ANALISIS DINAMICO DEL PASO SUPERIOR PITRUFQUEN PARA ALTAS VELOCIDADES (FERROCARRIL AVE S103)

Tesis para optar al título de: Ingeniero Civil en Obras Civiles.

Profesor Patrocinante: Sr. Julio Lopetegui T. Ingeniero Civil, Dr. en Ingeniería

JAIME EDUARDO CHAPERÓN FONSECA VALDIVIA-CHILE 2006

INDICE

Resumen ………………………………………………………………………………

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Summary .………………………………………………………………………………..

2

CAPITULO I: INTRODUCCION 1.1 Presentación del problema ………………………………………………………... 3 1.2 Objetivos …………………………………………………………………………….. 5 1.3 Metodología …………………………………………………………………………

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CAPITULO II: CALCULO DINÁMICO DE PUENTES DE FERROCARRIL 2.1 Fenómeno de resonancia en puentes de ferrocarril ……………………………

7

2.2 Cálculo dinámico con cargas móviles ……………………………………………

10

2.3 Modelo de cargas puntuales ……………………………………………………… 11 2.4 Modelo con interacción vehículo-estructura …………………………………….

12

2.4.1 modelo con interacción para una carga aislada 2.4.2 modelo con interacción para un tren de cargas 2.5 Valoración, importancia y limitaciones del método …………………….………. 18 2.6 Modelización del viaducto …………………………………………………………

21

2.6.1 Modelos analíticos 2.6.2 Modelos numéricos 2.6.3 Ecuaciones dinámicas del viaducto 2.7 Modelización del vehículo …………………………………………………………

23

2.7.1 Carga puntual 2.7.2 Elemento de interacción simplificado 2.7.3 Elemento vagón tipo I 2.7.4 Elemento vagón tipo II 2.8 Métodos de solución ……………………………………………………………..... 28 2.8.1 Modelos de un eje que transita sobre una viga isostática 2.8.2 Ecuaciones del viaducto y del vehículo 2.8.3 Método de integración directa

CAPITULO III: NORMATIVA VIGENTE 3.1 Criterios a verificar del estado límite de servicio ……………………………….. 34 3.1.1 Aceleración vertical del tablero 3.1.2 Alabeo del tablero 3.1.3 Giro del tablero en sus extremos (en vías con balasto)

CAPITULO IV: APLICACIÓN MODELO DE CARGAS PUNTUALES SIN INTERACCION 4.1 Planteamiento matemático ……………...………………………………………... 37 4.2 Método de solución ………………………………………………………………... 38

CAPITULO V: APLICACIÓN MODELO CON INTERACCION VEHICULOESTRUCTURA 5.1 Planteamiento matemático para un elemento de interacción………………..... 39 5.1.1 Método de solución 5.2 Planteamiento matemático para un tren de k ejes……………….....................

43

CAPITULO VI: RESULTADOS 6.1 Velocidades resonantes para el AVE S103 ……….…………………………….

50

6.2 Modelo de cargas puntuales sin interacción ……………………………………. 52 6.3 Modelo con interacción ……………………………………………………………. 58

CAPITULO VII REDISEÑO DEL PASO SUPERIOR PITRUFQUEN 7.1 Rediseño para 350 Km/h…………………………………………………………..

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CAPITULO VIII CONCLUSIONES

67

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA ………………………………………………….....

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ANEXO A: REPRODUCCIONES PLANOS ORIGINALES PASO SUPERIOR PITRUFQUEN.....................................................................................

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ANEXO B: DEFINICION DE LA ESTRUCTURA ……………………..……………. 82 ANEXO C: DEFINICION DEL AVE S103 …………………………………………… 86 ANEXO D: DESCRIPCION DEL PROGRAMA …………………………..………… 90

RESUMEN

La actividad ferroviaria en Chile decayó en forma considerable a fines de la década pasada, quedándose en el pasado y no evolucionando como se ha visto en Europa y Oriente, es por esto que la importancia del tema a tratar radica en que cualquier cambio o evolución ferroviaria en Chile debe considerar los efectos que la modernidad acarrea, es decir, si se quisiera implementar una línea de alta velocidad, esto modificaría las cargas de servicio para las cuales fueron diseñadas las vías y viaductos. He aquí un gran reto para la ingeniería chilena ¿Los puentes ferroviarios existentes se comportaran en forma adecuada ante este cambio?, ¿Podrán adecuarse a estas nuevas condiciones de uso? Este es el problema a resolver a lo largo de esta investigación. Para este propósito se realizará un análisis dinámico a un puente ferroviario, frente al paso del ferrocarril AVE S103, utilizando modelos dinámicos avanzados de cargas puntuales y los basados en Interacción Vehículo-Estructura, que consideran conjuntamente la vibración de la estructura y la dinámica del vehículo ferroviario, lo que reduce la respuesta dinámica en un porcentaje importante al introducir un sobreamortiguamiento añadido por el vehículo. Una vez evaluada la respuesta dinámica de la estructura, se estima la velocidad máxima de tránsito para la estructura original, limitada a partir de las aceleraciones admisibles según la normativa vigente. Esta velocidad como es de esperar no alcanza la velocidad máxima desarrollada por el ferrocarril, por lo cual se realiza un rediseño de la estructura para alcanzar una velocidad de 350 Km/h.

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SUMMARY

The railroad activity in Chile declined in a considerable form at the end of the last decade, staying the past and not evolving as it has seen in Europe or Orient. It is by that the importance of the subject to treat is in which any change or railroad evolution in Chile must consider the effects that the modernity carry. It is to say, if it were wanted to implement a high speed line, this would modify the service load for which the routes and viaducts were designed. There is here a great challenge for Chilean engineering. Will the existing railroads bridges behave in adapted form before this change? , Will they be able to adapt to these new conditions of use? This is the problem to solve throughout this investigation. For this intention a dynamical analysis will realize to a railway bridge, to the step of the railroad AVE S103, using dynamical advanced models of punctual charges and the based ones on Interaction Vehicle - structure, that they consider together the vibration of the structure and the dynamics of the railway vehicle, which reduces the dynamical response in an important percentage on having introduced a damping added by the vehicle. Once evaluated the dynamical response of the structure, the maximum speed of traffic is estimated for the original structure limited from the admissible accelerations according to the in force regulation. This speed since it is of waiting does not reach the maximum speed developed by the railroad, by which a redesign of the structure is realized to reach a speed of 350 Km/h.

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CAPITULO I: INTRODUCCION

1.1 PRESENTACION DEL PROBLEMA

El transporte ferroviario en nuestro país, ha decaído hace ya algunos años, antiguas líneas férreas dejaron de utilizarse y el antiguo ferrocarril yace en museos convirtiéndose en una reliquia histórica, sin embargo, hace algún tiempo surgió la idea de reestablecer el transporte ferroviario a lo largo del país, creándose el plan Trienal 2003-2005, el cual busca preservar la infraestructura ferroviaria sin alterar su diseño original (Palma, 2005). Actualmente ya se encuentran en funcionamiento los nuevos trenes adquiridos a la Red Nacional de Ferrocarriles Española, capaces de desarrollar velocidades de hasta 140 Km/h, sin embargo el recorrido se realiza a no mas de 90 Km/h, a partir de esto se vislumbra que en un futuro no muy lejano surja la necesidad de contar con trenes de alta velocidad, con el fin de cubrir esta falencia en el sistema, lo que modificaría las cargas de servicio para las cuales fueron diseñadas las vías y viaductos existentes. Es aquí donde cabe la pregunta ¿Los puentes ferroviarios existentes se comportaran en forma adecuada ante un cambio de esta naturaleza?, ¿Existe la posibilidad técnica de circular con trenes de alta velocidad? ¿Podrán adecuarse a estas nuevas condiciones de uso? Interrogantes que se resolverán a lo largo de esta investigación. Por el motivo anterior se realizará un análisis dinámico al Paso superior Pitrufquén, correspondiente a la conexión Freire-Pitrufquén, ubicado en la IX Región, provincia de Cautín, comuna de Pitrufquén. Para lograr esto se dispondrá como tren de carga el ferrocarril de alta velocidad AVE S103, manufacturado por la multinacional Siemens en Europa (Werske, 2005). Actualmente existen modelos de análisis dinámico muy eficientes que permiten la obtención de resultados bastante cercanos a la realidad, tales modelos llamados de Interacción vehículo-estructura, incorporan la dinámica del vehículo ferroviario, añadiendo un sobreamortiguamiento al sistema que reduce los efectos dinámicos entregados por otros métodos.

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Con los resultados obtenidos tras este análisis, se pretende determinar la velocidad máxima de paso sobre el puente ferroviario, lo cual dará pie para seguir investigando y lograr dar una solución adecuada ante este fenómeno, donde dentro de las posibilidades se encuentran:

1.- Rediseñar parte de la estructura. 2.- Diseñar un nuevo puente ferroviario.

Paso sobre nivel Pitrufquén. Fotografía: Jaime Chaperón.

Paso sobre nivel Pitrufquén. Fotografía: Jaime Chaperón.

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1.2 OBJETIVOS

Objetivos generales: ¾ Aportar información útil a un posible estudio de factibilidad técnica de tránsito para un ferrocarril de alta velocidad. ¾ Implementar nuevas técnicas de cálculo dinámico para puentes de ferrocarril.

Objetivos específicos: ¾ Determinar la serviciabilidad del Paso superior Pitrufquén frente a un posible cambio de solicitaciones dinámicas. ¾ Determinar la velocidad máxima de tránsito sobre el Paso superior Pitrufquén para el Ferrocarril de alta velocidad AVE S103. ¾ Determinar si existe la posibilidad de que un tren de alta velocidad como el AVE S103 circule sobre un puente ferroviario en Chile. ¾ Determinar la velocidad crítica de tránsito con la cual se producirían fenómenos de resonancia.

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1.3 METODOLOGÍA

Se

realizará

un

análisis

dinámico

para

el

Paso

superior

Pitrufquén

implementando un modelo de cargas puntuales que servirá de referencia para aplicar el método de interacción vehículo-estructura, para ello se utilizará como tren de carga el ferrocarril AVE S103, tren de alta velocidad conocido que circula actualmente en Europa. Se utilizará información correspondiente a la masa suspendida, masa no suspendida, rigidez y amortiguamiento asociado a la composición ferroviaria para implementar el modelo de interacción, con estos parámetros se realizará una rutina de calculo que permita obtener información con respecto a desplazamiento, velocidad y aceleración, luego a partir de la información anterior se realizará un barrido de velocidades de manera que esto permita visualizar como evoluciona el efecto dinámico al ir aumentando la velocidad. Para resolver las ecuaciones diferenciales que exige el cálculo dinámico se programará una rutina de cálculo en base a métodos numéricos en Visual Basic 6.0. Una vez obtenidos los resultados del cálculo se tabularan y graficarán los valores obtenidos de desplazamientos, velocidades y aceleraciones, para su posterior análisis. Usando los resultados de aceleraciones, se verificará de acuerdo con lo establecido en la instrucción IAPF concluyendo así el valor de la velocidad máxima de tránsito para el AVE S103 sobre Paso superior Pitrufquén.

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CAPITULO II: CALCULO DINAMICO DE PUENTES DE FERROCARRIL

2.1 FENOMENO DE RESONANCIA EN PUENTES DE FERROCARRIL

Esta importante actividad ingenieril pone de actualidad uno de los aspectos estructurales más importantes asociados específicamente al diseño de los puentes y estructuras de ferrocarril: los efectos dinámicos debidos a las cargas móviles de los trenes. La importancia de la respuesta dinámica ha sido conocida desde los inicios del ferrocarril, siendo necesario tenerla en cuenta para el dimensionamiento de la estructura. Este fenómeno propició el estudio básico del efecto dinámico de una carga móvil sobre una viga isostática, cuyas soluciones clásicas fueron desarrolladas (entre otros) por Timoshenko. Más recientemente, los extensos trabajos de Fryba han recopilado modelos y aspectos muy diversos de la dinámica de puentes de ferrocarril.(Domínguez, et al, 2001) Las normas existentes hasta ahora, Eurocódigo 1, Unión Internationale des Chemins de Fer (UIC) y Ministerio de Obras Públicas y Urbanismo, para el cálculo de los puentes de ferrocarril tienen en cuenta la respuesta dinámica a través de un coeficiente de impacto, que representa el aumento de la respuesta dinámica respecto a la estática para una única carga móvil (Goicolea, et al, 2002B). Según este coeficiente, el incremento dinámico adquiere un valor máximo de φ = 1,32 para una vía recta ideal (sin considerar irregularidades). El coeficiente de impacto se calculará al final como la envolvente

φ = máx (1 + φ ′ + φ ′′)

( 2.1)

donde este último sumando (φ”) responde al efecto de las irregularidades de la vía. La consideración del coeficiente de impacto φ es suficiente para tener en cuenta el efecto dinámico de una única carga móvil, pero no tiene en cuenta la posible resonancia que se produciría por la repetición cíclica de cargas. Sin embargo, a este respecto hay que mencionar que para las frecuencias de vibración y distancias entre ejes de los trenes reales circulantes, la resonancia no ha sido un fenómeno que se diera en la práctica, hasta la aparición de la alta velocidad. En efecto, por encima de las velocidades de 200 ó 220 km/h, para las distancias entre ejes de los coches ferroviarios reales (entre 13 y 20 m) —que para una velocidad determinada son las que determinan la frecuencia de repetición de las cargas—, pueden empezar a aparecer fenómenos resonantes (Goicolea, et al, 2002A)

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La interpretación de este fenómeno resonante es sencilla, la frecuencia de aplicación de las cargas cíclicas debidas a los ejes para una velocidad ν, al tener espaciamiento uniforme, es fP = ν/D. La coincidencia de esta frecuencia de excitación con la de vibración fundamental del puente (fP = f0 ) determina la resonancia. Otra manera (equivalente) de interpretar la resonancia es mediante la denominada longitud de onda de la excitación:

λ=

ν f0

( 2 .2 )

La resonancia puede producirse cuando la longitud característica Dk de separación de los ejes coincida con un múltiplo entero de dicha longitud de onda:

λ=

Dk i

i = 1,2,3,......n

⇒ Re sonancia

Cabe destacar que el fenómeno de resonancia en puentes de ferrocarril, a pesar de constituir un fenómeno clásico de respuesta dinámica, ha permanecido ausente hasta el momento de las normas de cálculo ya que no se dispone aún de métodos de cálculo fiables, prácticos y suficientemente contrastados en las instrucciones y normas de proyecto. En consecuencia, no ha sido tenido en cuenta en etapas de proyecto, salvo por el margen que proporcionan los coeficientes de seguridad. Esta ausencia se ha comenzado a paliar con algunas de las instrucciones de cálculo más recientes, entre las que cabe destacar la italiana, el nuevo borrador de Eurocódigo 1 y el nuevo borrador Español. Sin embargo, a pesar de estas nuevas propuestas que sí consideran adecuadamente los fenómenos resonantes, existe aún una carencia de conocimientos prácticos sobre los efectos dinámicos reales en numerosos sistemas estructurales de los puentes de ferrocarril, por lo que resulta muy necesario un esfuerzo investigador importante. Por otra parte, aunque desde el punto de vista técnico sí existen diversos modelos para el cálculo, basados en dinámica estructural lineal, puede decirse que estos métodos son insuficientemente conocidos por el momento por los ingenieros responsables del diseño. (Domínguez, et al, 2001)

De los modelos de cálculo más usuales para la dinámica de puentes de ferrocarril se puede decir que: Los modelos más sencillos en cuanto a su aplicación son los basados en la descomposición como una suma de armónicos de la respuesta dinámica, con el -8-

consiguiente establecimiento de cotas absolutas mediante procedimientos analíticos. El inconveniente asociado a estos modelos es que sólo son válidos para estructuras isostáticas, no pueden ser aplicados directamente en casos hiperestáticos. El siguiente tipo de modelos disponibles para el análisis son los basados en el cálculo dinámico directo, con integración en el tiempo de la respuesta, para una serie de cargas móviles representativas de los ejes del tren. Estos procedimientos se pueden abordar —aunque con cierta dificultad para el preproceso— mediante códigos de elementos finitos. En algunos casos de estructuras sencillas (vigas isostáticas, vigas continuas de dos o tres vanos), es posible aplicar este procedimiento también mediante una extracción analítica exacta de los modos.

Por último, los tipos de modelos más completos son los que consideran conjuntamente la vibración de la estructura y la dinámica del vehículo ferroviario. Este se tiene en cuenta a través de los resortes y amortiguadores de las suspensiones y las masas y conexiones que proporcionan las cajas de los vehículos.

Como es lógico, con estos modelos se pueden abordar también todo tipo de estructuras, siempre que se disponga de los datos dinámicos de los trenes reales — algo que desgraciadamente a menudo no ocurre—. Esta posibilidad es a costa de un mayor esfuerzo de cálculo y una complejidad más elevada en el planteamiento del modelo. Desde una perspectiva de investigación resultan interesantes o incluso a menudo imprescindibles, sin embargo no puede pensarse en un uso general de estos métodos para cálculos estándar de diseño. La consideración de la interacción vehículo–estructura implica una reducción de las solicitaciones debido a la existencia de mecanismos que facilitan la disipación de energía (amortiguadores) o sistemas que la intercambian entre ambos subsistemas (suspensiones). Para situaciones no resonantes o puentes hiperestáticos, los efectos de interacción no suelen ser determinantes en el cálculo, recomendándose la utilización de modelos de cargas puntuales. Sin embargo, en tableros isostáticos de luces cortas, (10 − 30) m, aparecen efectos resonantes pronunciados y aceleraciones elevadas, y en muchas ocasiones dichos modelos de cargas puntuales dan resultados por encima de los límites permitidos. Con los modelos de interacción vehículo–estructura se puede conseguir una reducción efectiva de estos resultados. El problema es que estos modelos de interacción son a menudo excesivamente complejos para aplicar en fase de diseño.

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La utilización de modelos de cálculo que consideren los fenómenos de interacción vehículo–estructura en el ámbito de proyecto, está condicionada a la aprobación de la administración competente, al tratarse de herramientas de cálculo no usuales dentro de los estándares ingenieriles que precisan de una contrastación detallada. Por otro lado, para implementar estos modelos se requiere la utilización de ciertos parámetros de los vehículos que son de difícil acceso (Domínguez, et al, 2001)

2.2 CALCULO DINAMICO CON CARGAS MOVILES

Como se ha dicho anteriormente, el método del coeficiente de impacto, en contrapartida a su sencillez, tiene una serie de limitaciones. La principal de ellas es que, al no considerar la resonancia, no es válido para velocidades altas (generalmente se consideran altas v > 200km/h). En estas circunstancias puede realizarse un cálculo dinámico con cargas móviles. Esta clase de métodos se basan en la integración en el tiempo de las ecuaciones dinámicas de la estructura, sometida a una serie de cargas móviles de valores dados, representativas de cada eje de la composición ferroviaria. El modelo de la estructura puede estudiarse bien mediante una integración completa del sistema con N grados de libertad, bien mediante una reducción de grados de libertad a partir de un análisis modal que reduzca sustancialmente el número de ecuaciones a integrar. A su vez, la reducción modal se puede realizar mediante una extracción numérica aproximada de los modos de vibración, capacidad existente en la mayoría de los programas de cálculo por elementos finitos, o alternativamente mediante un cálculo analítico de los mismos para ciertos casos de estructuras sencillas en las que esto resulta posible. (Goicolea, et al, 2002C).

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2.3 MODELO DE CARGAS PUNTUALES Se considerará una viga continua de longitud l (Figura 1), siendo φi(x), Mi y ωi la forma modal, la masa modal y la frecuencia propia del modo i-ésimo, respectivamente. La ecuación diferencial para una carga puntual F que recorre la estructura con velocidad constante v es:

(

)

M i &y&i + 2ζ i ωi M i y& i + ωi2 M i yi = F φi (vt )

(2.3)

donde yi es la amplitud del modo de vibración (flecha de la estructura), ζi la fracción de amortiguamiento crítico del modo i y (φ(•)), una notación con el significado siguiente:

(φi (x )) = ⎧⎨φ0 (x ) ⎩

si 0 < x < l en otro caso

(2.4)

La ecuación (2.4) alude a la condición de permanencia de la carga sobre el elemento, es decir, que cuando la carga este sobre el tramo del viaducto la función φi(x), tendrá un valor real distinto de cero y no así cuando este fuera del tramo.

Figura 1. Respuesta para carga puntual aislada (Elaboración propia)

Una vez que se conoce la respuesta a una carga puntual aislada, la respuesta a un tren de cargas se obtiene como la superposición de respuestas a cargas puntuales Fk (figura 2). La ecuación diferencial correspondiente al modo i es en este caso es: (Goicolea, et al, 2002A). nejes

M i &y&i + 2ζ i ω i M i y& i + ω M i y i = ∑ Fk (φi (vt − d k )) 2 i

k =1

Figura 2. Respuesta para un tren de cargas (Elaboración propia).

- 11 -

(2.5)

2.4 MODELO CON INTERACCION VEHICULO-ESTRUCTURA

El cálculo dinámico con interacción vehículo-estructura consiste al igual que el cálculo con cargas móviles en una integración en el tiempo de las ecuaciones dinámicas. Añaden la consideración adicional de la vibración del propio vehículo, debido a la suspensión del mismo, por lo cual las cargas de los ejes no poseen en la realidad un valor fijo durante el paso del puente. Este tipo de modelos representan, en el caso más general (figura 3) la suspensión primaria, con sus valores de rigidez y amortiguamiento por eje (Kp, Cp), la suspensión secundaria, con los correspondientes valores de rigidez y amortiguamiento por bogie (Ks, Cs) ver figura 4, la masa no suspendida, correspondiente a la masa nominal del eje de la rueda (mw), (LB, MB, JB), la masa suspendida y momento de inercia que corresponden a la caja del vehículo (M, J) y la geometría del vehículo: longitud total (L), distancia entre el centro de gravedad de la caja del vehículo, los pivotes de los bogies delantero y trasero (dBd, dBt) y la distancia entre ejes de un bogie (deB).

Figura 3. Modelo completo de interacción vehículo-estructura (Elaboración propia)

En aquellos vehículos en los que el sistema de guiado no se realice a través de sistemas tipo bogies se adaptaría el esquema anterior a la configuración particular de los ejes y del sistema de suspensión, con el nivel de detalle equivalente.

Figura 4. Detalle Bogi con modelo de interacción vehículo-estructura (Elaboración propia)

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Los modelos completos anteriores no siempre son necesarios, pudiendo realizarse una simplificación de los mismos. Se denominan modelos simplificados de cálculo con interacción vehículo–estructura, aquellos en los que se modelizan las suspensiones de cada eje de forma independiente, sin tener en cuenta el efecto de acoplamiento de la caja del vehículo. De esta forma se tiene en cuenta (ver figura 5) la suspensión primaria, con sus valores de rigidez y amortiguamiento por eje (Kp, Cp), la masa no suspendida, correspondiente a la masa nominal del eje de la rueda más la parte proporcional de la masa totalmente suspendida (caja del vehículo) (mns) y la masa suspendida, que en este caso, en valor es equivalente a la parte proporcional de la masa del bogie (ms).

Figura 5. Modelo simplificado de interacción vehículo-estructura (Elaboración propia)

Es importante señalar que en los modelos simplificados de interacción cada eje es independiente del resto —lo que significa que no hay interacción entre los ejes de un mismo vehículo—, mientras que en los modelos completos, existe cierta interacción entre ellos, pues la modelización parte de la totalidad de la caja del vehículo. (Goicolea, et al, 2002C).

2.4.1 Modelo con interacción para una carga aislada

Planteamiento de las ecuaciones para carga móvil aislada: para un total de n modos de vibración φi(x), se supone la siguiente descomposición de la respuesta total de la estructura en función de las amplitudes de los modos, qi(t):

n

w( x, t ) = ∑ q i (t ) ⋅ φi (x) i =1

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( 2 .6 )

Suponemos un elemento de interacción simplificado (ver figura 6) de características:

ms: Masa suspendida. mns: Masa no suspendida. m: Masa total: m = ms + mns y(t): desplazamiento absoluto de la masa suspendida, respecto a la posición de equilibrio inicial. K, c: son los valores de la rigidez y amortiguamiento del elemento. v: Velocidad de tránsito por la estructura.

Figura 6: Tránsito de un elemento simplificado de interacción vehículo-estructura: definición geométrica de variables.

De esta manera se puede plantear, para cada modo de vibración i, la siguiente ecuación desacoplada, función de los parámetros del elemento de interacción:

M i q&&i + Ci q&i + K i qi = φi (vt )( gm + ma &y&)

(2.7)

Donde:

Mi: Masa modal correspondiente al modo de vibración i. Ki: Rigidez modal correspondiente al modo de vibración i. g: Aceleración de la gravedad.

ωi: Frecuencia angular correspondiente al modo de vibración i. φi(x): Modo de vibración i. Ci: Coeficiente de amortiguamiento modal, relacionado con la tasa de amortiguamiento del modo ζi, como Ci = 2ωiMiζi.

Para el elemento de interacción simplificada, se plantea la siguiente ecuación: d ⎡ ⎤ m a &y& + k[ y − w(vt , t )] + c ⎢ y& − w(vt , t )⎥ = 0 dt ⎣ ⎦

- 14 -

(2.8)

Si se desarrolla el último término de esta ecuación se obtiene: n n dw(vt , t ) ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ′ c ⎢ y& − = c y − q φ ( vt ) − q v φ & & ∑ ∑ i i i i ⎢ ⎥ dt ⎥⎦ ⎣ i =1 i =1 ⎣ ⎦

(2.9)

siendo φ’i = dφ/dx. (Domínguez, et al, 2001).

2.4.2 Modelo con interacción para un tren de cargas

Este modelo considera un tren de k cargas, representadas cada una de ellas según un modelo simplificado de interacción vehículo estructura (figura 7). Al considerar en el cálculo un tren de cargas, se incrementa el número de ecuaciones diferenciales a resolver; en el caso de una carga aislada se limita al número de modos de vibración considerados “n” más la correspondiente al sistema mecánico del elemento simplificado de interacción, en total n+1. Suponiendo un grupo de k cargas, tendremos que resolver un sistema de n+k ecuaciones diferenciales.

Figura 7. Tránsito de un tren de cargas según el modelo simplificado de interacción vehículo-estructura (Elaboración propia)

Las ecuaciones correspondientes a los modos de vibración del puente varían en el término de la carga modal, puesto que, para cada instante, se deberá calcular qué cargas se encuentran sobre la deformada y el valor de la amplitud correspondiente a la posición.

Para el caso general se plantean las siguientes ecuaciones: Para cada modo de vibración (i = 1…n): k

M i q&&i + C i q& i + K i qi = ∑ (φi (d rel ))( gm j + maj &y& j )

(2.10)

j =1

Para cada elemento de interacción (j = 1…k): n n n ⎡ ⎤ maj &y& j + k j [ y j − ∑ qi (φ i (d relj ))] + c j ⎢ y& j − ∑ q& i (φi (d relj )) − ∑ qi v(φi′(d relj ))⎥ = 0 i =1 i =1 i =1 ⎣ ⎦

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(2.11)

En las ecuaciones (2.10) y (2.11) se ha empleado la notación φ(•), definida en la ecuación (2.4). Por otra parte, se denomina djrel a la posición relativa del elemento j sobre el puente. Tomando el instante inicial t = 0 cuando la cabeza de la composición está en la entrada al puente (x = 0), resulta: d relj = vt − d j

(2.12)

Teniendo en cuenta la naturaleza de las ecuaciones que resultan (sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden), se recomienda, para su integración, la regla trapezoidal, variante de la familia β-Newmark definida por β = 1/4 y γ = 1/2. (Goicolea, et al, 2002C).

Las ecuaciones diferenciales planteadas en este apartado, para el estudio dinámico de puentes sometidos a un tren de carga móviles —ver ecuaciones (2.10) y (2.11)— son un sistema lineal de segundo orden. Por lo tanto, si se define el vector de incógnitas uT = (q1,…,qi,...,qn, d1,...,dj ,…, dk), se puede escribir este sistema de la siguiente manera: M (t) &u& + C (t) u& + K (t) u = f (t)

(2.13)

Las matrices de coeficientes M(t), C(t) y K(t) son independientes de u y sus derivadas, pero presentan dependencia temporal, debido a las cargas móviles, tal y como se vera en la aplicación práctica desarrollada más adelante. Conviene advertir que las matrices que resultan del modelo expuesto no son simétricas, al contrario de lo habitual en el cálculo de estructuras. Este hecho es decisivo a la hora de plantear el algoritmo de integración a utilizar. Teniendo en cuenta la naturaleza de la ecuación (2.13) se propone la utilización de un método de integración de la familia β-Newmark en función del paso de integración h, y los parámetros β y γ.

u&&n +1 = u& n + ( 1 − γ)hu&&n + γhu&&n +1 u n +1

⎛1 ⎞ = u n + hu& n + ⎜ − β ⎟h 2 u&&n + h 2 βu&&n +1 ⎝2 ⎠

- 16 -

(2.14)

Según los distintos parámetros (β y γ) se obtienen los diversos (miembros) de la familia β-Newmark. Se adopta aquí β = 1/4 y γ = 1/2, que se traduce en tomar la aceleración constante en un intervalo e igual a ü (τ ) =

ü n +1 + ü n 2

Considerando el esquema de integración propuesto en (2.14), resolviendo en (2.13) llegamos a la siguiente ecuación matricial:

⎡ n +1 h n +1 h 2 n +1 ⎤ K ⎥u&&n +1 = f ⎢M + C + 2 2 ⎣ ⎦

n +1

−C

n +1

h ⎤ h2 ⎤ ⎡ n +1 ⎡ ⎢u& n + 2 u&&n ⎥ − K ⎢u n + hu& n + 2 u&&n ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.15)

Una vez resuelta para u&& n +1 , mediante las ecuaciones (2.14) se calculan los valores de u& n +1 y u n +1 (Domínguez, et al, 2001)

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2.5 VALORACION, IMPORTANCIA Y LIMITACIONES DEL METODO

Para entender el problema que se plantea en su contexto, podemos citar un caso particular estudiado en uno de los trabajos de Domínguez, donde se modela el paso de un tren Talgo de alta velocidad por un puente isostático de 10 metros de luz y con una tasa de amortiguamiento de referencia ζ = 0,5 %. En la figura 8 se puede observar la que aceleración máxima producida en el centro del vano en función de la velocidad de paso de un tren Talgo de alta velocidad para el puente estudiado. Para la obtención de estos resultados se utilizó un modelo de cargas puntuales. Como se puede observar, para las velocidades de 340 y 420 km/h, se presentan dos claros fenómenos resonantes, en los que se amplifica la respuesta por encima de lo esperado, con lo que esta amplificación puede resultar determinante en el diseño de esta estructura.(Domínguez, et al, 2001)

Velocidad [Km/h] Figura 8. Aceleración máxima producida en el centro de vano en función de la velocidad de paso de un tren Talgo de alta velocidad. L = 10m; ζ = 0,5%. Fuente: (Domínguez, et al, 2001)

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Al superponer la curva anterior, proveniente de un modelo de cargas puntuales, con a la obtenida con un modelo de interacción vehículo-estructura, se puede apreciar (ver figura 9) el efecto de sobre-amortiguamiento al que se puede asimilar la reducción de la respuesta en torno a los valores máximos.

Velocidad [Km/h] Figura 9: Aceleración máxima producida en el centro de vano en función de la velocidad de paso de un tren Talgo de alta velocidad. L = 10m; ζ = 0,5%. Fuente: (Domínguez, et al, 2001)

En el caso de tener un amortiguamiento mayor de la estructura la reducción de la respuesta obtenida por la consideración de la interacción resulta menos acusada, tal como se puede observar en la figura 10, donde se contrastan los resultados obtenidos para los casos de ζ = 0,5% y ζ = 4 %.

Velocidad [Km/h] Figura 10: Aceleración máxima producida en el centro de vano en función de la velocidad de paso de un tren Talgo de alta velocidad. L = 10m; ζ = 0,5%. Fuente: (Domínguez, et al, 2001)

- 19 -

Algo importante que agregar a la importancia de los fenómenos de interacción es que, lógicamente los efectos de interacción asociados a trenes de distinta configuración no tienen por que ser similares. (Domínguez, et al, 2001)

A la vista de los resultados expuestos anteriormente, se concluye en primer lugar que los modelos de cargas puntuales sobrevaloran de forma clara, en términos generales, la respuesta en aceleraciones y desplazamientos de una estructura isostática; en términos comparativos, los modelos de interacción pueden reducir los valores de la aceleración máxima en puentes isostáticos hasta en un 45% respecto los modelos de cargas puntuales. Por otra parte, la reducción de la respuesta dinámica para una misma hipótesis de luz y amortiguamiento, es mayor en el campo de aceleraciones que en el de desplazamientos, y aumenta a medida que se incrementa la velocidad de proyecto de la línea. Por último, se observa también que la reducción de la respuesta es menor según aumenta la tasa de amortiguamiento y la luz del puente. (Goicolea, et al, 2002C), lo que hace inferir que el método de interacción vehículo-estructura demuestra sus mayores virtudes con respecto el resto de los métodos al ser aplicado en puentes de luces cortas, a partir de esto se puede decir que al aplicarse en viaductos con luces de mayor longitud el método convergería a los resultados obtenidos con el método de cargas puntuales, entonces en puentes de grandes luces el efecto de sobreamortiguamiento añadido por el vehículo a la estructura sería de poca relevancia, haciendo innecesario la implementación de los métodos de interacción.

- 20 -

2.6 MODELIZACION DEL VIADUCTO

2.6.1 Modelos analíticos

Existen algunos casos sencillos como el de las vigas isostáticas, en los que es posible modelar el viaducto de forma analítica mediante vigas de Euler-Bernoulli. La ecuación gobernante para este caso es:

∂ 2 ω ( x, t ) ∂ω ( x, t ) ∂ 2 ⎡ ∂ 2 ω ( x, t ) ⎤ + c( x) + 2 ⎢ EI ( x) mb ( x ) ⎥ = f ( x, t ) ∂t ∂t 2 ∂x ⎣ ∂x 2 ⎦

(2.16)

Donde E es el módulo de elasticidad de la viga, I es la inercia a flexión, mb es la masa por unidad de longitud, c es el coeficiente de amortiguamiento viscoso y, w(x, t) y f(x, t) son la deflexión y la fuerza por unidad de longitud en el punto x y en el instante t, respectivamente. Para el caso de una viga isostática, en que EI y mb son constantes, se pueden encontrar analíticamente cada uno de los i-ésimos modos de vibrar φi y sus respectivas frecuencias circulares ωi y masas modales Mi (Riquelme, 2005)

⎛ iπ x ⎞ ⎟ ⎝ L ⎠

φi ( x) = sin ⎜

(2.17)

M i = mb ∫ φi2 ( x) dx

(2.18)

L

ω i = i 2π 2

EI mb L4

(2.19)

En este caso es posible encontrar la solución analítica de la ecuación (2.16). Sin embargo para el caso general, de una viga continua de múltiples vanos, no se conoce la forma analítica de los modos, ni la solución exacta.

- 21 -

2.6.2 Modelos numéricos

En modelos de viaductos cuya geometría sea más compleja que la de una viga biapoyada, se deberá recurrir a técnicas de discretización espacial que permitan obtener soluciones aproximadas. En general, un modelo numérico del viaducto consiste en la semidiscretización de éste mediante puntos o subdominios, en los que se interpolarán las incógnitas, obteniéndose sistemas de ecuaciones locales que deberán ser ensamblados para obtener un sistema de ecuaciones global con todas las incógnitas del problema. Tal es el caso del método de los elementos finitos donde se usan elementos de viga de Euler-Bernoulli con dos nodos y funciones de forma Hermíticas. A estos sistemas de ecuaciones se les puede hacer un análisis modal con tantos modos como grados de libertad tenga el modelo, aunque se suele escoger un número de modos que sea mucho menor que el número total de grados de libertad del problema. (Riquelme, 2005)

2.6.3 Ecuaciones dinámicas del viaducto

Independientemente del modelo utilizado para el viaducto, las ecuaciones de equilibrio dinámico que rigen el comportamiento de la estructura se pueden expresar de la siguiente manera: Μ b &x& b + Χ b x& b + Κ b x b = f b

(2.20)

donde el superíndice b indica la relación con el viaducto (bridge en inglés).

- 22 -

2.7 MODELIZACION DEL VEHICULO

2.7.1 Carga puntual

Estos modelos de trenes consideran la acción del vehículo sobre la estructura como un conjunto de fuerzas de magnitud constante que pasan sobre el viaducto, cada una en la posición de cada eje del tren. Estos modelos no tienen en cuenta a las fuerzas de inercia del vehículo ni los desplazamientos relativos entre el tablero y los vagones, por lo que no se podrá estudiar con detalle posibles efectos de resonancia entre el viaducto y el tren, ni variables de servicio como las aceleraciones en los vagones.

2.7.2 Elemento de interacción simplificado

Este modelo considera que el tren es un conjunto de ejes independientes consistentes en sistemas masas-suspensión cada uno en la posición de una rueda.

Figura 11. Modelo simplificado de interacción vehículo-estructura (Riquelme, 2005)

En la figura 11, x v es el desplazamiento vertical absoluto de la masa suspendida, x cv es el desplazamiento vertical absoluto de la masa no suspendida, kv y cv son la

rigidez y amortiguamiento equivalentes de un eje del tren, al que corresponde una masa m cv proveniente de las ruedas y el vagón, y una masa m v proveniente del bogie. A las

masas m cv que están en contacto directo con el viaducto se les suele llamar masas no suspendidas y a las masas que descansan sobre el sistema de amortiguadores y muelles se les suele llamar masas suspendidas.

- 23 -

Las ecuaciones de equilibrio de este modelo son las siguientes:

mv &x&v + cv ( x& v − x& cv ) + k v ( xv − xcv ) = 0 mcv &x&cv − cv ( x& v − x& cv ) − k v ( xv − xcv ) = 0

(2.21)

Las ecuaciones (2.21) se pueden organizar en las siguientes matrices y vectores:

⎡m Mv =⎢ v ⎣0

0⎤ mvc ⎥⎦

⎧x ⎫ x v = ⎨ vv ⎬ ⎩ xc ⎭

⎡c Cv = ⎢ v ⎣− cv

− cv ⎤ cv ⎥⎦

⎧0⎫ fv =⎨ ⎬ ⎩0⎭

⎡k Kv = ⎢ v ⎣− k v

− kv ⎤ k v ⎥⎦

(2.22)

2.7.3 Elemento vagón tipo I

En estos modelos se tiene en cuenta que los ejes interactúan entre si mediante un bogie y un vagón o únicamente mediante un vagón, el cual se considera como una estructura rígida, caracterizada por su masa mv e inercia Iv. El primer modelo corresponde a un vagón que interactúa directamente con las masas de las ruedas mediante un único sistema de suspensión (Ver figura 12). Aunque este modelo logra que interactúen distintos ejes entre sí, no modela adecuadamente las masas suspendidas de los bogies.

Figura 12. Elemento vagón tipo I (Riquelme, 2005)

- 24 -

En la figura 12, xv1 es el desplazamiento vertical absoluto del centro de masas del v v vagón, xv2 es el giro del centro de masas del vagón y, x c1 y x c2 son los desplazamientos

verticales absolutos de las masas no suspendidas de cada uno de los sistemas de suspensión. Cada eje i está distanciado horizontalmente (Li) del centro de masas y consta de un muelle de rigidez ki y un amortiguador de parámetro ci.

Las ecuaciones de equilibrio de este modelo son las siguientes: mv &x&v1 + c1 ( x& v1 − l1 x& v 2 − x& cv1 ) + c 2 ( x& v1 + l 2 x& v 2 − x& cv2 ) + k1 ( xv1 − l1 xv 2 − xcv1 ) + k 2 ( xv1 + l 2 x v 2 − xcv2 ) = 0 I v &x&v 2 − c1l1 ( x& v1 − l1 x& v 2 − x& cv1 ) + c 2 l 2 ( x& v1 + l 2 x& v 2 − x& cv2 ) − k1l1 ( xv1 − l1 xv 2 − xcv1 ) + k 2 l 2 ( xv1 + l 2 x v 2 − xcv2 ) = 0

(2.23)

mcv1 &x&cv1 − c1 ( x& v1 − l1 x& v 2 − x& cv1 ) − k1 ( xv1 − l1 x v 2 − x cv1 ) = 0 mcv2 &x&cv2 − c 2 ( x& v1 + l 2 x& v 2 − x& cv2 ) − k 2 ( xv1 + l 2 x v 2 − xcv2 ) = 0

Las ecuaciones anteriores se pueden organizar en matrices y vectores de la siguiente forma:

⎡ mv ⎢0 v M =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 Iv 0 0

0 0 mcv1 0

0 ⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ mcv2 ⎦

⎧ xv1 ⎫ ⎪x ⎪ x v = ⎨ vv2 ⎬ x ⎪ cv1 ⎪ ⎩ xc 2 ⎭

⎡ c1 + c 2 ⎢− c l + c l 2 2 v C =⎢ 11 ⎢ − c1 ⎢ − c2 ⎣

− c1l1 + c 2 l 2 c1l12 + c 2 l 22 c1l1 − c2 l 2

− c1 c1l1 c1 0

⎡ k1 + k 2 ⎢− k l + k l 2 2 v K =⎢ 11 ⎢ − k1 ⎢ − k2 ⎣

− k1l1 + k 2 l 2 k1l12 + k 2 l 22 k1l1 − k 2l2

− k1 k1l1 k1 0

- 25 -

− c2 ⎤ − c 2 l 2 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ c2 ⎦ − k2 ⎤ − k 2 l 2 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ k2 ⎦

⎧0⎫ ⎪0⎪ f = ⎨0⎬ ⎪0⎪ ⎩ ⎭ v

(2.24)

2.7.4 Elemento vagón tipo II

El segundo tipo de elemento de vagón, es un modelo mucho mas completo, en el cual se modela con mayor detalle cada uno de los bogies, de modo que se tendrá en cuenta que la masa total de éste corresponde a una parte que va directamente sobre los rieles y otra que va suspendida, además tiene en cuenta las características de la suspensión primaria y la secundaria de cada bogie (Ver figura 13).

Figura 13. Elemento vagón tipo II (Riquelme, 2005)

En la figura 13, xv1 y xv2 son el desplazamiento vertical y giro del centro de masas del vagón respectivamente, xv3 y xv4 son los desplazamientos verticales de las masas v v v v , x c2 , x c3 y x c4 suspendidas de cada uno de los sistemas de suspensión, además x c1

son los desplazamientos verticales de cada una de las masas no suspendidas de los sistemas de suspensión. Las ecuaciones de equilibrio de este modelo son las siguientes:

mv &x&v1 + c s1 ( x& v1 − l1 x& v 2 − x& v 3 ) + c s 2 ( x& v1 + l 2 x& v 2 − x& v 4 ) + k s1 ( xv1 − l1 xv 2 − xv 3 ) + k s 2 ( xv1 + l 2 x v 2 − x v 4 ) = 0 I v &x&v 2 − c s1l1 ( x& v1 − l1 x& v 2 − x& v 3 ) + c s 2 l 2 ( x& v1 + l 2 x& v 2 − x& v 4 ) − k s1l1 ( xv1 − l1 xv 2 − xv 3 ) + k s 2 l 2 ( xv1 + l 2 x v 2 − x v 4 ) = 0 mv1 &x&v 3 − c s1 ( x& v1 − l1 x& v 2 − x& v 3 ) − k s1 ( xv1 − l1 x v 2 − x v 3 ) + c p1 ( x& v 3 − x& cv1 ) + c p 2 ( x& v 3 − x& cv2 ) + k p1 ( xv 3 − xcv1 ) + k p 2 ( xv 3 − x cv2 ) = 0 mv 2 &x&v 4 + c s 2 ( x& v 4 − l 2 x& v 2 − x& v1 ) + k s 2 ( x v 4 − l 2 xv 2 − xv1 ) + c p 3 ( x& v 4 − x& cv3 ) + c p 4 ( x& v 4 − x& cv4 ) + k p 3 ( xv 4 − xcv3 ) + k p 4 ( x v 4 − x cv4 ) = 0 mcv1 &x&cv1 + c p1 ( x& cv1 − x& v 3 ) + k p1 ( x cv1 − xv 3 ) = 0 mcv2 &x&cv2 + c p 2 ( x& cv2 − x& v 3 ) + k p 2 ( xcv2 − xv 3 ) = 0 mcv3 &x&cv3 + c p 3 ( x& cv3 − x& v 4 ) + k p 3 ( xcv3 − x v 4 ) = 0 mcv4 &x&cv4 + c p 4 ( x& cv4 − x& v 4 ) + k p 4 ( x cv4 − x v 4 ) = 0

- 26 -

(2.25)

Las ecuaciones anteriores se pueden organizar en matrices y vectores de la siguiente forma: ⎡mv ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ 0 v M =⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0

0

0

0

0

0

0

Iv

0

0

0

0

0

0

mv1

0

0

0

0

0

0

mv 2

0

0

0

v c1

0 0

0 0

0 0

m 0

0 mcv2

0 0

0

0

0

0

0

mcv3

0

0

0

0

0

0

0 ⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ mcv4 ⎥⎦

⎡ c s1 + c s 2 ⎢− c l + c l s2 2 ⎢ s1 1 ⎢ − c s1 ⎢ − cs2 v C =⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢⎣

− c s1l1 + c s 2 l 2

− c s1

c s1l12 + c s 2 l 22 c s1l1

⎡ k s1 + k s 2 ⎢− k l + k l s2 2 ⎢ s1 1 ⎢ − k s1 ⎢ − ks2 Kv = ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢⎣

− k s1l1 + k s 2 l 2 k s1l12 + k s 2 l 22

− k s1 k s1l1

− k s2 − k s2l2

0

0

0

0

0

0

k s1l1 − k s2l2

k s1 + k p1 0

0 k s 2 + k p3

− k p1 0

− k p2 0

0 − k p3

0

0

k p1

0

0

0

− k p1 − k p2

0

0

k p2

0

0

0

0

0

k p3

0

0

− k p3 − k p4

0

0

0

⎧ xv1 ⎫ ⎪ xv 2 ⎪ ⎪ xv 3 ⎪ ⎪⎪ x ⎪⎪ x v = ⎨ xvv4 ⎬ ⎪ xcv1 ⎪ ⎪ cv2 ⎪ ⎪ xcv2 ⎪ ⎪⎩ xc 2 ⎪⎭

0

0

0

c s1l1 c s1 + c p1

− cs 2 − cs2l2 0

0 − c p1

0 − c p2

0 0

− cs 2l2

0

cs 2 + c p3

0

0

− c p3

0

0

c p1

0

0

0

− c p1 − c p2

0

0

c p2

0

0 0

0 0

− c p3 − c p4

0 0

0 0

c p3 0

⎧0⎫ ⎪0⎪ ⎪0⎪ ⎪0⎪ v f = ⎨0⎬ ⎪0⎪ ⎪0⎪ ⎪0⎪ ⎩ ⎭

0 ⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ − c p4 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ c p 4 ⎥⎦ 0 ⎤ 0 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ − k p4 ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ k p 4 ⎥⎦

(2.26)

- 27 -

2.8 METODOS DE SOLUCION

Se expondrán las principales metodologías empleadas en el estudio del paso de un vehículo por una estructura. Se usará para ello una notación unificada, en la cual se hará referencia a subvectores o submatrices que estén relacionadas únicamente con el viaducto mediante el subíndice (·)b, a los únicamente relacionados con el vehículo mediante (·)v y a los que estén relacionados con los grados de libertad en común mediante (·)c. Cuando sea necesario, en los grados de libertad de contacto, especificar alguna correspondencia con el viaducto o el vehículo se usarán los superíndices (·)b y (·)v respectivamente.

2.8.1 Modelos de un eje que transita sobre una viga isostática

Un caso sencillo es el caso de un único eje transitando sobre una viga isostática, tal como se muestra en la figura 14:

Figura 14. Tránsito de elemento de interacción sobre viga biapoyada (Riquelme, 2005)

En ella, el elemento de interacción simplificada consta de una masa suspendida mv sobre un muelle de rigidez kv transitando con una velocidad (v) sobre el viaducto, modelado como una viga de largo L, que tiene una masa por unidad de longitud mb y frecuencia fundamental ω0. La variable xb corresponde a la deflexión vertical en el centro de la viga y xv corresponde al desplazamiento vertical de la masa suspendida del eje. Cuando el eje se modele como una carga puntual, es decir, cuando no se considere la interacción del vehículo y la estructura, la ecuación gobernante será la siguiente:(Riquelme, 2005)

2 &x&b + ω 0 xb = −2

- 28 -

mv g ⎛ πvt ⎞ sin⎜ ⎟ mb L ⎝ L ⎠

cuya solución estará dada por:

xb (t ) = −2

⎛ πv mv g 1 ⎛ πvt ⎞ ⎞⎟ ⎜− sin(ω 0 t ) + sin ⎜ ⎟ 2 2 ⎜ mb L (ω 0 − (πv / L) ) ⎝ ω 0 L ⎝ L ⎠ ⎟⎠

Cuando el eje se modele como un elemento de interacción simplificado el sistema de ecuaciones que gobierne la solución será el siguiente:(Riquelme, 2005) 2 kv 2 kv 2 2 πvt mv g πvt πvt ⎧ &x&b ⎫ + ⎡ω 0 + mb L sin ( L ) − mb L sin( L )⎤ ⎧ xb ⎫ = ⎧− 2 mb L sin( L )⎫ ⎢ ⎥ ⎬ ⎨x ⎬ ⎨ ⎨ &x& ⎬ k kv ⎩ v ⎭ ⎢⎣ − mvv sin( πLvt ) 0 ⎥⎦ ⎩ v ⎭ ⎩ mv ⎭

2.8.2 Ecuaciones del viaducto y del vehículo

En un problema general, en las ecuaciones del viaducto (2.20) se pueden distinguir los grados de libertad del viaducto que se comparten con los grados de libertad del vehículo xbc del resto de los grados de libertad xb:

con lo que las matrices del viaducto quedan sub-estructuradas de la siguiente forma:

Del mismo modo en las ecuaciones del vehículo es posible distinguir entre los grados de libertad del vehículo que estarán compartidos con los grados de libertad del viaducto xvc y el resto de los grados de libertad xv de la siguiente manera:

con lo que las matrices quedarán sub-estructuradas de la siguiente forma:

- 29 -

El hecho de que el tren pase sobre el viaducto hace que la cantidad de ruedas que están en contacto con éste sean distintas en cada instante, por lo que el tamaño de los subvectores xvc y xbc y, en consecuencia, xv y xb sean, en general, variables. Se puede lograr que las dimensiones de las submatrices y subvectores del vehículo sean constantes prolongando de manera ficticia la estructura con partes infinitamente rígidas tanto a la entrada como a la salida, de modo que el número de ruedas en contacto sea siempre el mismo. Dependiendo del autor, se puede considerar que los grados de libertad de contacto del viaducto son todos aquellos por los cuales pasará en algún instante el tren, de modo que esta lista de grados de libertad será única en todo el tiempo de solución del problema o, se puede considerar que son únicamente aquellos en los que en un instante determinado está el tren y, por lo tanto, para cada instante habrán distintos grados de libertad compartidos. Para entender lo anterior, supóngase que en un instante 1 el tren tiene contacto únicamente con el grado de libertad a del viaducto y que, en un instante 2 el tren tiene contacto únicamente con el grado de libertad b del viaducto. Bajo el primer enfoque, la lista de grados de libertad en el instante 1 y 2 será {a, b}, en cambio, bajo el segundo enfoque, la lista de grados de libertad en el instante 1 será {a} y en el 2 será {b}. Esto tiene interés ya que de las listas de grados de libertad de contacto depende la forma de sub-estructurar las matrices y vectores del viaducto y el vehículo, lo que se traducirá en mayores o menores costos computacionales. (Riquelme, 2005)

- 30 -

2.8.3 Método de integración directa

El modelo empleado para la integración del sistema completo, considerando todos los grados de libertad, se basa en un elemento de viga de Bernoulli con un grado de libertad adicional correspondiente al eje del tren.

Figura 15.Elemento de viga de Euler-Bernoulli con interacción simplificada (Riquelme, 2005)

Denominaremos xv1, xθ1, xv2, xθ2 a los grados de libertad correspondiente a desplazamientos verticales y giros de los nodos del elemento viga, xv y xb a los grados de libertad correspondientes a las masas suspendida mv y no suspendida mvc, respectivamente. Planteando las ecuaciones de equilibrio dinámico del elemento de interacción resulta:

x x x F M int erac ⎧⎨&&v ⎫⎬ + Cint erac ⎧⎨ & v ⎫⎬ + K int erac ⎧⎨ v ⎫⎬ = ⎧⎨ v ⎫⎬ x x x & & & ⎩ b ⎭ ⎩ Fb ⎭ ⎩ b⎭ ⎩ b⎭

Esta metodología se implementa con elementos, que incluyen un elemento de interacción simplificada en un elemento de viga de Euler-Bernoulli convencional, además de las funciones de forma herméticas que son usadas para distribuir la acción de la masa suspendida en los nodos de los extremos. Para hacer esta distribución se usará una matriz T, cuyos elementos son las funciones de forma Herméticas (Chopra, 2001):

⎡0 T =⎢ ⎣ N1

2

donde:

⎛ x⎞ ⎛ x⎞ N 1 = 1 − 3⎜ ⎟ − 2l ⎜ ⎟ ⎝l⎠ ⎝l⎠ 2

⎛ x⎞ ⎛ x⎞ N 3 = 3⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ ⎝l⎠ ⎝l⎠

0 N2

3

3

- 31 -

1

0

0 N3

0⎤ N 4 ⎥⎦

2

⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ N 2 = l ⎜ ⎟ − 2l ⎜ ⎟ + l ⎜ ⎟ ⎝l⎠ ⎝l⎠ ⎝l⎠ 2

⎛ x⎞ ⎛ x⎞ N 4 = −l ⎜ ⎟ + l ⎜ ⎟ ⎝l⎠ ⎝l⎠

3

obteniendo mediante las ecuaciones de equilibrio dinámico las matrices y el vector de fuerzas elementales que reflejan el efecto del elemento de interacción:

⎡m M e =TT ⎢ v ⎣0

0⎤ T mvc ⎥⎦

⎡c Ce = TT ⎢ v ⎣− cv

− cv ⎤ T cv ⎥⎦

⎡k Ke =TT ⎢ v ⎣− k v

− kv ⎤ T k v ⎥⎦

0 ⎧ ⎫ f e =TT ⎨ v ⎬ ⎩ g ( mv + mc ) ⎭

Estas matrices y vector deberán ser ensambladas con las correspondientes matrices estándar del elemento de viga de Bernoulli para obtener las matrices del elemento con interacción. Las matrices elementales deben ser recalculadas en cada paso de tiempo ya que, dependiendo de si hay o no un eje sobre el elemento, se deberá escoger entre el modelo con interacción o el modelo sin interacción. (Gabaldón, et al, 2005) En general, se podrán ensamblar las ecuaciones del viaducto y del vehículo mediante los grados de libertad en común: x c = x cb = x cv

Obteniéndose un sistema de ecuaciones de la siguiente forma: Μ&x& + Χx& + Κx = f

donde:

⎡ M vv M = ⎢⎢ M cv ⎢⎣ 0 v

M vc M + M ccb M bc v cc

⎡C vv C = ⎢⎢C cv ⎢⎣ 0

C vc C + C ccb C bc

⎡ K vv K = ⎢⎢ K cv ⎢⎣ 0

K vc K + K ccb K bc

v

v

v cc

v cc

0 ⎤ M cb ⎥⎥ M bb ⎥⎦

0 ⎤ C cb ⎥⎥ C bb ⎥⎦

⎧⎪ xv ⎫⎪ x v = ⎨ xc ⎬ ⎪⎩ xb ⎪⎭ ⎧ fv ⎫ ⎪ ⎪ f = ⎨ f cb + f cv ⎬ ⎪⎩ f b ⎪⎭ v

0 ⎤ K cb ⎥⎥ K bb ⎥⎦

- 32 -

En este sistema es necesario que existan los grados de libertad en común en los puntos de contacto entre el viaducto y el vehículo xc. Por lo que se deberá proveer al viaducto de un grado de libertad materializado con un nodo que cambie de posición en cada paso de tiempo para seguir el movimiento del vehículo. En este planteamiento, las matrices que se obtienen cambian en el tiempo, por lo que deberá reconstruirse en cada instante. Esta forma de resolver el sistema, con todos los grados de libertad puede llegar a ser muy costosa cuando los modelos del viaducto o del vehículo se han modelado con muchos grados de libertad. No se podrá realizar un análisis modal bajo este enfoque, ya que las matrices del sistema cambian en cada instante a medida que la posición del tren sobre el viaducto cambia.

- 33 -

CAPITULO III NORMATIVA VIGENTE

En Chile actualmente los diseños ferroviarios se rigen por la norma Norteamericana AREMA, de donde se extraen parámetros de diseño apropiados para las condiciones actuales de tránsito en el país, las cuales lógicamente no contemplan los fenómenos que ocurren en alta velocidad, por lo que en cuanto a normativa se empleará la IAPF norma Europea usada en España, la cual contempla fenómenos dinámicos que se ajustan al caso. Como información acerca del diseño del Paso superior Pitrufquén, éste fue diseñado bajo la AREMA donde se calculó para un tren tipo C con una flecha admisible de L/900 y L/700 para acero con calidad A37-24ES y A52-34ES respectivamente.

3.1 CRITERIOS A VERIFICAR DEL ESTADO LIMITE DE SERVICIO (ELS)

Los criterios que exige verificar la IAPF están pensados para asegurar el tráfico y la comodidad de los pasajeros. Los criterios son la aceleración vertical, el alabeo, el giro en apoyos del tablero, las deformaciones horizontales y las vibraciones transversales del tablero. En lo que concierne a esta investigación los principales efectos del paso de un tren sobre un viaducto son las deformaciones y aceleraciones verticales, de modo que se hará énfasis en los criterios que a estos atañen.

3.1.1 Aceleración vertical del tablero

En relación con las aceleraciones y en tableros con balasto, es un hecho experimental que si se somete al balasto a un proceso vibratorio en el que se alcanzan aceleraciones del orden de 0.7g a 0.8g se produce un fenómeno de licuefacción del balasto, pasando este material a comportarse de manera similar a un fluido, trayendo como consecuencia la aparición de irregularidades en la geometría de la vía que pueden poner en peligro de descarrilamiento al propio tren. En el caso de puentes sin balasto en todo momento debe asegurarse el contacto entre la rueda y el carril, es decir evitar el despegue de aquella ya que en caso contrario habría peligro de descarrilamiento, por lo que las aceleraciones verticales se deben limitar a la aceleración de gravedad (g). (Domínguez, et al, 2002)

- 34 -

La aceleración vertical máxima amax se verificará para velocidades mayores de 220 km/h o tipologías de puentes no convencionales. En el caso de líneas donde sea aplicable la interoperabilidad ferroviaria se utilizarán modelos de cargas HSLM, en otro caso se utilizarán modelos de cargas puntuales de trenes reales. Realizándose los cálculos con todos los modos de frecuencias menores de 30 Hz o del doble de la primera frecuencia propia (el mayor entre ambos) y con una vía cargada en la situación más desfavorable. Los límites establecidos son (Riquelme, 2005):

⎧0.35 g en puentes de vía con balasto amáx ≤ ⎨ ⎩0.5 g en puentes de vía sin balasto

Debe tenerse en cuenta que al permitirse aceleraciones de hasta 0,5g se permite que las fuerzas verticales del vehículo se incrementen en hasta un 50% respecto al peso de éste producto de las fuerzas de inercia. Esto será especialmente importante en viaductos largos de comportamiento semejante al de vigas isostáticas, puesto que los desplazamientos verticales estarán gobernados por un modo que es capaz de movilizar toda la estructura, incluyendo al tren, con aceleraciones en el mismo sentido. Este aumento de las fuerzas verticales se obtiene naturalmente en modelos que incluyan interacción, sin embargo, en modelos que no lo hagan, estas fuerzas adicionales no son consideradas, pudiendo quedar el análisis por el lado de la inseguridad. (Riquelme, 2005)

3.1.2. Alabeo del tablero

El máximo alabeo t permitido entre dos secciones distantes entre sí una longitud de 3 m tendrá los límites de:

⎧4.5β mm / 3m V ≤ 120 Km / h ⎪ t ≤ ⎨3.0β mm / 3m 120 < V ≤ 220 Km / h ⎪1.5β mm / 3m V > 220 Km / h ⎩

donde 4.5β = 1.78r 2 /(r + 0.5) 2 siendo r la distancia en metros entre puntos de apoyo en carril de las 2 ruedas de un eje, puede tomarse a r con un valor igual al ancho de la vía incrementado en 65 mm. (Riquelme, 2005)

- 35 -

3.1.3. Giro del tablero en sus extremos (en vías con balasto) Se define como θ al ángulo entre el tablero y la horizontal y, θ1 + θ2 a la suma de los ángulos entre el tablero y la horizontal de dos tableros consecutivos. Con esto, se exigen los siguientes límites (Riquelme, 2005):

En la transición entre el tablero y el estribo: ⎧⎪6.5 ⋅10 −3

en puentes con vía única

⎪⎩3.5 ⋅10 −3

en puentes con más de una vía

θ ≤⎨

Entre dos tableros consecutivos: ⎧⎪10 ⋅10 −3 en puentes con vía única θ1 + θ 2 ≤ ⎨ ⎪⎩5 ⋅10 −3 en puentes con más de una vía

En el caso de vía sin balasto en una de las zonas adyacentes al extremo: ⎧⎪5 ⋅10 −3 en puentes con vía única ⎪⎩2.5 ⋅10 −3 en puentes con más de una vía

θ = θ1 + θ 2 ≤ ⎨

- 36 -

CAPITULO IV: APLICACIÓN MODELO DE CARGAS PUNTUALES SIN INTERACCION

4.1 PLANTEAMIENTO MATEMATICO

Se usará la ecuación de movimiento de la estructura para cada modo de vibrar definida anteriormente en el apartado 2.2

n ejes

M i &y&i + 2ζ iωi M i y& i + ωi2 M i yi = ∑ Fk (φi (vt − d k )) k =1

Figura 16. Respuesta para un tren de cargas puntuales (Elaboración propia).

Considerando solo el modo principal de oscilación la ecuación anterior queda:

nejes

mb &y& + 2ζωmb y& + ω 2 mb y = ∑ Fk (φ (vt − d k )) k =1

⎧⎪φ ( x ) Donde: (φi ( x )) = ⎨ ⎪⎩0

si 0 < x < l en otro caso

Siendo φi (x ) la forma modal de una viga simplemente apoyada φi ( x ) = sen(iπ

- 37 -

vt − d k ) L

4.1.1 Método de solución

La ecuación anterior se integra mediante algún método numérico como el de Runge kutta o como en este caso el integrador numérico de Newmark usando un paso de integración adecuado, en esta caso dt=0.001 [s]. En el algoritmo empleado se debe implementar la condición de permanencia de cada carga puntual sobre la estructura. El método de Newmark se desarrolla como sigue (Hart, 2000):

⎡ β − ω 2α ( ∆t ) 2 β∆t − 2ζωα ( ∆t ) 2 − ω 2α ( ∆t ) 3 1 β ( ∆t ) 2 −α ( β − γ )( ∆t ) 2 ⎤ ⎧α ( ∆t ) 2 ⎫ ⎥⎧x ⎫ 2 ⎧ x k +1 ⎫ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎢ ⎪ k⎪ 1 ⎪ ⎥ 2 2 2 β − 2ζωδ∆t − ω δ ( ∆t ) β∆t − δ ( β − γ ) ∆t ⎨ δ ( ∆t ) ⎬Fk + 1 ⎨ x& k +1 ⎬ = ⎢ ω δ∆t ⎨ x& k ⎬ + ⎥ mβ ⎪ 2 2 ⎪&x& ⎪ β ⎢ 1 ⎪ ⎥ ⎪⎩&x&k ⎪⎭ −ω − 2ζω − ω ∆t −γ ⎩ k +1 ⎭ ⎭ ⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ con: 2

β = 1 + 2ζωδ∆t + ω α ( ∆t ) 2

2

γ = 2ζω (1 − δ ) ∆t + ω ( 12 − α )( ∆t )

2

donde: α =

1 4

δ =

1 2

Finalmente, una vez obtenido las amplitudes modales, la respuesta total de la estructura, aplicando el principio de superposición se obtiene como: n w( x , t ) = ∑ y b (t )φ i ( x ) i =1

(

n w& ( x , t ) = ∑ y& (t )φ ( x ) + y (t )φ ′ ( x ) i b i i =1 b

(

)

n w && ( x , t ) = ∑ &y& (t )φ ( x ) + 2 y& (t )φ ′ ( x ) + y (t )φ ′′( x ) i b i b i i =1 b

)

- 38 -

CAPITULO V: APLICACIÓN MODELO CON INTERACCION VEHICULOESTRUCTURA

5.1 PLANTEAMIENTO MATEMATICO PARA UN ELEMENTO DE INTERACCION

Ecuación de movimiento de la estructura para cada modo de vibrar y para un elemento de interacción.

k M i &x&bi + C i x& bi + K i xbi = ∑ (φ i (t ))( gmt + m s x v ) j =1

Considerando solo el modo fundamental de vibración de la estructura, es decir, i=1 la ecuación queda:

mb &x&b + cb x& b + k b xb = φ (t )( gm + m s xv ) mb &x&b + cb x& b + k b xb = mgφ (t ) + m s xvφ (t )

⎛k ⎞ ⎛c ⎞ mgφ (t ) ⎛ msφ (t ) ⎞ ⎟⎟ &x&v + ⎜⎜ &x&b + ⎜⎜ b ⎟⎟ x& b + ⎜⎜ b ⎟⎟ xb = m m m m b b ⎠ ⎝ ⎝ b⎠ ⎝ b⎠

Se usará elemento de interacción del tipo simplificado definidos en el capitulo II donde la ecuación de movimiento para cada elemento de interacción (j) queda definida como: n d n ⎤ j j j⎡ j j j m v &x&v + c x& v − ∑ w( x, t ) + k v ⎡ x v − ∑ xbφ i (t ) ⎤ = 0 ⎥ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ i =1dt i =1 ⎦

(3.3.1)

Considerando solo el modo fundamental de vibración de la estructura, es decir, i=1 la ecuación queda:

[

]

[

]

m s &x&v + c v x& v − x& b φ (t ) − x b φ ′(t ) + k v x v − x bφ (t ) = 0

m s &x&v + c v x& v − c v x& bφ (t ) − c v xbφ ′(t ) + k v x v − k v xb φ (t ) = 0

⎛ cv ⎞ ⎛ c φ (t ) ⎞ ⎛k ⎞ ⎛ c φ ′(t ) kvφ (t ) ⎞ ⎟ x& v − ⎜ v ⎟ x& + ⎜ v ⎟ x v − ⎜ v ⎟ &x&v + ⎜⎜ ⎜ m ⎟ b ⎜m ⎟ ⎜ m + m ⎟ xb = 0 m ⎟ s ⎠ ⎝ s⎠ ⎝ s ⎠ ⎝ s⎠ ⎝ s

- 39 -

⎛ π (vt − d k ) ⎞ ⎛ π (vt − d k ) ⎞ ⎟ y φ ′(t ) = πv cos⎜ ⎟ , Para este caso particular d = 0 ya donde φ (t ) = sen⎜ k ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ L L L ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ que el elemento de interacción parte del inicio del puente.

Para un elemento de interacción las ecuaciones que gobiernan el problema son:

⎛k ⎞ ⎛c ⎞ mgφ (t ) ⎛ m sφ (t ) ⎞ ⎟⎟ &x&v + ⎜⎜ &x&b + ⎜⎜ b ⎟⎟ x& b + ⎜⎜ b ⎟⎟ xb = m m m m b b b b ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ c φ ′(t ) k vφ (t ) ⎞ ⎛k ⎞ ⎛ c φ (t ) ⎞ ⎛c ⎞ ⎟⎟ xb = 0 ⎟⎟ x& b + ⎜⎜ v ⎟⎟ xv − ⎜⎜ v + &x&v + ⎜⎜ v ⎟⎟ x& v − ⎜⎜ v m m m m m s s s ⎠ ⎝ ⎝ s⎠ ⎠ ⎝ ⎝ s⎠

Las ecuaciones anteriores conforman un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables. Para resolver este sistema se realizará un cambio de variables que permite convertir el sistema de ecuaciones anterior a uno de primer orden, de la siguiente manera:

x1 = xb

x2 = x&1 = x&b

x&1 = x&b

⎛ m φ (t ) ⎞ ⎛c ⎞ ⎛k ⎟⎟ x& 4 + x& 2 = −⎜⎜ b ⎟⎟ x2 − ⎜⎜ b − ⎜⎜ s ⎝ mb ⎠ ⎝ mb ⎠ ⎝ mb

x3 = x v

x 4 = x& 3 = x& v

x& 3 = x& v

⎛c ⎞ ⎛ c φ (t ) ⎞ ⎛k ⎞ ⎛ c φ ′(t ) k vφ (t ) ⎞ ⎟⎟ x 2 − ⎜⎜ v ⎟⎟ x3 + ⎜⎜ v ⎟ x1 + x& 4 = &x&v = −⎜⎜ v ⎟⎟ x 4 + ⎜⎜ v m s ⎟⎠ ⎝ ms ⎠ ⎝ ms ⎠ ⎝ ms ⎠ ⎝ ms

⎞ mgφ (t ) ⎟⎟ x1 + mb ⎠

El sistema de ecuaciones anterior se puede escribir en forma matricial, quedando un sistema con la forma: Hx& = Cx + f ⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 ⎧ x&1 ⎫ ⎛ ⎤⎪ ⎪ ⎜ ⎛ kb ⎞ −⎜ ⎛ m s φ (t ) ⎞⎥ ⎪ x& ⎪ ⎜ ⎜ m ⎟⎟ 2⎪ ⎜ ⎟ −⎜ ⎪ ⎝ b⎠ ⎥ ⎜ m ⎟ ⎨ ⎬= ⎝ b ⎠⎥ ⎜ 0 x& 0 ⎥ ⎪⎪ 3 ⎪⎪ ⎜ ⎛ c v φ ′(t ) k v φ (t ) ⎞ ⎟⎟ + 1 ⎜⎜ ⎥⎦ ⎪⎩ x& 4 ⎪⎭ ⎜⎝ ⎜⎝ m s ms ⎠ 0

1

⎛ cb −⎜ ⎜m ⎝ b

⎛ c v φ (t ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ms ⎠

Lo que es un sistema con la forma: Hx& = Cx + f

- 40 -

0

⎞ ⎟⎟ ⎠

0

0

0

0

0

⎛ kv −⎜ ⎜m ⎝ s

⎞ ⎟⎟ ⎠

1

⎛ cv −⎜ ⎜m ⎝ s

⎞⎧ x1 ⎫ ⎟ ⎪ ⎪ ⎧0 ⎫ ⎟⎪ x ⎪ ⎪ mgφ (t ) ⎪ ⎪ ⎟⎪ 2 ⎪ + ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ m b ⎬ ⎟ x 3 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎪ ⎟ ⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ 0 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎩ ⎪ ⎪ x ⎠ ⎠⎩ 4 ⎭

Invirtiendo la Matriz H se tiene un sistema de la forma: x& = H −1Cx + H −1 f

con:

H

⎡1 ⎢ 0 = ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

−1

0 ⎤ ⎛ m s φ (t ) ⎞⎥ ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎝ mb ⎠⎥ 0 ⎥ 1 ⎥⎦

0 0 1 0 0 1 0 0

se obtiene: 0 ⎧ x&1 ⎫ ⎛⎜ 2 ⎛ kb ⎪ ⎪ ⎜ ⎜ c v φ ′(t )φ (t ) k v φ (t ) + − ⎪⎪ x& 2 ⎪⎪ ⎜ ⎜ m mb mb b ⎨ ⎬ = ⎜⎝ 0 ⎪ x& 3 ⎪ ⎜ ′ ⎛ φ ( ) c t k v φ (t ) ⎞ ⎜ ⎪ ⎪ ⎜⎜ v ⎟⎟ + ⎪⎩ x& 4 ⎪⎭ ⎜ ms ⎠ ⎝ ms ⎝

1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ c φ (t ) 2 ⎜ v ⎜ mb ⎝

−

cb mb

0

⎛ c v φ (t ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ms ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

0

⎛ kvφ (t ) ⎞ ⎟ ⎜ m ⎟ ⎝ b ⎠

−⎜

0

⎛ kv −⎜ ⎜m ⎝ s

⎞⎧ x ⎫ ⎟ 1 ⎫ ⎛ c v φ (t ) ⎞ ⎟⎪ ⎪ ⎧0 ⎟⎟ ⎪ x ⎪ ⎪ mgφ (t ) ⎪ − ⎜⎜ ⎪ ⎝ m s ⎠ ⎟⎟⎪ 2 ⎪ + ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ mb ⎬ 1 ⎟⎪ x 3 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎛ c v ⎞ ⎟⎪ ⎪ ⎪⎩0 ⎪⎭ −⎜ ⎜ m ⎟⎟ ⎟⎪⎩ x 4 ⎪⎭ ⎝ s⎠ ⎠ 0

⎞ ⎟⎟ ⎠

Desglosando el sistema anterior las ecuaciones quedan:

x&1 = x 2

x& 2 =

⎛ c φ ′(t )φ (t ) ⎜ v + ⎜ mb ⎝

k v φ (t )

2 −

mb

kb mb

2 ⎞ ⎛ ⎟ x + ⎜ c v φ (t ) ⎟ 1 ⎜ mb ⎠ ⎝

−

⎞ ⎟x ⎟ 2 ⎠

−⎜

⎛ cv ⎜m ⎝ s

⎞ ⎟⎟ x 4 ⎠

cb mb

⎛ kvφ (t ) ⎞ ⎛ c φ (t ) ⎞ ⎟ x3 − ⎜ v ⎟ x 4 ⎜ m ⎟ ⎜ m ⎟ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠

+

mgφ ( t ) mb

x& 3 = x 4

x& 4 =

⎛ c v φ ′(t ) ⎜⎜ + ⎝ ms

⎛ c φ (t ) ⎞ ⎟⎟ x1 + ⎜⎜ v ⎟⎟ x 2 ⎝ ms ⎠ ⎠

k v φ (t ) ⎞ ms

⎛ kv ⎜m ⎝ s

−⎜

⎞ ⎟⎟ x 3 ⎠

−⎜

5.1.1 Método de solución

Para integrar este nuevo sistema se debe optar por la implementación de algún integrador numérico, en este caso se usará Rungue-Kutta de cuarto orden, por ser uno de los mas utilizados. La forma de uso más común, de todas las infinitas posibilidades, es la que se denomina método de Runge – Kutta clásico de cuarto orden.

- 41 -

h ( k1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) 6

xi +1 = xi +

Donde: k1 = f (t i , xi ) k 2 = f (t i +

h h , x i + k1 ) 2 2

h h k 3 = f (t i + , xi + k 2 ) 2 2 k 4 = f (t i + h, xi + k 3 h)

Siendo f (t i , xi ) la función a integrar. Observe que el método de Rungue-Kutta de cuarto orden se puede extender a sistemas de ecuaciones diferenciales de orden n procediendo de la manera que sigue:

x j +1 = x j +

h (k1, j + 2k 2, j + 2k 3, j + k 4, j ) 6

con j = 1,2,..., n

k1, j = f j (t , x1 , x 2 ,..., x n ) h h h h k 2, j = f j (t + , x1 + k1,1 , x 2 + k1, 2 ,..., x n + k1,n ) 2 2 2 2 k 3, j = f j (t +

h h h h , x1 + k 2,1 , x 2 + k 2, 2 ,..., x n + k 2,n ) 2 2 2 2

k 4, j = f j (t + h, x1 + k 3,1 h + x 2 + k 3, 2 h,..., x n + k 3,n h)

Funciones a integrar usadas por el programa: f = x2

g

⎛ c φ ′(t )φ (t ) ⎜ v = ⎜ mb ⎝

+

k v φ (t ) mb

2 −

kb mb

⎞ ⎛ c φ (t ) 2 ⎟x + ⎜ v ⎟ ⎜ mb ⎠ ⎝

−

⎞ ⎛ k φ (t ) ⎞ ⎛ c φ (t ) ⎞ ⎟ y − ⎜ v ⎟ z − ⎜ v ⎟q + ⎟ ⎜ m ⎟ ⎜⎝ m b ⎟⎠ ⎠ ⎝ b ⎠

cb mb

mgφ ( t ) mb

h = x4

j =

⎛ c v φ ′( t ) ⎜⎜ ⎝ ms

+

k v φ (t ) ⎞ ms

⎛ c φ (t ) ⎞ ⎛ k ⎟⎟ x + ⎜⎜ v ⎟⎟ y − ⎜⎜ v ⎠ ⎝ ms ⎠ ⎝ ms

⎞ ⎛ cv ⎟⎟ z − ⎜⎜ ⎠ ⎝ ms

⎞ ⎟⎟q ⎠

Finalmente volviendo a las variables originales se obtienen las amplitudes modales: xb = x x& b = y &x&b = g

- 42 -

xv = z x& v = q &x&v = j

5.2 PLANTEAMIENTO MATEMATICO PARA UN TREN DE K EJES

Ecuación de movimiento de la estructura para cada modo de vibrar. k j j j j M i &x&bi + C i x& bi + K i xbi = ∑ (φ i ( d rel ))( gmt + m s &x&v ) j =1

( 3. 3. 6 )

Considerando solo el modo fundamental de vibración de la estructura, es decir, i=1 la ecuación queda:

k j j j j mb &x&b + cb x& b + k b xb = ∑ φ ( d rel )( mt g + m s &x&v ) j =1

j = 1,2,3,.....k

k k j j j mb &x&b + cb x& b + k b xb = ∑ φ (t ) mt g + ∑ φ (t ) m s &x&v ) j =1 j =1

&x&b

⎛ cb +⎜ ⎜m ⎝ b

⎞ ⎟⎟ x& b ⎠

⎛ kb +⎜ ⎜m ⎝ b

⎞ ⎟⎟ x b ⎠

=

1 m t gφ ( t ) mb

j ⎛ π ( vt − d rel )⎞ ⎟ y ⎜ donde φ (t ) = sen⎜ ⎟ L ⎠ ⎝

+

2 m t gφ ( t ) mb

φ ′( t ) =

+ ... +

k m t gφ ( t ) mb

πv L

⎛ m1s φ (t ) ⎞ 1 +⎜ ⎜ m ⎟⎟ &x&v ⎝ b ⎠

⎛ m s2φ (t ) ⎞ 2 +⎜ ⎜ m ⎟⎟ &x&v ⎝ b ⎠

⎛ m sk φ (t ) ⎞ k + ... + ⎜ ⎜ m ⎟⎟ &x&v ⎝ b ⎠

j ⎛ π ( vt − d rel )⎞ ⎟ , Cabe señalar que la función ⎜ cos ⎟ ⎜ L ⎠ ⎝

dependencia temporal y a su vez depende de

j d rel

φ (t )

tiene

que el parámetro que define la

permanencia del elemento sobre la estructura.

Se usarán elementos de interacción del tipo simplificados definidos en el capitulo II donde la ecuación de movimiento para cada elemento de interacción (j) queda definida como: n d n ⎤ j j j j j j⎡ j m v &x&v + c x& v − ∑ w( x, t ) + k v ⎡ x v − ∑ xbφ i ( d rel ) ⎤ = 0 ⎥ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ i =1dt i =1 ⎦

(3.3.1)

Considerando solo el modo fundamental de vibración de la estructura, es decir, i=1 la ecuación queda:

[

]

[

]

m s &x&v + c v x& v − x& bφ (t ) − xbφ ′(t ) + k v x v − xbφ (t ) = 0 m s &x&v + c v x& v − c v x& bφ (t ) − c v xbφ ′(t ) + k v x v − k v xb φ (t ) = 0

⎛ cv ⎞ ⎛ c φ (t ) ⎞ ⎛k ⎞ ⎛ c φ ′(t ) kvφ (t ) ⎞ ⎟ x& v − ⎜ v ⎟ x& + ⎜ v ⎟ x v − ⎜ v ⎟ &x&v + ⎜⎜ b ⎜ m ⎟ ⎜m ⎟ ⎜ m + m ⎟ xb = 0 m ⎟ s ⎠ ⎝ s⎠ ⎝ s ⎠ ⎝ s⎠ ⎝ s

- 43 -

Para k elementos de interacción intervienen las siguientes ecuaciones:

⎛ cb ⎞ ⎛ kb ⎞ &x&b + ⎜ ⎜ m ⎟⎟ x& b + ⎜⎜ m ⎟⎟ xb ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ 1

&x&v +

⎛ c1 ⎞ ⎜ v ⎟ x& 1 ⎜ m1 ⎟ v ⎝ s⎠

−

1 mt gφ ( t )

=

⎛ c1φ (t ) ⎞ ⎜ v ⎟ x& ⎜ m1 ⎟ b ⎝ s ⎠

+

2 mt gφ ( t )

mb

+

+ ... +

mb

⎛ k1 ⎞ ⎜ v ⎟ x1 ⎜ m1 ⎟ v ⎝ s⎠

−

⎛ m1s φ (t ) ⎞ 1 ⎛ m s2φ (t ) ⎞ 2 ⎛ m sk φ (t ) ⎞ k ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ m ⎟ &x&v + ⎜ m ⎟ &x&v + ... + ⎜⎜ m ⎟⎟ &x&v ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠

k mt gφ ( t ) mb

⎛ c1φ ′(t ) k1φ (t ) ⎞ ⎜ v ⎟x v + b ⎜ m1 1 m ⎟ ⎝ s s ⎠

= 0

2 ⎛ c2 ⎞ ⎛ c 2φ (t ) ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞ 2 ⎜ v ⎟ 2 ⎜ v ⎟ x& + ⎜ kv ⎟ x 2 − ⎜ cv φ ′(t ) + kv φ (t ) ⎟ x = 0 x& v − &x&v + b ⎜ m2 ⎟ ⎜ m2 ⎟ b ⎜ m2 ⎟ v ⎜ m2 m2 ⎟ ⎝ s⎠ ⎝ s ⎠ ⎝ s⎠ ⎝ s s ⎠

M k &x&v +

⎛ ck ⎞ ⎜ v ⎟ x& k ⎜ mk ⎟ v ⎝ s⎠

⎛ c kφ (t ) ⎞ ⎜ v ⎟ x& − ⎜ mk ⎟ b ⎝ s ⎠

⎛ kk ⎞ ⎜ v ⎟x k + ⎜ mk ⎟ v ⎝ s⎠

⎛ c kφ ′ (t ) k kφ (t ) ⎞ ⎜ v ⎟x v − + b ⎜ mk mk ⎟ ⎝ s s ⎠

= 0

Las ecuaciones anteriores conforman un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables, lo que hace que la integración directa en el tiempo de estas sea de gran complejidad. Para resolver este sistema se realizará un cambio de variables que permite convertir el sistema de ecuaciones anterior a uno de primer orden, de la siguiente manera:

x1 = x b

x 2 = x&1 = x& b

x&1 = x& b

−⎜

1 x3 = x v

1 x 4 = x& 3 = x& v

1 x& 3 = x& v

⎛ c1v 1 x& 4 = &x&v = −⎜ ⎜ m1 ⎝ s

2 x5 = xv

2 x 6 = x& 5 = x& v

2 x& 5 = x& v

⎛ c v2 2 x& 6 = &x&v = −⎜ ⎜ m2 ⎝ s

⎛ m1s φ (t ) ⎞ ⎛ m s2φ (t ) ⎞ ⎛ m sk φ (t ) ⎞ ⎟ ⎟ x& 6 − ... − ⎜ x& 4 − ⎜ ⎜ m ⎟ ⎜ m ⎟ ⎜ m ⎟⎟ x& 2 ( k +1) + x& 2 ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠

⎛ cb ⎞ ⎛ kb ⎞ ⎟ x2 − ⎜ ⎜m ⎟ ⎜ m ⎟⎟ x1 + ⎝ b⎠ ⎝ b⎠

= −⎜

k ∑ j =1

⎞ ⎛ c1φ ( t ) ⎞ ⎛ k1 ⎞ ⎛ c1φ ′(t ) k 1φ (t ) ⎞ ⎟⎟ x 4 + ⎜⎜ v 1 ⎟⎟ x 2 − ⎜⎜ v1 ⎟⎟ x 3 + ⎜⎜ v 1 + v 1 ⎟⎟ x1 ms ⎠ ⎠ ⎝ ms ⎠ ⎝ ms ⎠ ⎝ ms

⎞ ⎟⎟ x 6 ⎠

⎛ c v2 φ (t ) ⎞ +⎜ ⎜ m 2 ⎟⎟ x 2 ⎝ s ⎠

⎛ k v2 −⎜ ⎜ m2 ⎝ s

⎞ ⎟⎟ x 5 ⎠

⎛ c v2 φ ′(t ) +⎜ ⎜ m2 ⎝ s

+

2 k v φ (t ) ⎞ 2 ms

⎟⎟ x1 ⎠

M k

x 2 ( k +1) = x& 2 k +1 = x& v

k

x& 2 ( k +1) = &x&v = −⎜ ⎜

x 2 k +1 = x v

x& 2 k +1 = x& v

k

k

⎛ k vk ⎛ c vk φ (t ) ⎞ ⎛ c vk ⎞ ⎟ ⎟ x2 − ⎜ x 2 ( k +1) + ⎜ k ⎟ ⎜ mk ⎜ mk ⎟ ⎝ s ⎝ s ⎠ ⎝ ms ⎠

- 44 -

⎛ c k φ (t ) k k φ (t ) ⎞ ⎞ ⎟⎟ x 2 k +1 + ⎜⎜ v k + v k ⎟⎟ x1 ms ⎠ ⎝ ms ⎠

j mt gφ ( t ) mb

El sistema de ecuaciones anterior se puede escribir en forma matricial, quedando un sistema con la forma: Hx& = Cx + f Invirtiendo la Matriz H y premultiplicando a ambos lados de la igualdad se obtendrá un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes variables de la forma: x& = Fx + f Para integrar este nuevo sistema se implementara el método de Rungue-Kutta de cuarto orden, de la misma forma como se describe en el apartado 5.1.1 para un elemento de interacción.

En la implementación de este método para resolver el sistema del problema en estudio, las funciones a integrar son: f 1, f 2, f 31, f 41, f 32, f 42, L , f 3k , f 4 k

Luego se evalúan las variables originales, obteniendo las amplitudes modales de la siguiente forma:

xb = x x& b = y &x&b = f 2

1 x = z1 v 1 x& = q1 v 1 &x& = f 41 v

2 = z2 v 2 x& = q 2 v 2 &x& = f 42 v x

k = zk v k x& = qk v k &x& = f 4 k v x

…

Finalmente la respuesta total de la estructura, aplicando el método de superposición se obtiene como: n w( x, t ) = ∑ xb (t )φ i ( x ) i =1

(

n w& ( x, t ) = ∑ x& (t )φ ( x ) + x (t )φ ′ ( x ) i b i i =1 b

(

)

n w && ( x, t ) = ∑ &x& (t )φ ( x ) + 2 x& (t )φ ′ ( x ) + x (t )φ ′′( x ) i b i b i i =1 b

- 45 -

)

Sistema de la forma: Hx& = Cx + f

⎡1

⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0

0

0

0

0

0

0

1

⎛ 1 ⎞ ⎜ m φ (t ) ⎟ s ⎟ − ⎜⎜ ⎟ m ⎜ ⎟ b ⎝ ⎠ 0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎛ 2 ⎞ ⎜ m φ (t ) ⎟ s ⎟ L 0 − ⎜⎜ ⎟ m ⎜ ⎟ b ⎝ ⎠ 0 0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

M

0 O 0

0 ⎡ ⎛k ⎞ ⎢ ⎜ b ⎟ −⎜ ⎟ ⎢ ⎜m ⎟ ⎢ b ⎝ ⎠ 0 ⎤ ⎧ x& ⎫ ⎢ 1 0 ⎛ k ⎞⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎛ ⎜ m φ (t ) ⎟ x& ⎞ s 2 ⎟⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎜ c1vφ ′(t ) kv1φ (t ) ⎟ − ⎜⎜ ⎟ ⎟ x& m ⎥ + ⎪ ⎜⎜ ⎜ ⎟ 3 b ⎟⎠ ⎪ ⎝ m1 ⎟ ⎥ ⎪ x& ⎪ ⎢ ⎜⎝ m1s s ⎠ 0 ⎥⎪ 4 ⎪ ⎢ 0 ⎢ x = & 0 ⎥⎨ 5 ⎬ ⎛ ⎞ ⎥ ⎪ x& ⎪ ⎢⎜ cv2φ ′(t ) kv2φ (t ) ⎟ 0 ⎢ ⎥ ⎪ 6 ⎪ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ 0 m ⎟ ⎥ ⎪ M ⎪ ⎢⎜⎝ ms s ⎠ ⎢ x& ⎪ ⎪ ⎥ 2k + 1 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ x& 0 2 ( + 1 ) k 1 ⎩ ⎭ ⎢ ⎦ ⎢⎛⎜ c kφ ′(t ) k kφ (t ) ⎞⎟ v ⎢⎜ v ⎟ + ⎜ ⎟ k ⎢⎜ m mk ⎟ s ⎠ ⎣⎝ s

1 0 0 0 0 ⎛c ⎞ ⎜ b ⎟ L −⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎜m ⎟ ⎝ b⎠ 0 0 1 0 0 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ c φ (t ) ⎟ ⎜k ⎟ ⎜c ⎟ ⎜ v ⎟ −⎜ v ⎟ −⎜ v ⎟ 0 0 ⎜ ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ 1 ⎟ ⎜ m ⎟ ⎜m ⎟ ⎜m ⎟ s ⎠ ⎝ ⎝ s⎠ ⎝ s⎠ 0 0 0 0 1 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜c ⎟ ⎜k ⎟ ⎜c ⎟ v ⎟ v ⎟ ⎜ v ⎟ 0 0 −⎜ −⎜ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜m ⎟ ⎜m ⎟ ⎜m ⎟ ⎝ s ⎠ ⎝ s ⎠ ⎝ s ⎠ M O 0 ⎛ k ⎜c ⎜ v ⎜ k ⎜m ⎝ s

0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

0

0

0

0

0

0

0

0 0 0

0

0

0

0 0 ⎛ k ⎜k v −⎜ ⎜ k ⎜m ⎝ s

⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎧ x1 ⎫ ⎧ 0 ⎥ ⎪ x2 ⎪ ⎪ k ⎥⎪ x ⎪ ⎪ ∑ 0 ⎥⎪ 3 ⎪ ⎪ j = 1 ⎥ ⎪ x4 ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎪⎨ x ⎪⎬ + ⎪⎨ ⎥⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ x6 ⎪ ⎪ 0 ⎥⎪ M ⎪ ⎪ ⎥⎪ x ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ 2k + 1 ⎪ ⎪ 1 ⎥ ⎩ x2( k + 1) ⎭ ⎩ ⎛ k ⎞⎥ ⎜c ⎟ v ⎟⎥ −⎜ ⎜ k⎟ ⎜ m ⎟⎥ ⎝ s ⎠⎦ 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

0

⎫

m j gφ ( t ) ⎪ t ⎪ m b ⎪ ⎪⎪ 0 0 ⎬ 0 0 M 0 0

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con coeficientes variables obtenido al premultiplicar la matriz H-1 en ambos lados de la igualdad Hx& = Cx + f

0 ⎡ ⎢ ⎛ k ⎞ k ⎛⎜ c jφ ′(t )φ (t ) ⎢− ⎜⎜ b ⎟⎟ + ∑ ⎜ v + ⎢ ⎜⎝ mb ⎟⎠ j = 1 ⎜⎜ mb ⎝ ⎧ x&1 ⎫ ⎢ 0 ⎪ x& ⎪ ⎢ ⎞ ⎛ 2 1 ⎪ ⎢ ⎪ ⎜ c φ ′( t ) k1φ ( t ) ⎟ v ⎟ ⎜ v ⎪ x&3 ⎪ ⎢ + ⎜ m m ⎟⎟ ⎪ x& ⎪ ⎢ ⎜ s ⎠ s ⎝ ⎪ 4 ⎪ ⎢ 0 ⎨ x&5 ⎬ = ⎢ ⎞ ⎛ 2 ⎪ x& ⎪ ⎢ ⎜ c φ ′( t ) k 2φ ( t ) ⎟ v ⎟ ⎜ v ⎪ 6 ⎪ ⎢ + ⎜ m m ⎟⎟ ⎪ M ⎪ ⎢ ⎜ s ⎠ s ⎝ ⎪ x&2 k + 1 ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ x& ⎩ 2( k + 1) ⎭ ⎢⎢ 0 ⎞ ⎛ k ⎢ ⎜ c φ ′( t ) k k φ ( t ) ⎟ v ⎟ ⎜ v ⎢ + ⎟ ⎜ m m ⎜ ⎢⎣ s ⎟⎠ s ⎝

1 ⎞ ⎛c k jφ ( t ) 2 ⎟ v ⎟ − ⎜⎜ b ⎟ m ⎜m b ⎟⎠ ⎝ b

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ j ⎜ c φ (t ) 2 k v + ∑ ⎜⎜ m ⎜ j =1 b ⎝ 0 ⎛ 1 ⎞ ⎜ c φ (t ) ⎟ ⎜ v ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ m ⎟ s ⎠ ⎝ 0 ⎞ ⎛ 2 ⎜ c φ (t ) ⎟ ⎟ ⎜ v ⎟ ⎜ ⎜ m2 ⎟ s ⎠ ⎝ M 0 ⎞ ⎛ k ⎜ c φ (t ) ⎟ ⎟ ⎜ v ⎟ ⎜ k ⎟ ⎜ m s ⎠ ⎝

0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎞ ⎞ ⎛ k ⎞ ⎛ k ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ c φ (t ) ⎟ ⎥ ⎜ k φ (t ) ⎟ ⎜ c φ (t ) ⎟ ⎜ k φ (t ) ⎟ ⎜ c φ (t ) ⎟ ⎜ k φ (t ) ⎟ ⎟ −⎜ v ⎟⎥ ⎟ −⎜ v ⎜ v ⎟ ⎟ −⎜ v ⎜ v ⎟ ⎜ v ⎟ ⎟ ⎜ m ⎟⎥ ⎟ ⎜ m ⎟ L −⎜ m ⎟ ⎜ m ⎟ −⎜ m ⎟ −⎜ m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b ⎠ b ⎠ b ⎟⎠ b ⎠ b ⎠ b ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎥ ⎧ x1 ⎫ 0 1 0 0 0 0 ⎥⎪ x ⎪ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎥⎪ 2 ⎪ ⎜c ⎟ ⎜k ⎟ v ⎟ v ⎟ ⎜ ⎜ ⎥ ⎪ x3 ⎪ 0 0 0 0 −⎜ −⎜ ⎟ ⎟ 1 1 ⎥⎪ x ⎪ ⎜m ⎟ ⎜m ⎟ ⎝ s⎠ ⎝ s⎠ ⎥⎪ 4 ⎪ 0 0 0 1 0 0 ⎥ ⎨ x5 ⎬ + ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎥ ⎪ x6 ⎪ ⎜c ⎟ ⎜k ⎟ v ⎟ ⎜ v ⎟ ⎥⎪ M ⎪ 0 0 0 0 − − ⎜⎜ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎪ ⎜m ⎟ ⎜ m2 ⎟ ⎥⎪ x ⎝ s ⎠ ⎝ s ⎠ ⎪ ⎥ 2k + 1 ⎪ O ⎥ ⎪⎩ x2( k + 1) ⎪⎭ 0 0 0 0 0 1

0

0

0

0

⎛ k ⎜k v − ⎜⎜ ⎜ mk ⎝ s

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ k ⎜c v − ⎜⎜ ⎜ mk ⎝ s

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎧ ⎪ k ⎪ ∑ ⎪j =1 ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪

0

⎫

0 0

⎪ ⎭⎪

m j gφ ( t ) ⎪ t ⎪ m b ⎪ ⎪⎪ 0 0 ⎬ 0 ⎪ 0 ⎪ M ⎪

Desglose del sistema anterior, para definir funciones y variables a integrar.

x&1 = x 2

x& 2 =

⎛ k ⎜∑ ⎜ j =1 ⎝

⎛ c vj φ ′(t )φ (t ) ⎜⎜ + m ⎝ b

j

k v φ (t ) mb

2

⎞ ⎛ kb ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎠ ⎝ mb

⎛ k ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ x1 + ⎜ ∑ ⎟ ⎜j =1 ⎠⎠ ⎝

⎛ c jφ ( t ) 2 ⎞ ⎜ v ⎟− ⎜ m ⎟ ⎝ b ⎠

cb mb

⎞ ⎟x ⎟ 2 ⎠

x& 3 = x 4

x& 4 =

⎛ c 1v φ ′(t ) ⎜⎜ + ⎝ ms

k v φ (t ) ⎞ 1

ms

⎛ c 1 φ (t ) ⎞ ⎟⎟ x1 + ⎜⎜ v 1 ⎟⎟ x 2 ⎠ ⎝ ms ⎠

⎛ k v1 ⎞ ⎜ m1 ⎟⎟ x 3 ⎝ s⎠

−⎜

⎛ k v2 ⎜ m2 ⎝ s

−⎜

−⎜

⎛ c 1v ⎞ ⎜ m1 ⎟⎟ x 4 ⎝ s⎠

x& 5 = x 6

x& 6 =

⎛ c v2 φ ′(t ) ⎜⎜ + ⎝ ms

k v φ (t ) ⎞ 2

ms

⎛ c 2 φ (t ) ⎞ ⎟⎟ x1 + ⎜⎜ v 2 ⎟⎟ x 2 ⎠ ⎝ ms ⎠

−⎜

⎞ ⎟⎟ x 5 ⎠

⎛ c v2 ⎜ m2 ⎝ s

⎞ ⎟⎟ x 6 ⎠

M x& 2 k +1 = x 2 ( k +1)

x& 2 ( k +1)

⎛ c vk φ ′(t ) =⎜ ⎜ m + ⎝ s

k v φ (t ) ⎞ k

ms

⎛ c vk φ (t ) ⎞ ⎟⎟ x1 + ⎜⎜ k ⎟⎟ x 2 ⎠ ⎝ ms ⎠

⎛ k vk −⎜ ⎜ mk ⎝ s

⎞ ⎛ c vk ⎟⎟ x 2 k +1 − ⎜⎜ k ⎠ ⎝ ms

⎞ ⎟⎟ x 2 ( k +1) ⎠

⎛ k v1φ (t ) ⎞ ⎜ m ⎟⎟ x 3 ⎝ b ⎠

−⎜

⎛ c 1v φ (t ) ⎞ ⎜ m ⎟⎟ x 4 ⎝ b ⎠

−⎜

⎛ k v2 φ (t ) ⎞ ⎜ m ⎟⎟ x 5 ⎝ b ⎠

−⎜

⎛ c v2 φ (t ) ⎞ ⎜ m ⎟⎟ x 6 ⎝ b ⎠

−⎜

⎛ k vk φ (t ) ⎞ ⎛ c vk φ (t ) ⎞ ⎟ x 2 k +1 − ⎜ ⎜ m ⎟⎟ x 2( k +1) ⎜ m ⎟ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠

− ... − ⎜

+

k ∑ j =1

j

m t gφ ( t ) mb

Funciones a integrar usadas por el programa.

f1 = y

f2 =

⎛ k ⎜∑ ⎜ j =1 ⎝

⎛ c vj φ ′(t )φ (t ) ⎜⎜ ⎝ mb

j

+

k v φ (t ) mb

2

⎞ ⎛ kb ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎠ ⎝ mb

⎞ ⎞ ⎛⎜ k ⎟⎟ ⎟ x + ∑ ⎟ ⎜ ⎠⎠ ⎝ j = 1

⎛ c jφ (t )2 ⎞ ⎜ v ⎟− ⎜ m ⎟ ⎝ b ⎠

f 31 = q1

⎛ c 1v φ ′(t ) f 41 = ⎜ ⎜ m + ⎝ s

k v φ (t ) ⎞ 1

ms

⎛ c 1 φ (t ) ⎞ ⎛ k 1 ⎞ ⎛ c 1 ⎞ ⎟⎟ x + ⎜⎜ v 1 ⎟⎟ y − ⎜⎜ v1 ⎟⎟ z1 − ⎜⎜ v1 ⎟⎟q1 ⎠ ⎝ ms ⎠ ⎝ ms ⎠ ⎝ ms ⎠

f 32 = q 2

⎛ c v2 φ ′(t ) f 42 = ⎜ ⎜ m + ⎝ s

k v φ (t ) ⎞ 2

ms

⎛ c v2 φ (t ) ⎞ ⎛ k v2 ⎟⎟ x + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ y − ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ ms ⎠ ⎝ ms

⎞ ⎛ c v2 ⎟⎟ z 2 − ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ ms

⎞ ⎟⎟ q 2 ⎠

⎞ ⎛ c vk ⎟⎟ zk − ⎜⎜ k ⎠ ⎝ ms

⎞ ⎟⎟qk ⎠

M f 3k = qk

f 4k =

⎛ c vk φ ′(t ) ⎜⎜ + ⎝ ms

k v φ (t ) ⎞ k

ms

⎛ c k φ (t ) ⎞ ⎛ k k ⎟⎟ x + ⎜⎜ v k ⎟⎟ y − ⎜⎜ vk ⎠ ⎝ ms ⎠ ⎝ ms

cb mb

k k ⎞ ⎛ k 1φ ( t ) ⎞ ⎛ c 1 φ ( t ) ⎞ ⎛ k 2 φ ( t ) ⎞ ⎛ c 2 φ ( t ) ⎞ ⎟ y − ⎜ v ⎟ z1 − ⎜ v ⎟q1 − ⎜ v ⎟ z 2 − ⎜ v ⎟ q 2 − ... − ⎛⎜ k v φ (t ) ⎞⎟ zk − ⎛⎜ c v φ (t ) ⎞⎟qk + ⎜ m ⎟ ⎜ m ⎟ ⎟ ⎜ m ⎟ ⎜ m ⎟ ⎜ m ⎟ ⎜ m ⎟ b ⎠ b ⎠ b ⎠ b ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎠

k ∑ j =1

j

m t gφ ( t ) mb

CAPITULO VI: RESULTADOS

6.1 VELOCIDADES RESONANTES PARA EL AVE S103

Se puede estimar las velocidades críticas donde eventualmente pudiera producirse fenómenos resonantes para una composición ferroviaria en función de su longitud característica Dk y la frecuencia fundamental de la estructura. Para el AVE S103 Dk corresponde a 24.775 m, cabe señalar que en este caso no corresponde a la separación neta entre ejes sino a una generalización de estos. Se puede producir resonancia cuando la longitud característica Dk de separación de los ejes coincida con un múltiplo entero de la longitud de onda, es decir,

λ=

Dk ν , i = 1,2,3,......n ; donde λ = i f0

Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

i fo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1

2

3

4

89.2 178.4 267.6 356.8 446.0 535.1 624.3 713.5 802.7 891.9 981.1 1070.3 1159.5 1248.7 1337.9 1427.0 1516.2 1605.4 1694.6 1783.8 1873.0 1962.2 2051.4 2140.6 2229.8 2318.9 2408.1 2497.3 2586.5 2675.7

44.6 89.2 133.8 178.4 223.0 267.6 312.2 356.8 401.4 446.0 490.5 535.1 579.7 624.3 668.9 713.5 758.1 802.7 847.3 891.9 936.5 981.1 1025.7 1070.3 1114.9 1159.5 1204.1 1248.7 1293.3 1337.9

29.7 59.5 89.2 118.9 148.7 178.4 208.1 237.8 267.6 297.3 327.0 356.8 386.5 416.2 446.0 475.7 505.4 535.1 564.9 594.6 624.3 654.1 683.8 713.5 743.3 773.0 802.7 832.4 862.2 891.9

22.3 44.6 66.9 89.2 111.5 133.8 156.1 178.4 200.7 223.0 245.3 267.6 289.9 312.2 334.5 356.8 379.1 401.4 423.7 446.0 468.2 490.5 512.8 535.1 557.4 579.7 602.0 624.3 646.6 668.9

5 17.8 35.7 53.5 71.4 89.2 107.0 124.9 142.7 160.5 178.4 196.2 214.1 231.9 249.7 267.6 285.4 303.2 321.1 338.9 356.8 374.6 392.4 410.3 428.1 446.0 463.8 481.6 499.5 517.3 535.1

6 14.9 29.7 44.6 59.5 74.3 89.2 104.1 118.9 133.8 148.7 163.5 178.4 193.2 208.1 223.0 237.8 252.7 267.6 282.4 297.3 312.2 327.0 341.9 356.8 371.6 386.5 401.4 416.2 431.1 446.0

Tabla 6: Velocidades resonantes en Km/h para el AVE S103 en función de fo e i

- 50 -

7 12.7 25.5 38.2 51.0 63.7 76.4 89.2 101.9 114.7 127.4 140.2 152.9 165.6 178.4 191.1 203.9 216.6 229.3 242.1 254.8 267.6 280.3 293.1 305.8 318.5 331.3 344.0 356.8 369.5 382.2

En forma gráfica se puede apreciar que para cada frecuencia fundamental de una estructura determinada existen distintas velocidades posibles de resonancia.

Velocidades resonantes para el AVE S103 500.0

Velocidad [Km/h]

400.0

300.0

200.0

100.0

0.0 1

2

3

4

5

6 i=1

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 i=2

i=3

i=4

i=5

i=6

i=7

f (estructura) [Hz]

Gráfico 1: Estimación de velocidades resonantes para el Ave S103

Para el Paso superior Pitrufquén que posee una frecuencia fundamental igual a 13.36 [Hz] tenemos las siguientes velocidades críticas:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

λ 24.775 12.388 8.258 6.194 4.955 4.129 3.539 3.097 2.753 2.478 2.252 2.065

- 51 -

V [m/s] 329.8 164.9 109.9 82.5 66.0 55.0 47.1 41.2 36.6 33.0 30.0 27.5

V [Km/h] 1187.4 593.7 395.8 296.9 237.5 197.9 169.6 148.4 131.9 118.7 107.9 99.0

6.2 MODELO DE CARGAS PUNTUALES SIN INTERACCION

En primer lugar se realizó una prueba sencilla en que se calcula el comportamiento dinámico de la estructura al paso de una carga puntual, la importancia de esto radica en la hipótesis de que en el límite de la función que rige el comportamiento dinámico, cuando la velocidad tiende a cero, y = Desplazamiento estático.

lim v →0

f (v, t , y ′, y ′′) = X est

Para esto se utilizó como carga puntual el primer eje del AVE S103 donde el peso del eje es 15.475 [Ton], entonces X est es igual a: X est = P / K X est = 0.001249 [m] = 1.25 [mm]

Se hace circular la carga a una velocidad de 180 [Km/h] obteniendo una oscilación que decae en el tiempo con un máximo de 0.00129 [m]

Gráfico 2: Desplazamiento en el centro del vano para una razón de amortiguamiento ζ=0.05; V=180 Km/h

- 52 -

Ahora la misma carga móvil, se hace circular, pero esta vez pasando a una velocidad igual a 2 [Km/h]

Gráfico 3: Desplazamiento en el centro del vano para una razón de amortiguamiento ζ=0; V=2 Km/h

En el gráfico 2 se puede apreciar que se obtiene un desplazamiento máximo en el centro del vano igual a 0.00125 [m], lo que equivale a 1.25 [mm] que es el valor esperado. Con esto nos damos cuenta que a la velocidad de 2 [Km/h] el límite comienza a converger al valor de la flecha estática, por lo tanto la hipótesis se cumple en el algoritmo empleado.

- 53 -

En la modelación del paso del AVE S103 como un tren de cargas puntuales sin interacción se realizó un barrido de velocidades en un intervalo de 0 hasta 400 [Km/h], con un paso de

integración dt = 0.005 [seg],

aceleraciones máximos

ocurren en

los desplazamientos, velocidades y

velocidades de tránsito muy cercanas a las

velocidades resonantes obtenidas en el apartado 6.1

El máximo desplazamiento ocurre a la velocidad de 395 [Km/h] , alcanzando 11.3 [mm] para ζ=0 , 6.1 [mm] para ζ=0.02 y 4.8 [mm] para ζ=0.05. Cabe señalar que en los gráficos la velocidad indicada en el eje de las abscisas corresponde a la velocidad de paso del ferrocarril y el eje de las ordenadas corresponde a las vibraciones en el centro del vano.

DESPLAZAMIENTOS 0.014

Desplazamiento [m]

0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 0.000 100

120 0%

140

160 2%

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

velocidad [Km /h]

5%

Gráfico 4: Desplazamientos en el centro del vano para razones de amortiguamiento ζ=0; ζ=0.02; ζ=0.05,

- 54 -

VELOCIDADES 1.000 0.900

Velocidad [m/s]

0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.000 100

120

140

0%

160

180

2%

200

220

240

260

280

300

320

340

5%

360 380 velocidad [Km/h]

Gráfico 5: Velocidades en el centro del vano para razones de amortiguamiento ζ=0; ζ=0.02; ζ=0.05,

ACELERACIONES 90.00

Aceleracion [m/s2]

80.00 70.00 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 100

120 0%

140

160 2%

180

200

220 5%

240

260

280

300

320

340

360 380 velocidad [Km/h]

Gráfico 6: Velocidades en el centro del vano para razones de amortiguamiento ζ=0; ζ=0.02; ζ=0.05,

- 55 -

Se realizó una simulación del efecto dinámico que produciría el paso del AVE S103 cuando alcanza su velocidad máxima que corresponde a 350 [Km/h]. El resultado fue que no se observan fenómenos resonantes para esta velocidad de tránsito, pero si aceleraciones que superan lo establecido en la IAPF.

Gráfico 7: Aceleración en el centro del vano para una razón de amortiguamiento ζ=0.02; V=350 Km/h

Gráfico 8: Aceleración en el centro del vano para una razón de amortiguamiento ζ=0.02; V=350 Km/h

- 56 -

Gráfico 9: Aceleración en el centro del vano para una razón de amortiguamiento ζ=0.02; V=350 Km/h

- 57 -

6.3 MODELO CON INTERACCION

En primer lugar se implemento el método para el tránsito de un único elemento de interacción, para validar el algoritmo utilizado y representar gráficamente el efecto del sobreamortiguamiento añadido por el vehículo, se utilizó se utilizó como elemento de interacción el primer eje del AVE S103 donde la ms=1.112 [Ts2/m], ma=0.466 [Ts2/m], mt=1.578 [Ts2/m], Kv= 448.68 [T/m], Cv=0.000040788 [Ts/m]. Usando el mismo criterio de convergencia cuando la velocidad del elemento de interacción tiende a cero la flecha dinámica tiende a la flecha estática, se procedió a tomar una velocidad de 2 [Km/h], obteniéndose un valor de 1.25 [mm], cabe destacar que para este caso en particular el desplazamiento Xv del elemento de interacción y el desplazamiento w(t) de la estructura lógicamente tienden a ser iguales (Ver gráfico 13).

Gráfico 13: Desplazamiento en el centro del vano para una razón de amortiguamiento ζ=0.05

- 58 -

En al siguiente gráfico se puede apreciar conjuntamente los desplazamientos w(t) y Xv correspondientes a la estructura y el elemento de interacción respectivamente, la velocidad de paso considerada es de 100[Km/h], con una tasa de amortiguamiento de un 2%. Se observa claramente que Xv desaparece cuando el elemento de interacción sale del vano ya que se omite su comportamiento posterior por ser irrelevante para la estructura, además una vez que el elemento de interacción abandona el vano la estructura pasa por un periodo de vibraciones libres, efecto que decae rápidamente.

Gráfico 14: Desplazamiento en el centro del vano para una razón de amortiguamiento ζ=0.02; V=100 Km/h

- 59 -

Comparando las respuestas de ambos métodos se afirma la hipótesis de que ocurre una reducción de las respuestas máximas del método con interacción respecto al de cargas puntuales. Es posible calcular el porcentaje de reducción en un intervalo de velocidades según la siguiente expresión: máx ⎛ RInteraccio ⎞ n − 1⎟⎟ ⋅ 100 C % = ⎜⎜ máx ⎝ RC .Puntuales ⎠

Lo que para el rango de velocidades entre 280 y 300 [Km/h], con una tasa de amortiguamiento de 0% en el campo de las aceleraciones resulta ser de un 14.3%

ACELERACIONES ζ=0% 90 80

Aceleracion [m/s2]

70 60 50 40 30 20 10 0 100

120

140

160

180

Sin interacción

200

220

240

260

280

300

320

340

360 380 velocidad [Km/h]

Con interaccion

Gráfico 15: aceleraciones en el centro del vano para distintas velocidades de paso ζ=0%

ACELERACIONES ζ=2% 30

Aceleracion [m/s2]

25 20 15 10 5 0 100

120

140

160

Sin interacción

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360 380 velocidad [Km/h]

Con interacción

Gráfico 16: aceleraciones en el centro del vano para distintas velocidades de paso ζ=2%

- 60 -

ACELERACIONES ζ=5% 14

Aceleracion [m/s2]

12 10 8 6 4 2 0 100

120

140

160

180

Sin interacción

200

220

240

260

280

300

320

Con interacción

340

360 380 velocidad [Km/h]

Gráfico 17: aceleraciones en el centro del vano para distintas velocidades de paso ζ=5%

Al aplicar los criterios de la IAPF se obtuvo velocidades límite, donde se sobrepasa la aceleración establecida para el tablero, a partir de esto se puede establecer una velocidad máxima de tránsito para el AVE S103 sobre la estructura en estudio. ζ=0%

ζ=2%

ζ=5%

Velocidad máxima

Sin int.

Con int.

Sin int.

Con int.

Sin int.

Con int.

Km/h

90

89

169

191

284

294

Sin embargo lo que se desea lograr es que el tren tenga una velocidad de paso que este acorde a su capacidad, es decir que la velocidad de paso se encuentre entre los 200 y 350 [Km/h], rango que parte en el límite que se considera alta velocidad y la velocidad máxima que desarrolla el vehículo. Esto se puede lograr ya que la respuesta dinámica no es monotónicamente creciente con la velocidad, esto hace que existan rangos de velocidades mayores al límite obtenido anteriormente, donde cabe la posibilidad de tránsito de acuerdo a lo estipulado en la IAPF. Para ello se tomará en cuenta solo el modelo con interacción. ζ=0%

ζ=2%

ζ=5%

Rango de Velocidad

207-231

199-276

200-294

Km/h

238-258

- 61 -

Luego de probar el programa de cálculo variando diversos parámetros como la cantidad de ejes de la composición ferroviaria, rigidez de la estructura y magnitud de la masa del vehículo se observaron cosas de interés al momento de decidir el tipo de solución del problema Al aumentar la rigidez de la estructura, trayendo como consecuencia una disminución de su periodo ω ( rad / s ) la curva de aceleraciones máximas conserva su forma y solo cambia en magnitud, desplazándose hacia la derecha o a la izquierda según aumente o disminuya el periodo respectivamente. Al hacer una variación de la masa del vehículo se observa que la curva de aceleraciones máximas, como sería lógico, conserva su forma y solo cambia en magnitud desplazándose hacia arriba o hacia abajo según aumente o disminuya la masa respectivamente. El comportamiento de la curva da aceleraciones máximas, tras variar la rigidez de la estructura hace presagiar que al incrementar ésta el rango de velocidad de tránsito para el AVE S103 aumentaría considerablemente hasta alcanzar su velocidad máxima. A partir de esto, es posible realizar el esfuerzo de calcular una rigidez apropiada para la estructura que permita desplazar la curva de aceleraciones máximas hacia la derecha tanto como sea necesario.

CURVA DE ACELERACIONES MAXIMAS 30.000

Aceleración [m/s2]

25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 0.000 100

120 w=83.979

140

160

180

w=83.000

200

220

240

w=82.000

260

280

300

320

340

w=81.000

Gráfico 18: Desplazamiento horizontal de la curva de aceleraciones máximas, ζ=0%

- 62 -

360 380 velocidad [Km/h]

CURVA DE ACELERACIONES MAXIMAS 160

Velocidad [m/s]

140 120 100 80 60 40 20 0 100

120

140

160

180

mt

200

220

240

mt+0.5

260

280

300

mt+1

320

340

360

380

velocidad [Km /h]

mt+1.5

Gráfico 19: Desplazamiento vertical de la curva de aceleraciones máximas ζ=0%

Del mismo modo al aumentar el número de ejes de la composición ferroviaria, equivalente a incorporar más vagones al ferrocarril, se acusa en forma notoria, que en los puntos de resonancia, las aceleraciones comienzan a aumentar significativamente, produciéndose el fenómeno resonante (Ver gráfico 20). De acuerdo con lo anterior ésta variable sería muy importante a la hora de determinar el comportamiento de la estructura.

ACELERACIONES ζ =0%

Aceleracion [m/s2]

120 100 80 60 40 20 0 100

120 Serie1

140

160

180

Serie2

200

220

240

260

280

300

320

340

Serie3

Gráfico 20: Desplazamiento vertical de la curva de aceleraciones máximas ζ=0%

- 63 -

360

380

velocidad [Km /h]

CAPITULO VII REDISEÑO DEL PASO SUPERIOR PITRUFQUEN

7.1 REDISEÑO PARA 350 KM/H

Tal como se señalo en el capitulo anterior el paso del AVE S103 se ve restringido a velocidades inferiores a su máxima velocidad, sin embargo existiría la posibilidad de que circulara a su máxima velocidad si se realizará un rediseño de la estructura, para ello se incrementará en forma iterativa la rigidez vertical en el centro de la estructura, aumentando el espesor de las platabandas. Esto traerá como consecuencia un aumento significativamente importante de la frecuencia fundamental de la estructura, lo que desplazará la curva de aceleraciones máximas hacia la derecha, alejando la zona de resonancia de la velocidad deseada. Se aplicará una tasa de amortiguamiento de un 5% por tratarse de una estructura de acero.

Elemento

Incremento del espesor

Platabanda superior

2.5 cm

Platabanda inferior

2.5 cm

Nuevos parámetros calculados: Inercia de total

Inercia = 0.04525 m2

Rigidez de la estructura

Kb = 19240.2 T/m

Masa

Mb = 1.951 T s/m

Frecuencia

W = 99.299 rad/s

Como resultado se obtuvo una aceleración de 3.2 [m/s] a una velocidad de 350[Km/h], con una tasa de amortiguamiento de un 5%, la flecha dinámica fue de 2.5[mm] que resulta inferior a L/900.

- 64 -

Gráfico 21: aceleraciones en el centro del vano para la estructura rediseñada ζ=5%, V = 350 [Km/h]

Gráfico 22: Desplazamiento en el centro del vano para la estructura rediseñada ζ=5%, V = 350 [Km/h]

- 65 -

En el gráfico 23 se puede apreciar como se desplaza la curva hacia la izquierda alejando la zona de resonancia de los 350 [Km/h]

ACELERACIONES ζ=5% 14

Aceleracion [m/s2]

12 10 8 6 4 2 0 0

25

50

75

100

Rediseño

125

150

175

200

225

250

275

300

325

350 375 velocidad [Km/h]

Original

Gráfico 23: aceleraciones en el centro del vano estructura original y rediseñada ζ=5%

ACELERACIONES 5.0 4.5 Aceleracion [m/s2]

4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 100

125

150

175

200

225

250

275

300

325

350

375

velocidad [Km /h]

5% Gráfico 24: aceleraciones en el centro del vano estructura rediseñada ζ=5%

- 66 -

CAPITULO VIII CONCLUSIONES

Se han presentado los resultados obtenidos de modelos con y sin interacción obteniendo el comportamiento dinámico producido por el paso del ferrocarril AVE S103 a través del Paso superior Pitrufquén, de forma general se pueden efectuar los siguientes comentarios acerca de los resultados obtenidos:

1.- En general se obtuvo una velocidad de resonancia para la estructura en estudio, alrededor de los 390 Km/h, velocidad por sobre la máxima desarrollada por el ferrocarril, lo cual hace pensar que la estructura esta lejos de presenciar un fenómeno de este tipo frente al paso del AVE S103, sin embargo entre los 100 y 350 Km/h existen velocidades en que se alcanzan aceleraciones máximas pero no de la importancia para hablar de resonancia.

2.- El comportamiento dinámico del Paso superior Pitrufquén cumple con los requisitos de la IAPF frente al paso del ferrocarril AVE S103 en un rango de altas velocidades inferior al máximo desarrollado por el tren. Lo que aporta un dato técnico importante a la hora de querer implementar una línea de alta velocidad en chile.

3.- La velocidad máxima de tránsito del AVE S103 sobre la estructura estudiada es de 294 [Km/h] para una taza de amortiguamiento de un 5%, en condiciones actuales en ausencia de efectos dinámicos producidos por otros fenómenos. Esta velocidad de línea puede aumentar al realizar un rediseño adecuado a la estructura, llegando a alcanzar los 350[Km/h] al aumentar el espesor de las platabandas superior e inferior de las vigas principales en 2,5 [cm].

4.- Las velocidades resonantes para el AVE S103 dependen exclusivamente de su longitud característica y de la frecuencia fundamental de la estructura, pero a su ves la morfología de la curva de aceleraciones máximas depende única y exclusivamente de las constantes físicas del ferrocarril haciéndolas propias para cada tren.

- 67 -

5.- Las curvas de repuestas máximas poseen un comportamiento definido al hacer variaciones en la rigidez de la estructura, lo que puede manejarse cuidadosamente al momento de querer intervenir la estructura para que el paso del AVE S103 sea posible.

6.- El método de interacción permite la reducción de las respuestas máximas de la estructura, siendo esto lo que permite determinar de mejor forma los rangos de velocidad de paso para el AVE S103.

7.- Las aceleración de la estructura en el centro del vano correspondiente a 3.2 m/s2 para el tránsito del AVE S103 a una velocidad de 350 Km/h a través de la estructura rediseñada, es inferior en un primer caso a la aceleración de gravedad y no supera los 3.5 m/s2 establecidos en la normativa.

- 68 -

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

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Dominguez, J., J. Goicolea., 2001, “Interacción vehículo–estructura en puentes de ferrocarril:Métodos decálculo y valoración del sobre-amortiguamiento añadido”, II Congreso de ACHE de puentes y estructuras, Madrid, (disponible en http://w3.mecanica.upm.es/ papers/ache_1.pdf, consultado el 30/10/2005).

Domínguez J., Goicolea J. y Nasarre J., 2002, Valoración de efectos dinámicos en puentes de Ferrocarril: la resonancia en líneas de alta velocidad, Revista de Obras Publicas, N° 3.428 (disponible en http://w3.mecanica.upm.es/papers/ 2002_diciembre_3428_04.pdf, consultado el 30/10/2005).

Gabaldón F. Riquelme F., Goicolea J. 2005 “Análisis dinámico de estructuras sometidas a acciones de trenes de alta velocidad, considerando la interacción vehículoestructura”.(disponible en http://w3.mecanica.upm.es/~friquelme, consultado el 22/12/2005)

Goicolea J., J. Domínguez, J. Navarro y F. Gabaldón, 2002A, Modelos numéricos para cálculo dinámico de puentes de ferrocarril de alta velocidad (disponible en http://w3.mecanica.upm.es/papers/puentes_av_cmni5_b.pdf,

consultado

el

30/10/2005).

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- 69 -

Hart G., K. Wong, “Structural Dynamics for Structural Engineers”, Estados Unidos, Wiley 2000, 591 págs.

Palma F., 2005, Revista interna de EFE “El Ferroviario”, N° 75, Pág. 13.

Riquelme F. “Análisis dinámico de estructuras sometidas a acciones de trenes de alta velocidad”. Madrid, Septiembre 2005 (disponible en http://w3.mecanica.upm.es/ ~friquelme, consultado el 22/12/2005)

Verguez J. 2005 (disponible en http://www.railfaneurope.net/pix/es/electric/emu/103Velaro/ pix.html, consultado el 20/01/2006)

Werske A. 2005 (disponible en http://www.hochgeschwindigkeitszuege.com/spain/index _velaro.htm, consultado el 20/01/2006)

- 70 -

ANEXO A: REPRODUCCIONES PLANOS ORIGINALES PASO SUPERIOR PITRUFQUEN

- 71 -

ANEXO B: DEFINICION DE LA ESTRUCTURA

Para alcanzar los objetivos propuestos se estudiará el comportamiento dinámico aplicando el modelo de interacción vehículo-estructura al Paso superior Pitrufquén construido el año 2004, correspondiente a la conexión Freire-Pitrufquén, Provincia de Cautín, IX Región. La estructura a estudiar esta compuesta en base a perfiles de acero con calidades A42-24ES en vigas y atiesadores de carga, A37-24ES en placas y atiesadores de rigidez. Las uniones de placas, vigas y atiesadores están hechas con remaches de diámetros φ 23 y φ 25. La estructura posee una luz de 16.8 mt. y un ancho de 4.8 mt., esta compuesta por dos vigas principales, travezaños que impiden la deformación lateral en el eje débil de las vigas principales, longuerinas que rigidizan a los travezaños en su eje débil y un sistema de arriostramiento que rigidiza todos los nudos de la planta, conformando una especie de diafragma rígido. En cuanto a la vía, esta compuesta por durmientes de madera de 10 x 8 pulg. y rieles de 45 Kg/ml Separados a una distancia de 1670 mm correspondiente al ancho utilizado en India, Pakistán, Sri Lanka, Bangladesh, Argentina y Chile, cabe señalar que el ancho internacional (considerado de vía normal) usado en gran parte de Europa, Australia, norte de África, Israel, Irak, Irán, China, Corea del Sur, Japón, Perú, Venezuela, Argentina, Uruguay, Paraguay, México y EE.UU. es de 1435 mm y es para el cual ha sido diseñado el AVE S103 y la mayoría de los trenes de alta velocidad. Por ser un puente biapoyado, de viga continua, alma llena (ver Anexo A) el modelo se simplifica bastante ya que la geometría de la estructura así lo amerita El peso de la estructura se detalla en la tabla 1 y corresponde al peso de todos los elementos que componen la estructura incluyendo las masas aportadas por la vía, es decir durmientes y rieles.

- 82 -

e [mm]

b [mm]

L [mm]

Vol [cm ]

Peso [Ton]

CANTIDAD

PESO [Ton]

20 20 25 25 25 12 12 20 20 20 20 20 25 25 25 12 12 20 20 20 12 12 12 12

350 350 375 375 400 250 250 275 275 300 350 350 375 375 400 250 250 275 275 300 1700 169 355 100

2398 2398 150 150 11970 2000 2000 150 150 7770 2498 2498 150 150 11770 1500 1500 150 150 7970 16800 1700 1000 540

16786 16786 1406.25 1406.25 119700 6000 6000 825 825 46620 17486 17486 1406.25 1406.25 117700 4500 4500 825 825 47820 342720 3447.6 4260 648

0.132 0.132 0.011 0.011 0.940 0.047 0.047 0.006 0.006 0.366 0.137 0.137 0.011 0.011 0.924 0.035 0.035 0.006 0.006 0.375 2.690 0.027 0.033 0.005

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 16 16

0.264 0.264 0.022 0.022 1.879 0.094 0.094 0.013 0.013 0.732 0.275 0.275 0.022 0.022 1.848 0.071 0.071 0.013 0.013 0.751 5.381 0.433 0.535 0.081

12

150

1066

1918.8

0.015

16

0.241

Ala Superior Ala Inferior Alma Plancha unión-V1

25 25 16 12

300 300 550 300

4800 4800 4800 500

36000 36000 42240 1800

0.283 0.283 0.332 0.014

8 8 8 32

2.261 2.261 2.653 0.452

Plancha unión-atiesador

12

200

450

1080

0.008

32

0.271

Ala Superior Ala Inferior Alma Plancha unión sup.

16 16 12 12

250 250 300 250

2300 2300 2300 800

9200 9200 8280 2400

0.072 0.072 0.065 0.019

16 16 16 16

1.156 1.156 1.040 0.301

Plancha unión-V2

12

260

250

780

0.006

56

0.343

Perfil C Perfil C Plancha unión-V3

10 12 12 12 8 8 20

200 138 156 156 400 400 400

2085 520 445 445 254 1784 150

4170 861.12 833.04 833.04 812.8 5708.8 1200

0.033 0.007 0.007 0.007 0.006 0.045 0.009

56 7 7 7 7 7 14

1.833 0.047 0.046 0.046 0.045 0.314 0.132

Plancha unión-V2

12

Área

143887

1726.644

0.014

28

0.380

TOPES DURMIENTES DURMIENTE

10 250

200 200

150 2500

300 125000

0.002 0.100

120 30

0.283 3.000

ITEM

3

V1_VIGA PRINCIPAL Platabanda Superior

Platabanda Inferior

Alma Atiesador exterior Atiesador interior

V2_TRAVESAÑO

V3_LONGUERINA

ARRIOSTRAMIENTOS Perfil L Plancha unión central

RIEL

0.756

Tabla 1: Cubicación de acero, en peso

- 83 -

4

3.024

TOTAL

34.468

De acuerdo a la tabla anterior y modelando la estructura como una viga simplemente apoyada con un grado de libertad dinámico se puede decir que la parte de la masa que oscila corresponde a:

mb =

P = 1.7567 [Ton s 2 / m] 2g

La rigidez de la estructura en el centro del vano, tal como se puede apreciar en una modelación realizada en SAP2000, corresponde a las rigideces aportadas por las vigas principales y las longuerinas.

Modelación Paso Superior Pitrufquén en SAP2000

Inercia Viga Principal: I v = 0.0144565 [m 4 ] Inercia Longuerina: I l = 0.0001135 [ m 4 ] Módulo de Elasticidad: E = 21000000 [Ton / m 2 ] Rigidez del sistema: K =

48 E (2 I v + 2 I l ) = 12389.56 [Ton / m] L3

La flecha estática por peso propio para la estructura sería:

∆ = P/ K ∆ = 0.0028 [m] = 2.8 [mm ]

- 84 -

Si definimos el periodo propio de la estructura como ω = Obtenemos:

ω = 83.979 [rad / s] T = 0.07482 [ s] f 0 = 13.365 [ Hz ]

- 85 -

K mb

ANEXO C: DEFINICION DEL AVE S103

El ferrocarril escogido para realizar al análisis es el tren de alta velocidad AVE S103 capaz de desarrollar una velocidad máxima de 350 Km/h. El tren AVE S103 se compone de 8 vagones de 2 bogies cada uno. Cada bogie tiene 2 ejes, lo que da un total de 32 ejes distanciados de la forma que se indica en la tabla 2. El AVE S103 consta de bogies portadores y bogies motores, ambos con características distintas que se detallan en las tablas 4 y 5 respectivamente. La modelación del vehículo se realizará en base a modelo de interacción simplificado descrito en el apartado 2.7.1.

Fotografía AVE S103 Fuente: Verguez 2005

- 86 -

DATOS TECNICOS Tren / serie:

AVE / S 103

Fabricación:

Siemens

Costo de producción:

25,2 Millones de Euros

Número de trenes:

2001: 16 trenes 2004: 10 trenes

Número de vagones:

2 vagones frontales, 6 vagones intermedios (1 club, 2 Preferente, 1 Cafetería, 4 Turista)

Plazas club/ Preferente / Turista

37 / 103 / 264 (404 plazas.)

Año de construcción:

2001 – 2004

Ancho de vía:

1435 mm

Alimentación Eléctrica:

25 kV 50 Hz

Máxima velocidad alcanzada:

—

Velocidad máxima de diseño:

350 km/h

Velocidad máxima de tránsito:

350 km/h

Sistema de frenos:

Freno de disco neumático Freno de resistencia eléctrica

Longitud / ancho / altura vagón frontal:

25.675 / 2.950 / 3.890 mm

Longitud / ancho / altura vagón intermedio:

24.775 / 2.950 / 3.890 mm

Longitud total del tren:

200 m Tabla 1: Datos Técnicos AVE S103 Fuente: Werske 2005

- 87 -

Eje

Posición [mm]

Tipo de Bogie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

0 2500 17375 19875 24775 27275 42150 44650 49550 52050 66925 69425 74325 76825 91700 94200 99100 101600 116475 118975 123875 126375 141250 143750 148650 151150 166025 168525 173425 175925 190800 193300

M M M M P P P P M M M M P P P P P P P P M M M M P P P P M M M M

Tabla 2: Posiciones de los ejes del tren AVE S103; M: bogie motor; P: bogie portador Fuente: Riquelme 2005

Vagón

Masa sin carga [Ton]

Masa con carga [Ton]

1

58.5

61.9

2

58.0

62.0

3

57.5

61.7

4

49.1

53.3

5

48.5

53.7

6

48.6

64.2

7

59.0

64.8

8

58.3

63.0

Tabla 3: Masa de los vagones del tren AVE S103, incluyendo la masa de los bogies. Fuente: Riquelme 2005

- 88 -

Masa total del bogie

6.705 [Ton]

Tipo de suspensión primaria

Resortes helicoidales

Dureza de suspensión primaria

3.5 [kN/mm]

Tipo de suspensión secundaria

Neumática

Dureza de suspensión secundaria

0.3 [kN/mm]

Amortiguador primario, vertical

4/10000 [Ns/mm]

Amortiguador secundario, vertical

No instalado

Tabla 4: Datos técnicos bogies portadores tren AVE S103 Fuente: Riquelme 2005

Masa total del bogie

9.125 [Ton]

Tipo de suspensión primaria

Resortes helicoidales

Dureza de suspensión primaria

4.4 [kN/mm]

Tipo de suspensión secundaria

Neumática

Dureza de suspensión secundaria

0.3 [kN/mm]

Amortiguador primario, vertical

4/10000 [Ns/mm]

Amortiguador secundario, vertical

No instalado

Tabla 5: Datos técnicos bogies motores tren AVE S103 Fuente: Riquelme 2005

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ANEXO D: DESCRIPCION DEL PROGRAMA

El programa diseñado para implementar ambos métodos de cálculo fue escrito en Visual Basic 6.0 con el fin de facilitar su uso en fase de cálculo y además por funcionar en la plataforma de Windows. El programa contempla un formulario principal donde se ingresan de forma manual los datos correspondiente a la estructura, no así los datos del ferrocarril, los cuales se registran en un archivo de extensión *.csv de Microsoft Office tal como se indica en la figura 16, en el formulario principal se debe indicar la ruta direccional del archivo de datos, para que pueda ser leída por el algoritmo. Los resultados se presentan tabulados o en forma grafica según se requiera, además son guardados en archivos *.csv, para su posterior análisis o manipulación.

Figura 17. Formulario principal

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Figura 18. Formulario secundario

Figura 19. Resultados en forma gráfica

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Diagrama de flujo del programa: MASA DE LA ESTRUCTURA FRECUENCIA TASA DE AMORTIGUAMIENTO LONGITUD DEL VANO

IF 0>Drel(j)>L THEN Z(j)=Q(j)=0 j=1,…,32

K11 K12 K13(j) j=1,…,32 K14(j) j=1,…,32

IF 0>Drel(j)>L THEN K14(j)=0 j=1,…,32

K21 K22 K23(j) j=1,…,32 K24(j) j=1,…,32

IF 0>Drel(j)>L THEN K24(j)=0 j=1,…,32

K31 K32 K33(j) j=1,…,32 K34(j) j=1,…,32

IF 0>Drel(j)>L THEN K34(j)=0 j=1,…,32 IF t>tmax V=V+DV (INCREMENTAR VELOCIDAD) ELSE CONTINUE IF V>Vmax END

K41 K42 K43(j) j=1,…,32 K44(j) j=1,…,32

IF 0>Drel(j)>L THEN K44(j)=0 j=1,…,32

X = X + dt / 6 * (K11 + 2 * K21 + 2 * K31 + K41) Y = Y + dt / 6 * (K12 + 2 * K22 + 2 * K32 + K42) Z(j) = Z(j) + dt / 6 * (K13(j) + 2 * K23(j) + 2 * K33(j) + K43(j)) j=1,…,32 Q(j) = Q(j) + dt / 6 * (K14(j) + 2 * K24(j) + 2 * K34(j) + K44(j)) j=1,…,32

Xb, Xv, W

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t=t+dt