APÉNDICE MATEMÁTICO DEL MÓDULO DE: GESTIÓN FINANCIERA

1º CURSO DEL CICLO DE GRADO SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS.

CONTENIDO: Números enteros Fracciones Potencias Igualdades algebraicas notables Raíces Logaritmos Progresiones Expresiones algebraicas Ecuaciones Sistemas de ecuaciones Ejercicios de aplicación

Apéndice matemático M. Reyes F.F.

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NÚMEROS ENTEROS Números enteros negativos

…

-3

-2

Número cero

-1

0

Números enteros positivos

+1

+2

+3

…

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS SUMA: Para sumar dos números con el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo Para sumar dos números enteros con distinto signo, se restan sus valores absolutos y se antepone el signo del que tenga mayor valor absoluto

RESTA: Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

MULTIPLICACIÓN: Para multiplicar dos números con el mismo signo, se multiplican sus valores absolutos y se antepone el signo + Para multiplicar dos números enteros con distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y se antepone el signo -

DIVISIÓN: Para dividir dos números enteros con el mismo signo, se dividen sus valores absolutos y se antepone el signo + Para dividir dos números enteros con distinto signo, se dividen sus valores absolutos y se antepone el signo -

POTENCIACIÓN: Para calcular una potencia de base positiva, se multiplica esta por sí misma tantas veces como indica el exponente y se antepone el sino + Para calcular una potencia de base negativa, se multiplica esta por sí misma tantas veces como indica el exponente y se antepone el signo + si el exponente es par, y el signo – si es impar

REGLAS DE LOS SIGNOS Multiplicación

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División

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Potenciación

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FRACCIONES Toda fracción consta de dos números, uno escrito encima del otro y separados por una raya. Al número de arriba se le denomina numerador y al número de abajo se le denomina denominador. El denominador indica el número de partes iguales en que hemos dividido la unidad entera y el numerador, el número de partes iguales que tomamos de la unidad entera. Así ¾ de litro de leche, supone dividir un litro en 4 partes iguales y tomar tres de ellas.

FRACCIONES EQUIVALENTES Son aquellas que tienen el mismo valor:

En ellas, al multiplicar el numerador de cada fracción por el denominador de la otra, se obtiene el mismo resultado:

.

OPERACIONES CON FRACCIONES Suma o resta de fracciones con igual denominador: Se suman, o resta, sus numeradores y se deja el mismo denominador En el numerador: la suma del producto de cada numerador por todos los denominadores menos por el suyo En el denominador: el producto de todos los denominadores Suma o resta de fracciones de distinto denominador:

También puedes realizar este tipo de operaciones usando el mínimo común múltiplo m.c.m. Multiplicación de fracciones: Se multiplican los numeradores para obtener el numerador, y los denominadores para obtener el denominador. Es decir, se multiplican en paralelo División de fracciones: Se multiplica la primera por la inversa de la segunda, es decir, se multiplican en cruz

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POTENCIACIÓN . exponente

La potencia es igual al producto de la base por sí

2

3 = 9 base

misma tantas veces como indica el exponente:

Valor De la potencia

OPERACIONES CON POTENCIAS: La potencia es una multiplicación repetida Producto de potencias de la misma base Cociente de potencias de la misma base Potencia de un producto Potencia de un cociente Potencia de una potencia

POTENCIAS DE SUMAS Y RESTAS: La potencia de una suma no es igual a la suma de las potencias:

La potencia de una resta no es igual a la resta de las potencias:

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IGUALDADES ALGEBRAICAS NOTABLES: .

Cuadrado de la suma de dos monomios

Cuadrado de la diferencia de dos monomios

Suma de dos monomios por su diferencia

Cubo de la suma de dos monomios

Cubo de la diferencia de dos monomios

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RAÍCES La raíz enésima de un número es otro que, elevado a n, da como resultado el primero. Ejemplo:

9  3  32  9

2

OPERACIONES CON RAICES Raíz de un producto del mismo índice Raíz de un cociente del mismo índice

n

a  n b  n ab

5  3  5 3

n

a n a  b b

5 5  3 3

n

n

Potencia de una raíz

 a

Raíz de una raíz

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12

m

Raíz de una potencia

am  a n

n

m n

m

 n am

a  m n a

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4

312  3 4  3 4

 8 3

5 2

5

 3 85

1024  10 1024

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LOGARITMOS En vuestras calculadoras podéis encontrar el Ln (logaritmo neperiano que tiene como base el número “e”) o el Log (logaritmo decimal que tiene como base el 10). Aunque en este recordatorio nos referiremos al logaritmo decimal, la forma de trabajar es similar en ambos casos. El logaritmo decimal, en base 10 de un número N es el exponente a que hay que elevar la base para que dé dicho número.

N  10 x  x  log 10 N CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN:

    

El logaritmo de la base es 1: Log 10 = 1 ............................. ya que :

10 1 = 10

El logaritmo de la unidad es 0: Log 1 = 0 ............................... ya que:

100 =1

El logaritmo de los números mayores que la unidad son positivos: Log 5 = 0.698970004 Los logaritmos de los números comprendidos entre cero y la unidad son negativos: Log 0,5 = -0,301030 Los números negativos carecen de logaritmo real.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los Log (N x M) = log N + log M logaritmos de los factores El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los Log (N/M) = Log N – Log M logaritmos del dividendo y divisor El logaritmo de una potencia es igual al producto del Log Nm = m x Log N exponente por el logaritmo de la base El logaritmo de una raíz es igual al producto de la inversa del índice de la raíz por el logaritmo del radicando

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log m N 

1 log N m

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PROGRESIONES Se entiende por progresión una sucesión de números que aparecen ordenados y que se obtienen unos de otros en virtud de una ley constante. Este orden preestablecido puede seguir una ley matemática en:  Progresión aritmética  Progresión geométrica 1.- PROGRESIÓN ARITMÉTICA: Es una serie de números tales que cada uno de ellos es igual al anterior aumentado de una cantidad fija llamada razón, pueden ser:  

Crecientes: 2,5,8,11 .... Decrecientes: 28,24,20,16, ....

Si llamamos:    

Para sumar los términos de una progresión aritmética es:

a1: primer término an: último término n: número de términos r: razón.

S

a1  a n n 2

2.- PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Serie de términos tales que cada uno de ellos es igual al que le precede multiplicado por un número fijo llamado razón, puede ser:  

Creciente: 1, 2, 4, 8, 16, ... Decreciente: 81, 27, 9, 3, 1

Si llamamos:    

a1: primer término an: último término n: número de términos r: razón.

Para sumar los términos de una progresión geométrica creciente:

S

Para sumar los términos de una progresión geométrica decreciente:

S

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a n  r  a1 r 1

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a1  a n  r 1 r

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es una combinación de números, de letras, o de ambos, relacionados mediante operaciones aritméticas.

Expresión algebraica

Término

3y – 2xy + 8

- 2 xy Coeficiente

Término Valor numérico Para obtener el valor numérico de una expresión algebraica, se sustituyen las letras por los números correspondientes y se realizan las operaciones indicadas

Parte literal

Ejemplo Para x =4 e Y = 1, el valor numérico de la expresión algebraica: es:

MONOMIOS: Son el producto de números, letras o ambos. Por ejemplo: 5xy Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal, por ejemplo: 5xy -7xy xy

OPERACIONES COM MONOMIOS: Para sumar, o restar, monomios semejantes, se suman, o restan, sus coeficientes y se deja la misma parte literal. Para multiplicar, o dividir, un monomio por un número, se multiplica, o se divide, su coeficiente por dicho número y se deja la misma parte literal.

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ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que aparece al menos una letra.

Ecuación

3X – 2X + 5 1º miembro

=

9

2º miembro

Son ecuaciones equivalentes las que tienen las mismas soluciones.

RESOLUCIÓN DE CUACIONES DE PRIMER GRADO Se simplifica la ecuación, paso a paso, hasta obtener otra más sencilla, equivalente a la anterior, uno de cuyos miembros es el término de la incógnita. Se multiplican o se dividen, según el caso, los dos miembros de la ecuación por un mismo número para despejar la incógnita y obtener la solución. Se comprueba el resultado sustituyendo la incógnita del enunciado por la solución

4x  3x  5  9 7x  5  9 7x  5  5  9  5 7 x  14 7 x 14  7 7 x2 4  2  3 2  5  9

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: Se llama ecuación de segundo grado la que toma la siguiente forma:

ax 2  bx  c  0 Para resolver una ecuación de este tipo hay que hallar los valores de la incógnita X que hacen cierta la igualdad. Para ello usaremos la siguiente fórmula que proporciona dos resultados posibles, de los cuales sólo uno será correcto.

x

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 b  b2  4  a  c 2a

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SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos valores. Los sistemas de ecuaciones se escriben así:

Donde los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números reales La solución del sistema es un par de números, tales que reemplazando x por su valor e y por el suyo, se satisfacen a la vez las dos ecuaciones. Los sistemas de ecuaciones nos permiten resolver problemas del tipo: Alex lee un libro que tiene más de 100 páginas. La suma de los tres dígitos del número de páginas que tiene el libro es 10. El segundo dígito es doble que el último. ¿Cuántas páginas tiene el libro de Alex? RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Este método consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Veamos un ejemplo:

1. Se despeja y en la segunda ecuación 2. Se sustituye este valor de y en la primera ecuación

3. Se resuelve esta ecuación

4. Se sustituye este valor de x en la ecuación en la que hemos despejado la incógnita y Ya tenemos la solución: x = -2 y = 5 Despeja siempre la incógnita que resulte más sencilla y, si existe, aquella cuyo coeficiente es 1 ó -1; de esta forma se evita la aparición de denominadores.

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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE REDUCCIÓN: Multiplicaremos una o ambas ecuaciones del sistema por números convenientes para que los coeficientes de una de las incógnitas quede eliminado al sumar las dos ecuaciones del sistema. Veamos un ejemplo:

Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 4, conseguimos las siguientes ecuaciones: Si sumamos las dos ecuaciones anteriores, obtenemos el siguiente resultado

A partir de aquí podemos obtener el valor de y

Una vez resuelta esta ecuación, se sustituye el valor en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales, y despejamos el valor de x

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EJERCICIO 1: Realiza las siguientes operaciones, sin usar calculadora, deja los resultados indicados y lo más reducidos que puedas: 1. (-16) + 8 * (-4) 2. (-12) * (-3) + 8 * (-5) 3. 36 / 2 + 8 4. (36 / 277) / 9 5. (-3) [ (-12 + 36) / 6 –11] –15 / [(-20 + 12) * 3 + (-7) * (-3) ] –9 6. [(-16) * 5 * (-9)] / 8 7. [ 36 * (-16) * 5] / (-8) 8. [(-24) * (-18) * 7 ] / 6

Deja los resultados indicados, o reduce todo lo que puedas, como en el siguiente ejemplo:

9. (-7) * (8 – 5) + 24 / (-13 + 7) 10. (-2)2 * (-2)3 * (-2)4 = ( -2)? 11. 32 * 34 * 3? = 38 3

?

12. 7 * 7 = 7

5

[(10-4) * 4 -12 + (-2)] / (15 – 5) + 3 =

10  4  4  12  2  3  6  4  14  3 15  5

13. [(-3)2]4

 14.

72

15.

36 * 81

16.

16 * 64

17.

9 

18.

15 14 * c 8

19.

18 7  5 2

20.

1  0,27 c * 4 2

10

24  14 10  3   3 1 3  4 10 10

3 2

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EJERCICIO 2: FRACCIONES: Realiza las siguientes operaciones:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

4 3 2   5 8 4 2 5  4 7 4 8 3 7 1 10   4 2 2 4 5 3 7 2 5 3 3 5    2 8 4 7 7 7  12 4 13 2  12 3 3c 4  c b 3a 4c 5a   c c 1 78a  a 2 5 2 3   4 4 4

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SOLUCIONES 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

12)

67/40 –6/28 32/3 70/8 20/2 14/3 379/168 14/6 15/36

3b  4 b 5ac  3a  4c c 2  78a 2 2a

13) 10/4

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EJERCICIO 3: POTENCIAS

1) 2) 3) 4)

LOGARITMOS:

 5  5  5  5

1)

71 2  3  53

2)

 4  3   5

2

3

5)

6)

7)

8) 9)

 32     8  3   18     9  56 54  7 13  7 11

7 

2 4

1)

4

2)

3

3)

3

4)

4

5)

4

6)

5Y 3 8  3  125 8  3 125

312 56

 8 3

5 12

7) 8) 9)

 3   4   12  5 1024 3

15625

Log 15 52 525 log 175

3)

log 5 3

4)

Log 3 343

Resuelve las siguientes ecuaciones: 5) Log X + Log 50 = Log 1000 6) 2 Log X = Log (10 – 3X) 7) (15 + i)x = 2 8) 2 . 5x = 250 9) 5x+1 = 250

SOLUCIONES: POTENCIAS: 1) (-5)4 2) 7 3) 23 . 33 . 53 4) (-4)2 . 32 . (-5)2 5) 43 6) (-2)3 7) 52 8) (-7)2 9) 78 RAÍCES: 1) 5 1/4 Y 3 1/2 2)

3

8   125

3)

3

8  125

RAÍCES

4) 33 5) 5 6/4 6) 8 5/3 3

7) 8)

 3    12  10 1024 6 15625

9) 2 LOGARITMOS: 7) x  1) Log 15 + Log 52 Log 15  i 2) Log 525 – Log 175 Log 250  Log 2 3) 3 Log 5 8) x  4) 1/3 Log 343 Log 5 5) X = 20 9) X = 4 6) X = 2 ; X = -5



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

3

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EJERCICIO 4 UNO.- Saca factor común en: SOLUCIÓN EJERC DOS:

1) x  x  y 2

2) a  b  a  c 3) 3x 2  6 x 3

1) 2)

X=2 X=24-2Y

3) 4) 5) 6)

X=-35 X=11/5 X=73

7) 8)

1 4) c  c 2

9)

5) 15 y  18 y  19 y  15 y  12h

10) 11) 12)

1 18a 15c 18 6)    j j j j

13)

7)

j 15 18   1 i 1 i 1 i

8)

c c c c    2 3 1  i 1  i  1  i  1  i 4

X  16

X  3 27  1 X= Log 14 / Log 1,07

x

4

n= [Log 18+ Log (5 / a)] / Log 14 a= Log 20 / Log 10

a  5 10  14 x  20 h 0,79  30

7)

1  x 3  27

1) 10  x  12

8)

1  0,07x  14

2) x  2 y  24

9)

15  3x 4  140

3) x 2  16  0

10) 14 n  18

DOS.- Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones:

4) 18  2x  8  x  25

140  15 3

5 a

a

5) 8x 12  x  4x 1 6) 2x  35  4x  400  7 x

 18  11) 1    20 2  12) 14  a   10 5

13) h 

x 50  h  0,07  3  h  30 h (Despejar la h)

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EJERCICIO 5 NÚMERO 1: Escribe con una incógnita las siguientes ecuaciones expresadas en lenguaje ordinario, y después resuélvelas:

1) La suma de dos números consecutivos es 115 2) La suma de tres números pares consecutivos es 54

SOLUCIONES:

1) 2) 3) 4) 5)

3) Un número más su cuarta parte es 45 4) Un número y su mitad suman 15.

57 16 36 10 9

5) El doble del cuadrado de un número es 162 NÚMERO 2: Resuelve los siguientes problemas:

1) ¿Cuánto vale un capital, cuyo importe más su mitad, ascienden a 200€? Solución: 133,33

2) Halla el número cuya mitad, más su cuarta parte, más 1, es igual a dicho número.

Solución: 4

3) Un recipiente está lleno de agua. Se extrae la mitad del agua y después la mitad del resto, quedando en el recipiente 200 litros. Calcula su capacidad.

Solución: 800 litros

4) La Suma de dos números es 32 y uno de ellos es igual a la séptima parte del. Halla los dos números

Solución: 28

5) La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble del

primero; el tercero el doble del segundo, y el cuarto doble del tercero. Halla los cuatro números. Solución: 6, 12, 24 y 48

6) Halla la longitud de una pieza de tela, sabiendo que después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte, quedan 20 metros.

Solución: 100 metros

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EJERCICIO 6 SISTEMAS DE ECUACIONES UNO: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, por el método que prefieras: sustitución, igualación o reducción:

1) 10 x  5 y  3 y  550

3)

5 y  2 x  100

2)

4 x  3 y  165 2 y  10

4)

x  2y  5

SOLUCIONES:

4 x  2 y  14

1)

x  2y  5

2) 3) 4)

2x  y  7

X= 47, 22 ; Y=38,88 X= 37,5 ; Y=5 X=3 ; Y=1 X=2 ; Y=1

DOS: Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente a los siguientes enunciados y resolverlo:

1) En un corral, entre conejos y gallinas, se encuentran 17 cabezas y 56 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?

Solución: 11 conejos y 6 gallinas

2) Un grupo de alumnos, por 3 entradas de patio y 6 de palco, ha pagado 75€. Otro grupo, por 2 entradas de patio y 2 de palco, ha pagado 36 €. ¿Cuánto vale cada entrada?

Solución: palco 7€ y patio 11€

3) Un grupo de amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 20 céntimos de euro. Al abrir las manos cuentan 8 monedas con un valor total de 115 céntimos. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?.

Solución: 3 monedas de 5 céntimos y 5 de 20 céntimos

4) Dos grupos de alumnos han ido a merendar a una cafetería. Elvira observa que el primer

grupo, por 3 bocadillos y 4 refrescos, ha pagado 10 €, y que el segundo grupo, por un bocadillo y 2 refrescos, ha pagado 4 €, ¿cuánto costó cada bocadillo y cada refresco? Solución: Refresco 1€ y bocadillo 2€

5) Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos.

Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía”. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo?. Solución: caballo 5 sacos y mulo 7 sacos

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EJERCICIO 7 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO:

1.

3X  1  X  2

2.

1  3X  2 X  9

3.

X 3  2 X

4.

4 X  1  5 X  4 300000  300000

5.

80 60   0,09  75000  100000  100000 0,09   360 360  

x   0,09  130000  130000 360  

52 0,12  N 0,004 360 X 30 200000  50  200000  7. X  3000 3000 6.

990667  N  N

8.

6000  C X  10,06  C. X .006

9.

2 X  X 1  Y .0,05  

10.  X 

- Despeja C

- Despeja Y

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

SOLUCIONES: X= -3/2 X=2 X=5/2 X=24 X=292,3 X=1.012.262 X=198.653,19 C=100.000 Y=20 X=20.000

1  X 0,07.  X .0,06.3  600 2 

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más

que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ? Sol: 10, 13 y 17 años

2. El perro de Alex tiene hoy 12 años menos que él. Dentro de 4 años, Alex tendrá el triple de la edad de su perro. ¿Cuál es la edad de Alex y su perro?. Sol: 14 y 2 años.

3. Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto 13 y su padre 43. ¿Cuantos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?. Sol: en 15 años.

4. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es de 104 años. El padre es 6 años

mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?. Sol: 11 años cada hijo.

5. Hallar el número que disminuido en sus 3/8 equivale a su duplo disminuido en 11. Sol: 8 6. Hallar dos números consecutivos tales que los 4/5 del mayor equivalgan al menor disminuido en 4. Sol: 24 el menor y 25 el mayor

7. En tres días un hombre ganó 175 Euros. Si cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior, ¿cuánto ganó cada día?. Sol: 100€, 50€ y 25€.

Apéndice matemático M. Reyes F.F.

I.E.S. Extremadura (Montijo)

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