U N E X P O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA ANTONIO JOSE DE SUCRE VICE RECTORADO BARQUISIMETO DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA

ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS EN EL ESPACIO DE ESTADO Francisco De La Cruz

CAPITULO 2

ANALISIS MATRICIAL

EL3133 - SISTEMAS DE CONTROL II - Sección "U" Eulogio T. Pérez Ramos Marzo - Julio 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

2.0

2

Introducción

Cuando se estudió la descomposición de funciones de transferencia, se observó que según el procedimiento utilizado se obtenían diferentes formas de representación, algunas más simples que otras. Entre las formas de representación más sencillas y más fáciles de analizar están la forma normal y la forma de Jordán. En este capítulo se estudia rán los procedimientos que existen para encontrar estas representaciones a partir de las ecuaciones matriciales FE sin tener que recurrir a la descomposición de una función de transferencia. Se asume que el lector posee conocimientos de álgebra matricial y sólo se presentará un repaso de los puntos más esenciales para el estudio de sistemas lineales. Para un estudio mas profundo de estos tópicos se recomienda la consulta de textos mas específicos. El capítulo está estructurado de la siguiente manera: en la sección 2.1 se presentan una serie de conceptos necesarios para la comprensión del material contenido en las secciones siguientes. La sección 2.2 contempla los aspectos fundamentales de las transformaciones lineales de vectores. En la sección 2.5 se estudian los conceptos de ecuación característica, valores y vectores propios de suma importancia en las transformaciones que se estudian en las secciones siguientes. En la sección 2.4 se analiza el caso de matrices con valores propios diferentes para su transformación en matrices diagonales. En la sección 2.5 se tratan las matrices con valores propios repetidos y su posterior transformación a matrices o formas canónicas de Jordán. Una manera de hallar la solución de la ecuación de estado se presenta en la sección 2.6 utilizando una interpretación geométrica en base a los vectores propios de una matriz con autovalores diferentes. Los objetivos que deben alcanzarse al finalizar el estudio de este capítulo son los siguientes: 1. Dada una matriz real, determinar tanto su ecuación característica como sus valores propios. 2. Determinar los vectores propios, la matriz modal y la matriz diagonal asociados a una matriz real con autovalores diferentes. 3. Determinar los vectores propios generalizados, la matriz de transformación y la forma de Jordán asociados a una matriz real con autovalores repetidos. 4. Transformar la representación matricial estándar de un sistema a su correspondiente representación en la forma normal o en la forma de Jordán. 5. Hallar la expresió n en el tiempo del vector de estado de un sistema autónomo con autovalores diferentes a través de la interpretación modal. Las diferencias para este capítulo son [1], [2], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [11], [12], [15], [16], [18]. 2.1.

Vectores y Espacio Lineal Vectorial

En esta sección se presentan definiciones esenciales para comprender los tópicos y procedimientos que se estudiarán en las secciones siguientes. En la mayoría de los casos las

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definiciones son poco rigurosas ya que están dirigidas más hacia el estudio de sistemas de control que hacia el estudio de álgebra lineal. Definición 2-1

Un conjunto de elementos escalares a, b, c, ..., forma un campo F si para cualesquiera dos elementos de F, a y b, se cumple que a+b, a-b y a/b (b ≠ 0) son también elementos de F. Los campos utilizados en este libro son el campo de los números reales, R, y, en pocos casos, el campo de los números complejos, C. Definición 2-2

Se llama vector n-dimensional o de orden n sobre un campo F a un conjunto de n elementos xi de F. Se denota como

 x1  x  x= 2 M    xn  Los elementos xi se denomina componentes del vector x. Definición 2-3

Un espacio vectorial V sobre un campo F se define como el conjunto de vectores en F que satisfacen las siguientes condiciones: 1. Para cada par de vectores x y z , la suma x+0 pertenece a V. Además la suma de vectores es conmutativa y asociativa. 2. Existe en V un vector cero 0 tal que x+0 = x, donde x es un vector en V. 3. A cada vector x en V corresponde un vector -x tal que x + (-x) = 0. 4. Para cada x en V y cada escalar c en F el producto cx pertenece a V. La multiplicación de un escalar por un vector es asociativa y distribución con respecto a la suma. Definición 2-4

Los vectores x1, x2, ..., xn definidos sobre V son linealmente independientes si c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn = 0

(2-1)

implica que c1 = c2 = ... = cn = 0

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En caso contrario, es decir, si existen constantes c1 , c2 ,..., cn no todas cero para las cuales se satisface la ecuació n (2-1), los vectores se dicen linealmente dependientes. Ejemplo 2-1

Considérense los vectores

1 x1 =   1

;

2 x2 =   −1

Aplicando la ecuació n (2-1) se tiene

1  2  0 C1   + C2   =   1  −1 0 Esto sólo se cumple para C1 = C2 = 0 por lo tanto x1 y x2 son linealmente independientes. Ejemplo 2-2

El conjunto de vectores x1, x2 , x3 con x1 = 0, x1 y x3 diferentes de cero es un conjunto linealmente dependiente ya que

c1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 = 0 ó

c1 0 + c2 x 2 + c3 x 3 = 0 se satisface para c2 = c3 = 0 y c1 = 1 de aquí que todo conjunto de vectores que incluya un vector 0 se considera linealmente dependiente. Definición 2-5

Un conjunto de vectores x1, x2, ..., xn en V se denomina base del espacio vectorial V si esos n vectores son linealmente independientes, de manera que cualquier vector x en V puede ser expresado como una combinación única de los vectores x i . n

x = ∑ αi x i

(2-2)

i =1

El conjunto {α1 , α 2 , L , α n } se denomina representación de x con respecto a la base { x 1 , x 2 ,L , x n } . Definición 2-6

El número de vectores de una base en un espacio V se denomina dimensión de V. Si el número es n entonces V es un espacio n-dimensional. Versión 1.2 - Abril 98

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Ejemplo 2-3

El conjunto de vectores linealmente independientes

1  0 0     x1 = 0; x 2 =  1; x 3 = 0 0  0 1 constituye una base de un espacio tridimensional ya que cualquier vector arbitrario

 y1  y =  y2  ;  y3 

con yi constantes

puede ser expresado como

y = y1 x1 + y 2 x 2 + y 3 x 3 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independiente constituye una base de un espacio n-dimensional. Existirán, así, diferentes representaciones de un mismo vector dependiendo de la base escogida, y existirá una relación entre dos representaciones diferentes de un vector. Esa relación se puede expresar mediante el siguiente teorema. Teorema 2-1

Sean xZ y xw las representaciones de un vector x de orden n con respecto a las bases Z = {z1, z2, ..., zn}, y W = {w1, w2, .., wn}. La relación entre ambas representaciones viene dada como

X ⇔ Z X z =W Xw X z = Z −1 W X w ó

(2-3)

X z = PX w donde la matriz P = Z −1 W es no singular.

Demostración:

La representación del vector con respecto a la base Z es

 a1  a  n x = ∑ a i z i = a1 z1 + a 2 z 2 +L+a n z n = [z 1 z 2 L z n ] 2  = Zx z M  i =1   a n  Versión 1.2 - Abril 98

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y con respecto a la base W es

 b1  b  n x = ∑ bi w i = b1 w1 + b2 w 2 +L+bn wn = [w1 w2 L w n ] 2  = W x w M i =1   bn  Por tratarse del mismo vector Z xz = W xw ó xz = Z-1 W xw Ejemplo 2-4

Considere la base Z = {z1, z2} donde

1 Z= 0

0 1

La representación de un vector x con respecto a esta base es x z = [2 representación de x con respecto a la base

3 W = { w1 w2 } =  1

2] Τ . Hallar la

2 2

La representación buscada será

xw = W

−1

3 Zxz =  1

2  −1  1 2   0

0 2  1 2 

0 xw =   1 Definición 2-7

La norma de un vector x se denota como negativa del producto escalar xT x, es decir

x =

xT x =

x y está definida como la raíz cuadrada no

x +x 2

2

1

2

+L+ x n 2

(2-4) Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

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donde las xi son los componentes de x . Para un vector real x en un espacio de 2 ó 3 dimensiones R2 o R3, x representa la longitud del vector. Un vector u i cuya norma es 1 se denomina vector unitario o normalizado. Se puede obtener un vector unitario de todo vector x ≠ 0 simplemente dividiendo sus componentes por su norma, es decir

ui =

x x

(2-5)

Ejemplo 2-5

Normalizar el x = [1

0

1]Τ

Calculando

x =

(1) 2 + ( 0) 2 + (1) 2

= 2

y usando la ecuación (2-5)

 1 x 1   u= = 0 = x 2   1

1 2     0  1 2   

Obsérvese que

u = uΤ . u = 1 Definición 2-8:

Si el producto interno de dos vectores x y z es igual a cero (xT z = 0) entonces se dice que los vectores son ortogonales entre sí. Ejemplo 2-6

Los vectores

1 1 1     x1 =  0 ; x 2 = 1; x 3 = −2  −1 1  1  forman un conjunto de vectores ortogonales ya que Versión 1.2 - Abril 98

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(x

Τ 1

) (

) (

)

. x 2 = x 1Τ . x 3 = x Τ2 . x 3 = 0

Ejemplo 2-7

En un espacio n-dimensional V, el conjunto de n vectores unitarios  1    0 x1 =  0 ;   M  0  

 0    1 x 2 =  0 ; L ;   M  0  

0    0  x n = 0    M  1   

constituyen un conjunto de vectores ortogonales (por ser unitarios y ortogonales a la vez se les llama ortonormales) y forman la base fundamental del espacio n-dimensional V. A menos que se indique lo contrario, cualquier vector especificado de ahora en adelante estará definido con respecto a esta base. Definición 2-9

Sea el conjunto de vectores U = {u1, u2, ..., un} una base del espacio vectorial V. La base recíproca de U es el conjunto de vectores R = {r1, r2, ..., rn} tal que

r Τi ⋅ u j = 0

si i ≠ j

r Τi ⋅ u j = 1

si i = j

i, j = 1, 2, ... n

ó utilizando el término δ ij llamado delta de Kronecker

0 δ ij =  1

si i ≠ j si i = j

(2-6)

( i, j = 1, 2 , L , n )

(2-7)

entonces

r Τi . u j = δ ij

Los vectores r1, r2, ..., rn constituyen un conjunto linealmente independientes y por lo tanto son otra base de V. Si se define U como la matriz cuyas columnas son los vectores ui y R como la

( )

matriz cuyas columnas son los vectores r i , entonces U = R

T −1

= R−T .

Ejemplo 2-8

Calcular los vectores recíprocos de

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1 u1 =  ; 1

2 u2   3

Agrupando estos vectores dentro de una matriz U se tiene

1 U = 1

2 3 

su inversa será

U

−1

− 2 1 

3 = RT =  − 1

Los vectores recíprocos buscados son las filas transpuestas R

 − 1 r2 =   1

 3 r 1 =  ; − 2 

Al ser u1 y u2 linealmente independiente constituyan una base del espacio R2, lo mismo sucede con r1 y r2. Graficando estos vectores en un plano se observa que u1 es perpendicular a r2,

(

)

Τ

ya que r Τ 2 u 1 = 0 y u2 es perpendicular a r 1 r i . u 2 = 0 . Véase la Figura 2-1.

[1,0] u2

r2

u1

[0,1] r1 Figura 2-1 Representación de los vectores u1 y u2 y sus correspondientes vectores recíprocos del Ejemplo 2-8 Los vectores recíprocos se pueden utilizar para hallar la expresión de un vector con respecto a una base dada. Supóngase que se tiene una base x1, x2,..., xn del espacio V, por tanto es posible expresar cualquier vector x en V como Versión 1.2 - Abril 98

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n

x = ∑ α i x i = α 1 x 1 + α 2 x 2 +L+α n x n

(2-8)

i =1

Multiplicando ambos términos de esta ecuación por el vector recíproco r Τ 1 se obtiene

(

)

(

)

(

r 1Τ . x = α 1 r 1Τ x 1 + α 2 r 1Τ x 2 +L + α n r Τ1 x n r1Τ x = α 1 (1) + 0 +L + 0 = α 1

)

Multiplicando la ecuación sucesivamente por r2Τ ,L, rnΤ se obtiene que en general

αi = r iΤ x Luego la ecuació n 2-8 puede ser escrita como n

( )

x = ∑ r Τi x x i

(2-9)

i =1

Ejemplo 2-9

Expresar el vector x = [-1 2]T en función de la base U dada en el Ejemplo 2-8. Desarrollando la ecuación (2-9) se tiene

x = r1Τ x u1 + r Τ 2 x u2 − 1 x = [3 −2] u1 + [− 1 2

− 1 1] u 2 2

x = −7u1 + 3u2 2.2.

Transformaciones Lineales

Dentro de las funciones vectoriales, es decir, aquellas funciones donde tanto la variable dependiente como la independiente son vectores, existe una cla se denominada transformación lineal que es de gran utilidad dentro del análisis de sistemas de control en el espacio de estado. En algunos textos estas funciones o transformaciones se denominan generadores lineales. Sean V y W dos espacios vectoriales y sea L una función que a cada vector de V le asigne un vector único en W, entonces, se dice que L mapea o aplica V en W y se denota L:V → W . Definición 2-10

Una función L:V → W se dice que es una transformación lineal si para cualesquiera vectores v1 y v2 en V y para todo escalar ki se cumple que si Versión 1.2 - Abril 98

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L( v i ) = w i entonces

L( k1 v1 + k 2 v 2 ) = k 1 L( v 1 ) + k 2 L( v 2 ) = k1 w1 + k 2 w2 La ecuación matricial A x= y

(2-10)

donde A es una matriz (nxm), x es un vector (mx1) y y es un vector (nx1), es una transformación lineal: la matriz A transforma el vector x de un espacio m-dimensional en un vector y de un espacio n-dimensional. Las transformaciones lineales no se reducen a este caso, llamado transformación matricial, pero es el de mayor utilización en el análisis de sistemas lineales, de aquí que se estudien detalladamente a continuación. La ecuación (2-10) no siempre tiene solución. Para conocer si existen vectores x solución de esa ecuación y determinar cuantas soluciones linealmente independientes se pueden encontrar es necesario introducir los conceptos presentados seguidamente. Definición 2-11

Considere la transformación de la ecuación (2-10). Se denomina imagen (o recorrido) de A el conjunto de todos los vectores y de un espacio n-dimensional W para los cuales existe al menos un vector x en un espacio m-dimensional V que satisface la ecuación (2-10). Ejemplo 2-10

Sea la matriz

2 A= −4

−1 2 

Un vector y1 = [ −1 −2 ]T pertenece a la imagen de A puesto que existe un vector T x1 = [−1 −1] tal que y = Ax 1 . El vector y1 = [1 0]T no pertenece a la imagen de A ya que no 1

existe un vector x2 tal que y = Ax 2 . 2 La ecuación (2-10) puede ser escrita en forma detallada como

 y1   a11 y  a  2  =  21 M  M     yn   an1

a12 a22 M an 2

L L L

a1 m   x1  a2 m   x2      anm  xm 

ó Versión 1.2 - Abril 98

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 a11   a12   a1m  a  a  a  y = x1  21 + x2  22  +L+ xn  2 m   M   M   M         an1   an2   anm  Es posible decir con base en esta última ecuación que la imagen (o recorrido) de A es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de las columnas de la matriz A. La imagen de A constituye un espacio vectorial dentro de W (subespacio de W), por lo tanto su dimensión es igual al máximo número de vectores linealmente independientes en dicho subespacio. Definición 2-12

El rango r de una matriz A es el máximo número de columnas linealmente independiente en A, es decir, la dimensión de la imagen (recorrido) de A (dim ℜ( A)) . Otra manera de definir el rango de A señala que r es el orden de la mayor submatriz de A cuyo determinante es diferente de cero. Ejemplo 2-11

Determinar el rango de las matrices

1 A = 2  3

−1 1 0

0 1 1

1 B= 2

−1 1 

La mayor submatriz de A con determinante no nulo es de orden (2 x 2), por ejemplo.

1 A1 =  0

1 1

lo que indica que el rango de A es r = 2. Ya que B tiene determinante diferente de cero, la mayor submatriz de B que especifica su rango es ella misma, por lo tanto el rango de B es r = 2. Analizado de otra manera: A tiene 2 columnas linealmente independientes, la tercera es combinación de las 2 primeras, mientras que las 2 columnas de B son linealmente independientes, esto conduce al mismo resultado r = 2 para ambas matrices. Se puede demostrar ( [4] , Pág. 83) que el máximo número de columnas linealmente independientes de una matriz es igual al máximo número de filas linealmente independientes. Luego, el rango de una matriz puede ser calculado observando el número de relaciones lineales de filas o columnas entre sí. El concepto de rango permite determinar la existencia de soluciones de la ecuación (2-10) por medio del teorema siguiente. Versión 1.2 - Abril 98

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Teorema 2-2

Considere la ecuación (2-10). Dada la matriz A y cualquier vector y existe un vector x solución de la ecuación (2-10) si y sólo si el rango de A es igual a n (al número de filas de A). Para la demostración de este teorema refiérase a [7], Pág. 31. Existe un caso particular de la ecuación A x = y que merece ser estudiado detalladamente: es el caso A x = 0 que puede ser entendido como una transformación L:V → W tal que a cada vector en el espacio m-dimensional V, la transformación L le asigna el vector 0 en el espacio ndimensional W. Definición 2-15

Se denomina núcleo de A al conjunto de todos los vectores x del espacio n-dimensional V para los cuales A x = 0 . El núcleo de A es un subespacio de V, su dimensión se denomina nulidad de A y se denota por la letra ‘q’ (q = dim ℵ( A) ) . Así pues, el número de vectores x linealmente independientes solución de la ecuación A x = 0 está determinado por la nulidad “q” de la matriz A. Si q = 0 entonces sólo existirá la solución trivial x = 0 . Existe una relación entre el rango y la nulidad de toda matriz A la cual puede ser expresada por el siguiente teorema. Teorema 2-3 (Teorema de la Dimensión)

Si A es una matriz de orden (mxn) o (nxn) entonces Rango(A ) + Nulidad(A ) = n ó r+q=n Véase referencia [18] pág. 223 para la demostración de este teorema. Ejemplo 2-12

Determinar la nulidad de la matriz

2 0 A= 1  1

2 0 1 1

3 1 1 1

1 0 1  1

La matriz A tiene 3 columnas (y filas) linealmente independiente, por ello, r=3. Ya que n=4 entonces

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q=n -r=4 -3=1 Este resultado indica que para la ecuación A x = 0, usando la matriz A dada, sólo existirá un vector x solución de dicha ecuación. La matriz A de las ecuaciones A x = y ó A x = 0 se modifica cuando se cambia la base del espacio vectorial utilizado. Considérese que los vectores x y y de la ecuación (2-10) están definidos con respecto a la base fundamental indicada en el Ejemplo 2-7. Si se cambia la base del espacio vectorial a un conjunto W ( w1, w2, ...,w n). Por el Teorema 2-1 existe una matriz de transformación P no singular tal que x = P xw y = P yw Sustituyendo estas expresiones en la ecuación y = A x se tiene P yw = A P xw ó yw = P -1 A P xw finalmente se puede escribir yw = B xw donde B = P -1 A P La matriz B es la representación de A con respecto a la nueva base W. La ecuación anterior se denomina Transformación de Semejanza y las matrices A y B se denominan semejantes. Ejemplo 2-13

Hallar la matriz semejante de A expresada en función de la base W donde

0 A= 2

1 −1

1 W= 1

1 −2 

Usando el Teorema 2-1 P = Z -1 W Suponiendo que Z es la base fundamental, es decir Z = I

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

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1 P=ΙW=  1

1 −2 

Luego

1 B = P−1 AP =  0

0 −2

es la matriz semejante buscada 2.3

Valores y Vectores Propios

El estudio de los llamados valores y vectores propios es de suma importancia cuando se analizan o diseñan sistemas de control en el espacio de estado. La finalidad de dicho estudio es encontrar una nueva representación de A (matriz de planta) con respecto a una nueva base constituida precisamente por los vectores propios. Esa nueva representación es muy simple y fácil de analizar y contiene la misma información cualitativa de la matriz A acerca del sistema. Utilizando las definiciones y teoremas presentados en las secciones anteriores se estudiará una transformación lineal expresada como y = A x. Se requiere encontrar un vector xi tal que y sea proporcional a xi, es decir, y= λxi donde λ es un escalar. Definición 2-14

Sea A una matriz real (nxn). Un valor de λ para el cual la ecuación

A xi = λ xi

(2-11)

tiene una solución no trivial (xi ≠ 0), se denomina valor propio de la matriz A. En algunos textos, en lugar del vocablo valores propios, utilizan los términos valores característicos, raíces latentes, eingenvalores o autovalores. La ecuación (2-11) puede ser escrita como

( λ I − A) x i = 0

(2-12)

Para que esta ecuación tenga una solución no trivial se debe cumplir que el determinante de la matriz (λI - A), llamada Matriz Característica de A, sea igual a cero (véase Definición 2-13), es decir

λI − A = 0

(2-13)

El desarrollo de este determinante es un polinomio de orden n en λ, llamado Polinomio Característico de la matriz A y denotado como P(λ). La ecuación (2-13) o P(λ) = 0 es llamada Ecuación Característica de A. La forma general de esta ecuación es Versión 1.2 - Abril 98

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P( λ) = λn + a n λn −1 + L + a 2 λ + a1 = 0

(2-14)

Las n raíces de la ecuación característica de A son precisamente los valores propios de A. Ya que A es una matriz de elementos reales, P(λ) tendrá coeficientes ai reales pero sus valores propios pueden ser reales o complejos conjugados, diferentes o repetidos. Cuando un valor propio se repite m veces se dice que es de multiplicidad m. Ejemplo 2-14

Encuentre los autovalores de la matriz

 1 1 −2 A =  −1 2 1  0 1 −1 La matriz característica de A es

λ − 1 ( λI − A) =  −1  0

−1 λ− 2 −1

2  −1  λ + 1

λI − A = λ3 − 2λ2 − λ + 2 P ( λ) = ( λ − 1)( λ + 1)( λ − 2) Los autovalores de A son λ1 = 1, λ2 = -1 y λ3 = 2 Una propiedad muy importante de los valores propios de la ecuación características radica en ser invariantes bajo transformaciones de semejanza, esto significa que dos matrices semejantes tienen la misma ecuación característica y, por supuesto, los mismos autovalores. Para demostrarlo, supóngase dos matrices semejantes A y B tal que B = P -1 A P donde P es la matriz de transformación. La matriz característica de B es (λI-B), pero

(λI − B ) = ( λI − Ρ −1 ΑΡ )

(

= λΡ −1 I Ρ − Ρ −1 ΑΡ

)

= Ρ − 1 (λΙ − Α)Ρ El polinomio característico de B será

λI − B = Ρ −1 λI − A Ρ pero

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

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Ρ−1 Ρ = I Luego

λI − B = λI − A Esta ecuación indica la igualdad de los polinomios característicos de A y B, y en consecuencia la de sus ecuaciones características y sus autovalores. Ya que entre todas las posibles representaciones de un sistema siempre existen relaciones de semejanza, las ecuaciones características y los autovalores de las matrices de planta de cada representación serán siempre las mismas. Por esta razón, los diseños de sistemas de control se realizan en base a los autovalores o las ecuaciones características deseadas de una forma de representación simple y luego se regresa, usando la transformación matricial correspondiente, a la representación matricial original. Definición 2-15

Un vector x i ≠ 0 , solución de la ecuación

A xi = λi x i

(2-15)

se denomina vector propio de A asociado al autovalor λi Los términos autovector, eigenvector y vector característico se utilizan como sinónimo de vector propio. La ecuación (2-15) puede ser escrita como

( λi I − A) x i = 0

(2-16)

la cual representa un conjunto de ecuaciones escalares. La solución de ese sistema de ecuaciones homogéneas para cada λi corresponde a la representación del vector propio x i . Podría suponerse que asociado a cada autovalor debe existir un vector propio pero esto no es necesariamente válido cuando existen autovalores repetidos. Por esta razón, se acostumbra estudiar inicialmente el caso de matrices con autovalores diferentes y luego el caso de matrices con autovalores repetidos. 2.4.

Matrices con Valores Propios diferentes. Diagonalización.

Considérese una matriz A de orden (nxn) con n autovalores diferentes λ1 ,λ2 ,..., λn. La matriz característica (λI - A) evaluada para cada autovalor λi es de rango n-1 (debido a la ecuación (2-13), λI − A = 0 ). Entonces el número de soluciones de la ecuación

( λi I − A) x i = 0

(2-17)

es, según el Teorema 2-3, igual a 1 (q = n - r = n-(n-1)=1) lo cual indica que existe un vector propio xi ≠ 0 solución de la ecuación (2-17) asociado a cada autovalor λi. Versión 1.2 - Abril 98

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18

Teorema 2-4

Si los n autovalores de una matriz A (nxn) son diferentes entonces los n vectores propios correspondientes son linealmente independientes y constituyen una base. Demostración: Por contradicción. Supóngase que los vectores propios son dependientes de tal manera que los vectores x1, x2, ..., xk sean independientes y los vectores xk+1, ..., xn sean dependientes de los primeros. Entonces por la ecuación (2-2) un vector propio xs puede ser expresado como k

x s = ∑ αi x i i −1

; s = k + 1, L , n

donde no todos los αi son iguales a cero. Por otro lado y usando la ecuación (2-15)

A x s = λs x s Luego k

k

A ∑ αi x i = λs ∑ αi x i i =1

i =1

k

k

i =1

i =1

∑ αi A x i = ∑ αi λs x i k

k

i =1

i =1

∑ αi λi x i = ∑ αi λs x i ∑ αi ( λi − λs ) x i = 0 k

i =1

Debido a que no todos los αi son iguales a cero y (λi - λs) ≠ 0 por ser autovalores diferentes entonces el conjunto de vectores propios xi, es decir, x1, x2, ..., xk es dependiente lo cual contradice la suposición y por lo tanto el conjunto de n vectores propios es linealmente independiente y constituye una base. Ejemplo 2-15

Determine los vectores propios de la matriz

−3 A =  0  2

0 0 0

−1 1  0 

La ecuación característica de A es

Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

19

λ+ 3 (λΙ − A) =  0  −2

0 λ 0

1 −1 λ 

Luego

Ρ (λ) = λΙ − Α = λ(λ + 1)(λ + 2) = 0 Los autovalores de A son λ1 = -1, λ2 = -2 y λ3 = 0 Los vectores propios se determinan usando la ecuación (2-17)

λ1 = −1 ⇒

(λ1Ι − Α) x1 = 0 2 0  −2

0 −1 0

1   x11   0 −1  x21  =  0 −1  x31   0

de donde se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones

2 x11 + x 31 = 0 ; x11 = −0,5 x 31 − x21 − x31 = 0 ; x21 = − x31 Estas 2 ecuaciones tienen 3 incógnitas, por ello se debe escoger arbitrariamente una de las incógnitas, siempre y cuando xi ≠ 0 . Tomando x31 = 2 se tiene

−0,5 x31  x 1 =  − x31  =  x31  λ2 = − 2 ⇒

 −1 −2    2 

( λ2 Ι − Α) x 2 = 0 0 1   x12  1  0 −2 −1  x  = 0    22  −2 0 −2   x 32 

de donde

x12 + x 32 = 0 ; x12 = − x 32 −2 x22 − x 32 = 0 ; x 22 = −0,5 x 32 Escogiendo x32 = 2 Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

20

 − x32  − 2  x 2 =  − 0,5x 32  =  − 1   x 32   2  λ3 = 0 ⇒

( λ3 Ι − Α) x 3 = 0  3 0 1   x13   0 0 −1  x  = 0    23  −2 0 0   x 33 

de donde

3 x13 + x 33 = 0 x33 = 0 −2 x13 = 0 ; x13 = 0 La incógnita x23 no aparece en las ecuaciones y se escoge también arbitrariamente pero diferente de cero, por conveniencia x23 = 1 . Luego

 0  x 3 =  x 23  =  0 

0 1   0

Si x i es solución de la ecuación (2-17) entonces Kxi , donde K es un escalar, también será solución de dicha ecuación; sin embargo, se escoge una solución ya que sólo existe un vector propio para cada λi . En algunos casos, se acostumbra normalizar los vectores propios (véase Definición 2-7) para evitar confusiones. Es conveniente escoger los vectores propios de manera que posean la mayor cantidad posible de ceros y unos pero sin dejar de ser linealmente independientes, esto con la finalidad de facilitar cálculos posteriores. Aunque todo lo expresado hasta el momento en esta sección es válido para toda matriz con autovalores diferentes vale la pena estudiar el caso particular de las matrices simétricas puesto que será útil posteriormente conocer algunas de sus propiedades. Teorema 2-5

Los valores propios de una matriz real simétrica son todos reales (Véase[13]). Teorema 2-6

Los vectores propios asociados a los valores propios diferentes de una matriz real simétrica forman un conjunto ortogonal. Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

21

Demostración: Si los vectores propios x1 y x2 de una matriz real simétrica A son ortogonales se debe

cumplir que x Τ 1 x 2 = 0 . Si los autovalores correspondientes son λ1 y λ2 , λ1 ≠ λ2 , entonces

λ1 x1 = A x1 λ2 x 2 = A x 2 Si la primera ecuación se transpone y posmultiplica por x2 y si la segunda se premultiplica

por x1Τ se obtiene

λ1 x 1Τ x 2 = x Τ1 ΑΤ x 2 x Τ1 λ2 x 2 = x1Τ Α x 2 pero AT = A por ser una matriz simétrica, por consiguiente

λ1 x 1Τ x 2 = x Τ1 Α x 2 = λ2 x 1Τ x 2 de donde

( λ1 − λ2 ) x Τ1 x 2

=0

ya que λ1 ≠ λ2 , esto implica que x1Τ x2 = 0, es decir, x1 y x2 son ortogonales. Ejemplo 2-16

Considere la matriz real simétrica

1 Α=  1

1 1

La matriz característica de A es

λ − 1  −1

(λΙ − Α) = 

−1  λ − 1

con |λI - A| = λ(λ - 2). Se tiene entonces λ2 = 0 y λ2 = 2. Usando λ1 = 0

( λ1 I − A) x1 = 0 Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

22

−1 −1 

−1  x11  =0 −1  x21 

ó

x 11 + x 21 = 0  x11   − 1 =  − x11   1 

Luego x 1 =  Para λ2 = 2

(λ2 Ι − Α) x 2 = 0 1 −1 

−1  x12  =0 1   x22 

ó

x 12 − x 22 = 0  x12  1 =   x12  1

Luego x 2 = 

Τ Se verifica que x Τ 1 x 2 = x2 x1 = 0

Se ha mencionado que los n vectores propios asociados a los n autovalores diferentes de una matriz A constituyen una base. Una matriz no singular M, llamada Matriz Modal, formada por los vectores propios de A colocados como columnas, permite obtener una matriz semejante a la matriz A, o sea, la representación de A con respecto a esa nueva base. La nueva representación de A es una matriz diagonal con los elementos de su diagonal principal iguales a los autovalores de A. El siguiente teorema resume estos planteamientos. Teorema 2-7

Si una matriz A de orden (nxn) posee n autovalores diferentes λ1 , λ2 ,..., λn , entonces, A puede ser diagonalizada, es decir, transformada en una matriz diagonal Λ por medio de la ecuación

λ1  Λ = Μ −1 ΑΜ =    0

λ2 O

0     λn 

(2-18)

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

23

donde M es la matriz modal formada por los vectores propios x1 , x2 ,..., xn

M ≡ [x 1

x2 L xn ]

(2-19)

Demostración: Sea x1 , x2 ,..., xn los vectores propios asociados a los autovalores λ1 , λ2 ,..., λn ,de manera que se cumple A xi = λi xi. Entonces

A M = A [ x1 A M = [ A x1 A M = [ λ1 x 1

AM = [ x1

x2

L

xn ]

Ax2

L

A xn ]

λ2 x 2

L

λn x n ]

λ1  L xn ]    0

x2

λ2

0    O  λn 

AM =MΛ ó

Λ = M −1 A M

Ejemplo 2-17

Considere la matriz A del Ejemplo 2-15. Tomando los valores propios allí calculados se forma la matriz modal

Μ = [x 1

x2

 −1 − 2 0 x 3 ] = − 2 − 1 1   2 2 0 

Luego

Λ=Μ

−1

−1 ΑΜ =  0  0

0 −2 0

0 0 0 Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

24

Considerando el caso de un sistema forzado descrito por las ecuaciones matriciales FE

x& = Α x + Β u y=C x

(2-20)

donde x es el vector de estado (nx1); u es el vector de entradas (rx1); y el vector de salidas (mx1); A es una matriz (nxn) con n autovalores diferentes; B y C son matrices de orden (nxr) y (nxn) respectivamente. Es posible utilizar la matriz modal M asociada a la matriz A, para una transformación lineal de la forma x= Mq

(2-21)

donde q es un nuevo vector de estado. Aplicando esta transformación a las ecuaciones (2-20) se tiene

Μ q& = Α Μ q + Β u y = CΜq Premultiplicando la primera ecuación por M-1

q& = Μ −1 Α Μ q + Μ −1 Β u y = CΜ q Finalmente puede escribirse

q& = Λ q + Β n u y = Cn q

(2-22)

donde Λ = M-1 A M, Bn = M-1 B y Cn = C M Las ecuaciones (2-22) se conocen como representación en la Forma Normal (FN) del sistema de ecuación (2-20). Las nuevas variables q1, q2, .., qn, están desacopladas es decir, su ecuación es de la forma

q&i = λi qi + bi u donde se observa su independencia con respecto al resto de las variables. Ejemplo 2-18

Obtener la representación en la Forma Normal (FN) del sistema descrito por las ecuaciones

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

25

2 x& =  0  −1 y = [0

−1 0  0  x + 1 u 0 2 

0 2 0 0

1]x

Calculando los autovalores de A se obtiene λ1 = 1, λ2 = 2 y λ3 = 3. La matriz modal correspondiente es

1 0 1  1 / 2 0 1 / 2  − 1 Μ = 0 1 0 ;Μ =  0 1 0  1 0 − 1 1 / 2 0 − 1 / 2 Luego

Λ=Μ

−1

1 Α Μ = 0 0

0 0 3

0 2 0

 0 bn = Μ b =  1  0 −1

c Τn = cΤ Μ = [1 / 2

0

− 1 / 2]

La representación normal será

q& = Λ q + b n u y = c nΤ q Si la representación dada en la ecuación (2-20) corresponde la FCC la matriz del sistema tendrá la estructura siguiente

 0  0  Αc =  M   0  −a1

1 0 M 0 −a 2

0 1 M 0 − a3

L L L L L

0  0  M   1  −a n 

donde los ai son los coeficientes de la ecuación característica

Ρ (λ) = λn + an λn − 1 + L + a2 λ + a1 = 0 Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

26

Si las raíces de esta ecuación son λ1, λ2, ..., λn, todos diferentes y siendo a su vez los autovalores de Ac , entonces los vectores propios asociados estarán definidos por la ecuación

(λi I − A c ) x i = 0 por consiguiente

 λi  0   M   0 −a 1

−1 λi M 0 −a 2

0 −1 M 0 −a 3

L 0   x1i  L 0   x 2 i  L M  M  =0   L − 1   x ( n −1 ) i  L λi + a n   x ni 

de donde se obtiene

λi λi

x1i − x2 i = 0 x2 i − x 3i = 0 M λi x( n − 1) i − xni = 0 a1 x1i + a2 x2 i +L+ ( λi + a n ) xni = 0 Las primeras (n-1) de estas ecuaciones son linealmente independientes y tienen n incógnitas. Asignado x1i = 1 y sustituyendo este valor en las (n-1) ecuaciones se obtiene

 1   λ   i  xi =  λ2i     M  λni −1 

(2-23)

Para cada autovalor existirá un vector xi de la forma indicada y la matriz modal correspondiente será

 1  λ  1 Μ =  λ21   M λn1 −1

1 λ2 λ22 M n −1 λ2

L L L L L

1  λn  λ2n   M  λnn− 1 

(2-24)

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

27

Este tipo de matriz se conoce como Matriz de Vandermonde y permite calcular rápidamente los vectores propios asociados a una matriz Ac con autovalores diferentes, como la indicada inicialmente. Ejemplo 2-19

Obtener la matriz modal correspondiente a la matriz

0 Ac =  0 −6

0 1 2

1 0 5

La ecuación característica de Ac se deduce a partir de su última fila

P (λ) = λ3 − 2 λ2 − 5 λ + 6 = 0 P (λ) = ( λ − 1) (λ + 2) ( λ − 3) = 0 Luego λ1 = 1, λ2 = -2 y λ3 = 3, y por consiguiente

1 Μ = λ1 λ21 2.5.

1 λ2 λ22

1  1 λ3  = 1 λ23  1

1 −2 4

1 3 9

Matrices con Valores Propios Repetidos. Forma Canónica de Jordán.

En esta sección se estudiará el caso de una matriz A de orden nxn con autovalores repetidos o de multiplicidad m. Asociado a cada autovalor diferente siempre existirá un vector propio asociado solución de la ecuación (2-16). Sin embargo, para un autovalor λi de multiplicidad m (repetido m veces), la nulidad q de la matriz característica (λi I - A) puede ser igual o menor que m, esto indica que sólo es posible hallar un número q de vectores propios asociados a λi . En el caso q = m se podrán hallar tantos vectores propios como veces aparezca repetido el autovalor λi, pero si q < m sólo se hallarán q vectores propios solución de la ecuación (2-16). Ejemplo 2-20

Hallar los vectores propios correspondientes a la matriz

2 A = 1 1

1 2 1

0 0 1

Se forma la matriz característica

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

28

λ − 2 (λΙ − Α) =  −1  −1

−1 0  λ− 2 0  −1 λ − 1

Las raíces de la ecuación característica |λ I - A| = 0 son 1, 1 y 3, es decir λ1 = 1 de multiplicidad m=2 y λ3 = 3. Luego

−1 (λ1 Ι − Α) = −1 −1

−1 −1 −1

0 0 0

es de rango r = 1, su nulidad será q = n - r = 2 que es igual a m, por lo tanto existirán 2 vectores propios asociados al autovalor λ = 1 solución de la ecuación

( λ1 Ι − Α) x 1 = 0 de la cual se obtienen dos soluciones independientes

1 x 1 = −1 ;  0 

0 x 2 = 0 1

Para λ3 = 3 se tiene

1 x 3 = 1 1

Ejemplo 2-21

Dada la siguiente matriz, calcular sus vectores propios

−3 A =  1  0

−3 0 1

−1 0  0 

La matriz característica es

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

29

λ + 3 ( λΙ − Α) =  −1  0

3 λ −1

1 0  λ

con λ I − A = ( λ + 1) = 0 . Esta matriz posee un autovalor λ = -1 de multiplicidad m=3. Además 3

(λΙ − Α) λ = −1

2 3 1 =  −1 −1 0   0 −1 −1

es de rango r = 2. Luego q = n - r = 1, es decir, existe sólo un vector propio asociado a λ = -1. La solución de la ecuación

(λ I − A) x 1 = 0 para λ = -1 es ese vector propio

1 x1 =  −1  1  En matrices simétricas con autovalores repetidos m veces es posible hallar m vectores propios ya que en tales matrices se cumple que m=q donde q es la nulidad de la matriz característica evaluada para el autovalor repetido. Los vectores propios se calculan utilizando la propiedad de ortogonalidad de autovectores asociada a matrices simétricas (Teorema 2-6) la cual sigue siendo válida en el caso de autovalores repetidos. Ejemplo 2-22

Hallar los vectores propios asociados a la matriz simétrica

2 Α = 0 1

0 3 0

1 0 2 

La matriz característica es

λ − 2 (λΙ − Α) =  0  −1

0 λ− 3 0

−1  0  λ − 2

de donde se obtiene la ecuación característica Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

30

P (λ) = λ I − A = ( λ − 3) 2 (λ −1) = 0 cuyas raíces son λ1 = λ2 = 3 y λ3 = 1. Para λ = 3 de multiplicidad m = 2 se pueden hallar 2 vectores propios solución de la ecuación

( λi I − A) x i = 0 Para λ1 = 3 se tiene

1 0  −1

0 0 0

−1  x 11  0   x21  = 0 1   x31 

(i)

o bien

x11 − x31 = 0 Asignando x11 = 1 y x 21 = 0 (por conveniencia) se tiene

1 x 1 = 0 1 Un segundo vector solució n de (i) debe ser ortogonal a x1 y satisfacer simultáneamente la ecuación

x12 − x32 = 0  x12  Τ x 1 x 2 = [1 0 1]  x22  = x12 + x32 = 0  x32  Una escogencia posible que satisface ambas condiciones es

 0 x2 =  1  0 Para λ3 = 1 el vector propios asociado es

1 x 3 =  0   −1 Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

31

Cuando se considera una matriz A con autovalores repetidos y de igual manera que en el caso de autovalores diferentes, es necesario hallar una nueva base para la transformación de A en una matriz semejante más fácil de manipular y analizar. La nueva matriz semejante a una matriz A con autovalores repetidos se conoce como Forma Canónica de Jordán o Forma de Jordán (FJ) y se designa por la letra J. La forma de Jordán tiene las siguientes características. 1. Los elementos de la diagonal principal son los valores propios de A (o de J, por ser matrices semejantes). 2. En la (super) diagonal que se encuentra por encima de la diagonal principal y asociada a autovalores repetidos pueden existir unos o ceros (1 ó 0). 3. El resto de los elementos son ceros Dos ejemplos de formas de Jordán son las siguientes

1 λ1 0 λ1  J =   0   λ1  J= 0  

0 λ1 λ2 0

λ2 0 0

0 1 λ2 0

     1 λ2 

 0  1  λ2 

En ambos ejemplos se observan bloques o submatrices (limitados por líneas punteadas) en cuya diagonal principal existen autovalores repetidos y sólo hay unos inmediatamente por encima de ellos, a excepción de los bloques de orden 1. Estos bloques se denominan “bloques de Jordán” y su forma general es, para el k-ésimo bloque asociado al autovalor λi .

λi 0  J ki =  M  M  0

1 λi 0 M 0

0 1 O M 0

L L O O L

0 0  M  1 λi 

(2-25)

La forma de Jordán general, expresada en función de los bloques de Jordán es

Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

 J1i( λi )   J =     0

32

       J kr ( λn ) 0

J2 i ( λi ) O

J ki ( λi )

(2-26)

El número de bloques asociado a un autovalor λi de multiplicidad m es igual a la nulidad q de la matriz (λi I-A) y por lo tanto, igual al número de vectores propios asociados a λi . De hecho, existe un vector propio asociado a cada bloque de Jordán. Ahora bien, es necesario disponer de vectores linealmente independientes para construir una nueva base y q puede ser igual o menor que m. Si q < m, los vectores propios no son suficientes para construir esa base y se recurre a los vectores propios generalizados. Teorema 2-8

Existe un bloque de Jordán de orden k asociado a un valor propio λi si y sólo si los k vectores linealmente independientes x1 , x2 ,…, xk (vectores propios generalizados) satisfacen las ecuaciones

(λi Ι − Α) x 1 = 0 (λi Ι − Α) x 2 = − x 1

(2-27)

M

(λi Ι − Α) x k

= − x k −1

Demostración Considérese una matriz A de orden (kxk) con un autovalor λi de multiplicidad m y supóngase que la nulidad de (λi I-A) es igual a 1. La forma de Jordán J tendrá un único bloque de orden k.

λi 0  J =0  M  0

1 λi 0 M 0

0 1 λi M 0

L L L O L

0 0  0  L λi 

Se requiere hallar una matriz de transformación T tal que se cumpla la relación de semejanza T-1 A T = J

(2-28) Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

33

ó AT=TJ

(2-29)

La matriz T estará constituida por vectores linealmente independientes que constituyen una base

Τ = [ x1

xk ]

x2

L

L

λi 0  xk ]  0  M  0

(2-30)

Luego a partir de la ecuación (2-29) se obtiene

Α [ x1

x2

L

x k ] = [ x1

x2

1 λi 0 M 0

0 1 λi M 0

L L L O L

0 0  0  M λi 

y por consiguiente

Α x i = λi x1 Α x 2 = λi x 2 + x i M Α x k = λi x k + x k − 1 a partir de estas ecuaciones se llega a las ecuaciones (2-27) Es posible conocer de antemano el número de bloques de Jordán de una matriz J, pero cuando se trabaja con matrices de orden elevado (>4) el orden de los bloques puede ser difícil de determinar. En tales casos se debe recurrir a un procedimiento de ensayo y error basado en el Teorema de la Dimensión (Teorema 2-3): Se aplica este teorema a cada bloques y sólo se hallará solución a las ecuaciones (2-27) si el bloque del cual se partió es del orden correcto.

Ejemplo 2-23

Determine la forma de Jordán correspondiente a la matriz A del Ejemplo 2-20. Como se calculó en el Ejemplo 2-20, los autovalores de A son 1, 1 y 3. Además la nulidad de la matriz (λI-A) evaluada para λ = 1 es q = 2, lo cual indica que existen 2 bloques asociados a λ = 1. Para λ = 3 existirá, por supuesto, un bloque. Luego la matriz de Jordán correspondiente es

1 0 0 J = 0 1 0 0 0 3 Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

34

Ejemplo 2-24

Determine los vectores propios generalizados y la matriz J correspondiente a la matriz A del Ejemplo 2-21. Se tiene λ = -1 de multiplicidad m = 3. Por otro lado, q = 1 lo que se traduce en 1 bloque de Jordán asociado a λ = -1. La forma de Jordán es

 −1 1 0    J =  0 −1 1   0 0 −1    Obsérvese que J está constituida por un único bloque 3x3, por ello los vectores propios generalizados corresponden a la solución de las 3 primeras ecuaciones (2-27). Así se tiene i) ( λ1 I − A) x1 = 0 La solución de esta ecuación es el vector propio calculado en el ejemplo (2-21)

 1 x 1 = −1  1 ii) ( λ1 I − A) x 2 = − x1

3 1   x12  2 1 − 1 − 1 0   x  = − − 1    22     0 − 1 − 1  x 32   1  ó

− x12 − x22 = 1 − x22 − x32 = −1 Luego

 −1 x 2 =  0  1 iii) ( λ1 I − A) x 3 = − x 2

Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

35

 2 −1   0

1  x13  −1    0  x 23  = −  0  1 −1  x 33 

3 −1 −1

ó

− x13 − x23 = 1 − x23 − x33 = −1 Luego

 0 x 3 =  0  1 Ejemplo 2-25

Hallar las matrices J y T correspondientes a

2 0 Α=  0  0

0 1 1 1

0 1 3 −1

0 0 2  2

La matriz característica es

0 0 0  λ − 2  0 λ −1 −1 0   (λΙ − Α ) =  0 −1 λ− 3 − 2    −1 1 λ − 2  0 La ecuación característica será P(λ) = |λI-A| = (λ-2)4 =0. Entonces existe un autovalor λ = 2 de multiplicidad m = 4. Evaluando (λI-A) para este autovalor se tiene

( λΙ − Α) λ =2

0 0 0 0 0 1 −1 0  = 0 −1 −1 −2    0 0 −1 1

Esta matriz es de rango r=2 y su nulidad es q=n-r= 2. La forma de Jordán debe contener 2 bloques. Esto conduce a las siguientes dos alternativas

Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

2 0 J1 =  0  0

1 2 0 0

36

0 0 2 0

0 0 1  2

ó

2 0 J2 =  0  0

1 2 0 0

0 1 2 0

0 0 0  2

La forma correcta se determina por ensayo y error. Para ello, se parte de cualquiera de las alternativas. Tomando J1 la cual tiene 2 bloques de orden 2, se deben aplicar las 2 primeras ecuaciones (2-27) para cada bloque. Así, para el primer bloque i) ( λ1 I − A) x1 = 0 , de donde se tiene

x 21 − x 31 = 0→ x 21 = x 31 − x21 − x31 − 2 x 41 = 0→ x 21 = x 41 La estructura general del primer vector es

 x11   x  x 1 =  21   x 21     − x 21  x11 y x21 son arbitrarios pero no pueden ser ceros simultáneamente. ii) ( λ1 I − A) x 2 = − x1 Esto conduce a

0 = x11 x 32 = x21 + x33 − x22 − x32 − 2 x 42 = − x21

→

x22 − x 32 = − x21 x 42 = − x22

La formas generales de x1 y x2 serán entonces

0   x12   x   x  21  22    x1 = ;x =  x 21  2  x21 + x 22       − x 21   − x22  Para el segundo bloque, los vectores x3 y x4 tendrá una estructura similar de x1 y x2 respectivamente, ya que las ecuaciones (2-27) correspondientes son de nuevo las 2 primeras, es decir. Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

37

i) (λ1 I − A) x 3 = 0 ii) ( λ1 I − A) x1 = x 3 por consiguiente

 0  x 14   x   x  23  24    x3 = ; x4 =  x 23   x 23 + x 24       − x 23   − x 24  Sin embargo, no es posible asignar valores para tener 4 vectores linealmente independientes. De aquí que la forma J1 no es la correcta y se debe analizar J2. Para el bloque (3x3) de J2 se utilizan las 3 primeras ecuaciones (2-27) las 2 primeras proporcionan el resultado ya conocido.

 0   x  x 1 =  21 ;  x 21     − x 21 

 x12   x  22   x2 =  x 21 + x 22     − x 22 

La tercera ecuación es iii) ( λ1 I − A) x 3 = − x2 de donde

 x13   x  23   x 3 = x + x  22 23  x 21     2  y además x12 = 0 Asignando valores arbitrarios, con la salvedad de obtener un conjunto de vectores linealmente independiente, se llega

 0 0  1 0   x1 = ; x 2 =  ;  1 1     −1 0

1 0 x3 =   0    0,5  Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

38

Para el bloque de orden 1 de J2 se tiene

( λ1 I − A) x 4 = 0 Una solución de esta ecuación es

 1  0 x4 =    0    0 Luego se agrupan los 4 vectores para formar

 0  1 Τ=  1   −1

0 0 1 0

0 ,5

1 0 J = 0  0

1 2 0 0

0 1 2 0

1 0 0  0

1 0 0

y la forma de Jordán correcta es

0 0  0  2

Considérese el caso de un sistema descrito por las ecuaciones matriciales FE

x& = A x + B u y =Cx

(2-31)

donde A es de orden (nxn) con autovalores repetidos. La matriz de transformación T puede ser utilizada para obtener un nuevo vector de estado z usando la ecuación

x = Tz

(2-32)

Aplicando esta transformación a las ecuaciones FE dadas se tiene

&z = T -1 A T z + T −1 B u y = CTz Dado que T-1 A T = J y haciendo Bj = T-1 B y Cj = C T se puede escribir Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

39

&z = J z + B j u

(2-33)

y= Cj z

Estas ecuaciones se conocen como representación en la forma de Jordán. Las nuevas variables zi están parcialmente desacopladas, esto significa que su ecuación es de la forma

z& = λi zi + zi +1 + bi u lo cual facilita su análisis.

Ejemplo 2-26

Transforme la siguiente representación FE representación en la forma de Jordán

−1 x& =  0  0 y = [1

de un sistema a su correspondiente

−1 0  0 x + 2  3 −1

2 −1 0

0] x

0

0 0 u 0

Se puede comprobar que la forma de Jordán para matriz A es

 −1 J =  0  0

1 −1 0

0 0 −1

0 1 1

0 1 2

y la matriz de transformación es

1 T =  0  0 luego, la representación buscada será

−1 z& =  0  0

y = [1

1 −1 0 0

0 0 0 z + 1 1 −1

0] z

0 0 u 0

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

40

Cuando la matriz A de la ecuación (2-31) corresponde a variables de fase, se tiene A = Ac donde

 0  0 Αc =   M   −a1

1 0 M −a 2

0 1 M − a3

L L L L

0  0  M   −a n 

(2-34)

Si Ac tiene un autovalor λ1 de multiplicidad m y el resto de sus autovalores λ2, λ3,…, λk son diferentes entonces se puede demostrar (Véase [4], Pág. 162) que la matriz de transformación T es la matriz de Vandermonde Modificada la cual se representa como

 1  λ1  2  λ1  λ3 Τ= 1 M   λn1 − 1 

0

0L

0

1L

1

0L

0

1L

0

3 λ1L

0

λ2 L λ22 L λ32 L

2 λ1 3λ21 M  λn −1   d dλ

M d 2 λn − 1

( ) λ=λ

λ= λ1

1

2! d 2

M d m −1 λn −1

M

( ) λ= λ

( m − 1) ! dλn −1

λn2− 1L

1

      (2-35)   λnk− 1   1

λk λ2k λ3 k M

Obsérvese que la segunda columna de T es la derivada con respecto a λ de la primera; la tercera columna es la derivada de la segunda dividida por 2!, y así sucesivamente hasta completar m columnas para el autovalor λi. En la forma de Jordán correspondiente a Ac asociado al autovalor repetido λi existirá un bloque de orden m, es decir

     J=     

λ1 0 M 0

1 λ1

0 1 O

0

0

0 0 M λ1

0 λ2 O

0

λk

          

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

41

Ejemplo 2-27

Obtener las matrices J y T correspondiente a

 0  0 Ac =   0   −1

1 0 0 0

0 0 1  0

0 1 0 2

De la última fila de Ac se deduce

P (λ) = λ4 − 2 λ + 1 = 0 P (λ) = ( λ + 1) 2 ( λ − 1) 2 = 0 Los autovalores serán λ1 = 1 de multiplicidad m=2 y λ2 = -1 también con m = 2. Las matrices pedidas serán

1 0 J= 0  0 1 λ 1 Τ= 2  λ1  3  λ1

0 1

1 λ

2 λ1 3λ21

λ22 λ32

1 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 1  −1

0  1 1  1 = 2λ2  1   3λ22  1

0 1 2 3

1 −1 1 −1

0 1  −2  3

Nótese que para cada autovalor repetido aparece en J un bloque de orden m y en T existen m columnas en la secuencia en derivación indicada en (2-35).

2.6.

Respuesta del Sistema en función de los Modos

En la mecánica clásica, se denomina “modo de vibración” a ciertas vibraciones de los sistemas alrededor de un punto de equilibrio. Esas vibraciones son de tipo sinusoidal y están caracterizadas por su frecuencia y se dice que la respuesta de los sistemas lineales debida sólo a las condiciones iniciales es una superposición de los modos de vibración. El concepto de modo puede ser extendido a otros tipos de sistemas no mecánicos utilizando los conceptos estudiados en las secciones anteriores. Esta “interpretación modal” sólo será analizada aquí para el caso de sistemas con autovalores reales diferentes pero puede ser estudiado para casos mas generales (Véase [1], Pág. 318- 326).

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

42

Considérese el sistema autónomo (u = 0) descrito por la ecuación de estado

x& = Α x

(2-36)

con un vector de condiciones iniciales x(0) y donde x es el vector de estado (nx1) y A es una matriz (nxn) con n autovalores diferentes λi . La solución de la ecuación (2-36) es un vector x ( t ) , es decir, la expresión en el tiempo del vector de estado y como todo vector del sistema puede ser representado como un combinación única de los vectores propios de A de la forma indicada en la ecuación (2-2). n

x( t ) = ∑ αi ( t ) ui

(2-37)

i =1

donde ui son los vectores propios normalizados de A. Evaluando la ecuación anterior para t = 0 se tiene n

x( 0) = ∑ αi (0)u i i =1

y se puede escribir, usando los vectores recíprocos de ui

αi ( 0) = riΤ x( 0) Para calcular los αi (t ) de la ecuación (2-37), se sustituye ésta en la ecuación (2-36). n

n

i =1

i =1

& i (t ) ui = Α ∑ αi ( t ) ui ∑α n

= ∑ αi ( t ) Α ui i =1

pero

A ui = λi ui Luego n

n

i =1

i =1

& i ( t ) ui = ∑ αi ( t ) λi ui ∑α

De donde se deduce que

& i ( t ) = λi αi ( t ) α La solución de esta ecuación es Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

43

[

αi (t ) = e λ i t αi (0) = e λ i t r Ti x( 0)

]

Sustituyendo en (2-37) se llega a

[

]

x (t ) = ∑ e λ i t r Ti x( 0) u i n

i =1

(2-38)

El término e λi t representa el i-ésimo modo del sistema y la ecuación (2-38) representa una superposición de todos los modos del sistema de ecuación (2-36).

[

]

También de la ecuación (2-38) se deduce que la excitación r i x(0) de cada modo T

depende solamente de las condiciones iniciales y que cada modo se excita independientemente de los otros modos. Para el caso cuando x(0) es proporcional a un vector propio normalizado ui se tiene que la

[

]

T excitación r i x (0) será nula si i ≠ j y sólo se excitará el modo e λi t .

Ejemplo 2-28

Para el sistema descrito por la ecuación de estado autónomo

 0 x& =   −6

1 x; −5

1 x(o ) =   1

Hallar la expresión para x(t) debida a las condiciones iniciales dadas. Los autovalores de A son λ1 = -2 y λ2 = -3. Por tratarse de una representación FCC se tiene que los vectores propios son

1 x1 =   =  λ1 

 1  1   1  −2 ; x 2 = λ  =  −3    2  

Una vez normalizados estos vectores se obtienen

 1 u1 =   −2

 1 10  5 ; u 2 =   5  −3 10 

Usando la definició n 2-9, se calculan los vectores recíprocos

[

r1Τ = 3 5

]

[

5 ; r2Τ = −2 10

− 10

] Versión 1.2 - Abril 98

CAPITULO 2: Análisis Matricial

44

Finalmente, usando la ecuación (2-39) se consigue

[

x (t ) = e − 2 t 3 5

x (t ) = e

− 2t

1  1 5   1  −2

]

5 −3 t  + e −2 5

[

10

1  1 10  − 10     1 −3 10 

]

4 e −2 t − 3e −3 t   4 − 3t −3  −8 + e  9 =  −3 t − 2t      9 e − 8e 

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

45

PROBLEMAS

P2-1

P2-2

Calcular los valores y vectores propios así como la matriz diagonal correspondientes a las siguientes matrices

a)

1 Α = 0  1

0 1 −1

1 −1 0

c)

 2 Α =  1 −1

1 2 1

−1 1 0

d)

−1  0 Α=   0   0

0 1 0

1 0 1 0 0 0 0

0 0 1  5

0 1 0 −4

Calcule los valores y vectores propios asociados a las matrices simétricas indicadas a continuación:

a)

P2-3

b)

0 Α = 0 0

 4 Α = −1  1

−1 4 −1

1 −1 4

b)

5 0 Α=  0  0

0 1 2 2

0 2 2  1

0 2 1 2

Determine la forma canónica de Jordán y la matriz de transformación T correspondiente a cada una de las siguientes matrices

a)

−1 Α =  0  0

−1 0 −1

c)

0 Α = 0 0

1 0 4

0 1 −2 

e)

1 0 Α=  0  0

0 −1 0 0

1 1 1 0

2 −1 0

b)

−1 0 0  −1

1 Α = 0 0

−1 0 1

0 −1 2

d)

2 0 Α=  0  0

0 1 1 1

0 1 3 −1

f)

0 0 Α=  0  0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2  2 0 0 1  1

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CAPITULO 2: Análisis Matricial

P2-4

Obtenga la representación en la forma normal o en la forma de Jordán, según corresponda, de las siguientes representaciones FE

a)

1 x& = 0  1 y = [1

b)

c)

P2-5

46

1 x& =  0  1 y = [1

−1  0 0 x +  1 u 2  3

2 1 −4

0] x

0 0 1 −1

1 0  −1 x + 0 u 0 3

0] x

1

2  −1 x& =  0 −1  0 0 1 1 y=  0 0

−1 0 0 x + 1 −1 1

1 0 u 0

0 x 1

Hallar la expresión para y(t) en función de los modos del sistema descrito por las ecuaciones FCC

x& c = Αc x c y = [1 1 1] x c Los autovalores de Ac son 0, 1 y -1 y el vector de condiciones iniciales es

1 x c (0) =  3   3 

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