FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES IDEA INTUITIVA: Hasta el momento hemos trabajado con función de una sola variable, es decir, que van de R a R. Ahora vamos a trabajar con funciones escalares, que reciben un vector de Rn y devuelven un valor de R, y con funciones vectoriales que reciben un vector de Rn y devuelven uno de Rm. La dificultad de estas funciones reside en que no tienen representación gráfica posible, a excepción de las funciones de R2 en R, que se pueden representar como superficies tridimensionales. Además, los cálculos de límites se complican mucho llegando a ser imposibles. Por ello nos ocuparemos casi siempre de las más sencillas de este tipo de funciones, aunque toda la teoría se referirá a funciones de n variables. CONCEPTOS BÁSICOS: DEFINICIÓN: Sea una aplicación que a cada le asigna . Entonces es una función escalar de varias variables.

NOTACIÓN: En el caso de que n=2, haremos:

Y en el caso de que n=3

DEFINICIÓN: Sea . Llamamos DOMINIO de la función al conjunto de puntos de en el que está definida Ejemplo:

OBSERVACIÓN: Sea . Llamamos GRÁFICA de al conjunto . A dicha gráfica la llamaremos superficie: Ejemplo: 1

Llamamos CURVAS DE NIVEL a los puntos de la forma . Son los puntos obtenidos al intersercar la superficie generada por con un plano z=cte, y proyectarla en el plano. OBSERVACIÓN: Sea . Llamamos SUPERFICIES DE NIVEL de a los conjuntos de la forma conjunto . DEFINICIÓN: Sea una aplicación que a cada le asigna un vector . Entonces es una función vectorial de varias variables.

Y a las se las llama funciones coordenadas. Ejemplo:

DEFINICIÓN: Sea . Llamamos DOMINIO de la función a la intersección de los dominios de las funciones coordenadas de . 2

LÍMITES: DEFINICIÓN: Sea y un punto de acumulación de . Entonces se dcice que:

si:

Graficamente podemos verlo así: Siempre existe un tal que las imágenes de la parte de la bola de centro y radio que pertenece a pertenecen a una bola de radio con centro en .

Ejemplo: Demostrar que

como

Con lo que queda comprobado. DEFINICIÓN: Decimos que el límite de es infinito si: 3

Es decir, si por mucho que nos acerquemos a , la distancia de la función al cero es muy grande. DEFINICIÓN: Si es un contorno de es, llamamos ENTORNO PERFORADO de a PROPIEDADES: • Si tiene límite en , este es único. • Si tienen límites en respectivamente, entonces:

• Si tienen límites en respectivamente, entonces:

• Si además en un entorno perforado de y , entonces:

OBSERVACIÓN: El principal problema que nos encontramos a al hora de calcular límites es como acercarnos al punto. Hay muchas maneras(por rectas, parabolas, cubicas, etc). Pero como el límite ha de ser siempre el mismo, podemos asegurar que no existe si el límite nos da diferente para varios modos de acercarse. El caso más sencillo a probar es acercarse al origen por una recta de pendiente m. Ejemplo:

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Nos acercamos por una trayectoria recta:

El límite depende de la pendiente, luego el límite no existe. Sin embargo, el hecho de que por un tipo de trayectorias el límite sea el mismo no indica que el límite exista; solo dice que si existiera debería ser ese. Ejemplo:

Si tuviera límite, debería ser cero. Si probamos ahora con otro tipo de trayectorias, como por ejemplo:

Luego el límite no existe. PROPOSICIÓN: Sea , y sea , Entonces

TEOREMA(Del Sandwich): Supongamos que tenemos , y sea un punto de acumulación de . Si existe un entorno de tal que y se verifica que:

Entonces: 5

Ejemplo:

OBSERVACIÓN: Otro metodo de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy comodo. Ejemplo: 1)

Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite. 2)

Por el teorema del Sandwich

CONTINUIDAD: DEFINICIÓN: Decimos que es continua en , punto de acumulación de , si: 1) Existe 6

2) Existe y es finito 3) PROPIEDADES: • Si son continuas en , entonces es continua en • Si son continuas en , entonces es continua en • Si además , entonces es continua en PROPOSICIÓN: es continua en si y solo si son continuas en para DIFERENCIABILIDAD:

IDEA INTUITIVA: Queremos aplicar el concepto de derivada y pendiente que estudiamos en una variable a varias variables. La idea básica consiste en coger un vector y ver que pasa en la función según nos movemos en la recta dada por el punto que queremos estudiar y el vector, cuando el módulo del vector tiende a cero. Es decir, lo que hacemos es convertir la función a una variable, cortándola por el plano vertical que pasa por la recta ya mencionada. DEFINICIÓN: Sea 7

, , punto interior de ,y . Entonces llamamos derivada de según el vector a:

OBSERVACIÓN: Si , entonces:

Demostración:

NOTACIÓN: Sea . Entonces definimos la norma de cómo:

DEFINICIÓN: Llamaremos derivada direccional de según una dirección definida por a la derivada según el vector :

Ejemplo:

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Existen todas las derivadas direccionales de , pero no es continua en (0,0) Si hacemos

Luego el límite no existe y la función no es continua. OBSERVACIÓN: Si , entonces:

DEFINICIÓN: Sea , , punto interior de . Entonces llamamos derivada parcial respecto de a la derivada direccional de según el vector de la base canónica de . Lo representamos de la siguiente manera:

Ejemplo:

DEFINICIÓN: Sea , abierto. Entonces se dice que es diferenciable en si existe una aplicación lineal , que llamaremos diferencial de en , tal que: 9

Pedimos que el numerador, que es el error que cometemos al aproximar , sea una `o pequeña' de , de tal manera que tiende más rapidamente a 0 que . Es decir, pedimos que el error tienda a cero. OBSERVACIÓN: Debido al carácter vectorial de las funciones de varias variables, podemos tratarlas en un plano algebraico, y aplicar en ellas todo lo que sabemos acerca de representación matricial de homomorfismos Ejemplo:

¿Existe ?

Acercándonos por h=0:

Y por k=0

Luego la función no es diferenciable IDEA INTUITIVA: Veamos una interpretación geométrica de la diferencial, para el caso de n=2.

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Sea (pequeño), y diferenciable en , para ciertos y . Entonces

Puedo hacer igual a la función en más el plano en un punto (x,y) tangente en , más un error pequeño. Por tanto, si se cumplen las condiciones anteriores, llamamos plano tangente a una superficie en el punto al plano PROPIEDADES: 1) Si es diferenciable en , entonces la diferencial es única. 2) es diferenciable en si y solo si es diferenciable en . Además la diferencial es:

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3) Si son diferenciables en , entonces , , son diferenciables en , y se verifica: • • • PROPOSICIÓN: Sea . Si es diferenciable en , entonces existe , y además Demostración:

OBSERVACIÓN: Sea ,y . Entonces:

DEFINICIÓN: Sea . Entonces llamamos VECTOR GRADIENTE de en a:

OBSERVACIÓN: • Si es diferenciable en 12

, entonces • (Si es unitario)= . Dicha expresión es máxima cuando tienen la dirección del gradiente. Como el gradiente nos da el crecimiento de la función, deducimos que el vector gradiente tiene la dirección de máximo crecimiento de la función. PROPOSICIÓN: Una función derivable direccionalmente puede no ser diferenciable. Ejemplo:

Está función es derivable direccionalmente, pero no es diferenciable. Estudiando la diferencial por la definición:

Luego si fuera diferenciable, su difernecial sería cero

Luego la función no es diferenciable. DEFINICIÓN: Sea diferenciable en . Entonces a la matriz asociada a la aplicación en las bases canónicas de y se le llama MATRIZ JACOBIANA de en , y se denota

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OBSERVACIÓN: Estudiemos como es la matriz. Si , tomamos . Las coordenadas de su imagen son la primera columna de la matriz:

Ejemplo: Calcular la matriz jacobiana de la siguiente aplicación: Sea y

PROPOSICIÓN: Si es diferenciable en , entonces es continua en Demostración: La haremos para Hay que demostrar que:

Como es diferenciable en

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DEFINICIÓN: Sea , abierto. Decimos que es de clase en si todas las derivadas parciales de están definidas en un entorno de y además son continuas en . Por consiguiente es de clase en si lo es en todos los puntos de TEOREMA: Si es de clase en , entonces es diferenciable en OBSERVACIÓN: En general, el recíproco no es cierto. TEOREMA(Regla de la cadena): Sea ,y , tal que . Si es diferenciable en y es diferenciable en , entonces es diferenciable, y además:

OBSERVACIÓN: Por tanto Ejemplo:

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DEFINICIÓN: Sea . Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de , entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada el,número total de veces que hemos derivado. NOTACIÓN:

.. Además, para simplificar:

Ejemplo:

TEOREMA(Schwarz): Sea , abierto, y . Si existen ,

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, en un entorno de y es continua en , entonces existe y además : : Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior. DEFINICIÓN: Decimos que una función es de clase en si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en . Analogamente decimos que una función es de clase en si lo es en tofos los puntos de DEFINICIÓN: Si es de clase en , llamamos diferencial segunda de en a:

OBSERVACIÓN: • La diferencial segunda es una forma bilineal. • La diferencial segunda se puede representar matricialmente:

A dicha matriz se la llama MATRIZ HESSIANA o HESSIANO de Por ser de clase , se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica. • Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática 17

asociada. La podemos asimilar simbolicamente a una binomio:

En general:

Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar. Ejemplo:

DEFINICIÓN: Si es de clase en , llamamos diferencial de orden en a:

Igualmente se puede expresar la diferencial de orden en como un binomio a la DEFINICIÓN: Sea . abierto, y de clase en . Entonces se define en POLINOMIO DE TAYLOR de orden

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de en como:

y el RESTO DE TAYLOR de orden como:

TEOREMA(Taylor): Sea . abierto, y de clase en ,y , tales que el segmento de extremos está incluido en . Entonces existe tal que:

por tanto:

OBSERVACIÓN: Si hacemos , entonces:

APLICACIONES: PROPOSICIÓN: 1)Sea entonces es perpendicular a la curva ( ) o superficie ( ) de nivel que pasa por 19

. Demostración: Sea una superficie de nivel de , tal que

y sea una curva , tal que y Si componemos con

(Por ser )

Como es genérica, es perpendicular a toda curva de , y por tanto es perpendicular a . • Si es diferenciable en , entonces el plano tangente a la gráfica de en el punto es:

Ejemplo: Calcular el plano tangente a en

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DEFINICIÓN: Sea ,y punto interior de . Entonces: • alcanza un máximo relativo en si existe , entorno de , tal que • alcanza un mínimo relativo en si existe , entorno de , tal que • alcanza un máximo absoluto en si • alcanza un mínimo absoluto en si

Diremos que alcanza un extremo relativo en si alcanza un máximo o un mínimo relativo, y que alcanza un extremo absoluto en si alcanza un máximo o un mínimo absoluto. TEOREMA: Si es continua en ,y es un conjunto compacto de , entonces alcanza un máximo y un mínimo absolutos en .

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TEOREMA(Condición necesaria): Sea ,y punto interior de . Si es diferenciable en y alcanza un extremo relativo en , entonces OBSERVACIÓN: Los puntos en los que es diferenciable y se verifica se llaman puntos estacionarios de la función. Por tanto el teorema anterior asegura que los extremos relativos son puntos estacionarios. OBSERVACIÓN: Para estudiar si una función tienen máximos o mínimos, la definición antes dada no es nada práctica. Necesitamos la diferencial segunda para estudiar como es la función. Para trabajar con la diferencial segunda, usaremos la forma cuadrática. DEFINICIÓN: Sea una forma cuadrática no nula: • Se dice que es definida positiva si • Se dice que es definida negativa si • Se dice que es semidefinida positiva si y no es definida positiva • Se dice que es semidefinida negativa si y no es definida negativa • Se dice que es indefinida en el resto de los casos, es decir, si existen , tales que TEOREMA(Condición suficiente): Sea , abierto, y supongamos que es de clase en . Sea un punto estacionario de

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, es decir, tal que . Entonces: • Si es definida positiva, entonces alcanza en un mínimo relativo. • Si es definida negativa, entonces alcanza en un máximo relativo. • Si es indefinida, entonces no alcanza en un extremo relativo. OBSERVACIÓN: • Si es semidefinida(positiva o negativa), el teorema anterior no da ninguna información. • A los puntos estacionarios para los que es indefinida se les llama puntos de silla de DEFINICIÓN: Llamamos RANGO de una forma cuadrática al rango de su matriz asociada y SIGNATURA al número de autovalores positivos que posee(contando multiplicidad). OBSERVACIÓN: Como la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica, siempre tiene autovalores reales(contando multiplicidad), por lo que el rango de la forma cuadrática es igual al número de autovalores diferentes de cero(contando multiplicidad) TEOREMA: Sea una forma cuadrática. Entonces: •

•

•

•

es definida positiva si y solo si y . es definida positiva si y solo si y . es semidefinida positiva si y solo si . es semidefinida positiva si y solo si y . 23

TEOREMA(Criterio de Sylvester): Sea el determinante de orden formado por los elementos de las primeras filas y las primeras columnas de la matriz asociada a . Entonces: • es definida positiva si y solo si •

. es definida negativa si y solo si .

OBSERVACIÓN: En nuestro caso esto lo aplicaremos al hessiano de la función, ya que por ser la diferencial segunda, su matriz es una forma cuadrática. DEFINICIÓN: Sea y (ligadura). Sea también , y sea . Entonces se dice que tiene en un extremo relativo condicionado por la ligadura si existe un entorno de tal que se verifica: •

•

. Entonces es un máximo relativo condicionado por .

. Entonces es un mínimo relativo condicionado por . OBSERVACIÓN: Lo de condicionado significa que estudiamos la función en el dominio limitado por la superficie , dada por una función que llamaremos ligadura. TEOREMA(Condición necesaria): Sea y , abierto, y

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y de clase en . Sea también , y supongamos que y que el rango de sea (Los vectores gradiente son independientes). Si la función tiene un extremo relativo en condicionado por la ligadura , entonces existen tales que la función (Función de Lagrange o lagrangiano ) verifica que (Tiene un punto estacionario en ) Ejemplo: Hallar los extremos de condicionados por

Es facil darse cuenta que es una elipse dada por la intersección de un cilindro vertical con un plano oblicuo.

Construimos el lagrangiano

Como sabemos que : , y por ser , nos queda que

Y además

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Tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos los extremos relativos OBSERVACIÓN: A menudo es muy difícil la resolución de los sistemas de ecuaciones, al no ser estos lineales. TEOREMA(Condición suficiente): Además de verificarse el teorema anterior, ahora pedimos que y sean de clase en . Consideramos entonces la forma cuadrática Entonces : • Si es definida positiva, entonces es un mínimo relativo de condicionado por • Si es definida negativa, entonces es un máximo relativo de condicionado por • Si es indefinida, entonces no es un extremo relativo. CÁLCULO(Busqueda de extremos absolutos en compactos): Si , compacto, sabemos que tiene máximo y mínimo absolutos en . Dichos extremos pueden ser del interior de , y por tanto están en los puntos estacionarios, o pertenecer a la frontera de . Para encontrarlos buscaremos los puntos estacionarios del lagrangiano y evaluaremos en dichos puntos. Vease Topología Usual en Véase Formas Bilineales y Sesquilineales en Álgebra 15

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