Introducción a las funciones de varias variables

Funciones de varias variables. Definición. Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma y = f (x) , f :D ⊂

→

Estas funciones recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que su valor y dependía de una sola variable x. En este apartado se estudian funciones cuyo valor depende de más de una variable. Estas funciones reciben el nombre global de funciones de varias variables o funciones de variable vectorial. Algunos ejemplos de las mismas son:

EJEMPLO:

f ( x, y ) = 3 x 3 + xy + sen (2 x + 7 y 2 ) ; g ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 3 x2 + x1 x2 + 5 ln ( x1 + x2 + x3 ) son funciones reales de dos y tres variables respectivamente.

f ( x, y ) = (3 x 2 + xy 3 ,3 x + 2 y, x + y + 1) ; g ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 + 3x2 , x1 x2 , cos ( x1x3 ),2 y − xy 3 ) también son funciones de varias variables pero aquí el resultado de la función es un vector por eso se llaman funciones vectoriales de variable vectorial.

Para determinar completamente esta idea e función de varias variables se da la siguiente: Definición: Se denomina función de varias variables con dominio de definición D ⊂ con n > 1 entero y m entero, a cualquier aplicación de la forma:
f :D ⊂ n → m

n

,

NOTAS: 1.- Estas funciones también se denominan funciones de variable vectorial donde:

-

n

es el conjunto inicial.

-

m

es el conjunto final.

- D ⊂ n es el dominio de la función.
- f (D) ⊂ m es el recorrido de la función. 2.- Cuando m = 1 la función se llama función real de variable vectorial o, de forma más breve, campo escalar (esta nomenclatura se utiliza sobre todo en física). 3.- Cuando m > 1 la función recibe el nombre de función vectorial de variable vectorial o campo vectorial. El valor
m se denomina dimensión de la función. En ese caso la función se representa por el símbolo f (esto es se pone una flechita sobre la letra que le da nombre).

EJEMPLO: En el ejemplo anterior se han presentado: f ( x, y ) un campo escalar de dos variables.

g ( x1, x2 , x3 ) un campo escalar de tres variables.

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f ( x, y ) un campo vectorial de dos variables y dimensión dos.
g ( x1, x2 , x3 ) un campo vectorial de tres variables y dimensión cuatro. Existen situaciones del mundo real que se estudian mediante funciones de este tipo. Así, la función que a cada punto ( x, y, z ) de una habitación con calefacción le hace corresponder su temperatura es un campo escalar de tres variables. Y la función que a cada punto ( x, y, z ) de una sala ventilada le hace corresponder un vector que representa la velocidad del aire (en magnitud y dirección) en dicho punto es un campo vectorial de dimensión tres y tres variables.

de

n

4.- Cuando no se especifica el domino de definición D se entiende que el mayor subconjunto para el que la función tenga sentido.

5.- Para completar todas las posibilidades hay que
hablar de lasm funciones vectoriales de . En general representan variable real que se ajustan a un esquema de la forma: f : D ⊂ → curvas en un espacio de dos o más dimensiones. 6.- Formas de expresión: en este apartado se estudiarán, sobre todo, campos escalares de dos o tres variables. Estas funciones suelen venir expresadas de dos formas: 6.1.- Forma explícita donde la función se presenta del modo expuesto anteriormente: f ( x, y ) = 3 x 3 + xy + sen (2 x + 7 y 2 ) , que a veces se suele expresar de la forma f ( x, y ) = z con z = 3 x 3 + xy + sen (2 x + 7 y 2 )

g ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 3 x2 + x1 x2 + 5 ln ( x1 + x2 + x3 ) , que también se expresa como g ( x1 , x2 , x3 ) = w con w = x1 + 3 x2 + x1 x2 + 5 ln ( x1 + x2 + x3 ) 6.2. Forma implícita, donde el valor de la función z se presenta por medio de una ecuación con sus variables (en la que en ocasiones no es posible despejar dicho valor). Por ejemplo: f ( x, y ) = z con xy 2 z + ln( x + yx) − cos( x 3 y 2 z 4 ) − 3 = 0

El estudio da campos escalares de dimensiones superiores es análogo a estos. En el caso de campos vectoriales, se hace por componentes (cada una de las cuales es un campo escalar).

Estudio sin derivar. Cuando se estudian estas funciones, como en el caso general de cualquier tipo de función, en primer lugar hay que centrarse en las informaciones que se pueden obtener de la simple definición de la función. Luego se profundiza este estudio con su derivación y su integración.

Dominio de definición. En este caso se trata de determinar los puntos del conjunto sentido:

EJEMPLO: Ver el ejercicio 1 de la hoja de problemas.

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n

para los que la función tiene

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Representación gráfica. La representación gráfica estas funciones aporta mucha información sobre las mismas. Sin embargo sólo es posible en algunos casos de dimensión pequeña. Se han ideado muchas tipos diferentes de representación pero aquí sólo se ven algunas de las más sencillas. Para campos escalares de dos variables.

Curvas de nivel. Dado el campo escalar f :D ⊂ 2 → de puntos ( x, y ) ∈ D, tales que f ( x, y ) = e .

se define la curva de nivel de valor e al conjunto

NOTAS: 1.- Las curvas de nivel son líneas que están en el dominio de definición D, esto es en el plano 2 .

EJEMPLO 1: Sea la función f ( x, y ) = 1 − x − y , hallar las curvas de nivel de valor 1, -2 y 5. 2 que cumplen la Cuando e = 1 la curva de nivel está formada por los puntos de condición 1 − x − y = 1 . Estos puntos forman una recta de ecuación y = − x . La representación gráfica de esta recta es:

El resto de las curvas de nivel son 1 − x − y = −2 y 1 − x − y = 5 . Que corresponden, respectivamente, a las rectas: y = − x + 3 e y = − x − 4 . La representación gráfica de todas ellas es:

En general, para esta función, la curva de nivel de valor e tiene por ecuación 1 − x − y = e y corresponde a la recta y = − x + 1 − e . EJEMPLO 2.- Sea el campo escalar dado por z = x 2 + 3 y 2 . Hallar las curvas de nivel de valor e =1,2 y 3. En este caso se debe destacar que, por la naturaleza de esta función, no existen curvas

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Introducción a las funciones de varias variables de nivel de valor negativo. 2 Para e =1 la curva de nivel está formada por los puntos de que satisfacen la 2 2 condición x + 3 y = 1 . Estos puntos corresponden a una elipse, centrada en el origen y con semiejes 1 y 1 / 3 = 0.57735 . La representación gráfica de esta curva de nivel es:

Las demás curvas de nivel son también elipses cuyos semiejes van creciendo a medida que aumenta el valor e. Así las tres curvas de nivel para los valores e =1, 2 y 3 se representan en la siguiente gráfica.

Gráfica de la función. 3 La gráfica del campo escalar f ( x, y ) = z está formada por los puntos de de la forma ( x, y, f ( x, y )) , cuando el punto ( x, y ) pertenece al dominio de definición. En general, si se dan las condiciones de regularidad suficiente dichos puntos forman una superficie.

EJEMPLO: La gráfica de la función f ( x, y ) = 1 − x − y está formada por los puntos ( x, y, z ) que satisfacen la condición z = 1 − x − y . Estos puntos forman el plano que tiene por ecuación x + y + z − 1 = 0 . La representación gráfica de dicho plano es:

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Introducción a las funciones de varias variables La gráfica de la función z = x 2 + 3y 2 está formada por los puntos de forma ( x, y, x 2 + 3 y 2 ) , estos puntos forman una figura llamada paraboloide elíptico.

3

de la

NOTA.- La curva de nivel de valor e de una función f ( x, y ) = z se puede interpretar como proyección, en el plano XY, del corte de su gráfica con el plano z = e . Este hecho suele ser una indicación muy valiosa para dibujar gráficas. Trazas. Las trazas de una función son curvas en el espacio (curvas en intersección de su gráfica con un plano vertical.

3

) producidas por la

NOTA: Aunque el plano puede ser cualquiera, se suelen utilizar los planos coordenados. Las trazas suelen ser un buen elemento de ayuda para dibujar la gráfica de una función. EJEMPLO: Calcular las trazas de la función z = x 2 + 3y 2 con los planos coordenados. Primero se calcula el corte con el plano XZ en el cual se tiene y = 0 . Sustituyendo este valor en la ecuación de la función se obtiene: z = x 2 . Esta ecuación es la de una parábola en el plano XZ, abierta hacia arriba y con vértice en el punto (0,0,0) . Su gráfica es:

Si ahora se calcula el corte con el plano YZ, en el cual se tiene x = 0 , se obtiene que la traza es la curva z = 3 y 2 , que también es una parábola, con las mismas características de la anterior, aunque un poco más cerrada, y situada en el plano YZ. Su gráfica es:

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Dibujando las dos trazas a la vez se puede obtener una idea bastante aproximada de la gráfica de la función.

Trazado de gráficas. Utilizando las curvas de nivel y las trazas es posible obtener la información suficiente para dibujar la gráfica de una función de la forma. z = f ( x, y ) . Para ello es importante tener en cuenta que las curvas de nivel corresponden a cortes con planos horizontales y las trazas a cortes con planos verticales. EJEMPLO: Obtener la gráfica de la función z = x 2 − y 2 . En primer lugar se calculan las curvas de nivel. En este caso es posible que tengan valores positivos, negativos e, incluso, el valor 0. Cuando e > 0 las curvas de nivel tienen por ecuación x 2 − y 2 = e , estás curvas son hipérbolas simétricas que cortan al eje X en los puntos ( e ,0) y (− e ,0) , en el caso e < 0 , las curvas de nivel son también hipérbolas de la forma y 2 − x 2 = −e que cortan al eje Y en los puntos (0, − e ) y (0,− − e ) , cuando e = 0 , las curvas de nivel tienen por ecuación x 2 − y 2 = 0 y corresponden a las rectas y = x e y = − x . El aspecto de tales curvas de nivel es el siguiente:

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e>0

e=0

e