Asociación Española de Ingeniería Mecánica

XVIII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

Análisis de indicadores cinemáticos para el diseño de manipuladores paralelos O. Altuzarra, B. Sandru, E. Macho, E. Amezua Dpto. Ingeniería Mecánica. Universidad del País Vasco [email protected]

Resumen En el diseño de manipuladores el ingeniero se enfrenta primero a la elección del mecanismo que potencialmente tenga las mejores características de movimiento para una determinada aplicación, y luego al dimensionamiento del mismo para sacar mejor partido a esas potencialidades. Para ello es preciso contar con indicadores de las diferentes propiedades cinemáticas que puedan dar un valor objetivo y representativo, y sirvan de elemento comparador entre diseños. El investigador se encuentra con indicadores cinemáticos en la literatura desde el concepto de ángulo de transmisión y ventaja mecánica en mecanismos de un grado de libertad, pasando por la manipulabilidad de robots serie calculada en base a la matriz Jacobiana, hasta el número de condicionamiento de los Jacobianos del problema cinemático. Sin embargo, desde la matriz a la cual aplicar los conceptos anteriores hasta incluso la norma matemática aplicable a estas matrices es cuestionada de tiempo en tiempo. Todo esto ha hecho que la validez de estos indicadores en el diseño de mecanismos sea un tema recurrente de discusión entre los investigadores. En este trabajo se exponen los distintos conceptos de indicadores cinemáticos usados hasta el momento, las diversas alternativas de cálculo, y las características, virtudes o defectos atribuidas a los mismos. El objetivo es clarificar qué indicadores son los más adecuados para su empleo como función objetivo en el dimensionamiento óptimo de manipuladores paralelos.

INTRODUCCIÓN En el diseño de manipuladores es preciso tener las herramientas necesarias para poder decidir si el mecanismo cumple con los requisitos de diseño de una forma aceptable. Es preciso evaluar cómo de bien se mueve un manipulador para determinar cuál es la porción de espacio de trabajo donde es más favorable posicionar la tarea a realizar, para evitar acercarse a posiciones donde el movimiento se deteriora hasta la singularidad [1], para planificar las posturas más adecuadas para realizar una tarea [2], o para poder modificar dimensionalmente un mecanismo y mejorar su funcionamiento [3]. A la cualidad del mecanismo que indica lo adecuado de su movimiento se le denomina destreza. Este concepto es sumamente genérico, y en este punto conviene recoger la definición más común en el campo de los manipuladores, la facilidad del elemento terminal para moverse y aplicar fuerzas en cualquier dirección [4]. Evidentemente, la definición no es la única que se puede encontrar, pero ha sido utilizada para describir la destreza en manipuladores paralelos por la mayoría de los autores [5]. Desde el punto de vista exclusivamente cinemático existen en la literatura varios indicadores de rendimiento para medir la destreza. Estos indicadores son aplicados sobre las relaciones de velocidad en el mecanismo, y en particular haciendo uso de determinadas matrices Jacobianas del manipulador. Tienen su fundamento en el álgebra lineal y presentan ciertas limitaciones para su aplicación a cualquier tipo de manipulador. En este trabajo se presentan las diferentes formas en que se ha abordado en la literatura la cuantificación de la destreza tratando de clarificar el alcance de los conceptos usados. Se hará referencia a los diferentes criterios cinemáticos usados para describir la destreza, incluyendo ejemplos que muestren el sentido físico de esas magnitudes, las limitaciones en su empleo, y la aplicabilidad a todo tipo de manipuladores. Se irán desgranando los diversos indicadores aplicándolos en varios casos de manipuladores serie y paralelos.

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MANIPULABILIDAD Se denomina manipulabilidad a la capacidad del elemento terminal para moverse y aplicar velocidades y/o fuerzas en direcciones arbitrarias. Este concepto fue introducido por primera vez en [1] y posteriormente completado con ejemplos en [6]. La manipulabilidad caracteriza en cierto modo la destreza del manipulador [7] debido a que trata de cuantificar la capacidad de amplificación en la transmisión de las velocidades desde el espacio articular al espacio cartesiano. Con carácter general, el punto de partida para el análisis de la destreza cinemática es la ecuación que relaciona las velocidades de entrada y salida del manipulador: x  Jq

(1)

Donde q representa el vector de las velocidades de los accionamientos, x es el vector de las componentes de velocidad del elemento terminal y J es la matriz Jacobiana que transforma las variables de entrada en las de salida. Así, para un mecanismo no redundante con n GDL en su elemento terminal, se define la manipulabilidad como: n

w  abs J 



(2)

i

i 1

donde σi son los valores singulares de J. Como el indicador de manipulabilidad es dependiente del Jacobiano, resulta que describe el comportamiento local, esto es, para una cierta posición del manipulador. En el espacio de trabajo se puede analizar punto a punto esta magnitud y obtener mapas de manipulabilidad. Se mostrará a modo de ejemplo el resultado obtenido para el manipulador plano serie RR de la Fig. (1)-a. la ecuación que relaciona las velocidades de entrada con las de salida se obtiene por derivación de la ecuación de posición, cuya expresión en forma matricial resulta:    x  x     k  p  a  k  p  b  1   Jq   y   2 

(3)

donde la expresión de la manipulabilidad se puede obtener como: w  abs J  abs k  b  a   p  b 

(4)

y se representa su valor sobre el espacio de trabajo del manipulador en Fig. (1)-b. Puede observarse cómo la manipulabilidad toma el valor nulo en las posiciones singulares del mecanismo, es decir, donde la matriz Jacobiana se hace singular y no es posible obtener libremente cualquier velocidad del punto de referencia.

(a)

(b)

(c)

Fig. 1. Mecanismo serie RR, manipulabilidad (área de la elipse) y excentricidad de la elipse ELIPSOIDES DE VELOCIDAD El concepto de manipulabilidad tiene su origen en el estudio de la forma en que se transforman las velocidades de entrada para generar la velocidad de salida. Y para ello nos apoyaremos en el hecho matemático de que la Ec. (1) es una transformación lineal desde el espacio de las entradas al espacio de las salidas. En primer lugar, es necesario acotar el espacio de entradas que se pueden introducir en el mecanismo, induciéndose por aplicación de la Ec. (1) la siguiente expresión cuadrática, que representa la norma euclídea del vector q : q T q  x J T J 1x  1

(5)

3

Análisis de indicadores cinemáticos para el diseño de manipuladores paralelos

Este hecho implica la necesidad de tener un espacio de entradas homogéneo en unidades para poder tener un significado físico adecuado. Desde el punto de vista geométrico, la Ec. (5) representa una hiper-esfera de radio unitario en el espacio de las velocidades de los accionamientos, que es proyectada por J como un hiper-elipsoide en el espacio de las velocidades del elemento terminal. Los semiejes principales del hiper-elipsoide tienen las dimensiones de los valores singulares de J y están en las direcciones correspondientes a una base del subespacio imagen de J. Este hecho fundamenta la necesidad de coherencia en las unidades de las variables. En la Fig. (2) se observa la proyección de los puntos del espacio articular que corresponden a un vector de entradas unitario en el manipulador RR descrito, sobre el espacio de las componentes cartesianas de la velocidad del punto de salida P.

(a)

(b)

(c)

Fig. 2. Mapeado de los valores articulares en el espacio de las salidas mediante J según la norma euclídea. El elipsoide obtenido indica que en determinadas direcciones se puede obtener una mayor amplificación de la velocidad que en otras. En cierto modo nos indica en qué direcciones le es más fácil moverse al manipulador. Si algún valor singular es nulo resultaría una matriz Jacobiana de rango inferior y, por lo tanto, una matriz singular. Esto significa que el espacio del hiper-elipsoide se reduciría y que el manipulador no podría moverse en la dirección cuyo valor singular es nulo. En el caso del manipulador serie antes mencionado, los elipsoides que se obtienen en el espacio de trabajo se muestran en la Fig. (2)-c. La obtención de los valores singulares y de los vectores asociados a valores singulares no nulos se hace mediante el denominado método de descomposición en valores singulares (SVD). Relacionando estos resultados con la expresión de la manipulabilidad, Ec. (2), se observa que w es proporcional al área de la elipse. En el estudio del hiper-elipsoide una pregunta muy frecuente se refiere a la relación entre la matriz característica de su forma cuadrática J−TJ−1 y la matriz J que se utiliza en el cálculo de los valores singulares que se corresponden con sus semiejes principales. Efectivamente, de los principios de álgebra, se puede demostrar que existe la siguiente relación entre los valores singulares σi de la matriz J y los valores propios λi de la matriz J−TJ−1:

 max 

1

min

 

 min 

1

max

 

 

(6) 

Cabe ahora preguntarse si los mayores valores del índice de manipulabilidad realmente representan mejores situaciones cinemáticas del manipulador. Téngase en cuenta que a la vista de los elipsoides de velocidad, un mecanismo tendría un buen comportamiento cinemático si el elipsoide que produce en cada posición es lo más grande posible (lo que implicaría una amplificación de las variables de entrada), pero a la vez con una forma lo más esférica posible (lo que asegura el mismo comportamiento en todas las direcciones y por lo tanto destreza versátil). La primera característica la mide la manipulabilidad anteriormente descrita, pero la segunda característica no se ha medido aún. Una forma de hacerlo sería utilizar conceptos geométricos asociados al elipsoide tales como la excentricidad o el cociente entre los semiejes mayor y menor (que toma el valor 1cuando es una esfera y 0 cuando degenera en una posición singular). Obsérvese que estos indicadores de tamaño y forma del elipsoide coinciden en indicar ambos las posiciones singulares pero no van parejos a la hora de identificar los máximos (a priori las mejores posiciones cinemáticas) como se ve en la Fig. (1).

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APLICACIÓN A MANIPULADORES PARALELOS En mecanismos de cadena cerrada se tienen variables pasivas además de las variables de entrada y salida. Para obtener la ecuación de velocidad entrada-salida se pueden eliminar las variables pasivas mediante una manipulación adecuada de las ecuaciones. El resultado es la aparición de dos matrices Jacobianas, las cuales sirven para caracterizar los dos tipos de singularidades claramente diferenciados en la resolución del problema directo e inverso: J x x  J q q

(7)

Se analizarán sobre un ejemplo las implicaciones de esta ecuación con Jacobianas diferenciadas. Se considera un manipulador paralelo 2RRR como el de la Fig. (3)-a. Derivando las ecuaciones de posición del punto P de salida a través de cada una de las cadenas cinemáticas que llegan a él, se obtiene la expresión que relaciona las velocidades, cuya forma matricial resulta:  u1T   x  k  b1  a1   u1  0  1   T       k  b 2  a 2   u 2  2  0 u 2   y  

(8)

donde son las velocidades de los actuadores y ui los vectores unitarios en las direcciones de (p-bi). Si se desea calcular la ecuación análoga a Ec. (1) se debe invertir la matriz Jx y multiplicar por Jq con lo que se puede obtener el valor de manipulabilidad según la definición en Ec. (2): w  abs J 

k  b1  a1  u1 k  b1  a1  u1  k  u1  u 2 

(9)

Éste toma el valor nulo en las posiciones singulares del problema inverso donde alguno de los vectores ui se hace paralelo a su correspondiente (bi − ai), y se hace infinito en las posiciones singulares del problema directo donde los dos vectores ui se hacen paralelos. En la Fig. (3)-b se muestran los resultados de manipulabilidad para este manipulador en su espacio de trabajo, los valores en la curva de singularidad del directo (el óvalo interior) tienden a infinito mientras que los valores en la curva exterior del espacio de trabajo tienden a cero por ser el lugar geométrico de las singularidades del inverso. Se observa que en ambos casos el gráfico no es clarificador por completo por cuestiones de índole numérico.

(a)

(b)

(c)

Fig. 3. Manipulador paralelo plano 2RRR. Mapa de manipulabilidad. Excentricidad de la elipse De este ejemplo se constata que el indicador de manipulabilidad puede ser adecuado en la detección de posiciones singulares, pero no así en la caracterización cinemática de posiciones regulares. De nuevo volvemos al concepto de elipsoide de velocidad buscando una alternativa que caracterice la capacidad cinemática. Si se analizan los elipsoides de velocidad sobre el espacio de trabajo, es fácil observar cómo los valores altos de manipulabilidad se producen con elipsoides muy deformados. Como alternativa se definió la excentricidad del elipsoide. Esta magnitud es un indicador del grado de deformación del elipsoide, y se puede comparar con la manipulabilidad, deduciéndose que esta magnitud de excentricidad, además de identificar las singularidades, sirve para cualificar las posiciones regulares, siendo el valor unidad el indicador de un elipsoide óptimo, y por tanto, con forma esférica. No obstante, los valores de excentricidad óptimos, aquellos en que el elipsoide se asemeja más a un círculo, pueden darse con un tamaño de elipsoide muy pequeño, y por lo tanto un valor de manipulabilidad bajo. Esto implica que a pesar de tener una buena distribución del movimiento se tiene una baja amplificación del mismo.

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Análisis de indicadores cinemáticos para el diseño de manipuladores paralelos

Por todo lo visto anteriormente se concluye que el empleo de un sólo indicador para caracterizar el movimiento puede presentar carencias. Como alternativa pueden tomarse simultáneamente los mapas de manipulabilidad y excentricidad del elipsoide de velocidad para evaluar la destreza de los manipuladores tal y como se muestra en las Fig. (3)-b y Fig. (3)-c. En esta línea, en [8] se define un indicador global basado en el conjunto ponderado de los dos indicadores. NÚMERO DE CONDICIONAMIENTO El problema de velocidad que describe la ecuación Ec. (1) no deja de ser un sistema de ecuaciones lineales. En el ámbito del análisis numérico existe abundante literatura sobre el estudio del comportamiento numérico de los sistemas lineales. Un concepto ampliamente extendido es el de condicionamiento numérico de una matriz y el correspondiente número de condicionamiento como forma de evaluar lo sensible de un sistema de ecuaciones lineales a la variabilidad de los datos de entrada. El número de condicionamiento viene dado por la siguiente fórmula [9] y es un factor que claramente tiene una dependencia de la norma matricial elegida:

  J J 1

(10)

Por ejemplo, si se emplea la norma espectral, la cual está inducida por la segunda norma tal y como se ha usado para analizar la manipulabilidad, y se tienen en cuenta las relaciones en Ec. (6), tendríamos lo siguiente:

2  J

J 1

2

2



min  min  max  max

1 2  

(11)

Los valores singulares σmax y σmın están relacionados con la distorsión que se produce en el hiper-elipsoide que sería ahora el error en la amplificación del movimiento que se produce en una cierta postura del manipulador para unas variaciones aleatorias en las entradas de los accionamientos. Este factor κ2, fue introducido por vez primera en [10] y es utilizado con profusión en el campo de los manipuladores paralelos como un indicador de la destreza. Cuanto mayor sea el factor, mayor será la distorsión. Por lo tanto, κ2 = ∞ significaría que σmın ≈ 0 lo que correspondería a un caso de singularidad para la matriz J, y obviamente ésta estaría mal condicionada. Del mismo modo, si κ2 = 1 significa que la matriz J está condicionada de la mejor manera posible dado que los valores singulares σi tienen un mismo valor, de tal manera que la imagen de la esfera de radio unitario en el espacio de los accionamientos es una esfera de radio σ en el espacio cartesiano. Estas posiciones se denominan isotrópicas y se puede demostrar que la matriz Jacobiana del sistema es un múltiplo de una matriz ortogonal. Además, si σ = 1, se dice que el manipulador se encuentra en el caso particular de posición isométrica. Que un manipulador esté siempre en posiciones isotrópicas no es común. Por lo general los manipuladores presentan a lo sumo alguna posición isotrópica aislada en su espacio de trabajo, e incluso pueden no tener ninguna. Una de las normas que es más fácil de computar es la norma infinita que se calcula como la mayor suma del valor absoluto de los elementos de las filas de J. La norma infinita es una norma matricial inducida por una norma vectorial, de la misma manera que la norma espectral era inducida por la segunda norma, donde aij representa los elementos de la fila i y la columna j en la matriz J:

  J

J 1





J



 max i

 abs(a

ij )

(12)

j

Una de las normas más utilizadas en el campo de los manipuladores paralelos como alternativa a la norma espectral, es la norma de Frobenius. Desde el punto de vista numérico esta norma es una opción muy conveniente para el cálculo, ya que se define como: n

J

F



n

 i 1 j 1

  

aij 2  tr J T J 

n

2

i

(13)

i 1

El límite inferior de esta norma tiene una dependencia directa con el número de GDL del manipulador, por lo que suele utilizarse una norma de Frobenius normalizada [11], que da lugar a un número de condicionamiento que queda limitado por debajo a la unidad de igual forma que lo era el calculado con la norma espectral:

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J

F



J

F

n

F  J

F

J 1

F

1 F  

(14)

Se va a analizar, mediante los ejemplos presentados, hasta qué punto el número de condicionamiento obtenido con las diferentes normas son indicadores equivalentes, válidos para su uso en cinemática, y útiles para caracterizar posiciones regulares en el espacio de trabajo.

Fig. 4. Robot RR. Manipulabilidad e inversas del número de condicionamiento según las diferentes normas.

Fig. 5. Robot 2-RRR. Manipulabilidad e inversas del número de condicionamiento según las diferentes normas. Se constata que las posiciones singulares son identificadas claramente por todos los tipos de indicador, pero en cuanto a las posiciones regulares se ven claras diferencias en su caracterización. En primer lugar se observa que la distribución de valores de la norma infinita no proporciona la homogeneidad requerida. Además, se puede demostrar que no es invariable ante la elección del sistema de referencia, por lo que no resulta válida desde un punto de vista cinemático. Una vez descartada la norma infinita, se analiza a continuación el uso de la norma espectral y la norma de Frobenius normalizada. Ambas normas son independientes del sistema de referencia, pero tienen una naturaleza bastante diferente. En términos de los valores singulares de la Jacobiana, la primera norma es el mayor de los valores singulares, mientras que la segunda es el valor cuadrático medio de todos ellos. Como consecuencia, la norma espectral no es una función analítica de los términos de la matriz puesto que no admite un desarrollo en serie en función de esos términos. Por el contrario la norma de Frobenius sí tiene ese carácter analítico. En la Fig. (6) se muestra la evolución de los indicadores cinemáticos definidos como el inverso del número de condicionamiento calculado con ambas normas en la recta bisectriz del primer cuadrante en el caso del manipulador 2-RRR. Se observa cómo el inverso del número de condicionamiento calculado con la norma de Frobenius normalizada, es una curva continua en los valores regulares, mientras que el indicador en base a la norma espectral presenta picos y por lo tanto discontinuidades en la pendiente en posiciones que no son singulares.

Fig. 6. Variación de las inversas del número de condicionamiento según las normas espectral y de Frobenius.

Análisis de indicadores cinemáticos para el diseño de manipuladores paralelos

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Esto, junto el hecho de que su cálculo es más simple y menos costoso, hace que la norma de Frobenius sea preferida normalmente frente a la espectral. Sin embargo, la norma espectral hace que se pueda interpretar el número de condicionamiento asociado desde un punto de vista físico como una medida de la excentricidad del elipsoide de velocidad.

APLICACIÓN A MECANISMOS CON VARIABLES DE SALIDA MIXTAS Se han visto los fundamentos del estudio de la destreza cinemática con aplicación a mecanismos que tengan todos los actuadores del mismo tipo y las variables de salida en velocidad también homogéneas en unidades. En el caso de tener actuadores con unidades no coherentes los resultados no son físicamente representativos y además son numéricamente controvertidos. En cuanto a que las variables de salida tengan unidades diferentes, esto sucede cuando el elemento terminal tiene movimiento tanto de traslación como de rotación. Su torsor cinemático viene dado por la velocidad angular y la velocidad de un punto de referencia del elemento terminal, y los Jacobianos resultantes carecen de homogeneidad dimensional en sus términos. Si la matriz Jacobiana de la ecuación de velocidades Ec. (1) tiene inconsistencia dimensional debida exclusivamente a la diferencia de naturaleza de las variables de salida, algunos autores promulgan separar la ecuación en sus términos de velocidad lineal y angular. Así se obtienen los denominados Jacobianos de rotación JR y traslación JT , y se puede aplicar el cálculo de indicadores por separado. En un manipulador serie plano RRR como el de la Fig. (7), la expresión matricial de la ecuación de velocidad resulta la Ec. (15), que se puede separar en las Ec. (16), de donde se obtienen las manipulabilidades de rotación y traslación, Ec. (18). 1    1 1 1       x   x     2  Jq k  p  a1  k  p  a 2  k  p  a 3       y   3  1      1 1 12  J R q    3 wR 

1   x    p     k  p  a1  k  p  a 2  k  p  a32  J T q  y     3 J R J RT  3

wT 

JT JT T

(15)

(16)

(17)

Además del indicador de manipulabilidad, es posible plantear los números de condicionamiento según la norma espectral y la norma de Frobenius normalizada. Para el caso del Jacobiano rotacional no tendría sentido puesto que es una matriz constante en el espacio de trabajo, pero para el Jacobiano traslacional es interesante. Dado que el manipulador tiene tres grados de libertad, su espacio de trabajo se plantea en un espacio tridimensional. Alternativamente se pueden mostrar secciones a ese espacio para determinados ángulos de orientación del elemento terminal que se denominan espacios de trabajo de orientación constante.

Fig. 7. Mecanismo serie RRR. En mecanismos de cadena cerrada, donde aparecen dos matrices Jacobianas, Ec. (7), como ya se ha mencionado, para obtener una ecuación del tipo Ec. (1), es necesario invertir Jx: x  J x 1J q q

(18)

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En el caso de que el torsor cinemático de salida tenga variables de tipo mixto, la matriz Jx no es homogénea en unidades y su inversión puede ser numéricamente problemática. Para solventar este problema, algunos autores hacen uso de la denominada longitud característica, lc. Se trata de un parámetro que multiplica en el vector de salidas a las componentes de velocidad angular para hacerlas dimensionalmente coherentes con las componentes de velocidad lineal, al mismo tiempo que divide a los términos de velocidad angular de Jx, dando lugar la matriz Jacobiana homogeneizada: J x  F lc

FP 

J  J x 1 J q

(19)

Para la elección del valor de la longitud característica se impone el que hace que en una posición isotrópica del mecanismo se verifique la condición de isotropía (donde se ha considerado una matriz Jq diagonal):

J T J 1

 1 T 2  2 F J q F l  c  1 F T J 2 F l P q   c

1 T 2  F J q FP  lc    2I T 2 FP J q FP  

(20)

Para ilustrar este procedimiento se tomará un manipulador plano 3RPR como el de la Fig. (8)-a. ui son los vectores unitarios en la dirección del actuador. Su expresión matricial, con la longitud característica, resulta:  k  p  b1   u1  lc  k  p  b 2   u 2  lc  k  p  b   u  l 3 3 c 

u1T  lc   1   u 2T   x     2  u 3T   y    3  

 k  p  b1   u1   F  k  p  b 2   u 2   k  p  b 3   u 3 

 u1T    FP  u 2T  (21) u T   3 

De la aplicación de la de la condición de isotropía se pueden sacar las siguientes relaciones: FP T FP   2 I

F T FP / lc  0T

FP T F / lc  0

F T F / lc 2   2

(22)

Una vez se determine la posición isotrópica del manipulador, se obtiene el valor de la longitud característica:

lc 

2F T F



tr FP T FP



(23)

La determinación de la posición isotrópica se basa en imponer el resto de condiciones de Ec. (22). Particularizando para un ejemplo en el que Los puntos Ai de unión al elemento fijo estén en los vértices de un triángulo equilátero de lado 3r y la plataforma móvil sea también un triángulo equilátero de lado r 3 , con el punto P de referencia en el baricentro, se obtiene una lc = r 3 / 2 , y una posición isotrópica como la mostrada en la Fig. (8)-b.

(a)

(b)

Fig. 8. Manipulador paralelo plano 3RPR. Con ese valor de la longitud característica se puede tratar la matriz Jacobiana completa y aplicarla al cálculo de manipulabilidad y números de condicionamiento según las diferentes normas. En Fig. (9) se muestran los resultados sobre el espacio de trabajo del manipulador cuando se fija la orientación de la plataforma móvil en aquella de la posición isotrópica.

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Análisis de indicadores cinemáticos para el diseño de manipuladores paralelos

Fig. 9. Mapa de indicadores del manipulador plano 3RPR para la orientación de la posición isotrópica. APLICACIÓN A MANIPULADORES PARALELOS DE BAJA MOVILIDAD Un grupo de manipuladores de baja movilidad son los denominados tripod. Estos mecanismos tienen tres grados de libertad accionados por tres actuadores y con un movimiento de salida en el que dos rotaciones y una traslación son independientes, mientras que la rotación restante y las dos traslaciones son dependientes de las anteriores, en función de la posición del manipulador. Como no se tiene control directo sobre ellas se denominan movimientos parásitos. Se analizará el ejemplo 3PRS mostrado en la Fig. (10).

Fig. 10. Manipulador paralelo 3PRS Las variables de salida que posicionan la plataforma móvil, son las coordenadas de un punto de referencia P en la misma, donde se sitúa un sistema de referencia móvil, y los tres ángulos usados para identificar su orientación respecto del sistema del fijo. En este tipo de mecanismos, cualquier posición debe verificar tanto las ecuaciones de lazo como las de restricción, que resulta en que en el análisis de velocidades aparezca un Jacobiano de restricciones JC: J x x  J q q

J C x  0

→

J x  J q  J  x  J D x   q 0  C

(24)

En este caso:  a1  p   u1 T u1T    J C  a 2  p   u 2 T u 2T  a  p   u T u T  3  3  3

 a1  p   v1 T v1T    J x  a 2  p   v 2 T v 2 T  a  p   v T v T  3  3  3

 v1  k J q   0  0

0 v2 k 0

0  0  v 3  k 

(25)

donde ui representa el eje del par de rotación y vi es el vector unitario en la dirección de (ai-bi). En el cálculo anterior es conveniente introducir una homogeneización de la matriz JD, de tal forma que se eviten problemas numéricos en su inversión. Para tal fin se puede emplear el método de la longitud característica. Este procedimiento es útil si se desea obtener un indicador global del manipulador que aúne las capacidades de rotación y traslación, pero requiere un laborioso cálculo de una posición isotrópica, con el agravante de que no hay garantía de que exista.

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Alternativamente, puede introducirse una longitud de homogeneización, lh, que nos permita realizar la inversión sin problemas numéricos y posteriormente particionar el Jacobiano resultante en las componentes rotacionales y traslacionales:

l h ω  p   Jq  

ω

1 J R q lh

p  J T q

(26)

Ahora es posible extraer de nuevo esa longitud de homogeneización, que sólo afecta al Jacobiano de rotación, y aplicar el cálculo de indicadores sobre los Jacobianos de rotación y traslación por separado. En este caso y ω están relacionados entre sí. Por ello es aparecen algunos problemas debido a que los términos de conveniente eliminar en las filas correspondientes a los grados de libertad restringidos. En Fig. 11 se muestran estos resultados manteniendo ωx y ωy, que son las componentes independientes y las componentes x y z de .

Fig. 11. Mapas de indicadores del manipulador 3PRS para Z = cte.

CONCLUSIONES La manipulabilidad se definió inicialmente a partir del concepto de elipsoide de velocidad, pero este concepto se aplicó a mecanismos serie exclusivamente, sin tener en cuenta los posibles problemas que se derivan de la inconsistencia dimensional, tanto en los parámetros de entrada como en los de salida. Se propone en este caso el uso de normalizaciones de los términos del Jacobiano mediante longitudes características para llegar a matrices homogéneas. El número de condicionamiento de la Jacobiana representa la uniformidad espacial del elipsoide de velocidad, pero su valor depende de la norma matricial escogida. El empleo combinado del número de condicionamiento y una medida de la manipulabilidad es común en trabajos sobre diseño óptimo.

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