ANÁLISIS DE RIESGO

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Análisis de riesgo El capítulo anterior logró tres objetivos. Primero, le hemos puesto a usted al corriente sobre la historia de los mercados de capitales estadounidenses. Segundo, presentamos estadísticas tales como la rentabilidad esperada, la varianza, la desviación estándar y la beta. Tercero, presentamos un modelo simplificado de tasa de descuento de un proyecto arriesgado. Sin embargo, en el capítulo previo señalamos que la naturaleza del modelo anterior es ad hile. Los dos capítulos siguientes presentan un planteamiento razonado cuidadosamente para calcular la tasa de descuento de un proyecto arriesgado. Los capítulos I () Y 11 analizan el riesgo y la rentabilidad de los títulos individuales cuando estos títulos forman parte de una cartera cuantiosa En tanto que esta investigación es una etapa necesaria para el descuento de proyectos, los proyectos corporativos no se consideran aquí. En su lugar, se reserva para el capítulo 12, un análisis de la tasa de descuento adecuada para el presupuesto de capital. Se puede resumir la esencia de este capítulo como sigue: Un individuo que tiene un título debe usar la rentabilidad esperada como la medida de la rentabilidad del título. La desviación estándar o la varianza es la medida apropiada del nesgo del título. A una persona que tiene una cartera diversificada le interesa la contribución de cada título a la rentabilidad esperada y al riesgo de la cartera. Sucede que la rentabilidad esperada de un título es la medida adecuada de la contribución del título a la rentabilidad esperada sobre la cartera Sin embargo, ni la varianza ni la desviación estándar son medidas adecuadas de la contribución de Un título al riesgo de una cartera. La contribución de un título al riesgo de la cartera se mide mejor mediante la beta una

expectativa,

está claro que la rentabilidad real puede ser mayor o menor. La expectativa de un individuo puede ser simplemente la rentabilidad promedio por periodo que ha ganado en periodos anteriores. Alternativamente, la rentabilidad esperada se puede basar en un análisis detallado de las expectativas de una empresa, en algún modelo computadorizado, o en información especial (o interna).

2. Varianza y desviación estándar. Existen muchas maneras de valorar la volatilidad de la rentabilidad de un título; una de las más comunes es la varianza, que es una medida del cuadrado de las desviaciones de la rentabilidad de un título de su rentabilidad esperada. La desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza, se puede considerar como una versión estandarizada de la varianza.

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3. Covarianza y correlación. Las rentabilidades de los títulos individuales se relacionan entre sí. La covarianza es una medida estadística de la interacción de dos títulos. De modo alternativo, se puede expresar esta interacción en términos de la correlación entre dos títulos. La covarianza y la correlación son pilares del entendimiento del coeficiente beta. Rentabilidad esperada, varianza y covarianza Rentabilidad esperada y varianza Suponga que los analistas financieros piensan que existen cuatro estados económicos igualmente posibles: depresión, recesión, normalidad y prosperidad. Se espera que las rentabilidades de la Supertech Company sigan de cerca el curso de la economía, en tanto que se espera que las rentabilidades de la Slowpoke Company no lo hagan así. En seguida, se presentan las proyecciones de las rentabilidades: Rentabilidades de Supertech

Rentabilidades de Slowpoke

RA1

R&

Depresión

-20%

5%

Recesión

10

20-

Normalidad

30

12

Prosperidad

50

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Se puede calcular la varianza en cuatro pasos. El primer paso es el cálculo de la rentabilidad esperada. Se requiere un paso adicional para calcular la desviación estándar. (La tabla lO.! presenta los cálculos.) l. Calculamos la rentabilidad esperada: Supertech: - 0.20 + 0.10 + OJO + 0.50 =0.175 =17.5% [L~~I~lO.l~álc~IO de la varianza y lad~s~i~~iÓn-~stá~d;t--~------(1)

'-R - -020 + 0.10+ OJO + O.5e = 0.175 = 175% A-

4

Var(RA) = (f~ = 0¡675 = 0066M75

SD(RA) = (fA = VO:-()(,(,S75 = 0.2\86 = 25.86% tR = 0.05.;. 020 - 0.12 + 009 = 00\\ = 5 ~o/t 8

4

. ..

.. e

3

Var(R ) = 2= 00529= O (lIP'\ 8 (fa

4

.. ••.

SD(RB)= (f8 =V[OI3m 1150% = 0.1150 = Slowpoke: 0.05+ 0.12 - 0.20+ 0.09= 0.055= 5.5%4

2. Calculamos, para cada compañía, la desviación de cada rentabilidad posible de la rentabilidad esperada de la compañía que se ha proporcionado. La tercera columna de la tabla 10.1 presenta este cálculo. 3. Las desviaciones que hemos calculado son señales de la dispersión de las rentabilidades. No obstante, es difícil trabajar con las desviaciones de esta forma porque algunas son positivas y otras son negativas. Por ejemplo, si sólo debiéramos sumar todas las desviaciones de una compañía en particular, obtendríamos cero como resultado. Para hacer que las desviaciones sean más significativas, multiplicamos cada una por sí misma. Ahora todas las cifras son positivas, implicando que su adición también debe ser positiva La última columna de la tabla 1(1 1 presenta Lis desviaciones elevadas al cuadrado.

4. Calculamos, para cada compañía, la desviación cuadrada promedio, que es la varianza: 1

4

Supertech: 0.140625+ 0.005625+ 0.015625+ 0.066875 = 0.105625 4 Slowpoke: 0.000025+ 0.021025+ 0.030625+ 0.001225= 4 0.013225

Por lo tanto, la varianza de Supertech es de 0.066875, y la varianza de Slowpoke es de 0.013225. 5. Calculamos la desviación estándar sacando la raíz cuadrada de la vananza: Supertech:

JO.066875 =- 0.2586 = 25.86% Slowpoke:

.J 11.50% = 0.1150 = 0.013225 La fórmula de la varianza se puede expresar algebraicamente como Var( R) = Valor esperado de (R - Ji)2

DondeR es la rentabilidad esperada del título y R es la rentabilidad real. Un análisis del cálculo de cuatro pasos de la varianza hace evidente por qué ésta es una medida de la dispersión del modelo de rentabilidades. Para cada observación, se eleva al cuadrado la diferencia entre la rentabilidad real y la rentabilidad esperada. Se saca un promedio de estas diferencias al cuadrado; elevando al cuadrado estas diferencias todas son positivas. Si usáramos las diferencias entre cada rentabilidad y la rentabilidad esperada, y luego promediáramos estas diferencias, obtendríamos un resultado de cero porque las rentabilidades que fueran mayores que el promedio anularían las que se encontraran por debajo del mismo.

Sin embargo, dado que la varianza se expresa aún en términos cuadráticos, es difícil interpretarla. Es mucho más sencillo interpretar la desviación estándar, lo cual haremos dentro de poco. La desviación estándar simplemente es la raíz cuadrada de la varianza. La fórmula general de la desviación estándar es

SD(R) = ~Var(R)

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Covarianza y correlación Los estadísticos creen que la varianza y la desviación estándar miden la variabilidad de las acciones individuales. Ahora queremos ponderar la relación entre la rentabilidad de dos acciones. Para hacer que nuestro análisis sea más preciso, necesitamos una medida estadística de la relación entre dos variables. Entre la covarianza y la correlación. La covarianza y la correlación son maneras de medir si dos variables al azar se relacionan, y cómo se relacionan. Explicamos estos términos ampliando un ejemplo que presentamos anteriormente en este capítulo.

Ejemplo En este capítulo ya hemos determinado las rentabilidades esperadas y las desviaciones estándar de Supertech y Slowpoke. (Las rentabilidades esperadas de Supertech y Slowpoke son de 0.175 y 0.055, respectivamente, y las desviaciones estándar son de 0.2586 y 0.1150, respectivamente.) Además, calculamos, para cada empresa, la desviación de cada rentabilidad posible de la rentabilidad esperada. Usando estos datos, se puede calcular en dos pasos la covarianza. Es necesario un paso adicional para calcular la correlación. 1. Para cada estado de la economía, multiplicamos la desviación de . Supertech de su rentabilidad esperada por la desviación de Slowpoke de su rentabilidad esperada. Por ejemplo, la tasa de rentabilidad de Supertech en depresión es de -0.20, que es -0.375 (-0.20 - 0.175) de su rentabilidad esperada. La tasa de rentabilidad de Slowpoke en depresión es de 0.05, que es de -0.005 (0.05 - 0.055) de su rentabilidad esperada. Multiplicando estas dos desviaciones tenemos 0.001875 [(-0.375) x (-0.005)]. La última columna de la tabla 10.2 presenta los cálculos reales. Este procedimiento puede expresarse algebraicamente como

(RA1 - RB) x (RBt - RB) donde RA1 Y RBt son las rentabilidades de Supertech y Slowpoke en el estado t. RA y

RB son las rentabilidades de los dos títulos.

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2. En la última columna calculamos el valor promedio de los cuatro estados. Este promedio es la covarianza. Esto es:

(jAB = Cov(RA, RB) = --- = -0.004875 • 4 3. Nótese que representamos la covarianza entre Supertech y Slowpoke ya sea cOmOCov(RA, RB) o

(jAB' La ecuación (10.1) ilustra la intuición de la covarianza. (RA1 - RA) X (RBt - RB)

(10.1)

Suponga que la rentabilidad de Supertech por lo general es mayor que su promedio cuando la rentabilidad de Slowpoke es mayor que su promedio, y que la rentabilidad de Supertech por lo general es menor que su promedio cuando la rentabilidad de Slowpoke es menor que su promedio. Esto indica una dependencia o relación positiva entre las dos rentabilidades. Nótese que el término de la ecuación (10.1) será positivo en cualquier estado en que ambas rentabilidades sean mayores que sus promedios. Además, la ecuación (l 0.1) aún será positiva en cualquier estado en el que ambos términos sean menores que sus promedios. Así, una relación positiva entre las dos rentabilidades dará lugar a un cálculo positivo de la covarianza. .

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Por el contrario, suponga que la rentabilidad de Supertech generalmente es mayor que su promedio cuando la rentabilidad de Slowpoke es menor que su promedio y que la rentabiiidad de Supertech por lo general es menor que su promedio cuando la rentabilidad Slowpoke es mayor que su promedio. Esto indica una dependencia o relación negativa entre las dos rentabilidades. Nótese que el término de la ecuación (lO.!) será negativo en cualquier estado en que una rentabilidad sea mayor que su promedio y la otra sea menor que su promedio. De este modo, una relación negativa entre las dos rentabilidades dará lugar a un cálculo negativo de la covarianza. Finalmente, suponga que no existe ninguna relación entre las dos rentabilidades. En este caso, saber si la rentabilidad de Supertech es mayor o menor que su rentabilidad esperada no nos indica nada sobre la rentabilidad de Slowpoke. Entonces, en la fórmula de la covarianza los términos no presentarán ninguna tendencia a ser positivos o negativos y, en el promedio, tenderán a compensarse y anularse. Esto dará una covarianza de cero.

Es evidente que aun si las dos rentabilidades no se relacionan entre sí, la fórmula de la covarianza no equivaldrá exactamente a cero en ningún caso real. Esto es consecuencia del error del muestreo; el azar por sí mismo hará que el cálculo sea positivo o negativo. Pero en el caso de una muestra histórica que tiene la amplitud suficiente, si las dos rentabilidades no se relacionan entre sí, debemos esperar que el resultado de la fórmula se aproxime a cero. La fórmula de la covarianza parece capturar lo que estamos buscando. Si las dos rentabilidades se relacionan positivamente entre sí, tendrán una covarianza positiva, pero si la relación que existe entre éstas es negativa, la covarianza será negativa. Para concluir, cabe señalar que si las rentabilidades no se relacionan entre sí, la covarianza debe ser igual a cero. Podemos expresar algebraicarnente la fórmula de la covarianza como

a AO = Cov(R." Ro) = Valor esperado de [(RA - RA) X (Ro - Ro)J donde RA Y RB son las rentabilidades esperadas de los dos títulos, y RA Y RB son las rentabilidades reales. El orden de las dos variables es indistinto. Es decir, la covarianza de A con B es igual a la covarianza de B con A. Esto se puede expresar de modo más formal como Cov(RA, RB) = Cov(RB,

RA) o a AB =a AB'

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La covarianza que calculamos es de -0.004875. Una cifra negativa como ésta implica que es probable que la rentabilidad de una acción sea mayor que su promedio cuando la rentabilidad de la otra acción es menor que su promedio y viceversa. Sin embargo, es difícil interpretar la magnitud del número. Como la cifra de la varianza, la covarianza se expresa en unidades cuadráticas de desviación. Hasta no tener esta cifra en perspectiva, no sabremos qué hacer con ella. Resolvemos el problema calculando la correlación: 3. Para calcular la correlación, dividimos la covarianza entre las desviaciones estándar de ambos títulos. Por ejemplo, tenemos:

COV(R1,RB) PAB= orr(RA,RH)= aA~aH

0.004875=0.2586xO.li50=-·

01639 (10.2)

donde aA Y aB son las desviaciones estándar de Supertech y Slowpoke, respectivamente. Nótese que representamos la correlación entre Supertech y Slowpoke ya sea como Corr(RA, RB) o PAH' Al igual que con la covarianza, el orden de las variables carece de importancia. Es decir, la correlación de A con B es igual a la correlación de B con A. Expresándolo de manera más formal, tenemos: Corr(R.ft Re) =: Corr(RH, R¡) O PA¡¡ •.• PAH'

Dado que la desviación estándar siempre es positiva, el signo de la correlación entre las dos variables siempre debe ser el mismo que el de la covarianza entre las dos variables. Si la correlación es positiva, decirnos que las variables ve correlacionan positivamente; si la correlación es negativa, decimos que se correlacionan negativamente y si la correlación es igual a cero, decirnos qUC!i1) se Correlacionan. Además, podernos probar que la correlación siempre serú de entre +1 y -I. Esto es consecuencia del proceso de estandarización por el que dividí mas entre las dos dcs\iac!l)fll"; estándar. Podemos comparar la correlación entre los diversos pares de títulos. Por ejemplo, resulta que la correlación entre General Motors y Ford es más alta que la correlación entre General Motors e IBM. Por lo tanto, podemos decir que el primer par de títulos interactúa más que el segundo. La figura 10.1 presenta los tres puntos de referencia para dos activos, A y B.

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La figura presenta los activos con correlaciones de rentabilidad de + 1,-1 Y 0, Esto implica una correlación positiva perfecta, correlación negativa perfecta y una falta de correlación, respectivamente. Las gráficas de la figura ilustran las rentabilidades de los dos títulos por separado a través del tiempo. La rentabilidad y el riesgo de las carteras Suponga que un inversionista tiene estimaciones de las rentabilidades esperadas y las desviaciones estándar de los títulos individuales y las correlaciones entre los títulos. ¿Cómo selecciona, entonces, el inversionista la mejor combinación o cartera de títulos') Es obvio que el inversionista querría tener una cartera con una rentabilidad esperada alta y una desviación estándar baja de la rentabilidad. Por lo tanto, es importante considerar:

Figura 10,1 Ejemplos de diversos coeficientes de correlación. Las gráficas de la figura ilustran las rentabilidades de los des títulos por separado a través del tiempo.

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1. La relación entre la rentabilidad esperada de los títulos individuales y la rentabilidad esperada de una cartera constituida por estos títulos. 1. La relación entre las desviaciones estándar de los títulos individuales, las correlaciones entre estos títulos y la desviación estándar de una cartera que consta de dichos títulos. El ejemplo de Supertech y Slowpoke

Para analizar las dos relaciones anteriores, usaremos el mismo ejemplo de Supertech y Slowpoke que ya hemos presentado. Los datos correspondientes son los siguientes" La rentabilidad esperada de una cartera La fórmula ele la rentabilidad esperada de una cartera es muy sencilla: La rentabilidad esperada de una cartera es simplemente un promedio ponderado de las rentabilidades esperadas de los títulos individuales

Ejemplo Considere la~ C()ll1p~llll~IS Supertech y Slo\\poke. A partir del recuadro anterior, encontramos que las rentabilidades esperadas de estos dos títulos son del 17.5 y )) por ciento respectivamente Se puede L·\¡'tCs~lt Lt rentabilidad esperada de una cartera formada sólo por esto, io:

I

o' l ()~ utu lh ll)Jl1() donde Xsuper es el porcentaje de la cartera en Supertech y XS10w es el porcentaje de la cartera en Slowpoke. Si una persona que tiene 100 dólares invierte 60 dólares en Supertech y 40 dólares en Slowpoke, la rentabilidad esperada se puede expresar como

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Rentabilidad esperada de la cartera = 0.6 x 17.5% + 0.4 x 5.5% = 12.7% Algebraicamente, lo podemos expresar como Rentabilidad esperada de la cartera = x)iA + XBRB donde XA y XB son los porcentajes de la cartera total en los activos A y B, respectivamente. (Ya que la persona en cuestión sólo puede invertir en dos títulos, XA + XB debe ser igual él 1 o 100 por ciento.) RA Y RE son las rentabilidades esperadas de los dos títulos. Ahora considere dos acciones, cada una con una rentabilidad esperada del 10 por ciento. La rentabilidad esperada de una cartera que consta de estas dos acciones debe ser del 10 por ciento, sin que sean importantes las proporciones de las dos acciones. Hasta ahora, este resultado puede parecer obvio, pero más tarde cobrará importancia. El resultado implica que no se reduce o disipa la rentabilidad esperada invirtiendo en una cantidad determinada de títulos. Más bien, la rentabilidad esperada de la cartera es sencillamente un promedio ponderado de las rentabilidades esperadas de los activos individuales de una cartera.

Varianza y desviación estándar de una cartera

La varianza La fórmula de la varianza de una cartera que se compone de dos títulos, A y B es La varianza de la cartera: Var(cartera) = X~a~ + 2XAXBa A,B + X;a~ Nótese que existen tres términos en el lado derecho de la ecuación. El primer término representa la varianza de A (a~), el segundo término simboliza la covarianza entre los dos títulos (aAS) Y el tercer término representa la varianza de B ( a~ ). (Cabe hacer notar que aA,B = aB,A' Es decir, el orden de las variables no tiene importancia al expresar la covarianza entre los dos títulos.)

La fórmula señala un punto importante. La varianza de una cartera depende tanto de las varianzas de los títulos individuales como de la covarianza entre los dos títulos. La varianza de un título mide la variabilidad de la rentabilidad de un título individual. La covarianza mide la relación entre dos títulos. Para determinadas varianzas de los títulos individuales, una relación o covarianza positiva entre los dos títulos incrementa la varianza de la cartera completa. Una relación o covarianza negativa entre los dos títulos reduce la varianza de toda la cartera. Este importante resultado parece concordar con el sentido común. Si uno de los títulos que usted tiene tiende a subir cuando otro baja, o viceversa, sus dos títulos se están compensando entre sí. Está usted logrando lo que

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en finanzas Ilamamos cobertura, y e I riesgo de su cartera será bajo. No obstante, si ambos títulos están subiendo Y bajando juntos, no está compensando en absoluto, por lo que, el riesgo de su cartera será más alto. La fórmula de la varianza de dos títulos, Super y Slow, es

Considerando nuestro supuesto anterior de que una persona invierte 60 dólares en Supertech y 40 dólares en Slowpoke,Xsuper = 0.6 Y XS1"W = 0.4. Usando este supuesto y los datos pertinentes del recuadro que hemos presentado, la varianza de la cartera es 0.023851 = 0.36 x 0.066875 + 2 x [0.6 x 0.4 x (0.004875)] + 0.16x 0.013225 El planteamiento de la matriz Alternativamente, podemos expresar la ecuación (10.4) en el formato de matriz siguiente:

Hay cuatro casilleros en la matriz. Podemos sumar los términos de los casilleros para obtener la ecuación (10.4), la varianza de una cartera compuesta de dos títulos. El término de la esquina superior izquierda representa la varianza de Super-tech; el término de la esquina inferior derecha simboliza la varianza de Slowpoke. Los otros dos casilleros contienen los términos que comprenden la covarianza. Es-tos dos casilleros son idénticos, indicando por qué el término de la covarianza se multiplica por dos en la ecuación (10.4).

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En este punto, el estudiante con frecuencia encuentra más complicado el planteamiento del casillero que la ecuación (10.4). Sin embargo, se puede generalizar el planteamiento del casillero para más de dos títulos, una tarea que realizaremos posteriormente en este capítulo. Desviación estándar de una cartera Considerando la ecuación (10.4'), podemos ahora determinar la desviación estándar de la rentabilidad de una cartera. Esto es

ap = SD (cartera) = JVar (cartera) = JO.023851

(10.5)

15.44% = 0.1544 = La interpretación de la desviación estándar de una cartera es la misma que la Interpretación de la desviación estándar de un título individual. La rentabilidad esperada de nuestra cartera es de 12.7 por ciento. Una rentabilidad de -2.74 por ciento (12.7% - 15.44%) es una desviación estándar menor que el promedio, y una rentabilidad de 28.14 por ciento (12.7% + 15.44%) es una desviación estándar por encima del promedio. Si la rentabilidad de una cartera está distribuida normalmente, una rentabilidad de entre -2.74 Y + 28.14 por ciento ocurre aproximadamente en un 68 por ciento de las veces. El efecto de la diversificación Es instructivo comparar la desviación estándar de la cartera con la desviación estándar de los títulos individuales. El promedio ponderado de las desviaciones estándar de los títulos individuales es

Promedio ponderado de = X a + X a las desviaciones estándar

Super Super

Slow Slow

0.2012= 0.6 X 0.2586 + 0.4 X 0.115 Uno de los resultados más importantes de este capítulo se relaciona con la diferencia entre las ecuaciones (l 0.5) Y (10.6). En nuestro ejemplo, la desviación estándar de la cartera es menor que el promedio ponderado de las desviaciones estándar de los títulos individuales.

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Con anterioridad hemos señalado que la rentabilidad esperada de una cartera es el promedio ponderado de las rentabilidades de los títulos individuales. Así, el tipo de resultado que obtenemos para la desviación estándar de una cartera es diferente del resultado que obtenemos para la rentabilidad esperada de una cartera. Por lo general, se sostiene que nuestro resultado para la desviación estándar de una cartera se debe a la diversificación. Por ejemplo, Supertech y Slowpoke presentan cierta correlación negativa (p = -O. J 639). Es posible que la rentabilidad de Supertech sea ligeramente menor que el promedio si la rentabilidad de Slowpoke es mayor que el promedio. De modo similar, es probable que la rentabilidad de Supertech sea ligeramente mayor que el promedio si la rentabilidad d~ Slowpoke es menor que el promedio. Por lo tanto, la desviación estándar de una cartera que consta de dos títulos es menor que el promedio ponderado de las desviaciones estándar de los dos títulos. El ejemplo anterior tiene una correlación negativa. Es evidente que habría un beneficio menor de la diversificación si los dos títulos presentaran una correleción positiva. ¿Cuán alta debe ser la correlación positiva antes de que se agoten todos los beneficios de la diversificación?, La fórmula indica que la covarianza entre cualquier par de títulos es simplemente la correlación entre los dos títulos multiplicada por las desviaciones estándar de cada uno. En otras palabras, la covarianza incorpora tanto (l) la correlación entre los dos activos como (2) la variabilidad de cada uno de los títulos en términos de la desviación estándar A partir de nuestros cálculos anteriores de este capítulo sabemos que la correlación entre los dos títulos es de -0.1639. Considerando las varianzas que usamos en la ecuación (10.4'), las desviaciones estándar son de 0.2586 y 0.115 para Supertech y Slowpoke, respectivamente. Por lo tanto, la varianza de una cartera puede expresarse como Varianza de la rentabilidad de una cartera 2

2

2

2

= Xsurer o Super + 2XsuperXSlowPSuper.Slow o Super o Slow + XS!owu 5101' 0.023851 = 0.36 X 0.066875 + 2 X 0.6 X 0.4 X (-0.1639) X 0.2586X 0.115+ 0.16X 0.013225 El término que se encuentra en la parte central del lado derecho se expresa ahora en términos de correlación, P, no de covarianza.

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Suponga que PSurerSll1w = 1, el valor máximo posible de la correlación, y que todos los otros parámetros del ejemplo son los mismos. La varianza de la cartera es Varianza de la rentabilidad = 0.040466 = 0.36 X 0.066875+ 2X de una cartera (0.6 X 0.4 X 1 X 0.2586 x 0.115) + 0.16 x 0.013225 La desviación estándar es Desviación estándar de la = .JO.040466= 0.2012= 20.12% rentabilidad de la cartera Nótese que las expresiones (10.9) y (10.6) son iguales. Es decir, la desviación estándar de la rentabilidad de una cartera es igual que el promedio ponderado de Ias desviaciones estándar de las rentabilidades individuales cuando p = l. El análisis de la ecuación (10.8) indica que la varianza y, por lo tanto, la desviación estándar de la cartera deben caer cuando la correlación es menor que 1. Esto lleva a:

En otras palabras, el efecto de la diversificación se aplica en tanto que haya menos que correlación perfecta (mientras que P < 1). Así, nuestro ejemplo de d~pertech y Slowpoke es un caso exagerado. Ilustramos la diversificación mediante un ejemplo con correlación negativa. Podríamos haberla ilustrado mediante u.n. ejemplo con correlación positiva (en tanto que no fuera una correlación positiva perfecta).

Preguntas Conceptuales • ¿Cuáles son las fórmulas de la rentabilidad esperada, la varianza y la desviación estándar de una cartera de dos activos? • ¿Cuál es el efecto de la diversificación? • ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos posibles del coeficiente de correlación?

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El conjunto eficiente para dos activos La figura 10.2 presenta las gráficas de nuestros resultados de las rentabilidades esperadas y las desviaciones estándar. En la figura hay un punto denominado Slowpoke y otro llamado Supertech. Cada punto representa la rentabilidad esperada así como la desviación estándar de un título individual. Como se puede apreciar, Supertech tiene tanto la rentabilidad esperada como la desviación estándar más altas.

El cuadrado o "O" de la gráfica representa una cartera con un 60 por ciento invertido en Supertech y 40 por ciento invertido en Slowpoke. Recordará usted que anteriormente hemos calculado la rentabilidad esperada al igual que la desviación estándar de esta cartera. La alternativa de invertir 60 por ciento en Supertech y 40 por ciento en Slowpoke es sólo una de la infinidad de carteras que se pueden crear. La curva de la figura 10.3 ilustra el conjunto de carteras. Considere la cartera 1. Es una cartera que consiste en 90 por ciento invertido en Slowpoke y 10 por ciento invertido en Supertech. Puesto que se ha dado tanta preferencia a Slowpoke, en la gráfica, esta cartera aparece cerca del punto de Slowpoke. La cartera 2 se encuentra más arriba de la curva porque consta de una inversión del 50 por ciento en Slowpoke y de 50 por ciento en Supertech. En la gráfica, la cartera 3 se halla cerca del punto de Supertech porque se compone de una inversión de 90 por ciento en Supertech y 10 por ciento en Slowpoke.

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La cartera 1 consta de una inversión del 90 por ciento en Slowpoke y 10 por ciento en Supertech (p 0= -ü 16J. La cartera 2 consta de una inversión del so por ciento en Slowpoke y 50 por ciento en Supertech (p = -O .16 J. La cartera 3 consta de una inversión del 10 por ciento en Slowpoke y 90 por ciento en Supertech (p = .(0.16La cartera l' consta de una inversión del90 por ciento en Slowpoke y 10 por ciento en Supertech (p = .(1 El punto MV indica la varianza mínima de la cartera. Es la cartera con la varianza mínima posible. Por definición, la misma cartera también debe tener la desviación estándar mínima posible. Existen algunos puntos de importancia en relación con esta gráfica. 1.Decíamos que el efecto de la diversificación ocurre siempre que la correlación entre los dos títulos es menor que l. La correlación entre Supertech y Slowpoke es de -0.1639. Se puede ilustrar el efecto de la diversificación mediante la comparación con la línea recta que se halla entre el punto de Supertech y el de Slowpoke. La línea recta representa los puntos que se habrían generado SI el coeficiente de la correlación entre los dos títulos hubiera sido de l. En la figura se ilustra el efecto de la diversificación porque la línea curva siempre se encuentra a la izquierda de la recta. Considere el punto l` éste representa una cartera que consta de una inversión del 90 por ciento en Slowpoke y del 10 por ciento en Supertech si la correlación fuera exactamente l´.

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Señalamos que la inversificación no tendría efecto alguno si p = l. Sin embargo, el efecto de la diversificación se aplica a la curva porque el punto 1 tiene la misma rentabilidad esperada que el punto J', pero tiene una desviación estándar menor. (En la figura 10.3 se omiten los puntos 2' y 3' para evitar la confusión). Aunque en la figura se representan tanto la línea como la curva, éstas no existen ltáv simultáneamente en el mismo mundo. Ya sea que p = -0.1639 y la cur a existe

b.

dsi'

' o len p = 1 Y la recta existe. En otras palabras, aun cuan o un mver- p~~~ta pueda seleccionar entre diversos puntos de la curva si p = -0.1639, no seleccionar entre los puntos de la curva y los puntos de la recta.

2. El punto MV representa la cartera de varianza mínima. Ésta es la cartera con la varianza mínima posible. Por definición, esta cartera también debe tener la desviación estándar mínima posible. (El término varianza mínima de la cartera es común en la bibliografía, de manera que lo usaremos. Tal vez, en realidad, la desviación estándar mínima sería mejor, porque la desviación estándar, no la varianza, se mide en el eje horizontal de la figura 10.3.) 2.Un individuo que contempla una inversión en una cartera de Slowpoke y Supertech enfrenta un conjunto de oportunidades o un conjunto viable representados por la curva de la figura 10.3. Es decir, esta persona puede situarse en cualquier punto de la curva seleccionando la combinación adecuada de los dos títulos. No puede situarse en ningún punto encima de la curva porque no puede incrementar la rentabilidad de los títulos individuales, reducir las desviaciones estándar de los títulos, ni reducir la correlación entre los mismos. Tampoco puede situarse en ningún punto por debajo de la curva porque no puede reducir las rentabilidades de los títulos individuales, incrementar las desviaciones estándar de los mismos, ni incrementar la correlación. (Es evidente que este individuo no querría situarse en ningún punto por debajo de la curva, aun si pudiera hacerlo.) Si fuera relativamente tolerante al riesgo, podría seleccionar la cartera 3. (De hecho, incluso podría seleccionar el punto final invirtiendo todo su dinero en Supertech.) Un inversionista con menos tolerancia al riesgo podría seleccionar el punto 2. Un inversionista que quiere el mínimo riesgo posible podría seleccionar el punto MV, la cartera con la varianza o la desviación estándar mínima.

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3.Nótese que la curva se dobla hacia atrás entre el punto de Slowpoke y el punto MV. Esto indica que, para un cierto porcentaje del conjunto viable, la desviación estándar en realidad decrece conforme se incrementa la rentabilidad esperada. El estudiante suele preguntar: "¿Cómo puede un incremento de la proporción del título con riesgo, Supertech, tener como consecuencia una reducción del riesgo de la cartera?" Este sorprendente descubrimiento se debe al efecto de la diversificación. Las rentabilidades de los dos títulos se correlacionan negativamente entre sí. Un título tiende a subir cuando el otro baja y viceversa. Así, una pequeña cantidad adicional de Supertech actúa como una compensación para una cartera que consta sólo de títulos de Slowpoke. El riesgo de la cartera se reduce, lo que implica una inclinación en dirección contraria. En realidad, la inclinación en dirección contraria ocurre siempre si p $ O; puede ocurrir o no cuando p > O. por supuesto, la curva se dobla en dirección contraria sólo en una parte de su extensión. Conforme se continúa incrementando el porcentaje de Supertech en la cartera, la alta desviación estándar de este título a la larga hace que se incremente la desviación estándar de toda la cartera. 4.Ningún inversionista querría tener una cartera con una rentabilidad esperada menor que la varianza mínima de la cartera. Por ejemplo, ningún inversionista seleccionaría la cartera 1. Esta cartera tiene una rentabilidad esperada menor, pero una desviación estándar mayor que las de la cartera de varianza mínima. Decimos que las carteras como la 1 están dominadas por la cartera de varianza mínima. Aunque se dice que la curva entera de Slowpoke a Supertech es el conjunto

viable, los inversionistas sólo consideran la curva de MV a Supertech. Así, se conoce la curva de MV a Supertech como el conjunto eficiente. La figura 10.3 representa el conjunto de oportunidades en que p = .0.1639Vale la pena analizar la figura 10.4, la cual ilustra las diversas curvas de las diferentes correlaciones. Como se puede apreciar, cuanto menor es la correlación, más pronunciada es la curva. Esto indica que el efecto de la diversificación se incrementa conforme p decrece. La curvatura más aguda ocurre en el caso límite donde p = - l. Ésta es una correlación negativa perfecta. En tanto que este caso extremo donde p = -1 parece fascinar al estudiante, tiene poca importancia práctica. La mayoría de los pares de títulos presentan una correlación positiva. De hecho, la correlación negativa fuerte y, ni qué decir tiene, la correlación negativa perfecta tienen poca probabilidad de ocurrir." Las gráficas que analizamos no son meras curiosidades intelectuales. Más bien, se pueden calcular con facilidad los conjuntos eficientes en la vida real. Como mencionamos anteriormente, por lo general se toman de los datos pasados, los datos de las rentabilidades, las desviaciones

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estándar y las correlaciones, aunque también se pueden usar las nociones subjetivas para calcular los valores de estas estadísticas. Una vez que se han determinado las estadísticas, se puede comprar cualquiera de una gran variedad de paquetes de software para generar un conjunto eficiente. Sin embargo, la selección de la cartera preferida depende de usted. Al igual que con otras decisiones importantes como qué trabajo escoger, qué casa o automóvil comprar y cuánto tiempo dedicar a este curso, no existe un programa de computación para seleccionar la cartera preferida.

Se puede generar un conjunto eficiente en el que dos activos individuales sean carteras por sí mismos. Por ejemplo, los dos activos de la figura 10.5 son una cartera diversificada de acciones estadounidenses y una cartera diversificada de acciones extranjeras. Las rentabilidades esperadas, las desviaciones estándar y el coeficiente de correlación se calcularon para el periodo de 1973 a 1988. Se efectuó el análisis sin subjetividad. La cartera de acciones estadounidenses con una desviación estándar de cerca de 0.173 es menos arriesgada que la cartera de acciones extranjeras, la cual tiene una desviación estándar de alrededor de 0.222. Sin embargo, la combinación de un pequeño porcentaje de la cartera estadounidense en realidad reduce el riesgo, como se puede apreciar en el carácter de inclinación contraria de la curva. En otras palabras, más que compensar la introducción de un conjunto de acciones más arriesgado a la cartera, la diversificación se beneficia al combinar dos carteras diferentes. La cartera de varianza mínima es posible cuando la inversión se compone aproximadamente de 80 por ciento de acciones

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estadounidenses y alrededor del 20 por ciento de acciones extranjeras. La tenencia de más títulos extranjeros incrementa el riesgo de toda la cartera. La curva con inclinación contraria que aparece en la figura 10.5 es información importante que no pasa por alto a los gestores de dinero estadounidense. En los últimos años, los gerentes de fondos de pensiones y fondos mutuos de Estados Unidos han seleccionado oportunidades de inversión en el extranjero. Otro punto que es importante ponderar se relaciona con los defectos potenciales de usar solamente los datos pasados para calcular las rentabilidades futuras. Los mercados de valores de muchos países extranjeros tales como Japón han tenido un crecimiento fenomenal en años pasados. Así, una gráfica como la que se presenta en la figura 10.5 hace que una inversión cuantiosa en estos mercados extranjeros parezca atractiva. Sin embargo, como consecuencia de que no se pueden mantener para siempre las rentabilidades anormalmente altas, se debe usar cierta subjetividad al pronosticar las rentabilidades futuras esperadas.

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Pregunta Conceptual • ¿Cuál es la relación entre la forma del conjunto eficiente para dos activos y la correlación entre los mismos? El conjunto eficiente para muchos títulos El estudio anterior comprendió dos títulos. Vimos que una simple curva ilustró todas las carteras posibles. Ya que los inversionistas por lo general tienen más de dos títulos, deberíamos ver la misma curva cuando se tienen más de dos títulos. La zona sombreada de la figura 10.6 representa el conjunto de oportunidades o conjunto viable cuando se consideran muchos títulos. Esta zona representa todas las combinaciones posibles de rentabilidad esperada y desviación estándar de una cartera. Por ejemplo, en un universo de 100 títulos, el punto 1 podría representar una cartera de, por ejemplo, 40 títulos. El punto 2 podría representar una cartera de 80 títulos. El punto tres podría representar un conjunto diferente de 80 títulos, o los mismos 80 títulos distribuidos de manera distinta, u otra alternativa. Es obvio que las combinaciones son virtualmente infinitas. Sin embargo, nótese que todas las combinaciones posibles caben en una zona restringida. Ningún título o combinación de títulos puede encontrarse fuera de esta zona. Es decir, nadie puede elegir una cartera con una rentabilidad esperada mayor que la que aparece en la zona sombreada porque no se pueden alterar las rentabilidades de los títulos individuales. Además, nadie puede elegir una cartera con una desviación estándar menor que la que aparece en la zona sombreada. Tal vez sea más sorprendente el hecho de que nadie puede elegir una rentabilidad esperada menor que la de la curva. En otras palabras, los mercados de capitales en realidad impiden que una persona autodestructiva emprenda inversiones con pérdidas garantizadas.

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Hasta ahora, la figura 10.6 es diferente de las gráficas anteriores. Cuando sólo intervienen dos títulos, todas las combinaciones se encuentran en la misma curva. Por el contrario, con muchos títulos, las combinaciones abarcan una zona completa. No obstante, nótese que un individuo querrá situarse en algún punto del extremo superior entre MV y X El extremo superior, que hemos indicado en la figura 10.6 con un trazo grueso, recibe el nombre de conjunto eficiente. Cualquier punto que se halle por debajo del conjunto eficiente recibirá una rentabilidad esperada menor y la misma desviación estándar que un punto situado en el conjunto eficiente. Por ejemplo, considere

R en el conjunto eficiente y exactamente abajo de éste. Si W presenta el riesgo que usted desea, debería elegir a R . para tener una rentabilidad esperada mayor. En el análisis final, la figura 10.6 es bastante similar a la 10.3. El conjunto eficiente de la figura 10.3 va de MV a Supertech. Contiene varias combinaciones de los títulos de Supertech y Slowpoke. El conjunto eficiente de la figura 10.6 va de MV a X Contiene varias combinaciones de muchos títulos. El hecho de que aparezca sombreada una zona completa en la figura 10.6 y no en la figura 10.3, no sólo es una diferencia importante; ningún inversionista elegiría por ningún motivo ningún punto más abajo del conjunto eficiente de la figura 10.6. Hemos mencionado que en la vida real se puede trazar con facilidad un conjunto eficiente de dos títulos. La tarea se hace más difícil cuando se incluyen títulos adicionales porque el número de observaciones se incrementa. Por ejemplo: usar un análisis subjetivo para ponderar las

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rentabilidades esperadas y las desviaciones estándar de, por ejemplo, 100 o 500 títulos puede volverse tarea muy extenuante, y las dificultades con las correlaciones pueden ser más serias. Existen casi 5,000 correlaciones entre pares de títulos de un universo de 100 títulos. Aunque gran parte de las matemáticas del cálculo del conjunto eficiente se originaron en la década de 1950, el alto costo del tiempo de cálculo restringió la aplicación de los principios. En los últimos años, se ha reducido el costo drásticamente. Ciertos paquetes de software permiten calcular un conjunto eficiente de carteras de tamaño moderado. Según la opinión general, estos paquetes se venden mucho, de manera que nuestro estudio anterior parecería importante en la práctica. Varianza y desviación estándar de una cartera de muchos activos En el caso de los dos activos calculamos las fórmulas de la varianza y la desviación estándar. Ya que en la figura 10.6 consideramos una cartera de muchos activos, vale la pena calcular estas fórmulas en el caso de muchos activos. Podemos considerar la fórmula de la varianza de una cartera de muchos activos como la extensión de la fórmula de la varianza de dos activos. Para desarrollar la fórmula, usamos el mismo tipo de matriz que usamos en el caso de dos activos. La tabla 10.3 ilustra la matriz. Suponiendo que existen N activos, escribimos los números l a N en el eje horizontal, y 1 a N en el eje vertical. Esto crea una matriz de N x N = N2 casillas. Considere, por ejemplo, la casilia con una dimensión horizontal de 2 y una dimensión vertical de 3. El término de la casii1a es X)X2 Cov(R),R2)· X) y X2 son los porcentajes de la cartera completa invertidos en el tercer y el segundo activo, respectivamente. Por ejemplo, si un individuo con una cartera de 1,000 dólares invierte 100 dólares en el segundo activo, X2 = 10% (100 dólares ,000 dólares). Cov(R),R2) es la covarianza entre las rentabilidades del tercer activo y las rentabilidades del segundo activo. En seguida, considere la casilla con una dimensión horizontal de 3 y una dimensión vertical de 2. El término de la casilla esX7) Cov(R2,R)). Dado que Cov(R),R2) =

Cov(R2,R)), ambas casillas tienen el mismo valor. El segundo y el tercer título conforman un par de acciones. De hecho, cada par de acciones aparece dos veces en la tabla, una vez en el lado inferior izquierdo y otra en el lado superior derecho. Suponga que la dimensión vertical es igual que la dimensión horizontal. Por ejemplo, el término de la casilla es X)2(J; cuando las dos dimensiones son iguales. Aquí, (J; es la varianza de la rentabilidad del primer título.

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Así, los términos de la diagonal de la matriz contienen las varianzas de diversas acciones. Los términos que se hallan fuera de la diagonal contienen las covarianzas. La tabla 10.4 relaciona los números de la diagonal y los elementos que están fuera de la diagonal con la medida de la matriz. El número de los términos diagonales (número de términos de la varianza) siempre es el mismo que el número de acciones de la cartera. El número de términos que se encuentran fuera de la diagonal (número de términos de la covarianza) se incrementa mucho más rápido que el número de términos de la diagonal. Por ejemplo, una cartera de 100 acciones tiene 9,900 términos de covarianza. Ya que la varianza de las rentabilidades de la cartera es la suma de todas las casillas, tenemos:

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La varianza de la rentabilidad de una cartera con muchos títulos depende más de las covarianzas entre los títulos individuales que de las varianzas entre los mismos. Preguntas Conceptuales • ¿Cuál es la fórmula de la varianza de una cartera con muchos activos? • ¿Cómo se puede expresar la fórmula en términos de una casilla o matriz? Diversificación: Un ejemplo Se puede ilustrar el punto anterior alterando ligeramente la matriz que se presenta en la tabla 1. Suponga que hacemos los tres supuestos siguientes:

1. Todos los títulos tienen la misma varianza, que expresamos como var· En otras palabras, cr; = var para todos los títulos.

2. Todas las covarianzas de la tabla 10.3 son las mismas. Representamos esta varianza uniforme como cov. Es decir, Cov(RI, R/) = coy para todos los pares de títulos Se puede demostrar con facilidad que var> cov.

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3. En la cartera se ponderan igual todos los títulos. Puesto que existen N activos, el promedio ponderado de cada activo de la cartera es de l/N. En otras palabras, XI c= I IN para cada título. La tabla 10.5 es la matriz de las varianzas y las covarianzas de acuerdo con éstos tres supuestos. Nótese que todos los términos de la diagonal son idénticos. De modo similar, todos los términos que se hallan fuera de la diagonal son idénticas. Al igual que con la tabla ¡ 0.3, la varianza de la cartera es la suma de los términos de las casillas de la tabla 10.5. Sabemos que existen N términos en la diagonal que implican varianza. Similarmente, hay N x (N - 1) términos ajenos a la diagonal que implican covarianza Sumando todas las casillas de la tabla 10.5 podemos expresar las varianzas de la cartera como Varianza. de la =

(l 0.1 O)

N x (_1'2) va¡:

+ N (N -1) x (~) COy

l\

cartera

N

Número de

Cada

Número de

Cada término

términos de

término de

términos fuera

fuera de la

la diagonal

la diagonal

de la diagonal

diagonal

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La ecuación (l 0.1 O) expresa la varianza de nuestra cartera especial como un suma ponderada de la varianza promedio y la covarianza promedio del título.9 intuición se confirma cuando incrementamos infinitamente el número de títulos a la cartera. La varianza de la cartera se convierte en Varianza de la cartera (cuando N -t ( 00= cov

(10.11)

Esto ocurre porque (l) el promedio ponderado del término de la varianza, l/N, se reduce a O conforme N se multiplica infinitamente, y (2) el promedio ponderado del término de la covarianza, 1 - 1 IN, se reduce a 1 conforme N se multiplica de modo infinito. La fórmula (l 0.11) presenta un resultado importante e interesante. En nuestra cartera especial, las varianzas de los títulos individuales desaparecen por completo conforme se incrementa el número de títulos. Sin embargo, los términos de la covarianza prevalecen. De hecho, la varianza de una cartera se convierte en la covarianza promedio, cov . Con frecuencia oírnos que debemos diversificarnos. No debemos poner todos los huevos en una misma canasta. En este ejemplo se puede ilustrar el efecto de la diversificación sobre el riesgo de una cartera. Las varianzas de los títulos individuales se diversifican, pero los términos de la covarianza no pueden hacerlo. Debemos analizar el hecho de que podemos diversificar parte de nuestro riesgo, pero no todo. Considere al señor Smith, que lleva 1,000 dólares a la mesa de ruleta de un casino. Sería muy arriesgado que apostara todo su dinero en un giro de la ruleta. Por ejemplo, imagine que apuesta su cantidad total de 1,000 dólares al color rojo, Si la ruleta cayera en rojo, obtendría 2,000 dólares, pero si ésta cayera en negro, perdería todo. Suponga, en cambio, que distribuyera su dinero en 1,000 giros distintos de la ruleta apostando un dólar cada vez al color rojo. La probabilidad nos indica que puede contar con ganar la mitad de las veces. En otras palabras, es muy probable que al final tenga los 1,000 dólares que tenía al principio." Ahora, comparemos esto con nuestro ejemplo del mercado de valores, que ilustramos en la figura 10.7. La varianza de la cartera que sólo tiene un título es, por supuesto, var porque la varianza de una cartera que sólo tiene un título es la varianza del título. La varianza de la cartera decrece conforme se agregan más títulos, lo que es una evidencia del efecto de diversificación. Sin embargo, a diferencia del ejemplo del señor Smith y la ruleta, la varianza de la cartera nunca se puede reducir a cero. Más bien, llega a un punto mínimo de COV, que es la covarianza de cada par de títulos."

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Puesto que la varianza de una cartera se aproxima asintóticamente a CüV, cada título adicional sigue reduciendo el riesgo. Así, si no hubiera ni comisiones ni otros costos de transacción, podríamos decir que nunca tendríamos demasiada diversificación. No obstante, en la vida real, la diversificación tiene un costo. Las comisiones por dólar invertido decrecen conforme es más cuantiosa la compra de una sola acción. Por desgracia, debemos comprar menos acciones de cada título cuando adquirimos más títulos diferentes. Comparando los costos y beneficios de la diversificación, Meir Statman sostiene que una cartera de aproximadamente 30 acciones necesita lograr una diversificación óptima.

Hemos mencionado que var tiene que ser mayor que cov . Por lo tanto, la varianza de la rentabilidad de un título se puede descomponer de la siguiente manera: Riesgo total del ti

Riesgo de la

Riesgo

tulo individual

cartera

diversificable (COv)

(V3r)

• no sistemá tico (var cov)

+ El riesgo total, que en nuestro ejemplo es var, es el riesgo que se corre al tener ~olo Un título. El

riesgo de la cartera es el que se corre, aun después de haber ogrado una diversificación completa,

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que en nuestro ejemplo es COY. A menudo se designa al riesgo de la cartera también como riesgo sistemático o de mercado El riesgo diversificable, único o no sistemático es el que se puede diversificar en una cartera numerosa que, por definición, debe ser (var - cov). Para un individuo que selecciona una cartera diversificada, el riesgo total de un título individual no es importante: Al considerar sumar un título a una cartera diversificada, a este individuo le interesa el porcentaje del riesgo del título que no se puede diversificar. Alternativamente, se puede considerar el riesgo como la contribución de un título al riesgo de toda la cartera. Más tarde abordaremos el caso en que los títulos contribuyen en distinto grado al riesgo de toda la cartera. El riesgo y el inversionista razonable Habiendo analizado todo este problema para demostrar que el riesgo no sistemático desaparece en una cartera bien diversificada: ¿cómo sabemos si los inversionistas se interesan siquiera en dichas carteras? ¿Qué sucede si les gusta el riesgo y no quieren que éste desaparezca? Debemos admitir que, al menos teóricamente, esto es posible, si bien demostraremos que ello no describe a lo que consideramos como un inversionista típico, Nuestro inversionista típico es adverso al riesgo. Son muchas las maneras en que podemos definir el comportamiento de aversión al riesgo, pero nos inclinamos por el ejemplo siguiente: una apuesta justa es la que tiene una rentabilidad esperada de cero. Un inversionista adverso al riesgo preferiría evitar una apuesta justa. ¿Por qué los inversionistas seleccionan carteras bien diversificadas? Nuestra respuesta es que son adversos al riesgo y este tipo de personas evita el riesgo innecesario como el riesgo no sistemático de una acción. Si usted no cree que ésta sea una respuesta adecuada de por qué los inversionistas eligen carteras bien diversificadas y evitan el riesgo no sistemático, considere si usted correría tal riesgo. Por ejemplo, suponga que trabajó durante todo el verano y ahorró 5,000 dólares que pretendía usar para sus gastos de estudios. Ahora, suponga que alguien acude a usted y le propone apostar su dinero lanzando una moneda al aire: si sale cara, duplicará su dinero y si sale cruz lo pierde todo. ¿Aceptaría usted semejante apuesta? Tal vez lo haría, pero la mayor parte de la gente no. Dejando a un lado cualquier cuestión moral en tomo a las apuestas Y admitiendo que algunas personas aceptarían dicha apuesta, nuestra opinión es que el inversionista promedio no lo haría. Para inducir al inversionista típico adverso al riesgo a aceptar una apuesta justa, tenemos que "dorarle la píldora". Por ejemplo, quizá tendría usted que incrementar las posibilidades de ganar de

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50-50 a 70-30 o más. Se puede inducir al inversionista adverso al riesgo a aceptar una apuesta justa sólo si se le presenta un panorama más prometedor de modo que ésta se vuelva injusta y favorezca al inversionista. Preguntas Conceptuales • ¿Cuáles son los dos componentes del riesgo total de un título? • ¿Por qué la diversificación no elimina todo el riesgo? Solicitud y otorgamiento de préstamo sin riesgo La figura 10.6 supone que todos los títulos del conjunto eficiente son arriesgados. De modo alternativo, un inversionista podría combinar fácilmente una inversión arriesgada con una sin riesgo, como una inversión en letras de cambio del Tesoro de Estados Unidos. El ejemplo siguiente ilustra esto.

Ejemplo La señorita Bagwell está considerando invertir en acciones ordinarias de Merville Enterprises. Además, la señorita Bagwell solicitará u otorgará préstamos a la tasa sin riesgo. Los parámetros pertinentes son Rentabilidad esperada de las acciones ordinarias de Merville

Rentabilidad garantizada del activo sin riesgo

Rentabilidad

14%

10%

Desviación estándar

0.20

0

Suponga que la señorita Bagwell decide invertir un total de 1,000 dólares, de los cuales invertirá 350 dólares en Mcrville Enterprises y destinará 650 dólares al activo sin riesgo. La rentabilidad esperada de su inversión total sólo es un promedio ponderado de las dos rentabilidades: Rentabilidad esperada de una cartera que con s tadeunactivosinriesgo = 0.114 = 0.35 x 0.14 + O.óS x 0.10 y un activo arriesgado Dado que la rentabilidad de una cartera es el promedio ponderado de la rentabilidad esperada del activo con riesgo (Merville Enterprises) y el activo sin riesgo, el cálculo es similar al que hemos efectuado para dos activos arriesgados. En otras palabras, aquí se aplica la ecuación (10.3).

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Utilizando la ecuación (10.4), podemos expresar la fórmula de la varianza de la cartera como

Xl

2

2X

X

x:

Mervil1e (J Mervil1e + Mervil1e

1

Sin riesgo (J Mervil1e,Sin riesgo + Sin riesgo (Sin

riesgo No obstante, por definición, el activo sin riesgo no es variable. Así, tanto GMervil1e,Sin riesgo como (sin riesgo equivalen a cero, reduciendo la expresión anterior a Varianza de la cartera que consta de un activo sin riesgo y un activo arriesgado = 2

2

2

2

XMervillc(JMerville = (0.3~) x (0.20) = 0.0049 La desviación estándar de la cartera es Desviación estándar de la cartera que consta de Un activo sin riesgo y un activo arriesgado = XMer,illeO'Mcnille = 0.35 x 0.20 = 0.07

La figura 10.8 ilustra la relación entre el riesgo y la rentabilidad de un activo con riesgo y otro sin riesgo. La distribución de la señorita Bagwell de 35-65 Mi. ciento entre los dos activos se

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representa con una línea recta entre la tasa sin riesgo y una inversión pura en Merville Corp. Nótese que, a diferencia del caso de dos activos con riesgo, la línea del conjunto de oportunidades es recta, no curva. Alternativamente, suponga que la señorita Bagwell solicita un préstamo de 200 dólares a la tasa sin riesgo. Sumando este a la cantidad original de 1,000 dólares, invierte un total de 1,200 dólares en la Merville Corp. Su rentabilidad esperada sería Rentabilidad esperada de la cartera cre- ada mediante la solicitud de préstamos = 14.8% = 1.20 x 0.14 + (-0.2) x 0.10 para invertir en un activo arriesgado Aquí, ella invierte 120 por ciento de la inversión original de 1,000 dólares solicitando un préstamo del 20 por ciento de la inversión original. Cabe señalar que la rentabilidad de 14.8 por ciento es mayor que la rentabilidad esperada de 14 por ciento de Merville Corp. Esto sucede porque está solicitando un préstamo a una tasa del 10 por ciento para invertir en un título con una rentabilidad esperada mayor del 10 por ciento.

La desviación estándar es Desviación estándar de la cartera creada mediante la solicitud de préstamos

= 0.24 = 1.20 x 0.2

para invertir en un activo arriesgado La desviación estándar de 0.24 es mayor que la desviación estándar de 0.20 de la Merville Corp. porque la solicitud de préstamos incrementa la variabilidad de la inversión. Esta inversión también aparece en la figura 10.8.

Hasta ahora, hemos supuesto que la señorita Bagwell puede solicitar préstamos a la misma tasa que puede recibirlos. u Ahora permítanos considerar el caso en el que la tasa de solicitud de préstamo es más alta que la de otorgamiento de préstamo. La línea punteada de la figura J 0.8 ilustra el conjunto de oportunidades para las oportunidades de solicitud de préstamo de este caso. Esta línea se encuentra debajo de la línea continua porque una tasa de solicitud de préstamo más alta reduce la rentabilidad esperada de la inversión.

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La cartera óptima La sección anterior trató sobre una cartera que constaba de un activo sin riesgo y un activo arriesgado. En realidad, un inversionista podría combinar una inversión en el activo sin riesgo con una cartera de activos arriesgados. La figura 10.9 ilustra esto. Considere el punto Q, el cual representa una cartera de títulos. El punto Q se encuentra dentro del conjunto viable de títulos arriesgados. Supongamos que este punto representa una cartera que consta de una inversión del 30 por ciento en AT&T, 45 por ciento en General Motors (GM) y 25 por ciento en IBM. Los individuos que combinan inversiones en Q con inversiones en el activo sin riesgo alcanzarían puntos a lo largo de la línea recta de RF a Q. Nos referimos a esta línea como 1. Por ejemplo, el punto 1 representa una cartera del 70 por ciento en el activo sin riesgo y 30 por ciento en las acciones representadas por Q. Un inversionista que cuenta con 100 dólares invertiría 70 dólares en el activo sin riesgo y 30 dólares en Q, si eligiera al punto 1 como su cartera. Podemos decir que invierte 70 dólares en el activo sin riesgo, 9 dólares (0.3 x 30 dólares) en AT & T, 13.50 dólares (0.45 x 30 dólares) en GM y 7.50 dólares (0.25 x 30 dólares) en IBM. El punto 2 también representa una cartera del activo sin riesgo y Q, con una inversión mayoritaria (65%) en Q. Se alcanza el punto 3 solicitando préstamos para invertir en Q. Por ejemplo, un inversionista que tiene 100 dólares solicitaría al banco o a un corredor un préstamo de 40 dólares para invertir 140 dólares en Q. Podemos decir que esta persona solicitó un préstamo de 40 dólares y contribuyó con 100 dólares de su propio dinero para invertir 42 dólares (0.3 x 140 dólares) en AT&T, 63 dólares (0.45 x 140 dólares) en GM, y 35 dólares (0.25 x 140 dólares) en 18M. Aunque cualquier inversionista puede alcanzar cualquier punto de la línea J, ~tngún punto de la línea es óptimo. Para apreciar esto, considere la línea JI, una te~ que va de RF a A. El punto A representa una cartera de títulos arriesgados. a .1mea I1 representa las carteras que se crean mediante las combinaciones del archivo sin riesgo y los títulos de A. Los puntos que se hallan entre RF y A son carteras en las que se invierte algún dinero en el activo sin riesgo y se destina el resto aA. Los puntos que se localizan más allá de A se logran mediante la solicitud de préstamo a la tasa sin riesgo para comprar más deA de lo que podríamos comprar con nuestros fondos originales nada más.

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Como se aprecia en la ilustración, la línea Il es tangente al conjunto eficiente de títulos arriesgados. Sin que importe el punto que se pueda alcanzar sobre la línea I, se puede alcanzar un punto con la misma desviación estándar y una rentabilidad esperada mayor sobre la línea Il. De hecho, ya que la línea Il es la tangente al conjunto eficiente, ofrece las mejores oportunidades posibles al inversionista. En otras palabras, se puede considerar la línea Il, que con frecuencia se conoce como la línea del mercado de capitales, como el conjunto eficiente de todos los activos, tanto arriesgados como sin riesgo. Un inversionista que tiene un alto grado de aversión al riesgo podría seleccionar un punto entre RF y A, quizá el punto 4. Un individuo menos adverso al riesgo podría seleccionar un punto más cerca.'10 a A o aún más allá de A. Por ejemplo, el punto 5 corresponde a una persona que solicita dinero prestado para incrementar su inversión en A. La gráfica ilustra un punto de importancia. Con la solicitud y el otorgamiento de préstamos a la tasa sin riesgo, la cartera de activos arriesgados que un inversionista tiene siempre sería el punto A. Sin que importe cuán tolerante sea el inversionista frente al riesgo, éste nunca escogería ningún otro punto del conjunto eficiente de activos arriesgados (representado por la curva XA Y) ni tampoCo algún otro punto dentro de la región viable. Más bien, si tuviera una gran aversión al riesgo,

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combinaría los títulos deA con los activos sin riesgo. Si fuera poco adverso al riesgo, solicitaría a préstamo el activo sin riesgo para invertir mas fondos en A. . Este resultado establece lo que los economistas financieros llaman el principio de separación. Es decir, el inversionista toma dos decisiones por separado: 1. Después de calcular (a) la rentabilidad esperada y las varianzas de los títulos individuales, y

(b) las covarianzas entre los pares de títulos, el inversionista calcula el conjunto eficiente de activos arriesgados, que está representado por la curva XA y de la figura 10.9 Y determina el punto A, la tangencia entre la tasa sin riesgo y el conjunto eficiente de activos arriesgados (curva

XA Y). El punto A representa la cartera de activos arriesgados que el inversionista tendrá. Este punto se determina exclusivamente por sus cálculos de las rentabilidades, varianzas y covarianzas. En este paso no se requieren características personales, como el grado de aversión al riesgo. 2.Ahora, el inversionista tiene que determinar la manera en que combinará el punto A, su cartera de activos arriesgados, con el activo sin riesgo. Podría invertir una parte de sus fondos en el activo sin riesgo y otra parte en la cartera A. En este caso, terminaría en algún punto sobre la línea que va de RF a A. De modo alternativo, podría solicitar un préstamo a la tasa sin riesgo y contribuir también con parte de sus fondos, invirtiendo el total en la cartera A. Terminaría en algún punto sobre la línea JI, más allá de A. Su posición en el activo sin riesgo, es decir, su decisión del punto en que quiere situarse, se determina por sus características internas, como su tolerancia al riesgo. Preguntas Conceptuales • ¿Cuál es la fórmula de la desviación estándar de una cartera que consta de un activo sin riesgo y un activo arriesgado? I ¿Cómo se determina la cartera óptima entre el conjunto eficiente de activos arriesgados? Equilibrio de mercado

Definición de la cartera de equilibrio de mercado El análisis anterior se relaciona con un inversionista. Sus cálculos de las rentabilidades esperadas y las varianzas de los títulos individuales y las covarianzas entre los pares de títulos son sólo suyos. Es obvio que otros inversionistas tendrían cálculos diferentes de las variables anteriores. Sin embargo, los cálculos podrían no variar mucho porque todos los inversionistas tendrían

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expectativas a partir de los mismos datos sobre el movimiento de los precios pasados y otra información disponible al público. Con frecuencia, los economistas financieros se imaginan un mundo en el que todos los inversionistas tienen las mismas estimaciones de las rentabilidades esperadas, varianzas y covarianzas. Aunque esto nunca puede ser literalmente cierto, se puede considerar como un supuesto útil y simpliticativo en un mundo donde los inversionistas tienen acceso a fuentes de información similares. Este supuesto se conoce como las expectativas homogéneas." Si todos los inversionistas tuvieran expectativas homogéneas, la figura 10,9 sería la misma para todos los individuos. Es decir, todos los inversionistas obtendrían el mismo conjunto eficiente de activos arriesgados porque trabajarían con los mismos datos. Este conjunto eficiente de activos arriesgados se representa mediante la curva X4Y. Todos los inversionistas considerarían el punto

A como la cartera de activos arriesgados que deben tener porque a todos se les aplicaría la misma tasa sin riesgo. Este punto A cobra gran importancia porque todos los inversionistas comprarían los títulos arriesgados que representa. Tales inversionistas con un alto grado de aversión al riesgo podrían combinar A con una inversión en el activo sin riesgo, situándose, por ejemplo, en el punto 4. Los inversionistas poco adversos al riesgo podrían solicitar un préstamo para ubicarse, por ejemplo, en el punto 5. Ya que ésta es una conclusión muy importante. Si todos los inversionistas eligen la misma cartera de activos arriesgados, es posible determinar cuál es la cartera. El sentido común nos indica que es una cartera de valor de mercado ponderada de todos los títulos existentes, es decir, la cartera de mercado. En la práctica, los economistas financieros utilizan un índice de base amplia como el Standard & Poor (S&P) 500 como una representación de la cartera de mercado. Por supuesto, en la práctica, no todos los inversionistas tienen la misma cartera. Sin embargo, sabemos que un gran número de inversionistas tienen carteras diversificadas, en particular cuando se incluyen fondos mutuos o fondos de pensiones. Un índice de base amplia es una buena representación de las carteras altamente diversificadas de muchos inversionistas. Definición de riesgo cuando los inversionistas tienen la cartera de mercado La sección anterior afirma que muchos inversionistas tienen carteras diversificadas similares a los índices de base amplia. Este resultado nos permite ser más precisos en cuanto al riesgo de un título en el contexto de una cartera diversificada.

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Los investigadores han demostrado que la mejor medida del riesgo de un título de una cartera numerosa es la beta del título. Cov(R¡, RM) P~ = a2(RM) (10.15) donde a\RM) es la varianza del mercado. Aunque se pueden usar tanto Cov(R, RM) como Pi como medidas de la contribución del título i al riesgo de la cartera de mercado, PI es mucho más común. La intuición básica de beta es que mide la sensibilidad de un cambio de la rentabilidad de un título individual al cambio de la rentabilidad de la cartera de mercado. Una propiedad útil es que la beta promedio de todos los títulos es 1 cuando se pondera por la proporción del valor del mercado de cada título en comparación con la de la cartera de mercado. Es decir,

N LX;~; = 1 ;=\ Beta como una medida de sensibilidad El análisis anterior demostró que la beta de un título es la covarianza estandarizada entre la rentabilidad del título y la del mercado. Aunque esta explicación es 100 por ciento correcta, no es probable que sea 100 por ciento intuitivamente atractiva para alguien que no sea un estadístico. Por fortuna, existe una explicación más intuitiva de beta. Presentamos esta explicación por medio de un ejemplo.

Ejemplo Considere las siguientes rentabilidades posibles tanto de las acciones de Jelco, Inc., como del mercado: Aunque la rentabilidad del mercado sólo tiene dos resultados posibles (15% Y -5%), la rentabilidad de Jelco tiene cuatro resultados posibles. Es útil considerar la rentabilidad esperada de un título teniendo en cuenta una rentabilidad del mercado determinada. Suponiendo que los cuatro estados son igualmente posibles, tenemos Al alza A la baja 5%- 15% Rentabilidad esperada de Jelco, Inc, (porcentaje) 25%= 25% x 'h+ 15%x IIe -10% = -5% x IIe + (-15%) x 'l:

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Tipo de economía Rentabilidad del mercado (porcentaje) Je1co, Inc., responde a los movimientos del mercado porque su rentabilidad esperada es mayor en los estados al alza que en los estados a la baja. Ahora calculamos con exactitud el grado de sensibilidad de un título a los movimientos del mercado. La rentabilidad del mercado en una economía al alza es del 20 por cierto d 5% - (-5%)] mas alta que en una econorma a la baja. SIn embargo, la rentabilidad esperada de Jelco en una economía al alza es de 30 por ciento [20% - (10%)] ~~~ ~Ita que en una economía a la baja. Así, Jelco. Inc. tiene un coeficiente de sensibilidad de 1.5 (30%/20%).

.

J 1 Esta relación aparece en la figura 10.10. Se ilustran las rentabilidades de e CQ y el mercado como cuatro puntos. Además, representamos la rentabilidad esperada de un título para cada una de las dos rentabilidades posibles del merca. do. Estos dos puntos, que indicamos con una.%; se unen mediante una línea llamada línea característica del título. La inclinación de.la línea es de 1.5, el número que calculamos en el párrafo anterior. Este coeficiente de sensibilidad de 1.5 es la beta de Jelco.

Rentabilidad Rentabilidad de Tipo de Estado

economía

del mercado

Jelco, lnc,

(porcentaje)

(porcentaje)

1

Al alza

15

25

11

Al alza

15

15

III

A la baja

-5

-5

IV

A la baja

-5

-15

La interpretación de la beta de la figura 10.10 es intuitiva. La gráfica nos señala que las rentabilidades de Jelco se incrementan 1.5 veces más que las del mercado. Cuando el mercado presenta un buen comportamiento, se espera que las acciones de Jelco se comporten aún mejor. Cuando el comportamiento del mercado es pobre, se espera que la rentabilidad de Jelco se comporte peor. Ahora, imagine un individuo que tiene una cartera que se aproxima a la de mercado y está considerando integrar a Jelco a su cartera. Como consecuencia del factor de

magnificación de 1.5, esta persona considerará que estas acciones contribuyen mucho al riesgo de la cartera. Hemos demostrado que la beta del título promedio en el mercado es l. Jelco

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contribuye más que un título promedio al riesgo de una cartera numerosa y diversificada porque Jelco es más susceptible a los movimientos del mercado. Podemos alcanzar un mayor discernimiento analizando los títulos con betas negativas. Debemos considerar estos títulos como compensaciones o pólizas de seguro. Se espera que el título presente un buen comportamiento cuando el mercado tienda a bajar y viceversa. Por lo tanto, la integración de un título de beta negativa a una cartera cuantiosa y diversificada en realidad reduce el riesgo de la cartera)

Los dos puntos marcados con una X representan la rentabilidad esperada de Jelco para cada resultado posible de la cartera. La rentabilidad esperada de Jelco se relaciona positivamente con la rentabilidad del mercado. Dado que la inclinación es de 1.5, decimos que la beta de Jelco es de 1.5. Beta mide la sensibilidad de la rentabilidad que el título tiene al movimiento del mercado. *(20%, 15%) se refiere al punto en que la rentabilidad de un título es del 20 por ciento y la del mercado es del 15 por ciento.

Una prueba Hemos usado estas preguntas en exámenes pasados de finanzas corporativas: 1. ¿Qué tipo de inversionista considera racionalmente la varianza (o la desviación estándar) de la rentabilidad de un título individual como la medida adecuada del riesgo del título?

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2. ¿Qué tipo de inversionista considera racionalmente la beta de un título individual como la medida apropiada del riesgo del título? Una respuesta correcta podría consistir en lo siguiente: Un inversionista sensato y adverso al riesgo considera la varianza (o la desviación estándar) de la rentabilidad de su cartera como la medida apropiada del riesgo de su cartera. Si por una u otra razón el inversionista sólo puede tener un título, la varianza de la rentabilidad de ese título se convierte en la varianza de la rentabilidad de la cartera, Por lo tanto, la varianza de la rentabilidad de un título es la medida adecuada del riesgo del título.

Si un individuo tiene una cartera diversificada, también considera la varianza (o la desviación estándar) de la rentabilidad de su cartera como la medida apropiada del riesgo de su cartera.

Sin embargo, ya no siente interés alguno por la varianza de la rentabilidad de cada título individual. Más bien, le interesa la contribución de un título individual a la varianza de la cartera. De acuerdo con el supuesto de las expectativas homogéneas, todos los individuos tienen la cartera de mercado. Así, medimos el riesgo como la contribución de un título individual a la varianza de la cartera de mercado. Esta contribución es la beta del título cuando se le estandariza de modo correcto, En tanto que pocos inversionistas tienen exactamente la cartera de mercado, muchos pueden tener carteras razonablemente diversificadas. Estas carteras se aproximan lo suficiente a la cartera de mercado, de modo que es probable que la beta de un título sea una medida racional de su riesgo. Preguntas Conceptuales • Si todos los inversionistas tienen expectativas homogéneas, ¿qué cartera de activos con riesgo tienen? • ¿Cuál es la fórmula de la beta? • ¿Por qué heta es la medida adecuada del riesgo de un título individual de una cartera grande? Relación entre riesgo y rentabilidad Es un lugar común pensar que la rentabilidad de un título se debería relacionarse positivamente con su riesgo. Es decir, que los individuos tendrán un título arríes, gado sólo si su rentabilidad esperada compensa su riesgo. Este razonamiento, válido independientemente de la medida del

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riesgo. Ahora, considere nuestro mundo, donde todos los individuos (1) tienen expectativas homogéneas y (2) todos pueden solicitar y otorgar préstamos a la tasa sin riesgo. Aquí, todos los indviduos tienen la cartera de mercado de títulos arriesgados. Hemos demostrado que, en este contexto, la beta de un título es la medida adecuada de riesgo. Por lo tanto, la rentabilidad esperada de un título se debería relacionar de manera positiva con su beta. Ilustramos esto en la figura 10.11. La línea que se inclina hacia arriba en la figura se llama línea del mercado de títulos (SML, security market line). Existen seis puntos de importancia en relación con esta figura.

1. Una beta de cero. La rentabilidad esperada de un título con una beta de cero es la tasa sin riesgo, RF. Puesto que un título con una beta de cero no presenta riesgo, su rentabilidad esperada debería ser igual que la tasa sin nesgo.

2. Una beta de uno. La ecuación (10.16) indica que la beta promedio de todos los títulos es 1 cuando se pondera de acuerdo con la proporción del valor de mercado de cada título comparado con el de la cartera de mercado. La beta de la cartera de mercado es 1 porque esta cartera se forma ponderando cada título de acuerdo con su valor de mercado. Ya que todos los títulos que tienen la misma beta también tienen la misma rentabilidad esperada, la rentabilidad esperada de cualquier título con una beta de 1 es RM, la rentabilidad esperada de la cartera de mercado. 3.Linealidad. La intuición tras de la curva que se inclina hacia arriba es evidente. Puesto que beta es la medida adecuada del riesgo, los títulos de beta alta deberían tener una rentabilidad esperada mayor que la de los títulos de beta baja. Sin embargo, la figura 10.11 presenta algo más que una curva que se inclina hacia arriba; la relación entre la rentabilidad esperada y beta corresponde a una línea recta.

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4. Es fácil demostrar que la línea de la figura 10 .11 es recta. Para ver esto, considere que el título S tiene, por ejemplo, una beta de 0.8. Este título está representado por un punto debajo de la línea del mercado de títulos de la figura. Cualquier Inversionista podría duplicar la beta del título S mediante la compra de una cartera con 20 por ciento en el activo sin riesgo y 80 por ciento en un título con una beta de l. Sin embargo, la cartera "hecha en casa" se situaría por sí misma sobre la SML. En otras palabras, la cartera domina el título S porque ésta tiene una rentabilidad esperada mayor y la misma beta. Ahora, considere el título T con, por ejemplo, una beta mayor que l. Este título también se halla debajo de la SML en la figura 10.11. Cualquier inversionista podría duplicar la beta del título T solicitando un préstamo para invertir en un título con una beta de l. Esta cartera también debe situarse sobre la SML, dominando por lo tanto el título T. Ya que nadie tendría ni S ni T, los precios de sus acciones bajarían. Este ajuste del precio incrementaría las rentabilidades esperadas de los dos títulos. El precio se seguiría ajustando hasta que los des títulos se encontraran sobre la línea del mercado de títulos. El ejemplo anterior consideraba dos acciones sobrevaluadas y una SML recta Los títulos que se hallan sobre la SML están subvaluados. Sus precios tienen que subir hasta que sus rentabilidades esperadas alcancen la línea. SI la SML tuera curvilínea, muchas acciones estarían subvaluadas. Para equilibrar, se tendrían todos los títulos sólo cuando los precios cambiaran de manera que la SML fuera recta; en otras palabras, se lograría la linealidad.

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4. El modelo pu/'(/ la valoración de los activos de capital. Quizá recuerde usted de sus cursos de álgebra, que se puede describir algebraicamente una línea si se conocen su intersección y su pendiente. En la figura 10.11 podemos apreciar que la intersección de la SML es Rp Puesto que la rentabilidad esperada de cualquier título con una neta de 1 es R.\I' la pendiente de la línea es RM -

R¡. Esto nos permite expresar algebraicamente la SML como de acuerdo con los economistas financieros, esta fórmula algebraic:l para describir la SivlL se llama el modelo para la valoración de los activos de capital. Podemos ilustrar la fórmula suponiendo algunos casos especiales G. SlIfJongo (fllt' r) .. () Aquí ,Ji. '" R¡, es decir, la rentabilidad esperada de un título es igll~¡] ~l la tasa sin riesgo. f\ll'mionamos esto en el punto ( 1 j.

b. Suponga que ~ = l. La ecuación se reduce a R = RM, es decir, la rentabilidad esperada del título es igual a la rentabilidad esperada del" mercado. Mencionamos esto en el punto (2). Al igual que cualquier línea, la línea representada por la ecuación (10.11) tiene tanto una intersección como una pendiente. RF, la tasa sin riesgo, es la intersección. Dado que la beta del título es el eje horizontal, RM menos RF es la pendiente. La línea se inclinará hacia arriba mientras que la rentabilidad esperada en el mercado sea mayor que la tasa sin riesgo. La teoría sugiere que la rentabilid4d esperada de la cartera de mercado es mayor que la tasa sin riesgo porque esta cartera es un activo arriesgado. Además, la evidencia empírica del capítulo anterior demostró que la rentabilidad real de la cartera de mercado durante los pasados 66 años fue bastante mayor que la tasa sin riesgo.

Ejemplo El capital social de Aardvark Enterprises tiene una beta de 1.5 y el de Zebra Enterprises tiene una beta de 0.7. La tasa sin riesgo es del 7 por ciento y la diferencia entre la rentabilidad esperada del mercado y la tasa sin riesgo es del 8.5 por ciento. 16 Las rentabilidades esperadas de los dos títulos son Rentabilidad esperada de Aardvark: 19.75% = 7%+ 1.5 x 8.5% (10.18) Rentabilidad esperada de Zebra: 12.95 % = 7% + 0.7 x 8.5% • 5.Carteras y títulos. Nuestro estudio sobre el CAPM consideró los títulos individuales. ¿La relación de la figura 10.11 Y la ecuación (l 0.18) son válidas también para carteras?

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Sí; para apreciarlo, considere una cartera formada por medio de la inversión equitativa en dos títulos, los de Aardvark y los de Zebra. La rentabilidad esperada de la cartera es Rentabilidad esperada de la cartera: 16.35% = 0.5 x 19.75% + 0.5 x 12.95% (10.19) La beta de la cartera es sencillamente un promedio ponderado de los dos títulos. Por lo tanto, tenemos Beta de la cartera: 1.1= 0.5 x 1.5 + 0.5 x 0.7 De acuerdo con el CAPM, la rentabilidad esperada de la cartera es 16.35%= 7% + 1.1 x 8.5% 16 Como indica la tabla 9.2, Ibbotson y Sinquefield encontraron que la rentabilidad esperada de las acciones ordinarias fue del 12.4 por ciento de 1926 a 1991. La tasa sin riesgo promedio durante el mismo periodo fue de 3.9 por ciento. Así, la diferencia promedio entre éstas fue del 8.5 por ciento (12.4% - 3.9%). Los economistas financieros usan éste como el mejor cálculo de la diferencia futura. Con frecuencia usaremos esto en el texto. Puesto que e 1 valor de la expresión (10 .19) es e I mismo que el de la expresión (10.20), el ejemplo demuestra que el CAPM corresponde tanto a las carteras como a los títulos individuales. 6.Una confusión potencial. El estudiante suele confundir la SML de la figura 10.11 con la línea del mercado de capitales (línea l! de la figura 10.9). En realidad, las líneas son bastante distintas.

La línea del mercado de capitales ilustra el conjunto eficiente de carteras compuestas tanto por activos arriesgados como por el activo sin riesgo. Cada punto de la línea representa una cartera completa. El punto A es una cartera que consta exclusivamente de activos arriesgados. Todos los demás puntos de la línea representan una cartera de títulos de A combinada con el activo sin riesgo. Los ejes de la figura 10.9 son la rentabilidad esperada de una cartera y la desviación estándar de una cartera. Los títulos individuales no se sitúan a lo largo de la línea I/. El SML de la figura 10.11 relaciona la rentabilidad esperada con la beta. Existen por lo menos dos diferencias entre las figuras 10.11 Y 10.9. Primero, la beta aparece en el eje horizontal de la figura 10.11, pero en el eje horizontal de la figura 10.9 aparece la desviación estándar. Por otro lado, la SML de la figura 10.11 corresponde a todos los títulos

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individuales y todas las carteras posibles, en tanto que la línea JI (la línea del mercado de capitales) de la figura 10.9 sólo corresponde a las carteras eficientes. Preguntas Conceptuales • ¿Por qué la SML es una línea recta? • ¿Cuál es el modelo para la valoración de los activos de capital? • ¿Qué diferencias existen entre la línea del mercado de capitales y la línea del mercado de títulos? Resumen y conclusiones Este capítulo expone los fundamentos de la teoría de la cartera moderna. Nuestros puntos básicos son los siguientes: 1. Este capítulo nos enseña cómo calcular la rentabilidad esperada y la varianza de los títulos individuales, así como la covarianza y la correlación de los pares de títulos. Considerando estas estadísticas, podemos expresar la rentabilidad esperada y la varianza de una cartera de dos títulos, A y EJ, como

Rentabilidad esperada de la cartera .\')~I ,,>/"'\. + Var(carteralc (CJ' + ') r r '0 '\ + 0 "1 \ ,,1 .••• ~ .-1"

/1

,-1 h'

•

/1

.,','

2. En nuestra notación, X representa la proporción de un titulo en la cartera. Podemos trazar el conjunto eficiente de cartillas variando X liemos descrito gráficamente el conjunto eficiente 11~\r:i el Cl:(l (k do.s ~\Lti\l)s como una CU:\~a, indicando que el grado de curvatura inclinación que aparece en la grafica refleja el efecto de la diversificación cuanto menor sella correlación entre los dos títulos, mayor Sl'r~l la curvatur:r S!I1l'kctlm !:l prueba, afirmamos que la figura general del conjunto eficiente es válida para un mundo de muchos activos. 3. Al igual que la fórmula de la varianza en el caso de los dos activos se calcula a partir de la matriz 2 x 2, la fórmula de la varianza se calcula a partir de una matriz de N x N en el caso de

N activos. Demostramos que, con un gran número de activos, en la matriz existen muchos más términos de la covarianza que de la varianza. De hecho, los términos de la varianza se hallan eficientemente diversificados en una cartera numerosa, y no así los términos de la covarianza. Por lo tanto, una cartera diversificada sólo puede eliminar parte del riesgo de los títulos individuales, pero no todo.

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4. Se puede combinar el conjunto eficiente de activos arriesgados, que hemos comentado, con la solicitud y el otorgamiento de préstamos sin riesgo. En este caso, un inversionista sensato siempre seleccionaría la cartera de títulos arriesgados que en la figura 10.9 se representa con el punto A; entonces, podría ya fuera solicitar o bien otorgar préstamos a la tasa sin riesgo para situarse en cualquier punto que desee sobre la línea del mercado de capitales. 5. Si (1) todos los inversionistas tienen expectativas homogéneas y (2) todos los inversionistas pueden solicitar y otorgar préstamos a la tasa sin riesgo, todos los inversionistas seleccionarán la cartera de títulos arriesgados que representamos con el punto A. Entonces, solicitarán u otorgarán préstamos a la tasa sin riesgo. En un mundo de expectativas homogéneas, el punto A representa la cartera de mercado. 6. La contribución de un título al riesgo de una cartera numerosa es la suma de las covarianzas de la rentabilidad del título con las rentabilidades de los otros títulos de la cartera. La contribución de un título al riesgo de la cartera de mercado es la covarianza de la rentabilidad del título con la rentabilidad del mercado. Cuando se estandariza esta contribución se le llama la beta. La beta de un título también se puede interpretar como la sensibilidad de la rentabilidad del título a la del mercado. 7. El CAPM indica que

Ji = RF +~(R M - RF ( En otras palabras, la rentabilidad esperada de un título se relaciona positivamente (y linealmente) con la beta del título. Términos clave Covarianza y correlación 287 Cartera 291 Conjunto (viable) de oportunidades 298 Conjunto eficiente 299 Riesgo sistemático (de mercado) 308 Riesgo diversificable (único) (no sistemático) 308 Aversión al riesgo 308 Línea del mercado de capitales 312 Principio de separación 312 Expectativas homogéneas 313 Cartera de mercado 314 Línea característica 316 Línea del mercado de títulos 3 J 8 Modelo para la valoración de los activos de capital 319

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Los capítulos anteriores de este libro analizaron el presupuesto de capital con flujos de caja sin riesgo. Estos flujos de caja debían descontarse a la tasa de interés sin riesgo. Puesto que la mayoría de los proyectos de presupuesto de capital comprenden flujos arriesgados, se debe usar una tasa de descuento diferente. Los cuatro capítulos siguientes analizan la determinación de la tasa de descuento para los proyectos con riesgo. La experiencia indica que el estudiante encuentra el material que se presenta a continuación entre el más difícil de todo el libro de texto. Por lo tanto, siempre enseñamos este material presentando primero al estudiante los resultados y conclusiones. Conociendo de antemano el resultado es más fácil asimilar el material cuando lo presentemos. He aquí una sinopsis de los cuatro capítulos: 1. Dado que nuestro objetivo fundamental es descontar los flujos de caja con riesgo, primero tenemos que encontrar una manera de ponderar el riesgo. En este capítulo ponderamos la variabilidad de una acción mediante la varianza o la desviación estándar de sus rentabilidades. Si un individuo tiene sólo un título, la varianza o la desviación estándar del título sería la medida de riesgo apropiada. 2. Nos interesamos en la contribución de un título al riesgo de la cartera, porque los inversionistas generalmente tienen carteras diversificadas. Puesto que en una cartera grande y diversificada gran parte de la varianza de un título individual está dispersa, no se pueden considerar ni la varianza de un título ni su desviación estándar como la contribución del mismo al riesgo de la cartera. Más bien, se pondera mejor esta contribución mediante la covarianza del título con otros títulos de la cartera. Como un ejemplo, considere una acción cuyas rentabilidades son altas cuando las rentabilidades de la cartera son bajas, y viceversa. Esta acción tiene una covarianza negativa con la cartera, en otras palabras, actúa como un instrumento compensatorio, lo que implica que ésta en realidad tiende a reducir el riesgo de la cartera. No obstante, la acción podría tener una varianza alta, lo cual significa que tendría un riesgo alto para un inversionista que sólo tiene este título. 3. En este capítulo hablamos de la diversificación y el concepto de beta. El capítulo siguiente desarrolla de modo más completo el concepto de beta Indicamos que beta es la medida adecuada de la contribución de un título al riesgo de una cartera grande. 4. Los inversionistas sólo tendrán un título con riesgo si la rentabilidad esperada es lo suficientemente alta para compensar su riesgo. Por lo tanto, la rentabilidad esperada de un título se debe relacionar de manera positiva con la beta del título. En este capítulo le

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presentamos a usted algunas de estas ideas. En el capítulo 10 desarrollamos de modo más completo la siguiente ecuación: 5. Rentabilidad

.

[Rentabilidad

Tasa sm esperada de un =. título

.. + Beta x esperada de la - Tasa Sin nesgo

nesgo

cartera de mercado

Puesto que el término que se encuentra entre paréntesis en la parte derecha es positivo, esta ecuación indica que la rentabilidad esperada de un título es una función positiva de su beta. Esta ecuación a menudo se conoce como

el modelo para la valoración de activos de capital (CAPM). 5. En el capítulo 11 derivamos de una manera diferente la relación entre el riesgo y la rentabilidad. Sin embargo, muchas conclusiones son bastante similares. Este capítulo se basa en la teoría de valoración por arbitraje (APT). 6. Los conceptos teóricos de los capítulos 9, 10 Y 11 son un gran desafío para el intelecto. Por fortuna, el capítulo 12 es mucho más 'sencillo y aplica la teoría anterior a la selección de las tasas de descuento. En un mundo en el que (a) un proyecto tiene el mismo riesgo que la empresa y (b) la empresa no tiene deudas, la rentabilidad esperada del capital soci~ debe servir como la tasa de descuento del proyecto. Esta rentabilidad esperada se toma del modelo para la valoración de activos de capital, como se presentó anteriormente. Ya que nos queda un largo camino por recorrer, el refrán de que todo viaje comienza con un primer paso resulta aquí oportuno. Empezamos con el cálculo (algo quizás mundano) de la rentabilidad de un título. Rentabilidades Rentabilidades en dólares Suponga que Video Concept Company tiene varios miles de acciones en circulación y usted es un accionista. Además, suponga que compró algunas de las acciones de capital de la compañía al principio del año; es el final del año y usted quiere saber cómo se ha comportado su inversión, La rentabilidad que obtiene de una inversión en acciones, así como la de las obligaciones o cualquier otra inversión, tiene dos formas.

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Primero, durante el año, la mayoría de las empresas pagan dividendos a los accionistas, Como tenedor de acciones de Video Concept Company, usted es un propietario parcial de la compañía. Si la compañía es rentable, por lo general distribuirá parte de sus beneficios a los accionistas. Por lo tanto, como accionista, recibirá durante el año una cantidad en efectivo llamada dividendo.

1

Este efectivo se conoce como el componente del beneficio de su rentabilidad. Además de los dividendos, la otra parte de la rentabilidad es la ganancia de capital o, si es negativa, entonces es la

pérdida de capital (ganancia de capital negativa) de la inversión.

Por ejemplo, suponga que estamos considerando los flujos de caja de la inversión que se ilustra en la figura 9.1 y usted ha comprado 100 acciones al inicio del año a un precio de 37 dólares por acción. Su inversión total, entonces, seria de Co= $37 x 100 = $3,700 Suponga que durante el año se pagó un dividendo de 1.85 dólares por acción. Durante el año, usted habría recibido un ingreso de Div = $1.85 x 100=$185 Suponga, por último, que al final del año el precio de mercado del capital social es de 40.33 dólares por acción. Puesto que se ha incrementado el precio de las acciones, usted tiene una ganancia de capital de Ganancia = ($40.33 - $37) x 100 = $333 La ganancia de capital, así como el dividendo, es la parte de la rentabilidad que los accionistas requieren para mantener su inversión en la Video Concept Company. Por supuesto, si el valor de las acciones de Video Concept hubiera caído a, por ejemplo, 34.78 dólares, habría registrado una pérdida de capital de Pérdida = ($34.78 - $37) x 100 = - $222

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La rentabilidad total de su inversión es la suma del ingreso y la ganancia o pérdida de capital de la inversión: Rentabilidad total =: Ingreso de dividendo + Ganancia (o pérdida) de capital De hecho, es frecuente que las compañías sigan pagando dividendos, aun cuando hayan perdido dinero durante el año. Estos dividendos son parte de la rentabilidad que los accionistas requieren para no vender sus acciones de capital

(De ahora en adelante nos referiremos a las pérdidas de capital como las ganancias de capital

negativas y no estableceremos distinción entre ellas.) En nuestro primer ejemplo, entonces, la rentabilidad total es de Rentabilidad total = $185 + 518$ = 333$ Nótese que si vendiera sus acciones al final del año, el importe total de su inversión sería la inversión inicial más la rentabilidad total. En el ejemplo anterior, entonces, usted tendría Total de efectivo si se venden las acciones = Inversión inicial + 3,700$+ 4,218$ Rentabilidad total 518$

= =

Como comprobación, nótese que ésta es la misma cantidad que los ingresos procedentes de la venta de las acciones más los dividendos: Ingresos procedentes de la venta de las acciones = $40.33 x

100

+ Dividendos +

$185

= 4,033$+ 185$ = 4,218$ No obstante, suponga que conserva sus acciones de Video Concept y no las vende al final del año. ¿Aún debería considerar la ganancia de capital como parte de su rentabilidad? ¿Viola esto nuestra regla anterior del valor actual que indica que sólo el efectivo importa?

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La respuesta a la primera pregunta es un rotundo sí y la respuesta a la segunda pregunta es un rotundo no. Al igual que el dividendo, la ganancia de capital es en su totalidad una parte de su rentabilidad, y ciertamente debería considerarla como una parte de su rentabilidad total. Que usted haya decidido conservar sus acciones y no venderlas, o materializar la ganancia o la pérdida, no cambia en forma alguna el hecho de que, si quisiera, podría recibir el valor en efectivo de las acciones. Rentabilidades porcentuales Es más conveniente resumir la información acerca de las rentabilidades en términos porcentuales que en dólar5' porque los porcentajes se aplican a cualquier cantidad invertida. La pregunta que queremos contestar es: ¿Qué rentabilidad obtenemos de cada dólar invertido? Para responder, supongamos que t representa el año en cuestión, PI es el precio de la acción al inicio del año, y Div, + I es el dividendo que la acción paga durante el año. Considere los flujos de caja de la figura 9.2. En nuestro ejemplo, el precio al inicio del año era de 37 dólares por acción y el dividendo que se pagaba por cada acción ascendía a 1.85 dólares. Por lo tanto, el porcentaje de la rentabilidad del beneficio, en ocasiones conocido como la rentabilidad del dividendo, es de Rentabilidad del dividendo = Div, + I IPI 5% =-0.05 =37$/1.85$ =

La ganancia de capital es la diferencia del precio de la acción dividido entre la inversión inicial. Considerando que PI + I es el precio de la acción al final del año, se puede calcular la ganancia de capital como Ganancia de capital = (P, + 1- PI)! P, 37$/(37$ - 40.33$) =

37$/3.33$ =:ce 0.09 9%= Combinando estos dos resultados, encontramos que la rentabilidad total de la inversión en acciones de Video Concept durante el año, que denominaremos como

R/+ i' fue de Div¡+!

U:+l - ~)

R,+I -=-p+ P I 5% =-+

I 9%

=-147('

53

A partir de ahora nos referiremos a la rentabilidad en términos porcentuales:

Ejemplo Suponga que una acción inicia el año con un precio de 25 dólares y lo termina con un precio de 35 dólares. Durante el año se pagó un dividendo de 2 dólares por acción. ¿Cuáles son la rentabilidad del dividendo, la ganancia de capital y la rentabilidad total durante el año? Podemos considerar los flujos de caja de la figura 9.3. P¡ - Po

- Div J

'-p+ P, o

o

12$ = 25$ - 35$ + ~ = 25$ 25$ 25$ 8%+ 40%

48%=

Así, la rentabilidad del dividendo, la ganancia de capital y la rentabilidad total son del 8 por ciento, 40 por ciento y 48 por ciento, respectivamente.

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Suponga que tenía 5,000 dólares para invertir. La rentabilidad total en dólares que hubiera obtenido de una inversión en esas acciones es de 5,000 dólares x lA&, = 7,400 dólares. Si conoce la rentabilidad total de las acciones, no necesita saber cuántas acciones hubiera tenido que comprar para saber cuánto dinero hubiera ganado por invertir 5,000 dólares. Sólo usa la rentabilidad total.

4 Considere la acción del ejemplo anterior. No hemos considerado el momento del año en que usted recibe el dividendo. ¿Hay alguna diferencia? Para analizar esta pregunta, primero suponga que se paga el dividendo al inicio del año y lo recibe inmediatamente después de que compra la acción. Suponga también que las tasas de interés son del 10 por ciento y que en cuanto recibe el dividendo lo presta. ¿Cuál será su rentabilidad total, incluyendo el valor del principal del préstamo, al final del año? De modo alternativo, en vez de prestar el dividendo, podría haberlo reinvertido y comprar más acciones. ¿Cuál será su rentabilidad total si hace esto con el dividendo? (Advertencia: Esto no sucede para siempre, y cuando compra más acciones con el efectivo del dividendo de su primera compra es ya demasiado tarde para obtener además otro dividendo de las acciones nuevas.) Para concluir, suponga que se paga el dividendo al final del año. ¿Cuál sería su rentabilidad total? Como podemos apreciar, al no tener en cuenta el momento en que se paga el dividendo cuando calculamos la rentabilidad, estamos suponiendo implícitamente que éste se recibe al final del año y que no se le puede reinvertir durante el año. La manera correcta de calcular la rentabilidad de una acción es determinando con exactitud el momento en que se recibe el dividendo e incluyendo

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la rentabilidad de la reinversión del dividendo en acciones. Así obtenemos una rentabilidad pura de la acción sin equivocamos queriendo saber cuál es la tasa de interés durante el año. Preguntas Conceptuales ¿Cuáles son las dos partes de la rentabilidad total? ¿Por qué se incluyen las ganancias o las pérdidas de capital no percibidas en el cálculo de las rentabilidades? ¿Cuál es la diferencia entre una rentabilidad en dólares y una rentabilidad porcentual? Rentabilidades del periodo de tenencia Roger Ibbotson y Rex Sinquefield dirigieron una conocida serie de estudios acerca de las tasas de rentabilidad de las acciones ordinarias, las obligaciones y las letras de cambio del Tesoro.' Presentan las tasas de rentabilidad histórica de cada año de los cinco tipos Importantes de instrumentos financieros estadounidenses siguientes: 1. Acciones ordinarias. La cartera de acciones ordinarias se basa en el índice compuesto de Standard & Poor (S&P). Actualmente, el índice compuesto S&P comprende 500 de los capitales sociales más grandes (en términos de valor de mercado) de Estados Unidos. 2. Acciones di:' hoja copitalizacion. Ésta es una cartera compuesta por los últimos cinco capitales sociales comercializados en la New York Stock Exchange y cuyas acciones se cotizan de acuerdo con el valor de mercado (es decir, el precio de la acción multiplicado por el número de acciones en circulación). 3. Ohligaciol7i:'s corporativas a largo plazo. Ésta es una cartera de obligaciones corporativas de alta calidad con un vencimiento a 20 años. 4. Obligaciones a corto plazo del gobierno estadounidense. Ésta es una cartera de obligaciones del gobierno de Estados Unidos con un vencimiento a 20 años. 5. Letros di:' combio dd Ti:'som de Estados Unidos. Ésta es una cartera de letras de cambio del Tesoro con un vencimiento a tres meses. Ninguna rentabilidad presenta ajustes por impuestos o costos de transacción. Además de las rentabilidades de cada año de los instrumentos financieros, se calcula el cambio ~1I10 tras ~1I10 del índice de precios al consumidor. Ésta es una medida básica de la inflación. Se pueden calcular las rentabilidades reales de cada año Sustrayendo la inflación anual.

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Antes de analizar con detenimiento las diferentes rentabilidades de la cartera, presentamos gráficamente las rentabilidades y los riesgos disponibles en los mercados de capital estadounidenses, en el periodo de (¡6 años de 1926 a ¡ CJ9 l. La figura 9:4 presenta el crecimiento de 1 dólar invertido a principios de 1926. Nótese que el eJ,e vertical es logarítmico, de manera que las distancias iguales miden el mismo número de cambios porcentuales. La figura demuestra que si se hubiera invertido el dólar en acciones ordinarias y se hubieran reinvertido todos los dividendos, el dólar se habría incrementado a 675.59 dólares al final de 1991. El crecimiento más grande lo experimentó la cartera de capitales pequeños. Si se hubiera invertido 1 dólar en acciones de capitales pequeños durante el periodo de 66 años, la inversión se habría incrementado a 1,847.63 dólares. Sin embargo, al analizar con cuidado la figura 9.4, se puede apreciar la gran variabilidad de las rentabilidades de las acciones de capitales pequeños, especialmente en la parte inicial del periodo. Un dólar en obligaciones gubernamentales a largo plazo fue muy estable en comparación con 1 dólar en acciones ordinarias. Las figuras 9.5 a 9.8 ilustran la rentabilidad porcentual de cada año como una barra vertical que parte del eje horizontal para las acciones ordinarias, las acciones de capitales pequeños, las obligaciones a largo plazo, las letras de cambio del Tesoro y la inflación, respectivamente.

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La figura 9.4 presenta el valor total de la inversión de 1 dólar en el mercado de valores de 1926 a 1991. En otras palabras, muestra cuál hubiera sido la rentabilidad total si se hubiera dejado 1 dólar en el mercado de valores y cada año se hubieran reinvertido en más acciones los dividendos del año anterior. Si R¡ es Ia rentabilidad en el año t (expresada en decimales), el total que tendría del año 1 a año T es el producto de las rentabilidades de cada uno de los años: (1 +R¡) x (1 +R2)·(l +R,)·(l tRr)

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Por ejemplo, si las rentabilidades fueran del 11, - 5 Y 9 por ciento en un periodo de tres años, una inversión de I dólar al inicio del periodo valdría 1)+ R¡ ) x (1 + R2 ) x (1 + R3) = ($ i + 0.11) x ($1 + 0.05) x ($1 + 0.09) = $1.11 x $0.95 x $1.09 1.15$= al cabo de los tres años. Nótese que la rentabilidad total es de O .15 o 15 por ciento y que ésta incluye la rentabilidad de la reinversión de los dividendos del primer año en el mercado de valores durante dos años más y la reinversión de los dividendos del segundo año durante el último año. El 15 por ciento se conoce como la rentabilidad del periodo de tenencia de tres años. La tabla 9.1 proporciona las rentabilidades del periodo de tenencia anual de cada año de 1926 a 1991. A partir de esta tabla se pueden determinar las rentabilidades del periodo de tenencia para cualquier combinación de años.

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60

Preguntas Conceptuales • ¿Cuál es la rentabilidad más alta de un periodo en el historial de acciones ordinarias de 66 años que hemos presentado y cuándo ocurrió? ¿Cuál es la rentabilidad más baja y cuándo ocurrió ?

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ƒ

¿Durante cuántos años la rentabilidad de las acciones ordinarias excedió el30 por ciento y durante cuántos años fue menor del 20 por ciento?

ƒ

¿Cuál es el periodo de tiempo más prolongado en que las acciones ordinarias no tuvieron ningún año de pérdidas? ¿Cuál fue la sucesión más prolongada de años de pérdidas?

ƒ

Cuál es el periodo de tiempo más largo al final del cual, e invirtiendo a su inicio, no hubiera tenido una rentabilidad positiva de su inversión en acciones ordinarias?

Estadísticas de rentabilidad Esta historia de las rentabilidades del mercado de capitales es muy complicada para Interpretarla en su forma no asimilada. Para hacer uso de ella, primero debemos buscar algunas maneras prácticas de describirla, condensando en forma escenificada Yen unas cuantas frases los datos en detalle. Aparecen aquí dos números importantes que resumen la historia. El primer número más natural que buscamos es alguna medida determinada que mejor describa las rentabilidades anuales pasadas del mercado de valores. En otras palabras: ¿cuál es nuestra mejor estimación de la rentabilidad que un inversionista podría haber obtenido en un año en particular durante el periodo de 1926 a 1991? Se le llama a ésta la rentabilidad promedio La figura 9.9 presenta el diagrama histórico de las rentabilidades anuales del l11ercado de valores de la tabla 9.1. Este diagrama ilustra la distribución de frec~encia de los números. La altura del diagrama proporciona el número de observaCIones de la muestra en la extensión del eje horizontal.

62

63

Podemos calcular el promedio o media de la distribución con una distribución de frecuencia como la de la figura 9.9. Para calcular el promedio aritmético de la distribución, sumamos todos los valores y dividimos la suma entre el número total (7') (66 en este caso porque tenemos 66 años de datos). La barra que se encuentra sobre la R se usa para representar el punto medio y la fórmula es la fórmula común del promedio: .

--

Media = Roo

(R + ... + R . ) I

7

T El promedio aritmético de las 66 rentabilidades anuales de 1926 a 1991 es del 12.4 por ciento.

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Ejemplo Las rentabilidades de las acciones ordinarias de 1926 a 1929 son de 0.1162, 0.3749 0.4361 Y 0.0840 respectivamente. (Estos números se tomaron de la tabla 9.l.)L~ rentabilidad promedio o media durante estos cuatro años es de

R = 0.1162+0.3749+0.4361-0.0840 =0.2108 Rentabilidades promedio de los valores y rentabilidades sin riesgo Ahora que hemos calculado la rentabilidad promedio del mercado de valores, parece lógico compararla con las rentabilidades de otros títulos. La comparación nl~ obvia es con las rentabilidades de baja variabilidad del mercado de obligaciones gubernamentales. Éstas no presentan casi en absoluto la volatilidad que apreciamos en el mercado de valores.

El gobierno recibe dinero en préstamo emitiendo obligaciones que adquiere el público inversionista. Como hemos estudiado en un capítulo anterior, estas obligaciones tienen muchas formas y las que analizaremos aquí son las llamadas letras de cambio del Tesoro de Estados Unidos o T-bill. Una vez a la semana, el gobierno vende algunas letras de cambio en una subasta. Una letra de cambio típica es una obligación de descuento puro con vencimiento a un año o menos. Puesto que e! gobierno puede incrementar los impuestos para pagar la deuda que contrae (un truco que muchos de nosotros querríamos poder hacer), esta deuda virtualmente no presenta

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riesgo de incumplimiento. Por lo tanto, llamaremos a ésta la rentabilidad sin riesgo durante un plazo corto (un año o menos). Entonces, una comparación importante surge entre la rentabilidad virtualmente sin riesgo de las T-

bill y las rentabilidades muy arriesgadas de las acciones ordinarias. Esta diferencia entre las rentabilidades con riesgo y las rentabilidades sin riesgo suele denominarse rentabilidad excedente

del activo arriesgado. Se le da el nombre de excedente porque es la rentabilidad adicional resultante del riesgo de laS acciones ordinarias y se le interpreta como una prima de riesgo. La tabla 9.2 presenta la rentabilidad promedio de las acciones, la rentab~i' dad de las obligaciones, la rentabilidad de las T-bill y la tasa de inflación pata~I periodo de 1926 a 1991. A partir de esta tabla podemos derivar las rentabilidades excedentes. Podemos ver que la rentabilidad excedente promedio para el periodo entero fue del 8.5 por ciento (12.4% - 3.9%). .:'' Una de las observaciones más importantes de los datos del mercado de valores es este excedente a largo plazo de la rentabilidad de las acciones en comparación con la rentabilidad sin riesgo. Por su inversión en el mercado de valores, una persona que invertía durante este periodo recibía como compensación una rentabilidad excedente o adicional comparada con la rentabilidad que hubiera obtenido invirtiendo simplemente en T-bill. ¿Por qué se obtenía dicha compensación? ¿Significa que nunca vale la pena invertir en T-bill y que alguien que ha invertido en estos instrumentos en vez de hacerlo en el mercado de valores necesita un curso de finanzas? Una respuesta completa radica en la esencia de las finanzas modernas, y el capítulo 10 trata enteramente sobre esto. Sin embargo, se puede obtener parte de la respuesta analizando con mayor detenimiento la tabla 9.2. Vemos que la desviación estándar de las I-bill es sustancialmente menor que la de las acciones ordinarias. Esto sugiere que el riesgo de las T-bill es menor que el de las acciones ordinarias. Ya que la respuesta comprende el riesgo de las inversiones en acciones ordinarias, ahora nos concentramos en la medida de este riesgo.

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Preguntas Conceptuales • ¿Cuál es la observación principal acerca de los mercados de capitales que trata: remos de explicar? • ¿Qué nos indica la observación sobre las personas que invirtieron en el periodo de 1926 a 1991?

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Estadísticas de riesgo El segundo número que usamos para caracterizar la distribución de la rentabilidad es una medida del riesgo de la rentabilidad. No existe una definición de riesgo aceptada universalmente. Una manera de considerar el riesgo de la rentabilidades las acciones ordinarias es en términos de la dispersión de la distribución de frecuencia de la figura 9.9.7 La dispersión de la distribución es una medida de cuanto puede desviar una rentabilidad determinada de la rentabilidad media. Si la distribución está muy dispersa, las rentabilidades que ocurrirán serán muy inciertas. Por el contrario, una distribución cuyas rentabilidades varían por algunos puntos porcentuales entre sí es más ajustada y las rentabilidades son menos inciertas. Las medidas de riesgo que analizaremos son la varianza y la desviación estándar. Varianza La varianza y su raíz cuadrada, la desviación estándar, son las medidas de variabilidad o dispersión más comunes. Usaremos las notaciones Var y 0'2 para referirnos a la varianza y SD y O' para representar la desviación estándar.

Ejemplo Las rentabilidades de las acciones ordinarias de 1926 a 1929 (en decimales) son 0.1162,0.3749,0.4361 Y -0.0840, respectivamente. La varianza de este ejemplo se calcula así Var= T~1 (R,-R)2 +(R2 -Rf +(R3 -R)2 +(R4 -Rf 0.0578=Y;[(.l162-.2108)2 +(.3749.2108]2 + [ 2(08 21. - 0840.-) + 2(2108. -4361.) SD = ./0578 = .2405 (i. e., 24.05%) • La fórmula nos indica lo que debemos hacer: tomar las rentabilidades individuales T (R¡, R2, oo.) y sustraer la rentabilidad promedio, (R) elevar el resultado al cuadrado y sumarlas. Finalmente, debemos dividir este total entre el número de rentabilidades menos uno (T -1). La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Usando las verdaderas rentabilidades de las acciones de la tabla 9.1 para el periodo de 66 años de 1926 a 1991 en la fórmula anterior el resultado de la desviación estándar de la rentabilidad de las acciones es del 20.8 por ciento. La desviación estándar es la medida estadística estándar de la dispersión de una muestra y será la medida que usaremos la mayor parte del tiempo. Facilitamos su interpretación mediante un análisis de la distribución normal.

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Distribución normal y sus implicaciones para la desviación estándar La representación de una muestra lo suficientemente grande de una distribución normal se ve como la curva en forma de campana que aparece en la figura 9.10. Como puede verse, esta distribución es simétrica, en relación a su media, no asimétrica, y tiene una forma mucho más nítida que la distribución real de las rentabilidades anuales que presentamos en la figura 9.9.' Es evidente que si hubiéramos podido observar las rentabilidades del mercado de valores durante 1,000 años, podríamos haber evitado muchas de la altas y bajas de la figura 9.9 Y habríamos tenido una curva más suave. La distribución normal desempeña una función central en las estadísticas clásicas tradicionales y la desviación estándar es la manera usual de representar la dispersión de una distribución normal. Para la distribución normal, la probabilidad de tener una rentabilidad mayor o menor que al promedio por una determinada cantidad depende sólo de la desviación estándar. Por ejemplo, la probabilidad de tener una rentabilidad que se encuentre dentro de una desviación estándar de la media de la distribución es aproximadamente de 0.68 o y la probabilidad de tener una rentabilidad que se encuentre dentro de dos desviaciones estándar de la media es de alrededor de 0.95. Ahora podemos interpretar la desviación estándar de 20.8 por ciento que encontramos para las rentabilidades de las acciones de 192() a 1991 de la siguiente manera: si las rentabilidades de las acciones difícilmente están distribuidas en forma normal, la probabilidad de que una rentabilidad anual esté comprendida en el 20.8 por ciento de la media de 12.4 por ciento será de alrededor de Es decir, aproximadamente' de las rentabilidades anuales serán de entre el-8.4 y el t )3.2 por ciento. Nótese que-~4(j 12.4(,( -20WIr, y que)).2fj 124fir +20Xf‫ם‬r.) La probabilidad de que la rentabilidad de cualquier arlo se encuentre dentro de dos desviaciones estándar es de alrededor de 0.9) es decir, cerca del 95 por ciento de las rentabilidades anuales serán de entre-29.2 por ciento y )4 por ciento. La distribución que aparece en la figura 9.1 O es una distribución teórica, que en ocasiones se conoce como !}()!Jlac/I)1l. No es seguro que la distribución real de las obsevaciones de una muestra determinada produzcan un historial que se ve exactamente como la distribución teórica Al observar la figura 99, podemos apreciar cuán desordenada es la función de la frecuencia real de las observaciones históricas. No obstante, si dehlél:11110S continuar generando observaciones durante un periodo de tiempo lo suliclentemcl1te prolongado, desaparecerían las irregularidades

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En el caso de una distribución normal, existe un 68.26 por ciento de probabilidades de que una rentabilidad se encuentre dentro de una desviación estándar del promedio. En este ejemplo, existe una probabilidad del 68.26 por ciento de que una rentabilidad anual se halle entre el-8.4 y el 33.2 por ciento. Existe una probabilidad de19S.44 por ciento de que una rentabilidad se encuentre dentro de dos desviaciones estándar del promedio. En este ejemplo, existe una probabilidad de 195.44 por ciento de que una rentabilidad anual se halle entre el-29.2 y el 54 por ciento. Finalmente, existe una probabilidad dc199. 74 por ciento de que una rentabilidad se encuentre dentro de tres desviaciones estándar del promedio. En este ejemplo, existe una probabilidad del 99. 74 por ciento de que una rentabilidad anual se halle entre el 50.0 y el 74.8 por ciento del modelo y la distribución histórica real empezaría a parecerse a la distribución teórica fundamental. Esto pone de relieve que en cualquier muestra individual existen errores de muestreo. En otras palabras, la distribución de la muestra sólo se aproxima a la distribución verdadera; siempre medimos la verdad con cierto error. Por ejemplo, no sabemos cuál fue la rentabilidad esperada de las acciones ordinarias en el periodo de 66 años; sin embargo, estamos seguros de que el 12.4 por ciento se aproxima bastante a dicha rentabilidad esperada. Preguntas Conceptuales • ¿Cuál es la definición de las estimaciones de la muestra de la varianza Y la desviación estándar? • ¿Cómo nos ayuda la distribución normal a interpretar la desviación estándar?

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La tasa de descuento para los proyectos con riesgo Ahora podemos considerar la tasa de descuento para los proyectos arriesgados. El caso en que el riesgo es igual al del mercado Permítanos suponer que existe una inversión no financiera que tiene el mismo riesgo que el índice compuesto S&P. A menudo llamaremos al índice compuesto S&P la cartera de activos

arriesgados" ¿Qué rentabilidad deberíamos requerir de dicha inversión. Debemos usar la rentabilidad esperada actual de la cartera de mercado como nuestra tasa de descuento, porque ésta es la rentabilidad que sacrificaríamos si llevamos a cabo el proyecto propuesto en vez de invertir en el S&P. Los economistas financieros a menudo consideran la rentabilidad esperada de la cartera de mercado como

Tasa sin riesgo

Rentabilidad esperada de la cartera de

=

mercado

Prima de +

riesgo esperada

Aquí se expresa la rentabilidad esperada de mercado como la suma de la tasa sin riesgo más la

prima de riesgo esperada. La prima de riesgo esperada simplemente es la compensación por el riesgo que corren los inversionistas de la cartera de mercado. Ya que la rentabilidad esperada de la cartera de mercado consta de dos partes, permítanos intentar calcular ambas. Es fácil estimar la tasa sin riesgo. Si The Wall Street Journa/ (WSJ) nos dice que la tasa actual para las letras de cambio del Tesoro a un año es del 7 por ciento, es bastante razonable determinar que la tasa sin riesgo es del 7 por ciento. Es mucho más difícil estimar la prima de riesgo esperada, porque es obvio que las rentabilidades o primas esperadas no aparecen en el WSJ. Los métodos alternativos como efectuar una encuesta a profesores de finanzas (o a estudiantes, en este caso) quizá tendría resultados absurdos. En vez de ello, obtenemos nuestra estimación de la prima de riesgo del pasado. La tabla 9.2 nos señala que la rentabilidad promedio de las acciones ordinarias de 1926 a 1991 fue de 12.4 por ciento, y que la rentabilidad promedio de las letras de cambio del Tesoro de Estados Unidos durante el mismo periodo fue de 3.9 por ciento. La prima de riesgo histórica es del 8.5 por ciento (12.4% - 3.9%). Los economistas financieros sostienen que la prima de riesgo histórica es el mejor medio de predicción de la prima de riesgo esperada en el futuro. 10 Así, considerando la tasa del 7 por ciento de la T-bill, podrían calcular la rentabilidad esperada del mercado como

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Rentabilidad esperada= del

Tasa sin riesgo actual + 7%

+ 8.5%

mercado 15.5%

=

Prima de riesgo histórica

Por lo tanto, la tasa de descuento para la inversión no financiera arriesgada es del 15.5 por ciento.

El caso en que el riesgo es diferente al del mercado El estudio anterior trató sobre un proyecto con riesgo igual al del mercado. ¿Cómo se determina la tasa de descuento de un proyecto que difiere de la tasa de descuento del mercado? La figura 9.11 presenta una relación posible, donde la tasa de descuento se relaciona positivamente con el riesgo del proyecto. Esto es razonable porque en capítulos anteriores indicábamos que tanto los individuos como las empresas demandan una alta rentabilidad esperada de un proyecto con un riesgo alto.

En su forma actual, esta gráfica es de cierta utilidad; un gerente podría usarla con facilidad de una

maneraad hoc. El gerente decidiría si un proyecto tiene más o menos riesgo que el mercado. Si el gerente juzgara que el riesgo del proyecto es alto, escogería una tasa de descuento mayor que la rentabilidad esperada del mero cado. En cambio, si el gerente juzgara que el riesgo del proyecto es bajo, escogería una tasa de descuento menor que la del mercado como un todo. Usamos el término ad hoc porque necesitamos responder una pregunta antes de aplicar la gráfica de manera precisa. La pregunta es: ¿cuál es la medida de riesgo adecuada? Tal vez le sorprenda la pregunta porque podría parecer que la desviación estándar de la rentabilidad del proyecto es la opción obvia de la medida de riesgo del proyecto. No obstante, los economistas están en desacuerdo; señalan que a un inversionista diversificado no le inquieta el riesgo de ningún activo individual. Más bien, al inversionista le interesa el efecto del activo sobre el riesgo de la cartera completa.

Ejemplo Diversified Industries está considerando una inversión ya sea en un proyecto dé extracción de oro o en una franquicia de una empresa generadora de energía. En una junta del consejo de administración, la señorita Katherine Russell sostiene que los flujos de caja de una operación de extracción de oro son intrínsecamente bastante variables. Por lo tanto, se debería aplicar una

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tasa de descuento mayor a estos flujos de caja. Una tasa de descuento menor es apropiada porque una planta generadora de energía típica es menos volátil.

Otro director, el señor Zelig Breakstone, no está de acuerdo. Señala que la empresa en sí está diversificada y la mayoría de los accionistas son diversificados. Sostiene que los precios del oro, por lo general, se incrementan en las épocas inflacionarias, precisamente cuando los precios de las acciones tienden a caer. Así, indica que un proyecto de extracción de oro es una cobertura contra los otros activos de la empresa y las demás inversiones de los accionistas. Cuando el resto de la economía presenta un buen comportamiento, el oro tiende a caer y viceversa. Por el contrario, las inversiones en generadoras de energía se comportan bien cuando otros activos se comportan bien, y tienen un comportamiento deficiente cuando otros activos tienen un comportamiento deficiente. La franquicia de la planta generadora de energía se integra al riesgo de una cartera grande. Por lo tanto, el señor Breakstone quiere que se aplique una tasa de descuento más alta a la franquicia de la planta generadora de energía. La teoría moderna de la cartera concuerda con el señor Breakstone. Según los economistas financieros, se debe considerar cualquier activo como parte de una cartera. El riesgo del activo es la contribución a la variabilidad de la cartera. Ya que la desviación estándar y la varianza utilizan un activo de manera individual, debemos pasamos a las medidas estadísticas que relacionan los activos entre sí. Ahora analizamos la beta y la diversificación, pilares de la teoría moderna de la cartera.

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Pregunta Conceptual • ¿Cómo pueden los gerentes financieros utilizar la historia de los mercados de capital para estimar la tasa de rentabilidad requerida de las inversiones no financieras con el mismo riesgo que las acciones ordinarias promedio?

Riesgo y beta

Diversificación Este capítulo ha analizado a fondo el riesgo y la rentabilidad históricos de las carteras altamente diversificadas que el índice compuesto S&P representa. Hemos visto que la desviación estándar histórica del índice compuesto S&P es del 20.8 por ciento. Sin embargo, las desviaciones estándar históricas de las acciones ordinarias individuales son de bastante más de120.8 por ciento. De hecho, la desviación estándar histórica de las acciones ordinarias individuales es de aproximadamente el 50 por ciento.

La tabla 9.3 presenta los cálculos de las desviaciones estándar de varios capitales ordinarios bien conocidos. Cada uno de estos capitales tiene una desviación estándar que es bastante mayor que las del índice compuesto S&P. La diferencia entre la desviación estándar de una acción individual v la desviación estándar de una cartera o un índice es consecuencia del" conocido fenómeno de la diversificación: Con la diversificación, se pueden combinar las acciones individuales arriesgadas de modo tal que una combinación de títulos individuales (es decir, una cartera) casi siempre sea menos arriesgada que cualquier titulo individual. Es posible eliminar el riesgo porque las rentabilidades de los

Acciones

Desviación estándar

Allis Chalmers

55

Chrysler

47

Cray Research

45

Homestake Mining

42

Mattel

62

Merrill Lynch

49

Apple

38

Índice compuesto S&P

21

74

Desviación estándar promedio de todas las acciones individuales

50

Beta El modelo para la valoración de activos de capital (CAPM) demuestra que riesgo de un título individual está bien representado por su coeficiente. La beta nos indica en términos estadísticos la tendencia de una acción individual a covariar con el mercado (p. ej., el índice compuesto S&P). Una acción con una beta de 1 tiende a subir y bajar en el mismo porcentaje que el mercado. Las acciones con una beta menor de 1 tienden a tener un menor movimiento que el mercado en términos porcentuales. De modo similar, una acción con una beta mayor de 1 tiende a fluctuar más que el mercado. La tabla 9.4 presenta algunos cálculos recientes de la beta de acciones ordinarias conocidas. La rentabilidad esperada de un título se relaciona positivamente con el riesgo del título, porque los inversionistas sólo correrán un riesgo adicional si reciben una compensación adicional. El CAPM implica que la beta, no la desviación estándar, es la medida de riesgo adecuada. Este razonamiento nos permite calcular la rentabilidad esperada de un título individual como se indica a continuación: Rentabilidad esperada de = un título individual Tasa sin

+

riesgo actual Beta de un título

x

Prima de riesgo de mercado histórico

Ejemplo Suponga que la tasa sin riesgo actual es del 7 por ciento y la prima de riesgo de mercado histórica es del 8.5 por ciento. ¿Cuál es la rentabilidad esperada de Campbell Soup Company, si su beta es de 0.8? Usando el CAPM, encontramos que la rentabilidad esperada de Campbell Soup Company es = 7% + (0.8 x 8.5%) = 13.8% •

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Para el estudiante que debe saber más sobre el riesgo y la rentabilidad esperada, en el capítulo 10 no entenderemos mucho más sobre el CAPM y la beta. Resumen y conclusiones Las medidas estadísticas de este capítulo son fundamentales para el material de los tres capítulos siguientes. 1. La desviación estándar y la varianza ponderan la variabilidad de la rentabilidad de un título individual. Señalaremos que la desviación estándar y la varianza son medidas adecuadas del riesgo de un título individual si la . cartera de un inversionista consta sólo de ese título. 2. La mayoría de los inversionistas tiene carteras y, como consecuencia, la varianza (o la desviación estándar) no es una buena medida del riesgo de una acción individual. La beta es una medida mejor.

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Términos clave Ganancia de capital 257 Rentabilidad del periodo de tenencia 261 Distribución de frecuencia 263 Promedio (media) 265 Prima de riesgo 266 Varianza 268 Desviación estándar 268 Distribución normal 269 Diversificación 274 Beta 274 Lecturas recomendadas

Se puede encontrar un registro importante del comportamiento de los instrumentos financieros en los mercados de capitales de Estados Unidos en: Ibbotson, Roger G. y Rex A. Sinquefield, Stocks, Bonds, Bilis, and Inflation: 1992 Yearbook TM, Chicago, Ibbotson Associates.

Los problemas del uso de los datos de muestreo para calcular las rentabilidades esperadas se describen en: Blume, M. "Unbiased Estimates of Long Run Expected Rates of Retums", Journal 01

the American Statistical Association, septiembre de 1974. Merton, R.e. "On Estimating the Expected Retum on the Market: An Exploratory Investigation",

Journal 01 Financial Economics, 8, diciembre de 1980.

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