.0499018 DMINUS 0.05 DN 0.05 Valor-P 0.963945 Estadístico EDF Valor Forma Modificada Valor-P Anderson-Darling A^2 0.246061 0.246061 >=0.10 *Indica que el Valor-P se ha comparado con tablas de valores críticos especialmente construidas para ajustar la distribución actualmente seleccionada. Otros valores-P están basados en tablas generales y pueden ser muy conservadores.

Las pruebas deberán ejecutarse usando la selección de Opciones del Panel. Dos pruebas comunes se muestran abajo. En cado caso, si el Valor-P es grande (mayor o igual que 0.05 si esta operando a un nivel de significancia del 5%), entonces la distribución es un modelo razonable para los datos. Para una descripción más detallada de las pruebas, vea la documentación Ajustando una Distribución (Datos sin Censura). Opciones del Panel

•

Incluir: Seleccione una o más pruebas para desarrollar. Para la prueba Chi-Cuadrada, seleccione usar clases equiprobables para agrupar los datos en clases con la misma frecuencia esperada. Si esta opción no esta marcada, las clases serán creadas para emparejar el Gráfico de Capacidad.

•

Calcular Valor-P de Distribuciones Especificas – Si esta actividad, los valores P estarán basados sobre tablas o formulas específicamente desarrolladas para la distribución

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Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 21

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 inicialmente probada. De lo contrario, los valores p estarán basados en un tabla general o formula que se apliquen a todas las distribuciones. El enfoque general es más conservador (no se rechazara una distribución tan fácilmente) puede ser preferido cuando se comparan los valores P entre diferentes distribuciones.

Índices de Capacidad No-Normal Cuando la distribución normal no se ajusta a los datos es necesario encontrar una distribución alternativa, podemos calcular índices de capacidad diseñados específicamente para describir datos no normales. STATGRAPHICS calcula dos tipos de índices no normales: 1. Un índice llamado Cp(q) basándose sobre los cuantiles de una curva para emparejar el sesgo y la curtosis de los datos. 2. Un índice llamado Cpc que se basa en la distancia promedio absoluta de los valores de los datos con respecto al valor objetivo. Índices de Capabilidad No Normal para strength Curva Pearson Seleccionada Porcentaje Percentil Especificación 99.865 287.825 300.0 50 254.833 250.0 0.135 217.316 200.0 Índice Pp(q) Ppk(q) Ppk (superior)(q) Ppk (inferior)(q) K(q) Índice Cpc

Estimado 1.44544

Estimado 1.41825 1.36902 1.36902 1.46155 0.0966624 L.C. Inferior 95.0% 1.25357

L.C. Superior 95.0% 1.70666

NOTA: estos índices están basados en las distancias entre los límites equivalentes 6-sigma y corresponden al desempeño a largo plazo.

Los índices se calculan como sigue: •

Cp(q) – Para calcular este índice: 1. Calcular el sesgo y la curtosis de los datos. 2. Si el sesgo, es menor que -4, o si la curtosis es menor que -1.4 o mayor que 36.6, los índices no serán calculados. De lo contrario, una curva de Pearson será seleccionada para emparejar el sesgo y la curtosis muestral. 3. Estimación del perceptil 0.135, la mediana, y el perceptil 99.865 obtenidos de la Curva de Pearson seleccionada. 4. Los índices de capacidad que son calculadas de la manera usual, excepto que la distancia entre los perceptiles reemplazan la anchura de 6σ usual de la dispersión de una distribución normal. Observe el efecto sobre diversos índices comunes:

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Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 22

Asumiendo Normalidad 1.56 1.42 0.093

Pp Ppk K

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Usando el enfoque Cp(q) 1.42 1.37 0.097

La capacidad estimada es un poco peor que con los índices estándar, que esta en línea con las colas ligeramente largas. Sin embargo, el efecto no es tan dramático si una distribución Laplace fuera seleccionada. •

Cpc – Para calcular este índice, asignamos: USL − LSL

C PC =

n

k

π 2

∑x i =1

i

(13)

−T

n

donde k es comúnmente fijado en 6. Una propiedad interesante de este estadístico es que esta basado sobre la distancia promedio absoluta de las observaciones con su valor objetivo T.

Gráfico de Tolerancia El grafico de tolerancia grafica los datos por filas en orden con líneas horizontales indicando el valor objetivo y los límites de especificación. Carta de Tolerancia 300.00

300

strength

280 260 250.00 240 220 200.00

200 0

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20

40 60 Observación

80

100

Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 23

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Opciones del Panel

•

Lugares Decimales para los Límites – Número de lugares decimales para desplegar los valores a la derecha del gráfico.

•

Color de Zona: Activar esta caja para desplegar las zonas verde, amarillo y rojo.

Límites de Tolerancia Normal Si los datos indican que los límites de especificación no son conocidos, será interesante responder como puedo conocer esos límites. Un enfoque para establecer nuevos límites es calcular los Límites de Tolerancia Normal. Los límites de tolerancia normal se encuentran en un rango de valores para X con una confianza del 100(1-α)% para un porcentaje de la población P sobre el cual los datos muestrales consiguen caer dentro de ese rango. Asumiendo que los datos siguen una distribución normal, los limites de tolerancia a dos-colas pueden calcularse tomando la media muestral mas y menos un múltiplo de la desviación estándar, de acuerdo a x ± Ks

(14)

El factor K depende sobre el tamaño de muestral n, el nivel de confianza (1-α), y la especificación del porcentaje P. Límites de Tolerancia Normal para strength Distribución Normal Tamaño de muestra = 100 Media = 254.64 Sigma = 10.6823 Especificaciones LSE = 300.0 Nom = 250.0 LIE = 200.0 Limites de tolerancia del 95.0% intervalo de tolerancia para 99.99% de la población Xbarra +/- 4.43186 sigma Superior: 301.982 Inferior: 207.298

Por ejemplo, la tabla anterior declara que con una confianza del 95% el 99% de todas las botellas producidas pueden tener un esfuerzo a la ruptura entre 207 y 301. Consecuentemente, estableciendo especificaciones basadas en estos límites encontraremos una tasa de defectos no mayor a una 1 botella fuera por cada 100,000.

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Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 24

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Es importante notar que en el intervalo anterior no es simplemente el intervalo bajo la curva normal ajustada conteniendo en un área del 99.99%. Es más amplio que este puesto que permite la variabilidad del muestreo en ambos sobre la media y la desviación estándar. Opciones del Panel

•

Nivel de Confianza – Especifica el nivel de confianza para los límites de tolerancia, e.j., 100(1-α)%.

•

Proporción Poblacional – Especifica el porcentaje de la población P que obliga a los límites de tolerancia.

Limites para Distribución-Libre Los valores k-ésimo más pequeño y mas grande sobre una muestra de los datos puede usarse para construir límites de tolerancia para la población de la cual provienen los datos sin que se asuma alguna distribución especifica. Los límites de tolerancia resultantes se encuentran en un rango de valores para X con una confianza del 100(1-α)% por lo menos para un porcentaje de la población P sobre el cual los datos muéstrales consiguen caer dentro de ese rango .El intervalo puede ser absolutamente conservador, con el actual porcentaje siendo muchos más grande que los indicado. Límites de Tolerancia de Distribución Libre para strength Resumen de Datos Recuento = 100 Máximo = 282.0 Mediana = 255.0 Mínimo = 225.0 Especificaciones LSE = 300.0 Nom = 250.0 LIE = 200.0 Limites de tolerancia del 95.0% intervalo de tolerancia para 95.3433% de la población Superior: 282.0 Inferior: 225.0 (Basados en una profundidad de intervalo = 1)

Por ejemplo, la tabla anterior toma los valores más extremos del esfuerzo e indica que con una confianza del 95% por lo menos el 95.3433% de todas las botellas tendrían esfuerzo a la ruptura entre 225 psi y 282 psi. © 2006 por StatPoint, Inc.

Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 25

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 En este procedimiento, se puede seleccionar Opciones del Panel para cambiar el nivel de confianza 100(1-α) o el porcentaje de la población P, pero no ambos.

Opciones del Panel

•

Entrada – Especifica cambiar el nivel de confianza para el intervalo 100(1-α) o el porcentaje de la población P.

•

Profundidad del Intervalo – Específica el valor k utilizado para seleccionar las estadísticas de orden sobre las cuales se basan los límites. En la creación del intervalo, el procedimiento usa los valores k-ésimo más pequeño y más grande.

Gráfico X o X-barra Un grafico X estándar es creado si los datos son individuos, mientras un grafico X-Barra es creado para datos agrupados. Carta X 300 285.13 strength

280

260 254.64 240 224.15

220 0

20

40 60 Observación

80

100

Los puntos fuera-de-control serán señalados por una señal roja, así como las violaciones de las reglas de corridas si en las preferencias de Gráficos Control están incluidas las violaciones a las © 2006 por StatPoint, Inc. Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 26

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 reglas sobre los gráficos de control. Cualquier señal de fuera-de-control debe ser evaluada cuidadosamente puesto que puede impactar en la estimación de la capacidad del proceso. Opciones del Panel

•

Lugares Decimales para los Límites – Número de lugares decimales para desplegar los valores a la derecha del gráfico.

•

Color de Zona: Activar esta caja para desplegar las zonas verde, amarillo y rojo.

Gráfico MR(2) o R Un gráfico MR(2) es creado si los datos son individuos, mientras que un gráfico R será creado para los datos agrupados. Carta de Rangos 50

MR(2)

40

37.46

30 20 11.46

10 0

0.00 0

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20

40 60 Observación

80

100

Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 27

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Opciones del Panel

•

Lugares Decimales para los Límites – Número de lugares decimales para desplegar los valores a la derecha del gráfico.

•

Color de Zona: Activar esta caja para desplegar las zonas verde, amarillo y rojo.

Cálculos Sigma a Largo Plazo Sin ninguna corrección al sesgo: n

σˆ =

∑ (x i =1

i

− x)

2

(15)

n −1

Con corrección del sesgo: n

∑ (x i =1

σˆ =

i

− x)

2

n −1 c 4 (n)

(16)

Sigma Corto Plazo – Individuales Del promedio MR: σˆ =

R d 2 ( 2)

(17)

De la mediana MR: ~ R σˆ = d 4 ( 2)

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(18)

Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 28

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 De la media SSD sin corrección del sesgo: n

σˆ =

∑ (x

1

i=2

i

− x i −1 )

2

(19)

n −1

2

De la media SSD con corrección del sesgo: n

∑ (x

1

i =2

− x i −1 )

2

n −1 c ′4 (n)

2

σˆ =

i

(20)

Sigma Corto Plazo – Datos Agrupados Del rango promedio: ⎛ f jRj ⎞

k

σˆ =

∑ ⎜⎜ d (n )⎟⎟ ⎝ ⎠ j =1

2

j

(21)

k

∑f j =1

j

donde fi =

d 22 (n j )

(22)

d 32 (n j )

Del promedio s sin corrección del sesgo: k

σˆ =

∑n j =1

j

sj

(23)

k

∑n

j

j =1

Del promedio s con corrección del sesgo: ⎛ f jsj ⎞

k

σˆ =

∑ ⎜⎜ c (n )⎟⎟ ⎝ ⎠ j =1

j

4

(24)

k

∑h j =1

j

donde hj =

c 42 (n j )

1 − c 42 (n j )

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(25)

Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 29

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006

De la s combinada sin corrección del sesgo:

∑ (n k

σˆ =

j =1

j

∑ (n

− 1)s 2j

j =1

(26)

− 1)

k

j

De la s combinada con corrección del sesgo:

∑ (n k

σˆ =

j =1

j

− 1)s 2j

(27)

c 4 (d )∑ (n j − 1) m

j =1

donde d = 1 + ∑ (n j − 1) k

(28)

j =1

Intervalos de Confianza para Cp

χ 12−α / 2, n −1 χ α2 / 2, n −1 Cˆ P ≤ C P ≤ Cˆ P n −1 n −1

(29)

Intervalos de Confianza para Cpk ⎡ ⎡ 1 1 ⎤ 1 1 ⎤ ˆ ⎢1 + Z + ≤ ≤ + C C Cˆ PK ⎢1 − Z α / 2 ⎥ ⎥ / 2 PK PK α 2 2 2(n − 1) ⎥⎦ 2(n − 1) ⎥⎦ 9nCˆ PK 9nCˆ PK ⎢⎣ ⎢⎣

(30)

Intervalos de Confianza para Cpc Cˆ PC

[ ( )]

1 + t α / 2, n −1 s C / c n

≤ C PC ≤

Cˆ PC

[ ( )]

1 − t α / 2, n −1 s C / c n

(31)

donde n

c=

∑x i =1

i

n

−T

n , s C2 = 1 ⎛⎜ ∑ x i − T 2 − nc 2 ⎞⎟

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n − 1 ⎝ i =1

⎠

(32)

Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 30

STATGRAPHICS – Rev. 9/14/2006 Intervalos de Confianza para Cpm Cˆ PM

χ 12−α / 2,ν ≤ C PM ≤ Cˆ PM ν

χ α2 / 2,ν

(33)

v

donde

(n + λ )2 , ν= n + 2λ

⎛ μˆ − T ⎞ λ = n⎜ ⎟ ⎝ σˆ ⎠

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2

(34)

Análisis de la Capacidad (Datos por Variables) - 31