El objetivo del problema es diseñar un regulador digital para controlar el movimiento de una antena. La ecuación que define el movimiento de la antena es:

Siendo: J=8 B=10 Pm : Par motor Pv : Par del viento El par motor viene dado por un motor de continua que responde a la ecuación:

Siendo: Km=6.875 U : Señal de entrada Tomando transformadas de Laplace en las ecuaciones llegamos a que el diagrama de bloques del sistema es el siguiente:

El objetivo del sistema de control es que el ángulo de la antena siga a un ángulo de referencia s, que es el ángulo que forma el satélite con el horizonte. Para ello dispondremos el sistema de control de la siguiente 1

forma: El sistema consta de un regulador implementado en el ordenador, un bloqueador que convierte la salida discreta del computador en una señal continua y un muestreador que toma el ángulo y lo introduce de forma digital en el computador. Vemos que el sistema tiene dos entradas: una el ángulo de referencia y la otra el par del viento. De momento comenzaremos el estudio prescindiendo del efecto del viento, para más adelante analizar el error que puede introducir en el sistema. Elección del bloqueador y del tiempo de muestreo El primer punto a considerar ahora es el tiempo de muestreo a utilizar. El muestreo producirá la pérdida de la información de las frecuencias superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo (teorema de Shanon), de modo que empezaremos por analizar la respuesta en frecuencia del sistema continuo:

Este sistema tiene dos polos: uno en s=0 y el otro en s=−1.25. Su respuesta en frecuencia se puede obtener desde Matlab, resultando: Como se puede ver, la información frecuencial del sistema está en las frecuencias por debajo de 10 rd/s. Dado que el polo está situado en 1.25, consideramos razonable respetar las frecuencias hasta 10 veces superiores (12.5 rd/s), dando un periodo de muestreo de T=/12.5=0.25 s. No obstante esta elección es en principio arbitraria y se replanteará más adelante en función de los resultados. El siguiente punto a considerar es el bloqueador a utilizar. Podemos elegir entre un bloqueador de orden cero o de orden uno, siendo este último mejor pero más caro. Para ver como se comporta el sistema en función del tiempo de muestreo y del bloqueador utilizado, hallaremos en Matlab la función de transferencia en z del sistema discreto equivalente, usando tiempos de muestreo de 2.5 s, 0.25 s y 0.025s, y bloqueadores de orden cero y uno. Mostramos a continuación la respuesta al escalón de los sistemas discretos obtenidos, y el diagrama de Bode de su función de transferencia discreta. La respuesta al escalón mostrada es la correspondiente al sistema en cadena cerrada sin regulador, pues en cadena abierta el sistema es inestable. • T=2.5 s y bloqueador de orden 0: • T=2.5 s y bloqueador de orden 1: • T=0.25 s y bloqueador de orden 0: • T=0.25 s y bloqueador de orden 1: • T=0.025 s y bloqueador de orden 0: • T=0.025s y bloqueador de orden 1: De los tres tiempos de muestreo considerados, el de T=2.5 es completamente insuficiente y queda descartado. Entre los otros dos, la respuesta es más exacta para el de 0.025 s, pero la de 0.25 s es también satisfactoria. En cuanto a los bloqueadores, a la vista de la respuesta temporal no se aprecian diferencias apreciables entre usar el bloqueador de orden cero o el de orden uno. Si se aprecia la diferencia, en cambio, en la respuesta 2

frecuencial: el bloqueador de orden cero introduce una fuerte distorsión de la fase en las proximidades de la frecuencia de corte. Aunque el sistema continuo mantiene siempre su fase por encima de −180º (teniendo, por tanto, margen de ganacia infinito), el bloqueador de orden cero produce una disminución de fase apreciable. Así, para T=0.25s, a partir de =3 rd/s la fase es menor de −180º, y para T=0.025s esto se produce a partir de =10 rd/s. El resultado es que el margen de ganancia, con bloqueadores de orden cero, es finito (de unos 25 dB para T=0.25 s y de unos 50 dB para T=0.025). Los bloqueadores de orden uno, en cambio, no producen esa distorsión de fase tan acusada, manteniéndose la misma por encima de −180º. Lo ideal sería tomar como tiempo de muestreo T=0.025 s (o menor, si fuera posible), y bloqueadores de orden uno. No obstante, elegiremos T=0.25 s (pues parece suficiente a la vista de la respuesta temporal) y un bloqueador de orden cero que es más simple y económico. Si más adelante surgieran problemas, podríamos replantearnos la elección. La función de transferencia en z del sistema discreto equivalente queda:

Como se puede ver, tiene un polo en 1, otro en 0.7316 y un cero en −0.912. El diagrama de bloques del sistema discreto es:

Control del error de velocidad Para que la antena no pierda la señal del satélite se impone la condición de que ante una entrada en rampa de 0.34 rd/s, el error de la salida sea menor de 0.01 rd en cualquier momento: es decir, la salida debe estar comprendida dentro de una banda de ±0.01 rd respecto a la entrada. Analizando el lugar de las raices del sistema continuo vemos que mediante un regulador de tipo proporcional se puede acelerar la respuesta del sistema todo lo que se quiera sin hacerlo inestable: La parte real de los polos es constante, luego el tiempo de establecimiento también lo será, pero al aumentar K el sistema se hace más oscilatorio y por tanto más rápido. Esto sucede así para el sistema continuo, para el discreto el comportamiento será tanto más parecido cuando menor sea el tiempo de muestreo. El problema es que, como ya vimos anteriormente, el sistema discreto no tiene margen de ganancia infinito, luego al aumentar K llegará un momento que se haga inestable. Lo que haremos será ver la respuesta del sistema tomando la K máxima que mantiene el sistema estable, para diferentes tiempos de muestreo: • T=0.25 s: El sistema no se mantiene dentro de la banda de error máximo. • T=0.01 s: Tampoco es suficiente, se necesita más ganancia. 3

• T=0.002 s: Ahora el sistema si se mantiene dentro de la banda de error máximo y es estable. Elegiremos entonces un reguulador de tipo P con ganancia 1300 y un tiempo de muestreo de T=0.002 s (500 muestras por segundo).

Control del par motor El regulador P usado en el apartado anterior conseguía reducir el error del sistema a los límites exigidos, a costa de usar un tiempo de muestreo muy pequeño y elevar mucho la ganacia. Además de estos inconvenientes, veremos ahora que la elevada ganancia produce unas sobreoscilaciones muy fuertes en el par motor. Ante la entrada en rampa la evolución del par motor es la siguiente: Alcanza un máximo de 95, las sobreoscilaciones son enormes y además tardan mucho tiempo en estabilizarse. Evidentemente, el regulador P no es el más adecuado para este sistema, por lo que calcularemos reguladores más complejos en los siguientes apartados. Cálculo del regulador: discretización de un regulador continuo. Para el sistema se piden dos especificaciones: error de velocidad limitado y par motor limitado. El regulador P del apartado anterior las cumplía, pero a costa de grandes oscilaciones en el par, que además disminuían lentanmente. El regulador P con ganancia 1300 hacía que el sistema en cadena cerrada tuviese los dos polos en −0.6250 ± 33.4185j, era un sistema de segundo orden con los parámetros: wd=33.4185 =0.6250 tg =53.4696 Kv=1300*6.875/1.25=7150 La constante de velocidad Kv es la que mantiene el error de velocidad en régimen permanente por debajo de 0.01 rd. El comportamiento transitorio viene determinado fundamentalmente por wd y tg , la primera da el tiempo de pico (y por tanto, cuanto mayor sea más rápida será la respuesta del sistema) y la segunda está relacionada con el porcentaje de sobreoscilación (interesa disminuirla para rebajar la sobreoscilación del par). Partiendo como base del sistema con el regulador P, lo que haremos será calcular un regulador PD que ponga los polos dominantes con wd similar (para que el sistema respona igual de rápido) pero con mayor, para que el sistema se establezca antes y de paso, al disminuir tg , se reduzca la sobreoscilación. Lo que haremos será poner un cero cerca del origen (que compensará el efecto del polo en cero) y un polo muy alejado. Poniendo un cero en −1 y un polo en −30, el lugar de las raices queda: Como se puede apreciar, para ganacias altas el lugar de las raices se parece mucho al obtenido con el regulador P, pero ahora los polos se encuentran mucho mas alejados del origen (=15.1271). Si aumentamos suficientemente la ganancia conseguiremos un wd como el del regulador P, pero ahora tg es menor al haber aumentado . Probando para diferentes valores de K llegamos a que con K=2000 los polos dominantes se encuentran en −15.1271±38.6949j y la salida del sistema continuo es:

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El comportamiento del sistema es correcto: el error está controlado y el par motor máximo es de 70 (dentro de los límites). Aumentar más K reduce el error, pero aumenta el par máximo. Podemos probar a alejar el cero del origen, para ver como afecta al sistema. Esto aumentará la ganacia estática del sistema, reduciendo el error en régimen permanente:

Efectivamente, se ha reducido el error en régimen permanente, y el transitorio no se ha visto modificado. Hemos tenido que reducir la ganancia un poco para mantener el par máximo en torno a 70. El sistema se comporta mejor que antes. Probemos ahora a alejar más el polo del regulador. Esto debería reducir el tiempo de establecimiento, aunque reduce la ganacia estática (efecto que habrá que compensar aumentando K):

El regulador consigue que el par sea siempre positivo, lo cual es interesante para no forzar al motor. El error está controlado y el sistema es muy rápido (0.1 s de tiempo de establecimiento), así que nos quedaremos con este regulador. Pasamos ahora a discretizar el regulador. Lo primero que hay que plantearse es el tiempo de muestreo a utilizar: salta a la vista que el elegido en principio de 0.25 segundos no es adecuado, pues el tiempo de establecimiento del sistema es de 0.1 segundos. Probaremos con T=0.01 s: • Por aproximación del operador derivada:

Como se puede ver, el comportamiento del sistema es correcto, e incluso el par máximo se ha reducido en la discretización. • Discretización por integración trapezoidal:

Los resultados son ahora peores, pues el par motor está por encima del máximo permitido. Es el problema de discretizar reguladores: no se puede asegurar que el comportamiento vaya a ser exactamente igual al calculado. A la vista de los resultados, elegiríamos el regulador obtenido por aproximación del operador derivada:

Cálculo del regulador: cálculo directo de un PID discreto.

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A diferencia del apartado anterior, en que primero regulábamos el sistema continuo y luego elegíamos el tiempo de muestreo adecuado, para calcular un regulador discreto necesitamos empezar por el tiempo de muestreo. A la vista de los resultados anteriores, consideramos que T=0.01 s puede ser adecuado. En esas condiciones, el sistema discreto equivalente queda:

El lugar de las raices para este sistema es: Para regular el sistema probaremos con un regulador PD de la forma:

Para a=0.6, el lugar de las raices es: Ajustando la ganancia a K=2000, la salida del sistema y el par motor son:

La respuesta del sistema es correcta: el error está limitado y el par motor no excede de 70. No obstante, con un regulador más complejo (no limitado a acción derivativa o integral) se podrían obtener mejores resultados. Cálculo del regulador: síntesis directa. Partiendo del sistema discreto muestreado con T=0.01s, probaremos ahora a calcular un regulador de tiempo mínimo por síntesis directa. Para ello imponemos las cuatro condiciones necesarias: • Causalidad:

• Simplicidad:

• Estabilidad:

• Tiempo mínimo:

Uniendo las cuatro:

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Tomando:

Sustituyendo y resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: a=2.56452 b=−3.56296 c=1.49948 d=1.06220 Resultando una función de transferencia:

Y un regulador:

Utilizando este regulador la salida y el par motor son: Efectivamente, el error de la salida se anula (el pequeño margen que se ve en la gráfica se debe a errores de redondeo en los cálculos de regulador), pero el par motorse dispara. Es habitual en los reguladores obtenidos por síntesis directa que las sobreoscilaciones sean enormes, pues se está forzando al sistema a responder de una forma prefijada, muy alejada del comportamiento natural del sistema. Conclusión Tras el cálculo de todos estos reguladores, podemos llegar a la conclusión que el más eficiente es el regulador continuo calculado en el primer apartado:

Si se insiste en utilizar un regulador discreto, el más sencillo es el PD calculado directamente para un tiempo de muestreo de 0.01 s:

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