UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE

ING. JORGE MONTAÑO PISFIL CALLAO, 2010

CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASAYY CENTROIDE CENTRO DE GRAVEDAD (G) Es aquel punto donde consideramos se halla concentrado el peso total de un cuerpo (en este punto actúa la fuerza gravitatoria resultante). Las coordenadas del centro de gravedad G:

z

x , y , z se hallan mediante un proceso de integración, a partir de un diferencial de peso “dW”. dV

dW

G

Se cumple:

x

W

 x dW  dW

y

;

 y dW  dW

;

z

 z dW  dW

z

z

Donde: dW   dV ;

y

x



= peso específico

Reemplazando dW :

y

x

 x  dV

x V

x

  dV

y

; y

 y  dV

V

V

  dV

V

; z

 z  dV

V

  dV

V

CENTRO DE MASA (C.M.) Es aquel punto en el cual se puede considerar que actúa la fuerza neta, a fin de determinar el movimiento de traslación del cuerpo como un todo. * Cuando un cuerpo está en movimiento, hay un punto que se mueve en la misma trayectoria que seguiría una partícula si se sujetara a la misma fuerza neta, a este punto se llama centro de masa. Las coordenadas del centro de masa: x , y , z , se determinan reemplazando en las ecuaciones del centro de gravedad, y como g se cancela queda:

 x  dV

 y  dV

x V

;

  dV

donde:

Luego:

y V

V

 dV  dm

x



;

dm

y

;

  dV

z V

  dV

V

 y dm  dm

(  = densidad)

 z  dV

V

 x dm

  g

;

z

 z dm  dm

Nota.- Para fines prácticos se considera que el centro de masa y el centro de gravedad están en el mismo punto. Sin embargo, si el cuerpo es lo suficientemente grande, la gravedad tiene valores distintos en diferentes partes del cuerpo, en este caso el centro de masa y el centro de gravedad son diferentes.

CENTROIDE (C).Es el centro geométrico de un cuerpo u objeto. Si el material que constituye el cuerpo u objeto es uniforme y homogéneo, las ecuaciones para calcular el centroide depende sólo de la geometría del cuerpo, Se consideran tres casos específicos. 1er Caso: Centroide de volumen Para calcular el centroide de un volumen primero se elije un diferencial de volumen “dV”, el cual puede ser un disco circular o un cascarón cilíndrico, y mediante un proceso de integración hallamos las coordenadas del centroide de dicho volumen.

z

Si C ( x ; y ; z ) es el centroide del volumen, donde

x ; y ; z son las coordenadas de C, estas coordenadas se determinan mediante las siguientes ecuaciones:

dV

C

z

 x dV

x V

 dV

 x dV

O también

x V

V

V

 y dV

y

y V

x

O también

y V

V

V

 z dV

y

x

 dV

 y dV

z V

 dV

 z dV

O también

z V

V

V

Donde:

x ; y ; z

son las coordenadas del centro de

gravedad del elemento diferencial utilizado.

2do Caso: Centroide de área Para calcular el centroide de un área primero se elije un diferencial de área “dA”, que generalmente es un rectángulo, y mediante un proceso de integración hallamos las coordenadas del centroide de dicha área.

z

Si C ( x ; y ; z ) es el centroide del área, las coordenadas

dA

x ; y ; z se determinan en forma similar que en el caso del volumen. Es decir:

C

z

 x dA

x V

 dA

 x dA

O también

x V

A

V

y

x x

y

 y dA

y V

 dA

 y dA

O también

y V

A

V

 z dA

z V

 dA

V

 z dA

O también

z V

A

3er Caso: Centroide de línea Para calcular el centroide de una línea primero se elije un diferencial de longitud “dL” y se procede igual que en los casos anteriores.

z

Las coordenadas x ; y ; z para el centroide de una línea se determinan utilizando las ecuaciones siguientes:

dL

x

C

 x dL L

 dL

O también

x

 x dL L

L

L

z y

y

 y dL L

 dL

x x

O también

y

 y dL L

L

L

y

z

 z dL L

 dL

O también

z

 z dL L

L

L

Nota: El centroide de un objeto puede hallarse dentro o fuera de él. Asimismo si la figura del objeto es simétrica, respecto a uno o más ejes, su centroide se halla en uno de los ejes o en la intersección de los ejes. y

z

C

x

y

x

Centroide en cuerpos compuestos Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos de forma “simple” conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc. Este cuerpo puede descomponerse en sus partes y analizar cada parte por separado. Método para hallar el centroide de un objeto geométrico compuesto 1. Se divide el objeto o cuerpo en un número finito de partes componentes que tengan formas más sencillas. Si una parte componente tiene un agujero, o una región geométrica donde no exista material, ésta se toma como una componente adicional pero con signo negativo. 2. Se determina las coordenadas x, y, z del centroide de cada parte. 3. Se calcula las coordenadas ecuaciones:

x ; y ; z del centroide del objeto o cuerpo, utilizando las siguientes

En líneas:

x

xL L

;

y

yL L

;

z

zL L

;

y

yA A

;

z

z A A

;

y

 yV V

;

z

 zV V

En áreas:

x

xA A

En volúmenes:

x

 xV V

TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS TEOREMA I: “El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie”. * Recordar que una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fijo. Por ejemplo (ver figura), se puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular ABC con respecto al diámetro AC; se puede producir la superficie de un cono rotando una línea recta AB con respecto a un eje AC. B B

C

A

C

A

Esfera

Cono

TEOREMA II: “El volumen de un cuerpo de revoulución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo”. * Recordar que un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje fijo. Como se muestra en la siguiente figura, se puede generar una esfera o un cono rotando la forma apropiada con respecto al eje que se indica.

B B

C

A

Esfera

C

A

Cono