APLICACIÓN DE LAS ANTENAS FRACTALES EN LAS TELECOMUNICACIONES

ALEJANDRO RODAS VÁSQUEZ

UNIVERSIDAD CATÓLICA POPULAR DEL RISARALDA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y TELECOMUNICACIONES PEREIRA 2010

APLICACIÓN DE LAS ANTENAS FRACTALES EN LAS TELECOMUNICACIONES

ALEJANDRO RODAS VÁSQUEZ

INGENIERO GUILLERMO ADOLFO CÉSPEDES DE LOS RIOS

UNIVERSIDAD CATÓLICA POPULAR DEL RISARALDA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y TELECOMUNICACIONES PEREIRA 2010

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TABLA DE CONTENIDOS pág RESUMEN INTRODUCCIÓN ANTENCEDENTES SITUACIÓN PROBLEMA PROBLEMA OBJETO DE ESTUDIO OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS APORTE PRÁCTICO APORTE TEÓRICO FACTIBILIDAD TÉCNICA 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE UNA ANTENA ISOTRÓPICA

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1.1 ESTRUCTURA DE UNA ANTENA

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1.2 LA RECIPROCIDAD EN LAS ANTENAS

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1.3 IMPEDANCIA, POTENCIA IRRADIADA Y EFICIENCIA DE LA ANTENA

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1.4 RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA (ROE) Ó VOLTAGE STANDING WAVE RATIO (VSWR)

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1.5 EFECTO DEL ACOPLE ENTRE LA IMPEDANCIA DE SALIDA DEL TRANSISTOR Y LA IMPEDANCIA DE ENTRADA

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1.5.1 EL RUIDO ELÉCTRICO EN EL ACOPLE DE IMPEDANCIAS

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1.6 LÍMITES QUE PRESENTAN LAS ANTENAS DE DIMENSIONES FÍSICAS PEQUEÑAS

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1.7 CARGA DE LA ANTENA (BOBINAS DE CARGA)

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TABLA DE CONTENIDOS pág 1.8 CAMPO ELÉCTRICO Y CAMPO MAGNÉTICO

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1.9 DIAGRAMAS DE RADIACIÓN

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1.9.1 COORDENADAS ESFÉRICAS

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1.9.2 COORDENADAS POLARES

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1.9.3 COORDENADAS CARTESIANAS

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1.10 TIPOS DE LÓBULOS EN LOS DIAGRAMAS DE RADIACIÓN

34

1.11 GANANCIA DIRECTIVA

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1.12 GANANCIA DE POTENCIA

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1.13 POLARIZACIÓN

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1.14 EL PATRÓN DE RADIACIÓN, PISTAS PARA UN ANÁLISIS

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1.14.1 INTERPRETACIÓN DE UN DIAGRAMA DE PATRÓN DE FRECUENCIA EXPRESADO EN COORDENADAS CARTESIANAS.

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1.15 ANCHO DE BANDA

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1.16 PARÁMETROS DE LAS ANTENAS EN RECEPCIÓN

43

1.17 ÁREA EFECTIVA

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1.18 POTENCIA ISOTRÓPICA RADIADA EQUIVALENTE (PIRE)

44

2.EL MUNDO EXTRAÑO DE LOS OBJETOS FRACTALES, ¿EUCLÍDES PASADO DE MODA?

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4

TABLA DE CONTENIDOS pág 2.1 ORDEN A PARTIR DEL CAOS CONCEPTO DE AUTOSIMILITUD Y CARACTERÍSTICAS DE LOS OBJETOS FRACTALES

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2.2 IMAGINACIÓN VS CONCEPCIÓN

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2.3 LA DIMENSIÓN FRACTAL (D)

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2.4 MOVIMIENTO BROWNIANO

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2.5 LA CURVA DE VON KOCH

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2.6 LONGITUD DE LA CURVA DE VON KOCH

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2.7 COPO DE NIEVE DE VON KOCH

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2.8 DIMENSIÓN FRACTAL DEL COPO DE NIEVE DE VON KOCH

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2.9 ÁREA DEL COPO DE NIEVE DE VON KOCH

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2.10 PERÍMETRO DEL COPO DE NIEVE DE VON KOCH

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2.11 OTROS FRACTALES FAMOSOS

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2.12 TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

60

2.13 DIMESIÓN FRACTAL DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

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2.14 ÁREA DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSK

63

2.14 PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKCARAC_OBJETO_FRACTA

64

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TABLA DE CONTENIDOS pág 3. CARACTERÍSTICAS DE LOS OBJETOS FRACTALES QUE PERMITEN SER UTILIZADOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE ANTENAS

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3.1 FACTOR DE CALIDAD (Q ) Y FACTOR DE POTENCIA (PF)

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3.2 EFECTOS DE LA GEOMETRÍA FRACTAL EN LA EFICIENCIA DE RADIACIÓN

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3.3 ANCHO DE BANDA PARA LAS ANTENAS FRACTALES

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3.4 CONSTRUCCIÓN DE UN MOPOLO FRACTAL BASADO EN EL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

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4. SIMULACIÓN Y DESCRIPCIÓN DE LAS PROPIEDADES QUE PRESENTA UN ARREGLO FRACTAL BASADO EN EL TRIÁNGULO SE SIERPINSKI

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5. APLICACIONES DE LAS ANTENAS FRACTALES

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CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABLAS

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RESUMEN Este texto permite al lector realizar un recorrido por los conceptos básicos de los objetos fractales, con el fin de que este pueda comprender la aplicación que se les está dando a los objetos fractales en el campo de construcción de antenas. Del mismo modo se mostrarán algunos ejemplos donde los objetos fractales aplicados a la construcción de antenas hacen posible alcanzar un alto el grado de miniaturización en las mismas posibilitando la creación de antenas fractales embebidas en la infraestructura de automóviles y dispositivos móviles.

Abstract This article allows the reader a tour of the basic concepts of fractal objects; so that he may understand the application you are being given to objects in the field of fractal antenna construction. The same way we show some examples where fractal objects applied to the construction of antennas make it possible to achieve a high degree of miniaturization in the same enabling the creation of fractal antenna embedded in the infrastructure, automotive and mobile devices

Palabras claves: Fractal, autosimilitud, dimensión fractal, dimensión euclídea, impedancia capacitiva, impedancia inductiva.

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INTRODUCCIÓN Desde la aparición del microchip la tendencia predominante en la tecnología es la reducción del tamaño de los aditamentos que se utilizan frecuentemente en los dispositivos personales, donde la miniaturización y búsqueda de la multifuncionalidad en los equipos y sus componentes encaminan a la industria hacia nuevos paradigmas o simplemente a la reconsideración de unos ya planteados pero que ahora son enfocados de una nueva forma. Tal es el caso de los números fractales1, este concepto fue propuesto en los años setenta por Benoît Mandelbrot y en la actualidad está siendo utilizado para la construcción de las no mal llamadas antenas fractales, “las cuales son más compactas y tienen ciertas propiedades que las hacen preferibles a las antenas tradicionales” (Mora Mocencahua & Pearl Tenorio, 2002). Por tal motivo el presente texto realiza una recopilación de las principales características de las antenas tradicionales y fractales, donde se tocan tópicos tan importantes como el comportamiento de sus resistencias de radiación, las capacidades que cada una tiene para transmitir en determinadas frecuencias, cuáles son los problemas que solucionan o pueden presentar, la interpretación de sus patrones de radiación, en fin, aquellos conceptos que son relevantes a la hora de escoger determinada antena para alguna función particular. Al final del texto el lector tendrá las herramientas básicas para la comprensión de temas relacionados con el funcionamiento y utilización de antenas fractales en campos específicos como la telefonía móvil.

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Nombre que es usado para describir una familia de objetos geométricos que desafían las reglas tradicionales de la geometría Euclidiana. (Polando D, 2002)

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ANTECEDENTES A medida que un estudiante avanza en su proyecto educativo y personal, se somete a una avalancha de conocimiento que muy pocos han optado por asimilar y sortear, entre ellas esta el cuestionamiento que se puede hacer un alumno al conocer algo nuevo y compararlo con sus conocimientos previos, los cuales se han asumido como verdades absolutas. Un ejemplo de ello son los fractales los cuales despiertan una cierta fascinación mezclada con misterio. Investigando las tendencias tecnológicas, los objetos fractales han sido aplicados afortunadamente al sector de las telecomunicaciones, precisamente al campo de las antenas. Las formas peculiares que los fractales describen, cuando son aplicados a la creación de antenas, pueden permitir que esta antena asuma una propiedad de multibanda, la cual estaría derribando la forma tradicional de construir la clásica antena que todos conocen, dando origen a lo que ha sido llamado Antenas Fractales. Estas antenas a parte de poseer una multifrecuencia, el área que ellas ocupan (físicamente hablando), no tienen que ser grande, a diferencia de las antenas clásicas, A partir de la Segunda Guerra Mundial los avances en las telecomunicaciones han sido notorios y las antenas no han sido la excepción desde la década de los cuarentas, personas como Harold A Wheeles han contribuido enormemente a esta tarea, especialmente en el estudio de las antenas de tamaño pequeño donde (Wheeler, 1975) explica que la eficiencia y el ancho de banda son limitados por el tamaño de la antena. Estos estudios han generado multitud de aplicaciones tecnológicas como la portabilidad y movilidad de los equipos los cual es la demanda tecnológica actual. Sin embargo, como manifiesta (Bancroft, s.f.) estas demandas muchas veces llevan a una confrontación entre lo que se pide y lo que es teóricamente posible lo cual se da en los dispositivos móviles, los que requieren antenas de dimensiones pequeñas en donde a pesar de justarse a los requerimientos de tamaño a su vez sacrifica su ganancia, eficiencia y ancho de banda. Esta encrucijada teórico práctica demandó un nuevo enfoque en la construcción de antenas, tanto desde su parte geométrica como eléctrica, de esta forma se abrió un espacio para el resurgimiento de los objetos fractales, los cuales han sido aplicados exitosamente en la resolución de problemas en el área tecnológica. La aplicación de los objetos fractales llamados copo de nieve de Von Koch y el triángulo de Sierpinski, que no son los únicos de su género pero si los mas utilizados en la generación de antenas, han abordado el problema de reducción de espacio versus desempeño eléctrico en forma óptima. Como parte de la aplicación de las propiedades físicas de estos objetos, propiamente hablando su construcción geométrica, el dilema presentado por la necesidad de utilizar espacios demasiado pequeños para introducir una antena ha sido resuelto, ya que los objetos fractales como lo señala (Montesdeoca, 2005) se caracterizan por presentar un 9

área finita pero un perímetro infinito, lo cual aplicado a la construcción de antenas ha dado como resultado el llamado monopolo de Von Koch, el cual no solo cumple con los requisitos de espacio y geometría ya expuestos, si no que eléctricamente llena las demandas en cuanto eficiencia y ancho de banda solicitados. Este comportamiento es ampliamente estudiando por Carlos Puente en The Koch Monopole: A Small Fractal Antenna. De esta forma, la relación entre demanda de espacio, desempeño óptimo y requerimientos de portabilidad y movilidad, están siendo suplidos por las antenas fractales lo cual ha sido un claro ejemplo de la capacidad que tiene el ser humano para cambiar un enfoque clásico como lo son las antenas tradicionales, por un paradigma que contradice la geometría euclídea surgiendo de este modo las antenas fractales.

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SITUACIÓN PROBLEMA Generalmente cuando se abordan tópicos que tienen que ver con medios de transmisión, se remite inmediatamente a los típicos modelos de antenas, que si bien prestan un buen servicio tradicionalmente hablando, no cumplen con la multifuncionalidad que todo artefacto tecnológico que esté en el mercado hoy en día debe satisfacer. Un ejemplo claro de esta multifuncionalidad son los teléfonos celulares, estos han facilitado la vida de millones de personas, proveen entretenimiento, agilidad en los negocios y hasta cierto estatus social, pero muy pocas personas se preguntan como funcionan o qué tienen en su interior, pues bien esas pueden ser preguntas demasiado típicas, pero como Ingenieros de Sistemas y Telecomunicaciones cabría la pregunta curiosa o casi obligada de pensar, ¿que utilizan o como se comunican? ¿a caso no se necesita una antena para poder transmitir y recibir la señal?¿son estas antenas demasiado pequeñas como para verlas? Pues bien, en cierta medida es de responsabilidad y casi una batalla contra la ignorancia la que tienen que librar los ingenieros en estos asuntos, donde la actualización de conocimientos es tarea cotidiana y la asimilación de conceptos actuales y pertinentes es necesaria. Una prueba de ello son las antenas fractales, las cuales están jugando un papel protagónico en las telecomunicaciones. Donde, el entendimiento del concepto teórico de lo que son los números fractales, sus atributos geométricos2, su utilización en la construcción de antenas y las aplicaciones que ellas tienen, son una parte importante en el conocimiento integral y visión de futuro que debe tener un ingeniero que se desempeñe en el campo de las telecomunicaciones porque le brinda las bases teóricas en este campo para el entendimiento de nuevas tecnologías que muchas veces no son de dominio público y que requieren de profesionales especializados en áreas específicas. PROBLEMA El problema principal es el desconocimiento de la existencia y aplicación de las antenas fractales en las telecomunicaciones. Esta situación se puede evidenciar en que los Ingenieros de Sistemas y Telecomunicaciones al preguntárseles por los tipos de antenas que conocen solamente hacen referencia a las antenas tradicionales ignorando por completo que una de las tantas aplicaciones de las antenas fractales están en los dispositivos móviles, siendo estos utilizados diariamente.

2 La geometría fractal provee una representación y un modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Esta geometría está revolucionando diferentes áreas de la ciencia, desde la física, medicina, el procesamiento digital de señales hasta el diseño de las antenas para las telecomunicaciones. (Montoya Lince)

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OBJETO DE ESTUDIO Este proyecto pretende realizar una comparación entre las propiedades que presentan las antenas tradicionales, que se conocen como antenas fractales. Estas comparaciones van desde las dimensiones geométricas que utilizan, hasta el comportamiento que tienen frente a las frecuencias que reciben y transmiten, se explica también conceptos fundamentales que enmarcan a los dos tipos de antenas. OBJETIVO GENERAL Realizar un recorrido a través de las propiedades que presentan las antenas fractales para confrontarlas con las características de algunas antenas tradicionales. OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. Hacer un recorrido teórico por los principales conceptos y características que poseen las antenas tradicionales. 2. Hacer un recorrido teórico por los principales conceptos y características que poseen las antenas fractales. 3.

Explicar la construcción de una antena tradicional y la de una fractal.

4. Realizar una comparación entre las propiedades que presenta una antena fractal y una antena tradicional.

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APORTE PRÁCTICO Una comparación entre las antenas tradicionales y las antenas fractales le permite al ingeniero de sistemas y telecomunicaciones comprender a fondo el funcionamiento de las dos tecnologías y por lo tanto tomar decisiones acertadas en un futuro profesional que requiera el conocimiento de dichas tecnologías. El ingeniero de sistemas y telecomunicaciones al conocer los objetos fractales y sus aplicaciones a las antenas, desarrollará una capacidad que va mas halla de los conceptos planos que pudo haber recibido, pues tendrá un entendimiento geométrico del caso de estudio lo cual le permite expandir sus horizontes como profesional e iniciar el camino del campo de la investigación. APORTE TEÓRICO Permitir que el estudiante de ingeniería de sistemas y telecomunicaciones pueda hacer una relación entre las antenas utilizadas actualmente en el área de telecomunicaciones y las antenas fractales. Donde las primeras toman como base la matemática y geometría clásica, y las segundas son construidas teniendo como cimiento los números y geometría fractal. Al mismo tiempo se mostrarán las respectivas diferencias en cuanto al desempeño que poseen las antenas tradicionales y las antenas fractales. Este estudio puede perfectamente seguir desarrollándose, permitiendo crear desde semilleros de investigación en el área de las matemáticas (cálculo, física y geometría) y programación, ya que la modelación computacional que se requiere para mostrar el comportamiento de los números, objetos y antenas fractales tiene demasiadas vertientes de aplicación y estudio, donde la utilización de sistemas distribuidos para la modelación de la información que pueden captar estas antenas es un campo que se puede vincular a la perfección con la arquitectura GRID. FACTIBILIDAD TÉCNICA Este proyecto al enfocarse en la recopilación de conceptos teóricos en los campos de antenas fractales y tradicionales requiere de insumos bibliográficos que están disponibles en la red, lo cual se traduce que para la realización del proyecto se debe construir en texto donde se explique y entrelacen los conceptos que se implementan en las antenas tradicionales y antenas fractales.

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Sin embargo, al aplicar lo recopilado en este proyecto se tienen las bases teóricas para llevarlas a la práctica, lo cual no representan un costo excesivo pues los elementos para la construcción de una antena tradicional como por ejemplo una antena yagi se encuentran a bajo precio en el mercado y más aun si hablamos de las antenas fractales, ya que para construirlas solamente se necesita un impresión en una placa de baquelita, una base metálica y los respectivos conductores de energía, llevando esto a la construcción de un posible laboratorio de pruebas que no tendría mayor costo.

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1.

CONCEPTOS BÁSICOS DE UNA ANTENA ISOTRÓPICA

Cuando se aborda el tema de las telecomunicaciones son muchos los conceptos teóricos que se deben conocer y abordar, sin hablar por supuesto de los elementos físicos que componen este campo de la ingeniería. Sin embargo hay un elemento que es sumamente popular y que desde la niñez se puede observar en las casas, propiamente en el techo de ellas. Estos artefactos son las antenas, las cuales por su composición física aparentemente sencilla, son pasadas por alto. A simple vista solo es una gran cantidad de cables y metales que forman figuras extrañas y que por arte de magia permiten captar la señal de televisión y de radio. No obstante, para los estudiantes de Ingeniería constituye una herramienta vital en su trabajo, las cuales encierran toda una complejidad matemática y física. De una manera mas formal, una antena es definida según el Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) como “Aquella parte de un sistema transmisor o receptor diseñada específicamente para radiar o recibir ondas electromagnéticas”. Sin embargo, como se ha venido mencionando la construcción de una antena debe seguir ciertos parámetros según el propósito que se desea que cumpla, es por esto que se debe tener en cuenta que las antenas que usualmente conocemos han sido diseñadas para trabajar en frecuencias explicitas y que es este factor el que determina el tipo de antena que se construirá, por lo tanto es este atributo el que da origen a la diversidad de antenas existentes.

1.1 ESTRUCTURA DE UNA ANTENA Una antena es un sistema que no solo está conformado por su parte metálica, si no que también requiere de una fuente de voltaje, la cual es la responsable de suministrar la energía necesaria para la irradiación de la potencia. Para una mejor percepción del dispositivo se observa la figura 1.

Figura 1. Antena cargada por la terminal3

3

(Tomasi, 2003)

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En la figura se puede observar que entre la antena y la fuente, existe un elemento llamado línea de transmisión o guía de ondas la “cual es un tipo especial de línea de transmisión formado por un tubo metálico conductor, a través del cual se propaga energía electromagnética. Una (o un) guía de ondas se usa para interconectar en forma eficiente ondas electromagnéticas entre una antena y un transceptor” (Tomasi, 2003). Como se puede evidenciar en la definición, la estructura de una antena no es muy compleja, sin embargo el comportamiento de las ondas electromagnéticas es parte vital para entender la dinámica del comportamiento en las antenas, al momento de transmitir o recibir ondas, sin embargo este tópico se dejará para mas adelante, pues ante todo para entender este comportamiento se deben abordar características esenciales que identifican a las antenas.

1.2 LA RECIPROCIDAD EN LAS ANTENAS Ante todo se cree prudente definir ¿qué es reciprocar?, pues bien, “reciprocar es hacer que dos cosas se corresponda mutuamente”. Exactamente este es uno de los comportamientos que manifiestan las antenas pues este artefacto presenta el mismo comportamiento tanto para la transmisión como para la recepción, sin mencionar otras propiedades como lo son su ganancia y ancho de banda entre otras. Cabe mencionar que por las características que denota la reciprocidad, se dice también que una antena es un dispositivo pasivo “porque en realidad no puede amplificar una señal” (Tomasi, 2003) Todo esto quiere decir que una antena es un artefacto que por si mismo no puede manipular la onda electromagnética que recibe o que trasmite, pues por su misma constitución la cual consta de una fuente de voltaje, una línea de transmisión y la antena como tal, no posee los mecanismos necesarios para tal fin, por lo tanto, la manipulación de la onda se realizará en otro lugar que no es el sistema ya descrito. Sin embargo, este sistema no irradia el ciento por ciento de la energía que circula por el, ya que por estar construido por componentes metálicos, estos presentarán un cierto grado de resistencia a la corriente eléctrica, lo cuál nos lleva a definir otra propiedad característica de las antenas. 1.3 IMPEDANCIA, POTENCIA IRRADIADA Y EFICIENCIA DE LA ANTENA Como se mencionó en el apartado anterior, el sistema que compone la fuente, la línea de transmisión y la antena no irradian la energía transmitida en su ciento por ciento, sin embargo este debe ser el objetivo primordial del sistema ya que es esta energía la que será transmitida, esto nos lleva al concepto de impedancia la cual “Se refiere al comportamiento circuital de una antena y es de primordial importancia, ya que está relacionada con la eficiencia de transmisión de potencia desde o hacia la antena” (Cerda & Alexis, 2007)

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No obstante la antena no es único elemento del sistema que tiene impedancia, también cuenta con ello el generador de energía y la línea de transmisión, es por esto que se debe lograr un acoplamiento en la impedancia de estos tres elementos, como señala (Cardama & Jofre, 2002) Al observar la Figura 1, se puede notar que existe la conexión entre la línea de trasmisión y la antena, en este punto es donde se define la llamada Impedancia de Entrada (Ze), la cuál “Es la impedancia que presenta la antena en su punto de alimentación y la cual es necesario conocer para conseguir un correcto acoplamiento con la impedancia del generador” (Cerda & Alexis, 2007) Este factor es de suma importancia pues permitirá mas adelante realizar estudios de rendimiento y acople con las frecuencias que se implementarán en la antena, de esta forma se puede decir que la impedancia es un número complejo donde su parte real R e(w) es la resistividad y su parte imaginaria Xe(w) es la reactancia, ambas dependientes de la frecuencia utilizada, sin embargo cuando Ze carece de reactancia se dice que es una Antena Resonante. Por lo tanto, la potencia que emite el sistema puede ser medida bajo el concepto de Resistencia de Radiación (Rr) que no es más que “El valor de la resistencia que disiparía óhmicamente la misma potencia que la radiada por la antena” (Cardama & Jofre, 2002)

La resistencia de radiación también es útil para hallar la potencia que ella disipa en la antena, este fenómeno es llamado Potencia Irradiada (Prad) y se puede expresar como

Esta resistencia representa a la antena como tal, pues si en lugar de ella se colocara esta resistencia, este componente irradiaría la misma cantidad de potencia que la misma antena. Este concepto demuestra que la eficiencia en la irradiación de la energía al espacio libre no está totalmente garantizada, por lo tanto la medición de este fenómeno es importante para tener un punto de referencia a la hora de calcular la cantidad de corriente que recorrerá el sistema. Sin embargo, como se puede medir la potencia irradiada también se puede medir la potencia de perdida, de esta forma se tiene el concepto de Potencia de Perdida (Pper), la cual tiene la misma forma que la expresión que la Potencia Irradiada. Como en su contraparte la potencia de perdida posee una Resistencia de Perdidas (RΩ), donde la suma de la Potencia Irradiada y la Potencia de Perdida se expresan como:

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Es de tener en cuenta que “la impedancia de entrada es un parámetro de gran trascendencia, ya que condiciona las tensiones de los generadores que se deben aplicar para obtener determinador valores de corriente en la antena y, en consecuencia, una determinada potencia irradiada” (Cardama & Jofre, 2002) Retomando el fenómeno de las pérdidas de potencia que presenta la antena, es necesario contar con un indicador que permita hacer una valoración de la eficiencia de la antena en este aspecto, de aquí se deriva el concepto de Eficiencia de la Antena, que se define como: “La relación de la potencia irradiada por ella entre la suma de la potencia irradiada y la potencia disipada, o la relación de la potencia irradiada por la antena entre la potencia total de entrada” (Tomasi, 2003)

Sin embargo, hasta ahora se ha trabajado suponiendo que no existe reactancia ni pérdidas en la antena, pero como ya se ha mencionado, el sistema que compone la antena, la línea de transmisión y la fuente, producen cada uno sus respectivas pérdidas ya sea por el materia del que están construidos o la intervención del plano de tierra, esto factores afectan la radiación de la antena. Dicho de otro modo, se tiene que “superpuestas a la radiación tendremos las pérdidas que puedan producirse en la antena, habitualmente óhmicas en los conductores” (Cardama & Jofre, 2002) Esto permite complementar el concepto de impedancia. Como ya se ha dicho, la impedancia tiene su parte real y su parte imaginaria expresado como

No obstante, Re(w) se descompone en la “la parte Rj que representa las pérdidas óhmicas en el circuito de la antena y la resistencia de radiación R r asociada a la potencia emitida” (Universidad de Buenos Aires, 2004) por lo tanto Re(w) se puede expresar como

De esta forma la expresión de impedancia Ze quedará como

Cabe anotar que, “si la parte reactiva es grande, hay que aplicar tensiones elevadas para obtener corrientes apreciables; si la resistencia de radiación es baja, se requiere elevadas corrientes para tener una potencia radiada importante” (Cardama & Jofre, 2002) Un ejemplo de esto puede ser un sistema radiante de radiodifusión, que requiere radiar una potencia de 300kW con una antena de impedancia de entrada de 30 – j200Ω, para esta impedancia se necesita una corriente de 100ª y un generador de |V| = 606712.452 V. 18

Si se compensar la parte reactiva mediante una inductancia la tensión del generador sería de solo 3000V, como se puede ver en los cálculos.

Cabe anotar que los “altos valores de corriente producen pérdidas óhmicas importantes y elevados valores de tensión pueden producir fugas y descargas entre diversas partes de la antena o con tierra, planteando problemas de forma y aislamiento” (Cardama & Jofre, 2002) La reactancia produce un ángulo de fase entre voltaje y corriente. Los elementos encargados de producir este efecto son el capacitor e inductor, los cuales son elementos pasivos como la resistencia y permiten que la impedancia pueda tomar dos formas como lo son la impedancia inductiva o impedancia capacitiva dependiendo del valor negativo o positivo, respectivamente, que toma la reactancia Xe(w). La impedancia al incorporar estos elementos empieza a ser influenciada por el dominio de la frecuencia (w) con que trabaja el circuito que describe el desempeño de una antena. Por lo tanto se define la impedancia del inductor y la impedancia del capacitor, con las siguientes expresiones:

Donde sus unidades son de ohms (Ω). De este modo “al dividir el voltaje, a través de un elemento de dos terminales, entre la corriente que pasa por el mismo se obtiene un término Xe(w) negativo, esa reactancia es capacitiva y es causada por un capacitor. Cuando el término X e(w) es positivo, la reactancia es inductiva y es causada por un inductor o bobina”(Roadstrum & Wolaver H, 1999)

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1.4 RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA (ROE) Ó VOLTAGE STANDING WAVE RATIO (VSWR) Cuando una fuente de alimentación transmite su energia a través de la línea de transmisión o directamente hacia la antena, debe existir un acople de impedancia entre los dos elementos, ya que de lo contrario existiría dos ondas, una que es absorbida por la antena (carga) y otra que es reflejada hacia la fuente, de este modo se tiene dos ondas que viajan en sentido contrario y por lo tanto se crea una onda estacionaria, la cual es un patrón de interferencia. De modo que “una onda de este tipo es un patrón de vibración estacionario formado por la superposición de dos ondas de la misma frecuencia que viajan en direcciones contrarias“ (Serway, 1997) Este fenómeno se describe en la física mecánica por medio de la reflexión, transmisión y superposición de ondas mecánicas. En la siguiente figura se puede observar cómo se crea la onda estacionaria, por medio de la onda incidente y reflejada.

Figura 2. Formación de onda estacionaria en la línea de transmisión (a) onda incidente (b) onda reflejada (c) onda estacionaria Una medida de esta interferencia es la Relación de Onda Estacionaria, abreviada en castellano como ROE y VSWR en inglés (Voltage Standing Wave ratio). “La relación de onda estacionaria se define como la relación del voltaje máximo sobre el voltaje mínimo, o de la corriente máxima entre la corriente mínima de una onda estacionaria en la línea de trasmisión ”(Tomasi, 2003)

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Donde Vmáx y Vmin se expresan como

De este modo SWR se expresa como

En esta ecuación se pueden observar tres casos: 1. SWR es igual a infinito. Es el peor de los casos. 2. Cuando no hay onda reflejada (Er = 0) 3. SWR = E i / E i = 1. Este caso se presenta cuando toda la potencia incidente es absorbida por la antena (carga). ZL= ZS La siguiente tabla muestra el porcentaje de potencia que llega de la fuente de alimentación hacia la antena, y por consiguiente la cantidad de energía que se puede irradiar, según la medida arrojada por la Relación de Onda Estacionaria (ROE) ó VSWR (Voltage Standing Wave ratio). El índice recomendado para un SWR aceptable se encuentra entre 1 < SWR < 2

SWR

Porcentaje de Poder de Salida

SWR

Porcentaje de Poder de Salida

SWR

Porcentaje de Poder de Salida

1.0:1

100%

1.4:1

97.2%

1.8:1

92%

1.1:1

99.8%

1.5:1

96%

1.9:1

90.5%

1.2:1

99%

1.6:1

94.7%

2.0:1

89%

1.3:1

98.3%

1.7:1

93%

3.0:1

75%

Tabla 1. Relación de Onda Estacionaria ROE (Porcentaje de potencia irradiada)

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1.5 EFECTO DEL ACOPLE ENTRE LA IMPEDANCIA DE SALIDA DEL TRANSISTOR Y LA IMPEDANCIA DE ENTRADA Para describir de mejor manera el acople entre estas dos impedancias, retómese lo dicho en el apartado 1.1. Recuérdese que una antena es parte de un sistema que se compone de una fuente de poder, una línea de transmisión y la antena. La corriente que genera la fuente de poder recorre la línea de transmisión llegando a la antena, “el punto de la antena donde se conecta la línea de transmisión se llama terminal de entrada de la antena o simplemente punto de alimentación” (Tomasi, 2003) Este punto de alimentación por su parte presenta una resistencia llamada impedancia de entrada de la antena. Sin embargo, toda fuente de poder tiene una resistencia interna que limita la cantidad de potencia que se suministra a la antena, imponiendo un límite a la corriente que la fuente puede entregar, afectando de esta forma la potencia irradiada de la antena. Pues bien, ya que la resistencia del generador de energía no se puede cambiar, una solución sería encontrar un balance entre el valor de la impedancia de salida del transmisor y la impedancia de entrada de la antena “la cual es necesario conocer para conseguir un correcto acoplamiento con la impedancia del generador” (Cerda & Alexis, 2007), de esta forma la aplicación del Teorema de máxima transferencia de potencia daría una respuesta. Este teorema dice que: “Una fuente de voltaje independiente en serie con una resistencia RS, o una fuente independiente de corriente en paralelo con una resistencia RS entrega una potencia máxima a aquella resistencia de carga RL para la cual RL= RS” (Hayt & Kemmerly, 2000) Donde la resistencia RS representa la resistencia interna que posee la fuente de poder y la resistencia RL representa la resistencia de la antena, como se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Circuito que representa una fuente voltaje que posee una resistencia RS incorporada conectada en serie con una resistencia de carga RL En la siguiente gráfica se aprecia la variación de la potencia de carga P L en función de la resistencia de carga RL 22

Figura 4. Resistencia de carga RL vs Potencia de carga PL No obstante el acople entre las dos impedancias no es siempre fácil de alcanzar pues la obtención de la impedancia de entrada es difícil de calcular o puede ser variable, como es el caso de los dispositivos móviles, donde las manos o la cabeza influyen en la impedancia de la antena. Ahora, otro de los efectos que tiene el acople de impedancia se ve reflejado en la eficiencia de la antena (η). Recuérdese entonces que la eficiencia de la antena puede estar definida en términos de resistencias RL y RS como

De esta forma se aplica el principio de teorema de máxima transferencia de potencia que postula que RL= RS, esta igualdad se reemplaza en la expresión que describe la eficiencia de la antena, quedando de esta forma

Lo que significa que al lograr el acople de impedancias, la eficiencia (o también llamada potencia total alimentada) tendría una efectividad de 50%. Este efecto permite concluir que lograr una máxima transferencia de potencia, no es lo mismo que lograr una máxima eficiencia. 23

En esta gráfica se aprecia la variación de rendimiento en función de la resistencia de carga RL

Figura 5. Resistencia de carga RL vs Eficiencia de la antena 1.5.1. EL RUIDO ELÉCTRICO EN EL ACOPLE DE IMPEDANCIAS Otro factor que influye en la necesidad del acople entre la impedancia de entrada y la impedancia de salida, es la existencia del ruido eléctrico. Se podría pensar que la existencia del ruido esta ligada a ciertos tipos de casos como “la resistencia interna de la fuente de señal de un amplificador el cual genera ruido térmico que se amplifica, junto con la seña útil, originando ruido en la salida” (Miyara & Lahoz, 2003) Sin embargo, los transistores y resistores que conforman el sistema de transmisión y recepción de la antena son ruidosos, comprometiendo de esta forma el desempeño de la misma y originando la atenuación en la señal. Una forma de contrarrestar el ruido y la atenuación de la señal es proporcionando la continuidad (acople) en las impedancias. Este fenómeno se explica a continuación: La discontinuidad en la impedancia provoca atenuación porque una porción de la señal transmitida se volverá a reflejar en el dispositivo trasmisor en lugar de seguir su camino al receptor, efecto eco. Cuando el retorno de este reflejo choca en la primera discontinuidad, la parte de la señal rebota en dirección de la señal original, creando múltiples efectos ecos. Los ecos chocan con el receptor a distintos intervalos, dificultando la tarea de detectar con precisión los valores de datos de la señal. A esto se le conoce como fluctuación y genera errores en los datos.

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1.6 LÍMITES QUE PRESENTAN LAS ANTENAS DE DIMENSIONES FÍSICAS PEQUEÑAS Cuando se pretende construir un sistema de información se deben tener en cuenta todas aquellas medidas de tipo teórico, donde se incluye desde la consideración del sitio donde se instalarán los dispositivos hasta el aseguramiento de la calidad de la información. Sin embargo la mayoría de veces se consideran solamente los grandes detalles pero en muchas ocasiones son las pequeñas circunstancias las que detienen todo un proyecto. Como por ejemplo, se tiene una central donde es necesaria la instalación de una antena de tamaño pequeño pues las dimensiones del lugar no son muy amplias, pero acontece que las frecuencias a las cuales se requiere transmitir no son recomendadas para una antena de este tipo, o por el contrario, en el presupuesto el dinero destinado para la compra de la antena solamente alcanza para una de estas características. Una situación como esta se evidencia en la siguiente tabla Frecuencia

Longitud de onda (metros)

Longitud de antena(metros)

1kHz

300000

150000

1GHz

0,3

0,15

Tabla 2. Relación entre longitud de onda y longitud de antena Para comprender mejor esta tabla los conceptos de longitud de onda y longitud de antena se definen como: “Una longitud de onda es la distancia mínima entre dos puntos cualesquiera sobre una onda que comporta idénticamente” (Serway, 1997) “Toda onda se caracteriza por su frecuencia (f) y su longitud de onda (λ), ambas relacionadas por la velocidad de propagación en el medio, que habitualmente en antenas tiene las propiedades del vacío (c=3·108 m/s)” (Cardama & Jofre, 2002)

Donde la longitud de antena se expresa como:

Volviendo a la tabla, se tiene que en el primer caso se requiere transmitir a una frecuencia de 1kHz, sin embargo realizando los cálculos de longitud de onda y longitud de antena, arroja que para transmitir a esta frecuencia se requiere una antena de dimensión 150.000 metros, lo cual resulta poco práctico. 25

En el segundo caso, dentro del presupuesto, se tiene destinado solamente para comprar una antena de dimensión 0.15 metros, la cual trabaja en la frecuencia de 1GHz, pero existe un problema, esta no es la frecuencia deseada. Por esta razón es importante determinar si el volumen físico especificado, es en teoría, lo suficientemente grande eléctricamente, lo cual permite diseñar cualquier antena que pueda satisfacer las necesidades de ancho de banda de impedancia requerida. Esta circunstancia es señalada por Randy Bancroft en Fundamental Dimension Limits of Antennas “Hay un límite teórico fundamental para el ancho de banda y la eficiencia de radiación de antenas eléctricamente pequeñas. El intento de eludir estos límites teóricos puede desviar recursos de manera improductiva para hacer frente a un problema que es insuperable.” (Bancroft, s.f.) Por tal motivo se requiere una antena que pueda superar las limitaciones físicas sin comprometer el desempeño eléctrico y la eficiencia del dispositivo. 1.7 CARGA DE LA ANTENA (BOBINAS DE CARGA) Hasta el momento se ha señalado la importancia que tiene el acople de la impedancia de entrada de la antena y la impedancia de salida de la fuente, y estrechamente relacionado a este concepto la impedancia. Pues bien, partiendo de este punto y recordando que uno de los factores que imposibilitan una buena transferencia de potencia hacia la antena es la reactancia que presenta, se aborda la técnica llamada Bobinas de Carga, la cual permite aumentar la longitud eléctrica de la antena (situación manifestada en el apartado 1.5) y su vez contrarrestar los efectos de la reactancia en la antena. Como se puede observar en la Tabla 1. las antenas tradicionales tienen grandes dimensiones físicas cuando se requiere trabajar a bajas frecuencias, situación que no es deseada cuando se requieren para aplicaciones de radio móvil. Por otro lado, esto se relaciona directamente con la resistencia y su reactancia, pues “para frecuencias menores que la de resonancia, la antena ofrecerá una reactancia capacitiva creciente y una resistencia de radiación decreciente al disminuir la frecuencia” (Portal Argentino de radioafición, 2003) Lo que demanda la generación de una corriente elevada para lograr una disipación de potencia considerable, como se mencionó en el apartado 1.3. No obstante la técnica de Carga de Bobina permite abordar este fenómeno, donde “la bobina de carga anula y elimina bien el componente capacitivo de la impedancia de entrada de la antena” (Tomasi,2003) permitiendo que la resistencia de radiación aumente la potencia irradiada y entre en resonancia.

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Sin embargo, aunque la potencia aumente en cierto grado, no se irradia el 100% de la energía, pues al ser conectada la inductancia (LC), esta posee una resistencia (RC) que estará insertada en serie con el circuito equivalente, por lo tanto “la resistencia de radiación que se agrega por efecto de la bobina, es en general despreciable comparada con la pérdida que introduce la resistencia de la bobina, pero que no podemos dejar prescindir pues es la que hace posible transferir energía a la antena” (Portal Argentino de radioafición, 2003) De esta forma, es evidente que la transferencia de energía se hace a expensas del rendimiento de la antena. En la siguiente figura se puede ver la bobina de carga en el sistema que conforma la fuente, línea de transmisión y antena

Figura 6. Bobina de carga

Figura 7. Circuito de la antena donde se muestra R r , capacitancia (Ca), bobina (LC) y resistencia de la bobina (RC) Obsérvese en la figura anterior que la bobina se sitúa en la parte inferior de la antena, esto facilita la sintonía con la resonancia. Sin embargo, al presentarse dificultades con el acoplamiento se puede optar por bobina adaptadora de inductancia L a (L1 + L2) la cual permite solucionar este problema pero reduciendo al mismo tiempo la bobina de carga para mantener la antena de resonancia.

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Figura 8. Bobina adaptadora de inductancia La (L1 + L2)

1.8 CAMPO ELÉCTRICO Y CAMPO MAGNÉTICO Las antenas al tener que manipular cantidades de energía que circulan a través de ellas, se someten a la presencia e influencia de dos tipos de campos, eléctrico y magnético. Estos campos suelen representarse de forma gráfica mediante una serie de líneas llamadas líneas de fuerza. El campo erétrico se caracteriza por que sus líneas son paralelas al eje de la antena y el campo magnético describe líneas de fuerza que son perpendiculares al eje de la antena, de esta forma la antena al irradiar energía activa estos campos que “varían en función de las variaciones de potencia eléctrica que dan origen al campo electromagnético” (Cerda & Alexis, 2007) Este campo electromagnético se puede dibujar como un rejilla pues “los campos eléctricos y magnéticos de una onda electromagnética plana son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. Así, las ondas electromagnéticas son ondas transversales” (Serway, 1997)

Figura 9. Campo electromagnético en forma de rejilla

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Figura 10. Ondas transversales, campo eléctrico y campo magnético La siguiente figura muestra la distribución del campo eléctrico y magnético.

Figura 11. Distribución del campo eléctrico y magnético en un dipolo Estos campos pueden ser representados por los vectores y ; donde estos vectores representan el campo eléctrico y el campo magnético respectivamente. El campo eléctrico esta dado por voltios / metro y el campo magnético esta dado por amperios / metro, sin embargo estos campos no son constantes, ya que, como se dijo anteriormente dependen de la variación de potencia, lo que traduce que “la libre propagación de la onda del dipolo es alcanzada por la permanente transformación de la energía magnética en eléctrica y viceversa” (Cerda & Alexis, 2007) 1.9 DIAGRAMAS DE RADIACIÓN Una de las características más remarcables en una antena es su capacidad de radiar hacia una dirección en específico, brindando la posibilidad de direccionar cierta señal hacia un punto en particular. Anteriormente se trato el tema potencia irradiada, dando a entender que una antena libera cierta cantidad de potencia al espacio libre, donde esta potencia incluye la señal que se desea transmitir, sin embargo, aun queda una pregunta por resolver ¿cómo se sabe hacia adonde se dirige la onda electromagnética? y ¿qué patrones de radiación describe la antena cuando irradia las ondas electromagnética?

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Pues bien, para este caso se emplean una herramienta llamada Diagrama de Radiación que “es una representación gráfica de las propiedades de radiación de la antena, en función de las distintas direcciones del espacio, a una distancia fija” (Cardama Aznar, Jofre Roca, Rius Casals, Romeu Robert, Blanch Boris, & Ferrando Bataller, 2002) El Diagramas de Radiación también se puede considerar como un diagrama de recepción, pues está describiendo las propiedades receptivas de la antena. Existen por lo tanto tres tipos de Diagramas de Radiación Coordenadas esféricas Coordenadas polares Coordenadas cartesianas 1.9.1. COORDENADAS ESFÉRICAS Este sistemas de coordenadas permite describir la direccionalidad de la antena que se desea caracterizar, haciendo uso del plano cartesiano de tres dimensiones, vectores unitarios para describir la dirección, y ángulos que influyen directamente en estos vectores. Con estos elementos se puede tener un marco de referencia para ubicar la dirección a la cual se desea apuntar la antena para trasmisión o recepción. En la siguiente figura se puede observar la utilización del sistema de coordenadas esféricas.

Figura 12. Sistema de coordenadas esférico4

4

(Cardama Aznar, Jofre Roca, Rius Casals, Romeu Robert, Blanch Boris, & Ferrando Bataller, 2002)

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Los ángulos θ y Φ son empleados para definir una dirección en el espacio. Este sistemas de coordenadas define los vectores unitarios los cuales al ser influenciados por los ángulos θ y Φ brindan una perspectiva tridimensional acerca de la dirección a la cual está apuntando la antena y por lo tanto la onda electromagnética. La dirección de este campo también se puede definir en función de vectores, como se expresa a continuación. “La onda electromagnética radiada se compone de un campo eléctrico

y campo

magnético ; ambos son magnitudes vectoriales” (Cardama Aznar, Jofre Roca, Rius Casals, Romeu Robert, Blanch Boris, & Ferrando Bataller, 2002) Estos campos eléctricos y magnéticos permiten que se defina lo que se llama la densidad de potencia radiada, que no es más que la cantidad de watts por metro cuadrado (m 2) que se irradia en una dirección por medio de la antena. La densidad de potencia radiada se expresa como:

1.9.2. COORDENADAS POLARES Generalmente los patrones o diagramas de radiación son tridimensionales (Figura 13) y estos pueden expresarse en términos de los planos E (electrico) y H (magnético). Sin embargo, esta representación tridimensional presenta un exceso de información a la hora de analizar el diagrama. Por esto se utiliza una porción bidimensional del patrón en el plano horizontal o vertical. Este corte bidimensional aplicado a coordenadas polares permite que “el ángulo en el diagrama polar represente la dirección del espacio, mientras que el radio representa la intensidad del campo eléctrico o la densidad de potencia irradiada” (Cardama Aznar, Jofre Roca, Rius Casals, Romeu Robert, Blanch Boris, & Ferrando Bataller, 2002)

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Figura 13. Patrón de radiación tridimensional

El sistema de coordenadas polares presenta dos clases de diagrama: Coordenadas polares lineales Coordenadas polares logarítmicas Cada uno de estos patrones puede graficar el esquema de radiación de la antena en forma diferente, pero normalmente el patrón de radiación basado en coordenadas polares lineales es el más utilizado para el análisis, y es utilizado por otros textos que pertenecen a la rama de las telecomunicaciones. Coordenadas polares lineales

Figura 14. Coordenadas polares lineales 32

En este tipo de gráfica los círculos concéntricos están espaciados uniformemente y graduados de modo que exista una simetría. Cada círculo permite que la gráfica pueda ser expresada en término de radiación absoluta o radiación relativa. Para tener más claro este concepto, se tiene la siguiente definición: “Si la gráfica de radiación se traza en términos de intensidad de campo eléctrico o de densidad de potencia se llama gráfica de radiación absoluta (es decir, distancia variable y potencia fija). Si se grafica intensidad de campo o densidad de potencia con respecto a valor de algún punto de referencia, se llama gráfica de radiación relativa (es decir, potencia variable, distancia fija)” (Tomasi, 2003) Usualmente un patrón de radiación basado en coordenadas polares lineales se expresa en términos de potencia (dB), pero también se puede expresar en términos de voltaje de la señal. Sin embargo, expresar este diagrama en términos de potencia, mejora la presentación de las características de una antena con alta directividad. Coordenadas polares logarítmicas

Figura 15. Coordenadas polares logarítmicas En este tipo de gráfica los círculos concéntricos están espaciados periódicamente de acuerdo con el logaritmo de voltaje de la señal. Lo cual significa que la apariencia o presentación que toma el patrón de radicación está directamente relacionado con la fluctuación del voltaje.

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1.9.3. COORDENADAS CARTESIANAS

Figura 16. Coordenadas cartesianas “En coordenadas cartesianas se representa el ángulo en abscisa y el campo o la densidad de potencia en ordenadas” (Cardama Aznar, Jofre Roca, Rius Casals, Romeu Robert, Blanch Boris, & Ferrando Bataller, 2002) A diferencia del diagrama de radiación basado en coordenadas polares, que permite visualizar el comportamiento electromagnético referente a su desempeño en espacio y potencia, el diagrama de radiación basado en coordenadas cartesianas posibilita un análisis más detallado con respecto a los valores que toma el patrón de radiación de la antena en el espacio, pudiendo detallar el comportamiento cuantitativo de cada uno de los lóbulos de la sección objeto de estudio. 1.10 TIPOS DE LÓBULOS EN LOS DIAGRAMAS DE RADIACIÓN Como ya ha podido observar en los diferentes diagramas de radiación, la manipulación de la onda electromagnética no está ciento por ciento controlada, es decir, no toda la potencia irradiada es dirigida al mismo lugar sucediendo que una parte de ella es radiada en otras direcciones. Este fenómeno puede ser visto e identificado en mayor medida en los diagramas de radiación polares, donde la onda irradiada y su comportamiento toma la forma de lóbulos que caracterizan la dispersión de la onda en el espacio. Observar el siguiente diagrama de radiación

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Figura 17. Diagrama de radiación polar Normalmente una antena cuando empieza a radiar hacia el espacio libre presenta una cierta cantidad de lóbulos que poseen un menor o mayor tamaño representa a los otros, los cuales se procede a definir. Lóbulo principal o mayor: Es aquel que representa la zona en la que la radiación es máxima. “La línea que bisecta al lóbulo mayor, o que apunta desde el centro de la antena con dirección de radiación máxima se llama línea de tiro, o a veces punto de tiro”(Tomasi, 2003) Lóbulo lateral: El lóbulo lateral es aquel que se encuentra al costado del lóbulo principal, pueden haber hasta dos lóbulos laterales. El lóbulo lateral de mayor amplitud se denomina lóbulo secundario. Lóbulo trasero: Es aquel cuya dirección es exactamente apuesta a la dirección del lóbulo principal. Relación delante-atrás (D / A): Es el cociente, también en dB, en “la relación de la potencia de lóbulo frontal a la de lóbulo trasero”(Tomasi, 2003) Relación de lóbulo principal a secundario (NLPS): “Es el cociente, expresado en dB, entre el valor del diagrama en la dirección de máxima radiación y en la dirección del máximo lóbulo secundario” (Cardama Aznar, Jofre Roca, Rius Casals, Romeu Robert, Blanch Boris, & Ferrando Bataller, 2002) El próximo concepto está estrechamente relacionado con la directividad y ganancia de la antena (estos conceptos se verán más adelante) sin embargo, a partir de la definición de lóbulo principal se puede referirse a el, estamos hablando del Ancho de Haz. El Ancho de Haz se encuentra en el lóbulo principal de radiación, recuérdese que este lóbulo representa la zona de máxima potencia. A continuación se define el procedimiento para encontrar el haz es el siguiente. “Se encuentra el pico de intensidad de radiación, luego se localizan los puntos de ambos lados de pico que representan la mitad de la potencia de intensidad del pico. Las distancia angular entre los puntos de la mitad de la potencia se define como el ancho del haz” (Redes inalámbricas en los países en desarrollo, 2006) 35

Esta distancia o separación angular se puede definir a -3dB, que es el intervalo angular en el que la potencia radiada es igual a la mitad de la potencia máxima.

Figura 18. Ancho del haz en un diagrama de radiación “Ahora, suponiendo que la mayor parte de la potencia irradiada no se dispersa en lóbulos laterales, entonces la ganancia directiva es inversamente proporcional al ancho del haz: cuando el ancho de haz decrece, la ganancia directiva se incrementa“(Redes inalámbricas en los países en desarrollo, 2006) 1.11 GANANCIA DIRECTIVA Para entender lo que es la directividad antes que nada se debe saber qué es una antena isótropa. Se denomina antena isótropa a una antena ideal que radie la misma intensidad de radiación en todas las direcciones del espacio. Aunque no existe ninguna antena de estas características, es de gran utilidad para definir los parámetros de la siguiente sección. (Cardama Aznar, Jofre Roca, Rius Casals, Romeu Robert, Blanch Boris, & Ferrando Bataller, 2002) Esto quiere decir que este tipo de antena cuando radia su onda electromagnética, la potencia de esta llega en igual cantidad (watts/m2) a todos los puntos en el espacio libre. Dicho esto, se define directividad como: Como la relación entre la densidad de potencia radiada en una dirección, a una distancia dada, y la densidad de potencia que radiaría a esa misma distancia una antena isótropa que radiase la misma potencia que la antena (Cardama Aznar, Jofre Roca, Rius Casals, Romeu Robert, Blanch Boris, & Ferrando Bataller, 2002)

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Y se expresa como:

En conclusión, para poder determinar la directividad de una antena, se necesita la densidad de potencia radiada de esta y al mismo tiempo tomar como referencia la densidad potencia radiada de una antena isótropa, donde las dos antenas tienen como referencia el mismo punto en el espacio. La ganancia directiva máxima se llama directividad. 1.12 GANANCIA DE POTENCIA “La ganancia de potencia es lo mismo que la ganancia directiva, excepto que se usa la potencia total alimentada a la antena; es decir, se toma en cuenta la eficiencia de la antena” (Tomasi, 2003)

Recuerde que tanto la ganancia directiva como la ganancia de potencia son cantidades adimensionales y están relacionadas por la eficiencia de la antena. Para entender el comportamiento de una antena con respecto a su potencia y directividad, es importante recordar que una antena sólo concentra su potencia irradiada en determinada dirección. Esta dirección es hacia a donde se dirige la máxima radiación de la antena, existiendo por lo tanto una máxima potencia, no obstante esto significa que en el sentido opuesto al de la máxima potencia de radiación existirá una reducción o pérdida de potencia, esto puede expresarse como la aparición del lóbulo trasero. Cabe anotar que una antena es un dispositivo recíproco y por lo tanto su gráfica de radiación también es su gráfica de recepción, esto lleva a la conclusión de que “para alcanzar un potencia capturada máxima, una antena de recepción debe apuntar en la dirección desde donde se desea recibir. En consecuencia, las antenas de recepción tienen directividad y ganancia de potencia, exactamente como las de transmisión” (Tomasi, 2003)

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1.13 POLARIZACIÓN La polarización de una antena se define como “la orientación del campo eléctrico que se irradia de ella” (Tomasi, 2003) Este campo eléctrico al ser irradiado describe una figura geométrica característica del tipo de polarización de la antena, es decir, cada antena se diseña de modo que su patrón de radiación cumpla con un cierto comportamiento, relacionado a esto, se debe configurar la antena para que irradie de cierto modo, por tal motivo la antena debe estar polarizada. La polarización de una antena tradicional se puede dar en tres modos: Polarización circular: Este tipo de polarización la describen antenas de tipo isótropas, las cuales irradian igual potencia en todas las direcciones. “En realidad esta antena no existe, pero provee un patrón teórico útil y sencillo con el que se comparan las antenas reales” (Redes inalámbricas en los países en desarrollo, 2006)

Figura 19. Diagrama de radiación isótropo (Polarización circular)

Polarización elíptica: Este tipo de polarización lo presentan “ondas con variación temporal sinusoidal”(Cardama Aznar, Jofre Roca, Rius Casals, Romeu Robert, Blanch Boris, & Ferrando Bataller, 2002)

Figura 20. Diagrama de radiación omnidireccional (Polarización elíptica) Polarización lineal: “Con la polarización lineal, el vector del campo eléctrico se mantiene en el mismo plano todo el tiempo. El campo eléctrico puede dejar la antena en una orientación vertical, horizontal, o en algún ángulo entre los dos” (Redes inalámbricas en los países en desarrollo, 2006) Si el campo eléctrico permanece en la dirección vertical durante toda la trayectoria de una onda decimos que tiene paralización vertical, para un dipolo el movimiento de los electrones dentro del alambre responde al campo eléctrico y por lo tanto define la polarización.

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Figura 21. Polarización vertical Si se coloca el alambre en posición horizontal, se tiene una polarización horizontal.

Figura 22. Polarización horizontal 1.14 EL PATRÓN DE RADIACIÓN, PISTAS PARA UN ANÁLISIS Como es sabido, las antenas son parte de un sistema que permite recibir y transmitir ondas, el cuál es alimentado por una fuente de energía. Pues bien, ya que las antenas al recibir estos impulsos eléctricos que son convertidos en ondas, deben presentar ciertos patrones que describan el comportamiento de estas ondas en el medio. Para tal fin, la diagramación de estas ondas es sumamente importante ya que a través de estos diagramas se puede hacer estudios sobre la potencia, cobertura, comportamiento de las fases de onda, directividad de la onda, identificación del tipo de antena según el diagrama, en fin, cantidad de información relevante.

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Figura 23. Patrón de radiación en coordenadas polares

Figura 24. Patrón de radiación en coordenadas cartesianas Como se puede observar, mediante el uso de estos diagramas se puede realizar un estudio más detallado del comportamiento de radiación en la antena, permitiendo que los ingenieros puedan tomar decisiones acertadas con respecto a la elección de la antena adecuada según la necesidad y la cobertura deseada. La pregunta que muchas personas se hacen es ¿cuál diagrama es mejor? ¿Cuál es el más utilizado?, pues bien, en realidad los dos diagramas funcionan como complemento entre si. Se puede analizar los patrones de radiación que describen las figuras 23 y 24, respectivamente. En el diagrama de radiación de coordenadas polares se puede observar fácilmente la dirección que toma el campo eléctrico o la densidad de potencia que emana de la antena que se encuentra en el centro, aquí se indica que el campo que presenta mayor intensidad tiene una dirección de 00, según como se muestra en el diagrama. Paralelamente se puede analizar el diagrama de radiación de coordenadas cartesianas donde se puede observar el comportamiento de la onda irradiada de manera más detallada, donde se puede apreciar los lóbulos laterales y secundarios que manifiesta la onda. Al observar este diagrama y en especial la figura 23, se puede notar que la onda irradiada desde el centro de la figura se distorsiona según el ángulo que se analice. Por ejemplo, la onda que se dirige hacia el ángulo 0 0 presenta mucha mas densidad de potencia que las otras que se dirigen a los ángulos 1350 y -1350 aproximadamente. 40

Es importante interpretar los conceptos de Lóbulo principal, Lóbulos laterales y Lóbulo secundario pues son determinantes a la hora de analizar y hacer una comparación entre diferentes tipos de antenas, en especial entre las antenas fractales y las tradicionales. 1.14.1. INTERPRETACIÓN DE UN DIAGRAMA DE PATRÓN DE FRECUENCIA EXPRESADO EN COORDENADAS CARTESIANAS. La interpretación de este diagrama en particular permite identificar, el comportamiento de una onda irradiada, esta facultad posibilita que exista una comparación entre tipos distintos de antenas, que para este caso serían las antenas fractales y las antenas tradicionales. Es bien sabido que para lograr una buena interpretación de cualquier tipo de gráfica no solo es necesario tener una buena fundamentación de qué y cuales son los elementos a graficar, si no también poseer un nivel de abstracción que permite “leer” la gráfica. Para realizar este ejercicio, se toma como ejemplo la gráfica 25.

Figura 25. Diagrama de patrón de frecuencia en coordenadas cartesianas Como se puede observar el gráfico consta de dos ejes donde la abscisa representa los grados (degree) y la ordenada representa la densidad de potencia (dB), se nota que en el eje de la ordenada se denota con el nombre de factor de arreglo (array factor), pues bien, cabe aclarar que este diagrama no pertenece a una antena tradicional, si no que es el diagrama del patrón de irradiación de un arreglo fractal llamado Peano – Gosper. Esta elección se realizó con el fin de mostrar y acostumbrar al lector al tipo de diagramas que producen las antenas fractales. Para retomar, se observa que la abscisa va desde los 0 o hasta los 900 y la ordenada presenta los valores comprendidos desde -80 dB hasta los 0 dB.

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Tomando el concepto anterior del significado del lóbulo o haz principal, se busca las coordenadas donde se ubica este, arrojando como resultado las coordenadas (0 o, 0), esto representa que en (0o , 0) se encuentra la zona de máxima radiación. Este lóbulo principal perfectamente puede apuntar hacia otras coordenadas, no necesariamente deben ser siempre las mismas.

Como siguiente paso, se hace un recorrido hacia el extremo derecho de la gráfica y se observa que existen ondas que apuntan a diferentes direcciones y simultáneamente poseen radiaciones de distintos valores. Lo que aquí se puede observar son los lóbulos laterales que presenta la antena que está irradiando. Posteriormente se procede a ubicar el lóbulo secundario, como se vio anteriormente es el lóbulo lateral de mayor amplitud. Según esto y observando detalladamente la ordenada se puede deducir que el lóbulo secundario se encuentra en las coordenadas (5 o, 5) haciendo una aproximación al valor en la abscisa. Identificando estos dos lóbulos se puede hacer un diagnóstico comportamiento que presenta la antena en la radiación de ondas.

general

del

Se dice que el diagrama refleja el comportamiento de radiación desde los 0 o hasta los 90o donde en este trayecto la onda de radiación alcanza un pico hasta los 0 dB y que sus lóbulos laterales van desde los 5o hasta los 90o. La serie de lóbulos que se ubican en este trayecto están directamente influenciados por el tamaño de longitud de onda que en este caso es λ, de esta manera se deduce que dependiendo del valor de longitud de onda que posea la onda, los lóbulos laterales y el haz principal podrán estar ubicados en diferentes coordenadas, presentado diferente comportamiento como se puede observar en diagrama de radiación de la figura 26, donde el valor de longitud de onda es λ / 2.

Figura 26. Diagrama de patrón de frecuencia en coordenadas cartesianas con valor de longitud λ / 2. 42

Los patrones de radiación de las antenas muestran claramente su comportamiento, es decir, según como estas son construidas ellas reflejan en su patrón de radiación sus características de transmisión y recepción.

Estos patrones de radiación son diagramados en dos tipos de coordenadas, las coordenadas polares y cartesianas, donde cada una revela características específicas del patrón de radiación de la antena a estudiar. 1.15 ANCHO DE BANDA El ancho de banda se define como el intervalo de frecuencias en el cual una antena puede operar satisfactoriamente, donde los límites que conforman este intervalo no dejen sobrepasarse.

De una manera más formal se dice que: “El ancho de banda (BW) se puede especificar como la relación entre el margen de frecuencias en que se cumplen las especificaciones y la frecuencia central” (Cardama Aznar, Jofre Roca, Rius Casals, Romeu Robert, Blanch Boris, & Ferrando Bataller, 2002) Donde el ancho de banda se puede expresar como:

Siendo f0 frecuencia fundamental. Se debe tener presente a la hora de definir un ancho de banda, que dependiendo de la antena que se esté analizando, el ancho de banda varía, esto es debido a la geometría con la cual está construida la antena, pues es esta geometría el factor que influye directamente en las frecuencias que puede trasmitir y recibir la antena.

1.16 PARÁMETROS DE LAS ANTENAS EN RECEPCIÓN El comportamiento que presenta una antena, es sin lugar a duda directamente influenciada por sus propiedades electromagnéticas y recordando que una antena posee la propiedad de reciprocidad, se puede encontrar un comportamiento parecido en otras características de estos artefactos. Como algunas veces se ha observado cuando se pasa por algún edificio, se nota que existe una línea de transmisión conectada a la antena, la cual le da potencia a la misma, permitiendo la recepción. Sin embargo, cuando se intenta ubicar una antena en cierta dirección la mayoría de veces se confunde la polarización que tiene la antena con el área efectiva que posee.

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1.17 ÁREA EFECTIVA Una onda cuando se acerca a la antena esta extrae una porción del frente onda, esta porción es el área efectiva Aef. El área efectiva esta “definida como la relación entre la potencia que entrega la antena a su carga (supuesta para esta definición sin pérdidas y adaptada a la carga) y la densidad de potencia de la onda incidente.”

sta definición expresa físicamente el frente de onda que la antena captura.

1.18 POTENCIA ISOTRÓPICA RADIADA EQUIVALENTE (PIRE) En un sistema de comunicaciones existen dos componentes principales, la antena trasmisora y la antena receptora, estas dos antenas están separadas por una distancia. Al irradiar una onda la antena de transmisión, suponiendo que es una antena isotrópica se expone a la pérdida de la potencia. De forma que para encontrar la potencia equivalente que irradia una antena isotrópica, basta multiplicar la potencia de radiación o la potencia entregada por la ganancia de la antena. PIRE = Pr G = Pe G

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2. EL MUNDO EXTRAÑO DE LOS OBJETOS FRACTALES, ¿EUCLÍDES 10 PASADO DE MODA? Todas aquellas formas que constituyen aquello que consideramos nuestro mundo, encierran en ellas pequeños universos que son pistas errantes de nuestra propia existencia que se revelan en formas tan sencillas como la caída de una gota de agua, la estructura de una hoja o un copo de nieve. Nuestra forma de raciocinio, que es construida en una ardua labor de conceptos y operaciones nos enseña la excepción y no la regla. Se podrá preguntar ¿cómo es esto posible?, ¿todo lo visto desde nuestra infancia es una mentira? Pues no, solamente es una parte de la verdad construida por el propio universo. Por ejemplo: La línea recta, elemento esencial en la construcción del mundo creado y modelado por el humano. El círculo, nos abrió un mundo de posibilidades infinitas en la geometría. Así se podría seguir hablando de muchas otras formas geométricas que componen nuestro mundo, sí, ese es nuestro mundo, pero este mundo artificial que construyo el humano es en realidad la excepción a la regla. Demos una mirada al mundo natural, al planeta azul, a la tierra, a Pacha Mama. 2.1 ORDEN A PARTIR DEL CAOS, CONCEPTO DE AUTOSIMILITUD Y CARACTERÍSTICAS DE LOS OBJETOS FRACTALES Todo tiene origen y final, esta es la consigna con la que toda trayectoria inicia su vida, pero aplicando esto a los objetos fractales surge el problema de no poder controlar su final. Partiendo del hecho que los números fractales tiene la capacidad de auto-repetirse y de esta forma construir y describir objetos hasta su nivel microscópico, y recordar que los objetos no son formas lineales si no que poseen valles y protuberancias que vistos desde mas cerca parecen mas bien el reino del caos, apelamos precisamente a este para que nos ayude en esta tarea. El caos comienza con una semilla, la cual es la base, la descripción sintetizada del elemento del que es origen y sustancia, esta semilla va creciendo y con suerte para nosotros va formando la estructura deseada. Acá surgen inquietudes, las cuales son muy valederas ¿Por qué se tendría suerte al formar la estructura? ¿A caso si la semilla es el punto inicial, el final de esta no será el objeto deseado? La respuesta debería ser que si, pero estamos hablando del caos, con el cual se sabe el comienzo pero no se sabe a ciencia cierta si tendrá final y como será este. Pero no todo es incertidumbre en el caos, paradójicamente este tiene una estructura de comportamiento de la cual nos podemos aprovechar. Resulta que los números fractales incorporan al caos como herramienta descriptiva para sus propios fines, ya que este al poder modelar comportamientos erráticos y que aparentemente no tienen un orden, se acomoda perfectamente a las propiedades físicas que tienen los objetos, pongamos como ejemplo la costa que da al mar.

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Se puede ver en los mapas que la costa está perfectamente delimitada y creeríamos que sus salientes y valles son como se muestran en el, ¿pero en verdad crees que la costa es así, tal y cual como aparece en el mapa? Nuestra propia experiencia nos dice que no, observando mas detalladamente y en una escala mucho menor a la que nos muestran los mapas, van apareciendo nuevas salientes y valles, y observando a una escala mucho mas pequeña a estas mismas salientes y valles, ellas terminan teniendo sus propios salientes y valles, de esta forma se podría ir reduciendo la escala del mapa hasta tener escalas que tiendan al infinito y seguirían apareciendo nuevas protuberancias y valles. Para comprobar este comportamiento se utiliza la figura 27 como medio ilustrativo

Figura 27. Procedimiento de medida de la costa La utilización de un camino poligonal permite medir la longitud de la costa realizando un contorno de la misma. Sin embargo, es necesario que al ir evaluando la costa la longitud del camino poligonal (ε) empiece a tender a cero.

De esta forma la estimación de la longitud de la costa se aproxima a un límite. Como se puede observar en la figura a medida que ε se va haciendo más pequeño se empieza a ajustar al contorno característico de la costa surgiendo las características ya mencionadas como lo son las bahías, cabos, entradas y salientes que a su vez tendrán dentro de ellas otras bahías, cabos, entradas y salientes. Este comportamiento lleva a pensar que a medida que se vaya ajustando ε, que se puede expresar en forma de la función L(ε), la longitud de la costa tenderá hacia el infinito.

46

Este fenómeno lleva a una de las principales peculiaridades de los fractales, la autosimilitud. “Una de las características de un fractal es que conserva la misma forma si se le ve en distintas escalas, como en el caso de las líneas asociadas al movimiento de una partícula browniana. Esta característica de los fractales se llama autosimilitud” (Braun, 1996). Como un ejemplo de esto la figura 28 puede dar una mejor idea

Figura 28. Copo de Von Koch Nótese que los tres objetos inferiores aunque son distintos existe una relación entre ellos y que a su vez son una generalidad del objeto superior, el cual si se observa detenidamente, por intuición se puede llegar a la conclusión que dado el nivel de detalle de su contorno, este fácilmente puede tender al infinito, más sin embargo, esta figura encierra un área definida, lo cual permite definir las principales características de los fractales como: Tienen una estructura compleja a cualquier resolución. Tienen una dimensión no entera. Tienen un perímetro de longitud infinita pero área limitada. Son autosimilares e independientes de la escala. De esta forma se entra así a una encrucijada interesante. Si por medio del caos los números fractales pueden adentrarse en modelamientos moleculares de los objetos ¿En qué momento se debe detener esta descripción de los objetos? ¿Cuál sería entonces el umbral entre la descripción puramente física y la descripción atómica del objeto en si? Se debe tener en claro que este límite es muy delgado, casi imperceptible, el umbral entre lo netamente físico y lo atómico nunca antes fue tan superfluo, entonces ¿en qué punto nos detendremos?, digamos que esta situación solo la podría definir aquella persona que tenga la necesidad de limitarla y esté consiente del propósito con que la usa. 47

2.2 IMAGINACIÓN VS CONCEPCIÓN Empecemos con una simple pregunta, ¿hay líneas rectas en la naturaleza?, ¿alguna vez has visto una línea perfecta en el tronco de un árbol, en la forma de una hoja? ¿O a caso crees que la luna o los planetas de la vía láctela, para no irnos muy lejos, son una esfera perfectamente lisa y redonda? Aunque grandes matemáticos como Euclides y físicos-matemáticos como Newton, nos dieron el infinito regalo de sentar las bases para la exploración de los fenómenos naturales tal y como la conocemos, concibieron el mundo de una forma lineal y predecible. Por eso nuestro recorrido por el mundo fractal, no comienza con la definición conceptual de lo que es un fractal como tal, si no que se decidió apelar a la imaginación del lector, porque prácticamente así fue como todo esto comenzó. A modo de confirmación, demostremos cómo un ovillo 5 de 10 cm de diámetro, hecho con hilo de 1 mm de sección, tiene de una manera por así decirlo latente, varias dimensiones efectivas distintas. Para un grado de resolución de 10 metros es un punto, y por lo tanto una figura de dimensión cero; para el grado de resolución de 0,1 mm cada columna se resuelve en fibras finas y alargada, por lo tanto el conjunto vuelve a ser unidimensional; a un nivel más fino de este análisis, el ovillo se representa por un número finito de átomos puntuales, y el conjunto tiene de nuevo dimensión cero. Y así sucesivamente: ¡el valor de la dimensión no para de dar saltos! (Mandelbrot, 1993). Puede que lo anteriormente citado nos ponga a reflexionar y nos sumerja en un mundo microscópico del cual éramos ignorantes, pues de eso precisamente se trata el mundo fractal, de describir a un nivel tal de precisión, que se pueda llegar a instancias casi microscópicas los objetos. Como antes se menciono, el modelamiento actual de nuestro mundo esta concebido de forma lineal y generalmente es interpretado solo en las dimensiones 0, 1, 2 y 3, las cuales y casi siempre se quedan cortas a la hora de realizar un retrato físico real, donde, y aunque no se crea, la regla general es que los objetos tienen su dimensión no en forma de entero sino como fracción o número irracional. Tengamos en cuenta que aunque sea un solo objeto a describir, las características que lo conforman, al acoplarse unas con otras dan como resultado la creación de un sistema, el cual es el encargado de dar la identidad y constitución al objeto como tal. Esto nos lleva a mencionar una característica fundamental de los objetos fractales, la dimensión fractal.

5

Bola o lío que se forma devanando hilo de lino, algodón, seda, lana, etc.

48

2.3 LA DIMENSIÓN FRACTAL (D) La dimensión fractal nos permite describir sistemas que por su constitución presentan atributos muy detallados, y estos solo se podrían bosquejar de una forma en la que su dimensión no fuera un número entero. La dimensión fractal al salirse del campo de los números enteros utilizan los números racionales radicales para describir su dimensión, esto se debe a que como los números fractales describen formas irregulares, la utilización de números enteros para describirlos haría imposible esto. Para expresar la dimensión fractal mediante una expresión matemática, se debe partir del hecho que un objeto fractal es la composición de múltiples figuras geométricas que se repiten infinidad de veces aplicando el principio de autosimilitud. Por lo tanto, para llegar a una expresión formal de la dimensión fractal se requiere elegir una figura geométrica, en este caso una recta que posee dimensión euclídea E = 1. Esta recta es descrita como el segmento 0 < x < X el cual puede ser “adoquinado” por N = K partes, siendo K un entero. Estos segmentos tienen entonces la forma (k - 1)X / K < x < kX / K, donde k varía entre 1 y k. Para resumir, hasta ahora solo se ha dicho que se tiene una recta con dimensión euclídea 1 el cual es un segmento limitado, esta recta puede ser dividida en una seria de segmentos que tienen un tamaño específico. Pues bien, cada uno de estos segmentos se obtiene por medio de la razón r(N) = 1/N Otra forma geométrica útil que sirve para explicar este “adoquinado” es el rectángulo, el cual tiene dimensión euclídea E = 2, este rectángulo está definido por los segmentos 0 < x < X ; 0 < y < Y el cual puede ser “adoquinado” por N = K2 partes que propiamente son rectángulos más pequeños de la forma (k - 1)X / K < x < kX / K ; (h - 1)X / K < y 1 (D = 1.262) se pueda convertir en una antena de tamaño pequeña más eficiente. Obsérvese la Figura 48. En la Figura 48 se observa el comportamiento característico que presenta un monopolo basado en la curva de Von Koch (Figura 50), donde cada iteración (K0, K1, K2, K3, K4 y K5) se va acercando al factor Q más bajo, lo cual va aumentando la eficiencia de la antena al mismo tiempo que alcanza, como manifiesta (Puente, 2000) una “más baja frecuencia de resonancia y una más grande resistencia de radiación”. Como se puede ver en la figura 51.

Figura 50. Monopolo basado en la curva de Von Koch

71

Figura 51. Frecuencia vs Resistencia (Monopolo curva de Von Koch) Acá se observa que a medida que la antena va avanzado en sus iteraciones, su comportamiento indica que se esta dirigiendo hacia la zona de bajas frecuencias y su resistencia de radiación va incrementándose. Sin embargo, nótese que en la iteración K2 y K3 el valor de la resistencia expresa una cierta constancia, lo que produce una antena resonante en esta región. Este comportamiento se acentúa a medida que la antena se desempeñe en frecuencias inferiores a 0.8GHZ (f < 0.8GHZ) De esta forma el fractal de Von Koch faculta al monopolo para un mejor desempeño, por lo tanto “se aprecia que en la región de bajas frecuencias, la resistencia de entrada se incrementa con el número de la iteración, cuando se comparan las características a una frecuencia dada, ofreciendo más facilidad para el acoplamiento con la línea de alimentación” (Cerda & Alexis, 2007) No obstante, este comportamiento difiere un poco a la hora de construir una antena fractal basada en el triángulo de Sierpinski, donde a medida que se va ingresando a la zona de bajas frecuencias, la resistencia de entrada va disminuyendo su valor. Ahora, obsérvese la siguiente figura. Esta describe el comportamiento de la resistencia y la reactancia de una antena basada en el monopolo triángulo de Sierpinski.

72

Figura 52. Resistencia y reactancia de un monopolo basado en el triángulo de Sierpinski. Como ya se mencionó, a medida que aumenta la frecuencia resonante de la antena basada en el triángulo de Sierpinski, el valor de la resistencia de entrada va aumentando, este fenómeno está directamente relacionado con la geometría de la antena y su comportamiento multibanda. A diferencia de monopolo de Von Koch, el monopolo de Sierpinki la corriente que alimenta a la antena debe recorrer una mayor área, también se debe tener en cuenta, como se vera en los apartados 3.4 y 4, que la frecuencia de resonancia más baja dentro del arreglo fractal se encuentra en la altura máxima de la antena, por lo tanto el flujo de corriente que llega a este lugar es mucho menor que el que se encuentra en la base de la antena. Sin embargo esto no significa que exista mal desempeño en este tipo de antena, como el monopolo de Von Koch, esta antena también permite por la variabilidad de su resistencia de entrada y su propiedad multifrecuencial alcanzada por la autosimilitud, permite lograr diversas frecuencias resonantes en un solo arreglo, por lo tanto su comportamiento electromagnético se expresa de forma distinta, lo cual es una muestra del efecto que tiene la geometría de cada objeto fractal dentro de la composición propia de la antena. No obstante cabe anotar que la búsqueda del factor Q más bajo se posibilita gracias a que las antenas fractales poseen “patrones de radiación estables y gran número de bandas determinado por el número de iteraciones del fractal” (Montoya, s.f.)

73

3.2 EFECTOS DE LA GEOMETRÍA FRACTAL EN LA EFICIENCIA DE RADIACIÓN En el texto se han abordado principalmente dos objetos fractales, el copo de Nieve de Von Koch o monopolo de Koch y el triángulo de Sierpinski. Estos dos objetos fractales son los más utilizados en la fabricación de antenas fractales y la mayoría de la documentación y artículos científicos se remiten a ellos. Sin embargo, no son los únicos objetos existentes pues también esta la curva de Peano, el conjunto de Cantor, el monopolo de Hilbert y muchos otros que también han sido utilizados para la construcción de antenas. Sin duda alguna, el comportamiento electromagnético que presentan las antenas basadas en objetos fractales es muy distinto al de las antenas tradicionales, este comportamiento es establecido por varios factores que incluyen la totalidad de la altura del monopolo, la longitud total de la antena, la geometría y el diámetro del alambre. Estos factores afectan directamente las propiedades resonantes de la antena como lo son la frecuencia resonante, resistencia de radiación, eficiencia (η)) y factor de calidad (Q) Como se dijo al comienzo, existen varios tipos de objetos fractales que poseen formas geométricas muy llamativas, sin embargo su sola configuración geométrica no es un referente para seleccionar alguno de ellos para la construcción de antenas pues “como se ha demostrado la geometría de la antena por si sola, fractal o por lo demás, no determina únicamente las propiedades electromagnéticas de las antenas pequeñas” (Steven, 2003) esto indica que a pesar de ser la geometría del fractal su atributo más llamativo, no es el único que cuenta ni predomina. No obstante, la geometría fractal influye directamente en otras propiedades de resonancia de la antena, como lo son la eficiencia de radiación y el factor de calidad, el cual está relacionado con los límites fundamentales eléctricos, que presentan las antenas pequeñas. Una de las ventajas de la geometría de un objeto fractal, es cuando este se aplica a la construcción de antenas, lo cual permite que la totalidad del área que circunscribe el objeto, sea partícipe en la radiación de la onda electromagnética, este fenómeno se puede ver en la siguiente figura.

74

Figura 53. Flujo de corriente que recorre un monopolo Sierpinski Se puede observar que las líneas azul y rojas representa el flujo de corriente que recorre un monopolo fractal basado en el triángulo de Sierpinski, nótese que “la distribución de la corriente en la antena es básicamente soportada por los bordes” (Puente, 2000) que conforman el arreglo, lo cual permite concluir que la totalidad del arreglo fractal en la antena es partícipe en la radiación de esta. Este uso eficiente del área de la antena fractal es uno de los factores para construir antenas pequeñas, recuérdese que se dice que una antena es pequeña cuando su tamaño es más pequeño que la longitud de onda a la que opera, donde esta antena puede ser encerrada en un radio a = λ / 2π, donde su longitud eléctrica esta definida como kh (apartado 3.1) Por lo tanto, en la eficiencia de radiación y en el factor de calidad es donde se puede evaluar la habilidad geométrica fractal para diseñar antenas fractales. Esta habilidad geométrica puede ser explicada con ayuda de la curva fractal de Koch que es tomada para entender el comportamiento de la frecuencia de resonancia en las antenas fractales como una función de la geometría de la antena y la longitud del alambre, “con el incremento de la longitud del alambre del fractal Koch, hay una frecuencia de resonancia que resulta debido al fuerte acoplamiento entre los ángulos agudos en las uniones del segmento de curva. Estos ángulos irradian una onda esférica con fase en el centro del vértice como muestra la figura” (Singh & Grewal, 2009) Cada ángulo no solo irradia, si no que también recibe la señal irradiada por otro ángulo. Como consecuencia, parte de la señal no sigue la totalidad del alambre, si no que tomo “atajos” que comienzan en la esquina de radiación, por lo que la longitud del camino seguido es menor a la longitud total de la antena

75

Figura 54. Acoplamiento de la señal en ángulo de la curva de Koch fractal Por lo tanto, “la radiación electromagnética mejora notablemente cuando existen formas irregulares, bordes afilados, esquinas y discontinuidades, por lo que tienen el potencial de ser elementos radiantes eficientes” (Cerda & Alexis, 2007) Observe pues la siguiente figura.

Figura 55. Curvas de Hilbert, Peano, monopolo de λ / 4 y monopolo serpenteante. En esta figura se puede ver otro tipo de objetos fractales. En la primera fila el monopolo de Holbert, en la segunda fila el monopolo de Peano con su respectiva variante, para este caso (Pv2-1, Pv2-1, Pv3-1, Pv3-2). En la tercera fila el monopolo estándar λ / 4 y el monopolo serpenteante. Las características de cada monopolo están consignadas en la siguiente tabla.

76

Antenna

Antenna Height (8mm)

Electric Total Wire Resonant Resonant Radiation Size at Length (m) Frequency Resistance Resistance Resonance (MHZ) (Ohms) (Ohms)

Quality Factor

λ/4 Monopole

90,60

1,5060

0,091

793,1

36,3

35,8

7,8

Hilbert-1

53,50

0,8838

0,105

788,2

13

12,5

21,2

Hilbert-2

32,77

0,5503

0,125

786,4

5,4

4,7

54,6

Hilbert-3

23,30

0,4037

0,172

784,9

3,5

2,5

112,8

Hilbert-4

18,50

0,3277

0,266

788,6

3,5

1,7

197,2

Peano-1

65,60

1,0647

0,193

774,4

14,3

14

11,2

Peano-2

69,00

1,0711

0,605

740,7

13,9

13,8

7,4

Peano v2-1

44,00

0,7274

0,117

788,8

8,3

7,7

36,5

Peano v2-2

27,50

0,4555

0,209

790,3

4,8

3,3

105,3

Peano v3-1

37,70

0,6262

0,109

789,6

5,3

4,7

54,6

Peano v3-2

21,14

0,3714

0,174

791,8

2,5

1,4

209,7

MLM-1

21,14

0,3714

0,174

791,8

2,5

1,4

209,7

MLM-2

66,80

1,1149

0,097

796,4

41,1

40,4

9,7

MLM-3

44,00

0,7325

0,105

794,3

17,7

17

17,5

MLM-4

32,80

0,5439

0,119

791,2

9,6

8,9

31,3

MLM-5

28,60

0,4754

0,146

793,1

7

6,2

45

MLM-8

12,50

0,2033

0,141

775,9

2

1,1

160,5

Tabla 8. Características de los monopolos Como se puede ver “el incremento de la longitud del cable con las iteraciones disminuye la eficiencia y, al mismo tiempo, la proximidad entre los segmentos del cable causa acoplamientos más intensos aumentando el factor de calidad de la estructura” (GonzálezArbesú, Blanch, & Romeu, 2003) esto provoca que disminuya la eficiencia de la radiación mientras y se reduce la longitud eléctrica (kh). Sin embargo, este comportamiento es “principalmente una función del hecho que las antenas son relativamente más pequeñas con respecto a la longitud de onda resonante” (Steven, 2003) Por ahora, estos cálculos están contradiciendo lo dicho hasta el momento, donde se ha remarcado la capacidad que tienen los objetos fractales de proporcionar una alta resistencia de radiación y un bajo factor de calidad a medida que aumenta en sus iteraciones. Pues bien, esto es debido a que aun no se ha tenido en cuenta los efectos prácticos que producen las pérdidas en el conductor. 77

Tomando en cuenta estas pérdidas, las propiedades resonantes del tipo de empezarán a diferir.

fractal

De esta manera, se puede observar las Figura 56 y Figura 57 donde se puede notar un mejor desempeño en η y Q.

Figura 56. ka vs Factor de calidad

Figura 57. ka vs Eficiencia de la antena La explicación a esto es que al tomar en cuenta los efectos prácticos que produce las pérdidas en el conductor, “la eficiencia resonante disminuye con el incremento de las iteraciones debido al aumento en la longitud total del cable. La disminución de la eficiencia hace que la totalidad de la resistencia resonante de la antena aumente más allá de la resistencia de radiación y el factor de calidad de la antena disminuya, aumentando la efectividad del ancho de banda de la antena” (Steven, 2003)

78

En las figuras Figura 56 y Figura 57 revela que la simulación del monopolo serpenteante (MLM) alcanza mejor desempeño que los otros fractales. En la siguiente figura se tienen tres objetos fractales.

Figura 58. Antena fractal construida con la Curva de Hilbert

Figura 59. Antena fractal construida con el monopolo de Koch

Figura 60. Antena fractal monopolo de Box de línea serpenteante Posteriormente en la Tabla 9 se consigna sus propiedades resonantes

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Antenna

Wire Length (cm)

Resonant Frequency (MHz)

Radiation Resistance (Ohms)

Efficienct (%)

Q

H1

47,6

165,7

12,7

95,8

24,8

H2

79,2

117,6

4,9

85,7

67,9

H3

137,6

87,1

2,6

66,7

145,1

H4

269,2

62,5

1,3

33,5

397,0

K1

83,5

109,7

2,9

79,5

103,8

K2

111,4

96,3

2,4

68,5

148,4

K3

148,8

89,2

2,0

57,9

190,0

K4

198,8

85,8

1,6

48,6

233,0

B-1

146,3

80,0

1,7

53,6

240,0

B-2

142,6

81,8

1,7

55,5

229,0

Tabla 9. Propiedades resonantes de las antenas fractales basadas la Curva de Hilbert, monopolo de Koch y monopolo de Box de línea serpenteante Para esta tabla, “el factor de calidad se presenta para el caso donde las antenas no tienen pérdidas, la impedancia Z del punto de alimentación se determina sin incluir las pérdidas del conductor” (Steven, 2003) En muchos casos las misma habilidad que presentan los fractales de poder describir formas geométricas hasta su más mínimo detalle pueden causar inconvenientes, especialmente en el campo de las antenas, donde la construcción compleja de un objeto fractal al ser aplicado a una antena puede afectar los patrones de radiación de esta. Por lo tanto, simplificar la forma fractal de modo que se puedan sortear sus inconvenientes de geométrica, da como origen el término prefractal. Como se menciona en (Singh & Grewal, 2009) “los prefractales eliminan la complejidad de la geometría de un fractal que no es distinguible para una particular aplicación. Para las antenas esto puede significar que las interacciones más pequeñas que la longitud de onda en la banda de frecuencias útiles, puede ser eliminada” Precisamente, el hecho de que los prefractales simplifiquen el arreglo geométrico permite que este pueda se construido, de esta forma los objetos fractales pueden ser impresos en baquelita. El simple hecho de cambiar el material de construcción de la antena, se convierte en un componente importante pues “la influencia del substrato dieléctrico en la fabricación del monopolo con franjas y no con alambre, cambia la frecuencia de resonancia de la antena a valores más bajos”(González-Arbesú, Blanch, & Romeu, 2003)

80

Figura 61. Monopolos impresos en placa, comparados con una moneda de 10 euro centavos

3.3 ANCHO DE BANDA PARA LAS ANTENAS FRACTALES Cada vez que se inicia el tema de los fractales, una de las tantas características que se encuentran de ellos es su autosimilitud, donde esta particular propiedad se explota en todo su extensión cuando se trata las antenas fractales. Cuando se aborda la propiedad de la autosimilitud en las antenas fractales se empieza a descubrir que ella dota y aumenta muchas de las características que posee una antena, como por ejemplo la frecuencia. En este texto se ha mencionado continuamente que el tamaño de la antena está directamente relacionado con la frecuencia a la cual va a trabajar y que uno de los inconvenientes que poseen las antenas tradicionales es que solamente funcionan a una determinada frecuencia, sin embargo, utilizando un arreglo de antenas se podría construir una antena multibanda, aclarando que todavía se hablando en el campo de antenas tradicionales. Se puede imaginar un arreglo de este tipo, donde evidentemente sería extremadamente incomodo de construir, transportar e instalar. Es aquí donde la autosimilitud juega un papel importante pues permite que las antenas fractales tengan la propiedad de ser antenas multibanda o de multifrecuencia.

81

La autosimilitud viene relacionada con el proceso de repetición que sufre un fractal, es decir, es la cantidad de veces que un fractal empieza a imitarse y a la vez va construyendo un arreglo fractal, que como ejemplo de esto se tiene la curva de Peano o el cono de Von Koch vistos anteriormente. Pues bien, uno de los principios fundamentales cuando se esta entrelazando la autosimitud y la construcción de una antena fractal es que: El número de iteraciones que posea un fractal determina la cantidad de bandas o frecuencias en las cuales la antena fractal podrá operar. Este principio es el punto de partida cuando está planeando la construcción de esta antena, por lo tanto se debe definir claramente en qué rangos de frecuencias se pretende trabajar. Llegado este punto se puede definir el siguiente principio: El rango del ancho de banda de una antena fractal puede ser especificado por la longitud y la altura de la antena. Con estos dos principios se tiene las herramientas conceptuales necesarias para comprender el comportamiento de multifrecuencialidad que presentan las antenas fractales. 3.4 CONSTRUCCIÓN DE UN MOPOLO FRACTAL BASADO EN EL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI La implementación de la geometría fractal en la construcción de antenas ha permitido que el entorno de desarrollo donde se desenvuelven estas, cambie rotundamente en aspectos que abarcan desde el comportamiento electromagnético de las mismas hasta el espacio físico que antes requerían para funcionar. Como ya se ha mencionado, las antenas fractales poseen las siguientes características: Un gran ancho de banda y comportamiento multibanda. El rango de frecuencia es especificada por el tamaño más pequeño y más grande presente en la antena. En la mayoría de los casos tienen una ganancia considerable, por encima de una antena dipolo normal, y esta ganancia depende muy poco de la frecuencia en un rango de frecuencia grande. Poseen un patrón de radiación estable para un rango amplio de frecuencia. (Montoya) A estas características se puede añadir que: Una antena que basa su construcción geométrica en fractales, permite la utilización del espacio físico de modo eficiente, ya que una antena fractal posee Perímetro infinito Área limitada Como ya se mencionó en el apartado número 3. 82

Esto significa que una antena fractal acarrea costes económicos mucho menores en comparación a las antenas tradicionales, como por ejemplo en el campo de la telefonía móvil, en donde las estaciones bases de cada celda requieren elementos como amplificadores, desfasadores y filtros para lograr los efectos de directividad o ganancia, que la antena fractal puede alcanzar con su propia constitución geométrica. Tomando estas propiedades como base para el próximo análisis, se introduce a continuación la Antena Fractal Basada en el Triángulo de Sierpinski, donde se mostrará el proceso de construcción de la misma. Este proceso de construcción revela que desde el mismo principio de la antena, las propiedades ya mencionadas son tomadas en cuenta y empiezan a ejercer su influencia en un tiempo muy corto desde el inicio del proyecto. Para iniciar la construcción de la Antena Fractal Basada en el Triángulo de Sierpinski se definen las frecuencias de resonancia en las que trabajará la antena. Para esta demostración en particular se eligen las siguientes frecuencias: F1 = 633 MHz

F2 = 1266MHz

F3 = 1900 MHz

Siguiendo el principio de autosimilitud que profesan los objetos fractales y por ende, las antenas construidas en base a ellos, se puede observar que la relación existente entre las tres frecuencias operantes de la antena está dada por la siguiente expresión, la cual expresa el Periodo de Operación o Factor de Operación de la antena.

Este Periodo de Operación es acorde con el proceso de construcción del fractal Sierpinski, “con lo que se deduce que la frecuencia de resonancia será aproximadamente el doble que la frecuencia de la iteración anterior.”(Cerda & Alexis, 2007) A continuación se procede a determinar las dimensiones físicas de la antena. Este parámetro está directamente relacionado con las frecuencias de operación de la antena, pues a partir de estas se determinan la altura que asumirá la antena. Esta relación se puede observar en la siguiente expresión matemática.

83

El parámetro k es una constante que toma el valor de 0.152, independiente del tipo de sustrato dieléctrico utilizado para la construir la antena. El parámetro α representa el Ángulo de Apertura del triángulo inicial, que subsecuentemente define el ángulo de apertura de los triángulos generados en cada iteración en la construcción del triángulo de Sierpinski. Cabe anotar que el Ángulo de Apertura es un factor determinante en el desempeño de la antena fractal, pues “permite cambiar las bandas de operación como también introducir cambios en la resistencia de entrada y los patrones de radiación (Singh & Grewal, 2009) Se debe tener presente que “conforme el ángulo de apertura aumenta, las frecuencias de resonancia se trasladan a frecuencias inferiores, y cuando tal ángulo es muy estrecho, se pierde la característica multibanda de la antena.”(Cerda & Alexis, 2007) Usualmente se escoge un Ángulo de Apertura igual a 60o ya que este asegura que el Factor de Operación se mantenga en dos y mejora la simetría del arreglo. De esta forma la expresión para calcular las alturas correspondientes de la antena fractal basada en el triángulo de Sierpinski esta dada como:

Dicho esto, ahora se puede determinar la altura de la antena. Para esto primero se determina la altura máxima que esta tendrá, la cual corresponde a la frecuencia de resonancia menor, que en este caso es 633MHz, donde la frecuencia de resonancia mayor (1900MHz) determina la mínima altura de la antena. Estos cálculos se pueden observar a continuación.

Se puede “utilizar el Factor de Operación para encontrar la dimensión de los subtriángulos que comprenden la estructura autosimilar de Sierpinski”(Cerda & Alexis, 2007) de la siguiente forma.

84

En la siguiente tabla se relaciona las alturas obtenidas con su respectiva frecuencia resonante. Frecuencia Resonante

Altura

633 MHz

0.1247 m

1266 MHz

0.0623 m

1266 MHz

0.0311 m

Figura Fractal

Tabla 10. Relación entre subtriángulos del arreglo Sierpinski y sus frecuencias resonantes Como se puede observar en la tabla y de acuerdo con lo ya mencionado, la altura que corresponde a la frecuencia más baja (633 Mhz) tiene el valor de 0.1247 m, siendo esta la máxima altura de la antena, consecuentemente si se observa la figura fractal de esta frecuencia, se puede ver que esta figura incluye las otras dos iteración.

85

De esta forma se puede concluir que la figura resultante es una antena monopolo fractal basada en el triángulo de Sierpinski, que opera en tres frecuencias de resonancia distintas, donde cada iteración corresponde a una determinada frecuencia de resonancia y por consiguiente es relacionada con su determinado arreglo fractal.

Figura 62. Monopolo de Sierpinski

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4. SIMULACIÓN Y DESCRIPCIÓN DE LAS PROPIEDADES QUE PRESENTA UN ARREGLO FRACTAL BASADO EN EL TRIÁNGULO SE SIERPINSKI El objetivo de este apartado es mostrar el comportamiento que describe una antena fractal basada en el triángulo de Sierpinski. Para lograr este fin se empleará el programa MMANA-GAL. MMANA-GAL es una software diseñado para el análisis de antenas y es utilizado por los radioaficionados en todo el mundo por ser un software gratis y mejor a muchos programas comerciales de alto costo en el mercado. Los factores que se tomarán para describir el comportamiento de esta antena fractal se basan en los siguientes tópicos: Mostrar el comportamiento que asume la impedancia de la antena conforme aumentan las iteraciones de la misma. Efectos que tiene la variación del ángulo de apertura de la antena en la resistencia de esta y en sus patrones de radiación. Análisis del patrón de radiación de un dipolo fractal basado en triángulo de Sierpinski. Comprobar las propiedades de llenado del espacio del monopolo fractal basado en el triángulo de Sierpinski versus el dipolo tradicional V invertida. Técnica para acoplar la fuente de alimentación con el monopolo fractal. Mostrar el comportamiento que asume la impedancia de la antena conforme aumentan las iteraciones de la misma. Para comprobar este ítem se utiliza el dipolo Sierpinski construido con un ángulo de apertura igual a 60o

Figura 63. Antena fractal dipolo basada en el triángulo Sierpinski con ángulo de apertura de 60o

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Se puede observar que a medida que disminuye la frecuencia de resonancia 1900 MHz, 1266 MHz y 633 MHz la resistencia de la impedancia de la antena también va disminuyendo. Recuérdese que la iteración cero del arreglo fractal corresponde a la frecuencia 1900 MHz, la segunda iteración uno corresponde a la frecuencia de 1266 MHz y la tercera iteración uno corresponde a la frecuencia de 633 MHz. En la frecuencia de resonancia de 1900 MHz la resistencia de este oscila entre 1997.0Ω y 497Ω aproximadamente, donde en la frecuencia de resonancia se presenta un valor aproximado a 2338Ω.

Figura 64. Impedancia de dipolo fractal a una frecuencia de 1900 MHz Posteriormente en la Figura 65 se observa que en la frecuencia resonante de 1266 MHz, la resistencia oscila entre los valores aproximados de 75Ω y 59Ω. Presentando la resistencia un valor aproximado a 66.598Ω

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Figura 65. Impedancia de dipolo fractal a una frecuencia de 1266 MHz En la frecuencia resonante de 633 MHz, el valor real de la impedancia oscila entre 22Ω y 24Ω donde la frecuencia resonante tomaría el valor aproximado de 23.142Ω.

Figura 66. Impedancia de dipolo fractal a una frecuencia de 633 MHz Dados estos resultados se puede decir que a medida que las frecuencias resonantes de la antena se van utilizando, y haciendo referencia a la tabla 9, se duplican las alturas correspondientes para adaptarlas al dipolo fractal.

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Iteración

Altura

0 1 2

0.0311*2 0.0623*2 0.1247*2

Frecuencia Resonante 1900 1266 633

Resistencia 2338Ω 66.598Ω 23.142Ω

Esta reducción del valor de la resistencia se debe al hecho de que entre mayor sea la altura de la antena, la corriente disminuye a través de la superficie de la antena pues esto es el resultado del aumento de la distancia a los terminales, situados en el vértice central de dipolo. Efectos que tiene la variación del ángulo de apertura de antena en la resistencia de esta y en sus patrones de radiación. En las siguientes gráficas se puede observar los valores que toma la impedancia de un dipolo fractal en la frecuencia de resonancia de 633 MHz. Sin embargo, el valor del ángulo de apertura ha sido modificado y dado los valores de 30 o, 60o y 90o, con el objetivo de comprobar que el ángulo de apertura de un dipolo fractal basado en el triángulo de Sierpinski, afecta directamente el valor de la resistencia del dipolo y su patrón de radiación.

Figura 67. Impedancia de la antena con frecuencia resonante igual a 633 MHZ con ángulo de apertura igual a 30o

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Figura 68. Impedancia de la antena con frecuencia resonante igual a 633 MHZ con ángulo de apertura igual a 60o

Figura 69. Impedancia de la antena con frecuencia resonante igual a 633 MHZ con ángulo de apertura igual a 90o Como se puede observar, a medida que cambia el ángulo de apertura de la antena, los valores de resistencia van aumentando conforme crece el ángulo, de este modo se tiene un ángulo de apertura de 30o, la resistencia de la antena en la frecuencia de resonancia posee un valor de 3.922Ω.

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Para el ángulo de apertura de 60o, la resistencia de la antena en la frecuencia resonante de 633 MHz posee un valor de 23.142Ω y para un ángulo de apertura de 90 o, la antena presenta una resistencia de 70.596Ω en la misma frecuencia. Este comportamiento se presenta de igual forma para las frecuencias resonantes de 1266 MHz y 1900 MHz. Del mismo modo, se puede observar que el ángulo de apertura influye en el patrón de radiación de la antena fractal dipolo. Se escogió la frecuencia resonante de valor 1266 MHz, ya que en la altura en que se ubica esta frecuencia dentro de la antena, el ángulo de apertura muestra sus efectos de forma más sobresaliente. Tenga en cuenta que a medida que aumenta el ángulo de apertura, el patrón de radiación cambia su forma. Como primera medida se analiza este patrón desde la perspectiva de los ejes x y y que en este caso representan el plano de tierra, es decir, este plano permite observar el patrón de la antena como si estuviera “viendo desde arriba”. Por consiguiente, los ejes x y z permiten observar el comportamiento del patrón desde una perspectiva vertical. A continuación se puede ver el patrón de radiación de un dipolo fractal con 30 o de ángulo de apertura.

Figura 70. Patrón de radiación de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 30o. (Frecuencia resonante 1266 MHz)

Se observa que en los ejes x y y la antena presenta dos lóbulos simétricos propios del comportamiento de un dipolo al mismo tiempo se encuentra una ausencia de lóbulos secundarios, por lo tanto se describe un comportamiento ideal para un dipolo.

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En la perspectiva de los ejes x y z se puede ver que la radiación emitida en el centro mismo donde se encuentra la antena no alcanza a cubrir la totalidad de la antena, centrándose en la parte baja de la misma, permitiendo que se creen los lóbulos ya mencionados, sin embargo, estos no poseen una elevación vertical significativa. En la siguiente figura se observa este efecto.

Figura 71. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 30o. (Frecuencia resonante 1266 MHz) Ahora se analiza el patrón de radiación para la antena dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60o

Figura 72. Patrón de radiación de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60 o. (Frecuencia resonante 1266 MHz) 93

En el plano x y y el patrón describe una elipse que ocupa los espacios que no pudo copar la antena fabricada a 30o, si se observa detenidamente, en el eje y la onda electromagnética supera los -10 dB, a diferencia del patrón de radiación de la antena anteriormente vista. En el plano x y z se observa que el patrón de radiación ha presentado una elevación en el eje z, sobrepasando los -10 dB e involucrando mayor superficie de la antena en la radiación. Este comportamiento se observa en la siguiente figura.

Figura 73. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60 o. (Frecuencia resonante 1266 MHz) A continuación se tiene el dipolo fractal con un ángulo de apertura igual a 90 o.

Figura 74. Patrón de radiación de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 90o. (Frecuencia resonante 1266 MHz)

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Se observa que en el plano x y y el patrón de radiación describe un comportamiento omnidireccional que abarca perfectamente el área, consecuentemente, en el plano x y z el patrón de radiación involucra la totalidad de la superficie de la antena, sin embargo el campo electromagnético difiere notablemente de los patrones de radiación ya vistos. Aquí se puede notar que en el plano vertical, el patrón de radiación describe dos formas distintas en la antena. En la base se puede ver que existe un amplio cubrimiento del área alrededor de la antena pero este patrón va perdiendo esta propiedad a medida que se aumentado la altura en el eje z, confinándose la onda en las cercanías de la antena. La siguiente figura puede explicar lo sucedido.

. Figura 75. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 90 o. (Frecuencia resonante 1266 MHz)

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Análisis del patrón de radiación de un dipolo fractal basado en Sierpinski.

triángulo de

Figura 76. Patrón de radiación en el plano horizontal del dipolo fractal (Frecuencia de resonancia 1900 MHz)

Figura 77. Patrón de radiación en el plano horizontal del dipolo fractal (Frecuencia de resonancia 1266 MHz)

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Figura 78. Patrón de radiación en el plano horizontal del dipolo fractal (Frecuencia de resonancia 633 MHz) En las anteriores figuras se puede observar el patrón de radiación de un dipolo fractal basado en el triángulo de Sierpinski desde una perspectiva horizontal. Se puede notar claramente que en las tres frecuencias resonantes operantes de la antena, el patrón de radiación describe una onda aproximadamente omnidireccional, lo cual se interpreta como una radiación isotrópica por parte de la antena.

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Comprobar las propiedades de llenado del espacio del monopolo fractal basado en el triángulo de Sierpinski versus el dipolo tradicional V invertida.

Observe ahora los siguientes patrones de radiación de un monopolo fractal con un ángulo de apertura igual a 60o

Figura 79. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60 o. (Frecuencia resonante 1900 MHz)

Figura 80. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60 o. (Frecuencia resonante 1266 MHz)

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Figura 81. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60o. (Frecuencia resonante 633 MHz) Como se puede ver, la onda electromagnética que irradia el monopolo fractal describe un patrón de radiación que permite ocupar gran parte del espacio circundante a la antena, por medio de patrones de radiación estables, como se evidencia fuertemente en las frecuencias de 1900 MHz y 1266 MHz. En el patrón de radiación de la frecuencia 1900 MHz se observa en la base de la antena una onda electromagnética que describe una presencia importante en los alrededores de la antena. Nótese también que el patrón de radiación en sí, forma una estructura compacta que permite deducir que las iteraciones que conforman la antena contribuyen a la construcción de un patrón ordenado. Este factor se puede observar en la siguiente figura, donde se compara el patrón de radiación de un dipolo V invertida y el patrón de radiación del monopolo fractal.

Figura 82. Patrón de radiación Monopolo fractal vs dipolo V invertida (Frecuencia resonante 1900 MHz)

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Ahora obsérvese el patrón de radiación de la frecuencia resonante 1266 MHz(Figura 80), este patrón también presenta un alto grado de ocupación del espacio, siendo notable el lóbulo que aparece en la mitad del monopolo fractal. En su base se observa una diferencia con respecto al patrón de la frecuencia resonante de la figura anterior, sin embargo, en la frecuencia de 1266 MHz la onda electromagnética se extiende con mayor amplitud en el plano x y y. Este factor está directamente relacionado con la cantidad de corriente que llena la iteración que le corresponde a cada frecuencia dentro de la antena. Este fenómeno se tratará mas adelante.

Figura 83. Patrón de radiación Monopolo fractal vs dipolo V invertida (Frecuencia resonante 1266 MHz) A continuación obsérvese la Figura 81. En este caso nótese que aunque el patrón de radiación ocupa una cantidad importante en el espacio circundante a la antena y esta área es extensa, pierde sin embargo la similaridad con los otros dos patrones de radiación y se asemeja mucho más al patrón de radiación de un dipolo V invertida, como se puede ver en la siguiente figura.

Figura 84. Patrón de radiación Monopolo fractal vs dipolo V invertida (Frecuencia resonante 633 MHz)

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Pues bien, como ya se ha mencionado, la cantidad de corriente que circula por el monopolo fractal está directamente relacionado con la forma geométrica que adopta el patrón de radiación emitido, según la frecuencia resonante a la que se desea operar, existirá una región de la antena donde se presentará mayor actividad y concentración de corriente. Para entender este fenómeno observe la tabla 9. En esta tabla la frecuencia resonante operante corresponde al área o forma presente en la antena fractal, que se activará cuando se desee utilizar cualquiera de las tres frecuencias resonantes. Se debe recordar que la altura mayor de la antena corresponde a la frecuencia resonante mayor y la máxima altura de la antena corresponde a la frecuencia resonante menor. Tomando el vértice inferior como el punto donde se encuentra la fuente de alimentación. La Figura 85 muestra la distribución de la corriente en la frecuencia de 1900 MHz, las zonas de color rojo indican la presencia de corriente, por lo tanto se puede decir que dada la intensidad y la presencia de este color, en este sector de la antena se concentra gran cantidad de corriente que influirá en la radiación de la onda y en la ocupación del espacio por parte de la onda.

Figura 85. Distribución de la corriente en el monopolo fractal (Frecuencia resonante 1900 MHz) Posteriormente se tiene la figura que representa la cantidad de corriente que circula por la antena cuando se opera en la frecuencia de 1266 MHz.

Figura 86. Distribución de la corriente en el monopolo fractal (Frecuencia resonante 1266 MHz)

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En esta frecuencia la corriente recorre mayor área del monopolo, lo cual se refleja en el crecimiento de las zonas azuladas en la figura. Estas zonas demuestran que aunque existe un flujo de energía por ellas, no presentan la misma intensidad que las zonas anaranjadas y rojas. Nótese también que el área donde se presenta el flujo de energía corresponde a la altura de la antena para cada frecuencia. Para la frecuencia de 1900 MHz, la cual le corresponde la menor altura y por consiguiente se encuentra más cerca a la fuente de alimentación, la gráfica de distribución de corrientes muestra una fuerte presencia de ella. Posteriormente, en la frecuencia de 1266 MHz a la cual le corresponde la altura intermedia en la antena, la gráfica de distribución de corriente muestra una disminución en esta, lo cual esta relacionado con la distancia que existe con la fuente de alimentación. Este comportamiento se acentúa a medida que se va incrementado la altura de la antena y se ve reflejado en el patrón de radiación de cada frecuencia. Como por último caso se tiene la frecuencia de 633 MHz que le corresponde la altura máxima.

Figura 87. Distribución de la corriente en el monopolo fractal (Frecuencia resonante 633 MHz)

Aquí se observa que la presencia de zonas azuladas ha aumentado, lo cual explica lo ya expuesto. Técnica para acoplar la fuente de alimentación con el monopolo fractal Usualmente las antenas fractales son impresas en substratos lo que permite incorporar algunas técnicas para lograr el acople entre la impedancia de la antena y la fuente de alimentación, lo cual se traduce en un índice de relación de onda estacionaria (ROE) aceptable. Para este caso en particular donde se utiliza el monopolo fractal basado en el triángulo de Sierpinski, se ha requerido emplear la técnica de llamada Edge Feeding o Side Feed, para alcanzar el acoplamiento entre la antena y la fuente ya que originalmente se empleo la técnica llamada Coaxial Probe Feed o Probe Feeding y como resultado existía un índice muy elevado de ROE, lo que significa una transferencia muy baja de potencia hacia la antena y por lo tanto poca energía irradiada hacia el espacio. A continuación se definirán estas dos técnicas. 102

Coaxial Probe Feed o Probe Feeding Esta técnica “consiste en taladrar un agujero a través del plano de tierra y el substrato dieléctrico y luego conectar la línea de transmisión o el conector directamente en el parche” (Simedrea, 2004). La desventaja de esta técnica es que es difícil de implementar ya que se debe tener cuidado a la hora de taladrar el dieléctrico y probar que la señal no hace un corto circuito con el plano de tierra.

Figura 88. Técnica Coaxial Probe Feed o Probe Feeding aplicada a un monopolo fractal impreso en substrato dieléctrico Edge Feeding o Side Feed Esta técnica “consiste un trazo desde el borde del parche al borde del substrato dieléctrico. Esto permite una conexión simple con el conector y puede cambiar la impedancia de la antena, permitiendo que los acoples se realicen (Simedrea, 2004). Sin embargo, tiene la desventaja que introduce una falsa radiación, ya el trazo desde el borde del parche hasta el borde del substrato irradia inevitablemente.

Figura 89. Técnica Edge Feeding o Side Feed aplicada a un monopolo fractal impreso en substrato dieléctrico Como se puede observar en la siguiente figura, se ha modelado en el plano de tres dimensiones el uso de la técnica Edge Feeding o Side Feed en el monopolo fractal, colocando la fuente de alimentación (representada como un círculo rojo) en el extremo del trazo. 103

Figura 90. Aplicación de la técnica Edge Feeding o Side Feed en el monopolo fractal A continuación se muestran las figuras que describen el comportamiento de ROE o SWR del monopolo fractal. Como especificación que se le ha dado al programa de simulación se ha seleccionado un valor máximo para el ROE igual a 2.

Figura 91. SWR Frecuencia resonante 1900 MHz

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Figura 92. SWR Frecuencia resonante 1266 MHz

Figura 93. SWR Frecuencia resonante 633 MHz Obsérvese que el índice ROE o SWR de la frecuencia resonante de 1266 MHz se encuentra en un fracción mínima por encima de 2. Sin embargo, gracias a la aplicación de esta técnica se ha logrado acercarse lo más posible a este valor, ya que por lo contrario el valor de SWR sería muy superior al límite deseado.

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5. APLICACIONES DE LAS ANTENAS FRACTALES A lo largo del presente documento se ha mostrado las propiedades que poseen los objetos fractales y se ha observado cómo estos se pueden aplicar a la construcción de antenas, generando como resultado las llamadas Antenas Fractales. Las Antenas Fractales han venido siendo una alternativa para el diseño de antenas, ya que las antenas tradicionales no pueden cumplir a cabalidad los requisitos de minituarización y desempeño multifrecuencial que demandan las diversas aplicaciones en telecomunicaciones. Esta facultad de miniaturización se atribuye a la propiedad de autosimilitud que poseen los objetos fractales, pues al estar compuesta la antena por copias de ella a diversas escalas puede conseguir “alojar la misma longitud en un espacio seis veces menor” (Morales & Arzola, 2009). Por consiguiente, por este principio es posible la construcción de antenas multibanda o multifrecuencia. La propiedad de autosimilitud se puede observar plenamente en los apartados 2.12 y 3.4. Ahora bien, en el transcurso del documento se han mencionado algunos objetos fractales, siendo los más destacados el Copo de Nieve de Von Koch y el triángulo de Sierpinski, sin lugar a duda la forma de estos objetos llama la atención, pero más allá de dicha forma es la rugosidad que ellos presentan, el factor influyente en las propiedades de llenado del espacio circundante, reflejado en los patrones de radiación, lo que hace de las antenas fractales una opción de importancia a la hora de implementarse en el ámbito de las telecomunicaciones. Pues bien, esta “forma dentada genera capacitancia e inductancia adicionales, haciendo innecesarios elementos externos para su sintonización o para aumentar la anchura de la banda de frecuencias que pueda recibir.” (Morales & Arzola, 2009). Por lo tanto, las antenas fractales al reunir las propiedades de dimensión fractal, autosimilitud, rugosidad, manipulación de multifrecuencias y reducción del área ocupada por la antena, permite que las antenas fractales sean utilizadas en aplicaciones como los sistemas móviles celulares en las antenas de estaciones base y en teléfonos receptores, también en las generaciones 3G y 4G, permitiendo la integración eficiente de servicios, ya que algunos de estos servicios necesitan bandas de frecuencia distintas para operar, dando una solución económica, fácil y rápida. Las antenas fractales al poseer un comportamiento multibanda “evita la necesidad de duplicar, en cada celda o territorio, la red de antenas móviles urbanas reduciendo el gasto y el impacto visual de las estaciones.” (Montoya,s.f) Dada la capacidad de miniaturización que poseen las antenas fractales, son las candidatas potenciales para implementarse en aplicaciones donde se requiera una antena embebida7 en un dispositivo, casos como pueden ser los beepers, terminales satelitales y receptores GPS en el teléfono.

7 Se refiere a un sistema o dispositivo que puede estar inmerso en un sistema de mayor tamaño, es decir, es parte de este y cumple una función específica.

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Antenas fractales en los automóviles Esta capacidad de miniaturización se hace más necesaria a la hora de abaratar costos, y el sector automotriz es un buen ejemplo para ello. Actualmente los automóviles se han convertido prácticamente en el segundo hogar para la mayoría de personas que trabajan fuera de casa y ellas demandan que su automóvil les permita acceder a una multitud de servicios, como si estuvieran en su hogar. Estos servicios se orientan hacia la conectividad y son comúnmente requeridos en un carro, como lo son la radio recepción (AM / FM), telefonía celular (GSM, 3G, 4G), sistema de navegación GPS y acceso a Internet. Generalmente la solución que se implementa para satisfacer estos servicios es la clásica antena en el techo del automóvil, en este punto las antenas fractales juegan un papel importante, donde su propiedad multibanda permite la integración de estos servicios en una sola antena, por lo tanto “a mayor integración de varios servicios de telecomunicaciones en una antena, es especialmente atractivo para reducir los costos de manufactura o los daños debido al vandalismo” (Rusu & Baican), esto se deriva directamente en la forma de construcción de la antena, pues se emplea la técnica utilizada en los teléfonos móviles, que consiste en el grabado de la antena en un substrato dieléctrico o micro-strip y permite la miniaturización de esta, por otra parte los bajos costos en la manufactura son evidentes. Por otro lado, la antena fractal necesita una cubierta de plástico protectora, que usualmente es la caja del espejo retrovisor interior. “Esta posición asegura un comportamiento óptimo de la antena, una buena adaptación de impedancia, un patrón de radiación substancial en el plano horizontal para la cobertura de los sistemas terrestres de comunicación (como la radio o telefonía celular), y una amplia cobertura en la elevación para el caso de las comunicaciones por satélite (GPS)” (Rusu & Baican), En la siguiente figura se puede observar un diagrama que representa la instalación de la antena fractal en el espejo retrovisor del automóvil.

Figura 94. Antena fractal instalada en el espejo retrovisor de un automóvil. 107

1 Base de apoyo para espejo retrovisor

2 Antena fractal para recepción AM / FM

3 Conjunto de antenas fractales para sistema de telefonía celular inalámbrica para transmisión y recepción (GSM900, GSM1800) y UMTS 4 Antena fractal GPS

Figura 95. Posición alternativa para la antena GPS En la figura anterior se puede observar como la antena (representada por el cuadrado de color negro) es instalada en posición horizontal dentro de la carcasa externa del espejo retrovisor exterior. Antenas fractales en la transmisión inalámbrica de energía Una de las grandes preocupaciones que existen en la actualidad es generación de energía limpia a través de fuentes renovables, para solucionar este problema se han utilizado la energía eólica, geotérmica y mareomotriz, pero como primera opción el ser humano ha mirado siempre al sol. La utilización de paneles solares ha sido el medio más directo en el aprovechamiento de la energía solar, sin embargo necesita que existan determinadas condiciones climáticas para su desempeño, por tal motivo una de las condiciones ideales sería instalar una “central espacial” que recolecte directamente la radiación solar, no obstante surge el inconveniente de transmitir la energía recolectada de un lugar a otro sin utilización de líneas conductoras. Este caso puede sonar como ciencia ficción, pero estudios científicos originados en 1964, y que llegan hasta nuestros días, han dado como resultado el concepto de “Solar Power Satellites (SPS) y microwave Wireless Power Transmission (WPT) que pueden jugar un rol importante en la obtención de energía limpia del espacio (Mohammed, Ramasamy, & Shanmuganantham, 2010) Este sistema convierte energía eléctrica en microondas y se transmiten a través del espacio libre, permitiendo la recepción de la potencia de la microonda convirtiéndola de nuevo a energía eléctrica, este proceso consiste la transmisión de energía por medio inalámbrico (WPT).

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La señal micro ondas se recolecta en el extremo receptor del sistema WPT para ser convertida en energía DC, usando una antena receptora llamada rectenna. La rectenna es una antena de rectificación, que posee filtros de pre-rectificación y post-rectificación, y es utilizada para la transmisión de potencia tierra a tierra, tierra a espacio, espacio a tierra y espacio a espacio. Por lo tanto es uno de los componentes principales en la aplicación de SPS-WPT. El sistema MPT será empleado para enviar poder eléctrico a la tierra. A medida que los estudios de MPT fueron progresando el Dr Peter Glaser en 1968 “propuso el concepto de colocar una gran SPS en la Órbita Geoestacionaria de la Tierra (GOT) para generar energía solar y transmitir la energía hacia la tierra como una emisión electromagnética” (Mohammed, Ramasamy, & Shanmuganantham, 2010) La construcción de esta infraestructura constaría de 60 SPS para la generación de 30GW de potencia, donde se la SPS posee 5 Km de ancho y 10 Km de longitud y el diámetro de la antena rectificadora (rectenna) es de 1 Km. Del mismo modo el área de la rectenna en tierra es de 10 Km por 13 Km en el eje oval. Pues bien, las dimensiones que presenta la reactenna la hace una antena prácticamente imposible de construir, mas sin embargo las actuales técnicas de miniaturización de antenas puedan dar la solución. Estas técnicas, como la utilización de substratos altos dieléctricos, aplicación de cargas resistivas o reactivas y el aumento de la longitud eléctrica de la antena optimizando su forma, han permitido que la geometría fractal en la construcción de la reactenna sea una opción, pues esta reúne los atributos necesarios para la miniaturización efectiva de una antena. “La aplicación de la geometría fractal a la construcción convencional de antenas, optimiza la forma de la antena con el fin de incrementar la longitud eléctrica de esta, por lo tanto reduce la totalidad de su tamaño. Debido a que la geometría fractal, tiene dos características principales en común, el llenado del espacio y las propiedades de autosimilitud, que para los elementos fractales de la antena presenta varias ventajas: amplio ancho de banda, multifrecuencia y reducción del tamaño de la antena entre otros.” (Mohammed, Ramasamy, & Shanmuganantham, 2010)

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CONCLUSIONES CONCLUSION 1 Como se ha podido observar en las figuras 82, 83 y 84, para hacer estas comparaciones, se ha requerido el modelamiento de tres antenas V invertida, que corresponden a cada uno de las frecuencias seleccionada (1900 MHZ, 1266 MHZ y 1900 MHz). A diferencia del monopolo fractal, donde solamente sea ha necesitado de la construcción de uno solo, el cual contiene las tres frecuencias resonantes dentro de su propia geometría. Se puede argumentar que la construcción de una antena multibanda basada en dipolos puede suplir las mismas necesidades que la antena monopolo fractal. Sin embargo, el monopolo fractal se presenta como una estructura compacta que permite un ahorro de espacio importante, al contrario de una antena multibanda basada en un dipolo tradicional. Como se puede apreciar en la siguiente figura.

Figura 96. Antena bigotes de gato y monopolo fractal basado en el triángulo de Sierpinski, respectivamente CONCLUSION 2 Como se ha demostrado, con solo cambiar el ángulo de apertura de la antena, se incide en dos factores: Resistencia de la antena Patrón de radiación Lo cual permite eliminar a la hora de construir el sistema que se compone de la fuente de alimentación, línea de transmisión y antena, la implementación de otros componentes que influyen en estos dos factores, y que como resultado consumirán mayor corriente, espacio y costes dentro del presupuesto del proyecto.

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Estas características se traducen en la utilización de las antenas fractales en dispositivos de tamaño reducido como lo son los sistemas móviles celulares.

Figura 97. Antena fractal implementada en un teléfono celular8 CONCLUSION 3 Un dipolo basado en el triángulo de Sierpinski presenta en su patrón de radiación una componente de polarización horizontal (plano x y y) que se acentúa más con el incremento de la frecuencia. Esto hace que se comporte aproximadamente como un radiador isotrópico. Este comportamiento se considera ideal para dispositivos de comunicaciones móviles ya que el área de cobertura de la señal es extensa y ocupada de manera eficiente el espacio circundante al dispositivo. CONCLUSION 4 La distribución del flujo de corriente en la totalidad del área que compone un dipolo fractal basado en el triángulo de Sierpinski, repercute directamente en el valor de la resistencia de la impedancia de la antena y consecuentemente en el patrón de radiación de la misma. La frecuencia más alta, dentro del rango de frecuencias operantes escogidas, se encuentran en la base de la antena, donde el área de la iteración correspondiente para esta frecuencia, presenta un flujo de corriente intenso a diferencia de la frecuencia más baja del rango operante de frecuencias. A esta frecuencia le corresponde la altura máxima de la antena, por lo tanto el área que debe recorrer el flujo de corriente es mayor y el patrón de radiación de esta frecuencia empieza a perder efectividad a la hora de ocupar el espacio circundante a ella. Lo anterior lleva a la conclusión que al momento de construir una antena fractal, se debe tener en cuenta que existe un límite de iteraciones a generar, puesto que un número elevado de estas, compromete la eficacia de la misma. El número de iteraciones recomendado son cuatro.

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Figura tomada de: http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/images/curiosidades/ Trabajo%20Fractales%20(Amir%202006).pdf

111

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Wheeler, H. A. (1975). Small antennas. IEEE Transactions of antennas and propagation , 462-469.

114

LISTA DE FIGURAS pág Figura 1. Antena cargada por la terminal

15

Figura 2. Formación de onda estacionaria en la línea de transmisión (a) onda incidente (b) onda reflejada (c) onda estacionaria

20

Figura 3. Circuito que representa una fuente voltaje que posee una resistencia RS incorporada conectada en serie con una resistencia de carga RL

22

Figura 4. Resistencia de carga RL vs Potencia de carga PL

23

Figura 5. Resistencia de carga RL vs Eficiencia de la antena

24

Figura 6. Bobina de carga

27

Figura 7. Circuito de la antena donde se muestra R r , capacitancia (Ca), bobina (LC) y resistencia de la bobina (RC)

27

Figura 8. Bobina adaptadora de inductancia La (L1 + L2)

28

Figura 9. Campo electromagnético en forma de rejilla

28

Figura 10. Ondas transversales, campo eléctrico y campo magnético

29

Figura 11. Distribución del campo eléctrico y magnético en un dipolo

29

Figura 12. Sistema de coordenadas esférico

30

Figura 13. Patrón de radiación tridimensional

32

115

LISTA DE FIGURAS pág Figura 14. Coordenadas polares lineales

32

Figura15. Coordenadas polares logarítmicas

33

Figura16. Coordenadas cartesianas

34

Figura17. Diagrama de radiación polar

35

Figura 18. Ancho del haz en un diagrama de radiación

36

Figura 19. Diagrama de radiación isótropo (Polarización circular)

38

Figura 20. Diagrama de radiación omnidireccional (Polarización elíptica)

38

Figura 21. Polarización vertical

39

Figura 22. Polarización horizontal

39

Figura 23. Patrón de radiación en coordenadas polares

40

Figura 24. Patrón de radiación en coordenadas cartesianas

40

Figura 25. Diagrama de patrón de frecuencia en coordenadas cartesianas

41

Figura 26. Diagrama de patrón de frecuencia en coordenadas cartesianas con valor de longitud λ / 2.

42

Figura 27. Procedimiento de medida de la costa

46

Figura 28. Copo de Von Koch

47

Figura 29. Demostración de cómo una recta tangente toca a un objeto fractal en varios puntos

50

116

LISTA DE FIGURAS pág 50

Figura 30. Dimensión fractal aplicada a una recta Figura 31. Dimensión fractal aplicada a un cuadrado

51

Figura 32. Trayectoria del punto A al B

52

Figura 33. Iteración 0 para la curva de Von Koch

53

Figura 34. Iteración 1 para la curva de Von Koch

53

Figura 35. Iteración 2 para la curva de Von Koch

53

Figura 36. Curva de Von Koch

54

Figura 37. Triángulos equiláteros utilizados para hallar el área del copo de nieve de Von Koch

57

Figura 38. Triángulo recto

57

Figura 39. Iteración 0 para el triángulo de Sierpinski

60

Figura 40. Iteración 1 para el triángulo de Sierpinski

61

Figura 41. Iteración 2 para el triángulo de Sierpinski

61

Figura 42. Iteración n para el triángulo de Sierpinski

61

Figura 43. Triángulo Sierpinski

62

Figura 44. Iteración 0 de la curva de Peano

66

117

LISTA DE FIGURAS pág 66

Figura 45. Iteración 1 de la curva de Peano Figura 46. Cono de Von Koch que llena su interior con la curva de Peano.

67

Figura 47. Antena fractal construida utilizando el triángulo de Sierpinski

68

Figura 48. Q vs ka

69

Figura 49. Antena esférica de radio a rodeada por una radio esfera con radio λ / 2π

70

Figura 50. Monopolo basado en la curva de Von Koch

71

Figura 51. Frecuencia vs Resistencia (Monopolo curva de Von Koch)

72

Figura 52. Resistencia y reactancia de un monopolo basado en el triángulo de Sierpinski

73

Figura 53. Flujo de corriente que recorre un monopolo Sierpinski

75

Figura 54. Acoplamiento de la señal en ángulo de la curva de Koch fractal

76

Figura 55. Curvas de Hilbert, Peano, monopolo de λ / 4 y monopolo serpenteante.

76

Figura 56. ka vs Factor de calidad

78

Figura 57. ka vs Eficiencia de la antena

78

Figura 58. Antena fractal construida con la Curva de Hilbert

79

118

LISTA DE FIGURAS pág 79

Figura 59. Antena fractal construida con el monopolo de Koch Figura 60. Antena fractal monopolo de Box de línea serpenteante

79

Figura 61. Monopolos impresos en placa, comparados con una moneda de 10 eurocentavos

81

Figura 62. Monopolo de Sierpinski Figura 63. Antena fractal dipolo basada en el triángulo Sierpinski con ángulo de apertura de 60o

86 87

Figura 64. Impedancia de dipolo fractal a una frecuencia de 1900 MHz

88

Figura 65. Impedancia de dipolo fractal a una frecuencia de 1266 MHz

89

Figura 66. Impedancia de dipolo fractal a una frecuencia de 633 MHz

89

Figura 67. Impedancia de la antena con frecuencia resonante igual a 633 MHZ con ángulo de apertura igual a 30o

90

Figura 68. Impedancia de la antena con frecuencia resonante igual a 633 MHZ con ángulo de apertura igual a 60o

91

Figura 69. Impedancia de la antena con frecuencia resonante igual a 633 MHZ con ángulo de apertura igual a 90o

91

Figura 70. Patrón de radiación de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 30o. (Frecuencia resonante 1266 MHz)

92

119

LISTA DE FIGURAS pág 93

Figura 71. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 30o. (Frecuencia resonante 1266 MHz) Figura 72. Patrón de radiación de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60o. (Frecuencia resonante 1266 MHz)

93

Figura 73. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60o. (Frecuencia resonante 1266 MHz)

94

Figura 74. Patrón de radiación de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 90o. (Frecuencia resonante 1266 MHz)

94

Figura 75. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 90o. (Frecuencia resonante 1266 MHz)

95

Figura 76. Patrón de radiación en el plano horizontal del dipolo fractal (Frecuencia de resonancia 1900 MHz)

96

Figura 77. Patrón de radiación en el plano horizontal del dipolo fractal (Frecuencia de resonancia 1266 MHz)

96

Figura 78. Patrón de radiación en el plano horizontal del dipolo fractal (Frecuencia de resonancia 633 MHz)

97

Figura 79. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60o(Frecuencia resonante 1900 MHz)

98

Figura 80. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60o(Frecuencia resonante 1266 MHz)

98

120

LISTA DE FIGURAS pág Figura 81. Campo lejano de un dipolo fractal con ángulo de apertura igual a 60o. (Frecuencia resonante 633 MHz)

99

Figura 82. Patrón de radiación Monopolo fractal vs dipolo V invertida (Frecuencia resonante 1900 MHz)

99

Figura 83. Patrón de radiación Monopolo fractal vs dipolo V invertida (Frecuencia resonante 1266 MHz)

100

Figura 84. Patrón de radiación Monopolo fractal vs dipolo V invertida (Frecuencia resonante 633 MHz)

100

Figura 85. Distribución de la corriente en el monopolo fractal (Frecuencia resonante 1900 MHz)

101

Figura 86. Distribución de la corriente en el monopolo fractal (Frecuencia resonante 1266 MHz)

101

Figura 87. Distribución de la corriente en el monopolo fractal (Frecuencia resonante 633 MHz)

102

Figura 88. Técnica Coaxial Probe Feed o Probe Feeding aplicada a un monopolo fractal impreso en substrato dieléctrico

103

Figura 89. Técnica Edge Feeding o Side Feed aplicada a un monopolo fractal impreso en substrato dieléctrico

103

Figura 90. Aplicación de la técnica Edge Feeding o Side Feed en el monopolo fractal

104

Figura 91. SWR Frecuencia resonante 1900 MHz

104

Figura 93. SWR Frecuencia resonante 633 MHz

105

Figura 94. Antena fractal instalada en el espejo retrovisor de un automóvil

107

121

LISTA DE FIGURAS pág Figura 94. Antena fractal instalada en el espejo retrovisor de un automóvil.

107

Figura 95. Posición alternativa para la antena GPS

108

Figura 96. Antena bigotes de gato y monopolo fractal basado en el triángulo de Sierpinski, respectivamente

110

Figura 97. Antena fractal implementada en un teléfono celular

111

122

LISTA DE TABLAS

pág Tabla 1. Relación de Onda Estacionaria ROE (Porcentaje de potencia irradiada)

13

Tabla 2. Relación entre longitud de onda y longitud de antena

17

Tabla 3. Iteraciones de la curva de Von Koch

46

Tabla 4. Iteraciones 0 y 1 en la generación del copo de nieve de Von Koch

47

Tabla 5. Iteración 2 hasta la n-ésima iteración en la generación del copo de nieve de Von Koch

48

Tabla 6. Proceso para el cálculo del área del copo de nieve de Von Koch

50

Tabla 7. Proceso que muestra el cálculo del perímetro del triángulo del Sierpinski

56

Tabla 8. Características de los monopolos

69

Tabla 9. Propiedades resonantes de las antenas fractales basadas la Curva de Hilbert, monopolo de Koch y monopolo de Box de línea serpenteante

72

Tabla 10. Relación entre subtriángulos del arreglo Sierpinski y sus frecuencias resonantes

77

123

LISTA DE TABLAS

pág Tabla 1. Relación de Onda Estacionaria ROE (Porcentaje de potencia irradiada)

21

Tabla 2. Relación entre longitud de onda y longitud de antena

25

Tabla 3. Iteraciones de la curva de Von Koch

54

Tabla 4. Iteraciones 0 y 1 en la generación del copo de nieve de Von Koch

55

Tabla 5. Iteración 2 hasta la n-ésima iteración en la generación del copo de nieve de Von Koch

56

Tabla 6. Proceso para el cálculo del área del copo de nieve de Von Koch

58

Tabla 7. Proceso que muestra el cálculo del perímetro del triángulo del Sierpinski

65

Tabla 8. Características de los monopolos

77

Tabla 9. Propiedades resonantes de las antenas fractales basadas la Curva de Hilbert, monopolo de Koch y monopolo de Box de línea serpenteante

80

Tabla 10. Relación entre subtriángulos del arreglo Sierpinski y sus frecuencias resonantes

85

124