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Física III - Geología - Ing. Geológica - Ing. Minas Tema 07 - Vibraciones en Sistemas Continuos
VIBRACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS OBJETIVOS: Al finalizar el tema el estudiante ha de estar en capacidad de determinar las frecuencias y modos normales de vibración en sistemas materiales continuos. Para ello ha de ser capaz de:
Determinar para vibraciones en sistemas continuos (ondas estacionarias) la ecuación diferencial que describe su comportamiento. Definidas las condiciones de frontera y condiciones iniciales; diferenciar entre ambas y aplicar las condiciones de frontera para determinar las frecuencias normales de vibración. Definida la longitud de onda para vibraciones estacionarias en sistemas continuos, determinar la longitud de onda en los modos normales de vibración. Dada la ecuación la velocidad de una onda para los distintos medios materiales, aplicar la relación entre la velocidad de una onda con la longitud y frecuencia (absoluta) de la onda; a fin de determinar alguna de las variables involucradas. Definidos lo que son puntos nodos y antinodos en ondas estacionarias, determinar la posición de los nodos (o líneas nodales) y antinodos, según las distintas condiciones de frontera, en los medios materiales estudiados
7.1.- VIBRACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS. Los sistemas materiales están compuestos por un número tan grande de partículas que vibran de forma acoplada, que resultaría absurdo intentar determinar el comportamiento de una sola de las partículas del sistema; al nivel microscópico es visible la irregularidad de la estructura de los materiales; irregularidad que desaparece muchas veces a niveles macroscópicos donde el promedio del sistema de partícula predomina sobre los casos individuales. Las vibraciones en sistemas continuos están regidas por la ecuación de la Onda; iniciaremos muestro estudio del tema, descartando un poco el origen y extensión de lo que representa y abarca esta ecuación diferencial parcial; solo nos limitaremos en este tema a estudiar los casos más simples de las ondas estacionarias y como dada ciertas Prof. R. Nitsche C.
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condiciones los sistemas materiales (sólidos o fluidos), al igual que en tema n°1, siempre se llega a la misma expresión matemática. Una ecuación diferencial parcial involucra dos o más variables y muchas funciones diferentes pueden ser solución; por ello para determinar su solución no se puede proceder como una ecuación diferencial de una sola variable y existirán varios tipos de condiciones, iniciales si dependen del tiempo o condiciones de fronteras si dependen de la posición; condiciones que permitirán determinar las distintas frecuencias normales de vibración y los modos de vibración correspondientes.
7.1.1.- Ondas estacionarias en Cuerdas Tensas. Cuando se tienen cuerdas tensas y elásticas que están amarradas en ambos extremos, y sobre las mismas viajan ondas periódicas, el resultado es por lo general ondas de tipo estacionario, dado los fenómenos de reflexión de ondas en sus extremos fijos. Las vibraciones de cuerdas tienen una larga historia, se sabía desde los griegos que vibraciones de una cuerda tensa producían sonidos agradables, y si esta cuerda se dividía en números que tenían relación de enteros, esta propiedad subjetiva de agrado se mantenía en los sonidos resultantes. No nos interesa conocer los efectos musicales de esto, pero sí el hecho definido de la vibración.
Figura 07-01
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Consideremos las siguientes cuestiones:
La masa por unidad de longitud de la cuerda es constante. La cuerda es perfectamente elástica y no ofrece resistencia a la deformación transversal. La tensión de la cuerda es una fuerza mucho mayor que la del peso de la cuerda, por lo tanto podemos despreciar el peso. Cada partícula de la cuerda solo puede moverse en sentido vertical.
Aplicando suma de fuerzas en un elemento de masa (dm); debe ocurrir: +
d Fx = 0 d − T 1 $ cos[ 1 ] + T 2 $ cos[ 2 ] = 0
[1 ]
+
m Fy = dm $ a y d despreciable
− T 1 $ sen[ 1 ] + T 2 $ sen[ 2 ] − dm $ ag = dm $ a y
[2 ]
Como de [1] T 1 $ cos[ 1 ] = T 2 $ cos[ 2 ] son iguales entre sí y aproximadamente iguales con la tensión "T"; entonces dividiendo en [2] por la tensión y remplazando el diferencial de masa por la densidad que multiplica al elemento de longitud tenemos: −T 1 $ sen[ 1 ] T 2 $ sen[ 2 ] + = $ dx $ a y d T 1 $ cos[ 1 ] T 2 $ cos[ 2 ] T 2
d y tang[ 2 ] − tang[ 1 ] = $ dx $ 2 d T dt 2 d[tang( )] d y = T$ 2 dx dt Por definición de derivada resulta que tang( ) = dy/dx luego la expresión anterior se puede acomodar como:
Ø2y Ø2y = $ Øx 2 T Øt 2
7.1
Que se conoce como ecuación de onda de una cuerda tensa.
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La cantidad "λ/T" tiene unidades de longitud y tiempo; y se corresponde con la velocidad de propagación (término que definiremos más claramente en próximo tema) por medio de la expresión:
v=
T
7.2
7.1.2.- Ondas longitudinales en barras elásticas. Dada una barra de sección recta de área "A", si tomamos un elemento de masa de la barra (dm = ρ·dx·A) y sobre la barra aplican fuerzas de tensión que deforma el elemento de masa en una cantidad "dξ"; entonces por suma de fuerzas tenemos:
Figura 07-02 +
d Fx = dm $ a x d − F 1 + F 2 = $ dx $ A $ a x d dF = d(F/A ) = $ a d x dx A $ dx d = $ d 2 dx dt 2 Si estamos en un intervalo elástico es aplicable la ley de Hooke, donde el esfuerzo de tracción (o compresión) aplicado es proporcional a la deformación unitaria, siendo la constante de proporción el modulo de Young. Prof. R. Nitsche C.
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d = Y $ = Y $ L = Y $ d L dx d =Y$ dx Sustituyendo el esfuerzo por la Ley de Hooke resulta finalmente:
Ø2 Ø2 = $ Øx 2 Y Øt 2
7.3
Donde la velocidad de propagación vienen dada por:
v=
Y
7.4
7.1.3.- Ondas de presión en fluidos (gases). Si tenemos un gas en un tubo de sección recta de área constante debe ocurrir que la suma de fuerzas en el sentido del movimiento de la perturbación para un elemento de masa viene dado por:
Figura 07-03 Prof. R. Nitsche C.
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d Fx = dm $ a x d + (p + p 1 ) $ A − (p + p 2 ) $ A = $ dx $ A $ a x d −
d2 d(p ) = $ ax = $ 2 dx dt
Siendo “∆p” la variación de presión en el área transversal del gas. Para fluidos se define como modulo de compresibilidad (B) a la cantidad:
B=
−p d d p = −B $ Vol d p = −B $ dx Vol Vol Vol
7.5
Resultando la ecuación para ondas de presión en cualquier fluido (gas o líquido)
Ø2 d2 − 2 = $ 2 B dt Øx
7.6
Siendo la velocidad de la onda de presión:
v=
B
7.7
Para gases a temperatura constante resulta por ley fundamental de los gases: p $ Vol = n $ R $ d p $ Vol + p $ Vol = 0 d d p = −p $ Vol = −p $ Vol dx Resultando la ecuación para ondas de presión en gases a temperatura constante es:
Ø2 d2 − 2 =p$ 2 Øx dt
7.8 Prof. R. Nitsche C.
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Siendo la velocidad de la onda de presión en gases a temperatura constante:
v=
p
7.9
Cuando es un sistema adiabático: en este caso no hay transferencia de calor, por ello debe ocurrir por primera ley de la termodinámica que el cambio de energía interna del gas es igual al trabajo realizado por el sistema: U = −W d n $ cv $ = −p $ Vol d Por Ley Fundamental de los Gases tenemos: p $ Vol + p $ Vol = n $ R $ Despejando n $ y sustituyendo todo en la primera ley resulta: cv $ [p $ Vol + p $ Vol ] = −R $ p $ Vol d cv $ p $ Vol = −(cv + R ) $ p $ Vol d cp d p = − cv $ p $ Vol = − $ p $ Vol = − $ p $ Vol Vol dx por lo tanto en un proceso adibático resulta que el modulo de compresibilidad es igual a la presión del gas por la relación entre el capacidad calórica a presión constante sobre la capacidad calórica a volumen constante del gas ( = cp/cv) El valor de "γ" se encuentra para la mayoría de los gases entre 1 y 5/3. El valor del "γγ" del aire es aproximadamente 1,4 a temperatura y presión ambiental. Resultando la ecuación para ondas de presión en gases en procesos adiabáticos es:
d2 Ø2 − 2 = $p $ 2 Øx dt
7.10
Siendo la velocidad de la onda de presión en estos procesos igual a:
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v=
p
7.11
7.2.- SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDAS. Las ecuaciones diferenciales parciales surgen en relación con diversos problemas físicos y geométricos cuando las ecuaciones involucradas dependen de dos o más variables independientes. Estas variables suelen ser el tiempo y una (o varias) coordenadas espaciales. Se define como ecuación diferencial parcial a una función que contenga una o más derivadas parciales de una función desconocida; el orden de esta función lo establece la derivada de orden superior presente, la solución de esta ecuación en alguna región del espacio de las variables independientes es la suma de todas las soluciones que satisfacen la ecuación; dicho de otra forma, existen un enorme número de soluciones a una ecuación diferencial, algunas bien diferentes entre si (algebraicas, trigonométricas, logarítmicas, etc.) todas satisfaciendo la ecuación diferencial parcial. Para determinar cual (o cuales) de todas estas posibles soluciones son respuesta al problema planteado, aplicamos las condiciones de frontera y en el caso que estas estén referidas cuando el tiempo es inicial (t = 0) son conocidas como condiciones iniciales. El método más simple de resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales y homogéneas es separando las variables por medio del método de producto. El procedimiento indicado consta de tres pasos:
7.2.1.- Método del Producto. Separación de Variables Dada la ecuación diferencial asumimos que la solución tiene la forma:
y = f(x, t) = F(x ) $ G(t ) Derivando parcialmente la función y(x,t) en función de cada una de las variables independientes tenemos:
Ø2y ∏∏ = F(x ) $ G(t ) 2 Øx $$ Ø2y ( ) (t ) = F x $ G Øt 2 Prof. R. Nitsche C.
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Reemplazando en la ecuación diferencial y separando variables: $$
∏∏ F( x ) G(t ) = =K v 2 $ G(t ) F(x )
La expresión de la derecha depende únicamente del tiempo, mientras que la de la izquierda de la posición; por tanto la única posibilidad de que ello ocurra es que cada lado de la expresión sea igual a una constante; por comodidad el termino "v²" lo colocaremos donde se encuentra la variable tiempo. Al igualar ambos términos a una constante que llamaremos "K", esto nos proporciona entonces dos ecuaciones lineales ordinarias, que ya sabemos resolver:
d 2 G( t ) + K $ v 2 $ G( t ) = 0 dt 2 d 2 F( x ) + K $ F( x ) = 0 dx 2
7.2.2 Evaluación de Condiciones de Frontera. Determinamos ahora las F(x) y G(t) que cumplan condiciones de frontera. Para nuestro ejemplo nos plantearemos como condiciones de frontera que la cuerda de longitud "L" es fija en sus extremos para cualquier tiempo "t". [y(0, t ) = 0, y(L, t ) = 0 ] Resolviendo primero la expresión de la variable "x" tenemos: a. Si K = 0 la solución tiene la forma: F(x ) = A $ x + B Evaluando resulta: F(0 ) = A $ 0 + B = 0 d B = 0 F(L ) = A $ L = 0 d A = 0 Por tanto cuando K = 0, no existe solución real que satisfaga las condiciones de frontera y no hay solución. b. Si K > 0 la solución tiene la forma:
F(x ) = A $ e +
K $t
+ B $ e−
K $t
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Probando la condiciones de frontera resulta:
F(0 ) = A $ e +
K $0
+ B $ e−
K $0
d A = −B
F(L ) = A $ e +
K $L
− A $ e−
K $L
d A $ e+
K $L
− $e −
K $L
=0dA=0
Ya que la resta de los exponente no es nula, por tanto para K > 0 tampoco existe solución que satisfaga las condiciones de frontera señaladas. c. Si K < 0, entonces K = –p2, luego la solución en este caso toma la forma: F(x ) = A $ cos(p $ x ) + B $ sen(p $ x ) Evaluando las condiciones de frontera tenemos: F(0 ) = A $ cos(0 ) + B $ sen(0 ) = 0 d A = 0 F(L ) = B $ sen(p $ L ) = 0 d si B ! 0 d p $ L = n $ Luego existen “n” soluciones, por lo tanto F(x) tiene la forma:
F n (x ) = B n $ sen n $ $ x L
7.12
Resolviendo la segunda ecuación diferencial tenemos: $$ $$ G (t ) − K $ v 2 $ G(t ) = 0 dG(t ) + n $ $ v L
2
$ G(t ) = 0
Estamos nuevamente ante una ecuación de un movimiento armónico simple; sea:
'n = n $ $ v L
7.13
Entonces las "n" posibles soluciones toman la forma:
G n (x ) = C n $ cos(' n $ t ) + D n $ sen(' n $ t ) G n (x ) = E n $ cos(' n $ t + # n )
7.14
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Por lo tanto la solución es la suma de todos los productos de los resultados 7.12 y 7.14: ∞
y(x, t ) =
sen n=1
n $ $ x $ [F $ cos(' $ t ) + G $ sen(' $ t )] n n n n L
∞
y(x, t ) =
H n $ sen n=1
7.15
n $ $ x $ cos(' $ t + # ) n n L
Al comparar este resultado con la expresión 6.18 (ver tema 6), llegamos a la conclusión que las vibraciones acopladas son un caso particular finito de las vibraciones en sistemas continuos (conocidas también como ondas estacionarias).
7.2.3.- Evaluación de las condiciones iniciales. Para determinar los valores de los coeficiente "Fn" y "Gn, recurrimos a las condiciones iniciales (t=0) y simplemente aplicamos los métodos para series trigonométricas o de Fourier; (ver tema 3). Esto escapa de las exigencias del programa.
7.2.4.- Frecuencias y Modos Normales en Cuerdas Tensas. La expresión 7.15 define el comportamiento de una cuerda tensa, de longitud "L", fija en sus extremos; recordando el tema N°6, tenemos que en sistemas acoplados, la vibración resultante es la suma de las distintas vibraciones normales que puede experimentar el sistema. La frecuencia fundamental del sistema ω1 = π·v/L representa el primer modo normal; la cuerda tiene la forma de media función seno. Si definimos como longitud de la onda (denotada por la letra griega landa “λ”), a la distancia que corresponde a un "periodo" de la curva del sen(n·π·x/L); entonces la longitud de la onda corresponde a 2L para el modo fundamental de la cuerda. Para las frecuencias armónicas tenemos que ωn = n·π·v/L, y la longitud de onda para cada uno de estos modos normales de vibración viene dada por:
n = 2L n
7.16
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En cuerdas tensas y en otros tipos de vibraciones estacionarias los puntos fijos se conocen como nodos y los de mayor vibración se llaman antinodos. Como la frecuencia absoluta del movimiento, en su modo normal "n", esta dada por fn = ωn/2π ; tenemos entonces que la podemos escribir como: fn = n·v/2L; y dado que 2L/n representa la longitud de onda del modo normal "n"; tenemos una identidad importante en las ondas:
v = fn $ n =
n Tn
7.17
Es de indicar igualmente que la frecuencia absoluta “f” es muchas veces indicada por la letra griega ni "ν".
Figura 07-04 Prof. R. Nitsche C.
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7.2.5.- Otras Condiciones de Frontera. La única condición de frontera que hemos señalado es para cuerdas tensas fijas en sus extremos; sin embargo ocurre que para barras elásticas o para gases en tubos pueden presentarse otras condiciones de frontera. La primera condición, ya conocida, establece extremos fijos para cualquier tiempo (y(0,t)=(y(L,t)=0); ello implica que en estos puntos se presentaran nodos donde las presiones (o fuerzas) serán máximas. La segunda condición es que uno (o ambos) extremos estén libres, en este caso debe ocurrir que el esfuerzo de tensión sea nulo; luego estamos en puntos donde hay antinodos, ello implica ∂y(x,t)/∂x = 0. Si se tiene un extremo fijo y otro abierto (o libre) las ondas estacionarias tendrán longitudes de onda que son divisiones enteras de números impares de cuatro veces la longitud de la barra o tubo y las frecuencias armónicas son múltiplos impares de la frecuencia fundamental.
n =
4L 2n − 1
7.18
' n = (2n − 1 ) $ ' 1
7.19
Si por el contrario los dos extremos están abiertos o libres estamos antes soluciones iguales al caso de ambos extremos fijos; con la única diferencia que los extremos son antinodos.
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Figura 07-05
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7.4.- EL CALOR Y LOS GASES. (TEMA COMPLEMENTARIO). La teoría atómica de la materia establece que toda materia está formada por pequeñas entidades llamadas átomos. Los gases, como todo fluido ejerce una presión sobre las paredes del recipiente que lo contiene; experimentalmente esa presión es función del volumen, temperatura y número de moles de presentes en el recipiente. El mol se define como el cociente entre la masa y el número átomos o moléculas presente; siendo el Número de Avogadro Na = 6,02×1023, el número de átomos o moléculas correspondiente a un mol de cualquier sustancia pura. La ecuación de estado para un gas ideal es:
p $ Vol = n $ R $ 7.20 Siendo "p" la presión, "Vol" el volumen, "n" el número de moles y "R" la constante de los gases. La suma de la energía potencial y cinética de todas las moléculas presentes en el gas definen la energía térmica o interna del sistema "U". El calor esta relacionado con la transferencia de energía interna de una sistema de mayor temperatura a uno de menor temperatura. La cantidad de calor absorbido por un cuerpo de masa "m" para elevar su temperatura una cantidad determinada se conoce como calor específico "c"; esto es:
Q = m $ c $ d Q = m $ c $ d 7.21 Para los gases el calor especifico depende si el sistema está a presión o a volumen constante; estos calores específicos definidos para 1 mol se conocen como capacidades caloríficas molares a presión y a volumen constante (cp y cv); El calor transmitido será a volumen y a presión constante:
dQ v = n $ cv $ d dQ p = n $ cp $ d
7.22
Experimentalmente se tiene que las capacidades calóricas de los gases están relacionadas por la relación:
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cp = cv + R 7.22 El cambio de Energía Interna, dependerá del calor suministrado al sistema y del trabajo realizado por el mismo; en gases, el trabajo efectuado para desplazar una pared de área "A" una distancia "dx" viene dado por:
W = F $ dx = p $ A $ dx = p $ dVol
7.23
Donde el cambio de energía interna es por primera ley de la termodinámica igual a:
dU = Q − W 7.24 Si no se efectúa trabajo, esto es no hay cambio en el volumen del gas encerrado entonces el cambio de energía interna es igual al calor suministrado a volumen constante:
dU = Q v = n $ cv $ d 7.25 Por el contrario si trabajamos a presión constante, se efectúa trabajo y de acuerdo a la relación anterior tenemos:
dU = Q p − W d dU = n $ cp $ d − p $ dVol d dU = n $ cp $ d − n $ R $ d d dU = n $ cv $ d Si el incremento de temperatura es el mismo en ambos casos, debe ocurrir que “dU” es el mismo en cualquier proceso (ante cambios de volumen o de presión, o ambos).
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REFERENCIAS 1.- FISICA. Volumen I. Mecánica. Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Addison - Wesley Iberoamericana. U.S.A. 1986. 2.- VIBRACIONES Y ONDAS. Curso de Física del M.I.T. A.P. French. Editorial Reverte, S. A. España. 1982. 3.- MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. Dinámica. Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston. Libros McGrall-Hill. México 1979. 4.- MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. Volumen II. Dinámica. Harry R. Nara. Editorial Limusa. México 1979. 5.- MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENERIA. Volumen 1. Erwin Kreyszig. Editorial Limusa. México 1981. 6.- CALCULUS. Volumen 1. Tom M. Apostol. Editorial Reverte, S.A. Segunda Edición. 1982. 7.- FISICA GENERAL. Volumen I. Douglas C., Ginacoli. Prentice - Hall hispanoamericana, S.A. México 1988. 8.- FISICA tomo I. Paul A. Tipler. Editorial Reverte, S.A. Colombia 1990. 9.- FÍSICA PARA LAS CIENCIAS DE LA VIDA Y DE LA SALUD. Simon G. G. MacDonald. Y Desmond M. Burns. Fondo Educativo Interamericano, S.A. 1978.
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