Asociación Española de Ingeniería Mecánica

XVIII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

Análisis de las condiciones de pérdida de contacto en uniones con holgura en manipuladores paralelos J. Aginaga, I. Zabalza Dpto. de Ing. Mecánica, Energética y de Materiales. Universidad Pública de Navarra [email protected]

O. Altuzarra, Ch. Pinto Dpto. Ingeniería Mecánica. Universidad del País Vasco

Resumen Las uniones con holgura producen una pérdida de precisión en el posicionamiento de los mecanismos. El error en la posición depende de la posición instantánea del mecanismo, de las cargas exteriores aplicadas y de las cargas inerciales, así como de la magnitud de las holguras. Más allá del error, otro efecto importante que producen las holguras son las discontinuidades en la posición debidas a la pérdida de contacto entre los elementos de la unión con holgura. Estas pérdidas de contacto son además fuente indeseable de ruido y vibraciones. En este trabajo se presenta una metodología de cálculo de error debido a holguras. Aplicada a una trayectoria de pick-and-place del mecanismo 5R, se muestra cómo las discontinuidades desaparecen para ciclos más lentos, por lo que se puede conocer el periodo de ciclo mínimo que garantice la desaparición de las discontinuidades. Este periodo de ciclo mínimo depende, entre otros, de los parámetros geométricos del mecanismo. Así, se ha realizado una optimización de los parámetros geométricos del mecanismo que reduce el periodo mínimo sin discontinuidades para esa misma trayectoria. Para que el mecanismo no pierda aplicabilidad, esta optimización se ha combinado con una maximización del espacio de trabajo.

INTRODUCCIÓN En las últimas décadas, se han realizado importantes estudios de robots paralelos debido a sus ventajas respecto a los robots tipo serie. Entre ellas, cabe destacar su mejor relación entre masa transportada y masa del robot, su mayor rigidez y su mayor precisión en el posicionamiento. En lo que a esta última se refiere, la holgura de las uniones es una de las principales fuentes de error y precisamente los robots paralelos tienen más pares cinemáticos que los serie. Por ello, es especialmente importante prestar suficiente atención a este tipo de fuentes de error. Numerosos autores han desarrollado procedimientos de cálculo del error debido a las holguras. Algunos de ellos evalúan el error máximo o las posiciones más probables del elemento terminal por medio de métodos geométricos o cinemáticos. Los primeros utilizan el problema de posición y se apoyan en las características geométricas derivadas de un sencillo modelo de holguras [1,2], mientras que los segundos consideran que el error debido a las holguras es suficientemente pequeño como para evaluarlo por medio de una aproximación con las ecuaciones de velocidad [3-5]. Por otro lado, otros autores llevan a cabo un análisis determinista intentando obtener el error real en la posición del elemento terminal bajo la acción de determinadas cargas actuando sobre el manipulador. El procedimiento determinista puede ejecutarse por medio de un análisis cinetostático o dinámico. En ambos casos, el primer paso es calcular las reacciones en las uniones del mecanismo. En el caso cinetostático, se utilizan las reacciones del mecanismo nominal para calcular la posición relativa entre las partes de las uniones con holgura y posteriormente se suma la contribución de cada error al error de posición del elemento terminal [6-7]. En el análisis dinámico, las reacciones se describen con mayor detalle teniendo en cuenta los tres posibles tipos de movimiento relativo (vuelo libre, impacto y contacto continuo) entre las partes de la unión. Una vez calculadas, se introducen como fuerzas generalizadas en el modelo dinámico [8-10]. Tal como se ha expuesto, en las uniones con holgura se dan condiciones en las que se pierde el contacto entre los

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dos componentes de la unión. En estas circunstancias, existe una gran incertidumbre en la posición puesto que no es posible calcular el error debido a las holguras. La pérdida de contacto conlleva, además, un posterior impacto entre dichos componentes, siendo fuente de ruido y vibraciones. Así, evitar que se den condiciones de pérdida de contacto puede considerarse un objetivo en el diseño de un mecanismo. Varios autores han trabajado con idea de evitar la pérdida de contacto en las uniones con holgura. Para lograrlo, en [11] se utiliza un actuador redundante, en [12] se presenta una metodología para optimizar la distribución de masa de los eslabones y en [13] se planifica la trayectoria a realizar de tal manera que se logre evitar la pérdida de contacto. En este artículo se presenta una metodología de cálculo del error de posición debido a holguras, mediante un análisis determinista que utiliza ecuaciones dinámicas. Dicha metodología se emplea para calcular el error de posición del mecanismo plano 5R a lo largo de una trayectoria de pick-and-place. El error en la trayectoria depende de la posición instantánea del mecanismo, de las cargas exteriores aplicadas y de las cargas inerciales. Tratándose de una aplicación en la que se debe maniobrar a gran velocidad, las altas aceleraciones hacen que las cargas inerciales tengan una gran influencia en el error. Una vez calculado el error y con él la posición real del mecanismo, se observa cómo durante la trayectoria se producen saltos debidos a la pérdida de contacto entre los componentes de la unión. Esta pérdida de contacto se debe a que la reacción en el par cinemático se anula en esa determinada posición. Analizando la misma trayectoria para diferentes periodos del ciclo, se observa que son las fuerzas inerciales las que producen discontinuidades en la trayectoria y que a velocidades menores las discontinuidades desaparecen. Por tanto, existe un periodo de ciclo mínimo que garantiza que no se producirán discontinuidades. Partiendo del mencionado periodo mínimo sin saltos, se realiza a continuación una optimización de los parámetros geométricos del mecanismo con el objetivo de reducir dicho periodo mínimo. Así, existirán valores de las longitudes de los eslabones que permitan realizar ciclos más rápidos sin saltos. Teniendo en cuenta que el mecanismo se utilizará para más recorridos que el ciclo de pick-and-place analizado, la optimización del periodo mínimo sin saltos se combina con una optimización del espacio o área de trabajo, haciendo uso del frente de Pareto. DESCRIPCIÓN DEL MECANISMO Y DE LA TRAYECTORIA En la Fig. (1) se muestra el mecanismo 5R con los parámetros dimensionales y coordenadas utilizadas en el análisis. Los motores están ubicados en los puntos A1 y A2 con lo que las variables de entrada son los ángulos 1 y  representados en la figura. Las variables 1, 2 y  representan los ángulos pasivos del mecanismo. Las coordenadas de salida [xP, yP] dan la posición del punto P, que se considera perteneciente al eslabón PB2.

Fig. 1. Mecanismo 5R. En la Fig. (1) se ha representado el mecanismo analizado con las holguras en las uniones de revolución, tanto en los pares cinemáticos de entrada como en los pasivos. Además de estas holguras, se considera también la holgura

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angular en los puntos A1 y A2 debida al juego entre los engranajes de la reductora no representada en la figura. La trayectoria que se desea analizar es una trayectoria de pick-and-place para trasladar piezas metálicas pesadas en hornos de fundición. El manipulador coge la pieza de una determinada posición, la eleva 25 mm y la traslada horizontalmente 0.5 m para después bajarla 25 mm y depositarla, realizando la maniobra de retorno –sin carga– por el mismo camino hasta la posición inicial. Tanto la trayectoria como las velocidades y aceleraciones a lo largo de la misma se representan en la Fig. (2).

Fig. 2. Trayectoria con velocidades y aceleraciones. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DEL ERROR Antes de calcular el error de posición del eslabón terminal debido a holguras, se calcula la cinemática y la dinámica del mecanismo nominal. Planteada la cinemática inversa se obtienen las aceleraciones de cada eslabón necesarias para calcular las cargas inerciales. Introducidas éstas en la dinámica, se obtienen las reacciones en las uniones y a partir de éstas la posición relativa entre los componentes de las uniones con holgura. En la Fig. (3) se muestra cómo la dirección de la reacción define la posición relativa entre los componentes de una unión de revolución con holgura. Siendo i la magnitud de la holgura, los desplazamientos cartesianos xJi y yJi vienen determinados por el ángulo Ji de la figura.

Fig. 3. Posición relativa de los componentes de una unión de revolución con holgura. El error de posición se calcula fijando las entradas y teniendo en cuenta sólo los grados de libertad debidos a las holguras, cuya posición queda determinada por las reacciones previamente calculadas. El procedimiento utilizado se basa en las ecuaciones de velocidad, aprovechando la linealidad de éstas. La aproximación puede

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considerarse válida ya que la magnitud de las holguras se considera infinitesimal respecto a la geometría del mecanismo. El planteamiento de las ecuaciones de velocidad se realiza en coordenadas screw. Para el lazo cerrado del mecanismo 5R sin holguras la ecuación de velocidad tiene la siguiente forma:

1·$ˆ A  1·$ˆ B  ·$ˆ P  2 ·$ˆ B  2 ·$ˆ A  0 1

1

2

(1)

2

donde 1 , 1 ,  , 2 y 2 son las velocidades relativas en las uniones de revolución y $ˆ A , $ˆ B , $ˆ P , $ˆ B y $ˆ A son los torsores cinemáticos de dichas uniones planteados desde el punto P. 1

1

2

2

La Ec. (1) se puede reescribir aproximando las velocidades por incrementos infinitesimales y expresando los pares cinemáticos pasivos en función de las entradas:

1·$ˆ B1   ·$ˆ P  2 ·$ˆ B2  1 ·$ˆ A1   2 ·$ˆ A2

(2)

Formulando esta misma expresión de forma matricial, se tiene:



$ˆ B1

$ˆ P

 1  ˆ - $ B2 ·     $ˆ A1 2 







   $ˆ A2 · 1   2 

(3)

Utilizando la Ec. (3) se pueden calcular las variaciones de los ángulos pasivos en función de pequeñas variaciones en las entradas. Nótese que los torsores cinemáticos $ˆ A y $ˆ A de las entradas pueden ser sustituidos 2 por los torsores cinemáticos $ˆ a A y $ˆ a A2 de las holguras angulares debidas a la transmisión de los motores. 1

1

Los grados de libertad debidos a las holguras radiales de las uniones de revolución pueden descomponerse en coordenadas cartesianas; por ejemplo, para la unión A1 serían xA1 y yA1. Los torsores cinemáticos correspondientes a las uniones con holgura radial se muestran a continuación:

0 ˆ$ x  $ˆ x  $ˆ x  $ˆ x  $ˆ x  1  A1 A2 B1 B2 P    0 

0  ˆ$ y  $ˆ y  $ˆ y  $ˆ y  $ˆ y  0  A1 A2 B1 B2 P   1 

(4)

Bloqueando las entradas y añadiendo los grados de libertad debidos a las holguras, la Ec. (1) queda ahora de la siguiente manera:

1 ·$ˆ a A1  x A1 ·$ˆ x A1  y A1 ·$ˆ y A1   1 ·$ˆ B1  xB1 ·$ˆ x B1  y B1 ·$ˆ y B1    ·$ˆ P  xP ·$ˆ x P  y P ·$ˆ y P   2 ·$ˆ B2  xB2 ·$ˆ x B2  y B2 ·$ˆ y B2 

(5)

  2 ·$ˆ a A2  x A2 ·$ˆ x A2  y A2 ·$ˆ y A2  0 donde 1 y 2 representan las variaciones debidas a la holgura angular de los actuadores rotativos y 1, 2 y  representan variaciones angulares infinitesimales en las uniones pasivas. Los valores de los desplazamientos infinitesimales xAi, yAi, xBi, yBi, xP y yP han sido previamente obtenidos a partir de las ecuaciones de la dinámica. Los momentos en las barras AiBi indican cómo se deben definir las holguras 1 y 2 en los actuadores. Por tanto, a partir de la Ec. (5) se pueden obtener las variaciones infinitesimales 1, 2 y  en las uniones pasivas debidas a las holguras.

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

$ˆ B1

$ˆ P

 1  ˆ - $ B2 ·     $ˆ a A1 2 





$ˆ a A2

 $ˆ x A1   $ˆ y B2

 1      2 · x A1       y B   2



5

(6)

Una vez obtenidas 1, 2 y , el error en la posición del punto P (recuérdese que se considera perteneciente a la barra PB2) se puede calcular a partir de cualquiera de las dos cadenas cinemáticas. En la Ec. (7) se representa el error en P, , calculado a partir de la cadena cinemática P-B2-A2.

 P     xP   $ˆ a A2  y P 



$ˆ B2

$ˆ x A2

$ˆ y A2

$ˆ x B2

$ˆ y B2

  2      2  x A  · 2  y A2   xB   2 y B2 



(7)

Dado que es un mecanismo de dos grados de libertad, del vector  sólo tienen interés las dos últimas componentes, es decir, el error en las coordenadas cartesianas xP y yP. Sumadas estas dos componentes a la posición nominal del P, se obtiene la posición real del mecanismo. CÁLCULO DEL ERROR A LO LARGO DE LA TRAYECTORIA Los resultados del cálculo del error de posición se muestran en la Fig. (4), donde la trayectoria de ida está representada en color azul y la de vuelta en negro, presentándose en color magenta la trayectoria nominal. Se ha exagerado la magnitud de la holgura para mostrar con mayor claridad el efecto que produce. Las dimensiones del mecanismo nominal que realiza la trayectoria descrita son L1 = L2 = d = 0.45 m.

Fig. 4. Error de posición a lo largo de la trayectoria. Se observa que se producen cambios repentinos o discontinuidades en el error de posición. Estos saltos son debidos a cambios de signo en las reacciones de las uniones que a su vez conllevan pérdidas de contacto ente los elementos de la unión, una de las etapas que se describen detalladamente en [8-10]. La pérdida de contacto produce un posterior impacto entre los elementos de la unión, por lo que se producirá una pérdida de energía además de unas vibraciones no deseadas. Por tanto, estas discontinuidades en el error de posición deben ser evitadas. Teniendo en cuenta la importancia de las cargas inerciales en maniobras que alcanzan grandes velocidades y aceleraciones como la analizada en el presente trabajo, se analiza a continuación la influencia del periodo del ciclo en el error de posición. Se parte del ciclo ya descrito con un periodo de maniobra para la trayectoria de ida y vuelta de 0.76 segundos. Posteriormente, se incrementa el periodo para analizar ciclos más lentos en los que las cargas inerciales tengan una influencia menor.

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La Fig. (5a) muestra el error en posición en función de la distancia recorrida para diferentes periodos del ciclo. En los ejes x e y se representan, respectivamente, la distancia recorrida y el periodo del ciclo, mientras que en el eje vertical se muestra el error en posición respecto a la trayectoria nominal. En la Fig. (5b) se muestra una vista plana del mismo error y se puede observar como las curvas coloreadas confluyen en las discontinuidades. A modo de ejemplo, para un periodo de ciclo de un segundo la primera discontinuidad aparece a una distancia de 55 mm desde el punto de salida y la segunda 145 mm. La figura tiene dos mitades claramente diferentes: la parte izquierda se corresponde con la trayectoria de ida (con carga) y la parte derecha describe la trayectoria de vuelta (sin carga). Nótese que existe una inevitable discontinuidad en el error en el momento en que deposita la carga transportada.

(a)

(b) Fig. 5. Influencia del periodo del ciclo en el error en posicionamiento. Continuado con el análisis de la Fig. (5), de ella se puede obtener el periodo mínimo en el que no se producen discontinuidades. Obsérvese que para ciclos rápidos con periodos menores de 1.2 segundos la ubicación de las discontinuidades permanece prácticamente constante. En la trayectoria de ida las discontinuidades desaparecen para periodos mayores de 1.65 segundos, mientras que en la trayectoria de vuelta se mantienen hasta periodos de 2.76 segundos de duración. Por tanto, sin tener en cuenta la inevitable discontinuidad producida al depositar la carga, no aparecerán discontinuidades en ciclos de periodo mayor de 2.76 segundos. OPTIMIZACIÓN DE PARÁMETROS GEOMÉTRICOS En el apartado anterior se ha analizado la influencia de las cargas inerciales en las discontinuidades producidas debidas a las uniones con holgura. Además, se ha calculado el periodo de ciclo mínimo sin discontinuidades para la maniobra de pick-and-place descrita. En esta sección se muestra cómo ese periodo puede ser menor realizando una optimización numérica variando parámetros geométricos del mecanismo. La optimización para lograr un

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periodo mínimo sin saltos se combina con la optimización del espacio o área de trabajo del mecanismo, dando lugar a una optimización multiobjetivo. Para realizar la optimización se toman como variables de diseño las longitudes de las barras L1 y L2 y la distancia d entre los puntos A1 y A2. Para la primera optimización, se desea construir una función que dé como resultado el periodo de ciclo mínimo sin discontinuidades para unos determinados valores de las variables de diseño. La función debe simular la maniobra para distintos valores del periodo y elegir el valor mínimo que garantice la ausencia de discontinuidades. Dado que dicha función no se puede formular de forma analítica, la optimización se realiza numéricamente. Por tanto, para cada combinación de L1, L2 y d se calcula de forma iterativa el error de posición a lo largo de la trayectoria para distintos valores del periodo del ciclo y se elige el periodo mínimo que garantiza que no haya discontinuidades durante la maniobra. La segunda función a optimizar calcula el área de trabajo en función de los mismos parámetros geométricos. En el cálculo se tiene en cuenta una distancia fija h0 desde la base del mecanismo hasta el suelo o la superficie sobre la que se depositan las piezas. También se ha considerado el hecho de que las manivelas no penetren en la zona en la que se manipulan las cargas. De este modo, el área de trabajo se calcula con la siguiente función.

AL1 , L2 , d   h0  L1 · 2·  

L1  L2 2  h0 2  d 2   

(8)

Para el mecanismo de partida, el área de trabajo calculada según la Ec. (8) es de 0.257 m2. Para realizar la optimización, se toman valores de los parámetros de diseño (L1, L2 y d) cercanos a los valores de partida, de manera que no se deba variar excesivamente el diseño de las barras. Se ha considerado que éstas tienen una sección constante que da lugar a una densidad lineal constante. En la siguiente tabla se muestran los valores de las variables utilizadas en la optimización. Tabla 1. Valores de las variables geométricas. Mínimo (m)

Máximo (m)

Intervalo (m)

L1

0.45

0.55

0.005

L2

0.45

0.55

0.005

d

0

0.6

0.03

En la Fig. (6) se presentan los resultados de las evaluaciones de las funciones objetivo en función de los parámetros de diseño L1, L2 y d. Nótese que la primera función se debe minimizar mientras que la segunda debe maximizarse, por lo que los valores óptimos de la función de periodo mínimo se hallan en la zona de color azul mientras que los valores que optimizan el área de trabajo se muestran en rojo:

(a)

(b)

Fig. 6. Periodo mínimo y área de trabajo en función de L1, L2 y d.

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En la Fig. (6a) se observa como el parámetro que más influencia tiene en el periodo mínimo sin saltos es la distancia d entre los puntos fijos A1 y A2, dándose los mínimos valores de periodo sin saltos cuando la distancia es máxima. El valor de periodo mínimo es de 1.58 s y se da para los valores L1 = 0.55 m, L2 = 0.45 m y d = 0.6 m. Para esos mismos valores de los parámetros geométricos del mecanismo, el área de trabajo es de 0.0866 m2. Por tanto, pese a haber logrado una notable mejora en el periodo de ciclo mínimo sin saltos, se ha perdido un más de la mitad del área de trabajo. Cuando se maximiza el área de trabajo (Fig. (6b)) el parámetro más influyente es la longitud de las manivelas L1, dado que cuanto mayor es su longitud más se limita el área de trabajo en la que las manivelas no penetran. En cuanto a los resultados, los valores que optimizan el área de trabajo son precisamente los que peor resultado dan para el periodo de ciclo mínimo. Los valores que maximizan el área de trabajo son L1 = 0.45 m, L2 = 0.55 m y d = 0 m, dando unos valores de área de trabajo y periodo mínimo sin saltos, respectivamente, de 0.3499 m2 y 3.04 s. Así, mientras el área de trabajo aumenta respecto al mecanismo de partida, se pierde velocidad en el periodo mínimo sin saltos. Tal como se observa en la Fig. (6), los resultados de una optimización se contraponen con los de la otra. Para resolver esta optimización multiobjetivo se hará uso del frente de Pareto. Este procedimiento conduce a un resultado que no es único sino un conjunto de soluciones en el espacio de los parámetros de diseño, además de una representación de los resultados en el espacio de las funciones objetivo. Según los requerimientos, algunas soluciones convenientemente elegidas se pueden apreciar como un compromiso óptimo entre las dos funciones objetivo. Este compromiso se denomina frente de Pareto y, en este caso, es un volumen en el espacio tridimensional según las funciones objetivo planteadas. Para llevar a cabo la optimización multiobjetivo, el primer paso a dar es la normalización de las funciones objetivo. En el caso de la función que calcula el periodo mínimo sin saltos, además, se debe reformular de manera que el objetivo sea la maximización. Esto se logra representando la función 1-f, siendo f la función normalizada que da el periodo mínimo sin saltos. Una vez reformuladas las funciones de optimización, representando sólo los valores superiores al 50% del valor máximo de cada función, se obtienen las siguientes figuras:

(a)

(b)

Fig. 7. Periodo mínimo y área de trabajo en función de L1, L2 y d. Valores mayores de 0,5. Obsérvese que la zona de valores máximos de la Fig. (7a) se corresponde con los valores azules de la Fig. (6a), dado que se ha manipulado la función para poder maximizarla en lugar de minimizarla. Las optimizaciones de la Fig. (7) muestran como los valores de óptimos de un función y de otra se dan en aristas contrapuestas. Por tanto, los valores de compromiso de la optimización multiobjetivo se alejan significativamente de los valores óptimos de las funciones objetivo consideradas individualmente. En la Fig. (8) se representa la intersección entre los volúmenes de la Fig. (7). El volumen de la figura representa los valores de L1, L2 y d que optimizan el comportamiento del mecanismo en lo que respecta a periodo mínimo sin saltos y área de trabajo. El color de cada punto representa a su vez una media cuadrática de las funciones objetivo.

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Fig. 8. Influencia del periodo del ciclo en el error en posicionamiento. A lo hora de diseñar el mecanismo se puede elegir un punto dentro del volumen representado en la figura anterior optimizando una de las dos funciones objetivo o según restricciones adicionales. En este caso se han elegido los valores de los parámetros de diseño que minimizan el periodo mínimo sin saltos. Así, el punto óptimo del volumen se obtiene para los valores L1 = 0.45 m, L2 = 0.55 m y d = 0.6 m, en el que el periodo mínimo sin saltos es de 2.2340 s y el área de trabajo es de 0.2599 m2. De este modo, se ha logrado reducir el periodo mínimo sin saltos en medio segundo sin reducir el área de trabajo del mecanismo. CONCLUSIONES Se ha presentado una metodología para el cálculo del error en posición debido a las uniones con holgura. La metodología utiliza la dinámica del mecanismo nominal para calcular las reacciones en las uniones con holgura y, a partir de éstas, define el modo de contacto entre las partes de la unión. Se ha aplicado la metodología descrita a una trayectoria de pick-and-place realizada por el mecanismo plano 5R. Los resultados muestran discontinuidades en el error de posición debidas a la pérdida de contacto entre los elementos de la unión. Dada la dependencia de las cargas inerciales que tienen las discontinuidades, se ha calculado el periodo de ciclo mínimo para el que no se producen discontinuidades. A continuación, se ha realizado una optimización de los parámetros geométricos del mecanismo con el objetivo de reducir el periodo mínimo sin saltos. Esta optimización se ha combinado con una optimización del espacio de trabajo por medio del frente de Pareto. Los resultados muestran que se ha logrado reducir el periodo mínimo sin saltos sin reducir el espacio de trabajo. REFERENCIAS [1] K-L. Ting, J. Zhu, D. Watkins, The effects of joint clearances on position and orientation deviation of linkages and manipulators, Mechanism and Machine Theory, 35 (2000), 391-401. [2] J. Zhu, K-L. Ting, Uncertainty analysis of planar and spatial robots with joint clearances, Mechanism and Machine Theory, 35 (2000), 1239-1256. [3] C.R. Tischer, A.E. Samuel, Prediction of the Slop in General Spatial Linkages, International Journal of Robotics Research, 18 (1999), 845-858. [4] J. Meng, D. Zhang, Z. Li, Accuracy Analysis of Parallel Manipulators With Joint Clearance, Journal of Mechanical Design, 131 (2009), 011013-1-9. [5] S. Venanzi, V. Parenti-Castelli, A New Technique for Clearance Influence Analysis in Spatial Mechanisms, Journal of Mechanical Design, 127 (2005), 446-455. [6] M-J. Tsai, T-H. Lai, Kinematic sensitivity analysis of linkage with joint clearance based on transmission quality, Mechanism and Machine Theory, 39 (2004), 1189-1206. [7] A.-H. Chebbi, Z. Affi, L. Romdhane, Prediction of the pose errors produced by joints clearance for a 3UPU parallel robot, Mechanism and Machine Theory, 44 (2009), 1768-1783. [8] P. Flores, J. Ambròsio, Revolute Joints with Clerance in Multibody Systems, Computers and Structures, 82 (2004), 1359-1369.

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