Curso l Física I Autor l Lorenzo Iparraguirre

ANEXO 4.1: Centro de masa y de gravedad El punto que promedia la ubicación de la masa se denomina centro de masa (CM), y dado que la acción de la gravedad es proporcional a la masa, es natural esperar que coincida con el centro de gravedad CG, el cual es el punto en el que se considera aplicada la fuerza peso total de cualquier cuerpo o sistema. En estas páginas encontraremos las expresiones para hallar estos puntos, y mostraremos que, efectivamente, coinciden. La forma conceptualmente más simple de definir el punto que promedia la ubicación de la masa de un cuerpo, consiste en descomponer el cuerpo en muchas partículas iguales de masa  m0. Si aquí utilizamos la letra N para designar al número de tales partículas, y ri es el vector posición de la partícula i, entonces el vector posición promedio, que define la ubicación del CM, es: r2

y r1

CM

ri

 rCM 



r

i

(A4.1.1)

N

x

Para encontrar una expresión más útil y general tratemos ahora de hallar el CM de un cuerpo compuesto por partes de diferente forma y masa. Consideremos que todas las partes están a su vez integradas por partículas iguales de masa m0. Entonces la parte 1, de masa m1, está formada por N1 = m1/m0 partículas, la parte 2, de masa m2, está formada por N2 = m2/m0 partículas, etc., y ahora escribamos (A4.1.1) como sigue (para las partículas de cada parte se escriben índices i1, i2, etc., que van desde 1 hasta N1, N2, etc.).   r i1   r i 2     rCM  N1  N 2   Ahora bien, si a cada término del numerador lo multiplicamos y dividimos por el número de partículas de la parte correspondiente, podemos identificar fácilmente el vector posición del CM de esa parte:  1 1 r i1  N 2  N1 N2    N1 rCM1  N2 rCM 2  

Numerador  N1

115



r

i2



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De manera que la expresión del centro de masa del cuerpo completo también queda:   N1 rCM1  N 2 rCM2    rCM  N1  N 2   Y ahora, multiplicando numerador y denominador por m0, el resultado no se altera, y se tiene:   N1 m0 rCM1  N 2 m0 rCM 2    rCM  N1 m0  N 2 m0   Pero cada producto Nm0 es la masa de la parte correspondiente: N1 m0 = m1 , N2 m0 = m2, etc., de manera que finalmente tenemos:   m1 rCM1  m2 rCM 2    rCM  m1  m2   Y esta es la expresión más general: para un cuerpo compuesto de partes de masa mi , cada una  con el CM indicado por el vector ri , la ubicación del centro de masa está dada por:  rCM 





i i

i i

m r  m r m m i

(A4.1.2)

total

Ejercicio: como caso particular de esta expresión, obtenga (A4.1.1) si todas las partes son partículas de igual masa (mi = m0). Como detalle práctico conviene recordar que todas estas expresiones vectoriales deben calcularse independientemente para cada coordenada. Así en dos dimensiones, las componentes del  vector rCM son las coordenadas del centro de masa, dadas por:

x CM 

 mi x i  mi

y CM 

 mi y i  mi

(A4.1.2’)

Si el cuerpo tiene un eje de simetría, entonces se puede simplificar el tratamiento ubicando un eje (x, por ejemplo) coincidiendo con el eje de simetría: el CM estará también sobre este eje, y sólo habrá que calcular la componente xCM.

Ejemplo desarrollado. Hallar el centro de gravedad del siguiente cuerpo compuesto de dos partes homogéneas de distinto material: 10 cm

10 cm

m1 = 2 kg

m2 = 6 kg

Desarrollo Este ejemplo se presta especialmente para elegir un eje x a lo largo del eje longitudinal del cuerpo, con el origen en el extremo izquierdo. Así tendremos dos elementos homogéneos, con centros respectivamente en x1 = 5 cm, y x2 = 15 cm, ambos en y = 0. 116

Curso l Física I Autor l Lorenzo Iparraguirre CM

y CM1

CM2

x

6 kg

2 kg 5

10

15

20

( cm )

Con esta elección de ejes resulta:

x CM 

2 kg  5 cm  6 kg  15 cm 8 kg

(10  90) kg  cm  12,5 cm 8 kg Por otra parte, la ubicación de CM respecto del eje vertical es trivial: yCM = 0 cm. 

Centro de Gravedad La gravedad actúa sobre todas las partículas materiales que componen cada cuerpo, de manera que la acción de la gravedad sobre un cuerpo cualquiera es la resultante de las acciones sobre todas las partículas del mismo.  Si consideramos un cuerpo compuesto de N partículas de masa mi en el campo gravitatorio g ,   vertical hacia abajo, el peso de cada una será un vector vertical hacia abajo Pi  mi g , y tanto el módulo como las componentes del peso total del cuerpo se calculan fácilmente porque la  suma de vectores Pi , todos paralelos del mismo sentido, es un vector también de la misma dirección y sentido (vertical hacia abajo), cuyo módulo es la suma de los módulos: P = Pi = mi g = m g Donde m = mi , es la masa total del cuerpo. Este vector no está realmente aplicado en parte alguna, dado que es una idealización para sus tituir a todos los vectorcitos Pi , aplicados cada uno en donde está realmente la partícula correspondiente. Pero es un criterio general para cualquier sistema de fuerzas, que su resultante, además de tener componentes que se definen por medio de la suma vectorial de las fuerzas del sistema, se define con una ubicación en el espacio tal que su momento1 con respecto a cualquier punto, sea igual al momento resultante de todas las fuerzas del sistema, que ella debe sustituir. Esto para el caso de la fuerza peso significa que se define un punto de aplicación para el vector peso total, tal que su momento con respecto a cualquier punto que se elija sea igual al  momento resultante de todos los Pi que él representa. Este punto, denominado centro de gravedad, es un punto abstracto que puede corresponder a un lugar en el cual no hay materia, sin que eso constituya un inconveniente, ya que no hay que aplicar realmente allí ninguna fuerza real.

1

El concepto de momento de una fuerza se presentará en el capítulo de Dinámica de las Rotaciones, y allí quedará completo el tema.

117

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Para hallarlo, se ubica el cuerpo arbitrariamente con respecto a los ejes coordenados y se determinan las coordenadas xi , yi , etc., de cada partícula de masa mi con respecto a estos ejes.  Hecho esto se trata de expresar el momento de cada Pi con respecto al eje z, perpendicular al papel, (es decir, en la figura, con respecto origen), y para ello el detalle esencial es que, dado que los vectores están paralelos a y, el brazo de palanca de cada uno está dado por la coordenada x . y yi

mi Pi

CG

yCG xi

xCG

x

De manera que para la coordenada x del punto CG, la cual es el brazo de palanca del peso total, se puede plantear: P xCG = Pi xi De donde se deduce inmediatamente que: x CG 

P x i

i

P Pero dividiendo numerador y denominador por g, obtenemos la misma expresión (A4.1.2’), y dado que lo mismo valdría para yCG, concluimos que CM y CG son exactamente el mismo punto.

El movimiento del centro de masa Consideremos para un cuerpo o sistema cualquiera moviéndose arbitrariamente desde un instante t1 hasta otro instante t2.  Cada una de sus partículas, de masa mi , ocupa la posición ri ( t ) que va variando en función del tiempo, y ahora aplicamos la expresión (A4.1.2) para calcular la posición del centro de masa en cada instante, que será:   mi ri ( t 2 ) mi ri ( t1 )   rCM ( t 2 )  rCM ( t1 )  m total m total





De manera que el desplazamiento del CM en este intervalo será:   mi ri ( t 2 )  mi ri ( t1 )   rCM ( t 2 )  rCM ( t1 )  m total





Ahora bien, en el numerador del miembro derecho, para cada partícula aparece la resta   mi ri (t 2 )  mi ri (t1 ) , en la cual, extrayendo mi como factor común nos quedaría:    mi ri (t 2 )  ri (t1 ) = mi ri . Teniendo en cuenta esto el desplazamiento del CM puede escribirse:

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  rCM 



 mi ri m total

(A4.1.3)

Ahora bien, esta expresión es válida para cualquier intervalo de tiempo, grande o pequeño, de manera que si consideramos un intervalo de tiempo t infinitamente pequeño, dividiendo   (A4.1.3) por t tendremos la velocidad (instantánea) del CM: vCM  rCM t , que quedará  expresado, en función de las velocidades vi de todas las partículas como:

 vCM 



 mi v i m total

(A4.1.4)

  Y multiplicando esta expresión por la masa total, y teniendo en cuenta que mi vi es pi , el vector cantidad de movimiento de la partícula i, podemos escribir:   (A4.1.5) mtotal vCM  pi



Con lo cual podemos ver que si definimos la cantidad de movimiento total del sistema como   si fuera una partícula con toda la masa concentrada en el CM, es decir ptotal  mtotal vCM , obtenemos lo mismo que sumando los vectores cantidad de movimiento de todas sus partes componentes. Es decir:  p total 



p

i

  m total vCM

119

(A4.1.6)