1.- Definición Angulo es la abertura que se produce al intersectar dos rectas (Fig.1) D
C
o
α
A
B
Fig.1
Un ángulo está formado por dos rayos que tienen un origen común. A ese punto común le llamamos vértice. Un ángulo se define a través de tres puntos. determina el vértice del ángulo.(Fig.2)
La letra central siempre
B
α O α = ∠ ΑΟΒ
A
Fig.2
2.- Sistemas de medida Cuando hablamos de distancia , podemos expresarla de las siguientes formas : 3 mts. = 300 cms. = 0,03 kms. En los tres casos nos estamos refiriendo a la misma distancia pero expresada en diferentes unidades. Con los ángulos puede ocurrir lo mismo, es decir , medir un mismo ángulo a través de diferentes unidades. Los sistemas usados son el sexagesimal, el centesimal y el circular. 2.1 Sistema Sexagesimal. En este sistema se divide una circunferencia en 360 partes y cada parte es un grado sexagesimal. (Fig.3)
Geometría Plana. ANGULOS
www.crisol.tk
Fig.3 2.2 Subunidades del Sistema Sexagesimal Cada grado consta de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. 1º = 60' 1' = 60'' 2.3 Sistema Centesimal. En este sistema se divide una circunferencia en 400 partes iguales y cada parte es un grado centesimal (Fig.4).
Fig.4 2.4 Subunidades del Sistema Centesimal Cada grado consta de 100 minutos y cada minuto de 100 segundos. g m 1 = 100 m s 1 = 100 2.5 Sistema Circular En este sistema se divide la circunferencia en 2 π partes iguales ( π = 3,14... ) y cada parte de ella le llamaremos radian .(Fig.5)
Geometría Plana. ANGULOS
www.crisol.tk
Fig.5 Podemos establecer el siguiente cuadro comparativo entre los Sistemas : Sistema Sexagesimal Sistema Centesimal Sistema Circular g 360 º 2πrad 400 g 180 º πrad. 200 g 90 º π/2rad. 100 Esto significa que si tenemos la medida de un ángulo en cualquiera de los sistemas , podemos transformarlo a cualquiera de los otros dos. Ejemplo ¿ A cuántos radianes equivalen 270 º? 180 º -------> π 270 º -------> x
Comúnmente se utiliza el Sistema Sexagesimal, por tanto desde ahora en adelante trabajaremos con él a menos que se advierta expresamente lo contrario.
Geometría Plana. ANGULOS
www.crisol.tk
3.- Aritmética angular 3.1 Suma. Se deben sumar unidades correspondientes entre si: Ejemplo 28º 39' 43'' +32º 50' 25'' 60º 80' 68'' Deberemos ahora convertir las sub unidades ya que 80' son más que un grado y 68" son más que un minuto. Entonces, 60º 80' 68'' = 60º 60' + 20' 60" + 8 " = 61º 21' 8" Ejemplo 90º + 14º 13' 12'' 104º 13' 12" 3.2 Resta Al igual que en la suma se deben restar unidades correspondientes entre si : 34º 15' 38" - 12º 13' 20'' 22º 2' 18'' Ejemplo 73º 17' - 52º 20' 10'' Deberemos transformar las sub unidades porque 20' no pueden ser restados a 17'.Entonces, 73º 17' = 72º 77' = 72º 76' 60'' De esta manera, la operación queda 72º 76' 60'' - 52º 20' 10'' 20º 56' 50'' Ejemplo 90º - 45º 30' 20'' 44º 29' 40''
Geometría Plana. ANGULOS
www.crisol.tk
4.- Clasificación de los ángulos 4.1 Angulo agudo. Es aquél que mide menos de 90º(Fig.6)
α
Fig.6
4.2 Angulo recto Es aquél que mide 90º.(Fig.7)
Fig.7 4.3 Angulo obtuso Es aquél que mide mas de 90º y menos de 180º.(Fig.8)
α
Fig.8
4.4 Angulo extendido Es aquél que mide 180º.(Fig.9)
A
o
B
Fig.9 4.5 Angulo concavo Es aquél que mide más de 0º y menos de 180º. (Fig 10)
Fig.10
Geometría Plana. ANGULOS
www.crisol.tk
4.6 Angulo convexo Es aquél que mide más de 180º y menos de 360º.(Fig 11)
Fig.11 4.7 Angulo completo Es aquél que mide 360º (Fig.12)
Fig.12 5. Ángulos suplementarios Dos ángulos α y β se dice que son suplementarios si su suma es un angulo extendido. α + β = 180º Entonces, el suplemento de cualquier ángulo α es : 180º - α (Fig.13)
180−α
α
Fig.13 Ejemplo ¿Cuánto vale el suplemento de un ángulo de 45º? Si α = 45º y se define como suplemento de α' = 180 - α , entonces 180º - 45º = 135º ∴ el suplemento del ángulo es 135º 6. Ángulos complementarios Dos ángulos α y β se dice que son complementarios si su suma es un ángulo recto.
Geometría Plana. ANGULOS
www.crisol.tk
α + β = 90º Entonces, el complemento de cualquier ángulo α es : 90 - α (Fig.14)
90−α
α
Fig.14
Ejemplo ¿Cuánto vale el complemento de un ángulo de 30º ? Si α = 30º y definimos el complemento como complemento de un ángulo de 30º es 60º.
α' = 90 - α, entonces el
7. Ángulos adyacentes Dos ángulos α y β se dice que son adyacentes si tienen un lado común y el segundo lado sobre la misma recta.(Fig.15) C
α
β
A
O
B
Fig.15 Los angulos adyacentes son suplementarios 8. Ángulos consecutivos Dos ángulos α y β se dice que son consecutivos si tienen un lado en común. (Fig.16) D E
C α
A
O
β B
Fig.16
9. Ángulos opuestos por el vértice Son aquellos que se forman al prolongar los rayos de un ángulo desde el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. En la figura a y b
Geometría Plana. ANGULOS
www.crisol.tk C
D
α
son opuestos por el vértice.(Fig.17) Fig.17
A
o
β
B
10. Formación de ángulos. Al intersectar dos rectas tenemos ángulos adyacentes y ángulos opuestos por el vértice.(Fig.18) γ
β
α
γ
Fig.18 Ángulos adyacentes son: α con β ; β con γ γ con δ ; δ con α Además, α + β = 180º ; β + γ = 180º γ + δ = 180º ; δ + α = 180º Ángulos opuestos por el vértice son: α con γ ; β con δ Además, α=γ ;β=δ 11. Ángulos entre paralelas Si intersectamos dos paralelas con una transversal tendremos :(Fig.19) L1 // L 2 y S: transversal
s β γ β γ
α
L1
δ α
L2
δ
Fig.19 Ángulos correspondientes son aquéllos que están al mismo lado de la transversal y la paralela.
Geometría Plana. ANGULOS
www.crisol.tk
α con α' β con β' γ con γ' δ con δ'
Además, los ángulos correspondientes son iguales entre si , α = α' β = β' γ = γ' δ = δ' Ángulos alternos son aquéllos que se encuentran a diferentes lados de la transversal.
Ahora bien , ángulos alternos internos son aquellos que se encuentran a diferentes lados de la transversal y al interior de las paralelas. γ δ γ δ
= γ' = δ' = α' = β'
Ángulos alternos externos son aquéllos que se encuentran a diferentes lados de la transversal pero hacia afuera de las paralelas. β con δ' α con γ' β = δ' α = δ'
Una manera más simple de recordar esto es numerando los ángulos formados entre las paralelas y la transversal, de tal modo que: Ángulos impares son iguales y Ángulos pares son iguales (Fig.20) L1 // L2 S : tranversal
Geometría Plana. ANGULOS
www.crisol.tk s 2 3
L1
4
6 7
1
5
L2
8
Fig.20
12. Bisectriz de un ángulo
Es la semirrecta que divide el vértice de un ángulo en dos ángulos iguales.(Fig.21) C