Análisis estadístico de incertidumbres aleatorias • Errores aleatorios y sistemáticos • La media y la desviación estándar • La desviación estándar como error de una sola medida • La desviación estándar de la media • Número de medidas necesarias La repetición de las medidas es el arma para luchar contra los errores aleatorios ¿Cómo analizaremos estas medidas con los métodos estadísticos?

Técnicas experimentales en Física General

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• Tipos de errores: aleatorios y sistemáticos EJEMPLOS ¾ Medida de un intervalo de tiempo con un cronómetro. ƒ Error en el start y en el stop del experimentador: error aleatorio. ƒ El cronómetro funciona mal y da siempre un intervalo de tiempo menor (o mayor): error sistemático. ¾ Medida de una longitud con una regla. ƒ Error en la interpolación entre dos marcas por el experimentador: error aleatorio. ƒ La regla esta mal calibrada y da longitudes menores (o mayores) siempre: error sistemático.  Errores aleatorios: incertidumbres debidas a numerosas causas imprevisibles que dan lugar a resultados distintos cuando se repiten las medidas.  Errores sistemáticos: Equivocaciones debidas a métodos o instrumentos de medida inadecuados, cambiando las medidas en la misma dirección.

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Error aleatorio:

Pequeño

Error aleatorio:

Pequeño

Error sistemático: Pequeño

Error sistemático: Grande

Error aleatorio:

Error aleatorio:

Grande

Error sistemático: Pequeño

Grande

Error sistemático: Grande

¾ Situación real en un experimento:

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¾ Errores aleatorios: alteraciones que

responden a

distribuciones de probabilidad, se pueden analizar mediante métodos estadísticos (Teoría de errores)

Posibles causas 9 Acumulación incertidumbres incontroladas 9 Variabilidad de las condiciones ambientales 9 Variaciones aleatorias intrínsecas a nivel microscópico 9 Falta de definición de la magnitud a medir ¾ Errores sistemáticos: Deben evitarse o minimizarse. No hay reglas fijas. Habilidad que se adquiere con la práctica.

Ejemplos: 9 Cero de la escala incorrecto 9 Calibración defectuosa del instrumento 9 Utilización de fórmulas aproximadas 9 Utilización de datos incorrectos

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• La media y la desviación estándar N medidas de la cantidad x: x1 , x 2 , ", x N . ¿Cuál es el mejor estimador de x?: N

´ u = ∑ ( xi − m ) → ¿ m ? 2

i =1

¿Cuál es el valor de m que nos minimiza u? N du 1 = 0 = −2∑ ( xi − m ) → m = dm N i =1

xMejor = xMedia

∑x

i

i

1 N = x = ∑ xi N i =1

¿Cuál es el mejor estimador de la dispersión de los xi? Si µ es el valor verdadero de x se definen las cantidades:

1 σ = N 2 x

σx =

N

∑(x − µ) i

i =1

1 N

Varianza, desviación cuadrática media

2

N

∑(x i =1

i

− µ)

2

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Desviación típica, estándar

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Pero no conocemos el valor verdadero µ !!!!! Conocemos una estimación del mismo que es la media x

Se definen entonces los estimadores: 1 N ( xi − x ) 2 s = ∑ N − 1 i =1 2 x

sx =

1 N 2 ( ) x − x ∑ i N − 1 i =1

Varianza muestral

Desviación estándar muestral

La desviación estándar σ x o su estimación

s x caracteriza el error promedio de las medidas x1 , x 2 , " , x N realizadas

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Ejemplo: N= 5 medidas de x: x1 = 71, x2 = 72, x3 = 72, x4 = 73, x5 = 71 i

xi

di = xi − x

di2 = ( xi − x )

1

71

-0.8

0.64

2

72

+0.2

0.04

3

72

+0.2

0.04

4

73

+1.2

1.44

5

71

-0.8

0.64

∑ di = 0.0

2 d ∑ i = 2.80

∑ xi = 359

2

N

x=

∑x i =1

N

i

=

sx =

359 = 71.8 5

1 N 2 x − x = 0.8 ( ) ∑ i N − 1 i =1

• La desviación estándar como el error de una sola medida N medidas de la magnitud x: x1 , x2 ,", xN ⇒ x , sx Si realizamos una medida adicional de la misma magnitud x y con el mismo método, ¿qué error podemos asociarle?

ε ( x ) = sx

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• La desviación estándar de la media

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N medidas de las cantidad x: x1 , x 2 , ", x N → x = N ∑ xi i  Si repetimos el experimento varias veces los valores de xi cambiarán, y la dispersión la medimos con la desviación típica 1 N

s( x ) =

N

∑(x i =1

i

− x)

2

 El valor medio también variará de un experimento a otro, y su varianza será: 1 2 s 2 ( x) s ( x ) = ∑ 2 s ( x) = N N 2

 La desviación típica de la media será por tanto: s( x ) =

s ( x) N

 Disminuye con el número de medidas N

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Ejemplo: ´ Caja con muelles similares CÁLCULO DE LA CONSTANTE ELÁSTICA DE UN MUELLE i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

ki 86 85 84 89 86 88 88 85 83 85 859.0

(ki-kmedia)2 0.01 0.81 3.61 9.61 0.01 4.41 4.41 0.81 8.41 0.81 32.9

ki-kmedia 0.1 -0.9 -1.9 3.1 0.1 2.1 2.1 -0.9 -2.9 -0.9 0.0

kmedia=

85.9 N/m

Desv. Est.=

1.9 N/m

Valor medio constante elástica

kmedia = 85.9N/m

Desviación estándar:

s(k ) = 1.9 N/m

El error de la media es

s( k ) =

s(k ) 1.9 = = 0.6 N/m N 10

El resultado lo presentaremos

kmedia = 85.9 ± 0.6 N/m

Si medimos un muelle y obtenemos, por ejemplo, 83 N/m, podemos escribir que

k = 83.0 ± 1.9 N/m Técnicas experimentales en Física General

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• Número de medidas necesarias

x

¾ Se realizan N = 3 medidas y se calcula ¾ Se halla el porcentaje de dispersión:

D=

xmax − xmin

× 100

x

Dispersión de las tres Número de medidas que deben primeras medidas realizarse D < 2% Bastan las 3 medidas realizadas 2% < D < 8%

Hay que hacer 3 medidas más

8% < D < 12%

Hay que realizar 15 medidas

D > 12%

Distribución gaussiana

¾ Estimación del error absoluto del valor medio, ε ( x ) Error absoluto ε ( x )

Número de medidas

N

3

Máximo de

ε ( x) =

∑ε (x ) i

i =1

N

εD =

xmax − xmin 4 N

6

Máximo de

>6

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ε ( x)

ε (x ) =

εD =

∑ x −x i =1

i

N

σx N

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