UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Análisis de respuesta en frecuencia

Con el término respuesta en frecuencia, nos referimos a la respuesta de un sistema en estado estable a una entrada senoidal. En los métodos de la respuesta en frecuencia, la frecuencia de la señal de entrada se varía en un cierto rango, para estudiar la respuesta resultante. El criterio de estabilidad de Nyquist nos permite averiguar la estabilidad relativa y absoluta de los sistemas lineales en lazo cerrado a partir del conocimiento de sus características de frecuencia en lazo abierto. Obtención de salidas en estado estable para entradas senoidales. Considere el sistema estable, lineal e invariante con el tiempo de la figura.

La entrada y la salida del sistema, cuya función de transferencia es G (s ) , se representan mediante

y (t ) , respectivamente.

x(t ) y

Supongamos que la señal de entrada es

x(t ) = X sen ω t Suponga que la función de transferencia decir,

G (s ) =

G (s ) se escribe como un cociente de dos polinomios en s ; es p (s ) p(s ) = q(s ) (s + s1 )(s + s2 )

(s + sn )

En este caso, la salida transformada mediante el método de Laplace es

Y (s ) = G (s )X (s ) =

p(s ) X (s ) q (s )

La respuesta en estado estable de un sistema estable, lineal e invariante con el tiempo ante una entrada senoidal no depende de las condiciones iniciales. (Por tanto, suponemos una condición inicial cero.) Si Y s sólo tiene polos distintos, la expansión en fracciones parciales de la ecuación produce

()

ωX s2 + ω 2 a a b b b = + + 1 + 2 + + n s + jω s − jω s + s1 s + s2 s + sn Y (s ) = G (s )X (s ) = G (s )

(

)

en donde a y b para i = 1,2,…, n son constantes y a es el complejo conjugado de a . La transformada inversa de Laplace de la ecuación

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y (t ) = ae − jω t + a e jω t + b1e Para un sistema estable,

− s 1t

+ bn e − s n t

+ b2e − s 2 t +

(t ≥ 0)

− s1,− s2 ,…,− sn , tienen partes reales negativas. De este modo, conforme t tiende

− s1t

−s t

−s t

a infinito, los términos e , e 2 ,…, y e n tienden a cero. Por lo tanto, todos los términos en el segundo miembro de la ecuación, excepto los dos primeros, se descartan en estado estable.

y ss (t ) = a e − jω t + a e − jω t En donde la constante

Dado que

a se evalúa del modo siguiente: a = G (s )

XG (− jω ) ωX (s + jω ) =− 2j s2 + ω 2 s = − jω

a = G (s )

ωX (s − jω ) = XG( jω ) 2 2j s +ω s = jω 2

G ( jω ) es una cantidad compleja, se escribe en la forma siguiente: G ( jω ) = G ( jω ) e jφ

en donde G ( jω ) representa la magnitud y φ representa el ángulo de

G ( jω ) ; es decir,

⎡ parte imaginaria de G ( jω ) ⎤ ⎥ parte real G ( jω ) ⎢⎣ ⎥⎦

φ = G ( jω ) = tan −1 ⎢

El ángulo φ puede ser negativo, positivo o cero. Asimismo, obtenemos la expresión siguiente para

G(− jω ) :

G (− jω ) = G (− jω ) e − jφ = G ( jω ) e − jφ Considerando que

a=−

X G ( jω ) e − jφ 2j

,

a =−

X G ( jω ) e jφ 2j

La ecuación puede escribirse como

y ss (t ) = X G ( jω )

e j (ω t +φ ) − e − j (ω t +φ ) 2j

= X G ( jω ) sen (ω t + φ ) = Y sen (ω t + φ ) Donde

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Y = X G ( jω )

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Observamos que un sistema estable, lineal e invariante con el tiempo sujeto a una entrada senoidal tendrá, en estado estable, una salida senoidal de la misma frecuencia que la entrada. Pero la amplitud y la fase de la salida serán, en general, diferentes de las de la entrada.

G ( jω ) = G ( jω ) =

Y ( jω )

X ( jω )

= cociente de las amplitudes de la senoidal de salida entre la senoidal de entrada

Y ( jω )

X ( jω )

= defasamiento de la senoidal de salida con respecto a la senoidal de entrada

Por tanto, las características de respuesta de un sistema para una entrada senoidal se obtienen directamente de

Y ( jω ) = G ( jω ) X ( jω ) La función

G ( jω ) se denomina función de transferencia senoidal. Es el cociente entre Y ( jω ) y X ( jω ) .

Es una cantidad compleja y se representa mediante una magnitud y un ángulo de fase con la frecuencia como parámetro. (Un ángulo de fase negativo se denomina atraso de fase y un ángulo de fase positivo se denomina adelanto de fase.) La función de transferencia senoidal de cualquier sistema lineal se obtiene sustituyendo s por jω en la función de transferencia del sistema.

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Ejemplo Considere el siguiente sistema, cuya función de transferencia es

G (s ) =

5 2s + 1

Cambiando la s por jω

G ( jω ) =

5 j 2ω + 1

La magnitud es

G ( jω ) =

5 4ω 2 + 1

El defasamiento es

φ = ∠G ( jω ) = − tan −1 2ω Función de Transferencia

G (s ) =

60 s(s + 4)(s + 8)

ω

G ( jω )

∠G ( jω )

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10 20 50

5 4.996 4.975 4.903 4.642 3.535 2.236 1.213 0.497 0.249 0.125 0.05

-1.15° -2.29° -5.71° -11.31° -21.80º -45.00° -63.43° -75.96° -84.29° -87.14° -88.56° -89.43°

Ecuaciones de magnitud y fase 60 G ( jω ) = jω ( jω + 4)( jω + 8) 60 G ( jω ) = 2 ω ω + 16 ω 2 + 64 ∠G ( jω ) = −90° − tan −1

G ( jω ) = G (s ) =

100( s + 8) s (s + 4 )(s + 12 ) 2

G ( jω ) =

G ( jω ) =

G (s ) =

(s

70

2

)

+ 4 s + 8 (s + 5)

( jω )2 ( jω + 4)( jω + 12) 100 ω 2 + 64

ω 2 ω 2 + 16 ω 2 + 144 −1 ω −1 ω

(− ω

8

70 (s + 2 + j 2)(s + 2 − j 2)(s + 5)

2

4

− tan −1

ω 12

)

+ j 4ω + 8 ( jω + 5) 70

(

16ω 2 + 8 − ω 2

∠G ( jω ) = − tan −1

4ω

8 −ω2 4ω −1

)

2

ω 2 + 25 −1 ω

− tan

ω2 8 + 180° ⎟ − tan −1 5 8−ω ⎠ 70 G ( jω ) = ( jω + 2 + j 2)( jω + 2 − j 2)( jω + 5) 70 G ( jω ) = 2 2 (ω + 2) + 2 (ω − 2)2 + 2 2 ω 2 + 25 ∠G ( jω ) = − tan −1

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− 180° − tan

70

⎛ ∠G ( jω ) = −⎜ tan ⎝

G (s ) =

ω

− tan −1 4 8 100( jω + 8)

∠G ( jω ) = tan

G ( jω ) =

ω

4

2

ω+2 2

− tan −1

ω−2 2

− tan −1

ω 5

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Presentación de las características de la respuesta en frecuencia en forma gráfica. La función de transferencia senoidal, función compleja de la frecuencia ω , se caracteriza por su magnitud y ángulo de fase, con la frecuencia como parámetro. Por lo general se usan tres representaciones gráficas de las funciones de transferencia senoidales: 1. Las gráficas de Bode o gráficas logarítmicas 2. Las gráficas de Nyquist o gráficas polares 3. Las gráficas de magnitud logarítmica contra la fase

Gráficas de Bode Las gráficas de Bode están formadas por dos gráficas: una es el logaritmo de la magnitud de una función de transferencia senoidal y la otra es el ángulo de fase. Ambas se grafican contra la frecuencia en la escala logarítmica. La unidad que se usa en esta representación del logaritmo de la magnitud es el decibel (dB ) ,

G ( jω ) dB = 20log G ( jω ) . Se trazan las curvas sobre papel semilogarítmico, con la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal para la magnitud (en decibeles) o el ángulo de fase (en grados). (El rango de frecuencia de interés determina la cantidad de ciclos logarítmicos que se requieren en la abscisa.) La ventaja principal de usar la grafica de Bode es que la multiplicación de magnitudes se convierte en adición. Además, cuenta con un método simple para trazar una curva aproximada de magnitud logarítmica. Se basa en aproximaciones asintóticas. Esta aproximación, mediante asíntotas (líneas rectas), es suficiente si sólo se necesita información general sobre la característica de la respuesta en frecuencia.

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Ejemplo Para la siguiente función de transferencia, determine el logaritmo de la magnitud y la fase para diferentes valores de frecuencia.

G (s ) = Cambiando la s por jω

G ( jω ) =

5

5 2s + 1

G ( jω ) =

j 2ω + 1

5 4ω 2 + 1

La ecuación de la magnitud en decibeles es

G ( jω ) dB = 20 log 5 − 20 log 4ω 2 + 1 El defasamiento es

φ = ∠G ( jω ) = − tan −1 2ω

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5

13.977 13.972 13.936 13.809 13.335 10.969

-1.15° -2.29° -5.71° -11.31° -21.8 -45°

1.0 2.0 5.0 10 20 50

6.989 1.675 -6.064 -12.052 -18.065 -26.021

-63.43° -75.96° -84.29° -87.14° -88.57° -89.43°

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Ejemplo 1

G (s ) =

G ( jω ) =

60 jω ( jω + 4 )( jω + 8 )

G ( jω ) =

60 s (s + 4 )(s + 8) 60

ω ω + 16 ω 2 + 64 2

G ( jω ) dB = 20log 60 − 20log ω − 20log ω 2 + 16 − 20log ω 2 + 64 ∠G ( jω ) = −90° − tan −1

ω 4

− tan −1

ω 8

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0

25.46 19.43 11.4 5.13 -1.79

-92.15 -94.29 -100.7 -111.16 -130.6

5.0 10 20 50 100

-14.04 -27.23 -43.31 -66.51 -84.47

-173.34 -209.54 -236.89 -256.33 -263.13

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Ejemplo 2

G (s ) =

G ( jω ) =

50(s + 10 ) (s + 1)(s + 3)(s + 5)(s + 7 )

50 ( jω + 10 )

G ( jω ) =

( jω + 1)( jω + 3)( jω + 5)( jω + 7 )

50 ω 2 + 100

ω 2 + 1 ω 2 + 9 ω 2 + 25 ω 2 + 49

G ( jω ) dB = 20log 50 + 20log ω 2 + 100 − 20log ω 2 + 1 − 20log ω 2 + 9 − 20log ω 2 + 25 − 20log ω 2 + 49 ∠G ( jω ) = tan −1

ω 10

− tan −1 ω − tan −1

ω 3

− tan −1

ω 5

− tan −1

ω 7

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0

13.50 13.35 12.41 9.87 4.15

-9.01 -17.90 -42.96 -77.16 -123.56

5.0 10 20 50 100

-10.20 -26.13 -43.98 -67.93 -86.01

-191.69 -231.03 -251.84 -263.05 -266.55

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Ejemplo 3

G (s) =

7 ( s + 4)

s ( s + 2 ) ( s 2 + 4s + 8 )

G ( jω ) dB = 20log 7 + 20log ω 2 + 16 − 20log ω − 20log ω 2 + 4 − 20log 16ω 2 + ( 8 − ω 2 ) 4ω 8 − ω2 ω ω ⎛ 4ω ⎞ ∠G ( jω ) = tan −1 − 90° − tan −1 − ⎜ tan −1 + 180º ⎟ 2 4 2 ⎝ 8−ω ⎠ ∠G ( jω ) = tan −1

ω 4

− 90° − tan −1

ω 2

ω2 < 8

− tan −1

G (s) =

ω2 > 8

7 ( s + 4)

s ( s + 2 )( s + 2 + 2 j )( s + 2 − 2 j )

G ( jω ) dB = 20log 7 + 20log ω 2 + 16 − 20log ω − 20log ω 2 + 4 − 20log ∠G ( jω ) = tan −1

ω 4

− 90° − tan −1

ω 2

− tan −1

2

ω+2 2

− tan −1

(ω + 2 )

2

+ 4 − 20log

(ω − 2 )

2

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0

24.85 18.81 10.68 4.09 -4.17

-94.29 -98.56 -111.38 -132.27 -171.87

5.0 10 20 50 100

-23.96 -42.65 -61.03 -85.01 -103.09

-237.22 -256.99 -264.06 -267.69 -268.85

9

+4

ω −2

ω

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Las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas. Una octava es una banda de frecuencia de ω1 a 2ω1 . Una década es una banda de frecuencia de ω1 a 10ω1 .

La distancia horizontal de ω1 = 1 a ω1 = 10 es igual a la de ω1 = 3 a ω1 = 30 .

Factores básicos de G ( jω )H ( jω )

Los factores básicos que suelen ocurrir en una función de transferencia arbitraria G ( jω )H ( jω ) son: 1.

Ganancia K

2.

Factores integral y derivativo ( jω )

3.

Factores de primer orden (1 + jω )

4.

Factores cuadráticos 1 + 2ζ ( jω ωn ) + ( jω ωn )

∓1

±1

[(

)]

2 ∓1

Ganancia K Un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibeles, en tanto que un número menor que la unidad tiene un valor negativo. La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibeles. El ángulo de fase de la ganancia K es cero. El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia es que sube o baja la curva de magnitud logarítmica de la función de transferencia en la cantidad constante correspondiente, pero no afecta la curva de fase.

20 log(K × 10) = 20 log K + 20 20 log(K × 0.1) = 20 log K − 20

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Factores de integral y de derivada ( jω )

∓1

(polos y ceros en el origen). Grafica de Bode

La magnitud logarítmica de (1 jω ) en decibeles es

1 = −20log ω jω

20log

El ángulo de fase de (1 jω ) es

⎛ 1 ⎞ ⎟ = −90° ⎝ jω ⎠

φ = ∠⎜ Si

se

grafica

se

obtiene

la

magnitud

logarítmica

de

pendiente

de

− 20 log ω dB contra ω en una escala logarítmica, una

recta

con

− 20 dB / decada (− 6 dB / octava ) .

La magnitud logarítmica de jω en decibeles es

20log jω = 20log ω El ángulo de fase de

( jω )

es

φ = ∠ ( jω ) = 90° La curva de magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de 20 dB / decada .

Si la función de transferencia contiene el factor (1 jω ) respectivamente, en

n

20log

1

( jω )

⎛

φ = ∠⎜

⎜ ( jω )n ⎝

( jω )n

la magnitud logarítmica se convierte,

= − n × 20log jω = −20n log ω

n

1

o

⎞ ⎟ = − n * 90º ⎟ ⎠

20log ( jω ) = n × 20log jω = 20n log ω n

φ = ∠ ( jω ) = n * 90º n

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Por tanto, las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica para los factores (1 jω )

n

y

( jω )n

son

− 20n dB / decada y 20n dB / decada , respectivamente. El ángulo de fase de (1 jω ) es igual a − 90° × n n

durante todo el rango de frecuencia, en tanto que el de

( jω )n

es igual a 90° × n en todo el rango de

frecuencia. Las curvas de magnitud pasarán por el punto (0 dB, ω = 1) .

Factores de primer orden (1 + jωT )

∓1

(polos y ceros reales) Grafica de Bode

La magnitud logarítmica de 1 (1 + jωT ) es

20 log

1 = −20 log 1 + ω 2T 2 1 + jωT

El ángulo de fase de 1 (1 + jωT ) es

⎛

1 ⎝ 1 + jωT

φ = ∠⎜

⎞ −1 ⎟ = − tan ωT ⎠

La magnitud logarítmica de (1 + jωT ) es

20 log 1 + jωT = 20 log 1 + ω 2T 2 El ángulo de fase de (1 + jωT ) es

φ = ∠(1 + jωT ) = tan −1 ωT

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[

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Factores cuadráticos 1 + 2ζ ( jω ω n ) + ( jω ω n ) La

]

2 ∓1

magnitud

logarítmica

⎡1 + 2ζ ( jω ωn ) + ( jω ωn ) ⎤ ⎣ ⎦

(polos y ceros complejos)

de

Grafica de Bode

−1

2

es

20log

1 ⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ 1 + 2ζ ⎜ j ⎟ + ⎜ j ⎟ ⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠

2

2

⎛ ω2 ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎟⎟ = −20 log ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2ζ ⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠

2

El ángulo de fase es

⎛ ⎞ ⎡ ω ⎤⎥ ⎜ ⎟ ⎢ 2ζ ωn ⎥ 1 ⎜ ⎟ ⎢ = − tan −1 ⎢ φ = ∠⎜ 2 ⎟ 2 ⎥ ⎜ 1 + 2ζ ⎛ j ω ⎞ + ⎛ j ω ⎞ ⎟ ⎢1 − ⎛ ω ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠ ⎠ ⎝ ⎣ ⎝ ωn ⎠ ⎦

La

magnitud

logarítmica

de

⎡1 + 2ζ ( jω ωn ) + ( jω ωn ) ⎤ ⎣ ⎦ 2

es

⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ 20log 1 + 2ζ ⎜ j ⎟ + ⎜ j ⎟ ⎝ ωn ⎠ ⎝ ω n ⎠

2

2

⎛ ω2 ⎞ ⎛ ω⎞ = 20log ⎜1 − 2 ⎟ + ⎜ 2ζ ⎟ ⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠

2

El ángulo de fase es

⎡ ω ⎤⎥ ⎢ 2ζ ⎛ ⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎞ ωn ⎥ ⎢ φ = ∠ ⎜ 1 + 2ζ ⎜ j ⎟ + ⎜ j ⎟ ⎟ = tan −1 ⎢ 2 ⎥ ⎜ ⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠ ⎠⎟ ⎝ ⎢1 − ⎛ ω ⎞ ⎥ ⎢ ⎜⎝ ωn ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2

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Estabilidad Margen de fase: El margen de fase es la cantidad de atraso de fase adicional en la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad. La frecuencia de cruce de ganancia ωc es la frecuencia en la cual la magnitud de la función de transferencia

en lazo abierto, es unitaria, G ( jωc ) = 1 . El margen de fase MF sería.

MF = 180° + ∠G ( jωc )

Margen de ganancia: El margen de ganancia es el recíproco de la magnitud G jω f

(

MG =

1 G jω f

(

) en la frecuencia de cruce de fase ω

f

.

)

En términos de decibeles

(

MG (dB ) = 20 log MG = −20 log G jω f

)

La frecuencia de cruce de fase ω f es la frecuencia en la cual el ángulo de fase de la función de

(

)

transferencia en lazo abierto es − 180º , ∠G jω f = −180º .

Margen de fase y de Ganancia para sistemas estables, críticamente estables e inestables.

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Ejemplo 1

G (s) =

3 G ( jω ) = jω ( jω + 1)( jω + 2)

3 s ( s + 1)( s + 2 )

G ( jω ) dB = 20log 3 − 20log ω − 20log ω 2 + 1 − 20log ω 2 + 4 ∠G ( jω ) = −90° − tan −1 ω − tan −1

ω 2

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0

23.47 17.29 8.31 -0.46 -12.5

-98.57 -107.02 -130.6 -161.57 -198.44

5.0 10 20 50 100

-33.21 -50.67 -68.57 -92.4 -100.46

-236.89 -252.98 -261.43 -266.56 -268.28

Frecuencia de transición de ganancia ωc = 0.97 rad seg

G ( jωc ) = 0 dB ∠G ( jωc ) = −160° MF = 20°

Frecuencia de transición de fase ω f = 1.41 rad seg

∠G ( jω f ) = −180°

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G ( jω f

15

) = −6.02 dB

MG = 6.02 dB

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

¿Cuál es la ganancia crítica K c ? La ganancia crítica es cuando tenemos un MF = 0° y MG = 0 dB Necesitamos subir la gráfica de magnitud 6.02 dB o sea que debemos de tener una de magnitud de 0 dB y un defasamiento de 180° en ω f = 1.41 rad seg .

20 log K c = 6.02

K c = 106.02 20 = 2

¿Cuál es la ganancia necesaria para tener un MF de 50º ? Para cumplir con el MF debemos de tener un defasamiento de −130º

( −180° + 50° ) , este defasamiento se

presenta en ω = 0.49 y tenemos una magnitud de 8.53 dB Entonces, se necesita bajar la gráfica de magnitud 8.53 dB para tener 0 dB en ω = 0.49 .

20log K = −8.53

G (s ) =

INGENIERÍA DE CONTROL RESPUESTA EN FRECUENCIA

16

K = 10−8.53 20 = 0.374

3 * 0.374 s (s + 1)(s + 2 )

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Ejemplo 2

G (s) = G ( jω ) =

1700

( s + 3)( s + 6 )

2

G ( jω ) dB = 20log 1700 − 20log ω 2 + 9 − 20log ω 2 + 36 − 20log ω 2 + 36

1700

( jω + 3)( jω + 6 )

2

∠G ( jω ) = − tan −1

ω 3

− tan −1

ω 6

− tan −1

ω 6

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

ω

G ( jω ) dB

∠G ( jω )

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0

23.93 23.91 23.76 23.24 21.43

-3.82 -7.63 -18.99 -37.36 -70.56

5.0 10 20 50 100

13.59 1.56 -14.3 -37.47 -55.43

-138.65 -191.37 -228.07 -252.88 -261.41

Frecuencia de transición de ganancia

ωc = 10.8 rad seg

G ( jωc ) = 0 dB ∠G ( jωc ) = −196.2° MF = −16.2° Frecuencia de transición de fase

ω f = 8.49 rad seg

∠G ( jω f ) = −180°

G ( jω f

) = 4.86 dB

MG = −4.86 dB

Sistema inestable ¿Cuál es la ganancia crítica K c ? INGENIERÍA DE CONTROL RESPUESTA EN FRECUENCIA

20 log K c = −4.86 17

K c = 10−4.86 20 = 0.571 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

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¿Cuál es la ganancia necesaria para tener un MF de 50º ? Para cumplir con el MF = 50° debemos de tener un defasamiento de −130º ,

( −180° + 50° ) ,

este

defasamiento se presenta en ω = 4.5 y tenemos una magnitud de 14.95 dB Entonces, se necesita bajar la gráfica de magnitud 14.95 dB para tener 0 dB en ω = 4.5 .

20log K = −14.95

G (s) =

Frecuencia de transición de ganancia

K = 10−14.95 20 = 0.179

1700 * 0.179

( s + 3)( s + 6 )

2

=

304.3

( s + 3)( s + 6 )

2

ωc = 4.48 rad seg

G ( jωc ) = 0 dB ∠G ( jωc ) = −129.7° MF = 50.3° Frecuencia de transición de fase

ω f = 8.49 rad seg

∠G ( jω f ) = −180° Ganancia crítica K c

INGENIERÍA DE CONTROL RESPUESTA EN FRECUENCIA

G ( jω f

20 log K c = 10.1

18

) = −10.1 dB

MG = 10.1 dB

K c = 1010.1 20 = 3.199

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¿Cuál es la ganancia necesaria para tener un

MF de 60º ?

Para cumplir con el MF = 60° debemos de tener un defasamiento de −120º ,

( −180° + 60° ) ,

este

defasamiento se presenta en ω = 3.98 y tenemos una magnitud de 16.39 dB Entonces, se necesita bajar la gráfica de magnitud 16.39 dB para tener 0 dB en ω = 3.98 .

20log K = −16.39

G (s) =

Frecuencia de transición de ganancia

K = 10−16.39 20 = 0.152

1700 * 0.152

( s + 3)( s + 6 )

2

=

258.4

( s + 3)( s + 6 )

2

ωc = 3.98 rad seg

G ( jωc ) = 0 dB ∠G ( jωc ) = −120.1° MF = 59.9° Frecuencia de transición de fase

ω f = 8.49 rad seg

∠G ( jω f ) = −180° Ganancia crítica K c

INGENIERÍA DE CONTROL RESPUESTA EN FRECUENCIA

G ( jω f

20 log K c = 11.5

19

) = −11.5 dB

MG = 11.5 dB

K c = 1011.5 20 = 3.758

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Diagrama de Bode para diferentes valores de ganancia

G (s) = K G ( jω ) = jω ( jω + 1)( jω + 2 )

K s ( s + 1)( s + 2 )

G ( jω ) dB = 20log K − 20log ω − 20log ω 2 + 1 − 20log ω 2 + 4 ∠G ( jω ) = −90° − tan −1 ω − tan −1

ω 2

Margenes de fase y de ganancia para diferentes valores de ganancia

K 0.05 0.2 0.385 1.036

ωc

MF 87.9 81.5 74 52.4

0.025 0.1 0.188 0.459

INGENIERÍA DE CONTROL RESPUESTA EN FRECUENCIA

MG 41.6 29.5 23.9 15.3

ωf

K

1.414 1.414 1.414 1.414

2.5 5.5 6 9

20

MF 25.7 2.37 0 -10.43

ωc 0.867 1.35 1.414 1.72

MG 7.6 0.756 0 -3.52

ωf 1.414 1.414 1.414 1.414

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